1-2-2 数列递推关系综合应用解析版

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数列的递推关系与求和公式详细解析

数列的递推关系与求和公式详细解析数列是数学中一个重要的概念，它是由按一定规律排列成的数所组成的序列。

数列可以通过递推关系来描述，而求和公式则是对数列中的元素进行求和的方法。

本文将详细解析数列的递推关系与求和公式。

一、数列的递推关系数列的递推关系指的是通过前一项来定义下一项的关系。

常见的递推关系有线性递推关系和非线性递推关系。

1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中的每一项都是前一项的线性函数，即有形如an = an-1 + c的关系式。

其中an表示数列中第n个元素，c表示一个常数。

举例来说，斐波那契数列就是一个常见的线性递推关系。

斐波那契数列的定义是：f(1) = 1，f(2) = 1，f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 3)。

可以看出，每一项都是前两项的和，符合线性递推关系的定义。

2. 非线性递推关系非线性递推关系则指数列中的每一项都不是前一项的线性函数。

非线性递推关系的形式多种多样，要根据具体的数列来确定递推关系。

例如，等差数列就是一种常见的非线性递推关系。

等差数列的递推关系可以表示为an = an-1 + d，其中d表示等差数列的公差。

又如，等比数列就是另一种常见的非线性递推关系。

等比数列的递推关系可以表示为an = an-1 * r，其中r表示等比数列的公比。

二、数列的求和公式数列的求和公式是用来计算数列中所有元素的和的公式。

根据不同的数列类型，有不同的求和公式。

1. 等差数列的求和公式对于等差数列an = a1 + (n - 1)d，其前n项和可以表示为Sn =(n/2)(a1 + an)。

2. 等比数列的求和公式对于等比数列an = a1 * r^(n - 1)，其前n项和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r ≠ 1。

3. 其他数列的求和公式对于其他类型的数列，求和公式则需要根据具体情况进行推导。

例如，斐波那契数列的求和公式是一个比较复杂的问题，其具体推导过程可以参考相关的数学文献和专业教材。

数列递推关系

数列递推关系数列递推关系是数学中一个重要的概念，它描述了数列中的每个元素与它的前一个或前几个元素的关系。

在数学和应用数学中，数列递推关系被广泛用于解决各种问题，比如计算机科学、物理学、经济学等领域。

数列递推关系有两种形式：线性递推和非线性递推。

线性递推是指数列中的每个元素都是前几个元素的线性组合。

比如斐波那契数列就是一个著名的线性递推数列，它的每个元素都是前两个元素的和。

非线性递推则指数列中的每个元素与它前几个元素之间存在非线性关系，比如几何数列和指数数列。

线性递推关系可以通过数学公式来描述，比如斐波那契数列的公式为An = An-1 + An-2，其中An表示数列中第n个元素，An-1表示第n-1个元素，An-2表示第n-2个元素。

这个公式表达了斐波那契数列中每个元素与前两个元素之间的关系。

非线性递推关系则无法用简单的公式来表示，通常需要通过递归或迭代的方式来计算。

比如几何数列的递推关系为An = An-1 * r，其中r为公比，表示数列中每个元素与前一个元素的比值。

这个递推关系说明了几何数列中每个元素与前一个元素之间的关系。

数列递推关系在实际问题中的应用非常广泛。

比如在计算机科学中，递推关系常被用于算法设计和性能分析。

在物理学中，递推关系可以描述连续物理系统的运动规律。

在经济学中，递推关系可以解释市场供求关系和经济变量之间的相互作用。

总之，数列递推关系是数学中一个重要的概念，它描述了数列中每个元素与它的前一个或前几个元素的关系。

它可以通过线性递推和非线性递推两种形式来表示。

数列递推关系在各个学科中都有广泛的应用，对于理解和解决实际问题都具有重要意义。

2020新课标高考数学(理)二轮总复习课件：1-2-2 数列递推关系综合应用

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新课标高考第二轮总复习•理科数学
1．等差数列、等比数列的定义与递推关系 (1)an－an－1＝d⇔{an}为等差数列⇔2an＝an－1＋an＋1. (2)aan－n 1＝q(q≠0)⇔{an}为等比数列⇔a2n＝an－1·an＋1(an≠0)．
n＝1 n≥2 .
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
4．构造法 (1)递推关系形如 an＋1＝pan＋q(p，q 为常数)可化为 an＋1＋p－q 1＝pan＋p－q 1(p≠1) 的形式，利用an＋p－q 1是以 p 为公比的等比数列求解． (2)递推关系形如 an＋1＝apn＋anp(p 为非零常数)可化为an1＋1－a1n＝1p的形式．
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类型一数列 Sn 与 an 的递推关系与应用突破 an＝Sn－Sn－1(n≥2)的理解
[例 1] (2018·武汉市武昌区调研考试)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2an－2. (1)求数列{an}的通项公式； [解析] (1)当 n＝1 时，a1＝2a1－2，所以 a1＝2.(1 分) 当 n≥2 时，Sn－1＝2an－1－2， Sn－Sn－1＝(2an－2)－(2an－1－2)，即 an＝2an－1.(3 分) 所以数列{an}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，
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2．在数列{an}中， a1＝1, a1＋a222＋a332＋…＋ann2＝an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式 an＝________. 答案：n2＋n1

2024年高考数学专项复习数列求和与递推综合归类 (解析版)

