2020年高二数学上期中试题(含答案)

合集下载

2020-2021学年江苏省南通中学高二(上)期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）A.8B.16C.18D.272.（单选题，5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（单选题，5分）不等式x+12x−1≤0的解集为（）A.[-1，12）B.[-1，12]C.（-∞，-1]∪（12，+∞）D.（-∞，-1]∪[ 12，+∞）4.（单选题，5分）已知椭圆的准线方程为x=±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为（）A. x22+y2=1B.x2+ y22=1C. x24+y23=1D. x23+y24=15.（单选题，5分）数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n-1，则a10=（）A.511B.513C.1025D.10246.（单选题，5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为（）A. 53B. 103C. 56D. 1167.（单选题，5分）椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，P为椭圆C上的动点，若a= √2 b，满足∠F1PF2=90°的点P有（）个A.2个B.4个C.0个D.1个8.（单选题，5分）正数a，b满足9a+b=ab，若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[3，+∞）B.（-∞，3]C.（-∞，6]D.[6，+∞）9.（多选题，5分）若实数a＞0，b＞0，a•b=1，若下列选项的不等式中，正确的是（）A.a+b≥2B. √a+√b≥2C.a2+b2≥2D. 1a +1b≤210.（多选题，5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件11.（多选题，5分）设椭圆x29+y23=1的右焦点为F，直线y=m（0＜m＜√3）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）A.AF+BF为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]C.当m= √2时，△ABF 为直角三角形D.当m=1时，△ABF 的面积为√612.（多选题，5分）已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n．且满足a n+a n+1=2n，b n•b n+1=2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）A.0＜a1＜1B.1＜b1＜√2C.S2n＜T2nD.S2n≥T2n13.（填空题，5分）命题“∀x∈R，ax+b≤0”的否定是___ ．14.（填空题，5分）不等式x2-kx+1＞0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是___ ．15.（填空题，5分）椭圆x25+y2m=1的离心率为√105，则实数m的值为___ ．16.（填空题，5分）对于数列{a n}，定义A n= a1+2a2+⋯+2n−1a nn为数列{a n}的“好数”，已知某数列{a n}的“好数”A n=2n+1，记数列{a n-kn}的前n项和为S n，若S n≤S7对任意的n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是___ ．17.（问答题，10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆x 22 +y2=1有相同的焦点，且经过点（1，32）；（2）经过A（2，- √22），B（- √2，- √32）两点．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx-a+2．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．20.（问答题，12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．（Ⅰ）工厂第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：① 年平均获利最大时，以26万元出售该设备；② 总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点F作直线l，与椭圆相交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．22.（问答题，12分）已知各项均为正数的两个数列{a n}，{b n}满足a n+12-1=a n2+2a n，2a n=log2b n+log2b n+1+1，且a1=b1=1．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，求使得等式2S m+a m-36=T i成立的有序数对（m，i）（m，i∈N*）．2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）A.8B.16C.18D.27【正确答案】：C【解析】：由已知利用等比数列的通项公式即可求解．【解答】：解：若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n=a1•q n-1，由已知可得：a1=2，q=3，则它的通项a3=a1•q2=2×32=18．故选：C．【点评】：本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n=a1•q n-1，属于基础题．2.（单选题，5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：解得a的范围，即可判断出结论．【解答】：解：由a2＞a，解得a＜0或a＞1，故a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选：A．【点评】：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.（单选题，5分）不等式x+12x−1≤0的解集为（）A.[-1，12）B.[-1，12]C.（-∞，-1]∪（12，+∞）D.（-∞，-1]∪[ 12，+∞）【正确答案】：A【解析】：根据题意，分析可得原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】：解：根据题意，原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0，解可得：-1≤x＜12，及原不等式的解集为[-1，12）；故选：A．【点评】：本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式变形为整式不等式．4.（单选题，5分）已知椭圆的准线方程为x=±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为（）A. x22+y2=1B.x2+ y22=1C. x24+y23=1D. x23+y24=1【正确答案】：C【解析】：由椭圆的准线方程可知椭圆的焦点在x轴上，再由已知列关于a，b，c的方程组，求得a2与b2的值，则椭圆标准方程可求．【解答】：解：由椭圆的准线方程为x=±4，可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0），由 { a 2c =4c a =12a 2=b 2+c 2 ，解得a 2=4，b 2=3，c 2=1．∴椭圆的标准方程为 x 24+y 23 =1．故选：C ．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆标准方程的求法，是基础题．5.（单选题，5分）数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n -1，则a 10=（）A.511B.513C.1025D.1024【正确答案】：B【解析】：直接利用构造法的应用，整理出数列{a n -1}是等比数列，进一步求出数列的通项公式，最后求出结果．【解答】：解：数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n -1，所以a n+1-1=2（a n -1），所以 a n+1−1a n −1=2 （常数），所以数列{a n -1}是以a 1-1=1为首项，2为公比的等比数列．所以 a n −1=2n−1 ，所以 a n =2n−1+1 ．所以 a 10=29+1=513 ．故选：B ．【点评】：本题考查的知识要点：数列的递推关系式，构造法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.（单选题，5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，问最小一份为（）A. 53B. 103C. 56D. 116【正确答案】：A【解析】：设五个人所分得的面包为a-2d ，a-d ，a ，a+d ，a+2d ，（d ＞0）；则由五个人的面包和为100，得a 的值；由较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，得d 的值；从而得最小的一份a-2d 的值．【解答】：解：设五个人所分得的面包为a-2d ，a-d ，a ，a+d ，a+2d ，（其中d ＞0）；则，（a-2d ）+（a-d ）+a+（a+d ）+（a+2d ）=5a=100，∴a=20；由 17 （a+a+d+a+2d ）=a-2d+a-d ，得3a+3d=7（2a-3d ）；∴24d=11a ，∴d=55/6；所以，最小的1分为a-2d=20-1106 = 53 ．故选：A ．【点评】：本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果．7.（单选题，5分）椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1和F 2，P 为椭圆C 上的动点，若a= √2 b ，满足∠F 1PF 2=90°的点P 有（）个A.2个B.4个C.0个D.1个【正确答案】：A【解析】：由题意画出图形，由a= √2 b ，结合隐含条件可得b=c ，再由∠F 1PF 2=90°，可得P 为短轴的两个端点，则答案可求．【解答】：解：设椭圆的半焦距为c ，当a= √2 b 时，则 c =√a 2−b 2=√b 2=b ，如图，连接PO ，若∠F 1PF 2=90°，则|PO|=|OF 1|=b ，此时P 点在短轴的上下端点，即符合条件的P 有2个．故选：A ．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8.（单选题，5分）正数a，b满足9a+b=ab，若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[3，+∞）B.（-∞，3]C.（-∞，6]D.[6，+∞）【正确答案】：A【解析】：求出a+b=（a+b）（1a + 9b）=10+ ba+ 9ab≥10+6=16（当且仅当b=3a时取等号），问题转化为m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立，运用二次函数的最值求法和恒成立思想，即可求出实数m的取值范围．【解答】：解：∵正数a，b满足1a + 9b=1，∴a+b=（a+b）（1a + 9b）=10+ ba+ 9ab≥10+2 √ba•9ab=10+6=16（当且仅当b=3a时取等号）．由不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，可得-x2+2x+18-m≤16对任意实数x恒成立，即m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立，即m≥-（x-1）2+3对任意实数x恒成立，∵-（x-1）2+3的最大值为3，∴m≥3，故选：A．【点评】：本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用基本不等式和二次函数的最值求法，考查化简运算能力，属于中档题．9.（多选题，5分）若实数a＞0，b＞0，a•b=1，若下列选项的不等式中，正确的是（）A.a+b≥2B. √a+√b≥2C.a2+b2≥2D. 1a +1b≤2【正确答案】：ABC【解析】：直接利用不等式的性质和均值不等式的应用判定A、B、C、D的结论．【解答】：解：实数a＞0，b＞0，a•b=1，则对于A：a+b≥2√ab=2，成立，故A正确；对于B：√a+√b≥2√√a•√b=2成立，故B正确；对于C：a2+b2≥2ab=2成立，故C正确；对于D：1a +1b≥2√1ab=2成立，故D不正确．故选：ABC．【点评】：本题考查的知识要点：不等式的性质和均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.（多选题，5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件【正确答案】：CD【解析】：由题意逐一考查所给的命题是否成立即可．【解答】：解：逐一考查所给的选项：取a=2，b=3，c=0，满足ac=bc，但是不满足a=b，选项A错误，取a=2，b=-3，满足a＞b，但是不满足a2＞b2，选项B错误，“a＜5”是“a＜3”的必要条件，选项C正确，“a+5是无理数”，则“a是无理数”，选项D正确，故选：CD．【点评】：本题主要考查不等式的性质，等式的性质，命题真假的判定等知识，属于中等题．11.（多选题，5分）设椭圆x29+y23=1的右焦点为F，直线y=m（0＜m＜√3）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）A.AF+BF为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]C.当m= √2时，△ABF 为直角三角形D.当m=1时，△ABF 的面积为√6【正确答案】：AD【解析】：利用椭圆的性质以及定义，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，逐一分析四个选项得答案．【解答】：解：设椭圆的左焦点为F'，则AF'=BF，可得AF+BF=AF+AF'为定值6，故A正确；△ABF的周长为AB+AF+BF，∵|AF+BF为定值6，可知AB的范围是（0，6），∴△ABF的周长的范围是（6，12），故B错误；将y= √2与椭圆方程联立，可解得A（−√3，√2），B（√3，√2），又知F（√6，0），如图，由图可知∠ABF为钝角，则△ABF为钝角三角形，故C错误；将y=1与椭圆方程联立，解得A（−√6，1），B（√6，1），∴ S△ABF=12×2√6×1=√6，故D正确．故选：AD．【点评】：本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系．考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.（多选题，5分）已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n．且满足a n+a n+1=2n，b n•b n+1=2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）A.0＜a1＜1B.1＜b1＜√2C.S2n＜T2nD.S 2n ≥T 2n【正确答案】：ABC【解析】：利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，在求出其前2n 项和的表达式即可判断大小；【解答】：解：∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3；∵a n +a n+1=2n ，∴ {a 1+a 2=2a 2+a 3=4； ∴ {a 1+a 2＞2a 1a 2+a 3＞2a 2=4−4a 1∴0＜a 1＜1；故A 正确．∴S 2n =（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n-1+a 2n ）=2+6+10+…+2（2n-1）=2n 2；∵数列{b n }为递增数列；∴b 1＜b 2＜b 3；∵b n •b n+1=2n∴ {b 1b 2=2b 2b 3=4； ∴ {b 2＞b 1b 3＞b 2； ∴1＜b 1＜ √2 ，故B 正确．∵T 2n =b 1+b 2+…+b 2n=（b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）= b 1•(1−2n )2+b 2(1−2n )2=(b 1+b 2)(2n −1)≥2√b 1b 2(2n −1)=2√2(2n −1) ；∴对于任意的n∈N*，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．【点评】：本题考查了数列的综合运用，考查学生的分析能力与计算能力．属于中档题．13.（填空题，5分）命题“∀x∈R ，ax+b≤0”的否定是___ ．【正确答案】：[1]∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0【解析】：根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】：解：命题为全称命题，则命题“∀x∈R ，ax+b≤0”的否定是∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0，故答案为：∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14.（填空题，5分）不等式x 2-kx+1＞0对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-2，2）【解析】：设y=x 2-kx+1，将不等式恒成立的问题转化为函数y=x 2-kx+1图象始终在x 轴上方，进而根据判别式处理即可．【解答】：解：依题意，设y=x 2-kx+1，因为不等式x 2-kx+1＞0对任意实数x 都成立，所以△=k 2-4＜0，解得k∈（-2，2），故答案为：（-2，2）．【点评】：本题考查了二次函数的性质，二次函数与二次不等式的关系，考查分析解决问题的能力，属于基础题．15.（填空题，5分）椭圆 x 25+y 2m =1 的离心率为 √105 ，则实数m 的值为___ ．【正确答案】：[1] 253或3【解析】：分当m ＞5和m ＜5时两种情况，根据e= c a 求得m ．【解答】：解：当m ＞5时，√m−5√m = √105 ，解得m= 253 ，当m ＜5√5−m √5 = √105 解得m=3符合题意，故答案为： 253或3【点评】：本题主要考查了椭圆的简单性质．要利用好椭圆标准方程中a ，b ，c 的关系．16.（填空题，5分）对于数列{a n }，定义A n = a 1+2a 2+⋯+2n−1a n n为数列{a n }的“好数”，已知某数列{a n }的“好数”A n =2n+1，记数列{a n -kn}的前n 项和为S n ，若S n ≤S 7对任意的n∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] [94，167] 【解析】：先根据数列的递推式求出a n =2n+2，所以a n -kn=（2-k ）n+2，显然{a n -kn}是等差数列，所以{S n }中S 7最大，则数列{a n -kn}的第7项大于等于0，第八项小于等于0，列出不等式组，即可解得实数k 的取值范围．【解答】：解：由题意可知， a 1+2a 2+⋯…+2n−1a n =n •2n+1 ，则n≥2时， a 1+2a 2+⋯…+2n−2a n−1=(n −1)•2n ，两式相减得： 2n−1a n =n •2n+1−(n −1)•2n ，∴a n =2n+2，又∵A 1= a 11 =4，∴a 1=4，满足a n =2n+2，故a n =2n+2，∴a n -kn=（2-k ）n+2，显然{a n -kn}是等差数列，∵S n ≤S 7对任意的n∈N *恒成立，∴{S n }中S 7最大，则 {a 7−7k =7(2−k )+2≥0a 8−8k =8(2−k )+2≤0，解得： 94≤k ≤167 ，故实数k 的取值范围是：[ 94 ， 167 ]．【点评】：本题主要考查了数列的递推式，以及等差数列的性质，是中档题．17.（问答题，10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆 x 22 +y 2=1有相同的焦点，且经过点（1， 32 ）；（2）经过A （2，- √22 ），B （- √2 ，- √32 ）两点．【正确答案】：【解析】：（1）先求出已知椭圆的焦点坐标（±1，0），则可设出所求椭圆方程，代入已知点即可求解，（2）待定系数法设出椭圆方程，代入已知点即可求解．【解答】：解：（1）由已知椭圆方程可得焦点坐标为（±1，0），则可设所求的椭圆方程为： x 2m +y 2m−1=1(m ＞1) ，代入点（1， 32 ），解得m=4或 14 （舍），所以所求椭圆方程为： x 24+y 23=1 ，（2）设所求的椭圆方程为： x 2m +y 2n =1(m ＞0，n ＞0，m ≠n) ，代入已知两点可得：{4m +12n=12 m +34n=1，解得m=8，n=1，故所求的椭圆方程为：x 28+y2=1．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程以及焦点相同和不确定的问题的椭圆方程的设法，属于基础题．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【正确答案】：【解析】：（1）根据等差中项可得q=2，即可求出通项公式；（2）利用分组求和即可求出．【解答】：解：（1）设等比数列{a n}公比为q，则q≠0，∵a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项，∴2a2=a1+a3-1，即2q=1+q2-1，解得q=2，∴a n=2n-1；（2）b n=2n+a n=2n+2n-1；∴S n=2（1+2+3+…+n）+（20+21+22+…+2n-1）=n（n+1）+2n-1=n2+n+2n-1．【点评】：本题考查等比数列的通项公式和等差数列的性质，以及等差数列和等比数列的求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx-a+2．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程ax2+bx-a+2=0的两根分别为-1和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得到实数a、b的值；（2）不等式可化成（x+1）（ax-a+2）＞0，由此讨论-1与a−2a的大小关系，分3种情形加以讨论，即可得到所求不等式的解集．【解答】：解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集是（-1，3）∴-1，3是方程ax2+bx-a+2=0的两根，∴可得{a−b−a+2=09a+3b−a+2=0，解之得{a=−1b=2------------（5分）（2）当b=2时，f（x）=ax2+2x-a+2=（x+1）（ax-a+2），∵a＞0，∴ (x+1)(ax−a+2)＞0⇔(x+1)(x−a−2a)＞0① 若−1=a−2a，即a=1，解集为{x|x≠-1}．② 若−1＞a−2a ，即0＜a＜1，解集为{x|x＜a−2a或x＞−1}．③ 若−1＜a−2a ，即a＞1，解集为{x|x＜−1或x＞a−2a}．------------（14分）【点评】：本题给出二次函数，讨论不等式不等式f（x）＞0的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题．20.（问答题，12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．（Ⅰ）工厂第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：① 年平均获利最大时，以26万元出售该设备；② 总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，第n年时累计的纯收入f （n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98，获利为f（n）＞0，解得n的值，可得第几年开始获利；（Ⅱ）计算方案① 年平均获利最大时及总收益；方案② 总纯收入获利最大时及总收益；比较两种方案，总收益相等，第一种方案需7年，第二种方案需10年，应选择第一种方案．【解答】：解：（Ⅰ）由题设每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设第n年时累计的纯收入为f（n），则f（n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98=40n-2n2-98，获利为：f（n）＞0，∴4n-2n2-98＞0，即n2-20n+49＜0，∴10- √51＜n＜10+ √51；又n∈N，∴n=3，4，5， (17)∴当n=3时，即第3年开始获利．（Ⅱ）① 年平均收入为：f(n)n =40−2(n+49n)≤40−4√n•49n=12（万元）即年平均收益最大时，总收益为：12×7+26=110（万元），此时n=7；② f（n）=-2（n-10）2+102，∴当n=10时，f（n）max=102；总收益为110万元，此时n=10；比较两种方案，总收益均为110万元，但第一种方案需7年，第二种方案需10年，故选择第一种方案．【点评】：本题考查了数列与函数的综合应用问题，也是方案设计的问题；解题时应细心分析，认真解答，以免出错．21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点F作直线l，与椭圆相交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．【正确答案】：【解析】：（1）由长轴长即等边三角形可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，代入面积公式，由均值不等式的性质可得面积的最大值，及直线l 的方程．【解答】：解：（1）由题意可得2a=4，2b= √b 2+c 2 =a ，所以a=2，b=1，所以椭圆的方程为： x 24 +y 2=1；（2）由（1）可得右焦点F 2（ √3 ，0），显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x=my+ √3 ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线l 与椭圆的方程 {x =my +√3x 24+y 2=1 ，整理可得：（4+m 2）y 2+2 √3 my-1=0，可得y 1+y 2= −2√3m 4+m 2 ，y 1y 2= −14+m 2 ，所以S △AOB = 12 |OF 2||y 1-y 2|= 12×√3 × √(y 1+y 2)2−4y 1y 2= √32 •√12m 2(4+m 2)2+44+m 2= √32 •4√1+m 24+m 2=2 √3 •√1+m 24+m 2 =2 √3 •√1+m 2+3√2 √3 • 2√1+m 2•3√2 =1，当且仅当 √1+m 2 = √1+m 2 m= ±√2 ，时三角形的面积最大为1，所以面积的最大值为1，这时直线l 的方程为x= ±√2 y+ √3 ．【点评】：本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．22.（问答题，12分）已知各项均为正数的两个数列{a n }，{b n }满足a n+12-1=a n 2+2a n ，2a n =log 2b n +log 2b n+1+1，且a 1=b 1=1．（1）求证：数列{a n }为等差数列；（2）求数列{b n }的通项公式；（3）设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，求使得等式2S m +a m -36=T i 成立的有序数对（m ，i ）（m ，i∈N*）．【正确答案】：【解析】：（1）根据递推关系可得a n+12=（a n+1）2，从而得到数列{a n}为等差数列；（2）根据2a n=log2b n+log2b n+1+1，可知数列{b n}的奇数项和偶数项，进而整合即可得{b n}的通项公式．（3）分别求S n，T n，带入2S m+a m-36=T i成立，则存在s，t∈N*，使得2s=m+7，即2t=m-5，从而2s-2t=12，在证明s≥5不成立，从而得到s=4，m=9，i=6．【解答】：证明（1）：由a n+12-1=a n2+2a n，可得a n+12=a n2+2a n+1即a n+12=（a n+1）2，∵各项均为正数的两个数列{a n}，{b n}，可得a n+1=a n+1，即数列{a n}是首项为1，公差d=1的等差数列．解（2）：由（1）可得a n=n，∵2a n=log2b n+log2b n+1+1，可得b n b n+1=22n-1…… ①∴b n+1b n+2=22n+1…… ②将②①可得：b n+2b n=4．所以{b n}是奇数项和偶数项都成公比q=4的等比数列，由b1=1，b2=2，可得b2k-1=4k-1，b2k=2×4k-1，k∈N*，∴b n=2n-1．故得数列{b n}的通项公式为b n=2n-1．（3）由（1）和（2）可得S n= n(n+1)2，T n=2n-1；由2S m+a m-36=m（m+1）+m-36=2i-1，即（m-5）（m+7）=2i．则存在s，t∈N*，使得2s=m+7，即2t=m-5，从而2s-2t=12，若s≥5，则2s-2t-12≥20，∴t≥5，又∵s＞t，那么2s-2t≥2t+1-2t=2t≥32，可知与2s-2t=12相矛盾，可得s≤4，根据2s-2t=12，s，t∈N*，可得s=4，t=2，此时可得m=9，i=6．【点评】：本题考查了等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于压轴题．。

