最新北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑(一)
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习高考解答题专项一第3课时利用导数研究函数的零点北师大版
高考解答题专项一函数与导数中的综合问题第3课时利用导数研究函数的零点1.(2021北京海淀高三期末)已知函数f(x)=x2-3x+ln x.(1)求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间,并判断函数f(x)的零点个数.2.(2021全国甲,文20)设函数f(x)=a2x2+ax-3ln x+1,其中a>0.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若y=f(x)的图象与x轴没有公共点,求a的取值范围.3.(2021山西长治高三期末)已知函数f(x)=e x,g(x)=ln(f(x)+a)(a为常数),g(x)是R上的奇函数.(1)证明:f(x)≥x+1(x∈R);(2)讨论关于x的方程:ln g(x)=g(x)·(x2-2e x+m)(m∈R)的实数根的个数.4.(2021浙江宁波高三期末)设函数f(x)=ax2-ln x,其中a∈R.,求函数f(x)的单调区间;(1)若a=12(2)若方程f(x)=x恰有两个不等实数根,求实数a的取值范围.+1(a∈R).5.(2021山东烟台高三期中)已知函数f(x)=ax+2e x(1)若函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;(2)当a≠0时,讨论函数g(x)=f(x)-a-3的零点个数,并给予证明.6.(2021吉林长春高三期末)已知函数f(x)=x-a(1+ln x).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,求实数a的取值范围.第3课时利用导数研究函数的零点1.解(1)因为函数的定义域为(0,+∞),f(3)=ln3,所以切点为(3,ln3).又因为f'(x)=2x-3+1x ,所以f'(3)=103,即切线斜率为k=103,所以切线方程是y=103(x-3)+ln3,即10x-3y+3ln3-30=0.(2)由(1)知f'(x)=2x 2-3x+1x=(2x-1)(x-1)x,令f'(x)=0,得x1=12,x2=1.0,1212,1 1) +0 -0如表格,函数f(x)的单调递增区间是0,12和(1,+∞),单调递减区间是12,1.又因为f(x)的极大值f12=-54+ln12<0,所以当0<x<1时f(x)<0恒成立.又因为f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,f(1)<0,f(3)=ln3>0,所以存在x0∈(1,3),使得f(x0)=0,即函数f(x)有且只有一个零点.2.解(1)∵f(x)=a2x2+ax-3ln x+1,x∈(0,+∞),∴f'(x)=2a2x+a-3x=2a2x2+ax-3x =(ax-1)(2ax+3)x.∵a>0,x>0,∴2ax+3x>0,∴当x∈(0,1a)时,f'(x)<0;当x∈(1a,+∞)时,f'(x)>0,∴函数f(x)在(0,1a )上单调递减,在(1a,+∞)上单调递增.(2)∵y=f (x )的图象与x 轴没有公共点,∴函数f (x )在(0,+∞)上没有零点,由(1)可得函数f (x )在(0,1a )上单调递减,在(1a ,+∞)上单调递增,∴f (1a )=3-3ln 1a =3+3ln a>0,∴ln a>-1, ∴a>1e ,即实数a 的取值范围是(1e ,+∞).3.(1)证明设F (x )=f (x )-x-1,则F'(x )=e x-1,令F'(x )=0,得x=0. 所以当x ∈(-∞,0)时,F'(x )<0,F (x )单调递减; 当x ∈(0,+∞)时,F'(x )>0,F (x )单调递增;所以F (x )在x=0处取到最小值,即F (x )≥F (0)=0,故f (x )≥x+1. (2)解因为g (x )是R 上的奇函数,所以有g (0)=0,则a=0,g (x )=x. 所以原方程为ln x=x (x 2-2e x+m ),即lnx x=x 2-2e x+m.设h (x )=lnx x,则由h'(x )=1-lnx x 2=0,得x=e,当x ∈(0,e)时,h'(x )>0,h (x )单调递增;当x ∈(e,+∞)时,h'(x )<0,h (x )单调递减, 所以h (x )≤h (e)=1e .设l (x )=x 2-2e x+m ,则l (x )≥l (e)=e 2-2e 2+m=m-e 2.故当m>e 2+1e 时,方程无解;当m=e 2+1e 时,方程有且只有一个实数根x=e;当m<e 2+1e 时,方程有两个实数根. 4.解(1)当a=12,f (x )=12x 2-ln x ,则f'(x )=x-1x =x 2-1x=(x -1)(x+1)x.f (x )的定义域为(0,+∞),当x ∈(0,1)时,f'(x )<0,即f (x )的单调递减区间为(0,1);当x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,即f (x )的单调递增区间为(1,+∞).(2)若f (x )=x 恰有两个不等实数根,则ax 2-ln x=x ,即a=lnx+x x 2恰有两个不等实数根.令g (x )=lnx+x x 2,则g'(x )=(1x+1)x 2-2x(lnx+x)x 4=1-x -2lnx x 3,令h (x )=1-x-2ln x ,因为h'(x )=-1-2x<0在(0,+∞)上恒成立,所以h (x )在(0,+∞)上单调递减.又因为h (1)=0,所以当x ∈(0,1)时,h (x )>0,当x ∈(1,+∞)时,h (x )<0,所以当x ∈(0,1)时g'(x )>0,g (x )单调递增;当x ∈(1,+∞)时,g'(x )<0,g (x )单调递减,故g (x )max =g (1)=1,且g (x )在(1,+∞)上恒大于0.要使方程f (x )=x 有两个不等实数根,即直线y=a 与函数g (x )的图象有两个不同的交点,故实数a 的取值范围是(0,1).5.解(1)f'(x )=a-2e x .由题意得f'(x )≥0,即a ≥2e x 在区间(1,+∞)上恒成立. 当x ∈(1,+∞)时,2e x ∈0,2e ,所以a ≥2e , 故实数a 的取值范围为2e,+∞.(2)由已知得g (x )=ax+2e x -a-2,则g'(x )=a-2e x =ae x -2e x.当a<0时,g'(x )<0,函数g (x )单调递减,又因为g (0)=-a>0,g (1)=2e -2<0,故函数g (x )有且只有一个零点.当a>0时,令g'(x )<0,得x<ln 2a ,函数g (x )单调递减,令g'(x )>0,得x>ln 2a ,函数g (x )单调递增, 而g ln 2a =a ln 2a −2a <0,g a+2a =2e a+2a>0.由于x>ln x ,所以a+2a>2a >ln 2a ,所以g (x )在ln 2a ,a+2a上存在一个零点.又因为g ln2a 2+a+2=a a-ln a 2+a+22,且ln2a 2+a+2<ln 2a ,设h (a )=a-lna 2+a+22,则h'(a )=1-2a+1a 2+a+2=a 2-a+1a 2+a+2>0在(0,+∞)上恒成立,故h (a )在(0,+∞)上单调递增.而h (0)=0,所以h (a )>0在(0,+∞)上恒成立, 所以g ln2a 2+a+2>0,所以g (x )在ln2a 2+a+2,ln2a上存在一个零点.综上所述,当a<0时,函数g (x )有且只有一个零点;当a>0时,函数g (x )有两个零点.6.解f (x )=x-a (1+ln x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=1-ax . (1)若a ≤0,则f'(x )=1-ax >0,f (x )在(0,+∞)上单调递增;若a>0,令f'(x )=1-ax =0,得x=a ,当0<x<a 时,f'(x )<0;当x>a 时,f'(x )>0,所以f (x )在(0,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增. (2)由(1)可得:①当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,至多有1个零点,不合题意;②当a>0时,f(x)min=f(a)=-a ln a,(i)当0<a<1时,f(x)min=f(a)=-a ln a>0,无零点,不合题意;(ii)当a=1时,f(x)min=f(a)=-a ln a=0,有1个零点,不合题意;(iii)当a>1时,f(x)min=f(a)=-a ln a<0,又因为f1e =1e-a1+ln1e=1e>0,且f(2a2)=2a2-a[1+ln(2a2)]=a(2a-2ln a-1-ln2)>a(2-1-ln2)>0,所以f(x)在区间1e,a和区间(a,2a2)上各有一个零点,符合题意.综上,实数a的取值范围是(1,+∞).。
北大附中高考数学专题复习导数与微分判断题训练和填空题训练
31．函数y＝x－ln（x＋1）在区间_________内单调减少，在区间_________内单调增加．
32．已知曲线 ，则其水平渐近线方程是____________，垂直渐近线方程是__________．
参考答案
一、判断题
37．√ 提示：在（－∞，0]上单调减少，而（0，＋∞）上单调增加．
38．√
39．√ 提示：利用函数的单调性证明不等式．设 ，则 ,f（x）在[1，＋∞]上连续，在（1， ＋∞）内 ，因此[1，＋∞）上单调增加，从而当x>1时，f（x）>f（1），由于f（1）＝0，故f（x）>f（1）＝0，即
40．× 提示： f（x）在（－∞，2）和（2，＋∞）内设有极值点，但在（－∞，2）内， ，函数f（x）单调增加，在（2，＋∞）内函数单调减少，又f（x）在点x＝2连续，故x＝2是函数f（x）的极大点．
24．x＝sint,y＝cos2t,在t＝π/6处 的斜率是2．（ ）
26．函数在每点的切线只与它的图象交于一点．（ ）
28．设0<α<1,f满足 及f（0）＝0，则f在点O是不可导的．（ ）
32．设f（x）＝axsinx＋bxcosx＋csinx＋dcosx，则只有当a＝1,b＝0,c＝0,d＝1时， （ ）
14．× 提示：考虑函数 ，当x＝0时f（x）＝0，而
15．√
16．×
17．× 提示：根据导数定义 知，在x＝0处左导数与右导数不相等．
18．× 提示： ，所以f（x）在x＝0处连续，但
同理 所以 不存在，即f（x）在x＝0处不可导．
19．√ 提示：利用复合函数求导公式及
高考数学大一轮复习 专题1 函数与导数综合题的解答课件 文 北师大版
探究一 用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的单调性就是根据导数与函数单调性的关 系，确定函数的单调区间．研究函数的单调性，其步骤是： (1)先求出定义域； (2)求导，根据基本初等函数的导数以及求导法则求出函数f(x) 的导函数f′(x)； (3)解不等式，不等式f′(x)＞0的解集就是函数f(x)的递增区 间，不等式f′(x)＜0的解集就是函数f(x)的递减区间．
[例2] 已知f(x)＝xlnx. (1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值； (2)对一，求实 数a的取值范围． 【审题】 参变分离求最值．
【转化】 (1)求f′(x)，利用单调性求最值； (2)分离参数→构造函数求最值→求导→判断单调性→分类讨 论定最值．
专题一 函数与导数综合题的解答
函数与导数既是高中数学最重要的基础知识，又是高中数学的 主干知识，还是高中数学的主要工具，在高考中占有举足轻重的地 位，其考查的内容和形式也是丰富多彩的．对于函数，高中数学各 章节的知识都渗透着函数的思想与方法，函数的影子几乎闪现于每 个问题之中．对于函数内容的备考，首先要掌握基本概念和基本运 算，牢记基本函数的图像与性质，重视函数与方程、数形结合、转 化与化归、分类讨论等数学思想与方法在解题中的应用．导数属于 新增加的内容，是高中数学知识的一个重要的交汇点，命题范围非 常广泛，为函数的考查提供了广阔天地，处于一种特殊的地位．
探究二 函数的极值、最值问题 研究函数f(x)的极值是通过检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的 左、右函数值的符号来判定的，因此难点是如何判定这个根左、右 函数f′(x)值的符号，并与函数f(x)的极大值、极小值对应．化解的 方法是列出x、f′(x)、f(x)变化的图表，得到f′(x)在每个区间上的 符号，即可得到函数对应的极大值、极小值．函数极值的另一个难 以理解的问题是极大值、极小值的大小关系，即函数的极大值不一 定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．突破这一难点的方法 是正确理解极值是一个局部的概念，可以通过画出函数在整个定义 域上的图像，对比图像进行分析判断．
北师大版版高考数学一轮复习函数导数及其应用定积分与微积分基本定理教学案理解析版
[考纲传真] １．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.２．了解微积分基本定理的含义．１．定积分的概念与几何意义（１）定积分的定义如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点δi（i＝１,２，…，n），作和式s′＝f（δ１）Δx１＋f（δ２）Δx２＋…＋f（δi）Δx i＋…＋f（δn）Δx n.当每个小区间的长度Δx趋于0时，s′的值趋于一个常数Ａ．我们称常数A叫作函数f（x）在区间[a，b]上的定积分，记作错误!f（x）dx，即错误!f（x）dx＝Ａ．在错误!f（x）dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式．（２）定积分的几何意义图形阴影部分面积S＝错误!f（x）dxS＝—错误!f（x）dxS＝错误!f（x）dx—错误!f（x）dxS＝错误!f（x）dx—错误!g（x）dx＝错误![f（x）—g（x）]dx２．定积分的性质（１）错误!１dx＝b—a；（２）错误!k f（x）dx＝k错误!f（x）dx（k为常数）；（３）错误![f１（x）±f２（x）]dx＝错误!f１（x）dx±错误!f２（x）dx；（４）错误!f（x）dx＝错误!f（x）dx＋错误!f（x）dx（其中a<c<b）．３．微积分基本定理如果连续函数f（x）是函数F（x）的导函数，即f（x）＝F′（x），那么错误!f（x）dx＝F（b）—F （a），这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿莱布尼茨公式．通常称F（x）是f（x）的一个原函数．为了方便，常把F（b）—F（a）记作F（x）|错误!，即错误!f（x）dx＝F（x）|错误!＝F（b）—F（a）．错误!函数f（x）在闭区间[—a，a]上连续，则有（１）若f（x）为偶函数，则错误!—af（x）dx＝２错误!f（x）dx.（２）若f（x）为奇函数，则错误!—af（x）dx＝0．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）设函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续，则错误!f（x）dx＝错误!f（t）dt. （）（２）定积分一定是曲边梯形的面积．（）（３）若错误!f（x）dx＜0，那么由y＝f（x）的图像，直线x＝a，直线x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．（）[答案] （１）√（２）×（３）×２．错误!e x dx的值等于（）Ａ．eＢ．１—eＣ．e—１Ｄ．错误!（e—１）C[错误!e x dx＝e x错误!＝e—１．]３．（教材改编）已知质点的速率v＝１0t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是（）Ａ．１0t错误!Ｂ．５t错误!Ｃ．错误!t错误!Ｄ．错误!t错误!B[S＝∫t00v dt＝∫t00１0tdt＝５t２|t00＝５t错误!.]４．（教材改编）曲线y＝x２与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．错误![如图，阴影部分的面积即为所求．由错误!得A（１,１）．故所求面积为S ＝错误!（x —x ２）dx ＝错误!错误!错误!＝错误!.] ５．错误!错误!dx ＝________.错误! [错误!错误!dx 表示曲线y ＝错误!与直线x ＝—１，x ＝１及x 轴围成的曲边梯形的面积，故错误!错误!dx ＝错误!.]定积分的计算１．（２0１9·玉溪模拟）计算错误!错误!dx 的值为（ ） Ａ．错误! Ｂ．错误!＋ln ２ Ｃ．错误!＋ln ２Ｄ．３＋ln ２B [错误!错误!dx ＝错误!错误!错误!＝２＋ln ２—错误!