分支定界法

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分支定界法

分支定界法分支定界法是指以系统的结构为根据，划分以增强系统的面向特性来提出设计方案和获取满足特性的分析。

它旨在深入讨论系统的面向，思考如何穿越技术障碍，为建设一个系统或程序制定高效的解决方案。

它是一种能够带动系统行为的基础方法论，作为技术贴贴合系统的基础，是软件交互的核心技术。

从理论上讲，分支定界法是一种基于面向对象思想的技术，旨在优化软件开发流程、架构和设计，使得程序的流程更加完善，功能更加完善，可以改善系统的性能和可用性。

通常，分支定界法将系统分成若干个模块，并根据实际需求考虑设计模块之间的联系和交互。

比如，用户按照特定需求进行功能结构划分时，就会把一个软件系统分解成多个模块，每个模块负责实现一些特定功能，不同模块间的联系由定义的接口完成。

分支定界法的实施要求：首先，确认客观事实和设计需求，把客观事实提炼成抽象的需求，对需求进行定义和分解，得到一组架构和结构要素；其次，把要素组合起来划分模块，厘清模块之间的联系，定义模块之间的交互关系；再次，分析模块之间的联系，作出架构和结构选择；最后，根据分析结果制定设计方案，提出满足特性的分析，以便用于实施和交付的项目。

从现代软件开发的角度看，分支定界法是软件开发中最基本的一种方法，也是最高效的方法之一，它有助于提高系统的可维护性，减少设计漏洞，解决软件可扩展性和可重复性方面的问题。

此外，分支定界法有利于改善系统的性能，给系统或软件制定更加合理有效的解决方案，增强系统的安全性、稳定性和可用性，减少单位成本，提高开发效率，从而节约成本，达到预期的服务水平。

因此，分支定界法在系统设计开发中发挥着重要作用，成为现代软件开发流程的核心技术，是企业获取竞争优势的重要手段之一。

但是，分支定界法的有效落实需要充分考虑系统的实际需求和市场行情，充分发挥技术优势，全面提升软件开发效率，才能有效实现长期可持续发展。

分支定界法

分支定界法分支定界法，也称为分界定义法，是为了确定并将客观事物归类的一种逻辑基础规范。

它是一组文本规范，用于描述和分类客观事物，以及它们之间的关系。

它分析客观事物的共性，从这些共性，弄清楚客观事物以及它们之间的关系，形成分支定义法。

分支定界法最初创造于18世纪的德国，由卡尔文贝因茨（Karl von Bennizs）提出，他的著作 Theorie der classifikation（分类理论）发表于1790年。

