《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(对策论基础)
《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(单目标决策)
（4）最小机会损失准则：
机会损失矩阵：每一列的值为列中最大的数分别减去其他的数（自己则变为 0，其他的
值全大二等二 0），即
。先求对应的机会损失值，再从中取 min。
（5）折衷主义决策准则
2 / 24
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
其中 （
）为乐观系数， ， 分别表示第 个策略可能得到的最大收
2．构造人们决策行为的模型的斱法 （1）面向决策结果的斱法：若决策者能正确地预见到决策结果，其核心是决策的结果 和正确的预测。通常的单目标和多目标决策是属这类型的。 （2）面向决策过程的斱法：若决策者了解了决策过程，掌握了过程和能控制过程，他 就能正确地预见决策的结果。
1 / 24
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
3．决策问题的要素构成 （1）决策者，他的仸务是迚行决策。决策者可以是个人、委员会或某个组织。一般指 领导者或领导集体。 （2）可供选择的斱案（替代斱案）、行劢或策略。参谋人员的仸务是为决策者提供各 种可行斱案。 （3）准则是衡量选择斱案，包括目的、目标、属性、正确性的标准，在决策时有单一 准则和多准则。 （4）亊件是指丌为决策者所控制的客观存在的将发生的状态。 （5）每一亊件的发生将会产生某种结果，如获得收益或损失。 （6）决策者的价值观，如决策者对货币额或丌同风险程度的主观价值观念。
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第 15 章 单目标决策
15.1 复习笔记
1．决策的分类 为了达到预期的目标，问题有几个决策斱案可供选择，决策是从中选择最满意的一个斱 案。 （1）性质的重要性分类：可将决策分为战略决策、策略决策和执行决策，或叫战略计 划、管理控制和运行控制。 （2）按决策的结构分类：分为程序决策和非程序决策。 （3）按定量和定性分类：分为定量决策和定性决策，描述决策对象的指标都可以量化 时可用定量决策，否则只能用定性决策。总的发展趋势是尽可能地把决策问题量化。 （4）按决策环境分类：可将决策问题分为确定型的、风险型的和丌确定型的三种。 （5）按决策过程的连续性分类：可分为单项决策和序贯决策。
《运筹学》课后答案
《运筹学》课后答案《运筹学》是一门研究如何在有限资源下做出最佳决策的学科，它涉及到数学、统计学、经济学等多个学科的知识。
掌握运筹学的方法和技巧对于解决实际问题具有重要意义。
下面是《运筹学》课后习题的答案：1. 什么是线性规划问题？线性规划问题是指在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最优值的问题。
线性规划问题具有优化的特点，即找到一组满足约束条件的解，使得目标函数取得最大（最小）值。
2. 线性规划问题的标准形式是什么？线性规划问题的标准形式是指将目标函数和约束条件都写成标准形式，即目标函数为最大化（最小化）一个线性函数，约束条件为一组线性不等式和线性等式。
3. 线性规划问题的解的存在性和唯一性是什么？线性规划问题的解的存在性和唯一性是由线性规划问题的特殊结构决定的。
如果线性规划问题有有界解（即目标函数有最大（最小）值），则存在解；如果线性规划问题的目标函数有最大（最小）值，且该最大（最小）值只有一个解，则解是唯一的。
4. 什么是单纯形法？单纯形法是一种解线性规划问题的常用方法，它通过迭代计算来逐步接近最优解。
单纯形法的基本思想是从一个初始可行解出发，通过一系列变换（包括基变换、基可行解的改进等）来逐步接近最优解。
5. 什么是对偶理论？对偶理论是线性规划问题的一个重要理论基础，它通过将原问题转化为对应的对偶问题来研究线性规划问题。
对偶理论可以帮助我们理解线性规划问题的性质和结构，并且可以通过对偶问题的解来得到原问题的解。
6. 什么是整数规划问题？整数规划问题是指在线性规划问题的基础上，将决策变量的取值限制为整数的问题。
整数规划问题具有更为复杂的性质，其解的搜索空间更大，求解难度更大。
7. 什么是分支定界法？分支定界法是解整数规划问题的一种常用方法，它通过将整数规划问题分解为一系列线性规划子问题，通过不断分支和约束来逐步缩小解的搜索空间，最终找到最优解。
8. 什么是动态规划？动态规划是一种解决多阶段决策问题的方法，它通过将问题分解为一系列子问题，并且利用子问题的解来构建整体问题的解。
运筹学钱颂迪答案
运筹学钱颂迪答案运筹学钱颂迪答案【篇一：803运筹学】class=txt>运筹学考试大纲一、考试性质运筹学是我校航空运输管理学院硕士生入学考试的综合考试科目之一，它是我校为招收交通运输规划与管理学科硕士研究生而实施的水平考试，其评价标准是普通高等院校优秀本科毕业生能够达到的及格以上水平，以保证被录取者较好地掌握了必备的专业基础知识。
本门课程主要考试内容包括：线性规划及其对偶理论、运输问题、目标规划、整数规划、动态规划、图与网络分析，注重考察考生是否已经掌握运筹学最基本的理论知识与方法。
二、考试形式与试卷结构1. 答卷方式：闭卷、笔试2. 答卷时间：180分钟3. 题型比例：满分150分，基本概念20%，计算及证明题80%三、考查要点1.线性规划及对偶理论：单纯形法，改进单纯形法。
线性规划的对偶理论，对偶单纯形法，灵敏度分析；2.运输问题：运输问题的数学模型；用表上作业法求解运输问题；产销不平衡的运输问题及其求解方法；3.目标规划：目标规划的数学模型，目标规划的图解法与单纯形法；4.整数规划：0－1型整数规划，分支定界解法，割平面解法，指派问题；5.动态规划：动态规划的基本概念和基本方法，动态规划的最优性原理与最优性定理，动态规划与静态规划的关系，动态规划的应用；6. 图与网络分析：图与树的基本概念，最短路问题，网络最大流问题，最小费用最大流问题，中国邮路问题，网络计划。
四、主要参考书目1、郭耀煌，李军.运筹学原理与方法. 成都：西南交通大学出版社，2004；2、钱颂迪主编. 运筹学（修订版）. 北京：清华大学出版社，1991。
【篇二：运筹学大纲(13、14级使用)2014.9】（理论课程）开课系（部）：数理教研部课程编号：380020、381703 课程类型：专业必修课或学科必修课总学时：48或32 学分：3或2 适用专业：信息管理与信息系统、投资学、工业工程、工程管理、经济统计学、物流管理开课学期：3或4或5先修课程：高等数学、线性代数一、课程简述本课程是以经济活动方面的问题以及解决这类问题的原理和方法作为研究的对象，把经济活动中的问题归结为对应的某种数学模型，运用数学知识等工具求得最合理的工作方案。
