整数规划及分支定界法概要
分支定界法
分支定界法第一篇：分支定界法整数线性规划之分支定界法摘要最优化理论和方法是在上世纪 40 年代末发展成为一门独立的学科。
1947年，Dantaig 首先提出求解一般线性规划问题的方法，即单纯形算法，随后随着工业革命、计算机技术的巨大发展，以及信息革命的不断深化，到现在的几十年时间里，它有了很快的发展。
目前，求解各种最优化问题的理论研究发展迅速，例如线性规划、非线性规划以及随机规划、非光滑规划、多目标规划、几何规划、整数规划等，各种新的方法也不断涌现，并且在军事、经济、科学技术等方面应用广泛，成为一门十分活跃的学科。
整数规划（integer programming）是一类要求要求部分或全部决策变量取整数值的数学规划，实际问题中有很多决策变量是必须取整数的。
本文主要介绍求解整数线性规划问题的分支定界法及其算法的matlb实现。
关键词：整数线性规划；分支定界法；matlb程序；1．引言1.1优化问题发展现状最优化理论与算法是一个重要的数学分支，它所讨论的问题是怎样在众多的方案中找到一个最优的方案.例如，在工程设计中，选择怎样的设计参数，才能使设计方案既满足要求又能降低成本；在资源分配中，资源有限时怎样分配，才能使分配方案既可以满足各方面的要求，又可以获得最多的收益；在生产计划安排中，怎样设计生产方案才能提高产值和利润；在军事指挥中，确定怎样的最佳作战方案，才能使自己的损失最小，伤敌最多，取得战争的胜利；在我们的生活中，诸如此类问题，到处可见.最优化作为数学的一个分支，为这些问题的解决提供了一些理论基础和求解方法.最优化是个古老的课题.长期以来，人们一直对最优化问题进行着探讨和研究.在二十世纪四十年代末，Dantzig 提出了单纯形法，有效地解决了线性规划问题，从而最优化成为了一门独立的学科。
目前，有关线性规划方面的理论和算法发展得相当完善,但是关于非线性规划问题的理论和算法还有待进一步的研究，实际应用中还有待进一步的完善。
整数规划 割平面法 分枝定界法
用图解法求得可行域D及最优解点A，见下图：
x2
A（3/4，7/4） 由标准化的约束方程组可得
-x1+x2=1
1
D B（1，1）
x3 =1+x1-x2 x4=4 -3x1-x2 代入切割方程 得
-1 0
3x1+x2=4
3（1+x1-x2）+（4-3x1-x2）≥3
下面以实例来说明算法的步骤。
例2 求解下面整数规划
x2
maxZ=40x1+90x2
⑴8
9x1+ 7x2≤56 7x1+20x2≤70 xx11,,xx22≥0整数
⑵
⑶ ⑷
4
⑸
解：先不考虑条件⑸，求解相 0
应的线性规划问题L，得最优解
x1=4.81，x2=1.82，Z0=356（见图） 该解不是整数解。选择其中一个
整个分枝定界过程如下图所示：
问题L
Z0=356 x1=4.81x2=1.82
Z 0,Z 356
x1≤4
问题L1 Z1=349 x1=4.00，x2=2.10
x2≤2 问题L3 Z3=340 x1=4.00 x2=2.00
Z※=340
x2≥3
问题L4 Z4=327 x1=1.42 x2=3.00
×
x1≥5
运筹学
整数线性规划
§1 整数规划问题
在前面的线性规划问题中，它的解都假设为可以取连续数值。 但是在许多实际问题中，决策变量仅仅取整数值时才有意义，比如 变量表示的是工人的人数、机器的台数、货物的箱数、装货的车皮 数等等。为了满足整数解的要求，比较自然的简便方法似乎就是把 用线性规划方法所求得的非整数解进行“四舍五入”取整或“舍尾 取整”处理。当然，这样做有时确实也是有效的，可以取得与整数 最优解相近的可行整数解，因此它是实际工作中经常采用的方法。 但是实际问题中并不都是如此，有时这样处理得到的解可能不是原 问题的可行解，有的虽是原问题的可行解，但却不是整数最优解。 （详见后面例1）。因而有必要专门研究只取整数解的线性规划的 解法问题。
milp优化问题的典型求解方法
Milp（Mixed Integer Linear Programming）是一类线性规划问题，其变量包括整数型和实数型变量。
对于Milp优化问题，常见的求解方法包括整数规划分支定界法、整数规划切割平面法、启发式算法等。
本文将着重介绍Milp优化问题的典型求解方法，以便读者更好地理解和应用这些方法。
一、整数规划分支定界法1. 整数规划分支定界法是一种常用的Milp求解方法，其基本思想是通过不断地分支和界定变量取值范围来逐步逼近最优解。
具体步骤包括：（1）初始化线性规划问题，将整数变量约束为取值范围。
（2）求解线性松弛问题，得到最优解和最优目标值。
（3）检查最优解中的整数变量是否满足整数条件，若满足则更新最优解和目标值，否则进行分支操作。
（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。