2020-2021学年山东省青岛胶州市高二上学期期中考试数学试题

青岛胶州市2020-2021学年高二上学期期中考试数学本试卷4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置；2．作答选择题时：选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；非选择题必须用黑色字迹的专用签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效；3．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线2021x =的倾斜角为（）A ．90︒B ．0︒C ．180︒D ．45︒2．已知向量(1,2,),(,1,2)a t b t ==，且a b ⊥，则实数t =（）A ．1B ．1-C ．23-D ．233．若直线1:10l ax y ++=与直线2:210l x ay a ++-=平行，则实数a =（）A ．1B ．1-C ．0D ．1±4．已知三棱柱111ABC A B C -，点P 为线段11B C 的中点，则AP =（）A ．11122AB AC AA ++ B ．11122AB AC AA ++ C ．11122AB AC AA +- D ．11122AB AC AA ++ 5．已知二面角βα--l 的大小为60︒，B A ,为棱l 上不同两点，D C ,分别在半平面, αβ内，,AC BD 均垂直于棱l ，22AC BD AB ===，则异面直线CD 与AB 所成角的余弦值为（）A ．15B C ．13D ．126．若过原点的直线l 与圆22430x x y -++=有两个交点，则l 的倾斜角的取值范围为（）A ．(,)33ππ-B ．(,)66ππ-C ．5[0,)(,)66πππD ．2[0,)(,)33πππ7．已知椭圆22:14x C y +=上两点B A ,，若AB 的中点为D ，直线OD 的斜率等于1，则直线AB 的斜率等于（）A ．1-B ．1C ．12-D ．14-8．已知圆222:(0)O x y r r +=>1+=交于, A B 两点，且AB =，则圆O 与函数()ln(1)f x x =-的图象交点个数为（）个A ．2B ．1C ．0D ．3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．已知直线:10l x my m -+-=，则下述正确的是（）A ．直线l 的斜率可以等于0B ．直线l 的斜率有可能不存在C ．直线l 可能过点(2,1)D ．若直线l 的横纵截距相等，则1m =±10．已知椭圆C ：221625400x y +=，关于椭圆C 下述正确的是（）A ．椭圆C 的长轴长为10B ．椭圆C 的两个焦点分别为(0,3)-和(0,3) C ．椭圆C 的离心率等于35D ．若过椭圆C 的焦点且与长轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,P Q ，则32||5PQ =11．已知点12(1,0),(1,0)F F -，动点P 到直线2x =的距离为d ，2PF d =，则（）A ．点P 的轨迹是椭圆B ．点P 的轨迹曲线的离心率等于12C ．点P 的轨迹方程为2212x y += D ．12PF F ∆的周长为定值12．已知四面体ABCD 的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（）A ．异面直线AC 与BD 所成角为60︒B ．点A 到平面BCDC ．四面体ABCDD ．动点P 在平面BCD 上，且AP 与AC 所成角为60︒，则点P 的轨迹是椭圆三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13．圆221:40C x y x ++=与圆222:(2)(1)9C x y -+-=的位置关系为．14．已知椭圆2219x y m +=的离心率等于31，则实数m = ． 15．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 为线段1AC 上一点，||1PA =，则点P 到平面ABCD 的距离为．16．在平面直角坐标系中，(1,2),(2,1)A D ，点,B C 分别在x 轴、y 轴上，则（1）||||AB BD +的最小值是；（2）||||||AC CB BD ++的最小值是．（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知O 为坐标原点，直线:10l ax y a +--=（R a ∈），圆22:1O x y +=．（1）若l 的倾斜角为120︒，求a ；（2）若l 与直线0:20l x y -=的倾斜角互补，求直线l 上的点到圆O 上的点的最小距离；（3）求点O 到l 的最大距离及此时a 的值． 18．（12分）在平面直角坐标系中，圆C 过点(1,0)E 和点(0,1)F ，圆心C 到直线0x y +=．（1）求圆C 的标准方程；（2）若圆心C 在第一象限，M 为圆C 外一点，过点M 做圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，四边形MACBM 的轨迹方程． 19．（12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．（1）如果4PD =，求证：PC ⊥平面MAD ；（2）当BP 与平面MBD 所成角的正弦值最大时，求三棱锥D MBC -的体积V ．20．（12分）在平面直角坐标系中，1(0,C ，圆22:(C x y +2C 相切．（1）求动点P 的轨迹C 的标准方程；（2）若直线l 过点(0,1)，且与曲线C 交于,A B ，已知,A B 4l 的方程． 21．（12分）如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，BCF ∆为等边三角形，60ABC ∠=︒，2,//AB EF CD =，平面⊥BCF 平面ABCD ．（1）证明：在线段BC 上存在点O ，使得平面ABCD ⊥平面AOF ；（2）求二面角B AF C --的余弦值；（3）若//ED 平面AOF ，求线段EF 的长度． 22．（12分）已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，12||2F F =，P 为椭圆的上顶点，以P 为圆心且过12,F F 的圆与直线2x =-相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于,M N 两点．（ⅰ）若直线l 的斜率等于1，求OMN ∆面积的最大值；（ⅱ）若1OM ON ⋅=-，点D 在l 上，OD l ⊥．证明：存在定点W ，使得||DW 为定值．2020-2021学年度第一学期期中检测高二数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

吉林省延边朝鲜族自治州延吉市第二中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题理(含解析)

