大学物理实验 复摆实验讲义
物理实验报告复摆
一、实验目的1. 了解复摆的振动规律。
2. 学习使用复摆进行测量，掌握测量摆长、摆角和周期的方法。
3. 通过实验，验证单摆周期公式，加深对单摆理论的理解。
二、实验原理复摆是一种由两个或多个单摆组成的系统，其振动规律与单摆类似。
在理想情况下，复摆的周期仅与摆长和重力加速度有关，与摆角无关。
本实验通过测量复摆的周期，验证单摆周期公式。
单摆周期公式为：\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \]其中，T为周期，L为摆长，g为重力加速度。
三、实验器材1. 复摆装置2. 刻度尺3. 秒表4. 计算器四、实验步骤1. 将复摆装置固定在支架上，确保复摆可以自由摆动。
2. 使用刻度尺测量复摆的摆长，记录数据。
3. 调整复摆的摆角，使其在30°~60°之间。
4. 使用秒表测量复摆摆动n次所需的时间，记录数据。
5. 重复步骤3和4，进行多次测量，取平均值。
6. 根据单摆周期公式，计算理论周期，并与实验周期进行比较。
五、实验数据及处理1. 摆长L = 1.0 m2. 摆角θ = 45°3. n = 104. 实验周期T1 = 1.5 s5. 实验周期T2 = 1.4 s6. 实验周期T3 = 1.6 s7. 平均实验周期T = (T1 + T2 + T3) / 3 = 1.5 s六、实验结果与分析1. 根据单摆周期公式，计算理论周期：\[ T_{理论} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{1.0}{9.8}}\approx 1.97 \text{ s} \]2. 比较实验周期与理论周期：\[ \frac{T_{理论}}{T} = \frac{1.97}{1.5} \approx 1.32 \]3. 分析误差来源：a. 实验误差：由于测量误差、计时误差等因素，导致实验周期与理论周期存在一定偏差。
b. 理论误差：单摆周期公式是在理想情况下得出的，实际实验中，复摆的振动会受到空气阻力、摆线质量等因素的影响，导致实验结果与理论值存在一定偏差。
实验六复摆特性的研究
实验六 复摆特性的研究一 实 验 目 的（1）掌握复摆物理模型的分析。
（2）通过实验学习用复摆测量重力加速度的方法。
二 实 验 原 理复摆是一刚体绕固定的水平轴在重力的作用下作微小摆动的动力运动体系。
如图1所示，刚体绕固定轴O 在竖直平面内作左右摆动，C 是该物体的质心，与轴O 的距离为h ，θ为其摆动角度。
若规定右转角为正，此时刚体所受力矩与角位移方向相反，即有h mg M θ-=sin 若θ很小时（θ在5°以内）近似有θmgh M -= （1） 又据转动定律，该复摆又有θ I M = （2） 其中I 为该物体转动惯量。
由（1）和（2）可得θωθ2-= （3） 其中Imgh=2ω。
此方程说明该复摆在小角度下作简谐振动，该复摆周期为mghIT π=2 （4） 设c I 为转轴过质心且与O 轴平行时的转动惯量，那么根据平行轴定律可知2mh I I c += （5） 代入上式得：mghmh I T c 22+π= (6) 对于固定的刚体而言，c I 是固定的，因而实验时，只需改变质心到转轴的距离21,h h 则刚体周期分别为12112mgh mh I T c +π= (7) 22222mgh mh I T c +π= (8)为了使计算公式简化，故意取122h h =，合并(2-7)式和(8)式得：)2(12212212T T h g -π= (9) 三 实 验 仪 器复摆装置、秒表。
四 实 验 内 容（1）如图2所示，复摆的杆长为L ，杆上有一孔，处于下端的1L 处。
有两个质量为1m 的砝码块，根据实验需要分别在杆上不同位置。
（2）将两砝码块置于孔的上下对称处，如图3。
孔至上转轴的距离为1h ，微微摆动，用秒表测出周期，，由公式10/)(1101t t T -= （10）求出周期，用同样的方法进行3次，求出平均值，将数值填入表1中。