二、整数规划切割平面法2. 整数规划切割平面法是另一种常用的Milp求解方法，其核心思想是通过不断添加约束条件来逼近最优解。
具体步骤包括：（1）初始化线性规划问题，将整数变量约束为取值范围。
（2）求解线性松弛问题，得到最优解和最优目标值。
（3）检查最优解中的整数变量是否满足整数条件，若满足则更新最优解和目标值，否则添加约束条件。
（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。
三、启发式算法3. 启发式算法是一类常用的Milp求解方法，其特点是通过启发式策略来搜索最优解。
常见的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索算法等。
这些算法通过不断地迭代和搜索来寻找最优解，其求解步骤包括：（1）初始化种群或解空间。
（2）根据指定策略进行选择、交叉和变异操作。
（3）更新种群或解空间，并计算适应度值。
（4）重复步骤（2）和步骤（3）直至满足终止条件。
四、优化问题的特点及应用4. Milp优化问题的求解方法在实际应用中具有广泛的适用性，常见的应用领域包括生产调度、物流规划、网络设计等。
由于Milp问题的复杂性和求解困难性，对于实际问题的建模和求解需要充分考虑问题特点和求解方法的选择。
1整数规划的基本特点§2分枝定界法§3割平面法§4分配问题及其解法
将松弛变量加到G1中得到LP问题G2:
G2： max z 3x1 2 x 2 2 x1 3x 2 x3 14 2 x1 x 2 x 4 9 1 1 1 s.t. x3 x 4 x5 2 2 2 1 1 x5 x 6 2 2 x j 0( j 1,,6)
第一步：把问题中所有约束条件的系数均化 为整数，若不考虑变量的整数约束，可写出一般 的线性规划问题G0：
G 0： max z 3 x1 2 x 2 2 x1 3 x 2 14 s.t. 2 x1 x 2 9 x1 , x 2 0
用单纯形法求得上述问题的最终单纯形表如下：
第5章 整数规划
§1 §2 §3 §4 §5 整数规划的基本特点 分枝定界法 割平面法 分配问题及其解法 整数规划的应用举例
§3 割平面法
• 这是求解整数规划问题最早提出的一种方法， 1958年由Gomory提出。 • 他的基本思想是在整数规划问题的松弛问题中 依次引进线性约束条件，是可行域逐步缩小。 但每次切割只割去问题的部分非整数解，直到 使问题的目标函数值达到最优的整数点成为缩 小后可行域的一个顶点，这样即可用线性规划 问题的方法找出这个最优解。 • 具体步骤如下：
迭代 基变 次数 量 CB x2 x1 2 3 Cj-Zj
x1 3 0 1 0
x2 2 1 0 0
x3 0 1/2 -1/4 -1/4
x4 0 -1/2 3/4 -5/4 b 5/2 13/4
比值 bi/aij
第二步：找出非整数解变量中分数部分最大的一个基变量， 并写下这一行的约束 1 1 1 x3 x4 2 2 2 2 将上式中所有常数写成整数与一个正分数值之和得 x2 1 1 1 x2 (0 ) x3 (1 ) x4 (2 ) 2 2 2 分数项移到等式右端，整数项移到等式左端得到 1 1 1 x2 x4 2 x3 x4 2 2 2 右端也必须取整数值，又因x2 , x4 0，因此有 1 1 1 x3 x4 0 2 2 2 加上松弛变量后得Gomory约束 1 1 1 x3 x4 x5 0 2 2 2
基于分支定界法的整数规划问题研究与应用
基于分支定界法的整数规划问题研究与应用1. 引言1.1 整数规划概述整数规划是运筹学中的一种重要问题求解方法，它主要关注于在一组约束条件下，寻找使某个目标函数取得最优值的整数决策变量。
与线性规划相比，整数规划问题更为复杂和困难，因为整数规划要求决策变量取值必须为整数。
这使得整数规划问题在实际应用中更具挑战性。
整数规划可以广泛应用于资源分配、生产调度、网络设计等领域，例如在生产调度中，整数规划可以帮助厂商合理安排生产计划，最大限度地提高生产效率；在网络设计中，整数规划可以帮助网络规划者确定最优的网络拓扑结构，以实现网络资源最大化利用。
整数规划在实际问题中具有重要的应用价值。
为了解决整数规划问题，研究人员提出了各种求解方法，其中一种常用的方法就是分支定界法。
下面将介绍分支定界法的原理和步骤，以及其在整数规划中的应用实例和优缺点。
【2000字】1.2 分支定界法简介分支定界法是一种解决整数规划问题的有效方法，它可以帮助我们在有限的时间内找到最优解。
这种方法通过将问题分解为子问题并逐步缩小搜索范围来提高求解效率。
分支定界法的基本思想是通过逐步分支和缩小搜索范围来逼近最优解。
在每一步中，我们选择一个变量，并将其分支为两个子问题，一个子问题包含该变量的上界，另一个子问题包含该变量的下界。