吉林省延边朝鲜族自治州延吉市第二中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题理（含解析）一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确） 1.命题“,sin 10x R x ∀∈+≥”的否定是（） A. 00,sin 10x R x ∃∈+< B. ,sin 10x R x ∀∈+< C. 00,sin 10x R x ∃∈+≥ D. ,sin 10x R x ∀∈+≤【答案】A 【解析】【分析】利用全称命题的否定方法求解，改变量词，否定结论.【详解】因为,sin 10x R x ∀∈+≥的否定为00,sin 10x R x ∃∈+<，所以选A.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，一般处理策略是：先改变量词，然后否定结论.2.下列有关命题的说法正确的是（）A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =则1x ≠”B. p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题C. 命题“若,,a b c 成等比数列，则2b ac =”的逆命题为真命题D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题【答案】D 【解析】【分析】根据命题之间的关系逐个判断即可.【详解】对A, 命题“若21x =,则1x =”的否命题为：“若21x ≠则1x ≠”,故A 错误对B, p q ∧为假命题,则,p q 至少有一个假命题,故B 错误.对C,命题“若,,a b c 成等比数列,则2b ac =”的逆命题为“若2b ac =,则,,a b c 成等比数列”,若,,a b c 均为0则,,a b c 不成等比数列,故C 错误.对D, 命题“若x y =,则sin sin x y =”为真命题,所以它的逆否命题也为真,故D 正确. 故选：D.【点睛】本题主要考查四个命题之间的关系与真假命题的判断,属于基础题型. 3.等差数列{}n a 中，若12332a a a ++=，111213118a a a ++=，则410a a +等于（）A. 45B. 75C. 50D. 60【答案】C 【解析】分析：详解：根据等差数列中等差中项的性质1232332a a a a ++==111213123118a a a a ++==因为21232118503a a ++== 所以4107212250a a a a a +==+= 所以选C点睛：本题考查了等差数列中等差中项性质的应用，是简单题。

浙江省宁波市慈溪市2022-2022学年高二数学上学期期中试题(含解析)

故选A．
考点：二元一次不等式（组）与平面区域．
5.已知点M(-2，1，3)关于坐标平面xOz的对称点为A，点A关于y轴的对称点为B，则|AB|=( )
A. 2B.
C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据对称逐个求出点的坐标,结合空间中两点间的距离公式可求.
【详解】因为点M(-2，1，3)关于坐标平面xOz的对称点为A,
【答案】 (1). (2，-1) (2). (x-1)2+y2=2
【解析】
【分析】
先整理直线的方程为 ,由可得定点;由于直线过定点 ,所以点(1，0)为圆心且与l相切的所有圆中,最大半径就是两点间的距离.
【详解(xiánɡ jiě)】因为 ,由可得 ,所以(suǒyǐ)直线经过(jīngguò)定点 ;
【答案】
【解析】
如图，连接(liánjiē) 交于点，连接(liánjiē) ．因为(yīn wèi) 是正方体，所以(suǒyǐ) 面，从而(cóng ér)可得，所以面，从而有，所以是二面角的平面角．设正方体的边长为1，则，所以在中有
16.设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出如下命题:
二、填空题(本大题共7小题，单空题每小题4分，多空题每小题6分，共36分)
11.已知直线，直线 .若直线的倾斜角为，则 =_________;若，则，之间的距离为_____.
【答案】 (1). 1 (2).
【解析】
【分析】
利用直线的倾斜角和斜率的关系可求；根据两条直线平行可得，再结合平行直线间的距离公式可求.
【详解】由圆的一般式方程可得圆心坐标 ,半径 ;
设关于直线的对称点为 ,则 ,解得 ,

吉林省2020学年高二数学上学期期中试题理(含解析)

高二数学上学期期中试题理（含解析）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教版选修2-1，选修2-2第三章.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(13)(1)z i i =-+-在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A 【解析】分析：先化简复数z,再看复数z 在复平面内对应的点所在的象限.详解：由题得13324z i i i =-+++=+，所以复数z 在复平面内对应的点为（2,4），故答案为A.点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈对应的点是（a,b ）,点（a,b ）所在的象限就是复数z a bi =+(),a b ∈R 对应的点所在的象限.复数(,)z a bi a b R =+∈和点（a,b ）是一一对应的关系.2.焦点坐标为（1，0）的抛物线的标准方程是（） A. y 2=-4x B. y 2=4xC. x 2=-4yD. x 2=4y【答案】B 【解析】【分析】由题意设抛物线方程为y 2=2px （p ＞0），结合焦点坐标求得p ，则答案可求．【详解】由题意可设抛物线方程为y 2=2px （p ＞0），由焦点坐标为（1，0），得P12=，即p=2． ∴抛物的标准方程是y 2=4x ．故选B ．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3.关于命题，下列判断正确的是（） A. 命题“每个正方形都是矩形”是特称命题 B. 命题“有一个素数不是奇数”是全称命题C. 命题“x ∀∈R ，4x ∈R ”的否定为“0x ∃∈R ，40x ∉R ”D. 命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数” 【答案】C 【解析】【分析】根据特称命题，与全称命题的概念，可判断AB ；根据全称命题的否定，可判断C ，D. 【详解】A 选项，命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词“每个”，是全称命题，故A 错； B 选项，命题“有一个素数不是奇数”含有存在量词“有一个”，是特称命题，故B 错；C 选项，命题“x ∀∈R ，4x ∈R ”的否定为“0x ∃∈R ，40x ∉R ”，故C 正确；D 选项，命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数不都是有理数”，故D 错；故选：C【点睛】本题主要考查命题真假的判定，熟记全称命题与特称命题的概念，以及含有一个量词的命题的否定即可，属于基础题型. 4.椭圆223530x y +=的离心率为（）A.25B.35【答案】C 【解析】【分析】先将椭圆方程化为标准形式，得到210a =，26b =，再由离心率的定义，即可得出结果.【详解】因为椭圆方程：223530x y +=可化为221106x y +=，所以210a =，26b =，因此离心率：5c e a ====. 故选：C【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的简单性质即可，属于基础题型. 5.“213k =”是“直线y kx =与圆22(2)1x y ++=相切”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】直接利用圆心到直线的距离等于半径求得充要条件即可判断．【详解】当直线y kx =与圆22(2)1x y ++=1=，则213k =，故选：C.【点睛】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查充分必要条件的判断，属于基础题型．6.点()00,P x y 是抛物线2:8C x y =上一点，则P 到C 的焦点的距离为（） A. 02x - B. 02y - C. 02x + D. 02y +【答案】D 【解析】【分析】先由抛物线方程得到准线方程，再由抛物线的定义，即可得出结果.【详解】因为抛物线2:8C x y =的准线方程为2y =-，点()00,P x y 是抛物线2:8C x y =上一点，由抛物线的定义可得：0||2PF y =+. 故选：D【点睛】本题主要考查求抛物线上的点到到焦点的距离，熟记抛物线的定义即可，属于基础7.当复数2(32)()z x x x i x =-+-∈R 的实部与虚部的差最小时，1zi =-（） A. 33i -+ B. 33i + C. 13i -D. 13i --【答案】C 【解析】【分析】实部与虚部的差为242x x -+。

海南中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)