数列求和与递推综合归类目录重难点题型归纳 1【题型一】等差与等比型累加法 1【题型二】换元型累加、累积法 3【题型三】周期数列型递推 4【题型四】二阶等比数列型递推 6【题型五】分式型求递推 7【题型六】前n 项积型递推 8【题型七】“和”定值型递推 9【题型八】分段型等差等比求和 11【题型九】函数中心型倒序求和 12【题型十】分组求和型 14【题型十一】错位相减型求和 16【题型十二】正负相间型求和 19【题型十三】无理根式型裂项相消求和 20【题型十四】指数型裂项相消 22【题型十五】等差指数混合型裂项 23【题型十六】裂和型裂项相消 26【题型十七】分离常数型裂项 27好题演练29重难点题型归纳重难点题型归纳题型一等差与等比型累加法【典例分析】1.(等差累加法)已知数列a n 中，已知a 1=2，a n +1-a n =2n ，则a 50等于()A.2451B.2452C.2449D.24502.(等比累加法)已知数列a n 满足a 1=2，a n +1-a n =2n ，则a 9=()A.510B.512C.1022D.10242024年高考数学专项复习数列求和与递推综合归类（解析版）【技法指引】对于递推公式为a n -a n -1=f n ，一般利用累加法求出数列的通项公式；累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：a na n -1=g (n )(n ≥2)的关系，可用“累乘法”求通项.【变式演练】1.已知数列a n n ∈N * 是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若a 1、数列a 2n 的第2项、数列a n 2 的第5项恰好构成等比数列，则数列a n 的通项公式为()A.a n =2n -1B.a n =2n +1C.a n =n -1D.a n =n +12.已知数列a n 中，a 1=1，前n 项和S n =n +23a n ，则a n 的通项公式为.题型二换元型累加、累积法【典例分析】1.已知数列a n 满足：a 1=13，(n +1)a n +1-na n =2n +1，n ∈N *，则下列说法正确的是()A.a n +1≥a nB.a n +1≤a nC.数列a n 的最小项为a 3和a 4D.数列a n 的最大项为a 3和a 4【变式演练】1.(换元对数累加法)在数列a n 中，a 1=2，a n +1n +1=a n n +ln 1+1n ，则a n =()A.a 8B.2+n -1 ln nC.1+n +ln nD.2n +n ln n2.已知数列a n 满足a 1=32，a n =n n -1a n -1-n2n .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ，求满足S n <12的所有正整数n 的取值集合.【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2，a n+1=1+a n1-a n，(n∈N*)，则a1⋅a2⋅a3⋅⋯a2009⋅a2010=_________．【变式演练】1.数列{a n}中，a1=1，a2=3，a n+1=a n-a n-1(n≥2,n∈N*)，那么a2019=()A.1B.2C.3D.-32.数列a n的首项a1=3，且a n=2-2a n-1n≥2，则a2021=()A.3B.43C.12D.-2题型四【二阶等比数列型递推【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2,且a n=2a n-1-1(n≥2,n∈N+)，则a n=______________【变式演练】1.已知数列a n中，a1=1，a n=3a n-1+4(n∈N∗且n≥2)，则数列a n通项公式a n为() A.3n-1 B.3n+1-2 C.3n-2 D.3n2.已知数列{a n}满足：a n+1=2a n-n+1(n∈N*)，a1=3.(1)证明数列b n=a n-n(n∈N*)是等比数列，并求数列{a n}的通项；(2)设c n=a n+1-a na n a n+1，数列{c n}的前n项和为{S n}，求证：S n<1.【典例分析】1.在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a na n+2(n∈N*)，则22019是这个数列的第________________项．【变式演练】1.已知数列a n满足a1=1,a n+1=2a na n+2.记C n=2na n，则数列Cn的前n项和C1+C2+...+Cn=．2.数列a n满足：a1=13，且na n=2a n-1+n-1a n-1(n∈N*,n≥2)，则数列a n的通项公式是a n=．题型六前n项积型递推【典例分析】1.设等比数列a n的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a7a8>1，a7-1a8-1<0.则下列结论正确的是(多选题)A.0<q<1B.a7a9<1C.T n的最大值为T7D.S n的最大值为S7【技法指引】类比前n项和求通项过程来求数列前n项积：1.n=1，得a12.n≥2时，a n=T n T n-1所以a n=T1，(n=1) T nT n-1,(n≥2)【变式演练】1.若数列a n满足a n+2=2⋅a n+1a n(n∈N*)，且a1=1,a2=2，则数列a n的前2016项之积为()A.22014B.22015C.22016D.220172.设等比数列a n的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并满足条件a1>1，且a2020a2021> 1，a2020-1a2021-1<0，下列结论正确的是(多选题)A.S2020<S2021B.a2020a2022-1<0C.数列T n无最大值 D.T2020是数列T n中的最大值题型七“和”定值型递推【典例分析】1.若数列a n满足a n+2a n+1+a n+1a n=k(k为常数)，则称数列a n为等比和数列，k称为公比和，已知数列a n是以3为公比和的等比和数列，其中a1=1，a2=2，则a2019=______.【变式演练】1.已知数列{a n}满足a n+a n+1=12(n∈N*)，a2=2，S n是数列{a n}的前n项和，则S21为()A.5B.72C.92D.1322.知数列{a n}满足：a n+1+a n=4n-3(n∈N*)，且a1=2，则a n=．题型八分段型等差等比求和【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2，a n+1=32a n,n为奇数2a n,n为偶数 .(1)记b n=a2n，写出b1，b2，并求数列b n的通项公式；(2)求a n的前12项和.【变式演练】1.已知数列a n满足a1=1,a n+1=a n+1,n=2k-1, a n,n=2k.(1)求a2,a5的值；(2)求a n的前50项和S50．题型九函数中心型倒序求和【典例分析】1.已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 是函数f (x )=2x 1-2x,x ≠12-1,x =12的图象上的任意两点(可以重合)，点M为AB 的中点，且M 在直线x =12上．(1)求x 1+x 2的值及y 1+y 2的值；(2)已知S 1=0，当n ≥2时，S n =f 1n +f 2n +f 3n +⋯+f n -1n，求S n ；(3)若在(2)的条件下，存在n 使得对任意的x ，不等式S n >-x 2+2x +t 成立，求t 的范围．【变式演练】2.已知a n 为等比数列，且a 1a 2021=1，若f x =21+x2，求f a 1 +f a 2 +f a 3 +⋯+f a 2021 的值．题型十分组求和型【典例分析】1.已知等比数列a n 的公比大于1，a 2=6，a 1+a 3=20.(1)求a n 的通项公式；(2)若b n =a n +1log 3a n +12log 3a n +22，求b n 的前n 项和T n .【技法指引】对于a n +b n 结构，利用分组求和法【变式演练】1.设S n 为数列a n 的前n 项和，已知a n >0，a 2n +2a n =4S n +3n ∈N *，若数列b n 满足b 1=2，b 2=4，b 2n +1=b n b n +2n ∈N *(1)求数列a n 和b n 的通项公式；(2)设c n =1S n,n =2k -1,k ∈N * b n,n =2k ,k ∈N *求数列c n 的前n 项的和T n .【典例分析】1.已知数列a n 满足a 1=2，且a n +1-3 ⋅a n +1 +4=0，n ∈N *.(1)求证：数列1a n -1是等差数列；(2)若数列b n 满足b n =2n +1a n -1，求b n 的前n 项和.【技法指引】对于a n b n 结构，其中a n 是等差数列，b n 是等比数列，用错位相减法求和；思维结构结构图示如下【变式演练】1.已知等比数列a n 的首项a 1=1，公比为q ，b n 是公差为d d >0 的等差数列，b 1=a 1，b 3=a 3，b 2是b 1与b 7的等比中项．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n 的前n 项和为S n ，数列c n 满足nc n =a 2n S n ，求数列c n 的前n 项和T n ．【典例分析】1.已知数列a n各项均为正数，且a1=2，a n+12-2a n+1=a n2+2a n．(1)求a n的通项公式(2)设b n=-1n a n，求b1+b2+b1+⋯+b20．【变式演练】1.设等差数列a n的前n项和为S n，已知a3+a5=8,S3+S5=10. (1)求a n的通项公式；(2)令b n=(-1)n a n，求数列b n的前n项和T n.题型十三无理根式型裂项相消求和【典例分析】1.设数列a n的前n项和为S n，且满足2S n=3a n-3．(1)求数列a n的通项公式：(2)若b n=a n3,n为奇数1log3a n+log3a n+2,n为偶数，求数列和b n 的前10项的和．【变式演练】1.设数列a n的前n项和S n满足2S n=na n+n，n∈N+，a2=2，(1)证明：数列a n是等差数列，并求其通项公式﹔(2)设b n=1a n a n+1+a n+1a n，求证：T n=b1+b2+⋯+b n<1.题型十四指数型裂项相消【典例分析】1.已知数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =2a n -1.(1)求a n ；(2)设b n =a n a n +1-1 ⋅a n +2-1 ，求数列b n 的前n 项和T n .【变式演练】1.数列a n 满足：a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+n -1 a n -1=2+n -2 ⋅2n n ≥2 .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =a n a n -1 a n +1-1，T n 为数列b n 的前n 项和，若T n <m 2-3m +3恒成立，求实数m 的取值范围.题型十五等差指数混合型裂项【典例分析】1.已知数列a n 满足S n =n a 1+a n 2，其中S n 是a n 的前n 项和.(1)求证：a n 是等差数列；(2)若a 1=1,a 2=2，求b n =2n 1-a n a n a n +1的前n 项和T n .【变式演练】2.已知等比数列a n 的各项均为正数，2a 5，a 4，4a 6成等差数列，且满足a 4=4a 23，数列S n 的前n 项之积为b n ，且1S n +2b n=1．(1)求数列a n 和b n 的通项公式；(2)设d n =b n +2⋅a n b n ⋅b n +1，若数列d n 的前n 项和M n ，证明：730≤M n <13．【典例分析】1.已知数列a n 的满足a 1=1，a m +n =a m +a n m ,n ∈N * .(1)求a n 的通项公式；(2)记b n =(-1)n ⋅2n +1a n a n +1，数列b n 的前2n 项和为T 2n ，证明：-1<T 2n ≤-23.【技法指引】正负相间型裂和，裂项公式思维供参考：-1 n ⋅pn +q kn +b k (n +1)+b=-1 n ⋅t 1kn +b +1k (n +1)+b【变式演练】1.记正项数列a n 的前n 项积为T n ，且1a n =1-2T n ．(1)证明：数列T n 是等差数列；(2)记b n =-1 n ⋅4n +4T n T n +1，求数列b n 的前2n 项和S 2n ．【典例分析】1.已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S 8=4a 4+20，且a 5+a 6=11.(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =n 2+n +1a n a n +1，求b n 的前n 项和T n .【变式演练】1.已知等差数列a n 的通项公式为a n =2n -c c <2 ，记数列a n 的前n 项和为S n n ∈N * ，且数列S n 为等差数列．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列4S n a n a n +1的前n 项和为T n n ∈N * ，求T n 的通项公式．好题演练好题演练1.(山东省泰安市2023届高三二模数学试题)已知数列a n 的前n 项和为S n ，a 1=2，a n ≠0，a n a n +1=4S n .(1)求a n ；(2)设b n =-1 n ⋅3n -1 ，数列b n 的前n 项和为T n ，若∀k ∈N *，都有T 2k -1<λ<T 2k 成立，求实数λ的范围.2.(2023·全国·模拟预测)已知正项数列a n 满足a 1=1，a n +1a n =1+1n.(1)求证：数列a 2n 为等差数列；(2)设b n =1a 2n a n +1+a n a 2n +1，求数列b n 的前n 项和T n .3.(2023·全国·学军中学校联考二模)设数列a n 满足a n +1=3a n -2a n -1n ≥2 ,a 1=1,a 2=2.(1)求数列a n 的通项公式；(2)在数列a n 的任意a k 与a k +1项之间，都插入k k ∈N * 个相同的数(-1)k k ，组成数列b n ，记数列b n 的前n 项的和为T n ，求T 27的值.4.(2023·全国·长郡中学校联考二模)已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n =S n +S n -1(n ∈N *且n ≥2).(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n +22n a n a n +1 的前n 项和为T n ，求证：T n <1.5.(2023·四川攀枝花·统考三模)已知等差数列a n的公差为d d≠0，前n项和为S n，现给出下列三个条件：①S1,S2,S4成等比数列；②S4=32；③S6=3a6+2.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.(1)求数列a n的通项公式；(2)若b n-b n-1=2a n n≥2，且b1=3，设数列1b n的前n项和为Tn，求证：13≤T n<12.6.(2023春·江西抚州·高二金溪一中校联考期中)已知数列a n满足a1=2,a n+1= 2a n+2,n为奇数,1 2a n+1,n为偶数.(1)记b n=a2n，证明：数列b n为等差数列；(2)若把满足a m=a k的项a m,a k称为数列a n中的重复项，求数列a n的前100项中所有重复项的和.7.(河北省2023届高三下学期大数据应用调研联合测评(Ⅲ)数学试题)已知数列a n 满足：a 1=12，3a n +1a n =1+a n +11+a n.(1)求证：1a n +1 是等比数列，并求出数列a n 的通项公式；(2)设b n =3n ⋅a n a n +1，求数列b n 的前n 项和S n .8.(2023·全国·模拟预测)已知数列a n 的前n 项和S n 满足S n =n 2-1+a n .(1)求a 1及a n ；(2)令b n =4S n a n a n +1，求数列b n 的前n 项和T n .数列求和与递推综合归类目录重难点题型归纳 1【题型一】等差与等比型累加法 1【题型二】换元型累加、累积法 3【题型三】周期数列型递推 4【题型四】二阶等比数列型递推 6【题型五】分式型求递推 7【题型六】前n项积型递推 8【题型七】“和”定值型递推 9【题型八】分段型等差等比求和 11【题型九】函数中心型倒序求和 12【题型十】分组求和型 14【题型十一】错位相减型求和 16【题型十二】正负相间型求和 19【题型十三】无理根式型裂项相消求和 20【题型十四】指数型裂项相消 22【题型十五】等差指数混合型裂项 23【题型十六】裂和型裂项相消 26【题型十七】分离常数型裂项 27好题演练 29重难点题型归纳重难点题型归纳题型一等差与等比型累加法【典例分析】1.(等差累加法)已知数列a n中，已知a1=2，a n+1-a n=2n，则a50等于()A.2451B.2452C.2449D.2450【答案】B【详解】由a n+1-a n=2n得：a n-a n-1=2n-1，a n-1-a n-2=2n-2，⋯⋯，a3-a2=2×2，a2-a1=2×1，各式相加可得：a n-a1=2×1+2+⋅⋅⋅+n-1=2×n n-12=n n-1，又a1=2，∴a n=2+n n-1=n2-n+2，∴a50=2500-50+2=2452.故选：B.2.(等比累加法)已知数列a n满足a1=2，a n+1-a n=2n，则a9=()A.510B.512C.1022D.1024【答案】B【详解】由a1=2,a n+1-a n=2n得a2-a1=2，a3-a2=22，a4-a3=23，⋮a n -a n -1=2n -1，以上各式相加得，a n -a 1=2+22+⋯+2n -1=21-2n -11-2=2n -2，所以a n =2n -2+a 1=2n ，所以a 9=29=512.故选：B .【技法指引】对于递推公式为a n -a n -1=f n ，一般利用累加法求出数列的通项公式；累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：a na n -1=g (n )(n ≥2)的关系，可用“累乘法”求通项.【变式演练】1.已知数列a n n ∈N * 是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若a 1、数列a 2n 的第2项、数列a n 2 的第5项恰好构成等比数列，则数列a n 的通项公式为()A.a n =2n -1B.a n =2n +1C.a n =n -1D.a n =n +1【答案】A【分析】根据题意设a n =1+n -1 d ，所以a 2n =1+2n -1 d ，a n 2=1+n 2-1 d ，所以1，1+3d ，1+24d 构成等比数列，即1+3d 2=1×1+24d ，求出d 即可求解.【详解】设等差数列a n 的公差为d d >0 ，所以a n =1+n -1 d ，所以a 2n =1+2n -1 d ，a n 2=1+n 2-1 d ，又a 1、数列a 2n 的第2项、数列a n 2的第5项恰好构成等比数列，即1，1+3d ，1+24d 构成等比数列，所以1+3d 2=1×1+24d ，解得d =2，d =0(舍去)，所以a n =2n -1.故选：A .2.已知数列a n 中，a 1=1，前n 项和S n =n +23a n ，则a n 的通项公式为.【答案】a n =n n +12【分析】由S n =n +23a n ，变形可得则S n -1=n +13a n -1，两式相减变形可得a n a n -1=n +1n -1，又由a n =a n a n -1 ×a n -1a n -2 ×⋯⋯×a2a 1×a 1，计算可得a n =n (n +1)2，验证a 1即可得答案．【详解】根据题意，数列{a n }中，a 1=1，S n =n +23a n (n ∈N *)，S n =n +23a n ①，S n -1=n +13a n -1②，①-②可得：a n =(n +2)a n 3-(n +1)a n -13，变形可得：a n a n -1=n +1n -1，则a n =a n a n -1 ×a n -1a n -2 ×⋯⋯×a 2a 1×a 1=n +1n -1 ×n n -2 ×⋯⋯×31 ×1=n (n +1)2；n =1时，a 1=1符合a n =n (n +1)2；故答案为：a n =n (n +1)2．题型二换元型累加、累积法【典例分析】1.已知数列a n 满足：a 1=13，(n +1)a n +1-na n =2n +1，n ∈N *，则下列说法正确的是()A.a n +1≥a nB.a n +1≤a nC.数列a n 的最小项为a 3和a 4D.数列a n 的最大项为a 3和a 4【答案】C【详解】令b n =na n ，则b n +1-b n =2n +1，又a 1=13，所以b 1=13，b 2-b 1=3，b 3-b 2=5，⋯，b n -b n -1=2n -1，所以累加得b n =13+n -1 3+2n -1 2=n 2+12，所以a n =b n n =n 2+12n =n +12n，所以a n +1-a n =n +1 +12n +1-n +12n =n -3 n +4 n n +1，所以当n <3时，a n +1<a n ，当n =3时，a n +1=a n ，即a 3=a 4，当n >3时，a n +1>a n ，即a 1>a 2>a 3=a 4<a 5<⋯<a n ，所以数列a n 的最小项为a 3和a 4，故选：C .【变式演练】1.(换元对数累加法)在数列a n 中，a 1=2，a n +1n +1=a n n +ln 1+1n ，则a n =()A.a 8B.2+n -1 ln nC.1+n +ln nD.2n +n ln n【答案】D【详解】由题意得，a n +1n +1=a n n +ln n +1n ，则a n n =a n -1n -1+ln n n -1，a n -1n -1=a n -2n -2+lnn -1n -2⋯，a 22=a 11+ln 21，由累加法得，a n n =a 11+ln n n -1+ln n -1n -2⋯+ln 21，即a n n =a 1+ln n n -1⋅n -1n -2⋅⋯⋅21，则an n=2+ln n ，所以a n =2n +n ln n ，故选：D2.已知数列a n 满足a 1=32，a n =n n -1a n -1-n 2n .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ，求满足S n <12的所有正整数n 的取值集合.【答案】(1)a n =n +n2n ；(2)1,2,3,4 .【详解】(1)因为a n =n n -1a n -1-n 2n ，所以a n n -a n -1n -1=-12n .因为a 22-a 11=-122，a33-a 22=-123，⋯，a n n -a n -1n -1=-12n ，所以a n n -a 11=-122+123+⋯+12n=-1221-12 n -11-12=12n-12，于是a n=n+n 2n .当n=1时，a1=1+12=32，所以a n=n+n2n.(2)因为S n-S n-1=a n=n+n2n >0，所以S n是递增数列.因为a1=1+12=32，a2=2+24=52，a3=3+323=278，a4=4+424=174，a5=5+525=16532，所以S1=32，S2=4，S3=598，S4=938<12，S5=53732>12，于是所有正整数n的取值集合为1,2,3,4.题型三周期数列型递推【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2，a n+1=1+a n1-a n，(n∈N*)，则a1⋅a2⋅a3⋅⋯a2009⋅a2010=_________．【答案】-6【解析】由已知有a2=1+a11-a1=-3,a3=1-31+3=-12,a4=1-121+12=13,a5=1+131-13=2，所以a5=a1=2，所以数列a n是周期数列，且周期为4，a1a2a3a4=a5a6a7a8=⋯=a2005a2006a2007a2008=1，而a2009a2010= a1a2=2×(-3)=-6，所以a1a2a3⋯a2010=-6。