然后，我们对这两个子问题进行求解，直到找到最优解或确定该子问题无解。
分支定界法的优点是可以确保找到最优解，因为它逐步缩小搜索范围直到找到最优解为止。
该方法在实际应用中具有较高的效率，可以解决许多复杂的整数规划问题。
分支定界法也存在一些缺点，例如在处理大规模问题时可能会遇到指数级的计算复杂性。
为了提高效率，我们需要不断优化算法，并结合其他启发式方法来提高求解速度。
分支定界法是一种强大的方法，可以应用于各种整数规划问题中。
通过不断改进和优化算法，我们可以进一步提高求解效率，实现更多实际应用场景中的最优解。
2. 正文2.1 分支定界法的原理分支定界法的原理是一种用于解决整数规划问题的有效方法。
求解整数规划问题的分支定界法
求解整数规划问题的分支定界法整数规划问题是运筹学和数学中非常重要的一个分支，它本身又有着非常广泛的应用，例如资源分配、制造流程规划等等。
但是，由于整数规划问题的复杂性，导致绝大部分问题都是NP困难问题，即使运用最先进的算法，也很难找到一个高效的解决方案。
然而，分支定界法就是其中一种能够求解整数规划问题的有效方法。
一、什么是整数规划整数规划是指在线性规划（LP）问题的基础上，需要将变量的取值限制为整数类型（不是实数类型），其数学描述如下所示：$$\begin{aligned} \max \ \ & c^Tx \\s.t. \ \ & Ax \leq b\\& x_i\in\mathbb{Z} \ \ (i=1,2,...,n)\end{aligned}$$其中$c,x, b$以及 $A$分别是问题中的参数，表示目标函数的系数、变量向量、约束条件以及约束矩阵。
二、什么是分支定界法分支定界法，又被称为分支剪枝法，是求解整数规划问题的一个常用方法。
它的核心思想在于，将整数规划问题分解为多个子问题，并通过将问题空间不断地分割，不断缩小问题的范围，从而找到最优解。
分支定界法大致分为以下几个步骤：（1）确定目标函数与约束条件，即整数规划问题的数学模型；（2）运用松弛法将整数规划问题转化为线性规划问题，从而求解该线性规划问题及其最优解；（3）根据最优解的情况，判断该最优解是否为整数解，如果不是，则选择其中一个变量进行分支（通常是将其约束为下取整和上取整）；（4）根据变量的分支，得到两个新的整数规划问题，需要分别对其进行求解；（5）执行步骤（3）和（4），直到分支出的所有问题均已求解完毕，即得到原问题的最优解。
三、分支定界法的优缺点分支定界法虽然是一种有效的求解整数规划问题的方法，但是也有其优点和缺点。
优点：（1）能够精确求解整数规划问题。
（2）适用于各种规模的整数规划问题，虽然时间复杂度大，但是运作效率相对较高。
求解整数规划的方法
求解整数规划的方法整数规划是一种最优化问题，其解决方案限制了决策变量必须取整数值。
整数规划的应用非常广泛，涉及到许多实际问题，如制造业生产调度、物流优化、资源分配等。
在本文中，我们将介绍几种常用的整数规划方法。
一、分支定界法分支定界法是一种常用的整数规划求解方法，它通过不断将解空间分割为子问题并求解这些子问题，最终找到整数规划的最优解。
具体步骤如下：1. 初始时，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并求解线性规划问题的松弛解。
2. 如果松弛解满足整数约束条件，则找到一个整数解，更新当前最优解。
3. 如果松弛解不满足整数约束条件，则选择一个变量将其分割为两个子问题，并分别求解这两个子问题。
4. 对每个子问题，递归地应用上述步骤，直到找到一个整数解或者确定当前子问题的上界小于当前最优解。
5. 最终，得到整数规划的最优解。
分支定界法的优点是能够保证找到最优解，但其缺点是计算复杂度较高，特别是在问题规模较大时，会导致计算时间过长。
二、整数规划的近似算法当整数规划问题规模较大时，找到精确解的计算复杂度可能变得非常高，此时可以考虑使用近似算法来求解。
近似算法的思想是通过放松整数约束条件，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并对线性规划问题进行求解。
然后，根据线性规划问题的解，对整数规划问题进行修正，得到整数规划问题的一个近似解。
三、割平面法割平面法是一种常用的整数规划求解方法，它通过添加一系列线性不等式（割平面）来逐步减小可行解空间，最终找到整数规划的最优解。
具体步骤如下：1. 初始时，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并求解线性规划问题的松弛解。
2. 如果松弛解满足整数约束条件，则找到一个整数解，更新当前最优解。
3. 如果松弛解不满足整数约束条件，则根据当前松弛解所对应的目标函数值，添加一系列线性不等式（割平面）来限制可行解空间。
4. 对添加了割平面约束的线性规划问题，继续求解，并更新最优解。
