2021数学上海长宁初三教学质量检测试卷
2021-2022学年度第一学期期中教学质量检测九年级数学试卷
2021-2022学年度第一学期期中教学质量自测九年级数学试卷（考试时间：90分钟，试卷满分120分 ）一、选择题（每小题3分，共30分）1．在下列现象中：①时针转动，②电风扇叶片的转动，③转呼啦圈，④传送带上的电视机，其中是旋转的有（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④2．下列方程是一元二次方程的一般形式的是（ ） A ．（x ﹣1）2=16 B ．3（x ﹣2）2=27 C ．5x 2﹣3x =0D ．x 2+2x =823．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）模型的是（ ）A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B ．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D ．圆的周长与圆的半径之间的关系4．若二次函数y=（m+1）x 2+m 2-2m-3的图象经过原点，则m 的值必为（ ）A ．-1或3B ．-1C ．3D ．无法确定5．已知抛物线23(2)y ax x a =++-，a 是常数且0a <，下列选项中可能是它大致图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2+bx+c>0的解集是（ ）A ．15x -<<B ．5x >C ．1x <-且5x >D ．1x <-或5x >7. 我省某旅游景点的旅客人数逐年增加，据旅游部门统计，2020年约为120万人次，预计2022年约为170万人次，设游客人数年平均增长率为x ，则下列方程中正确的是（ ） A ．120（1+x ）=170 B ．170（1﹣x ）=120C ．120（1+x ）2=170D ．120+120（1+x ）+120（1+x ）2=1708. 已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ）A ．x 1≠x 2B ．x 1+x 2＞0C ．x 1•x 2＞0D ．x 1＜0，x 2＜09. 若点A （2，1y ），B （-3，2y ），C （-1，3y ）三点在抛物线24y x x m =--的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y >>B ．213>>y y yC ．231y y y >>D ．312y y y >>10．抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为直线x=-1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc>0；②b 2-4ac>0；③9a-3b+c=0；④若点（-0.5，y 1），（-2，y 2）均在抛物线上，则y 1>y 2；⑤5a-2b+c<0． 其中正确的个数有（ ）（第10题图） （第17题图） A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（每小题4分，共28分）11．已知二次函数2(2)y m x =-的图象开口向下，则m 的取值范围是__________． 12．一元二次方程x 2﹣x=0的根是__________．13．将抛物线y=2（x-1）2+2向左平移3个单位，那么得到的抛物线的表达式为__________．14．关于x 的一元二次方程（m ﹣5）x 2+2x+2=0有实根，则m 的最大整数解是__________．15．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则可列一元二次方程为__________．（化用一般式表示） 16．关于x 的函数y=ax 2+（a+2）x+a+1的图象与x 轴只有一个公共点，则实数a 的值为__________．17．如图，一座抛物线形拱桥，桥下水面宽度是4 m 时，拱高为2 m ，一艘木船宽2 m ．要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3 m ，那么木船的高不得超过__________m ．三、解答题（一）本大题共3小题，每小题6分，共18分. 18. 解下列方程：（1）(x-5)2=16； （2）x 2-4x+1=0；19. 己知关于x 的一元二次方程x 2+（2k+3）x+k 2=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求k 的取值范围； （2）若1211=1x x +-，求k 的值． 20. 已知函数y=（m 2-4）x 2+（m 2-3m+2）x-m-1．（1）当m 为何值时，y 是x 的二次函数？ （2）当m 为何值时，y 是x 的一次函数？四、解答题（二）本大题共3小题，每小题8分，共24分.21．如图，在宽为40 m ，长为64 m 的矩形地面上，修筑三条同样宽的道路，每条道路均与矩形地面的一条边平行，余下的部分作为耕地，要使得耕地的面积为2418 m 2，则道路的宽应为多少？22．阅读下面的例题：解方程220xx --=.解：（1）当x ≥0时， 原方程化为x 2– x –2=0，解得：x 1=2,x 2= - 1（不合题意，舍去） （2）当x ＜0时，原方程化为x 2 + x –2=0，解得：x 1=1,（不合题意，舍去）x 2= -2 ∴原方程的根是x 1=2, x 2= −2. （3）请参照例题解方程2110xx ---=.23．如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象过A （2，0），B （0，-1）和C （4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D ，求点D 的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．五、解答题（三）本大题共2小题，每小题10分，共20分.24．为发展“低碳经济”，某单位花12500元引进了一条环保型生产线生产新产品，在生产过程中，每件产品还需成本40元，物价部门规定该产品售价不得低于100元/件且不得高于150元/件，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）第一个月该单位是盈利还是亏损？求出当盈利最大或亏损最小时的产品售价；（3）在（2）的前提下，即在第一个月盈利最大或亏损最小时，第二个月公司重新确定产品售价，能否使两个月共盈利达10800元？若能，求出第二个月的产品售价；若不能，请说明理由．25. 如图，已知抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，﹣2）三点． （1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC 上方的该抛物线上是否存在一点D ，使得△DCA 的面积最大，若存在，求出点D 的坐标及△DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由．。
2021学年第一学期期中教学质量检测九年级数学试题卷
2021学年第一学期期中教学质量检测九年级数学试题卷一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．二次函数的的图象顶点坐标是( )A ．（2，3）B ．（－2，3）C ．（2，－3）D ．（－2，－3） 2．下列事件中，是必然事件的是( )A ．抛掷一枚硬币正面向上B ．从一副完整扑克牌中任抽一张，恰好抽到红桃AC ．今天太阳从西边升起D ．从4件红衣服和2件黑衣服中任抽3件有红衣服3．已知⊙O 的半径为5cm ，点P 是⊙O 上一点，则OP 的长可能是( )A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm4．甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，符合这一结果的试验可能是（ ）A ．抛一枚硬币，出现正面的概率B ．任意写一个正整数，它能被3整除的概率C ．从一装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率D ．掷一枚正方体的骰子，出现6点的概率5．圆内接正六边形的边长为3，则该圆的直径长为( )A ．3B ．C ．D ．6 6．若A （a ，b ），B （a ﹣2，c ）两点均在函数的图象上，且1≤a ＜2，则b 与c 的大小关系为( )A ．b ＜cB ．b ≤cC ．b ＞cD ．b ≥c 7．已知抛物线C ：，将抛物线C 平移得到抛物线C ′，若两条抛物线C 和3)2(2+-=x y 2333()202112--=x y 1032-+=x x y 第4题图C ′关于直线x ＝1对称，则下列平移方法中，正确的是( )A ．将抛物线C 向右平移个单位B ．将抛物线C 向右平移3个单位 C ．将抛物线C 向右平移5个单位D ．将抛物线C 向右平移6个单位 8．四边形ABCD 内接于⊙O ，：： =2：3：5，∠BAD =120°，则∠ABC 的度数 为( )A ．100°B ．105°C ．120°D ．125°9．如图，AB 为⊙O 的直径，点D 是弧AC 的中点，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，延长DE 交 ⊙O 于点F ，若AC ＝12，AE ＝3，则⊙O的直径长为( )A ．7.5B ．15C ．16D ．1810．已知二次函数，，令，( )A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则 二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．用抽签的办法从A 、B 、C 、D 四人中任选一人去打扫公共场地，选中A 的概率是 ．12．已知扇形所在圆半径为4，弧长为6π，则扇形面积为 ．（结果保留）13．如图，四边形ABCD 内接于⊙O .若∠BOD ＝160°，则∠BCD 的度数是 ．14．已知二次函数，当x ＜1时， y 随x 的增大而减小，则的最小整数值为 ．15．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的图象与x 轴正半轴交于A （p ，0）和B （q ，0）两点（点A 在点B 的左边），方程x ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的解为x ＝m 或x ＝n （m ＜n ），则p ，25AB BC CD 221-+=ax ax y 222++=bx x y a b h -=4=h 43＜a 12y y ＞3=h 43＜a 12y y ＞2=h 43＜a 12y y ＞1=h 1＜a 12y y ＞π()0222＞k k k kx x y -+-=k 第9题图q ，m ，n 的大小关系可能是 (用“＜”号连接)16. 已知，AB 、BC 是半径为r 的内⊙O 的两条弦，且AB ＝3，BC ＝5．（1）若∠ABC ＝90°，则r ＝ ； （2）若∠ABC ＝120°，则r ＝ ．三、全面答一答(本题有7个小题，共66分)17．（本小题6分）如图，在⊙O 中，弦AD ＝BC ，连接AB 、CD ，求证：AB ＝CD ．18．（本小题8分）在一个不透明的盒子中，放入2个红球，1个黄球和1个白球．这些球除颜色外都相同．（1）第一次摸出一个球后放回盒子中，搅匀后第二次再摸出一个球，请用画树状图法求出两次都摸到红球的概率；（2）直接写出“一次同时摸出两个红球”的概率．19．（本题满分8分）已知，如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以腰AB 为直径作半圆O ，分别交BC ，AC 于点D 、E ．（1）求证：BD ＝DC ；（2）若∠BAC ＝40°，AB ＝AC ＝8，求弧︵B E 的长．20．（本题满分10分）已知抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣8（a ≠0）经过点（﹣2，0）．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线l 交抛物线于点A （﹣4，m ），B （n ，7），n 为正数．若点P在抛物线上且在直线l 下方（不与点A ，B 重合），分别求出点P 横坐标与纵坐标的取值范围．第19题第17题图21．（本题满分10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营业阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）请直接写出每天销售量（件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）求出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写出x 的取值范围）；（3）商场的营销部结合实际情况，决定该文具的销售单价不低于30元，且每天的销售量不得少于160件，那么该文具如何定价每天的销售利润最大，最大利润是多少?22．（本题12分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 与点E ，已知AB ＝10，AE ＝8，点P为AB 上任意一点，（点P 不与A 、B 重合），连结CP 并延长与⊙O 交于点Q ，连结QD 、PD 、AD ．（1）求OE 的长． （2）若CP ＝PQ ，求AP 的长．（3）①若点P 在A 、E 之间（点P 不与点E 重合），求证：∠ADP ＝∠ADQ ；②若点P 在B 、E 之间（点P 不与点E 重合），求∠ADP 与∠ADQ 满足的关系．23．（本题12分）已知关于的二次函数，其中，．（1）若该二次函数图象与轴两个交点之间的距离是8，请直接写出这两个交点坐标．（2）当时，有，求的值．（3）在二次函数图象上任取两点（，），（，），当 时，总有 ， 求的取值范围．y x ()()b x a x k y --=b a ≠6=+b a x 41≤≤x 41≤≤y k 1x 1y 2x 2y 221+≤≤m x x m ＜21y y ＞m 第22题图。
上海市长宁区2021年中考二模数学试题
初三数学教学质量检测（二模）试卷 （考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列各数中，无理数是（ ）. A.21B. 3.14C. 3D.382. 下列各式中，运算正确的是（ ）.A. 523a a a =+ B. a a a 2=-3 C. 523a aa =⋅ D. 2323a a a =÷3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）.A.4 B. 6 C. 8 D. 124. 下列图形中，中心对称图形是（ ）.5. 一次函数y =3x +1的图像不经过（ ）.A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. 甲、乙、丙、丁四人进行射击比赛，每人射击10次，四人射击成绩的平均数都是8.9环，方差分别是4502甲.=S ，5502乙.=S ，5002丙.=S ，6502丁.=S ，则射击成绩最稳定的是（ ）.A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 函数43-x y =的定义域是 . 8. 在实数范围内分解因式：32-m = .9. 不等式组：⎩⎨⎧<-≥021，63x x 的解集是 .A ．B ．C ．D ．10. 计算：⎪⎭⎫⎝⎛b -a -a 212= .11. 已知，△ABC 的重心G 到BC 边中点D 的距离是2，则BC 边上的中线长是 . 12. 方程：31=-x 的解是 .13. 若将抛物线122+=x -x y 沿着x 轴向左平移1个单位，再沿y 轴向下平移2个单位，则得到的新抛物线的顶点坐标是 .14. 如图，某超市的自动扶梯长度为13米，该自动扶梯到达的最大高度是5米，设自动扶梯与地面所成的角为θ，则tan θ= .15. 为了解某区高三学生的身体发育状况，抽查了该区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图，从图中可知，这100名学生中体重不小于55.5kg 且小于65.5kg 的学生人数是 .16. 若实数x 、y 满足：y x >，则称：x 比y 远离0. 如图，已知A 、B 、C 、D 、E 五点在数轴上对应的实数分别是a 、b 、c 、d 、e. 若从这五个数中随机选一个数，则这个数比其它数都远离0的概率是 .17. 如图所示，将边长为2的正方形纸片折叠，折痕为EF ，顶点A 恰好落在CD 边上的中点P 处， B 点落在点Q 处，PQ 与CF 交于点G . 设C 1为△PCG 的周长，C 2为△PDE 的周长，则C 1 :C 2 = .18. 已知边长为1的正方形，按如图所示的方式分割，第1次分割后的阴影部分面积S 1=21，第2次分割后的阴影部分面积S 2=43，第3次分割后的阴影部分面积S 3=87，…….按照这样的规律分割，则第n (n 为正整数)次分割后的阴影部分面积可用n 表示为S n = .第14题图 5米13米θ第15题图kg )第16题图e-110c b a第1次分割 第2次分割 第3次分割 第4次分割第18题图三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：()32230tan 31212+-︒⎪⎭⎫⎝⎛+-. 20．（本题满分10分）解方程：3353112-x x x -x-x x +=+.21．（本题满分10分）如图，已知等腰直角△ABC 中，∠BAC =︒90，圆心O 在△ABC 内部，且⊙O 经过B 、C 两点，若BC=8，AO=1，求⊙O 的半径.22．（本题满分10分）周末，小明和爸爸骑电动自行车从家里出发到郊外踏青．从家出发0.5小时后到达A 地，游玩一段时间后再前往B 地．小明和爸爸离家1.5小时后，妈妈驾车沿相同路线直接前往B 地，如图是他们离家的路程y （千米）与离家时间t （小时）的函数图像．（1）根据函数图像写出小明和爸爸在A 地游玩的时间； （2）分别求小明和爸爸骑车的速度及妈妈的驾车速度； （3）妈妈出发时，小明和爸爸距离B 地有多远？23．（本题满分12分）如图，△ABC 中，∠ACB =︒90，D 、E 分别是BC 、BA 的中点，联结DE ，F 在DE 延长线上，且AF=AE . （1）求证：四边形ACEF 是平行四边形； （2）若四边形ACEF 是菱形，求∠B 的度数.24．（本题满分12分）)如图，直线AB 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，O 抛物线y =ax 2+bx +c 经过A 、B 、C 三点，C （-1，0）. （1）求直线AB 和抛物线的解析式；（2）若点D （2，0），在直线AB 上有点P ，使得△ABO △ADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，以A 为圆心，AP 长为半径画⊙再以D 为圆心，DO 长为半径画⊙D ，判断⊙A 和⊙D 置关系，并说明理由.25．（本题满分14分）△ABC 和△DEF 的顶点A 与D 重合，已知∠B =︒90.，∠DF=DE=4.（1）如图①，EF 与边AC 、AB 分别交于点G 、H ，且FG=EH . 设a DF =，在射线DF 上取一点P ，记：a x DP =，联结CP. 设△DPC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）在（1）的条件下，求当x 为何值时 AB PC //；（3）如图②，先将△DEF 绕点D 逆时针旋转，使点E 恰好落在AC 边上，在保持DE 边与AC 边完全重合的条件下，使△DEF 沿着AC 方向移动. 当△DEF 移动到什么位置时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形.图②2013年初三数学教学质量检测试卷参考答案一、 单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1、C2、C3、B4、B5、D6、A 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、x ≠4 8、(m +3)(m -3) 9、x ≥2 10、b 2 11、 6 12、x =10 13、(0,-2) 14、12515、35 16、0 17、4:3 18、1-n21三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19、（本题满分10分）解：原式=）32（23332--⨯+ (8分，每个化简结果2分)=32432++-=233- (结果正确，2分) 20、（本题满分10分）解：方程两边同时乘以3x (x -1),得3(x +1)-(x -1)=x (x +5) (3分)整理得 x 2+3x -4=0(x -1) (x +4)=0 (2分) x 1=1 x 2=-4 (2分) 经检验：x 1=1 是原方程的增根 (1分) ∴ x 2=4是原方程的根 (2分)21、（本题满分10分）解：联结BO 、CO ，联结AO 并延长交BC 于D . (1分) ∵等腰直角△ABC 且∠BAC =︒90 ∴ AB=AC ∵ O 是圆心 ∴OB=OC∴直线OA 是线段BC 的垂直平分线 ∴ AD ⊥BC ，且D 是BC 的中点 (4分)在Rt △ABC 中，AD=BD =BC 21∵BC=8 ∴ BD=AD = 4 (2分) ∵AO=1 ∴OD=BD-AO=3 (1分)∵AD ⊥BC ∴∠BDO =︒90 ∴OB =5432222=+=+BD OD (2分)22、（本题满分10分）解：（1）0.5 (2分)（2）骑车速度：10÷0.5=20千米/小时 (2分) 驾车速度：30÷0.5=60千米/小时 (2分)（3）设小明和爸爸从A 地前往B 地时，y=kt+b （k ≠0）) 由图可知 t =1时，y =10；t =2时，y =30代入得⎩⎨⎧+=+=b k bk 23010 解得⎩⎨⎧==1020-b k (2分)得y =20t – 10当t =1.5时，y =20， 30-20=10 (1分)∴ 妈妈出发时，小明和爸爸离B 地10千米。
上海市长宁金山区2021届九年级4月教学质量检测(二模)数学试题(WORD版有答案)
第二学期长宁、金山区初三教学质量检测数学试卷 2016.4（满分:150分, 完成时间:100分钟）一、选择题:（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）1. 在下列二次根式中, ）A .B .C .D . 2. 如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限, 且与y 轴负半轴相交, 那么（ ） A . 0k >, 0b >; B . 0k >, 0b <; C . 0k <, 0b >; D . 0k <, 0b <.3. 如果关于x 的方程210mx mx ++=有两个相等的实数根, 那么m 等于（ ） A . 4或0; B .14; C . 4; D . 4±. 4. 一组数据1、2、3、4、5、15的平均数和中位数分别是（ ） A . 5、5; B . 5、4; C . 5、3.5; D . 5、3. 5. 下列图形中, 既是轴对称图形, 又是中心对称图形的是（ ） A . 等边三角形; B . 等腰梯形; C . 平行四边形; D . 圆. 6. 下列命题中, 真命题是（ ）A .两个无理数相加的和一定是无理数;B . 三角形的三条中线一定交于一点;C .菱形的对角线一定相等;D . 同圆中相等的弦所对的弧一定相等. 二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 7. 计算:23-= .8. 分解因式:229x y -= .9. x =的根是 . 10. 函数12y x=-的定义域是 . 11. 把直线2y x =-+向上平移3个单位, 得到的直线表达式是 . 12. 如果抛物线2221y ax a x =+-的对称轴是直线1x =-, 那么实数a = .13. 某校为了发展校园足球运动, 组建了校足球队, 队员年龄分布如图所示, 则这些队员年龄的众数是 .14. 在□ABCD 中, 对角线AC 、BD 交于点O , 设AB m =, AD n =, 如果用向量m 、n 表示向量AO , 那么AO = .15. 如图, OA 是⊙O 的半径, BC 是⊙O 的弦, OA ⊥BC , 垂足为D , 如果OD =3, DA =2, 那么BC = . 16. 如图, 在2×2的正方形网格中四个小正方形的顶点叫格点, 已经取定格点A 和B , 在余下．．的格点中任取一点C , 使△ABC 为直角三角形的概率是 .17. 已知AB 、AC 分别是同一个圆的内接正方形和内接正六边形的边, 那么∠BAC 的度数是 度. 18. 如图，在△ABC 中, AB ＝AC =5, BC ＝8, 将△ABC 绕着点B 旋转得△A ＇BC ＇, 点A 的对应点A ＇落在边BC 上, 那么点C 和点 C ＇之间的距离等于 .三、解答题（本大题共7题, 满分78分） 19.计算:()12121sin 45()12(31)cot 302o o -+--⋅-+.ABC第18题图第16题图AB第15题图人数年龄26842第13题图20.解方程组: 222320x y x xy y -=⎧⎨+-=⎩.21.（本题满分10分, 每小题满分各５分）在平面直角坐标系xOy 中, O 为原点, 点A （2, 0）, 点P （1, m ）（m >0）和点Q 关于x 轴对称. （1）求证:直线OP ∥直线AQ ;（2）过点P 作PB ∥x 轴, 与直线AQ 交于点B , 如果AP ⊥BO , 求点P 的坐标.22.（本题满分10分, 每小题满分各5分）如图, 在Rt △ABC 中, ∠C =90º, 斜边AB 的垂直平分线分别和AB 、BC 交于点E 和点D , 已知BD ∶CD = 2（1）求∠ADC 的度数;（2）利用已知条件和第（1）小题的结论求o tan15的值（结果保留根号）.23.（本题满分12分, 每小题满分各6分）如图, BD 是△ABC 的角平分线, 点E 、F 分别在BC 、AB 上, 且DE ∥AB , ∠DEF =∠A . （1）求证: BE =AF ;（2）设BD 与EF 交于点M , 联结AE , 交BD 于点N , 求证: BN ·MD =BD ·ND .24.（本题满分12分, 每小题满分各4分）在平面直角坐标系xOy 中, 抛物线2y x bx c =++与x 轴相交于点A 和点B , 已知点A 的坐标为（1, 0）, 与y 轴相交于点C （0, 3）, 抛物线的顶点为点P . （1）求这条抛物线的解析式, 并写出顶点P 的坐标;（2）如果点D 在此抛物线上, DF ⊥x 轴于点F , DF 与直线PB 相交于点E , 设点D 的横坐标为t （3t >）,且DE :EF =2:1, 求点D 的坐标;（3）在第（2）小题的条件下, 求证: ∠DPE =∠BDE .25.（本题满分14分,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分4分,第（3）小题满分6分）MAFBECD如图, 已知在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, AB=5,4sin5A , P是边BC上的一点, PE⊥AB, 垂足为E, 以点P为圆心, PC为半径的圆与射线PE相交于点Q, 线段CQ与边AB交于点D.（1）求AD的长;（2）设CP=x, △PCQ的面积为y, 求y关于x的函数解析式, 并写出定义域;（3）过点C作CF⊥AB, 垂足为F, 联结PF、QF, 如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形, 求CP的长.C BC A2016年长宁、金山区初三数学质量检测卷评分建议与参考答案一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．C ； 2．B ； 3．C ； 4．C ； 5．D ； 6． B ． 二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．19； 8.()()33x y x y +-； 9．1x =； 10．2x ≠； 11．5y x =-+； 12．1；13．14 ； 14．1122m n +； 15．8； 16．47； 17．15或者105； 18．三．解答题（本大题共7题，满分78分） 19． （本题满分10分）原式=21+-⎝⎭分 =1112+分 =1132+-分 = 32-……………………………………………………………………………………2分 20．（本题满分10分） 方法1： 解：222320x y x xy y -=⎧⎨+-=⎩①②由方程①，得： 32x y =+③………………………………………………………………1分 把③代入②，得：()()22323220y y y y +++-= ……………………………………1分整理，得： 241590y y ++=………………………………………………………………2分 解这个方程，得：134y =-，23y =-………………………………………………………2分 把134y =-，23y =-代入③，得： 132x =，23x =-…………………………………2分原方程组的解是：113234x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，2233x y =-⎧⎨=-⎩．………………………………………………2分方法2： 解：222320x y x xy y -=⎧⎨+-=⎩①②由方程②，得： 20x y +=或者0x y -=…………………………………………………2分原方程可以化成两个方程组：2320x y x y -=⎧⎨+=⎩和23x y x y -=⎧⎨-=⎩………………………………2分分别解这两个方程组，得原方程组的解是：113234x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，2233x y =-⎧⎨=-⎩．……………………6分21．（本题满分10分）解：（1）设直线OP 和直线AQ 的解析式分别为1y k x =和22y k x b =+．根据题意，得：点Q 的坐标为（1，-m ）………………………………………………1分1k m =，22222+0k b mk b +=-⎧⎨=⎩，………………………………………………………………2分 解得：222k m b m =⎧⎨=-⎩…………………………………………………………………………1分∵12k k m ==，∴直线OP ∥直线AQ …………………………………………………1分 （2）∵OP ∥AQ ，PB ∥OA ，AP ⊥BO∴四边形POAQ 是菱形，………………………………………………………………1分 ∴PO =AO ，………………………………………………………………………………1分2=，m =…………………………………………………………1分 ∵0m >，∴m =，∴点P的坐标是(．…………………………………2分 22．（本题满分10分） 解：（1）联结AD ．设2BD k =，CD =．…………………………………………………………………1分 ∵DE 垂直平分AB ，∴2AD BD k ==．…………………………………………………1分 在Rt △ACD 中，∠C =90º，∴cos CD ADC AD ∠===…………………………2分∴ADC ∠=30°．………………………………………………………………………………1分（2）∵AD =BD ，∴=B DAB ∠∠∵ADC ∠=30°，+B DAB ADC ∠∠=∠，∴=B DAB ∠∠=15°．……………………1分在Rt △ACD 中，∠C =90º，∴AC k ==，…………………………………1分在Rt △ABC 中，∠C =90º，∴tan 2AC B BC ===-………………………2分∴tan152o=…………………………………………………………………………1分 23．（本题满分12分）证明：（1）∵BD 是△ABC 的角平分线，∴ ∠ABD= ∠CBD ．∵DE ∥AB ，∴∠ABD = ∠BDE ，∴∠CBD = ∠BDE ，∴DE = BE ． …………………………………………………………………………2分∵DE ∥AB ，∴∠DEF = ∠BFE ，∵∠DEF = ∠A ，∴∠A = ∠BFE ， ∴AD ∥EF ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴AF =DE ，………………………………………2分 ∴BE=AF ．……………………………………………………………………………2分 （2∵DE ∥AB ，∴BN AB ND DE =．……………………………………………………2分 ∵EF ∥AC ，∴BD ABMD AF =．……………………………………………………2分 ∵AF =DE ，∴BN BDND MD=,∴BN MD BD ND =．…………………………2分 24．（本题满分12分） 解：（1）根据题意，得103b c c ++=⎧⎨=⎩，…………………………………………………1分∴4b =-，3c =．…………………………………………………………………1分∴抛物线解析式为243y x x =-+ ．……………………………………………1分顶点P 的坐标是()2,1-．………………………………………………………1分 （2）在243y x x =-+中令0y =，得：2430x x -+=，解得：11x =，23x =． ∴点B 的坐标是()3,0．设直线PB 的解析式是y kx b =+，根据题意，得：2130k b k b +=-⎧⎨+=⎩，解得：1k =，3b =-．∴直线PB 的解析式为3y x =-．…………………………………………………1分 ∴点D 的坐标为()2,43t t t -+，点E 的坐标为(),3t t -．……………………1分DE =256t t -+，EF =3t -，∴256t t -+=()23t -，解得：13t =，24t =．…………………………………1分 ∵3t >，∴4t =∴点D 的坐标为（4，3）……………………………………………………………1分（3）证明：由（2）得：点E 的坐标为（4，1）， ， ∴………………………2分 ∵DEB PED ∠=∠，∴△BDE ∽△DPE ，∴BDE DPE ∠=∠．……………………2分 25. （本题满分14分）解：（1）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，sin 4BC AB A ==，∴3AC =，…………1分∵PC PQ =，∴PCQ PQC ∠=∠．…………………………………………………1分 ∵QED ∠=90°，∴QDE PQC ∠+∠=90°． ∵PCQ ACD ∠+∠=90°，∴QDE ACD ∠=∠．∵QDE ADC ∠=∠，∴ADC ACD ∠=∠，∴3AD AC ==．…………………2分 （2）作QH BC ⊥，垂足为点H ．∵PEB ACB ∠=∠=90°，∴BPE ABC ∠+∠=90°，ABC A ∠+∠=90°， ………………………………………………1分 分 1425x x ，即y =分定义域为342x ≤≤．……………………………………………………………………1分（3）解法一：在Rt 中，PEB ∠=90°416分 分……………………………1分………………………………1分分 分分如果PF PQ =，那么PF PC =,∴PCF PFC ∠=∠，B PFB ∠=∠，∴PF PB =，∴2CP PB ==．,……………………………………………………………2分分综上所述，如果△PQF 是以PF 为腰的等腰三角形, CP 的长为2分。
