九年级圆基础知识点
圆的认识知识点总结
圆的认识知识点总结一、圆的定义和基本性质1. 圆的定义：圆是平面上的一组点，到一个确定的点距离相等。
2. 圆的元素：圆心、半径、直径、圆周。
3. 圆的性质：圆的半径相等，圆的直径是两倍的半径。
圆周上的任意两点与圆心的距离相等。
圆心到圆周的距离是半径。
4. 圆的定理：圆心角定理、弧长定理、切线定理等。
二、圆的相关角度和单位1. 角度的定义：角度是一个衡量平面角的单位。
2. 角度的度量单位：度、弧度。
3. 圆周角和对应角：圆周角是指圆的圆心角度数，对应角是指相等的角。
4. 角度的运算和转换：角度的加减、角度和弧度的转换。
三、圆的周长和面积1. 圆的周长公式：周长=2πr，r为半径。
2. 圆的面积公式：面积=πr²。
3. 圆的周长和面积的应用：在解决实际问题时，常常利用圆的周长和面积公式进行计算和推导。
四、圆的相关定理和推论1. 圆的同位角定理：同位角相等的定理。
2. 圆的相交定理：相交弦定理、外接角定理、内接角定理等。
3. 圆的切线定理和切线角定理：切线和切线角的性质和应用。
五、圆的相关方程和函数1. 圆的标准方程：圆的标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。
2. 圆的一般方程：圆的一般方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D，E，F为常数。
3. 圆的相关函数和图像：三角函数的正弦曲线和余弦曲线与圆的关系。
六、圆的应用1. 圆的应用领域：几何学、物理学、工程学等。
2. 圆的应用案例：圆的运动、圆的工程设计、圆的运动学分析等。
3. 圆的应用技术：在计算机图形学、图像处理、地理信息系统等领域有广泛的应用。
总结：圆是一个很基础却又富有深刻意义的几何图形，它在数学和自然界中都有着广泛的应用和影响。
通过对圆的认识知识点的总结和概述，有助于我们更好地理解圆的性质和定理，提高数学素养和解决实际问题的能力。
圆的相关知识和技能对于我们的学习和工作都有着重要的意义。
九年级圆知识点总结 百度
九年级圆知识点总结百度九年级圆知识点总结圆是几何学中最基础、最重要的几何图形之一。
它不仅在数学中扮演着重要的角色，而且在我们的日常生活中也有广泛的应用。
在九年级数学学习中，我们需要掌握关于圆的基本概念、性质、公式等知识点。
本文将对九年级圆的知识进行总结，以帮助大家更好地理解和应用。
一、圆的基本概念与性质1. 圆的定义：圆是由平面上到一个固定点距离相等的所有点组成的图形。
2. 圆的要素：圆心和半径。
圆心是固定点，用O表示；半径是从圆心到圆上任意一点的距离，用r表示。
3. 圆的直径：通过圆心的两个点，称之为圆的直径。
直径是半径的两倍，用d表示。
4. 圆的弦：在圆上任取两点，并将这两点连线，所得的线段称之为圆的弦。
5. 圆的切线：在圆上取一点，通过该点作一条直线，与圆只有这个点相交，这个直线称之为圆的切线。
6. 圆的弧：在圆上任取两点，并连接圆心与这两点，得到的扇形所对应的圆弧，称之为圆的弧。
7. 圆的内切与外切：当两个圆的内部或外部的某一点刚好触碰到两个圆时，这个点称之为内切或外切。
内切的两个圆与直线的切点数量相等；外切的两个圆与直线的切点数量也相等。
8. 圆的面积：圆的面积公式为A=πr²，其中π近似取值为3.14。
二、圆的常见公式1. 弧长：圆的弧长即为圆上一段弧的长度。
弧长公式为L=2πr，其中L表示弧长，r表示半径。
2. 扇形面积：圆的扇形是由圆心、圆上两点和夹在这两点的圆弧组成的图形。
扇形面积公式为A=½r²θ，其中A为扇形面积，r为半径，θ为圆心角的度数。
3. 弦长：弦是连接圆上两点的线段。
弦长公式为L=2r sin(θ/2)，其中L表示弦长，r表示半径，θ为圆心角的度数。
4. 弓形面积：圆的弓形是由圆上一段弧和连接该弧两端点的直线段组成的图形。
弓形面积公式为A=½(r²θ-填字部分)，其中填字部分为由弧所割出的三角形的面积。
三、圆的应用圆在我们的日常生活中有广泛的应用。
(完整版)初三上学期圆知识点和典型基础例题复习
第三章：圆一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合（平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图像叫做圆；2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆；圆的对称性:圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线 圆弧(简称：弧）：圆上任意两点的部分弦：连接圆上任意两点的线段（经过圆心的弦叫做直径)如图所示，以A,B 为端点的弧记做AB ，读作:“圆弧AB ”或者“弧AB ”；线段AB 是⊙O 的一条弦，弦CD 是⊙O 的一条直径;【典型例题】例1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆;③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）．A ．4个B ．3个C ． 2个D ． 1个例2．点P 到⊙O 上的最近距离为cm 3,最远距离为cm 5,则⊙O 的半径为 cm ． 二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上;3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外;三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；四、圆与圆的位置关系A考查形式：考查两圆的位置关系与数量关系（圆心距与两圆的半径）的对应，常以填空题或选择题的形式出现．题目常与图案、方程、坐标等进行综合外离（图1)⇒ 无交点 ⇒ d R r >+; 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切(图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；例、1、若两圆相切，且两圆的半径分别是2，3,则这两个圆的圆心距是（ ）A 。
圆的知识点初三
圆的知识点初三圆是初中数学中重要的几何图形之一，它具有许多独特的性质和特点。