2020新课标高考数学(文)二轮总复习专题限时训练：1-2-2 数列递推关系综合应用 Word版含解析

专题限时训练 (小题提速练)(建议用时：45分钟)一、选择题1．设数列{}a n 满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，若数列{}a n 是常数列，则a ＝( )A ．－2 B.－1 C.0D.(－1)n解析：因为数列{a n }是常数列，所以a ＝a 2＝a 21－2a 1＋1＝a 2－2a ＋1，即a (a ＋1)＝a 2－2，解得a ＝－2.故选A. 答案：A2．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1n B.a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D.a n ＝3n解析：由已知2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2，可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n＝n ，即a n＝1n . 答案：A3．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，若S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B.9 C.10D.11解析：由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，∴S n＝n (a 2＋a n －1)2＝100，解得n ＝10.答案：C4．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝( ) A ．－5 B.－15 C.5D.15解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是以3为公比的等比数列． ∵a 2＋a 4＋a 6＝a 2(1＋q 2＋q 4)＝9，∴a 5＋a 7＋a 9＝a 5(1＋q 2＋q 4)＝a 2q 3(1＋q 2＋q 4)＝35. ∴log 1335＝－5.故选A. 答案：A5．已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2019＝( ) A ．1 008×2 020 B.1 008×2 019 C ．1 009×2 019D.1 009×2 020解析：在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，得a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0；令n ＝2，得a 3＝2＝2a 2，a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列．S 2019＝2 019×2 0182＝1 009×2 019.答案：C6．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n >1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝( ) A.210B.211C.224D.225解析：n >1时，S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2， ∴a n ＋1＝a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝2.数列{a n }从第二项开始组成公差为2的等差数列，所以S 15＝a 1＋(a 2＋…＋a 15)＝1＋2＋282×14＝211. 答案：B7．(2019·广东汕头市一模)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝12－12a n ，则a n ＝( ) A.13·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1B.12·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 C ．2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 解析：由题意，得S 1＝a 1＝12－12a 1，所以a 1＝13.又当n ≥2时，S n －S n －1＝a n ＝12－12a n －12＋12a n －1，即a n a n －1＝13，所以数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .故选D.答案：D8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n－1 B.a n ＝2－13n －1C ．a n ＝12n －1D.a n ＝13n －2解析：由题意得1a n ＋1＝2a n ＋1，则1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，易知1a 1＋1＝2≠0，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n＋1是以2为首项，2为公比的等比数列，则1a n ＋1＝2n ，则a n ＝12n －1.故选C. 答案：C9．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )，则a 1＋a 2＋…＋a 100＝( ) A ．0 B.100 C.5 050D.10 200解析：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100 ＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002 ＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(1002－992) ＝3＋7＋…＋199＝50(3＋199)2＝5 050.故选C.答案：C10．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，则a 13＝( ) A ．143 B.156 C.168D.195 解析：由a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，可知a n ＋1＋1＝a n ＋1＋2a n ＋1＋1＝(a n ＋1＋1)2， ∴a n ＋1＋1＝a n ＋1＋1，又a 1＋1＝1，故数列{a n ＋1}是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n ＋1＝n ，所以a 13＋1＝13，则a 13＝168.故选C. 答案：C 11．定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”．若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n ＋1，且b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝( ) A.111B.910C.1011D.1112解析：由已知，得n a 1＋a 2＋…＋a n ＝12n ＋1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (2n ＋1)＝S n . 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1. 验证知，当n ＝1时此式也成立， ∴a n ＝4n －1.∴b n ＝a n ＋14＝n . ∴1b n ·b n ＋1＝1n －1n ＋1， ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝1011.故选C. 答案：C12．已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1(n ≥2)，b n ＝1a n ＋a n ＋1，记数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 33的值是( ) A.99 B.33 C.4 2D.3解析：∵2a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1(n ≥2)，∴数列{a 2n }为等差数列，首项为1，公差为22－1＝3.∴a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.a n >0.∴a n ＝3n －2. ∴b n ＝1a n ＋a n ＋1＝13n －2＋3n ＋1＝13(3n ＋1－3n －2)，故数列{b n }的前n项和为S n ＝13[(4－1)＋(7－4)＋…＋(3n ＋1－3n －2)]＝13(3n ＋1－1)．则S 33＝13(3×33＋1－1)＝3.故选D.答案：D 二、填空题13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·2n －1－3，则m ＝ . 解析：a 1＝S 1＝m －3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝m ·2n －2，∴a 2＝m ，a 3＝2m ，又a 22＝a 1a 3，∴m 2＝(m －3)·2m ，整理得m 2－6m ＝0，则m ＝6或m ＝0(舍去)．答案：614．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝ . 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1. 因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.答案：⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥215．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________. 解析：当n ＝1时，由已知S n ＝23a n ＋13，得a 1＝23a 1＋13，即a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23a n －23a n －1，所以a n ＝－2a n－1，所以数列{a n }为以1为首项，－2为公比的等比数列，所以a n ＝(－2)n －1. 答案：(－2)n －116．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第六件首饰上应有颗珠宝；则前n 件首饰所用珠宝总数为颗．(结果用n 表示)解析：由题意，知a 1＝1，a 2＝6，a 3＝15， a 4＝28，a 5＝45，a 6＝66，….∴a 2－a 1＝5，a 3－a 2＝9，a 4－a 3＝13，a 5－a 4＝17，a 6－a 5＝21，…，a n －a n －1＝4n －3.∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋(a 6－a 5)＋…＋(a n －a n －1) ＝a n －a 1＝5＋9＋13＋17＋21＋…＋(4n －3) ＝(n －1)(5＋4n －3)2＝2n 2－n －1.∴a n ＝2n 2－n ，其前n 项和为S n ＝2(12＋22＋32＋…＋n 2)－(1＋2＋3＋…＋n )＝2×n (n ＋1)(2n ＋1)6－n (n ＋1)2＝4n 3＋3n 2－n 6.答案：66 4n 3＋3n 2－n6专题限时训练 (大题规范练)(建议用时：60分钟)1．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .解析：(1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ， ∴a n ＋1－a n 为同一常数，∴数列{a n }是以a 1为首项的等差数列．设a n ＝a 1＋(n －1)d .则a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝2－83＝－2，∴a n ＝10－2n . (2)由(1)知a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5. 当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n <5时，a n >0. 设T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .∴当n >5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n ＝n 2－9n ＋40.当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2(n ≤5)，n 2－9n ＋40(n >5).2．(2019·东莞市模拟)设{a n }是单调递增的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝13，且a 1＋3,3a 2，a 3＋5构成等差数列．(1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝13，6a 2＝a 1＋a 3＋8，∴a 2＝3，a 1＋a 3＝10，得3q ＋3q ＝10，解得q ＝3或q ＝13(舍)． ∴a n ＝a 2q n －2＝3n －1，S n ＝1×(1－3n )1－3＝3n －12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列． ∵S 1＋λ＝1＋λ，S 2＋λ＝4＋λ，S 3＋λ＝13＋λ， ∴(4＋λ)2＝(1＋λ)·(13＋λ)，解得λ＝12，此时S n ＋12＝3n2，∴S n ＋12S n －1＋12＝3n 23n －12＝3(n ≥2)， ∴存在常数λ＝12.使得数列{S n ＋12}是首项为a 1＋12＝32，公比为3等比数列． 3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝1＋S n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }为等差数列，且b 1＝a 1，公差为a 2a 1.当n ≥3时，比较b n ＋1与1＋b 1＋b 2＋…＋b n 的大小．解析：(1)因为a n ＋1＝1＋S n ，① 所以当n ≥2时，a n ＝1＋S n －1，②①－②得a n ＋1－a n ＝a n ，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)．因为当n ＝1时，a 2＝1＋a 1＝2，所以a 2a 1＝2，所以a n ＋1a n＝2(n ∈N *)，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n －1.(2)因为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，所以b n ＋1＝2n ＋1，1＋b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋n (1＋2n －1)2＝n 2＋1.因为(n 2＋1)－(2n ＋1)＝n (n －2)，当n ≥3时，n (n －2)>0，所以当n ≥3时，b n ＋1<1＋b 1＋b 2＋…＋b n .4．(2019·安徽省淮南市第四次联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n ，都有4a n ＝3S n ＋2成立．记b n ＝log 2a n . (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝4(b n ＋1)·(b n ＋1＋3)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：13≤T n <34.解析：(1)在4a n ＝3S n ＋2中，令n ＝1得a 1＝2.因为对任意正整数n ，都有4a n ＝3S n ＋2成立，当n ≥2时，4a n －1＝3S n －1＋2，两式作差得，4a n －4a n －1＝3a n ，所以a n ＝4a n －1，又a 1≠0，所以数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列，∴a n ＝2×4n －1，∴b n ＝log 2a n ＝log 222n －1＝2n －1. (2)证明：∵b n ＝2n －1，∴c n ＝4(b n ＋1)·(b n ＋1＋3)＝4(2n －1＋1)·(2n ＋1＋3) ＝1n ·(n ＋2)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋2.∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2， ∴对任意n ∈N *，T n <34，又c n >0，所以，T n 为关于n 的增函数，所以T n ≥T 1＝c 1＝13.综上，13≤T n <34.。

2.1.2数列的递推关系

2.1.2数列的递推关系一、内容和内容解析数列是除数、形、三角、函数外又一个重要的数学概念，是数学发展的又一个重要主题.在第一节课的学习中学生已初步接触数列，了解了数列的基本概念，可以发现，数列的简单表示呼应数列是一种特殊函数，类比给出了三种不同的表示法：通项公式、列表法、图象法，而递推公式也是数列的一种表示方法.上一节课学生已经学习了用通项公式来表示数列，这一节课的重点是让学生进一步了解数列的另一种表示方法，即数列的递推关系.递推关系是数列所特有的表示方法，它表示的是数列的某一项和它的前一项或前若干项之间的关系，它紧密的联系着数列的通项，体现着数列项与项之间的某种关系.数列的递推关系同其通项公式的特点类似，即有些数列的递推关系是不唯一的，可以有不同形式.同函数一样，我们还可以根据数列的递推关系研究数列的性质，包括单调性、周期性等等.通过对数列递推关系的进一步研究，可以更好的体会到所有的事物虽在不断变化着，但在这纷繁的变幻中，许多现象的变化是有规律可循的，我们可以用递推的思想去研究这些变化.二、学生认知基础分析1．学生已有的经验和基础．(1)学生已经学习了函数的知识以及数列的基本概念及其简单表示，为这节课的学习奠定了一定的基础.而且学生在小学时就有了对数列知识的启蒙，比如根据前几项找一列数的规律，通过一列数写出某一项等等，这都蕴含着数列概念及表示法的萌芽和基础．(2)学生已经有用具有代表性的元素来代替任意的、无穷多的元素以及用代表性元素表示两者或多者之间关系的经验．(3)学生具有学习用递推关系表示一列数的心理需求.2．学生可能遇到的问题与困难．(1)对一列具有复杂规律的数难以直接寻求它们之间的关系.(2)对数列递推关系的理解只停留在表面，难以通过抽象的概念应用到实际问题中.(3)不善于把所有的数学知识形成一个自我的体系，不擅长联系旧知来学习新知，对数学概念的理解停留在表面.(4)由于数学思想的形成需要经历萌芽期、明朗期、成熟期，因此学生难以在一节课或几节课内深刻理解数列的精神实质.三、目标和目标解析结合教学指导意见和教学实际，制定教学目标如下：1.知识与技能：经历通过递推关系写通项公式、通过数列前几项写递推关系以及根据数列递推关系寻找数列的性质，掌握数列递推关系的基础知识和基本技能.2.数学思考：数学是一个融会贯通的整体，学会从函数的角度认识数列，学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式.3.问题解决：通过例题解析，初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，了解并掌握数列简单表示方法的概念以及数列递推关系的应用.4.情感态度：通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣；培养学生合情推理探索数学规律的数学思想，强化数学应用意识.四、教学重点、难点重点：数列递推公式的认识与递推公式的应用难点：通过数列递推公式写数列通项公式及研究数列性质五、教学过程设计（一）复习引入，提出课题上一节课我们学习了数列的基本概念，我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，记为{}n a.把表示{}n a的第n项与序号n之间的关系式称为数列的通项公式.（1）在上图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式.1a类比于函数，我们把这种数列的表示方法称为解析式法.=n3-n同样，除了解析式法，还可以用列表法、图象法来表示数列.列表法问题：写数列通项公式时，你最先发现这个数列的规律是？后一项是前一项的3倍，即)2(31≥=-n a a n n .我们把这种项与项之间的等式关系称为数列递推关系，它也是数列的一种表示方法.[设计意图] 通过具体例题回顾上一节的知识，从函数的角度类比数列的几种简单表示方法，引出新课内容.（二）分组练习，交流分享分组：分成四个小组，各自完成一道习题，相互交流讨论并选出一名发言人汇报讨论结果.巡视、点拨：了解学生的答题情况，对讨论过程中个别疑难处进行指导.1.根据数列的递推关系，写出数列的前五项并猜想这个数列的通项公式.（1）已知;2,111+==+n n a a a（2）已知;21,211n n a a a ==+ （3）已知);2(1,111≥+==-n a n n a a n n （4）已知.23,5,31221n n n a a a a a -===++[设计意图] 通过练习1让学生进一步体会根据数列的递推关系可以把数列的每一项都表示出来，利用分组练习充分发挥学生合作交流的能力，让学生“动n a 13-k起来”，让课堂“活起来”.2.（1）下面四个图形中的点数依次构成数列的前四项，请写出它的一个递推关系.（2）下图中的三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前3项，请写出它的一个递推关系.（3）已知数列的前四项分别为：1,2,6,15，请写出它的一个递推关系.[设计意图] 以图形的形式展现数列的前几项，寻找图形之间的关系从而写出数列的递推关系.以丰富的形式提高学生学习探究的兴趣，激发学生的求知欲.（三）例题解析，思维提升例1.已知正项数列{}n a 满足22,111+==+n n n a a a a . ①求;,,432a a a ②能否判断{}n a 的单调性？可否求证？[设计意图] 数列的递推关系的应用，先尝试通过递推关系写出前几项猜想数列的单调性，再根据数列的递推关系引导学生利用作差法、作商法求证猜想.通过这个例子培养学生大胆猜想，严谨求证的数学能力.例2.已知数列{}n a 满足,11,211n n a a a -==+则)(2016=a .2.A 21.B2.-C 1.-D [设计意图] 数列的递推关系的应用，让学生先通过递推关系写出数列的前几项发现规律，然后猜想第2016项，体会由数列的递推关系判断数列的周期性.找规律找周期性这类问题是学生从小学就开始接触的，这种熟悉的问题更易让学生动手尝试，从而达到知识拓展、思维提升的目的.归纳小结：数列递推关系的应用：①写出数列的通项公式；②判断数列的单调性；③周期性.（板书）[设计意图] 通过教师适当的点拨和小结，让学生站在更高层次去理解数学本质.（四）联系自然，课外拓展1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…提问：你能发现这个数列的规律吗？如果用n a 表示第n 个月的兔子的总对数，可以看出，)3(21≥+=--n a a a n n n这是一个由递推关系给出的数列，我们把这个数列称为斐波那契数列.拓展1：带小花的大向日葵的管状小花排列成两组交错的螺旋，通常顺时针的螺旋有34条，逆时针的螺旋有55条，恰为斐波那契数列的相邻两项，这样的螺旋被称为“斐波那契螺旋”，蒲公英和松塔就是以“斐波那契螺旋”的形式排列种子或鳞片的.拓展2：把相邻两项的比值看做一个新的数列，即⋯⋯+,,,2113,138,85,53,32,21,111n n a a当n 趋向于无穷大时，其比值趋向于618.0215≈-，即黄金比值. 故斐波那契螺旋又称为黄金螺旋.拓展3：神奇的是，飓风的卫星云图和银河的形状都与黄金螺旋有着惊人的相似之处.包括在建筑上，美术上甚至在音乐上都体现了它的美妙之处.[设计意图] 数学来源于生活，数学是有用的，数学的美妙也体现在生活中的方方面面.让学生从更多角度认识数列的递推关系.（五）归纳总结，作业布置提问：通过今天这节课你收获了什么？[设计意图]通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力．分层布置作业必做题：书P34，第4,5,6题.选做题（探究提升）：阅读了解斐波那契数列相关内容，体会数列的递推关系的应用.。

数学必修Ⅴ人教新课标A版2-1-2数列的性质和递推关系课件(40张)

答案： A
数学必修5
第二章数列
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3．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它的最小项的值是________．
解析： ∵an＝n2－6n＝(n－3)2－9， ∴当n＝3时，an有最小值－9. 答案：－9
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第2课时数列的性质和递推关系
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1．了解递推公式是给出数列的一种方法． 2．理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前几项． 3．掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法．
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得aan－n 1＝aann－－12＝…＝aa32＝aa21＝2(n≥2)． ∴an＝aan－n 1·aann－－12·…·aa32·aa21·a1 ＝2·2·…·2·2＝2n. 又当n＝1时，a1＝21＝2成立， ∴an＝2n(n∈N*)．
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某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位(如图)．
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初中数学点知识归纳数列的递推关系和求和公式

