高等数学：第6章 第一节、定积分的元素法
定积分的元素法
平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长，功，
水压力等．
5
A
y=ƒ(x)
D H
B
o a
E
F x x+Δx
b x
求曲边梯形 AabB 的面积 A 的方法为:
(1) 在[a , b]上任取一个小区间[x , x + dx],并求出总量 A 的
微分dA = ƒ(x)dx ; (面积元素(微元))
(2) 以微分表达式 ƒ(x)dx为被积表达式,在[a , b]上作定积分 (面积元素(微元)进行求和累加)
在区间 [a, b]的任一个子区间[x, x+Δx] 上， 部分量ΔU≈f (x)Δx．
4
二
定积分的元素法
设 U 是可用定积分表达的量，则计算量 U 的步骤为： • 选择函数 f(x)，并确定自变量 x 的变化区间[a, b]; • 在[a, b]内考虑小区间[x, x+dx]，求出相应于这个小 区间的部分量ΔU的近似值 f(x)dx。称f(x)dx为量U的 元素，记为dU= f(x)dx． • 计算 U=a f ( x )dx 应用方向：
A dA f ( x )dx
a a
3
bU具有以下特点： 量U与函数 f(x)及x的变化区间 [a, b]有 关．
若 f(x)≡常数，则 U= f(x)(b－a)．
量U对区间具有可加性。即：把[a,b]分成若干部
分区间， 则 U相应地被分成了许多部分量之和．
第六章 定积分的应用
基本要求
1 掌握用定积分来求一些几何量和物理量的方法(元素法) 2 会建立一些简单的几何量与物理量的积分表达式 (如面积，体积，弧长、功、水压力等)
1
§6.1 定积分的元素法
定积分的元素法平面图形的面积PPT课件
1
第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法 第二节 平面图形的面积 第三节 体积 第四节 平面曲线的弧长 第五节 功 水压力和引力 第六节 平均值
2
第一节 定积分的元素法
求由 x a, x b, y 0 和 y f ( x) 所围成的曲边梯形的
x 1( y)
y dy
x 2( y)
y
A
d c
2
(
y
)
1
(
y
)dy
c
x穿出 x穿入
Y型
x
8
例１计算由 y2 x , y x2
解 解方程组
y2 x
y
x2
所围成的图形的面积。
y
(1,1) 1
得抛物线的两个交点 (0,0)和 (1,1)
取x为积分变量，积分区间为 0,1,
P(r, ) y
x
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
x2 y2 a2
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos r 2a cos r 2 2a r cos x 2 y 2 2ax
20
二. 极坐标情形
之间，一般没有一一对应的关系。
但若规定r 0,0 2 ，除极点O外，平面上的点与极坐标
之间就一一对应了。
在通常情况下,我们规定: r 0 ，而极角可以取任意实数。
17
2．极坐标方程
曲线上点的极坐标 r 与 之间的关系可以用式 r r 表示， 称 r r 为曲线的极坐标方程。
大学高等数学6-1定积分的元素法精品PPT课件
2
2
2
例 3 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)的全长.
x a cos3 t
解
星形线的参数方程为
y
a
sin3
t
(0 t 2)
根据对称性 s 4s1
y
4 2 x2 y2dt 0
4 2 3a sin t cos tdt 0
a
3
四、旋转体的体积和表面积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、
直线 x a 、 x b及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x ，
y
y f (x)
A
b
a
f
(
x)dx
y f1( x)
o a xx b x 曲边梯形的面积
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
例 1 计算由两条抛物线 y2 x 和 y x2 所围成的
图形的面积.
解 两曲线的交点
(0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x [0,1]
x y2 y x2
面积元素 dA ( x x2 )dx
如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法” 思想.
例 1 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电
荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷
放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场
§6.1定积分的元素法§6.2几何应用(面积、体积)(2015)
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( )2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2
x
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结束
例4. 计算阿基米德螺线 到 2 所围图形面积 .
解:
A
2
0
1 (a )2 d
2
02
y
ox
R x
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结束
微分的几何意义与切线段的长度
dy f (x)dx
y y f (x)
y
ds dy dx
o
x
x
切线段的长度
x dx
此直角三角形称为： 微分三角形
ds (d x)2 (d y)2 1 f 2 (x)dx （弧微分公式）
曲线 y f (x) C[a,b], s b 1 f 2 (x)dx.