本文将从圆的定义、圆的元素、圆的性质和圆的应用等方面进行探讨。
一、圆的定义和元素圆是平面上的一个几何图形，它由平面上距离某一点固定距离的所有点组成。
这个固定距离叫做圆的半径，记作r。
圆心是到圆上任意一点的距离都等于半径的点。
圆的元素有圆心、半径、直径和弧长等。
圆心是圆的中心点，通常用字母O表示。
半径是圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
直径是通过圆心的一条线段，它的两个端点在圆上，直径的长度等于半径的两倍，即d=2r。
弧长是圆上两点之间的弧所对应的弧长，用字母l表示。
二、圆的性质1. 圆的任意两点之间的距离都等于半径的长度，即圆上任意两点之间的距离是固定的。
2. 圆的直径是圆的特殊性质之一，它等于半径的两倍。
直径是圆的最长的线段，且通过圆心。
3. 圆的弧长是圆的另一个重要性质，弧长与圆心角的大小成正比。
当圆心角为360度时，弧长等于圆的周长。
4. 圆的周长是圆上所有点到圆心的距离之和，也称为圆的周长。
周长的计算公式为C=2πr，其中π≈3.14。
5. 圆的面积是圆所包围的平面区域的大小，面积的计算公式为A=πr^2，其中^2表示半径的平方。
三、圆的应用圆在生活中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的例子：1. 圆形的轮胎和车轮：汽车、自行车等的轮胎和车轮都是圆形的，这是因为圆形的轮胎和车轮能更好地保证车辆的稳定性和平衡性。
2. 圆形的钟表和计时器：钟表和计时器通常都是圆形的，因为圆形的刻度能更直观地显示时间的流逝。
3. 圆形的光学器件：如镜片和透镜等，它们的表面通常是圆形的，这是因为圆形的表面能更好地聚焦光线。
4. 圆形的篮球场和足球场：篮球场和足球场的形状通常是圆形的，这是为了保证比赛的公平性和平衡性，使运动员能够更好地进行比赛。
圆是初中数学中的重要知识点之一。
通过对圆的定义、元素、性质和应用的了解，我们可以更好地理解和应用圆的相关概念，为日常生活和学习中的问题提供解决方案。
2024中考数学知识点圆的基础性质公式定理
2024中考数学知识点圆的基础性质公式定理中考数学中圆的基础性质公式定理有以下几个：
一、圆周公式
圆的圆周C＝2πr，其中C为圆的圆周长，r为圆的半径。
二、圆的面积公式
圆的面积S＝πr2，其中S为圆的面积，r为圆的半径。
三、圆心角公式
圆心角的大小θ等于弧长除以半径：θ＝l/r，其中θ为圆心角的大小，圆周长l，半径r。
四、圆切线与圆弦关系
三次角关系：若圆的两条切线和圆弧相切，则圆心角的三个角相等：θA＝θB＝θC，其中θA,θB,θC分别为圆心角的三个角的大小。
五、圆周弦关系
三次角关系：若圆的两条切线和圆弧相切，则两条切线上有等于圆弧的三次夹角：θA＝θB＝θC，其中θA,θB,θC分别为圆弧上三次夹角的大小。
六、圆的外接四边形关系
若四边形是圆的外接四边形，则四边形的对角线等于圆的直径：DA＝DB＝2r，其中DA,DB为四边形的两条对角线，r为圆的半径。
七、半径交点概念
若平面上有两条圆，以及它们的公共外接四边形，它们上的所有的交点都是半径交点，即两圆从它们公共外接四边形的对角线交点开始，向外射线，直到相交，所有相交的点都是它们的半径交点。
八、圆内接四边形关系
若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角线等于圆的直径：DA＝DB＝2r。
九年级圆的基础知识点、经典例题和课后习题
圆【知识梳理】1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
③弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．．，简称弧．，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆．．。
优弧：大于半圆的弧叫做优弧．．劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．．。
(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。
)④弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．．。
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．．．.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距．．．.（3）对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。
九上圆知识点总结
九上圆知识点总结一、圆的概念圆是平面上的一组点，到某一点的距离等于常数，这个常数就是圆的半径。
圆由圆心和圆周上的所有点构成，圆的概念是平面几何学中最基本的概念之一。
二、圆的性质1. 圆的圆心：圆心是圆的中心点，任意一条通过圆心的线段都等于圆的直径。
2. 圆的直径：圆的直径是通过圆心，且两端点在圆周上的线段，它的长度等于圆周的两倍。
3. 圆周：圆周是由无数个点构成的曲线，这些点到圆心的距离都等于圆的半径。
4. 圆的半径：半径是圆心到圆周上任意一点的距离，它的长度是一个固定值。
5. 弧长和弧度：圆周上任意两点之间的曲线段称为弧，弧对应的圆心角称为弧度。
弧长等于半径乘以弧度。
6. 圆的面积：圆形的面积是圆的面积，它等于π乘以半径的平方。
三、圆的相关定理和公式1. 直角三角形中圆的应用：在直角三角形中，圆的直径是斜边，这可用来求解直角三角形的边长和面积。
2. 确定圆的位置：通过圆心和半径可以唯一确定一个圆。
3. 弧长和扇形面积：弧长和扇形面积的计算公式均基于圆的半径和圆心角。
4. 圆外切四边形：圆外切四边形的性质和面积计算公式。
5. 正多边形内接圆：正多边形的内接圆心角和边数的关系。
四、圆的主要解题方法1. 几何画图法：在解题过程中，仔细画出几何图形，有助于理清问题的思路。
2. 数学归纳法：利用数学归纳法总结出一般规律，有助于解决一般情况的问题。
3. 利用已知性质和定理：通过已知定理和性质来解决问题，例如圆心角的性质等。
五、圆的延伸应用1. 圆的信息化应用：在计算机图形学、地图绘制等领域，圆的概念和运算被广泛应用。