上海市长宁区2022年九年级数学二模试卷-答案
2021学年第二学期初三数学教学质量检测试卷参考答案及评分说明一、选择题：1.C ；2.B ；3.A ；4.D ；5.B ；6.C.二、填空题：7.3y ；8.)2)(2(4-+a a ；9.-2；10.y =-2x ；11.（3,4）；12.101；13.4105⨯；14.2.16；15.40；16.108；17.215+；18.29.三、解答题：19.解：原式=125215++-+…………………………………………………………（各2分）=27.………………………………………………………………………………（2分）20.解：⎩⎨⎧->≤.2,1x x …………………………………………………………………………（各3分）∴不等式组的解集为12≤<-x .………………………………………………（2分）自然数解为0，1.…………………………………………………………………（2分）21.解：作OH ⊥CD ，垂足为点H .得CH =DH .………………………………………………………………………（2分）∵∠C =∠D =∠OHC =90°.∴∠C +∠D =∠C +∠OHC =∠D +∠OHD =180°.∴CE ∥DF ∥OH .…………………………………………………………………（1分）∴DHCH OF OE =.……………………………………………………………………（1分）∴OE =OF .…………………………………………………………………………（1分）∴CE +DF =2OH .…………………………………………………………………（2分）联结OC ，根据题意，得OC =17，CH =15，∴OH =8.……………………………（1分）∴梯形CDFE 的面积为240308)(21=⨯=⨯+=CD DF CE S .…………………（2分）22.解：（1）根据题意，得乙车的速度为506300=（千米/时）.………………………（2分）∴甲车行驶时的速度为每小时60千米.…………………………………………（2分）（2）甲车途中因故停车的时间为1小时.……………………………………………（1分）甲车2小时所行驶的路程为120千米，乙车3小时所行驶的路程为150千米，因此甲车开始继续行驶时，两车还未相遇，也即两车在甲车行驶的后半程相遇.甲车停车后继续行驶的路程与时间的函数解析式为y =60x -60，乙车行驶的路程与时间的函数解析式为y =-50x +300.………………………………………………（2分）∴⎩⎨⎧+-=-=.30050,6060x y x y …………………………………………………………………（1分）解得⎪⎩⎪⎨⎧==.111500,1136y x ……………………………………………………………………（1分）答：两车在离A 地约136千米处相遇.…………………………………………（1分）另解：设两车在离A 地x 千米处相遇.甲车途中因故停车的时间为1小时.……………………………………………（1分）根据题意，得16050300=--x x .……………………………………………………（3分）解得111500=x .……………………………………………………………………（1分）答：两车在离A 地约136千米处相遇.…………………………………………（1分）23.证明：（1）作DM ∥AC ，交线段BE 于点M .…………………………………………（1分）∵DM ∥AC ，∴AG DG AE EM =.……………………………………………………（1分）∵AG =2GD ，∴21=AE EM ，即AE DM 21=.………………………………………（1分）∵DM ∥AC ，∴BC BD CE EM =.………………………………………………………（1分）∴BC BD CE AE =21，即BCBD CE AE 2=.…………………………………………………（1分）（2）∵D 是边BC 的中点，即21=BC BD ，∴AE =CE .………………………………（1分）∵BD =CD ，CP =BC ，∴CP =2CD .…………………………………………………（1分）又∵AG =2GD ，∴21==AG DG CP CD .………………………………………………（1分）∴CG ∥AP .………………………………………………………………………（1分）∴AECE EF GE =.……………………………………………………………………（1分）∵AE =CE ，∴GE =EF .……………………………………………………………（1分）∴四边形AGCF 是平行四边形.…………………………………………………（1分）24.（1）解：根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯-++=1023652,43401b c b ……………………………………………（2分）解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.3,623c b …………………………………………………………………（1分）∴所求抛物线的表达式为3623652+-=x x y .………………………………（1分）（2）证明：设点A 的坐标为（x ,0）.根据题意，得点B 的坐标为（0,3）、点D 的坐标为（4,1），AB =AD .………（1分）∴22221)4(3+-=+x x .解得x =1，即点A 的坐标为（1,0）.………………………………………………（1分）作DH ⊥x 轴，垂足为点H .∵OA =DH =1，OB =AH =3，∴Rt △AOB ≌Rt △DHA .……………………………（1分）∴∠ABO =∠DAH .而∠ABO +∠BAO =90°，∴∠DAH +∠BAO =90°.∴∠BAD =90°.∴菱形ABCD 是正方形.…………………………………………………………（1分）（3）解：作CE ⊥y 轴，垂足为点E .可求得点C 的坐标为（3,4）.……………………………………………………（1分）∵∠BCO +∠OCD =90°，∠PCD =∠BCO ，∴∠PCD +∠OCD =90°，即∠PCO =90°.…………………………………………（1分）又∵∠BOC +∠COP =90°，∠COP +∠CPO =90°，∴∠CPO =∠BOC .又∵∠CEO =∠PCO =90°，∴△POC ∽△OCE .∴CEOC OC OP =.………………………………………………………………………（1分）而CE =3，OC =5，∴325=OP .∴点P 的坐标为（325，0）.……………………………………………………（1分）25.解：（1）设CP =x .∵∠C =90°，∠APC =45°，∴∠PAC =∠APC =45°.∴AC =CP =x .在Rt △ACB 中，222)54()4(=++x x .…………………………………………（1分）解得x =4，x =-8（不符合题意，舍去）.…………………………………………（1分）∵PD ⊥AB ，∴∠BDP =∠BCA =90°.∵∠B =∠B ，∴△BDP ∽△BCA .…………………………………………………（1分）∴AB PB AC PD =，即5444=PD .解得554=PD .……………………………………………………………………（1分）（2）设CQ 交线段AP 于点M ，交边AB 于点N .∵AC =PC ，CQ 平分∠C ，∴CM ⊥AP .∵∠QND =∠ANM ，∠QDN =∠AMN =90°，∴∠CQP =∠PAD .…………………（1分）在Rt △BDP 中，∵BP =4，554=PD ，∴558=BD .…………………………（1分）∴5512=AD .……………………………………………………………………（1分）∴31tan tan ==∠=∠AD PD P AD CQP .……………………………………………（1分）（3）（i ）当DE ∥BC 时，得CP ED CF EF =，53==AB AD PB ED .…………………………（1分）∵CP =PB ，∴53=CF EF .……………………………………………………………（1分）∴32=EF CE .…………………………………………………………………………（1分）（ii ）当DE ∥AC 时，延长边AC ，交直线DP 于点G .根据题意，可求得CG =8，512=DE .……………………………………………（1分）∵DE ∥AC ，∴103==CG DE CF EF .……………………………………………………（1分）∴313=EF CE .…………………………………………………………………………（1分）综上所述，32=EF CE 或313=EF CE .。
【2022年上海市初中二模数学卷】2022年上海市长宁区初中毕业生学业模拟考试试卷九年级数学及答案
2021学年第二学期初三数学教学质量检测试卷考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．在实数3.14、0、8、2π、722、94中，无理数有（A ）0个；（B ）1个；（C ）2个；（D ）3个.2．下列各题的运算结果是五次单项式的是（A ）2232mn mn +；（B ）m mn 233⨯；（C ）22)3(n m ；（D ）32)2(m .3．如图1，已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，P 是直线l 外的一点，BC =2AB ，m P A =，n PB =，那么PC 等于（A ）n m 32+-；（B ）n m 2+-；（C ）n m -2；（D ）n m 34-.4．小张从外地出差回家，根据当地防疫要求，需进行连续14天体温测量，具体结果如下表：体温（℃）36.036.136.336.536.736.8天数（天)133412那么这14天小张测量的体温中，体温的众数和中位数分别是（A ）36.1，36.3；（B ）36.5，36.3；（C ）36.3，36.4；（D ）36.5，36.4.5．一次函数xyOxyOxyOxyOPABCl（图1）y =ax +b 与二次函数y =ax 2+bx 在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是6．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，56cot =A ，那么以边AC 长的23倍为半径的圆A 与以BC 为直径的圆的位置关系是（A ）外切；（B ）相交；（C ）内切；（D ）内含.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．计算：36xy xy ÷=▲.8．分解因式：1642-a =▲.9．方程37=-x 的解是▲.10．将直线y =-2x +6向左平移三个单位后，所得直线的表达式为▲.11．已知在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数xy 12=的图像经过位于x 轴上方的点A ，点B 的坐标为（-4,0），且△AOB 的面积等于8，那么点A 的坐标为▲.12．盒子里只放有2只红球、3只白球，这五只球除颜色外其他都相同．如果从这个盒子里摸出两只球，那么摸出的两只球都是红球的概率等于▲.13．纳米（nm ）是长度单位，1纳米为十亿分之一米，即1nm=910-m ．一根头发的直径约为0.005cm ，那么0.005cm=▲nm.（用科学记数法表示）14．某商店销售A 、B 两种型号的新能源汽车，销售一辆A 型汽车可获利2.4万元，销售一辆B 型汽车可获利2万元．如果该商店销售A 、B 两种型号汽车的数量如图2所示，那么销售一辆汽车平均可获利▲万元.15．已知一个正多边形的中心角为45°，边长为5，那么这个正多边形的周长等于▲.16．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD =AD ，BD =BC ，那么∠A 等于▲度.17．我们知道，两条邻边之比等于黄金分割数215-的矩形叫做黄金矩形．如图3，已知矩形ABCD 是黄金矩形，点E 在边BC 上，将这个矩形沿直线AE 折叠，使点B 落在边AD 上的点F 处，那么EF 与CE 的比值等于ABECDF（图3）型号数量（辆）96AB （图2）▲.18．如图4，M 是Rt △ABC 斜边AB 上的中点，将Rt △ABC 绕点B 旋转，使得点C 落在射线CM 上的点D 处，点A 落在点E 处，边ED 的延长线交边AC 于点F ．如果BC =6，AC =8，那么CF 的长等于▲.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：0121)2022(2525π-+--+-.20．（本题满分10分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧->+≤+,62312,532x x x 并写出这个不等式组的自然数解.21．（本题满分10分）如图5，已知在半圆O 中，AB 是直径，CD 是弦，点E 、F 在直径AB 上，且四边形CDFE 是直角梯形，∠C =∠D =90°，AB =34，CD =30.求梯形CDFE 的面积.ABDOC EF（图5）ACF （图4）EDMB22．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）在同一条公路上，甲车从A 地驶往B 地，乙车从B 地驶往A 地，两车同时出发，匀速行驶．甲车行驶2小时后，因故停车一段时间，然后按原速继续驶往B 地，最后两车同时到达各自的终点．如果甲车的速度比乙车每小时快10千米，如图6表示甲车离A 地的路程S （千米）与时间t （时）的函数关系，问：（1）甲、乙两车行驶时的速度分别为每小时多少千米？（2）两车在离A 地多少千米处相遇？（结果保留三位有效数字）23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图7，在△ABC 中，D 是边BC 上一点，G 是线段AD 上一点，且AG =2GD ，联结BG 并延长，交边AC 于点E .（1）求证：BCBDCE AE 2；（2）如果D 是边BC 的中点，P 是边BC 延长线上一点，且CP =BC ，延长线段BE ，交线段AP 于点F ，联结CF 、CG ，求证：四边形AGCF 是平行四边形.A CDBE G （图7）Ot （时）S （千米）23006（图6）24．（本题满分12分，其中每小题各4分）如图8，已知菱形ABCD 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点D 的坐标为（4,1），抛物线c bx x y ++=265经过点A 、B 、D ，对称轴为直线1023=x .（1）求抛物线的表达式；（2）求证：菱形ABCD 是正方形；（3）联结OC ，如果P 是x 轴上一点，且它的横坐标大于点D 的横坐标，∠PCD =∠BCO ，求点P 的坐标.AB DC Oxy（图8）25．（本题满分14分，其中第（1）、（2）小题各4分，第（3）小题6分）如图9，已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，P 是边BC 上一点，∠APC =45°，PD ⊥AB ，垂足为点D ，54 AB ，BP =4.（1）求线段PD 的长；（2）如果∠C 的平分线CQ 交线段PD 的延长线于点Q ，求∠CQP 的正切值；（3）过点D 作Rt △ABC 的直角边的平行线，交直线AP 于点E ，作射线CE ，交直线PD 于点F ，求EFCE的值.ACDBP（图9）A CDBP（备用图）2021学年第二学期初三数学教学质量检测试卷参考答案及评分说明一、选择题：1.C ； 2.B ； 3.A ； 4.D ； 5.B ； 6.C.二、填空题：7.3y ；8.)2)(2(4-+a a ；9.-2；10.y =-2x ；11.（3,4）；12.101；13.4105⨯；14.2.16；15.40；16.108；17.215+；18.29.三、解答题：19.解：原式=125215++-+…………………………………………………………（各2分）=27.………………………………………………………………………………（2分）20.解：⎩⎨⎧->≤.2,1x x …………………………………………………………………………（各3分）∴不等式组的解集为12≤<-x .………………………………………………（2分）自然数解为0，1.…………………………………………………………………（2分）21.解：作OH ⊥CD ，垂足为点H .得CH =DH .………………………………………………………………………（2分）∵∠C =∠D =∠OHC =90°.∴∠C +∠D =∠C +∠OHC =∠D +∠OHD =180°.∴CE ∥DF ∥OH .…………………………………………………………………（1分）∴DHCHOF OE =.……………………………………………………………………（1分）∴OE =OF .…………………………………………………………………………（1分）∴CE +DF =2OH .…………………………………………………………………（2分）联结OC ，根据题意，得OC =17，CH =15，∴OH =8.……………………………（1分）∴梯形CDFE 的面积为240308)(21=⨯=⨯+=CD DF CE S .…………………（2分）22.解：（1）根据题意，得乙车的速度为506300=（千米/时）.………………………（2分）∴甲车行驶时的速度为每小时60千米.…………………………………………（2分）（2）甲车途中因故停车的时间为1小时.……………………………………………（1分）甲车2小时所行驶的路程为120千米，乙车3小时所行驶的路程为150千米，因此甲车开始继续行驶时，两车还未相遇，也即两车在甲车行驶的后半程相遇.甲车停车后继续行驶的路程与时间的函数解析式为y =60x -60，乙车行驶的路程与时间的函数解析式为y =-50x +300.………………………………………………（2分）∴⎩⎨⎧+-=-=.30050,6060x y x y …………………………………………………………………（1分）解得⎪⎩⎪⎨⎧==.111500,1136y x ……………………………………………………………………（1分）答：两车在离A 地约136千米处相遇.…………………………………………（1分）另解：设两车在离A 地x 千米处相遇.甲车途中因故停车的时间为1小时.……………………………………………（1分）根据题意，得16050300=--xx .……………………………………………………（3分）解得111500=x .……………………………………………………………………（1分）答：两车在离A 地约136千米处相遇.…………………………………………（1分）23.证明：（1）作DM ∥AC ，交线段BE 于点M .…………………………………………（1分）∵DM ∥AC ，∴AGDGAE EM =.……………………………………………………（1分）∵AG =2GD ，∴21=AE EM ，即AE DM 21=.………………………………………（1分）∵DM ∥AC ，∴BCBDCE EM =.………………………………………………………（1分）∴BC BD CE AE=21，即BCBD CE AE 2=.…………………………………………………（1分）（2）∵D 是边BC 的中点，即21=BC BD ，∴AE =CE .………………………………（1分）∵BD =CD ，CP =BC ，∴CP =2CD .…………………………………………………（1分）又∵AG =2GD ，∴21==AG DG CP CD .………………………………………………（1分）∴CG ∥AP .………………………………………………………………………（1分）∴AECEEF GE =.……………………………………………………………………（1分）∵AE =CE ，∴GE =EF .……………………………………………………………（1分）∴四边形AGCF 是平行四边形.…………………………………………………（1分）24.（1）解：根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯-++=1023652,43401b c b ……………………………………………（2分）解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.3,623c b …………………………………………………………………（1分）∴所求抛物线的表达式为3623652+-=x x y .………………………………（1分）（2）证明：设点A 的坐标为（x ,0）.根据题意，得点B 的坐标为（0,3）、点D 的坐标为（4,1），AB =AD .………（1分）∴22221)4(3+-=+x x .解得x =1，即点A 的坐标为（1,0）.………………………………………………（1分）作DH ⊥x 轴，垂足为点H .∵OA =DH =1，OB =AH =3，∴Rt △AOB ≌Rt △DHA .……………………………（1分）∴∠ABO =∠DAH .而∠ABO +∠BAO =90°，∴∠DAH +∠BAO =90°.∴∠BAD =90°.∴菱形ABCD 是正方形.…………………………………………………………（1分）（3）解：作CE ⊥y 轴，垂足为点E .可求得点C 的坐标为（3,4）.……………………………………………………（1分）∵∠BCO +∠OCD =90°，∠PCD =∠BCO ，∴∠PCD +∠OCD =90°，即∠PCO =90°.…………………………………………（1分）又∵∠BOC +∠COP =90°，∠COP +∠CPO =90°，∴∠CPO =∠BOC .又∵∠CEO =∠PCO =90°，∴△POC ∽△OCE .∴CEOCOC OP =.………………………………………………………………………（1分）而CE =3，OC =5，∴325=OP .∴点P 的坐标为（325，0）.……………………………………………………（1分）25.解：（1）设CP =x .∵∠C =90°，∠APC =45°，∴∠PAC =∠APC =45°.∴AC =CP =x .在Rt △ACB 中，222)54()4(=++x x .…………………………………………（1分）解得x =4，x =-8（不符合题意，舍去）.…………………………………………（1分）∵PD ⊥AB ，∴∠BDP =∠BCA =90°.∵∠B =∠B ，∴△BDP ∽△BCA .…………………………………………………（1分）∴AB PB AC PD =，即5444=PD .解得554=PD .……………………………………………………………………（1分）（2）设CQ 交线段AP 于点M ，交边AB 于点N .∵AC =PC ，CQ 平分∠C ，∴CM ⊥AP .∵∠QND =∠ANM ，∠QDN =∠AMN =90°，∴∠CQP =∠PAD .…………………（1分）在Rt △BDP 中，∵BP =4，554=PD ，∴558=BD .…………………………（1分）∴5512=AD .……………………………………………………………………（1分）∴31tan tan ==∠=∠AD PD P AD CQP .……………………………………………（1分）（3）（i ）当DE ∥BC 时，得CP ED CF EF =，53==AB AD PB ED .…………………………（1分）∵CP =PB ，∴53=CF EF .……………………………………………………………（1分）∴32=EF CE .…………………………………………………………………………（1分）（ii ）当DE ∥AC 时，延长边AC ，交直线DP 于点G .根据题意，可求得CG =8，512=DE .……………………………………………（1分）∵DE ∥AC ，∴103==CG DE CF EF .……………………………………………………（1分）∴313=EF CE .…………………………………………………………………………（1分）综上所述，32=EF CE 或313=EF CE .。
2021年上海市长宁区中考二模数学试卷有答案
2021学年第二学期初三数学教学质量检测试卷（考试时间：100分钟 满分：150分）考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．函数12-=x y 的图像不经过（ ▲ ）（A ） 第一象限； （B ） 第二象限； （C ） 第三象限； （D ） 第四象限． 2．下列式子一定成立的是（ ▲ ）（A ） a a a 632=+； （B ）428x x x =÷； （C ） aa 121=； （D ）6321)(aa-=--． 3．下列二次根式中，2的同类二次根式是（ ▲ ） （A ）4； （B ）x 2； （C ）92； （D ）12． 4．已知一组数据2、x 、8、5、5、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（ ▲ ） （A ） 3.5； （B ） 4； （C ） 2； （D ）6.5．5．已知圆A 的半径长为4，圆B 的半径长为7，它们的圆心距为d ，要使这两圆没有公共点， 那么d 的值可以取（ ▲ ）（A ） 11； （B ） 6； （C ） 3； （D ）2．6．已知在四边形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC =BD ， 下列四个命题中真命题是（ ▲ ）（A ） 若AB =CD ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （B ） 若∠DBC =∠ACB ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （C ） 若ODCOOB AO =，则四边形ABCD 一定是矩形； （D ） 若AC ⊥BD 且AO =OD ，则四边形ABCD 一定是正方形． 二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7． 计算：=--︒0)3(30sin ▲ ． 8． 方程6+=-x x 的解是 ▲ ．9． 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+-1)12(303x x 的解集是 ▲ ．10．已知反比例函数xky =的图像经过点（-2017，2018），当0>x 时，函数值y 随 自变量x 的值增大而 ▲ ．（填“增大”或“减小”）11．若关于x 的方程032=--m x x 有两个相等的实数根，则m 的值是 ▲ ． 12．在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 ▲ ．13．抛物线522++=mx mx y 的对称轴是直线 ▲ ． 14．小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的 通话次数的频率是 ▲ ．15．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，BC =15，CD =9，EF =6，∠AFE =50°，则∠ADC 的度数为 ▲ ．16．如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，∠C=90°，BC =CD =4，52=AD ， 若=，b DC =，用、表示=DB ▲ ． 17．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC 是半高三角形，且斜边5=AB ，则它的周长等于 ▲ ． 18．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的长为1，点P 是线段BD上的一点，联结CP ，将△BCP 沿着直线CP 翻折，若点B 落在 边AD 上的点E 处，且EP //AB ，则AB 的长等于 ▲ ．三、解答题（本大题共7题, 满分78分）【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分）先化简，再求值：12341311222+-++÷-+-+x x x x x x x ，其中121+=x ．20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=-=-+②12①06522 ． ，y x y xy x21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 在BA 的延长线上，BC =24，ACD第14题图 A BCDEF第15题图 第16题图 DCBA 第18题图AB CD135sin =∠ABC ． （1）求AB 的长；（2）若AD =6.5，求DCB ∠的余切值．22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）某旅游景点的年游客量y （万人）是门票价格x （元）的一次函数，其函数图像如下图． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点G 、F ，且AGGF BEAD =．（1）求证：AB //CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．第22题图ACDEFGB第23题图备用图第24题图25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD . 已知圆O 的半径长为5 ，弦AB 的长为8．（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长； （2）如图2，设AC =x ，y S S OBDACO=∆∆，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； （3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．O AC DBO BA C DBAO长宁区2021学年第二学期初三数学参考答案和评分建议2018.3一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．D ； 3．C ； 4．A ； 5．D ； 6．C ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．21-； 8．2-=x ； 9．3>x ； 10．增大； 11．43-=m ； 12．53； 13．1-=x ；14．7.0；15．︒140； 16．→→-a b 21； 17．255或535++； 18．215-．三、（本大题共7题，第19、20、21、22每题10分，第23、24每题12分，第25题14分，满分78分）19. （本题满分10分）解：原式= )1)(3()1()1)(1(3112++-⨯-++-+x x x x x x x (3分) =2)1(111+--+x x x (2分) =2)1(11++-+x x x (1分) =2)1(2+x (1分) 当12121-=+=x 时，原式=2)1(2+x =2)112(2+- =2)2(2=1 (3分) 20．