医用高等数学 微积分基本公式
微积分的基本公式_2022年学习资料
2.微积分基本公式-如果f∈C[a,b],则ftdt为fx在[a,b]上-的一个原函数-若已知Fx为fx的 函数，则有-∫fdt=Fx+Co.-令x=a,则0=∫fdt=Fa+C,故C。=-Fa-取x=b,则得到fodufodx=ro-ra
定理-牛顿一莱布尼茨公式-若fx∈C[a,b],Fx为fx在[a,b]上的-一个原函数，则-["fxdx= x"=Fb-Fa.-将定积分的计算与求原数的计算联系起来了
定理2-若fx∈C[a,b,则Fx=∫fdt在[a,b]-上可导，且-F'=-fadr-fo-a≤x≤b.
定理3-若fx∈R[a,b],且在点x,∈[a,b]处连续-则Fx=ftdt在点x处可导，且F'xo=fx .-在端点处是指的左右导数
例1-easrdry-dIcosdr-cosx-Fx-cosxdx'=？-/-定积分与积分变量的记号无关. cosxdx'=cosx.
定积分的计算-问题转化为已-知函数的导函-数，求原来函数-的问题.
例5-sin x'=cosx,-π -[2cosxdx=sinx2=-sin 0=1.-问题的关键是如何求一 -函数的原函数，
例6-cnantn-unslan--兀-2-●-sinO=
例7-计算∫1+cos2xdx.-去绝对-值符号如果-是分段函数-解-o+cos2xdx=f2cosdx利用积分-的性质将积-分分成几个-怎么办？方201cos1dx-部分的和的-形式--cd+cd.x-=v2 inx-2sinx=2v2.
积分上限函数的几何意义-y-y-a-xx-b-X-曲边梯形的面积的代数和随x的位置而变化.
由积分的性质：fxdx=-∫公fxdx,有-∫fodr=-∫fodt.-所以，我们只需讨论积分上限函数.fdr称为积分下限函数
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。
可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。
可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。
2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。
可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。
它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。
4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。
可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。
5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。
6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。
医用高等数学重点整理
第一章曲线与曲面
面面角：面面角的余弦值为法向量夹角余弦值的绝对值（0≤π≤90°）
点面距：
线线角：方向向量夹角（0≤π≤90°）
线面角：直线和它在平面投影直线的夹角。
方向向量与法向量夹角余弦的绝对值为线面角正
弦值。
第二章一元函数的极限及其连续性
收敛数列的基本性质：
极限的四则运算：
第三章一元函数的导数、微分及其应用存在
切线方程：
法线方程：
常数和基本初等函数的导数：
微分基本公式：
微分中值定理：罗尔定理：
拉格朗日中值定理：
柯西中值定理：
洛必达法则：
函数的凹凸性：若在某点二阶导数为0 ,在其两侧二阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变
第四章一元函数的积分及其应用
换元积分法：
分部积分：
已知平行截面面积函数的立体体积：平面曲线的弧长：
旋转体的侧面积：
第五章微分方程可分离变量方程：
齐次方程：
可化为齐次方程的方程：
一阶线性微分方程：
伯努利方程：
可降阶高阶微分方程：
线性齐次方程解的结构：
线性非齐次方程解的结构：
常系数线性齐次微分方程：
常系数非齐次线性微分方程：。
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总微积分是高等数学中的一门重要学科，涉及到很多重要的公式和定理。
下面是一些微积分中常用的公式的汇总：1.导数公式：- 函数f(x)在点x处的导数：f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h,其中h -> 0- 常见函数的导数公式：常数函数导数为0，幂函数导数为nx^(n-1)，三角函数的导数等-乘法法则：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)-商法则：(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^22.积分公式：- 不定积分和定积分的基本定理：若F'(x) = f(x)，则∫f(x) dx = F(x) + C- 基本不定积分：∫x^n dx = (1/n+1)*x^(n+1) + C （其中n不等于-1）- 定积分的性质：∫(a to b) f(x) dx = -∫(b to a) f(x) dx，∫(a to b) [f(x) ± g(x)] dx = ∫(a to b) f(x) dx ± ∫(a to b)g(x) dx3.微分学的基本定理：- 导数的基本定理：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a to b) f(x) dx = F(b) - F(a)- 牛顿-莱布尼茨公式：若F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a tob) f(x) dx = F(x)，_(a to b) = F(b) - F(a)4.