海南中学2020-2021学年高二上学期期中考试化学试题（本试卷总分150分，总时量120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 椭圆22:416C x y +=的焦点坐标为（）A ．(±B ．(±C ．(0,±D ．(0,±2. 已知向量(2,4,5)a =，(3,,)b x y =分别是直线12,l l 的方向向量，若12l l ∥，则（）A ．6,15x y ==B ．3,15x y ==C ．810,33x y ==D ．156,2x y ==3. 设0,0a b k >>>且1k ≠，则椭圆22122:1x y C a b +=和椭圆22222:x y C k a b+=具有相同的( )A ．顶点B ．焦点C ．离心率D ．长轴和短轴4. 已知直线1l 的方向向量(2,4,)a x =，直线2l 的方向向量(2,,2)b y =，若||6a =，且a b ⊥，则x y +的值是( ) A ．1-或3B ．1或3-C ．3-D ．15. 若直线0x y k --=与圆22(1)2x y -+=有两个不同的交点，则（）A ．03k <<B ．13k -≤≤C ．1k <-或3k >D ．13k -<<6. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（）A B ． C ．12 D ．7. 光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（） A ．5270x y -+= B ．310x y +-= C ．3240x y -+= D ．230x y --=8. 四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，(2,1,4)AB =--，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--．则四棱锥-P ABCD 的体积为（）A ．8B ．16C ．32D ．48二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9. 若,,a b c 是空间任意三个向量，R λ∈，下列关系中，不成立．．．的是（） A ．||||a b b a +=-B ．()()a b c a b c +⋅=⋅+C ．()a b a b λλλ+=+D ．b a λ=10. 已知直线:10l y -+=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 的倾斜角是6πB ．若直线:10m x -+=，则l m ⊥C ．点0)到直线l 的距离是2D ．过2)与直线l 40y --=11. 已知平面上一点(5,0)M ，若直线上存在点P ，使||4PM =，则称该直线为“点M 相关直线”，下列直线中是“点M 相关直线”的是（） A ．1y x =+B ．2y =C ．430x y -=D ．210x y -+=12. 设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于,A B 两点，则（）A ．||||AF BF +为定值B ．ABF 的周长的取值范围是[6,12]C ．当m =时，ABF 为直角三角形D ．当1m =时，ABF三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若椭圆221(4)4x y m m+=<的离心率为12，则m = ．14. 已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若1253OP OA OB OC λ=++，且P ∈平面ABC ，则λ= ．15. 已知空间向量(3,0,4),(3,2,1)a b ==-，则向量b 在向量a 上的投影向量是．16. 过点()3,0P -做直线()()21340m x m y m +-+--=的垂线，垂足为M ，已知点()2,3N ，则MN 的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （10分）已知三角形的三个顶点是(4,0)A ，(6,7)B -，(0,3)C -．（1）求BC 边上的中线所在直线的方程；（2）求BC 边上的高所在直线的方程．18. （12分）已知(1,0)A -，(2,0)B ，动点M 满足||1||2MA MB =，设动点M 的轨迹为C ，（1）求动点M 的轨迹方程；（2）点(,)P x y 在轨迹C 上，求2yx -的最小值．19. （12分）如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ∥，22AD PD EA ===，,,F G H 分别为,,PB EB PC 的中点．（1）求证：FG ∥平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 夹角的大小．20. （12分）已知关于x ，y 的方程22:240C x y x y m +--+=．（1）若圆C 与圆22812360x y x y +--+=外切，求m 的值；（2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且45||MN =，求m 的值．21. （12分）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，=90PAB ∠，2PA PD AD ===，（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD．（2）在下列①②③三个条件中任选一个，补充在下面问题处，若问题中的四棱锥存在，求AB的长度；若问题中的四棱锥不存在，说明理由．①CF与平面PCD所成角的正弦值等于15；②DA与平面PDF所成角的正弦值等于34；③P A与平面PDF所成角的正弦值等于3．问题：若点F是AB的中点，是否存在这样的四棱锥，满足？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）22.（12分）已知椭圆2222:1(0)x yM a ba b+=>>的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+42．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线:l x ky m=+与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 23. 椭圆22:416C x y +=的焦点坐标为（）CA ．(±B ．(±C ．(0,±D ．(0,±24. 已知向量(2,4,5)a =，(3,,)b x y =分别是直线12,l l 的方向向量，若12l l ∥，则（）DA ．6,15x y ==B ．3,15x y ==C ．810,33x y ==D ．156,2x y ==25. 设0,0a b k >>>且1k ≠，则椭圆22122:1x y C a b +=和椭圆22222:x y C k a b+=具有相同的( )CA ．顶点B ．焦点C ．离心率D ．长轴和短轴26. 已知直线1l 的方向向量(2,4,)a x =，直线2l 的方向向量(2,,2)b y =，若||6a =，且a b ⊥，则x y +的值是( )B A ．1-或3B ．1或3-C ．3-D ．127. 若直线0x y k --=与圆22(1)2x y -+=有两个不同的交点，则（）DA ．03k <<B ．13k -≤≤C ．1k <-或3k >D ．13k -<<28. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（）AA B ． C ．12 D ．29. 光线从(3,4)A -点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点(1,6)D -，则BC 所在直线的方程是（）A A ．5270x y -+= B ．310x y +-= C ．3240x y -+= D ．230x y --=30. 四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，(2,1,4)AB =--，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--．则四棱锥-P ABCD 的体积为（）BA ．8B ．16C ．32D ．48二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 31. 若,,a b c 是空间任意三个向量，R λ∈，下列关系中，不成立．．．的是（）ABD A ．||||a b b a +=-B ．()()a b c a b c +⋅=⋅+C ．()a b a b λλλ+=+D ．b a λ=32. 已知直线:10l y -+=，则下列结论正确的是（）CDA ．直线l 的倾斜角是6πB ．若直线:10m x -+=，则l m ⊥C ．点0)到直线l 的距离是2D ．过点2)且与直线l 40y --=33. 已知平面上一点(5,0)M ，若直线上存在点P ，使||4PM =，则称该直线为“点M 相关直线”，下列直线中是“点M 相关直线”的是（）BC A ．1y x =+B ．2y =C ．430x y -=D ．210x y -+=34. 设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于,A B 两点，则（）ACDA ．||||AF BF +为定值B ．ABF 的周长的取值范围是[6,12]C ．当2m =时，ABF 为直角三角形D ．当1m =时，ABF【解析】设椭圆的左焦点为F '，则||||AF BF '=，所以||||||||AF BF AF AF '+=+为定值6，A 正确；ABF ∆的周长为||||||AB AF BF ++，因为||||AF BF +为定值6，易知||AB 的范围是(0,6)，所以ABF ∆的周长的范围是(6,12)，B 错误；将y 与椭圆方程联立，可解得(A ，B ，又易知F ，所以2(60AF BF =+=，所以ABF ∆为直角三角形，C 正确；将1y =与椭圆方程联立，解得(A ，B ，所以112ABF S ∆=⨯=D 正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．35. 若椭圆221(4)4x y m m+=<的离心率为12，则m = ．336. 已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若1253OP OA OB OC λ=++，且P ∈平面ABC ，则λ= ．21537. 已知空间向量(3,0,4),(3,2,1)a b ==-，则向量b 在向量a 上的投影向量是．34(,0,)55--38. 过点()3,0P -做直线()()21340m x m y m +-+--=的垂线，垂足为M ，已知点()2,3N ，则MN 的取值范围是．【解析】直线()()21340m x m y m +-+--=化为 (3)240m x y x y --+--=，令30{ 240x y x y --=--=，解得1{2x y -＝．＝∴直线()()21340m x m y m +-+--=过定点12Q -（，）． ∴点M 在以PQ 为直径的圆上，圆心为线段PQ 的中点11C --（，）线段MN 长度的最大值5CN r =+==线段MN 长度的最大值5CN r =-==故答案为5⎡+⎣.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 39. （10分）已知三角形的三个顶点是(4,0)A ，(6,7)B -，(0,3)C -．（1）求BC 边上的中线所在直线的方程；（2）求BC 边上的高所在直线的方程．解：(1)设线段BC 的中点为D ．因为B(6,−7)，C(0,−3)，所以BC 的中点D(3,−5)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y−0−5−0=x−43−4，即5x −y −20=0．(2)因为B(6,−7)，C(0,−3)，所以BC 边所在直线的斜率k BC =−3−(−7)0−6=−23，所以BC 边上的高所在直线的斜率为32，所以BC 边上的高所在直线的方程为y =32(x −4)，即3x −2y −12=0．40. （12分）已知(1,0)A -，(2,0)B ，动点M 满足||1||2MA MB =，设动点M 的轨迹为C ，（1）求动点M 的轨迹方程；（2）求2yx -的最小值．解：(1)设动点M(x,y)，根据题意得，√(x+1)2+y 2√(x−2)2+y 2=12，化简得，(x +2)2+y 2=4，所以动点M 的轨迹方程为(x +2)2+y 2=4． (2)设过点(2,0)的直线方程为y =k(x −2)，圆心到直线的距离d =√k 2+1≤2，解得−√33≤k ≤√33，所以yx−2的最小值为−√33．41. （12分）如图,四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ∥，22AD PD EA ===，,,F G H 分别为,,PB EB PC 的中点．（1）求证：FG ∥平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 夹角的大小．（1）证明：∵F,G 分别为PB,EB 中点，∴FG PE ∥，,FG PED PE PED ⊄⊂平面平面，FG PED ∴平面∥. （2）解：EA ABCD EA PD ⊥平面，∥，PD ABCD ∴⊥平面. 又ABCD 四边形为矩形，,,DA DC DP ∴两两垂直.故以D 为坐标原点，DA,DC,DP 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，、则1(0,0,2),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,1),(1,1,1),(2,1,),(0,1,1)2P B C E F G H ，(0,2,2),(2,0,0)PC CB =-=设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PC n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020y z x -=⎧⎨=⎩，所以可取(0,1,1)n =，同理可取平面FGH 的法向量为(0,1,0)m =，设平面FGH 与平面PBC 的夹角为θ，则||2cos ||||m n m n θ⋅==⋅，又[0,]2πθ∈，∴平面FGH 与平面PBC 夹角为4π.42. （12分）已知关于x ，y 的方程22:240C x y x y m +--+=．（1）若圆C 与圆22812360x y x y +--+=外切，求m 的值；（2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且||MN =，求m 的值．解：(1)把圆x 2+y 2−8x −12y +36=0，化为标准方程得(x −4)2+(y −6)2=16，所以圆心坐标为(4,6)，半径为R =4，则两圆心间的距离d =√(42+(6−2)2=5，因为两圆的位置关系是外切，所以d =R +r ，即4+√5−m =5，解得m =4，故m 的值为4；(2)因为圆心C 的坐标为(1,2)，所以圆心C 到直线l 的距离d =√5=√55，所以(√5−m)2=(12|MN|)2+d 2=(2√55)2+(√55)2，即5−m =1，解得m =4，故m 的值为4．43. （12分）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，=90PAB ∠，2PA PD AD ===，（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）在下列①②③三个条件中任选一个，补充在下面问题处，若问题中的四棱锥存在，求AB 的长度；若问题中的四棱锥不存在，说明理由．①CF 与平面PCD 所成角的正弦值等于15； ②DA 与平面PDF 所成角的正弦值等于34； ③P A 与平面PDF 所成角的正弦值等于3．问题：若点F 是AB 的中点，是否存在这样的四棱锥，满足？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）（1）证明：=90PAB ∠，AB PA ∴⊥， ∵底面ABCD 为矩形，∴AB AD ⊥，又,PA AD PAD ⊂平面，且PAAD A =，AB PAD ∴⊥平面，又AB ABCD ⊂平面，故平面PAD ⊥平面ABCD.（2）解：取AD 中点为O ，∵4PA PD AD ===，∴OA ⊥OP ，以O 为原点，OA,OP 所在直线分别为x,z 轴建立空间直角坐标系，设2(0)AB a a =>，则(1,0,0),(1,0,0),(0,0,3),(1,2,0),(1,2,0),(1,,0)A D P B a C a F a --，选①：(2,,0),(0,2,0),(1,0,3)CF a DC a DP =-==，设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2030ay x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴可取(3,0,1)n =-，设CF 与平面PCD 所成角为θ，则2||315sin 5||||4CF n CF n aθ⋅===⋅+，解得1a =， ∴符合题意的四棱锥存在，此时22AB a ==. 选②：(2,0,0),(1,0,3)(2,,0)DA DP DF a ===，，设平面PDF 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DP n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3020x z x ay ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，∴可取(3,)n a a =--，设DA 与平面PDF 所成角为θ，则||3sin 4||||2DA n DA n θ⋅===⋅，解得3a =， ∴符合题意的四棱锥存在，此时26AB a ==. 选③：易知P A 与平面PDF 所成角小于APD ∠，设P A 与平面PDF 所成角为θ，则sin sin sin32APD πθ<∠==，故不存在符合题意的四棱锥.44. （12分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为3，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为（1）求椭圆M 的方程；（2）设直线:l x ky m =+与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点C ，求m 的值．解：(Ⅰ)因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4√2，所以2a +2c =6+4√2，又椭圆的离心率为2√23，即c a =2√23，所以c =2√23a ，所以a =3，c =2√2．所以b =1，椭圆M 的方程为x 29+y 2=1;(Ⅱ)由{x =ky +m x 29+y 2=1消去x 得(k 2+9)y 2+2kmy +m 2−9=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则有y 1+y 2=−2km k +9，y 1y 2=m 2−9k +9.①因为以AB 为直径的圆过点C ，所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．由CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−3,y 1),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−3,y 2)，得(x 1−3)(x 2−3)+y 1y 2=0．将x 1=ky 1+m ，x 2=ky 2+m 代入上式，得(k 2+1)y 1y 2+k(m −3)(y 1+y 2)+(m −3)2=0．将①代入上式，解得m =125或m =3．。

上海市宝山区行知中学2020-2021高二上学期期中考试数学(含答案)