他的主要思想是：通过对客观事物的共性的分析，将客观事物归类，并形成一系列的分类方法。

分支定界法一般包括三个层次：主类，亚类，次类。

主要是将客观事物按照一定的共性划分到不同的类别中，然后在每个主类中进行更详细的分析，形成子类，从而将客观事物更细致地分类。

分支定界法有很多优点。

首先，它可以更好地适应新出现的客观事物，以及客观事物可能出现的新情况。

这是因为，分支定界法有着一系列的分类方法，不仅具有某种共性，而且有着不同的子类，这些子类可以更好地形成客观事物之间的关系，并且有利于新类别的形成。

此外，分支定界法还可以帮助人们进行判断。

分界定义法是一种可以把客观事物细致分类的方法，从而可以更好地去判断两个客观事物之间是否有关系，或者相似度如何，从而帮助我们做出判断。

然而，分支定界法也有一定的局限性。

有时，分支定界法所指定的客观事物重叠，或者具有相同的共性，这会降低分类的准确性。

此外，它也会忽略一些客观事物的细微差别，这可能会影响分类的结果。

总之，分支定界法是一种有效的客观事物归类方法。

它可以更好地划分客观事物的共性，也可以更直观地反映客观事物之间的关系，从而有效地把客观事物归类。

此外，它还可以帮助我们做出判断，但它也有一定的局限性，必须在不同的客观事物之间上尽量保持准确性和细微差别。

运筹学_分支定界法

⑵
5 x1 6 x 2 3 0
x2
A 3 B
⑴x
1
x2 2
⑶
x1 4
1
1
3
x1 5 x 2 Z
x1
求（LP2） ,如图所示。
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x 6 x2 30 1 ( IP 2 ) x 1 4 x 2 1 x1 , x 2 0 且为整数
x1 x 2 2 x1 x 2 2 5 x 6 x2 30 5 x 6 x2 30 1 1 x1 x1 4 4 ( IP 2 2 ) ( IP 2 1) 2 2 x1 x1 x x 4 3 2 2 x1 , x 2 0 且为整数 x1 , x 2 0 且为整数
第三节分枝定界法
（一）、基本思路考虑纯整数问题：
m ax Z
n
c
j 1
n
j
xj
a ij x j b i ( i 1 .2 m ) ( IP ) j 1 x 0 ,( j 1 .2 n ) 且为整数 j
m ax Z
c
j 1
n
记为（IP）
解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 3 0 4 x1 x ,x 0 1 2
记为（LP）
用图解法求（LP）的最优解，如图所示。
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 3 0 4 x1 x ,x 0 1 2

运筹学课件第三节分支定界法

算法改进
针对不同问题的特点，分支定界法在算法实现上不断进行优化和改进，以提高求解效率。
3
理论分析
分支定界法的理论分析涉及算法的收敛性、复杂度等方面，为算法的改进提供了理论支持。
分支定界法的发展趋势
混合整数规划问题求解
随着混合整数规划问题的广泛应用，分支定界法在求解这类问题上的研究逐渐成为热点。
理论深化与完善
进一步深化分支定界法的理论分析，完善算法的理论体系。
应用拓展
拓展分支定界法的应用领域，解决更多实际问题。
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运筹学课件第三节分支定界法
contents
目录
• 分支定界法的概述 • 分支定界法的算法原理 • 分支定界法的实现过程 • 分支定界法的案例分析 • 分支定界法的优缺点分析 • 分支定界法的前沿研究与展望
01
分支定界法的概述
分支定界法的定义
分支定界法是一种求解整数规划问题的算法个子问题的解的界，来逐步逼近最优解。
03
分支定界法的实现过程
问题建模与参数设定
确定决策变量
根据问题的具体情况，确定决策变量，并为其设定合适的取值范
围。
定义目标函数
明确问题的目标，将其表示为一个数学表达式，以便进行优化。
约束条件
根据问题的限制条件，建立相应的约束条件。
建立搜索树与初始化
建立搜索树
根据问题建模的结果，建立一个搜索树，用于表示问题的解空间。
的获取概率。
优化分支策略
02
通过改进分支策略，减少算法产生的分支数量，降低算法的复
杂度和计算量。
引入智能搜索策略
03
将智能搜索策略（如遗传算法、模拟退火等）与分支定界法结

分支定界法详解

1、概念：分支定界算法(Branch and bound，简称为BB、B&B, or BnB)始终围绕着一颗搜索树进行的，我们将原问题看作搜索树的根节点，从这里出发，分支的含义就是将大的问题分割成小的问题。

大问题可以看成是搜索树的父节点，那么从大问题分割出来的小问题就是父节点的子节点了。

分支的过程就是不断给树增加子节点的过程。

而定界就是在分支的过程中检查子问题的上下界，如果子问题不能产生一比当前最优解还要优的解，那么砍掉这一支。

直到所有子问题都不能产生一个更优的解时，算法结束。

2、例子：用BB算法求解下面的整数规划模型因为求解的是最大化问题，我们不妨设当前的最优解BestV为-INF，表示负无穷。

1.首先从主问题分出两支子问题：通过线性松弛求得两个子问题的upper bound为Z_LP1 = 12.75，Z_LP2 = 12.2。

由于Z_LP1 和Z_LP2都大于BestV=-INF，说明这两支有搞头，继续往下。

2.3.从节点1和节点2两个子问题再次分支，得到如下结果：子问题3已经不可行，无需再理。

子问题4通过线性松弛得到最优解为10，刚好也符合原问题0的所有约束，在该支找到一个可行解，更新BestV = 10。

子问题5通过线性松弛得到upper bound为11.87>当前的BestV = 10，因此子问题5还有戏，待下一次分支。

而子问题6得到upper bound为9<当前的BestV = 10，那么从该支下去找到的解也不会变得更好，所以剪掉！4.对节点5进行分支，得到：子问题7不可行，无需再理。