4 3 a2
3
对应 从 0 变
2 a
o
x
d
例5. 计算心形线
所围图形的面积 .
解:
1 (1 cos )2 d
2
2
2
1 (3cos
)2
d
2
3
5.
4
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与圆
(
3
,
(利用对称性)
)
23
d
o
2x
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结束
二、体积
１．平行截面面积为已知函数的立体体积
§6 定积分的应用
§6.1 定积分的元素法（微元法） §6.2 几何应用 §6.3 物理应用
6-1定积分的元素法59653
二、小结
元素法的提出、思想、步骤.
（注意微元法的本质）
思考题
微元法的实质是什么？
terima Kasih
得力马卡系
3） 以 所 求 量 U 的 元 素 f(x)d为 x被 积 表 达 式 ， 在
区 间 [a,b]上 作 定 积 分 ， 得 U a bf(x)d， x
即 为 所 求 量 U 的 积 分 表 达 式 .
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
元素法的一般步骤：
1 ） 根 据 问 题 的 具 体 情 况 ， 选 取 一 个 变 量 例 如 x 为 积 分 变 量 ， 并 确 定 它 的 变 化 区 间 [ a ,b ] ；
2）设想把区间[a,b]分成n个小区间，取其中任 一小区间并记为[x,xdx]，求出相应于这小区 间的部分量U的近似值.如果U能近似地表示 为[a,b]上的一个连续函数在x处的值f(x)与 dx 的乘积，就把f(x)dx称为量U的元素且记作 dU，即dU f(x)dx；
高等数学(上册)第六章
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第二节 定积分在几何中的应用
例 计算心形线
面积 .
解
1 a2 (1 cos )2 d
2
a2
π 0
4
cos 4
2
d
令
t
2
π
8a2 2 cos4t dt 0
8a2 3 1 π 4 22
3 πa2 2
所围图形的
(利用对称性)
d
2a x
第二节 定积分在几何中的应用
心形线(外摆线的一种)
x2 y2 ax a x2 y2
即 r a(1 cos )
参数的几何意义
y
点击图中任意点
动画开始或暂停
oa
• 尖点: (0, 0)
x
• 面积:
3 2
πa2
• 弧长: 8a
第二节 定积分在几何中的应用
例 计算心形线
c yd
h 2 (x) 1(x) h 2 ( y) 1( y)
第二节 定积分在几何中的应用
例 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形
的面积 .
解由
得交点
(2, 2) , (8, 4)
y yd y
y
y2 2x
(8, 4)
此平面图形为Y—型 则有
观察X-型或Y-型
3） 固定一点,过此点作平行于y轴的平行线,
如果平行线与边界线的交点超过三个以上， 则要划分区域，使划分后的区域为X型
练习：求由 x y2 , x y 2 所围成的面积
第二节 定积分在几何中的应用
2. 极坐标情形
定积分的元素法,平面图形的面积ppt课件
面积A须经过以下四个步骤：
（1）分割: 把 a,b 分成n个小区间， 设第i个小曲边梯形的
面积为 Ai , 则：
n
A Ai i 1
（2）近似替代：
y
y f (x)
Ai f ( i )xi ( xi1 i xi );
n
（3）求和： A f ( i )xi
oa
i 1
n
（4）取极限：A lim 0 i 1
Oa
y f (x)
A
dx
x x dx
b
x
b
（3）写出A的积分表达式，即：A f ( x)dx a
5
一般地，如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件：
（1）U是与一个变量x的变化区间[a，b]有关的量； （2）U对于区间[a，b]具有可加性；
（3）部分量 Ui的近似值可表为 f i xi 那么这个量就
可以用积分来表示。 具体步骤是：
（1）确定积分变量，和它的变化区间[a,b]； （2）写出积分元素
U dU f xdx
（3）写出 U 的积分表达式，即：
b
U a f ( x)dx
6
第二节 平面图形的面积
一、直角坐标情形
A
b
a
(
x)
(
x)dx
y
oa
( x)
(x)
x x dx b x
二、极坐标情形
L1
X型：
oa
b
b
b
a y出 y入 dx a y出dx a y入 dx
x x dx b x
2
2
2
t 2
t
dt
1 1
1
t 1 t dt
高等数学教案章节题目第六章、定积分的应用§6-1定积分的元素法
高等数学教案§6-1 定积分的元素法一、 再论曲边梯形面积计算设f x ()在区间],[b a 上连续，且0)(≥x f ，求以曲线y f x =()为曲边，底为],[b a 的曲边梯形的面积A 。
