2021年吉林省长春市东北师大附中九年级下学期二模数学试题
吉林省东北师范大学附属中学2020-2021学年九年级第二次综合测试数学试题
吉林省东北师范大学附属中学2020-2021学年九年级第二次综合测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各数中是无理数的是( )A ．√916B ．√−83C ．237D ．π4 2．改善空气质量的首要任务是控制 2.5PM ， 2.5PM 是值环境空气中空气动力学当量直径小于等于0.00025厘米的颗粒物，这里的0.00025用科学记数法表示为（ ） A ．42.510⨯ B ．32.510-⨯ C ．42.510-⨯ D ．52.510-⨯ 3．如图是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的三视图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．主视图和俯视图B ．俯视图C ．俯视图和左视图D ．主视图4．将一副三角板（30,45AE ∠︒∠︒＝＝）按如图所示方式摆放，使得//BA EF ，则AOF ∠等于（ ）A ．75︒B ．90︒C ．105︒D ．115︒ 5．下列各式计算正确的是（ ）A ．23525a a a +=B ．23a a a ⋅=C ．623a a a ÷=D ．()325a a = 6．如图，已知D ，E 分别是△ABC 的AB ， AC 边上的点，DE∥BC，且BD=3AD ．那么AE:AC 等于（ ）A．2 : 3B．1 : 2C．1 : 3D．1 :47．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为()A．tantanαβB．sinsinβαC．sinsinαβD．coscosβα8．如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，若A、B的坐标分别为(2,3)-，(1,3)，点M的橫坐标的最小值为5-，则点N的橫坐标的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题9．不等式组20360aa-<⎧⎨+>⎩的解集是________.10．—元二次方程22310x x--=根的判别式的值是_____________；11．已知射线OM.以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A 为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB=________(度)12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为1，AB x轴，点A的坐标为()1,1，若直线1y kx =-与正方形的边（包括顶点）有交点，则k 的取值范围是_____________．13．如图（1），矩形纸片ABCD 中，AB=5,BC=3,先按图（2）操作，将矩形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使点D 落在边AB 上的点E 处，折痕为AF ；再按图（3）操作：沿过点F 的直线折叠，使点C 落在EF 上的点H 处，折痕为FG,则A 、H 两点间的距离为_______.14．如图，已知点B D 、在反比例函数(0)a y a x=>的图象上，点A C 、在反比例函数(0)b y b x=>的图象上，AB CD x 轴，AB CD 、在x 轴的同侧，43AB CD ==，，AB 与CD 间的距离为12，则-a b 的值是_______________．三、解答题15．先化简，再求值：2224442x x x x x ⎛⎫-+÷- ⎪+⎝⎭，其中3x =-． 16．小红和小丁玩纸牌优秀，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也在、抽出一张,比较两人抽取的牌面上的数字，数字大者获胜，请用树状图或列表法求小红获胜的概率．17．图①、图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB DE 、的端点均在格点上．（1）在图①中画出以AB 为斜边的等腰直角ABC ，使点C 在格点上；（2）在图②中画出以DE 为斜边的直角DEF ，使点F 在格点上且DEF 与ABC 不全等，再在DE 上找到一点P ，使得FP 最短．（要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法）18．长春的冬天经常下雪，为了提高清雪的效率，市政府启用了清雪机，已知一台清雪机的工作效率相当于一名环卫工人的200倍，若用这台清雪机清理9000立方米的积雪，要比150名环卫工人清理这些积雪少用2小时，求一台清雪机每小时清雪多少立方米？ 19．如图，已知O 为ABC 的外接圆，BC 为O 的直径，作射线BE ，使得BA 平分CBE ∠，过点A 作AD BE ⊥于点D ．（1）求证：DA 为O 的切线；（2）若1,tan 2BD ABD =∠=，则O 的半径为____________．20．“绿水青山就是金山银山”，北京市民积极参与义务植树活动．小武同学为了了解自己小区300户家庭在2021年4月份义务植树的数量，进行了抽样调查，随即抽取了其中30户家庭，收集的数据如下（单位：棵）：1 123 2 3 2 3 34 3 3 4 3 35 3 4 3 4 4 5 4 5 3 4 3 4 5 6（1）对以上数据进行整理、描述和分析：①绘制如下的统计图，请补充完整；②这30户家庭2021年4月份义务植树数量的平均数是______，众数是______；（2）“互联网＋全民义务植树”是新时代首都全民义务植树组织形式和尽责方式的一大创新，2021年首次推出义务植树网上预约服务，小武同学所调查的这30户家庭中有7户家庭采用了网上预约义务植树这种方式，由此可以估计该小区采用这种形式的家庭有______户．21．如图：甲、乙两地相距300km ，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，线段OA 和折线BCD 分别表示货车和轿车离甲地的距离y ()km 与货车出发时间x ()h 之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：（1）货车的速度为___________/km h ，当轿车到达乙地后,货车距乙地的距离为____________千米；（2）求轿车改变速度后y 与x 的函数关系式；（3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD 段速度返回，求轿车从乙地出发后多长时间再次与货车相遇？22．（问题探究）课堂上老师提出了这样的问题：“如图①，在ABC 中，108BAC ∠=︒，点D 是BC 边上的一点，7224BAD BD CD AD ∠=︒==，，，求AC 的长”．某同学做了如下的思考：如图②，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，进而求解，请回答下列问题：（1）ACE ∠=___________度；（2）求AC 的长．（拓展应用）如图③，在四边形ABCD 中，12075BAD ADC ∠=︒∠=︒，，对角线AC BD 、相交于点E ，且AC AB ⊥，22EB ED AE ==，，则BC 的长为_____________．23．如图，在ABC 中，35,7,tan 4AB BC B ===，动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒53个单位长度的速度向终点B 运动，过P 作PQ BC ，交AC 于点Q ，以PQ PB 、为邻边作平行四边形PQDB ，同时以PQ 为边向下作正方形PQEF ，设点P 的运动时间为t 秒()0t >．（1）点A 到直线EF 的距离______________；（用含t 的代数式表示）（2）当点D 落在落在PF 上时，求t 的值；（3）设平行四边形PQDB 与正方形PQEF 重叠部分的面积为()0S S >，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．（4）设:PDE APE S S m =△△，当112m 时，直接写出t 的取值范围．24．已知抛物线2y ax bx c =++与坐标轴交于()()1,03,00,12A B C ⎛⎫ ⎪-⎝⎭、、. （1）求抛物线的解析式；（2）设直线y m =与该抛物线交于点E F 、 （E 在F 的左侧），记抛物线在直线EF 下方的图象为1M ，在直线EF 上方的图象为2M ，将图象2M 沿直线EF 向下翻折得到图象3M ，图象1M 和图象3M 两部分组成的图象记为M .①设图象3M 的顶点为D ，当D 落在ABC 的边上时，求实数m 的值.②当0m =时,设()00,P x y 是图象M 上的动点.（i ）连结CP ，过线段CP 的中点作y 轴的平行线交x 轴于点Q ，当CPQ 是以Q 为直角顶点的直角角形时，直接写出0x 的值.（ii ）当00(0)x t t >时，0y 的最小值为u ，直接写出u 的最大值及相应的t 的取值范围.参考答案1．D【解析】【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项．【详解】A. √916=34是分数，为有理数，此选项错误；B. √−83=-2是有理数，此选项错误；C. 237是分数，为有理数，此选项错误； D. π4是无理数，此选项正确.故选D【点睛】本题考查了无理数的概念：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．熟练掌握概念是解题的关键.2．C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.00025=2.5×10-4，故选：C ．【点睛】此题考查科学记数法表示较小的数，解题关键在于掌握一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．B【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得三视图，根据轴对称图形的定义、中心对称图形的定义，可得答案．【详解】解：从正面看第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，是轴对称图形，不是中心对称图形；从左边看第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形是轴对称图形，不是中心对称图形；从上面看四个小正方形呈“+，是轴对称图形也是中心对称图形．故选：B ．【点睛】此题考查简单组合体的三视图，解题关键在于掌握从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义．4．A【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质进行计算，即可得到答案.【详解】解：//,30BA EF A ∠︒＝，30FCA A ∴∠=∠=︒．45F E ∠∠︒＝＝，304575AOF FCA F ∴∠∠+∠︒+︒︒＝＝＝．故选A ．【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和三角形外角的性质.5．B【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．【详解】解：A、a2和2a3不是同类项，不能合并，故原题计算错误；B、a•a2=a3，故原题计算正确；C、a6÷a2=a4，故原题计算错误；D、（a2）3=a6，故原题计算错误；故选：B．【点睛】此题考查合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法和幂的乘方，解题关键是掌握计算法则．6．D【详解】解：∵DE∥BC，∴AD AE AB AC=，∵BD=3AD，∴13 AD AEBB EC==，∴AE:AC=1:4；故选D.7．B【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；【详解】在Rt△ABC中，AB=AC sinα，在Rt△ACD中，AD=AC sinβ，∴AB：AD=ACsinα：ACsinβ=sinsinβα，故选B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．8．B【分析】当顶点为（-2，3）时，函数的对称轴为x=-2，M的横坐标为-5，可求N的横坐标为1，由此可得MN的长度为6是定值，再由顶点为（1，3）时，M点横坐标为-2，即可确定N的横坐标最大值．【详解】解：当顶点为（-2，3）时，函数的对称轴为x=-2，∵M的横坐标为-5，∴N的横坐标为1，∴MN=6，当顶点为（1，3）时，M点横坐标为-2，∴N的横坐标为4；故选B．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；通过函数对称轴的性质，确定MN=6是解题的关键．9．a>2【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，得出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【详解】解：不等式组20360aa-<⎧⎨+>⎩①②，解①得：2a＞，解②得：a＞-2，∴原不等式组的解集为2a＞；故答案为：2a＞.【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法，其中一元一次不等式的解法步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，将x系数化为1，不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大去中间；大大小小无解．10．17【分析】根据根的判别式的内容求出即可．【详解】解：2x2-3x-1=0，△=（-3）2-4×2×（-1）=17，即一元二次方程2x2-3x-1=0根的判别式的值是17，故答案为：17．【点睛】此题考查根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解题的关键．11．60【解析】【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB 的度数．【详解】连接AB，根据题意得：OB=OA=AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°．故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OB=OA=AB．12．13k ≤≤【分析】根据正方形的性质求得A 、C 的坐标，分别代入y=kx 中，即可求得k 的取值，根据取值范围即可判断．【详解】∵正方形ABCD 的边长为1，点A （1，1），．∴B （2，1），D （1，2），当直线y=kx 经过点D 时，则2=k-1，k=3当直线y=kx 经过点B 时，则1=2k-1，解得k=1，∴若直线y=kx-1与正方形ABCD 的边有交点，则k 取值为：1≤k≤3，故答案为：1≤k≤3．【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象和系数的关系，正方形的性质，解题关键是求出点A 、C 的坐标，掌握正方形的性质．13．13【解析】【分析】如图3中，连接AH ．由题意可知在Rt △AEH 中，AE=AD=3，EH=EF-HF=3-2=1，根据AH=【详解】如图3中，连接AH ，由题意可知在Rt △AEH 中，AE=AD=3，EH=EF-HF=3-2=1，∴，【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．6【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义，得出a-b=4•OE，a-b=3•OF，再根据OF-OE=12，即可求出a-b的值．【详解】解：如图，由题意知：OE•BE=a①，OE•AE=-b②，①+②，得OE•BE+OE•AE=a-b，即a-b=4•OE，同理，可得a-b=3•OF，∴4OE=3OF，∴OE：OF=3：4，又∵OF-OE=12，∴OE=32，OF=2，∴a-b=6．故答案是：6．【点睛】此题考查反比例函数比例系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，利用数形结合是解题的关键．15．化简得12x-；求值得15-．【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则化简得出答案．【详解】原式=()()()()22 222244()(222)() x x x xx x x x x x x x x-+-++-÷=⨯++-=12 x-，当x=-3时，原式=15 -．【点睛】此题考查分式的化简求值，正确通分运算是解题关键．16．树状图见解析；12．【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出小红获胜的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中小红获胜的结果数为6，所以小红获胜的概率12 =．【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于掌握利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B 的概率．17．（1）图见解析；（2）图见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义画出图形即可．（2）根据直角三角形的定义画出图形即可．【详解】（1）△ABC即为所求．（2）Rt△DEF如图所示，取格点K，连接FK交DE于P，此时PF最短．【点睛】此题考查作图-应用与设计，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．18．1500立方米【分析】设一名环卫工人每小时清雪x立方米，则一台清雪机每小时清雪200x立方米．等量关系为：一台清雪机清理9000立方米的积雪所用时间=150名环卫工人清理这些积雪所用时间-2小时，依此列出方程，解方程即可．【详解】设一名环卫工人每小时清雪x立方米，则一台清雪机每小时清雪200x立方米．根据题意得：90009000 200150x x-2，解得：x=7.5，经检验x=7.5是原方程的解，当x=7.5时，200x=1500．答：一台清雪机每小时清雪1500立方米．【点睛】此题考查分式方程及一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系与不等关系是解题的关键．19．（1）证明见解析；（2）52．【分析】（1）要证AD是⊙O的切线，连接OA，只证∠DAO=90°即可．（2）根据三角函数的知识可求出AD，从而根据勾股定理求出AB的长，根据三角函数的知识即可得出⊙O的半径．【详解】（1）证明：连接OA；∵BC为⊙O的直径，BA平分∠CBF，AD⊥BF，∴∠ADB=∠BAC=90°，∠DBA=∠CBA；∵∠OAC=∠OCA，∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，∴DA为⊙O的切线．（2）解：∵BD=1，tan∠ABD=2，∴AD=2，∴=，∴cos∠；∵∠DBA=∠CBA，∴BC=ABcos CBA=∠=5．∴⊙O的半径为2.5．故答案为：2.5．【点睛】此题考查切线的判定，三角函数值，解题关键在于掌握要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．20．(1) 3.4棵、3棵；(2)70.【分析】（1）①由已知数据知3棵的有12人、4棵的有8人，据此补全图形可得；②根据平均数和众数的定义求解可得；（2）用总户数乘以样本中采用了网上预约义务植树这种方式的户数所占比例可得．【详解】解：（1）①由已知数据知3棵的有12人、4棵的有8人，补全图形如下：②这30户家庭2021年4月份义务植树数量的平均数是1223312485461 3.430⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（棵），众数为3棵， 故答案为：3.4棵、3棵；（2）估计该小区采用这种形式的家庭有73007030⨯=户， 故答案为：70．【点睛】此题考查条形统计图，加权平均数，众数，解题关键在于利用样本估计总体.21．（1）60；30；（2）(1101952.5 4.)5y x x =-≤≤；（3）3017小时． 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得货车的速度和当轿车到达乙地后，货车距乙地的距离；（2）根据函数图象中的数据可以求得轿车改变速度后y 与x 的函数关系式；（3）根据函数图象中的数据可以求得CD 段小轿车的速度，从而可以解答本题．【详解】解：（1）由图象可得，货车的速度为：300÷5=60km/h ， 当轿车到达乙地后，货车距乙地的距离为：60×（5-4.5）=30（千米），故答案为：60，30；（2）设轿车改变速度后y 与x 的函数关系式为y=kx+b ， 2.5804.5300k b k b +⎧⎨+⎩＝＝ ，得110195k b ⎧⎨-⎩＝＝，即轿车改变速度后y与x的函数关系式是y=110x-195（2.5≤x≤4.5）；（3）轿车CD段的速度为：（300-80）÷（4.5-2.5）=110km/h，设轿车从乙地出发后th时再次与货车相遇，（110+60）t=300，解得，t=3017，答：轿车从乙地出发后经过3017小时再次与货车相遇．【点睛】此题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．22．【问题探究】（1）72︒；（2）6AC=．【拓展应用】【分析】问题探究：（1）由平行线的性质得出∠ACE+∠BAC=180°，即可得出结果；（2）由平行线的性质得出∠E=∠BAD=72°，证出AC=AE，由平行线证明△ABD∽△ECD，求出AD=2；ED=4，ED=2，得出AC=AE=AD+ED=6；拓展应用：过点D作DF∥AB交AC于点F．证明△BAE∽△DFE，得出AB AE BEDF EF DE===2，得出AB=2DF，EF=12AE=1，AF=AE+EF=3，证出AC=AD，在Rt△ADF中，求出DF=AF×tan∠，得出AC=AB，在Rt△ABC中，求出即可．【详解】解：（1）∵CE∥AB，∴∠ACE+∠BAC=180°，∴∠ACE=180°-108°=72°；故答案为：72；（2）∵CE∥AB，∴∠E=∠BAD=72°，∴∠E=∠ACE，∴AC=AE，∵CE∥AB，∴△ABD∽△ECD，∴AD BD ED CD=，∵BD=2CD，∴ADED=2，∴AD=2ED=4，∴ED=2，∴AC=AE=AD+ED=4+2=6；拓展应用：解：如图3中，过点D作DF∥AB交AC于点F．∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，∵DF∥AB，∴∠DFA=∠BAC=90°，∵∠AEB=∠DEF，∴△BAE∽△DFE，∴AB AE BEDF EF DE===2，∴AB=2DF，EF=12AE=1，AF=AE+EF=3，∵∠BAD=120°，∴∠CAD=30°，∴∠ACD=75°=∠ADC，∴AC=AD，在Rt△ADF中，∵∠CAD=30°，∴DF=AF×tan∠，∴，∴AC=AB，在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，∴；故答案为：．