子问题8得到一个满足原问题0所有约束的解，但是目标值为4<当前的BestV=10，所以不更新BestV，同时该支下去也不能得到更好的解了。

6.此时，所有的分支遍历都完成，我们最终找到了最优解。

3、算法过程（以最小化问题minimize f(x)为例）1、使用启发式，找到优化问题的解决方案xh。

5.2 分支定界法

min Z x1 5 x 2 x 1 x 2 2 5 x1 6 x 2 30 4 x1 x1 , x 2 0
LP
用图解法求松弛问题的最优解，如图所示。
x1＝18/11, x2 =40/11 Z=－218/11≈(－19.8) 即Z 也是IP最小值的下限。对于x1＝18/11≈1.64，
分枝定界法注意事项：
(1)、分枝变量选择原则： ① 按目标函数系数：选系数绝对值最大者变量先分。
对目标值升降影响最大。
② 选与整数值相差最大的非整数变量先分枝。
③ 按使用者经验，对各整数变量排定重要性
的优先顺序。
(2)、分枝节点选择：
① 深探法(后进先出法)：
最后打开的节点最先选，尽快找到整数解。整数解质量可能不高。 ② 广探法：选目标函数当前最大值节点，找到的整数解质量高。慢。
max Z 4 x1 3 x 2
10
B
LP2:X=(4,6.5), Z2=35.5
LP1 LP2 o 3 4 C ①
1.2 x1 0.8 x 2 10 2 x1 2.5 x 2 25 LP 2 : x1 4 x1 , x 2 0
②
x2
选择目标值最大的分 LP 枝 2进行分枝，增加约束 x 2 6及x 2 7，显然 x 2 7不可行，得到线性规划
例5.6 用分枝定界法求解整数规划问题
min Z x1 5 x 2 x 1 x 2 2 IP 5 x1 6 x 2 30 4 x1 x1 , x 2 0且全为整数
解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题(原整数规划问题的松驰问题)

分支定界法知识

分支定界(branch and bound) 算法是一种在问题的解空间树上搜索问题的解的方法。

但与回溯算法不同，分支定界算法采用广度优先或最小耗费优先的方法搜索解空间树，并且，在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。

利用分支定界算法对问题的解空间树进行搜索，它的搜索策略是：1 ．产生当前扩展结点的所有子结点；2 ．在产生的子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点；3 ．将其余的子结点加入活结点表；4 ．从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。

如此循环，直到找到问题的可行解（最优解）或活结点表为空。

分支定界法本质还是一种枚举法，但是是隐枚举法。

它是整数规划领域中非常重要的一类算法思想。

是很多重要算法的源头。

它能解决的实际问题很多，最著名的一个应该就是求解背包问题。

定义分支定界法（branch and bound）是一种求解整数规划问题的最常用算法。

这种方法不但可以求解纯整数规划，还可以求解混合整数规划问题。

算法步骤第1步：放宽或取消原问题的某些约束条件，如求整数解的条件。

如果这时求出的最优解是原问题的可行解，那么这个解就是原问题的最优解，计算结束。

否则这个解的目标函数值是原问题的最优解的上界。

第2步：将放宽了某些约束条件的替代问题分成若干子问题，要求各子问题的解集合的并集要包含原问题的所有可行解，然后对每个子问题求最优解。

这些子问题的最优解中的最优者若是原问题的可行解，则它就是原问题的最优解，计算结束。

否则它的目标函数值就是原问题的一个新的上界。

另外，各子问题的最优解中，若有原问题的可行解的，选这些可行解的最大目标函数值，它就是原问题的最优解的一个下界。

第3步：对最优解的目标函数值已小于这个下界的问题，其可行解中必无原问题的最优解，可以放弃。

对最优解的目标函数值大于这个下界的子问题，都先保留下来，进入第4步。

第4步：在保留下的所有子问题中，选出最优解的目标函数值最大的一个，重复第1步和第2步。

分支定界法——精选推荐

分⽀定界法分⽀定界法（branch and bound）是⼀种求解离散数据组合的最优化问题。

该算法执⾏的效率取决于你所找的问题解空间的上下界，如果找到⼀个很紧凑的上下界进⾏剪枝操作，该算法的执⾏效率会⾮常⾼，因此它是最有可能在多项式时间内求解NP问题的算法。

使⽤分⽀定界算法的⼀般步骤为：构造⼀棵搜索树，该搜索树指的是所有解空间，因此通过遍历该搜索树可以遍历到所有的解；构造问题解的上下界，上界⼀般为之前求出的最优解，下界为⽆约束条件下当前搜索路径的最优解，上下界的主要作⽤是对搜索树进⾏剪枝；通过回溯法遍历搜索树，并且不断更新上下界，如果当前解的下界已经超过上界，则进⾏剪枝；遍历结束时，所求的解为最优解。