（1）变动砝码距离如图3，使图示距离为12h ，重复上述步骤求出2T ，将数据填入表1中。
《单摆和复摆》课件
如何设计一个实验来验证单摆 和复摆的周期公式？
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复摆的回复力由重力和支点的 支持力合成，方向始终指向平 衡位置。
单摆和复摆的能量转换
单摆和复摆在运动过程中，动能 和势能之间相互转换。
当摆角较小时，单摆的运动近似 简谐振动，能量转换呈现周期性
变化。
复摆在运动过程中，由于支点摩 擦和空气阻力等因素，能量会有
所损失，导致运动周期变长。
03
单摆和复摆的应用
02
4. 启动计时器，记录复摆完成一 个周期的时间。
实验结果和实验分析
实验结果
通过实验测量得到单摆和复摆的运动周期，并记录在表格中。
实验分析
根据测量结果，分析单摆和复摆的运动特性，比较两者之间的差异。通过计算单摆的振动周期公式 T=2π√(L/g) ，其中L为单摆的长度，g为重力加速度，验证理论公式是否与实验结果相符。对于复摆，分析其转动惯量、质量 等因素对周期的影响。
钟表和计时器中的应用
钟表的核心机制
复摆在高级钟表中的应用
单摆被用作钟表的核心计时机制。其 规律的周期性运动被转换成时间单位 ，如秒、分、小时。
在高级机械钟表中，复摆常用于更精 确地调节和平衡钟表的运行。
精确度与稳定性
由于单摆的简单运动模式和自然频率 的稳定性，它为钟表提供了高精度的 时间基准。
振动隔离和减震中的应用
实验步骤和实验操作
3. 开始计时，记录单摆和复摆的运动周期。 4. 重复实验多次，求平均值。
5. 分析实验数据，得出结论。
实验步骤和实验操作
实验操作 1. 调整单摆的长度，使小球能够自由摆动。
2. 启动计时器，记录单摆完成一个周期的时间。
复摆振动的研究1
复摆振动的研究一、实验目的：1、考查复摆振动时振动周期与质心到支点距离的关系；2、测出重力加速度、回转半径和转动惯量。
二、实验仪器：支架、复摆、秒表。
三、实验原理：一个绕定轴转动的刚体就是复摆。
当摆动的振幅甚小时，其振动周期T 为mghI T π2= 如图所示，O 为支点，G 为质心，h 为摆的支点到摆的质心的距离。
2mh I I G += 2mK I G = I 为转动惯量，K 为复摆对G 轴的回转半径，ghh K T 222+=∴π 2222244h g k g h T ππ+=∴ 令h T y 2= 2h x = Bx A y +=∴ 224k g A π= gB 24π= 测出T 和h 值，可得x 、y 值，用最小二乘法求出 Bx A y += 中的A 、B ，由A 、B 求出g 和K 。
四、实验步骤1、测定重心G 的位置。
将复摆水平放在支架的刀刃上，复摆静止不动或左右摆动幅度相同时的支点位置为质心G 点。
（因所给复摆为匀质摆，所以可以用杠杆原理寻找G 点）2、选择不同的支点位置（改变10次支点的位置），测出支点到G 点的距离h ，每个支点测h 三次，求平均值。
3、用秒表测出复摆在不同支点处的振动周期，用振动30次的时间来计算周期，每个支点处测周期三次，求平均值。
4、利用所测得的T 和h 值可得几组成部分（x ，y ）值，用最小二乘法求出拟合直线Bx A y +=的A 、B 值，计算A 和B5、由g B 24π=得B g 24π= ，由224k gA π= 得π2Ag k = 6、计算 g 、k 的不确定度及相对误差。
a ArrayOG。
实验十一 复摆实验
复摆实验
[教学重点]
1．研究复摆的物理特性；
2．用复摆测量重力加速度；
3．用作图法和最小二乘法研究问题和处理数据。
[教学内容]
1．测定复摆的质量及其重心位置；
2．安装调试复摆；
3．改变转轴位置，测量重心到转轴的距离h及相应的周期T；
4．用最小二乘法处理数据，求直线的斜率和截距，进而求出重力加速度g、相对重心的转动惯量I G及回转半径R G；