上海市行知中学2020学年第一学期期中高二年级数学学科试卷11.12考试时间：120分钟满分：150分一、填空题（本题满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 1和3的等比中项等于_________.2.行列式123456789中，6的代数余子式的值是_________.3.已知向量(1,0)AB =，(0,2)BC =，则与向量AC 相等的位置向量的坐标为_________.4.过点(4,3)A -，且与向量(1,2)n =垂直的直线方程是_________.（用一般式表示）5.关于x 、y 的二元线性方程组2532x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫⎪⎝⎭，则m n +=_________. 6.已知变量x 、y 满足约束条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为_________.7.已知直线:l y =，过点(0,3)A 的直线m 与直线l 夹角为6π，则直线m 的直线方程是_________.8.不等式2x y +≤表示的平面区域面积是_________.9.已知点(2,3)A -，点(3,1)B ，直线：10ax y ++=与线段AB 有一个公共点，则实数a 的取值范围是_________.10.已知点(3,1)A -，点M 、N 分别是x 轴和直线250x y +-=上的两个动点，则AM MN +的最小值等于_________.11.如图，等边ABC ∆是半径为2的圆O 的内接三角形，M 是边BC 的中点，P 是圆外一点，且4OP =，当ABC ∆绕圆心O 旋转时，则OB PM ⋅的取值范围为_________. 12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2a a =（1a >），211n n n n a a a a d+++-=-+（0d >,*n ∈N ）．且{}2n a 、{}21n a -均为等差数列，则2n S =_________.二、选择题（本题满分20分，共4小题，每小题5分） 13.用数学归纳法证明：*111113(2,)12324n n N n n n n n ++++>≥∈++++的过程，从“k 到1k +”左端需增加的代数式为………………………（） A.121k + B. 122k + C. 112122k k +++ D. 112122k k -++14.已知3,4,()(3)33a b a b a b ==+⋅+=，则a 与b 的夹角为（）A.6π B. 3πC. 23πD. 56π15.已知n S 是实数等比数列{}n a 前n 项和，则在数列{}n S 中（）A. 必有一项为零B. 可能有无穷多项为零C. 至多一项为零D. 任何一项均不为零 16. 如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =.若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中A P A B A E λμ=+，下列判断正确．．的是……………………………………………（）（A ）满足λμ+2=的点P 必为BC 的中点. （B ）满足1λμ+=的点P 有且只有一个. （C ）λμ+的最大值为3. （D ）λμ+的最小值不存在.三、解答题（本大题满分76分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号的规定区域内写出必要的步骤.）17. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知(2,1)a =，(1,1)b =-，(5,6)c =，且满足()//a kb c +. （1）求实数k 的值；P （第16题图）（2）求与a垂直的单位向量的坐标.18. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知直线2l a a x ay-+--=.:(24)30A，试写出直线l的一个方向向量；（1）若直线l过点(1,0)a≠，求直线的倾斜角α的取值范围.（2）若实数019. (本题满分14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分)2019年某公司投资8千万元启动休闲旅游项目.规划从2020年起，在今后的若千年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2019 年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%，记2019年为第1年，a为第1年至n此后第n(n N*∈)年的累计利润(注:含第n年，累计利润=累计净收入-累计投入，单位:千万元)，且当a为正值时，认为该项目赢利.n（1）试求a;n（2）根据预测，该项目将从哪年开始并持续赢利?请说明理由，20. （本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）数列{}n a ，*111,21,n n a a a n N +==+∈，数列{}n b 前n 项和为. n S ，9n b n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n bn t a =（a 为非零实数），求121lim2nn n t t t t →∞+++++；（3）若对任意的n N *∈，都存在m N *∈，使得32nn m a S t -+-≥成立，求实数t 的最大值.21. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）设q 为不等于1的正常数，{}n a 各项均为正，首项为1，且{}n a 前n 项和为n S ，已知对任意的正整数,n m ，当时n m >，mn m n m S S q S --=恒成立.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n t 是首项为1，公差为3的等差数列，存在一列数12,,,,n k k k ：恰好使得1212,,,,n k k k n t a t a t a ===且121,2k k ==，求数列{}n k 的通项公式；（3）当3q =时，设n nnb a =，问数列{}n b 中是否存在不同的三项恰好成等差数列?若存在，求出所有这样的三项，若不存在，请说明理由上海市行知中学2020学年第一学期期中高二年级数学学科试卷11.12考试时间：120分钟满分：150分一、填空题（本题满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 1和3的等比中项等于_________.【答案】2.行列式123456789中，6的代数余子式的值是_________. 【解析】6的代数余子式为23(1)(1827)6+-⨯-⨯=.3.已知向量(1,0)AB =，(0,2)BC =，则与向量AC 相等的位置向量的坐标为_________. 【答案】(1,2)4.过点(4,3)A -，且与向量(1,2)n =垂直的直线方程是_________.（用一般式表示）【解析】所求直线方程为(1)2(3)0x y -++=，即250x y ++=.5.关于x 、y 的二元线性方程组2532x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫⎪⎝⎭，则m n +=_________. 【答案】236.已知变量x 、y 满足约束条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+_________.【解析】作出可行域，如图，最优解为(1,2)A -， max 1223z =-+⨯=.7.已知直线:l y =，过点(0,3)A 的直线m 与直线l 夹角为6π，则直线m 的直线方程是_________.【答案】0x =或3y =+. 8.不等式2x y +≤表示的平面区域面积是_________.【解析】不等式||||2x y +≤表示的平面区域为图中的菱形区域， 14482S =⨯⨯=.9.已知点(2,3)A -，点(3,1)B ，直线：10ax y ++=与线段AB 有一个公共点，则实数a 的取值范围是_________.【解析】(2,1),(3,1)A B -代入得(231(311)0a a -++⋅++≤）即23a ≤-或2a ≥ 10.已知点(3,1)A -，点M 、N 分别是x 轴和直线250x y +-=上的两个动点，则AM MN +的最小值等于_________.【解析】作点(3,1)A -关于x 轴的对称点(3,1)A '--，则||||||||AM MN A M MN '+=+，最小值即为(3,1)A '--到直线250x y +-=的距离，d ==，所以||||AM MN +的最小值为5.11.如图，等边ABC ∆是半径为2的圆O 的内接三角形，M 是边BC 的中点，P 是圆外一点，且4OP =，当ABC ∆绕圆心O 旋转时，则OB PM ⋅的取值范围为_________.【解析】法一：不妨以O 为原点，OA 方向为y 轴正方形建系，因为2OA OB OC ===，所以(0,1),1)M B --，因为4OP =，设(4cos ,4sin )P θθ，所以•(3,1)(4cos ,14sin )OB PM θθ=----[]8s 4i si n(n )17,931πθθθ=-+∈-=-+.法二：向量分解，观察到60,1BOM OM ∠==，()1OB PM OB OM OP OB OM OB OP OB OP ⋅=⋅-=⋅+⋅=+⋅，又因为[]8,8OB OP ⋅∈-，所以[]7,9.OB PM ⋅∈-12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2a a =（1a >），211n n n n a a a a d+++-=-+（0d >,*n ∈N ）．且{}2n a 、{}21n a -均为等差数列，则2n S =_________.【解析】因为211n n n n a a a a d +++-=-+，2111a a a a -=-=-，所以11(1)n n a a a n d +-=-+-①，因为{}{}221,n n a a -分别构成等差数列，所以221[1(22)](2)n n a a a n d n --=±-+-≥①， 212[1(21)](1)n n a a a n d n +-=±-+-≥①， 2221[12](1)n n a a a nd n ++-=±-+≥①，由①+①，得2121[1(21)][1(22)]n n a a a n d a n d +--=±-+-±-+-，而{}21n a -是等差数列，所以2121n n a a +--必为常数，所以2121[1(21)][1(22)](2)n n a a a n d a n d d n +--=-+---+-=≥，或2121[1(21)][1(22)](2)n n a a a n d a n d d n +--=--+-+-+-=-≥，由①得321a a a d -=-+，即32(1)a a a d -=±-+，因为2a a =，所以3(1)a a d a =±-++，因为11a =，所以311(1)a a a a d -=-±-+，即31a a d -=-或312(1)a a a d-=-+（舍去），PC所以2121n n a a d +--=-，所以211(1)n a n d -=--，同理，由①+①得，222[12][1(21)](1)n n a a a nd a n d n +-=±-+±-+-≥，所以222n n a a d +-=或222n n a a d +-=-，因为321a a a d -=-+-，而43(12)a a a d -=±-+，所以421(12)a a a d a d -=-+-±-+，即42a a d -=或42223a a a d -=-+-（舍去），所以222n n a a d +-=，所以2(1)n a a n d =+-，所以21221221k k k k a a a a a -+++=+=+，所以2122(1)(1)(1)n n S a a a a a n a =+++=++++=+.二、选择题（本题满分20分，共4小题，每小题5分） 13.用数学归纳法证明：*111113(2,)12324n n N n n n n n ++++>≥∈++++的过程，从“k 到1k +”左端需增加的代数式为………………………（ D ） A.121k + B. 122k + C. 112122k k +++ D. 112122k k -++【解析】增加的代数式是11111212212122k k k k k +-=-+++++，故选D. 14.已知3,4,()(3)33a b a b a b ==+⋅+=，则a 与b 的夹角为（ C ）A.6π B. 3πC. 23πD. 56π【答案】C15.已知n S 是实数等比数列{}n a 前n 项和，则在数列{}n S 中（ B ）A. 必有一项为零B. 可能有无穷多项为零C. 至多一项为零D. 任何一项均不为零【解析】当公比1q =-时，20n S =，即存在无穷多项为0，故选B.16. 如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =.若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中A P A B A E λμ=+，下列判断正确．．的是……………………………………………（ C ）（A ）满足λμ+2=的点P 必为BC 的中点. （B ）满足1λμ+=的点P 有且只有一个. （C ）λμ+的最大值为3. （D ）λμ+的最小值不存在.【解析】如图建系，设正方形的边长为1，则(1,0),(1,1),(1,0),(1,1)B E AB AE -==-，所以(,)AP λAB μAE λμμ=+=-，当1λμ==时，(0,1)AP =，此时点P 和D 重合，不是BC 的中点，故A 错误；当1,0λμ==时，(1,0)AP =，此时点P 和B 重合，满足1λμ+=，当11,22λμ==时，10,2AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时点P 为AD 中点，满足1λμ+=，故点P 不唯一，故B 错误；当P AB ∈时，01,0λμμ≤-≤=，所以01λμ≤+≤，当P BC ∈时，1,01λμμ-=≤≤，所以13λμ≤+≤，当P CD ∈时，01,1λμμ≤-≤=，所以23λμ≤+≤，当P AD ∈时，0,01λμμ-=≤≤，所以02λμ≤+≤，综上，03λμ≤+≤，故C 正确，D 错误，故选C.三、解答题（本大题满分76分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号的规定区域内写出必要的步骤.）17. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知(2,1)a =，(1,1)b =-，(5,6)c =，且满足()//a kb c +. （1）求实数k 的值；（2）求与a 垂直的单位向量的坐标. 【解析】（1）(2,1)a kb k k +=-+，(5,6)c =，因为()a kbc +∥，所以6(2)5(1)k k -=+，解得711k =；（2）与a 垂直的向量为(1,2)-和(1,2)-，故所求单位向量为55⎛-⎝⎭和55⎛ ⎝⎭. 18. （本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知直线2:(24)30l a a x ay -+--=.（1）若直线l 过点(1,0)A ，试写出直线l 的一个方向向量；（2）若实数0a ≠，求直线的倾斜角α的取值范围.【解析】（1）把(1,0)A 代入直线l 的方程，得2210a a -+=，解得1a =，此时直线l 的方程为330x y --=，故直线l 的一个方向向量为(1,3)；（2）因为0a ≠，所以直线l 的斜率22442(,6][ 2,)a a a k a a-+=+--=∈-∞+∞所以倾斜角arctan 2,,arctan 622ππαπ⎡⎫⎛⎤∈-⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 19. (本题满分14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分)2019年某公司投资8千万元启动休闲旅游项目.规划从2020年起，在今后的若千年内，每年继续投资2千万元用于此项目.2019 年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%，记2019年为第1年，n a 为第1年至此后第n (n N *∈)年的累计利润(注:含第n 年，累计利润=累计净收入-累计投入，单位:千万元)，且当n a 为正值时，认为该项目赢利. （1）试求n a ;（2）根据预测，该项目将从哪年开始并持续赢利?请说明理由，【解析】（1）由题意得第1年至此后第n 年的累计投入为82(1)26n n +-=+（千万元），第1年至此后第n 年的累计净收入为2111313133122222222n n-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯++⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（千万元），所以331(26)2722nnn a n n ⎛⎫⎛⎫=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（千万元）；（2）令113()422nn n f n a a +⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当*3,n n ≤∈N 时，()0f n <，所以4n ≤时，n a 单调递减，当*4,n n ≥∈N 时，()0g n >，所以4n ≥时，n a 单调递增，又7817815330,210,230222a a a ⎛⎫⎛⎫=-<=-<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该项目从第8年起开始并持续盈利.20. （本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）数列{}n a ，*111,21,n n a a a n N +==+∈，数列{}n b 前n 项和为. n S ，9n b n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n bn t a =（a 为非零实数），求121lim2nn n t t t t →∞+++++；（3）若对任意的n N *∈，都存在m N *∈，使得32nn m a S t -+-≥成立，求实数t 的最大值.【解析】（1）因为121n n a a +=+，所以12(1)1n n a a +=++，又112a +=，所以{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，所以12nn a +=，所以21n n a =-；（2）9n n b n t a a -==，记1212nn n t t t T t ++++=+，当1a =时，3n nT =，此时lim n n T →∞不存在，当1a ≠时，()()88888112(1)2n n n n n a a a a a T a a a --------==+-+，当(1,0)(0,1)a ∈-时，82(1)lim n n a T a -→∞=-，当(,1)(1,)a ∈-∞-+∞时，888111211(1)1lim lim n n n n n a a a a a a T ---→∞→∞--==--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，当1a =-时，lim n n T →∞不存在；（3）由题意得3221nn m t S -+--≥对*m N ∈有解，因为9n b n =-，所以当9n ≤时，0n b ≤，当9n ≥时，0n b ≥，所以()89min (80)9362m S S S -+⨯====-，所以322613n n t -+---≥对*n N ∈恒成立，即25832n n t ≤++对*n N ∈恒成立，因为*n N ∈，所以min2628n n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以63541t ≤+=，所以实数t 的最大值是41.21. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）设q 为不等于1的正常数，{}n a 各项均为正，首项为1，且{}n a 前n 项和为n S ，已知对任意的正整数,n m ，当时n m >，mn m n m S S q S --=恒成立.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n t 是首项为1，公差为3的等差数列，存在一列数12,,,,n k k k ：恰好使得1212,,,,n k k k n t a t a t a ===且121,2k k ==，求数列{}n k 的通项公式；（3）当3q =时，设n nnb a =，问数列{}n b 中是否存在不同的三项恰好成等差数列?若存在，求出所有这样的三项，若不存在，请说明理由【解析】（1）因为当n m >时，mn m n m S S q S --=⋅恒成立，所以当2n ≥时，令1m n =-，得1111n n n n S S q S q ----==，即1n n a q -=，又11a =，适合，所以1n n a q -=；（2）因为数列{}n t 是首项为1，公差为3的等差数列，所以13(1)32n t n n =+-=-，所以132n n k n t k q-=⋅-=，所以123n n q k -+=，因为22k =，所以223q +=，解得4q =，所以1423n n k -+=；（3）当3q =时，13n n n n n b a -==，因为11203n n n nb b +--=<，所以数列{}n b 是递减数列，假设数列{}n b 中存在三项,,p q r b b b 成等差数列，其中p q r <<，则2p r p b b b +=，即1112333p q r p r q---+=⋅，当2n ≥时，132(1)333n n n n n n -+=≥，若2p ≥，则112(1)2333pp q p p q--+≥≥（数列{}n b 是递减数列），矛盾，所以1p =，所以112133r q r q --+=，因为数列{}n b 是递减数列，232111,3232b b ==＞＜，而1121133q r q r--=+＞，故只能1233q q -=，解得2q =，此时3r =，故存在123,,b b b 成等差数列. 【注】填空12选自2020届闵行一模21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知数列{}n a 满足11a =，2a a =（1a >），211n n n n a a a a d +++-=-+（0d >）*n ∈N ．（1）当2d a ==时，写出4a 所有可能的值；（2）当1d =时，若221n n a a ->且221n n a a +>对任意*n ∈N 恒成立，求数列{}n a 的通项公式；（3）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}2n a 、{}21n a -分别构成等差数列，求2n S ．【解析】（1）当2d a ==时，2112n n n n a a a a +++-=-+，即{}1n n a a +-是以1为首项、2为公差的等差数列，所以1=21n n a a n +--……2分可得：32=3a a -±，43=5a a -±，所以3=5,1a -，43=5a a ±，所以410a =或40a =或4=4a 或4=6a -. ……………………………4分（2）当1d =时，2111n n n n a a a a +++-=-+，即{}1n n a a +-是首项为1a -、公差为1的等差数列. 所以1||=112n n a a a n a n +--+-=-+，所以212||22n n a a a n +-=-+，221||32n n a a a n --=-+, 因为221n n a a ->且221n n a a +>，所以22122n n a a a n +-=-+，22132n n a a a n --=-+ …………………6分所以21211n n a a +--=-,所以212n a n -=-,22132+1n n a a n a a n -=-+=-+………8分所以3,2=1,2n nn a n a n -⎧⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩为奇数为偶数. ………10分（3）由已知得1||=1(1)n n a a a n d +--+-()*n ∈N…………………………………①若{}2n a 、{}21n a -分别构成等差数列，则[]221=1(22)n n a a a n d--±-+-()2n ≥…①[]212=1(21)n n a a a n d +-±-+-()1n ≥， ……………………………①2221=(12)n n a a a nd ++-±-+()1n ≥， ……………………………①由①+①得：[][]2121=1(21)1(22)n n a a a n d a n d +--±-+-±-+-()2n ≥因为{}21n a -是等差数列，2121n n a a +--必为定值所以[][]2121=1(21)1(22)n n a a a n d a n d +---+---+-或[][]2121=1(21)+1(22)n n a a a n d a n d +----+--+-即2121n n a a d +--=()2n ≥或2121n n a a d +--=-()2n ≥ ………………12分而由①知321a a a d -=-+，即()321a a a d -=±-+，所以()3111a a a a d -=-±-+，即31a a d -=-或()3121a a a d -=-+（舍）故2121()n n a a d n *+--=-∈N …………………………………………14分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧=-+-=-=k n a k k n k a n 2,112,2或写成所以()*211(1)n a n d n -=--∈N . 同理，由①+①得：[][]222=121(21)n n a a a nd a n d +-±-+±-+-()1n ≥，所以222=n n a a d +-或222n n a a d +-=-，由上面的分析知321a a a d -=-+-，而()4312a a a d -=±-+，故()42112a a a d a d -=-+-±-+，即42a a d -=或42222a a a d -=-+-（舍）所以222=n n a a d +- ………………16分所以2(1)n a a n d =+-，从而21221221k k k k a a a a a -+++=+=+（*k ∈N ）所以21221(1)(1)(1)(1)n n n aS a a a a a a n a +=+++=++++⋅⋅⋅++=+个…18分。