极限定理：- 极限的四则运算定理：设lim (x -> a) f(x) = L，lim (x -> a) g(x) = M，则lim (x -> a) [f(x)±g(x)] = L±M，lim (x -> a)[f(x)*g(x)] = L*M，lim (x -> a) [f(x)/g(x)] = L/M （其中M不等于0）- L'Hospital法则：设lim (x -> a) f(x) = 0，lim (x -> a) g(x) = 0，并且lim (x -> a) f'(x)/g'(x) 存在，则lim (x -> a) f(x)/g(x) = lim (x -> a) f'(x)/g'(x)- 夹逼定理：如果数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足a_n <= b_n <=c_n，并且lim (n -> ∞) a_n = lim (n -> ∞) c_n = L，则lim (n -> ∞) b_n = L5.泰勒级数：-函数f(x)的泰勒级数展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)*(x-a)^2/2!+...+f^n(a)*(x-a)^n/n!+...，其中f^n(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数以上仅是微积分中涉及到的一些公式，实际上微积分的公式和定理非常丰富，还有更多的公式可以在相关的教材和文献中找到。
高数微积分基本公式大全
2 tan A tan 2A = 1− tan2 A
3.半角公式
sin A = 1− cos A
2
2
cos A = 1+ cos A
2
2
tan A =
1− cos A =
sin A
2 1+ cos A 1+ cos A
cot A =
1+ cos A =
sin A
2 1− cos A 1− cos A
log a x
= 1 dx x ln a
( ) ⑽ d ax = ax ln adx
⑾ d (ln x) = 1 dx
x
⒀ d (arcsin x) = 1 dx ⒁ d (arccos x) = − 1 dx
1− x2
1− x2
⒂
d
(arctan
x)
=
1 1+ x2
dx
四、微分运算法则
⒃
d
(arc cot
2.二倍角公式
tan(A − B) = tan A − tan B 1+ tan A tan B
cot(A − B) = cot A⋅ cot B +1 cot B − cot A
sin 2A = 2sin Acos A
cos 2A = cos2 A − sin2 A = 1− 2sin2 A = 2 cos2 A −1
(ax
)d
(ax
)
∫ f (sin x) ⋅ cos xdx = ∫ f (sin x)d (sin x)
∫ f (cos x) ⋅sin xdx = −∫ f (cos x)d (cos x)
∫ f (tan x) ⋅sec2 xdx = ∫ f (tan x)d (tan x)
微积分基础公式
微积分基础公式
微积分是数学中的一个重要分支，也是物理学、工程学、经济学等领域中必不可少的工具。
下面是微积分基础公式的介绍：
1.导数公式
导数是微积分中的重要概念，表示函数在某一点处的变化率。
如果函数f(x)在点x处可导，那么它的导数为：
f'(x) = lim (Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)]/Δx
2.求导法则
求导法则是求导的基本规则，包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。
3.微分公式
微分是导数的另一种表达形式，表示函数在某一点处的变化量。
如果函数f(x)在点x处可微，那么它的微分为：
df = f'(x) dx
4.积分公式
积分是微积分中的另一个重要概念，表示函数在某一区间上的面积。
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么它的积分为：∫a^bf(x)dx
5.基本积分法
基本积分法是求解积分的基本方法，包括换元积分法、分部积分法、三角换元积分法等。
以上是微积分基础公式的介绍，对于学习微积分的同学们来说，
掌握这些公式是非常重要的。
微积分基本公式
1exdx
0
2
(2x
1
1)dx
[ex ]10
[x2
x]12
e
1．
例 8 计算 4| x 3 | dx ． 0
解
4
3
4
3
4
| x 3| dx | x 3| dx | x 3| dx (x 3)dx (x 3)dx
0
0
3
0
3
1 [(x 2
3)2 ]30
1 [(x 2
1.3 牛顿—莱布尼茨公式
当 x a 时 ， 有 F(a) (a) C ， 因 为 (a) 0 ， 所 以 C F(a) ； 当 x b 时 ， F(b) (b) C F(a) ，所以 (b) F(b) F(a) ，即
b f (x)dx F(b) F(a) ． a
该公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数的联系，并且表明：当被积函数的原 函数可以求出时，f (x) 在[a ，b] 上的定积分值等于它的任意一个原函数 F(x) 在区间[a ，b] 上的增量．为了方便把 F(b) F(a) 表示为
解 先要算出从开始刹车到停车所需的时间．当 t 0 时，汽车速度
v0
36
km/h
36 1 000 3 600
m/s
10
m/s
．
刹车后 t 时刻汽车的速度为 v(t) v0 at 10 5t ． 当汽车停止时，速度 v(t) 0 ，代入上式得，t 2 s ．于是从开始刹车到停车汽车所走过的
x x
x
a f (t)dt a f (t)dt
x x
a
a f (t)dt x f (t)dt
xx f (t)dt （积分区间的可加性） x
微积分基本公式