接下来通过⼀个实例来讲解分⽀定界算法：某公司于⼄城市的销售点急需⼀批成品，该公司成品⽣产基地在甲城市。

甲城市与⼄城市之间共有 n 座城市，互相以公路连通。

甲城市、⼄城市以及其它各城市之间的公路连通情况及每段公路的长度由矩阵M1 给出。

每段公路均由地⽅政府收取不同额度的养路费等费⽤，具体数额由矩阵 M2 给出。

请给出在需付养路费总额不超过 1500 的情况下，该公司货车运送其产品从甲城市到⼄城市的最短运送路线。

(题⽬来源：北航研究⽣算法课)⾸先构造⼀棵搜索树，该搜索树并不需要显⽰的构建，⽽是在搜索过程中所遵循的⼀种搜索规则。

对于上述问题，以甲城市为根节点构建⼆叉树，其它节点由剩余城市表⽰，树的左⼦树表⽰当前路径包含该⽗节点，树的右⼦树表⽰当前路径不包含该⽗节点。

如图所⽰该搜索路径所表⽰的实际路径为1-3-4，即路径中不包含城市2。

然后分析该问题解的上下界：搜索路径的上界为当前已经求出的满⾜条件的最短路径长度。

搜索路径的下界为当前路径长度与⽆约束条件下路径终点到城市⼄的最短路径长度之和。

若上界⼤于下界，则可以继续搜索；若上界⼩于下界，则表⽰⽆更优解，此时可进⾏剪枝操作。

其中⽆约束条件下的任意点到城市⼄的最短路径长度可以使⽤Dijkstra或Floyd算法预先求出。

运筹学第三节分支定界法

的子集，这两个子问题的最优解的目标函数值都不会比原
线性规划问题的最优解的目标函数值更大。如果这两个问
题的最优解仍不是整数解，则继续选择一个非整数的变量，
继续将这个子问题分解为两个更下一级的子问题。这个过
程称为“分支（Branch）”。
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每一次分支得到的子问题最优解的目标函数值，都小于或等于分支前问题的最优解的目标函数值。非整数解的最大值作为新的上界。
意图），并设最优解位于C。如
果这个最优解中所有的变量都
是整数，则已经得到整数规划
的最优解。如果其中某一个变量Xr不是整数，则在可行域中 X2
除去一块包含这个最优解但不 E
包含任何整数解的区域
DC
Ir<Xr<Ir+1（其中Ir是变量Xr
的整数部分），线性规划的可
行域被划分成不相交的两部分，
分别以这两部分区域作为可行
Z=4
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不同的搜索策略会导致不同的搜索树，一般情况下，同一层的两个子问题，先搜索目标函数比较大的较有利（如果是极小问题，则应先搜索目标函数值小的较为有利）。这样可能得到数值比较大的下界，下界越大被剪去的分支越多。
分支定界算法对于混合整数规划特别有效，对没有整数要求的变量就不必分支，这将大大减少分支的数量。
X1 ，
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说明: 1、在B121,B122 的可行域中不可能存在比以上所求解的2个最优解更好的解。 2、目标函数值maxZ=4作为IP规划的最优解的目标函数的一个界限（MAX,下界;MIN,上界）；
求极小问题时，LP问题的解是IP问题的下界。每次分支后的子问题最优解的目标函数值都大于或等于分支前的最优值。如分支中得到整数解，则最小的整数解为上界。如分支的目标函数值大于上界，则停止分支。

分支定界法

分支定界法
从理论上讲，分支定界法是一种可以帮助企业做出明智决策的管理方法。

它由美国知名管理学家西尔瓦哈勃提出，旨在确定企业未来看似可行、最有效的发展方向。

这一方法主要使用有限假设法来探讨一个企业在实现目标时可能遇到的各种情景，可以在限定的时间内，建立完整的模型，让企业的决策更加准确和有效，从而有利于企业的未来发展。