5．利用复摆的共轭性质，用作图法和公式法分别求出重力加速度。
[教学难点]
1．复摆的振动面必须是竖直面；
2．复摆摆角θ的大小取决于误差要求，实验中如何满足小角度近似条件θ<5º；
3．测量周期时，挡光位置的确定。
[教学要求]
1．正确应用平衡法测定复摆重心位置，用电子天平称复摆质量时要求严格执行操作规程。
2．对L端和R端分别作T2h-h2图，用最小二乘法求出直线的斜率和截距进而求出g，I G和R G，最后取平均值，注意h值的修正。
3．利用共轭性，在T-h图上作3条直线分别求出等值单摆长，再带入单摆公式求g，最后取平均值。
课堂上可要求学生用T最小值对应的h求得g，考察测量值与标准值的百分差。
4．在T-h数据中取3组数据分别代入公式（13.16）求g，最后取平均值。
[问题讨论]
1．支撑法由于插入刀口会引入一定误差，分析数据处理过程中是否需要计入刀口质量？2．利用三种数据处理方法所求重力加速度的数值有一定差别，试分析三种方法的优缺点。
实验十三复摆实验实验实验报告
M (h − h′) = mh
化简得
h′ M − m = = 98.8% h m
由于小刀口质量对重心位置改变的影响小于 2%，其对实验结果的测量产生的 影响很小，在精度不高的实验中可以忽略不计。
20T(s) 25.1014 24.9162 24.6173 24.5552 24.3776 24.2379 24.0708 23.9831 23.8758 23.7983 23.7448 23.7388 23.7625 23.8433 23.9861 24.1568 24.3954 24.8841 25.4196 26.0742 26.9978 28.1755 29.8452 31.8723 34.9437 39.5663
h2/cm2
201.07 174.24 148.35 125.44 103.63 84.64 66.91
T2h/cm·s2
20.36 19.30 18.26 17.29 16.40 15.68 14.77
h2/cm2
51.84 38.19 27.04 17.47 10.24
T2h/cm·s2
14.57 13.72 13.26 12.88 12.40
注：记 0 点左侧为负，右侧为正。 复摆质量 M = 412.80g；小刀口质量 m = 5.15g 1、对数据进行最小二乘法处理有：
表 13-2 悬点在 0 点右侧时 h2 与 T2h 数据表
h2/cm2
793.55 739.84 685.39 635.04 584.67 538.24 491.95
̇̇ 则 由于 β = θ ̇̇ + mgh sin θ = 0 Iθ
在摆角很小 ≤ 5� 时， sin θ ≈ θ ， （13.3）式化为 （13.3）
大学物理实验复摆实验讲义
⼤学物理实验复摆实验讲义复摆【实验⽬的】(1)研究复摆的物理特性; (2)⽤复摆测定重⼒加速度;(3)⽤作图法和最⼩⼆乘法研究问题及处理数据。
【仪器⽤具】复摆,光电计时器,电⼦天平,⽶尺等。
【实验原理】1.复摆的振动周期公式在重⼒作⽤下,绕固定⽔平转轴在竖直平⾯内摆动的刚体称为复摆(即物理摆).设⼀复摆 (见图1-1)的质量为m ,其重⼼G 到转轴O 的距离为h ,g 为重⼒加速度,在它运动的某⼀时刻t,参照平⾯(由通过O 点的轴和重⼼G 所决定)与铅垂线的夹⾓为0,相对于O 轴的恢复⼒矩为M=-mgh sin θ（1.1）图 1-1复摆⽰意图根据转动定理, 复摆(刚体)绕固定轴O 转动,有M=I β (1.2)其中M 为复摆所受外⼒矩，I 为其对O 轴的转动惯量，β为复摆绕O 轴转动的⾓加速度, 且22dtd θβ=则有M=I22dt d θ（1.3）结合式(1.1)和式(1.3),有I 22dtd θ+mgh sin θ=0 (1.4) 当摆⾓很⼩的时候, sin θ≈θ, ,式(1.4)化为22dt d θ+θImgh =0 (1.5) 解得θ=A cos(ωt+θ0) (1.6)式中A ，θ由初条件决定;ω是复摆振动的⾓频率，ω＝I mgh /，则复摆的摆动周期T=2πmghI（1.7）2.复摆的转动惯量，回转半径和等值单摆长由平⾏轴定理,I=I G +mh 2,式中I G 为复摆对通过重⼼G 并与摆轴平⾏的轴的转动惯量, (1.7)式可写为 T=2πmghmh I G 2+ （1.8）可见, 复摆的振动周期随悬点O 与质量中⼼G 之间的距离h ⽽改变。
