2013届高考数学第一轮专项复习教案设计22.doc

9.4两个平面平行

●知识梳理

1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行.

2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行.

●点击双基

1.（2005年春季，3）下列命题中，正确的是

A.经过不同的三点有且只有一个平面

B.分别在两个平面的两条直线一定是异面直线

C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线

D.垂直于同一个平面的两个平面平行

答案：C

2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β.其中可能的情况有

A.1种

B.2种

C.3种

D.4种

解析：①③④都有可能，②不可能，否则有b⊥a与已知矛盾.

答案：C

3.α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是

A.α、β都平行于直线a、b

B.α有三个不共线点到β的距离相等

C.a 、b 是α两条直线，且a ∥β，b ∥β

D.a 、b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β

解析：A 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β；

B 错，若A 、B 、

C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β； C 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β；

D 正确.

答案：D

4.a 、b 、ｃ为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面，给出六个命题：

.⇒⎭⎬⎫;⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥①

a a a c a c c c

b a b a b a

c b c a ;;;;

其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上） 答案：①④⑤⑥

●典例剖析

【例1】设平面α∥平面β，AB 、CD 是两条异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β，求证：MN ∥平面α.

剖析：因为AB 与CD 是异面直线，故MN 与AC 、BD 不平行.在平面α、β中不易找到与MN 平行的直线，所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行，即需找一个过MN 且与α平行的平面.根据M 、N 是异面直

线上的中点这一特征，连结BC，则此时AB、BC共面，即BC为沟通AB、CD的桥梁，再取BC的中点E，连结ME、NE，用中位线知识可证得.

证明：连结BC、AD，取BC的中点E，连结ME、NE，则ME 是△BAC的中位线，故ME∥AC，ME⊄α，∴ME∥α.同理可证，NE∥BD.又α∥β，设CB与DC确定的平面BCD与平面α交于直线CF，则CF∥BD，∴NE∥CF.而NE⊄平面α，CF⊂α，∴NE∥α.又ME∩

NE=E，∴平面MNE∥α，而MN⊂平面MNE，∴MN∥平面α.

【例2】如下图，在空间六边形（即六个顶点没有任何五点共面）ABCC1D1A1中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且AA1∥CC1.求证：平面A1BC1∥平面ACD1.

证法一：作正方形BCC1B1和CC1D1D，并连结A1B1和AD.

∵AA1CC1BB1DD1，且AA1⊥AB，AA1⊥A1D1，

∴ABB1A1和AA1D1D都是正方形，且ACC1A1是平行四边形.

故它们的对应边平行且相等.

∵△ABC≌△A1B1C1，∴A1B1⊥B1C1.同理，AD⊥CD.

∵BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴BB1⊥平面ABC.同理，DD1⊥平面ACD.

∵BB1∥DD1，∴BB1⊥平面ACD.

∴A、B、C、D四点共面.

∴ABCD为正方形.

同理，A1B1C1D1也是正方形.

故ABCD—A1B1C1D1是正方体.

易知A1C1∥AC，∴A1C1∥平面ACD1.

同理，BC1∥平面ACD1，∴平面A1BC1∥平面ACD1.

证法二：证ABCD—A1B1C1D1是正方体，同上.

连结B1D、B1D1，则B1D1是B1D在底面ABCD上的射影，

由三垂线定理知B1D⊥A1C1，

同理可证B1D⊥BA1，

∴B1D⊥平面A1BC1.

同理可证，B1D⊥平面ACD1，

∴平面A1BC1∥平面ACD1.

思考讨论

证明面面平行的常用方法：利用面面平行的判定定理；证明两个平面垂直于同一条直线.

【例3】如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：

（1）AP⊥MN；

（2）平面MNP∥平面A1BD.

证明：（1）连结BC1、B1C，则B1C⊥BC1，BC1是AP在面BB1C1C 上的射影.∴AP⊥B1C.

又B 1C ∥MN ，∴AP ⊥MN .

（2）连结B 1D 1，∵P 、N 分别是D 1C 1、B 1C 1的中点，

∴PN ∥B 1D 1.又B 1D 1∥BD ，

∴PN ∥BD .又PN 不在平面A 1BD 上，

∴PN ∥平面A 1BD .

同理，MN ∥平面A 1BD .又PN ∩MN =N ，

∴平面PMN ∥平面A 1BD .

评述：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或线.由于M 、N 、P 都为中点，故添加B 1C 、BC 1作为联系的桥梁.

●闯关训练

夯实基础

1.（2003年）在下列条件中，可判断平面α与β平行的是

A.α、β都垂直于平面γ

B.α存在不共线的三点到β的距离相等

C.l 、m 是α两条直线，且l ∥β，m ∥β

D.l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β

答案：D

2.设平面α∥β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS =18，BS =9，CD =３4，则CS =_____________.

解析：如图（1），由α∥β可知BD ∥AC ， ∴

SA SB =SC SD ，即189=SC

SC 34 ，∴SC =68.