【点睛】此题考查四边形综合题，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．23．（1）103t；（2）t=1211；（3）S=224912(0)2411123116(3)11t tt t t⎧≤⎪⎪⎨⎪-+-⎪⎩＜＜＜．S最大=4912；（4）t的值为1≤t≤65或2≤t＜3．【分析】（1）如图1中，作AH⊥EF于H，交PQ于J．解直角三角形求出JH，AJ即可解决问题．（2）如图2中，当点D在PF上时，根据BD=PB•cos∠B，构建方程即可解决问题．（3）分两种情形分别求解：①如图3中，当0＜t≤1211时，重叠部分是△PGQ，②如图4中，当1211＜t＜3时，重叠部分四边形PQDG．（4）分两种情形：①如图5中，作DH∥PE交AB于H，连接EH．由DH∥PE，推出S△PED=S△PEH，推出S△PDE：S△APE=S△PHE：S△APE=PH：PA=m，由此构建不等式即可解决问题．②如图6中，作DH∥PE交AB于H，连接EH．构建不等式即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，作AH⊥EF于H，交PQ于J．∵PQ∥BC，∴PQ PA BC AB=，∴5375tPQ=，∴PQ=73t，∵四边形PQEF是正方形，∴∠QPF=∠F=90°，∵AH⊥EF，∴∠FHJ=90°，∴四边形PFHJ是矩形，∴JH=PF=PQ=73t，在Rt△APJ中，AJ=PA•sin∠APJ=533•5t=t，∴AH=AJ+JH=t+73103t=t．（2）如图2中，当点D在PF上时，则有BD=PB•cos∠B，∵四边形PQDB是平行四边形，∴BD=PQ，∴（5-457•335t=）t，解得t=12 11．（3）①如图3中，当0＜t≤1211时，重叠部分是△PGQ，S=7349•••••3117223442PQ PG t t==t2．②如图4中，当1211＜t ＜3时，重叠部分四边形PQDG ，S=S 平行四边形PQDB -S △PBG =535354•5553535132357t t t t ----（）（）（） =-3t 2+11t-6． 综上所述，S=224912(0)2411123116(3)11t t t t t ⎧≤⎪⎪⎨⎪-+-⎪⎩＜＜＜ ． 第一种情况，当t=1211时，S 最大=294121．第二种情况，当t=116时，S 最大=4912． 综上，S 最大=4912． （4）①如图5中，作DH ∥PE 交AB 于H ，连接EH ．∵DH ∥PE ，∴S△PED=S△PEH，∴S△PDE：S△APE=S△PHE：S△APE=PH：PA=m，由题意易知：PE∥AC∥DH，∴BD：BC=BH：BA，∴73t：7=BH：5，∴BH=53 t，∴PH=5-53t-53t=5-103t．∴m=（5-103t）：53t，∵12≤m≤1时，∴12≤310553tt-≤1，解得：1≤t≤65．②如图6中，作DH∥PE交AB于H，连接EH．同法可得：∴52103315tt-≤≤1，解得：2≤t≤3．综上所述，满足条件的t 的值为1≤t≤65或2≤t ≤3． 【点睛】 此题考查相似三角形综合题，正方形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．24．（1）227133y x x ∴=-+-；（2）①1516或2548 ②（i ）0611x =或2或145- （ii ）max 1u =-，30＜2t ≤ 【分析】（1）将A 、B 、C 各点代入2y ax bx c =++得到三元一次方程组，解方程组即可求解；（2）①根据题意先求出抛物线M 3，再求M 3的顶点D 的坐标，分情况讨论：点D 在直线BC 上和x 轴上两种情况，列方程求解；②（i ）分三种情况：当012x ≤，0132x ≤＜，03x ＞时，根据相似三角形的判定和性质回答即可求解；（ii ）根据题意，结合图像回答即可．【详解】 解：（1）把()()1,03,00,12A B C ⎛⎫ ⎪-⎝⎭、、代入2y ax bx c =++得， 110420931a b c a b c c ⎧=++⎪⎪=++⎨⎪-=⎪⎩ ，解得23731a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩， 227133y x x ∴=-+-； （2）①（i ）设点(),x y 是抛物线3M 上任意一点，则(),x y 关于直线y m =的对称点(),2x m y -一定在抛物线2M 上，将点(),2x m y -代入抛物线2M ：227133y x x =-+-，得 2272133m y x x -=-+-， 整理，得2272133y x x m =-++， ∴抛物线2327:2133M y x x m =-++， ∴抛物线3M 的顶点坐标为：725,2424m ⎛⎫-⎪⎝⎭， ()()3,00,1B C -、，∴直线BC 为：113y x =-， 当点725,2424m ⎛⎫- ⎪⎝⎭在BC 上时，如图2517212434m -=⨯-， 解，得1548m =， 当点725,2424m ⎛⎫- ⎪⎝⎭x 轴上时，如图252024m -=， 解，得2548m =； 故m 的值为：1548m =或2548m =； ②过点P 作PT⊥x 轴于点T ，则△OCQ∽△TQP， OQ OC PT TQ= 当012x ≤时000122x x y -=-- ，整理，得2004x y =-， 又200027133y x x =-+-， 22000274133x x x ⎛⎫∴=--+- ⎪⎝⎭，解，得01x =，02x =（舍去）当0132x ≤＜时，由△OCQ∽△TQP 得，000212x y x -=整理，得2004x y =-， 又200027133y x x =-+ ， 22000274133x x x ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭， 解，得010262,11x x == ，当03x ＞时，由由△OCQ∽△TQP 得，000212x y x -=整理，得2004x y =-， 又200027133y x x =-+-， 22000274133x x x ⎛⎫∴=--+⎪⎝⎭， 解得， 01x =（舍去），02145x +=综上所述，0x 的值为0611x =或2（ii ）如图当0102x <<时，0y 有最小值，01y =- 当01724x <≤时，200027133y x x =-+， 当07732423x -=-=⨯时，0y 有最小值，02524y =- 25124∴->- 把01y =- 代入抛物线3M ：200027133y x x =-+，200271133x x -+=-， 解，得01023,22x x ==（不合题意，舍去） ∴u 的最大值为-1， 30＜2t ≤【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像和性质，点的坐标特征，轴对称，相似三角形的判定和性质及分类讨论思想，属于压轴题．。
2021年吉林省长春市东北师大附中明珠学校中考数学二模试卷 (含答案)
2021年东北师大附中明珠学校中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.最大的负整数是（）A．0B．1C．﹣1D．不存在2.“中国疫苗，助力全球战疫”，据中国外交部数据显示，中国已向53个提出要求的发展中国家提供了疫苗援助，并正在向20多个国家出口疫苗．预计2021年我国生产的新冠疫苗总产量将会超过20亿剂，必将为全球抗疫作出重大贡献．将数据“20亿”用科学记数法表示为（）A．2×108B．2×109C．2×1010D．20×1083.如图，点A，B是棱长为1的正方体的两个顶点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中A，B两点间的距离为（）A．2B．C．D．4.一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地60km，要在12：00之前驶过A地，车速应满足什么条件？设车速是xkm/h．根据题意可列不等式（）A．60＜x B．C．D．40x＜605.下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．四边形B．三角形C．五边形D．六边形6.要判断命题“有两个角是直角的圆内接四边形是矩形”是假命题，下列图形可作为反例的是（）A．B．C．D．7.如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（）A．（m2）B．（m2）C．1600sin a（m2）D．1600cosα（m2）8.如图，在平面直角坐标系中，关于坐标原点成中心对称的两点A、B均在函数y＝﹣的图象上，以AB为边向右作等边三角形ABC．若点C在函数y＝的图象上，则k的值为（）A．2B．3C．4D．6二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9.因式分解：5x2﹣2x＝．10.关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数m的值．（写出一个即可）11.如图，正六边形ABCDEF经过位似变换得到正六边形A'B'C'D'E'F'．若AB＝3，B'C'＝1，则正六边形A'B'C'D'E'F'和正六边形ABCDEF的面积比是．12.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝58°，AC＝18，点D为边AC的中点．以点B为圆心，BD为半径画圆弧，交边BC于点E，则图中阴影部分图形的面积为．13.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：①连接AB和BC；②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C；③以点O为圆心，OA为半径作⊙O；④分别作出AB和BC的垂直平分线，并且相交于点O．正确操作步骤的排列序号为．14.函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）图象上有两点（a，m），（2a+1，n）．若m＜n，则a的取值范围为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15.求值：﹣（﹣1）0+（﹣2）﹣3﹣9tan30°．16.甲和乙利用盒子里的三张卡片做游戏，卡片上分别写有A、A、B，这些卡片除了字母外完全相同，从中随机摸出一张卡片记下字母，放回盒子后充分搅匀，再从中随机摸出一张卡片记下字母．如果两次摸到的卡片字母相同则甲获胜，否则乙获胜．请用画树状图或列表的方法求甲获胜的概率．17.甲、乙两地相距50km，A骑自行车从甲地到乙地，出发3小时20分钟后，B骑摩托车也从甲地去乙地．已知B的速度是A的速度的3倍，结果两人同时到达乙地．求A、B两人的速度．18.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E在边AD上，且AE＝ED．过点E作EF⊥EO，交边AB于点F，过点O作OG∥EF，交边AB于点G．（1）求证：四边形OEFG是矩形．（2）若tan∠DAB＝，且四边形OEFG的面积为40，则AD的长为．19.图①、图②均是4x4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②中按要求．作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．要求：（1）在图①中的线段CD上找一点P，使AP+BP的值最小．（2）在图②中的线段CD．上找两点M、N，使MN＝1，且AM+NB的值最小．20.2021年2月28日国家统计局发布了《2020年国民经济和社会发展统计公报》，如图是公报中发布的全国“2016﹣2020年快递业务量及其增长速度”统计图．（1）2020年，全国快递业务量是亿件，比2019年增长了%．（2）2016﹣2020年，全国快递业务量增长速度的中位数是%．（3）小东看了统计图后说：“图中表示2017﹣2019年增长速度的折线呈下降趋势，说明2017﹣2019年全国快递业务量逐年减少．”小东的说法正确吗？请说明理由．（4）预计2021年全国快递业务量比2020年增长50%，则2021年的全国快递业务量为亿件．（保留小数点后一位）21.某天，甲组工人为灾区加工棉衣，工作中有一次停产检修机器，然后继续加工，由于任务紧急，乙组工人加入与甲组工人一起加工棉衣，甲停产前后各保持匀速生产，乙在工作时间内保持匀速生产，两组各自加工棉衣的数量y（件）与甲组工人加工时间x（小时）的函数图象如图所示．（1）求乙组加工棉衣的数量y与时间x之间的函数关系式；（2）直接写出甲组加工棉衣总量a的值．（3）如果要求x＝8时，加工棉衣的总数量为480件，求乙组工人应提前多长时间加工棉衣．22.[问题原型]有这样一道问题：如图①；在△ABC中，∠BCA＝2∠A，BD为边AC上的中线，且BC ＝AC．求证：△BCD为等边三角形．小聪同学的解决办法是：延长AC至点E，使CE ＝BC，如图②，利用二倍角的条件构造等腰三角形进而解决问题．[解决问题]请你利用小聪的办法解决此问题．[应用拓展]如图③，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB．若AB＝3，BC＝5，则AC的长为．23.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6；AC＝8，D为边BC的中点，E为边AC的中点．点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动，到点B停止，以PD、PE为边作▱PEFD．设点P的运动时间为t（秒）．（1）证明▱PEFD的面积是定值，并直接写出这个定值．（2）当▱PEFD是矩形时，求此时AP的长．（3）当▱PEFD的一条对角线和△ABC的一边垂直时，直接写出此时t的值．24.将函数y＝x2﹣ax+a（x≤a）的图象记为图象G．（1）设图象G最低点为M，求点M的坐标（用含a的式子表示）．（2）当图象G和x轴有且只有一个公共点时，直接写出a的取值范围．（3）矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，且边均垂直于坐标轴，其中点A的坐标为（2，1﹣a）．①当图象G在矩形ABCD内部（包括边界）对应的函数值y随x的增大而逐渐减小时，设此时图象G在矩形ABCD内部（包括边界）的最高点纵坐标和最低点纵坐标的差为l，求l与a之间的函数关系式．②当图象G和矩形ABCD的边有公共点时，设公共点为点P（当存在多个公共点时，设其中一个为P）．若直线AP将矩形ABCD分成两部分图形的面积比为1：5，直接写出此时点P的坐标．答案与解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.最大的负整数是（）A．0B．1C．﹣1D．不存在【分析】根据负整数的概念和有理数的大小进行判断．【解答】解：负整数是负数且是整数，即最大的负整数是﹣1．故选：C．2.“中国疫苗，助力全球战疫”，据中国外交部数据显示，中国已向53个提出要求的发展中国家提供了疫苗援助，并正在向20多个国家出口疫苗．预计2021年我国生产的新冠疫苗总产量将会超过20亿剂，必将为全球抗疫作出重大贡献．将数据“20亿”用科学记数法表示为（）A．2×108B．2×109C．2×1010D．20×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：20亿＝2000000000＝2×109，故选：B．3.如图，点A，B是棱长为1的正方体的两个顶点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中A，B两点间的距离为（）A．2B．C．D．【分析】连接AB，根据Rt△ABC和勾股定理可得出AB两点间的距离．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，可得：AB＝，故选：B．4.一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地60km，要在12：00之前驶过A地，车速应满足什么条件？设车速是xkm/h．根据题意可列不等式（）A．60＜x B．C．D．40x＜60【分析】根据题意得出行驶的时间，利用总路程÷总时间＝平均速度进而得出答案．【解答】解：由题意可得：11：20到12：00是小时，则x＞，即60＜x．故选：A．5.下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．四边形B．三角形C．五边形D．六边形【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得（n﹣2）•180°＝360°，解得n＝4．故选：A．6.要判断命题“有两个角是直角的圆内接四边形是矩形”是假命题，下列图形可作为反例的是（）A．B．C．D．【分析】根据矩形的性质举出反例即可得出答案．【解答】解：如图D所示，有两个角是直角的圆内接四边形不一定是矩形，故选：D．7.如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（）A．（m2）B．（m2）C．1600sin a（m2）D．1600cosα（m2）【分析】依题意四边形为菱形，α的对边AC即为菱形的高，等于40米，菱形边长可利用正弦解出，得出高和底，运用面积公式可解．【解答】解：如图，α的对边AC即为路宽40米，即sinα＝，即斜边＝，又∵这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）是菱形，∴路面面积＝底边×高＝×40＝．故选：A．8.如图，在平面直角坐标系中，关于坐标原点成中心对称的两点A、B均在函数y＝﹣的图象上，以AB为边向右作等边三角形ABC．若点C在函数y＝的图象上，则k的值为（）A．2B．3C．4D．6．【答案】D【分析】连接CO，作AD⊥x轴，CE⊥x轴于点D，E，通过一线三直角模型可得△ADO ∽△OEC，从而通过面积比等于相似比平方求出△OEC的面积而求出k．【解答】解：连接CO，作AD⊥x轴，CE⊥x轴于点D，E，∵A、B关于原点成中心对称，△ABC为等边三角形，∴AO＝BO，CO⊥AB，CO平分∠ACB，∴∠AOD+∠COE＝90°，∵∠AOD+∠OAD＝90°，∴∠COE＝∠OAD，又∵∠ADO＝∠CEO＝90°，∴△ADO∽△OEC，∵∠ACO＝ACB＝30°，∴tan∠ACO＝＝，∴S△ADO：S△OEC＝（）2＝．∵点A在函数y＝﹣的图象上，∴S△ADO＝＝1，∴S△OEC＝＝3S△ADO＝3，∴k＝6．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9.因式分解：5x2﹣2x＝．【分析】提取公因式x即可得．【解答】解：5x2﹣2x＝x（5x﹣2），故答案为：x（5x﹣2）．10.关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数m的值．（写出一个即可）【分析】先根据判别式的意义得到△＝（﹣1）2﹣4m＞0，解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即可．【解答】解：根据题意得△＝（﹣1）2﹣4m＞0，解得m＜，所以当m取0时，方程有两个不相等的实数根．故答案为0．11.如图，正六边形ABCDEF经过位似变换得到正六边形A'B'C'D'E'F'．若AB＝3，B'C'＝1，则正六边形A'B'C'D'E'F'和正六边形ABCDEF的面积比是．【分析】利用相似多边形的性质即可解决问题．【解答】解：∵正六边形ABCDEF是由正六边形A′B′C′D′E′F′经过位似变换得到的，∴正六边形ABCDEF∽正六边形A′B′C′D′E′F′，∴正六边形A′B′C′D′E′F′和正六边形ABCDEF的面积比＝（）2＝1：9．故答案为：1：9．12.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝58°，AC＝18，点D为边AC的中点．以点B为圆心，BD为半径画圆弧，交边BC于点E，则图中阴影部分图形的面积为．【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到BD＝CD＝9，则∠DBC＝∠C＝22°，然后根据扇形的面积公式计算．【解答】解：∵∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，∴BD＝CD＝AC＝9，∴∠DBC＝∠C，∵∠C＝90°﹣∠A＝90°﹣58°＝32°，∴∠DBE＝32°，∴图中阴影部分图形的面积＝＝π．故答案为π．13.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：①连接AB和BC；②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C；③以点O为圆心，OA为半径作⊙O；④分别作出AB和BC的垂直平分线，并且相交于点O．正确操作步骤的排列序号为．【分析】根据垂径定理解决问题即可．【解答】解：正确操作步骤的排列序号为：②①④③．故答案为：②①④③．14.函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）图象上有两点（a，m），（2a+1，n）．若m＜n，则a的取值范围为．【分析】由m＜n，图象开口向上可判断点点（a，m）到对称轴的距离小于点（2a+1，n）到对称轴的距离，分类讨论a＜1与a≥1求解．【解答】解：函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴为直线x＝1，图象开口向上，∵m＜n，∴点（a，m）到对称轴的距离小于点（2a+1，n）到对称轴的距离，当0＜a≤1时，1﹣a＜2a+1﹣1满足题意，解得a＞，当a≥1时，2a+1＞a≥1恒成立，∴a≥1满足条件．故答案为：a＞．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15.求值：﹣（﹣1）0+（﹣2）﹣3﹣9tan30°．【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：﹣（﹣1）0+（﹣2）﹣3﹣9tan30°＝3﹣1﹣﹣9×＝3﹣﹣3＝﹣．16.甲和乙利用盒子里的三张卡片做游戏，卡片上分别写有A、A、B，这些卡片除了字母外完全相同，从中随机摸出一张卡片记下字母，放回盒子后充分搅匀，再从中随机摸出一张卡片记下字母．如果两次摸到的卡片字母相同则甲获胜，否则乙获胜．请用画树状图或列表的方法求甲获胜的概率．【分析】根据题意列出图表得出所有出现的可能性，再计算出甲获胜的概率．【解答】解：两次摸出卡片所有可能出现的结果如下表所示：A A BA（A，A）（A，A）（A，B）A（A，A）（A，A）（A，B）B（B，A）（B，A）（B，B）两次摸卡片的所有可能出现的结果有9个，且每个结果发生的可能性都相等，其中出现“两次摸到的卡片字母相同”的结果有5个，“两次摸到的卡片字母不相同”的结果有4个，∴甲获胜的概率为．17.甲、乙两地相距50km，A骑自行车从甲地到乙地，出发3小时20分钟后，B骑摩托车也从甲地去乙地．