运筹学第三版课后习题答案 (2)
运筹学第三版课后习题答案第一章：引论1.1 课后习题习题1a)运筹学是一门应用数学的学科，旨在解决实际问题中的决策和优化问题。
它包括数学模型的建立、问题求解方法的设计等方面。
b)运筹学可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、流程优化等。
它可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
c)运筹学主要包括线性规划、整数规划、指派问题等方法。
习题2运筹学的应用可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
它可以帮助制定最佳的生产计划，优化供应链管理，提高运输效率等。
运筹学方法的应用还可以帮助解决紧急情况下的应急调度问题，优化医疗资源分配等。
1.2 课后习题习题1运筹学方法可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、供应链管理、流程优化等。
在物流管理中，可以使用运筹学方法优化仓储和运输的布局，提高货物的运输效率。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化产品的生产数量和生产周期，降低生产成本。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化订单配送和库存管理，提高供应链的效率。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程，提高整体效率。
习题2在物流管理中，可以使用运筹学方法优化车辆的调度和路线规划，以提高运输效率和降低成本。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化生产线的安排和产品的生产量，以降低生产成本和提高产能利用率。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化供应链各个环节的协调和调度，以提高整体效率和减少库存成本。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程的排布和资源的分配，以提高流程效率和客户满意度。
第二章：线性规划基础2.1 课后习题习题1线性规划是一种数学优化方法，用于解决包含线性约束和线性目标函数的优化问题。
其一般形式为：max c^T*xs.t. Ax <= bx >= 0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束矩阵，b是约束向量。
习题2使用线性规划方法可以解决许多实际问题，如生产计划、供应链管理、资源分配等。
上交大《物流运筹学》教学资料包 课后习题答案 第十一章
第十一章对策论一、思考与练习（1）试述组成对策模型的三个基本要素及各要素的含义。
答对策模型的三个基本要素是局中人、策略集和支付函数（赢得函数），局中人是指在一局对策中，有决策权和自身利益的参加者。
①局中人。
局中人除了理解为个人外，还可理解为集体，也可把大自然理解为局中人。
在对策现象中，假定任一局中人都不存在利用其他局中人决策的失误来扩大自身利益的可能性。
同时，为研究问题方便起见，把那些利益完全一致的参加者们看作一个局中人。
②一局对策中，每个局中人都有供其选择的完整的行动方案。
必须指出此方案不是某一步的行动方案，而是指导对策现象中自始至终通盘筹划如何行动的一个方案。
这样的行动方案称为这个局中人的一个策略。
而把这个局中人的策略全体，称为这个局中人的策略集合。
③一局对策结束时，每个局中人的“得失”是全体局中人所取定的一组策略的函数，称为支付函数（赢得函数）。
（2）试述二人零和有限对策在研究对策模型中的地位、意义，为什么它又被称为矩阵对策？答在众多对策模型中，占有重要地位的模型是两人有限零和对策（finite two-person zero-sum game），即矩阵对策。
矩阵对策是理论研究和求解方法都比较完善的一种对策模型，而且这类对策的研究思想和理论结果又是研究其它类型对策模型的基础。
称有限两人零和对策为矩阵对策。
即参加对策的局中人只有两个，双方的利益是完全对抗的；每个局中人都有有限个可供选择的策略；且在任一局势（在对策论中，从每个局中人的策略集中各取一个策略组成的策略组）中，一个局中人的所得即为另一个局中人的所失，两个局中人的得失之和总等于零。
（3）已知两人，对策时对A的赢得矩阵如下，求双方各自的最优策略及对策值。
①214203120⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦②326202524--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦解 在矩阵上直接计算① min 214(1) 2030120-2 max 2 ( 1 ) 4⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ ② min-3-26-3202(0)524-4max 5 ( 0) 6⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦先求每行的最小值，在这些值中求最大值，并带上括号。
运筹学考研真题及答案
运筹学考研真题及答案运筹学考研真题及答案一、选择题1. 在线性规划中，若最优化问题的对偶问题有最优解，则原始问题也有最优解。
（正确）解析：线性规划理论中对偶定理：“若原始问题的对偶问题有可行解，且存在最优解，则原始问题也有最优解。
”2. 若在线性规划的单纯形法中，某一回路上的所有非基变量（非基变量为0）均为0，则这一问题无有限最优解。
（错误）解析：所有非基变量为0时，相应的基变量可以任意非负，问题有无穷多最优解。
3. 在线性规划中，若某元组在原始问题和对偶问题下都是可行解，则该元组是原始问题和对偶问题的最优解。
（错误）解析：若某元组在原始问题和对偶问题下都是可行解，则该元组满足原始问题的可行性和对偶问题的可行性，但并不一定是最优解。
4. 线性规划的最优性条件是原始问题的可行解和对偶问题的可行解所对应的目标函数值相等。
（正确）解析：线性规划理论中最优性条件：“若原始问题的可行解与对偶问题的可行解所对应的目标函数值相等，则解是原始问题和对偶问题的最优解。
”5. 线性规划的可行性要求约束条件为不等式约束。
（错误）解析：线性规划的可行性要求是所有约束条件都满足，包括等式约束和不等式约束。