＝错误!＋ln ２．故选 Ｂ．]２．（２0１8·吉林三模）错误!|x —１|dx ＝（ ） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３Ｄ．错误!D [错误!|x —１|dx ＝错误!（１—x ）dx ＝错误!错误!错误!＝１—错误!＝错误!.] ３．设f （x ）＝错误!则错误!f （x ）dx 等于（ ） Ａ．错误! Ｂ．错误! Ｃ．错误!Ｄ．不存在C [如图，错误!f （x ）dx ＝错误!x ２dx ＋错误!（２—x ）dx ＝错误!x ３错误!＋错误!错误!错误! ＝错误!＋错误!＝错误!.]４．错误!（sin x —cos x ）dx ＝________.２ [错误!（sin x —cos x ）dx ＝（—cos x —sin x ）|错误!＝１+１＝２．] [规律方法] １．运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 （１）对被积函数要先化简，再求积分．（２）求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．（３）对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分．（４）注意用“F′（x）＝f（x）”检验积分的对错．２．根据定积分的几何意义，可利用面积求定积分．定积分的几何意义【例１】（１）（２0１9·皖南八校联考）用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值，设f（x）＝min错误!错误!，则由函数f（x）的图像，x轴与直线x＝错误!和直线x＝２所围成的封闭图形的面积为________．（２）（２0１9·黄山模拟）已知曲线y＝x２与直线y＝k x（k＞0）所围成的曲边图形的面积为错误!，则k＝________.（１）错误!＋ln２（２）２[（１）由题意，围成的封闭图形如图中阴影部分，由题意，S＝错误!错误!错误!dx＋错误!错误!dx＝错误!x错误!１错误!＋ln x错误!＝错误!错误!＋ln２＝错误!＋ln２，故答案为错误!＋ln２．（２）由错误!得错误!或错误!则曲线y＝x２与直线y＝k x（k＞0）所围成的曲边梯形的面积为错误!（k x—x２）dx＝错误!|错误!＝错误!—错误!k３＝错误!，即k３＝8，所以k＝２．][规律方法] 利用定积分求平面图形面积的步骤１根据题意画出图形.２借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限.３把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和.４计算定积分，写出答案.易错警示：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时，要分不同情况讨论.（２）如图所示，由抛物线y＝—x２＋４x—３及其在点A（0，—３）和点B（３,0）处的切线所围成图形的面积为________．（１）错误!（２）错误![（１）如图所示，由y＝错误!及y＝—x＋２可得交点横坐标为x＝１．由定积分的几何意义可知，由y＝错误!，y＝—x＋２及x轴所围成的封闭图形的面积为错误!错误!dx＋错误!（—x＋２）dx＝错误!x错误!|错误!＋错误!|错误!＝错误!.（２）由y＝—x２＋４x—３，得y′＝—２x＋４，∴y′|x＝0＝４，y′|x＝３＝—２，∴抛物线在A点处的切线方程为y＝４x—３，在B点处的切线方程为y＝—２x＋6，联立方程错误!解得错误!∴两切线交点的横坐标为错误!，定积分在物理中的应用【例２】（１）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）＝7—３t ＋错误!（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）Ａ．１＋２５ln５Ｂ．8＋２５ln错误!Ｃ．４＋２５ln５Ｄ．４＋５0ln２（２）（２0１9·渭南模拟）一物体在变力F（x）＝５—x２（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成３0°方向作直线运动，则由x＝１运动到x＝２时，F（x）做的功为（）Ａ．错误!JＢ．错误!JＣ．错误!JＤ．２错误!J（１）C（２）C[（１）由v（t）＝7—３t＋错误!＝0，可得t＝４错误!，因此汽车从刹车到停止一共行驶了４s，此期间行驶的距离为错误!v（t）dt＝错误!错误!dt＝错误!|错误!＝４＋２５ln５．（２）变力F在位移方向上的分力为Fcos３0°，故F（x）做的功为W＝错误!（５—x２）cos３0°dx ＝错误!错误!（５—x２）dx＝错误!５x—错误!x３错误!＝错误!.][规律方法] 定积分在物理中的两个应用１求物体变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v t，那么从时刻t＝a 到t＝b所经过的路程s＝错误!v t dt.２变力做功，一物体在变力F x的作用下，沿着与F x相同方向从x＝a运动到x＝b时，力F x所做的功是W＝错误!F x dx.２线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方５m处以v＝１0t（t的单位：s，v的单位：m/s）的速度与A同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A的出发地的距离是________m.１３0 [设A追上B时，所用的时间为t0，则S A＝S B＋５，即∫t00（３t２＋１）dt＝∫t00（１0t）dt＋５，∴（t３＋t）t00＝５t错误!＋５∴t错误!＋t0＝５（t错误!＋１）即t0＝５，∴S A＝５t错误!＋５＝５×５２＋５＝１３0（m）．]。
北京高考导数复习知识点
北京高考导数复习知识点导数是微积分中的重要概念，它在数学和物理等学科中都有广泛的应用。
在高考中，导数是必考内容，理解和熟练掌握导数的定义、性质和运算法则对于考生来说非常重要。
本文将对北京高考中涉及的导数知识点进行详细介绍和复习，帮助考生全面了解导数的相关内容。
一、导数的基本定义和概念1. 函数的导数：给定函数y=f(x)，在其中一点x处，如果函数在该点附近有定义并存在极限，那么称函数在点x处可导，并将该极限值称为函数在该点的导数，记作f'(x)或dy/dx。
2. 导函数：导函数是函数y=f(x)在其定义域上的每个可导点处的导数所确定的新函数，记作f'(x)或dy/dx。
二、导数的计算和运算1. 基本导数公式：常数的导数为0，幂函数的导数为幂次乘以底数的幂次减一，指数函数的导数为导数等于自身乘以ln(a)，对数函数的导数为导数等于自身的导数除以自身。
2.导数的四则运算法则：和的导数等于导数的和，差的导数等于导数的差，常数倍的导数等于常数倍后函数的导数，积的导数等于先导后函数加后导前函数，商的导数等于分母导后函数减后导前函数除以分母的平方。
三、导数的几何意义和应用1.导数的几何意义：在直角坐标系中，函数在其中一点x处的导数f'(x)表示函数的曲线在该点处的切线的斜率。
2.函数的单调性和极值点：若函数在其中一区间上的导数恒大于（或小于）0，则该函数在该区间上单调递增（或递减）；函数在其中一点处的导数为0，则该点可能是函数的极值点。
3.函数的凸凹性和拐点：若函数在其中一区间上的导数恒大于（或小于）0，则该函数在该区间上是凸函数（或凹函数）；函数在其中一点处的导数的增减性改变，且导数为0，则该点可能是函数的拐点。
4.极限与导数的关系：若函数在其中一点处可导，则函数在该点处一定连续。
四、应用题1.切线方程：已知函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)，切线方程y=f'(a)(x-a)+f(a)。
北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑(二)
学科：数学教学内容：导数与微分经点答疑（二）2．函数f （x ）的不可导点有哪些类型？ （1）函数f （x ）在不连续点不可导．如，符号函数sgnx ，在x ＝0点不连续，在x ＝0点不可导． （2）函数f （x ）在连续点不可导有以下几种类型： ①左、右可导，但左、右导数不相等；例如，函数f （x ）＝|x|，在点x ＝0左、右可导，但左、右导数不相等． ②左、右两侧至少有一侧不可导；()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=.x ,x xsin x x f ,0001函数例如()()0存在，即左可导.Δxlim 0f 左导数不存在，即右不可导.Δx1sin lim Δx Δy lim 0f 右导数0Δx 0Δx 0Δx =='=='-++→-→→+③左、右导数至少有一个是无限大．()()()()().Δx 1lim Δx Δx lim 0f 左导数;Δx 1lim Δx Δx lim 0f 右导数0时，在x x x 例如，f 320Δx 3Δx 320Δx 3Δx 3+∞==='+∞==='==--++→→-→→+3．函数f(x)在点0x 可导，是否函数f(x)在点0x 的某邻域内每一点都可导？().x ,x x f ,00的邻域内不一定可导它在点可导是一个局部概念在点函数不一定()⎩⎨⎧=.x 0,x x x f ,2为无理数时当为有理数时当函数例如在点0可导，（当然在点0连续），事实上()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====--='→→→→→.00lim ,0lim lim lim 00lim 0002000为无理数时当为有理数时当x x x x x x x f x f x f f x x x x x 显然，函数f （x ）在任意点x ≠0都不连续，即除点0外，函数f （x ）在任意点都不可导．由此可见，一个函数可能仅仅在一点可导．4．什么是导函数？导数与导函数有什么区别与联系？怎样求导函数？如果函数f （x ）在开区间（a,b ）内每一点都可导，称函数f （x ）在开区间（a,b ）内可导，并称函数f （x ）是（a,b ）内的可导函数．如果函数f （x ）在闭区间[a,b]内可导，且()a f +'与()b f -'都存在，称函数f （x ）在闭区间[a ，b]上可导，此时称f （x ）为闭区间[a ，b]上的可导函数．如果函数f （x ）在区间I 可导，此时对每一个点x ∈I ，都有惟一一个导数()x f '与之对应，这样按照函数的定义，在I 上定义了一个新的函数，称为函数f （x ）在I 上的导函数，记()即或作.dxdyy ,x f '' ()()()I x ,xx f x x f lim x f x ∈∆-∆+='→∆0 注意到，前面介绍的函数f （x ）在点0x 处的导数是一个值，这里给出的导函数是一个函数，这是二者的根本区别．函数f （x ）在点I x 0∈的导数()0x f '与函数f （x ）在I 上的导函数()0x f '的关系是：导数()0x f '等于导函数()x f '在点0x 处的函数值，即()().|x f x f 0x x 0='='.| 0示的正是利用这种关系来表而前面导数的记号x x y ='有时，在导函数与导数不至于发生混淆的情况下，导函数简称导数．例如，求某一函数的导数，而没有特别指明是某一点的导数，这时实际上是求导函数的．从导函数的结构我们可以看出，导函数的结构从形式上就是函数f （x ）在任一点x 处的导数．因此要求函数f （x ）在区间I 上的导函数，只需要求出f （x ）在I 上任一点x 处的导数即可，而要求f （x ）在点x 处的导数，只需把极限()()xx f x x f lim0x ∆-∆+→∆求出来即可例1 求函数y ＝x 的导数．思路启迪 在本题中，实际上是求函数y ＝f （x ）的导函数的，只须把函数f （x ）在任一点x 处的导数求出来即可．规范解法 ∵f （x ）＝x,f （x ＋△x ）＝x ＋△x,△x ≠0， △y ＝f （x ＋△x ）－f （x ） ＝x ＋△x －x ＝△x ．().1x .11lim x ylim y .1xx x y 0x 0x ='==∆∆='∴=∆∆=∆∆→∆→∆即例2 求函数.x y 的导数3=思路启迪 这里是求导函数的，可先求出0x 处的导数，再把0x 换成x 即为所求． 规范解法 .x ,R x 00≠∆∈任取()()()()()()()()[]().x x x y x x .x x x x x lim x y lim |y ,x x x x xx x x x y ,x x x x f ,x x f x x x x 233020202000202030303003003333330='==∆+∆+=∆∆='∆+∆+=∆-∆+=∆∆∆+=∆+=→∆→∆=的导数为即得函数代用5.导数的几何意义是什么？它有哪些物理意义？由引例2，我们知道，若函数f （x ）在点0x 可导，则曲线y ＝f （x ）在点()()00x f ,x P 的切线存在，且切线的斜率k 就是函数f （x ）在点0x 处的导数()0x f ',即().x f k 0'=故函数y ＝f （x ）在点0x 处的导数的几何意义是：()0x f '表示曲线y ＝f （x ）在点()()00x f ,x 处切线的斜率，即()0x f tan '=α．因此，若函数f （x ）在点0x 处可导，则曲线y ＝f （x ）在点()()()0000x f y y ,x P =处的切线方程是：()()000x x x f y y -'=-．法线方程是()()()().x f x x x f y y 010000≠'-'-=- 导数的物理意义，根据函数f （x ）的物理意义不同而不同．如若当函数f （x ）表示质点作变速直线运动的路程时（x 表示时间），其导数()x f '表示质点在时刻x 的瞬时速度；当函数f （x ）表示质点的速度函数时，其导数()x f '表示质点的瞬时加速度；当函数f （x ）表示电量函数时（x 表示时间），其导数()x f '表示时刻x 的瞬时电流强度．等等．例1 求曲线3x y =在点（1，1）处的切线方程与法线方程．思路启迪 按照导数的几何意义，只要求出函数3x y =在点x ＝1处的导数即为该曲线在点（1，1）处的切线斜率，再利用直线的点斜式方程即可求出切线与法线方程．规范解法 1.x 1|y k 知，所求切线的斜率为根据导数的几何意义可='=() 3.|3x |y 因此k,3x x y 由于1x 21x 123=='=='='==于是所求的切线方程为y －1＝3（x －1）,即3x －y －2＝0．().043,1311.312=-+--=--=y x x y k 即从而所求的法线方程为所求法线的斜率为例2 求曲线.x y x y 333-==直线上哪些点的切线平行于思路启迪 根据导数的几何意义，求曲线y ＝f （x ）上切线平行于已知直线的点，也即是求函数y ＝f （x ）在哪些点的导数与已知直线的斜率相等．因此，只要找出函数y ＝f （x ）与已知直线的斜率相等的点即可．规范解法 .3x y 的导数x 3，函数y 3的斜率k 3x 已知直线y 23='==-=1.1时，y x 1；y 1时,当x 1,得x 3,设3x 2-=-===±==故所求的点是（1，1）和（1，－1）．点评 解决此题的关键是能正确理解并掌握导数的几何意义．6．函数的可导性与连续性的关系是什么？()()x f ΔxΔylim在点x可导，即x f 设函数y 0Δx '==→由具有极限的函数与无穷小量的关系我们知道，存在一个当△x →0时的无穷小量α，().x f xy成立使得α+'=∆∆ ()()[].0x x x f lim y lim .x x x f y 0x 0x =∆α+∆⋅'=∆∆α+∆'=∆→∆→∆于是从而即函数y ＝f （x ）在点x 处连续．因此我们有：若函数y ＝f （x ）在点x 可导，则函数y ＝f （x ）在点x 必连续．反之，不一定成立，即若函数y ＝f （x ）在点x 处连续，但它在点x 不一定可导．例 函数()⎩⎨⎧<-≥=.x x,x x x f 00 规范解法 如图3-3，f （x ）在点x ＝0连续，事实上：f （0）＝0．()()()()().0x ,0f 0x lim x f lim .0x ,0f 0x lim x f lim 0x 0x 0x 0x 左连续即在点右连续即在点===-=====--++→→→→故f （x ）在点x ＝0连续．但是，f （x ）在点x ＝0不可导（见1中的例2）．由上面的讨论可知，函数f （x ）在点x 连续是函数f （x ）在点x 可导的必要条件，但非充分条件．即函数f （x ）在点x 处可导必连续，连续不一定是可导，不连续一定不可导．7．若函数f （x ）与g （x ）在点0x 都不可导，它们的和H （x ）＝f （x ）+g （x ）与积 G （x ）＝f （x ）·g （x ）在点0x 是否也不可导？不一定．例如，函数f （x ）＝|x|与g （x ）＝－|x|．在x ＝0都不可导，但是，它们的和与积H （x ）＝f （x ）+g （x ）＝0与()()()2x x g x f x G -==在x ＝0却都可导．8．求哪些函数个别点的导数或左、右导数应用导数的定义？（1）函数在个别点的函数值单独定义的，其余点的函数值用统一解析式定义的（函数在个别点连续）．例如，函数()⎪⎩⎪⎨⎧=>β>α≠=βα.0x 0,0,1,0x x1cos x x f 当当 在点x ＝0的导数要应用导数的定义．