已知B的速度是A的速度的3倍，结果两人同时到达乙地．求A、B两人的速度．【分析】本题中有两个相等关系：“B的速度是A的速度的3倍”以及“B比A少用3小时20分钟”；根据等量关系可列方程．【解答】解：设A的速度为xkm/时，则B的速度为3xkm/时．根据题意得方程：．解得：x＝10．经检验：x＝10是原方程的根．∴3x＝30．答：A，B两人的速度分别为10km/时、30km/时．18.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E在边AD上，且AE＝ED．过点E作EF⊥EO，交边AB于点F，过点O作OG∥EF，交边AB于点G．（1）求证：四边形OEFG是矩形．（2）若tan∠DAB＝，且四边形OEFG的面积为40，则AD的长为．【分析】（1）由是菱形的性质推出∠OAD＝∠OAB，AC⊥BD，由直角三角形斜边中线的性质得到OE＝AE，根据等腰三角形的性质得到∠OAE＝∠AOE，进而推出∠AOE＝∠OAB，根据平行线的性质得到OE∥FG，由平行四边形的判定得到四边形OEFG是平行四边形，即可证得四边形OEFG是矩形；（2）设EF＝4x，AF＝3x，由勾股定理得AE＝5x，可得OE＝AE＝5x，由矩形的面积可求得x，进而可求得AD．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠OAD＝∠OAB，AC⊥BD，∵AE＝ED．∴OE＝AE＝AD，∴∠OAE＝∠AOE，∴∠AOE＝∠OAB，∴OE∥AB，∴OE∥FG，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥EO，∴∠OEF﹣90°，∴四边形OEFG是矩形；（2）解：∵四边形OEFG是矩形，∴∠AFE＝∠EFG＝90°，∴tan∠DAB＝＝，设EF＝4x，AF＝3x，由勾股定理得AE＝5x，由（1）知OE＝AE＝5x，∵矩形OEFG的面积为40，∴OE•EF＝40，∴5x•4x＝40，∴x＝，∴AD＝2AE＝2×5x＝10，故答案为：10．19.图①、图②均是4x4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②中按要求．作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．要求：（1）在图①中的线段CD上找一点P，使AP+BP的值最小．（2）在图②中的线段CD．上找两点M、N，使MN＝1，且AM+NB的值最小．【分析】（1）作点A关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD于点P，连接P A，点P即为所求作．（2）取格点E，使得AE＝1，AE∥CD，作点E关于CD的对称点E′，连接E′B交CD于N，作MN＝1，连接AM，即可．【解答】解：（1）如图，点P即为所求作．（2）如图，点M，N即为所求作．20.2021年2月28日国家统计局发布了《2020年国民经济和社会发展统计公报》，如图是公报中发布的全国“2016﹣2020年快递业务量及其增长速度”统计图．（1）2020年，全国快递业务量是亿件，比2019年增长了%．（2）2016﹣2020年，全国快递业务量增长速度的中位数是%．（3）小东看了统计图后说：“图中表示2017﹣2019年增长速度的折线呈下降趋势，说明2017﹣2019年全国快递业务量逐年减少．”小东的说法正确吗？请说明理由．（4）预计2021年全国快递业务量比2020年增长50%，则2021年的全国快递业务量为亿件．（保留小数点后一位）【分析】（1）由统计图中的信息即可得到结论；（2）由统计图中的信息即可得到结论；（3）根据统计图中的信息即可得到结论；（4）根据题意列式计算即可．【解答】解：（1）由题中的统计图可得：2020年，全国快递业务量是833.6亿件，比2019年增长了31.2%；故答案为：833.6；31.2；（2）由题中的统计图可得：2016﹣2020年，全国快递业务量增长速度的中位数是28.0%；故答案为：28.0%；（3）不正确，理由：由图中的信息可得，2017﹣2019年全国快递业务量增长速度逐年放缓，但是快递业务量却逐年增加；（4）833.6×（1+50%）＝1250.4（亿件），∴2021年的快递业务量为1250.4亿件．故答案为：1250.4．21.某天，甲组工人为灾区加工棉衣，工作中有一次停产检修机器，然后继续加工，由于任务紧急，乙组工人加入与甲组工人一起加工棉衣，甲停产前后各保持匀速生产，乙在工作时间内保持匀速生产，两组各自加工棉衣的数量y（件）与甲组工人加工时间x（小时）的函数图象如图所示．（1）求乙组加工棉衣的数量y与时间x之间的函数关系式；（2）直接写出甲组加工棉衣总量a的值．（3）如果要求x＝8时，加工棉衣的总数量为480件，求乙组工人应提前多长时间加工棉衣．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）求出4≤x≤8时，甲组加工棉衣的数量y与时间x之间的函数关系式，把x＝8代入函数的解析式即可得到结论；（3）根据题意列算式即可得到结论．【解答】解：（1）设y乙＝kx+b（k≠0），将（4.5，0），（8，252）代入得：，解得，∴y乙＝72x﹣324；（2）把x＝7代入y乙＝72x﹣324，得y乙＝72×7﹣324＝180，当4≤x≤8时，设甲组加工棉衣的数量y与时间x之间的函数关系式为y甲＝mx+n，将（7，180），（4，90）代入得：，解得，∴y甲＝30x﹣30（4≤x≤8），将x＝8代入，得y甲＝30×8﹣30＝210，即a＝210；（3）由图象可知，乙组工人加工252件棉衣所用时间为：8﹣4.5＝3.5（小时），∴乙的加工速度为：252÷3.5＝72（件/小时），∵480﹣210＝270（件），270÷72＝3.75（小时），∴3.75﹣3.5＝0.25（小时），即乙组工人应提前0.25小时加工棉衣．22.[问题原型]有这样一道问题：如图①；在△ABC中，∠BCA＝2∠A，BD为边AC上的中线，且BC ＝AC．求证：△BCD为等边三角形．小聪同学的解决办法是：延长AC至点E，使CE ＝BC，如图②，利用二倍角的条件构造等腰三角形进而解决问题．[解决问题]请你利用小聪的办法解决此问题．[应用拓展]如图③，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB．若AB＝3，BC＝5，则AC的长为．【分析】（1）延长AC至点E，使CE＝BC，连接BE，根据BD为边AC上的中线，且BC＝AC，可得出AD＝CD＝BC，再由∠BCA＝2∠A，可得∠A＝∠E，AB＝BE，即可证明△BAC和△BED，进而可证得结论；（2）延长CB至F，使BF＝AB，连接AF，过点A作AG⊥BC于点G，根据∠ABC＝2∠ACB，可得出∠F＝∠ACB，AF＝AC，再应用等腰三角形性质及勾股定理即可．【解答】解：（1）如图②，延长AC至点E，使CE＝BC，连接BE，∵BD为边AC上的中线，∴AD＝CD＝AC，∵BC＝AC，∴AD＝CD＝BC，∵BC＝CE，∴∠E＝∠CBE，AC＝DE，∵∠BCA＝∠E+∠CBE，∴∠BCA＝2∠E，∵∠BCA＝2∠A，∴∠A＝∠E，∴AB＝BE，在△BAC和△BED中，，∴△BAC≌△BED（SAS），∴BD＝BC，∵BC＝CD，∴BD＝BC＝CD，∴△BCD为等边三角形．（2）如图③，延长CB至F，使BF＝AB，连接AF，过点A作AG⊥BC于点G，∵BF＝AB＝3，BC＝5，∴∠F＝∠BAF，∵∠ABC＝∠F+∠BAF，∴∠ABC＝2∠F，∵∠ABC＝2∠ACB，∴∠F＝∠ACB，∴AF＝AC，∵AG⊥BC，∴CG＝FG＝（BC+BF）＝4，∴BG＝BC﹣CG＝1，∴AG＝＝＝2，∴AC＝＝＝2．23.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6；AC＝8，D为边BC的中点，E为边AC的中点．点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动，到点B停止，以PD、PE为边作▱PEFD．设点P的运动时间为t（秒）．（1）证明▱PEFD的面积是定值，并直接写出这个定值．（2）当▱PEFD是矩形时，求此时AP的长．（3）当▱PEFD的一条对角线和△ABC的一边垂直时，直接写出此时t的值．【分析】（1）连接DE，作EG垂直于AB与点G，分别求出GE，DE长度求解．（2）构造一线三垂直相似模型，由相似比及含t代数式求解．（3）分类讨论PF垂直于三边三种情况，通过解直角三角形求解．【解答】解：（1）连接DE，作EG垂直于AB与点G，由勾股定理得AB＝＝10，∵点D、E为BC、AC中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝5，AE＝AC＝4，∵sin A＝＝，∴GE＝AE＝，∴S△DEP＝DE•EG＝×5×＝6，∴▱PEFD的面积为2S△DEP＝2×6＝12．（2）①如图，当点P为AB中点时，PD，PE分别为△ABC的中位线，PD⊥PE，∴▱PDEF为矩形，∴AP＝AB＝5．②如图，当∠DPE为直角时，作EG、DH垂直于AB于点G、H，∵∠DPH+∠EPG＝90°，∠DPH+∠HDP＝90°，∴△EGP∽△PHD，∴＝，∵D为BC中点，∴BD＝BC＝3，∵tan A＝＝＝，∴AG＝GE＝，∵sin B＝＝＝，tan B＝＝＝，∴HD＝BD＝，BH＝HD＝，∴GP＝AP﹣AG＝5t﹣，PH＝AH﹣AP＝AB﹣BH﹣AP＝10﹣﹣5t＝﹣5t．∴＝，解得t＝或t＝1（舍），∴AP＝5t＝．综上所述，AP＝5或．（3）①当PF⊥AB时，PF⊥DE，∴四边形PDFE为菱形，∴PD2＝PE2，∴PH2+HD2＝PG2+GE2，即（﹣5t）2+（）2＝（5t﹣）2+（）2，∴﹣5t＝5t﹣，解得t＝．②当PF⊥BC时，PF交DE于点O，交CD于点K，∵O为DE中点，OK∥EC，∴OK为△EDC的中位线，∴DK＝CD＝3，∵BK＝BP＝6﹣3t，∴DK＝6﹣3t﹣3＝3﹣3t，∴3＝3﹣3t，解得t＝．③当PF⊥AC时，交AC于点M，同理可得M为EC中点，∴AM＝AE+EC＝AC＝6，∴AP＝AM＝，∴5t＝，解得t＝．综上所述，t＝或或．24.将函数y＝x2﹣ax+a（x≤a）的图象记为图象G．（1）设图象G最低点为M，求点M的坐标（用含a的式子表示）．（2）当图象G和x轴有且只有一个公共点时，直接写出a的取值范围．（3）矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，且边均垂直于坐标轴，其中点A的坐标为（2，1﹣a）．①当图象G在矩形ABCD内部（包括边界）对应的函数值y随x的增大而逐渐减小时，设此时图象G在矩形ABCD内部（包括边界）的最高点纵坐标和最低点纵坐标的差为l，求l与a之间的函数关系式．②当图象G和矩形ABCD的边有公共点时，设公共点为点P（当存在多个公共点时，设其中一个为P）．若直线AP将矩形ABCD分成两部分图形的面积比为1：5，直接写出此时点P的坐标．【分析】（1）分类讨论图象最低点为顶点或抛物线与直线x＝a的交点两种情况．（2）分类讨论完整抛物线与x轴有一个交点和两个交点的情况求解．（3）利用数形结合方法，分类讨论抛物线顶点在矩形内部与外部两种情况．（4）由AP将矩形面积分为1：5两部分可得点P将矩形边长分为1：2两部分，然后分类讨论点A在x轴上方与点A在x轴下方两种情况．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣ax+a＝（x﹣）2﹣+a（x≤a），∴当≤a时，最低点为图象顶点，即a≥0时，点M坐标为（，﹣+a），当＞a时，a＜0，最低点为抛物线与直线x＝a的交点M（a，a）．（2）当抛物线y＝x2﹣ax+a＝（x﹣）2﹣+a与x轴有两个交点时，﹣+a＜0，解得a＜0或a＞4，当a＜0时，抛物线与直线x＝a交点（a，a）在x轴下方满足题意，当a＞4时，抛物线与直线x＝a交点（a，a）在x轴上方不满足题意．∴a＜0．当抛物线与x轴有一个交点时，﹣+a＝0，解得a＝0或a＝4，抛物线与直线x＝a交点（a，a）在x轴上或x轴上方，满足题意．综上所述，a≤0或a＝4．（3）①抛物线y＝x2﹣ax+a经过定点（1，1），点A坐标为（2，1﹣a），点B坐标为（2，a﹣1），当a≥0时，直线x＝a在顶点右侧，当图象G在矩形内部对应的函数值y随x的增大而逐渐减小时，≥x A，即2，解得a≥4，∴a﹣1≥3满足题意．∴图象与矩形最高点纵坐标为y B＝a﹣1，最低点纵坐标为抛物线与直线x＝2交点纵坐标，y＝4﹣a，∴l＝a﹣1﹣（4﹣a）＝2a﹣5．当﹣2＜a≤时，﹣2＜a≤0满足题意，此时图象最低点为（a，a）抛物线与直线x＝﹣2交点为（﹣2，3a+4）当3a+4≥1﹣a时，a≥﹣，此时抛物线与矩形交点最高点纵坐标为1﹣a，∴l＝1﹣a﹣a＝1﹣2a．当3a+4＜1﹣a时，a＜﹣，抛物线与矩形交点最高点纵坐标为3a+4，∴l＝3a+4﹣a＝2a+4．综上所述，l＝．（4）当点P将正方形边长分成1：2两部分时满足题意，如图，当DP：PC＝1：2时，＝＝，解得a＝﹣，∴3a+4＝，∴点P坐标为（﹣2，）．当点P将BC分成1：2两部分时，＝，∵BC＝4，∴BP＝，∵2﹣＝，∴点P坐标为（，a﹣1），将（，a﹣1）代入解析式得：a﹣1＝﹣a+a，解得a＝，∴点P坐标为（，）．综上所述，点P坐标为（﹣2，）或（，）．。
2021年吉林省长春市九年级中考数学模拟冲刺试卷(二)
2021年吉林省长春市数学模拟冲刺试卷（二）一．选择题（满分24分，每小题3分）1．下列说法正确的是（）A．整数就是正整数和负整数B．负整数的相反数就是非负整数C．有理数中不是负数就是正数D．零是自然数，但不是正整数2．据统计，某城市去年接待旅游人数约为89 000 000人，89 000 000这个数据用科学记数法表示为（）A．8.9×106B．8.9×105C．8.9×107D．8.9×1083．图1为一个长方体，AD＝AB＝10，AE＝6，M，N为所在棱的中点，图2为图1的表面展开图，则图2中MN的长度为（）A．11B．10C．10 D．84．语句“x的与x的差不超过3”可以表示为（）A．B．C．D．5．若一个正多边形的每一个外角都等于40°，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．106．下列命题中，真命题是（）A．内含两圆的圆心距大于零B．没有公共点的两圆叫两圆外离C．联结相切两圆圆心的线段必经过切点D．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称7．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝（）A．7海里B．14海里C．3.5海里D．4海里8．已知点P（2，m）在反比例函数y＝﹣的图象上，则点P关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（1，﹣2）C．（2，﹣1）D．（2，1）二．填空题（满分18分，每小题3分）9．一个长方形的长为a，宽为b，面积为8，且满足a2b+ab2＝48，则长方形的周长为．10．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有不相等实数根，则k的取值范围是．11．如图，正六边形ABCDEF是由正六边形A′B′C′D′E′F′经过位似变换得到的，已知AB＝3，B′C′＝1，则正六边形A′B′C′D′E′F′和正六边形ABCDEF的面积比是．12．如图，在△ABC中，AB＝CB＝6cm，∠ABC＝90°，以AC的中点O为圆心，OB为半径作半圆．若∠MON＝90°，OM与ON分别交半圆于点E、F，则图中阴影部分的面积是．13．考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出圆心．（1）请利用尺规作图确定这块残片的圆心O ；（2）写出作图的依据： ．14．对于一个函数，当自变量x 取n 时，函数值y 等于2﹣n ，我们称n 为这个函数的“二合点”，如果二次函数y ＝ax 2+x ﹣1有两个相异的二合点x 1，x 2，且x 1＜x 2＜1，则a 的取值范围是 ．三．解答题（共10小题，满分78分）15．（6分）计算：|1﹣2cos30°|+﹣（﹣）﹣1﹣（5﹣π）016．（6分）有四张正面分别写有数字：20，15，10，5的卡片，背面完全相同，将卡片洗匀后背面朝上放在桌面上，小明先随机抽取一张，记下牌面上的数字（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张，记下牌面上的数字．如果卡片上的数字分别对应价值为20元，15元，10元，5元的四件奖品，请用列表或画树状图法求小明两次所获奖品总值不低于30元的概率？17．（6分）学校在假期内对教室内的黑板进行整修，需在规定日期内完成．如果由甲工程小组做，恰好按期完成；如果由乙工程小组做，则要超过规定日期3天．结果两队合作了2天，余下部分由乙组独做，正好在规定日期内完成，问规定日期是几天？18．（7分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AE ⊥BC 交CB 延长线于E ，CF ∥AE 交AD 延长线于点F ．（1）求证：四边形AECF 为矩形；（2）连接OE ，若AE ＝4，AD ＝5，求tan ∠OEC 的值．19．（7分）在△ABC 中，点P 是平面内任意一点（不同于A 、B 、C ），若点P 与A 、B 、C 中的某两点的连线的夹角为直角时，则称点P 为△ABC 的一个勾股点（1）如图1，若点P是△ABC内一点，∠A＝55°，∠ABP＝10°，∠ACP＝25°，试说明点P是△ABC的一个勾股点；（2）如图2，等腰△ABC的顶点都在格点上，点D是BC的中点，点P在直线AD上，请在图中标出使得点P是△ABC的勾股点时，点P的位置；（3）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16，点D是AB的中点，点P在射线CD 上．若点P是△ABC的勾股点，请求出CP的长．20．（7分）为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园．某初中学校组织全校1200名学生参加了“垃圾分类知识竞赛”，为了解学生的答题情况，学校考虑采用简单随机抽样的方法抽取部分学生的成绩进行调查分析．（1）学校设计了以下三种抽样调查方案：方案一：从初一、初二、初三年级中指定部分学生成绩作为样本进行调查分析；方案二：从初一、初二年级中随机抽取部分男生成绩及在初三年级中随机抽取部分女生成绩进行调查分析；方案三：从三个年级全体学生中随机抽取部分学生成绩进行调查分析．其中抽取的样本具有代表性的方案是．（填“方案一”、“方案二”或“方案三”）（2）学校根据样本数据，绘制成下表（90分及以上为“优秀”，60分及以上为“及格”）：样本容量平均分及格率优秀率最高分最低分100 93.5 100% 70% 100 80分数段统计（学生成绩记为x）分数段0≤x＜80 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100 频数0 5 25 30 40 请结合表中信息解答下列问题：①估计该校1200名学生竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内；②估计该校1200名学生中达到“优秀”的学生总人数．21．（8分）甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑电动车，甲到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地的距离y（千米）与经过时间x（小时）之间的函数关系图象．（1）甲从B地返回A地的过程中，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）若乙出发后108分钟和甲相遇，求乙从A地到B地用了多少分钟？（3）甲与乙同时出发后，直接写出经过多长时间他们相距20千米？22．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB，∠EDF＝60°，其两边分别交AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）若DG＝2，求AC的长；（3）求证：AB＝AE+AF．23．（10分）如图1，在▱CDEF中，DE＝2EF，∠C＝60°，A，B分别为DE，CF中点，将四边形ABFE绕点A逆时针旋转得到图2，连接CF，取CF中点M，连接GM，BM．（1）求证：AD＝AB；（2）试猜想∠GAB、∠GFC、∠BCF之间的数量关系，并说明理由；（3）求证：G、M、D三点共线．24．（12分）已知函数y＝（m为常数且m≠0），其图象记为G．（1）当x＝1时，求y的值；（2）若m＜0，当G与x轴恰好有两个公共点时，求m的值；（3）若m＝2，图象G在n﹣1≤x≤n上最低点的纵坐标为时，求n的值；（4）当图象G恰有3个点与直线y＝m的距离是时，直接写出m的取值范围．。
吉林省2021-2022年数学中考二模试卷(I)卷
吉林省2021-2022年数学中考二模试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）计算：-1-(-1)0的结果正确的是（）A . 0B . 1C . 2D . -22. （2分）(2017·南通) 如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（）A .B .C .D .3. （2分）(2019·西安模拟) 一副直角三角板如图放置，其中∠C＝∠DFE＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点F在CB的延长线上.若DE∥CF，则∠BDF等于（）A . 35°B . 30°C . 25°D . 15°4. （2分） (2020八上·西安月考) 已知正比例函数y=kx的图象经过点P（-1，2），则k的值是（）A . 2B .C .D .5. （2分） (2017八下·临泽期末) 已知两个不等式的解集在数轴上如右图表示，那么这个解集为（）A . x≥－1B . x>1C . －3<x≤－1D . x>－36. （2分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A . 600mB . 500mC . 400mD . 300m7. （2分）(2017·呼和浩特) 一次函数y=kx+b满足kb＞0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限8. （2分）(2011·淮安) 在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（）A . 5cmB . 15cmC . 20cmD . 25cm9. （2分） (2020九上·港南期末) 如图，点A，B，C在圆O上，若∠BOC＝72°，则∠BAC的度数是（）．A . 72°B . 54°C . 36°D . 18°10. （2分）将抛物线y=3x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)11. （1分） (2020七上·义乌期中) 比较大小：-31- ；12. （2分） (2020九上·北仑期末) 如图，分别以正五边形 ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径作，，若AB=1，则阴影部分图形的周长是1 。
吉林市2021年中考数学模拟试卷(II)卷