二、填空题1. 与线性规划的相对论证法相对应的是（单纯形法）。
解析：线性规划的相对论证法和单纯形法是互为相对的两种求解方法。
2. 在线性规划中，若最优差异为0，则最优解是（非唯一）。
解析：最优差异为0意味着最优解是非唯一的，有多个最优解。
3. 线性规划的最优性条件是（对偶定理）与最优条件相对应。
解析：线性规划的最优性条件是对偶定理，而最优条件是原始问题的可行解和对偶问题可行解所对应的目标函数值相等。
4. 在线性规划中，若一个可行解在原始问题和对偶问题下都是最优解，则称为（互补性）条件。
解析：若一个可行解在原始问题和对偶问题下都是最优解，则满足互补性条件。
三、应用题1.某公司生产两种产品A和B，每个产品的制造工序及所需时间如下表，在一天内，公司有8小时的工时可用，每个工序只能由一名员工负责完成。
运筹学学习指导
运筹学学习指导及习题集大纲目录第一部分运筹学学习指导第1章绪论学习要点第2章线性规划建模及单纯形法2．1 学习要点及思考题2．2 课后习题参考解答第3章线性规划问题的对偶与灵敏度分析3．1 学习要点及思考题3．2 课后习题参考解答第4章运输问题4．1 学习要点及思考题4．2 课后习题参考解答第5章动态规划5．1 学习要点及思考题5．2 课后习题参考解答第6章排队论6．1 学习要点及思考题6．2 课后习题参考解答第7章目标规划7．1 学习要点及思考题7．2 课后习题参考解答第8章图与网络分析8．1 学习要点及思考题8．2 课后习题参考解答第9章存贮论9．1 学习要点及思考题9．2 课后习题参考解答第10章决策分析10．1 学习要点及思考题10．2 课后习题参考解答第一部分运筹学学习指导第1章绪论学习要点1.1运筹学及其应用、发展(1)、运筹学的英文通用名称为“Operations Research”简称OR，按照原意应译为运作研究或作战研究，是一门基础性的应用学科。
运筹学主要研究系统最优化的问题，通过对建立的模型求解，为决策者进行决策提供科学依据。
(2)、运筹学在早期的应用主要在军事领域，二次大战后运筹学的应用转向民用。
经过几十年的发展，运筹学的应用已经深入到社会、政治、经济、军事、科学、技术等各个领域，发挥了巨大作用。
(3)、运筹学的研究和应用越来越广泛和深入，美国前运筹学会主席邦特(S．Bonder)认为，运筹学应在三个领域发展：运筹学应用、运筹科学和运筹数学，他在建议着重发展前两者的同时，强调这三个领域应从整体上协调发展。
目前运筹学工作者面临的大量新问题是：经济、技术、社会、生态和政治等因素交叉在一起的复杂系统。
因此，早在上一世纪70年代末80年代初就有不少运筹学家提出：要注意研究大系统，注意运筹学与系统分析相结合。
目前，运筹学领域工作者比较一致的共识是运筹学的发展应注重以下三个方面：理念更新、实践为本、学科交融。
《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(存储论)
第13章存储论13.1 复习笔记1．存储论的基本概念备货时间：从订货到货物进入“存储”往往需要一段时间，我们把这段时间称为备货时间。
备货时间可能很长，也可能很短，可能是随机性的，也可以是确定性的。
提前时间：从另一个角度看，为了在某一时刻能补充存储，必须提前订货，那么这段时间称之为提前时间。
存储策略：决定多少时间补充一次以及每次补充数量的策略称为存储策略。
存储论要解决的问题是：多少时间补充一次，每次补充的数量应该是多少，即存储策略。
2．一些参数的含义K：货物单价；：最佳订货周期；R：需求速度；：最佳订货批量；：单位存储费用；：单位缺货损失；：订购费；：最佳费用；：最佳生产时间；：生产速度；：最大存贮量；：最大缺货量；：最大缺货量。
3．存储策略（1）-循环策略，每隔时间向系统内补充存储量Q。
（2）策略，当存储量时不补充；当时补充存储，补充量(即，将存储量补充到S)。
（3）混合策略，每经过t时间检查存储量，当时不补充；当时，补充存储量使之达到S。
4．确定性存储模型（1）模型一—经典的E.O.Q模型：不允许缺货，备货时间很短，且需求是连续均匀的，即需求速度是一常数；每批订货量不变，订货费用为常数；单位存储费用不变。
已知，求，，（2）模型二：不允许缺货，生产需一定时间，其余条件同模型一。
已知，求，，（3）模型三：允许缺货，备货时间很短，其余条件同模型一。
已知，求，，，最大缺货量（4）模型四：允许缺货（需补足缺货），生产需要一定时间，其余条件同模型一。
已知，求，，简便的记忆方法：①永远成立②记住模型一，，③定义两个因子④与因子的关系与乘以因子，与除以因子模型二乘除，模型三乘除，模型四乘除⑤模型二的，模型三的，模型四的说明：在允许缺货条件下，经过研究而得出的存储策略是：每隔时间订货一次，订货量为，用中的一部分补足所缺货物，剩余部分进入存储。
很明显，在相同的时间段落里，允许缺货的订货次数比不允许缺货时订货次数减少了。
运筹学课后答案2
运筹学（第2版）习题答案2第1章 线性规划 P36~40第2章 线性规划的对偶理论 P68~69 第3章 整数规划 P82~84 第4章 目标规划 P98~100 第5章 运输与指派问题 P134~136 第6章 网络模型 P164~165 第7章 网络计划 P185~187 第8章 动态规划 P208~210 第9章 排队论 P239~240 第10章 存储论 P269~270 第11章 决策论 Pp297－298 第12章 博弈论 P325~326 全书360页由于大小限制，此文档只显示第6章到第12章，第1章至第5章见《运筹学课后答案1》习题六6.1如图6－42所示，建立求最小部分树的0－1整数规划数学模型。
【解】边[i ，j ]的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最小部分树内边0],[1j i x ij数学模型为：,12132323243434364635365612132434343546562324463612132446362335244656121324354656m in 52,22,233344,510ij ijij i j ij Z c x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ==++≤++≤++≤++≤+++≤+++≤+++≤++++≤++++≤+++++≤=∑或,[,]i j ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩所有边6.2如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最短路问题的0－1整数规划数学模型。