北京市昌平区第一中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题含解析

【解析】
【分析】
把直线方程化成斜截式，根据斜率等于倾斜角的正切求解.
【详解】直线化成斜截式为，
因为，所以 .
故选B.
【点睛】本题考查直线的斜截式方程和基本性质，属于基础题.
3.已知，，则的值为（）
A. 4B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得，再利用空间向量模的公式计算.
【详解】∵ ，， , ,
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出以及平面的法向量后可证明平面 .
（2）求出平面的法向量后可求二面角的余弦值.
（3）可证明始终不为零，从而可证与都不垂直.
【详解】因为底面，而底面，底面，
故，，
又底面是矩形，故 .
依题意满足条件的最小正方形是各边以为中点，边长为2的正方形，故不存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线在此正方形区域内（含边界），故③不正确.
故答案为：①②
【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线的对称性，考查了不等式知识，考查了求曲线交点坐标，属于中档题.
三、解答题共5题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆心到直线的距离等于半径求解.
【详解】解：直线的一般方程为 ,
圆的圆心为，半径为 .
直线与圆相切， , .
故选:D.
6.圆和圆的位置关系是（）
A.相交B.内切C.外切D.相离
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出两圆的圆心和半径，求得圆心距与半径和或差的关系，即可判断位置关系

高二上学期期中考试数学试卷含答案

2019-2020学年上学期高二级期中考试题数学一、单选题(本题共10小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．若直线10x my +-=的倾斜角为30°，则实数m 的值为( )A. 3-B.3 C. 33-D.332．在等差数列{}n a 中，39618,n a a a S +=-表示数列{}n a 的前n 项和，则11S =( ) A ．66B ．99C ．198D ．2973．已知0,0a b <>，那么下列不等式中一定成立的是（） A ．0b a -< B ．a b >C ．2a ab <D ．11a b< 4．满足,23,43A BC AC π===的ABC ∆的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．两条平行直线34120x y +-=与8110ax y ++=之间的距离为( ) A ．235B ．2310C ．7D ．726．已知点A 的坐标为)4,4(-，直线l 的方程为02=-+y x ，则点A 关于l 的对称点'A 的坐标为( ) A ．)4,32(-B ．)6,2(-C ．)4,2(D ．)6,1(7．如图，网格纸上虚线围成的最小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.πB.2πC.4πD.8π8．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( ) A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°9．若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上有且仅有4个点到直线l ：x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是( ) A ．(2＋1，＋∞) B ．(2－1，2＋1) C ．(0，2－1)D ．(0，2＋1)10．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A ．81π4 B ．16π C ．9πD ．27π4二、多选题(本题共2小题，每小题5分，共10分。

四川省成都市郫都区2019-2020学年高二上学期期中考试数学(理)试题含解析

四川省成都市郫都区2019-2020学年度上期期中考试高二数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题）1.直线x+y-1=0的倾斜角为（）A. B. C. D.2.抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A. B. C. D.3.双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离为（）A. 1B.C.D. 24.下列说法正确的是（）A. 命题“3能被2整除”是真命题B. 命题“,”的否定是“,”C. 命题“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题D. 命题“若a、b都是偶数,则是偶数”的逆否命题是假命题5.已知α、β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点，命题q：α∥β，则p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.直线l1：x+ay+6=0与l2：（a-2）x+3y+2a=0平行，则a的值等于（）A. 或3B. 1或3C.D.7.设m、n是两条不同的直线α，β，γ，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是（）①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γA. 和B. 和C. 和D. 和8.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），则k的值为（）A. B. C. D.9.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 1B. 3C. 6D. 210.已知圆，圆，则这两个圆的公切线条数为（）A. 1条B. 2 条C. 3 条D. 4 条11.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A. B. C. D.12.已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点Q为椭圆上一点．△QF1F2的重心为G，内心为I，且，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知x、y满足不等式组，则z=3x+y的最大值为______．14.体积为4π的球的内接正方体的棱长为______．15.椭圆+=1与双曲线-=1有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2= ______ ．16.抛物线x2=2py（p＞0）上一点A（，m）（m＞1）到抛物线准线的距离为，点A关于y轴的对称点为B，O为坐标原点，△OAB的内切圆与OA切于点E，点F为内切圆上任意一点，则的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题）17.已知p：方程x2+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根；q：方程表示焦点在y轴上的双曲线．（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．18.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cos A cos C（tan A tan C-1）=1．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．19.已知在等比数列{a n}中，a1=2，且a1，a2，a3-2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的前n项和S n．20.如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF的体积V．21.已知动点M（x，y）满足：．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）设过点N（-1，0）的直线l与曲线E交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为C（点C与点B不重合），证明：直线BC恒过定点，并求该定点的坐标．22.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆O：x2+y2=相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l 的方程．答案和解析1.【答案】D【解析】解：设直线x+y-1=0的倾斜角为α．直线x+y-1=0化为．∴tanα=-．∵α∈[0°，180°），∴α=150°．故选：D．利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：抛物线y=4x2的标准方程为x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选：C．把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：根据题意，由双曲线的方程为，可得焦点坐标为（-2，0）（2，0），渐近线的方程为y=±x；结合双曲线的对称性，其任一个焦点到它的渐近线的距离相等，故只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可，其距离为d==，故选：C．根据双曲线的方称可得其焦点坐标与渐近线的方程，由于双曲线的对称性，只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可，由点到直线的距离公式，计算可得答案．本题考查双曲线的性质，解题时注意结合双曲线的对称性，只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可．4.【答案】C【解析】解：对于A，3不能被2整除，∴“3能被2整除”是假命题，A错误；对于B，“∃x0∈R，x02-x0-1＜0”的否定是“∀x∈R，x2-x-1≥0”，∴B错误；对于C，47不是7的倍数，49是7的倍数，∴“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题，C正确；对于D，“若a、b都是偶数，则a+b是偶数”是真命题，则它的逆否命题也是真命题，∴D错误．故选：C．A，3不能被2整除，判断A是假命题；B，写出命题的否定，即可判断B是假命题；C，由47不是7的倍数，49是7的倍数，利用复合命题的真假性判断即可；D，根据原命题与它的逆否命题真假性相同，判断即可．本题考查了命题真假的判断问题，是基础题．5.【答案】B【解析】解：当a，b都平行于α与β的交线时，a与b无公共点，但α与β相交．当α∥β时，a与b一定无公共点，∴q⇒p，但p⇒/q故选：B．利用量平面平行的定义推出a与b没有公共点；a与b没有公共点时推不出α∥β，举一个反例即可．利用充要条件定义得选项．本题考查两个平面平行的定义：两平面无公共点；充要条件的判断．6.【答案】D【解析】解：因为两条直线平行，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由，解得：a=-1，故选：D．直接利用两直线平行的充要条件，列出方程求解，解得a的值．本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验．7.【答案】D【解析】解：由m、n是两条不同的直线α，β，γ，是三个不同的平面，知：∵m⊥α，n∥α，∴m⊥n，故①正确；∵α⊥γ，β⊥γ，∴α∥β或α与β相交，故②不正确；∵m∥α，n∥α，∴m与n相交、平行或异面，故③不正确；∵α∥β，β∥γ，∴α∥γ，∵m⊥α，∴m⊥γ，故④正确．故选：D．由m、n是两条不同的直线α，β，γ，是三个不同的平面，知：m⊥α，n∥α⇒m⊥n；α⊥γ，β⊥γ⇒α∥β或α与β相交；m∥α，n∥α⇒m与n相交、平行或异面，故③不正确；α∥β，β∥γ⇒α∥γ，由m⊥α，知m⊥γ．本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.【答案】A【解析】解：如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°，∴k=±．故选：A．直线过定点，直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），可以发现∠QOx的大小，求得结果．本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查由三视图求几何体的体积，在三个图形中，俯视图确定锥体的名称，即是几棱锥，正视图和侧视图确定锥体的高，注意高的大小，侧视图是最不好理解的一个图形，注意图形上的虚线部分，根据体积公式得到结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2，∴四棱锥的体积是=2.故选D．10.【答案】D【解析】解：根据题意，圆C1：x2+y2+2x-4y+1=0，即（x+1）2+（y-2）2=4，其圆心为（-1，2），半径r1=2，圆C2：（x-3）2+（y+1）2=1，其圆心为（3，-1），半径r2=1，则有|C1C2|==5＞r1+r2，两圆外离，有4条公切线；故选：D．根据题意，分析两圆的圆心与半径，进而分析两圆的位置关系，据此分析可得答案．本题考查圆与圆的位置关系以及两圆的公切线，关键是分析两圆的位置关系，属于基础题．11.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用.由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y-4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y-4=0于F，则当D恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小.【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y-4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y-4=0于F，则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小.此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y-4=0的距离为：d==，此时r=，∴圆C的面积的最小值为：S min=π×（）2=.故选A.12.【答案】A【解析】解：椭圆的左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），设Q（x0，y0），∵G为△F1QF2的重心，∴G点坐标为G（，），∵，则∥，∴I的纵坐标为，又∵|QF1|+|QF2|=2a，|F1F2|=2c，∴=•|F1F2|•|y0|，又∵I为△F1QF2的内心，∴||即为内切圆的半径，内心I把△F1QF2分为三个底分别为△F1MF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，∴=（|QF1|+|F1F2|+|QF2|）||，即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率为e=，∴该椭圆的离心率，故选：A．由题意，设Q（x0，y0），由G为△F1QF2的重心，得G点坐标为（，），利用面积相等可得，×2c•|y0|=（2a+2c）||，从而求椭圆的离心率．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的重心与内心的性质、三角形面积计算公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】9【解析】解：作出x、y满足不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，其中A（2，3），设z=F（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，∴z最大值=F（2，3）=9．故答案为：9．作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=3时，求出z=3x+y取得最大值．本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=3x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：设球的半径为R，正方体的棱长a，则=4，∴R3=，∴R=，则由正方体的性质可知，正方体的体对角线=2R=2，∴a=2，故答案为：2．先确定球的半径，利用球的内接正方体的对角线为球的直径，即可求得结论．本题考查球的内接正方体，解题的关键是利用球的内接正方体的对角线为球的直径，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由题意设焦点F2（2，0）、F1（-2，0），∴3+b2=4，求得b2=1，双曲线-=1，即双曲线-y2=1．不妨设点P在第一象限，再根据椭圆、双曲线的定义和性质，可得|PF1|+|PF2|=2，|PF1|-|PF2|=2，可得|PF1|=+，|PF2|=-，且|F1F2|=4．再由余弦定理可得cos∠F1PF2=即=，故答案为：．不妨设点P在第一象限，再根据椭圆、双曲线的定义和性质，可得|PF1|+|PF2|=2，|PF1|-|PF2|=2，求得|PF1|和|PF2|的值，根据|F1F2|=4，利用余弦定理可得cos∠F1PF2的值．本题主要考查椭圆、双曲线的定义和性质及其标准方程，余弦定理的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或p=6．当p=6时，，故p=6舍去，所以抛物线方程为x2=y，∴，所以△OAB是正三角形，边长为，其内切圆方程为x2+（y-2）2=1，如图4，∴．设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），则，∴．故答案为：．利用点在抛物线上，求出m，点A到准线的距离为，求出p，即可解出抛物线方程，设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），化简数量积，求解范围即可．本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．17.【答案】解：（1）由已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，则，得，得m＜-3，即q：m＜-3．（2）若方程x2+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根则，解得-2＜m＜-1，即p：-2＜m＜-1．因p或q为真，所以p、q至少有一个为真．又p且q为假，所以p，q至少有一个为假．因此，p，q两命题应一真一假，当p为真，q为假时，，解得-2＜m＜-1；当p为假，q为真时，，解得m＜-3．综上，-2＜m＜-1或m＜-3．【解析】（1）根据双曲线的标准方程进行求解即可．（2）根据复合命题真假关系得到p，q两命题应一真一假，进行求解即可．本题主要考查复合命题的真假应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．18.【答案】解：（Ⅰ）由2cos A cos C（tan A tan C-1）=1得：2cos A cos C（-1）=1，∴2（sin A sin C-cos A cos C）=1，即cos（A+C）=-，∴cos B=-cos（A+C）=，又0＜B＜π，∴B=；（Ⅱ）由余弦定理得：cos B==，∴=，又a+c=，b=，∴-2ac-3=ac，即ac=，∴S△ABC=ac sin B=××=．【解析】（Ⅰ）已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦，去括号后利用两角和与差的余弦函数公式化简，再由诱导公式变形求出cos B的值，即可确定出B的大小；（Ⅱ）由cos B，b的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b以及b的值代入求出ac的值，再由cos B的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．此题考查了余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19.【答案】解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比设为q，a1=2，a1，a2，a3-2成等差数列，可得2a2=a1+a3-2，即为4q=2+2q2-2，解得q=2，则a n=a1q n-1=2n，n∈N*；（Ⅱ）=+2log22n-1=+2n-1，则数列{b n}的前n项和S n=（++…+）+（1+3+…+2n-1）=+n（1+2n-1）=1-+n2．【解析】（Ⅰ）等比数列{a n}的公比设为q，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得q，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）求得=+2log22n-1=+2n-1，由数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列分组求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题．20.【答案】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵四边形BDEF是正方形，∴DE∥BF，∵BF∩BC=B，∴平面ADE∥平面BCF，∵CF⊂平面BCF，∴CF∥平面ADE．（Ⅱ）解：连结AC，交BD于O，∵四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．∴DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDEF，∵AE=，∠BCD=60°，∴AD=DE=BD=1，∴AO=CO=，∴多面体ABCDEF的体积：V=2V A-BDEF=2×=2×=．【解析】（Ⅰ）由已知得AD∥BC，DE∥BF，从而平面ADE∥平面BCF，由此能证明CF∥平面ADE．（Ⅱ）连结AC，交BD于O，由线面垂直得AC⊥DE，由菱形性质得AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而多面体ABCDEF的体积V=2V A-BDEF，由此能求出多面体ABCDEF的体积V．本题考查线面平行证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21.【答案】解：（1）由已知，动点M到点P（-1，0），Q（1，0）的距离之和为2，且|PQ|＜2，所以动点M的轨迹为椭圆，而a=，c=1，所以b=1，所以，动点M的轨迹E的方程：+y2=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x1，-y1），由已知得直线l的斜率存在，设斜率为k，则直线l的方程为：y=k（x+1），由，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0，所以x1+x2=-，x1x2=，直线BC的方程为：y-y2=（x-x2），所以y=x-，令y=0，则x====-2，所以直BC与x轴交于定点D（-2，0）．【解析】（1）分别求出a，b，c的值，求出M的轨迹方程即可；（2）输出直线l的方程为：y=k（x+1），联立直线和椭圆的方程，根据根与系数的关系，求出定点D的坐标即可．本题考查了求椭圆的轨迹方程问题，考查直线和椭圆的关系以及韦达定理的应用，是一道中档题．22.【答案】解：（1）由题意可得，e==，a2-b2=c2，点（1，）代入椭圆方程，可得+=1，解得a=，b=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）①当k不存在时，x=±时，可得y=±，S△OAB=××=；②当k存在时，设直线为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0，x1+x2=-，x1x2=，由直线l与圆O：x2+y2=相切，可得=，即有4m2=3（1+k2），|AB|=•=•=•=•=•≤•=2，当且仅当9k2= 即k=±时等号成立，可得S△OAB=|AB|•r≤×2×=，即有△OAB面积的最大值为，此时直线方程y=±x±1．【解析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）讨论①当k不存在时，②当k存在时，设直线为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件：d=r，结合基本不等式即可得到所求面积的最大值和直线l的方程．本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积的最大值，注意运用分类讨论的思想方法，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件：d=r，和基本不等式的运用，属于中档题．。