（2）求分段函数在分段点的导数．例如，函数()()()()[]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈-∞-∈=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.,0x x 1,1,0x x 1x ,0,x xx g ;0x 0,0x ex f 2x1求函数f （x ）在点x ＝0的左、右导数，函数g （x ）在点x ＝0与x ＝1的左、右导数要应用导数的定义．9．导数有哪些基本公式和运算法则? 在导数的定义中，我们不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利用定义求函数的方法．但是，如果对每一个函数，都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂和困难的，甚至是不可能的．因此，我们希望找到一些简单函数的导数（作为我们的基本公式）与运算法则，借助它们来简化导数的计算过程．().，C 0C )1(为常数公式='证明：设y ＝f （x ）＝C ，()()()()()()()()()()()()()()()().nx ΔxΔylim x x f ,Δx Δx x 121n n nx Δx Δy ,Δx Δx x 121n n Δx nx x Δx x x f Δx x f Δy ,x x f 证明：设y n为正整数.,nx x 公式(2)0.0lim Δx Δy lim C x f 0,ΔxΔy0,C C x f Δx x f Δy 1n 0Δx n 1n 2n 1n n22n 1n nnn 1n n 0Δx 0Δx -→------→→=='='∴++⋅-+=++⋅-+=-+=-+======='='∴==-=-+=[注：以后可以证明，当n 取任意实数时，这个公式仍然成立．]例1 求().x '9规范解法().x xx 819999=='-公式().x cos x sin )(='3,x sin y :=设证明(),2x 2x sin2x x cos x y ,2x sin2x x cos 2x sin x x sin y ∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=-∆+=∆().x cos 2x 2xsinlim2x x cos lim x y lim x sin y 0x 0x 0x =∆∆⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆∆='='∴→∆→∆→∆ ().x sin x cos )4(-='公式请读者自己证明．()().1a 0,a ,xlna1x log 公式(5)a ≠>=' 证明：设,x log y a =()()xlna1e log x 1x Δx 1log lim x 1Δx Δy lim x log y x Δx 1log x 1x Δx 1log Δx Δy ,x Δx 1log x log Δx x log Δy a Δxx a 0Δx 0Δx a Δxxa Δx1a a a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=='='∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=→→特别，当a ＝e 时，有 公式（6）x1(lnx)'=公式（7）0)(a lna,a )'(a xx>= 证明：设1),(a a a a.Δy a y Δx x x Δxx x -=-==+,xa a x y xx ∆-=∆∆∆1 令t ax=-∆1，则t),(1log Δx a +=又当△t →0时，有t →0，于是.a ln elog )t (log lim )t (log t lim x a lim a ta t ax x x ==+=+=∆-→→∆∆→∆111111000lna a ΔxΔylim)'(a y'x 0Δx x ===∴→特别，当a ＝e 时，有().ee )8(xx='公式例2 求().x'3规范解法 ().ln xx333='法则（1） 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）．即().v 'u v u '±='+()()()()均可导.x 、v x u ,x v x u 证明：设y ±= ()()[]()()[]()v u ΔxΔv lim Δx Δu lim Δx Δy lim v u .ΔxΔvΔx Δu Δx Δy Δv.Δu x v x u Δx x v Δx x u Δy Δy,Δv,相应的增量Δu,当x有增量Δx时，有0Δx 0Δx 0Δx '±'=±=='±∴+=+=±-+±+=→→→用同样的方法可将此结果推广到有限个函数代数和的导数情形．例3 求下面函数的导数.10x x x y )2(.e x sin x x y )1(37x 34+-+=++-=思路启迪 这两个函数都是由几个初等函数的代数和构成，求它们的导数只要利用和与差的求导法则及前面的导数公式即可得出正确的答案．规范解法 ()()()().e x c o s x xe x s i n x xy )(x x++-='+'+'-'='2334341()()()().x x x x x y )(1371022637-+='+'-'+'='法则（2）两个函数乘积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函乘以第二个函数的导数．即()'.uv u uv +'='υ证明：设y ＝uv ，u （x ）、v '（x ）均可导，当x 取增量△x （△x ≠0）时，有相应的增量△u 、△v 、△y ，于是在x 处()()()()()()()()()()()()()()()().,xvx u x x v x u x y v x u x x uv x v x u x x v x u x x v x u x x v x x u x v x u x x v x x u y ∆∆+∆+⋅∆∆=∆∆∆⋅+∆+∆=-∆++∆+-∆+∆+=-∆+∆+=∆ ()()()()()().v u v u Δx Δv lim x u Δx x v lim Δx Δu lim Δx Δy limuv 于是,x v υx x 0时，v ，于是当Δx 在点x可导，从而连续x 由于v 0Δx 0Δx 0Δx 0Δx '+'=++⋅=='→+→→→→→()().Cu Cu 0Cu u C Cu 时，C是常数C 特别v '='+='+'='=().Cu Cu 以函数的导数.即积的导数，等于常数乘的也就是说，常数与函数'='对于有限个函数的乘积的导数可类推．例如三个可导的函数u （x ），()x v 和()x w 的乘积的导数是：()'+'+'='uvw w uv vw u uvw例4 求函数.y x cos x y '=的导数3思路启迪 该函数是由两个基本初等函数3x 与cosx 的积所构成，而3x 与cosx 的导数（公式）我们知道，两个函数的积的求导法法则我们学过，因此只要能正确运用两个函数的积的求导法则与3x 和cosx 的求导公式，该题将迎刃而解．规范解法 由两个函数和积的求导法则得()()().x sin x x cos x x cos x x cos x x cos x y 323333-='+'='='例5 设.y ,xlnx sin x y '=求3思路启迪 本例与上例基本相同，所不同的是本函数是由三个函数的积所构成，因此只要正确运用积的求导法则及公式即可．()()()()().sin ln cos ln sin 3sin ln cos ln sin 3ln sin ln sin ln sin ln sin 22323333x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x xx x y ++=++='+'+'='='例6 当q与Ox轴相切.px x 三次抛物线y p、q满足何条件时，3++=思路启迪 要使抛物线0.y ，须使该点满足：y q在某点与Ox轴相切px x y 3='=++=规范解法 .p x y ,q px x y +='++=233求得由方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=+0.(2)q px x (1)0,p 3x 须满足必切，要使此曲线与Ox轴相32()().q p 3p 3p 式得：将(1)式代入(3)(3)q p x x 两端平方，则q,p x 由(2)式得x 2222222=⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅-=+-=+.,02q 3p 23即为所求的条件即=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛法则（3）两个可导函数之商的导数仍是一个商，这个商的分子等于原来的商的分子的导数乘以分母，再减去分子乘以分母的导数；它的分母是原来的商的分母的平方．即：().0,'2≠-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛v v uv v u v u ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()[]()()()()()()[]()()()()()[].x v x v x u x v x u Δv lim x v ΔxΔv lim x u x v Δx Δu lim Δx Δy lim y ，于是：在点x可导，从而连续x v ,x 因为u .x v Δv x u Δv x u x v Δu x v x u Δv x v Δu x u x v x u Δx x u Δx x u Δy Δv.x v Δx x v Δu,x u Δx x u 在x可导。
北京北京大学附属中学高考数学高考数学压轴题 导数及其应用多选题分类精编附解析
一、导数及其应用多选题1．已知函数()sin sin f x ax a x =-，[]0,2x π∈，其中ln 1a a ->，则下列说法中正确的是（ ）A ．若()f x 只有一个零点，则10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．若()f x 只有一个零点，则()0f x ≥恒成立C ．若()f x 只有两个零点，则31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．若()f x 有且只有一个极值点0x ，则()01312a a f x π+--<⋅恒成立【答案】ABD 【分析】利用()00f =以及零点存在定理推导出当1a >时，函数()f x 在[]0,2π上至少有两个零点，结合图象可知当01a <<时，函数()f x 在()0,2π上有且只有一个极值点，利用导数分析函数()f x 在()0,2π上的单调性，可判断A 选项的正误；利用A 选项中的结论可判断B 选项的正误；取12a =，解方程()0f x =可判断C 选项的正误；分析出当()f x 在()0,2π上只有一个极值点时，01a <<，分13a =、103a <<、113a <<三种情况讨论，结合sin x x <可判断D 选项的正误. 【详解】构造函数()ln 1g x x x =--，其中0x >，则()111x g x x x-'=-=. 当01x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，此时，函数()g x 单调递增. 所以，()()min 10g x g ==.ln 1a a ->，0a ∴>且1a ≠.()sin sin f x ax a x =-，则()00f =.当1a >时，sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，3333sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭，由零点存在定理可知，函数()f x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个零点， 所以，当1a >时，函数()f x 在区间[]0,2π上至少有两个零点， 所以，当函数()f x 在区间[]0,2π上只有一个零点时，01a <<.对于A 选项，当01a <<时，()()cos cos cos cos f x a ax a x a ax x '=-=-.01a <<，则022a ππ<<，022a ππ<<， cos 022a f a ππ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，()()()2cos2cos2cos210f a a a a ππππ'=-=-<， 由零点存在定理可知，函数()f x 在区间,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上至少有一个极值点， 令()0f x '=，可得cos cos ax x =，当()0,2x π∈时，02ax x π<<<，由()cos cos cos 2ax x x π==-，可得2ax x π=-，解得21x a π=+， 所以，函数()f x 在区间()0,2π上有且只有一个极值点21x a π=+. 作出函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间[]0,2π上的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间()0,2π上的图象有且只有一个交点，记该交点的横坐标为0x ，当00x x <<时，cos cos ax x >，此时()0f x '>； 当02x x π<<时，cos cos ax x <，此时()0f x '<.所以，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减. 所以，()()()0max 00f x f x f =>=，又()2sin 2f a ππ=.若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点，则()2sin 20f a ππ=>.01a <<，则022a ππ<<，所以，02a ππ<<，解得102a <<，A 选项正确；对于B 选项，若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点时，由A 选项可知，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减.()00f =，()2sin 20f a ππ=>，所以，对任意的[]0,2x π∈，()0f x ≥，B 选项正确；对于C 选项，取12a =，则()1sin sin sin sin cos sin 1cos 2222222x x x x x x f x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，02x π≤≤，则02x π≤≤，令()0f x =，可得sin 02x =或cos 12x=，可得02x =或2xπ=， 解得0x =或2x π=. 所以，当12a =时，函数()f x 有两个零点，C 选项错误； 对于D 选项，当1a >时，若02x π<<，则02ax a π<<，且22a ππ>，当()0,2x π∈时，令()0f x '=，可得出()()cos cos cos 2ax x k x k Z π==±∈，至少可得出2ax x π=-或2ax x π=+，即函数()f x 在区间()0,2π上至少有两个极值点，不合乎题意，所以，01a <<. 下面证明：当02x π<<时，sin x x <，构造函数()sin h x x x =-，其中02x π<<，则()1cos 0h x x '=->，所以，函数()sin h x x x =-在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，所以，()()00h x h >=，即sin x x <.分以下三种情况来证明()01312a a f x π+--<⋅恒成立.()()000cos cos 0f x a ax x '=-=，可得00cos cos ax x =，0002ax x π<<<，由00cos cos ax x =可得出002ax x π=-，所以，021x a π=+. 