5. 重复以上步骤，直到找到一个整数解或者确定当前问题的上界小于当前最优解。
线性整数规划分支定界法并行化研究
线性整数规划分支定界法并行化研究作者：李平风刘海峰来源：《电脑知识与技术》2016年第24期摘要：规划中的变量（全部或部分）限制为整数，称为整数规划。
若在线性模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
分支定界算法是解决整数规划的一个重要方法，然而算法的效率却有待提高。
该文先对分支定界法解决线性整数规划问题的步骤进行阐述，再通过使用matlab提供的并行化的支持来实现对于分支定界法的并行化，并将算法并行前和并行后的运行时间进行分析，来研究并行化对于算法效率的提高。
关键词：线性整数规划；分支定界；matlab；算法效率；并行化处理中图分类号：O246 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2016）24-0028-03Abstact： Variables （all or part） is limited to an integer， called integer programming. If the linear model， limited to an integer variable， is called linear integer programming. Branch and bound algorithm is an important method to solve integer programming. However， the efficiency of the algorithm needs to be improved. The paper elaborates the steps of solving linear integer programming problem by the method of branch and bound， then through then achieve branch and bound method for parallelization of algorithms in the use of parallelism supported by matlab. Analysis the running time of both before and after parallel to study the parallelization algorithms for efficiency.Key words： linear integer programming； branch and bound； matlab； algorithm efficiency； parallel processing1 分支定界法简介在线性规划问题中，有些最优解可能是分数或小数，但对于某些具体问题，常常会遇到一些变量的解必须是整数。
工学运筹学整数规划
第3节 0-1型整数规划
2、部分枚举法 ✓ 定义：只检查2n个可能的变量组合的
一部分，确定问题的最优解
第3节 0-1型整数规划
✓ 解题思路 （1）某个变量组合不满足其中一个约
束条件时，就不必再去检验其他约束 条件是否可行 （2）确定一个可行解的目标函数值： 对于目标函数值比它差的变量组合就 不必再去检验它的可行性；对于目标 函数值比它好的变量组合再去检验它 的可行性
一、0-1型变量的含义 变量只能取值0或1。
第3节 0-1型整数规划
二、0-1型变量的特点 ✓ 表示是或否 ✓ 表示系统是否处于某个特定状态 ✓ 表示决策时是否取某个特定方案 ✓ 当问题含有多项要素，每项要素都有
两种选择 ✓ 表示二进制变量
第3节 0-1型整数规划
例： 令 1，当决策取方案P时
x 0，当决策不取方案P时（即取P时）
第3节 0-1型整数规划
要求：用部分枚举法求解下列0-1型整 数规划。
44
min z
cij xij 1200 y 15001 y
i1 j1
x11 x21 x31 x41 350
x12
x22
x32
x42
400
x13
x23
x33
x43
300
x14 x24 x34 x44 150
x11 x12 x13 x14 400
x21
x22
x23
第2节 分支定界法
第二步：分支。 在松弛问题的最优解中任选一个不符合整数条
件的变量xi，其值为bi，用[bi]表示小于bi的 最大整数，构造以下两个约束条件：
xi bi 和xi bi +1
将这两个约束条件分别加入整数规划问题，形 成两个子问题，再求解这两个子问题的松弛 问题。
简述分支定界法的基本步骤
分支定界法的一般步骤如下：
①首先不考虑整数条件，求解整数规划相应的线性规划问题。
若相应的线性规划问题没有可行解，停止计算，这时原整数规划也没有可行解。