吉林市2021年中考数学模拟试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）下列四个几何体中，左视图为圆的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2016八下·安庆期中) 若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A . 2005B . 2003C . ﹣2005D . 40103. （2分）当x为何值时，函数y= x+1的值为0？（）A . 2B . ±2C . -2D . 14. （2分）(2017·江东模拟) 下列命题中，真命题是（）A . 周长相等的锐角三角形都全等B . 周长相等的等腰直角三角形都全等C . 周长相等的钝角三角形都全等D . 周长相等的直角三角形都全等5. （2分）如图，AB∥EF∥CD，BC、AD相交于点O，F是AD的中点，则下列结论中错误的是（）A . =B .C .D .6. （2分） (2017·灌南模拟) 如图，AB是半圆O直径，半径OC⊥AB，连接AC，∠CAB的平分线AD分别交OC于点E，交于点D，连接CD、OD，以下三个结论：①AC∥OD；②AC=2CD；③线段CD是CE与CO的比例中项，其中所有正确结论的序号是（）A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③7. （2分）如图，点A、B分别在反比例函数y=图象的两支上，连接AB交x轴于点C，交y轴于点D，则AD与BC的大小关系为（）A . AD＞BCB . AD=BCC . AD＜BCD . 无法判断8. （2分） (2019七下·新罗期末) 下列调查适合全面调查的是（）A . 调查中学生的课外阅读情况B . 审核书稿中的错别字C . 调查某市七年级男生身高情况D . 调查某种型号灯泡的使用寿命9. （2分）(2019·博罗模拟) 如图，已知A ， B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x 轴，交y轴于点C ，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C ，过P作PM⊥x轴，垂足为M ．设三角形OMP的面积为S ， P点运动时间为t ，则S关于t的函数图象大致为（）A .B .C .D .10. （2分）“十一”节期间，某商品按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为240元．设该商品的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（）A . x•30%•80%=240B . x•（1+30%）•80%=240C . x•（1+30%）•（1﹣80%）=240D . x•30%=240•80%11. （2分）如图，△ABC是一张顶角为120°的三角形纸片，AB=AC，BC=12，现将△ABC折叠，使点B与点A 重合，折痕为DE，则DE的长为（）A . 1B . 2C . 2D . 312. （2分）(2018·北部湾模拟) 正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为（）A . 1∶B . ∶2C . 2:D . ∶113. （2分）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为（）A . 3B . 2C . 2D . 214. （2分）如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为（3，4），则tanα的值是（）A .B .C .D .15. （2分）已知二次函数y=x2+bx+3如图所示，那么函数y=x2+（b﹣1）x+3的图象可能是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共6分)16. （2分） (2017九上·梅江月考) 一元二次方程的一次项系数是________，常数项是________.17. （1分）(2019·东阳模拟) 如图，在边长为6的菱形ABCD中，分别以各顶点为圆心，以边长的一半为半径，在菱形内作四条圆弧，则图中阴影部分的周长是________．（结果保留π）18. （1分） (2019九上·沙河口期末) 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，若点A、B、C都在格点上，则tan∠BAC的值是________.19. （1分）(2019·绥化) 用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面,若这个圆锥的底面半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长为 ________ 。
2021年吉林省长春市南关区九年级中考二模数学试题
2021年吉林省长春市南关区九年级中考二模数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．实数a b c d 、、、在数轴上对应点的位置如图所示，则绝对值最大的实数是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．d 2．科学家在海底发现了世界上最小的生物，它们的最小身长只有0.000000019m ．将0.000000019这个数用科学记数法表示为（ ）A ．70.1910-⨯B ．81.910-⨯C ．91.910-⨯D ．101910-⨯ 3．不等式125x -<-的解集为 （ ）A ．3x <-B ．3x <C ．3x >-D ．3x > 4．下列图形中，是正方体表面展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．若正多边形的一个外角是72，则该正多边形的内角和为（ ）A ．360B ．540C ．720D ．900 6．2021年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道.如图，火箭从地面P 处发射，当火箭达到A 点时，从位于地面Q 处雷达站测得的距离是9千米，仰角AQP ∠为,a 则发射台P 与雷达站Q 之间的距是（ ）A ．9sina 千米B ．9cosa 千米C ．9sin a 千米D ．9cos a 千米 7．如图，菱形ABCD 的对角线AC BD 、相交于点,O 按下列步骤作图：①以点A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AO AB 、于点M N 、；②以点O 为圆心，AM 长为半径作弧，交OC 于点1M ；③点1M 为圆心，MN 以长为半径作弧，在COB ∠内部交②中所作的圆弧于点1N ；④过点1N 作射线1ON 交BC 于点E ．8,6AC BD ==，四边形DOEC 的面积为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．128．如图，在平面直角坐标系中，点A C 、在反比例函数a y x =的图象上，点B D 、在反比例函数b y x=的图象上，0, ////a b AB CD x >>轴，AB CD 、在x 轴的两侧，2,2AB CD AB ==,与CD 间的距离为6，则-a b 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题 9．因式分解：22ma ma m -+=_____．10．关于x 的一元二次方程210x x k +--=有实数根，则k 的取值范围为_____． 11．将一块含有60角的三角板如图放置，三角板60角的顶点C 落在以AB 为直径的半圆上，斜边恰好经过点B ，条直角边与半圆交于点D ，若4AB =，弧BD 的长为_____．(结果保留π)12．小华家客厅有一张直径为1.2,m 高为0.8m 的圆桌,AB 有一盏灯E 到地面垂直距离EF 为2,m 圆桌的影子为,2CD FC =，则点D 到点F 的距离为_______．13．用等分圆的方法，在半径为OA 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若1,OA =则四叶幸运草的周长是______．(结果保留π)14．如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4.4m 处跳起投篮，球沿条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.4m 时，达到最大高度4,m 然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面的高度为3,m 则这位运动员投跳时，球出手处距离地面的高度h 为______m ．三、解答题15．先化简，再求值：()()2412x x x ---，其中x =16．某高校利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动.现有四名自愿献血者，经过检测，2人为O 型，1人为A 型，1人为B 型．若在四人中随机挑选2人，用画树状图(或列表)的方法，求两人血型均为O 型的概率．17．在“抗疫”期间，为了弥补物质短缺的需求，国家投入人力和财力研制出新型口罩机．新型口罩机和原来口罩机每天一共生产150万个口罩，新型口罩机生产360万个口罩所用时间与原来口罩机生产90万个口罩所用时间相同，求新型口罩机每天生产的口罩数．18．如图，在矩形ABCD 中，BF AC ⊥于点,F 过点D 作//,DE AC 过点A 作AE DE ⊥于点,E 连结EF .（1）求证：四边形CDEF 是平行四边形；（2）若415,,5AC cos ABF =∠=求DE 的长． 19．如图①、图②、图③均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，ABC 的顶点、、A B C 均在格点上仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法.（1）在图①中，找一个格点,D 使以点A B C D 、、、为顶点的四边形是平行四边形；（2）在图②中，画出线段,EF 使EF 垂直平分,AB 且点E F 、在格点上；（3）在图③中，在边AC 上确定一点,P 使ABC 被BP 分成的两个三角形的面积比为1:2．20．为了传承中华优秀传统文化，某校组织了一次全校950名学生参加的“汉字听写”大赛，并设成绩优胜奖.赛后发现所有参赛学生的成绩不低于50分，为了更好的了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了100名学生的成绩(成绩x 取整数，总分100分)作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：成绩在这7080x ≤<组的数据是：70 70 71 71 71 72 72 73 73 73 73 75 75 75 7576 76 76 76 76 76 76 75 77 77 78 78 78 79 79“汉字听写”大赛成绩段频数频率统计表根据以上信息，解答下列问题:（1）表中a = ，b = ；（2）请补全频数分布直方图； （3）这次比赛成绩的中位数是 ；（4）若这次比赛成绩在78分以上(含78分)的学生获得优胜奖，估计该校参加这次比赛的950名学生中获得优胜奖的人数．21．某企业接到加工粮食任务，要求8天加工完530吨粮食.该企业安排甲、乙两车间共同完成加工任务.乙车间因维修设备，中途停工一段时间，维修设备后提高了加工效率，继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止.设甲、乙两车间各自加工粮食数量y (吨)与甲车间加工时间x (天)之间的函数关系如图①所示；未加工粮食w (吨)与甲车间加工时间x (天)之间的函数关系如图②所示、请结合图象解答下列问题：（1）甲车间每天加工粮食 吨，a = ；（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工粮食数量y 与x 之间的函数关系式；（3）求加工364吨粮食需要几天完成．22．[问题解答]两个城镇A B 、与一条公路l 位置如图①所示.现电信部门需在公路l 上修建一座信号发射塔,P 要求发射塔P 到两个城镇A 与B 的距离之和最短．解：点A 作关于直线l 的对称点1,A 连结1BA ,与直线l 的交点即为所求的点P .点1A A 、关于直线l 对称，∴直线l 垂直平分1,AA,PA PA ∴=11,PA PB PA PB A B ∴+=+=∴点P 即为所求的点。
吉林省实验中学2021届九年级数学第二次模拟试题
级模拟考试（二）数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．51-的相反数是（ ） A.5 B.51 C.51- D.-5 2．某市今年参加中考人数约为42000人，将42000用科学计数法表示为（ ） A ．4.2×104 B ．0.42×105 C ．4.2×103 D ．42×1033．计算32()xy -的结果是 （ ）A ．26x yB ．26x y -C ．29x yD ．29x y -4．由4个相同的小正方形组成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）5．不等式组10,360x x -≤⎧⎨-<⎩的解集在数轴上表示正确的是 （ ）6．一元二次方程0542=+-x x 的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根7．如图，已知AB 是⊙O 的－条直径，延长AB 至C 点，使AC ＝3BC ，CD 与⊙O 相切于D 点，若CD劣弧AD 的长为（ ） （第7题） 主视方向A B C DC ． B ． A ．D ． A CA ．π21B ．π31C ．π34D ．π32 8．如图，在平面直角坐标系中，□OABC 的顶点A 在x 轴上，顶点B的坐标为（6，4）．若直线l 经过点（1，0），且将□OABC 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数解析式是（ ）A ．1+=x yB ．131+=x y C ．33-=x y D ．1-=x y （第8题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．计算：63⨯= ．10．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38° 时，∠1= °． （第10题）11．如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的点，OA ＝AB ，则∠C 的度数为 ．（第11题） （第13题） （第14题）12．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是 ．13．如图，反比例函数6y x=-在第二象限的图象上有两点A 、B ，它们横坐标分别为 －1、－3，直线AB 与x 轴交于点C ，则△AOC 的面积为 ． 14．如图，P 是抛物线22++-=x x y 在第一象限上的点，过点P 分别向x 轴和y 轴引垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形OAPB 周长的最大值为 ．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：212111a a a -⎛⎫+÷⎪+-⎝⎭，其中5a =．x yC B AO16．（6分）在一只不透明的袋中，装着标有数字3，4，5，7的质地、大小均相同的小球．小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两球上的数字之和，当和小于9时小明获胜，反之小东获胜．（1）请用树状图或列表的方法，求小明获胜的概率；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．17．（6分）甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，问甲、乙每小时各做多少面彩旗？18．（7分）如图，在△AB C中，AB=A C，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△AB C的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA。
2021年吉林省长春中考数学二模试卷(有答案)
2021年吉林省长春XX中学中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）1．（3分）﹣3的倒数是（）A．3 B．﹣3 C．D．2．（3分）2016年10月28日，随着深圳地铁7，9号线的相继开通，深圳地铁日均客流量达到470万人次，则470万用科学记数法表示为（）A．47×104 B．47×105 C．4.7×105D．4.7×1063．（3分）下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（）A．75°B．60°C．45°D．30°6．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．67．（3分）一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根8．（3分）某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套服装，则根据题意可得方程为（）A． +=18 B． +=18C． +=18 D． +=189．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，且AE=AD，对角线AC，BD交于点O，EC交BD于F，BE交AC于G，如果平行四边形ABCD的面积为S，那么，△GEF的面积为（）A．B．C．D．10．（3分）已知抛物线y=k（x+1）（x﹣）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形抛物线的条数是（）A．5 B．4 C．3 D．2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．（3分）若关于x的方程+=2有增根，则m的值是．12．（3分）如图，AB∥CD，∠1=60°，则∠2= ．13．（3分）因式分解：2x2﹣18= ．14．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA=2，则阴影部分的面积为．15．（3分）我们把分子为1的分数叫做理想分数，如，，，…，任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如=+， =+， =+，…，根据对上述式子的（用观察，请你思考：如果理想分数=+（n是不小于2的整数，且a＜b），那么b﹣a= ．含n的式子表示）16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于E，OD⊥BC交⊙O于D，DE交BC于F，点P为CB延长线上的一点，PE延长交AC于G，PE=PF，下列4个结论：①GE=GC；②AG=GE；③OG∥BE；④∠A=∠P．其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共9小题，满分0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．解方程：x2﹣4x﹣21=0．18．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，且DE∥AC，AE∥BD．求OE 的长．19．先化简：（﹣）÷，然后从﹣2，﹣1，0，1，2中选取一个你喜欢的值代入求值．20．今年是第39个植树节，我们提出了“追求绿色时尚，走向绿色文明”的倡议．某校为积极响应这一倡议，立即在八、九年级开展征文活动，校团委对这两个年级各班内的投稿情况进行统计，并制成了如图所示的两幅不完整的统计图．（1）求扇形统计图中投稿3篇的班级个数所对应的扇形的圆心角的度数．（2）求该校八、九年级各班在这一周内投稿的平均篇数，并将该条形统计图补充完整．（3）在投稿篇数最多的4个班中，八、九年级各有两个班，校团委准备从这四个班中选出两个班参加全校的表彰会，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两个班正好不在同一年级的概率．21．某学校准备购买A、B两种型号篮球，询问了甲、乙两间学校了解这两款篮球的价格，下表是甲、乙两间学校购买A、B两种型号篮球的情况：（2）若该学校准备用不多于1000元的金额购买这两种型号的篮球共20个，求A种型号的篮球最少能采购多少个？22．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．（1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母．（2）在（1）中的图中，若BC=4，∠A=30°，求弧DE的长．（结果保留π）23．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．24．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA 的长为半径的圆交边CD于点E，连接OE、AE，过点E作⊙O的切线交边BC于F．（1）求证：△ODE∽△ECF；（2）在点O的运动过程中，设DE=x：①求OD•CF的最大值，并求此时⊙O的半径长；②判断△CEF的周长是否为定值？若是，求出△CEF的周长；否则，请说明理由？25．如图，顶点为（1，4）的抛物线y=ax2+bx+c与直线y=x+n交于点A（2，2），直线y=x+n 与y轴交于点B与x轴交于点C（1）求n的值及抛物线的解析式（2）P为抛物线上的点，点P关于直线AB的对称轴点在x轴上，求点P的坐标（3）点D为x轴上方抛物线上的一点，点E为轴上一点，以A、B、E、D为顶点的四边为平行四边形时，直接写出点E的坐标．2021年吉林省长春ＸＸ中学中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）1．（3分）﹣3的倒数是（）A．3 B．﹣3 C．D．【解答】解：∵（﹣3）×（﹣）=1，∴﹣3的倒数是﹣．故选：D．2．（3分）2016年10月28日，随着深圳地铁7，9号线的相继开通，深圳地铁日均客流量达到470万人次，则470万用科学记数法表示为（）A．47×104 B．47×105C．4.7×105D．4.7×106【解答】解：470万=4.7×106．故选：D．3．（3分）下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．故选C．4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：解不等式2x+1≤3，得：x≤1，∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1，故选：A．5．（3分）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（）A．75°B．60°C．45°D．