初中数学点知识归纳数列的递推关系和求和公式数列是数学中常见的概念，它按照一定的规律排列起来的数的集合。

数列的递推关系和求和公式是数列中常用的重要工具，在数学问题的解答中起着重要的作用。

下面将对数列的递推关系和求和公式进行归纳和总结。

一、数列的递推关系数列的递推关系指的是根据已知的数列中的某几项，通过递推公式求得数列中的下一项的方法。

递推关系有多种形式，常见的有等差数列和等比数列。

下面分别介绍这两种数列的递推关系。

1.等差数列的递推关系等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。

设等差数列的首项为a1，公差为d，则等差数列的递推关系可以表示为an =a1 + (n-1)d。

其中，an表示等差数列中的第n项。

例如，已知等差数列的首项为3，公差为2，求该数列的第10项。

根据递推关系，可以得到a10 = 3 + (10-1)2 = 21。

2.等比数列的递推关系等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持不变的数列。

设等比数列的首项为a1，公比为r，则等比数列的递推关系可以表示为an =a1 * r^(n-1)。

其中，an表示等比数列中的第n项。

例如，已知等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的第5项。

根据递推关系，可以得到a5 = 2 * 3^(5-1) = 162。

二、数列的求和公式求和公式是用来计算数列中一定范围内的所有数的和的公式。

数列的求和公式有多种，常见的有等差数列的求和公式和等比数列的求和公式。

下面分别介绍这两种数列的求和公式。

1.等差数列的求和公式设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则等差数列的求和公式可以表示为Sn = (n/2)(2a1+(n-1)d)。

例如，已知等差数列的首项为4，公差为3，求该数列的前10项的和。

根据求和公式，可以得到S10 = (10/2)(2*4+(10-1)3) = 145。

2.等比数列的求和公式设等比数列的首项为a1，公比为r，前n项的和为Sn，则等比数列的求和公式可以表示为Sn = (a1 * (1 - r^n))/(1 - r)。

高二数学人教A必修5练习及解析：2-1-2 数列的通项公式与递推公式

高二数学人教A 必修5第2章数列课时训练数列的通项公式与递推公式一、数列的单调性1.已知数列a n <0,且2a n+1=a n ,则数列{a n }是( )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.无法判断答案:A解析:∵a n <0,∴a n+1-a n =12a n -a n =-12a n >0.∴数列{a n }是递增数列.2.在数列{a n }中,若a n =-n 2+12n-7,则此数列的最大项的值为 . 答案:29解析:a n =-(n-6)2+29,所以当n=6时,a n 最大,解得a 6=29.二、由递推公式求数列中的项3.若a 1=1,a n+1=a n3a n +1,则给出的数列{a n }的第7项是( )A.116B.117C.119D.125答案:C解析:由数列的首项和递推公式可以求出a 2=14,a 3=17,…,观察得到通项公式a n =13n -2,所以a 7=119. 4.在数列{a n }中,a 1=-2,a n+1=1+a n1-a n,则a 2 012=( )A.-2B.-13C.-12D.3答案:D解析:∵a 1=-2,a n+1=1+a n1-a n, ∴a 2=-13,a 3=12,a 4=3,a 5=-2. ∴该数列是周期数列,周期T=4.又2 012=503×4,∴a 2 012=a 4=3.5.已知数列{a n },a 1=1,a 2=2,a n =a n-1+a n-2(n ≥3),则a 5=.答案:8解析:由题知a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5,∴a5=a4+a3=8.6.已知数列{a n}满足a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=a n,n∈N*,则a2 013=;a2 014=.答案:10解析:a2 013=a504×4-3=1,a2 014=2a1 007=2a4×252-1=0.7.数列{a n}满足a n+1=11-a n,a8=2,则a1=.答案:12解析:a8=11-a7=2,∴a7=12.又a7=11-a6,∴a6=-1.又a6=11-a5,∴a5=2.以此下去,可推出a1=12.三、由递推关系求通项公式8.已知数列{a n}中,a1=1,a n=a n-1+1(n≥2),则通项公式为()A.a n=1B.a n=2n-1C.a n=nD.a n=n+1答案:C解析:由a n=a n-1+1知a n-a n-1=1,∴数列的相邻两项中后项比前项大1.∴通项公式为a n=n.9.已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=2a n+1,则数列{a n}的通项公式为()A.a n=2n-1B.a n=2n-1C.a n=(12)n-1D.a n=1+(12)n答案:A解析:方法一:由已知a1=1=21-1,a2=2×1+1=3=22-1,a3=2×3+1=7=23-1,…, 由此归纳得a n=2n-1.方法二:∵a n+1+1=2(a n+1),∴a n+1+1a n+1=2,用累乘法可得a n+1=2n.∴a n=2n-1.10.(2015温州高二检测)已知数列{a n},a1=1,以后各项由a n=a n-1+1n(n-1)(n≥2)给出.(1)写出数列{a n}的前5项;(2)求数列{a n }的通项公式. 解:(1)a 1=1;a 2=a 1+12×1=32;a 3=a 2+13×2=53;a 4=a 3+14×3=74;a 5=a 4+15×4=95.(2)由已知得a n -a n-1=1n (n -1)=1n -1−1n , ∴a 2-a 1=1-12,a 3-a 2=12−13,a 4-a 3=13−14,……,a n -a n-1=1n -1−1n .左右分别累加得a n -a 1=1-1n, 所以a n =a 1+1-1n=2-1n.(建议用时:30分钟)1.已知数列{a n },a 1=1,a n -a n-1=n-1(n ≥2).则a 6等于( )A.7B.11C.16D.17答案:C解析:由题可知a 6=a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+(a 5-a 4)+(a 6-a 5)=1+1+2+3+4+5=16. 2.已知数列{a n }中,a 1=2,a n =-1a n -1(n ≥2),则a 2 015等于( )A.-12B.12C.2D.-2答案:C 解析:∵a n+2=-1a n+1=a n ,∴数列奇数项相同,偶数项相同.∴a 2 015=a 1=2.3.数列{a n }中,a 1=1,对所有的n ≥2,都有a 1a 2a 3…a n =n 2,则a 3+a 5等于( ) A.259B.2516C.6116D.3115答案:C解析:由已知得{a 1a 2a 3=32a 1a 2=22⇒a 3=94,{a 1a 2a 3a 4a 5=25a 1a 2a 3a 4=16⇒a 5=2516,∴a 3+a 5=6116. 4.已知数列{a n }的通项公式为a n =(49)n -1−(23)n -1,则数列{a n }( )A.有最大项,没有最小项B.有最小项,没有最大项C.既有最大项又有最小项D.既没有最大项也没有最小项答案:C解析:数列{a n }的通项公式为a n =(49)n -1−(23)n -1,令t=(23)n -1(0<t ≤1), 则a n =t2-t=(t -12)2−14(0<t ≤1).故数列{a n }有最大项和最小项,选C .5.下图是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两黑点间的“短线”表示化学键,按图中结构第n 个图有化学键( )A.6n 个B.(4n+2)个C.(5n-1)个D.(5n+1)个答案:D解析:各图中的短线依次为6,6+5,6+5+5,…,若视6为5+1,则这个数列为1+5,1+5+5,1+5+5+5,…,于是第n 个图的化学键个数应为a n =5n+1.6.数列{a n }满足a n+1={2a n ,0≤a n <12,2a n -1,12≤a n <1.若a 1=67,则a 9等于 . 答案:37解析:a 1=67∈[12,1),∴a 2=2a 1-1=57,∴a 3=2a 2-1=37∈[0,12),∴a 4=2a 3=67,同理a 5=57,a 6=37,a 7=67,a 8=57,a 9=37.7.数列{a n }中a 1=1,a 2=3,a n 2-a n-1·a n+1=(-1)n-1(n ≥2),那么a 4= .答案:33解析:令n=2得a 22-a 1·a 3=-1,∴a 3=10.令n=3代入,得a 32-a 2a 4=(-1)2,∴a 4=33.8.设函数f (x )定义如下表,数列{x n }满足x 0=5,且对任意的自然数均有x n+1=f (x n ),则x 2014=.答案:1解析:x 1=f (x 0)=f (5)=2,x 2=f (x 1)=f (2)=1, x 3=f (x 2)=f (1)=4, x 4=f (x 3)=f (4)=5=x 0,从而数列{x n }是周期为4的数列,于是x 2 014=x 4×503+2=x 2=1. 9.已知递增数列{a n }的通项公式是a n =n 2+λn ,求实数λ的取值范围. 解:∵数列{a n }是递增数列,∴a n+1>a n 对n ∈N *恒成立.∵a n+1-a n =(n+1)2+λ(n+1)-n 2-λn=2n+1+λ, ∴2n+1+λ>0对n ∈N *恒成立,即λ>-2n-1对n ∈N *恒成立, 又当n ∈N *时-2n-1≤-3,∴λ>-3. 10.设数列{a n },a 1=0,a n+1=1+a n3-a n,写出数列的前4项,并归纳出该数列的一个通项公式.解:a 1=0,a 2=1+a 13-a 1=13,a 3=1+a 23-a 2=1+133-13=12,a 4=1+a 33-a 3=1+123-12=35.直接观察可以发现a 3=12可写成a 3=24, 这样可知a n =n -1n+1(n ∈N *,n ≥2). 当n=1时,1-11+1=0=a 1,所以a n =n -1n+1.一、选择题1．已知数列{a n }满足：a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n >1)，则a 4等于( )A.45B.14 C ．－14 D.15【解析】 a 2＝1－1a 1＝5，a 3＝1－1a 2＝45，a 4＝1－1a 3＝－14.【答案】 C2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N * B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2 C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2 D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2 【解析】由a 2－a 1＝3－1＝2， a 3－a 2＝6－3＝3，a 4－a 3＝10－6＝4， a 5－a 4＝15－10＝5，归纳猜想得a n －a n －1＝n (n ≥2)，所以a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2. 【答案】 B3．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133 C ．4 D ．0【解析】 ∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质得，当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0.【答案】 D4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n －3＝0，则{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝3n ＋2 B ．a n ＝3n －2 C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝3n ＋1【解析】因为a1＝2，a n－a n－3＝0，＋1＝3，所以a n－a n－1a n－1－a n－2＝3，a n－2－a n－3＝3，…a2－a1＝3，以上各式相加，则有a n－a1＝(n－1)×3，所以a n＝2＋3(n－1)＝3n－1.【答案】 C5．已知在数列{a n}中，a1＝3，a2＝6，且a n＋2＝a n＋1－a n，则a2 016＝()A．3 B．－3C．6 D．－6【解析】由题意知：a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，a9＝a8－a7＝3，a10＝a9－a8＝－3，…故知{a n}是周期为6的数列，∴a2 016＝a6＝－3.【答案】 B二、填空题6．数列{a n}中，若a n＋1－a n－n＝0，则a2 016－a2 015＝ .【解析】由已知a2 016－a2 015－2 015＝0，∴a2 016－a2 015＝2 015.【答案】 2 0157．数列{a n}满足a n＝4a n－1＋3，且a1＝0，则此数列的第5项是．【解析】因为a n ＝4a n －1＋3，所以a 2＝4×0＋3＝3， a 3＝4×3＋3＝15，a 4＝4×15＋3＝63，a 5＝4×63＋3＝255. 【答案】 2558．数列{a n }满足：a 1＝6，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝32a n －3，那么这个数列的通项公式为．【解析】由a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝32a n －3，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝32a n －1－3(n ≥2)，两式作差得3a n －1＝a n (n ≥2)，∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝6·3n －1＝2·3n (n ≥2)． ∵a 1＝6也适合上式， ∴a n ＝2·3n (n ∈N *)(n ∈N *)．【答案】 a n ＝2·3n (n ∈N *) 三、解答题9．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a na n ＋3(n ∈N *)，求通项a n . 【解】将a n ＋1＝3a na n ＋3两边同时取倒数得：1a n ＋1＝a n ＋33a n ，则1a n ＋1＝1a n＋13，即1a n ＋1－1a n＝13，∴1a 2－1a 1＝13，1a 3－1a 2＝13，…，1a n －1a n －1＝13，把以上这(n －1)个式子累加，得1a n－1a 1＝n －13.∵a 1＝1，∴a n ＝3n ＋2(n ∈N *)． 10．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n，试求数列{a n }的最大项. 【导学号：05920065】【解】假设第n 项a n 为最大项，则⎩⎨⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.即⎩⎪⎨⎪⎧(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n ≥(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n－1，(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n ≥(n ＋3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n ＋1.解得⎩⎨⎧n ≤5，n ≥4，即4≤n ≤5，所以n ＝4或5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574.[能力提升]1．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－21【解析】由已知得a 2＝a 1＋a 1＝2a 1＝－6，∴a 1＝－3. ∴a 10＝2a 5＝2(a 2＋a 3) ＝2a 2＋2(a 1＋a 2)＝4a 2＋2a 1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30. 【答案】 C2．(2015·吉林高二期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ≤12，2x －1，12<x <1，x －1，x ≥1，若数列{a n }满足a 1＝73，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *，则a 2 014＋a 2 015等于( )A ．4 B.32 C.76D ．116【解析】 a 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73＝73－1＝43；a 3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝43－1＝13；a 4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13＋12＝56；a 5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝2×56－1＝23；a 6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23－1＝13；…∴从a 3开始数列{a n }是以3为周期的周期数列． ∴a 2 014＋a 2 015＝a 4＋a 5＝32.故选B. 【答案】 B3．(2015·龙山高二检测)我们可以利用数列{a n }的递推公式a n ＝⎩⎨⎧n ，n 为奇数时，a n2，n 为偶数时(n ∈N *)求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第项．【解析】由题意可知，a 5＝a 10＝a 20＝a 40＝a 80＝a 160＝a 320＝a 640＝…＝5.故第8个5是该数列的第640项．【答案】 6404．已知数列{a n }，满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n (n －1)(n ≥2)，求数列的通项公式．【解】法一由a n －a n －1＝1n (n －1)＝1n －1－1n (n ≥2)，则a n －1－a n －2＝1n －2－1n －1， …a 3－a 2＝12－13，a 2－a 1＝1－12.将上式相加得a n －a 1＝1－1n (n ≥2)，又a 1＝1，∴a n ＝2－1n .a 1＝1也适合，∴a n ＝2－1n (n ∈N *)．法二由已知得a n －a n －1＝1n －1－1n (n ≥2)，则a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝1n －1－1n ＋1n －2－1n －1＋1n －3－1n －2＋…＋1－12＋1＝2－1n (n ≥2)． a 1＝1也适合，∴a n ＝2－1n (n ∈N *).。

