分支定界法

task1
task2
B
task3
C D B
task4
D C D B C B D C D A C A D B D A B A C B C A B A
C
D B
D
C C
4! = 24
10! = 3628800
A
D A
A C
D A D B A D A D A D B D B A C A B C A C B C B
分支定界法
概述

通用搜索方法。

最优化问题（组合优化）。
"An automatic method of solving discrete programming problems". EcHale Waihona Puke Baidunometrica 28 (3). pp. 497–520.
A. H. Land and A. G. Doig (1960).
15! = 1307674368000
20! = 2432902008176640000
C
B
基本思想

分支定界法的基本思想
S1
S
min s.t.
f ( x) xS
S3 S2

把S 分成若干个子集。（分支） 在每个子集上，估计 f 的取值范围。（定界） 丢弃不可能存在最优解的那些子集。（剪枝） 重复以上过程，直至找到最优解。
C DCCC=12
举例
Task1 Task2 A BADC=13 C B
BA?? BC?? BD?? A??? DA?? DBA? DB?? DBC?
C???
A ACDA=14
BCDA=12
D BDCC=13
BCDC=9
DC??
All solns
DCDC=7
C CBDA=13 D A DACC=12 B DCCC=8 DBCC=10
Task1 Task2 A BADC=13 C
C???
A
ACDA=14 B
A???
DB??
BCDA=12 D BDCC=13
DC??
All solns DCDC=7
BCDC=9
C CBDA=13 D A DACC=12 B DCCC=8 DBCC=10
CurBest=12 CurBest=13 (CBDA) (BCDA)
概述

分支定界法的思想
举例
基本思想

从一个实例谈起
（分派问题）设生产任务1、2、3、4，皆可由四 人A、B、C、D去完成。每个人完成各项任务所 需的时间（分钟）不同，如下表。规定每人只能 安排一项任务。请问如何分派这四项任务，使总 时间最少。
1 A A A …… 2 B B C 3 C D B 4 D C D
举例
举例：用分支定界法解分派问题
All solns
？？？？
DCDC=7 CurBest = +∞
举例
Task1
B???
????
C???
A ACDA=14 B
A???
D???
All solns DCDC=7
BCDC=9
C
CBDA=13
D DCCC=8
CurBest=13 CurBest = +∞ (CBDA)
举例
Task1 Task2
B??? DA??
C???
A ACDA=14
D???
B
A???
DB??
DC??
BCDC=9 All solns DCDC=7 C CBDA=13 D
A DACC=12
B C DCCC=12
DCCC=8 DBCC=10
CurBest=13 (CBDA)
举例
BA?? BC?? B??? BD?? DA??
A
DBAC=11 C
CurBest=12 CurBest=11 (BCDA) (DBAC)
DBCA=13 C DCCC=12
举例

分支定界法的基本思想
S1
S
min
f ( x) xS
S3 S2

把S 分成若干个子集。（分支） 在每个子集上，估计 f 的取值范围。（定界） 丢弃不可能存在最优解的那些子集。（剪枝） 重复以上过程，直至找到最优解。