②定界过程。
对于极大化的整数规划问题，当前所有未分支子问题中最大的目标函数值为整数规划问题上界；在满足整数约束的子问题的解中，最大的目标函数值为整数规划问题的下界。
当上下界相同时，则已得最优解；否则，转入“剪枝”过程。
③“剪枝”过程。
在下述情况下剪除这些分支：若某一子问题相应的线性规划问题无可行解；在分支过程中，求解某一线性规划所得到的目标函数值Z不优于现有下界。
④分支过程。
当有多个待求分支时，应先选取目标函数值最优的一支继续分。
选取一个不符合整数条件的变量x作为分支变量，若xi的值是bi,构造两个新的约束条件：xi≤[bi]或xi≥[bi]
+1,分别并入相应的数学模型中，构成两个子问题。
对任一个子问题，转步聚①。
分支定界法
LP21
LP22
S22 x2 3 S212 x1 3, x 2 1
z0 4
无可行解
x1 2
z4 z4
S211
x1 2 , x 2 2 z0 4
LP211
LP212
返回
⑵ 定界 就没有分支的线性规划问题而言,以最优目 标函数值中的最大者为上界，以符合整数条件 0
⑶ 比较与剪枝
若上界等于下界，则停止；否则，剪去小于下 界的分支，对于大于下界的分支继续重复步骤２ （优先分支函数值较大者）。
其松弛问题的最优解为：A（3/2，10/3）
因X1=3/2, 所以IP问题的最优解中x1的取值范围一定满 足x1≤1（区域1）或x1≥2（区域2），如下图所示。
A(3 2 ,10 3)
区域1
区域2
１
２
３
x1
⑴ 分支 假设松弛问题中 xi b i 不是整数，则构造两 b i 及 xi b i 1 个约束条件 xi 分别加入松弛问题中得到子问题LP1与LP2，即 两个后继问题，并求解之。
zC z2 41/ 9
zD z21 61/ 14
zE z211 4
C (2, 23 9) D(33 14,2)
zF z212 4
B(1, 7 3)
E (2,2)
s2 s21
F (3,1)
s212
０
１ s211 ２
３
x1
S x1
x1 1
x 1 1, x 2 7 / 3 S1 z 0 10 / 3
第三节 分支定界法
一、分支定界法步骤 二、示例
一、分支定界法步骤
使用范围：纯整数、混合整数规划。 基本思想：求松弛问题最优解，逐步缩小可域。
整数规划1-概念、分支定界法
19
B2 : x1 5.00
图解法分析：
z 340 z 341
4
x2 1.57 z2 341 x2 2 x2 1
B5 : x1 5.44 B6 : x2 1.00 无可行解 z5 308
32Leabharlann 1B50 1 2 3 4 5 6 7
20
分支定界的全过程：
B : x1 4.81 x2 1.82 z 0 356
4
x1 4.81
x1 4 x2 1.82 z0 356 x1 5
B2 : x1 5.00 x2 1.57 z 2 341
3
2
1
B1 : x1 4
0 1 2 3 4
B2 z 0 z 349
5 6 7
18
图解法分析：
不是问题A解 而 z4 z B1 : x1 4.00
11
解的特点
整数线性规划及其松弛问题比较，前者 的最优解的目标函数值不会优于后者的。 例：考虑下面的整数规划问题
max z x1 4 x2 2 x1 3 x2 3 x1 2 x2 8 x , x 0 且取整数 1 2
12
从图上分析：
A1
P
A2 A4
B3 : x1 4.00 x2 2.00 z3 340
B4 : x1 1.42 x2 3.00 z 4 327
x2 1
*
x2 2
B5 : x1 5.44 B : 6 z z 340 x2 1.00 z5 308 无可行解
22
步骤：
步骤1、整数规划问题为A，其松弛问题为B 设 Z 为问题A的初始下界（min问题 为上界） 步骤2、求解问题B，有三种情况：
整数线性规划—整数线性规划问题的提出和分支定界解法
• 显然没有得到全部变量是整数的解。
• 因z1＞z2，故将 z 改为349，那么必存在最
优整数解，得到z*，并且0≤z*≤349
继续对问题B1和B2进行分解
• 因z1＞z2，故先分解B1为两支。增加条件 x2≤2者，称为问题B3；增加条件x2≥3者称 为问题B4。在图5-3中再舍去x2＞2与x3＜3 之间的可行域，
• 整数线性规划的一种特殊情形是0-1规划， 它的变数取值仅限于0或1。本章最后讲到的 指派问题就是一个0-1规划问题。
• 现举例说明用前述单纯形法求得的解不能保证 是整数最优解。
• 例1：某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱 的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如 表5-1所示。问两种货物各托运多少箱，可使获 得利润为最大?