（本题满分10分）解：方程①可变形为0))(6(=-+y x y x得06=+y x 或0=-y x （2分） 将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+1206y x y x 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=-120y x y x （2分）解方程组（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧-==131136y x ， 解方程组（Ⅱ）⎩⎨⎧==11y x （4分） 所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ， ⎩⎨⎧==1122y x . （2分）另解：由②得12-=x y ③ （1分） 把③代入①，得0)12(6)12(522=---+x x x x （1分）整理得：0619132=+-x x （2分）解得：1,13621==x x （2分）分别代入③，得1,13121=-=y y （2分）所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ， ⎩⎨⎧==1122y x . （2分）21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分） 解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E又∵AB =AC ∴BC BE 21= ∵BC =24 ∴ BE =12 （1分）在ABE Rt ∆中，︒=∠90AEB ，135sin ==∠AB AE ABC （1分）设AE=5k,AB=13k ∵222BE AE AB += ∴1212==k BE ∴1=k ， ∴55==k AE ， 1313==k AB （2分） （2）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为点F ∵AD=6.5,AB=13 ∴BD=AB+AD=19.5∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ∴ ︒=∠=∠90DFB AEB ∴ DF AE // ∴BDABBF BE DF AE == 又 ∵ AE =5，BE =12，AB =13， ∴18,215==BF DF （4分） ∴BF BC CF -= 即61824=-=CF （1分） 在DCF Rt ∆中，︒=∠90DFC ，542156cot ===∠DF CF DCB （1分） 22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）设)0(≠+=k b kx y ，函数图像过点（200,100）， （50,250） （1分） 代入解析式得：⎩⎨⎧=+=+25050100200b k b k （2分）解之得：⎩⎨⎧=-=3001b k （1分）所以y 关于x 的解析式为：300+-=x y （1分） （2）设门票价格定为x 元，依题意可得：11500)300)(20(=+--x x （2分） 整理得： 0175003202=+-x x 解之得：x =70或者x =250（舍去） （2分）答：门票价格应该定为70元. （1分）23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵BC AD // ∴BG DG BE AD = （2分）∵AG GFBE AD =∴AGGF BG DG = （1分） ∴ CD AB // （2分） （2）∵BC AD //，CD AB //∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分）∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGDBD AD =又 ∵BDA ADG ∠=∠ ∴ADG ∆∽BDA ∆ （1分）∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠ ∵BC AD // ∴E DAG ∠=∠∵BG =GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分） ∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分） 24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分） 解：（1） 点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线32-+=bx ax y 上 ∴⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a （ 2分）∴抛物线的表达式为322--=x x y ，顶点D 的坐标是（1，-4） （ 2分） （2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴23=AC ，52=CD ，2=AD∴222AD AC CD += ∴︒=∠90CAD （ 2分） ∴.32232121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD AC S ACD （1分）（3）∵︒=∠=∠90AOB CAD ，2==AOACBO AD ， ∴△CAD ∽△AOB ，∴OAB ACD ∠=∠∵OA =OC ，︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠，即BCD BAC ∠=∠ （ 1分） 若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形 则POC ∆也为锐角三角形，点P 在第四象限由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是62-=x y ，设)62,(-t t P （30<<t ） 过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则t OH =，t PH 26-=①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BO AO OH PH =，∴326=-t t ，解得56=t ， ∴)518,56(1-P （2分） ②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OH PH ，∴126=-tt，解得2=t ，∴)2,2(2-P （ 2分） 综上得)518,56(1-P 或)2,2(2-P 25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB =8， ∴OD ⊥AB ，421==AB AC （2分） 在Rt △AOC 中，︒=∠90ACO ，AO =5， ∴322=-=AC AO CO （1分）5=OD ，2=-=∴OC OD CD （1分）（2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，则由（1）可得AH =4，OH =3 ∵AC =x ，∴|4|-=x CH在Rt △HOC 中，︒=∠90CHO ，AO =5， ∴258|4|322222+-=-+=+=x x x HC HO CO ， （1分）∴525882+-⋅-=⋅=⋅==∆∆∆∆∆∆x x x x OD OC BC AC S S S S S S y OBD OBC OBC ACO OBD ACO xx x x 5402582-+-= （80<<x ） （3分）（3）①当OB //AD 时， 过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ,垂足为点F ，则OF =AE ， AE OB OH AB S ABO ⋅=⋅=∆2121 ∴OF OB OH AB AE ==⋅=524 在Rt △AOF 中，︒=∠90AFO ，AO =5， ∴5722=-=OF AO AF ∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴5142==AF AD . （3分） ②当OA //BD 时， 过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ， 则由①的方法可得524==BM DG ， 在Rt △GOD 中，︒=∠90DGO ，DO =5， ∴5722=-=DG DO GO ，518575=-=-=GO AO AG ， 在Rt △GAD 中，︒=∠90DGA ，∴622=+=DG AG AD （ 3分）综上得6514或=AD。
上海市长宁区2020-2021学年九年级上学期期末教学质量调研数学试题(一模)(word版含答案)
上海市长宁区2020-2021学年九年级上学期期末教学质量调研数学试题（一模）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝50°，AB ＝10，那么BC 的长为（ ） A ．10cos50° B ．10sin50° C ．10tan50° D ．10cot50° 2．下列命题中，说法正确的是（ ）A ．四条边对应成比例的两个四边形相似B ．四个内角对应相等的两个四边形相似C ．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D ．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似3．已知1e 、2e 是两个单位向量，向量13a e =，23b e =-，那么下列结论正确的是（ ） A ．12e e = B ．a b =- C ．a b = D ．a b =-4．己知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，那么a 、c 满足（ ）A ．a ＞0，c ＞0B ．a ＞0，c ＜0C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＜0，c ＜0 5．已知P ，Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB=10，则PQ 长为（ ）A ．B ．C ． -D ．6．如图，己知在ABC 中，点D 、点E 是边BC 上的两点，连接AD 、AE ，且AD ＝AE ，如果ABE ∽CBA ，那么下列等式错误的是（ ）A ．AB 2＝BE •BCB ．CD •AB ＝AD •AC C ．AE 2＝CD •BED ．AB •AC ＝BE •CD二、填空题 7．已知12x y =，那么+-x y x y的值为_______________． 8．计算：()122a b b -+=_______________．9245sin 60︒+︒=_______________．10．如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5：4．那么这两个三角形的周长之比为_______________．11．将抛物线221y x =-向下平移3个单位后，所得抛物线的表达式是_______________．12．如图，一辆汽车沿着坡度为i =50米，则它距离地面的垂直高度下降了 米.13．已知抛物线22y x x c =-+经过点()11,A y -和()22,B y ，比较1y 与2y 的大小：1y _____________2y （选择“＞”或“＜”或“＝”填入空格）．14．如图，已知AC ∥EF ∥BD ．如果AE ：EB ＝2：3，CF ＝6．那么CD 的长等于_________．15．已知，二次函数()2f x ax bx c =++的部分对应值如下表，则()3f -=________．16．如图，点G 为△ABC 的重心．如果AG ＝CG ，BG ＝2，AC ＝4，那么AB 的长等于_________．17．如图，矩形ABCD 沿对角线BD 翻折后，点C 落在点E 处．联结CE 交边AD 于点F ．如果DF ＝1，BC ＝4，那么AE 的长等于_________．18．如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD 中，AB AC ==32AD CD ==，点E 、点F 分别是边AD ，边BC 上的中点．如果AC 是凸四边形ABCD 的相似对角线，那么EF 的长等于_________．三、解答题19．已知二次函数21722y x x =--+． （1）用配方法把该二次函数的解析式化为()2y a x m k =++的形式；（2）写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，并说明函数值y 随自变量x 的变化而变化的情况．20．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边AD 的中点AC 、BE 相交于点O ．设BA a =，CB b =．（1）试用a 、b 表示BO ；（2）在图中作出CO 在CB 、CD 上的分向量，并直接用a 、b 表示CO ．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）21．如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，点E 、点F 在边AC 上，且//DE BC ，AF AE FE EC=.（1）求证：//DF BE ；（2）如果AF ＝2，EF ＝4，AB =DE BE的值． 22．某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图．身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M 处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B 处测得A 的仰角为30°；当他在地面N 处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C 处测得A 的仰角为53°．如果测得小聪的有效测温区间MN 的长度是0.98米，求测温门顶部A 处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，sin53°≈0.8，cos53°＝0.6，cot53°≈0.75 1.73≈．）23．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CH ⊥AB ，垂足为点H ．点D 在边BC 上，联结AD ，交CH 于点E ，且CE ＝CD ．（1）求证：△ACE ∽△ABD ；（2）求证：△ACD 的面积是△ACE 的面积与△ABD 的面积的比例中项．24．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx +2经过点()3,6A --、()6,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD．①如果点D的横坐标为2．求cot∠DCB的值；②如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标．25．己知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG．（1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积；（2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果）参考答案1．A【分析】根据三角函数的定义即可求解．【详解】解：∵cosB ＝BC AB， ∴BC ＝ABcosB ＝10cos50°．故选：A ．【点睛】此题主要考查三角函数的定义．余弦：锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ．即cosA ＝b c ．2．D【分析】根据三角形相似和相似多边形的判定解答．【详解】A 、四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；B 、四个内角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；C 、两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似，原命题是假命题；D 、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，是真命题；故选：D ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形相似和相似多边形，难度不大． 3．C【分析】由1e 、2e 是两个单位向量的方向不确定，从而判定A 与B 错误；又由平面向量模的知识，即可判定选项C 正确，选项D 错误．【详解】解：∵1e 、2e 是两个单位向量，方向不一定相同，∴1e 与2e 不一定相等，选项A 错误； ∵1e 、2e 是两个单位向量，方向不一定相同，∴a 与b -不一定相等，选项B 错误； ∵133a e ==，233b e =-=，∴a b =，选项C 正确，选项D 错误；故选：C【点睛】本题考查了单位向量的定义和向量的数量积，注意平面向量的模的求解方法与向量是有方向性的．4．C【分析】根据二次函数图象开口向下确定出a 为负数，再根据二次函数图象与y 轴的交点即可确定出c 的正负情况，答案可解．【详解】解：∵二次函数图象开口向下，∴0a <，∵二次函数图象与y 轴的正半轴相交，∴0c >，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的开口方向、对称轴、与y 轴的交点与系数的关系是解题的关键．5．C【分析】画出图像，根据黄金分割的概念写出对应线段的比值，求出AQ 、PB 的长度，再根据PQ =AQ +PB －AB 即可求出PQ 的长度．【详解】解：如图，根据黄金分割点的概念，可知PB AQ AB AB == ∴AQ =PB ，AB =10，∴AQ =PB =11052⨯=，∴PQ =AQ +PB －AB =5510202)+-==．故选：C ．【点睛】本题主要考查黄金分割的概念，熟记黄金分割的概念并根据黄金分割的比值列式是解题关键．6．D【分析】根据相似三角形的判定及性质对每一个选项一一证明即可．【详解】解：∵ABE ∽CBA ， ∴AB BE BC AB=，∠BAE ＝∠C ，∠AEB ＝∠CAB ， ∴AB 2＝BE •BC ，（故选项A 正确）∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ，∴∠ADE ＝∠CAB ，又∵∠C ＝∠C ， ∴CDA ∽CAB ， ∴CD AD AC AB=， ∴CD •AB ＝AD •AC ，（故选项B 正确）∵∠ADE ＝∠AED ，∠BAE ＝∠C ， ∴ABE ∽CAD ， ∴AE BE CD AD=， ∴AE •AD ＝CD •BE ，又∵AD ＝AE ，∴AE 2＝CD •BE ，（故选项C 正确）∵∠ADE ＝∠AED ＜90°，∴∠ADB ＝∠AEC ＞90°，∴AB ＞AD ，AC ＞AE ，∴AB •AC ＞AE 2，即AB •AC ＞CD •BE ，（故选项D 错误）故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．7．3-【分析】根据已知得到2y x =，代入所求式子中计算即可．【详解】解：∵12x y =， ∴ 2y x =， ∴2332x y x x x x y x x x++===----： 故答案为：-3．【点睛】本题考查了求分式的值，利用已知得到2y x =后再整体代入是解题的关键．8．12a b 【分析】 去括号，合并同类向量即可解得．【详解】()1112222a b b a b b a b -+=-+=+本题考查了向量的线性运算，属于基础题．9．74【分析】根据cos45°=2， sin60° 【详解】解：原式22 3=1+4 7=4， 故答案为：74． 【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值．10．5:4【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论．【详解】解：∵两个相似三角形的对应中线的比为5：4，∴其相似比为5：4，∴这两个相似三角形的周长的比为5：4．故答案为：5：4．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比是解题的关键．11．224y x =-函数图象上下平移时，根据“上加下减”求解即可．【详解】抛物线221y x =-向下平移3个单位后表达式为：2221324y x x =--=-，故答案为：224y x =-．【点睛】本题考查函数图象平移，熟记平移法则是解题关键．12．25【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【详解】解：设垂直高度下降了x x 米．根据勾股定理可得：x 2+）2=502．解得x=25，即它距离地面的垂直高度下降了25米．【点睛】此题考查三角函数的应用.关键是熟悉且会灵活应用公式：tanα（坡度）=垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理．13．>【分析】把点A 、B 的坐标分别代入已知抛物线解析式，并分别求得1y 与2y 的值，然后比较它们的大小即可．【详解】∵抛物线22y x x c =-+经过点()11,A y -和()22,B y ，∴13y c =+，2y c =，∵1230y y -=>，∴12y y >，故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数关系式．14．15【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式首先求得CF 的长，再求得DC 的长．【详解】解：∵AC ∥EF ∥BD ，CF ＝6，23AE CF BE DF ==， ∴DF=9，∴CD=DF+CF=9+6=15．故答案是：15．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和比例的基本性质，解题的关键是注意数形结合思想的应用．15．12【分析】根据二次函数的对称性结合图表数据可知，x ＝−3时的函数值与x ＝5时的函数值相同．【详解】由图表数据可知，抛物线的对称轴为：x=1且f （−3）＝f （5）＝12．故答案为12．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，理解图表并准确获取信息是解题的关键．16【分析】先延长BG 交AC 与点D ，再根据重心的性质得出BD =3；证∆ADG ≅∆CDG ，得出BD ⊥AC ，再利用勾股定理求出AB 的长．【详解】解：（如图）延长BG 交AC 与点D ，∵点G 为△ABC 的重心，BG =2,∴AD =CD ，BD =3，又∵AG ＝CG ，GD =GD ，∴∆ADG ≅∆CDG ，∴∠ADG =∠CDG ，∴BD ⊥AC ，∵AC ＝4，∴AD =2，∴AB【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，三角形全等和勾股定理，正确做出辅助线，求出BD 、AD 的长以及证明∆ADG ≅∆CDG 是解决本题的关键．17．5【分析】由折叠的性质可得Rt BCD Rt BED ∆≅∆，由矩形的性质可证明Rt DAB Rt BCD ∆≅∆，故可得Rt DAB Rt BED ∆=∆，再证明Rt BCDRt CDF ∆∆求得CD=2，在Rt AEF ∆中由勾股定理可得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，△BED 是由△BCD 翻折得到，∴Rt BCD Rt BED ∆≅∆，CE BD ⊥，∴4AD BC ==，AB CD ED ==，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC ，AB=CD ，又BD=DB∴Rt DAB Rt BCD ∆≅∆∴Rt DAB Rt BED ∆≅∆∴AB ED =，ABD EDB ∠=∠∴四边形ABDE 是等腰梯形，∵CE BD ⊥，//AE BD∴CE AE ⊥，∠EAD ADB DBC =∠=∠∵∠90,90DBC FCB FBC FCD ︒︒+∠=∠+∠=∴∠DBC FCD =∠∴Rt BCDRt CDF ∆∆ ∴FD CD CD BC =，即14CD CD = ∴2CD =或-2（舍去） 在Rt DCB ∆中，21tan 42CD DBC BC ∠===， ∵∠EAD DBC =∠ ∴1tan 2EAD ∠= 在Rt AEF ∆中，12EF AE = 由勾股定理得，222AE AF EF =- 即2221()()2AE AD FD AE =-- ∴2221(41)4AE AE =--解得：AE =．． 【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形，勾股定理的运用以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．18．4【分析】根据相似三角形的判定及性质可得BC ，ACB CAD ∠=∠，继而可证//BC AD ，根据等腰三角形三线合一性质可得CF ＝BF ＝12BC ＝1，34AE =，∠AFC ＝∠FAE ＝90°，继而在Rt △AFC 中，根据勾股定理可得AF ，继而在Rt △AEF 中，由勾股定理即可求解．【详解】解：∵AB AC =，DA DC =∵ABC DAC △∽△∴2AC BC AD =⋅，ACB CAD ∠=∠∵AB AC ==32AD CD ==， ∴2BC =又ACB CAD ∠=∠，∴//BC AD ，∵AB ＝AC又点E 、点F 分别是边AD ，边BC 上的中点．∴AF ⊥BC ，AF ⊥AD ，CF ＝BF ＝12BC ＝1，34AE =， 即∠AFC ＝∠FAE ＝90°，在Rt △AFC 中，由勾股定理，得：AF ===∴在Rt △AEF 中，由勾股定理，得：4EF ===．【点睛】本题考查相似三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是求出综合利用所学知识求得BC ，AF 的长度．19．（1）()21142y x =-++；（2）开口向下，顶点()1,4-，对称轴直线1x =-，x≤-1时，y 随x 增大而增大；x ＞-1时，y 随x 增大而减小．【分析】（1）根据配方法，先提取12-，然后配成完全平方式，整理即可； （2）根据a 是负数以及顶点式解析式分别求解即可．【详解】解:(1)()()22171214222y x x x =-++=-++ （2）①二次函数开口方向向下，②顶点坐标()1,4-，对称轴直线1x =-，③x≤-1时，y 随x 增大而增大；x ＞-1时，y 随x 增大而减小．【点睛】本题考查化一般式为顶点式和二次函数的性质．熟练掌握配方法的操作以及根据顶点式形式写出对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．20．（1）2133BO a b =-；（2）见解析，2233CO b a =+ 【分析】（1）首先证明23BO BE =，求出BE 即可求解； （2）证明23CO CA =，求出CA 即可解决问题． 【详解】解（1）∵//AD BC ∴12OE AE BO BC == ∴23BO BE = ∴()222121333233BO BE BA AE a b a b ⎛⎫==+=-=- ⎪⎝⎭； （2）∵AE ∥BC ， ∴1=2AO AE CO CB =， ∴23CO CA =， ∴()()2222233333CO CA CB BA b a b a ==+=+=+ 如图所示，CO 在CB 、CD 上的分向量分别为CN 和CM ．【点睛】本题考查作图—复杂作图，平行线的性质、平面向量等知识，解题的关键是正确理解题意，灵活运用所学知识点．21．（1）见解析；（2【分析】（1）由平行线分线段成比例，得到AE AD AF EC BD FE==，即可得到//DF BE ； （2）根据题意，由相似三角形的判定定理，先证明ADE AEB ∽△△，即可求出DE BE 的值． 【详解】证明：（1）∵//DE BC ， ∴AE AD EC BD=，∵AF AE FE EC=， ∴AD AF BD FE =， ∴//DF BE ；（2）∵AF ＝2，EF ＝4，AB = ∴2142AD AF BD FE ===，∴AD =BD =AE=AF+EF=6，∴AD AE ==3AE AB ==， ∴=AD AE AE AB ， 又A A ∠=∠，∴ADE AEB ∽△△，∴DE AE BE AB ==； 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例．解题的关键是利用平行线得出相似三角形及比例，从而进行解题．22．2.6【分析】延长BC 交AD 于点E ，构造直角△ABE 和矩形EDNC ，设AE=x 米，通过解直角三角形分别求出BE 、CE 的长度，继而求出BC ，进而可得关于x 的方程，解方程求得x ，即AE ，继而即可求解．【详解】解：延长BC 交AD 于点E ，∵BM ＝CN 且CN ⊥DM ，BM ⊥DM∴BM ∥CN ，∴四边形BCNM 是平行四边形，∵∠CNM ＝∠BMN ＝90°∴四边形BCNM 是矩形，同理：四边形CEDN 是矩形，∴DE ＝CN ＝BM ＝1.6米∠AEC ＝90°∵BC ＝MN ，设AE=x 米，∵tan53°＝AE CE ，tan30°＝AE BE， ∴CE ＝53x tan ︒≈0.75x ，30ta x B n E =︒≈1.73x ， ∴BC ＝BE －CE ＝1.73x －0.75x ＝0.98x ，又MN ＝0.98，∴0.98x ＝0.98，∴x ＝1，即AE ＝1米∵DE ＝CN ＝BM ＝1.6米∴AE ＋DE ＝1+1.6＝2.6米答：测温门顶部A 处距地面的高度约为2.6米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，涉及到矩形的判定及其性质解题的关键是做辅助线构造直角三角形并解直角三角形．23．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）先证ACH B ∠=∠，再证AEC ADB ∠=∠，利用相似三角形的判定求解即可； （2）根据同高的三角形的面积比等于底边的比，得出ACE ACD S AE S AD =和ACD ABD SCD S BD=，再根据△ACE ∽△ABD ，得出结果．【详解】证明（1）∵∠ACB=90°，CH ⊥AB ，∴∠CHA=90°=∠ACB ，∴∠ACH+∠CAH=∠CBH+∠CAH ，∴ACH B ∠=∠，∵CE CD =，∴CED CDE ∠=∠，∵∠CED+∠AEC=∠CDE+∠ADB=180°，∴AEC ADB ∠=∠，∴ACE ABD ∽；（2）∵△ACE 与△ACD 同高， ∴ACE ACD S AE S AD=， ∵△ACD 与△ABD 同高，∴ACD ABD SCD S BD= ， ∵CD=CE ，∴ACD ABD S CE S BD=， ∵△ACE ∽△ABD ，∴AE CE AD BD= ， ∴ACE ACD ACD ABD S SS S = ，∴△ACD 的面积是△ACE 的面积与△ABD 的面积的比例中项． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 24．（1）215233y x x =-++；（2）①12；②104,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据点A ，B 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）①根据（1）中所求抛物线表达式，可以得到点B 、C 、D 的坐标，根据坐标系中两点间距离公式求出DB 、BC 、DC 的值，证明三角形为直角三角形，进而求出cot ∠DCB 的值；②过C 作x 轴的平行线，过D 作y 轴平行线交于H ，根据平行线的性质推导出DCH CBO ∠=∠，从而得出三角形相似，利用相似比求出点D 的坐标．【详解】（1）将()3,6A --、()6,0B 代入y ＝ax 2+bx +2，得，932636620a b a b -+=-⎧⎨++=⎩， 解得：1353a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的表达式为215233y x x =-++； （2）①当2x =时，215222433y =-⨯+⨯+=， 当0x =时，2y =，∴()2,4D ，()0,2C ，()6,0B ，∴DB ==BC ==DC ==222BD CD BC ∴+=，BDC ∴为直角三角形，其中90D ∠=︒，∴1cot 2DC DCB DB ∠===;②过C 作x 轴的平行线，过D 作y 轴平行线交于H ，设点D 坐标为215,233m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,则(),2H m ， 21533DH m m ∴=-+， ∵222DCB CBO BCH DCH ∠=∠=∠=∠，∴DCH CBO ∠=∠，90CHD BOC ∠=∠=︒,CHD BOC ∴△△,()0,2C ，()6,0B ，2,6OC OB ∴==, ∴13DH CO CH BO ==， ∴2151333m m m -+=解得：4m =，0m =（舍）， ∴104,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数上点的坐标、坐标中两点间距离公式、余切三角函数、平行线的性质、相似三角形的判定、相似比等，解答本题的关键是熟练运用这些知识点并根据已知条件做好辅助线．25．（1）20；（2）()4244644x x y x =-+<<；（3）AD =或 【分析】（1）运用ASA 证明△AME DFE ≅∆求出FD 的长再运用三角形面积公式即可得到答案；（2）证明FHM MHC △∽△，根据相似三角形的性质列出比例式，代入相关数值即可求出函数关系式；（3）分点G 在矩形内部和外部两种情况求解即可．【详解】解（1）过M 作MH ⊥DC ，垂足为H ，如图1易得四边形ADHM 是正方形，∵AE ED =又∠FED=∠MEA∴△()AME DFE ASA ≅∆∴.4AM FD DH ===∵MH FC ⊥∴∠FHM=∠CHM=90°，∠HCM+∠HMC=90°∵90FMC ∠=︒，∴∠FMH+∠HMC=90°∴∠FMH=∠HCM∴△FMH ∽△MCH ∴12MH HC FH MH == ∴2CH =，CF 10= ∴1202MFC S CF MH =⋅=△ （2）过M 作MH ⊥DC ，过G 点作GP ⊥DC ，垂足分别为H ，P ，如图2，∵FG GM =，//GP MH ∴111222GP MH AD x ===，12FP PH FH == ∵MH ⊥DC ，∴∠MHF=∠MHC=90°，∠HMC+∠ HCM=90°∵∠FMC=90°，∴∠FMH+∠HMC=90°∴∠FMH=∠HCM∴FHM MHC △∽△ ∴FH MH MH HC =，即4FH x x =， ∴24x FH = ∴28x PH =，228x DP =-，12GP x =∴222DG DP GP =+ ∴424644x x y =-+由00FH DP >⎧⎨>⎩可得4x <<∴定义域为4x <<（3）点G 在矩形内部时,延长DG 交AB 于J ，连接AG ，AF ，如图∵EDG EFD MCB ∠=∠=∠∵AD BC =∴ADJ BCM ≌△△， 2AJ BM == ∵1GJ GM DG GF==， ∴AG DG =∴∠12=∠∵∠1390+∠=︒∴∠3490+∠=︒∴∠90AGE =︒∴AG 垂直平分FM∴6AF AM ==∵4DF MJ ==∴AD ===点G 在矩形外部时，延长DG 交BA 延长线于L ，连接DM ，如图∵EDG EFD MCB ∠=∠=∠，AD BC =∴ADL BCM ≌△△，∴2AL BM ==∵∠L CMD =∠，∠FMC 为直角，∴90DGE ∠=︒，DG 垂直平分FM∴8DM DF ==，6AM =，∴AD =综上，AD =或【点睛】收费题主要考查了三角形全等的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键．。