牛顿-莱布尼茨公式编辑公式若f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个在[a,b]上的原函数，则∫a b f(x)dx=F(b)-F(a)，这个公式叫做牛顿—莱布尼茨公式。
中文名牛顿-莱布尼茨公式表达式∫abf(x)dx=F(b)-F(a)提出者牛顿，莱布尼茨公式提出时间1686年应用学科高等数学把中的积分区间的上限作为一个变量x，定义一个新的函数：这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。
为了只表示积分上限的变动，把被积函数的自变量改成别的字母如t，则：让函数获得增量，则对应的函数增量显然，而（ξ在x与x+Δx之间，可由积分中值定理推得）与格林公式和高斯公式的联系当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x），故有可见这也是导数的定义，所以最后得出。
设F(x)是f(x)的原函数。
已证得，故但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F(a)=C于是有Φ(x)+F(a)=F(x)，当x=b时，Φ(b) = F(b) - F(a),而，所以把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。
他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。
牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。
莱布尼茨德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。
就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。
高等数学上册(微积分)必背公式总结
高等数学上册(微积分)必背公式总结以下仅是个人总结仅供参考(不包含微分方程模块)常用三角函数公式积化和差公式\begin{aligned} \sin \alpha \cos\beta&=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)] \\ \cos \alpha \sin \beta&=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)] \\ \cos \alpha \cos \beta&=\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)] \\ \sin \alpha \sin \beta&=-\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]\end{aligned}和差化积公式\begin{aligned}\sin\alpha+\sin\beta&=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\ frac{\alpha-\beta}{2} \\ \sin\alpha-\sin\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha -\beta}{2} \\\cos\alpha+\cos\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\ frac{\alpha-\beta}{2} \\ \cos\alpha-\cos\beta&=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \tan\alpha+\tan\beta&=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos \beta}\end{aligned}归一化公式\begin{aligned} \label{gyhgs} \sin^2 x+\cos^2x&=1\\\sec^2 x-\tan^2x&=1\\\cosh^2x-\sinh^2x&=1\end{aligned}倍(半)角公式降(升)幂公式\begin{aligned} \sin^2x&=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)\\\cos^2x&=\frac{1}{2}(1+\cos 2x) \\ \tan^2x&=\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x} \\ \sinx&=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} \\ \cosx&=2\cos^2\frac{x}{2}-1=1-2\sin^2\frac{x}{2}=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2} \\ \tan x&=\frac{2\tan(x/2)}{1-\tan^2(x/2)}\end{aligned}万能公式令 u=\tan\dfrac{x}{2} 则\begin{aligned} \sin x=\frac{2u}{1+u^2}\\ \cosx=\frac{1-u^2}{1+u^2}\end{aligned}常用的佩亚诺型余项泰勒公式有泰勒公式 \begin{aligned}f(x)&=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o[(x-x_0)^n]\notag\\f(x)&=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\small{ (\xi \mbox{在}x_0 \mbox{与}x\mbox{之间})} \notag\end{aligned}\begin{aligned}\mathrm{e}^{x}&=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x^{3}+ \cdots+\frac{1}{n!