湖北省部分中学2020年秋高二数学上学期期中联考试卷附答案解析

D．
0，1 2
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分
9．下列说法正确的是（）
A．命题“ x R ， x2 1 ”的否定是“ x0 R ， x02 1”
B．命题“ x0 (3, ) ， x02 9 ”的否定是“ x (3, ) ， x2 9 ” C．“ m 0 ”是“关于 x 的方程 x2 2x m 0 有一正一负根”的充分不必要条件 D．“ a 5 ”是命题“ x R, x2 ax a 0 ”为假命题的充分不必要条件
湖北省部分中学 2020 年秋高二数学上学期期中联考试卷
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的
1．已知点 A(-3, 2) ， B(0, 1) ，则直线 AB 的倾斜角为（）
A． 300
B． 450
C．1350
10．抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 4,5,6”为事件 A,“向上的点数是 1,2”为事件 B,“向上的点数是 1,2,3”为事件 C,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件 D,则下列关于事件 A，B，C，D 判断正确的是（）
A．A 与 B 是互斥事件但不是对立事件
B．A 与 C 是互斥事件也是对立事件
所以“ m ”是“ m l ”的充要条件故选 C
5.【答案】B
【解析】由圆的几何性质两圆在点 A 处的切线互相垂直，且过对方圆心 O2O1．则
在 Rt△O2AO1 中，|O1A|= 5 |O2A|= 20 ，斜边上的高为半弦，用等积法易得： AB 5 5 20 ⇒|AB|=4．故答案为：B

娄底市第一中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题

湖南省娄底市第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题一、单选题1．“1m ”是“方程22115y x m m +=--表示焦点在y 轴上的双曲线"的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若关于x 的不等式242x x mx-+>的解集为{}|02x x <<，则实数m 的值为（ ) A ．1- B ．1 C ．2D ．2- 3．已知,a b 为非零实数，且a b <,则下列命题一定成立的是( )A ．22ab <B ．|a ｜〈|b|C ．3223a ba b < D ．22acbc <4．已知(2,1,3)a =-，(4,1,2)a x y =-+-，若//a b ，则x y +=（） A ．6-B ．5-C ．4-D ．3-5．设函数()()310f x x ax a =++<,曲线()y f x =在点()(),a f a 处的切线方程为2y x b=+，则a b +=( ）A ．1-B ．1C ．2D ．46．已知数列—1， 1a ,2a ，—4成等差数列，—1，b 1,b 2，b 3，—4成等比数列，则212b a a -的值为（）A ．12B ．-12C ．12或-12D ．7．已知点A 是抛物线2:2(0)C xpy p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点(0,10)M 为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点,且ABO ∆为等边三角形,则P 的值是( )A ．52B ．53C ．56D ．598．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()''0f x g x f x g x ->,且()03g =,则不等式()()0f x g x <的解集是(）A ．()()3,03,-⋃+∞B ．()()3,00,3-C ．()(),33,-∞-+∞D ．()(),30,3-∞-二、多选题9．下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有( ） A ．B ．所有的正方形都是矩形C ．D ．至少有一个实数x ，使310x+=10．已知实数a 、b ，判断下列不等式中哪些一定是正确的( )A ．2a bab +≥B ．12a a+≥C ．||2a bb a+≥ D ．()()2222a b a b +≥+11．如图所示，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．不是定值C ．三棱锥11B D PC -的体积为定值D ．11DCD P ⊥12．首项为正数，公差不为0的等差数列{}na ，其前n 项和为nS ，现有下列4个命题中正确的有（ ) A ．若10S =，则280S S +=；B ．若412S S =,则使0nS>的最大的n 为15C ．若150S>，16S<,则{}nS 中8S 最大D ．若78SS <，则89SS <三、填空题13．当x 〉1时，x ＋的最小值为________14．若函数()()32'123f x f xx =-+,则()'1f 的值为。

北京市第四中2020_2021学年高二数学上学期期中试题含解析

（2）面面垂直的判定定理.
在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可.
5.圆与直线相交于、两点，则线段的垂直平分线的方程是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知，线段的垂直平分线经过圆心且与直线垂直，根据两直线垂直求出线段的垂直平分线所在直线的斜率，然后利用点斜式可求得所求直线的方程.
9.直线与的交点在第四象限，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
联立方程可直接求出交点坐标，令交点的横坐标大于零，纵坐标小于零，解不等式组即可.
【详解】解：直线与的交点在第四象限，
，
联立方程：，
解得，
即，
解得： .
故选：C.
10.如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在（）
北京市第四中2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分
1.已知向量，则下列向量与垂直的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
计算数量积，数量积为0，即垂直．
【详解】，，
，，
只有B满足垂直．
故选：B．
2.若直线与直线平行，则（）
【答案】B
【解析】
试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.
考点：空间点线面位置关系．
4.在三棱锥中，若，，那么必有（）