2021-2022学年上海市长宁区九年级上学期期末数学试卷(一模)(含答案解析)
2021-2022学年上海市长宁区九年级上学期期末数学试卷(一模)一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.如图，在半径为2cm的⊙O中有长为2√3cm的弦AB，则弦AB所对的圆心角的度数为()A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°2.下列命题是假命题的是()A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等B. 实数和数轴上的点是一一对应的C. 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直3.若向量a⃗与b⃗ 均为单位向量，则下列结论中正确的是()A. a⃗=b⃗B. a⃗=1C. b⃗ =1D. |a⃗|=|b⃗ |4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，c<−1，其对称轴为直线x=−1，与x轴的交点为(x1,0)、(x2,0)，其中0<x1<1，有下列结论：①abc>0；②−3<x2<−2；③4a−2b+c<−1；④a−b>am2+bm(m≠−1)；其中，正确的结论个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.如图，在矩形ABCD中，将△ADC绕点D逆时针旋转90°得到△FDE，B、F、E三点恰好在同一直线上，AC与BE相交于点G，连接DG.以下结论正确的是()①AC⊥BE；②△BCG∽△GAD；③点F是线段CD的黄金分割点；④CG +√2DG =EG ．A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①③④ 6. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，点F 在BC 的延长线上，DE//BC ，若∠A =48°，∠1=54°，则下列正确的是( )A. ∠2=48°B. ∠2=54°C. DE BC =AD ABD. DE BC =12二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.若a 3=b 5=c 7(a ≠0)，则a+b+c a = ______ ． 8. 已知平行四边形ABCD ，E 是边AB 的中点．设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______.(结果用a ⃗ 、b ⃗ 表示)．9. 计算：(−1)0+√8×sin45°−23= ______ ．10. 已知△ABC∽△DEF ，相似比为2，且△ABC 的面积为4，则△DEF 的面积为______．11. 把抛物线y =12(x −1)2+2向左平移1个单位，在向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为______ ．12. 某校数学兴趣小组要测量西山植物园蒲宁之珠的高度．如图，他们在点A 处测得蒲宁之珠最高点C 的仰角为45°，再往蒲宁之珠方向前进至点B 处测得最高点C 的仰角为56°，AB =62m ，根据这个兴趣小组测得的数据，则蒲宁之珠的高度CD 约为______ m.(sin56°≈0.83,tan56°≈1.49，结果保留整数)13. 已知二次函数y =−x 2+2x −2的图象上有两点A(2,y 1)，B(3,y 2)，则y 1与y 2的大小关系是y 1______y 2(填“<”、“>”或“=”)．14. 如图l 1//l 2//l 3，若AB BC =32，DF =10，则DE =______．15. 如图，已知抛物线y =x 2+bx +2与x 轴交于A 、B 两点，顶点为M ，抛物线的对称轴在y 轴的右则，若tan∠BAM =12，则b 的值是______ ．16. 在△ABC 中，AB =AC =6cm ，AB 的垂直平分线与AC 相交于E 点，且△BCE 的周长为10cm ，则BC = ______ cm ．17. 矩形ABCD 的周长为56，对角线交于点O ，△OAB 比△OBC 周长小4，则AB = ______ ．18. 如果点D 、E 分别是△ABC 的AB 、AC 边的中点，那么△ADE 与△ABC 的周长之比是______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. 定义：任何一个一次函数y =px +q ，取出它的一次项系数p 和常数项q ，有序数组[p,q]为其特征数．例如：y =2x +5的特征数是[2,5]，同理，[a,b,c]为二次函数y =ax 2+bx +c 的特征数． (1)直接写出二次函数y =x 2−5x 的特征数是：______．(2)若特征数是[2,m +1]的一次函数为正比例函数，求m 的值；(3)以y 轴为对称轴的二次函数抛y =ax 2+bx +c 的图象经过A(2,m)、B(n,1)两点(其中m >0，n <0)，连结OA 、OB 、AB ，得到OA ⊥OB ，S △AOB =10，求二次函数y =ax 2+bx +c 的特征数．20. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是对角线BD 上的两点，且BE =DF ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ． (1)用向量a ⃗ 、b ⃗ 、c ⃗ 表示下列向量：向量CE⃗⃗⃗⃗⃗ =______，向量BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______，向量DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______； (2)求作：b ⃗ +c ⃗ ．21.在平面直角坐标系中，对于点P(a,b)，若点P′的坐标为(a+b,ka+b)(其中k为常数，且k≠0)，则称点P′为点P的“k关联k点”．(1)点P(−3,4)的“2关联点”P′的坐标是______；(2)若a、b为正整数，点P的“k关联点”P′的坐标为(3,9)，请直接写出k的值及点P的坐标；(3)如图，点Q的坐标为(0,2)，点A在函数y=−8√2(x<0)的图象上运动，且点A是点B的“−√2关联x点”，求线段BQ的最小值．22.如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上，一架无人机在空中飞行至点C处时，测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为知75°，已知点C与AB在同铅直平面内，两景点A、B间的距离为100米，求无人机与景点A的距离CA为多少米？(结果保留根号)23.如图1，已知O是锐角∠XAY的边AX上的动点，以点O为圆心、R为半径的圆与射线AY相切于点B，交射线OX于点C，过点C作CD⊥BC，CD交AY于点D．(1)求证：△ABC∽△ACD；.如图2，当点D与点P重合时，求R的值．(2)若P是AY上一点，AP=4，且sinA=3524.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n与x轴正半轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C．(1)若△OBC是等腰直角三角形，且其腰长为3，求抛物线的解析式；(2)在(1)的条件下，点P为抛物线对称轴上的一点，则PA+PC的最小值为______．25.如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．(1)如图2，在等边△ABE中，D、C分别是边AE、BE的中点，连接CD，问四边形ABCD是互补等对边四边形吗？请说明理由．∠AEB．(2)如图3，在等腰△ABE中，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=12∠AEB (3)如图4，在非等腰△ABE中，若四边形ABCD是互补等对边四边形，试问∠ABD=∠BAC=12是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．参考答案及解析1.答案：C解析：解：如图，作OD⊥AB，由垂径定理知，点D是AB的中点，AD=12AB=√3，∵cosA=ADOA =√32，∴∠A=30°，∴∠AOD=12AOB=60°，∴∠AOB=120°．故选：C．作OD⊥AB于D.根据垂径定理可得AD长，再解直角三角形可得∠AOB．本题利用了垂径定理和正弦的概念求解．2.答案：A解析：解：A、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意；B、实数和数轴上的点是一一对应的，正确，是真命题，不符合题意；C、坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，正确，是真命题，不符合题意；D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，不符合题意，故选：A．利用平行线的性质、实数的性质、两直线的位置关系等知识分别判断后即可确定正确的选项．考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、实数的性质、两直线的位置关系等知识，难度不大．3.答案：D解析：解：由向量的定义可知：∵向量a⃗与b⃗ 均为单位向量，∴可得|a⃗|=1，|b⃗ |=1，即|a⃗|=|b⃗ |.故选D．根据单位向量的定义，因为向量a⃗与b⃗ 均为单位向量，可得出|a⃗|=1，|b⃗ |=1，即|a⃗|=|b⃗ |.此题主要考查了单位向量的定义，以及其性质，此类型题目是本部分基础题目，应注意正确的掌握其性质．4.答案：B解析：解：抛物线开口向上，a>0，对称轴为x=−1，因此a、b同号，b>0，而c<−1，因此abc<0，故①不符合题意；对称轴为x=−1，与x轴的交点为(x1,0)、(x2,0)，其中0<x1<1，根据对称性得；−3<x2<−2，因此②符合题意；由对称性可知，当x=0与x=−2时，y的值是相等的，又c<−1，因此4a−2b+c<−1是正确的，故③符合题意；当x=−1时，y最小=a−b+c，当x=m时，y=am2+bm+c，因此a−b+c<am2+bm+c(m≠−1)，即；a−b<am2+bm(m≠−1)，故④不符合题意；综上所述，正确的结论有2个，故选：B．根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(小)以及增减性，逐个进行判断，得出答案．考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握a、b、c的值对抛物线的位置的影响及与坐标轴的交点位置是解决问题的前提．5.答案：D解析：解：∵△FDE是△ADC绕点D逆时针旋转90°得到的，∴△FDE≌△ADC，∴AD=DF，DC=DE，∠DEF=∠DCA，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，即∠DAG+DEF=90°，∴∠AGE=90°，即AC⊥BE，故①正确；∵AC⊥BE，∴∠BGC=90°，即△BGC是直角三角形，而△AGD显然不是直角三角形，故②错误；在Rt△FCB和Rt△FDE中，∵∠BFC=∠EFC，∴Rt△FCB∽Rt△FDE，∴ FCDF =BCDE，∵BC=AD=DF，DE=DC，∴FCDF =DFDC，即DF2=FC⋅DC，∴点F是线段CD的黄金分割点，故③正确；在线段EF上取EG′=CG并连接DG′，如图，∵DC=DE，∠DEF=∠DCA，∴∠DEG′=∠DCG，在△DCG和△DEG′中，{DC=DE∠DCG=∠DEG′CG=EG′，∴△DCG≌△DEG′(SAS)，∴DG=DG′，∠CDG=∠EDG′，∵∠CDG=∠GDA=90°，∠EDG′+∠GAD=90°，∴∠GDG′=90°，∴△GDG′是等腰直角三角形，∴GG′=√2DG，∵EG′=CG，∴EG=EG′+GG′=CG+√2DG，故④正确；故选：D．由△FDE是△ADC绕点D逆时针旋转90°得到的，得到△FDE≌△ADC，再由矩形的性质得出∠DAC+ DEF=90°从而判断①；由AC⊥BE可得∠BGC=90°，从而判断②；由Rt△FCB∽Rt△FDE及BC=AD=DF，DE=DC，得出FCBC =DFDE可判断③；在线段EF上作EG′=CG，如图所示，连接DG′，通过△DCG≌△DEG′，得出△GDG′是等腰直角三角形，可以判断④．本题主要考查相似三角形的判定和性质以及黄金分割点的性质，全等三角形的判定和性质等综合知识，关键是根据已知比例式确定两个三角形相似．6.答案：C解析：解：∵∠DEC是△ADE的外角，∠A=48°，∠1=54°，∴∠DEC=∠A+∠1=48°+54°=102°，∵DE//BC，∴∠2=∠DEC=102°，故A、B选项错误；∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =ADAB，故C正确；只有当D、E分别是AB、AC的中点时，DEBD =ADAB=12，故D错误，故选：C．先根据三角形的外角性质求出∠DEC的度数，再根据平行线的性质得出结论即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质，平行线的性质及三角形的外角性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．7.答案：5解析：解：设a3=b5=c7=x，∴a=3x，b=5x，c=7x，∴a+b+ca =15x3x=5．根据题意，设a3=b5=c7=x，则可得a=3x，b=5x，c=7x，直接代入求得a+b+ca的值．主要考查了比例的性质．根据比例的性质可设其比例值为x ，用x 表示出未知字母的值，代入所求代数式化简即可．8.答案：−b ⃗ +12a ⃗ 解析：解：如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，AD//BC∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，∵E 是AB 的中点，∴AE =12AB =12a ⃗ ，∵DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE −，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ⃗ +12a ⃗ ， 故答案为：−b ⃗ +12a ⃗ ． 由三角形法则可知：DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE −，只要求出DA ⃗⃗⃗⃗⃗，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可解决问题． 本题考查平面向量，三角形法则，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9.答案：−5 解析：解：原式=1+2√2×√22−8 =1+2−8=−5．直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案． 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 10.答案：1解析：解：设△DEF 的面积为x ，∵△ABC∽△DEF ，相似比为2，△ABC 的面积为4，∴S△ABC：S△DEF=22=4，解得S△DEF=1．故答案为：1．设△DEF的面积为x，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答即可．本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．x211.答案：y=12(x−1)2+2的顶点坐标为(1,2)，点(1,2)向左平移1个单位，再向下平移2个解析：解：抛物线y=12x2．单位所得对应点的坐标为(0,0)，所以所得抛物线的解析式为y=12x2．故答案为y=12(x−1)2+2的顶点坐标为(1,2)，再根据点平移的规律得到点(0,0)，然后根据顶先确定抛物线y=12点式写出平移后的抛物线解析式．本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．12.答案：189解析：解：根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=62m，∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°，∴AD=CD，∵AD=AB+BD，∴BD=AD−AB=CD−2(m)，∵在Rt△BCD中，tan∠CBD=CD，BD∴BD=CD，tan56∘∴AB=AD−BD=CD−CD=62，tan56∘∴CD≈189，(m)．答：蒲宁之珠的高度CD约为189，故答案为：189．首先根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=56°，AB=62m，在Rt△ACD中，易求得BD=AD−AB=CD−62；在Rt△BCD中，可得BD=CDtan56∘，即可得AB=AD−BD=CD−CDtan56∘=62，继而求得答案．本题考查了仰角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．13.答案：>解析：解：∵二次函数的解析式为y=−x2+2x−2=−(x−1)2−1，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1，∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，∵2<3∴y1>y2．故选：>．根据二次函数的性质即可判断y1、y2的大小关系．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．14.答案：6解析：解：∵l1//l2//l3，ABBC =32，∴ABBC =DEEF=32，∵DF=10，∴DE10−DE =32，解得：DE=6，故答案为：6．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入即可求出答案．本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解此题的关键．15.答案：−3解析：解：过点M作MN⊥x轴于点N，则tan∠BAM=12=MNAN，函数的对称轴为x=−12b，当x=−12b时，y=x2+bx+2=2−b24，则MN=b24−2，令y=x2+bx+2，则xA+xB=−b，xA+xB=2，应该改为：令y=x2+bx+2=0，则xA+xB=−b，xA.xB=2．令y=x2+bx+2，则x A+x B=−b，x A⋅x B=2，则AB=|x A−x B|=√(x A+x B)2−4x A x B=√b2−8=2AN，则AN=12√b2−8，∵AN=2MN，即AN=12√b2−8=2(b24−2)，解得b=±3，∵b<0，故b=−3，故答案为−3．函数的对称轴为x=−12b，当x=−12b时，y=x2+bx+2=2−b24，则MN=b24−2，而AB=|x A−x B|=√(x A+x B)2−4x A x B=√b2−8=2AN，由AN=2MN，即可求解．本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．16.答案：4解析：解：∵AB=AC=6cm，DE垂直且平分AB，∴BE=AE．∵△BCE的周长为10cm，BE+CE=AC=AB=6，∴BC=10−6=4(cm)．故答案为：4．要求底边BC 的长，现有△BCE 的周长为10cm ，只要求出BE +AE 即可，因为DE 垂直且平分AB ，故BE =AE.可推出AC =BE +EC =AB.易求出BC 的长．本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．17.答案：12解析：解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，OA =OC ，OB =OD ，∵矩形ABCD 的周长为56，∴2AB +2BC =56，∴AB +BC =28①，∵△OAB 比△OBC 周长小4，∴(OC +0B +BC)−(OA +OB +AB)=4，即BC −AB =4②，由①②组成方程组{AB +BC =28BC −AB =4， 解得：BC =16，AB =12，故答案为：12．根据矩形性质求出AB =CD ，AD =BC ，OA =OC ，OB =OD ，根据已知矩形周长得出AB +BC =28，根据△OAB 比△OBC 周长小4求出BC −AB =4，组成方程组，求出方程组的解即可．本题考查了矩形的性质的应用，关键是能根据题意得出方程组，题目比较典型，难度适中． 18.答案：1：2解析：解：∵点D 、E 分别是△ABC 的AB 、AC 边的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE BC =AD AB =AE AC =12，∴l △ADE l △ABC =DE +AD +AE BC +AB +AC =12 故答案为：1：2．根据中位线的定理即可求出答案．本题考查中位线，解题的关键是熟练运用中位线的性质定理，本题属于基础题型．19.答案：(1)[1,−5,0](2)特征数是[2,m+1]的一次函数为y=2x+m+1．∵一次函数y=2x+m+1为正比例函数，∴m+1=0．∴m=−1．(3)∵A(2,m)、B(n,1)，作AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C．∴CO=−n，BC=1，OD=2，AD=m，∵OA⊥OB，∴∠COB+∠AOD=90°，又∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠COB=∠OAD，又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△CBO∽△DOA，∴CBDO =CODA=BOOA，∴12=BOAO，又∵S△AOB=10，∴12OB⋅OA=10．即BO⋅OA=20，解得：BO=√10，AO=2√10．由勾股定理得：CO=3，AD=6．∵m>0，n<0，∴m=6，n=−3．∴A 坐标为(2,6)，B 坐标为(−3,1)．设抛物线解析式为：y =ax 2+c ，故{4a +c =69a +c =1， 解得：{a =−1c =10， 故抛物线解析式为：y =−x 2+10，则二次函数y =−x 2+10的特征数为[−1,0,10]．解析：解：(1)∵[a,b,c]为二次函数y =ax 2+bx +c 的特征数，∴二次函数y =x 2−5x 的特征数是：[1,−5,0]；故答案为：[1,−5,0]；(2)见答案(3)见答案(1)根据题意得出二次函数的特征数，进而得出答案；(2)根据题意得出一次函数y =2x +m +1为正比例函数，得出m +1=0，进而得出答案；(3)首先得出△CBO∽△DOA ，即可得出CB DO =CO DA =BOOA ，进而求出BO ，AO 的长，即可得出m ，n 的值，再利用待定系数法求二次函数解析式得出即可．此题主要考查了二次函数综合以及新定义和相似三角形的判定与性质等知识，得出A ，B 点坐标是解题关键．20.答案：(1)−c ⃗ a ⃗ −b ⃗ a⃗ −c ⃗ (2)延长EC 到K ，使得CK =EC ，连接BK ，则向量BK ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求；解析：解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC ，AD =BC ，∴∠ADF =∠CBE ，∵DF =BE ，∴△ADF≌△CBE ，∴∠AFD =∠CEB ，AF =CE ，∴∠AFB =∠CED ，∴AF//CE ，∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−c ⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b⃗ ， DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −c ⃗ ，故答案为−c ⃗ ，a ⃗ −b ⃗ ，a⃗ −c ⃗ ． (2)见答案．(1)根据平面向量的加法法则计算即可；(2)延长EC 到K ，使得CK =EC ，连接BK ，则向量BK⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求； 本题考查平行四边形的性质、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.答案：(1)(−1,−2)(2)P′(1,6)、(2,3)；(3)∵B 的“−√2关联点”是A ，∴A(a −√2−√2a +b)，∵点A 在函数y =−8√2x(x <0)的图象上， ∴(−√2a +b)(a √2)=−8√2， ∴(b −√2a)2=16， ∵b −√2a >0， ∴b −√2a =4， ∴b =√2a +4；∴B 在直线y =√2x +4上．过Q 作y =√2x +4的垂线QB′，垂足为B′，∵Q(0,2)，且线段BQ 最短，∴B′即为所求的B 点，由△MB′Q∽△MON 得MQ MN =MB′MO =B′Q ON ，∵ON =2√2，OM =4，∴MN=2√6．又∵MQ=2，∴B′Q=2√33，∴线段BQ的最小值是2√33．解析：解：(1)∵x=−3+42=−1，y=2×(−3)+4=−2，∴P′(−1,−2)，故答案为(−1,−2)；(2)设P(a,b)，则P′(a+bk,ka+b)∴{a+bk=3ka+b=9，∴k=3，∴3a+b=9．∵a、b为正整数∴P′(1,6)、(2,3)；(3)见答案(1)根据题中的新定义求出点P(−3,4)的“2关联点”P′的坐标即可；(2)根据题中的新定义求出a与b的关系式即可；(3)根据题意得出A(a−√2−√2a+b)，代入y=−8√2x(x<0)，求得b=√2a+4，从而求得B在直线y=√2x+4上，过Q作y=√2x+4的垂线QB′，垂足为B′，Q(0,2)，且线段BQ最短，B′即为所求的B点，由△MB′Q∽△MON得MQMN =MB′MO=B′QON，由ON=2√2，OM=4，根据勾股定理求得MN=2√6.由MQ=2，求得BQ=2√33．此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：一次函数的交点坐标，坐标与图形性质，弄清题中的新定义是解本题的关键．22.答案：解：过点B作BE⊥AC于点E，如图所示：根据题意得：∠CAB=45°，∠ACB=75°−45°=30°，在Rt△ABE中，sin∠EAB=BEAB ，即sin45°=BE100，∴BE=50√2，∴AE=BE=50√2，在Rt△CBE中，∠ACB=30°，∴BC=2BE=100√2，CE=√3BE=50√6，∴CA=50√2+50√6，答：无人机与景点A的距离CA为(50√2+50√6)米．解析：过点B作BE⊥AC于点E，通过解直角三角形求出AE、CE，即可得出答案．此题考查了解直角三角形−俯角问题、含30°角的直角三角形的性质，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．23.答案：(1)证明：如图1，连接OB，∵CD⊥BC，∴∠ADC=90°−∠CBD．又∵⊙O切AY于点B，∴OB⊥AB．∴∠OBC=90°−∠CBD．∴∠ADC=∠OBC．又∵在⊙O中，OB=OC=R，∴∠OBC=∠ACB．∴∠ACB=∠ADC．又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD．(2)解：如图2，连接OB，∵sinA=35，OB=OC=R，OB⊥AB，∴在Rt△AOB中，AO=OBsinA =R35=53R，AB=√(53R)2+R2=43R.∴AC=53R+R=83R.∵△ABC∽△ACD，∴ACAB =ADAC．∴83R43R=AD83R．∴AD=163R.∵当点D与点P重合时，AD=AP=4，∴163R=4．∴R=34．解析：(1)根据切线的性质得到∠ABO=90°，易证∠ABC=∠ACD，从而根据两个角对应相等得到两个三角形相似；(2)根据(1)中的相似三角形得到对应边的比相等，再结合锐角三角函数的概念，把AD用R表示，根据AD=AP求得R的值．此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及三角函数的性质等知识．此题难度较大，综合性很强，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．24.答案：3√2解析：解：(1)如图1，连接BC，∵△OBC是等腰直角三角形，∠BOC=90°，∴OB=OC，∵腰长为3，∴OB=OC=3，∴B(3,0)，C(0,3)，将点B(3,0)，C(0,3)代入抛物线解析式y=x2+mx+n中，得，{9+3m+n=0n=3，∴{m=−4n=3，∴抛物线的解析式为y=x2−4x+3；(2)如图2，由(1)知，抛物线的解析式为y=x2−4x+3=(x−2)2−1，∴抛物线的对称轴直线为x=2，∵点C(0,3)，∴点C关于抛物线的对称轴x=2的对称点C′(4,3)，连接AC′交抛物线的对称轴于P，此时，PA+PC的值最小，最小值为AC′，针对于抛物线的解析式为y=x2−4x+3，令y=0，则x2−4x+3=0，解得，x=1或x=3，∴A(1,0)，∵C′(4,3)，∴AC′=√(4−1)2+32=3√2，即：PA+PC的最小值为3√2，故答案为：3√2．(1)先根据等腰直角三角形的腰长求出OB=OC=3，进而求出点B，C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；(2)先确定出抛物线的对称轴，进而求出点C′的坐标，找出PA+PC的最小值为AC′，再求出点A坐标，即可得出结论．此题是二次函数综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，待定系数法，对称性，两点间的距离公式，求出点C′的坐标是解本题的关键．25.答案：解：(1)四边形ABCD是互补等对边四边形，理由：如图2，∵△ABE是等边三角形，∴AE=BE，连接AC，BD，∵点D是AE的中点，∴BD⊥AE，∴∠ADB=90°，同理：∠BCA=90°，∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°∴四边形ABCD 是互补等对边四边形．(2)∵AE =BE ，∴∠EAB =∠EBA ，∵四边形ABCD 是互补等对边四边形，∴AD =BC ，在△ABD 和△BAC 中，{AD =BC∠DAB =∠CBA AB =BA&&,∴△ABD≌△BAC(SAS)，∴∠ADB =∠BCA ，又∵∠ADB +∠BCA =180°，∴∠ADB =∠BCA =90°，在△ABE 中，∵∠EAB =∠EBA =180°−∠AEB 2=90°−12∠AEB ，∴∠ABD =90°−∠EAB =90°−(90°−12∠AEB)=12∠AEB ，同理：∠BAC =12∠AEB ，∴∠ABD =∠BAC =12∠AEB ；(3)仍然成立；理由如下：如图4所示：过点A 、B 分别作BD 的延长线与AC 的垂线，垂足分别为G 、F ，∵四边形ABCD 是互补等对边四边形，∴AD =BC ，∠ADB +∠BCA =180°，又∠ADB +∠ADG =180°，∴∠BCA =∠ADC ，又∵AG ⊥BD ，BF ⊥AC ，∴∠AGD =∠BFC =90°，在△AGD 和△BFC 中，{∠AGD =∠BFC ∠BCA =∠ADC AD =BC∴△AGD≌△BFC，∴AG=BF，在△ABG和△BAF中，{AB=BAAG=BF∴△ABG≌△BAF，∴∠ABD=∠BAC，∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠EDB+∠ECA=180°，∴∠AEB+∠DHC=180°，∵∠DHC+∠BHC=180°，∴∠AEB=∠BHC．∵∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，∠AEB．∴∠ABD=∠BAC=12解析：(1)先判断出AE=BE，再判断出∠ADB=90°，即可得出结论．(2)根据等边对等角可得∠EAB=∠EBA，根据四边形ABCD是互补等对边四边形，可得AD=BC，根据SAS可证△ABD≌△BAC，根据全等三角形的性质可得∠ABD=∠BAC，再根据等腰三角形的性质即可证明；(3)仍然成立；理由如下：如图所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，证明△AGD≌△BFC，得到AG=BF，又AB=BA，所以△ABC≌△BAF，得到∠ABD=∠BAC，根据∠ADB+∠BCA=180°，得到∠EDB+∠ECA=180°，进而得到∠AEB+∠DHC=180°，由∠DHC+∠BHC=180°，所以∠AEB=∠BHC.因为∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，所以∠ABD=∠BAC=1∠AEB．2此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解新定义，判断出△ABD≌△BAC是解本题的关键．。
2021年上海市长宁中考数学试题含解析答案
（2） 点 A在直线 PQ上且在第一象限内，过 A作 ABx轴于 B，以 AB为斜边在其左侧作等腰直角 ABC.