则()000sin sin 2sin ax x x π=-=-. ①当13a =时，032x π=，则()1sin sin 33x f x x =-，31342sin sin 223233f ππππ⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭，即()01312a a f x π+--<⋅成立；②当103a <<时，023,212x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， 则()()()0000002sin sin sin sin 1sin 1sin1f x ax a x x a x a x a a π=-=--=-+=-++ ()()()()22221sin 1sin 21sin 121111a a a a a a a a a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+<+⋅= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 1312a a π+--=⋅；③当113a <<时，023,12x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， ()()()()0000000sin sin sin sin 1sin 1sin f x ax a x x a x a x a x =-=--=-+=+-()()()()()()()01121sin 1sin 1sin 1111a a a x a a a a a a πππππ--⎛⎫=+-=+-=+<+⋅ ⎪+++⎝⎭()13112a a a ππ+--=-=.综上所述，当函数()f x 只有一个极值点0x 时，()01312a a f x π+--<恒成立. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.2．已知函数()21xx x f x e+-=，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 存在两个不同的零点 B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值C ．当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5f x e =，则t 的最小值为2【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】对于A ．2()010f x x x =⇒+-=，解得15x -±=，所以A 正确； 对于B ．22(1)(2)()x xx x x x f x e e--+-=-=-'， 当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >，所以(,1),(2,)-∞-+∞是函数的单调递减区间，(1,2)-是函数的单调递增区间， 所以(1)f -是函数的极小值，(2)f 是函数的极大值，所以B 正确．对于C ．当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是(1)f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；对于D ：由图象可知，t 的最大值是2，所以D 不正确． 故选：ABC. 【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是(2,)+∞是函数的单调递减区间，但当x →+∞时，0y →，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．3．已知函数()f x 对于任意x ∈R ，均满足()()2f x f x =-.当1x ≤时()ln ,01,0x x x f x e x <≤⎧=⎨≤⎩，若函数()()2g x m x f x =--，下列结论正确的为（ ）A ．若0m <，则()g x 恰有两个零点B ．若32m e <<，则()g x 有三个零点 C ．若302m <≤，则()g x 恰有四个零点 D ．不存在m 使得()g x 恰有四个零点 【答案】ABC 【分析】设()2h x m x =-，作出函数()g x 的图象，求出直线2y mx =-与曲线()ln 01y x x =<<相切以及直线2y mx =-过点()2,1A 时对应的实数m 的值，数形结合可判断各选项的正误. 【详解】由()()2f x f x =-可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称. 令()0g x =，即()2m x f x -=，作出函数()f x 的图象如下图所示：令()2h x m x =-，则函数()g x 的零点个数为函数()f x 、()h x 的图象的交点个数，()h x 的定义域为R ，且()()22h x m x m x h x -=--=-=，则函数()h x 为偶函数，且函数()h x 的图象恒过定点()0,2-，当函数()h x 的图象过点()2,1A 时，有()2221h m =-=，解得32m =. 过点()0,2-作函数()ln 01y x x =<<的图象的切线， 设切点为()00,ln x x ，对函数ln y x =求导得1y x'=，所以，函数ln y x =的图象在点()00,ln x x 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 切线过点()0,2-，所以，02ln 1x --=-，解得01x e=，则切线斜率为e ， 即当m e =时，函数()y h x =的图象与函数()ln 01y x x =<<的图象相切. 若函数()g x 恰有两个零点，由图可得0m ≤或m e =，A 选项正确； 若函数()g x 恰有三个零点，由图可得32m e <<，B 选项正确； 若函数()g x 恰有四个零点，由图可得302m <≤，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.4．函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点1x 、()212x x x <，则下列结论正确的是（ ） A ．230b ac ->B ．()f x 在区间()12,x x 上单调递减C ．若()10af x <，则()f x 只有一个零点D ．存在0x ，使得()()()1202f x f x f x +=【答案】ACD 【分析】利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误；取0a <，利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项的正误；分0a >、0a <两种情况讨论，分析函数()f x 的单调性，结合图象可判断C 选项的正误；计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称，可判断D 选项的正误. 【详解】()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.对于A 选项，由题意可知，关于x 的二次方程()23200ax bx c a ++=≠有两个不等的实根，则24120b ac ∆=->，可得230b ac ->，A 选项正确；对于B 选项，当0a <时，且当()12,x x x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 在区间()12,x x 上单调递增，B 选项错误；对于C 选项，当0a >时，由()0f x '>，可得1x x <或2x x >；由()0f x '<，可得12x x x <<.所以，函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递减区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10<f x ，此时，函数()f x 的极大值为()10<f x ，极小值为()2f x ，且()()210f x f x <<，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内； 当0a <时，由()0f x '<，可得1x x <或2x x >；由()0f x '>，可得12x x x <<. 所以，函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10f x >，此时，函数()f x 的极小值为()10f x >，极大值为()2f x ，且()()210f x f x >>，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内，C 选项正确； 对于D 选项，由题意可知，1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根， 由韦达定理可得1223bx x a +=-，123c x x a=， ()()()()()()()()3232f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()(322322322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣()()322223222a t tx b t x ct d =+++++，取3bt a=-，则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦32222223333b b b b a b c d fa a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称， 1223bx x a+=-，()()1223b f x f x f a ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，D 选项正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.5．设函数cos 2()2sin cos xf x x x=+，则（ ）A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】AD 【分析】先证明()f x 为周期函数，周期为π，从而A 正确，再利用辅助角公式可判断B 的正误，结合导数的符号可判断C D 的正误． 【详解】()f x 的定义域为R ，且cos 2()2sin cos xf x x x=+，()()()()cos 22cos 2()2sin cos 2sin cos x xf x f x x x x xππππ++===++++，故A 正确．又2cos 22cos 2()42sin cos 4sin 2x x f x x x x ==++，令2cos 24sin 2xy x=+，则()42cos 2sin 22y x y x x ϕ=-=+，其中cos ϕϕ==1≤即2415y ≤，故1515y -≤≤，当y =时，有1cos 4ϕϕ==，此时()cos 21x ϕ+=即2x k ϕπ=-，故max 15y =，故B 错误．()()()()()22222sin 24sin 22cos 2414sin 2()4sin 24sin 2x x x x f x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦'==++，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故D 正确． 当,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，1sin20x -<<，故314sin 21x -<+<， 因为2t x =为增函数且2,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，而14sin y t =+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，所以()14sin 2h x x =+在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数， 故14sin 20x +=在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭有唯一解0x ， 故当()0,0x x ∈时，()0h x >即()0f x '<，故()f x 在()0,0x 为减函数，故C 不正确． 故选：AD 【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．6．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数 D．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥， 因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点， 即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.7．某同学对函数()sin e e x xxf x -=-进行研究后，得出以下结论，其中正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于原点对称B ．对定义域中的任意实数x 的值，恒有()1f x <成立C ．函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等D ．对任意常数0m >，存在常数b a m >>，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减 【答案】BD 【分析】由函数奇偶性的定义即可判断选项A ；由函数的性质可知()sin 1x xx f x e e -=<-可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x x e e x --->，构造函数()sin 0x x h x e e x x -=-->，求导判断单调性，进而求得最值即可判断选项B ；函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()0，πk (k Z ∈，且)0k ≠，可判断选项C ；求导分析()0f x '≤时成立的情况，即可判断选项D. 【详解】对于选项A ：函数()sin e e x xxf x -=-的定义域为{}|0x x ≠，且()()sin sin x x x xx xf x f x e e e e ----===--，所以()f x 为偶函数，即函数()y f x =的图象关于y 轴对称，故A 选项错误； 对于选项B ：由A 选项可知()f x 为偶函数，所以当0x >时，0x x e e -->，所以()sin 1x xx f x e e -=<-，可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x xe e x --->，可设()sin 0x x h x e e x x -=-->，，()cos x x h x e e x -'=+±，因为2x x e e -+>，所以()cos 0x x h x e e x -±'=+>，所以()h x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00h x h >=，即()sin 1xxx f x e e-=<-恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()()00k k Z k π∈≠，，且，交点()0π-，与()0π，间的距离为2π，其余任意相邻两点的距离为π，故C 选项错误； 对于选项D ：()()()()2cos sin 0xx x x xxe e x e e xf x ee -----+-'=≤，可化为e x (cos x －sin x )()cos sin 0xex x --+≤，不等式两边同除以x e -得，()2cos sin cos sin x e x x x x -≤+，当()32244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈⎪⎝⎭，，cos sin 0x x -<，cos sin 0x x +>，区间长度为12π>，所以对于任意常数m >0，存在常数b >a >m ，32244a b k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，，， ()k Z ∈，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减，故D 选项正确；故选：BD 【点睛】思路点睛：利用导数研究函数()f x 的最值的步骤： ①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性； ③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.8．下列命题正确的有（ ）A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<<B ．34a b ==a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<；B 选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞故选：ACD 【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.9．