(新课标)高考数学二轮总复习1.2.2数列递推关系综合应用专题限时训练文

（新课标）高考数学二轮总复习1.2.2数列递推关系综合应用专题限时训练文专题限时训练 (小题提速练)(建议用时：45分钟)一、选择题1．设数列{}a n 满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，若数列{}a n 是常数列，则a ＝( )A ．－2 B.－1 C.0D.(－1)n解析：因为数列{a n }是常数列，所以a ＝a 2＝a 21－2a 1＋1＝a 2－2a ＋1，即a (a ＋1)＝a 2－2，解得a ＝－2.故选A. 答案：A2．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1nB.a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D.a n ＝3n解析：由已知2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2，可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n .答案：A3．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，若S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B.9 C.10D.11解析：由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，∴S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100，解得n ＝10. 答案：C4．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝( )A ．－5 B.－15C.5D.15解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是以3为公比的等比数列． ∵a 2＋a 4＋a 6＝a 2(1＋q 2＋q 4)＝9，∴a 5＋a 7＋a 9＝a 5(1＋q 2＋q 4)＝a 2q 3(1＋q 2＋q 4)＝35. ∴log 1335＝－5.故选A.答案：A5．已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2019＝( )A ．1 008×2 020 B.1 008×2 019 C ．1 009×2 019D.1 009×2 020解析：在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，得a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0；令n ＝2，得a 3＝2＝2a 2，a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列．S 2019＝2 019×2 0182＝1009×2 019. 答案：C6．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n >1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝( ) A.210 B.211 C.224D.225解析：n >1时，S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2， ∴a n ＋1＝a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝2.数列{a n }从第二项开始组成公差为2的等差数列，所以S 15＝a 1＋(a 2＋…＋a 15)＝1＋2＋282×14＝211. 答案：B7．(2019·广东汕头市一模)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝12－12a n ，则a n ＝( )A.13·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 B.12·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 C ．2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 解析：由题意，得S 1＝a 1＝12－12a 1，所以a 1＝13.又当n ≥2时，S n －S n －1＝a n ＝12－12a n －12＋12a n－1，即a n a n －1＝13，所以数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.故选D. 答案：D8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n－1 B.a n ＝2－13n －1C ．a n ＝12n －1D.a n ＝13n －2解析：由题意得1a n ＋1＝2a n＋1，则1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，易知1a 1＋1＝2≠0，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n＋1是以2为首项，2为公比的等比数列，则1a n ＋1＝2n，则a n ＝12n －1.故选C. 答案：C9．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )，则a 1＋a 2＋…＋a 100＝( ) A ．0 B.100 C.5 050D.10 200解析：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100 ＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(1002－992) ＝3＋7＋…＋199＝50(3＋199)2＝5 050.故选C.答案：C10．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，则a 13＝( ) A ．143 B.156 C.168D.195解析：由a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，可知a n ＋1＋1＝a n ＋1＋2a n ＋1＋1＝(a n ＋1＋1)2， ∴a n ＋1＋1＝a n ＋1＋1，又a 1＋1＝1，故数列{a n ＋1}是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n ＋1＝n ，所以a 13＋1＝13，则a 13＝168.故选C.答案：C11．定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”．若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n ＋1，且b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝( ) A.111 B.910 C.1011D.1112解析：由已知，得na 1＋a 2＋…＋a n＝12n ＋1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (2n ＋1)＝S n . 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1. 验证知，当n ＝1时此式也成立， ∴a n ＝4n －1.∴b n ＝a n ＋14＝n .∴1b n ·b n ＋1＝1n －1n ＋1，∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝1011.故选C. 答案：C12．已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1(n ≥2)，b n ＝1a n ＋a n ＋1，记数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 33的值是( ) A.99 B.33 C.4 2D.3解析：∵2a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1(n ≥2)，∴数列{a 2n }为等差数列，首项为1，公差为22－1＝3.∴a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.a n >0.∴a n ＝3n －2. ∴b n ＝1a n ＋a n ＋1＝13n －2＋3n ＋1＝13(3n ＋1－3n －2)，故数列{b n }的前n 项和为S n ＝13[(4－1)＋(7－4)＋…＋(3n ＋1－3n －2)]＝13(3n ＋1－1)．则S 33＝13(3×33＋1－1)＝3.故选D.答案：D二、填空题13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·2n －1－3，则m ＝ .解析：a 1＝S 1＝m －3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝m ·2n －2，∴a 2＝m ，a 3＝2m ，又a 22＝a 1a 3， ∴m 2＝(m －3)·2m ，整理得m 2－6m ＝0，则m ＝6或m ＝0(舍去)．答案：614．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝ . 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1.因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥215．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________.解析：当n ＝1时，由已知S n ＝23a n ＋13，得a 1＝23a 1＋13，即a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23a n －23a n －1，所以a n ＝－2a n －1，所以数列{a n }为以1为首项，－2为公比的等比数列，所以a n ＝(－2)n －1.答案：(－2)n －116．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第六件首饰上应有颗珠宝；则前n 件首饰所用珠宝总数为颗．(结果用n 表示)解析：由题意，知a 1＝1，a 2＝6，a 3＝15，a 4＝28，a 5＝45，a 6＝66，….∴a 2－a 1＝5，a 3－a 2＝9，a 4－a 3＝13，a 5－a 4＝17，a 6－a 5＝21，…，a n －a n －1＝4n －3. ∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋(a 6－a 5)＋…＋(a n －a n －1) ＝a n －a 1＝5＋9＋13＋17＋21＋…＋(4n －3) ＝(n －1)(5＋4n －3)2＝2n 2－n －1.∴a n ＝2n 2－n ，其前n 项和为S n ＝2(12＋22＋32＋…＋n 2)－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2×n (n ＋1)(2n ＋1)6－n (n ＋1)2＝4n 3＋3n 2－n6.答案：66 4n 3＋3n 2－n6专题限时训练 (大题规范练)(建议用时：60分钟)1．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .解析：(1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ， ∴a n ＋1－a n 为同一常数，∴数列{a n }是以a 1为首项的等差数列．设a n ＝a 1＋(n －1)d .则a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝2－83＝－2，∴a n ＝10－2n .(2)由(1)知a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5. 当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n <5时，a n >0. 设T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .∴当n >5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n ＝n 2－9n ＋40.当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2(n ≤5)，n 2－9n ＋40(n >5).2．(2019·东莞市模拟)设{a n }是单调递增的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝13，且a 1＋3,3a 2，a 3＋5构成等差数列． (1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝13，6a 2＝a 1＋a 3＋8，∴a 2＝3，a 1＋a 3＝10，得3q ＋3q ＝10，解得q ＝3或q ＝13(舍)． ∴a n ＝a 2qn －2＝3n －1，S n ＝1×(1－3n)1－3＝3n－12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列． ∵S 1＋λ＝1＋λ，S 2＋λ＝4＋λ，S 3＋λ＝13＋λ， ∴(4＋λ)2＝(1＋λ)·(13＋λ)，解得λ＝12，此时S n ＋12＝3n2，∴S n ＋12S n －1＋12＝3n23n －12＝3(n ≥2)，∴存在常数λ＝12.使得数列{S n ＋12}是首项为a 1＋12＝32，公比为3等比数列．3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝1＋S n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }为等差数列，且b 1＝a 1，公差为a 2a 1.当n ≥3时，比较b n ＋1与1＋b 1＋b 2＋…＋b n 的大小．解析：(1)因为a n ＋1＝1＋S n ，① 所以当n ≥2时，a n ＝1＋S n －1，②①－②得a n ＋1－a n ＝a n ，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)．因为当n ＝1时，a 2＝1＋a 1＝2，所以a 2a 1＝2，所以a n ＋1a n＝2(n ∈N *)，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n －1.(2)因为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，所以b n ＋1＝2n ＋1， 1＋b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋n (1＋2n －1)2＝n 2＋1.因为(n 2＋1)－(2n ＋1)＝n (n －2)，当n ≥3时，n (n －2)>0，所以当n ≥3时，b n ＋1<1＋b 1＋b 2＋…＋b n .4．(2019·安徽省淮南市第四次联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n ，都有4a n ＝3S n ＋2成立．记b n ＝log 2a n . (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝4(b n ＋1)·(b n ＋1＋3)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：13≤T n <34.解析：(1)在4a n ＝3S n ＋2中，令n ＝1得a 1＝2.因为对任意正整数n ，都有4a n ＝3S n ＋2成立，当n ≥2时，4a n －1＝3S n －1＋2，两式作差得，4a n －4a n －1＝3a n ，所以a n ＝4a n －1，又a 1≠0，所以数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列，∴a n ＝2×4n －1，∴b n ＝log 2a n ＝log 222n －1＝2n －1.(2)证明：∵b n ＝2n －1，∴c n ＝4(b n ＋1)·(b n ＋1＋3)＝4(2n －1＋1)·(2n ＋1＋3)＝1n ·(n ＋2)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2，∴对任意n ∈N *，T n <34，又c n >0，所以，T n 为关于n 的增函数，所以T n ≥T 1＝c 1＝13.综上，13≤T n <34.。

原创1：2.1.2 数列的递推公式

5
10 15 20 25
34
4
5
知识链接
（3）图象法：
新知探究
（一）数列的表示方法
问题1. 数列是特殊的函数，根据函数的表示方法，推理数列的
表示方法有哪些？
答：解析法，列表法，图象法.
例1. 对于数列 5，10，15，20， ⋯ ，你能否用上述几种方法表
示出来？
答：（1）解析法： = 5， ∈ N ∗ ；
项公式可以看成是数列的函数解析式，我们可以根据数列的通
项公式写出数列或数列的项.
新知探究
（二）数列的通项公式
例2. 已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为 = (−1) ， =
cos，请分别写出这两个数列，并指出它们是否表示同一个
数列？
【解析】数列{an}为：−1，1，−1，1，…，(−1) ，… ；
且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的一个通项公式为 =
(−1)+1

新知探究
（二）数列的通项公式
（2）这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数
项是0，所以，它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1＋1.
【解题反思】如何由数列的若干项写出其通项公式？
答：求数列的通项公式，即寻找数列中的项an与相应的项数
之间的对应关系式，因而只需观察并分析数列中的项关于的
构成规律，然后将项表示为项数的函数关系式即可．
（二）数列的通项公式
新知探究
变式3. 分别写出下面两个数列的一个通项公式，数列的前4项
已给出．
(1)
1
2
1
6
，− ，
1
，
12
−
1
，⋯

