大学物理实验 复摆实验讲义

利用复摆测量重力加速度

【实验目的】

(1)根据复摆的物理特性测量重力加速度;

(2)利用拟和方法处理实验数据;

(3)练习测量不确定度的评定。

【仪器用具】

复摆,光电计时器,游标卡尺等。

【实验原理】

在测量重力加速度的方法中，有一类利用了摆的性质：小振动周期的平方与成反比（由量纲分析即可得到此结论）。对于大家熟悉的单摆，由于摆球并不是理想的质点，摆线也有一定的质量，导致等效的摆长很难精确测定，严重制约了的测量精度（因为周期测量可以达到很高的精度)。我们这次实验使用的复摆就是为了克服这个困难而设计的专用于重力加速度测量的仪器。

所谓的复摆就是一个刚体摆。在重力作用下，刚体绕固定水平转轴在竖直平面内摆动(见图1)。设复摆的质量为m，其重心G到转轴O的距离为h，从重心到转轴的垂线OG与铅垂线的夹角为，则重力对复摆产生的恢复力矩为

图1 复摆示意图

根据刚体定轴转动定理，复摆的角加速度

其中I为刚体相对O轴的转动惯量，为刚体相对其重心的转动惯量，这里用到了转动惯量的平行轴定理：。

当摆角很小的时候, 上式简化为

这是简谐运动的方程。由此可知，与单摆一样，复摆在平衡位置附近的小振动是周期为

的简谐振动。注意 不是 的单调函数：当 趋于零或无穷大时，周期都趋于无穷大（见图2）。

图2 复摆 曲线（A,C 为一对共轭点）

在实验中，我们可以改变转动轴O 轴（即悬点）的位置。悬点始终在经过复摆重心G 的一条直线（即复摆摆杆的中心线）上。通过改变悬点而改变 ，测量不同 对应的周期 ，用理论公式对测量结果进行拟合，就可以得到 了。

除了上述的曲线拟合方法，这里再介绍一种只需要测量两个点的方法，这也是利用复摆测量重力加速度的传统方法。如图2所示，我们选择的两个悬点O 1和O 2分处重心的两侧，它们到重心的距离分别为 ，振动周期分别为 和 ，根据周期公式有

如果O 1、O 2满足 但 ，则称它们互为共轭点。对于共轭点的情况，上式右边第二项为零，只需要测量两个悬点的距离 就可以计算 了。由于不需要确定重心的实际位置（这一步的精度远比测量两个悬点的距离要低），共轭点法测量重力加速度可以达到很高的精度。注意，即便O 1、O 2不是一对精确的共轭点，只要 和

相差做够小（比如

），上式右边的第二项可以看成对第一项的修正，的测量误差对的影响不大，这种近似共轭点的方法仍可以得到很好的结果。

【实验装置】

实验室所用复摆测量装置如图3所示。

图3复摆实验装置照片

复摆摆杆如图4所示，是一个厚7.7mm、宽23mm的矩形扁钢，杆长600mm, 杆上每隔20mm 钻一个直径为10mm 的圆孔，可用来支承刀口或插入刀口。摆杆上自中心向两端以米尺刻度，分度值为2mm。杆的两端各有一个微调螺母，还有一个指针, 作挡光计时用。一个带有平衡块的T形座架，放在桌上或桌边上，立柱顶端安装一个"上座"，其一侧是一个三角形的刀口，正好可套入摆杆上的圆孔内。有一个桌上刀口，用于测定摆的质心位置。

图4 复摆摆杆照片

【实验内容】

1.根据周期与悬点位置的关系测量重力加速度。

用杠杆原理确定复摆摆杆重心G的位置。

在摆杆重心的一侧选10个悬点，先从远端到近端，每个点测10T两遍（用于验证计时的准确性）；再从近端到远端整体重复一遍（即每个悬点有4个数据，取平均值算周期,并评价测量结果的可重复性）。

2.用近似共轭点法测量重力加速度。

根据第1步的数据，选择两个近似共轭的悬点（分别在复摆两侧）。交替改变悬点4次，每次测量10T两遍（即每个悬点有8个数据，用于评定周期的A类不确定度）。

用游标卡尺测量两个悬点的距离。

3.研究计时器测量单个周期的误差分布（方案自拟，选做）

【注意事项】

为了得到高质量的实验数据，在实验中要注意以下几点：

1.开始实验时首先粗调复摆支架的微调螺丝，使上刀口基本水平。

2.每次改变悬点都需要保证刀口与复摆摆杆的中心线重合；然后仔细调节支架底部的

调节螺丝，借助铅垂线确保复摆静止时呈竖直下垂状态。

3.调节光电门的位置，使之与遮光针的平衡位置对齐。

4.推动复摆时动作要轻，不可振幅过大，遮光针的水平位移幅度在4cm左右比较合适。

如果推动复摆时复摆与刀口的接触点发生了移动，需要重新调节。

5.等振动稳定（建议等15S左右）后再开始测量周期。

【数据处理】

1.曲线拟合方法

本实验采用两种方法对测量数据进行拟合。第一种是通过函数变换将曲线变成直线：

用做直线拟合，根据斜率就可以算出。这种方法的优点是简单直观。注意到重心位置测量的不确定度较大，经过函数变换，使得拟合数据的不确定度较大，最终导致测量结果的准确度不高。

第二种方法假定测量的重心位置并非实际的重心位置，两者相差一个小量。将当作未知常数。用实测数据按下式子

进行（非线性）拟合，其中为三个拟合参数。根据的最佳值可以算出。

2. 近似共轭点法的不确定度计算

(1)周期的不确定度

由于相对周期测量结果的分散性，计时器本身的误差很小(在微秒量级)，我们只考虑A 类不确定度。

(2)长度测量的不确定度

注意和是两个误差独立的测量量。由游标卡尺测量次相加得到，

。

结果重复性较好，只考虑B类不确定度：

仪

有一部分涉及到质心位置的测量，误差较大，可以按进行估算。

(3)g的不确定度

根据间接测量量的不确定度计算公式，

其中