2. 圆的工程应用：在建筑设计、地理测量、轮胎制造等领域，圆的性质和计算方法也发挥了重要作用。
六、习题训练1. 针对圆的相关定理和公式，通过大量的练习来掌握圆的性质和计算方法。
2. 利用解题方法和技巧，解决实际问题和复杂题目，提高解题能力和应用能力。
通过九上学期的学习，我们对圆的概念、性质、定理和应用有了更深入的了解，掌握了圆周、直径、半径、弧长、扇形面积等相关知识，为将来的学业打下了坚实的基础。
九年级圆的知识点详细总结归纳
九年级圆的知识点详细总结归纳一、圆的定义和关键概念圆是一个平面上的简单闭曲线，由与一个固定点的所有点到该点的距离相等的点组成。
下面是一些重要的圆的关键概念：1. 圆心 (Center)：圆心是圆的中心点，标记为O。
2. 圆周 (Circumference)：圆的周长，也称为圆周，用C表示。
3. 直径 (Diameter)：直径是通过圆心的、连接圆上两点的线段。
直径的长度是圆直径的两倍。
直径用d表示。
4. 半径 (Radius)：半径是从圆心到圆上任意一点的线段。
半径的长度是直径的一半。
半径用r表示。
5. 弧 (Arc)：圆上两点之间的一段路径叫做弧。
6. 弦 (Chord)：圆上两点之间的线段叫做弦。
7. 切线 (Tangent)：切线是切于圆的一条直线，且与圆仅有一个交点。
二、圆的性质和定理圆的性质和定理是研究圆的重要基础，下面是一些常见的圆的性质和定理：1. 直径定理：直径是最长的弦，且它把一个圆分成两个半圆。
2. 弧长定理：一个圆的弧长是根据圆的半径和弧度来计算的。
弧长等于半径乘以弧的弧度。
3. 弧心角定理：圆心角是以圆心为顶点的角，它的弧度等于弧长与半径的比值。
4. 切线定理：切线与半径的关系是垂直。
5. 切线和半径的性质：当一条直线与圆相切时，与切点相连的半径垂直于切线。
6. 切割定理：如果一个弦垂直于一个半径，那么它将被切分成两个互为正方向的弧。
7. 切割角度定理：互不相交的弧它们对应的圆心角相等，相交的弧，它们对应切线切割的角相等。
8. 重合弧定理：在同一个圆上，两个重合的弧对应的圆心角相等。
三、圆的应用圆在日常生活和实际问题中有很多应用，下面是一些常见的圆的应用：1. 圆的测量：通过测量圆的直径或半径可以计算圆的周长和面积。
2. 圆的构造：通过给定圆的半径或直径可以构造圆。
3. 圆的几何关系：圆与直线、圆与圆之间有各种几何关系，如相离、相切、相交等。
4. 圆的运动学：在物理学中，圆的运动学广泛应用于描述物体的圆周运动和周期性运动。
九年级圆的知识点总结
九年级圆的知识点总结九年级数学课程中，圆是一个重要的几何图形。
本文将对九年级圆的相关知识点进行总结，包括圆的定义、圆的性质、圆的元素和圆的应用。
一、圆的定义圆是由平面上离一个定点距离相等的所有点组成的集合。
这个定点叫做圆心，距离叫做半径。
二、圆的性质1. 圆的半径相等的两个圆是相等的。
2. 圆的直径是任意两点在圆上的端点所确定的线段，等于圆的半径的两倍。
3. 圆上任意一点与圆心的距离等于半径的长度。
4. 圆上的任意一条弧，它所对应的圆心角的度数等于弧上的弧度数。
三、圆的元素1. 直径：通过圆心的两个端点构成的线段，是圆的最长的一条线段。
2. 弧：圆上的一部分，可以由两个端点和连接两个端点的弧线构成。
3. 弦：圆上的一条线段，连接圆上的任意两个点，不能通过圆心。
4. 切线：与圆相切于圆的一条线，切点为切线与圆相交的唯一一点。
四、圆的应用1. 圆的面积和周长：圆的面积公式为A=πr²，周长公式为C=2πr。
2. 弧长和扇形面积：弧长公式为L=θr，其中θ为弧度；扇形面积公式为S=θr²/2。
3. 圆与其他几何图形的关系：圆与直线的交点、圆与弦的位置关系等。
在实际应用中，圆经常出现在测量和建模等领域。
比如在测量中，我们常用圆盘测量直径或周长。
在建模中，圆可以用来模拟轮胎、乒乓球等实物的形状。
九年级圆的知识点总结到此结束。
通过对圆的定义、性质、元素和应用的学习，可以帮助我们更好地理解和应用圆的概念。
掌握这些基础知识，有助于我们在解决相关问题时能够准确、高效地运用圆的相关概念和公式。
圆的基础性质知识点
第三章圆
1、圆的定义（重点）
２、和圆相关的概念：
（１）弦：连结圆上任意两点的线段；（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）
（２）直径：经过圆心的弦；
（３）弧：圆上任意两点间的部分；（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）
（４）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
（５）优弧：大于半圆的弧，用三个大写字母表示；
（６）劣弧：小于半圆的弧，用两个大写字母表示；
（７）弓形由弦及其所对的弧组成的图形；
（８）等圆：能够重合的两个圆；
（９）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧；
（１０）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆；
（１１）圆心角：定点是圆心的角；
（１２）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角；
（１３）弦心距：圆心到弦的距离。
注意：（１）直径等于半径的２倍；
（２）同圆或等圆的半径相等；
（３）等弧必须是同圆或等圆中的弧；
（４）弧长相等的弧不一定是等弧，但等弧的弧长必相等。
第2节圆的对称性1、圆的旋转不变性
2、与圆有关的概念
3、垂径定理及其推论（重点）
4、圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系
第3节圆周角和圆心角的关系圆周角要具备两个特征：①角的顶点在圆上；
4、圆内接四边形对角互补。
九年级圆知识点总结归纳完整版
九年级圆知识点总结归纳完整版圆是初中数学中一个重要的几何概念，它有着广泛的应用。
本文将对九年级圆的相关知识点进行总结和归纳，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、圆的定义圆是平面上的一个几何图形，由与其内部距离相等的所有点组成。
其中，距离圆心最远的点称为圆上的点，这个距离称为半径，用字母r表示。
圆上的任意两点之间的距离称为弦，圆的直径是一条穿过圆心并且与圆上的两点相接的弦，直径的长度是半径的两倍。