福建省厦门市同安第一中学2020-2021学年度高二上学期数学期中试卷及答案解析

福建省厦门市同安第一中学2020-2021学年度高二上学期数学期中试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.经过点，且倾斜角为30︒的直线方程是（）．A.21)3y x +=+ B.21)y x -=-360y -+-= 20y -+=2.若直线0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=，则a 的值为（） A.1B.－1C.2D.－23.椭圆2214x y m +=的焦距为2，则m 的值等于（）A.5B.3C.5或3D.84.方程22(2)(2)0x y x x y +++-=表示的曲线是( ) A.一个圆和一条射线 B.一个圆和一条直线 C.一个圆D.一条直线5.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为(2,0)B -，若将军从山脚下的点(3,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（）A.3C.3D.1636.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（）A.22144x y -= B.2214y x -=C.2214x y -= D.221x y -=7.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M 满足MA MO= ，则·OM ON 的取值范围是（）A.[]0,2B.0,⎡⎣C.[]22-,D.-⎡⎣8.在平而直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为A ，以A 为圆心的圆与直线0ax by -=交于M N 、两点，且60MAN ∠=︒，5ON OM =，则C 的离心率为（）A.2B.3C.12D.3第II 卷（非选择题）二、填空题(1－4a)y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则实数a ＝_____．10.已知相交两圆221:4C x y +=，圆222,(2)4C x y -+=，公共弦所在直线方程为___________，公共弦的长度为___________.11.已知抛物线2y =的焦点为F ，P 为抛物线上位于x 轴上方的一点，点P 到抛物线准线的距离为d ，O 为坐标原点，若POF 的面积为dPO=______. 12.已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)，过x 轴上点P 的直线与双曲线的右支交于M ，N 两点（M 在第一象限），直线MO 交双曲线左支于点Q （O 为坐标原点），连接QN .若∠MPO =120°，∠MNQ =150°，则该双曲线的渐近线方程为____ .三、解答题13.已知ABC 的周长为8且点A ,B 的坐标分别是()-, (),动点C 的轨迹为曲线Q . （1）求曲线Q 的方程;（2）直线l 过点()1,1P ,交曲线Q 于M ,N 两点,且P 为MN 的中点,求直线l 的方程.14.在ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知()cos 2cos a C b c A =-. （1）求角A 的大小；（2）若a =2b =，求ABC 的面积.15.在①355a a +=，47S =；②243n S n n =+；③42514S S =，5a 是3a 与92的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若________. （1）求n a ；（2）记2221n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和T n .16.已知抛物线24y x =，与圆22:(1)1F x y -+=，直线:4MN x my =+与抛物线相交于M ，N 两点.（1）求证：OM ON ⊥.（2）若直线MN 与圆F 相切，求OMN ∆的面积S .17.如图，在三棱锥P ABC -中，底面是边长为2的正三角形，PA ⊥底面ABC ，点,,E F G 分别为,,AC PC PB 的中点，且异面直线AG 和PC 所成的角的大小为3π．（1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ；（2）求三棱锥C ABF -的体积．18.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是2，短轴长为2，A ，B 分别是E 的左顶点和下顶点，O 为坐标原点. （1）求E 的标准方程；（2）设点M 在E 上且位于第一象限，ABM 的两边BM 和AM 分别与x 轴、y 轴交于点C 和点D ，求CDM 的面积的最大值.四、新添加的题型）A.点斜式()11y y k x x -=-适用于不垂直于x 轴的任何直线B.斜截式y kx b =+适用于不垂直于x 轴的任何直线C.两点式112121y y x x y y x x --=--适用于不垂直于x 轴和y 轴的任何直线 D.截距式1x ya b+=适用于不过原点的任何直线 20.已知直线l 与圆22: 240C x y x y a ++-+=相交于A ，B 两点，弦1AB k =的中点为()0,1M ．下列结论，正确的是（）A.实数a 的取值范围为3a <B.实数a 的取值范围为5a <C.直线l 的方程为10x y +-=D.直线l 的方程为10x y -+=21.已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30的直线分别交y 轴与双曲线右支于点,M P ，1PM MF =，下列判断正确的是（）A.21π3PF FB.2112MF PF =C.ED.E的渐近线方程为y =22.已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（）A.4p =B.DF FA =C.2BD BF =D.4BF =参考答案1.C【解析】1.根据倾斜角求得斜率，再求点斜式方程即可.因为直线倾斜角为30︒，故直线斜率为30tan ︒=.故直线方程为：)21y x -=-，360y -+=. 故选：C . 2.A【解析】2.将圆的圆心代入直线方程即可.解：因为直线0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=，又圆的标准方程为22(1)(2)4x y -++=，所以直线经过圆心(1,2)-，120a -+=所以1a =，故选：A ． 3.C【解析】3.根据椭圆方程的标准形式，求出a ，b ，c 的值，即可列出方程，从而求得m 的值．由题意知椭圆焦距为2，即c ＝1，当焦点在x 轴上时，则22,4a m b ==，41m ，即5m =，当焦点在y 轴上时，则224,ab m ，41m ∴-=，即3m =，∴m 的值为5或3.故选：C. 4.B【解析】4.化简方程可得出对应的曲线.22(2)(2)0x y x x y +++-=, 2220x y x ∴++=或20x y +-=，即表示圆22(1)1x y ++=或直线20x y +-=，故选：B 5.B【解析】5.先求点(2,0)B -关于直线4x y +=对称的点(,)C a b ，再根据两点之间线段最短，即可得解.如图，设(2,0)B -关于直线4x y +=对称的点为(,)C a b ，则有242212a bb a -⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩ ，可得46a b =⎧⎨=⎩，可得(4,6)C ，依题意可得“将军饮马”的最短总路程为AC ，此时AC == 故选：B. 6.D【解析】6.由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1yx b+=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可得b b a -=-，1bb a-⨯=-即可求出,a b ，得到双曲线的方程．由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ． 7.D【解析】7.设出M 的坐标为(,)x y ，依据题目条件，求出点M 的轨迹方程22(2)8x y +-=，写出点M 的参数方程，则·22os OM ON θ=，根据余弦函数自身的范围，可求得·OM ON 结果.设(,)M x y ，则∵MA MO=，()0,2A -=∴2222(2)2()x y x y ++=+∴22(2)8x y +-=为点M 的轨迹方程∴点M的参数方程为2x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）则由向量的坐标表达式有：·22os OM ON θ=又∵cos [1,1]θ∈-∴2·2[OM ON θ=∈- 故选：D 8.C【解析】8.根据题意可设出MN 的中点为G ，由5ON OM =可得出2MG OM =即2MG OM =，在Rt OAG 可求出tan AOG ∠即为直线直线0ax by -=的斜率ab，从而可得到C 的离心率.设MN 的中点为G ，则MG GN =，由5ON OM =，得25OM MN OM MG OM -=-=，即2MG OM =，设OM t =，2MG t =，在等边MAN ∆中，AG =，在Rt OAG 中有tan AOG ∠2AG AG OG OM MG t t ====++，而直线0ax by -=的斜率是a b，所以a b =2222344()a b a c ==-，解得12c e a == 故选：C9.0或1【解析】9.试题分析：两直线互相垂直，满足()()()()04412523=+-+-+a a a a ，整理为02=-a a ，解得0=a 或1=a .10.1x =【解析】10.直接由两圆方程作差可得1x =，将1x =代入224x y +=可解得y = 结合12l y y =-即可求解联立2222(24)4x y x y ⎧+=⎨⎩-+=作差可得1x =，将1x =代入224x y +=可解得y =12l y y =-=故答案为：1x =；11.21【解析】11.由抛物线2y =，求得焦点坐标和准线方程，然后再利用12POF P S OF y ==△求得点p 的坐标求解.因为抛物线2y =，所以)F，准线方程为x =12POF P S OF y ==△所以P y =代入抛物线方程中可得P x =则d =OP ，所以21d OP =.12.y =±x【解析】12.由题意可知：M ，Q 关于原点对称，得到k MN ⋅k QN =b2a 2，分别求出相应的斜率，再根据离心率公式，即可求解.由题意可知：M ，Q 关于原点对称，∴k MN ⋅k QN =b2a 2，又由∠MPO=120°，∠MNQ =150°，则k MN =√3，k QN =√33，∴b 2a2=1，渐近线方程为y=±x .13.（1）()2210164x y y +=≠；（2）450x y +-=【解析】13.（1）依题意知AB =8BC AC +=.结合8>得出点C 到两个定点的距离之和等于定值,则点C 的轨迹是椭圆,设椭圆方程方,再结合椭圆的性质得4a =,c =,24b =,所以的椭圆的方程是()2210164x y y +=≠. （2）设()11,M x y ,()22,N x y ,根据两点在椭圆上,联立方程组,2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,两式相减整理可得122x x +=,122y y +=,可得斜率14-,由点斜式可得直线l 的方程. 解:（1）∵ABC的周长为8,点()A -,()B ,∴AB =8BC AC +=.∵8>C 到两个定点的距离之和等于定值,∴点C 的轨迹是椭圆,设它的方程为()222210x y a b a b+=>>.∴4a =,c =,24b =,∴椭圆的方程是()2210164x y y +=≠.（2）设()11,M x y ,()22,N x y ,两点在椭圆上,所以2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 两式相减可得()()()()121212120164x x x x y y y y +-+-+=,∵122x x +=,122y y +=,代入可得121214y y x x -=--,∴直线l 的方程是()1114y x -=--,即450x y +-=. 14.（1）3A π=;（2【解析】14.（1）由正弦定理化简()cos 2cos a C b c A =-可得1cos 2A =，即可得到结论；（2）由余弦定理可得2230c c --=，解得3c =，再利用三角形面积公式即可. （1）在ABC 中，由正弦定理得：()sin cos 2sin sin cos A CBC A =-，即sin cos 2sin cos sin cos A C B A C A =-，即()sin cos sin cos sin 2sin cos A C C A A C B A +=+=，又()sin sin A C B +=，所以sin 2sin cos ,0π,0B B A B sinB =<<≠，则1cos ,0π2A A =<<，得3A π=. （2）由题意，a =2b =，3A π=，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即2230c c --=，解得1c =-（舍）或3c =，所以11sin 23sin 223ABC S bc A π==⨯⨯⨯=. 15.（1）12n n a +=；（2）469n n T n =+.【解析】15. （1）若选择条件①，由355a a +=得出1265a d +=，根据47S =得出143472a d ⨯+=，最后两式联立，即可得出结果；若选择条件②，可根据1n n n a S S -=-得出结果；若选择条件③，由42514S S =得出()()11546142a d a d ⨯+=+，根据5a 是3a 与92的等比中项得出()()2119422a d a d +=+，然后两式联立，通过计算即可得出结果；（2）本题首先可根据12n n a +=得出1122123nb n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，然后通过裂项相消法求和即可得出结果.（1）选择条件①：设等差数列{}n a 的公差为d ，则1126543472a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故12n n a += ；选择条件②：243n S n n =+，当2n ≥时，2214443(1)3(1)22n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦，即12(2)n n a n +=≥，当1n =时，21113114a S +⨯===，也适合上式，故12n n a +=；选择条件③：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()()()112115461429422a d a d a d a d ⎧⨯+=+⎪⎨+=+⎪⎩，解得11a =、12d =或10a =、0d =（不合题意），故12n n a +=. （2）因为12n n a +=，所以22214112(21)(23)2123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅++++⎝⎭，故12n n T b b b 111111235572123n n …⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭ 114232369n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 16.（1）证明见解析；（2）【解析】16.（1）直线与抛物线联立，可得1216y y =-，2212121644y y x x =⋅=，可证得12120OM ON x x y y ⋅=+=，故得证；（2）由直线MN 与圆F 相切，可求得m ,利用弦长公式，点到直线距离公式，可求得,O MN MN d -，即得解.（1）设()11,M x y ，()22,N x y 联立22441604x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，1216y y ∴=-2212121644y y x x =⋅=， 12120OM ON x x y y ∴⋅=+=，即OM ON ⊥.（2）直线MN 与圆相切，218d m ==∴=， ∴原点到直线MN 的距离43==，12MN y =-==，114223O MN S MN d -=⋅=⋅⋅=17.（1）证明见解析；（2【解析】17.（1）由线面垂直的判定可证得BE ⊥平面PAC ，由面面垂直的判定可证得结论；（2）取BC 中点Q ，由异面直线所成角定义可确定3AGQ π∠=，结合垂直和长度关系可确定AGQ △为等边三角形，由此求得PA 的长，由体积桥可计算求得C ABF V -，即为所求体积.（1）ABC 为正三角形，E 为AC 中点，BE AC ∴⊥，PA ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，BE PA ∴⊥， ,PA AC ⊂平面PAC ，PAAC A =，BE ∴⊥平面PAC ，又BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PAC .（2）取BC 中点Q ，连接,GQ AQ ，,G Q 分别为,PB BC 中点，1//2GQ PC ∴，异面直线AG 与PC 所成角大小为3π，3AGQ π∴∠=， PA ⊥平面ABC ，,AB AC ⊂平面ABC ，PA AB ∴⊥，PA AC ⊥，又AB AC =，PB PC ∴=， G 为PB 中点且PA AB ⊥，1122AG PB PC GQ ∴===，AGQ ∴为等边三角形，AG GQ AQ ∴===∴=PCPA ∴=1124ACF ACP SS PA AC ∴==⋅=，由（1）知：BE ⊥平面PAC ，1333C ABF B ACF ACF V V S BE --∴==⋅==.18.（1）2214x y +=；（21. 【解析】18.（1）先由短轴长得b ，再根据条件列,a c 关系，计算即得结果；（2）先数形结合可知CDM 的面积是ABM 面积减去四边形ABCD 的面积S ，分别计算S 为定值和ABM 面积最大值即求得CDM 的面积最大值.解：（1）因为椭圆E 的离心率c e a ==，短轴长为2，所以1b =.又因为222a b c =+，解得2,a c ==.故椭圆E 的方程为2214x y +=；（2）如图所示，设点()()0000,02,01,(,0),(0,)M x y x y C m D n <<<<.(2,0)A -，且A ，D ，M 三点共线，0022y n x ∴=+，得00202y n x =>+，又()0,1B - 所以00000222||1122y x y BD n x x ++==+=+=++，同理得00022||1x y AC y ++=+，又AC BD ⊥，因此四边形ABCD 的面积1||||2S AC BD =⋅00000012222221x y x y x y ++++=⋅⋅++()()()2000022221x y x y ++=++()22000000000044484222x y x y x y x y x y +++++=+++. 又因为点()00,M x y 在椭圆上，所以220014x y +=，即220044x y +=，代入上式得()0000000044882222x y x y S x y x y +++==+++. 设过点M 且与直线AB 平行的直线l 的方程为1(0)2y x t t =-+>，当l 与椭圆相切时，M 到AB 的距离d 最大，为两平行线之间的距离，得ABM 面积最大. 联立221,21,4y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得222220x tx t -+-=，所以()22(2)4220t t ∆=--=，解得t =.所以直线l的方程为20x y +-=，即min d =所以()max 112ABM S ==. 所以CDM的面积的最大值为(121+-=. 19.ABC【解析】19.利用直线方程不同形式的限制条件进行判断正误；对A ，B ，如果直线垂直于x 轴，其斜率不存在，故A ，B 正确；对C ，分母不为0，所以适用于不垂直于x 轴和y 轴的任何直线，故C 正确；对D ，与坐标轴平行的直线也不能用截距式表示，故D 错误；故选：ABC.20.AD【解析】20.方程表示圆以及点()0,1M 在圆内可解得a 的取值范围，又由CM AB ⊥解得AB k ，然后利用点斜式写出直线l 的方程.若弦AB 的中点为()0,1M ，则点()0,1M 一定在圆内，且方程表示圆，501410a a ->⎧⎨-⨯+<⎩，得3a <，故A 正确；由圆的方程得，圆心坐标为()1,2C -，又()0,1M ，则1CM k =-，则1AB k =，由点斜式得，直线l 的方程为1y x -=，即10x y -+=，故D 正确.故选：AD.21.BCD【解析】21.根据2//OM PF 和直角三角形的性质可知A 错误，B 正确；利用半通径长和焦距之间的比例关系可构造齐次方程求得离心率，知C 正确；由离心率可得渐近线斜率，由此知D 正确.1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，2//OM PF ∴，12OM F F ⊥，212PF F F ∴⊥，212PF F π∴∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确；由212PF F F ⊥知：22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，22c a =)222c a ac -=，220e -=，解得：e =，C 正确；c e a ==223c a ∴=，22222b c a a ∴=-=，b a∴=，E ∴的渐近线方程为y =，D 正确.故选：BCD.22.ABC【解析】22.作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误. 如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M .抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l 60，//AE x 轴，60EAF ∴∠=，由抛物线的定义可知，AE AF =，则AEF ∆为等边三角形，60EFP AEF ∴∠=∠=，则30PEF ∠=，228AF EF PF p ∴====，得4p =， A 选项正确；2AE EF PF ==，又//PF AE ，F ∴为AD 的中点，则DF FA =，B 选项正确； 60DAE ∴∠=，30ADE ∴∠=，22BD BM BF ∴==（抛物线定义），C 选项正确；2BD BF=，118333 BF DF AF∴===，D选项错误. 故选：ABC.。

山东省临沂市2020_2021学年高二数学上学期期中试题含解析

【详解】如图，圆拱桥所在圆圆心为，水面跨度为，拱高，
设圆半径为，如此，解得．
船宽，假如这条船能从桥下通过，如此此船水面以上最高高度为，
，如此，解得．
故答案为：13；7．
四、解答题：此题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 直线过定点 .
〔1〕假如直线与直线垂直，求直线的方程；
A. 公共弦所在直线方程为
B. 线段中垂线方程为
C. 公共弦的长为
D. 在过，两点的所有圆中，面积最小的圆是圆
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据题意，依次分析选项：对于，联立两个圆的方程，分析可得公共弦所在直线方程，可判断，对于，有两个圆的方程求出两圆的圆心坐标，分析可得直线的方程，即可得线段中垂线方程，可判断，对于，分析圆的圆心和半径，分析可得圆心在公共弦上，即可得公共弦的长为圆的直径，可判断，对于，由于圆心在公共弦上，在过，两点的所有圆中，即可判断．
D. 假如直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，如此该直线的斜率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
代入点的坐标判断A，求出纵截距判断B，求出斜率得倾斜角，判断C，写出平移直线后的方程，与原方程一致，由此求得，判断D．
【详解】，所以点在直线上，A正确；
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于，圆与圆，联立两个圆的方程可得，即公共弦所在直线方程为，正确，
对于，圆，其圆心为，，圆，其圆心为，直线的方程为，即线段中垂线方程，错误，
对于，圆，即，其圆心为，，半径，圆心，在公共弦上，如此公共弦的长为，错误，