30°【解答】解：由题意可得：∠2=60°，∠5=45°，∵∠2=60°，∴∠3=180°﹣90°﹣60°=30°，∴∠4=30°，∴∠1=∠4+∠5=30°+45°=75°．故选A．6．（3分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：设这个多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°=720°，解得n=6，故这个多边形为六边形．故选D7．（3分）一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【解答】解：∵a=2，b=﹣3，c=1，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×1=1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：A．8．（3分）某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套服装，则根据题意可得方程为（）A． +=18 B． +=18C． +=18 D． +=18【解答】解：设计划每天加工x套服装，那么采用新技术前所用时间为：，采用新技术后所用时间为：，则所列方程为： +=18．故选A．9．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，且AE=AD，对角线AC，BD交于点O，EC交BD于F，BE交AC于G，如果平行四边形ABCD的面积为S，那么，△GEF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：过A作AM⊥BC于M，如图所示：∵S △BEC =BC •AM ，S ▱ABCD =BC •AM ，∴S △BEC =S ▱ABCD =S ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠EAG=∠BCG ，∠AEG=∠CBG ，∴△AEG ∽△CBG ，又AE=AD=BC ，∴==，∴S △EFG =S △BGF ，又S △EFG +S △BGF =S △BEF ，∴S △EFG =S △BEF ，∵AE=AD ，AD=AE+ED ，∴ED=AD=BC ，同理得到△EFD ∽△CFB ，∴==，∴S △BEF =S △BFC ，又S △BEF +S △BFC =S △BEC ，∴S △BEF =S △BEC =S ，∴S △EFG =S ．故选C10．（3分）已知抛物线y=k （x+1）（x ﹣）与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形抛物线的条数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】解：y=k （x+1）（x ﹣）=（x+1）（kx ﹣3），所以，抛物线经过点A （﹣1，0），C （0，﹣3），AC===，点B坐标为（，0），①k＞0时，点B在x正半轴上，若AC=BC，则=，解得k=3，若AC=AB，则+1=，解得k==，若AB=BC，则+1=，解得k=；②k＜0时，点B在x轴的负半轴，点B只能在点A的左侧，只有AC=AB，则﹣1﹣=，解得k=﹣=﹣，所以，能使△ABC为等腰三角形的抛物线共有4条．故选B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．（3分）若关于x的方程+=2有增根，则m的值是0 ．【解答】解：方程两边都乘以（x﹣2）得，2﹣x﹣m=2（x﹣2），∵分式方程有增根，∴x﹣2=0，解得x=2，∴2﹣2﹣m=2（2﹣2），解得m=0．故答案为：0．12．（3分）如图，AB∥CD，∠1=60°，则∠2= 120°．【解答】解：∵AB∥CD，∠1=60°，∴∠CEF=∠1=60°，∴∠2=180°﹣∠CEF=120°，故答案为：120°．13．（3分）因式分解：2x2﹣18= 2（x+3）（x﹣3）．【解答】解：2x2﹣18=2（x2﹣9）=2（x+3）（x﹣3），故答案为：2（x+3）（x﹣3）．14．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA=2，则阴影部分的面积为﹣．【解答】解：连接OC、AC，由题意得，OA=OC=AC=2，∴△AOC为等边三角形，∠BOC=30°，∴扇形COB的面积为： =，△AOC的面积为：×2×=，扇形AOC的面积为： =，则阴影部分的面积为： +﹣=﹣，故答案为：﹣．15．（3分）我们把分子为1的分数叫做理想分数，如，，，…，任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如=+， =+， =+，…，根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数=+（n是不小于2的整数，且a＜b），那么b﹣a= n2﹣1 ．（用含n的式子表示）【解答】解：根据已知得：在=+，有6﹣3=22﹣1，在=+，有12﹣4=32﹣1，在=+，有20﹣5=42﹣1，…，所以如果理想分数=+（n是不小于2的整数，且a＜b），则b﹣a=n2﹣1，故答案为：n2﹣1．16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于E，OD⊥BC交⊙O于D，DE交BC于F，点P为CB延长线上的一点，PE延长交AC于G，PE=PF，下列4个结论：①GE=GC；②AG=GE；③OG∥BE；④∠A=∠P．其中正确的结论是①②③（填写所有正确结论的序号）【解答】解：如图，连接OE，CE，∵OE=OD，PE=PF，∴∠OED=∠ODE，∠PEF=∠PFE，∵OD⊥BC，∴∠ODE+∠OFD=90°，∵∠OFD=∠PFE，∴∠OED+∠PEF=90°，即OE⊥PE，∵点E⊙O上，∴GE为⊙O的切线；点C⊙O上，OC⊥GC，∴GC为⊙O的切线，∴GC=GE故①正确；∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∴∠AEC=90°，∵∠ACB=90°，∴AC是⊙O的切线，∴EG=CG，∴∠GCE=∠GEC，∵∠GCE+∠A=90°，∠GEC+∠AEG=90°，∴∠A=∠AEG，∴AG=EG；故②正确；∵OC=OB，AG=CG∴OG是△ABC的中位线，∴OG∥AB；故③正确；在Rt△ABC中，∠A+∠ABC=90°，在Rt△POE中，∠P+∠POE=90°，∵OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，但∠POE不一定等于∠ABC，∴∠A不一定等于∠P．故④错误．故答案为：①②③．三、解答题（本大题共9小题，满分0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．解方程：x2﹣4x﹣21=0．【解答】解：x2﹣4x﹣21=0，（x﹣7）（x+3）=0，x﹣7=0，x+3=0，x 1=7，x2=﹣3．18．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，且DE∥AC，AE∥B D．求OE 的长．【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=3，OD=BD=4，∴∠AOD=90°，∴AD===5．∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∴四边形AODE是矩形，∴OE=AD=5．19．先化简：（﹣）÷，然后从﹣2，﹣1，0，1，2中选取一个你喜欢的值代入求值．【解答】解：原式=[﹣]÷=•=•=x﹣1．∵x=﹣2，0，1，2分母为0，无意义，∴x只能取﹣1，当x=﹣1时，原式=﹣1﹣1=﹣2．20．今年是第39个植树节，我们提出了“追求绿色时尚，走向绿色文明”的倡议．某校为积极响应这一倡议，立即在八、九年级开展征文活动，校团委对这两个年级各班内的投稿情况进行统计，并制成了如图所示的两幅不完整的统计图．（1）求扇形统计图中投稿3篇的班级个数所对应的扇形的圆心角的度数．（2）求该校八、九年级各班在这一周内投稿的平均篇数，并将该条形统计图补充完整．（3）在投稿篇数最多的4个班中，八、九年级各有两个班，校团委准备从这四个班中选出两个班参加全校的表彰会，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两个班正好不在同一年级的概率．【解答】解：（1）班级总个数为：3÷25%=12（个），×360°=60°．故投稿篇数为3所对应的扇形的圆心角的度数为60°．（2）投稿5篇的班级数为：12﹣1﹣2﹣3﹣4=2（个），（2+3×2+5×2+6×3+9×4）÷12=72÷12=6（篇），将该条形统计图补充完整为：（3）画树状图如下：，总共12种情况，两班不在同一年级的有8种情况，所以所选两个班不是同一年级的概率为：8÷12=．21．某学校准备购买A、B两种型号篮球，询问了甲、乙两间学校了解这两款篮球的价格，下表是甲、乙两间学校购买A 、B 两种型号篮球的情况：（2）若该学校准备用不多于1000元的金额购买这两种型号的篮球共20个，求A 种型号的篮球最少能采购多少个？【解答】解：（1）设A 型号篮球的价格为x 元、B 型号的篮球的价格为y 元，由题意得，，解得：．答：A 种型号的篮球销售单价为26元，B 种型号的篮球销售单价为68元．（2）设最少买A 型号篮球m 个，则买B 型号篮球球（20﹣m ）个，由题意得，26m+68（20﹣m ）≤1000，解得：m ≥8，∵m 为整数，∴m 最小取9．∴最少购买9个A 型号篮球．答：若该学校准备用不多于1000元的金额购买这两种型号的篮球共20个，A 种型号的篮球最少能采购9个．22．如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°．（1）尺规作图：作⊙C ，使它与AB 相切于点D ，与AC 相交于点E ，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母．（2）在（1）中的图中，若BC=4，∠A=30°，求弧DE 的长．（结果保留π）【解答】解：（1）所作⊙C ，如图所示；（2）∵⊙C切AB于点D，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=∠ACD=60°，在Rt△BCD中，BC=4，sinB=，∴CD=BC•sinB=4×sin60°=，∴弧DE的长为=．23．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．【解答】解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，得：a=﹣1+4，解得：a=3，∴点A的坐标为（1，3）．把点A（1，3）代入反比例函数y=，得：3=k，∴反比例函数的表达式y=，联立两个函数关系式成方程组得：，解得：，或，∴点B 的坐标为（3，1）．（2）作点B 作关于x 轴的对称点D ，交x 轴于点C ，连接AD ，交x 轴于点P ，此时PA+PB 的值最小，连接PB ，如图所示．∵点B 、D 关于x 轴对称，点B 的坐标为（3，1），∴点D 的坐标为（3，﹣1）．设直线AD 的解析式为y=mx+n ，把A ，D 两点代入得：，解得：， ∴直线AD 的解析式为y=﹣2x+5．令y=﹣2x+5中y=0，则﹣2x+5=0，解得：x=，∴点P 的坐标为（，0）．S △PAB =S △ABD ﹣S △PBD =BD •（x B ﹣x A ）﹣BD •（x B ﹣x P ）=×[1﹣（﹣1）]×（3﹣1）﹣×[1﹣（﹣1）]×（3﹣）=．24．如图，在边长为8的正方形ABCD 中，点O 为AD 上一动点（4＜OA ＜8），以O 为圆心，OA 的长为半径的圆交边CD 于点E ，连接OE 、AE ，过点E 作⊙O 的切线交边BC 于F ．（1）求证：△ODE ∽△ECF ；（2）在点O的运动过程中，设DE=x：①求OD•CF的最大值，并求此时⊙O的半径长；②判断△CEF的周长是否为定值？若是，求出△CEF的周长；否则，请说明理由？【解答】（1）证明：∵EF切⊙O于点M，∴∠OEF=90°，∴∠OED+∠CEF=90°，∵∠C=90°，∴∠CEF+∠CFE=90°，∴∠OED=∠EFC，∵∠D=∠C=90°，∴△ODE∽△ECF；（2）解：①由（1）知：△ODE∽△ECF，∴=，∴OD•CF=DE•EC，∵DE=x，∴EC=8﹣x，∴OD•CF=x（8﹣x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，当x=4时，OD•CF的值最大，最大值为16，设此时半径为r，则OA=OE=r，OD=8﹣r，在Rt△ODE中，∵OD2+DE2=OE2，∴（8﹣r）2+42=r2，解得r=5，即此时半径长为5；②△CEF的周长为定值，△CEF的周长=16，在Rt△ODE中，OD2+DE2=OE2，OA=OE，即：（8﹣OE）2+x2=OE2，∴OE=4+，OD=8﹣OE=4﹣，∵Rt△DOE∽Rt△CEF，即==，∴==，解得：CF=，EF=，∴△CEF的周长=CE+CF+EF=8﹣x++=16．25．如图，顶点为（1，4）的抛物线y=ax2+bx+c与直线y=x+n交于点A（2，2），直线y=x+n 与y轴交于点B与x轴交于点C（1）求n的值及抛物线的解析式（2）P为抛物线上的点，点P关于直线AB的对称轴点在x轴上，求点P的坐标（3）点D为x轴上方抛物线上的一点，点E为轴上一点，以A、B、E、D为顶点的四边为平行四边形时，直接写出点E的坐标．【解答】解：（1）A（2，2）代入得n=1设抛物线的解析式y=a（x﹣1）2+4代入点A（2，2），可得a=﹣2所以抛物线的解析式y=2（x﹣1）2+4=﹣2x2+4x+2，（2）如图1．设PP'与AC的交点为H，作HM⊥x轴于M，作PN⊥HM与N设，∵点P'是点P关于AC的对称点，∴PH=P'H，易得，△HNP≌△HMP'，∴MH=NH，∴NM=2NH，∴﹣2x2+4x+2=m+2，∴m=﹣2x2+4x①∵直线AC的解析式为y=x+1，∴B（0，1），C（﹣2，0），∴OB=1，OC=2，∵OB∥HM，∴△COB∽△CMH，∴，∴CM=2MH，易证，△HMP'∽△CMH，∴，∴=，∴MH=2P'M=2PN∴，∴4x=3m﹣2②联立①②解得x=1或，∴点P的坐标（1，4）或，（3）设点E坐标为A（t，0），以AB为边或对角线进行分类讨论：①如图4，当AB是平行四边行的边时，AB∥DE，AB=DE由于点B（0，1）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到A（2，2），∴点D的坐标可以表示为D（t+2，1）将D（t+2，1）代入y=2（x﹣1）2+4，得﹣2（t+1）2+4=1解得，此时或，②当AB是平行四边形的对角线时，设AB的中点，点E（t，0），关于的对称点D的坐标可以表示为（2﹣t，3）将D（2﹣t，3）代入y=﹣2（x﹣1）2+4，得﹣2（1﹣t）2+4=3解得t=∴E（，0）或（，0）。
2024年吉林省长春市东北师范大学附属实验学校九年级中考第二次质量数学试题
2024年吉林省长春市东北师范大学 附属实验学校九年级中考第二次质量数学试题一、单选题1．如图，数轴上点A 表示数a ，则a 是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．夯实粮食生产根基，保障粮食生产基础．2024年，长春市粮食作物播种面积力争稳定在25000000亩，25000000这个数用科学记数法表示为（ ）A ．72.510⨯B ．32.510⨯C ．62510⨯D ．42.510⨯ 3．当01a <<时，则a ，a -，2a ，1a 中最大的是（ ）A ．aB ．a -C ．2aD ．1a4．我校举行航天知识问答活动，五支参赛队的成绩（分）分别为：87，90，90，92，93，后来发现每队都少加了3分，每队补加3分后，这五支参赛队的新成绩的统计量不变的为（ ）A ．众数B ．中位数C ．平均数D ．方差5．图中表示被撕掉一块的正n 边形纸片，若a b ⊥，则n 的值是（ ）A ．5B ．7C ．8D ．106．如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC，于点M 和N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法不正确的是（ ）A ．AD 是BAC ∠的平分线B ．60ADC ∠=︒ C ．:1:3ADC ABD S S =△△ D ．点D 在AB 的垂直平分线上7．如图，AB 、AC 是O e 的弦，OB 、OC 是O e 的半径，点P 为OB 上任意一点（点P 不与点B 重合），连结CP ．若40BAC ∠︒=，则BPC ∠的度数可能为（ ）A ．50︒B ．75︒C ．100︒D ．140︒8．如图，边长为2的正六边形ABCDEF 的对称中心点P 在函数()00k y k x x =>>，的图象上，边CD 在x 轴上，点B 在y 轴上．平移正六边形ABCDEF ，使点B 、C 恰好都落在该函数的图象上，则平移的过程为（ ）A ．左平移2个单位B ．右平移1C．右平移2个单位 D 1个单位二、填空题9．计算：0120242-+=．10．若关于x 的方程20x a -=有两个相等的实数根，则a 的值为．11m 的值为．12．如图，分别以ABC V 的三边为边向外作正方形ACFE 、正方形BCGH 、正方形ABID ，连接DE FG HI 、、．若2ABC S =△，则ADE CFG BHI S S S ++=△△△．13．我国的学者墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，早于牛顿2000多年就已经总结出相似的理论.如图，平面m ，n ，q 相互平行，平面q 到平面n 的距离是平面n 到平面m 的距离的2倍，直角三角形光源ABC 在平面m 上，若4cm AB AC ==，通过小孔成的像A B C '''V 在平面q 上，则A B C '''V 的面积为．14．长春公园拟建一个喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜着喷出水柱，经过测量水柱在不同位置到水管的水平距离和对应的竖直高度呈抛物线型，当喷水管离地面3.2米喷水时，水柱在离水管水平距离3米处离地面竖直高度最大，最大高度是5米．此喷水管可以上下调节，喷出的水柱形状不变且随之上下平移，若调节后的落水点（水落到地面的距离）向内平移了1米，则喷水管需要向下平移米．三、解答题15．先化简，再求值：()()2224x x x x ---÷，其中x =16．现有三张不透明的卡片A 、B 、C ，其中卡片的正面图案分别是佩奇、乔治、佩奇妈妈，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求恰好抽到佩奇和乔治的概率．17．无人机在航空拍照、高速公路管理、森林防火巡查和应急救援、救护等民用领域应用极为广阔．2023年10月西北工业大学的科研成果“信鸽”仿生飞行器续航时间3小时5分30秒，刷新了扑翼式无人机单次充电飞行时间的吉尼斯世界纪录．科研小组的同学发现，“信鸽”仿生飞行器时速是“云鸮”仿生飞行器时速的1.5倍，“信鸽”仿生飞行器飞向5千米高的空中比“云鸮”仿生飞行器少用5分钟，求“信鸽”仿生飞行器的时速．18．如图①，点O 为矩形ABCD 对角线AC 的中点，1AB =，AD =AC 将矩形剪开得到ADC △与A BC ''△，将AB C ''△绕点O 逆时针旋转()0120αα︒<≤，记BC '与OC的交点为P ，如图②．(1)①在图②中，连结OB OD BD ，，，则OBD V 的形状为__________；A C BD；②连结A C'，求证：'=(2)当OPC'V为等腰三角形时，直接写出α的值．19．图①、图②均是55⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．(1)如图①，线段AB的端点均在格点上，以AB为边画一个四边形ABCD，使四边形ABCD为中心对称图形，顶点均在格点上且对称中心为点O；(2)在（1）问的前提下，点M是线段AB上一点，在图①中你所画的四边形ABCD的边CD上画一点N，使得CN AM=．=．(3)如图②，点A，B是直线m上的两个点，请在直线n上作出线段CD，使得CD AB20．某社区通过公益讲座的方式普及垃圾分类知识．为了了解居民对相关知识的了解情况及讲座效果，请居民在讲座前和讲座后分别回答了一份垃圾分类知识问卷，从中随机抽取20名居民的两次问卷成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．这20名居民讲座前、讲座后成绩得分统计图如下：b．这20名居民讲座前、讲座后成绩的平均数、中位数、方差如下c ．结合讲座后成绩x ，被抽取的20名居民中有5人获得“参与奖”(80)x <，有7人获得“优秀奖”809()0x ≤<，有8人获得“环保达人奖”(90100)x ≤≤，其中成绩在8090x ≤<这一组的是：80 82 83 85 87 88 88根据以上信息，回答下列问题：(1)居民小张讲座前的成绩为80分，讲座后的成绩为95分，在图中用“○”圈出代表居民小张的点；(2)写出表中m 的值；(3)参加公益讲座的居民有160人，估计能获得“环保达人奖”的有_____人．21．甲、乙两个登山队分别以不变的行进速度同时攀登一座高为2.6千米的高山，已知两个登山队选择同一条登山路线．两个登山队的登山高度h （千米）与登山时间t （时）的部分函数图象如图所示．(1)=a __________；(2)当510t ≤≤时，求出乙登山队登山高度h 与登山时间t 的函数关系式；(3)若登山高度超过2千米时，这两个登山队继续按原行进速度同一路线登山，直接写出先到达山顶的那个登山队攀登这座山所用的时间．22．综合与实践课上，老师组织同学们开展以“矩形的折叠”为主题的数学活动，【探索发现】操作一：如图①，取一张矩形纸片()ABCD AD AB >．对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，在EF 上取一点H ，连结AH ，BH ，总有AH BH =． 操作二：如图②，第二次折叠纸片ABCD ，使点A 落在EF 上的点N 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，把纸片展平，连接BN ，MN ，AN ，由AB BN =，AN BN =，知ABN V 是等边三角形．根据以上操作，除等边三角形ABN 的三个内角外，在不添加任何辅助线的情况下，写出图②中一个60︒的角：__________．【探究提升】如图③，延长MN 交BC 于点G ，求证：BMG △是等边三角形．【拓展应用】如图④，第三次折叠纸片ABCD ，使点D 落在EF 上的点Q 处，并使折痕经过点C ，得到折痕CP ，把纸片展平，连结PQ ，CQ ．若点Q 在点N 的左侧，22MP QN ==，则矩形ABCD 的面积为__________．23．在矩形ABCD 中，AB =3AD =，点P 在折线AD DC -上，以AP 为边向下作等边三角形APM ，射线PM 交线段BC 于点Q ，连接AQ ．(1)当点Q 与点B 重合时，线段PQ 的长为__________；(2)当点M 落在边BC 上时，求等边三角形APM 的面积；(3)当P 在边CD 上，APQ △是直角三角形时，求AQ 的长；(4)当点Q 将线段PM 分成两部分线段长度比为1:3时，直接写出tan PAQ ∠．24．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2y x bx =+（b 是常数）经过点()2,0-，顶点为点C ．点A 在抛物线上，横坐标为m ．点B 的坐标为()21,3m +，过点B 作BK 垂直该抛物线的对称轴于点K ．(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点C 坐标；(2)当点A 落在直线BK 上时，求点A 的坐标；(3)连接BA 并延长交抛物线对称轴于点D ，以DB 、BC 为邻边作DBCM Y ． ①当DBCM Y 是菱形时，求m 的值；②当点A 在对称轴左侧时，过DBCM Y 的顶点M 作MH CD 于点H ，若ADK △周长与CMH V 的周长比为23，直接写出所有满足条件的m 的值．。