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（ ）A ．10m e<<B ．21x x -的值随m 的增大而减小C ．101x <<D ．2x e >【答案】C 【分析】由()0f x =得出ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可判断B 选项的正误. 【详解】令()0f x =，可得ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，定义域为()0,∞+，()1ln xg x x-'=. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，()()max 1g x g e e==，如下图所示：由图象可知，当10m e <<时，直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点，A 选项正确；当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<.由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<； 函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-. 所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确. 故选：C. 【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．10．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．ff f <<D ．若()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，则2e k >【答案】ACD 【分析】求得函数的导数312ln ()-'=xf x x，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A 正确；根据函数的单调性和()10f =，且x >()0f x >，可判定B 不正确；由函数的单调性，得到f f >，再结合作差比较，得到f f >，可判定C 正确；分离参数得到()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立，令()2ln 1x g x x +=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数2ln ()x f x x=，可得312ln ()(0)xf x x x -'=>，令()0f x '=，即312ln 0xx-=，解得x =当0x <<()0f x '>，函数()f x 在上单调递增；当x >()0f x '<，函数()f x 在)+∞上单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，极大值为12f e=，所以A 正确； 由当1x =时，()10f =，因为()f x 在上单调递增，所以函数()f x 在上只有一个零点，当x >()0f x >，所以函数在)+∞上没有零点，综上可得函数在(0,)+∞只有一个零点，所以B 不正确；由函数()f x 在)+∞上单调递减，可得f f >，由于ln ln 2ln ,242f f ππ====，则2ln ln 2ln ln 22444f f ππππππ-=-=-，因为22ππ>，所以0f f ->，即f f >，所以ff f <<，所以C 正确；由()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，即()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立， 设()2ln 1x g x x +=，则()32ln 1x g x x --'=， 令()0g x '=，即32ln 10x x --=，解得x =所以当0x<<()0g x '>，函数()g x 在上单调递增； 当x>()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减， 所以当x=()g x 取得最大值，最大值为22e eg e =-=， 所以2ek >，所以D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测(答案解析)(1)
一、选择题1．定义在[0,)+∞的函数()f x ，对任意0x ≥，恒有()()f x f x '>，(1)f a e=，2(2)f b e=，则a 与b 的大小关系为（ ） A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．无法确定2．已知函数23()2ln (0)xf x x x a a=-+>，若函数()f x 在[]1,2上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(0,1]D ．[1,)+∞3．已知函数()()ln 1xxf x x e e -=-++，则使不等式()()12f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ） A ．()(),11,-∞-+∞B ．()2,1--C ．()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．()(),21,-∞-⋃+∞4．函数()cos f x x x =⋅的导函数为()f x '，则()f x 与()f x '在一个坐标系中的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()ln f x x ax =-，其中[)1+x ∈∞,，若不等式()0f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)1,+∞B ．1,1e⎛⎤-∞- ⎥⎦⎝C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)0,+∞6．已知函数()()()110ln x f x x x++=>，若()1kf x x >+恒成立，则整数k 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．57．已知函数()13log xf x e x =-,给出下列两个命题:命题:p 若01x ≥,则()03f x ≥;命题[)0:1,q x ∃∈+∞,()03f x =.则下列叙述错误的是( )A ．p 是假命题B ．p 的否命题是:若01x <,则()03f x <C ．[):1,q x ⌝∀∈+∞,()3f x ≠D ．q ⌝是真命题8．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 9．若函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．211[,)22e--+∞ B ．21[,)2e-+∞ C ．[2-，)+∞ D ．211(2,]22e--- 10．已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+（其中a R ∈）.对于不相等的实数12,x x ，设1212()()f x f x m x x -=-，1212()()g x g x n x x -=-.现有如下命题：（1）对于任意不相等的实数12,x x ，都有0m >；（2）对于任意的a 及任意不相等的实数12,x x ，都有0n >；（3）对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =；（4）对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =-.其中真命题的个数有（ ） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个11．若函数()(1)x f x x e a =--在(1,)-+∞上只有一个零点，则a 的取值范围为（ ） A ．21,e ⎛⎫--⎪⎝⎭B ．2{1},e ⎡⎫-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．2,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．2{1},0e ⎡⎫-⋃-⎪⎢⎣⎭12．已知函数()xx f x e e ax -=-+（a 为常数）有两个不同极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞B ．[)2,+∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞二、填空题13．已知函数()2ln(1)f x x ax =+-，对任意的(0,1),(0,1)m n ∈∈，当m n ≠时，(1)(1)1f m f n m n+-+<-，则实数a 的取值范围是____________.14．已知函数()f x 对定义域内R 内的任意x 都有()()4f x f x =-，且当2x ≠，其导数()f x '满足()()2xf x f x ''<，若()30f =，则不等式()0xf x >的解集为__________.15．若函数()()32f x x ax a R =--∈在(),0-∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,2-上的最小值为______.16．若a 是区间[]0,3e 上任意选取的一个实数，则x ea x>对()0,x ∈+∞恒成立的概率为______.17．若函数3y x ax =-+在[)1,+∞上是单调函数，则a 的最大值是______.18．已知函数()321f x x x =++，若对于x R ∀∈不等式()21xf ax e a -+≤恒成立，则实数a 的取值范围为：____________．19．已知函数18ln ,y a x x e e⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象上存在点P ，函数22y x =--的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于x 轴对称，则a 的取值范围为________.20．已知函数f (x )＝2,(,0],(0,)x x x e x +∈-∞⎧⎨∈+∞⎩，若存在x 1，x 2（x 2＞x 1）满足f （x 1）＝f（x 2），则x 2﹣2x 1的取值范围为_____. 三、解答题21．已知函数()xf x e ax a =--.（1）当1a =时，求过点()0,1-且与曲线()y f x =相切的直线方程; （2）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()()3f x alnx ax a R =--∈． （1）函数()f x 的单调区间；（2）当1a =-时，证明：当()1x ∈+∞，时，()20f x +>． 23．已知函数()e xaf x x =+，其中a R ∈，e 是自然对数的底数. （1）当1a =-时，求函数()f x 在区间[)0,+∞上的零点个数； （2）若()2f x >对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围.24．已知函数()(1)ln ()af x x a x a x=+-+∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，若()2f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 25．已知函数()ln f x kx x =-（k ∈R ）.（1）若函数()f x 在()()1,1f 处的切线与x 轴平行，求函数()f x 的单调区间； （2）讨论函数()f x 的零点个数.26．设函数33,().()2,x x x af x a R x x a⎧-=∈⎨->⎩ （1）若0a =，则()f x 的最大值为；（2）若()f x 无最大值，则求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】构造函数()()x f x g x e =，对其求导得''()()()xf x f xg x e -=，由()()f x f x '>，可得'()0g x <，从而可得()g x 在[0,)+∞上单调递减，进而可比较出a 与b 的大小【详解】解：令()()x f x g x e =，则''()()()xf x f xg x e -=，因为()()f x f x '>，所以'()0g x <， 所以()g x 在[0,)+∞上单调递减， 因为12<，所以(1)(2)g g >，即2(1)(2)f f e e>，所以a b >， 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查数学转化思想，解题的关键是构造函数()()x f x g x e=，然后求导后可判断出()g x 在[0,)+∞上单调递减，从而可比较出a 与b 的大小，属于中档题解析：D 【分析】求出()'f x 由()0f x '≤得314x a x ≤-，令1()4g x x x=-，判断出()g x 的单调性并利用单调性可得()g x 的最小值可得答案. 【详解】31()4(0)f x x x a x'=-+>，因为函数()f x 在[]1,2上单调递减， 所以3140x a x -+≤，即314x a x≤-， 令1()4g x x x =-，由于114,y x y x==-在[]1,2都是增函数， 所以1()4g x x x=-在[]1,2单调递增，所以()(1)3g x g ≤=， 所以33a ≤，又0a >，解得1a ≥. 故选：D. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性求参数的范围问题，关键点是令1()4g x x x=-并求出最小值，考查了学生分析问题、解决问题的能力.3．D解析：D 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，从而可得关于x 的不等式，求出其解后可得正确的选项. 【详解】()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞，且()()()ln 1x x f x x e e f x --=--++=，又当1x >时，()()ln 1xxf x x e e -=-++，()11001x x f x e e e x e-'=+->+->-，故()f x 在()1,+∞为增函数， 故()()12f x f x +<即为11211112121x xx x x x ⎧<+<⎪+-+⎨⎪-⎩或或，解得2x <-或1x >，故选：D. 【点睛】方法点睛：解函数不等式，往往需要考虑函数的奇偶性和单调性，前者依据定义，后者可利用导数，注意定义域的要求.解析：A 【分析】分析函数()f x 、()f x '的奇偶性，以及2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭、()f π'的符号，利用排除法可得出合适的选项. 【详解】函数()cos f x x x =的定义域为R ，()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-， 即函数()cos f x x x =为奇函数，()cos sin f x x x x '=-，函数()f x '的定义域为R ，()()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x ''-=-+-=-=，函数()f x '为偶函数，排除B 、C 选项；22f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()1f π'=-，则()02f f ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭''.对于D 选项，图中的偶函数为()f x '，由02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()0f π'<与题图不符，D 选项错误， 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.5．C解析：C 【分析】不等式()0f x ≤恒成立等价于ln xa x ≥在[)1,+∞上恒成立，则maxln x a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，运用导数求出函数ln xx在[)1,+∞上的最大值. 