}x^{n}+o(x^{n})\\ \ln(x+1)&=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}x^{n}+o(x^{n})\end{aligned}令 n=2m 有,\begin{aligned} \sin x&=x-\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{120}x^{5}+\cdots+(-1)^{m-1}\frac{1}{(2m-1)!}x^{2m-1}+o(x^{2m}) \\ \cos x&=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4-\cdots+(-1)^m\frac{1}{(2m)!}x^{2m}+o(x^{2m+1}) \\ \tanx&=x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+ \cdots+o(x^{2m-1})\end{aligned} \begin{aligned}\arcsinx&=x+\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{40}x^{5}+\cdots+o(x^{2m}) \end{aligned}常用于近似计算的泰勒公式\begin{aligned} \frac{1}{1-x}&=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+o(x^n) \\(1+x)^{\alpha}&=\sum_{i=0}^{n}\frac{\prod_{j=0}^{i-1}{(\alpha-j})}{i!}x^n+o(x^n)\notag \\ &=1+\alphax+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\cdots+o(x^n) \\\alpha^x&=\sum_{i=0}^{n}\frac{\ln^n\alpha}{n!}x^n+o(x^n)\notag \\ &=1+x\ln\alpha+\frac{\ln^2 \alpha}{2}x^2+\cdots+\frac{\ln^n \alpha}{n!}x^n+o(x^n)\end{aligned}基本求导公式\begin{equation} \left( C\right)'=0 \\\left( x^{\mu}\right)'=\mu x^{\mu-1} \\ \left( \sinx\right)'=\cos x \\ \left( \cos x\right)'=-\sin x \\ \left( \tan x\right)'=\sec^2 x\\ \left( \cotx\right)'=-\csc^2 x \\ \left( \sec x\right)'=\secx\cdot\tan x \\ \left( \csc x\right)'=-\csc x\cdot\cot x \\ \left( a^x\right)'=a^x\ln a\ (a>0,a\neq1)\\\left( \log_{a}x\right)'=\frac{1}{x\cdot\ln a}\(a>0,a\neq1) \\ \left( \arcsinx\right)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \left( \arccosx\right)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \left( \arctanx\right)'=\frac{1}{1+x^2} \\ \left( \mathrm{arccot}\, x\right)'=-\frac{1}{1+x^2} \\ \end{equation}函数图形描述中涉及到的重要公式常用曲率计算公式曲率的定义式K=\displaystyle\left|\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s}\right|由定义式我们可以推得1.直角坐标系中的曲线 y=y(x) 有曲率表达式K=\frac{\left|y''\right|}{\left( 1+y^{'2}\right)^{3/2}}\mbox{;}2.参数方程表示的曲线 x=\varphi(t),y=\psi(t) 有曲率表达式 K=\frac{\left|\varphi'(t)\psi''(t)-\varphi''(t)\psi'(t)\right|}{\left[ \varphi^{'2}(t) +\psi^{'2}(t) \right]^{3/2}}\mbox{;}3.极坐标表示的的曲线 y=y(x) 有曲率表达式K=\frac{\left|r^2+2r^{'2}-r\cdotr''\right|}{\left(r^2+r^{'2}\right)^{3/2}}\mbox{;}曲线在对应点 M(x,y) 的曲率中心 D(\alpha,\beta) 的坐标为\begin{cases} \alpha=x-\displaystyle\frac{y'(1+y^{'2})}{y^{''2}} \\\beta=y+\displaystyle\frac{1+y^{'2}}{y''} \end{cases} 曲线的渐近线1.若 \lim\limits_{ x\rightarrow \infty }f(x)=b ,则称 y=b 为曲线 f(x) 的水平渐近线;2.若 \lim\limits_{ x\rightarrow x_0 }f(x)=\infty ,则称 x=x_0 为曲线 f(x) 的垂直渐近线;3.