图6－42【解】弧(i ，j )的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最短路径中弧0),(1j i x ij数学模型为：,1213122324251323343524344546253545564656m in 100,00110,(,)ijiji jij Z cx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =⎧+=⎪---=⎪⎪+--=⎪⎪+--=⎨⎪++-=⎪⎪+=⎪=⎪⎩∑或所有弧 6.3如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最大流问题的线性规划数学模型。
《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(对偶理论与灵敏度分析)
影子价格随具体情况而异，在完全市场经济的条件下，当某种资源的市场价低于影子价 格时，企业应买迚该资源用于扩大生产；而当某种资源的市场价高于该企业影子价格时，则 企业的决策者应把已有资源卖掉。可见影子价格对市场有调节作用。
要记住：市场价格低于影子价格，可以买迚（然后用灵敏度分析迚行计算），若市场价 格高于影子价格，丌买迚。
,
c2
,
, cn
amn
y1, y2,…, ym 0
线性觃划的原问题不对偶问题的关系，其变换形式可归纳如下：
表 2-1
2 / 48
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
记忆方法： 极大化转化为极小化，变丌反约反；极小化转化为极大化，变反约丌反。 注：变指变量，约指约束条件。反指大于变小于，小于变大于。丌反指大于变大于，小 于变小于。注意等号总是变无约束，无约束总是变等号。
4．对偶问题的基本性质 （1）对称性：对偶问题的对偶是原问题。
（2）弱对偶性：若 X 是原问题的可行解，Y 是对偶问题的可行解。则存在 C X Yb 。
注意，由弱对偶性可以推出： ①max 问题仸一可行解的目标值为对偶 min 问题目标值的一个下界； ②min 问题仸一可行解的目标值为对偶 max 问题目标值的一个上界。 （3）无界性：若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。 注：这个问题的性质丌存在逆。当原问题（对偶问题）无可行解时，其对偶问题（原问 题）戒具有无界解戒无可行解。
的矩阵表示为：
目标函数： max z CB X B CN X N CB X B CN1X N1 CS 2 XS 2 约束条件： BX B NX N BX B N1X N1 S2 XS2 b 非负条件： X B , X N 0
(NEW)运筹学教材编写组《运筹学》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
线性规划问题的共同特征：
（1）每一个问题都用一组决策变量
表示某一方案，这组
决策变量的某一确定值就代表一个具体方案。一般这些变量的取值是非
负且连续的。
（2）存在有关的数据，如资源拥有量、消耗资源定额、创造新价值 量等，同决策变量构成互不矛盾的约束条件，这些约束条件可以用一组 线性等式或线性不等式来表示。
1.2 课后习题详解
本章无课后习题。
1.3 考研真题详解
本章只是对本课程的一个简单介绍，不是考试重点，所以基本上没 有学校的考研试题涉及到本章内容，因此，读者可以简单了解，不必作 为复习重点，本部分也就没有可选用的考研真题。Leabharlann 第2章 线性规划与目标规划
2.1 复习笔记
1．线性规划模型的概念及其一般形式
目 录
第1章 运筹学概论 1.1 复习笔记 1.2 课后习题详解 1.3 考研真题详解
第2章 线性规划与目标规划 2.1 复习笔记 2.2 课后习题详解 2.3 考研真题详解
第3章 对偶理论与灵敏度分析 3.1 复习笔记 3.2 课后习题详解 3.3 考研真题详解
第4章 运输问题 4.1 复习笔记 4.2 课后习题详解
2．线性规划问题的标准型及标准化 （1）线性规划的标准型
或
（2-4） （2-5） 线性规划的标准型要求：目标函数是Max型；约束条件是等式约 束；决策变量非负。 （2）线性规划的标准化方法
① 若要求目标函数实现最小化，即
，则只需将目标函数最
小化变换为求目标函数最大化，即令 ，于是得到
第13章 排队论
13.1 复习笔记 13.2 课后习题详解 13.3 考研真题详解 第14章 存储论 14.1 复习笔记 14.2 课后习题详解 14.3 考研真题详解 第15章 对策论基础 15.1 复习笔记 15.2 课后习题详解 15.3 考研真题详解 第16章 单目标决策 16.1 复习笔记 16.2 课后习题详解 16.3 考研真题详解 第17章 多目标决策 17.1 复习笔记
运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-对策论基础(圣才出品)
于是
VG = 84 /13
x* = VG (2 / 21,0,5 / 84,0)T = (8 /13,0,5 /13,0)T y* = VG (3 / 28,0,0,1/ 21)T = (9 /13,0,0, 4 /13)T
所以，最优混合策略为
x* = (8 /13,0,5 /13,0)T , y* = (9 /13,0,0, 4 /13)T
答：让两个企业单独汇报独立生产能获得的利润，分别记为 z1、z2。如果 z1 + z2≤z ， 则将合作后的额外收益 z − (z1 + z2)，按照 z1、z2 的比例进行分配。这样的分配方式，两个
企业说真话，是一个均衡策略。
三、证明题
证明矩阵对策 G={S1，S2；A}在纯策略意义下有解的充要条件是：存在纯局势（ai·，βj·），
3/28
1
0
1/7
0
-1/28
0
y6
1/6
0
0
－2/3
1
－1/6
1
y4
1/21
0
j
0
1
-1/21
0
2/21
0
-2/21
0
-5/84
从表 15-2 中可以得到，第二个问题的最优解为
y = (3 / 28,0,0,1/ 21)T
=13 / 84
由最终单纯形表的检验数可知，第一个问题的最优解为
x = (2 / 21,0,5 / 84,0)T
aij
=ai*
j*
且VG =ai* j*
现在证明必要性，设有 i*,j* ，使得
min j
ai*
j
=
运筹学教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(启发式方法)【圣才出品】
第18章启发式方法18.1 复习笔记1．基本概念良好结构问题：有些实际问题的结构比较清晰，各元素之间的关系明确，边界清楚，容易为人们所认识，能够通过建模和使用一定的算法求得解决，这类问题称为良好结构问题。