【详解】解：当[)1+x ∈∞,时，不等式()0f x ≤恒成立等价于ln xa x≥在[)1,+∞上恒成立， 令ln ()xg x x=，则21ln ()x g x x -'=当0x e <<时，()0g x '>；当x e >时，()0g x '<； 所以max 1()()g x g e e==，所以1a e ≥故选：C. 【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.6．B解析：B 【分析】 将不等式化为()()111ln x x k x +++>，令()()()111ln x g x xx ++=+，求出导函数，利用导数判断函数的单调性，从而可得()02,3x ∃∈使()00g x '=，进而可得()()001()g x x x g ≥=+，即求.【详解】()()()1ln 10x f x x x ++=>， ()1k f x x ∴>+可化为()111ln x k x x ++>+ 即()()111ln x x k x+++>， 令()()()111ln x g x xx ++=+， 则()()()()21ln 11111x x x x ln x g x x +++---++⎡⎤⎣⎦'= ()211x ln x x --+=令()()11h x x ln x =--+， 则()111h x x '=-+，()0,x ∈+∞时， ()0h x '>，()g x '∴在()0,∞+单调递增.又()()1ln 32ln 420,30,49g g --''=<=>()02,3x ∃∈使()00g x '=，即()0011ln x x +=-.当()00,x x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x g x '>单调递增，()()000001ln 1))1(()(1x x g x x x x g +∴≥==+++， ()02,3x ∈，()013,4x +∴∈，∴正整数k 的最大值为3.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了导数研究不等式恒成立问题，解题的关键根据函数的单调性确定存在()02,3x ∈，使得()00g x '=，考查了分离参数法求范围.7．D解析：D 【分析】分析函数()13log xf x e x =-为增函数，若01x ≥，求出[)1,x ∈+∞时函数的值域，结合命题间的基本关系即可得答案. 【详解】由函数的解析式可得函数的定义域为： ()0,∞+, 且导函数()10ln 3xf x e x '+=>， 则函数单调递增，结合()1131log 1e f e =-=， 可得当1≥x 时，函数的值域为[),e +∞.据此可知p 是假命题， q 是真命题， q ⌝是假命题. 结合全称命题与特称命题的关系可得：p 的否命题是：若01x <,则()03f x <.[):1,q x ⌝∀∈+∞，()3f x ≠故选：D 【点睛】本题通过考查函数的单调性和极值来考查命题间的基本关系，属于中档型综合题.8．C解析：C【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x 123a--=，x 2=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f ′（x 1）＝0，∴12，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜． 综上可得：53-＜a 34-＜． 故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：1、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；2、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；9．A解析：A 【分析】由x a >时，()21f x x =--递减，且无最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，求出x a 时，()f x 的导数和单调区间、极大值，讨论2a <-，判断单调性，可得最大值，解不等式判断无解，则2a -，求出最大值，解不等式即可得到所求a 的范围. 【详解】解：由x a >时，()21f x x =--递减，可得()21f x a <--，无最大值，函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，由()(1)x f x x e =-+的导数为()(2)xf x x e '=-+，可得2x >-时，()0f x '<，()f x 递减；2x <-时，()0f x '>，()f x 递增. 即有()f x 在2x =-处取得极大值，且为最大值2e -.若2a <-，则()f x 在(-∞，]a 递增，可得()()f x f a (1)a a e =-+， 由题意可得(1)21aa e a -+≥--，即得(1)210aa e a +--≤， 令(1))1(2aa e g a a +--=，则()(2)20ag a a e '=+-<，(2)a <-， 则()g a 在(),2-∞-递减，可得2(2)0()3g a g e ->-=-+>，则不等式(1)210aa e a +--≤无实数解.故2a -，此时在2x =-处()f x 取得最大值，为2e --，故221e a ----， 解得21122a e--， 综上可得，a 的范围是211[22e--，)+∞. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的最值问题，考查转化思想，以及分类讨论思想方法，注意运用导数，求出单调区间和极值､最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题.10．B解析：B 【分析】运用指数函数的单调性，即可判断（1）；由二次函数的单调性，即可判断（2）； 通过函数2()2x h x x ax =+-，求出导数判断单调性，即可判断（3）； 通过函数2()2x h x x ax =++，求出导数判断单调性，即可判断（4）． 【详解】解：对于（1），由于21>，由指数函数的单调性可得()f x 在R 上递增，即有0m >，则（1）正确；对于（2），由二次函数的单调性可得()g x 在(,)2a -∞-递减，在(2a-，)+∞递增，则0n >不恒成立，则（2）错误；对于（3），由m n =，可得1212()()()()f x f x g x g x -=-，即为1122()()()()g x f x g x f x -=-，考查函数2()2x h x x ax =+-，()222x h x x a ln '=+-，当a →-∞，()h x '小于0，()h x 单调递减，则（3）错误；对于（4），由m n =-，可得1212()()[()()]f x f x g x g x -=--，考查函数2()2x h x x ax =++，()222x h x x a ln '=++，对于任意的a ，()h x '不恒大于0或小于0，则（4）正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键，属于中档题．11．B解析：B 【分析】先对函数求导，可得当10x -<<时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>，从而得min ()(0)1f x f a ==--，而x →+∞时，()f x →+∞，所以要函数()(1)x f x x e a =--在(1,)-+∞上只有一个零点，只要满足10a --=或20a e--，从而可求出a 的取值范围 【详解】()x f x xe '=，当10x -<<时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．从而min ()(0)1f x f a ==--，又2(1)f a e-=--，且x →+∞时，()f x →+∞， ∴10a --=或20a e --， 即1a =-或2a e-． 故选：B 【点睛】此题考查由导数解决函数零点问题，考查转化思想和计算能力，属于中档题12．C解析：C 【分析】由导数与极值的关系知可转化为方程()0f x '=在R 上有两个不等根，结合函数的性质可求. 【详解】函数有两个不同极值点，()0x x f x e e a -'∴=--+=有2个不等的实数根,即x x a e e -=+有2个不等的实数根， 令()xxg x e e-=+，则()xxg x e e '-=-在R 上单调递增且(0)0g '=，当0?x <时 ()0,()g x g x '<单调递减，当0 x >时，()0,()'>g x g x 单调递增， 所以函数有极小值也是最小值(0)2g =，又当x →-∞时，()g x →+∞，x →+∞，()g x →+∞， 所以2a >即可， 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，转化思想，属于中档题.二、填空题13．【分析】把不等式恒成立转化为函数的导数小于1在内恒成立进而转化为在内恒成立结合函数的性质即可求解【详解】由题意分式的几何意义为：表示点与连线的斜率因为实数在区间内故和在区间内不等式恒成立所以函数图象解析：1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】 把不等式(1)(1)1f m f n m n+-+<-恒成立，转化为函数()f x 的导数小于1在(1,2)内恒成立，进而转化为()121a x ->+在(1,2)内恒成立，结合函数的性质，即可求解.【详解】由题意，分式(1)(1)f m f n m n+-+-的几何意义为：表示点(1,(1))m f m ++与(1,(1))n f n ++连线的斜率，因为实数,m n 在区间(0,1)内，故1m + 和1n +在区间(1,2)内， 不等式(1)(1)1f m f n m n+-+<-恒成立，所以函数图象上在区间(1,2)内任意两点连线的斜率小于1，故函数()2ln(1)f x x ax =+-的导数小于1在(1,2)内恒成立， 由函数()2ln(1)f x x ax =+-满足10x +>，即定义域为(1,)-+∞，即()2111f x ax x '=-<+在(1,2)内恒成立，即()121a x ->+在(1,2)内恒成立， 设函数()()121g x x -=+，根据函数的单调性可知函数()()121g x x -=+在(1,2)上是单调增函数，可得()()126g x g <=-，所以16a ≥-，故答案为：1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.14．【分析】由可得对称轴是由可得从而得出判断的单调区间再结合即可得不等式的解集【详解】因为函数对定义域内内的任意都有所以对称轴是因为满足即所以当时单调递增当时单调递减又因为所以时时时当与同号时所以的解集 解析：()(),01,3-∞⋃【分析】由()()4f x f x =-，可得()f x 对称轴是2x =，由()()2xf x f x ''<可得()()20x f x '-<，从而得出判断()f x 的单调区间，再结合()30f =，即可得不等式()0xf x >的解集.【详解】因为函数()f x 对定义域内R 内的任意x 都有()()4f x f x =-， 所以()f x 对称轴是2x =，因为()f x '满足()()2xf x f x ''<，即()()20x f x '-<， 所以当2x <时()0f x '>，()f x 单调递增， 当2x >时()0f x '<，()f x 单调递减， 又因为()()130f f ==，所以1x <时，()0f x <，13,x <<时，()0f x >，3x >时，()0f x <， 当x 与()f x 同号时，()0xf x >， 所以()0xf x >的解集为：()(),01,3-∞⋃， 故答案为：()(),01,3-∞⋃ 【点睛】本题主要考查了函数的对称性和单调性，导数的符号决定原函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.15．【分析】利用导数分析函数在区间上的单调性根据该函数在区间上有且只有一个零点求得参数的值进而利用导数可求得函数在区间上的最小值【详解】则①当时对任意的恒成立此时函数在区间上单调递增且不合乎题意；②当时 解析：4-【分析】利用导数分析函数()y f x =在区间(),0-∞上的单调性，根据该函数在区间(),0-∞上有且只有一个零点求得参数a 的值，进而利用导数可求得函数()y f x =在区间[]1,2-上的最小值. 【详解】()32f x x ax =--，则()23f x x a '=-.①当0a ≤时，对任意的(),0x ∈-∞，()0f x '>恒成立，此时，函数()y f x =在区间(),0-∞上单调递增，且()()020f x f <=-<，不合乎题意；②当0a >时，令()230f x x a '=-=，可得x =x =当x <()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增；当0x <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减.所以，()max 20f x f ⎛=== ⎝，解得3a =，()332f x x x ∴=--. ()()()233311f x x x x '=-=-+，当11x -<<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减； 当12x <<时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.因此，函数()y f x =在1x =处取得极小值，亦即最小值，故()()min 14f x f ==-. 故答案为：4-. 【点睛】本题考查利用导数求解函数在区间上的最值，同时也考查了利用导数研究函数的零点，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】由对恒成立可知只要小于的最小值所以构造函数利用导数求出从而得然后利用区间长度比求出概率即可【详解】设则当时；当时在递减在递增∴∴当时对恒成立故所求概率为故答案为：【点睛】此题考查的是几何概型解析：13【分析】由x e a x >对()0,x ∈+∞恒成立，可知只要a 小于xe x的最小值，所以构造函数()xe f x x=，利用导数求出()()min 1f x f e ==，从而得()0,a e ∈，然后利用区间长度比求出概率即可. 【详解】设()x e f x x =，则()()'21x e x f x x-=，0x >.当01x <<时，()'0f x <；当1x >时，()'0f x >，()f x 在()0,1递减，在()1,+∞递增∴()()min 1f x f e ==，∴当a e <时，xe a x>对()0,x ∈+∞恒成立.故所求概率为1303e e =-. 故答案为：13【点睛】此题考查的是几何概型，不等式恒成立问题，属于基础题.17．3【分析】首先求解导函数然后利用导函数研究函数的性质确定实数a 的最大值即可【详解】由题意可得：由题意导函数在区间上的函数值要么恒非负要么恒非正很明显函数值不可能恒非负故即在区间上恒成立据此可得：即的解析：3 【分析】首先求解导函数，然后利用导函数研究函数的性质确定实数a 的最大值即可. 【详解】由题意可得：2'3y x a =-+，由题意导函数在区间[)1,+∞上的函数值要么恒非负，要么恒非正，很明显函数值不可能恒非负，故230x a -+≤， 即23a x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，据此可得：3a ≤， 即a 的最大值是3. 故答案为3． 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【分析】根据在R 上递增结合将不等式恒成立转化为恒成立然后分和两种情况利用导数法求解【详解】因为所以成立所以在R 上递增又成立所以恒成立即恒成立当时转化为恒成立令当时单调递减当时单调递增所以当时求得最小解析：10a e≤≤【分析】根据()f x 在R 上递增，结合()01f =，将x R ∀∈不等式()21xf ax e a -+≤恒成立，转化为()2xa x e +≤ ，x R ∀∈恒成立，然后分20x +≤和20x +>两种情况，利用导数法求解. 【详解】因为()321f x x x =++，所以()2320f x x '=+>成立，所以()f x 在R 上递增，又()()01,21xf f ax e a =-+≤x R ∀∈成立，所以20x ax e a -+≤，x R ∀∈ 恒成立，即()2xa x e +≤，x R ∀∈恒成立， 当20x +>时，转化为2xe a x ≤+恒成立，令()2xg x e x =+，()()()212x x e g x x +'=+，当21x -<<-时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以当1x =-时，()g x 求得最小值min 1()(1)g x g e=-=， 所以1a e≤， 当20x +≤时，转化为2xe a x ≥+恒成立，(),(,2)a g x x ≥∈-∞-上恒成立，(,2)x ∈-∞-时，()0,()g x g x '<单调递减，又(,2),()0x g x ∈-∞-<，所以0a ≥不等式恒成立， 综上：实数a 的取值范围为10a e≤≤ 故答案为：10a e≤≤ 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立，还考查了转化化归的思想，分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题.19．