1．化整为零用任意一组分点 b x x x x x a n i i =<<<<<<=- 110将区间分成n 个小区间[,]x x i i -1，其长度为),,2,1(1n i x x x i i i =-=∆-并记 },,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ相应地，曲边梯形被划分成n个窄曲边梯形，第i个窄曲边梯形的面积记为ni A i ,,2,1, =∆。
于是 ∑=∆=ni iA A 12．以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值 ),,2,1(],[)(1n i x x x f A i i i i i i =∈∀∆≈∆-ξξ 3．积零为整，给出“整”的近似值 ∑=∆≈ni iixf A 1)(ξ4．取极限，使近似值向精确值转化⎰∑=∆==→bani iidx x f x f A )()(lim1ξλ上述做法蕴含有如下两个实质性的问题：（1）若将],[b a 分成部分区间),,2,1(],[1n i x x i i =-，则A 相应地分成部分量),,2,1(n i A i =∆，而∑=∆=ni i A A 1这表明：所求量A 对于区间],[b a 具有可加性。
(2)用i i x f ∆)(ξ近似i A ∆，误差应是i x ∆的高阶无穷小。
只有这样，和式∑=∆ni iixf 1)(ξ的极限方才是精确值A 。
故关键是确定))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A ∆=∆-∆∆≈∆ξξ通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。
二、元素法1．能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件 (1) U 与变量x 的变化区间],[b a 有关； (2) U 对于区间],[b a 具有可加性；(3) U 部分量i U ∆可近似地表示成i i x f ∆⋅)(ξ。
S6-1定积分的元素法
n
S f ( i )xi
i 1
.
分法越细，越接近精确值
o
a x1 x2
xi i xi1
x xn1 b
.
曲边梯形的面积的回顾
f (i) y
oa
x x i i i 1 .
元素法
y=f (x)
1 大化小（分割） 2 常代变（近似）
Si f ( i )xi
3 近似和（求和）
分法越细，越接近精确值
4 取极限
x b
令分法无限变细
n
S =
记
lim
i 1
f
(
i
.). x
i
.
b
f ( x) dx
a
一、什么问题可以用微元分析法（定积分）解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某函数 f (x) 有关的 一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
n
S f ( i )xi i 1
分法越细，越接近精确值
4 取极限
x b
令分法无限变细
.. .
曲边梯形的面积的回顾
f (i) y
S
oa
x x i பைடு நூலகம் i 1 .
元素法
y=f (x)
1 大化小（分割） 2 常代变（近似）
Si f ( i )xi
3 近似和（求和）
n
S f ( i )xi i 1
表示为
定积分定义
二 、如何应用微元分析法（定积分）解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
高数第六章第一节元素法
U i ≈ f ( ξ i ) x i
可以用定积分来表示。 则 U 可以用定积分来表示。
二 、如何应用定积分解决问题 ?
元素法的一般步骤： 元素法的一般步骤：
1）选取一个变量（如 x 或 y）为积分变量，确定 ）选取一个变量（ ）为积分变量， 它的变化区间[a , b]；
ξi
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结束
3) 近似和 i )xi
i=1 i=1
n
n
4) 取极限 令 取极限.
则曲边梯形面积
A = lim ∑Ai
λ→0 i=1
n
n
y
= lim ∑ f (ξi )xi
λ→0 i=1
o a x1
xi1 xi
ξi
机动
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结束
说明: 说明
(1)既然， n个小区间可以任意地分 ，给它等分，其宽度用 dx 既然， 给它等分， 统一表示。 统一表示。每个小区间 [ x i 1 , x i ]可统一表示为 [x, x + dx ]. 面
x 轴与两条直线 x = a 、
y = f ( x)
x = b 所围成。 所围成。 b A = ∫a f ( x)dx
o a
b x
面积表示为定积分的步骤如下 : 1) 大化小 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 大化小.
a = x0 < x1 < x2 <L< xn1 < xn = b 用直线 x = xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
( 2 )既然，每个小区间上的 既然， 现在统一取 ξ i = x.
