医用高等数学 微积分基本公式

b 0.
～
,
得
c
1 2
.
说明
定理3.6.
牛顿 – 莱布尼茨公式
函数 , 则
记作
( 牛顿 - 莱布尼茨公式) 计算函数 f (x) 在 [a,b]上的定积分,就是计算 f (x)
的任一原函数在 [a,b] 上的增量.
从而将计算定积分转化为求原函数.
2020/4/16
例1：
求
2
cos 6xdx
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定理1. 若
x
则变上限函数 y
y f (x)
(x) a f (t) d t
( x)
证: x, x h [a, b] , 则有
O a x b x
(x
Fra Baidu bibliotek
h) h
(x)
1
h
xh
a
f
(t) d t
x
a
f
(t) d t
xh
1 xh f (t) d t f ( )
hx
(x x h)
(x) lim (x h) (x) lim f ( ) f (x)
例4：求分段函数
f
(x)
x 1, 3 x,
x 1 x 1
在区间0，2上的定积分；
利用定积分的区间可加性；
2
1
2
0 f (x)dx 0 f (x)dx 1 f (x)dx
原式
1
(x 1)dx
2
(3 x)dx
0
1
原式
( x2
1
x)
(3x
x2
)
2
1
2
2
0
1
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求 3 x2 x 2 dx 0
的面积 .
y y sin x
解:
A
π
0
sin
x
dx
cos x
π (11) 2
O
x
0
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分段函数积分；与去绝对值积分 例4：(1)求分段函数
x 1, x 1 f (x) 3 x, x 1
在区间0，2上的定积分；
(2)求 3 x2 x 2dx 0
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( x)
a
f
(t) d t
f [(x)](x) f [ (x)] (x)
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例1. 求
0
0
解: 原式 洛 lim ecos2 x ( sin x) 1
x0
2x
2e
例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使
解:
原式
洛
=
c ≠0 , 故 a 1. 又由
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x2
x2
x2 x 2 (x2 x 2)
2 x3 0 x2
3 x2 x 2 dx 0
2 (x2 x 2)dx 3 (x2 x 2)dx
0
2
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牛顿 – 莱布尼茨公式
定理3.6. 函数 , 则
记作
( 牛顿 - 莱布尼茨公式) 作业：p90 6(1),7(1)-(7)
0
2 1 x2
1 x 1
dx
解
1
2 0
2 1 x2
x
1
1
dx
1 2 0
2
dx
1 x2
1 2 0
x
1 1
dx
1
1
2arcsin x 2 ln x 1 2
0
0
2arcsin 1 2arcsin 0 ln 3
2
2
ln 3
32
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例3. 计算正弦曲线
h0
h
h0
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说明: 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . 2) 其他变限积分求导:
d dx
( x)
a
f
(t) d t
f
[ ( x)] ( x)
d
dx
( x) (x)
f
(t) d t
d dx
a
f (t) d t
(x)
1
分析
Q
cos
6xdx
1 6
sin
6x
C
2
cos 6xdx
1 sin 6x
2
1
sin12
1
sin 6
1
6
16
6
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例2：计算
解:
3 dx
1 1 x2
arctan x
3 1
arctan
3 arctan(1)
π ( π) 7 π 3 4 12
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练习
求
1 2
第二节
第三章
微积分的基本公式
牛顿 – 莱布尼茨公式
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一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数
之间有关系:
s(t) v(t)
物体在时间间隔
内经过的路程为
T2 T1
v(t)
d
t
s(T2
)
s(T1)
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
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一、积分上限的函数及其导数