还可将I =I G +mh 2改写22G 2I mR mh mR =+= (1.9)式中R G =m I G 为复摆对G 轴的回转半径, 同样也有R=mI， R 称为复摆对悬点O 轴的回转半径。
复摆周期公式也可表⽰为T=2πgh h R G+2 （1.10）事实上, 总可以找到⼀个单摆,它的摆动周期等于给定的复摆的周期,令L ＝h hR G+2 （1.11）则 T= 2πgL(1.12) 式中L 称为复摆的等值单摆长。
《单摆和复摆》课件
单摆的周期和频率
单摆的周期T=2π√(L/g)，其中L为摆长，g为重力加速度。 单摆的频率f=1/T，即f=√(g/4π^2L)。
单摆的能量分析
单摆的动能E_k=1/2mV^2， 其中m为摆球质量，V为摆球速 度。
单摆的势能E_p=mgh，其中h 为摆球相对于平衡位置的高度 。
复摆的周期和频率
01
02
03
周期
复摆完成一次完整的旋转 所需的时间。
频率
单位时间内复摆完成的旋 转次数。
关系
周期和频率互为倒数，即 $T = frac{2pi}{omega}$ 。
复摆的能量分析
定义
能量分析是指对系统能量 的来源、转换和消耗进行 分析。
机械能守恒
在无外力矩作用的情况下 ，复摆的机械能守恒。
感谢您的观看
THANKS
当摆角θ较小时，单摆的总能 量E=E_k+E_p=1/2mgL(1cosθ)。
03
复摆的运动分析
复摆的运动方程
定义
解法
复摆是指具有固定轴的刚体绕固定点 旋转的装置。
通过求解该方程，可以得到复摆的运 动规律。
运动方程
$Ifrac{domega}{dt} + Domega = 0$，其中$I$是转动惯量，$omega$ 是角速度，$D$是阻尼系数。
特点
单摆的运动具有周期性，即小球可以 在一个固定的圆周上摆动。单摆的周 期与摆长、地球的重力加速度以及小 球的转动惯量有关。
复摆的定义和特点
定义
复摆是一个质量为m的小球，在一根刚性杆的一端固定，另一端通过一根无质 量的线悬挂起来。当小球在垂直平面内摆动时，它的运动可以看作是简谐振动 。
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利用复摆测量重力加速度
【实验目的】
(1)根据复摆的物理特性测量重力加速度;
(2)利用拟和方法处理实验数据;
(3)练习测量不确定度的评定。
【仪器用具】
复摆,光电计时器,游标卡尺等。
【实验原理】
在测量重力加速度的方法中，有一类利用了摆的性质：小振动周期的平方与成反比（由量纲分析即可得到此结论）。
对于大家熟悉的单摆，由于摆球并不是理想的质点，摆线也有一定的质量，导致等效的摆长很难精确测定，严重制约了的测量精度（因为周期测量可以达到很高的精度)。
我们这次实验使用的复摆就是为了克服这个困难而设计的专用于重力加速度测量的仪器。
所谓的复摆就是一个刚体摆。
在重力作用下，刚体绕固定水平转轴在竖直平面内摆动(见图1)。
设复摆的质量为m，其重心G到转轴O的距离为h，从重心到转轴的垂线OG与铅垂线的夹角为，则重力对复摆产生的恢复力矩为
图1 复摆示意图
根据刚体定轴转动定理，复摆的角加速度
其中I为刚体相对O轴的转动惯量，为刚体相对其重心的转动惯量，这里用到了转动惯量的平行轴定理：。
当摆角很小的时候, 上式简化为
这是简谐运动的方程。
由此可知，与单摆一样，复摆在平衡位置附近的小振动是周期为
的简谐振动。
注意 不是 的单调函数：当 趋于零或无穷大时，周期都趋于无穷大（见图2）。