分支定界法主要是使用设定的假设来确定企业应该如何进行决策。

通过分支定界法，可以区分出一些有限的情景，即某项决策会带来哪些结果。

然后，通过评估这些情景，就可以确定企业该如何采取行动，以实现其具体目标。

分支定界法也是企业决策制定过程中，分析可能会出现的各种情况，以及选择性的行动措施的重要工具。

它的目的是帮助企业更好的识别和分析可能出现的问题，避免企业可能出现的失误和过度依赖单一结果的局限性，从而使企业可以更好的利用自身的优势达到绩效预期的目的。

此外，分支定界法还可以帮助企业把握趋势，实现竞争优势。

它可以让企业预测市场趋势，通过深入分析市场情况，为企业提供合理的发展建议，更好的把握机遇，提高竞争力。

总之，分支定界法是一种管理工具，可以帮助企业进行计划、决策、实施及控制，以期达到企业的具体目标。

它可以有效地建立完善的模型，从而使企业的决策步骤更加明晰，有利于企业的可持续发展。

同时，分支定界法还可以帮助企业预测市场趋势，提高竞争力，使企业在未来发展中可以不断前进。

分支定界算法

分支定界 (branch and bound) 算法是一种在问题的解空间树上搜索问题的解的方法。

利用分支定界算法对问题的解空间树进行搜索，它的搜索策略是：1 ．产生当前扩展结点的所有孩子结点；2 ．在产生的孩子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点；3 ．将其余的孩子结点加入活结点表；4 ．从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。

如此循环，直到找到问题的可行解（最优解）或活结点表为空。

从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点，根据选择方式的不同，分支定界算法通常可以分为两种形式：1 ． FIFO(First In First Out) 分支定界算法：按照先进先出原则选择下一个活结点作为扩展结点，即从活结点表中取出结点的顺序与加入结点的顺序相同。

2 ．最小耗费或最大收益分支定界算法：在这种情况下，每个结点都有一个耗费或收益。

如果要查找一个具有最小耗费的解，那么要选择的下一个扩展结点就是活结点表中具有最小耗费的活结点；如果要查找一个具有最大收益的解，那么要选择的下一个扩展结点就是活结点表中具有最大收益的活结点。

又称分支定界搜索法。

过程系统综合的一类方法。

该法是将原始问题分解，产生一组子问题。

分支是将一组解分为几组子解，定界是建立这些子组解的目标函数的边界。

如果某一子组的解在这些边界之外，就将这一子组舍弃（剪枝）。

分支定界法原为运筹学中求解整数规划(或混合整数规划)问题的一种方法。

用该法寻求整数最优解的效率很高。

将该法原理用于过程系统综合可大大减少需要计算的方案数日。

分支定界法的思想是：首先确定目标值的上下界，边搜索边减掉搜索树的某些支，提高搜索效率。

在竞赛中，我们有时会碰到一些题目，它们既不能通过建立数学模型解决，又没有现成算法可以套用，或者非遍历所有状况才可以得出正确结果。

分支定界法

分支定界法分支定界法，顾名思义，就是按照定好的界进行分支。

这里说的分支意思是“剪枝”。

剪的枝是问题解空间树的枝。

所谓解空间树，即此问题所有解和中间解形成的树型结构，是有序的。

常有排列树和子集树之分，举个例子，n个物品的0-1背包问题的解空间树就是子集树(每个物品都可能为0或1)，而最短路径问题的解空间树是一颗排列树。

分支定界法一般有两种实现形式：1.优先队列法2.FIFO队列法。

这与分支定界的思想无太多本质联系，只是前者在一般情况下能更快的求得问题解。

分支定界法要对问题的解空间树进行“剪枝”操作以减少对解空间树的搜索。

那么问题是，如何“剪枝”？这就要回答如何定界的问题。

在分支定界法中，“界”的作用就是用来阻止对不可行分支的搜索的。

当解空间树很深时（叶子节点为解），如果能在前面几层就预先的知道了“此路不通”或者“此路不是最优”而停止此路的继续，这样能大幅度的提高算法效率。

如何定界要放入具体问题中考虑，一般可以以“理论最大最小”这个概念来求界。

以0-1背包问题为例，设所有物品预先已经按照单位价值量递减排列。

在解空间树的第i层（此时正在考虑第i个物品是否应该被放入的时刻），设左子树为放入i物品，右子树为不放i物品。

那么在确定左子树的上界的时候有：界=当前价值+i的价值+MaxValue(背包剩余重量-i物品重量);其中的MaxValue为放i后剩余背包容量能获得的最大价值，应该注意的是此最大价值为理论意义上的最大价值，比如在继续放入p个后(按单位价值量递减),放不下第p+1个，此时应该按(Value[p+1]/Weight[p+1])*(WeightLeft)来计p+1物品的价值,(实际中不可能放入零点几个某物品。

)；右子树的情形类似。

知道了如何定界，那么在实际流程中就要根据当前目标节点的界来剪枝了（是用上界还是下界，具体问题具体分析）。

今天准备举个稍微有点挑战的例子---NPC问题中的TSP问题。

在TSP问题中，由于是环路，每个节点都要进出各一次，我们可以将每个节点最小的入度和最小的出度的和累加作为一个下界，这个下界几乎不可能达到！（全部最小出度的和即为下面提到的rcost的初值）初始时我们创建一个最小堆，表示活节点队列。