高等数学第六版(同济版)第六章复习资料
第六章定积分的应用引入：前面学习了定积分的理论，这一章要应用这些理论来分析和解决一些实际问题中出现的量.用定积分计算这些量，必须把它们表示成定积分，先介绍将所求量表示成定积分的方法——元素法第一节定积分的元素法我们先用定积分的引例——曲边梯形的面积，引出元素以及元素法的概念：一、元素及元素法 1.元素：由连续曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积为：.(由微分知识得) 为面积元素或面积微元,记为 2.元素法：用元素法将所求量表示成定积分的方法，称为元素法. 由此可知，曲边梯形的面积是将面积微元累加得到的下面我们通过曲边梯形的面积来总结出实际问题中所求的量能用定积分表示的条件：二、用元素法将所求量能表示成定积分的条件：(设所求量为) 1．量与变量的所在区间有关; 2．量对于区间具有可加性；3．量的部分量有近似值，即. 三、用元素法将所求量能表示成定积分的步骤： 1．由实际情况选一变量如为积分变量，确定该其变化区间.2．分为个小区间，取其中一个小区间，计算其上的部分量，的所求量的一个元素 3．以为被积表达式，在注：元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等内容小结：本节介绍了元素法以及用元素法将所求量表示成定积分的方法与步骤第二节定积分在几何上的应用一、平面图形的面积 1.直角坐标情形:曲线与直线及轴所围成的曲边梯形面积为，因为面积元素为 2.参数方程情形：若曲线的参数方程为，且满足 (1). , (2). 在或上具有连续导数，且连续，则由曲线所围成的曲边图形的面积为：3.极坐标情形：设曲线的极坐标方程为，且在上连续，则由曲线与射线以及所围成图形的面积为 . 由于当在上变动时，极径来计算. 推导：①.取极角为积分变量，②.在上任取一小区间，其上的曲边扇形面积的近似值：③. . 为被积表达式，在上作定积分，得曲边扇形的面积公式：例1. 计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积 2y解：首先确定图形的范围，由得交点、，y取为积分变量，由于面积元素，所以所求面积为 . 注： . 例2. 计算抛物线与直线所围图形的面积解：由得交点、，若取为积分变量，则有 . 若取为积分变量，则有 . 例3. 求椭圆所围图形的面积解：由于椭圆关于两个坐标轴对称，设椭圆在第一象限所围成的面积为，则所求面积为设，当时，，当时，，且，于是 . 例4.计算阿基米德螺线对应从变到所围图形面积. 解：由题可知，积分变量，于是所求面积为例5.计算心形线所围图形的面积解：心形线所围成的图形关于极轴对称,设极轴上半部分图形的面积为，则心形线所围成的图形面积为.取极角为积分变量，，于是 . 二、体积 1．旋转体的体积： (1).旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体，该直线称为旋转轴注：圆柱体、圆台、球体等都是旋转体，它们都可以看做是由连续曲线与直线以及轴围成的曲边梯形绕轴旋转一周所围成的立体 (2).旋转体的体积：①．由曲线与直线、以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体的体积：推导：取为积分变量，，在上任取一小区间轴旋转而成的薄层的体积近似等于以为底面半径、以为高的扁圆柱体的体积，即体积元素为，以为被积表达式，在上作定积分即得所求旋转体的体积：②．由曲线与直线、以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体的体积：例6.连接坐标原点及点的直线、直线及轴围成一个直角三角形，将它绕轴旋转构成一个底半径为、高为的圆锥体，求其体积解：过及的直线方程为： . 取为积分变量，，则所求旋转体的体积为例7.计算由椭圆所围成的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积解：该旋转椭球体可看做是由半椭圆与轴所围成的绕轴旋转而成的立体，半椭圆方程为： . 取为积分变量，，则所求立体体积为例8.计算由摆线，相应于的一拱，直线所围成的图形分别绕轴、轴旋转而成的旋转体的体积解：记摆线绕轴旋转而成的旋转体的体积为，取为积分变量，，则记摆线绕轴旋转而成的旋转体的体积为，取为积分变量，，则. 2．