吉林省2021年九年级下学期数学第二次月考试卷B卷
吉林省2021年九年级下学期数学第二次月考试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020九上·遵化期末) 已知是关于x的反比例函数，则（）A .B .C .D . 为一切实数2. （2分） (2021九下·崇川月考) 下面四个几何体中，俯视图是四边形的几何体共有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个3. （2分）点P（a，b）是直线y=﹣x﹣5与双曲线y=的一个交点，则以a、b两数为根的一元二次方程是（）A . x2﹣5x+6=0B . x2+5x+6=0C . x2﹣5x﹣6=0D . x2+5x﹣6=04. （2分） (2016九上·乐至期末) 如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A . ∠ABD=∠CB . ∠ADB=∠ABCC .D .5. （2分）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβcos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）= （1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°=sin（30°+60°）=sin30°cos60°+cos30°sin60°= =1。
利用上述公式计算下列三角函数①sin105°= ，②tan105°=﹣2﹣，③sin15°= ，④cos90°=0.其中正确的个数有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个6. （2分）下列说法：①已知直角三角形的面积为4，两直角边的比为1：2，则斜边长为；②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，则另一边长为；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC 为直角三角形；④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5，其中正确结论的序号是（）A . 只有①②③B . 只有①②④C . 只有③④D . 只有②③④7. （2分） (2017九上·沂源期末) 如图，直线y=﹣x+5与双曲线y= （x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于C点，△BOC的面积是．若将直线y=﹣x+5向下平移1个单位，则所得直线与双曲线y= （x＞0）的交点有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 0个，或1个，或2个8. （2分） (2020九上·建华期末) 一船向东航行，上午8时到达处，观测到有一灯塔在它的南偏东60°且距离为72海里的处，上午10时到达处，此时观测到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（）A . 18海里/小时B . 海里/小时C . 36海里/小时D . 海里/小时9. （2分）如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=500 ，则∠AEF的度数等于（）A . 25ºB . 50ºC . 100ºD . 115º10. （2分）(2020·宝安模拟) 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为边AC上一点，连接BD，作AH⊥BD的延长线于点H，过点C作CE∥AH与BD交与点E，连结AE并延长与BC交于点F，现有如下4个结论：①∠HAD=∠CBD；②△ADE∽△BFE；③CE·AH=HD·BE；④若D为AC中点，则，其中正确结论有（）个。
吉林省(省命题)2021届中考二模数学试卷(1)(含解析)
2021年吉林省名校调研〔省命题〕中考数学二模试卷〔1〕一、选择题〔本大题共6小题，每题2分，共12分〕1．在，﹣1，0，，这四个数中，最小的实数是〔〕A．﹣B．﹣1 C．0 D．2．经过初步统计，2021年2月份，长春净月潭接待滑雪的人数约为24.5万人次，数据24.5万用科学记数法表示为〔〕×105×106×104×1063．如图，用6个完全一样的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是〔〕A．B．C．D．4．以下计算中正确的选项是〔〕A．3a2+2a2=5a4B．﹣2a2÷a2=4 C．〔2a2〕3=2a6D．a〔a﹣b+1〕=a2﹣ab5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，连接BD，假设∠C=120°，AB=2，那么△ABD的周长是〔〕A．3 B．4 C．6 D．86．如图，在平面直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将其沿x轴的正方向无滑动地在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径与x轴围成的面积为〔〕A． +B． +1 C．π+D．π+1二、填空题〔本小题共8小题，每题3分，共24分〕7．计算：〔2π﹣5〕0﹣= ．8．一元二次方程x2﹣3=0的两个根是．9．某班共有42名学生，新学期开场，欲购进一款班服，假设一套班服a元，那么该班共花费元〔用含a的代数式表示〕．10．假设正比例函数y=〔m﹣2〕x的图象经过一、三象限，那么m的取值范围是．11．如图，直线CD∥BF，直线AB与CD、EF分别相交于点M、N，假设∠1=30°，那么∠2= ．12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上，连接CD，将△BCD沿CD翻折得到△ECD，使DE∥AC，CE交AB于点F，假设∠B=α，那么∠ADC的度数是〔用含α的代数式表示〕．13．如图，CD是⊙O的直径，假设AB⊥CD，垂足为B，∠OAB=40°，那么∠C等于度．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+4x的顶点为A，与x轴分别交于O、B两点，过顶点A分别作AC⊥x轴于点C，AD⊥y轴于点D，连接BD，交AC于点E，那么△ADE与△BCE的面积和为．三、解答题15．〔5分〕先化简，再求值：•〔1﹣〕，其中x=﹣．16．〔5分〕除夕夜，父母给自己的一双儿女发压岁钱，先每人发了200元，然后在三个红包里面分别装有标有100元，300元，500元的卡片，每个红包和卡片除数字不同外，其余均一样，妹妹从三个红包中随机抽取了一个红包，记录数字后放回洗匀，哥哥再随机抽取一个红包，请用列表法或画树状图的方法，求父母给自己的一双儿女发压岁钱总和大于800元的概率．17．〔5分〕某市全力改善民生，推动民生状况持续改善，2021年改造“暖房子〞约255万平方米，预计到2021年底，该市改造“暖房子〞将到达约367.2万平方米，求2021年底至2021年底该市改造“暖房子〞平方米数的年平均增长率．18．〔5分〕如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E，求证：BC=DE．四、解答题19．〔7分〕图①、②、③均是4×4的正方形网格，每个小正方形顶点叫做格点，点O和线段AB的端点在格点上，按要求完成以下作图．〔1〕在图①、②中分别找到格点C、D，使以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，且点O到这个四边形的两个端点的距离相等，画出两个这样的平行四边形．〔2〕在图③中找到格点E、F，使以A、B、E、F为顶点的四边形的面积最大，且点O到这个四边形的两个端点的距离相等．20．〔7分〕深圳市政府方案投资1.4万亿元实施东进战略．为了解深圳市民对东进战略的关注情况．某校数学兴趣小组随机采访局部深圳市民，对采访情况制作了统计图表的一局部如下：关注情况频数频率A．高度关注MB．一般关注100C．不关注30 ND．不知道50〔1〕根据上述统计图可得此次采访的人数为人，m= ，n= ；〔2〕根据以上信息补全条形统计图；〔3〕根据上述采访结果，请估计在15000名深圳市民中，高度关注东进战略的深圳市民约有人．21．〔7分〕如图，春节降临，小明约同学周末去文化广场放风筝，他放的风筝线AE长为115m，他的风筝线〔近似地看作直线〕与水平地面构成42°角，假设小明身高AB为，求他的风筝飞的高度CF〔准确到，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90〕22．〔7分〕如图①，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体〞，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h〔cm〕与注水时间t 〔s〕之间的关系如图②．〔1〕求圆柱形容器的高和匀速注水的水流速度；〔2〕假设“几何体〞的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体〞上方圆柱体的高和底面积．五、解答题23．〔8分〕如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A〔﹣2，3〕和点B〔m，﹣2〕．〔1〕求反比例函数和一次函数的解析式；〔2〕直线x=1上有一点P，反比例函数图象上有一点Q，假设以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，直接写出点Q的坐标．24．〔8分〕如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE，△ADE沿DE折叠后得到△FDE，点F在矩形ABCD的内部，延长DF交于BC于点G．〔1〕求证：FG=BG；〔2〕假设AB=6，BC=4，求DG的长．六、解答题25．〔10分〕如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=4cm，动点P以1cm/s的速度分别从点A、B同时出发，点P沿A→B向终点B运动，点Q沿B→A向终点A运动，过点P作PD⊥AC于点D，以PD为边向右侧作正方形PDEF，过点Q作QG⊥AB，交折线BC﹣CA于点G与点C不重合，以QG为边作等腰直角△QGH，且点G为直角顶点，点C、H始终在QG 的同侧，设正方形PDEF与△QGH重叠局部图形的面积为S〔cm2〕，点P运动的时间为t〔s〕〔0＜t＜4〕．〔1〕当点F在边QH上时，求t的值；〔2〕当正方形PDEF与△QGH重叠局部图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式；〔3〕当FH所在的直线平行或垂直于AB时，直接写出t的值．26．〔10分〕如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，过点B的抛物线y=﹣〔x﹣2〕2+m的顶点P在这条直线上，以AB为边向下方做正方形ABCD．〔1〕当m=2时，k= ，b= ；当m=﹣1时，k= ，b= ；〔2〕根据〔1〕中的结果，用含m的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；〔3〕当正方形ABCD的顶点C落在抛物线的对称轴上时，求对应的抛物线的函数关系式；〔4〕当正方形ABCD的顶点D落在抛物线上时，直接写出对应的直线y=kx+b的函数关系式．2021年吉林省名校调研〔省命题〕中考数学二模试卷〔1〕参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共6小题，每题2分，共12分〕1．在，﹣1，0，，这四个数中，最小的实数是〔〕A．﹣B．﹣1 C．0 D．【考点】2A：实数大小比拟．【分析】将四个数按照从小到大顺序排列，找出最小的实数即可．【解答】解：四个数大小关系为：﹣1＜0＜＜，那么最小的实数为﹣1，应选B【点评】此题考察了实数大小比拟，将各数按照从小到大顺序排列是解此题的关键．2．经过初步统计，2021年2月份，长春净月潭接待滑雪的人数约为24.5万人次，数据24.5万用科学记数法表示为〔〕×105×106×104×106【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数一样．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．×105，应选：A．【点评】此题考察科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．如图，用6个完全一样的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是〔〕A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．【解答】解：从上边看第一列是一个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列式两个小正方形，应选：D．【点评】此题考察了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．4．以下计算中正确的选项是〔〕A．3a2+2a2=5a4B．﹣2a2÷a2=4 C．〔2a2〕3=2a6D．a〔a﹣b+1〕=a2﹣ab【考点】4I：整式的混合运算．【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=5a2，不符合题意；B、原式=﹣2，符合题意；C、原式=8a6，不符合题意；D、原式=a2﹣ab+a，不符合题意，应选B【点评】此题考察了整式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法那么及公式是解此题的关键．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，连接BD，假设∠C=120°，AB=2，那么△ABD的周长是〔〕A．3 B．4 C．6 D．8【考点】M6：圆内接四边形的性质．【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，故可判断出△ABD的形状，进而可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠C=120°，∴∠A=180°﹣120°=60°．∵AB=AD，AB=2，∴△ABD是等边三角形，∴△ABD的周长=2×3=6．应选C．【点评】此题考察的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将其沿x轴的正方向无滑动地在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径与x轴围成的面积为〔〕A． +B． +1 C．π+D．π+1【考点】O4：轨迹；D5：坐标与图形性质；LE：正方形的性质．【分析】根据旋转的性质作出图形，再利用勾股定理列式求出正方形的对角线，然后根据点A运动的路径线与x轴围成的面积为三个扇形的面积加上两个直角三角形的面积，列式计算即可得解．【解答】解：如图，∵正方形ABCD的边长为1，∴对角线长： =，点A运动的路径线与x轴围成的面积为： +++×1×1+×1×1=π+π+π++=π+1．应选D．【点评】此题考察了旋转的性质，正方形的性质，扇形的面积，读懂题意并作出图形，观察出所求面积的组成局部是解题的关键，作出图形更形象直观．二、填空题〔本小题共8小题，每题3分，共24分〕7．计算：〔2π﹣5〕0﹣= ﹣2 ．【考点】6E：零指数幂．【分析】直接利用零指数幂的性质结合二次根式的性质化简求出答案．【解答】解：〔2π﹣5〕0﹣=1﹣3=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题主要考察了零指数幂的性质以及二次根式的性质，正确掌握相关性质是解题关键．8．一元二次方程x2﹣3=0的两个根是x1=3，x2=﹣3 ．【考点】A5：解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】先把方程整理为x2=9，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：方程变形为x2=9，x=±3，所以x1=3，x2=﹣3．故答案为x1=3，x2=﹣3．【点评】此题考察了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或〔nx+m〕2=p〔p≥0〕的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±．9．某班共有42名学生，新学期开场，欲购进一款班服，假设一套班服a元，那么该班共花费42a 元〔用含a的代数式表示〕．【考点】32：列代数式．【分析】根据总费用=班服单价×学生数列出代数式．【解答】解：依题意得：42a．故答案是：42a．【点评】此题主要考察了列代数式，列代数时要按要求标准书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写．10．假设正比例函数y=〔m﹣2〕x的图象经过一、三象限，那么m的取值范围是m＞2 ．【考点】F6：正比例函数的性质．【分析】先根据正比例函数的图象经过第一、三象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵比例函数y=〔m﹣2〕x的图象经过第一、三象限，∴m﹣2＞0，∴m＞2，故答案为：m＞2．【点评】此题考察的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b〔k≠0〕，当k＞0时函数图象经过一、三象限．11．如图，直线CD∥BF，直线AB与CD、EF分别相交于点M、N，假设∠1=30°，那么∠2= 30°．【考点】JA：平行线的性质．【分析】直接利用对顶角的定义得出∠DMN的度数，再利用平行线的性质得出答案．【解答】解：∵∠1=30°，∴∠DMN=30°，∵CD∥BF，∴∠2=∠DMN=30°．故答案为：30°．【点评】此题主要考察了平行线的性质，正确得出∠2=∠DMN是解题关键．12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上，连接CD，将△BCD沿CD翻折得到△ECD，使DE∥AC，CE交AB于点F，假设∠B=α，那么∠ADC的度数是〔用含α的代数式表示〕．【考点】PB：翻折变换〔折叠问题〕；J9：平行线的判定；K7：三角形内角和定理．【分析】由折叠的性质知∠B=∠E=α、∠BCD=∠ECD=∠ECB，由平行线的性质知∠E=∠ACE=α，从而表示出∠ECB、∠BCD的度数，根据∠ADC=∠B+∠BCD可得答案．【解答】解：∵△BCD≌△ECD，∴∠B=∠E=α，∠BCD=∠ECD=∠ECB，∵DE∥AC，∴∠E=∠ACE=α，∴∠ECB=∠ACB﹣∠ACE=90°﹣α，那么∠BCD=∠ECB=，∴∠ADC=∠B+∠BCD=α+=，故答案为：．【点评】此题主要考察翻折变换、平行线的性质及三角形的外角和定理，熟练掌握翻折变换的性质和平行线的性质是解题的关键．13．如图，CD是⊙O的直径，假设AB⊥CD，垂足为B，∠OAB=40°，那么∠C等于25 度．【考点】M5：圆周角定理．【分析】由三角形的内角和定理求得∠AOB=50°，根据等腰三角形的性质证得∠C=∠CAO，由三角形的外角定理即可求得结论．【解答】解：∵AB⊥CD，∠OAB=40°，∴∠AOB=50°，∵OA=OC，∴∠C=∠CAO，∴∠AOB=2∠C=50°，∴∠C=25°，故答案为25．【点评】此题主要考察了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+4x的顶点为A，与x轴分别交于O、B两点，过顶点A分别作AC⊥x轴于点C，AD⊥y轴于点D，连接BD，交AC于点E，那么△ADE与△BCE的面积和为 4 ．【考点】HA：抛物线与x轴的交点．【分析】根据抛物线解析式求得顶点A、抛物线与x轴的交点坐标，由题意得出AD=BC=2、AC=4，最后依据三角形的面积公式可得答案．【解答】解：∵y=﹣x2+4x=﹣〔x﹣2〕2+4，∴顶点A〔2，4〕，∵AC⊥x、AD⊥y轴，∴AD=OC=2、AC=4，令y=0，得：﹣x2+4x=0，解得：x=0或x=4，那么OB=4，∴BC=OB﹣OC=2，∴AD=BC=2，那么S△ADE+S△BCE=•AD•AE+•BC•CE=•AD•〔AE+CE〕=•AD•AC=×2×4=4，故答案为：4．【点评】此题主要考察抛物线与x轴的交点问题，根据抛物线求出顶点坐标及其与坐标轴的交点坐标是解题的关键．三、解答题15．先化简，再求值：•〔1﹣〕，其中x=﹣．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】根据分式的运算法那么即可求出答案．【解答】解：当x=﹣原式=•=﹣=4【点评】此题考察分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法那么，此题属于根底题型．16．除夕夜，父母给自己的一双儿女发压岁钱，先每人发了200元，然后在三个红包里面分别装有标有100元，300元，500元的卡片，每个红包和卡片除数字不同外，其余均一样，妹妹从三个红包中随机抽取了一个红包，记录数字后放回洗匀，哥哥再随机抽取一个红包，请用列表法或画树状图的方法，求父母给自己的一双儿女发压岁钱总和大于800元的概率．【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】先列表得出所有可能的情况数，由于父母给自己的一双儿女先每人发了200元，和为400元，所以从表格中找出压岁钱之和大于400元的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表如下：100 300 500100 〔100，100〕〔300，100〕〔500，100〕300 〔100，300〕〔300，300〕〔500，300〕500 〔100，500〕〔300，500〕〔500，500〕所有等可能的结果有9种，其中压岁钱之和大于400元的情况有6种，那么父母给自己的一双儿女发压岁钱总和大于800元的概率为=．【点评】此题考察了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．某市全力改善民生，推动民生状况持续改善，2021年改造“暖房子〞约255万平方米，预计到2021年底，该市改造“暖房子〞将到达约367.2万平方米，求2021年底至2021年底该市改造“暖房子〞平方米数的年平均增长率．