分支定界法

LP21
LP22
S22 x2 3 S212 x1 3, x 2 1
z0 4
无可行解
x1 2
z4 z4
S211
x1 2 , x 2 2 z0 4
LP211
LP212
返回

⑵ 定界就没有分支的线性规划问题而言,以最优目标函数值中的最大者为上界，以符合整数条件 0
⑶ 比较与剪枝
若上界等于下界，则停止；否则，剪去小于下界的分支，对于大于下界的分支继续重复步骤２（优先分支函数值较大者）。
其松弛问题的最优解为：A（3/2，10/3）
因X1=3/2, 所以IP问题的最优解中x1的取值范围一定满足x1≤1（区域1）或x1≥2（区域2），如下图所示。
A(3 2 ,10 3)
区域1
区域2
１
２
３
x1
⑴ 分支假设松弛问题中 xi b i 不是整数，则构造两 b i 及 xi b i 1 个约束条件 xi 分别加入松弛问题中得到子问题LP1与LP2，即两个后继问题，并求解之。
zC z2 41/ 9
zD z21 61/ 14
zE z211 4
C (2, 23 9) D(33 14,2)
zF z212 4
B(1, 7 3)
E (2,2)
s2 s21
F (3,1)
s212
０
１ s211 ２
３
x1
S x1
x1 1
x 1 1, x 2 7 / 3 S1 z 0 10 / 3
第三节分支定界法
一、分支定界法步骤二、示例
一、分支定界法步骤
使用范围：纯整数、混合整数规划。基本思想：求松弛问题最优解，逐步缩小可域。

分支定界法

分支定界法分支定界法(branch and bound)是一种求解整数规划问题的最常用算法。

这种方法不但可以求解纯整数规划，还可以求解混合整数规划问题。

基本信息中文名称：分支定界法外文名称：branch and bound用途：整数规划问题性质：算法定义分支定界法（branch and bound）是一种求解整数规划问题的最常用算法。

这种方法不但可以求解纯整数规划，还可以求解混合整数规划问题。

算法步骤第1步：放宽或取消原问题的某些约束条件，如求整数解的条件。

如果这时求出的最优解是原问题的可行解，那么这个解就是原问题的最优解，计算结束。

否则这个解的目标函数值是原问题的最优解的上界。

第2步：将放宽了某些约束条件的替代问题分成若干子问题，要求各子问题的解集合的并集要包含原问题的所有可行解，然后对每个子问题求最优解。

这些子问题的最优解中的最优者若是原问题的可行解，则它就是原问题的最优解，计算结束。

否则它的目标函数值就是原问题的一个新的上界。

另外，各子问题的最优解中，若有原问题的可行解的，选这些可行解的最大目标函数值，它就是原问题的最优解的一个下界。

第3步：对最优解的目标函数值已小于这个下界的问题，其可行解中必无原问题的最优解，可以放弃。

对最优解的目标函数值大于这个下界的子问题，都先保留下来，进入第4步。

第4步：在保留下的所有子问题中，选出最优解的目标函数值最大的一个，重复第1步和第2步。

如果已经找到该子问题的最优可行解，那么其目标函数值与前面保留的其他问题在内的所有子问题的可行解中目标函数值最大者，将它作为新的下界，重复第3步，直到求出最优解。

分支定界法

其松弛问题的最优解为：A（3/2，10/3）
因X1=3/2, 所以IP问题的最优解中x1的取值范围一定满足x1≤1（区域1）或x1≥2（区域2），如下图所示。
A(3 2 ,10 3)
区域1
区域2
１
２
３
x1
⑴ 分支假设松弛问题中 xi b i 不是整数，则构造两 b i 及 xi b i 1 个约束条件 xi 分别加入松弛问题中得到子问题LP1与LP2，即两个后继问题，并求解之。
LP0 z 29 6 1.5, x 2 10/3 z 0 29 / 6
x1 2
x 1 2 , x 2 23 / 9 S2 z 0 41 / 9
z0
Байду номын сангаас
LP1
LP2
z 41 9 z0
x2 2
x2 3
z 61 14 z0
S21
x1 33 / 14 , x 2 2 z 0 61 / 14
LP21
LP22
S22 x2 3 S212 x1 3, x 2 1
z0 4
无可行解
x1 2
z4 z4
S211
x1 2 , x 2 2 z0 4
LP211
LP212
返回
第三节分支定界法
一、分支定界法步骤二、示例
一、分支定界法步骤
使用范围：纯整数、混合整数规划。基本思想：求松弛问题最优解，逐步缩小可域。
１、求解松弛问题的最优解，若非整数解，转２。２、分支与定界。下面我们先通过示例来了解一下第2 步的思路。例： max Z x x 1 2
9 51 x x 1 14 2 14 1 2 x1 x2 3 x1 , x2 0且取整数