若 \lim\limits_{ x\rightarrow \infty }[f(x)-(ax+b)]=0 ,其中 \begin{cases} a=\displaystyle\lim\limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x} \\b=\displaystyle \lim\limits_{x\to \infty}[f(x)-ax] \end{cases} 则称 y=ax+b 为曲线 f(x) 的斜渐近线.基本积分公式\begin{aligned} &\int k \,\mathrm{d}x=kx+C \ \mbox{(其中}k\mbox{为常数)} \\ &\intx^\mu\,\mathrm{d}x=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C\(\mu\neq-1) \\ &\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln|x|+C \\ &\int\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan x+C \\&\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C_1=-\arccos x+C_2 \\ &\int \sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x+C\\ &\int\cos x \,\mathrm{d}x=\sin x +C \\ &\int\tanx\,\mathrm{d}x=-\ln |\cos x|+C \\ &\int\cotx\,\mathrm{d}x=\ln |\sin x|+C \\ &\int\cscx\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{\sin{x}}\,\mathrm{d}x=\fra c{1}{2} \ln{\left|\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}\right|}+C=\ln{\left|\tan{\frac{x}{ 2}}\right|}+C=\ln{\left|\csc{x}-\cot{x}\right|}+C \\ &\int\secx\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{\cos{x}}\,\mathrm{d}x=\fra c{1}{2} \ln{\left|\frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}\right|}+C=\ln{\left|\sec{x}+\tan{x}\right|}+C \\ &\int\sec^2 x\,\mathrm{d}x=\tan x +C \\ &\int\csc^2 x\,\mathrm{d}x=-\cot x +C \\ &\int \secx\cdot\tan x \,\mathrm{d}x=\sec x+C \\ &\int\csc x\cdot\cot x \,\mathrm{d}x=-\csc x+C \\ &\int\mathrm{e}^x \,\mathrm{d}x=\mathrm{e}^x+C \\ &\inta^x\,\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C \\ &\int \sinhx\,\mathrm{d}x=\cosh x+C \\ &\int \coshx\,\mathrm{d}x=\sinh x+C \\ &\int\frac{1}{a^2+x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan\frac {x}{a}+C \\ &\int \frac{1}{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C \\ &\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,\mathrm{d}x=\arcsin\frac{x}{a}+C \\ &\int\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\,\mathrm{d}x=\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C \end{aligned}基本积分方法第一类换元法1.一般地,对于 \sin^{2k+1}x\cos^n x 或 \sin^n x\cos^{2k+1}x (其中 k\in\mathbb{N} )型函数的积分,总可依次作变换 u=\cos x 或 u=\sin x ,从而求得结果;2.一般地,对于 \sin^{2k}x\cos^{2l}x 或 (其中 k,l\in\mathbb{N} )型函数的积分,总是利用降幂公式\sin^2=\dfrac{1}{2}(1-\cos 2x),\cos^2=\dfrac{1}{2}(1+\cos 2x) 化成 \cos 2x 的多项式,从而求得结果;3.