• 再进行第二次迭代。
继续对问题B2进行分解
解题的过程都
列在定界法求解 整数线性规划（最大化）问题的步骤为：
• 将要求解的整数线性规划问题称为问题A， • 将与它相应的线性规划问题称为问题B。 • (1)解问题B，可能得到以下情况： • ① B没有可行解，这时A没有可行解，停止。 • ② B有最优解，并符合问题A的整数条件，B的
第2节 分支定界解法
• 在求解整数线性规划时，如果可行域是有界 的，首先容易想到的方法就是穷举变量的所 有可行的整数组合，就像在图5-1中画出所有 “+”号的点那样，然后比较它们的目标函数 值以定出最优解。对于小型的问题，变量数 很少，可行的整数组合数也是很小时，这个 方法是可行的，也是有效的。
• 在例1中，变量只有x1和x2 • 由条件②，x1所能取的整数值为0、1、2、3、
• 表5-1
货物 甲 乙 托运限制
体积(米 3/箱) 5 4
分支定界法
以下内容基本为转载内容:1. 模型整数规划的模型与线性规划基本相同，只是额外的添加了部分变量为整数的约束。
2. 求解步骤整数规划求解的基本框架是分支定界法（Branch and bound，BnB）。
首先去除整数约束得到“松弛模型”，使用线性规划的方法求解。
若有某个变量不是整数，在松弛模型上分别添加约束：x<=floor(A)和x>=ceil(A)然后再分别求解，这个过程叫做分支。
当节点求解结果中所有变量都是整数时，停止分支。
这样不断迭代，形成了一棵树。
定界，指的是叶子节点产生后，相当于给问题定了一个下界。
之后在求解过程中一旦某个节点的目标函数值小于这个下界，那就直接pass，不用再进行分支了；每次新产生叶子节点，则更新下界。
3. python算法实现import mathfrom scipy.optimize import linprogimport sysdef integerPro(c,A,b,Aeq,beq,t=1.0E-12):res=linprog(c,A_ub=A,b_ub=b,A_eq=Aeq,b_eq=beq)if(type(res.x)is float):#produces error codebestX=[sys.maxsize]*len(c)else:bestX=res.xbestVal=sum([x*y for x,y in zip(c,bestX)])if all(((x-math.floor(x))<t or(math.ceil(x)-x)<t)for x in bestX): return(bestVal,bestX)else:ind=[i for i,x in enumerate(bestX)if(x-math.floor(x))>t and (math.ceil(x)-x)>t][0]newCon1=[0]*len(A[0])newCon2=[0]*len(A[0])newCon1[ind]=-1newCon2[ind]=1newA1=A.copy()newA2=A.copy()newA1.append(newCon1)newA2.append(newCon2)newB1=b.copy()newB2=b.copy()newB1.append(-math.ceil(bestX[ind]))newB2.append(math.floor(bestX[ind]))r1=integerPro(c,newA1,newB1,Aeq,beq)r2=integerPro(c,newA2,newB2,Aeq,beq)if r1[0]<r2[0]:return r1else:return r2例子：输入c=[3,4,1]A=[[-1,-6,-2],[-2,0,0]]b=[-5,-3]Aeq=[[0,0,0]]beq= [0]print(integerPro(c,A,b,Aeq,beq))输出(8.0,array([2.,0., 2.]))其中8是目标函数值，2，0，2是3个整数变量的值。
整数规划问题(割平面-分枝定界算例)
x1 3.25;
x2 2.5
分枝定界法思路
第二步：分枝与定界 在x1=3.25；x2=2.5 中，任选一变量的解X2=2.5 ， 可将其分为 x2≤2；x2≥3（去掉小数部分），则有：
max Z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 x 0.5 x 4.5 1 2 s.t. x2 2 x1 , x2 0
(3.5, 2); z 14.5
X1可分为x1≤3；x1≥4，则有：
max Z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 x 0.5 x 4.5 1 2 s.t. x2 2 x 3 1 x1 , x2 0 (3, 2); z 13
逻辑变量在建立数学模型中的作用
y1 y2 ... ym
中m-k不起作用
（2）割平面法思路
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 3 x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0 且取整数 1 2
第一步：将约束条件决策变量的系数化为整数，用单纯形法求 解出最终单纯形表 找一个分数部
（3）分支定界法
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 3 x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0束，求解。
max Z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0 1 2
max Z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 x 0.5 x 4.5 1 2 s.t. x2 2 x 4 1 x1 , x2 0
(4, 1);
整数规划中的分支定界法-教案
整数规划中的分支定界法-教案一、引言1.1分支定界法的基本概念1.1.1分支定界法是一种用于解决整数规划问题的算法。
1.1.2通过将问题分解为更小的子问题来寻找最优解。
1.1.3算法主要分为两个阶段：分支和定界。
1.2分支定界法的应用领域1.2.1在生产调度、物流配送等领域得到广泛应用。