分支定界法

以下内容基本为转载内容:1. 模型整数规划的模型与线性规划基本相同，只是额外的添加了部分变量为整数的约束。

2. 求解步骤整数规划求解的基本框架是分支定界法（Branch and bound，BnB）。

首先去除整数约束得到“松弛模型”，使用线性规划的方法求解。

若有某个变量不是整数，在松弛模型上分别添加约束：x<=floor(A)和x>=ceil(A)然后再分别求解，这个过程叫做分支。

当节点求解结果中所有变量都是整数时，停止分支。

这样不断迭代，形成了一棵树。

定界，指的是叶子节点产生后，相当于给问题定了一个下界。

之后在求解过程中一旦某个节点的目标函数值小于这个下界，那就直接pass，不用再进行分支了；每次新产生叶子节点，则更新下界。

3. python算法实现import mathfrom scipy.optimize import linprogimport sysdef integerPro(c,A,b,Aeq,beq,t=1.0E-12):res=linprog(c,A_ub=A,b_ub=b,A_eq=Aeq,b_eq=beq)if(type(res.x)is float):#produces error codebestX=[sys.maxsize]*len(c)else:bestX=res.xbestVal=sum([x*y for x,y in zip(c,bestX)])if all(((x-math.floor(x))<t or(math.ceil(x)-x)<t)for x in bestX): return(bestVal,bestX)else:ind=[i for i,x in enumerate(bestX)if(x-math.floor(x))>t and (math.ceil(x)-x)>t][0]newCon1=[0]*len(A[0])newCon2=[0]*len(A[0])newCon1[ind]=-1newCon2[ind]=1newA1=A.copy()newA2=A.copy()newA1.append(newCon1)newA2.append(newCon2)newB1=b.copy()newB2=b.copy()newB1.append(-math.ceil(bestX[ind]))newB2.append(math.floor(bestX[ind]))r1=integerPro(c,newA1,newB1,Aeq,beq)r2=integerPro(c,newA2,newB2,Aeq,beq)if r1[0]<r2[0]:return r1else:return r2例子：输入c=[3,4,1]A=[[-1,-6,-2],[-2,0,0]]b=[-5,-3]Aeq=[[0,0,0]]beq= [0]print(integerPro(c,A,b,Aeq,beq))输出(8.0,array([2.,0., 2.]))其中8是目标函数值，2，0，2是3个整数变量的值。

分支定界算法

分支定界算法
分支定界算法是一种全局最优解的搜索算法，它通过对搜索空间的分割和剪枝来求解最优解。

它是一种分支限定法，可以在多种优化问题中应用，用于求解最优解，如最大化目标函数、最小化目标函数等。

分支定界算法的基本思想是：在搜索空间中选择一个基本变量（未知变量），然后根据某种启发式规则，将它分成两个子空间，从而有效地减少搜索空间。

接着，对子空间中的每一个变量尝试求解，最终求得一个最优解。

分支定界法的优点在于可以有效地缩小搜索空间，提高求解效率；同时，它也可以解决多种优化问题，具有很强的适用性。

分支定界法常用于解决复杂的优化问题，如最优路径搜索、最优调度等。

它可以有效地缩小搜索空间，提高求解效率；同时，它也可以解决多种优化问题，具有很强的适用性。

虽然分支定界法可以有效地解决复杂的优化问题，但它也存在一定的局限性。

首先，搜索空间的大小会影响求解的效率，如果搜索空间太大，分支定界法就不能有效地求解最优解；其次，分支定界法要求基本变量的取值范围可以被明确定义，否则难以进行搜索；最后，分支定界法对于高维变量的搜索也不太友好。