一般地,对于 \tan^{n}x\sec^{2k} x 或 \tan^{2k-1} x\sec^{n}x (其中 n,k\in\mathbb{N}_{+} )型函数的积分,总可依次作变换 u=\tan x 或 u=\sec x ,从而求得结果;\begin{aligned} &\int {f( ax + b){\rm{d}}x= }\frac{1}{a}\int {f(ax+b){\mathrm{d}}(ax + b)\;(a\neq 0)} \\ &\int {f(a{x^{m + 1}} + b){x^m}{\rm{d}}x} = \frac{1}{{a(m + 1)}}\int {f(a{x^{m + 1}} +b){\rm{d}}(a{x^{m + 1}} + b)} \\ &\int{f\left( \frac{1}{x}\right)\frac{{{\rm{d}}x}}{{{x^2}}}\;} = - \int{f\left( \frac{1}{x}\right){\rm{d}}\left( \frac{{\rm{1}}}{x}\right) \;} \\ &\int {f(\ln x)\frac{1}{x}} {\rm{d}}x = \int {f(\lnx){\rm{d(}}\ln x)} \\ &\int {f({\mathrm{e}^x})}{\mathrm{e}^x}{\rm{d}}x = \int{f({\mathrm{e}^x}} ){\rm{d(}}{\mathrm{e}^x}) \\ &\int {f(\sqrt x } )\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt x }} = 2\int {f(\sqrt x } ){\rm{d}}(\sqrt x ) \\ &\int {f(\sinx)\cos x{\rm{d}}x = } \int {f(\sin x){\rm{d}}\sin x} \\ &\int {f(\cos x)\sin x{\rm{d}}x = } - \int {f(\cos x){\rm{d}}\cos x} \\ &\int {f(\tan x){{\sec }^2}}x{\rm{d}}x = \int {f(\tan x){\rm{d}}\tan x} \\ &\int{f(\cot x){{\csc }^2}} x{\rm{d}}x = - \int {f(\cotx){\rm{d}}\cot x} \\ &\int {f(\arcsinx)\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} {\rm{d}}x = \int{f(\arcsin x){\rm{d}}\arcsin x} \\ &\int {f(\arctanx)\frac{1}{{1 + {x^2}}}} {\rm{d}}x = \int {f(\arctan x){\rm{d}}\arctan x} \\ &\int {\frac{{f'(x)}}{{f(x)}}} {\rm{d}}x = \int {\frac{{{\rm{d}}f(x)}}{{f(x)}}} = \ln \left| f(x)\right| + C\end{aligned}部分分式\begin{aligned} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} =&\frac{{{A_1}}}{{{{(x - a)}^\alpha }}} +\frac{{{A_2}}}{{{{(x - a)}^{\alpha - 1}}}} + \cdots + \frac{{{A_\alpha }}}{{x - a}} + \notag\\\&\frac{{{B_1}}}{{{{(x - b)}^\beta }}} +\frac{{{B_2}}}{{{{(x - b)}^{\beta - 1}}}} + \cdots +\frac{{{B_\beta }}}{{x - b}} + \notag\\\&\frac{{{M_1}x + {N_1}}}{{{{({x^2} + px +q)}^\lambda }}} + \frac{{{M_2}x + {N_2}}}{{{{({x^2} + px + q)}^{\lambda - 1}}}} + \cdots +\frac{{{M_\lambda }x + {N_\lambda }}}{{{x^2} + px + q}} + \notag\ \\&\cdots \end{aligned}三角函数的特殊定积分\begin{aligned}I_n&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,\mathrm{d}x=\int_0 ^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx\,\mathrm{d}x\notag \I_n&\\&=\frac{n-1}{n}I_{n-2}\notag\ \\&=\begin{cases} \ \dfrac{{n - 1}}{n} \cdot \dfrac{{n - 3}}{{n - 2}}\cdots \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{2}{3}\quad (n\mbox{为大于}1\mbox{的正奇数}),I_1=1\\ \ \dfrac{{n - 1}}{n} \cdot \dfrac{{n - 3}}{{n - 2}} \cdots \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi }{2}\quad(n\mbox{为正偶数}),I_0=\dfrac{\pi}{2}\end{cases}\end{aligned}。
高数微积分公式
