大学物理第九章《稳恒磁场》

如图所示，有一长为l , 半径为R的载流密绕直螺 线管，螺线管的总匝数为N，通有电流I. 设把螺线管 放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度.
R
o
p*
dx x
x
+++++++++++++ +
解 由圆形电流磁场公式
B

0IR 2
（2 x2 R2）3/ 2
1

x1 o p 2
x2
x + + + + + + + + + + + + + + +
运动电荷在磁场中受力

F
qv
B
B
单位 特斯拉 1(T) 1N/A m
三、磁场的高斯定理(“Gauss theorem” of
magnetic field)
一 磁感线
规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感
强度 B 的方向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强度 B 的大小.
I
I
I

(b)稳恒磁场：将稳恒电流看成无数电流元Id 构成，每

个电流元单独在场点P处产生磁感应强 dB (毕奥－萨 度
伐尔定律)，根据场强的迭加原理得P点的总磁感应强度

B dB 。
3. 场的基本性质各自由两个积分方程揭示：静电场和稳 恒磁场分别有
高斯定理

S E
dS

1 0
B
若回路绕向化为顺时针时，则
o
R
dl
l
Bdl

0I
2π
2π
0
d

0I
l
I
d
dl
B
r
对任意形状的回路
B dl
0I
rd

0I
d
2π r
2π
l
l 与 I 成右螺旋

B dl
l
0I
电流在回路之外
B1
B2
d
I
r1
dl1
dB
0
4π 0
4π
Idl sin
r
Idl
2
r
r3

真空磁导率0 4π 107 N A2
dB
P *r
Idl
dB
r
I

Idl
任意载流导线在点 P 处的磁感强度
磁感强度叠加原理 B dB
0I
4π
dl
r
r3
dB
I
S
I
S
N
N
2.磁感线的特性
（1）与电流套连； （2）是闭合曲线(磁单极子不存在) ； （3）互不相交; （4）方向与电流成右手螺旋关系.
二 磁通量 磁场的高斯定理
S B
B N S
磁场中某点处垂直 B矢量的 单位面积上通过的磁感线数 目等于该点 B的数值.

enB
s s
研究方法：与静电场相似，可比较学习。 区别：多处用到矢量叉乘(牢记的运算)。
主要内容(与静电场相比较)：
1. 作为出发点的基本定律：静电场 ～ 库仑定律；
稳恒磁场 ～ 毕奥—萨伐尔定律。

2. 求场强：静电场 ～ 已知电荷分布求 E 。
稳恒磁场 ～ 已知电流分布求磁感应强度 B 。
(a)静电场：将有限大带电体看成无数点电荷dq构成， 每个点电荷单独在场点P处产生场强，根据场强的迭加 原理得P点的总场强。
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2 ) 选回路 L .
磁场 B 的方向与
电流 I 成右螺旋.

M
NB
++++++++++++
P
LO

B 0I 4π r0
2 sind
1
4π0rI0（cos1 cos2）

B 的方向沿 x 轴的负方向.
z
D 2
无限长载流长直导线的磁场.
B

0
4π
Ir0（cos1

cos
）
2
I
o
1 0 B 0I
x 1
B
+
P
y
2 π
2π r0
C
无限长载流长直导线的磁场
dB 方向均沿
x 轴的负方向
z
D 2
dz r
Iz
x
C
o
1
r0
解 dB 0 Idz sin
4π r 2

dB
B
dB 0
4π
Idz sin
CD r 2
z r0 cot , r r0 / sin
*P y
dz r0d / sin2
B 0I 2 sind 4π r0 1
(5)1820年，奥斯特实验发现载流导线能使附近小磁 针偏转。
(6)1820年，安培提出分子电流假设，给出磁现象 的电本质，即运动的电荷产生磁场。
运动电荷
磁场
运动电荷
磁场
运动电荷
磁场
运动电荷
二 磁感强度B 的定义
y
vv
o
z
F 0
+ vv
x
带电粒子在磁场中运 动所受的力与运动方向有 关.
0
4π
Idl
r
r3
毕奥—萨伐尔定律
例 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1
8
2
+