2020年高考数学压轴题专题复习：数列与不等式的综合问题【解析版】

第二章数列与不等式专题数列与不等式的综合问题纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n 项和与第n 项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n 项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．数列与不等式的结合,一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围. 本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到； ③比较方法：作差或者作商比较．【压轴典例】例1.（2013·全国高考真题（理））设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n=1,2,3,… 若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n nb a +，则( ) A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列【答案】B 【解析】因为11b c >，不妨设111142,33a a b c ==，13()22p a b c a =++=；故211S ==； 21a a =，112125326a ab a +==，112147326a a c a +==，2216S a ==；显然21S S >；同理，31a a =，112159428a a b a +==，113137428a a c a +==，231S ==，显然32S S >.例2. （2018·江苏高考真题）已知集合*{|21,}A x x n n N ==-∈，*{|2,}n B x x n N ==∈．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________．【答案】27 【解析】设=2kn a ，则12[(211)+(221)+(221)][222]k k n S -=⨯-⨯-+⋅-++++()11221212212(12)222212k k kk k ---++⨯--=+=+--由112n n S a +>得2211211522212(21),(2)20(2)140,22,6k k k k k k k -+---+->+-->≥≥ 所以只需研究5622n a <<是否有满足条件的解，此时25[(211)+(221)+(21)][222]n S m =⨯-⨯-+-++++25122m +=+-，+121n a m =+，m 为等差数列项数，且16m >. 由25122212(21),2450022,527m m m m m n m ++->+-+>∴≥=+≥，得满足条件的n 最小值为27. 例3.（2018·浙江高考模拟）设数列的前项和分别为，其中，使成立的最大正整数__________,__________．【答案】 6. 114. 【解析】根据题意，数列{a n }中，a n =-3n+20，则数列{a n }为首项为17，公差为-3的等差数列，且当n≤6时，a n ＞0，当n ＞7时，a n ＜0，又由b n =|a n |，当n≤6时，b n =a n ，当n ＞7时，b n =-a n ，则使T n =S n 成立的最大正整数为6，T 2018+S 2018=（a 1+a 2+……+a 6+a 7+a 8+……+a 2018）+（b 1+b 2+……+b 6+b 7+b 8+……+b 2018）=（a 1+a 2+……+a 6+a 7+a 8+……+a 2018）+（a 1+a 2+……+a 6-a 7-a 8-……-a 2018） =2（a 1+a 2+……+a 6）=，故答案为：6，114 例4.（2019·江西师大附中高考模拟（文））数列{}n a 中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行1项，排1a ；第二行2项，从左到右分别排2a ，3a ；第三行3项，……依此类推，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则满足2019n S >的最小正整数n 的值为（）A ．20B ．21C ．26D ．27【答案】B 【解析】第一行为4，其和为4，可以变形为：1232T =⨯-；第二行为首项为4，公比为3的等比数列，共2项，其和为：()22241323213T -==⨯--；第三行为首项为4，公比为3的等比数列，共3项，其和为()33341323213T -==⨯--；依此类推：第n 行的和：232nn T =⨯-；则前6行共：12345621+++++=个数前6行和为：()()()()26267212322322322333123152172S =⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-=⨯++⋅⋅⋅+-=-=满足2019n S >而第六行的第6个数为：543972⨯=，则202197212002019S S =-=<∴满足2019n S >的最小正整数n 的值为：21本题正确选项：B例5.（2019·内蒙古高考模拟（理））数列()11n a n n =+的前n 项和为n S ，若1S ，m S ，n S 成等比数列()1m >，则正整数n 值为______. 【答案】8 【解析】∵()11111n a n n n n ==-++，∴11111122311n nS n n n =-+-++-=++，又1S ，m S ，n S 成等比数列()1m >，∴()21m n S S S =⋅，即()221211m n n m =⋅++，()22211m n n m =++， ∴()2221m m <+，即2210m m --<，解得1212m -<<+，结合1m 可得2m =， ∴8n =，故答案为8.例6.（2016·天津高考真题（理））已知{}是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的，是和的等比中项.（Ⅰ）设求证：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设求证：【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列.（Ⅱ）证明：所以.例7.（2016·四川高考真题（理））已知数列{}的首项为1，为数列{}的前n 项和，，其中q>0，.（Ⅰ）若成等差数列，求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设双曲线的离心率为，且，证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）由已知，两式相减得到.又由得到，故对所有都成立.所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.从而.由成等差数列，可得，即，则，由已知,，故.所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.所以双曲线的离心率.由解得.因为，所以.于是，故.例8.（2016·浙江高考真题（理））设数列满足，．（Ⅰ）证明：，；（Ⅱ）若，，证明：，．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．【解析】（Ⅰ）由得，故，，所以，因此．（Ⅱ）任取，由（Ⅰ）知，对于任意，，故．从而对于任意，均有．由的任意性得．①否则，存在，有，取正整数且，则，与①式矛盾．综上，对于任意，均有．【压轴训练】1.（2019·安徽高考模拟（理））设是等差数列，下列结论一定正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3＝2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；对于B选项，当，分别为-4，-1，2时，满足a1+a3＜0，但a2+a3＝1>0，故B不正确；又{a n }是等差数列，0＜a 1＜a 2，2a 2＝a 1+a 3＞2，∴a 2，即C 正确；若a 1＜0，则（a 2﹣a 1）（a 2﹣a 3）＝﹣d 2≤0，即D 不正确．故选：C ．2．（2018·浙江高考模拟）已知等差数列的前项和是，公差不等于零，若成等比数列，则A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由成等比数列．可得，可得（，即，∵公差不等于零，故选：C ．3．（2019·山东高考模拟（文））已知正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，若存在两项m a ，n a ，使得18m n a a a =，则91m n+的最小值为__________．【答案】2 【解析】正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=， 432111=+2a q a q a q ∴，整理，得210+2q q -=，又0q >，解得，12q =，存在两项m a ，n a 使得18m n a a a =， 2221164m n a q a +-∴=，整理，得8m n +=，∴9119119()()(10)88m n m n m n m n n m +=++=++ 19(102)28m n n m+=，则91m n+的最小值为2．当且仅当9m n n m=取等号，又m ，*n N ∈．8m n +=，所以只有当6m =，2n =时，取得最小值是2．故答案为：24．（2019·湖南师大附中高考模拟（理））已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若124a =-，489a =-，则当T n 取最大值时，n 的值为_____. 【答案】4 【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，因为124a =-，489a =-，可得341127a q a ==，解得13q =，则()()()1112312(2131)(32424)n n nnn n n T a a a a q-+++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅=-=-，当T n 取最大值时，可得n 为偶数，函数13xy =（）在R 上递减，又由2192T =，4489T =，66983T =，可得246T T T <>，当6n >，且n 为偶数时，6n T T <，故当4n =时，T n 取最大值.5．（2019·安徽高考模拟（理））已知数列的各项均为正数，记为的前项和，若，，则使不等式成立的的最小值是________.【答案】11 【解析】由可得，则（）（）=0，又数列的各项均为正数，∴，即，可得数列{a n }是首项为公比为q ＝2的等比数列，∴,则n>10，又，∴n 的最小值是11，故答案为11.6．（2019·甘肃天水一中高考模拟（文））已知数列{}n a 满足11a =，0n a >，11n n a a +=，那么32n a <成立的n 的最大值为______ 【答案】5 【解析】11n n a a +=，所有{}na 11a =，公差d 1=n n a =，2n a n = 解232n a n =<，得n 42<所以32n a <成立的n 的最大值为5 故答案为：57．（2019·河北高考模拟（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2119*2n n n nS S n N +-+=∈，若24a <-，则n S 取最小值时n =__________.【答案】10 【解析】由21192n n n nS S +-+=，()21(1)1912n n n n S S ----+=，两式作差可得：1110(2)n n S S n n +--=-≥，即110(2)n n a a n n ++=-≥，由110n na a n ++=-，219n n a a n +++=-，两式作差可得：21(2)n n a a n +-=≥，则328a a +=-，24a <-，故234a a <-<，进一步可得：4567891011,,,a a a a a a a a <<<<，又10110a a +=，则10110a a <<，且111212130a a a a <+<+<，则n S 取最小值时10n =.8．（2019·河南高考模拟（理））记首项为11(0)a a >，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1212a d =-，且1n n n S a S λ+≤+，则实数λ的取值范围为__________．【答案】19,121⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由1n n n S a S λ+≤+，得11n n n n S S a a λ++-=≤. 因为10a >，所以0d <，()12312n a a n d n d ⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭. 所以当111n ≤≤时，0n a >，当12n ≥时，0n a <. （1）当111n ≤≤时，由1n n a a λ+≥得1211223n n n n n a a d d a a a n λ++≥==+=+-. 因为221911223212321n +≤+=-⨯-，所以1921λ≥.（2）当12n ≥时，由1n n a a λ+≥得121223n n a a n λ+≤=+-. 因为211223n +>-，所以1λ≤.综上所述，λ的取值范围是19,121⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 9．（2019·四川重庆南开中学高考模拟（理））在正项递增等比数列{}n a 中，51a =，记12...n n S a a a =+++，12111...n nT a a a =+++，则使得n n S T ≤成立的最大正整数n 为__________．【答案】9【解析】由题得11111(1)(1)(1)11(1)1n nn nq q a q a q q q a q q--⋅-≤=---，因为数列是正项递增等比数,所以10,1a q >>，所以2111n a q -≤.因为51a =，所以44281111,,a q a q a q --=∴=∴=，所以81901,,9n n q qq q n ---⋅≤∴≤∴≤.所以使得n n S T ≤成立的最大正整数n 为9. 故答案为：910．（2017·吉林高考模拟（理））已知数列{}n a 满足()113,31.2n n a a a n N *+==-∈ （1）若数列{}n b 满足12n n b a =-，求证：{}n b 是等比数列；（2）若数列{}n c 满足312log ,n n n n c a T c c c ==+++，求证：()1.2n n n T ->【答案】(1) 见解析；(2)见解析. 【解析】(1) 由题可知()*n N∈，从而有13n n b b +=，11112b a =-=，所以{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列.(2) 由(1)知13n n b -=，从而1132n n a -=+，11331log 3log 312n n n c n --⎛⎫=+>=- ⎪⎝⎭，有()12101212n n n n T c c c n -=+++>+++-=，所以()12n n n T ->.11．（2019·江苏金陵中学高考模拟）已知各项均为正整数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：S n ﹣1+ka n ＝ta n 2﹣1，n≥2，n∈N *（其中k ，t 为常数）．（1）若k ＝12，t ＝14，数列{a n }是等差数列，求a 1的值；（2）若数列{a n }是等比数列，求证：k ＜t ．【答案】（1）a 1＝（2）见解析【解析】（1）∵k＝12，t ＝14，∴2111124n n n S a a -+=-（n≥2），设等差数列{a n }的公差为d ，令n ＝2，则212211a a a 124+=-，令n ＝3，则2123311124a a a a ++=-，两式相减可得：()()()2332321124a a a a a a +=+-，∵a n ＞0，∴a 3﹣a 2＝2＝d ．由212211124a a a +=-，且d ＝2，化为2112a a -﹣4＝0，a 1＞0．解得a 1＝（2）∵S n ﹣1+ka n ＝ta n 2﹣1①，n≥2，n∈N *，所以S n +ka n+1＝2n 1ta +﹣1②， ②-①得a n +ka n+1﹣ka n ＝2n 1ta +﹣2n ta ，∴a n ＝（a n+1﹣a n ）[t （a n+1+a n ）﹣k]，令公比为q ＞0，则a n+1＝a n q ，∴（q ﹣1）k+1＝ta n （q 2﹣1）， ∴1＝（q ﹣1）[ta n （q+1）﹣k]；∵对任意n≥2，n∈N *， 1＝（q ﹣1）[ta n （q+1）﹣k]成立；∴q≠1，∴a n 不是一个常数； ∴t＝0，∴S n ﹣1+ka n ＝﹣1，且{a n }是各项均为正整数的数列，∴k＜0，故k ＜t ．12．（2019·天津高考模拟（理））已知单调等比数列{}n a ，首项为12，其前n 项和是n S ，且3312a S +，5S ，44a S +成等差数列，数列{}n b 满足条件1231(2)n b na a a a =（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设1n n nc a b =-，记数列{}n c 的前n 项和是n T . ①求n T ；②求正整数k ，使得对任意*n N ∈，均有k n T T ≥.【答案】(1)12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1)n b n n =+；(2)①.1112n n T n =-+；②.4k =. 【解析】(1)设11n n a a q -=.由已知得53344122S a S a S =+++，即5341222S a S =+，进而有()543122S S a -=.所以53122a a =，即214q =，则12q =±.由已知数列{}n a 是单调等比数列，且112a =，所以取12q =.数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 1231(2)n b na a a a =，(1)2322222222n b n nn+∴⨯⨯⨯⨯==，则(1)n b n n =+.即数列{}n b 的通项公式为(1)n b n n =+. (2)①.由(1)可得：1111112(1)21n n n n n c a b n n n n ⎛⎫=-=-=-- ⎪++⎝⎭，分组求和可得：1111112112n n nT n n ⎛⎫=---=- ⎪++⎝⎭. ②由于11111111(1)(2)222122(1)(2)n n n n n n n n T T n n n n ++++++--=--+=++++，由于12n +比()()12n n ++变化快，所以令10n n T T +->得4n <. 即1234,,,T T T T 递增，而456,,n T T T T 递减.所以，4T 最大.即当4k =时，k n T T ≥.13．（2019·安徽高考模拟（文））已知数列为等差数列，且公差，其前项和为，，且，，成等比数列. （1）求等差数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，求证.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意得：，解得：，∴（2）由（1）得，∴ ∴14．（2019·广东高考模拟（理））已知数列{}n a 满足11*121(22)2()n n n a a a n N n-++++=∈.（1）求12,a a 和{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若4n S S ≤对任意的正整数n 恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1) 1a 4= 26;a = 22n a n =+ (2) 125[,].52【解析】(1)由题意得111222?2n n n a a a n -++++=，所以23112124,222,a a a =⨯=+=⨯得26;a =由111222?2n n n a a a n -++++=,所以()2121221?2n n n a a a n --+++=-（2n ≥），相减得()1+12?21?2n n n n a n n -=--，得22,1n a n n =+=当也满足上式. 所以{}n a 的通项公式为22n a n =+.(2)数列{}n a kn -的通项公式为()2222,n a kn n kn k n -=+-=-+ 是以4k -为首项,公差为2k -的等差数列,若4n S S ≤对任意的正整数n 恒成立，等价于当4n =时,n S 取得最大值,所以()()4544220,55220.a k k a k k ⎧-=-+≥⎪⎨-=-+≤⎪⎩解得125.52k ≤≤ 所以实数k 的取值范围是125,.52⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 15.（2017·浙江高考模拟）已知无穷数列{}n a 的首项112a =，*1111,2n n n a n N a a +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）证明： 01n a <<；（Ⅱ）记()211n n nn n a a b a a ++-=， n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：对任意正整数n ， 310n T <. 【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析. 【解析】（Ⅰ）证明：①当1n =时显然成立；②假设当n k = ()*k N ∈时不等式成立，即01k a <<，那么当1n k =+时，11112k k k a a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ > 1·12=，所以101k a +<<，即1n k =+时不等式也成立.综合①②可知， 01n a <<对任意*n N ∈成立. （Ⅱ）12211n n n a a a +=>+，即1n n a a +>，所以数列{}n a 为递增数列. 又1111112n n n n n a a a a a +⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ 112n n a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为递减数列，所以111nn a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭也为递减数列，所以当2n ≥时，111n n a a +-22112a a ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭154245⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 940= 所以当2n ≥时， ()211n n nn n a a b a a ++-== ()()11111940n n n n n n a a a a a a +++⎛⎫--<- ⎪⎝⎭当1n =时， 11934010n T T b ===<，成立；当2n ≥时， 12n n T b b b =+++ < ()()()32431994040n n a a a a a a +⎡⎤+-+-++-⎣⎦()12994040n a a +=+- ()2999942731140404040510010a ⎛⎫<+-=+-=< ⎪⎝⎭ 综上，对任意正整数n ， 310n T <16.（2017·浙江高考模拟）已知数列{}n a 满足： 11p ap +=， 1p >， 11ln n n na a a +-=.（1）证明： 11n n a a +>>；（2）证明：12112n nn n a a a a ++<<+；（3）证明：()1211121121ln 122n n n n n a a a p p ----⨯<⋯<⨯+. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【解析】（1）先用数学归纳法证明1n a >. ①当1n =时，∵1p >，∴111p a p+=>； ②假设当n k =时， 1k a >，则当1n k =+时， 1111ln 1k k k k k a a a a a +--=>=-. 由①②可知1n a >. 再证1n n a a +>.111ln ln ln n nn nn n n n na a a a a a a a a +----=-=，令()1ln f x x x x =--， 1x >，则()'ln 0f x x =-<，所以()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()()10f x f <=，所以1ln 0ln n n nna a a a --<，即1n n a a +>.（2）要证12112n nn n a a a a ++<<+，只需证2111ln 2n n n n n a a a a a -+<<+，只需证()2210,{1220,n n n n n na lna a a lna a -+<+-+>其中1n a >，先证22ln 10n n n a a a -+<，令()22ln 1f x x x x =-+， 1x >，只需证()0f x <. 因为()()'2ln 2221220f x x x x x =+-<-+-=，所以()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()()10f x f <=. 再证()1ln 220n n n a a a +-+>，令()()1ln 22g x x x x =+-+， 1x >，只需证()0g x >，()11'ln 2ln 1x g x x x x x +=+-=+-，令()1ln 1h x x x =+-， 1x >，则()22111'0x h x x x x -=-=>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10h x h >=，从而()'0g x >，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10g x g >=，综上可得12112n nn n a a a a ++<<+. （3）由（2）知，一方面， 1112n n a a ---<，由迭代可得()1111111122n n n a a p --⎛⎫⎛⎫-<-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为ln 1x x ≤-，所以111ln 12n n n a a p -⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，所以()1212ln ln ln ln n n a a a a a a ⋯=++⋯+ 0111111222n p -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 111112121212nn n p p -⎛⎫- ⎪-⎝⎭=⨯=⨯-；另一方面，即11112n n n na a a a ++-->，由迭代可得111111111212n n nn a a a a p ----⎛⎫⎛⎫>⨯= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭.因为1ln 1x x ≥-，所以1ln 1n n a a ≥- 11112n p -⎛⎫> ⎪+⎝⎭，所以()01112121111ln ln ln ln 1222n n n a a a a a a p -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋯=++⋯+>⨯++⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦112112n n p --=⨯+；综上，()1211121121ln 122n n n n n a a a p p ----⨯<⋯<⨯+.。