【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】2021年底至2021年底该市改造“暖房子〞平方米数的年平均增长率为x，根据2021年底及2021年底全市改造“暖房子〞的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设2021年底至2021年底该市改造“暖房子〞平方米数的年平均增长率为x，根据题意得：255〔1+x〕2=367.2，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2〔舍去〕．答：2021年底至2021年底该市改造“暖房子〞平方米数的年平均增长率为20%．【点评】此题考察了一元二次方程组的应用，找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．18．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E，求证：BC=DE．【考点】L5：平行四边形的性质．【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，得出内错角相等∠E=∠BAE，再由角平分线证出∠E=∠DAE，得出DA=DE，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC，∴∠E=∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠E=∠DAE，∴DA=DE，∴BC=DE．【点评】此题考察了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出∠E=∠DAE是解决问题的关键．四、解答题19．图①、②、③均是4×4的正方形网格，每个小正方形顶点叫做格点，点O和线段AB 的端点在格点上，按要求完成以下作图．〔1〕在图①、②中分别找到格点C、D，使以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，且点O到这个四边形的两个端点的距离相等，画出两个这样的平行四边形．〔2〕在图③中找到格点E、F，使以A、B、E、F为顶点的四边形的面积最大，且点O到这个四边形的两个端点的距离相等．【考点】N4：作图—应用与设计作图；KG：线段垂直平分线的性质；KQ：勾股定理；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】〔1〕根据平行四边形的判定和性质，画出图形即可．〔2〕根据要求画出图形即可．【解答】解：〔1〕满足条件的平行四边形如图①②所示．〔2〕满足条件的四边形如图③所示．〔此题答案不唯一〕．【点评】此题考察作图﹣应用设计作图、勾股定理、平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是理解题意，利用应用平行四边形的判定解决问题，属于中考创新题目．20．深圳市政府方案投资1.4万亿元实施东进战略．为了解深圳市民对东进战略的关注情况．某校数学兴趣小组随机采访局部深圳市民，对采访情况制作了统计图表的一局部如下：关注情况频数频率A．高度关注MB．一般关注100C．不关注30 ND．不知道50〔1〕根据上述统计图可得此次采访的人数为200 人，m= 20 ，n= 0.15 ；〔2〕根据以上信息补全条形统计图；〔3〕根据上述采访结果，请估计在15000名深圳市民中，高度关注东进战略的深圳市民约有1500 人．【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；V6：频数与频率．【分析】〔1〕根据频数÷频率，求得采访的人数，根据频率×总人数，求得m的值，根据30÷200，求得n的值；〔2〕根据m的值为20，进展画图；×15000进展计算即可．【解答】解：〔1〕此次采访的人数为100÷×200=20，n=30÷200=0.15；〔2〕如下图；×15000=1500〔人〕．【点评】此题主要考察了条形统计图以及频数与频率，解决问题的关键是掌握：频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值〔或者百分比〕，即频率=．解题时注意，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越准确．21．如图，春节降临，小明约同学周末去文化广场放风筝，他放的风筝线AE长为115m，他的风筝线〔近似地看作直线〕与水平地面构成42°角，假设小明身高AB为，求他的风筝飞的高度CF〔准确到，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90〕【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】根据锐角三角函数的关系即可得到结论．【解答】解：如图，在Rt△ADF中，∵AF=115m，∠DAF=42°，∴DF=AF•sin42°=115×0.67=，∴CF=CD+DF=AB++77.05=，答：他的风筝飞的高度CF是．【点评】此题主要考察了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．22．如图①，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体〞，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h〔cm〕与注水时间t〔s〕之间的关系如图②．〔1〕求圆柱形容器的高和匀速注水的水流速度；〔2〕假设“几何体〞的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体〞上方圆柱体的高和底面积．【考点】FH：一次函数的应用．【分析】〔1〕根据图象，分三个局部：满过“几何体〞下方圆柱需18s，满过“几何体〞上方圆柱需24s﹣18s=6s，注满“几何体〞上面的空圆柱形容器需42s﹣24s=18s，再设匀速注水的水流速度为xcm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；〔2〕根据圆柱的体积公式得a•〔30﹣15〕=18•5，解得a=6；根据圆柱的体积公式得a•〔30﹣15〕=18•5，解得a=6，于是得到“几何体〞上方圆柱的高为5cm，设“几何体〞上方圆柱的底面积为Scm2，根据圆柱的体积公式得5•〔30﹣S〕=5•〔24﹣18〕，再解方程即可．【解答】解：〔1〕根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体〞的高度为11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体〞到注满用了42s﹣24s=18s，这段高度为14﹣11=3cm，设匀速注水的水流速度为xcm3/s，那么18•x=30•3，解得x=5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；〔2〕“几何体〞下方圆柱的高为a，那么a•〔30﹣15〕=18•5，解得a=6，所以“几何体〞上方圆柱的高为11cm﹣6cm=5cm，设“几何体〞上方圆柱的底面积为Scm2，根据题意得5•〔30﹣S〕=5•〔24﹣18〕，解得S=24，即“几何体〞上方圆柱的底面积为24cm2．【点评】此题考察了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．五、解答题23．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A〔﹣2，3〕和点B〔m，﹣2〕．〔1〕求反比例函数和一次函数的解析式；〔2〕直线x=1上有一点P，反比例函数图象上有一点Q，假设以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，直接写出点Q的坐标．【考点】GB：反比例函数综合题．【分析】〔1〕先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再用待定系数法求出直线解析式；〔2〕先判断出AB=PQ，AB∥PQ，设出点Q的坐标，进而得出点P的坐标，即可求出PQ，最后用PQ=AB建立方程即可得出结论．【解答】解：〔1〕∵点A〔﹣2，3〕在反比例函数y=的图形上，∴k=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=﹣，∵点B在反比例函数y=﹣的图形上，∴﹣2m=﹣6，∴m=3，∴B〔3，﹣2〕，∵点A，B在直线y=ax+b的图象上，∴，∴，∴一次函数的解析式为y=﹣x+1；〔2〕∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，∴AB=PQ，AB∥PQ，设直线PQ的解析式为y=﹣x+c，设点Q〔n，﹣〕，∴﹣=﹣n+c，∴c=n﹣，∴直线PQ的解析式为y=﹣x+n﹣，∴P〔1，n﹣﹣1〕，∴PQ2=〔n﹣1〕2+〔n﹣﹣1+〕2=2〔n﹣1〕2，∵A〔﹣2，3〕．B〔3，﹣2〕，∴AB2=50，∵AB=PQ，∴50=2〔n﹣1〕2，∴n=﹣4或6，∴Q〔﹣4.〕或〔6，﹣1〕．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考察了待定系数法，平行四边形的性质，方程的思想，解〔1〕的关键是求出点B的坐标，解〔2〕的关键是得出用n表示出点P的坐标．24．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE，△ADE沿DE折叠后得到△FDE，点F在矩形ABCD的内部，延长DF交于BC于点G．〔1〕求证：FG=BG；〔2〕假设AB=6，BC=4，求DG的长．【考点】PB：翻折变换〔折叠问题〕；KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩形的性质．【分析】〔1〕连接EG，根据矩形的性质得到∠A=∠B=90°，根据折叠的性质得到AE=EF，∠DFE=∠A=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；〔2〕根据折叠的性质得到DF=DA=4，EF=AE=3，∠AED=∠FED，根据全等三角形的性质得到∠FEG=∠BEG，得到∠DEF+∠FEG=90°，根据射影定理即可得到结论．【解答】解：〔1〕连接EG，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∵△ADE沿DE折叠后得到△FDE，∴AE=EF，∠DFE=∠A=90°，∴∠GFE=∠B，∵E是边AB的中点，∴AE=BE，∴EF=EB，在Rt△EFG与Rt△EBG中，，∴Rt△EFG≌Rt△EBG；∴FG=BG；〔2〕∵AB=6，BC=4，△ADE沿DE折叠后得到△FDE，∴DF=DA=4，EF=AE=3，∠AED=∠FED，∵Rt△EFG≌Rt△EBG，∴∠FEG=∠BEG，∴∠DEF+∠FEG=90°，∵EF⊥DG，∴EF2=DF•FG，∴FG=，∴DG=FG+DF=．【点评】此题主要考察了折叠问题，全等三角形的判定和性质，射影定理，矩形的性质，解题的关键是利用折叠图形的角相等，边相等求解．六、解答题25．〔10分〕〔2021•吉林二模〕如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=4cm，动点P以1cm/s的速度分别从点A、B同时出发，点P沿A→B向终点B运动，点Q沿B→A 向终点A运动，过点P作PD⊥AC于点D，以PD为边向右侧作正方形PDEF，过点Q作QG⊥AB，交折线BC﹣CA于点G与点C不重合，以QG为边作等腰直角△QGH，且点G为直角顶点，点C、H始终在QG的同侧，设正方形PDEF与△QGH重叠局部图形的面积为S〔cm2〕，点P 运动的时间为t〔s〕〔0＜t＜4〕．〔1〕当点F在边QH上时，求t的值；〔2〕当正方形PDEF与△QGH重叠局部图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式；〔3〕当FH所在的直线平行或垂直于AB时，直接写出t的值．【考点】LO：四边形综合题．【分析】〔1〕如图1中，当点F在边QH上时，易知AP=PQ=BQ，求出AB的长即可解决问题；〔2〕分两种情形①如图2中，当点F在GQ上时，易知AP=BQ=t，PD=PF=t．PQ=PF=t，列出方程即可解决问题；②如图3中，重叠局部是四边形GHRT时；〔3〕分三种种情形求解①如图5中，当FH⊥AB时，延长HF交AB于T，易知AP=BQ=GQ=HG=TQ=t，PT=t；②如图7中，当FH∥AB时，易知AQ=PQ=t，BQ=t；分别列出方程即可解决问题．③如图8中，当HF∥AB时；【解答】解：〔1〕如图1中，当点F在边QH上时，易知AP=PQ=BQ，∵Rt△ABC中，AB=4，∴t=时，点F在边QH上．〔2〕如图2中，当点F在GQ上时，易知AP=BQ=t，PD=PF=t．PQ=PF=t，∴t+t+t=4，∴t=，由〔1〕可知，当＜t≤时，正方形PDEF与△QGH重叠局部图形是四边形此时s=t•[t﹣〔4﹣2t〕]= t2﹣2t．如图3中，当G在EF上时，那么有〔4﹣t〕=t+〔2t﹣4〕．解得t=，如图4中，当G与D重合时，易知2t﹣4=t，解得t=．当≤t＜时，S=S△GHQ﹣S△TRQ=〔4﹣t〕2﹣ [〔2t﹣4〕]2=﹣t2﹣4．〔3〕①如图5中，当FH⊥AB时，延长HF交AB于T，易知AP=BQ=GQ=HG=TQ=t，PT=t，∴3t+t=4，∴t=．②如图7中，当HF⊥AB于T时，∵TB=4﹣2〔4﹣t〕=4﹣t，解得t=，③如图8中，当HF∥AB时，∴ t+t=4，∴t=，综上所述，t=s或s或时，FH所在的直线平行或垂直于AB．【点评】此题考察四边形综合题、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，学会用分类讨论是思想思考问题，属于中考压轴题．26．〔10分〕〔2021•吉林二模〕如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b分别与x轴、y 轴交于A、B两点，过点B的抛物线y=﹣〔x﹣2〕2+m的顶点P在这条直线上，以AB为边向下方做正方形ABCD．〔1〕当m=2时，k= ，b= 1 ；当m=﹣1时，k= ，b= ﹣2 ；〔2〕根据〔1〕中的结果，用含m的代数式分别表示k与b，并证明你的结论；〔3〕当正方形ABCD的顶点C落在抛物线的对称轴上时，求对应的抛物线的函数关系式；〔4〕当正方形ABCD的顶点D落在抛物线上时，直接写出对应的直线y=kx+b的函数关系式．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】〔1〕将m的值代入可求得点P的坐标，将x=0代入求得y的值，从而可得到点B。
2021年吉林省长春市南关区东北师大附中净月校区中考数学二模试卷 - 解析
2021年吉林省长春市南关区东北师大附中净月校区中考数学二模试卷一、选择题（每小题3分，本大题共只小题，共24分）1.实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．2【考点】实数与数轴．【专题】常规题型；能力层次．【答案】C【分析】根据点b在数轴上的位置可求．【解答】解：将﹣a，b在数轴上表示出来如下：∵﹣a＜b＜a．∴b在﹣a和a之间．选项中只有﹣1符合条件．故选：C．2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（）A．0.36×105B．3.6×105C．3.6×104D．36×103【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】实数；符号意识．【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：36000＝3.6×104，3.将一个小正方体按图中所示方式展开．则在展开图中表示棱a的线段是（）A．AB B．CD C．DE D．CF【考点】几何体的展开图．【专题】几何图形；空间观念；几何直观．【答案】C【分析】将原图复原找出对应边．【解答】解：三角形对应的面为DCFE，a对应的边为DE．故选：C．4.不等式组的解集为（）A．x＞3B．x＞5C．x＜5D．3＜x＜5【考点】解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力．【答案】B【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x﹣6＞0，得：x＞3，解不等式4﹣x＜﹣1，得：x＞5，则不等式组的解集为x＞5，故选：B．5.分式可变形为（）A．B．﹣C．D．【考点】分式的基本性质．【专题】分式；符号意识．【分析】利用分式的基本性质变形即可．【解答】解：＝﹣．故选：B．6.解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x+2）2＝3B．（x﹣2）2＝3C．（x+2）2＝5D．（x﹣2）2＝5【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣配方法．【专题】一元二次方程及应用；符号意识．【答案】C【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．【解答】解：∵x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x+4＝5，∴（x+2）2＝5，故选：C．7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．根据尺规作图痕迹，下列结论一定正确的是（）A．BC＝EC B．BE＝EC C．BC＝BE D．AE＝EC【考点】作图—基本作图．【专题】作图题；几何直观．【答案】C【分析】证明∠BEC＝∠BCE，可得结论．【解答】解：由作图可知，CD⊥AB，CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠B+∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠ECD+∠DCB，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE，故选：C．8.如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在y轴正半轴，OB＝1．设点A的纵坐标为m，△OAB的面积为S，当1≤S≤3时，m的取值范围是（）A．1≤m≤3B．≤m≤C．2≤m≤6D．≤m≤3【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；推理能力．【答案】B【分析】先求出点A的横坐标，再根据三角形面积公式求解．【解答】解：把y＝m代入y＝中得x＝，∴点A坐标为（，m），∴△OAB的面积为BO•x A＝，∴1≤≤3，解得≤m≤．故选：B．二、填空题（每小题3分，本大题共6小题，共18分）9.分解因式：a2﹣4＝．【考点】因式分解﹣运用公式法．【答案】见试题解答内容【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．10.若二次根式有意义，则实数a的取值范围是．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】二次根式；运算能力．【答案】a≤2．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，2﹣a≥0，解得，a≤2，故答案为：a≤2．11.若一个正多边形的内角和为1080°，则这个多边形一个外角的大小为．【考点】多边形内角与外角．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】45°．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算求得边数，然后根据多边形的外角和即可得到结论．【解答】解：设正多边形是n边形，则（n﹣2）•180°＝1080°，解得n＝8．360°÷8＝45°，故答案为：45°．12.扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为150°．AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面的面积为cm2．【考点】扇形面积的计算．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】π．【分析】根据扇形的面积公式，利用扇面的面积＝S扇形BAC﹣S扇形DAE进行计算．【解答】解：∵AB＝30cm，BD＝20cm，∴AD＝10cm，∵∠BAC＝150°，∴扇面的面积＝S扇形BAC﹣S扇形DAE＝﹣＝π（cm2）．故答案为π．13.如图，工程师为了测量小岛A到公路BD的距离，先在点B处测∠ABD＝37°，再沿BD方向前进100米到达点C，测得∠ACD＝45°，则小岛A到公路BD的距离约为米．（参考数据：sin37°＝0.6．cos37＝0.8，tan37°＝0.75）【考点】解直角三角形的应用．【专题】应用题；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】300．【分析】过A作AE⊥CD垂足为E，设AE＝x米，再利用锐角三角函数关系得出BE＝x，CE＝x，根据BC＝BE﹣CE，得到关于x的方程，即可得出答案．【解答】解：如图，过A作AE⊥CD垂足为E，设AE＝x米，在Rt△ABE中，tan B＝，∴BE＝＝x，在Rt△ABE中，tan∠ACD＝，∴CE＝＝x，∵BC＝BE﹣CE，∴x﹣x＝100，解得：x＝300．答：小岛A到公路BD的距离为300米．故答案为：300．14.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象如图所示，下面四个结论，①abc＜0；②a+c＜b；③2a+b＝1；④a+b≥m（am+b），其中全部正确的是（）【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】①④．【分析】先根据图象开口朝向确定a的符号，由图象与y轴交点确定c的符号，由对称轴为直线x＝1确定b的符号与b与a的比值，x＝1时函数值y最大．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，b＞0，∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，①正确．把x＝1代入解析式得y＝a+b+c＞0，∴a+c＞b，②错误．∵图象对称轴为直线x＝＝1，∴﹣b＝2a，即2a+b＝0，∴③错误．由a+b≥m（am+b）得a+b+c≥am2+bm+c，∵x＝1时函数值y＝a+b+c为最大值，∴④正确．故答案为：①④．三、解答题＜本大题共10小题，共78分）15.先化简，再求值：a（a﹣9）﹣（a+3）（a﹣3），其中a＝1﹣．【考点】整式的混合运算—化简求值．【专题】整式；运算能力．【答案】﹣9a+9＝9．【分析】先算乘法，再合并同类项，最后求出答案即可．【解答】解：a（a﹣9）﹣（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9a﹣a2+9＝﹣9a+9，当a＝1﹣，时，原式＝﹣9×（1﹣）+9＝9．16.甲、乙、丙三位同学在“环保知识竞赛”问答环节中，采用抽签的方式决定出场顺序．