线性代数习题及答案(复旦版)1

线性代数习题及答案

习题一

1. 求下列各排列的逆序数.

(1) 341782659； (2) 987654321；

(3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2.

【解】

(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;

(3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n

1)=

(1)

2

n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n

1).

2. 略.见教材习题参考答案.

3. 略.见教材习题参考答案.

4. 本行列式4512312

123122x x x D x x

x

=

的展开式中包含3x 和4

x 的项.

解： 设 123412341234

()

41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ

=

-∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素

的行下标，则4D 展开式中含3

x 项有

(2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-⋅⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅=-+-=-

4D 展开式中含4x 项有

(1234)4(1)2210x x x x x τ-⋅⋅⋅⋅=.

5. 用定义计算下列各行列式.

(1)

0200

001030000004

； (2)1230

0020

30450001

.

【解】(1) D =(1)τ(2314)4!=24; (2) D =12.

6. 计算下列各行列式.

(1)

2

141312112325

62

-----； (2) ab

ac ae bd

cd de bf

cf

ef

-------； (3)

100110

0110

1

a b c d ---； (4) 1234

2341

34124123

. 【解】(1) 12

50623121012325

62

r r D

+---=--;

(2) 111

4111111

D abcdef abcdef --==------;

21

011

111(3)(1)1

1

101100

101

1;

b c D a a b cd c c d d d d

abcd ab ad cd --⎡--⎤

=+-=+++--⎢⎥⎣⎦=++++ 32122113314214

41

2102341023410234

1034101130113

(4)160.104120222004410

1

2

301110

004

r r c c r r c c r r r r c c r r D -+-+-++---=

==

=-------

7. 证明下列各式.

(1) 22

222()111

a a

b b a a b b a b +=-；

(2) 2222

2

222

2

222

2

2

2

2

(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++； (3) 2

322

32232

111()111a a a a b b ab bc ca b b c c c c =++

(4) 2000

0(

)000

n n a b a b D ad bc c d c

d

=

=-；

(5)

1

2

11

111111111

1

1n

n

i i i i n

a a a a a ==++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+∑∏. 【证明】(1)

13

23

2

23()()()2()2001

()()()()()2()21

c c c c a b a b b a b b a b a b b

a b a b b a b a b b

a b a b a b a b --+--=--+--+=

=-=-=--左端右端.

(2) 3221

3142

41

2

222-2-2

2

32

2

21446921262144692126021

44

69

2126214469

2126

c c c c c c c c c c a a a a a a b b b b b b c

c c c c

c d d d d d d ---++++++++=

=

==++++++++左端右端.

(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:

23

2

3

232

3

11()()()()()()()(*)11x

x x a a a f x x a x b x c a b a c b c b b b c c c =

=------

从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f (x )的x 的系数为

2

22

1()()()()(),11a a ab bc ac a b a c b c ab bc ac b b c

c ++---=++

但对（*）式右端行列式按第一行展开知x 的系数为两者应相等，故

2

3112

32

3

1(1),11a a b b c c +- (4) 对D 2n 按第一行展开，得