良好结构问题的特征：（1）能建立起正确反映该问题性质的一种“可接受”模型，与问题有关的主要信息可纳入模型之中；（2）模型所需要的数据能够获得；（3）模型可解，能拟订出求解的程序性步骤和求解方法，而且，得到的解能体现解决问题的可行方案；（4）可拟订出明确的准则，用以判定解的可行性和最优性；（5）求解所需的计算量不太大，所需的费用不太多。
启发式方法：对于非良好结构问题，为了得到近似可用的解，分析人员必须运用自己的感知和洞察力，从与其有关而较基本的模型及算法中寻求其间的联系，从中得到启发，去发现适于解决该问题的思路和途径，这种方法称为启发式方法，由此建立的算法称为启发式算法。
启发式方法具有下述优点：（1）计算步骤简单，要求的理论基础不高，可由未经高级训练的人员实现；（2）比优化方法常可减少大量的计算工作量，从而显著节约开支和时间；（3）易于将定量分析与定性分析相结合。
启发式策略：（1）逐步构解策略。
一个完整的解通常是由若干个分量组成的。
当用该策略时，应建立某种规则，按一定次序每次确定解的一个分量，直至得到包含所有解分量的一个完整的解为止。
（2）分解合成策略。
为求解一个复杂的大问题，可首先将其分解为若干个小的子问题，再选用合适的方法（包括启发式方法、优化方法、模拟方法等）按一定顺序求解每个子问题，根据子问题之间及其与总问题的关系（例如递阶关系、包含（嵌套）关系、平行关系等），将子问题的解作为下一阶子问题的输入，或在相容原则下将子问题的解进行综合，经合成最后得到总问题合乎要求的解。
（3）改进策略。
运用这一策略时，首先从一个初始解（初始解不必一定是可行解）出发，然后对解的质量（包括它产生的目标函数值、可行性及可接受性等）进行评价，并采用某种启发式方法设计改进规则，对解加以改进，反复进行如上的评价和改进，直至得到满意的解为止。
《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第4~7章【圣才出品】
2．目标觃划一般数学模型
L
（2）因非基变量的检验数中含有丌同等级的优先因子，即因 pk pk1, k 1, 2,…, K ； 从每个检验数的整体来看：检验数的正、负，首先决定亍 P1 的系数 a1 j 的正、负。若 a1 j 0 ， 返时此检验数的正、负就决定亍 P2 的系数 a2 j 的正、负，下面可依此类推。
解目标觃划问题的单纯形法的计算步骤： （1）建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子个数分别列成 K 行，令 k=1。 （2）检查该行中是否存在负数，且对应的前 k-1 行的系数是 0。若存在负数，则取其 中最小者对应的变量为换入变量，转（3）。若无负数，则转（5）。 （3）按最小比值觃则确定换出变量，当存在两个和以上相同的最小比值时，选取具有 较高优先级别的变量为换出变量。 （4）按单纯形法迕行基变换运算，建立新的计算表，迒回（2）。 （5）当 k=K 时，计算结束。表中的解，即为满意解。否则置 k=k+1，迒回到（2）。
5．目标觃划的灵敏度分析 目标觃划的灵敏度分析方法不线性觃划相似，但目标觃划的灵敏度分析丌仅考虑各项系 数的变化，迓考虑优先因子的变化。
3 / 87
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库规频学习平台
4.2 课后习题详解
4.1 若用以下表达式作为目标觃划的目标函数，试述其逡辑是否正确？
（4）目标觃划的目标函数 目标觃划的目标函数（准则函数）是按各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先 因子及权系数而构造的。当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值。目 标觃划的目标函数的基本形式有三种：
运筹学课后练习答案(熊伟第二版,前五章)
运筹学课后练习答案（熊伟第二版，前五章）教材习题答案第1章线性规划第2章线性规划的对偶理论第3章整数规划第4章目标规划第5章运输与指派问题第6章网络模型第7章网络计划第8章动态规划第9章排队论第10章存储论第11章决策论第12章对策论目录教材习题答案................................................. ................................................... (1)习题一 ................................................ ................................................... ................... 1 习题二 ................................................ ................................................... .. (29)习题三 ................................................ ................................................... ................. 40 习题四 ................................................ ................................................... ................. 42 习题五 ................................................ ................................................... .. (47)于篇幅的限制，档只有运筹学第一章---第五章的内容，后七章的内容请继续搜索“运筹学课后练习答案”习题一讨论下列问题：在例中，假定企业一周内工作5天，每天8小时，企业设备A有5台，利用率为,设备B有7台，利用率为,其它条件不变，数学模型怎样变化．在例中，如果设xj(j=1，2，…，7)为工作了5天后星期一到星期日开始休息的营业员，该模型如何变化．在例中，能否将约束条件改为等式；如果要求余料最少，数学模型如何变化；简述板材下料的思路．在例中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过1％，模型如何变化．在例中，假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上，要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备任一台加工时间1小时，模型如何变化．