1-2-2 数列递推关系综合应用 解析版

专题限时训练 (小题提速练)

(建议用时：45分钟)

一、选择题

1．设数列{}a n 满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2

a n ＋1

(n ∈N *)，若数列{}a n 是常数列，则a ＝( )

A ．－2 B.－1 C.0

D.(－1)n

解析：因为数列{a n }是常数列，所以a ＝a 2＝a 21－2a 1＋1＝a 2

－2

a ＋1

，即a (a ＋1)＝a 2－2，解得a ＝－2.故选A.

答案：A

2．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1

a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )

A ．a n ＝1

n B.a n ＝

2n ＋1

C ．a n ＝2

n ＋2

D.a n ＝3n

解析：由已知2a n ＋1＝1a n ＋1

a n ＋2，

可得

1

a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1

， 所以??????1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1

a 1

＝2－1＝1

的等差数列，所以1a n

＝n ，即a n ＝1

n .

答案：A

3．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，若S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B.9 C.10

D.11

解析：由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，∴S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100，

解得n ＝10. 答案：C

4．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 1

3(a 5＋a 7＋a 9)＝( ) A ．－5 B.－15 C.5

D.15

解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n .

∴数列{a n }是以3为公比的等比数列． ∵a 2＋a 4＋a 6＝a 2(1＋q 2＋q 4)＝9，

∴a 5＋a 7＋a 9＝a 5(1＋q 2＋q 4)＝a 2q 3(1＋q 2＋q 4)＝35. ∴log 1

335＝－5.故选A. 答案：A

5．已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2019＝( ) A ．1 008×2 020 B.1 008×2 019 C ．1 009×2 019

D.1 009×2 020

解析：在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，得a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0；令n ＝2，得a 3＝2＝2a 2，a 2＝1， 于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列．S 2019＝2 019×2 018

2＝1 009×2 019.

答案：C

6．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n >1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝( ) A.210 B.211 C.224

D.225

解析：n >1时，S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2， ∴a n ＋1＝a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝2.

数列{a n }从第二项开始组成公差为2的等差数列，所以S 15＝a 1＋(a 2＋…＋a 15)＝1＋2＋28

2×14＝211. 答案：B

7．(2019·广东汕头市一模)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝12－1

2a n ，则a n ＝( ) A.13·? ????12n －1

B.12·? ????23n －1 C ．2·

? ????13n －13

D.? ????13n 解析：由题意，得S 1＝a 1＝12－12a 1，所以a 1＝13.又当n ≥2时，S n －S n －1＝a n ＝12－12a n －12＋12a n －1，即

a n

a n －1＝13，所以数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，所以a n ＝? ????13n

.故选D.

答案：D

8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n

a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )

A ．a n ＝2n －1

B.a n ＝2－

1

3n －1

C ．a n ＝1

2n －1

D.a n ＝

13n －2

解析：由题意得1

a n ＋1＝2a n ＋1，则1a n ＋1＋1＝2? ????

1a n ＋1，

易知1

a 1

＋1＝2≠0，

所以数列????

??1a n ＋1是以2为首项，2为公比的等比数列，

则1a n ＋1＝2n ，则a n ＝1

2n －1.故选C.

答案：C

9．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )，则a 1＋a 2＋…＋a 100＝( ) A ．0 B.100 C.5 050

D.10 200

解析：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100 ＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002 ＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(1002－992) ＝3＋7＋…＋199＝50(3＋199)

2＝5 050.故选C.

答案：C

10．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，则a 13＝( ) A ．143 B.156 C.168

D.195 解析：由a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，

可知a n ＋1＋1＝a n ＋1＋2a n ＋1＋1＝(a n ＋1＋1)2， a n ＋1＋1＝a n ＋1＋1，又a 1＋1＝1，

故数列{a n ＋1}是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n ＋1＝n ，所以a 13＋1＝13，则a 13＝168.故选C. 答案：C 11．定义

n

p 1＋p 2＋…＋p n

为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”．若已知数列{a n }的前n 项的“均

倒数”为12n ＋1，且b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1

b 10b 11

＝( ) A.111

B.9

10

C.1011

D.1112

解析：由已知，得n a 1＋a 2＋…＋a n ＝1

2n ＋1，

∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (2n ＋1)＝S n . 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1. 验证知，当n ＝1时此式也成立， ∴a n ＝4n －1.∴b n ＝a n ＋1

4＝n . ∴

1b n ·b n ＋1＝1n －1

n ＋1

， ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11

＝? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ????110－111＝10

11.故选C. 答案：C

12．已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1(n ≥2)，b n ＝

1

a n ＋a n ＋1

，记数列{b n }的前n 项

和为S n ，则S 33的值是( ) A.99 B.33 C.4 2

D.3

解析：∵2a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1(n ≥2)，∴数列{a 2n }为等差数列，首项为1，公差为22－1＝3.∴a 2

n ＝1＋3(n

－1)＝3n －2.a n >0.∴a n ＝3n －2.

∴b n ＝1a n ＋a n ＋1＝13n －2＋3n ＋1＝13(3n ＋1－3n －2)，故数列{b n }的前n 项和为

S n ＝13[(4－1)＋(7－4)＋…＋(3n ＋1－3n －2)]＝1

3(3n ＋1－1)． 则S 33＝1

3(3×33＋1－1)＝3.故选D. 答案：D 二、填空题

13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·2n －1－3，则m ＝ . 解析：a 1＝S 1＝m －3，

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝m ·2n －2， ∴a 2＝m ，a 3＝2m ，又a 22＝a 1a 3， ∴m 2＝(m －3)·2m ，整理得m 2－6m ＝0，

则m ＝6或m ＝0(舍去)． 答案：6

14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝ . 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1. 因此a n ＝???