7
Idl + 3
R
6
+4
5
1、5 点 ：dB 0
3、7点
：dB

0 Idl
4π R2
2、4、6、8 点 ：
dB

0 Idl
4π R2
sin
450
二 毕奥---萨伐尔定律应用举例 例1 载流长直导线的磁场.
dl2
r2
l
B1

0I
2π r1
，
B2

0I
2π r2
B1
dl1
B2
dl2


0I
2π
d
B1 dl1 B2 dl2 0

l B d l 0
多电流情况
I1
I2
I3
l

B B1 B2 B3

Bdl
实验发现带电粒子在 磁场中沿某一特定直线方 向运动时不受力，此直线 方向与电荷无关.
Fmax qv
Fmax 大小与 q, v 无关
qv
带电粒子在磁场中沿
其于他v方与向特运定动直时线F所组垂成直
的平面.
当带电粒子在磁场中
垂直于此特定直线运动时
受力最大. F Fmax F
B dS

B
B
磁通量：通过某一曲 面的磁感线数为通过此曲 面的磁通量.
ΦΦBBScSosB eBn SS
dΦ B dS
dΦ BdS cos

s
Φ s BdS
单位 1Wb 1T 1m2
B dS1
1 B1 S
B2
2
dS2
B 0I
2π r
I B
I XB
电流与磁感强度成右螺旋关系
半无限长载流长直导线的磁场
1

π 2
2 π
BP

0I
4π r
I
o r *P
例2 圆形载流导线的磁场.
真空中 , 半径为R 的载流导线 , 通有电流I , 称圆 电流. 求其轴线上一点 p 的磁感强度的方向和大小.

Idl

r
dB
若 l R
B 0nI
(2) 无限长的螺线管
（3）半无限长螺线管
B 0nI
1

π 2
,
2

0
或由 1 π , 2 0 代入
B

0nI
2
cos2

c os 1
B

1 2
0nI
1 2
0nI
B 0nI
O
x
三、磁介质对磁场的影响
只考虑均匀各向同性磁介质充满整个空间的情况
dB 0 2
R 2 Indx R2 x2 3/2
x Rcot
dx R csc2 d
B
dB 0nI
2
x2 x1
R2dx R2 x2 3/2
R2 x2 R2 csc2
B 0nI
2
2 R3csc2 d 1 R3 csc3 d
教学基本要求
一 掌握描述磁场的物理量——磁感强度的 概念，理解它是矢量点函数.
二 理解毕奥－萨伐尔定律，能利用它计算 一些简单问题中的磁感强度.
三 理解稳恒磁场的高斯定理和安培环路定理. 理解用安培环路定理计算磁感强度的条件和方法.
四 理解洛伦兹力和安培力的公式 ，能分析 电荷在均匀电场和磁场中的受力和运动. 了解磁矩 的概念. 能计算简单几何形状载流导体和载流平面 线圈在均匀磁场中或在无限长载流直导体产生的非 均匀磁场中所受的力和力矩.
磁感强度 B的定义：当
正电荷垂直于 特定直线运动
时，受力
Fmax
将

Fmax

v方
向定义为该点的 B 的方向.
Fmax
v q +
磁感强度 B的定义：当
正电荷垂直于特定直线运动
时，受力
Fmax
将

Fmax

v
方
向定义为该点的 B 的方向.
磁感强度大小 B Fmax qv
l

0 (I 2
I3)
以上结果对任意形状
的闭合电流（伸向无限远 的电流）均成立.
➢ 安培环路定理

n
B dl 0 Ii
i 1
安培环路定理

n
B dl 0 Ii
i 1
一闭合即路在径真的空积的分稳的恒值磁，场等中于，磁 0感乘应以强该度闭合B路沿径任
B= B +B' 0
磁介质中的 总磁感强度
顺磁质 抗磁质
B> B<
B0 B0
真空中的 介质磁化后的 磁感强度 附加磁感强度
（铝、氧、锰等） （铜、铋、氢等）