1.2.2可用于求解最大流、最小费用流等问题。
1.2.3在组合优化问题中具有重要应用价值。
1.3分支定界法的发展历程1.3.120世纪50年代由Land和Doig提出。
1.3.2随着计算机技术的发展，算法得到不断改进和完善。
1.3.3目前已衍生出多种分支定界法的变种和改进算法。
二、知识点讲解2.1整数规划的基本概念2.1.1整数规划是一种特殊的数学规划问题，决策变量为整数。
2.1.2目标函数和约束条件均为线性函数。
2.1.3整数规划问题可分为整数线性规划和整数非线性规划。
2.2分支定界法的原理2.2.1分支定界法通过枚举所有可能的整数解来寻找最优解。
2.2.2将问题分解为若干个子问题，分别求解。
2.2.3利用界来剪枝，减少不必要的计算。
2.3分支定界法的步骤2.3.1构建问题的松弛模型，求解线性规划问题。
2.3.2根据线性规划的结果，对问题进行分支。
2.3.3对每个分支进行定界，剪枝。
三、教学内容3.1整数规划问题的分类3.1.1确定型整数规划问题：决策变量和参数均为已知。
3.1.2随机型整数规划问题：决策变量和参数中至少有一个是随机变量。
3.1.3动态整数规划问题：决策过程随时间变化。
3.2分支定界法的算法流程3.2.1构建问题的松弛模型，求解线性规划问题。
3.2.2根据线性规划的结果，对问题进行分支。
3.2.3对每个分支进行定界，剪枝。
3.3分支定界法的应用实例3.3.10-1背包问题：通过分支定界法求解背包问题的最优解。
3.3.2生产调度问题：利用分支定界法优化生产计划。
3.3.3车辆路径问题：通过分支定界法求解最短路径问题。
整数规划及分支定界法
用单纯形法可解得相应的松驰问题的最 优解（6/5，21/10），Z=111/10为各 分枝的上界。
分枝：X1 1,x1 2
x2 4 3 2
P1
1 0
1
P2 2
3
4
x1
两个子问题：
（P1）Max Z=4x1+3x2
s.t. 3x1+4x2 12 4x1+2x2 9 x1,x2 0 ， x/4） Z=10(3/4)
（P2）Max Z=4x1+3x2
s.t. 3x1+4x2 12
4x1+2x2 9
x1,x2 0 ， x1 2 ，整数
用单纯形法可解得相应的（P2）的 最优解（2，1/2） Z=9(1/2)
再对（P1）分枝：X1 1
x2 4 P4 3 2 1 0
（P3） x2 2
（P4） x2 3
s.t. 3x1+4x2 12
4x1+2x2 9 x1,x2 0 ,x1 1, x2 3整数
用单纯形法可解得相应的（P4）的最优 解（0，3） Z=9
X1
2
P2:(2,1/2) Z=9(1/2)
P:(6/5,21/10) Z=111/10 X1 1 P1:(1,9/4) Z=10(3/4)
最通常的松驰问题是放弃变量 的整数性要求后，（P）为线性规 划问题。
分枝定界法步骤
一般求解对应的松驰问题，可能 会出现下面几种情况： 若所得的最优解的各分量恰好是 整数，则这个解也是原整数规划 的最优解，计算结束。
若松驰问题无可行解，则原整数 规划问题也无可行解，计算结束。
整数规划及分支定界法42页PPT
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36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
整数规划及分支定界法 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 孔子
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x1
假如把可行域分解成五个互不相交的子问题P1 P2 P3 P4 P5之和, P3 P5的定义域都是空集,而放弃 整数要求后P1最优解I(2,4),Z1=58 P2最优解 (6,3),Z2=57 P4最优解(98/11,2),Z4=52(8/11)
x2 5 4 3 2 P1 P2 P4 5 6 7 A8 9 10 x1 1 O 1 2 3 4
D
I(2,4)
B(9.2,2.4)
X1 2 X2 3 X1 6 P X2
P2 P3
X1
3
X1
X2 2
4
P4
7
X2
3
P5
假如放弃整数要求后，用单纯形法 求得最优解，恰好满足整数性要求， 则此解也是原整数规划的最优解。 以上描述了目前解整数规划问题的 两种基本途径。
分枝定界解法 （Branch and Bound Method) 原问题的松驰问题：任何整数规划 （IP），凡放弃某些约束条件（如整数 要求）后，所得到的问题（P） 都称为 （IP）的松驰问题。
x1,x2 0,且取整数值
可行域OABD内整数点，放弃整数要求后，最 优解B(9.2,2.4) Z0=58.8，而原整数规划最 优解I(2,4) Z0=58，实际上B附近四个整点 (9,2)(10,2)(9,3)(10,3)都不是原规划最优解。
x2 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 7 A8 9 10 x1 I(2,4)
D
B(9.2,2.4)
假如能求出可行域的“整点凸包”（包 含所有整点的最小多边形OEFGHIJ），则 可在此凸包上求线性规划的解，即为原问 题的解。但求“整点凸包”十分困难。
x2 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5
D J I
I(2,4)
H
G F 6 E 7 A8 9
B(9.2,2.4)
10
定界：把满足整数条件各分枝的最优目 标函数值作为上（max）（下(min)）界， 用它来判断分枝是保留还是剪枝。 剪枝：把那些子问题的最优值与界值比 较，凡不优或不能更优的分枝全剪掉， 直到每个分枝都查清为止。
例5-6 用分枝定界法求解：
Max Z=4x1+3x2
s.t. 3x1+4x2 12
例3-2 背包问题( Knapsack Problem) 一个旅行者,为了准备旅行的必须用品,要 在背包内装一些最有用的东西,但有个数限 制,最多只能装b公斤的物品,而每件物品只 能整个携带,这样旅行者给每件物品规定了 一个“价值”以表示其有用的程度,如果共 有n件物品,第j件物品aj公斤,其价值为cj.问 题变成:在携带的物品总重量不超过b公斤 条件下,携带哪些物品,可使总价值最大?