4，n ＝1，

2n ＋1，n ≥2.

答案：???

4，n ＝1，

2n ＋1，n ≥2

15．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1

3，则{a n }的通项公式a n ＝________.

解析：当n ＝1时，由已知S n ＝23a n ＋1

3， 得a 1＝23a 1＋1

3，即a 1＝1；

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝? ????2

3a n ＋13－? ????23a n －1＋13＝23a n －23a n －1，所以a n ＝－2a n －1，

所以数列{a n }为以1为首项，－2为公比的等比数列， 所以a n ＝(－2)n －1. 答案：(－2)n －

1

16．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第六件首饰上应有 颗珠宝；则前n 件首饰所用珠宝总数为 颗．(结果用n 表示)

解析：由题意，知a 1＝1，a 2＝6，a 3＝15， a 4＝28，a 5＝45，a 6＝66，….

∴a 2－a 1＝5，a 3－a 2＝9，a 4－a 3＝13，a 5－a 4＝17，a 6－a 5＝21，…，a n －a n －1＝4n －3. ∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋(a 6－a 5)＋…＋(a n －a n －1) ＝a n －a 1＝5＋9＋13＋17＋21＋…＋(4n －3) ＝

(n －1)(5＋4n －3)2

＝2n 2

－n －1.

∴a n ＝2n 2－n ，其前n 项和为S n ＝2(12＋22＋32＋…＋n 2)－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2×n (n ＋1)(2n ＋1)6－n (n ＋1)2＝4n 3＋3n 2－n 6.

答案：66 4n 3＋3n 2－n

6

专题限时训练 (大题规范练)

(建议用时：60分钟)

1．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .

解析：(1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ， ∴a n ＋1－a n 为同一常数，

∴数列{a n }是以a 1为首项的等差数列． 设a n ＝a 1＋(n －1)d .

则a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝2－8

3＝－2，∴a n ＝10－2n . (2)由(1)知a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.

当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0； 当n <5时，a n >0. 设T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .

∴当n >5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n ＝n 2－9n ＋40.

当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.∴S n ＝?

??

9n －n 2(n ≤5)，n 2－9n ＋40(n >5).

2．(2019·东莞市模拟)设{a n }是单调递增的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝13，且a 1＋3,3a 2，a 3＋5构成等差数列． (1)求a n 及S n ；

(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 解析：(1)由题意得???

a 1＋a 2＋a 3＝13，

6a 2＝a 1＋a 3＋8，

∴a 2＝3，a 1＋a 3＝10，

得3q ＋3q ＝10，解得q ＝3或q ＝1

3(舍)． ∴a n ＝a 2q

n －2

＝3

n －1

，S n ＝1×(1－3n )1－3

＝3n －12.

(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列． ∵S 1＋λ＝1＋λ，S 2＋λ＝4＋λ，S 3＋λ＝13＋λ， ∴(4＋λ)2＝(1＋λ)·(13＋λ)，解得λ＝1

2， 此时S n ＋12＝3n

2，∴S n ＋12

S n －1＋12

＝

3n

23n －12

＝3(n ≥2)， ∴存在常数λ＝12.使得数列{S n ＋12}是首项为a 1＋12＝3

2，公比为3等比数列． 3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝1＋S n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }为等差数列，且b 1＝a 1，公差为a 2

a 1

.当n ≥3时，比较b n ＋1与1＋b 1＋b 2＋…＋b n 的大小．

解析：(1)因为a n ＋1＝1＋S n ，① 所以当n ≥2时，a n ＝1＋S n －1，②

①－②得a n ＋1－a n ＝a n ，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)． 因为当n ＝1时，a 2＝1＋a 1＝2，

所以a 2

a 1＝2，所以a n ＋1a n

＝2(n ∈N *)，

所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 所以a n ＝2n －1.

(2)因为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 所以b n ＋1＝2n ＋1， 1＋b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋

n (1＋2n －1)2

＝n 2

＋1. 因为(n 2＋1)－(2n ＋1)＝n (n －2)， 当n ≥3时，n (n －2)>0，

所以当n ≥3时，b n ＋1<1＋b 1＋b 2＋…＋b n .

4．(2019·安徽省淮南市第四次联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n ，都有4a n ＝3S n ＋2成立．记b n ＝log 2a n .

(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝

4(b n ＋1)·(b n ＋1＋3)

，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：13≤T n <3

4.

解析：(1)在4a n ＝3S n ＋2中，令n ＝1得a 1＝2.因为对任意正整数n ，都有4a n ＝3S n ＋2成立，当n ≥2时，4a n －1＝3S n －1＋2，两式作差得，4a n －4a n －1＝3a n ，所以a n ＝4a n －1，又a 1≠0，所以数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列，∴a n ＝2×4n －1，∴b n ＝log 2a n ＝log 222n －1＝2n －1. (2)证明：∵b n ＝2n －1，∴c n ＝4

(b n ＋1)·(b n ＋1＋3)

＝4

(2n －1＋1)·(2n ＋1＋3)

＝

1n ·(n ＋2)＝12×? ??

??1

n －1n ＋2.

∴T n ＝12? ????1－13＋12? ????12－14＋12? ????13－15＋…＋12? ????1

n －1－1n ＋1＋12? ????1n －1n ＋2

＝12? ?

???1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－12? ??

??1n ＋1＋1n ＋2， ∴对任意n ∈N *，T n <34，又c n >0，所以，T n 为关于n 的增函数，所以T n ≥T 1＝c 1＝13. 综上，13≤T n <3

4.