高中数学第二章数列211数列212数列的递推公式选学应用案巩固提升课件新人教B版必修5

第二章数列
4．在递减数列{an}中，an＝kn(k 为常数)，则实数 k 的取值范
围是( )
A．R
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，0]
解析：选 C.因为{an}是递减数列，所以 an＋1－an＝k(n＋1)－kn ＝k<0.
第二章数列
5．已知数列{an}的通项公式为 an＝11－4 2n，则满足 an＋1<an 的
第二章数列
本部分内容讲解结束
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第二章数列
结束
语同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
第二章数列
7．已知数列{an}的通项公式为 an＝2 017－3n，则使 an>0 成立的最大正整数 n 的值为________．
解析：由
an＝2
017－3n>0，得
2 n<
0317＝67213，
又因为 n∈N＋，
所以正整数 n 的最大值为 672.
答案：672
第二章数列
8．已知数列{an}中，an＝n·79n＋1，当 an 最大时，n＝________．解析：an＋1－an＝79n＋1·7－92n，故当 n＝1，2，3 时，an＋1>an；当 n≥4 时，an＋1<an.所以此数列的最大项为 a4. 答案：4
第( )
A．20 项
B．22 项
C．24 项
D．26 项
解析：选 C.由 an＝n＋n 1，令n＋n 1＝0.96，
解得 n＝24.即 a24＝0.96.

数学212递推公式同步练习

数学212递推公式同步练习数学212递推公式是高中数学中一个重要的概念，它涉及到数列的生成规律和公式的推导。

掌握递推公式的应用能力，不仅能帮助我们更好地理解数学知识，还能提高解决实际问题的能力。

接下来，我将为大家提供数学212递推公式的同步练习。

一、基本概念回顾在进行递推公式的同步练习之前，我们先来回顾一下数学212递推公式的基本概念。

二、递推公式的方程形式递推公式的方程形式可以有两种，一种是常用的一般形式，另一种是差分形式。

下面我们来看一下具体的表达方式。

1.一般形式一般形式的递推公式表示为：an = an-1 + dn-1，其中，an表示数列的第n项，an-1表示数列的第n-1项，dn-1表示数列的第n-1项与第n项之间的差。

2.差分形式差分形式的递推公式表示为：An=a+(n-1)d，其中，An表示数列的第n项，a表示数列的初值，d表示数列的公差。

三、递推公式的应用递推公式在数学中的应用非常广泛，我们可以通过递推公式来解决各种实际问题。

下面我们将通过一些例题来练习递推公式的应用能力。

【例题1】数列的前6项分别为1，3，6，10，15，21，试写出该数列的递推公式，并求出第10项的值。

解：首先我们观察数列的前6项，发现第n项与前一项之间的差是不断递增的，也就是说，数列的公差是在不断增加的。

因此，该数列的递推公式应采用一般形式。

根据第一项和公差之间的关系，我们可以得到数列的递推公式：an = an-1 + dn-1其中，a1 = 1，d1 = 2，因此，数列的递推公式为：an = an-1 +2n-2接下来，我们求解第10项的值。

根据公式an = an-1 + 2n-2，我们可以依次求解：a2=a1+2(2-1)=1+2=3a3=a2+2(3-1)=3+4=7a4=a3+2(4-1)=7+6=13a5=a4+2(5-1)=13+8=21a6=a5+2(6-1)=21+10=31a7=a6+2(7-1)=31+12=43a8=a7+2(8-1)=43+14=57a9=a8+2(9-1)=57+16=73a10=a9+2(10-1)=73+18=91因此，该数列的第10项的值为91【例题2】一个等差数列的首项为2，公差为3，试写出该数列的递推公式。

2025高考数学一轮复习-4.1.2-数列的递推公式【课件】

(2)通过公式 bn＝aan＋n1构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前 4
项． [解]
(2)∵bn＝aan＋n 1，且 a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
∴b1＝aa12＝12，b2＝aa23＝23，b3＝aa34＝35，b4＝aa45＝58.
故{bn}的前 4 项依次为 b1＝12，b2＝23，b3＝35，b4＝58.
1.已知数列{an}的首项 a1＝1，且满足 an＋1＝12an＋21n，此数
列的第 3 项是( )
A．1
B．12
C．34
D．58
C [∵an＋1＝12an＋21n，a1＝1，∴a2＝12a1＋2×1 1＝1，a3＝12a2＋2×1 2
＝12×1＋14＝34.故选 C.]
2.数列{an}满足 an＋1＝1－a1n，且 a1＝2，则 a2 021 的值为(
知识点 1 数列的递推公式 (1)两个条件： ①已知数列的第 1 项(或前几项)； ②任一项_a_n__与它的前一项__a_n_－_1___(或前几项)间的关系可以用一个_公__式_来表示． (2)结论：具备以上两个条件的公式叫作这个数列的递__推__公式．
1.所有数列都有递推公式吗？ [提示] 不一定．例如 2精确到 1，0.1，0.01，0.001，…的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…没有递推公式．
3.数列 2，4，6，8，10，…的递推公式是( ) A．an＝an－1＋2(n≥2) B．an＝2an－1(n≥2) C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2) D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2) C [由条件可发现，n≥2 时，an－an－1＝2，即 an＝an－1＋2，又 a1D．1 A [由 an＋1＝1－a1n及 a1＝2，得 a2＝12，a3＝－1，a4＝2，至此可

数学人教B版必修5学案： 2.1.2 数列的递推公式选学含

数学人教B 必修5第二章2.1.2 数列的递推公式(选学)1．体会递推公式是数列的一种表示方法．2．理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前几项．3．掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式．1．数列的递推公式如果已知数列的______(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的________与它的前一项________(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的______公式．(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法．事实上，递推公式与通项公式一样，都是关于n 的恒等式，我们可用符合要求的正整数依次去替换n ，从而可以求出数列的各项．【做一做1】数列2,4,6,8,10，…的递推公式是( )．A ．a n ＝a n －1＋2(n ≥2)B ．a n ＝2a n －1(n ≥2)C ．a n ＝a n －1＋2，a 1＝2(n ≥2)D ．a n ＝2a n －1，a 1＝2(n ≥2)【做一做2－1】已知在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)，则{a n }的通项公式是( )．A ．3nB ．2nC ．nD ．12n 【做一做2－2】在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1－a n ＝1＋(－1)n (n ≥2)，则a 10＝________.一、通项公式与递推公式剖析：递推公式是：已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式是：一个数列{a n }的第n 项a n 与项数n 之间的关系，如果可以用一个公式a n ＝f (n )来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系．对于通项公式，只要将公式中的n依次取值1,2，3，…即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可求得其他的项．往往我们要利用各种方法将递推公式转化为通项公式，通项公式能够更直接地研究数列．递推公式也是给出数列的一种重要方法，有时并不一定要知道数列的通项公式，只要知道数列的递推公式，即可解决问题，有的递推公式与通项公式之间也可以进行互化．二、教材中的“？”(1)你能猜想出例1中这个数列的通项公式吗？剖析：数列{a n}的通项公式为a n＝23－2n.(2)你能比较例2中a n与a n＋1的大小吗？你能比较a n与a n＋2的大小吗？剖析：不能比较a n＋1与a n的大小．当n为奇数时，a n＋2＞a n；当n为偶数时，a n＋2＜a n.题型由递推公式求通项公式【例】已知数列{a n}，a1＝1，a n＝a n－1＋1n(n－1)(n≥2)．(1)写出数列{a n}的前5项；(2)求数列{a n}的通项公式．分析：(1)中只需利用代入法依次求出a2，a3，a4，a5即可；(2)利用下列关系式①a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1；②1n(n－1)＝1n－1－1n.进行累加与裂项相消即可求出{a n}的通项公式．反思：(1)根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．(2)累加法当a n－a n－1＝f(n)满足一定条件时，常用a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1累加来求通项公式a n.1下列说法错误的是()．A．递推公式也是数列的一种表示方法B．a n＝a n－1，a1＝1(n≥2)是递推公式C．给出数列的方法只有图象法、列表法、通项公式D．a n＝2a n－1，a1＝2(n≥2)是递推公式2已知数列{a n}的首项a1＝1，且a n＝3a n－1＋1(n≥2)，则a4为()．A．13 B．15 C．30 D．403已知数列{a n }的第1项是1，第2项是2，以后各项由a n ＝a n －1＋a n －2(n ＞2)给出，则该数列的第5项等于( )．A ．6B ．7C ．8D ．94一个数列{a n }的首项a 1＝1，a 2＝2，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加上后一项，请写出构成这个数列的递推公式a n ＝________________.5已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n (n 为正整数)，且a 2＝6，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.答案：基础知识·梳理1．第1项任一项a n a n －1 递推【做一做1】C【做一做2－1】B【做一做2－2】10 由题意，知a 10－a 9＝1＋(－1)9，a 9－a 8＝1＋(－1)8，a 8－a 7＝1＋(－1)7，…，a 3－a 2＝1＋(－1)2，累加上述各式，可得a 10－a 2＝8.又因为a 2＝2，所以a 10＝10. 典型例题·领悟【例】解：(1)a 1＝1；a 2＝a 1＋12×1＝32； a 3＝a 2＋13×2＝53；a 4＝a 3＋14×3＝74； a 5＝a 4＋15×4＝95. (2)由a n ＝a n －1＋1n (n －1)，得a n －a n －1＝1n (n －1)(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝1n (n －1)＋1(n －1)(n －2)＋…＋13×2＋12×1＋1 ＝(1n －1－1n )＋(1n －2－1n －1)＋…＋(12－13)＋(1－12)＋1 ＝－1n ＋1＋1＝2－1n ＝2n －1n(n ∈N ＋)．随堂练习·巩固1．C 通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列，另外根据递推公式，并且知道数列的第一项，我们也可以确定数列，它也是给出数列的一种方法．a n ＝a n －1(n ≥2)与a n ＝2a n －1(n ≥2)，这两个关系式虽然比较特殊，但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系，且都已知a 1，所以都是递推公式．2．D 利用递推式可逐个求出a 2，a 3，a 4.3．C ∵a 1＝1，a 2＝2，a n ＝a n －1＋a n －2(n ＞2)，∴a 3＝a 2＋a 1＝2＋1＝3，a 4＝a 3＋a 2＝3＋2＝5，a 5＝a 4＋a 3＝5＋3＝8.4．2a n －1＋a n ＋1(n ≥2) 这个数列给出的方法是不同的，它是由前后项之间的关系确定的，只需要根据已知条件就可以直接列出关系式，要注意n 的取值范围．5．2n 2－n。

【重点高中绝密资料】数列的递推关系与通项(解析版)

第36讲：数列的递推关系与通项一、课程标准1、掌握常见的根据的递推关系式求数列的通项公式2、掌握求常见数列的通项公式的方法二、基础知识回顾正确选用方法求数列的通项公式(1)对于递推关系式可转化为a n ＋1＝a n ＋f (n )的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式． (2)对于递推关系式可转化为a n ＋1a n＝f (n )的数列，并且容易求数列{f (n )}前n 项的积时，采用累乘法求数列{a n }的通项公式．(3)对于递推关系式形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)的数列，采用构造法求数列的通项． 2．避免2种失误(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到a 2a 1，漏掉a 1而导致错误；二是根据连乘求出a n 之后，不注意检验a 1是否成立．(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式．三、自主热身、归纳总结1、数列{a n }的前几项为12，3，112，8，212，…，则此数列的通项可能是( )A ．a n ＝5n －42B ．a n ＝3n －22C ．a n ＝6n －52D ．a n ＝10n －92【答案】A【解析】数列为12，62，112，162，212，…，其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等差数列，故通项公式为a n ＝5n －42.2、在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5等于( )A.32B.53 C.85 D.23【答案】D【解析】a 2＝1＋(－1)2a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝12，a 4＝1＋(－1)4a 3＝3，a 5＝1＋(－1)5a 4＝23.3、已知数列{a n }中，a 1＝1中，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)中，则a 4＝________，a n ＝________. 【答案】7 n 2－n ＋22【解析】由题意可得a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ，则：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝1＋n (n －1)2＝n 2－n ＋22，则a 4＝42－4＋22＝7.4、设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则a n ＝________. 【答案】 n 2＋n ＋22【解析】由条件知a n ＋1－a n ＝n ＋1.则a n ＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＋a 1＝(2＋3＋4＋…＋n )＋2＝n 2＋n ＋22.5、在数列{a n }中，a 1＝3，且点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，则数列{a n }的通项公式为________．【答案】a n ＝103·4n －1－13【解析】因为点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，所以4a n －a n ＋1＋1＝0，即a n ＋1＝4a n ＋1，得a n ＋1＋13＝4⎝⎛⎭⎫a n ＋13，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋13是首项为a 1＋13＝103，公比为4的等比数列，所以a n ＋13＝103·4n －1，故a n ＝103·4n －1－13.四、例题选讲考点一有递推关系研究数列的通项例1、在数列{}n a 中，已知11a =，且对于任意的*,m n N ∈，都有m n m n a a a mn+=++，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．n a n= B ．1n a n =+ C ．(1)2n n n a -=D ．(1)2n n n a +=【答案】D 【解析】令m=1,得11213211,1,2,3,,n n n n n n a a n a a n a a a a a a n++-=++∴-=+∴-=-=-=，所以(1)1234,12342n n n n a n a n +-=++++∴=+++++=，故选D 。

