高等数学：第6章 第一节、定积分的元素法

上的窄曲边梯形的面积，则
y
A A，并取A f ( x)dx，
面 积 元 素
dA
y f (x)
于是 A f ( x)dx
o a x x dxb x
b
A lim f ( x)dx a f ( x)dx.
当所求量U 符合下列条件：
（1）U 是与一个变量 x的变化区间a, b有关的量； （2）U 对于区间 a, b 具有可加性， 就是说，如果把区间 a, b 分成许多部分区间，
上作定积分，得
U
b
a
f
( x)dx，
即为所求量 U 的积分表达式.
这个方法通常叫做定积分的元素法．
应用方向：
（１）平面图形的面积；体积；平面曲线的 弧长；
（２） 功；水压力；引力等．
则U 相应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之和； （3）每个部分量 U i 的近似值可表示为 f (i )xi ；
就可以考虑用定积分来表达这个量U
而将Ｕ 表示为定积分则须用元素法
元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x
为积分变量，并确定它的变化区间[a, b]；
2）设想把区间 [a, b] 分成 n 个小区间， 取其中任一小区间并记为 [ x, x dx]，
第一节 定积分的元素法
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
y
y f (x)
oa
bx
A
b
a
f
(
x)dx
面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间[a, b]分成 n个长度为xi 的小区间， 相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，
n
第i 个小窄曲边梯形的面积为Ai ，则 A Ai .
（1）大化小
i 1
（2）计算Ai 的近似值
Ai f (i )xi i xi （2）常代变
n
（3） 求和，得A的近似值 A f (i )xi . （3）近似和 i 1
（4） 求极限，得A的精确值 （4）取极限
n
A
lim
0
i 1
f (i )xi
b
f ( x)dx
a
若用A 表示任一小区间 [ x, x x]
求出相应于这小区间的部分量 U 的近似值.
如果 U 能近似地表示为 [a, b]上的一个Fra Baidu bibliotek续函数 在 x处的值 f ( x)与dx 的乘积，
就把 f ( x)dx 称为量U 的元素且记作 的 dU，
即
dU f ( x)dx；
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，
在区间
[a, b]