平行截面面积为已知的立体的体积：设一非旋转体的立体介于过点、且垂直于轴的两个平面之间，该立体过轴上的点且垂直于轴的截面面积为，则该立体的体积为：推导：若为连续函数且已知，取为积分变量，,在，其上的薄层的体积近似等于底面积为、高为的扁圆柱体的体积，积元素：，以为被积表达式，在上作定积分，得所求立体的体积公式：例9.一平面经过半径为的圆柱体的底圆的中心，并与底面交成角，计算着平面截圆柱体所得立体的体积解：取该平面与圆柱体的底面的交线为轴，底面上过圆中心且垂直于轴的直线为轴，则底面圆方程为：，该立体中过轴上的点且垂直于轴的截面是一个直角三角形，两直角边分别为和即和，从而截面面积为，于是所求体积为例4.求以半径为的圆为底、以平行且等于底圆直径的线段为顶、高为的正劈锥体的体积解：取底面圆所在的平面为平面，圆心为原点，并使轴与正劈锥体的顶平行，底面圆方程为：，过轴上的点作垂直于轴的平面截正劈锥体得等腰三角形，截面面积为，于是，所求正劈锥体的体积为三、平面曲线的弧长引入：我们知道，用刘徽的割圆术可以定义圆的周长，即利用圆的内接正多边形的周长当边数无限增加时的极限来确定，现在将刘徽的割圆术加以推广，来定义平面曲线的弧长，从而应用定积分来计算平面曲线的弧长. 1.平面曲线弧长的相关概念 (1).平面曲线弧长：若在曲线弧上任取分点，，依次连接相邻分点得到该曲线弧的一内接折线，记限增加且每一个小弧段都缩向一点，即时，折线的长的极限存在，则称此极限值为曲线弧的弧长，并称该曲线弧是可求长的，记作 (2).光滑曲线：若曲线上每一点处都存在切线，且切线随切点的移动而连续转动，则称该曲线为光滑曲线 (3).定理：光滑曲线可求长. 2.光滑曲线弧长的计算 (1).直角坐标情形：设曲线弧的直角坐标方程为，，若在上具有一阶连续函数，则曲线弧长为推导：取为积分变量，曲线上的相应于上任意小区间上的一段弧的长度近似等于曲线在点处切线上相应的一段的长度，又切线上相应小段的长度为，从而有弧长元素，以为被积表达式，在上作定积分，得弧长公式：(2).参数方程情形：设曲线弧的参数方程为，，若及在具有连续导数，则曲线弧长为推导：取参数为积分变量，曲线上相应于上任意小区间上的一段弧的长度的近似值即为弧长元素，以为被积表达式，在上作定积分，得弧长公式： (3).参数方程情形：设曲线弧的极坐标方程为，，若在上具有连续导数，则曲线弧长为：推导：由直角坐标与极坐标的关系得：，，即为曲线的以极角。
定积分的应用元素法
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
有
V d π[( y)]2dy c
y
d
y x (y)
c
O
x
例12. 计算由椭圆
所围图形绕 x 轴旋转而
成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程
y b
O x ax
则 V 2 a π y2 dx 0
(利用对称性)
2
π
b2 a2
a (a2 x2 ) dx
t
d
t
π a3
2π
(t
sin
t)2
sin
t
dt
0
注
例15. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并
与底面交成 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为
x2 y2 R2
垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为
A(x) 1 (R2 x2 ) tan (R x R)
表示为
定积分定义
二 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
近的似值
微分表达式
dU f (x) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
精确值
积分表达式
b
U a f (x) dx
这种分析方法称为元素法 (或微元分析法 )
元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
O
x
例2. 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形
的面积 .
解: 由
得交点
(2, 2) , (8, 4)
y
ydy y
定积分的应用元素法
1
3 2
,
2 0
y x(x 1)
(x
1 2
)2
1 4
由图形的对称性
,
3
1 2
,
4
1
也合于所求.
3. 求曲线
与
图形的公共部分的面积 .