例 3-1 ：一登山队员做登山准备， 他需要携带的物品有：食品，氧 气，冰镐，绳索，帐篷，照相机 和通讯设备，每种物品的重要性 系数和重量如下：假定登山队员 可携带最大重量为25公斤。
序号
1
2
3
4
5
6
7
物品 食品 氧气 冰镐 绳索 帐篷 相机 设备 重量 重要 系数 5 20 5 15 2 18 6 14 12 8 2 4 4 10
最通常的松驰问题是放弃变量 的整数性要求后，（P）为线性规 划问题。
分枝定界法步骤
一般求解对应的松驰问题，可能 会出现下面几种情况： 若所得的最优解的各分量恰好是 整数，则这个解也是原整数规划 的最优解，计算结束。
若松驰问题无可行解，则原整数 规划问题也无可行解，计算结束。
若松驰问题有最优解，但其各分量不全 是整数，则这个解不是原整数规划的最 优解，转下一步。 从不满足整数条件的基变量中任选 一 个xl进行分枝，它必须满足xl [xl ] 或xl [xl ] +1中的一个，把这两个约束条件加 进原问题中，形成两个互不相容的子问 题（两分法）。
解：如果令xi=1表示登山队员携 带物品i，xi=0表示登山队员不携 带物品i，则问题表示成0-1规划:
Max Z= 20x1+15x2 +18x3 +14x4 +8x5 +4x6 +10x7
s.t. 5x1 + 5x2 +2x3 +6x4 +12x5 +2x6 +4x7 25 xi=1或xi=0 i=1,2,….7
解：如果令xj=1表示携带物品j， xj=0表示不携带物品j，则问题表 示成0-1规划:
Max Z = Σcjxj s.t. Σajxj b
xj=0 或1
数学模型 整数规划(IP)的一般数学模型: Max (min) Z = Σcjxj
s.t. Σaijxj bi(i=1,2,…m)
xj 0且部分或全部是整数
4x1+2x2 9 x1,x2 0 且为整数
用单纯形法可解得相应的松驰问题的最 优解（6/5，21/10），Z=111/10为各 分枝的上界。
分枝：X1 1,x1 2
x2 4 3 2
P1
1 0
1
P2 2
3
4
x1
两个子问题：
（P1）Max Z=4x1+3x2
先放弃变量的整数性要求，解一 个线性规划问题，然后用“四舍五 入”法取整数解，这种方法，只有 在变量的取值很大时，才有成功的 可能性，而当变量的取值较小时， 特别是0-1规划时，往往不能成功。
例3-3 求下列问题：
Max Z=3x1+13x2
s.t.2x1+9x2 40 11x1-8x2 82
解法概述
当人们开始接触整数规划问题时， 常会有如下两种初始想法： 因为可行方案数目有限，因此经过 一一比较后，总能求出最好方案， 例如，背包问题充其量有2n-1种方式； 连线问题充其量有n!种方式；实际 上这种方法是不可行。
设想计算机每秒能比较 1000000个方式，那么要比 较完20!（大于2*1018）种 方式，大约需要800年。比 较完260种方式，大约需要 360世纪。
第三章
整数规划
3-1 整数规划问题 整数规划是一类要求变量取整数值 的数学规划，可分成线性和非线性 两类。 根据变量的取值性质，又可以分 为全整数规划，混合整数规划，01整数规划等。
整数规划是数学规划中一 个较弱的分支，目前只能解 中等规模的线性整数规划问 题，而非线性整数规划问题， 还没有好的办法。