请你用画树状图的方法，求甲比乙先出场的概率．【考点】列表法与树状图法．【专题】概率及其应用．【答案】见试题解答内容【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲比乙先出场的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】画出树状图得：∵共有6种等可能的结果，甲比乙先出场的有3种情况，∴甲比乙先出场的概率为＝．17.甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城．已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10千米/时，结果两辆车同时到达C城．求两车的速度．【考点】分式方程的应用．【专题】行程问题．【答案】见试题解答内容【分析】设甲的速度是x千米/时，那么乙的速度是（x﹣10）千米/时，路程知道，且同时到达，可以时间做为等量关系列方程求解．【解答】解：设甲的速度是x千米/时，乙的速度是（x﹣10）千米/时，依题意得：解得x＝90经检验：x＝90是原方程的解x﹣10＝80答：甲的速度是90千米/时，乙的速度是80千米/时．18.如图，在△ABC中，AB＝AC．AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠F AC的平分线，DE∥AB，交AG于点E．（1）求证：四边形ADCE是矩形．（2）若DE＝10，BC＝12，则sin∠BAC＝．【考点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；矩形的判定与性质；解直角三角形．【专题】矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形．（2）过C作CF⊥AB于F，由勾股定理求出AD，再由三角形的面积公式求出CF，根据三角函数的定义即可求出sin∠BAC．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠MAE＝∠EAC，∵∠B+∠ACB＝∠MAE+∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠MAE＝∠EAC，∴AE∥CD，又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE∥BD，AE＝BD，∵AD⊥BC，AB＝AC，∴BD＝DC，∴AE∥DC，AE＝DC，故四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．即四边形ADCE是矩形；（2）证明：∵四边形ADCE是矩形，∴AC＝DE，∵AD⊥BC，AB＝AC，∴BD＝DC，∵DE＝10．BC＝12，∴BD＝6，AB＝AC＝10，∴AD＝＝＝8，过C作CF⊥AB于F，∵S△ABC＝BC•AD＝AB•CF，∴CF＝＝＝，∴sin∠BAC＝＝＝，故答案为：．19.图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在格点上，按要求在图①、图②中作图并计算其面积．（1）在图①中画一个四边形ABCD，使四边形ABCD有一组对角相等，S四边形ABCD＝；（2）在图②中画一个四边形ABCE，使四边形ABCE有一组对角互补，S四边形ABCE＝．【考点】三角形的面积；作图—应用与设计作图．【专题】作图题；几何直观．【答案】（1）6．（2）．【分析】（1）根据要求作出图形，利用分割法求出面积．（2）根据要求画出图形，利用分割法求出面积．【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求作，S四边形ABCD＝×2×3+×2×3＝6．故答案为：6．(2)如图，四边形ABCE即为所求作，S四边形ABCE＝×2×3+×1×3＝．故答案为：．20.伊利集团是中国规模最大、产品线最全的乳制品企业．综合实践小组的同学从网上搜集到如下一些伊利集团近几年的营业状况的资料，其中图1是2013﹣2018年伊利集团营业收入及净利润情况统计图，图2是2018年伊利集团各品类业务营业收入比例情况统计图（数据来源：公司财报、中商产业研究院）．综合实践小组的同学结合统计图提出了如下问题，请你解答：（1）2018年，伊利集团营收及净利再次刷新行业记录，稳居亚洲乳业第一，这一年，伊利集团实现营业收入亿元，净利润亿元．（2）求2018年伊利集团“奶粉及奶制品”业务的营业收入（结果精确到0.1亿元）．（3）在2013﹣2018这6年中，伊利集团的净利比上一年增长额最多的是年；估计2019年伊利集团的净利润将比上一年增长亿元，并说明理由．【考点】近似数和有效数字；扇形统计图；条形统计图．【专题】统计的应用；应用意识．【答案】（1）795.5，64.4；（2）81.1亿；（3）2017，15，理由见解答．【分析】（1）由统计图中信息即可得到结论；（2）用2018年伊利集团营业收入乘以“奶粉及奶制品“业务的营业收入所占的百分比即可得到结论；（3）根据统计图中的信息即可得到结论．【解答】解：（1）由统计图可得，2018年伊利集团实现营业收入795.5亿元，净利润64.4亿元；故答案为：795.5，64.4；（2）795.5×（1﹣83.2%﹣6.3%﹣0.3%）≈81.1（亿），答：2018年伊利集团“奶粉及奶制品“业务的营业收入约为81.1亿；（3）在2013﹣2018这6年中；伊利集团净利润比上一年增长额最多的是2017年；2019年伊利集团的净利润将比上一年增长15亿元，理由是因为2013年到2015数据发生突变，故参照2015年到2018年的数据进行估算可知，伊利集团近三年的净利润的增长额分别为13.5亿，16亿，13.9亿，据此估计2019年伊利集团净利润的增长额为15亿元；故答案为：2017，15，因为2013年到2015数据发生突变，故参照2015年到2018年的数据进行估算可知，伊利集团近三年的净利润的增长额分别为13.5亿，16亿，13.9亿，据此估计2019年伊利集团净利润的增长额为15亿元．21.根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放．在换水时需要经“排水一清洗一灌水”的过程．某游泳馆从早上7：00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的1.6倍，其中游泳池内剩余的水量y（m3）与换水时间上x（h）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）该游泳池清洗需要小时．（2）求排水过程中的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）若该游泳馆在换水结束30分钟后才能对外开放，判断游泳爱好者小致能否在中午12：30进入该游泳馆游泳，并说明理由．【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；应用意识．【答案】（1）1.2；（2）y＝﹣800x+1200（0≤x≤1.5）；（3）不能．【分析】（1）根据函数图象中的数据可以解答本题；（2）根据题意核函数图象中的数据可以求得排水过程中的y（m3）与x（h）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）根据题意可以求得下午几点开放，然后与12：30比较大小即可解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，该游泳池清洗需要：2.7﹣1.5＝1.2（小时），故答案为：1.2；（2）设排水过程中的y（m3）与x（h）之间的函数关系式为：y＝kx+b，由题，得，解得，∴排水过程中的y与x之间的函数关系式为：y＝﹣800x+1200（0≤x≤1.5）；（3）由题意可得，排水的速度为：1200÷1.5＝800（m3/h），∴灌水的速度为：800÷1.6＝500（m3/h），∴灌水用的时间为：1200÷500＝2.4（h），∴对外开放的时间为：7+2.7+2.4+＝12：36＞12：30，∴游泳爱好者小致不能在中午12：30进入该游泳馆游泳．22.【教材呈现】华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A═30°．求证：BC＝AB．证明：作邻边AB上的中线CD，则请你结合图①，将证明过程补充完整．【结论应用】如图②，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D是AB的中点．过点D作DE∥BC交AC于点E．则线段AB与DE的数量关系为．【拓展提升】一副三角板按图②所示摆放，得到△ABD和△BCD．其中∠ADB＝∠BCD ＝90°，∠A＝60°．∠CBD＝45°．点E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F．若AB＝8cm．则EF的长为cm．【考点】三角形综合题．【专题】几何综合题；推理能力；应用意识．【答案】（1）证明见解答；（2）BC＝4DE；（3）+．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，可得CD＝BD＝AD，再证明△BCD是等边三角形，即可证明结论；（2）取BC的中点，连接DF，应用（1）的结论可得BC＝AB，再证明四边形CEDF 是平行四边形，应用平行四边形性质即可得到答案；（3）过点A作AG⊥CD交CD的延长线于点G，应用（1）的结论可得出AD，再运用解直角三角形或勾股定理求出BD，BC，AG，最后应用梯形中位线定理即可求出EF．【解答】解：（1）如图①，作斜边AB上的中线CD，则CD＝BD＝AD，∵∠ACB＝90°，∠A═30°，∴∠B＝90°﹣∠A═90°﹣30°＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BC＝CD＝AB．（2）如图②，取BC的中点，连接DF，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB，∵D，F分别是AB，BC的中点，∴DF∥AC，∵DE∥BC，∴四边形CEDF是平行四边形，∴DE＝CF＝BC，∴DE＝BC，即BC＝4DE．故答案为：BC＝4DE.（3）如图③，过点A作AG⊥CD交CD的延长线于点G，∵∠ADB＝∠BCD＝90°，∠A＝60°．∠CBD＝45°，∴∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝×8＝4（cm），∴BD＝AB•sin∠A＝8sin60°＝4（cm），∴BC＝BD•cos∠CBD＝4cos45°＝2（cm），∵∠ADC＝90°﹣∠CBD＝45°，∴∠ADG＝180°﹣∠ADB﹣∠BDC＝45°，∵∠G＝90°，∴AG＝AD•sin∠ADG＝4sin45°＝2（cm），∵EF⊥CD，BC⊥CD，AG⊥CD，∴AG∥EF∥BC，∵点E为AB的中点，∴EF＝（AG+BC）＝×（2+2）＝（+）cm；故答案为：+．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm．BC＝4cm．点P从点A出发，沿AB以每秒3cm的速度向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交射线BC于点Q，以PQ为一边向上作正方形PQMN，点P不与A、B重合．设点P的运动时间为t（秒）．（1）求线段PQ的长（用含t的代数式表示）．（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分是四边形时，求t的取值范围．（3）在不添加辅助线的条件下．当图中有全等三角形时，直接写出t的值．【考点】四边形综合题．【专题】压轴题；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】（1）（5﹣3t）．（2）t＝0或≤t＜．（3）t＝或t＝或t＝或t＝．【分析】（1）先通过勾股定理求出AB，再用含t代数式PB，由tan B＝＝求解．（2）点P未出发与点Q落在BC边上时满足题意．（3）图中直角三角形均相似，数形结合，分类讨论各个三角形全等的情况．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝5cm，∵AP＝3t，∴BP＝5﹣3t，∵tan B＝＝，∴PQ＝PB＝（5﹣3t）．（2）如图，t＝0时，MN交BC于点L，正方形PQMN与△ABC重叠部分是四边形NLCA满足题意，如图，当点Q与点C重合时，∵cos A＝＝＝，∴AP＝AC，即3t＝×3，解得t＝，∴≤t＜满足题意．综上所述，t＝0或≤t＜．（3）①△APK≌△QCK时，K为AC中点，即AK＝AP＝×3t＝×3，解得t＝，②当△APK≌△LNB时，PK＝NB，∴AP+PN+NB＝AB，即AP+PQ+AP＝AB，∴3t+（5﹣3t）+×3t＝5，解得t＝，③当△QCK≌△LNB时，BN＝CK，∵BN＝AB﹣PN﹣AP，CK＝AC﹣AK，∴AB﹣PN﹣AP＝AC﹣AK，即5﹣（5﹣3t）﹣3t＝3﹣5t，解得t＝，④当△APQ≌△LMQ时，Q与C重合，t＝．综上所述，t＝或t＝或t＝或t＝．24.在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2ax﹣a（a为常数）．（1）当（﹣，m）在抛物线上，求m的值．（2）当抛物线的最低点到x轴的距离恰好是时，求a的值．（3）已知A（﹣1，1）、B（﹣1，2a﹣），连接AB．当抛物线与线段AB有交点时，记交点为P（点P不与A、B重合），将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到线段PM，以PM、P A为邻边构造矩形PMQA．①若抛物线在矩形PMQA内部的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，求a的取值范围．②当抛物线在矩形PMQA内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出a的值．【考点】二次函数综合题．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】（1）．（2）a＝﹣或a＝或a＝．（3）①﹣＜a＜0或a＞．②a＝﹣1+或a＝﹣1﹣或a＝﹣．【分析】（1）将（﹣，m）代入y＝x2﹣2ax﹣a求解．（2）求出顶点坐标，通过顶点纵坐标为±求解．（3）①通过数形结合，讨论抛物线对称轴与矩形边的位置关系与抛物线经过临界点时的值求解．②分类讨论点B在A上方与点B在A下方两种情况，分别求出最高点与最低点坐标作差求解．【解答】解：（1）将（﹣，m）代入y＝x2﹣2ax﹣a可得：m＝+a﹣a，∴m＝．（2）∵y＝x2﹣2ax﹣a＝（x﹣a）2﹣a2﹣a，∴抛物线顶点坐标为（a，﹣a2﹣a），当﹣a2﹣a＝时，解得a＝﹣，当﹣a2﹣a＝﹣时，解得a＝或a＝．∴a＝﹣或a＝或a＝．（3）①AB所在直线解析式为x＝﹣1，将x＝﹣1代入y＝x2﹣2ax﹣a得y＝1+a，∴点P坐标为（﹣1，1+a），当点B在点A上方时，2a﹣＞1+a＞﹣1，解得a＞，∵PB＝PM＝2a﹣﹣（1+a）＝a﹣，∴点M横坐标为﹣1+a﹣＝a﹣，∵a＞a﹣，∴抛物线对称轴在点M右侧，满足题意，∴a＞．当点B在点A下方时，﹣1＞1+a＞2a﹣，解得a＜0，∵PB＝PM＝1+a﹣（2a﹣）＝﹣a，∴点M横坐标为﹣1﹣（﹣a）＝a﹣，当抛物线经过点M时，a＝，解得a＝﹣，∴﹣＜a＜0满足题意．综上所述，﹣＜a＜0或a＞．②由①得Q的横坐标为a﹣，∴Q的坐标为（a﹣，1），当a＞，抛物线经过点Q时，将（a﹣，1）代入抛物线解析式得：1＝（a﹣）2﹣2a（a﹣）﹣a，解得a＝或a＝（舍），抛物线与直线x＝a﹣交点为（a﹣，﹣a2﹣a+），当＜a＜时，抛物线与矩形交点最高点为点P（﹣1，1+a），最低点坐标为（a ﹣，﹣a2﹣a+），﹣a2﹣a+﹣（1+a）＝时，解得a＝﹣1+或a＝﹣1﹣（舍）．当a＜0时，抛物线经过点Q时，a＝，∴≤a＜0时，抛物线与矩形交点最高点纵坐标为1，最低点纵坐标为点P纵坐标为1+a，当1﹣（1+a）＝时，a＝﹣．当a＜时，抛物线与直线MQ交点（a﹣，﹣a2﹣a+）为最高点，点P为最低点，当﹣a2﹣a+﹣（1+a）＝时，解得a＝﹣1+（舍）或a＝﹣1﹣．综上所述，a＝﹣1+或a＝﹣1﹣或a＝﹣．。
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C．﹣1.52×105米D．1.52×10﹣4米
3．如图是由4个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体 放到小正方体 的正上方，则该几何体的（）
A．主视图会发生改变Байду номын сангаас．俯视图会发生改变
C．左视图会发生改变D．三种视图都会发生改变
4．不等式 的解集为()
（1）该游泳池清洗需要小时．
（2）求排水过程中的 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围．
（3）若该游泳馆在换水结束 分钟后才能对外开放，判断游泳爱好者小致能否在中午 进入该游泳馆游泳，并说明理由．
22．数学兴趣活动课上，小致将等腰 的底边 与直线 重合．
（1）如图(1)，在 中， ，点 在边 所在的直线 上移动，根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小致发现 的最小值是____________．
20．图 、图 均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， 的顶点均在格点上，点 为边 的中点．分别在图 、图 中 的边 上确定点 并作出直线 ，使 与 相似．
要求：（1）图 、图 中的点 位置不同．
（2）只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．
21．根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放．在换水时需要经“排水一清冼一灌水”的过程．某游泳馆从早上 开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的 倍，其中游泳池内剩余的水量 与换水时间上 之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：
2021年吉林省长春市东北师大附中九年级下学期二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在数轴上，小手遮挡住的点表示的数可能是（ ）
A．﹣1.5B．﹣2.5C．﹣0.5D．0.5
2．已知某细菌直径长约0.0000152米，那么该细菌的直径长用科学记数法可表示为（ ）
12．如图，矩形 的顶点 落在 的边 上， 落在边 上，且 .只用无刻度的直尺作 的平分线，小致的作法如下：连结 交于点 作射线 则射线 平分 .下面的几何性质： 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线互相平分； 等腰三角形的“三线合一”，其中是小致作图依据的是____．(只填序号)
13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象经过点 且与函数 的图象交于点 .若一次函数 随 的增大而增大，则 的取值范围是____．
（2）为进一步运用该结论，在（1）的条件下，小致发现，当 最短时，如图(2)，在 中，作 平分 交 于点 点 分别是边 上的动点，连结 小致尝试探索 的最小值，小致在 上截取 使得 连结 易证 ，从而将 转化为 转化到（1）的情况，则 的最小值为；
（3）解决问题：如图(3)，在 中， ，点 是边 上的动点，连结 将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 连结 ，求线段 的最小值．
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是()
A． B． C． D．
6．点 经过某种图形变换后得到点 这种图形变换可以是()
A．关于 轴对称B．关于 轴对称
C．绕原点逆时针旋转 D．绕原点顺时针旋转
7．某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 绕点 旋转到 的位置．已知 米，若栏杆的旋转角 ，则栏杆端点 升高的高度为()
A． 米B． 米C． 米D． 米
8．（2016山西省）宽与长的比是 （约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
23．如图，在 中， 为边 的中点．点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿 运动到点 停止，同时点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿折线 运动到点 停止，当点 停止运动时，点 也停止运动．当点 不与 的顶点重合时，过点 作 交 的边于点 以 和 为边作 ，设点 的运动时间为 (秒)， 的面积为 (平方单位)．
A．矩形ABFEB．矩形EFCDC．矩形EFGHD．矩形DCGH
二、填空题
9．分解因式： =_______________．
10．若关于 的一元二次方程 没有实数根，则 的取值范围是____．
11．颐和园坐落在北京西郊，是第一批全国重点文物保护单位之一．小万去颐和园参加实践活动时发现有的窗户造型是正八边形，如下图所示，则∠1＝__°．
19．伊利集团是中国规模最大、产品线最全的乳制品企业．综合实践小组的同学从网上搜集到如下一些伊利集团近几年的营业状况的资料，其中图1是2013-2021年伊利集团营业收入及净利润情况统计图，图2是2021年伊利集团各品类业务营业、收入比例情况统计图(数据来源：公司财报、中商产业研究院)．
综合实践小组的同学结合统计图提出了如下问题，请你解答：
17．学校征集校园便道地砖铺设的图形设计，小致用学校提供的若干个完全相同的小长方形模具(如图 )拼出一个大长方形和一个正方形(如图 、图 )，其中所拼正方形中间留下一个边长为 小正方形的空间，求一个小长方形模具的面积．
18．如图，在 中， 是边 上一点．以 为圆心， 长为半径作 交边 于点 ；过 作 的切线交边 于点 .求证： ．
（1）2021年，伊利集团营收及净利再次刷新行业记录，稳居亚洲乳业第一，这一年，伊利集团实现营业收入亿元，净利润亿元．
（2）求2021年伊利集团“奶粉及奶制品”业务的营业收入(结果精确到 亿元)．
（3）在2013-2018这 年中，伊利集团的净利比上一年增长额最多的是年；估计2021年伊利集团的净利润将比上一年增长亿元，并说明理由．
14．如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于 两点，拱桥最高点 到 的距离为 为拱桥底部的两点，且 若 的长为 则点 到直线 的距离为____
三、解答题
15．先化简(1+ )÷ ，再选择一个恰当的x值代人并求值．
16．一个不透明盒子中放有三张除所标数字不同外其余均相同的卡片，卡片上分别标有数字1，2，3.从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，再次随机抽取一张一记下数字，请用画树状图(或列表)的方法，求第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率.