图2 复摆 曲线（A,C 为一对共轭点）
在实验中，我们可以改变转动轴O 轴（即悬点）的位置。
悬点始终在经过复摆重心G 的一条直线（即复摆摆杆的中心线）上。
通过改变悬点而改变 ，测量不同 对应的周期 ，用理论公式对测量结果进行拟合，就可以得到 了。
除了上述的曲线拟合方法，这里再介绍一种只需要测量两个点的方法，这也是利用复摆测量重力加速度的传统方法。
如图2所示，我们选择的两个悬点O 1和O 2分处重心的两侧，它们到重心的距离分别为 ，振动周期分别为 和 ，根据周期公式有
如果O 1、O 2满足 但 ，则称它们互为共轭点。
对于共轭点的情况，上式右边第二项为零，只需要测量两个悬点的距离 就可以计算 了。
由于不需要确定重心的实际位置（这一步的精度远比测量两个悬点的距离要低），共轭点法测量重力加速度可以达到很高的精度。
注意，即便O 1、O 2不是一对精确的共轭点，只要 和
相差做够小（比如
），上式右边的第二项可以看成对第一项的修正，的测量误差对的影响不大，这种近似共轭点的方法仍可以得到很好的结果。
【实验装置】
实验室所用复摆测量装置如图3所示。
图3复摆实验装置照片
复摆摆杆如图4所示，是一个厚7.7mm、宽23mm的矩形扁钢，杆长600mm, 杆上每隔20mm 钻一个直径为10mm 的圆孔，可用来支承刀口或插入刀口。
摆杆上自中心向两端以米尺刻度，分度值为2mm。
杆的两端各有一个微调螺母，还有一个指针, 作挡光计时用。
一个带有平衡块的T形座架，放在桌上或桌边上，立柱顶端安装一个"上座"，其一侧是一个三角形的刀口，正好可套入摆杆上的圆孔内。
有一个桌上刀口，用于测定摆的质心位置。
图4 复摆摆杆照片
【实验内容】
1.根据周期与悬点位置的关系测量重力加速度。
用杠杆原理确定复摆摆杆重心G的位置。
在摆杆重心的一侧选10个悬点，先从远端到近端，每个点测10T两遍（用于验证计时的准确性）；再从近端到远端整体重复一遍（即每个悬点有4个数据，取平均值算周期,并评价测量结果的可重复性）。
2.用近似共轭点法测量重力加速度。
根据第1步的数据，选择两个近似共轭的悬点（分别在复摆两侧）。
交替改变悬点4次，每次测量10T两遍（即每个悬点有8个数据，用于评定周期的A类不确定度）。
用游标卡尺测量两个悬点的距离。
3.研究计时器测量单个周期的误差分布（方案自拟，选做）
【注意事项】
为了得到高质量的实验数据，在实验中要注意以下几点：
1.开始实验时首先粗调复摆支架的微调螺丝，使上刀口基本水平。
2.每次改变悬点都需要保证刀口与复摆摆杆的中心线重合；然后仔细调节支架底部的
调节螺丝，借助铅垂线确保复摆静止时呈竖直下垂状态。
3.调节光电门的位置，使之与遮光针的平衡位置对齐。
4.推动复摆时动作要轻，不可振幅过大，遮光针的水平位移幅度在4cm左右比较合适。
如果推动复摆时复摆与刀口的接触点发生了移动，需要重新调节。
5.等振动稳定（建议等15S左右）后再开始测量周期。
【数据处理】
1.曲线拟合方法
本实验采用两种方法对测量数据进行拟合。
第一种是通过函数变换将曲线变成直线：
用做直线拟合，根据斜率就可以算出。
这种方法的优点是简单直观。
注意到重心位置测量的不确定度较大，经过函数变换，使得拟合数据的不确定度较大，最终导致测量结果的准确度不高。
第二种方法假定测量的重心位置并非实际的重心位置，两者相差一个小量。
将当作未知常数。
用实测数据按下式子
进行（非线性）拟合，其中为三个拟合参数。
根据的最佳值可以算出。
2. 近似共轭点法的不确定度计算
(1)周期的不确定度
由于相对周期测量结果的分散性，计时器本身的误差很小(在微秒量级)，我们只考虑A 类不确定度。
(2)长度测量的不确定度
注意和是两个误差独立的测量量。
由游标卡尺测量次相加得到，。
结果重复性较好，只考虑B类不确定度：
仪
有一部分涉及到质心位置的测量，误差较大，可以按进行估算。
(3)g的不确定度
根据间接测量量的不确定度计算公式，
其中。