引入相对磁导率：
μr
= B B0
引入磁导率： μ = μr μ0
毕奥—萨伐尔定律：
§9.3 安培环路定理
一 真空中的安培环路定理（ampere
磁场高斯定理
dΦ1 B1 dS1 0
dΦ2 B2 dS2 0
SB cosdS 0
S B d S 0
物理意义：通过任意闭合曲面的磁通量必等于零
（故磁场是无源的.）
§9.2 毕奥—萨伐尔定律
一 毕奥—萨伐尔定律
(电流元在空间产生的磁场)
dB
qi

或 S D dS Q0 (有源)， 环

路定理
E

d
0
(无旋)。
高斯定理
S B dS
0 (无源)，
安培环路定理
B d 0 Ii 或 H d Ii (有旋)。
4. 场力：
第九章 稳恒磁场
§9.1 磁场 磁场的高斯定理 一、基本磁现象

B
o
R
pB
*
x
I
dB 0 Idl
4π r 2
解 根据对称性分析 B Bx dB sin
Idl
cos R r
R
r
dB r2 R2 x2
o

x

*p x
B 0I
4π
cosdl
l r2
dB 0
4π
Idl r2
dBx

0
4π
I cosdl
r2
B

0IR
4π r3
2π R
dl
0
B

0 IR2
（2 x2 R2）32

I
R
ox
B
*x
B

0IR2
（2 x2 R2）32
讨 1）若线圈有 N 匝
论

B

N （2 x2
0 IR2
R2）32

2）x 0 B 的方向不变( I 和 B成右螺旋关系）
3）x 0 4）x R
B 0I
2R
B

0IR 2
2x3
，
B

0 IS
2π x3
（1） I
R o
B0
x
B0

0I
2R
（2 ） I R
o
B0

0I
4R
（3） I R o
B0

0I
8R
（4）
（5） I
BA

0I
4π d
d *A
R1
R2
*o
B0

0I
4R2

0I
4R1

0I
4π R1
例3 载流直螺线管的磁场
是否回路 L 内无电流穿过？
二、有介质时的安培环路定理
只考虑均匀各向同性磁介质充满整个空间的情况 安培环路定理
定义磁场强度矢量： 安培环路定理
三 安培环路定理的应用举例 例1 求长直密绕螺线管内磁场
解 1 ) 对称性分析螺旋管内为均匀场 , 方向沿
轴向, 外部磁感强度趋于零 ，即 B 0 .
0nI 2 sin d
2 1
讨论
B

0nI
2
cos2

c os 1
（1）P点位于管内轴线中点 1 π 2
cos 1 cos 2
cos2
l/2
l / 22 R2
B

0nI
cos2

0nI
2
l l 2 / 4 R2 1/2
circulation theorem）
无限长载流直导线的磁感强
度为 B 0I
l
B
2π
dl
R 0
2π
I dl R
I
B

dl
oR
l
B dl
0I
dl
l
2π R l

B dl
l
0I
设闭合回路 l 为圆形 回路（l 与 I成右螺旋）
I
所包围的各电流的代数和.
注意
电流 I 正负的规定 ：I 与 L 成右螺旋时， I 为正；反之为负.

Bdl
L

0(I1 I1 I1 I2)

（0 I1

I
）
2
I1
I2 I3
I1
L
I1

问 1）B 是否与回路 L 外电流有关？


2）若 B d l 0 ，是否回路 L上各处 B 0？ L
(1)天然磁铁吸引铁、钴、镍等物质。
(2)条形磁铁两端磁性最强，称为磁极。一只能够在 水平面内自由转动的条形磁铁，平衡时总是顺着南北 指向。同性磁极相互排斥，异性磁极相互吸引。
(3)把磁铁作任意分割，每一小块都有南北两极，任 一磁铁总是两极同时存在。
(4)某些本来不显磁性的物质，在接近或接触磁铁后 就有了磁性，这种现象称为磁化。