工厂每月生产A、B、C三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－22所示．表1－22产品资源材料(kg) 设备(台时) 利润(元/件) A 3 10 B 14 C 4 12 资源限量 2500 1400 根据市场需求,预测三种产品最低月需求量分别是150、260和1xx年内每年年初都有3万元可供投资：方案一：在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年收益率是xx年可继续将本息投入获利；方案二：在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，收益率是50％，下一年可继续将本息投入获利，这种投资最多不超过2万元；方案三：在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，收益率是60％，这种投资最多不超过万元；方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一次，年收益率是30％，这种投资最多不超过1万元．投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立数学模型. 【解】是设xij为第i年投入第j项目的资金数，变量表如下第1年第2年项目一 x11 x21 项目二 x12 x23 项目三x34 项目四第3年x31 数学模型为maxZx11?x12?30000????x21?x23?30000????x?x?30 00012213134x12?xx年份所需资金和净现值见表1－24．三个项目的投资方案是：投资公司现在预付项目所需资金的百分比数，那么以后三年每年必须按此比例追加项目所需资金，也获得同样比例的净现值．例如，公司按10％投资项目1，现在必须支付400万，今后三年分别投入600万、900万和100万，获得净现值450万．公司目前和预计今后三年可用于三个项目的投资金额是：现有2500万，一年后xx年后xx年后1500万．当年没有用完的资金可以转入下一年继续使用．IV公司管理层希望设计一个组合投资方案，在每个项目中投资多少百分比，使其投资获得的净现值最大．表1－24年份 0 1 2 3 净现值项目1 400 600 900 100 450 10％项目所需资金项目2 项目3 800 800 800 700 700 900 500 xx年份 0 1 2每种活动单位资源使用量项目1 40 100 190 项目2 80160 240 项目3 90 140 160 累计可用资金(万元) 2500 4500 65003 净现值 xx年份 0 1 2 3 净现值项目2比例：项目3比例：项目1比例：0 0 0 0 0 0 累计投资(万元) 图解下列线性规划并指出解的形式：maxZ??2x1?x2?x1?x2?1 (1) ?x?3x??1?12?x,x?02?1【解】最优解X＝；最优值Z=－1/2minZ??x1?3x2?2x1?x2??2(2) ?2x?3x?12?12?x?0,x?02?1【解】最优解X＝；最优值Z=－45/4minZ??3x1?2x2?x1?2x2?11??x1?4x2?10(3)2x1?x2?7?x?3x?12?1??x1,x2?0【解】最优解X＝；最优值Z=－10maxZ?x1?x2?3x1?8x2?12?(4) ?x1?x2?22x1?3?x,x?0?12【解】最优解X＝；最优值Z=7/4minZ?x1?2x2?x1?x2?2?(5) ?x1?3??x2?6?x,x?0?12【解】最优解X＝；最优值Z=3maxZ?x1?2x2?x1?x2?2?(6) ?x1?3??x2?6?x,x?0?12 【解】无界解。
天大《运筹学》学习笔记七
主 题： 《运筹学》学习笔记内 容：《运筹学》学习笔记七——对策论简介教学目的、要求:Game Theory 也可译为博弈论，是研究决策主体的行为发生直接相互作用时的对策以及这种决策的均衡问题的学科。
博弈论已经成为当代经济学的基石，不仅在经济学领域得到广泛应用，在军事、商业征战、社会科学领域等都有非常重大的影响。
教学内容：基本内容：对策论基本概念、矩阵对策的最优纯策略重点：对策论的基本概念、矩阵对策的最优纯策略难点：最优纯策略的判断，鞍点的计算基本要求：1、理解并掌握对策论的基本概念2、掌握矩阵对策的概念3、了解最优纯策略与鞍点的关系，并能够判断鞍点一、基本概念1、对策现象与对策论（1）对策现象：下棋、齐王赛马（田忌）（2）对策论产生于1944年 动态：微分对策2、对策问题的组成（1）局中人：一局对策的参加者（2）策略：局中人在一局对策中对付对手的一个完整方案如：下棋，策略是指从头至尾（3）策略集：所有策略的全体，记为S。
例：田忌的S={下上中，上中下，中上下，…}（4）S 中的策略，有限个——有限对策无限个——无限对策（5）支付①局势：在一局对策中，每个局中人都选定一策略之后的各策略总和。
②支付：局势确定后局中人的得失，可分为：——零和：各局中人得失和为0；对策分类静态二人对策 多人对策 零和 非零和——非零和：各局中人得失和非0.二、矩阵对策的最优纯策略1、矩阵对策设二人有限零和对策问题的局中人为 {}{}),,,,,,,2112211A S S G a a S S ij ij n m （故又称矩阵对策，记和对策可用矩阵表四，限零的得即可，由于二人有。
故只讨论的得为的失），的得（也是为其中则支付可用矩阵表示，，，，策略集=Ι−ΠΠΙ…=…=ΠΙββααα2、理智局中人的选择例：若有一个矩阵对策问题，其矩阵为分析得：理智局中人的选择 ),max min min max **j i j ij i j i ij j i a a βαβα相应的局势为（选选⎪⎩⎪⎨⎧→Π→Ι 3、最优纯策略与鞍点分析上例中j i a a a a 223323≤≤，满足（1）对策G 的解与值，使得）的局势（******,j i ij j i ij a a a βα≤≤，称G 的解**,j i βα分别称作Ⅰ，Ⅱ的最优纯策略，称为G 的值，记。
《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(运输问题)
第3章 运输问题3.1 复习笔记1．运输问题的数学模型运输问题：已知有m 个生产地点,1,2,,i A i m =…，可供应某种物资，其供应量（产量）分别为i a ，1,2,,i m =…，有n 个销地j B ，1,2,,j n =…，其需要量分别为j b ，1,2,,j n =…，从i A 到j B 运输单位物资的运价（单价）为ij c 。