二、圆的性质1. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C是圆的周长，r是圆的半径，π是一个无理数，近似值为3.14或22/7。
周长是圆上一周的长度，也可以说是圆的边界长度。
2. 圆的面积公式：A = πr²，其中A是圆的面积。
面积是圆所包围的平面区域的大小。
3. 切线的性质：切线是与圆只有一个交点的直线。
圆与切线相切时，切线与半径的夹角是直角。
4. 弦的性质：圆的直径是最长的弦，且直径平分圆。
如果两弦在圆内或圆上的交点连线通过圆心，则交线垂直于这两条弦。
三、圆的定位1. 圆的内切和外切：当一个圆与一个三角形的三条边都相切时，该圆称为三角形的内切圆；当一个圆与一个三角形的每条边的延长线相切时，该圆称为三角形的外切圆。
2. 圆的相似：两个圆的半径之比等于两个圆的周长之比，它们是相似的。
四、圆的推理与证明1. 直径在同一直线上的圆是同心圆：当两个圆的直径重合时，它们是同心圆。
2. 圆内接四边形的性质：一个四边形能够内切于一个圆的充要条件是，这个四边形的对角线互相垂直。
3. 正多边形外接圆的性质：一个正n边形可以内切与一个圆的充要条件是，这个正n边形的对角线互相垂直。
五、圆的应用1. 圆与三角形的应用：可以利用圆的性质来解决三角形的推理证明题，如证明三角形内切圆的性质、利用相似三角形证明圆的性质等。
2. 圆的平移、旋转和镜像：圆可以通过平移、旋转和镜像等变换来进行操作，这在解决几何问题时有着重要的作用。
九年级数学圆的基础知识点
九年级数学圆的基础知识点圆是几何学中非常重要的基本图形之一，具有广泛的应用价值。
在九年级的数学学习中，学生将会接触到与圆相关的许多基础知识点。
本文将以深度和广度的角度，来介绍九年级数学中与圆相关的一些重要概念和应用。
一、圆的定义和性质圆是由平面上任意一点到另一点的距离恒定的所有点的集合。
这个恒定的距离叫做圆的半径。
我们可以用数学符号R表示。
圆的中心即距离任意一点距离恒定的那个点。
圆的中心通常用字母O表示。
圆的周长则等于圆的直径与圆周率π的乘积，用数学公式表示为C = 2πR。
二、圆的直径、弦和弧圆的直径是穿过圆心并且两端点同时在圆上的线段。
直径的长度等于半径的两倍。
弦是圆上任意两点间的线段。
弧是圆上的一段弯曲部分，可以用一条弦的两个端点来确定。
三、圆的正弦、余弦和切线在学习三角函数时，我们会接触到圆的正弦、余弦和切线。
正弦是一个角的对边与斜边的比值，余弦是一个角的邻边与斜边的比值，而切线则是角的对边与邻边的比值。
四、圆的内切与外切内切是指一个图形恰好与圆的内部相切，而外切则是指一个图形恰好与圆的外部相切。
在九年级数学中，学习过程中可能会遇到这两种情况，并需要用到相应的计算方法。
五、圆的面积和体积圆的面积是一个圆所占据的平面空间大小。
圆的面积等于半径的平方乘以圆周率π。
用数学公式表示为A = πR²。
在学习中，我们会用到圆的面积来解决与圆相关的问题。
而体积则是指球体所占据的空间大小。
球体的体积等于半径的立方乘以4π/3。
用数学公式表示为V = (4/3)πR³。
六、圆的应用圆不仅仅是数学中的一个抽象概念，它在现实生活和各个学科中都有广泛的应用。
例如，数学中的圆的运动学概念被应用于物理学中的运动轨迹分析；圆的几何特性被应用于建筑设计中的弧形美学；圆的轨迹则可以用于机器人技术中的路径规划等等。
在科学和工程学领域，应用圆的知识可以解决很多实际问题。
总结：通过学习九年级数学中与圆相关的基础知识点，我们可以更好地理解圆的定义和性质，掌握圆的直径、弦和弧的概念，熟悉圆的正弦、余弦和切线的计算方法，在应用问题中灵活运用圆的内切与外切的原理，掌握圆的面积和体积的计算方法。
九年级数学圆的知识点总结大全
一、圆的基本概念和性质1.圆的定义：平面上的点到圆心的距离等于半径的点的集合。
2.圆的要素：圆心、半径、圆周。
3.圆的性质：a.对于圆上任意一点P和圆心O，OP是半径；b.圆上任意两点P和Q的半径相等；c.圆上两个不同的弧所对的圆心角相等；d.圆心角的度数等于它所对的弧的度数；e.圆的内切四边形的对角线互相垂直；f.圆的内切四边形的对边互相平行且相等；g.圆内接正方形的边长等于半径的2倍。
4.圆心角与弧的关系：a.弧所对的圆心角是其两倍；b.圆心角相等的弧相等；c.同弧度数的圆心角相等；d.弧需要圆的整个周长的弧数表示。
二、圆的运算1.圆周长：圆周长是圆周上的弧长，可以通过半径和直径推导得到。
2.圆的面积：圆的面积是圆心角度和圆的半径之间的数学关系，可以通过面积公式πr²计算得到。
三、圆的位置关系1.圆的判定：a.两个圆相交，如果两个圆的圆心距离小于半径之和但大于半径之差；b.两个圆相切，如果两个圆的圆心距离等于半径之和或半径之差；c.两个圆外离，如果两个圆的圆心距离大于半径之和；d.两个圆内含，如果一个圆完全位于另一个圆内部。
2.相切圆的性质：a.相切圆的切点在半径的连线上；b.相切圆的切线相互垂直；c.相切圆的切线公共切点的连线通过两个圆的圆心。
四、圆与线的位置关系1.弦的性质：a.弦和圆心连线垂直，那么弦是直径；b.弦的中点位于圆心。
2.弧与弦：a.弧上的两个弦相等，则它们所对的圆心角相等；b.两个等圆弧所对的圆心角相等；c.弦所夹的圆弧是圆心角的一半。
3.弦的长度：等于两个切线段的和。
4.直线和圆的位置关系：a.直线与圆相交于两点；b.直线与圆相切于一点；c.直线与圆不相交。
五、切线和切线长1.切线的定义：从圆外的一点引一条直线，直线与圆相交于该点，这条直线叫做切线。
2.切线的性质：a.切线与半径垂直；b.切线与切线垂直；c.相切圆的切线相互垂直。
3.切线长的计算：可以通过勾股定理得到切线长的计算公式。
新人教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)