分支定界法是一种有效的搜索算法，可以有效地缩小搜索空间，提高求解效率，广泛应用于多种优化问题中，而且它还有一定的局限性。

分支定界法

分支定界法分支定界法是一种基于数学理论的模型，它可以帮助我们做出最优的决策。

其基本概念是，首先通过给定一个目标函数，对其进行最优化，然后根据这个函数的极值，将其分割成不同的子区域，并依次在每个子区域内选择最优的结果。

在分支定界法的实践中，每个子区域内，我们都可以计算出最优的结果。

从此，如果我们需要做出一个明智的决定，就可以从这些子区域中选择最优的结果。

分支定界法的应用非常广泛，可以用于求解某些领域的优化问题，比如机器学习和运筹学等。

在机器学习领域，它可以用于求解某些非线性优化问题；在运筹学领域，它可以用于求解复杂的线性规划和非线性规划问题。

分支定界法的基本原理如下，首先建立一个数学模型，确定其中的目标函数以及约束条件；然后，利用最优化方法求解最优解；最后，利用定界方法将最优解正确地确定在子空间中，即定界子空间，从而减少最优问题的搜索空间。

分支定界法的实现过程是：首先，根据求解问题，建立目标函数及约束条件；然后，通过最优化方法求解最优解；最后，利用定界方法来确定最优解在子空间中的正确位置，从而减少搜索空间。

分支定界法具有很多优势，最主要的优势就在于可以大大减少求解最优解的搜索空间，这样可以大大提高求解最优解的效率，也可以有效避免解决问题时出现“陷入局部最优”的情况。

另外，分支定界法还可以更好地提高算法的可靠性，可以有效避免过拟合或欠拟合问题，也可以有效地减少数据的噪声影响。

分支定界法目前已经得到了广泛的应用，比如无约束优化问题、有约束优化问题、最短路径问题、线性规划问题、非线性规划问题等都可以使用分支定界法来求解。

另外，分支定界法还可以用于多目标优化问题，如多目标规划、多约束优化问题、多目标贝叶斯优化问题等。

总之，分支定界法是一种模型，它可以帮助我们做出最优的决策，并可以应用在求解复杂的优化问题中。

它的优势在于可以帮助我们更好地求解最优解，也可以避免出现陷入局部最优的情况，且可以更好地提高算法的可靠性，可以有效的减少计算的噪声影响，因此受到广泛的应用。

分支定界法概述（1）

分支定界法概述（1）分枝定界-简介分枝定界（branch and bound）是另一种系统地搜索解空间的方法，它与回溯法的主要区别在于对E-节点的扩充方式。

每个活节点有且仅有一次机会变成E-节点。

当一个节点变为E-节点时，则生成从该节点移动一步即可到达的所有新节点。

在生成的节点中，抛弃那些不可能导出（最优）可行解的节点，其余节点加入活节点表，然后从表中选择一个节点作为下一个E-节点。

从活节点表中取出所选择的节点并进行扩充，直到找到解或活动表为空，扩充过程才结束。

分枝定界-方法有两种常用的方法可用来选择下一个E-节点（虽然也可能存在其他的方法）：1) 先进先出（F I F O）即从活节点表中取出节点的顺序与加入节点的顺序相同，因此活节点表的性质与队列相同。

2) 最小耗费或最大收益法在这种模式中，每个节点都有一个对应的耗费或收益。

如果查找一个具有最小耗费的解，则活节点表可用最小堆来建立，下一个E-节点就是具有最小耗费的活节点；如果希望搜索一个具有最大收益的解，则可用最大堆来构造活节点表，下一个E-节点是具有最大收益的活节点。

分枝定界-例子例5-1 【迷宫老鼠】考察图16-3a 给出的迷宫老鼠例子和图1 6 - 1的解空间结构。

使用F I F O分枝定界，初始时取（1，1）作为E-节点且活动队列为空。

迷宫的位置（1 , 1）被置为1，以免再次返回到这个位置。

（1，1）被扩充，它的相邻节点（1，2）和（2，1）加入到队列中（即活节点表）。

为避免再次回到这两个位置，将位置（1，2）和（2，1）置为1。

此时迷宫如图1 7 - 1 a所示，E-节点（1，1）被删除。

节点（1，2）从队列中移出并被扩充。

检查它的三个相邻节点（见图1 6 - 1的解空间），只有（1，3）是可行的移动（剩余的两个节点是障碍节点），将其加入队列，并把相应的迷宫位置置为1，所得到的迷宫状态如图17-1b 所示。

节点（1，2）被删除，而下一个E-节点（2，1）将会被取出，当此节点被展开时，节点（3，1）被加入队列中，节点（3，1）被置为1，节点（2，1）被删除，所得到的迷宫如图17-1c 所示。

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