如何安排运输，能使得总运输成本最小？（1）产销平衡运输问题的数学模型1111min ,1,2,,..,1,2,,0m nij iji j mij j i nij i j ijz c x x b j n s t x a i mx =====⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪≥⎪⎩∑∑∑∑ 模型特点：①该模型包含m n ⨯个变量，()m n +个约束方程；②该系数矩阵中对应于变量ij x 的系数向量ij P ，其分量中除第i 个和第m j +个为1外，其余的都为零。
即(01010)T ij i m j P e e +==+…………③对于产销平衡的运输问题，有以下关系式存在：111111n m n n m m j ij ij i j i j j i i b x x a ======⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 所以模型最多只有m+n-1个独立约束方程。
即系数矩阵的秩≤m+n -1。
注意：运输问题的基变量一定是m+n-1个，m+n-1个变量构成基变量的充要条件是它们不构成闭回路。
闭回路的特点：在运输产销平衡表中，每一条边都是水平或垂直的；每一行或每一列至多只有两个闭回路的顶点。
（2）产销不平衡运输问题的数学模型当产大于销，即11m n i j i j a b ==>∑∑时，运输问题的数学模型可写成：1111min ,1,2,,..,1,2,,0m n ij iji j mij j i nij i j ijz c x x b j n s t x a i mx =====⎧==⎪⎪⎪≤=⎨⎪⎪≥⎪⎩∑∑∑∑ 当产小于销，即11m n i j i j a b ==<∑∑时，运输问题的数学模型可写成：11min m n ij ij i j z c x ===∑∑11, (1,2,,), (1,2,,)0nij i j mij j i ij x a i m x b j n x ==⎧==⎪⎪⎪≤=⎨⎪⎪≥⎪⎩∑∑……2．表上作业法表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化方法，其实质是单纯形法。
(完整版)《运筹学》复习参考资料知识点及习题
第一部分线性规划问题的求解一、两个变量的线性规划问题的图解法：㈠概念准备：定义：满足所有约束条件的解为可行解；可行解的全体称为可行（解）域。
定义：达到目标的可行解为最优解。
㈡图解法：图解法采用直角坐标求解：x1——横轴；x2——竖轴。
1、将约束条件（取等号）用直线绘出；2、确定可行解域；3、绘出目标函数的图形（等值线），确定它向最优解的移动方向；注：求极大值沿价值系数向量的正向移动；求极小值沿价值系数向量的反向移动。
4、确定最优解及目标函数值。
㈢参考例题：（只要求下面这些有唯一最优解的类型）例1：某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需在A、B、C三种不同的设备上加工，每种产品在不同设备上加工所需的工时不同，这些产品销售后所能获得利润以及这三种加工设备因各种条件限制所能使用的有效加工总时数如下表所示：问：该厂应如何组织生产，即生产多少甲、乙产品使得该厂的总利润为最大？（此题也可用“单纯形法”或化“对偶问题”用大M法求解）解：设x 1、x 2为生产甲、乙产品的数量。
max z = 70x 1+30x 2 s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+072039450555409321212121x x x x x x x x ，可行解域为oabcd0，最优解为b 点。
由方程组⎩⎨⎧=+=+72039450552121x x x x 解出x 1=75，x 2=15 ∴X *=⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x =（75，15）T∴max z =Z *= 70×75+30×15=5700⑴⑵ ⑶ ⑷ ⑸、⑹max z = 6x 1+4x 2 s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0781022122121x x x x x x x ， 解：可行解域为oabcd0，最优解为b 点。
由方程组⎩⎨⎧=+=+81022121x x x x 解出x 1=2，x 2=6 ∴X *=⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x =（2，6）T∴max z = 6×2+4×6=36⑴⑵ ⑶ ⑷ ⑸、⑹min z =－3x 1+x 2 s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+≤≤08212523421212121x x x x x x x x ， 解：可行解域为bcdefb ，最优解为b 点。
第8章：对策论《运筹学》
S2 {1, 2 , 3}
4 2 6
A
4
3
5
8 1 10
3 0
6
试求出双方的最优纯策略和对策值。
S1 {，1,2 ,3,4}
1 2 3
1 4 2 6
2
4
3
5
3 8 1 10
4 3 0
6
解：由 A 可以看出，局中人甲的最大赢得是8，要想得到这 个赢得，他就得选择纯策略α3 。
3
0
6
-3
836
定义1：设G={S1,S2;A}为矩阵对策，其中双方的策略集和赢
得矩阵分别为 S1 {1,2、, ,m} S2 、{1, 2, 。,若n有} 等A式 {：aij}mn
mai x[mjin(aij )] mjin[mai x(aij )] ai j
成立，则称 ai为 j 对策G的值，局势（ i） , 为j对策G的解或平
意义上的解；
x* 和 y* 分别称为局中人甲和乙的最优混合策略；
VG 为矩阵对策G={S1,S2;A}或G’={X,Y;E}的值。
定理2： 局势(x*,y*)是矩阵对策G={S1,S2;A}在混合策略意义 上解的充分必要条件是对于一切 x∈X、y∈Y均存在：
E(x, y) E(x, y) E(x, y)
第二节 矩阵对策的基本理论
有限二人零和对策，即参加对策的局中人只有两个，而每个局
中人都有有限个可供选择的策略。而且在任一局势中，两个局中
人的得失之和总等于零（一个局中人的所得即为另一个局中人的
所失）。局中人的利益是冲突的，也称为对抗对策。
一、矩阵对策的数学模型
用甲、乙表示两个局中人，假设甲有 m 个策略，表示为:
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
（2）2× 或 ×2 对策的图解法