解：令
r2 ( )
0,
得
π 4
所围区域的面积为
所围成
r2 a(cos sin )
O
x
r1 a cos
0
a2(π 1)
π 4
4
4. 设平面图形 A 由 x2 y2 2x 与 y x 所确定 , 求
第二节
第六章
定积分在几何学上的应用
一、 平面图形的面积
二、 平面曲线的弧长 三、已知平行截面面积函数的
立体体积
四、 旋转体的侧面积 (补充)
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
设曲线
与直线
y y f (x)
及 x 轴所围曲 边梯形面积为 A , 则
Oa x bx x dx
dA f (x) dx
O
x
例2. 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形
的面积 .
解: 由
得交点
(2, 2) , (8, 4)
y
ydy y
y2 2x (8, 4)
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
A
d
A 4
2
(
y
4
1 2
y
2
)
d
y
O yx4 x
(2, 2)
18
例3. 求椭圆
所围图形的面积 .
定积分的元素法
例1求由抛物线y2=x,y = x2所围图形的而积。
例2求由抛物线b=2x,直线y = x-4所围图形的面积。
2 2
例3求椭闘一-+—■=1面积。
三、二阶线性非齐次微分方程解的结构
y" + p(X)y + Q(Qy = /(x)(2)
定理3设y\x)是微分方程(2)的一个特解，Y(x)是与(2)对应的线性齐次
微分方程(1)的通解，则
>-= y(x)+
是二阶线性非齐次微分方程(2)的通解.
例2求线性微分方程y”+y=x2的通解.
定理4设线性非齐次微分方程为
课题
§7.6高阶线性微分方程
教材的重
点、难点
分析
重点：线性微分方程通解的结构
难点：高阶非齐次线性微分方程解的结构
教
学 目 标
1.理解线性微分方程解的性质
2.掌握线性微分方程通解的结构
教学方法
和
教学手段
教
学 过 程
一、二阶线性微分方程举例
(叱
二、二阶线性微分方程的解的结构
定理1若x(x)与为⑴ 是方程 ⑴ 的两个解,则y = Ciy{(x) + C2y2(x)也
程
初始条件、特解、初值问题、积分曲线
例3、验证：函数A-=ClCos^+C2sinkt是微分方程 与+£S=o的解.dr
例4、已知函数eGcos灯+C?sii谢伙hO)是微分方程与+£2*0的通解，求满足dt2
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就可以考虑用定积分来表达这个量U
而将Ｕ 表示为定积分则须用元素法
元素法的一般步骤：
1）根据问题的具间[a, b]；
2）设想把区间 [a, b] 分成 n 个小区间， 取其中任一小区间并记为 [ x, x dx]，
i 1
（2）计算Ai 的近似值
Ai f (i )xi i xi （2）常代变
n
（3） 求和，得A的近似值 A f (i )xi . （3）近似和 i 1
（4） 求极限，得A的精确值 （4）取极限
n
A
lim
0
i 1
f (i )xi
b
f ( x)dx
a
若用A 表示任一小区间 [ x, x x]
求出相应于这小区间的部分量 U 的近似值.
如果 U 能近似地表示为 [a, b]上的一个连续函数 在 x处的值 f ( x)与dx 的乘积，
就把 f ( x)dx 称为量U 的元素且记作 的 dU，
即
dU f ( x)dx；
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，
在区间
[a, b]
上作定积分，得
U
b
a
f
( x)dx，
即为所求量 U 的积分表达式.
这个方法通常叫做定积分的元素法．
应用方向：
（１）平面图形的面积；体积；平面曲线的 弧长；
（２） 功；水压力；引力等．
第一节 定积分的元素法
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
y
y f (x)
oa
bx
A
b
a
f
(
x)dx
面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间[a, b]分成 n个长度为xi 的小区间， 相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，
n
第i 个小窄曲边梯形的面积为Ai ，则 A Ai .
（1）大化小
上的窄曲边梯形的面积，则
y
A A，并取A f ( x)dx，
面 积 元 素
dA
y f (x)
于是 A f ( x)dx
o a x x dxb x
b
A lim f ( x)dx a f ( x)dx.
当所求量U 符合下列条件：
（1）U 是与一个变量 x的变化区间a, b有关的量； （2）U 对于区间 a, b 具有可加性， 就是说，如果把区间 a, b 分成许多部分区间，