【分析】设代入解析式得到两个方程联立可得让取值域即可【详解】设则所以联立可得即对于有解令由可得：；由可得：所以在单调递减在上单调递增所以所以值域为即可得的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查了利解析：2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【分析】设()00,Q x y 、()00,P x y -代入解析式，得到两个方程联立可得2008ln 2a x x =-+，2000()8ln 2h x x x =-+，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，让a 取0()h x 值域即可.【详解】设()00,Q x y 、则()00,P x y -所以2002y x =--，008ln y a x -=+，联立可得2008ln 2a x x =-+ 即2008ln 2a x x =-+对于1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解，令2000()8ln 2h x x x =-+，200000288()2x h x x x x -'=-=，由0()0h x '>可得：2x e <<；由0()0h x '<可得：12x e<<， 所以0()h x 在1,2e⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在[]2,e 上单调递增，20min ()(2)28ln 2268ln 2h x h ==-+=-，2211118ln 210h e e e e ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()228ln 26h e e e e =-+=-，所以0max 21()10h x e=+， 所以0()h x 值域为2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， 即可得a 的取值范围为2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， 故答案为：2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了利用导数解决存在性问题，涉及求函数的值域，属于中档题.20．ln22）【分析】用表示出得出关于的函数根据的范围判断函数单调性得出值域即可【详解】显然由题意可知故由可得故设则在上单调递减又故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值意在考查学生解析：[ln 2，2） 【分析】用2x 表示出1x ，得出212x x -关于2x 的函数2()g x ，根据2x 的范围，判断函数单调性得出值域即可． 【详解】显然10x ，20x >，由题意可知212x x e +=，故212x x e =-，2212224x x x x e ∴-=-+，由2121x x e +=>可得110x -<，故2120x e -<-，202x ln ∴<， 设()24(02)x g x x e x ln =-+<，则()120x g x e '=-<，()g x ∴在(0，2]ln 上单调递减， 又(0)2g =，(2)2g ln ln =， 2()2ln g x ∴<．故答案为：[2ln ，2)． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题21．（1）()110e x y ---=；（2）01a ≤≤. 【分析】（1）设切点坐标，求出导数及切线方程，把()0,1-代入切线方程可得0x ，然后再求出切线方程；（2）求出导函数，对a 进行讨论并判断函数的单调性，利用函数的最小值可得答案. 【详解】（1）当1a =时，点()0,1-不在函数图象上，()1xf x e '=-，设切点为()000, xx e ax a --，则切线方程为()()()0000xy e ax a f x x x '---=-，因为过点()0,1-，所以0000()111x xe x e x --++=--，解得01x =，因此所求的直线方程为()110e x y ---=. （2）()xf x e a '=-，当0a ≤时，()'0f x >， 所以在R 上单调递增，其中0a =，()0xf x e =>，符合题意，当0a <时，取110ax a-=<，()1110x f x e =-<，不符合题意； 当0a >时，()()n 0,,l x a f x '∈-∞<， 所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，()()ln ,,0x a f x '∈+∞>，所以()f x 在()ln ,a +∞上单调递增， 所以()()ln f x f a ≥，要使()0f x ≥，只需()ln 0f a ≥，()ln ln ln 0af a e a a a =--≥，解得01a <≤； 综上所述，01a ≤≤. 【点睛】本题考查求函数过一点的切线方程和求参数问题，对于求切线的问题时需要讨论此点是否是切点；对于求参数问题，有时可采用对原函数进行求导讨论其单调性和最值方法求解，也可以采用对参数实行分离的方法，构造新函数并求新函数的值域可得解. 22．（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求导()()1'(0)a x f x x x-=>，0a >，0a <，0a =讨论，令()'0f x >求解.（2）结合（1）将问题转化为()min 2f x >-求解. 【详解】（1）根据题意知，()()1'(0)a x f x x x-=>，当0a >时，当()01x ∈，时，()'0f x >，当()1x ∈+∞，时，()'0f x <， 所以()f x 的单调递增区间为()01，，单调递减区间为()1+∞，； 同理，当0a <时，()f x 的单调递增区间为()1+∞，，单调递减区间为()01，；当0a =时，()3f x =-，不是单调函数，无单调区间． （2）证明：当1a =-时，()ln 3f x x x =-+-， 所以12f ，由（1）知()ln 3f x x x =-+-在()1+∞，上单调递增， 所以当()1x ∈+∞，时，()()1f x f >． 即()2f x >-，所以()20f x +>． 【点睛】方法点睛：利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h (x )>0，其中一个重要技巧就是找到函数h (x )在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口． 23．（1）有1个零点；（2）(,)e +∞. 【分析】（1）求导得到函数的单调性，再利用零点存在性定理得解； （2）分离参变量，不等式恒成立转化为求函数的最值得解. 【详解】（1）当1a =-时，()1ex f x x =-， 则()110ex f x =+>'， ∴()f x 在[)0,+∞上单调递增， 又(0)10f =-<，1(1)10ef =->， 故0(0,1)x ∃∈，使得()00f x =， ∴函数()f x 在区间[0,)+∞上有1个零点； （2）若()2f x >对任意的实数x 恒成立， 即e (2)xa x >-恒成立，令()e (2)xg x x =-，则()e (1)xg x x '=-， 令()0g x '>，得1x <； 令()0g x '<，得1x >.∴()g x 在(,1)-∞上递增，在(1,)+∞上递减， ∴max [()](1)e g x g ==， ∴a 的取值范围为(e,)+∞. 【点睛】 方法点睛：不等式恒成立问题解决思路：一般参变量分离、转化为最值问题. 24．（1）答案见解析；（2）1a e ≤≤． 【分析】（1）求出导函数()'f x ，分类讨论确定()0f x '>的解得增区间，同时可由()0f x '<得减区间；（2）由（1）得()f x 的最小值为()f a ，解不等式()2f a ≥可得．【详解】（1）函数定义域为(0,)+∞， 由题意221(1)()()1a a x x a f x x x x -+-'=+-=， 当0a ≤时，在0x >时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a >时，()0f x '>的解为x a >，()0f x '<的解为0x a <<，()f x 在(,)a +∞上递增，在(0,)a 上递减．（2）由（1）知0a >时，()f x 在(,)a +∞上递增，在(0,)a 上递减．所以min ()()(1)ln 1f x f a a a a ==+-+，()2f x ≥恒成立，则(1)ln 12a a a +-+≥， 即(1)(ln 1)0a a --≤，由于01a <≤时，ln 0≤a ，不等式(1)(ln 1)0a a --≤不成立，所以1ln 1a a ≥⎧⎨≤⎩，解得1a e ≤≤． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，研究不等式恒成立问题．一般地()f x m ≥恒成立等价于min ()f x m ≥，()f x m ≤恒成立，等价于max ()f x m ≤，然后解不等式可得参数范围．或者用分离参数法转化为()k g x ≤（其中k 不参数），则min ()k g x ≤，若()k g x ≥，则max ()x g x ≥．25．（1）函数()f x 的单调递增区间是()1,+∞，单调递减区间是()0,1；（2）当1k e >时，函数()f x 没有零点；当1k e =或0k ≤时，函数()f x 有1个零点；当1k e <<0时，函数()f x 有2个零点.【分析】（1）由题得()10f '=，进而得1k =，再根据导数求解单调区间即可；（2）根据题意将问题转化为函数()ln g x x =与y kx =的交点个数问题，再讨论过原点的函数()ln g x x =的切线方程的斜率，进而求解.【详解】解：（1）因为函数()f x 在()()1,1f 处的切线与x 轴平行，()1'f x k x =-， 所以()10f '=，即10k -=，求得1k =，所以()ln f x x x =-，()111x f x x x-'=-=（0x >），令()'0f x >，则1x >；令()'0f x <，则01x <<，∴函数()f x 的单调递增区间是()1,+∞，单调递减区间是()0,1.（2）函数()f x 的零点个数可等价于函数()ln g x x =与y kx =的交点个数.设()00,P x y 是函数()ln g x x =上的一点，由()ln g x x =得，()1g x x '=， ∴()g x 在点()00,P x y 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 令0x y ==则0x e =，∴过原点所作的函数()ln g x x =的切线方程为1y x e =， 故由图可知，故当1k e >时，函数()f x 没有零点； 当1k e=或0k ≤时，函数()f x 有1个零点； 当1k e <<0时，函数()f x 有2个零点. 【点睛】本题第二问解题的关键在于根据题意将问题转化为函数()ln g x x =与y kx =的交点个数问题，再讨论过原点的函数()ln g x x =的切线方程的斜率，数形结合即可求解.考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.26．（1）2；（2）(,1)-∞-.【分析】（1）将0a =代入，求出函数的导数，分析函数的单调性可得当1x =-时，()f x 有最大值2；（2）若()f x 无最大值，则3123a a a a ≤-⎧⎨->-⎩或312322a a a a a >-⎧⎪->-⎨⎪->⎩，解得可得答案. 【详解】（1）若0a =，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-=⎨->⎩，所以233,0()2,0x x f x x ⎧-=⎨->⎩'， 当1x <-时，()0f x '>，此时函数为单调递增函数，当1x >-时，()0f x '<，此时函数为单调递减函数，故当1x =-时()f x 有最大值为2 .（2）233,()2,x x a f x x a⎧-=⎨->'⎩，令()0f x '=，则1x =±，若()f x 无最大值，则 3123a a a a ≤-⎧⎨->-⎩ ① 或312322a a a a a >-⎧⎪->-⎨⎪->⎩②， 由①得(,1)a ∈-∞-，由②得无解，所以(,1)a ∈-∞-.故答案为：2；(,1)-∞-.【点睛】分段函数在高考中的常见题型有：已知分段函数求值、已知分段函数求值域、已知分段函数求不等式解集、已知分段函数求参数取值范围等，分段函数问题要注意分类讨论，涉及分段函数的单调性、奇偶性、周期性等问题，要善于利用数形结合的思想解决问题.。
北京高考导数复习知识点
导数综合复习一、 高考要求二、 知识点梳理1.导数的有关概念（1）导数：如果当 0→∆x 时，xy∆∆有极限，就说函数)(x f y =在0x x =处可导，并把这个极限叫做)(x f 在0x x =处的导数.记作)(0'x f ，即xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim)(00000'.（2）导函数：如果函数)(x f 在开区间),(b a 内每一点都可导，其导数值在),(b a 内构成一个新的函数，叫考试内容 要求层次 A B C 导数概念及其几何意义 导数的概念 √ 导数的几何意义√导数的运算 根据导数定义求函数)的导数√导数的四则运算√ 简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)）的导数 √ 导数公式表√导数在研究函数中的应用 利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）√函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次） √ 利用导数解决某些实际问题√ 定积分与微积分基本定理定积分的概念 √ 微积分基本定理√做)(x f 在区间),(b a 内的导函数，记作)('x f 或'y . 2.导数的几何意义几何意义：函数 )(x f 在0x 处的导数值就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率. 3.常见函数的导数1．0='C 2．1)(-='n nnx x3．x x cos )(sin =' 4．x x sin )(cos -='5．xxe e =')( 6．1(ln )x x'= 7．a a ax xln )(=' 8．ax e x x a a ln 1log 1)(log ==' 4.导数的四则运算（1）和差：()u v u v '''±=±（2）积：v u v u uv '+'=')(（3）商： 2)(v v u v u v u '-'=')0(≠v 5.复合函数的导数运算法则:[])(x u f y =的导数为'''x u u y y •=. 6.利用导数的符号判断函数的单调性（1）导数的单调性)(x f 在区间),(b a 内可导，若)('x f 在),(b a 的任意子区间内都不恒等于0，则 )(0)('x f x f ⇒≥在),(b a 上单调递增. )(0)('x f x f⇒≤在),(b a 上单调递减.7.函数的极值（1）设函数)(x f 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(f )(0x x f =极大值；如果对0x 附近的所有点都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(f )(0x x f =极小值.（2）判断)(0x f 是极值的方法一般地，当函数)(x f 在0x x =处连续时，如果在0x 附近左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极小值. 如果在0x 附近左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值.8.函数的最值（1） 在闭区间[]b a ,上的连续函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值.（2）设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，先求)(x f 在),(b a 内的极值；再将各极值与)(a f ，)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.9.定积分概念：如果函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，用分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 将区间[]b a ,等分成n 个小区间，在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点),3,2,1(n i i =ε作和式)()(11i ni ni i f nab x f εε∑∑==-=∆，当∞→n 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分. 10.微积分基本定理：一般地，如果)(x f 在区间[]b a ,上连续，并且)()('x f x F =，那么⎰-=baa Fb F dx x f )()()(，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿-莱布尼茨公式. 11.常见求定积分公式： 1. ⎰=ba b a C Cx Cdx 是常数）(| 2. )1|111-≠+=+⎰n x n dx x ba n ba n（ 3. ⎰-=bab a x xdx |cos sin 4. ⎰=baba x xdx |sin cos5.⎰=baba x dx x|ln 1 6. ⎰=b a b a x x e dx e |。