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新人教版九年级上册数学[《圆》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)1)相交圆的位置关系：两圆相交于两点，相切于一点，相离于两点.2)内切圆和外切圆的位置关系：内切圆和外切圆的切点在圆心连线上，内切圆和外切圆的圆心连线垂直于切点所在的直线.要点诠释：在解决两圆位置关系问题时，需要注意圆心的位置关系，切点的位置关系以及圆心连线与切点所在直线的垂直关系.要点二、切线及其性质1．切线的定义：过圆上一点，且与圆相交于该点的直线叫做圆的切线.2．切线的性质：1)切线与半径的关系：切线与过切点的圆的半径垂直.2)切线定理：切线与半径的关系可以推出切线定理：过圆外一点作圆的切线，切点与此点的连线垂直于切线.3)切线的判定方法：切线与圆的位置关系可以通过勾股定理、切线定理和判别式来进行判定.要点诠释：切线是圆的一个重要性质，切线定理是判定切线的重要工具，切线的判定方法可以根据具体情况选择不同的方法.要点三、圆的面积和弧长1．圆的面积公式：S=πr².2．弧长公式：L=αr(α为圆心角的度数).3．扇形的面积公式：S=(α/360°)πr².要点诠释：圆的面积公式和弧长公式是圆的基本公式，扇形的面积公式可以通过弧长公式和圆的面积公式来推导得出.要点四、圆锥的侧面积和全面积1．圆锥的侧面积公式：S=πrl.2．圆锥的全面积公式：S=πr(l+r).要点诠释：圆锥的侧面积公式和全面积公式是圆锥的基本公式，其中l为斜高，r为底面半径.1) 两个圆是轴对称图形，其对称轴是连接两圆心的直线。
2) 相交的两个圆的连心线垂直平分它们的公共弦，相切的两个圆的连心线经过切点。
4.与圆有关的角度1) 圆心角是以圆心为顶点的角度。
圆心角的度数等于它所对应的弧的度数。
2) 圆周角是顶点在圆上，两边都与圆相交的角度。
圆周角的性质包括：①圆周角等于它所对应的弧所对应的圆心角的一半；②同弧或等弧所对应的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等；③90度的圆周角所对应的弦为直径；半圆或直径所对应的圆周角为直角；④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角。
九年级数学上册知识点圆
九年级数学上册知识点圆圆是我们常见的几何图形之一，它是由平面上到一定距离的点构成的。
在九年级数学上册中，我们要学习关于圆的基本概念、性质以及相关定理。
本文将围绕这些内容展开。
1. 圆的基本概念圆是由平面上到一定距离的点构成的，这个距离叫做圆的半径。
圆心是圆的中心点，它到圆上任意一点的距离都相等。
外接圆是与一个三角形的三边相切的圆，而内切圆是与一个三角形的三条边都相切的圆。
2. 圆的性质圆有许多重要的性质，其中一些如下：- 圆上任意两点可以确定一条弦，而弦上任意一点在圆的内部或边界- 圆的周长是圆的边界的长度，计算公式是C = 2πr，其中C是周长，r是半径- 圆的面积是圆内部的面积，计算公式是A = πr²，其中A是面积，r是半径- 圆的直径是通过圆心的两个点所确定的线段，直径是半径的两倍3. 圆的相关定理在九年级数学上册中，我们将学习一些与圆相关的重要定理，如下所示：- 针对正弦定理，三角形内一边的对边与正弦比例相等，例如SOHCAHTOA中的S代表sin，由此得出：sinA/a=sinB/b=sinC/c （A、B、C分别为三角形两个角和一个边，a、b、c分别为与角A、B、C无关的另外两个边）- 在一个圆中，直径是最长的弦，且它的中点是圆的圆心- 如果一个四边形的对角线是互相垂直的，那么这个四边形是圆的内切四边形- 在一个圆中，切线与半径垂直相交这些定理与九年级的数学学习息息相关，能够帮助我们更好地理解和应用数学知识。
4. 圆的应用圆不仅仅是一个几何图形，它在实际生活中有许多应用。
例如，我们常使用圆的面积和周长公式来计算物体的面积和长度，如圆形的花坛、游泳池等。
此外，圆的概念也被广泛应用于工程、建筑、物理学等学科中。
总结：圆是九年级数学上册的一个重要知识点，它的基本概念、性质以及相关定理对我们理解和应用数学都具有重要意义。
通过学习圆的面积、周长、相关定理等知识，我们可以更好地应用数学解决日常生活中的问题，并在将来的学习和工作中受益。
九年级上册圆知识点最全
九年级上册圆知识点最全圆是几何学中的重要概念之一，其知识点在九年级上册学习中占据了很大的比重。
下面将全面介绍九年级上册关于圆的各个知识点，包括定义、性质、定理等内容，帮助学生更好地理解和掌握圆的相关知识。
1. 圆的定义圆是由平面上与一个确定点的距离相等的所有点组成的图形。
圆由圆心和半径确定，其中圆心是一个固定的点，半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
2. 圆的符号表示圆常用一个字母加一个圆圈表示，例如圆O可以表示为⭕(O)。
3. 圆的性质(1) 在同一个平面上，圆内任意两点都与圆心的距离相等。
(2) 圆上所有的点与圆心的距离都相等。
(3) 圆的半径相等的两个圆是同心圆。
4. 圆的元素(1) 圆心：圆的中心点，通常用字母O表示。
(2) 圆的半径：圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。
(3) 圆的直径：过圆心的两个相对点之间的距离，通常用字母d表示，直径等于半径的两倍。
(4) 圆的弦：圆上的两个点之间的线段，通常用字母AB表示。
(5) 圆的弧：圆上两个点之间的部分，通常用字母AB表示。
弧也可以表示为一段曲线。
(6) 圆的切线：与圆相切且在切点处与圆相切的线段。
5. 圆的定理(1) 圆的四个组成部分：半径、直径、弦、弧。
(2) 在同一个圆中，半径相等，直径是两倍的半径。
(3) 在同一个圆中，位于原弦之间且两弦的端点相连的两个弧是相等的。
(4) 在同一个圆中，位于圆心角上的弧是原弦的两倍。
(5) 位于圆心角上的弧大于位于同一个圆上其他的弧。
(6) 圆与定点的直线相交，相交点到圆心的距离等于定点到圆心的距离。
6. 圆的应用圆的应用非常广泛，涉及到生活的各个方面。
在建筑设计中，圆形的窗户、圆顶等都可以为建筑增添美感和独特性。
在数学科研中，圆的性质和定理被广泛应用于几何学的研究和解决问题。
此外，圆的概念也运用在电子、通信、机械等众多领域，为各种设备和技术的实现提供了基础。
以上是九年级上册关于圆的知识点的全面介绍，希望通过这篇文章的阅读，学生们能够更好地理解和掌握圆的相关知识，并能在学习和生活中灵活应用，进一步提升数学水平。
圆的全部知识点总结初中
圆的全部知识点总结初中一、基本概念圆是平面上的一个几何图形，由平面上离一个固定点距离不超过一定值的所有点组成。
这个固定点称为圆心，这个固定距离称为半径。
圆的边界叫做圆周，两个半径的端点连线叫做直径。
圆的基本元素包括圆心、半径、圆周、直径。
二、圆的性质1. 圆的半径相等在同一个圆中，所有的半径都相等，这是圆的基本性质之一。