①若 A 与 Q 重合，求 C 到抛物线对称轴的距离； ②若 C 落在抛物线上，求 C 的坐标.
25. 如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC，∠ABC=90°，AD=CD，O 是对角线 AC 的中点，联结 BO 并延长交 边 CD 或边 AD 于 E.
求 5G 手机的下载速度.
23. 已知：在圆 O内弦 AD与弦 BC 交于点 G，AD=CB，M、N分别是 CB和 AD的中点，联结 MN、OG.
（1） 求证： OGMN；
（2） 联结 AC、AM、CN，当 CN//OG时，求证：四边形 ACNM为矩形.
24. 已知抛物线yax2ca0过点P（3,0），Q（1,4）.
（1）当点 E 在边 CD 上时，
①求证：
②若BE
CD
AD
，求
的值；
BC
③若 DE=2，OE=3，求 CD 的长.
B.对称轴不变 D.与y轴的交点不变
D. ab3
）
4. 商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（ ）
A. 2kg/包
B.3kg/包
C. 4kg/包
D. 5kg/包
5. 如图，已知
E为AB中点，求
6.
如图，已知长方形ABCD中，AB=4，AD=3，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆
12. 若一元二次方程2x23xc0无解，则 c的取值范围为
13. 有数据 1,2,3,5,8,13,21,34，从这些数据中取一个数据，得到偶数的概率为
〖汇总3套试卷〗上海市长宁区2021年九年级上学期期末学业质量检查模拟数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】A【解析】考点：旋转的性质．分析：已知旋转角度，旋转方向，可求∠A′CA，根据互余关系求∠A′，根据对应角相等求∠BAC．解：依题意旋转角∠A′CA=40°，由于AC⊥A′B′，由互余关系得∠A′=90°-40°=50°，由对应角相等，得∠BAC=∠A′=50°．故选A．2．如图，一次函数y=2x与反比例函数y=kx（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为32，则k的值为（）A．4932B．2518C．3225D．98【答案】C【解析】如图，连接BP，由反比例函数的对称性质以及三角形中位线定理可得OQ=12BP，再根据OQ的最大值从而可确定出BP长的最大值，由题意可知当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，继而根据正比例函数的性质以及勾股定理可求得点B坐标，再根据点B在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，利用待定系数法即可求出k的值. 【详解】如图，连接BP，由对称性得：OA=OB，∵Q是AP的中点，∴OQ=12 BP，∵OQ长的最大值为32，∴BP长的最大值为32×2=3，如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，∵CP=1，∴BC=2，∵B在直线y=2x上，设B（t，2t），则CD=t﹣（﹣2）=t+2，BD=﹣2t，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，∴22=（t+2）2+（﹣2t）2，t=0（舍）或t=﹣45，∴B（﹣45，﹣85），∵点B在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，∴k=﹣45×（-85）=3225，故选C．【点睛】本题考查的是代数与几何综合题，涉及了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线定理，圆的基本性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，确定出BP过点C时OQ有最大值是解题的关键.3．有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（）A．平均数B．方差C．中位数D．极差【答案】C【解析】9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【详解】由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．故选：C．【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、极差、方差的意义，掌握相关知识点是解答此题的关键．4．下列几何体中，主视图是三角形的是( )A．B．C．D．【答案】C【分析】主视图是从正面看所得到的图形，据此判断即可．【详解】解：A、正方体的主视图是正方形，故此选项错误；B、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误；C、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；D、六棱柱的主视图是长方形，中间还有两条竖线，故此选项错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了几何体的三视图，解此题的关键是熟练掌握几何体的主视图．5．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（）A．45B．35C．25D．15【答案】B【解析】试题解析：列表如下：∴共有20种等可能的结果，P（一男一女）=123= 205．故选B．6．若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD 的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角为（ ） A ．30 B ．45C ．60D ．90【答案】A【分析】将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD 的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的长度与矩形相等的一条边上的高为矩形的一半，即AB ＝2AE ．【详解】解：将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD 的形状，并使其面积为矩形面积的一半， 平行四边形ABCD 是原矩形变化而成， ∴FG ＝BC ，FH ＝2AE ． 又∵HF ＝AB ， ∴AB ＝2AE ，在Rt △ABE 中，AB ＝2AE ， ∠B ＝30°． 故选：A ．【点睛】本题考查了矩形各内角为90︒的性质，平行四边形面积的计算方法，特殊角的三角函数，本题中利用特殊角的正弦函数是解题的关键．7．如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点C ，D ，E 在同一条直线上，顶点B ，C ，G 在同一条直线上．O 是EG 的中点，∠EGC 的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG 于点M ，连接OH ．以下四个结论：①GH ⊥BE ；②△EHM ∽△GHF ；③2BCCG=﹣1；④HOM HOGS S ＝2﹣2，其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】A【分析】由四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，得出△BCE ≌△DCG ，推出∠BEC+∠HDE=90°，从而得GH ⊥BE ；由GH 是∠EGC 的平分线，得出△BGH ≌△EGH ，再由O 是EG 的中点，利用中位线定理，得HO ∥BG 且HO=12BG ；由△EHG 是直角三角形，因为O 为EG 的中点，所以OH=OG=OE ，得出点H 在正方形CGFE 的外接圆上，根据圆周角定理得出∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°，∠HEG=∠HFG ，从而证得△EHM ∽△GHF ；设HN=a ，则BC=2a ，设正方形ECGF 的边长是2b ，则NC=b ，CD=2a ，由HO ∥BG ，得出△DHN ∽△DGC ，即可得出DN HN DC CG =，得到 b 2a a 2a 2b -=，即a 2+2ab-b 2=0，从而求得BC21CG=-，设正方形ECGF 的边长是2b ，则EG=22b ，得到HO=2b ，通过证得△MHO ∽△MFE ，得到OM OH 2b 2EM EF 2b 2===，进而得到21(12)12OM OE OM ===-++，进一步得到21HOM HOM HOE HOGS S S S ∆∆∆∆==-. 【详解】解：如图，∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形， ∴BC ＝CD ，CE ＝CG ，∠BCE ＝∠DCG ， 在△BCE 和△DCG 中，BC CDBCE DCG CE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△DCG （SAS ）， ∴∠BEC ＝∠BGH ，∵∠BGH+∠CDG ＝90°，∠CDG ＝∠HDE ， ∴∠BEC+∠HDE ＝90°， ∴GH ⊥BE ． 故①正确；∵△EHG 是直角三角形，O 为EG 的中点， ∴OH ＝OG ＝OE ，∴点H 在正方形CGFE 的外接圆上， ∵EF ＝FG ，∴∠FHG ＝∠EHF ＝∠EGF ＝45°，∠HEG ＝∠HFG ，∴△EHM ∽△GHF ， 故②正确； ∵△BGH ≌△EGH ， ∴BH ＝EH ，又∵O 是EG 的中点， ∴HO ∥BG ， ∴△DHN ∽△DGC ，DN HNDC CG∴= 设EC 和OH 相交于点N ．设HN ＝a ，则BC ＝2a ，设正方形ECGF 的边长是2b ，则NC ＝b ，CD ＝2a ，222b a aa b-∴= 即a 2+2ab ﹣b 2＝0，解得：a ＝b ＝（﹣b ，或a ＝（﹣1b （舍去），212ab ∴=1BC CG∴= 故③正确； ∵△BGH ≌△EGH ， ∴EG ＝BG ，∵HO 是△EBG 的中位线，∴HO ＝12BG ， ∴HO ＝12EG ，设正方形ECGF 的边长是2b ，∴EG ＝b ，∴HO b ， ∵OH ∥BG ，CG ∥EF ， ∴OH ∥EF ， ∴△MHO △MFE ，∴OM OH EM EF 2b 2===，∴EM OM ，∴21(12)12OM OE OM ===-++， ∴21HOMHOES S ∆∆=- ∵EO ＝GO ， ∴S △HOE ＝S △HOG ，∴21HOMHOGS S ∆∆=- 故④错误， 故选A ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键．8．小苏和小林在如图所示①的跑道上进行450⨯米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y(单位：m)与跑步时间t(单位：s)的对应关系如图所示②．下列叙述正确的是（ ）A ．两人从起跑线同时出发，同时到达终点；B ．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度；C ．小苏前15s 跑过的路程大于小林前15s 跑过的路程；D ．小林在跑最后100m 的过程中，与小苏相遇2次； 【答案】D【分析】依据函数图象中跑步者距起跑线的距离y （单位：m ）与跑步时间t （单位：s ）的对应关系，即可得到正确结论．【详解】解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故A 错误； 根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故B 错误； 小苏前15s 跑过的路程小于小林前15s 跑过的路程，故C 错误；小林在跑最后100m 的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知2次，故D 正确； 故选：D ．【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．9．不等式组3(2)41213x xx x --≤-⎧⎪+⎨>-⎪⎩的整数解有（ ）A ．4 个B ．3 个C ．2个D ．1个【答案】B【分析】先解出不等式组的解集，然后再把所有符合条件的整数解列举出来即可. 【详解】解：解3(2)4x x --≤-得1≥x ， 解1213xx +>-得4x <， ∴不等式组的解集为：14x ≤<， 整数解有1、2、3共3个， 故选：B. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的的解法，先分别求出各不等式的解集，注意化系数为1时，如果两边同时除以一个负数，不等号的方向要改变；再求各个不等式解集的公共部分，必要时，可用数轴来求公共解集. 10．已知x=-1是方程2x 2+ax-5=0的一个根，则a 的值为（ ） A ．-3 B ．-4C ．3D ．7【答案】A【解析】把x=-1代入方程计算即可求出a 的值． 【详解】解：把x=-1代入方程得：2-a-5=0， 解得：a=-1． 故选A ． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 11．方程2x （x ﹣3）=5（x ﹣3）的根是（ ） A ．x=52B ．x=3C ．x 1=52，x 2=3 D ．x 1=﹣52，x 2=﹣3 【答案】C【解析】利用因式分解法解一元二次方程即可. 解：方程变形为：2x （x ﹣3）﹣5（x ﹣3）=0， ∴（x ﹣3）（2x ﹣5）=0， ∴x ﹣3=0或2x ﹣5=0，∴x 1=3，x 2=52． 故选C ． 12．设32a b =，下列变形正确的是（ ） A ．32b a = B ．23a b = C ．32a b = D ．23a b =【答案】D【分析】根据比例的性质逐个判断即可． 【详解】解：由32a b =得，2a=3b, A 、∵32b a =，∴2b=3a ，故本选项不符合题意； B 、∵23a b=，∴3a=2b ，故本选项不符合题意；C 、32a b =，故本选项不符合题意；D 、23a b =，故本选项符合题意； 故选：D ． 【点睛】本题考查了比例的性质，能熟记比例的性质是解此题的关键，如果a cb d=，那么ad=bc ． 二、填空题（本题包括8个小题）13．不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是_____． 【答案】37【解析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个， ∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是37， 故答案为：37． 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝mn． 14．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，CE BD ⊥，垂足为点E ，5CE =，且2OE DE =，则DE 的长为_______.5【解析】设DE=x，则OE=2x，根据矩形的性质可得OC=OD=3x，在直角三角形OEC中：可求得5x，即可求得5DE5【详解】∵四边形ABCD是矩形∴OC=12AC=12BD=OD设DE=x，则OE=2x，OC=OD=3x，∵CE BD⊥，∴∠OEC=90°在直角三角形OEC中225CE OC OE x=-=5∴5即DE55【点睛】本题考查的是矩形的性质及勾股定理，掌握矩形的性质并灵活的使用勾股定理是解答的关键.15．三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40=0的根，则该三角形的周长为．【答案】1．【解析】试题分析：解方程x2-13x+40=0，（x-5）（x-8）=0，∴x1=5，x2=8，∵3+4=7＜8，∴x=5.∴周长为3+4+5=1.故答案为1.考点：1一元二次方程；2三角形.16．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，求这次有多少队参加比赛？若设这次有x队参加比赛，则根据题意可列方程为_____．【答案】(1)2x x-＝45【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：(1)2x x-场．根据题意可知：此次比赛的总场数＝45场，依此等量关系列出方程．【详解】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为(1)2x x-场，根据题意列出方程得：(1)2x x-＝45，故答案是：(1)452x x-=．【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题的关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以1．17．如右图是一个立体图形的三视图，那么这个立体图形的体积为______．【答案】250π【分析】根据三视图可得这个几何体是一个底面直径为10，高为10的圆柱，再根据圆柱的体积公式列式计算即可．【详解】解：根据这个立体图形的三视图可得：这个几何体是一个圆柱，底面直径为10，高为10，则这个立体图形的体积为：π×52×10=250π，故答案为：250π．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．18．如图，ABC∆的顶点都在方格纸的格点上，则sin A=_______．【答案】10【分析】如下图，先构造出直角三角形，然后根据sinA的定义求解即可．【详解】如下图，过点C作AB的垂线，交AB延长线于点D设网格中每一小格的长度为1则CD=1，AD=3∴在Rt △ACD 中，2210AD CD +=∴sinA=1010CD AC ==10． 【点睛】本题考查锐角三角函数的求解，解题关键是构造出直角三角形ACD ．三、解答题（本题包括8个小题）19．解方程：（1）3x(x-2)=4(x-2);（2）2x 2-4x+1=0【答案】（1）x 1=2，x 2=43；（2）1222x +=，2222x -=． 【分析】（1）先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先求出b 2-4ac 的值，再代入公式求出即可．【详解】解：（1）3x （x-2）=4（x-2），3x （x-2）-4（x-2）=0，（x-2）（3x-4）=0，x-2=0，3x-4=0，x 1=2，x 2=43； （2）2x 2-4x+1=0，b 2-4ac=42-4×2×1=8，48x ±=， 1222x +=，2222x -=． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．20．() 1解方程:2450x x --=;()2二次函数图象经过点()4,3A -，当3x =时，函数有最大值1-，求二次函数的解析式．【答案】()1125,1x x ==-；()2()2231y x =--- 【分析】（1）根据题意利用因式分解法进行一元二次方程求解；（2）根据题意确定出顶点坐标，设出顶点形式，将（4，-3）代入即可确定出解析式．【详解】()1解:()()510x x -+=125,1x x ==-;()2解:由题意可知此抛物线顶点坐标为()3,1-，设其解析式为()231y a x =--，将点()4,3-代入得:31a -=-，解得:2a =-， ∴此抛物线解析式为:()2231y x =---.【点睛】考查一元二次方程求解以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握一元二次方程的解法和待定系数法求二次函数解析式是解本题的关键．21．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A 、B 、C 、D 均在格点上．（1）在图①中，PC ：PB ＝ ．（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．①如图②，在AB 上找一点P ，使AP ＝1．②如图③，在BD 上找一点P ，使△APB ∽△CPD ．【答案】（1）1：1；（2）①如图2所示，点P 即为所要找的点；见解析；②如图1所示，作点A 的对称点A ′，见解析；【分析】（1）根据两条直线平行、对应线段成比例即可解答；（2）①先用勾股定理求得AB 的长，再根据相似三角形的判定方法即可找到点P ；②先作点A 关于BD 的对称点A'，连接A'C 与BD 的交点即为要找的点P.【详解】解：（1）图1中，∵AB ∥CD ， ∴13PC CD PB AB ==， 故答案为1：1．（2）①如图2所示，点P 即为所要找的点；②如图1所示，作点A 的对称点A ′，连接A ′C ，交BD 于点P ，点P 即为所要找的点，∵AB ∥CD ，∴△APB ∽△CPD ．【点睛】本题考查了相似三角形的做法，掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键.22．如图所示，一辆单车放在水平的地面上，车把头下方A 处与坐垫下方B 处在平行于地面的同一水平线上，A ，B 之间的距离约为49cm ，现测得AC ，BC 与AB 的夹角分别为45︒与68︒，若点C 到地面的距离CD 为28cm ，坐垫中轴E 处与点B 的距离BE 为4cm ，求点E 到地面的距离（结果保留一位小数）.（参考数据：sin680.93︒≈，cos680.37︒≈，cot 680.40︒≈）【答案】66.7cm【分析】过点C 作CH ⊥AB 于点H ，过点E 作EF 垂直于AB 延长线于点F ，设CH=x ，则AH=CH=x ，BH=CHcot68°=0.4x ，由AB=49知x+0.4x=49，解之求得CH 的长，再由EF=BEsin68°=3.72根据点E 到地面的距离为CH+CD+EF 可得答案．【详解】如图，过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设 CH=x，则 AH=CH=x，BH=CHcot68°=0.4x，由 AB=49 得 x+0.4x=49，解得：x=35，∵BE=4，∴EF=BEsin68°=3.72，则点E到地面的距离为CH+CD+EF=35+28+3.72≈66.7(cm)，答：点E到地面的距离约为 66.7cm.【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，构造直角三角形，利用已知角度的三角函数值是解题的关键. 23．如图为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．（1）在图中画一个以AB为一边的菱形ABCD，且菱形ABCD的面积等于1．（2）在图中画一个以EF为对角线的正方形EGFH，并直接写出正方形EGFH的面积．【答案】（1）图见解析；（2）图见解析，2．【分析】（1）根据菱形面积公式可得，底边AB的高为4，结合AD=5即可得到点D的坐标，同理得到点C 的坐标，连接A，C，D即可．（2）作线段EF 的中线与网格交于G 、H ，且10EH HF GF FG ====，依次连接E 、G 、F 、H 即可，利用正方形面积公式即可求得正方形EGFH 的面积．【详解】解：（1）根据菱形面积公式可得，底边AB 的高为4，结合AD=5即可得到点D 的坐标，同理得到点C 的坐标，连接A ，C ，D.如图所示.（2）作线段EF 的中线与网格交于G 、H ，且10EH HF GF FG ====，依次连接E 、G 、F 、H 即可，如图所示.正方形EGFH 面积为2.【点睛】本题考查了网格作图的问题，掌握菱形的性质以及面积公式、正方形的性质以及面积公式、勾股定理是解题的关键．24．如图，顶点为M 的抛物线y=a(x+1)2-4分别与x 轴相交于点A ，B(点A 在点B 的)右侧)，与y 轴相交于点C(0，﹣3)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)判断△BCM 是否为直角三角形，并说明理由．(3)抛物线上是否存在点N(不与点C 重合)，使得以点A ，B ，N 为顶点的三角形的面积与S △ABC 的面积相等？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】 (1)223y x x =+-；(2)见解析；(3)存在，71，3)，(71，3)，(2-，3-)【分析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可；(2)由抛物线解析式确定出抛物线的顶点坐标和与x 轴的交点坐标，用勾股定理的逆定理即可；(3)根据题意得出ABC ABN S S =，然后求出3N y =±，再代入2y (x 1)4=+-求解即可．【详解】(1)∵抛物线2(1)4y a x =+-与y 轴相交于点C(0，-3)．∴34a -=-，∴1a =，∴抛物线解析式为22(1)423y x x x =+-=+-，(2)△BCM 是直角三角形，理由：由(1)有，抛物线解析式为2y (x 1)4=+-，∴顶点为M 的坐标为(-1，-4)，由(1)抛物线解析式为223y x x =+-，令0y =，2230x x +-=，∴1231x x ，=-=，∴点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(-3，0)，∴2223318BC =+=， ()()22210432MC ⎡⎤=--+---=⎣⎦， 2MB =()()22134020⎡⎤---+--=⎣⎦， ∵18220+=，∴222BC MC MB +=，∴△BCM 是直角三角形，(3)设N 点纵坐标为N y ，根据题意得ABC ABN S S =，即1122N AB OC AB y ⋅=⋅， ∴3N y =，当N 点纵坐标为3时，2(1)43x +-=，解得：1211x x ==，，当N 点纵坐标为-3时，2(1)43x +-=-，解得：3420x x =-=，(与点C 重合，舍去)，∴N 点坐标为1，3)，(1，3)，(2-，3-)，【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式，勾股定理的逆定理的应用，图形面积的计算，解本题的关键是利用勾股定理的逆定理判断出△BCM 是直角三角形．25．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处回合，如图所示，以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系.（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？【答案】（1）()2161608555y x x x =-++≤≤；（2）王师傅必须在7米以内. 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为（3，5），设抛物线解析式为y=a(x-3)+5，把（8，0）单人宽求出a 的值，即可得抛物线解析式；（2）把y=1.8代入解析式求出x 的值，根据函数图像的对称性求出负半轴的坐标即可.【详解】（1）设()235y a x =-+，过点()80， ∴代入，解得15a =- ∴抛物线（第一象限部分）的函数表达式为()2161608555y x x x =-++≤≤ （2）091.85y ==∴200916165555x x =-++ 07x ∴=或-108x ≤≤，图象对称∴负半轴为-7答：王师傅必须在7米以内.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x 的值.26．如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB 宽10cm ，水最深3cm ，求输水管的半径．【答案】173cm 【分析】设圆形切面的半径为r ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点E ，由垂径定理可求出BD 的长，再根据最深地方的高度是3cm 得出OD 的长，根据勾股定理即可求出OB 的长．【详解】解：设圆形切面的半径为r ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点E ，则AD ＝BD ＝12AB ＝12×10＝5cm ， ∵最深地方的高度是3cm ，∴OD ＝r ﹣3，在Rt △OBD 中，OB 2＝BD 2+OD 2，即2r ＝52+（r ﹣3）2，解得r ＝173（cm ）， ∴输水管的半径为173cm ．【点睛】本题考查了垂径定理，构造圆中的直角三角形，灵活利用垂径定理是解题的关键.27．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)k y k x=≠的图象过等边三角形BOC 的顶点B ，2OC =，点A 在反比例函数图象上，连接,AC AO .（1）求反比例函数(0)k y k x=≠的表达式； （2）若四边形ACBO 的面积是33A 的坐标.【答案】（1）3y x=（2）1,32⎛ ⎝ 【解析】（1）先求出B 的坐标，根据系数k 的几何意义即可求得3 （2）根据题意可ACBO BOC AOC S S S ∆∆=+，求出3AN =(,23)A t ，求出t ，即可解答【详解】（1）21,3OC OM BM =∴==(1,3)B ∴-(1)(3)3k ∴=-⨯= 反比例函数的表达式为3y =（2）33ACBO S =∵ACBO BOC AOC S S S ∆∆=+∴2334BOC S OC ∆==∵33323AOC AOC S S ∆∆==12,232OC OC AN =∴⨯=•23AN ∴=设(,23)A t233t ∴=12t ∴= 1,32A ⎛∴ ⎝ 【点睛】此题考查了反比例函数解析式，不规则图形面积.，解题关键在于求出B的坐标九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知x1，x2是一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0的两不相等的实数根，且221212170x x x x++-=，则m的值是（）A．53或3 B．﹣3 C．53D．53-【答案】C【分析】先利用判别式的意义得到m＞-54，再根据根与系数的关系的x1+x2=-（2m+1），x1x2=m2-1，则（x1+x2）2-x1x2-17=0，所以（2m+1）2-（m2-1）-17=0，然后解关于m的方程，最后确定满足条件的m的值．【详解】解：根据题意得△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，解得m＞﹣54，根据根与系数的关系的x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1，∵221212170x x x x++-＝，∴（x1+x2）2﹣x1x2﹣17＝0，∴（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣17＝0，整理得3m2+4m﹣15＝0，解得m1＝53，m2＝﹣3，∵m＞﹣54，∴m的值为53．故选：C．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca．也考查了根的判别式．2．在奔驰、宝马、丰田、三菱等汽车标志图形中，为中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：根据中心对称图形的概念，A、C、D都不是中心对称图形，是中心对称图形的只有B．故选B．考点：中心对称图形3．某公司为调动职工工作积极性，向工会代言人提供了两个加薪方案，要求他从中选择：方案一：是12个月后，在年薪20000元的基础上每年提高500元（第一年年薪20000元）；方案二：是6个月后，在半年薪10000元的基础上每半年提高125元（第6个月末发薪水10000元）；但不管是选哪一种方案，公司都是每半年发一次工资，如果你是工会代言人，认为哪种方案对员工更有利？（）A．方案一B．方案二C．两种方案一样D．工龄短的选方案一，工龄长的选方案二【答案】B【分析】根据题意分别计算出方案一和方案二的第n年的年收入，进行大小比较，从而得出选项.【详解】解：第n年：方案一：12个月后，在年薪20000元的基础上每年提高500元，第一年：20000元第二年：20500元第三年：21000元第n年：20000+500（n-1）=500n+19500元，方案二：6个月后，在半年薪10000元的基础上每半年提高125元，第一年：20125元第二年：20375元第三年：20625元第n年：10000+250（n-1）+10000+250（n-1）+125=500n+19625元，由此可以看出方案二年收入永远比方案一，故选方案二更划算；故选B.【点睛】本题考查方案选择，解题关键是准确理解题意根据题意列式比较方案间的优劣进行分析.4．如图，A为反比例函数y=kx的图象上一点，AB垂直x轴于B，若S△AOB=2，则k的值为（）A．4 B．2 C．﹣2 D．1【答案】A【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=12|k|．【详解】由于点A是反比例函数图象上一点,则S△AOB=12|k|=2；又由于函数图象位于一、三象限，则k=4.故选A.【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义．5．若分式34xx-+的值为0，则x的值为（）A．3B．3-C．4D．4-【答案】A【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此求解即可．【详解】解：∵分式34xx-+的值为1，∴x-2=1且x+4≠1．解得：x=2．故选：A．【点睛】本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（1，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b ＞0；③1a+2b+c＜0；④AD+CE＝1．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．②④【答案】D【分析】①根据抛物线开口方向即可判断；②根据对称轴在y轴右侧即可判断b的取值范围；③根据抛物线与x轴的交点坐标与对称轴即可判断；④根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴可得AD=BD，再根据CE∥AB，即可得结论．【详解】①观察图象开口向下，a＜0，所以①错误；②对称轴在y轴右侧，b＞0，所以②正确；③因为抛物线与x轴的一个交点B的坐标为(1，0)，对称轴在y轴右侧，所以当x=2时，y＞0，即1a+2b+c＞0，所以＞③错误；④∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，∴AD=BD．∵CE∥AB，∴四边形ODEC为矩形，∴CE=OD，∴AD+CE=BD+OD=OB=1，所以④正确．综上：②④正确．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是综合运用二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点进行计算．∆的周长7．如图，PA、PB、DE分别切O于A、B、C点，若圆O的半径为6，10OP=，则PDE为（）A．10 B．12 C．16 D．20【答案】C【分析】根据切线的性质，得到直角三角形OAP，根据勾股定理求得PA的长；根据切线长定理，得AD=CD，CE=BE，PA=PB，从而求解．【详解】∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，∴AD=CD，CE=BE，PA=PB，OA⊥AP．在直角三角形OAP中，根据勾股定理，得22-=8，106∴△PDE的周长为2AP=1．故选C．【点睛】此题综合运用了切线长定理和勾股定理．8．若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：2B．2：1C．1：4D．4：1【答案】A【解析】∵两个相似三角形的面积之比为1：4，∴它们的相似比为1：1，(相似三角形的面积比等于相似比的平方)∴它们的周长之比为1：1．故选A ．【点睛】相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长的比等于相似比．9．对于反比例函数2y x=-，下列说法不正确的是( ) A ．图象分布在第二、四象限B ．当0x >时，y 随x 的增大而增大C ．图象经过点（1,-2）D ．若点()11,A x y ，()22,B x y 都在图象上，且12x x <，则12y y <【答案】D【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A. k=−2<0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；B. k=−2<0，当x>0时，y 随x 的增大而增大，故本选项正确；C.∵221-=-,∴点(1,−2)在它的图象上，故本选项正确； D. 若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）都在图象上，,若x 1<0< x 2,则y 2<y 1，故本选项错误.故选:D.【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键.10．对于二次函数y ＝﹣2x 2，下列结论正确的是（ ）A ．y 随x 的增大而增大B ．图象关于直线x ＝0对称C ．图象开口向上D ．无论x 取何值，y 的值总是负数【答案】B【分析】根据二次函数的性质可判断A 、B 、C ，代入x=0，可判断D.【详解】解：∵a ＝﹣2＜0，b=0，∴二次函数图象开口向下；对称轴为x ＝0；当x ＜0时，y 随x 增大而增大，当x ＞0时，y 随x 增大而减小，故A ，C 错误，B 正确，当x=0时，y=0，故D 错误，故选：B.【点睛】。