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北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑(一)学科：数学教学内容：导数与微分经点答疑（一）【学法旨要】1．本章的学习目标是什么？（1）掌握导数的定义，灵活运用导数的定义计算函数在某一点的导数．（2）掌握函数在某点的可导性与连续性的关系，即函数在某点可导必连续，连续不一定可导，不连续一定不可导．（3）掌握求导法则，尤其是复合函数的求导法则；能熟练地应用求导法则与基本公式求初等函数的导数；会求隐函数和参数方程所确定的函数的导数；并熟练地计算某些简单的初等函数的高阶导数．（4）理解中值定理特别是拉格朗日中值定理，初步具有应用中值定理论证问题的能力．（5）能熟练地运用洛必达法则准确地计算各种不定式的极限．（6）理解泰勒公式的意义，能熟练地写出泰勒公式与马克劳林公式．2．学好本章知识的关键是什么？由于导数是从许多的实际问题中抽象出来的一个数学概念，所以要知道导数的构造性定义，正确理解导数概念；知道导数是一种特殊类型的极限，即函数f（x）在点«Skip Record If...»处的函数的增量«Skip Record If...»与相应的自变量的增量«Skip Record If...»的比值«Skip Record If...»当自变量的增量△x→0时的极限值．复合函数的求导是本章的重点，同时也是难点，熟练掌握和运用复合函数的求导法则对学好本章的知识具有重要作用．复合函数求导的关键在于搞清复合函数的结构，明确复合次数，把一个初等函数由外向内分解成基本初等函数，以便利用导数公式（基本初等函数的导数）．在求导过程中，比如，函数«Skip Record If...»可看作y＝f（u）«Skip Record If...»几个基本初等函数复合而成，顺次先将最外层的f关于u求导，再将次外层的«Skip Record If...»关于«Skip Record If...»求导，后将第三层的«Skip Record If...»关于t求导，即逐次由外向内关于相应的中间变量求导，直至最内层的函数g关于自量x求导为止，并把这些所求得的导数顺次相乘即得．【经点答疑】1．怎样理解导数概念？在生产实践和科学实验中，常常需要研究函数相对于自变量的变化快慢程度．例如，要预报人造地球卫星飞过各大城市的时间，就需要知道卫星的飞行速度；要研究轴和梁的弯曲变形问题，就必须会求曲线的切线斜率等等．求速度和曲线的切线斜率问题，叫做求变化率问题，数学上称为求导数．下面，我们将从几个实际问题入手，引入导数的概念．引例1 求变速直线运动的瞬时速度．解设有一质点M在直线AB上自O点开始作直线运动（如图3-1）．经过时间t后，该质点离O点的距离是t的函数s＝s（t）．求质点M在时刻«Skip Record If...»的瞬时速度．设在«Skip Record If...»到«Skip Record If...»一段时间内距离从«Skip Record If...»变到«Skip Record If...»，在△t这段时间内质点M所走的距离为«Skip Record If...»因此在△t时间内，质点M的平均速度为«Skip Record If...»若质点作等速运动，平均速度«Skip Record If...»就是质点M在时刻«Skip Record If...»的瞬时速度«Skip Record If...»．若质点M的运动是变速的，则«Skip Record If...»一般不会正好是«Skip Record If...»的瞬时速度，但△t愈小，«Skip Record If...»就愈接近«Skip Record If...»的瞬时速度，所以当△t→0时，«Skip Record If...»就可较精确的表示出时刻«Skip Record If...»的瞬时速度．因此，我们用极限«Skip Record If...»来定义质点M在时刻«Skip Record If...»的瞬时速度．瞬时速度v反映了路程函数s（t）相对时间t变化的快慢程度，称为函数s(t)对于自变量t的变化率．引例2切线的斜率．解如图3-2，求曲线y＝f（x）在其上一点«Skip Record If...»处的切线PT 的斜率．点P处的切线不是孤立的概念，它与已知的割线联系着．在曲线上任意另取一点Q，设它的坐标是«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»，则过点«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的割线斜率«Skip Record If...»（即△y对△x的平均变化率）是«Skip Record If...»当△x变化时，即点Q在曲线上变化时，割线PQ的斜率«Skip Record If...»也随之变化．当|△x|较小时，取割线PQ的斜率«Skip Record If...»作为点P的切线斜率的近似值．当|△x|越小，这个近似程度也就越好．于是，当△x无限趋于0时，即点Q沿着曲线无限趋于P时，割线PQ的极限位置就是曲线过点P的切线，同时，割线PQ的斜率«Skip Record If...»的极限k就是曲线过点P的切线斜率（即y＝f（x）在点«Skip Record If...»处变化率）即«Skip Record If...»这样就把求曲线在点P处的斜率问题转化成求上面的极限问题．引例3 求电流强度．解设电流通过导线的横截面的电量是Q（t）,它是时间t的函数，求任一时刻«Skip Record If...»的电流强度．我们知道，在直流电路中，电流强度是单位时间内通过导线横截面的电量，即«Skip Record If...»在交流电路中，电流大小是随时间而改变的，不能直接按上述公式求时刻«Skip Record If...»的电流强度．我们可通过以下方法得到：设在«Skip Record If...»到«Skip Record If...»一段时间内通过导线的电量是«Skip Record If...»«Skip Record If...»易知，△t取得越小，«Skip Record If...»就越接近时刻«Skip Record If...»的电流强度I．若当△t→0时，«Skip Record If...»的极限存在，则平均电流强度«Skip Record If...»的极限就是时刻«Skip Record If...»的电流强度．因此，我们定义：«Skip Record If...»．这样，我们又把求瞬时电流强度问题归结为求上面的极限问题．通过以上三个实际问题，我们可以看到，虽然三个问题的实际意义完全不同，但解决实际问题的数学结构是完全相同的，即只从数学结构来考虑，它们可归结为（完全相同的数学结构）函数f（x）在某点«Skip Record If...»处函数的增量«Skip Record If...»与相应的自变量的增量△x（△x≠0）的比值当自变量△x无限趋于0时的极限．即«Skip Record If...»．在实际问题中，还有许多其他的问题也可归结为上面的极限来解决．我们把这些问题中出现的共同的数学结构抽象出来，就是我们的导数的概念，即导数是从这些实际问题中抽象出来的一个数学概念．设函数y＝f（x）在点«Skip Record If...»的某邻域内有定义，当自变量有增量△x（△x≠0）时（△x可正可负）函数有相应增量«Skip Record If...»．若极限«Skip Record If...»存在，则称函数f（x）在点«Skip Record If...»可导，并称该极限值为函数f（x）在点«Skip Record If...»（对x）的导数，记作«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»也可记作«Skip Record If...»若上面的极限不存在，则称函数f（x）在点«Skip Record If...»不可导．有时，我们把«Skip Record If...»记作x，于是«Skip Record If...»，当△x→0时，有«Skip Record If...»,则上面的极限可改为«Skip Record If...»导数定义的这两种表示法，在以后的应用中都要用到．引入了导数概念之后，上面开始的三个引例都可用导数来描述，即要求质点在时刻«Skip Record If...»的瞬时速度，只要求出路程函数s（t）在«Skip Record If...»的导数即可；要求曲线y＝f（x）在点«Skip Record If...»处的切线斜率，只要求出函数f（x）在点«Skip Record If...»处的导数即可；要求时刻«Skip Record If...»的电流强度，只要求出电量函数Q（t）在«Skip Record If...»的导数即为所求时刻«Skip Record If...»的电流强度．很明显，函数增量与自变量增量之比«Skip Record If...»是函数在以«Skip Record If...»和«Skip Record If...»为端点的区间上的平均变化率，而导数«Skip Record If...»则是函数y＝f（x）在点«Skip Record If...»处的变化率，它反映了函数f（x）在点«Skip Record If...»处随自变量的变化而变化的快慢程度．[注：从导数的定义中可以看出，导数实质上就是一种特殊的极限值，即函数f（x）在点«Skip Record If...»处函数的增量«Skip Record If...»与相应的自变量的增量△t（△x≠0）的比值«Skip Record If...»，当自变量的增量△x无限趋于0时的极限«Skip Record If...»但极限值并不一定是导数，如«Skip Record If...»．] 若只讨论函数在点«Skip Record If...»的左邻域（或右邻域）上的变化率，我们需引入单侧导数的概念．«Skip Record If...»«Skip Record If...»存在，则称f（x）在点«Skip Record If...»右可导，并称该极限为f（x）在点«Skip Record If...»的右导数，记作«Skip Record If...»若极限«Skip Record If...»不存在，则称f（x）在点«Skip Record If...»右不可导．«Skip Record If...»右导数与左导数统称为单侧导数．由左、右极限与极限的关系，我们很容易得到函数f（x）在点«Skip Record If...»可导的充要条件是f（x）在点«Skip Record If...»既是左可导又是右可导且左、右导数相等．即«Skip Record If...»由导数的定义可知，要用定义求y＝f（x）的导数«Skip Record If...»，可以分为以下三个步骤：«Skip Record If...»«Skip Record If...»利用导数定义求导数的难点是有一些比值«Skip Record If...»的解析式不便于取极限，还需将其变形或化简，使极限«Skip Record If...»成为已知极限的形式，以便于计算．例1求函数«Skip Record If...»在点x＝3的导数．思路启迪利用导数定义求函数的某点的导数时，应先求出当自变量在某点有增量△x（△x≠0）时对应的函数的增量△y,然后计算△y与△x的比值的极限．规范解法 «Skip Record If...»«Skip Record If...»（2）算比值．«Skip Record If...»（3）取极限．«Skip Record If...»点评求函数在某点«Skip Record If...»处的导数，首先应判断函数在点«Skip Record If...»处是否可导，即极限«Skip Record If...»是否存在且有限．若极限存在且有限，则函数在该点可导，此时，极限即为所求的导数；若极限不存在或极限为∞则函数在该点不可导．例2证明函数f（x）＝|x|在点x＝0处不可导．思路启迪首先要求函数f（x）在点x＝0处的左、右导数是否存在，若都存在且相等，则f（x）在x＝0处的可导，若至少有一个单侧导数不存在，或两两个单侧导数都存在但不相等，则函数f（x）在点x＝0处不可导．规范证法 «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»点评判别分段函数在分段点处的导数是否存在时，由于在分段点的两侧函数的表达式不相同，故函数的增量△y的结构在分段点的两侧也不相同，此时不能直接计算极限«Skip Record If...»，而应首先分别判断f（x）在分段点的两个单侧导数是否存在，即首先判断极限«Skip Record If...»与极限«Skip Record If...»的存在性，并由此而确定函数在分断点的可导性．例3 «Skip Record If...»思路启迪已知«Skip Record If...»存在，也即是极限«Skip Record If...»存在且等于«Skip Record If...»，只要紧扣导数的定义，并把等式中的左端化成f （x）在点«Skip Record If...»处的导数的结构，该题的证明将容易得到．规范证法«Skip Record If...»点评在导数的结构（定义）«Skip Record If...»中，函数的增量«Skip Record If...»与自变量的增量△x是相应的，即自变量有增量△x时，相应的函数的增量是«Skip Record If...»，而在上面第二个极限中，函数的增量«Skip Record If...»所对应的自变量的增量是－△x（而非△x），这一点是至关重要的．因此应该有（易知△x→0时，－△x→0）．«Skip Record If...»例4证明：若函数f（x）与g（x）当x＝0时等于零，并且存在导数，且«Skip Record If...»则«Skip Record If...»思路启迪由已知条件，我们有«Skip Record If...»，又«Skip Record If...»与«Skip Record If...»存在且«Skip Record If...»，故上面分式当«Skip Record If...»时分子与分母的极限存在且分母的极限不为零．于是由极限的四则运算即可给出证明．规范证法由已知有«Skip Record If...»«Skip Record If...»例5设«Skip Record If...»思路启迪直接利用导数的定义和正弦函数«Skip Record If...»规范解法 «Skip Record If...»«Skip Record If...»例6 设«Skip Record If...»思路启迪求«Skip Record If...»，即是求极限«Skip Record If...»即«Skip Record If...»，注意到函数«Skip Record If...»在x＝a处是连续的，即«Skip Record If...»，即可得出结果．规范解法 «Skip Record If...»«Skip Record If...»例7 «Skip Record If...»此函数在点a没有导数．思路启迪这里f（x）是一个分段函数，点a是f（x）的分段点，讨论分段点的可导性，需要利用函数在某点的可导性与该点的两个单侧导数的存在性的关系．规范证法取△x≠0，«Skip Record If...»«Skip Record If...»例8 设«Skip Record If...»为了使函数f（x）于点«Skip Record If...»处连续而且可导，应当如何选取系数a和b？思路启迪由于«Skip Record If...»是分段函数f（x）的分段点，要使分段函数在分段点处连续且可导，须考虑使如下等式成立：规范解法 «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»。