2. 圆的周长和面积圆的周长和面积是圆的重要属性。
圆的周长可以通过公式C=2πr进行计算，其中r为半径，π为圆周率。
圆的面积可以通过公式A=πr^2进行计算。
3. 弧和角圆的圆周可以被分成若干个弧，当弧的长度正好等于半径时，这个角称为圆心角。
圆周上的任意一点和圆心之间的连线称为弧，圆周上的弧相对于圆心的角称为弧度。
4. 圆心角的性质在同一个圆中，圆心角的度数是弧长半径的两倍。
即圆心角的度数等于以这个角所对应的弧长所对应的圆心角的弧长的两倍。
5. 弧长和扇形面积弧是圆周的一部分，它的长度可以通过公式L=2πr×(α/360)进行计算，其中α为对应的圆心角的度数。
扇形是圆心角对应的部分，它的面积可以通过公式S=πr^2×(α/360)进行计算。
6. 相交圆的性质当两个圆相交时，它们的交点可以构成两个弧和四个圆心角，根据圆的性质可以得到诸多推论。
7. 圆与直线的关系圆与直线的关系包括内切、外切、相交、相离等情况，而且这些关系会受到垂直角、周角、对顶角等角的影响。
8. 圆的应用圆是几何学中最基本的图形之一，它在生活中有着广泛的应用。
例如，圆形的轮子、钟表、铁路、汽车轨道等都离不开圆的几何原理。
三、常见的圆的定理1. 切线定理当直线与圆相切时，切线与圆的切点之间的连线垂直于半径。
2. 圆的对称性圆具有各种对称性，包括中心对称、轴对称等。
3. 圆心角和弧的关系圆心角和其所对应的弧的关系是两者之间的重要性质，可以帮助解决各种与圆相关的题目。
四、圆的相关解题技巧1. 圆的基本计算掌握圆的周长和面积的计算公式是解题的基础。
中考数学圆知识点总结5篇
中考数学圆知识点总结5篇篇1一、圆的定义圆是由所有到定点距离等于定长的点组成的封闭曲线，这个定点称为圆心，定长称为半径。
圆有无数条对称轴，对称轴经过圆心。
圆具有旋转对称性，任意绕圆心旋转一定的角度都可能与原来的圆重合。
二、圆的性质1. 圆心距性质：任意两个圆的圆心距离等于两圆半径之和的，两圆外离；任意两个圆的圆心距离等于两圆半径之差的，两圆内含；任意两个圆的圆心距离小于两圆半径之和但大于两圆半径之差的，两圆相交。
2. 切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
3. 圆的幂性质：如果两条弦与同一条直径垂直，那么这两条弦所对的直径段相等。
4. 圆锥曲线性质：以圆锥的底面直径为长轴，以圆锥的高为短轴的椭圆，叫做圆锥椭圆。
圆锥椭圆的两焦点是圆锥的底面圆心和顶点。
双曲线类似。
三、圆的应用1. 在建筑设计中，可以利用圆的旋转对称性，设计出美观大方的建筑外观。
如圆形广场、圆形剧场等。
2. 在机械制造中，许多零部件都是圆形或环形的设计，如轴承、齿轮等。
这些零部件的精确制造和安装对于整个机械的性能和稳定性至关重要。
3. 在电子科技领域，许多电子元件和电路板都是基于圆形或环形的布局设计，如电容、电感等。
这些元件的形状和布局对于电子设备的功能和性能有着重要影响。
4. 在生物学和医学领域，许多生物体的结构和器官都是圆形或近似的圆形设计，如人体的大脑、心脏等。
对于这些结构和器官的研究和理解，有助于我们更好地认识生命的奥秘。
四、圆的解题技巧1. 圆的题目中，常常会出现一些隐含的条件，如切线的性质、圆的幂性质等。
我们需要认真分析题目中的条件，找出这些隐含的条件，并加以利用。
2. 对于一些复杂的题目，我们可以利用几何软件进行辅助分析，如使用CAD软件进行绘图分析，可以帮助我们更好地理解题意和解题思路。
3. 在解题过程中，我们需要注重几何语言的准确性和规范性，避免出现混淆概念、计算错误等问题。
九年级圆基础知识点--(圆讲义)
一对一授课教案板块一：圆的有关概念一、圆的定义：1. 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．⊙”，读作“圆O”．2 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O3 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆.注意：同圆或等圆的半径相等．二、弦和弧1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．三、圆心角和圆周角1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1的圆心角，我们也称这样的弧为1的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．板块二：圆的对称性与垂径定理一、圆的对称性1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线．2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心．3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合．二、垂径定理1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2. 推论1：⑴平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；⑵弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．3. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．练习题；1.判断：（1）直径是弦，是圆中最长的弦。