┃精选3套试卷┃2021届上海市长宁区九年级上学期期末考前验收数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m≤x≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m+n 的值为（ ）A ．B ．2C ．D ．【答案】D【解析】由m≤x≤n 和mn ＜0知m ＜0，n ＞0，据此得最小值为1m 为负数，最大值为1n 为正数．将最大值为1n 分两种情况，①顶点纵坐标取到最大值，结合图象最小值只能由x=m 时求出．②顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由x=n 求出，最小值只能由x=m 求出．【详解】解：二次函数y=﹣（x ﹣1）1+5的大致图象如下：．①当m≤0≤x≤n ＜1时，当x=m 时y 取最小值，即1m=﹣（m ﹣1）1+5，解得：m=﹣1．当x=n 时y 取最大值，即1n=﹣（n ﹣1）1+5， 解得：n=1或n=﹣1（均不合题意，舍去）； ②当m≤0≤x≤1≤n 时，当x=m 时y 取最小值，即1m=﹣（m ﹣1）1+5，解得：m=﹣1．当x=1时y 取最大值，即1n=﹣（1﹣1）1+5， 解得：n=52， 或x=n 时y 取最小值，x=1时y 取最大值，1m=-（n-1）1+5，n=52， ∴m=118， ∵m ＜0，∴此种情形不合题意，所以m+n=﹣1+52=12． 2．方程()440x x x -+-=的解是( )A ．4B ．-4C ．-1D ．4或-1【答案】D 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：()440x x x -+-=()()140x x +-=解得：121,4x x =-=故选D ．【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键．3．如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC=3,AC=4，则sinA 的值为（ ）．A ．34B ．43C ．35D ．45【答案】C 【分析】根据勾股定理求出AB ，并根据正弦公式：sinA=BC AB 求解即可. 【详解】∵∠C=90°，BC=3,AC=4 ∴2222345AB BC AC +=+= ∴3sin 5BC A AB == 故选C.【点睛】本题主要是正弦函数与勾股定理的简单应用，正确理解正弦求值公式即可.4．下列事件中为必然事件的是（ ）A ．打开电视机，正在播放茂名新闻B ．早晨的太阳从东方升起C ．随机掷一枚硬币，落地后正面朝上D ．下雨后，天空出现彩虹 【答案】B【解析】分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件：A 、打开电视机，正在播放茂名新闻，可能发生，也可能不发生，是随机事件，故本选项错误；B 、早晨的太阳从东方升起，是必然事件，故本选项正确；C 、随机掷一枚硬币，落地后可能正面朝上，也可能背面朝上，故本选项错误；D 、下雨后，天空出现彩虹，可能发生，也可能不发生，故本选项错误．故选B ．5．若点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 在反比例函数()0k y k x =<的图象上，且1230y y y >>>，则下列各式正确的是（ ）A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．132x x x <<D ．321x x x << 【答案】C【分析】先判断反比例函数所在象限，再根据反比例函数的性质解答即可．【详解】解：反比例函数为()0k y k x =<，∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，又1230y y y >>>，10x ∴<，230x x >>，132x x x ∴<<．故选C ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，属于基本题型，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键． 6．如图，如果从半径为6cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的底面半径为( )A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm【答案】B 【分析】因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，首先求得留下的扇形的弧长，利用勾股定理求圆锥的高即可.【详解】解：∵从半径为6cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形， ∴剩下的扇形的角度=360°×23=240°， ∴留下的扇形的弧长=24061880ππ⨯=， ∴圆锥的底面半径248r ππ==cm ；故选：B.【点睛】此题主要考查了主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =．将ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后得到EDC △，此时点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）A ．302，B ．602，C ．3602， D ．603，【答案】C【解析】试题分析：∵△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴∠B=60°，AC=BC×cot ∠33AB=2BC=4，∵△EDC 是△ABC 旋转而成，∴BC=CD=BD=12AB=2， ∵∠B=60°，∴△BCD 是等边三角形，∴∠BCD=60°，∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE ⊥AC ，∴DE ∥BC ，∵BD=12AB=2， ∴DF 是△ABC 的中位线， ∴DF=12BC=12×2=1，CF=12AC=1233∴S 阴影=12DF×CF=12×3=32． 故选C ．考点：1.旋转的性质2.含30度角的直角三角形．8．将抛物线22y x =向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）A ．2y 2(x 1)3=++B ．22(1)3y x =--C ．22(1)3y x =+- D ．2y 2(x 1)3=-+ 【答案】D【分析】由题意可知原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．【详解】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，0），∴平移后抛物线的顶点为（1，3），∴得到的抛物线解析式为y=2（x-1）2+3，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的几何变换，熟练掌握二次函数的平移不改变二次项的系数得出新抛物线的顶点是解决本题的关键．9．在1、2、3三个数中任取两个，组成一个两位数，则组成的两位数是奇数的概率为（ ） A ．13 B ．12 C ．23 D ．56【答案】C【分析】列举出所有情况，看末位是1和3的情况占所有情况的多少即可．【详解】依题意画树状图：∴共有6种情况，是奇数的有4种情况，所以组成的两位数是偶数的概率＝4263=， 故选：C ．【点睛】 本题考查了树状图法求概率以及概率公式；如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝m n，注意本题是不放回实验．10．在Rt△ABC中，∠C =90°，sinA=45，则cosB的值等于( )A．35B．45C．34D．55【答案】B【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，则cosB=sinA=45．故选B．点睛：本题考查了互余两角三角函数的关系．在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数相等．11．一个不透明的盒子中装有5个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（）A．摸到红球是必然事件B．摸到白球是不可能事件C．摸到红球与摸到白球的可能性相等D．摸到红球比摸到白球的可能性大【答案】D【解析】根据可能性的大小，以及随机事件的判断方法，逐项判断即可．【详解】∵摸到红球是随机事件，∴选项A不符合题意；∵摸到白球是随机事件，∴选项B不符合题意；∵红球比白球多，∴摸到红球比摸到白球的可能性大，∴选项C不符合题意，D符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了可能性的大小，以及随机事件的判断，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【答案】B【解析】试题分析：∵OB＝OC，∠OCB＝40°，∴∠BOC ＝180°－2∠OCB ＝100°，∴由圆周角定理可知：∠A ＝12∠BOC ＝50°． 故选B ．二、填空题（本题包括8个小题）13．将抛物线y ＝x 2+2x 向右平移1个单位后的解析式为_____．【答案】y ＝x 2﹣1．【分析】通过配方法先求出原抛物线的顶点坐标，继而得到平移后新抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式即可求得新抛物线的解析式.【详解】∵y=x 2 +2x=(x+1)2-1 ，∴原抛物线的顶点为(-1，-1)，∵将抛物线y ＝x 2+2x 向右平移1个单位得到新的抛物线，∴新抛物线的顶点为(0，-1)，∴新抛物线的解析式为y=x 2-1，故答案为：y=x 2 -1．【点睛】本题考查了抛物线的平移，得到原抛物线与新抛物线的顶点坐标是解题的关键.14．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4cos 5A =，点D 为AB 边上一点，作DE BC ⊥于点E ，若5AD =，8DE =，则tan ACD ∠的值为____.【答案】38【分析】作辅助线证明四边形DFCE 是矩形,得DF=CE,根据角平分线证明∠ACD=∠CDE 即可解题.【详解】解：过点D 作DF⊥AC 于F,∵4cos 55A AD ==，， ∴DF=3,∵90ACB ∠=︒,DE BC ⊥∴四边形DFCE 是矩形,CE=DF=3,在Rt △DEC 中,tan ∠CDE=CE DE =38, ∵∠ACD=∠CDE,∴tan ACD ∠=38.【点睛】本题考查了三角函数的正切值求值,矩形的性质,中等难度, 根据角平分线证明∠ACD=∠CDE 是解题关键. 15．在函数y 2x 1=-x 的取值范围是 ． 【答案】1x 2≥ 【解析】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数2x 1-在实数范围内有意义，必须12x 10x 2-≥⇒≥． 16．已知非负数a 、b 、c 满足a+b=2，3c a -=，20d a b c ---=，则d 的取值范围为____．【答案】5≤d≤1．【分析】用a 表示出b 、c 并求出a 的取值范围，再代入d 整理成关于a 的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出答案即可．【详解】∵a+b=2，c-a=3，∴b=2-a ，c=3+a ，∵b ，c 都是非负数，∴2030a a -≥+≥⎧⎨⎩①②， 解不等式①得，a≤2，解不等式②得，a≥-3，∴-3≤a≤2，又∵a 是非负数，∴0≤a≤2，∵d-a 2-b-c=0∴d=a 2+b+c=a 2+（2-a ）+3+a ，=a 2+5，∴对称轴为直线a=0，∴a=0时，最小值=5，a=2时，最大值=22+5=1，∴5≤d≤1．故答案为：5≤d≤1．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，用a 表示出b 、c 并求出a 的取值范围是解题的关键，难点在于整理出d 关于a 的函数关系式．17．二次函数233y x x =++-的图象与y 轴的交点坐标是__．【答案】（0，3）【分析】令x=0即可得到图像与y 轴的交点坐标.【详解】当x=0时，y=3，∴图象与y 轴的交点坐标是（0，3）故答案为：（0，3）.【点睛】此题考查二次函数图像与坐标轴的交点坐标，图像与y 轴交点的横坐标等于0，与x 轴交点的纵坐标等于0，依此列方程求解即可.18．如图，抛物线22y x =-+向右平移1个单位得到抛物线___________．【答案】()212y x =--+【分析】先确定抛物线22y x =-+的顶点坐标为（0，2），再利用点平移的规律得到点（0，2）平移后所得对应点的坐标为（1，2），然后根据顶点式可得平移后的抛物线的解析式．【详解】解：抛物线22y x =-+的顶点坐标为（0，2），把点（0，2）向右平移1个单位所得对应点的坐标为（1，2），∴平移后的抛物线的解析式是：2(1)2y x =--+；故答案为2(1)2y x =--+．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．三、解答题（本题包括8个小题）19．非洲猪瘟疫情发生以来，猪肉市场供应阶段性偏紧和猪价大幅波动时有发生，为稳定生猪生产，促进转型升级，增强猪肉供应保障能力，国务院办公厅于2019年9月印发了《关于稳定生猪生产促进转型升级的意见》，某生猪饲养场积极响应国家号召，努力提高生产经营管理水平，稳步扩大养殖规模，增加猪肉供应量。
2021学年上海市长宁区初三数学一模教学质量监测试卷含答案
2021学年第一学期初三数学教学质量监测试卷（考试时间：100分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．已知在△ABC 中，∠C =90°，∠A =α，AB c =，那么BC 的长为（A ）sin c α⋅； （B ）tan c α⋅； （C ）cos cα； （D ）c cot α⋅．2．如果向量a 与向量b 方向相反，且3a b =，那么向量a 用向量b 表示为（A ）3a b =； （B ）3a b =-；（C ）13a b =； （D ）13a b =-．3．如图，AB ∥CD ∥EF ，AD ∶AF =3∶5，BE =12，那么CE 的长等于（A ）2； （B ）4； （C ）524； （D ）536．4．抛物线2y ax bx c =++（其中000a b c ><>、、）一定不经过．．．的象限是 （A ）第一象限； （B ）第二象限； （C ）第三象限； （D ）第四象限． 5. 下列命题中，说法正确的是 （A ）所有菱形都相似；（B ）两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似；（C ）三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍； （D ）斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．6. 如图，点E 是线段BC 的中点，∠B =∠C =∠AED ，下列结论中，说法错误的是 （A ）△ABE 与△ECD 相似； （B ）△ABE 与△AED 相似；（C ）AB AE AE AD=； （D ）∠BAE =∠ADE ．二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．已知12x y =，那么2+xx y 的值为 ▲ ．8．抛物线221y x =-的顶点坐标是 ▲ ．9．在比例尺为1:10000的地图上，相距5厘米的两地实际距离为 ▲ 千米． 10. 已知点C 是线段AB 的黄金分割点，如果AC >BC ，BC =2，那么AC = ▲ ． 11．如果两个相似三角形周长之比为3:2，那么这两个三角形的面积之比为 ▲ ．第6题图 第3题图12．点G 是△ABC 的重心，过点G 作BC 边的平行线与AB 边交于点E 、与AC 边交于点F ，那么EFBC= ▲ ． 13. 如图，小明沿着坡度i =1∶ 2.4的坡面由B 到A 直行走了13米时，他上升的高度AC = ▲ 米． 14．已知抛物线22y ax bx =+-（ab >0）与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点B ，如果AB =2，那么点B 坐标为 ▲ ． 15. 我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门.出北门三十步有木，出西门七百五十步有木.问邑方几何？”示意图如下图，正方形ABCD 中，F 、G 分别是AD 和AB 的中点，如果EF ⊥AD ，EF =30，GH ⊥AB ，GH =750，且EH 过点A ，那么正方形ABCD 的边长为 ▲ ．16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，3tan 2BAC ∠=，CD 是斜边AB 上的中线，点E 是直线AC 左侧一点，联结AE 、CE 、ED ，若EC ⊥CD ，∠EAC =∠B ，那么CDE ABCSS 的值为▲ ．17. 定义：在△ABC 中，点D 和点E 分别在AB 边、AC 边上，且DE ∥BC ，点D 、点E 之间距离与直线DE 与直线BC 间的距离之比称为DE 关于BC 的横纵比.已知，在△ABC 中，BC =4，BC 上的高长为3，DE 关于BC 的横纵比为2:3，那么DE = ▲ ． 18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =3，点D 、E 分别在AC 边和AB 边上，沿着直线DE 翻折△ADE ，点A 落在BC 边上，记为点F ，如果CF =1，那么BE = ▲ ．三、解答题（本大题共7题, 满分78分）【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19.（本题满分10分）计算：22sin 60tan 45cot 30sin30cos 45--+．20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）抛物线2y x bx c =-++经过点A （0,3），B （-1,0）.第15题图第18题图第16题图第13题图（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标. （2）填空：如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点A 的位置，那么其平移的过程是 ▲ ，平移后的抛物线表达式是 ▲ .21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB :CD =3:2，点E 是边CD 的中点，联结BE 交对角线AC 于点F ，若,AB m AD n ==. （1）用m 、n 表示AC 、AF ；（2）求作BF 在BA 、BC 方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）22．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，某种路灯灯柱BC 垂直于地面，与灯杆AB 相连.已知直线AB 与直线BC 的夹角是76°.在地面点D 处测得点A 的仰角是53°，点B 仰角是45°，点A 与点D 之间的距离为3.5米. 求：（1）点A 到地面的距离；（2）AB 的长度. (精确到1.0米）(参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，sin760.97︒≈，cos760.24︒≈)第22题图第21题图23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，线段BD 是△ABC 的角平分线，点E 、点F 分别在线段BD 、AC 的延长线上，联结AE 、BF ，且AB BD BC BE ⋅=⋅. （1）求证：AD =AE ；（2）如果BF =DF ，求证：AF CD AE DF ⋅=⋅.24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）抛物线22y ax ax c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧）,与y 轴交于点C （0,3），其顶点D 的纵坐标为4. （1）求抛物线的表达式； （2）求∠ACB 的正切值；（3）点F 在线段CB 的延长线上，且∠AFC =∠DAB ，求CF 的长.第24题图1 y 1 xO 第23题图25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分） 已知，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，点E 是射线CA 上的动点，点O 是边BC 上的动点，且OC =OE ,射线OE 交射线BA 于点D . （1）如图1，如果OC =2，求ODBADES S ∆∆的值； （2）联结AO ,如果△AEO 是以AE 为腰的等腰三角形，求线段OC 的长； （3）当点E 在边AC 上时，联结BE 、CD ，∠DBE =∠CDO ，求线段OC 的长.图1 备用图备用图 第25题图2021 学年第一学期初三数学教学质量监测试卷数学试卷参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．A ； 2．D ；3．C ；4．C ；5．D ；6．D ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．23； 8．(0，-1)； 9．0.5； 101； 11．9:4； 12．23；13．5； 14．（-2，-2）； 15．300； 16．1336； 17．43； 18三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式21-……………（5分）1)122==+．…………………………………（5分）20．解：（1）∵二次函数2y x bx c =-++的图像经过点A （0，3）、B （-1，0）．∴10,3.b c c --+=⎧⎨=⎩………………………………………………………（1分）解得 1a =-，2b =．…………………………………………………（1分） ∴ 二次函数的解析式是223y x x =-++．……………………………（1分）2223(1)4y x x x =-++=--+………………………………………（1分）∴ 该抛物线的顶点为（1，4）．………………………………………（1分） （2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点A 的位置，那么其平移的过程是向左一个单位，向下一个单位，……………（2分） 平移后的抛物线表达式是23y x =-+.……………………………（3分）21．解：（1）因为AB ∥CD ，则,AB DC 同向，因为AB :CD =3:2，AB m =，所以23DC m =.…………………（1分） 因为AD n =，所以23AC AD DC n m =+=+.………………（1分）因为E 是CD 边的中点，所以11212233EC DC AB AB ==⋅=因为AB ∥CD ，所以33,4AF AB AF AC FC EC ===.………………（2分） 因为,AF AC 同向，所以33231()44342AF AC n m n m ==+=+（1分）（2）画图及结论正确.……………………………………………………（5分）22．解：（1）过点A 做AH ⊥CD ，垂足为点H ，（1分）据题意，AD =3.5，∠ADC =53°在Rt △AHD 中，Sin ∠ADH =AHAD，（1分） sin 3.5sin53 2.8AH AD ADC =⋅∠=⋅≈（1分）答：“路灯A ”到地面的距离约为2.8米.（1分）（2）过点A 做AP ⊥BC ，垂足为点P ，设AB =x据题意，∠ABE =76°，∠CDB =45°，AP =CH ，AH =CP在Rt △AHD 中，Sin ∠ADH =AHAD， cos 3.5cos53 2.1DH AD ADC =⋅∠=⋅≈（1分）在Rt △ABP 中，sin sin 760.97,APABP AB∠==≈ cos cos760.24BPABP AB∠==≈所以0.97,0.24AP x BP x ==（2分）在Rt △BCD 中，tan tan 451BCBDC CD∠===， 所以BC =CD （1分）所以2.8-0.24x =2.1+0.97x （1分）， 解得：x ≈0.6. 答：“灯杆”AB 的长度为0.6米.（1分）23. 证明：（1） ∵ BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ．…………………………（1分）∵ AB BD BC BE ⋅=⋅，∴AB BEBC BD=．………………………（1分） ∴ △ABE ∽△CBD ．………………………………………………（1分） ∴ ∠E =∠BDC ，∵ ∠BDC =∠ADE ，∴ ∠E =∠ADE ．………（2分） ∴ AD =AE ．……………………………………………………… （1分） （2） ∵△ABE ∽△CBD ，∴BC CDBA AE=．………………………（1分） ∵ BF =DF ，∴ ∠DBF =∠BDF ．………………………………… （1分） ∵ ∠DBF =∠DBC +∠CBF ，∠BDF =∠ABD +∠BAD ，又∵ ∠ABD =∠DBC ，∴ ∠BAF =∠CBF ．………………………（1分） ∵ ∠F =∠F ，∴ △BCF ∽△ABF ．……………………………… （1分）∴BF BC AF AB =．又∵ BF =DF ，∴ DF BCAF AB =………………… （1分） ∴ DF DCAF AE=，∴ AF CD AE DF ⋅=⋅．……………………（1分） 24．解：（1）∵二次函数22y ax ax c =++的图像经过点C （0,3），∴ c =3.（1分）∵ 22223(21)3(1)3y ax ax a x x a a x a =++=+++-=++-……………（1分） ∵ 抛物线22y ax ax c =++顶点D 的纵坐标为4，∴ 3-a =4,a =-1.…………（1分） ∴ 该抛物线的表达式是223y x x =--+.………………………………………（1分） （2）过点A 做AH ⊥CB ，垂足为点H .在Rt △OCB 中，221910CB OB OC =+=+= 在△ABC 中，AB =4，OC =3，则1122ABCS AB OC CB AH =⋅⋅=⋅⋅， ∴ 6105AH =………………………………（2分） 在Rt △ACH 中，22723181055CH AC AH =-=-=， ∴ tan 2AHACB CH∠==……………………（2分） （3）设抛物线对称轴交x 轴于点G ，则∠DGA =90° 在Rt △ADG 中，tan 2DGDAB AG∠==， ∵ tan ∠ACB =2，∴ ∠ACB =∠DAB . ∵ ∠DAB =∠AFC ，∴ ∠ACB =∠AFC .（1分） ∴ AC =AF ，AH ⊥CB . ∴ CF =2CH .………………………………………………（1分）在Rt △ACH 中，tan 2AHACB CH ∠==，∴ AH =2CH ，∴ AH =CF .……………（1分）∵ 6105AH =，∴ CF 6105=.…………………………………………… （1分）25. （1）∵ AB =AC ，∴ ∠B =∠C ，∵ OE =OC ，∴ ∠OEC =∠C ，∴ ∠OEC =∠B ， 又∵ ∠C =∠C ，∴ △OCE ∽△ABC∴ EC BC OC AB =，又∵ AB =AC =5，BC =8，OC =2，∴ 165EC =……………（1分） ∴ BO =6，95AE =……………………………………………………………（1分）∵ ∠AED =∠OEC ，∠OEC =∠B ，∴ ∠AED =∠B .又∵ ∠D =∠D ，∴ △ADE ∽△DOB . ……………………………………（1分）∴ 2239()()10100ADE ODB S AE S BO ===…………………………………………… （1分）（2）设OC =OE =x∵ △OCE ∽△ABC ，∴EC BC OC AB =，∴ 85EC x = 当点E 在边AC 上时，可知∠AEO >90°，唯有AE =EO ………………（1分）得方程：855x x -=，解方程得：2513x =.…………………………… （1分）当点E 在边AC 延长线上时，① 若AE =EO ，得方程：855x x -=，解方程得：2583x =>（舍）…（1分）② 若AE =AO ，则∠E =∠AOE =∠C ，又∵ ∠E =∠E ，∴ △AEO ∽△EOC …（1分）∴ AE EO EO EC =，得方程：85585x x x x -=…………………………………（1分）解方程得：20039x=.………………………………………………………（1分）线段OC的长为2513或20039.（3）∵∠DBE=∠CDO，∴∠DBE+∠BDO=∠CDO+∠BDO，∴∠BEO=∠ADC.∵∠ABC=∠ABE+∠EBO，∠ACB=∠OEC=∠EDC+∠DCA，又∵∠ABC=∠ACB，∴∠EBO=∠DCA，∴△BEO∽△CDA. ………………………………（1分）∴5,,858EO AD x AD xADBO AC x x===--. …………………………………（1分）过点A作AP∥BC交线段OD于点P，∵AP∥BC，∴852585,,885xAP AE AP xAPOC EC x x--===∴2585(258)8,,,25853988xAD AP AD AP AD xADxDB BO DB AD BO AP x--====-----（1分）得方程：55(258)839x xx-=-，化简得：2232500x x-+=，解方程得：x=8∵点O在边BC上，则OC<8，∴8OC=1分）。