注意：该方法用在赢得矩阵为 2× 或 ×2 阶的对策上特别方便，也可用在 3× 或
×3 对策上。但对 和 均大于 3 的矩阵对策就丌适用了。
设缩减后的赢得矩阵为二阶无鞍点对策问题，局中人Ⅰ的混合策略为
的最优纯策略。 定理 1 矩阵对策 使得对一切
在纯策略意义下有解的充分必要条件是：存在纯局势
，均有
。
定义 2 设
为一个定义在
及
上的实值函数，如果存在
，使得对一切
和
，有
，则称
为
函数 的一个鞍点。 矩阵对策解的性质：
性质 1 无差别性。即若 性质 2 可交换性。即若
也是解。 定义 3 设有矩阵对策
记
是对策 G 的两个解，则
定理 11 设矩阵对策
的值为 ，则
6．矩阵对策的解法 （1）2×2 对策的公式法 所谓 2×2 对策是指局中人Ⅰ的赢得矩阵为 2×2 阶的，即
如果 A 有鞍点，则很快可求出各局中人的最优纯策略；如果 A 没有鞍点，为求最优混 合策略可求下列等式组：
上面等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）一定有严格非负解
和
，其中
6 / 33
是对策 G 的两个解，则
和
，其中
，
，
则 和 分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的混的混合策略（或策略）；对
，称
为一个混合局势（或局
势），局中人Ⅰ的赢得函数记成
这样得到的一个新的对策记成
，称 为对策 G 的混合扩充。
定义 4 设
是矩阵对策
的混合扩充，如果
3 / 33
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
，局中
人Ⅱ的混合策略为
，即
则赢得期望值为
（3）线性方程组法
求解矩阵对策解
的问题可转化成求解下面两个方程组的问题：
和 如果上述方程组存在非负解 和 ，便求得了对策的一个解
。如果由上述两
示局中人的集合，一般要求一个对策中至少要有两个局中人。
策略集：一局对策中，可供局中人选择的一个实际可行的完整的行劢方案称为一个策略。
参加对策的每一局中人
，都有自己的策略集 。一般，每一局中人的策略集中至少
应包括两个策略。
赢得函数（支付函数）：在一局对策中，各局中人选定的策略形成的策略组称为一个局
势。对仸一局势
，其中
5 / 33
圣才电子书
，
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
，
于是有
（1）
；
（2） 中局中人Ⅱ的最优策略就是其在 G 中的最优策略；
（3）若
是 中局中人Ⅰ的最优策略，则
便是其在 G
中的最优策略。
推论 在定理 10 中，若 丌是为纯策略
中乊一所优超，而是为
的
某个凸线性组合所优超，定理的结论仍然成立。
记其值为 。则称 为对策 的值，称混合局势
为 G 在混合策略意义下的
解（或简称解）， 和 分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的最优混合策略（或简称最优策略）。
定理 2 矩阵对策
在混合策略意义下有解的充要条件是：存在
，使
为函数
的一个鞍点，即对一切
，有
。
定理 3 设
，则
是 G 的解的充要条件是：对仸意
和
，有
。
定理 4 设
，则
为 G 的解的充要条件是：存在数 ，使得 和
分别是丌等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）的解，且
。
定理 5 对仸一矩阵对策
，一定存在混合策略意义下的解。
定理 6 设
是矩阵对策 G 的解，
（1）若
，则
。
，则
（2）若
，则
。
4 / 33
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
4．矩阵对策的数学模型
对策的局中人，每个局中人都只有有限个策略可供选择。在仸一局势下，两个局中人的
赢得乊和总是等于零，即双方的利益是激烈对抗的。
在矩阵对策中，一般用Ⅰ、Ⅱ分别表示两个局中人，幵设局中人Ⅰ有 m 个纯策略
，局中人Ⅱ有 n 个纯策略
，则局中人Ⅰ、Ⅱ的策略集分别为
对仸一纯局势
，记局中人Ⅰ的赢得值为 ，幵称
为局中人Ⅰ的赢得矩阵（或为局中人Ⅱ的支付矩阵）。
5．矩阵对策的定义、定理
定义 1 设
为矩阵对策。其中
，
，
2 / 33
圣才电子书
若等式
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
成立，记
。则称 为对策 G 的值，
称纯局势
为 G 在纯策略下的解（或平衡局势）， 不 分别称为局中人Ⅰ，Ⅱ
，其中
，
，
，如果对一切
都有
，即矩阵 A 的第 行元素均丌小于第
行的对应元素，则称局中人Ⅰ的纯策略 优超于 ；同样，若对一切
，都有
即矩阵 A 的第 列元素均丌小于第 列的对应元素，则称局中人Ⅱ的纯策略
优超于 。
定 理 10 设
为矩阵对策，其中
，
，
，如果纯策略 被其余纯策略
中乊一所优超，由
G 可得到一个新的矩阵对策 ，
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第 14 章 对策论基础
14.1 复习笔记
1．对策行为和对策论 对策行为：具有竞争或对抗性质的行为称为对策行为。 对策论：亦称竞赛论或博弈论，是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。
2．对策行为的三个基本要素
局中人：一局对策中，有权决定自己行劢方案的对策参加者，称为局中人。通常用 I 表
，局中人 可以得到一个赢得值
。显然，
是局势 的函
数，称为第 个局中人的赢得函数。
3．对策的分类 （1）根据局中人的个数，分为二人对策和多人对策；
1 / 33
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
（2）根据各局中人的赢得函数的代数和是否为零，分为零和对策不非零和对策； （3）根据各局中人间是否允许合作，分为合作对策和非合作对策； （4）根据局中人的策略集中的策略个数，分为有限对策和无限对策。 此外，还有许多其他的分类方式。例如根据策略的选择是否不时间有关，可分为静态对 策和劢态对策；根据对策模型的数学特征，可分为矩阵对策、连续对策、微分对策、阵地对 策、凸对策、随机对策等。
（3）若
，则
。
（4）若
，则
。
定理 7 设有两个矩阵对策，
，
，其中
，
， 为仸一常数，则有
（1）
（2）
定理 8 设有两个矩阵对策，
，
，其中
为仸一
常数。则
（1）
（2）
定理 9 设
为一矩阵对策，且
为斜对称矩阵（亦称这种对策
为对称对策）。则
（1）
（2）
，其中
和
分别为局中人Ⅰ和Ⅱ的最优策略集。
定义 5 设有矩阵对策