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一对一授课教案学员姓名：____何锦莹____ 年级：_____9_____ 所授科目：___数学__________上课时间：____ 年月日_ ___时分至__ __时_ __分共 ___小时一、圆的定义：1. 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．2 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O⊙”，读作“圆O”．3 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆.注意：同圆或等圆的半径相等．1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．一、圆的对称性1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线．2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心．3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合．二、垂径定理1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2. 推论1：⑴平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；⑵弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．3. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．练习题；1.判断：（1）直径是弦，是圆中最长的弦。
（）（2）半圆是弧，弧是半圆。
（）（3）等圆是半径相等的圆。
（）（4）等弧是弧长相等的弧。
（）（5）半径相等的两个半圆是等弧。
（）（6）等弧的长度相等。
（）2．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（）A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径 B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径C．⊙O上有两点到点P的距离最小 D．⊙O上有两点到点P的距离最大3．以已知点O为圆心作圆，可以作（）A．1个B．2个C．3个D．无数个4．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（）A．1个B．2个C．3个D．无数个5、如下图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆．(2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．5．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是 cm．6．圆上各点到圆心的距离都等于，到圆心的距离等于半径的点都在．7．如图，点C在以AB为直径的半圆上，∠BAC=20°，∠BOC等于（）A．20° B．30°C．40° D．50°8、如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．9．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，•错误的是（）．A．CE=DE B．BC BD= C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD AC EDOBAOMBACDPOBACEDOBACEDOF（5）(1) (2) (3) （4）10．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．811．如图3，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，•则下列结论中不正确的是（）A．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACD C．AD BD= D．PO=PD12．如图4，AB为⊙O直径，E是BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____．13．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．14（、深圳南山区，3分）如图1－3－l，在⊙O中，已知∠A CB＝∠CDB＝60○，AC＝3，则△ABC的周长是____________.15．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等;B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D．以上说法都不对16（、大连，3分）如图1－3－7，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°则∠BOC的大小是（）A．60○B．45○C．30○D．15○三、综合题1、如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．BACE DO3、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若AB =2DE ，∠E =18°，求∠C 及∠AOC 的度数．板块三：点与圆的位置关系 一、点与圆的位置关系点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设O ⊙的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：点在圆外⇔d r >；点在圆上⇔d r =；点在圆内⇔d r <. 如下表所示： 位置关系图形定义 性质及判定点在圆外PrO点在圆的外部 d r >⇔点P 在O ⊙的外部.二、确定圆的条件 1. 圆的确定确定一个圆有两个基本条件：①圆心（定点），确定圆的位置；②半径（定长），确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时，远才能确定． 2. 过已知点作圆⑴经过点A 的圆：以点A 以外的任意一点O 为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A 的圆，这样的圆有无数个．⑵经过两点A B 、的圆：以线段AB 中垂线上任意一点O 作为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A B 、的圆，这样的圆也有无数个．