九年级数学中考教学质量检测试卷上教 试题
2021年长宁区初三数学教学质量检测试卷制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日〔满分是150分，考试时间是是100分钟〕考生注意：1．本套试卷含三个大题，一共25题；2．答题时，所有考生必须按答题要求在答题纸规定的位置上答题，在草稿纸、本套试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或者计算的主要步骤．一、选择题：〔本大题一一共6题，每一小题4分，满分是24分〕【以下各题的四个选项里面，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1. 以下各式从左到右的变形是正确的因式分解的是〔 〕 A.)23(2323y x x x xy x -=+- B.()()22y x y x y x -=-+C. ()()355282--+=-a a a D.()22244+=++x x x2. 抛物线3)2(32-+=x y ，那么其顶点坐标是〔 〕 A. ()3,2- B. ()3,2- C. ()3,2-- D. ()3,2 3. 以下根式中，最简二次根式是〔 〕 A.28x - B. 122++m m C.mm1- D.xy 214. 以下函数中，在定义域内y 随x 的增大而增大的函数是〔 〕 A. x y 2-= B. x y 2= C. xy 2=D. xy 2-=5. 方程1132=+y x 和以下方程构成的方程组的解是⎩⎨⎧==14y x 的方程是〔 〕A. 2043=+y xB. 374=-y xC. 172=-y xD. 645=-y x6. P 是△ABC 内一点，联结PA 、PB 、PC ，把△ABC 的面积三等分，那么P 点一定是〔 〕 A. △ABC 的三边的中垂线的交点 B. △ABC 的三条内角平分线的交点 C. △ABC 的三条高的交点 D. △ABC 的三条中线的交点二、填空题：〔本大题一一共12题，每一小题4分，满分是48分〕 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7.最小的素数是 。
2021年上海市长宁区中考数学模拟试卷解析版
2021年上海市长宁区中考数学模拟试卷解析版一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．（4分）下列函数中是二次函数的是（ ） A ．y =22B ．y ＝（x +3）2﹣x 2C ．y =√x 2+2x −1D ．y ＝x （x ﹣1）【解答】解：二次函数的解析式为y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）， y ＝x （x ﹣1）＝x 2﹣x ， 故选：D ．2．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 内有一点A （2，3），那么OA 与x 轴正半轴y 的夹角α的余切值是（ ）A ．32B ．23C ．3√1313D ．2√1313【解答】解：过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，则OB ＝2，AB ＝3， 在Rt △OAB 中，cot ∠AOB ＝cot α=OBAB =23， 故选：B ．3．（4分）将抛物线y ＝（x +1）2﹣3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（ ）A ．y ＝（x ﹣1）2﹣3B ．y ＝（x +3）2﹣3C ．y ＝（x +1）2﹣1D ．y ＝（x +1）2﹣5【解答】解：∵将抛物线y ＝（x +1）2﹣3向右平移2个单位， ∴新抛物线的表达式为y ＝（x +1﹣2）2﹣3＝（x ﹣1）2﹣3， 故选：A ．4．（4分）下列命题正确的是（ ） A ．如果|a →|＝|b →|，那么a →=b →B ．如果a →、b →都是单位向量，那么a →=b →C ．如果a →=k b →（k ≠0），那么a →∥b →D ．如果m ＝0或a →=0→，那么m a →=0 【解答】解：A ．向量是既有大小又有方向， |a →|＝|b →|表示有向线段的长度，a →=b →表示长度相等，方向相同， 所以A 选项不正确；B ．长度等于1的向量是单位向量， 所以B 选项不正确；C .a →=k b →（k ≠0）⇔a →∥b →， 所以C 选项正确；D ．如果m ＝0或a →=0→，那么m a →=0，不正确． 故选：C ．5．（4分）已知在矩形ABCD 中，AB ＝5，对角线AC ＝13．⊙C 的半径长为12，下列说法正确的是（ ） A ．⊙C 与直线AB 相交 B ．⊙C 与直线AD 相切 C ．点A 在⊙C 上D ．点D 在⊙C 内【解答】解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝13，AB ＝5， ∴BC =2−AB 2=√132−52=12， ∵⊙C 的半径长为12， ∴⊙C 与直线AB 相切， 故A 选项不正确， ∵CD ＝AB ＝5＜12， ∴⊙C 与直线AD 相交， 故B 选项不正确，∵AC ＝13＞12， ∴点A 在⊙C 外， 故C 选项不正确， ∵CD ＝5＜12， ∴点D 在⊙C 内， 故D 选项正确， 故选：D ．6．（4分）如果点D 、E ，F 分别在△ABC 的边AB 、BC ，AC 上，联结DE 、EF ，且DE ∥AC ，那么下列说法错误的是（ ） A ．如果EF ∥AB ，那么AF ：AC ＝BD ：AB B ．如果AD ：AB ＝CF ：AC ，那么EF ∥ABC ．如果△EFC ∽△ABC ，那么 EF ∥ABD ．如果EF ∥AB ，那么△EFC ∽△BDE 【解答】解：如图所示： A 、∵DE ∥AC ，EF ∥AB ，∴四边形ADEF 是平行四边形，△BDE ∽△BAC ， ∴DE ＝AF ，DE AC=BD AB，∴AF ：AC ＝BD ：AB ；选项A 不符合题意； B 、∵DE ∥AC ， ∴AD ：AB ＝CE ：BC ， ∵AD ：AB ＝CF ：AC ， ∴CE ：BC ＝CF ：AC ，∴EF ∥AB ，选项B 不符合题意； C 、∵△EFC ∽△ABC ， ∴∠CFE ＝∠CBA ，∴EF 与AB 不平行，选项C 符合题意； D 、∵DE ∥AC ，EF ∥AB ， ∴∠C ＝∠BED ，∠CEF ＝∠B ， ∴△EFC ∽△BDE ，选项D 不符合题意；二、填空胞（本大剧共12题每题4分满分48分）【在答纸相应题号后的空格内宜接填写答案】7．（4分）计算：2（a →−2b →）+3（a →+b →）＝ 5a →−b →．【解答】解：：2（a →−2b →）+3（a →+b →）＝2a →−4b →+3a →+3b →=5a →−b →， 故答案为5a →−b →． 8．（4分）如果x x−y=32，那么xy的值等于 3 ．【解答】解：∵xx−y=32，∴3x ﹣3y ＝2x ， 故x ＝3y ∴xy =3．故答案为：3．9．（4分）已知点P 在线段AB 上，且满足BP 2＝AB •AP ，则BP AB的值等于√5−12． 【解答】解：根据黄金分割定义可知： ∵BP 2＝AB •AP ，设AB 为1，则AP ＝1﹣BP ， ∴BP 2＝1•（1﹣BP ） BP 2+BP ﹣1＝0， 解得BP =−1±√52（−1−√52舍去） ∴BP =√5−12．故答案为√5−12． 10．（4分）已知抛物线y ＝（1+a ）x 2的开口向上，则a 的取值范围是 a ＞﹣1 ． 【解答】解：∵抛物线y ＝（1+a ）x 2的开口向上，∴a ＞﹣1． 故答案为a ＞﹣1．11．（4分）抛物线y ＝2x 2﹣1在y 轴左侧的部分是 下降 ．（填“上升”或“下降”） 【解答】解：抛物线y ＝2x 2﹣1的对称轴x ＝0，抛物线开口向上， ∴在对称轴左侧y 随x 的增加而减小， 故答案为下降．12．（4分）如果一条抛物线经过点A （2，5），B （﹣3，5），那么它的对称轴是直线 x =−12 ． 【解答】解：因为A （2，5），B （﹣3，5）的纵坐标相同， ∴A 、B 关于x =2−32=−12对称， ∴抛物线的对称轴x =−12， 故答案为x =−12．13．（4分）如图，传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i ＝1：2.4，那么物体所经过的路程AB 为 13 米．【解答】解：∵传送带与地面所成的斜坡的坡度i ＝1：2.4， ∴BC AC=12.4，即5AC=12.4，解得，AC ＝12，由勾股定理得，AB =√AC 2+BC 2=√122+52=13， 故答案为：13．14．（4分）如图，AC 与BE 交于点D ，∠A ＝∠E ＝90°，若点D 是线段AC 的中点，且AB ＝AC ＝10．则BE 的长等于 6√5 ．【解答】解：∵AD ＝DC ＝5，AB ＝10，∠A ＝90°， ∴BD =√AB 2+AD 2=5√5，∵∠ADB ＝∠CDE ，∠A ＝∠E ＝90°， ∴△ABD ∽△ECD ， ∴AD DE =BD CD，∴5DE=5√55， ∴DE =√5，∴BE ＝BD +DE ＝6√5， 故答案为6√5．15．（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点G 是重心，AC ＝4，tan ∠ABG =13，则BG 的长是43√10．【解答】解：延长BG 交AC 于H ．∵G 是△ABC 的重心， ∴AH =12AC =12×4=2， ∵∠BAC ＝90°，tan ∠ABG =13， ∴AH AB=13，∴AB ＝6，由勾股定理得：BH =√AB 2+AH 2=√62+22=2√10， ∵∵G 是△ABC 的重心， ∴BG ＝2GH ， ∴BG =23×2√10=4√103； 故答案为：4√103． 16．（4分）已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为24017．【解答】解：在以两圆的一个交点和两圆圆心为顶点的三角形中， 其三边分别为8，15，17， 由于172＝152+82，∴这个三角形是以17为斜边的直角三角形， 斜边上的高=8×1517=12017， 故公共弦长＝2×12017=24017， 故答案为24017．17．（4分）如果直线l 把△ABC 分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线l 叫做△ABC 的“完美分割线”，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的一条“完美分割线”为直线l ，且直线l 平行于BC ，若AB ＝2，则BC 的长等于 4√2−4 ． 【解答】解：如图，设直线l 与AB 、CD 分别交于点E 、D ， 则由“完美分割线”的定义可知，S △AED ＝S 四边形BCDE ， ∴S △AED S △ABC=12，∵l ∥BC ，∴△AED ∽△ABC ，∴AE AB=AD AC=√12=√22， 设AE ＝AD ＝x ，则x2=√22， ∴x =√2，∴BE＝CD＝2−√2，∴BC＝2√2−2（2−√2）＝4√2−4．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，点P在边BC上，联结AP，将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，点B的对应点是点B′，则BB′的长等于25√10．【解答】解：如图，延长AB'交BC于E，过点B'作B'D⊥AB于点D，∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，∴AC=2+BC2=√16+4=2√5，∵点M是AC中点，∴AM=√5，∵将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，∴AP＝AM=√5，∠P AB＝∠CAE，AB＝AB'＝2，∵AP2＝AB2+PB2，∴PB＝1，∵BA PB=2=BCAB，且∠ABP ＝∠ABC ＝90°， ∴△ABP ∽△CBA ， ∴∠P AB ＝∠C ， ∴∠C ＝∠CAE ， ∴CE ＝AE ， ∵AE 2＝AB 2+BE 2， ∴CE 2＝4+（4﹣CE ）2， ∴CE ＝AE =52， ∴BE =32， ∵B 'D ∥BC ， ∴△AB 'D ∽△AEB ， ∴AB′AE =ADAB =B′DBE ，∴252=AD 2=B′D32，∴AD =85，B 'D =65， ∴BD =25， ∴BB '=√B′D 2+BD2=√3625+425=2√105， 故答案为：2√105． 三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）计算：sin30°⋅tan 260°−cot45°+cos60°cos30°−sin 245°【解答】解：原式=12×(√3)2−1+1232−(22)2=3−12=√3+1．20．（10分）如图，在梯形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，AD ∥EF ∥BC ，EF与BD 交于点G ，AD ＝5，BC ＝10，AE EB=23．（1）求EF 的长；（2）设AB →=a →，BC →=b →，那么DB →= a →−12b →，FC →= 35a →+310b → ．（用向量a →、b →表示）【解答】解：（1）∵AE EB=23．∴AE AB=25，EBAB=35，∵AD ∥EF ∥BC ， ∴DF DC =AE AB =25，△BEG ∽△BAD ，△DFG ∽△DCB ，∴EG AD =EB AB =35，GFBC=DF DC=25，即EG 5=35，GF 10=25，解得：EG ＝3，GF ＝4， ∴EF ＝EG +GF ＝7； （2）∵AD ＝5，BC ＝10， ∴AD =12BC ， ∵AD ∥EF ∥BC ，∴AD →=12BC →=12b →，∴DB →=AB →+DA →=a →−12b →，∴DC →=DB →+BC →=a →−12b →+b →=a →+12b →，∵DF DC =AE AB =25，∴FC DC=35，∴FC =35DC ，∴FC →=35DC →=35（a →+12b →）=35a →+310b →；故答案为：a →−12b →，35a →+310b →． 21．（10分）如图，已知AB 是⊙O 的弦，点C 在⊙O 上，且AĈ=BC ̂，联结AO ，CO ，并延长CO 交弦AB 于点D ，AB ＝4√3，CD ＝6．（1）求∠OAB 的大小；（2）若点E 在⊙O 上，BE ∥AO ，求BE 的长．【解答】解：（1）如图1，连接OB ，∵AĈ=BC ̂， ∴∠AOC ＝∠BOC ，∴180°﹣∠AOC ＝180°﹣∠BOC ，∴∠AOD ＝∠BOD ，∵OA ＝OB ，∴OD 垂直平分AB ，∴AD ＝BD =12AB ＝2√3，设⊙O 的半径为r ，则OD ＝6﹣r ，在Rt △AOD 中，AO 2＝AD 2+OD 2，∴r 2＝（2√3）2+（6﹣r ）2，解得，r ＝4，∴cos ∠OAD =AD AO =2√34=√32， ∴∠OAD ＝30°，即∠OAB ＝30°；（2）如图2，连接OE ，由（1）知，∠OAB ＝30°，∵OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB＝30°，∵EB∥AO，∴∠EBD＝∠OAB＝30°，∴∠EBO＝∠EBD+∠OBA＝60°，∵OE＝OB，∴△OEB是等边三角形，∴BE＝r＝4．22．（10分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O﹣A﹣B﹣C表示支架，支架的一部分O﹣A﹣B是固定的，另一部分BC是可旋转的，线段CD表示投影探头，OM 表示水平桌面，AO⊥OM，垂足为点O，且AO＝7cm，∠BAO＝160°，BC∥OM，CD ＝8cm．将图2中的BC绕点B向下旋转45°，使得BCD落在BC′D′的位置（如图3所示），此时C′D′⊥OM，AD′∥OM，AD′＝16cm，求点B到水平桌面OM的距离，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm）【解答】解：过B作BG⊥OM于G，过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E，则C′H＝D′E，HE＝C′D′＝8，设AE＝x，∴C′H＝D′E＝16+x，∵∠BC′H＝45°，∴BH＝C′H＝16+x，∴BE＝16+x+8＝24+x，∵∠BAO＝160°，∴∠BAE＝70°，∴tan70°=BEAE=24+xx=10.36，解得：x＝13.5，∴BE＝37.5，∴BG＝BE+EG＝BE+AO＝37.5+7＝44.5≈45cm，答：B到水平桌面OM的距离为45cm．23．（12分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD交于点F，若AE 平分∠BAC ，AB •AF ＝AC •AE ．（1）求证：∠AFD ＝∠AEC ；（2）若EG ∥CD ，交边AC 的延长线于点G ，求证：CD •CG ＝FC •BD ．【解答】（1）证明：∵AB •AF ＝AC •AE ，∴AB AE =AC AF ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠CAE ，∴△BAE ∽△CAF ，∴∠AEB ＝∠AFC ，∴180°﹣∠AEB ＝180°﹣∠AFC ，∴∠AEC ＝∠AFD ；（2）证明：∵∠CFE ＝∠AFD ＝∠CEF ，∴CE ＝CF ，∵DC ∥EG ，∴∠DCB ＝∠CEG ，∠G ＝∠ACF ＝∠B ，∴△BDC ∽△GCE ，∴BD DC =GC CE =GC CF ，∴CD •CG ＝FC •BD ．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =13x 2+mx +n 经过点B （6，1），C（5，0），且与y 轴交于点A ．（1）求抛物线的表达式及点A 的坐标；（2）点P 是y 轴右侧抛物线上的一点，过点P 作PQ ⊥OA ，交线段OA 的延长线于点Q ，如果∠P AB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．【解答】解：（1）将B（6，1），C（5，0）代入抛物线解析式y=13x2+mx+n，得{1=12+6m+n 0=253+5m+n，解得，m=−83，n＝5，则抛物线的解析式为：y=13x2−83x+5，点A坐标为（0，5）；（2）AC=√52+52=5√2，BC=√(6−5)2+12=√2，AB=√62+(5−1)2=2√13，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，当∠P AB＝45°时，点P只能在点B右侧，过点P作PQ⊥y轴于点Q，∴∠QAB+∠OAB＝180°﹣∠P AB＝135°，∴∠QAP+∠CAB＝135°﹣∠OAC＝90°，∵∠QAP+∠QP A＝90°，∴∠QP A＝∠CAB，又∵∠AQP＝∠ACB＝90°，∴△PQA∽△ACB；（3）做点B关于AC的对称点B'，则A，F'，B'三点共线，由于AC⊥BC，根据对称性知点B'（4，﹣1），将B'（4，﹣1）代入直线y＝kx+5，∴k =−32，∴y AB '=−32x +5，联立{y =−32x +5y =13x 2−83x +5， 解得，x 1=72，x 2＝0（舍去），则F '（72，−14）， 将B （6，1），B '（4，﹣1）代入直线y ＝mx +n ，得，{6k +b =14k +b =−1， 解得，k ＝1，b ＝﹣5，∴y BB '＝x ﹣5，由题意知，k FF '＝K BB '，∴设y FF '＝x +b ，将点F '（72，−14）代入， 得，b =−154， ∴y FF '＝x −154， 联立{y =−23x +5y =x −154， 解得，x =214，y =32，∴F （214，32），则FF '=√(214−72)2+(32+14)2=7√24．25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P、Q分别在边AC、射线CB上，且AP＝CQ，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，联结PQ，以PM、PQ 为邻边作平行四边形PQNM，设AP＝x，平行四边形PQNM的面积为y．（1）当平行四边形PQNM为矩形时，求∠PQM的正切值；（2）当点N在△ABC内，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时，直接写出x 的值．【解答】解：（1）在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB=√AC2+BC2=√82+62=10，当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．∴tan∠PQM=PMPQ=35PA53CQ=925．（2）如图1中，延长QN交AB于K．由题意BQ ＝6﹣x ，QN ＝PM =35x ，AM =45x ，KQ =45BQ =24−4x 5，BK =35BQ =18−3x 5， ∴MK ＝AB ﹣AM ﹣BK =32−x 5， ∵QN ＜QK ，∴35x ＜24−4x 5， ∴x ＜247， ∴y ＝PM •MK =96x−3x 225（0≤x ＜247）．（3）①如图3﹣1中，当平分MN 时，D 为MN 的中点，作NE ∥BC 交PQ 于E ，作NH ⊥CB 交CB 的延长线于H ，EG ⊥BC 于G ．∵PD ∥BC ，EN ∥BC ，∴PD ∥NE ，∵PE ∥DN ，∴四边形PDNE 是平行四边形，∴PE ＝DN ，∵DN ＝DM ，PQ ＝MN ，∴PE ＝EQ ，∵EG ∥PC ，∴CG ＝GQ ，∴EG =12PC ，∵四边形EGHN 是矩形，∴NH ＝EG =35NQ =35PM =925x ，PC ＝8﹣x ，∴925x =12•（8﹣x ），解得x =20043．②如图3﹣2中，当平分NQ 时，D 是NQ 的中点，作DH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．∵DH ＝PC ，∴8﹣x =12•925x ， 解得x =40059，综上所述，满足条件x 的值为20043或40059．。
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★试卷3套精选★上海市长宁区2021届九年级上学期期末教学质量检测数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．估计7+1的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【答案】B【解析】分析：直接利用2＜7＜3，进而得出答案．详解：∵2＜7＜3，∴3＜7+1＜4，故选B．点睛：此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出7的取值范围是解题关键．2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinB的值是（）A．45B．35C．43D．34【答案】A【分析】先根据勾股定理计算出斜边AB的长，然后根据正弦的定义求解．【详解】如图，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=222268BC AC+=+=10，∴sinB=84105 ACAB==．故选：A．【点睛】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．3．下列四张印有汽车品牌标志图案的卡片中，是中心对称图形的卡片是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由中心对称图形的概念可知，这四个图形中只有第三个是中心对称图形，故答案选C ．考点：中心对称图形的概念．4．如图，等腰直角三角形ABC 的腰长为4cm ，动点P 、Q 同时从点A 出发，以1cm/s 的速度分别沿A→B 和A→C 的路径向点B 、C 运动，设运动时间为x(单位：s)，四边形PBC Q 的面积为y(单位：cm 2)，则y 与x(0≤x≤4)之间的函数关系可用图象表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先计算出四边形PBCQ 的面积，得到y 与x 的函数关系式，再根据函数解析式确定图象即可.【详解】由题意得： 22111448222y x x =⨯⨯-=-+(0≤x≤4)， 可知，抛物线开口向下，关于y 轴对称，顶点为（0，8），故选：C.【点睛】此题考查二次函数的性质，根据题意列出解析式是解题的关键.5．某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任意两名同学都要握手一次．小张同学统计了一下，全班同学共握手了465次．你知道九年级（1）班有多少名同学吗？设九年级（1）班有x 名同学，根据题意列出的方程是（ ）A ．(1)2x x -=465B ．(1)2x x +=465C ．x （x ﹣1）=465D ．x （x +1）=465【答案】A【解析】因为每位同学都要与除自己之外的（x ﹣1）名同学握手一次，所以共握手x （x ﹣1）次，由于每次握手都是两人，应该算一次，所以共握手x （x ﹣1）÷2次，解此方程即可.【详解】解：设九年级（1）班有x 名同学，根据题意列出的方程是(1)2x x - =465， 故选A ．【点睛】本题主要考查一元二次方程在实际生活中的应用，明白两人握手应该只算一次并据此列出方程是解题的关键.6．一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同，搅匀后任意摸出一个球，是白球．．的概率为（）A．12B．310C．15D．710【答案】A【分析】根据概率公式解答即可.【详解】袋子里装有2个红球、3个黄球和5个白球共10个球，从中摸出一个球是白球的概率为：51102=．故选A.【点睛】本题考查了随机事件概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝mn．7．已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形C．当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形D．当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形【答案】C【解析】试题分析：A、对角线AC与BD互相垂直，AC=BD时，无法得出四边形ABCD是矩形，故此选项错误．B、当AB=AD，CB=CD时，无法得到四边形ABCD是菱形，故此选项错误．C、当两条对角线AC与BD互相垂直，AB=AD=BC时，∴BO=DO，AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形．∵两条对角线AC与BD互相垂直，∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项正确．D、当AC=BD，AD=AB时，无法得到四边形ABCD是正方形，故此选项错误．故选C．8．在以下四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A．B．C．D．【答案】B【分析】旋转180︒后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．9．下列图形的主视图与左视图不相同的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】确定各个选项的主视图和左视图，即可解决问题.【详解】A选项，主视图：圆；左视图：圆；不符合题意；B选项，主视图：矩形；左视图：矩形；不符合题意；C选项，主视图：三角形；左视图：三角形；不符合题意；D选项，主视图：矩形；左视图：三角形；符合题意；故选D【点睛】本题考查几何体的三视图，难度低，熟练掌握各个几何体的三视图是解题关键.∠的平分线交O于D，则CD长为（）10．如图，O的直径AB的长为10，弦AC长为6，ACBA．7 B．2C．2D．9【答案】B【解析】作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分∠ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=7，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出2.【详解】作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD∴DF=DG，AD BD=，∴DA=DB，∵∠AFD=∠BGD=90°，∴△AFD≌△BGD，∴AF=BG．易证△CDF≌△CDG，∴CF=CG，∵AC=6，BC=8，∴AF=1，∴CF=7，∵△CDF是等腰直角三角形，∴CD=72，故选B．【点睛】本题综合考查了圆周角的性质，圆心角、弧、弦的对等关系，全等三角形的判定，角平分线的性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.11．一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为()A．12B．310C．15D．710【答案】B【分析】用黄色小球的个数除以总个数可得．【详解】解：搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为33 23510=++故答案为B．【点睛】本题考查了概率公式,解答的关键在于确定发生事件的总发生数和所求事件发生数. 12．已知x是实数，则代数式2321x x-+的最小值等于（）A．-2 B．1 C．23D．43【答案】C【分析】将代数式配方，然后利用平方的非负性即可求出结论．【详解】解：2321x x -+ =22313x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=221131399x x ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭=2113133x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ =212333x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ∵21303x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭ ∴21223333x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭ ∴代数式2321x x -+的最小值等于23 故选C ．【点睛】此题考查的是利用配方法求最值，掌握完全平方公式是解决此题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．菱形的两条对角线分别是6cm ，8cm ，则菱形的边长为________cm ，面积为________2cm ．【答案】5 24【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出两对角线的一半，然后利用勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求菱形的面积即可．【详解】∵菱形的两条对角线长分别为6cm ，8cm ，∴对角线的一半分别为3cm ，4cm ，=5cm ，∴面积S=12×6×8=14cm 1． 故答案为5；14．【点睛】本题考查了菱形的性质及勾股定理的应用，熟记菱形的性质是解决本题的关键．14．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF 长为5cm ，母线()OE OF 长为5cm .在母线OF 上的点A 处有一块爆米花残渣，且2FA cm =，一只蚂蚁从杯口的点E 处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离为____cm ．【答案】34【解析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【详解】解：5()===OE OF EF cm ，∴底面周长5()π=cm ，将圆锥侧面沿OF 剪开展平得一扇形，此扇形的半径5()=OE cm ，弧长等于圆锥底面圆的周长5()πcm 设扇形圆心角度数为n ，则根据弧长公式得：55180ππ=n ， 180n ∴=︒，即展开图是一个半圆，E 点是展开图弧的中点，90EOF ∴∠=︒，连接EA ，则EA 就是蚂蚁爬行的最短距离，在Rt AOE ∆中由勾股定理得，()2222255234=+=+-=EA OE OA ， 34()∴=EA cm ，34cm ．34【点睛】考查了平面展开-最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 15．当32x -≤≤时，函数242(0)y ax ax a =-+≠的最大值是8则a =_________.