最新北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑(一)

北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑(一)

学科：数学

教学内容：导数与微分经点答疑（一）

【学法旨要】

1．本章的学习目标是什么？

（1）掌握导数的定义，灵活运用导数的定义计算函数在某一点的导数．（2）掌握函数在某点的可导性与连续性的关系，即函数在某点可导必连续，连续不一定可导，不连续一定不可导．

（3）掌握求导法则，尤其是复合函数的求导法则；能熟练地应用求导法则与基本公式求初等函数的导数；会求隐函数和参数方程所确定的函数的导数；并熟练地计算某些简单的初等函数的高阶导数．

（4）理解中值定理特别是拉格朗日中值定理，初步具有应用中值定理论证问题的能力．

（5）能熟练地运用洛必达法则准确地计算各种不定式的极限．

（6）理解泰勒公式的意义，能熟练地写出泰勒公式与马克劳林公式．

2．学好本章知识的关键是什么？

由于导数是从许多的实际问题中抽象出来的一个数学概念，所以要知道导数的构造性定义，正确理解导数概念；知道导数是一种特殊类型的极限，即函数f（x）在点«Skip Record If...»处的函数的增量«Skip Record If...»与相应的自变量的增量«Skip Record If...»的比值

«Skip Record If...»

当自变量的增量△x→0时的极限值．

复合函数的求导是本章的重点，同时也是难点，熟练掌握和运用复合函数的求导法则对学好本章的知识具有重要作用．复合函数求导的关键在于搞清复合函数的结构，明确复合次数，把一个初等函数由外向内分解成基本初等函数，以便利用导数公式（基本初等函数的导数）．在求导过程中，比如，函数«Skip Record If...»可看作y＝f（u）«Skip Record If...»几个基本初等函数复合而成，顺次先将最外层的f关于u求导，再将次外层的«Skip Record If...»关于

«Skip Record If...»求导，后将第三层的«Skip Record If...»关于t求导，即逐次由外向内关于相应的中间变量求导，直至最内层的函数g关于自量x求导为止，并把这些所求得的导数顺次相乘即得．

【经点答疑】

1．怎样理解导数概念？

在生产实践和科学实验中，常常需要研究函数相对于自变量的变化快慢程度．例如，要预报人造地球卫星飞过各大城市的时间，就需要知道卫星的飞行速度；要研究轴和梁的弯曲变形问题，就必须会求曲线的切线斜率等等．求速度和曲线的切线斜率问题，叫做求变化率问题，数学上称为求导数．下面，我们将从几个实际问题入手，引入导数的概念．

引例1 求变速直线运动的瞬时速度．

解设有一质点M在直线AB上自O点开始作直线运动（如图3-1）．经过时间t后，该质点离O点的距离是t的函数s＝s（t）．求质点M在时刻«Skip Record If...»的瞬时速度．

设在«Skip Record If...»到«Skip Record If...»一段时间内距离从«Skip Record If...»变到«Skip Record If...»，在△t这段时间内质点M所走的距离为«Skip Record If...»

因此在△t时间内，质点M的平均速度为

«Skip Record If...»

若质点作等速运动，平均速度«Skip Record If...»就是质点M在时刻«Skip Record If...»的瞬时速度«Skip Record If...»．若质点M的运动是变速的，则«Skip Record If...»一般不会正好是«Skip Record If...»的瞬时速度，但△t愈小，«Skip Record If...»就愈接近«Skip Record If...»的瞬时速度，所以当△t→0时，«Skip Record If...»就可较精确的表示出时刻«Skip Record If...»的瞬时速度．因此，我们用极限

«Skip Record If...»

来定义质点M在时刻«Skip Record If...»的瞬时速度．

瞬时速度v反映了路程函数s（t）相对时间t变化的快慢程度，称为函数s(t)对于自变量t的变化率．

引例2切线的斜率．

解如图3-2，求曲线y＝f（x）在其上一点«Skip Record If...»处的切线PT 的斜率．

点P处的切线不是孤立的概念，它与已知的割线联系着．在曲线上任意另取一点Q，设它的坐标是«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»，则过点

«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的割线斜率«Skip Record If...»（即△y对△x的平均变化率）是

«Skip Record If...»

当△x变化时，即点Q在曲线上变化时，割线PQ的斜率«Skip Record If...»也随之变化．当|△x|较小时，取割线PQ的斜率«Skip Record If...»作为点P的切线斜率的近似值．当|△x|越小，这个近似程度也就越好．于是，当△x无限趋于0时，即点Q沿着曲线无限趋于P时，割线PQ的极限位置就是曲线过点P的切线，同时，割线PQ的斜率«Skip Record If...»的极限k就是曲线过点P的切线斜率（即y＝f（x）在点«Skip Record If...»处变化率）即

«Skip Record If...»

这样就把求曲线在点P处的斜率问题转化成求上面的极限问题．

引例3 求电流强度．

解设电流通过导线的横截面的电量是Q（t）,它是时间t的函数，求任一时刻«Skip Record If...»的电流强度．

我们知道，在直流电路中，电流强度是单位时间内通过导线横截面的电量，即

«Skip Record If...»

在交流电路中，电流大小是随时间而改变的，不能直接按上述公式求时刻«Skip Record If...»的电流强度．我们可通过以下方法得到：

设在«Skip Record If...»到«Skip Record If...»一段时间内通过导线的电量是«Skip Record If...»

«Skip Record If...»

易知，△t取得越小，«Skip Record If...»就越接近时刻«Skip Record If...»的电流强度I．若当△t→0时，«Skip Record If...»的极限存在，则平均电流强度«Skip Record If...»的极限就是时刻«Skip Record If...»的电流强度．因此，我们定义：

«Skip Record If...»．

这样，我们又把求瞬时电流强度问题归结为求上面的极限问题．

通过以上三个实际问题，我们可以看到，虽然三个问题的实际意义完全不同，但解决实际问题的数学结构是完全相同的，即只从数学结构来考虑，它们可归结为（完全相同的数学结构）函数f（x）在某点«Skip Record If...»处函数的增量«Skip Record If...»与相应的自变量的增量△x（△x≠0）的比值当自变量△x无限趋于0时的极限．即

«Skip Record If...»．

在实际问题中，还有许多其他的问题也可归结为上面的极限来解决．我们把这些问题中出现的共同的数学结构抽象出来，就是我们的导数的概念，即导数是从这些实际问题中抽象出来的一个数学概念．