⑶过三点的圆：若这三点A B C 、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C 、、三点不共线时，圆心是线段AB 与BC 的中垂线的交点，而这个交点O 是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．⑷过n ()4n ≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表：从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：二、切线的性质及判定1. 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．2. 切线的判定定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3. 切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三、三角形内切圆1. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．1、 如图，ABC ∆中，AB AC =，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。
求证：AC 是O 的切线。
CBA2、 如图，已知AB 是O 的直径，BC 是和O 相切于点B 的切线，过O 上A 点的直线AD OC ∥，若2OA =且6AD OC +=，则CD = 。
CB3、 如图⊿ABC 中∠A ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，E 为AC 边中点，求证：DE 是 ⊙O 的切线。
8 如图，在ABC △中90ACB ∠=，D 是AB 的中点，以DC 为直径的O 交ABC △的三边，交点分别是G F E ，，点．GE CD ，的交点为M ，且46ME =， :2:5MD CO =．（1）求证：GEF A ∠=∠． （2）求O 的直径CD 的长．EAD GFCOM7 如图（18），在平面直角坐标系中，ABC △的边AB 在x 轴上，且OA OB >， 以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为(02)，，5AB =，A 、B 两点的 横坐标A x ，B x 是关于x 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根． （1）求m 、n 的值；（2）若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数解析式； （3）过点D 任作一直线l '分别交射线CA 、CB （点C 除外）于点M 、N ．则11CM CN+的是否为定值若是，求出该定值；若不是，请说明理由．图（18）'7 解：（1）以AB 为直径的圆过点C ，90ACB ∴∠=，而点C 的坐标为(02)，，由CO AB ⊥易知AOC COB △∽△，2CO AO BO ∴=， 即：4(5)AO AO =-，解之得：4AO =或1AO =．OA OB >，4AO ∴=，即41A B x x =-=，．由根与系数关系有：21A B A Bx x m x x n +=+⎧⎨=-⎩，解之5m =-，3n =-．（2）如图（3），过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ，易知DE AC ⊥，且45ECD EDC ∠=∠=， 在ABC △中，易得AC BC ==AD AE DE BC DB EC ∴=∥，， AD AEDE EC BD DE=∴=，， 又AED ACB △∽△，有AE AC ED BC =，2AD ACDB BC∴==，553AB DB ==，，则23OD =，即203D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，易求得直线l 对应的一次函数解析式为：32y x =+． ·································解法二：过D 作DE AC ⊥于E ，DF CN ⊥于F ，由ACD BCD ABC S S S +=△△△，求得DE =又1122BCD S BD CO BC DF ==△求得5233BD DO ==，．即203D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，易求直线l 解析式为：32y x =+．（3）过点D 作DE AC ⊥于E ，DF CN ⊥于F ．CD 为ACB ∠的平分线，DE DF ∴=． 由MDE MNC △∽△，有DE MDCN MN=由DNF MNC △∽△， 有DF DN CM MN =1DE DF MD DNCN CM MN MN∴+=+=， 即111CM CN DE +==．图（3）'8 （1）连接DF CD 是圆直径，90CFD ∴∠=，即DF BC ⊥90ACB ∠=，DF AC ∴∥． BDF A ∴∠=∠．在O 中BDF GEF ∠=∠，GEF A ∴∠=∠． ····························· 2分（2）D 是Rt ABC △斜边AB 的中点，DC DA ∴=，DCA A ∴∠=∠，又由（1）知GEF A ∠=∠，DCA GEF ∴∠=∠． 又OME EMC ∠=∠，OME ∴△与EMC △相似OM ME ME MC∴=2ME OM MC ∴=⨯4分 又4ME =，296OM MC ∴⨯==:2:5MD CO =，:3:2OM MD ∴=，:3:8OM MC ∴=设3OM x =，8MC x =，3896x x ∴⨯=，2x ∴=∴直径1020CD x ==．（3）Rt ABC △斜边上中线20CD =，40AB ∴=在Rt ABC △中cos 0.6BCB AB∠==，24BC ∴=，32AC ∴= 设直线AB 的函数表达式为y kx b =+，根据题意得(320)A ，，(024)B ，024320k b k b ⨯+=⎧∴⎨⨯+=⎩ 解得3424k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线AB 的函数解析式为3244y x =-+（其他方法参照评分） ········· 9分。