【答案】32-或27 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据开口方向分类讨论决定取值，列出关于a 的方程，即可求解；【详解】解：函数()2242=x-2+2-4y ax ax a a =-+，则对称轴为x=2，对称轴在32x -≤≤范围内，当a ＜0时，开口向下，有最大值，最大值在x=2处取得，即()2y=a 2-2+2-4a =8，解得a=32-； 当a ＞0时，开口向上，最大值在x=-3处取得，即()2y=a -3-2+2-4a =8，解得a=27； 故答案为：32-或27； 【点睛】 本题主要考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键.16．如图，O 为矩形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，AB=6，M ，N 是直线BC 上的动点，且2MN =，则OM ON +的最小值是_．【答案】210【分析】根据题意找到M 与N 的位置,再根据勾股定理求出OM,ON 的长即可解题.【详解】解：过点O 作OE⊥BC 于E,由题可知当E 为MN 的中点时,此时OM + ON 有最小值,∵AB=6,∴PE=3,（中位线性质）∵MN=2,即ME=NE=1,∴OM=ON=10,（勾股定理）∴OM + ON 的最小值=210本题考查了图形的运动,中位线和勾股定理,找到M 与N 的位置是解题关键.17．如图，已知平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，以点B 为中心，取旋转角等于∠ABC ，把△BAE 顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的度数为 ．【答案】160°．【分析】根据平行四边形的性质得∠ABC=∠ADC=60°，AD ∥BC ，则根据平行线的性质可计算出∠DA′B=130°，接着利用互余计算出∠BAE=30°，然后根据旋转的性质得∠BA′E′=∠BAE=30°，于是可得∠DA′E′=160°．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，AD ∥BC ，∴∠ADA′+∠DA′B=180°，∴∠DA′B=180°﹣50°=130°，∵AE ⊥BE ，∴∠BAE=30°，∵△BAE 顺时针旋转，得到△BA′E′，∴∠BA′E′=∠BAE=30°，∴∠DA′E′=130°+30°=160°．故答案为160°．【点睛】本题考查旋转的性质，掌握旋转的性子，数形结合是本题的解题关键．18．m 、n 分别为的一元二次方程2410x x --=的两个不同实数根，则代数式24m m mn -+的值为________【答案】1【分析】由一元二次方程的解的定义可得m 2-4m-1=1，则m 2-4m=1，再由根于系数的关系可得mn=-1,最后整体代入即可解答．【详解】解：∵m 、n 分别为的一元二次方程2410x x --=∴m+n=4,mn=-1，m 2-4m-1=1，∴m 2-4m=1∴24m m mn -+＝1-1=1故答案为1．本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，其中正确运用根与系数的关系是解答本题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，点C在OP上，满足∠CBP＝∠ADB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．【答案】（1）见解析；（2）BP＝1.【分析】（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，再根据等腰三角形的性质和已知条件证出∠OBC=90°，即可得出结论；（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似三角形的对应边成比例求BP的长．【详解】（1）证明：连接OB，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠A+∠ADB＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵∠CBP＝∠ADB，∴∠OBA+∠CBP＝90°，∴∠OBC＝180°﹣90°＝90°，∴BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵OA＝2，∴AD＝2OA＝4，∵OP⊥AD，∴∠POA＝90°，∴∠P+∠A＝90°，∴∠P＝∠D，∵∠A＝∠A，∴△AOP∽△ABD，∴APAD ＝AOAB，即14BP＝21，解得：BP＝1．【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键．20．近年来某市大力发展绿色交通，构建公共、绿色交通体系，将“共享单车”陆续放置在人口流量较大的地方，琪琪同学随机调查了若干市民用“共享单车”的情况，将获得的数据分成四类，A：经常使用；B：偶尔使用；C：了解但不使用；D：不了解，并绘制了如下两个不完整的统计图.请根据以上信息，解答下列问题：（1）这次被调查的总人数是人，“C：了解但不使用”的人数是人，“D：不了解”所占扇形统计图的圆心角度数为.（2）某小区共有10000人，根据调查结果，估计使用过“共享单车”的大约有多少人？（3）目前“共享单车”有黄色、蓝色、绿色三种可选，某天小张和小李一起使用“共享单车”出行，求两人骑同一种颜色单车的概率.【答案】（1）200，50，108；（2）4500人；（3）1 3【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图的信息，即可求解；（2）由小区总人数×使用过“共享单车”的百分比，即可得到答案；200×（1-30％-25％-20％）=50（人），360°×30％=108°，答：这次被调查的总人数是200人，“C：了解但不使用”的人数是50人，“D：不了解”所占扇形统计图的圆心角度数为108°．故答案是：200，50，108；（2）10000×（25％+20％）=4500（人），答：估计使用过“共享单车”的大约有4500人；（3）列表如下：由列表可知：一共有9种等可能的情况，两人骑同一种颜色有三种情况：（黄色，黄色），（蓝色，蓝色），（绿色，绿色）()31 93P∴==两人骑同一颜色．【点睛】本题主要考查扇形统计图和条形统计图以及简单事件的概率，列出表格，得到事件的等可能的情况数，是解题的关键．21．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？【答案】（1）y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）当x=80时，y最大值=4500；（3）70≤x≤1.【分析】(1) 根据题目已知条件, 可以判定销量与售价之间的关系式为一次函数, 并可以进一步写出二者之间的关系式; 然后根据单位利润等于单位售价减单位成本, 以及销售利润等于单位利润乘销量, 即可求出每天的销售利润与销售单价之间的关系式.(2) 根据开口向下的抛物线在对称轴处取得最大值, 即可计算出每天的销售利润及相应的销售单价.根之间,即可确定满足题意的取值范围.【详解】解：（1）y=（x ﹣50）[50+5（100﹣x ）]=（x ﹣50）（﹣5x+550）=﹣5x 2+800x ﹣27500，∴y=﹣5x 2+800x ﹣27500（50≤x≤100）；（2）y=﹣5x 2+800x ﹣27500=﹣5（x ﹣80）2+4500，∵a=﹣5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，∴当x=80时，y 最大值=4500；（3）当y=4000时，﹣5（x ﹣80）2+4500=4000，解得x 1=70，x 2=1．∴当70≤x≤1时，每天的销售利润不低于4000元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用.22．（1）计算：()212cos6020202π-⎛⎫++-︒ ⎪⎝︒⎭（2）若关于x 的方程22210x x m ++-=有两个相等的实数根，求m 的值.【答案】（1）6；（2）1m =.【分析】（1）根据负指数幂和0次幂法则，特殊三角函数值分别算出原算式中的每一项，然后进行实数运算即可.（2）根据一元二次方程根的判别式与根个数的关系，可得出b 2-4ac=0,列方程求解.【详解】解：（1）()2012cos6020202π-⎛⎫++- ⎪⎝⎭︒ 12412=⨯++ 6=；（2）∵22210x x m ++-=有两个相等的实数根，∴b 2-4ac=22-4(2m-1)=0,∴m=1.【点睛】本题考查实数运算和一元二次方程根的判别式与根个数的关系，掌握负指数幂，0次幂和特殊三角形函数23．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线243y ax ax a =-+．(1)求抛物线的对称轴；(2)当0a >时，设抛物线与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 左侧)，顶点为C ，若ABC ∆为等边三角形，求a 的值；(3)过(0,)T t (其中12t -≤≤)且垂直y 轴的直线l 与抛物线交于,M N 两点．若对于满足条件的任意t 值，线段MN 的长都不小于1，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．【答案】 (1)x=2；3(3)43a ≥或83a ≤-． 【解析】（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式，由此即可得出抛物线的对称轴；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A,B 的坐标，由（1）可得出顶点C 的坐标，再利用等边三角形的性质可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出a 值；（3）分0a >及0a <两种情况考虑：①当0a >时，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的取值范围；②当0a <时，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的取值范围．综上，此题得解．【详解】(1)∵()22432y ax ax a a x a =-+=--，∴抛物线的对称轴为直线2x =．(2)依照题意，画出图形，如图1所示．当0y =时，2430ax ax a -+=，即()()130a x x --=，解得：11x =，23x =．由(1)可知，顶点C 的坐标为()2,a -．∵0a >，∴0a -<．∴点C 的坐标为()2,3-， ∴3a -=-，∴3a =．(3)分两种情况考虑，如图2所示：①当0a >时，3313122a ⎛⎫⎛⎫-⨯-≤-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：43a ≥； ②当0a <时，3313222a ⎛⎫⎛⎫-⨯-≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：83a ≤-．【点睛】本题考查了二次函数的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及解一元一次不等式.24．如图，ABC ∆的顶点坐标分别为()0,1A ，()3,3B ，()1,3C .（1）画出ABC ∆关于点O 的中心对称图形111A B C ∆；（3）求在ABC ∆旋转到22AB C ∆的过程中，点C 所经过的路径长.【答案】（1）见解析；（2）见解析；()2,2-；（3）52π. 【分析】（1）由中心对称的定义和性质作图变换后的对应点，再顺次连接即可得；（2）由旋转变换的定义和性质作图变换后的对应点，再顺次连接即可得；（3）利用弧长公式计算可得．【详解】（1）如图所示，111A B C ∆即为所求.（2）如图所示，22AB C ∆即为所求，其中点2C 的坐标为()2,2-，故答案为：()2,2-.（3）∵290CAC ∠=︒，22125AC =+=∴点C 所经过的路径长为90551802⋅=. 【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣2，0），B （0，3），C （﹣4，1）．以原点O 为旋转中心，将△ABC 顺时针旋转90°得到△A 'B 'C '，其中点A ，B ，C 旋转后的对应点分别为点A '，B '，C '． （1）画出△A 'B 'C '，并写出点A '，B '，C '的坐标；（2）求经过点B '，B ，A 三点的抛物线对应的函数解析式．【答案】（1）见解析；（2）抛物线的解析式为y＝﹣12x2+12x+1．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．（2）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣1），把B（0，1）代入求出a即可．【详解】解：（1）如图△A'B'C'即为所求．A′（0，2），B′（1，0），C′（1，4）（2）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣1），把B（0，1）代入得到a＝﹣12，∴抛物线的解析式为y＝﹣12x2+12x+1．【点睛】本题考查的知识点是求抛物线解析式以及图形的旋转变换，根据旋转的性质得出A′，B′，C′的坐标是解此题的关键．26．解方程：(1)x2﹣1x+5=0(配方法) (2)(x+1)2=1x+1．【答案】(2)x2=3，x2=2；(2)x2=﹣2，x2=3【分析】（2）先变形为x2-2x=-3，再把方程两边都加上9得 x2-2x+9=-3+9，则（x-3）2=4，然后用直接开平方法解方程即可．（2）先移项，然后提取公因式（x+2）进行因式分解；【详解】解：(2)x2﹣2x=﹣3，x=3±2，所以x2=3，x2=2．(2)(x+2)2﹣2(x+2)=0，(x+2)(x+2﹣2)=0，x+2=0或x+2﹣2=0，所以x2=﹣2，x2=3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．27．如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x1-x-1顶点D的坐标为(, -).（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（3）.【解析】（1）把点A坐标代入抛物线即可得解析式，从而求得顶点坐标；（1）分别计算出三条边的长度，符合勾股定理可知其是直角三角形；（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，1），OC′=1，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小．【详解】解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x1 +bx-1上∴× (-1 )1 +b× (-1) –1 = 0∴抛物线的解析式为y=x1-x-1.y=x1-x-1 =(x1 -3x- 4 ) =(x-)1-,∴顶点D的坐标为(, -).（1）当x = 0时y = -1,∴C（0，-1），OC = 1．当y = 0时，x1-x-1 = 0，∴x1 = -1, x1 = 4∴B (4,0)∴OA =1, OB = 4, AB = 5.∵AB1 = 15, AC1 =OA1 +OC1 = 5, BC1 =OC1 +OB1 = 10,∴AC1 +BC1 =AB1.∴△ABC是直角三角形.（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，1），OC′=1，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC +MD的值最小．解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM∴△C′OM∽△DEM.∴∴，∴m=．解法二：设直线C′D的解析式为y =kx +n ,则，解得n = 1，.∴.∴.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（ ）A ．摸出的三个球中至少有一个球是黑球B ．摸出的三个球中至少有一个球是白球C ．摸出的三个球中至少有两个球是黑球D ．摸出的三个球中至少有两个球是白球【答案】A【分析】根据必然事件的概念：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可.【详解】A 、是必然事件；B 、是随机事件，选项错误；C 、是随机事件，选项错误；D 、是随机事件，选项错误．故选A ．2．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A 、C 、D 都不是中心对称图形，只有B 是中心对称图形. 故选B.3．如图，在ABC ∆中，,D E 分别为AB AC 、边上的中点，则ADE ∆与ABC ∆的面积之比是（ ）A ．14：B ．1:3C ．1:2D ．2:1【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质即可求出答案．【详解】由题意可知：DE 是ABC ∆的中位线，1//2DE BC DE BC ∴，＝， ADE ABC ∴∆∆∽，214ADE ABC S DE S BC ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭， 故选：A ．【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型． 4．设32a b =，下列变形正确的是（ ） A ．32b a = B ．23a b = C ．32a b = D ．23a b =【答案】D【分析】根据比例的性质逐个判断即可． 【详解】解：由32a b =得，2a=3b, A 、∵32b a =，∴2b=3a ，故本选项不符合题意； B 、∵23a b =，∴3a=2b ，故本选项不符合题意； C 、32a b =，故本选项不符合题意；D 、23a b =，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】 本题考查了比例的性质，能熟记比例的性质是解此题的关键，如果a cb d=，那么ad=bc ． 5．点P(6，-8)关于原点的对称点的坐标为( )A ．(-6，8)B ．(–6，-8)C ．(8，-6)D ．(–8，-6) 【答案】A【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点是P ′（-x ，-y ），可以直接选出答案．【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点可得：点P （6，-8）关于原点过对称的点的坐标是（-6，8）．故选：A.【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，关键是熟记关于原点对称的点的坐标的特点：它们的坐标符号相反．6．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为（）A．0.439×106B．4.39×106C．4.39×105D．139×103【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：将439000用科学记数法表示为4.39×1．故选C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．7．如图，ABC中，30A∠=，3tan2B=，23AC=，则AB的长为（）A．33+B．223+C．5D．9 2【答案】C【解析】过C作CD⊥AB于D，根据含30度角的直角三角形求出CD，解直角三角形求出AD，在△BDC中解直角三角形求出BD，相加即可求出答案．【详解】过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90︒，∵∠A=30︒,AC=23∴CD=123由勾股定理得：3，∵tanB=32=CDBD，∴BD=2，∴AB=2+3=5，故选C.【点睛】本题考查解直角三角形.8．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 的中点，点P 从点E 出发，沿E A D C →→→移动至终点C ，设P 点经过的路径长为x ，CPE ∆的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与x 函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】结合题意分情况讨论：①当点P 在AE 上时，②当点P 在AD 上时，③当点P 在DC 上时，根据三角形面积公式即可得出每段的y 与x 的函数表达式.【详解】①当点P 在AE 上时，∵正方形边长为4，E 为AB 中点，∴2AE =，∵P 点经过的路径长为x ，∴PE x =， ∴12CPE y S PE BC ∆==⋅⋅1422x x =⨯⨯=， ②当点P 在AD 上时，∵正方形边长为4，E 为AB 中点，∴2AE =，∵P 点经过的路径长为x ，∴2AP x =-，6DP x =-，∴CPE BEC APE PDC ABCD y S S S S S ∆∆∆∆==---正方形，11144242(2)4(6)222x x =⨯-⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯-， 1642122x x =--+-+，2x =+，③当点P 在DC 上时，∵正方形边长为4，E 为AB 中点，∴2AE =，∵P 点经过的路径长为x ，∴6PD x =-，10PC x =-，∴12CPE y S PC BC ∆==⋅⋅1(10)42202x x =⨯-⨯=-+， 综上所述：y 与x 的函数表达式为： 2(02)2(26)220(610)x x y x x x x ≤≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+<≤⎩. 故答案为C.【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y 随x 的变化而变化的趋势． 9．一元二次方程x 2﹣3x+5=0的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．有两个不相等的实数根【答案】A【解析】Δ=b 2-4ac=(-3)2-4×1×5=9-20=-11<0，所以原方程没有实数根，故选 A.10．二次函数y=x 2-2x+3的最小值是（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．1【答案】B【解析】试题解析：因为原式=x 1-1x+1+1=（x-1）11，所以原式有最小值，最小值是1．故选B ．11．如图，将直尺与含30°角的三角尺放在一起，若∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°【答案】C【分析】通过三角形外角的性质得出∠BEF＝∠1+∠F，再利用平行线的性质∠2＝∠BEF即可.【详解】∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝25°，∠F＝30°，∴∠BEF＝∠1+∠F＝55°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠BEF＝55°，故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键. 12．下列各说法中：①圆的每一条直径都是它的对称轴；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的弦所对的弧也相等；④同弧所对的圆周角相等；⑤ 90°的圆周角所对的弦是直径；⑥任何一个三角形都有唯一的外接圆；其中正确的有（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个【答案】A【分析】根据对称轴、等弧、圆周角定理、三角形外接圆的定义及弦、弧、圆心角的相互关系分别判断后即可解答．【详解】①对称轴是直线，而直径是线段，圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，①错误；②在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，不在同圆或等圆中不一定是等弧，②错误；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，不在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，③错误；④根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，④正确；⑤根据圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径，⑤正确；⑥根据三角形外接圆的定义可知，任何一个三角形都有唯一的外接圆，⑥正确．综上，正确的结论为③④⑤.故选A．【点睛】本题了考查对称轴、等弧、圆周角、外接圆的定义及其相互关系，熟练运用相关知识是解决问题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）。
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2021年初三数学教学质量检测试卷(满分150分，考试时间100分钟) 2009.4考生注意:1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题:(本大题共6题，每题4分，满分24分)【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1. 下列各式从左到右的变形是正确的因式分解的是( )A.)23(2323y x x x xy x -=+- B.()()22y x y x y x -=-+C. ()()355282--+=-a a a D.()22244+=++x x x2. 已知抛物线3)2(32-+=x y ，则其顶点坐标是( ) A. ()3,2- B. ()3,2- C. ()3,2-- D. ()3,2 3. 下列根式中，最简二次根式是( ) A. 28x - B. 122++m m C.mm1- D.xy 214. 下列函数中，在定义域内y 随x 的增大而增大的函数是( ) A. x y 2-= B. x y 2= C. xy 2=D. xy 2-=5. 方程1132=+y x 和下列方程构成的方程组的解是⎩⎨⎧==14y x 的方程是( )A. 2043=+y xB. 374=-y xC. 172=-y xD. 645=-y x6. 已知P 是△ABC 内一点，联结PA 、PB 、PC ，把△ABC 的面积三等分，则P 点一定是( ) A. △ABC 的三边的中垂线的交点 B. △ABC 的三条内角平分线的交点 C. △ABC 的三条高的交点 D. △ABC 的三条中线的交点二、填空题:(本大题共12题，每题4分，满分48分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7.最小的素数是 。
8.已知:⊙O 1的半径为3，⊙O 2的半径为4，若⊙O 1与⊙O 2内切，则两圆的圆心距O 1O 2＝ 。
9.化简:=--+-)1(516x x x x 。
10.方程13+=+x x 的根是 。
11.已知实数a 、b 在数轴上对应的点如图所示， 化简二次根式:b a 2= 。
12. 函数33-=x x f ）（的定义域是 。
13. 如果一次函数图像经过A 、B 两点(如图)，则该一次函数的解析式为 。
14. 如图，已知O 是正六边形的中心，由点O 和各顶点构成的三角形中，可由△OBC 平移得到的三角形是 。
15．一人群中，如果有一人患流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x 人，则列出关于x 的方程是 。
16.为举办毕业联欢会，组织者设计了一个游戏，游戏者转动如图所示的转盘一次，当转盘停止，指针指向“红”字时，游戏者就可以获得一个指定一人表演节目的机会。
若小亮转动一次转盘，他能获得这种指定一人表演节目的机会的概率是 。
17. 如图，已知O 是△ABC 内一点，AO AD 41=，BO BE 41=，CO C 41=F .设a AB =，b BC =，则用向量b a ,表示F D = 。
18. 在Rt △ABC 中，∠A<∠B,CM 是斜边AB 上的中线，将△ACM 沿直线CM 翻折，点A 落在D 处，若CD 恰好与AB 垂直，则∠A = 度。
1-121BAy Ox第13题图 第14题图 FEDOCBA白白白黄黄黄蓝蓝蓝蓝红红红红红红白黄第16题图MBAD C第18题FBA OE DC第17题baO第11题图nmFE40°DCBA 三、解答题:(本大题共7题，满分78分)19.(本题10分) 计算:︒︒-︒+︒60sin 30sin 260sin 30sin 2220.(本题10分)求不等式组()⎩⎨⎧+>+<⋅-）（135121x x x 的整数解。
21.(本题10分)某校团委为了了解今年春节时学生自由支配的压岁钱数目，从初三年级中随机抽取了部分学生进行调查，并将这部分学生自由支配的压岁钱数目绘制成频率分布直方图．已知图中从左至右的第一组人数为8名．请根据所给的信息回答:(1)被抽取调查的学生人数为 名； (2)从左至右第五组的频率是 ；(3)若该校初三有280名学生，请估计初三年级约 有 名学生能自由支配400—500元的压岁钱； (4)若该校共有1000名学生，请问“该校约有350名学生能自由支配400—500元的压岁钱。
”这个结论是否正确，说明理由。
22.(本题10分)如图，△ABC 中，∠B 的平分线BD 与∠C 的外角平分线CE 交于点P 。
求证:点P 到三边AB 、BC 、CD 所在的直线的距离相等。
E D PCB A23.(本题12分)某住宅小区的物业管理部门为解决住户停车困难，将一条道路辟为停车场，停车位置如图所示。
已知矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位，其中AB=5.4米，BC=2.2米，︒=∠40DCF 。
请计算停车位所占道路的宽度EF(结果精确到0.1米)。
参考数据:sin40°≈0.64 cos40°≈0.77 tan40°≈0.84600500400300200100频率组距消费(元)（每组可含最小值，不含最大值）0.00250.00150.00350.00300.00200.00100.000524. (本题12分)如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画圆，P 是⊙O 上一动点且在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线，与x 、y 轴分别交于点A 、B 。
（1） 求证:△OBP 与△OPA 相似；（2） 当点P 为AB 中点时，求出P 点坐标；（3） 在⊙O 上是否存在一点Q ，使得以Q 、O 、A 、P 为顶点的四边形是平行四边形。
若存在，试求出Q点坐标；若不存在，请说明理由。
Py xB A O 2121-2-1-2-125. (本题14分)如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 交x 轴于A 、B 两点(A 点在B 点左侧)，交y 轴于点C 。
已知B(8，0)，21tan =∠ABC ，△ABC 的面积为8.（1） 求抛物线的解析式；（2） 若动直线EF(EF//x 轴)从点C 开始，以每秒1个长度单位的速度沿y 轴负方向平移，且交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动。
联结FP ，设运动时间t 秒。
当t 为何值时，OP +⋅EF OPEF 的值最小，求出最大值；（3） 在满足(2)的条件下，是否存在t 的值，使以P 、B 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似。
若存在，试求出t 的值；若不存在，请说明理由。
O yxPFECBA2010初三数学教学质量检测卷评分建议一、选择题(本大题共6题，每题4分，满分24分.)1.D2.C3.A4.B5.C6.D二、填空题(本大题共12题，每题4分,满分48分.填对得4分,填错或不填、多填均得0分)7. 2 8.1 9. 10. 1 11. 12. 13.14. △OAF，△OED 15. (或， )16. 17. (或 ) 18. 30三、解答题:(本大题共7题，满分78分)19.(本题10分)解:= ………4分== ……………… 4分= (或 ) …… 2分20.(本题10分)解:整理(1)\(2)得 (2)…………… 2分………….2分∴…………..1分∴不等式组的整数解为-2，-1，0 …….. 3分21.(本题10分)(1)80；……………..2分(2)0.05 ；………...2分(3)84；…………..3分(4)不合理，初三年级学生的随机样本不能代表该校全体学生。
……3分22.(本题10分)证明:如图,过点P作三边AB、BC、CA所在直线的垂线,垂足分别是Q、M、N。
.….2分则垂线段PQ、PM、PN即为P点到三边AB、BC、CA所在直线的距离。
……2分∵P是∠ABC的平分线BD上的一点∴PM=PQ……………………………………2分∵P是∠ACM的平分线CE上的一点∴PM=PN……………………………………2分∴PQ=PM=PN∴P点到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等。
……2分23.(本题12分)解:由题意知∠DFC = 90°，∠DEA = 90°∠DCF = 40°又∵ABCD是矩形∴AB = CD = 5.4 米 BC = AD = 2.2米且∠ADC = 90°…………………2分。