导学案1：2.1.2 数列的递推公式

2.1.2 数列的递推公式（选学）【学习目标】1.理解递推公式是数列的一种表示方法.2.能根据递推公式写出数列的前n项.3.掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法．【重、难点】重点：根据递推公式写出数列的前n项.难点：由一些简单的递推公式求通项公式．【知识链接】函数y ＝7x＋9与y＝3x，当x依次取1,2,3，…时，写出由其函数值构成的数列，并指出它们各有什么特点？答：由y ＝7x＋9的得到的数列：16，23，30，37，…，7n＋9，…. 该数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于7；由y＝3x得到的数列：3，9，27，81，…，3n，…. 该数列从第2项每起，每一项是前一项的3倍．【自主探究】（一）要点识记还记得上节课由函数y ＝7x＋9和y ＝3x的函数值值构造的两个数列吗？你能否把它们的特点用数列符号表示出来？（1）由y ＝7x＋9的得到的数列的特点是：________________________；（2）由y ＝7x＋9的得到的数列的特点是：________________________．像这样给出数列任意相邻两项之间的数量关系的方法叫做_________，其中a n−a n−1= =3 (n≥2)称为_________________.7 (n≥2)和a na n−1=3 (n≥2)．递推法；递推公式.【答案】（1）a n−a n−1=7 (n≥2)；（2）a na n−1（二）深层探究数列的递推公式与数列的通项公式有何区别？答：通项公式反映的是数列中的项与项数之间的函数关系，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系，为得到数列中的项，除了递推公式外，还要知道数列的首项(或前几项)，才可求得其他的项．【典例突破】典例突破（一）由递推公式求数列的项例1．已知数列{a n}的第1项是2，以后各项由公式a n＝给出，写出这个数列的前5项．【解析】a1＝2，a2＝＝－2，a3＝＝－，a4＝＝－，a5＝＝－.【解题反思】如何根据数列的通项公式求数列中的项？答：根据数列的通项公式求数列中的项，只需将n的取值代入通项公式即可.变式1.（1）设数列{a n}满足a n={1 ，n=11+1a n−1，n>1，写出这个数列的前五项．（2）在数列{a n}中，已知a1＝2，a2＝3，a n＋2＝3a n＋1－2a n(n≥1)，写出此数列的前6项．【解析】（1）由题意可知：a1=1，a2=1+1a1=2，a3=1+1a2=32，a4=1+1a3=53，a5=1+1a4=85.（2）a1＝2，a2＝3，a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5，a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9，a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17，a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33.典例突破（二）数列的通项公式1例2．已知直线l：y＝x与曲线C：y＝()x(如下图所示).过曲线C上横坐标为1的一点P1作x轴的平行线交l于Q2，过Q2作x轴的垂线交曲线C于P2，再过P2作x轴的平行线交l于Q3，过Q3作x轴的垂线交曲线C于P3，……，设点P1，P2，…，P n，…的纵坐标分别为a1，a2，…，a n，…，试求数列{a n}的递推公式．【解析】由题意，点P1的横坐标为1，纵坐标为a1＝，点Q n＋1与P n的纵坐标相同，都是a n，同时点P n＋1与Q n＋1的横坐标相等，点P n＋1在曲线C：y＝()x上，由横坐标得它的纵坐标为()a n即a n＋1＝()a n这就是数列{a n}的递推公式．【解题反思】如何通过点P i和Q t获取a n＋1与a n的关系？答：点Q n＋1与P n的纵坐标相同，点P n＋1与Q n＋1的横坐标相等，从而找到了a n＋1与a n 的关系．变式2. 数列{a n}中，a n＋1＝a n＋2(n∈N＋)，则点A1(1，a1)，A2(2，a2)，…，A n(n，a n)分布在()A．直线上，且直线的斜率为－2 B．抛物线上，且抛物线的开口向下C．直线上，且直线的斜率为2 D．抛物线上，且抛物线的开口向上【答案】C【解析】∵＝a n－a n－1＝2(n≥2)，∴A1，A2，A3，…，A n在斜率为2的直线上．故选C.典例突破（三）递推公式的应用例3. 已知数列{a n}，a1＝1，以后各项由a n＝a n－1＋(n≥2)给出．(1)写出数列{a n}的前5项；(2)求数列{a n}的通项公式．【解析】(1)a1＝1；a2＝a1＋＝；a3＝a2＋＝；a4＝a3＋＝；a5＝a4＋＝.(2)由a n＝a n－1＋得a n－a n－1＝(n≥2)，∴a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋＋＋1＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(1－)＋1＝－＋1＋1＝2－＝(n∈N＋)．=f(n)求数列通项公式?【解题反思】如何由递推公式(1)a n− a n−1=f(n)；(2) a na n−1答：(1) 当f(n)可求和时，常常用累加法或迭代法，即a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求a n；(2) 当f(n)可求积时，常常用累加法或迭代法，即a n＝··…···a1来求a n．变式3.已知数列f(x)＝2x－2－x，数列{a n}满足f(log2a n)＝－2n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：数列{a n}是递减数列．【解析】(1)因为f(x)＝2x－2－x，f(log2a n)＝－2n，所以2log2a n－2－log2a n＝－2n，a n－＝－2n，所以a＋2na n－1＝0，解得a n＝－n±.因为a n>0，所以a n＝－n.(2)证明: ＝＝<1.又a n>0，所以a n＋1<a n，所以数列{a n}是递减数列．。

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专题限时训练 (小题提速练)(建议用时：45分钟)一、选择题1．设数列{}a n 满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，若数列{}a n 是常数列，则a ＝( )A ．－2 B.－1 C.0D.(－1)n解析：因为数列{a n }是常数列，所以a ＝a 2＝a 21－2a 1＋1＝a 2－2a ＋1，即a (a ＋1)＝a 2－2，解得a ＝－2.故选A.答案：A2．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1n B.a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D.a n ＝3n解析：由已知2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2，可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n＝n ，即a n ＝1n .答案：A3．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，若S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B.9 C.10D.11解析：由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，∴S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100，解得n ＝10. 答案：C4．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝( ) A ．－5 B.－15 C.5D.15解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n .∴数列{a n }是以3为公比的等比数列． ∵a 2＋a 4＋a 6＝a 2(1＋q 2＋q 4)＝9，∴a 5＋a 7＋a 9＝a 5(1＋q 2＋q 4)＝a 2q 3(1＋q 2＋q 4)＝35. ∴log 1335＝－5.故选A. 答案：A5．已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2019＝( ) A ．1 008×2 020 B.1 008×2 019 C ．1 009×2 019D.1 009×2 020解析：在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，得a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0；令n ＝2，得a 3＝2＝2a 2，a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列．S 2019＝2 019×2 0182＝1 009×2 019.答案：C6．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n >1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝( ) A.210 B.211 C.224D.225解析：n >1时，S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2， ∴a n ＋1＝a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝2.数列{a n }从第二项开始组成公差为2的等差数列，所以S 15＝a 1＋(a 2＋…＋a 15)＝1＋2＋282×14＝211. 答案：B7．(2019·广东汕头市一模)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝12－12a n ，则a n ＝( ) A.13·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1B.12·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 C ．2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 解析：由题意，得S 1＝a 1＝12－12a 1，所以a 1＝13.又当n ≥2时，S n －S n －1＝a n ＝12－12a n －12＋12a n －1，即a na n －1＝13，所以数列{a n }是首项为13，公比为13的等比数列，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.故选D.答案：D8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B.a n ＝2－13n －1C ．a n ＝12n －1D.a n ＝13n －2解析：由题意得1a n ＋1＝2a n ＋1，则1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，易知1a 1＋1＝2≠0，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是以2为首项，2为公比的等比数列，则1a n ＋1＝2n ，则a n ＝12n －1.故选C.答案：C9．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )，则a 1＋a 2＋…＋a 100＝( ) A ．0 B.100 C.5 050D.10 200解析：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100 ＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002 ＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(1002－992) ＝3＋7＋…＋199＝50(3＋199)2＝5 050.故选C.答案：C10．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，则a 13＝( ) A ．143 B.156 C.168D.195 解析：由a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，可知a n ＋1＋1＝a n ＋1＋2a n ＋1＋1＝(a n ＋1＋1)2， a n ＋1＋1＝a n ＋1＋1，又a 1＋1＝1，故数列{a n ＋1}是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n ＋1＝n ，所以a 13＋1＝13，则a 13＝168.故选C. 答案：C 11．定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”．若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n ＋1，且b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝( ) A.111B.910C.1011D.1112解析：由已知，得n a 1＋a 2＋…＋a n ＝12n ＋1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (2n ＋1)＝S n . 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1. 验证知，当n ＝1时此式也成立， ∴a n ＝4n －1.∴b n ＝a n ＋14＝n . ∴1b n ·b n ＋1＝1n －1n ＋1， ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝1011.故选C. 答案：C12．已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1(n ≥2)，b n ＝1a n ＋a n ＋1，记数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 33的值是( ) A.99 B.33 C.4 2D.3解析：∵2a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1(n ≥2)，∴数列{a 2n }为等差数列，首项为1，公差为22－1＝3.∴a 2n ＝1＋3(n－1)＝3n －2.a n >0.∴a n ＝3n －2.∴b n ＝1a n ＋a n ＋1＝13n －2＋3n ＋1＝13(3n ＋1－3n －2)，故数列{b n }的前n 项和为S n ＝13[(4－1)＋(7－4)＋…＋(3n ＋1－3n －2)]＝13(3n ＋1－1)．则S 33＝13(3×33＋1－1)＝3.故选D. 答案：D 二、填空题13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·2n －1－3，则m ＝ . 解析：a 1＝S 1＝m －3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝m ·2n －2， ∴a 2＝m ，a 3＝2m ，又a 22＝a 1a 3， ∴m 2＝(m －3)·2m ，整理得m 2－6m ＝0，则m ＝6或m ＝0(舍去)．答案：614．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝ . 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1. 因此a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.答案：⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥215．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________.解析：当n ＝1时，由已知S n ＝23a n ＋13，得a 1＝23a 1＋13，即a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23a n －23a n －1，所以a n ＝－2a n －1，所以数列{a n }为以1为首项，－2为公比的等比数列，所以a n ＝(－2)n －1. 答案：(－2)n －116．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第六件首饰上应有颗珠宝；则前n 件首饰所用珠宝总数为颗．(结果用n 表示)解析：由题意，知a 1＝1，a 2＝6，a 3＝15， a 4＝28，a 5＝45，a 6＝66，….∴a 2－a 1＝5，a 3－a 2＝9，a 4－a 3＝13，a 5－a 4＝17，a 6－a 5＝21，…，a n －a n －1＝4n －3. ∴(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋(a 6－a 5)＋…＋(a n －a n －1) ＝a n －a 1＝5＋9＋13＋17＋21＋…＋(4n －3) ＝(n －1)(5＋4n －3)2＝2n 2－n －1.∴a n ＝2n 2－n ，其前n 项和为S n ＝2(12＋22＋32＋…＋n 2)－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2×n (n ＋1)(2n ＋1)6－n (n ＋1)2＝4n 3＋3n 2－n 6.答案：66 4n 3＋3n 2－n6专题限时训练 (大题规范练)(建议用时：60分钟)1．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .解析：(1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ， ∴a n ＋1－a n 为同一常数，∴数列{a n }是以a 1为首项的等差数列．设a n ＝a 1＋(n －1)d .则a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝2－83＝－2，∴a n ＝10－2n . (2)由(1)知a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n <5时，a n >0. 设T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .∴当n >5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n ＝n 2－9n ＋40.当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.∴S n ＝⎩⎨⎧9n －n 2(n ≤5)，n 2－9n ＋40(n >5).2．(2019·东莞市模拟)设{a n }是单调递增的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝13，且a 1＋3,3a 2，a 3＋5构成等差数列． (1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)由题意得⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝13，6a 2＝a 1＋a 3＋8，∴a 2＝3，a 1＋a 3＝10，得3q ＋3q ＝10，解得q ＝3或q ＝13(舍)． ∴a n ＝a 2qn －2＝3n －1，S n ＝1×(1－3n )1－3＝3n －12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列． ∵S 1＋λ＝1＋λ，S 2＋λ＝4＋λ，S 3＋λ＝13＋λ， ∴(4＋λ)2＝(1＋λ)·(13＋λ)，解得λ＝12，此时S n ＋12＝3n2，∴S n ＋12S n －1＋12＝3n23n －12＝3(n ≥2)， ∴存在常数λ＝12.使得数列{S n ＋12}是首项为a 1＋12＝32，公比为3等比数列． 3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝1＋S n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }为等差数列，且b 1＝a 1，公差为a 2a 1.当n ≥3时，比较b n ＋1与1＋b 1＋b 2＋…＋b n 的大小．解析：(1)因为a n ＋1＝1＋S n ，① 所以当n ≥2时，a n ＝1＋S n －1，②①－②得a n ＋1－a n ＝a n ，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)．因为当n ＝1时，a 2＝1＋a 1＝2，所以a 2a 1＝2，所以a n ＋1a n＝2(n ∈N *)，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n －1.(2)因为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，所以b n ＋1＝2n ＋1， 1＋b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋n (1＋2n －1)2＝n 2＋1. 因为(n 2＋1)－(2n ＋1)＝n (n －2)，当n ≥3时，n (n －2)>0，所以当n ≥3时，b n ＋1<1＋b 1＋b 2＋…＋b n .4．(2019·安徽省淮南市第四次联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n ，都有4a n ＝3S n ＋2成立．记b n ＝log 2a n .(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝4(b n ＋1)·(b n ＋1＋3)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：13≤T n <34.解析：(1)在4a n ＝3S n ＋2中，令n ＝1得a 1＝2.因为对任意正整数n ，都有4a n ＝3S n ＋2成立，当n ≥2时，4a n －1＝3S n －1＋2，两式作差得，4a n －4a n －1＝3a n ，所以a n ＝4a n －1，又a 1≠0，所以数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列，∴a n ＝2×4n －1，∴b n ＝log 2a n ＝log 222n －1＝2n －1. (2)证明：∵b n ＝2n －1，∴c n ＝4(b n ＋1)·(b n ＋1＋3)＝4(2n －1＋1)·(2n ＋1＋3)＝1n ·(n ＋2)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2， ∴对任意n ∈N *，T n <34，又c n >0，所以，T n 为关于n 的增函数，所以T n ≥T 1＝c 1＝13. 综上，13≤T n <34.。