高数微积分公式以下是一些高数微积分中常用的公式：1. 极限求导公式：- $\\displaystyle \\frac{d}{dx}(x^{n})=nx^{n-1}$- $\\displaystyle \\frac{d}{dx}(\\sin x)=\\cos x$- $\\displaystyle \\frac{d}{dx}(\\cos x)=-\\sin x$- $\\displaystyle \\frac{d}{dx}(\\ln x)=\\frac{1}{x}$ - $\\displaystyle \\frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}$2. 基本导数法则：- $\\displaystyle \\frac{d}{dx}(cf(x))=cf'(x)$ （常数的导数）- $\\displaystyle \\frac{d}{dx}(f(x)\\pmg(x))=f'(x)\\pm g'(x)$ （和差法则）- $\\displaystyle\\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ （乘积法则）- $\\displaystyle\\frac{d}{dx}\\left(\\frac{f(x)}{g(x)}\\right)=\\frac{f'(x)g( x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}$ （商法则）- $\\displaystyle \\frac{d}{dx}(f(g(x)))=f'(g(x))\\cdot g'(x)$ （链式法则）3. 积分公式：- $\\displaystyle \\intx^{n}dx=\\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$- $\\displaystyle \\int \\sin xdx=-\\cos x+C$- $\\displaystyle \\int \\cos xdx=\\sin x+C$- $\\displaystyle \\int \\frac{1}{x}dx=\\ln |x|+C$- $\\displaystyle \\int e^{x}dx=e^{x}+C$这些只是一些常用的公式，高数微积分中还有更多的公式和定理。
高数微积分基本公式大全
高数微积分基本公式大全1.导数的基本公式如果函数f(x)在点x0处可导，那么它在该点的导数可以通过以下公式计算：(1) 常数函数导数：d/dx(a) = 0，其中a为常数。
(2) 幂函数导数：d/dx(x^n) = n * x^(n-1)，其中n为实数。
(3) 指数函数导数：d/dx(e^x) = e^x。
(4) 对数函数导数：d/dx(ln(x)) = 1/x，其中x > 0。
(5)三角函数导数：d/dx(sin(x)) = cos(x)d/dx(cos(x)) = -sin(x)d/dx(tan(x)) = sec^2(x)d/dx(cot(x)) = -csc^2(x)d/dx(sec(x)) = sec(x) * tan(x)d/dx(csc(x)) = -csc(x) * cot(x)(6)反三角函数导数：d/dx(arcsin(x)) = 1/√(1 - x^2)d/dx(arccos(x)) = -1/√(1 - x^2)d/dx(arctan(x)) = 1/(1 + x^2)d/dx(arccot(x)) = -1/(1 + x^2)d/dx(arc sec(x)) = 1/(x * √(x^2 - 1))d/dx(arccsc(x)) = -1/(x * √(x^2 - 1))2.微分法则(1) 常数乘法法则：d/dx(c * f(x)) = c * d/dx(f(x))，其中c为常数。
(2) 和差法则：d/dx(f(x) ± g(x)) = d/dx(f(x)) ± d/dx(g(x))。
(3) 积法则：d/dx(f(x) * g(x)) = f(x) * d/dx(g(x)) + g(x) *d/dx(f(x))。
(4) 商法则：d/dx(f(x) / g(x)) = [g(x) * d/dx(f(x)) - f(x) *d/dx(g(x))] / [g(x)]^2(5) 复合函数法则：如果y = f(g(x))，那么dy/dx = dy/dg *dg/dx。
医学检验技术《医用高等数学》教学大纲
医用高等数学课程教学大纲(Medical Advanced Mathematics)一、课程基本信息课程编号：14062313课程类别：学科基础课适用专业：医科类临床专业学分：3学分总学时：48学时其中理论学时:48学时, 实验学时:0学时先修课程：无后续课程：无课程简介：本课程系统介绍一元函数的极限、连续、导数、微分及其应用、不定积分、定积分及其应用。
部分专业可根据专业需要，对教学内容作适当调节（课时相应作结构性调整）。
主要教学方法与手段：以讲授为主，辅之以多媒体教学、习题课和课外辅导，注重理论联系实际。
选用教材：刘金林.高等数学(经济管理类)（第4版）[M].北京：机械工业出版社，2013；必读书目：无选读书目：[1] 蒋国强蔡蕃.高等数学（第4版）[M].北京：机械工业出版社，2010；[2] 同济大学数学教研室主编.《高等数学》（第六版），[M].北京：高等教育出版社，2007；[3] 同济大学数学教研室主编.《高等数学》（本科少课时类型）（第三版）[M].北京：高等教育出版社；[4][美]Morris Kline著.古今数学思想（英文版，1-2）[M].上海：上海科技出版社；二、课程总目标本课程是高等学校本科医科类临床专业必修的重要基础课。
通过本课程的学习，使学生对高等数学的基本概念、基本理论、基本方法有比较基本的认识，构建必要的知识基础。
适当了解相关的古今中外的数学发展史。
逐步培养学生抽象概括问题的能力、一定的辩证思维能力和逻辑推理能力、比较熟练的运算能力和自学能力，提高学生在数学方面的素质和修养，培养学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，学会运用本课程提供的数学思想、数学方法解决简单的应用问题，激发学生的探索与创新意识，为学习其它基础课程和专业课程打下基础。
三、课程教学内容与教学要求1、教学内容与学时分配课程总学时：48学时，其中讲授学时：48 学时；实验(上机)学时：0学时本课程是高等学校的一门必修的重要基础课。
微积分公式大全
微积分公式大全一、基本公式：1.微分基本公式（导数）：（1）常量函数导数：(k)'=0；（2）幂函数导数：(x^n)'=n·x^(n-1)；（3）指数函数导数：(a^x)'= ln(a)·a^x；（4）对数函数导数：(log_a x)'= 1/(x·ln(a))；（5）三角函数导数：(sin x)'=cos x, (cos x)'=-sin x, (tan x)'=sec^2 x；（6）反三角函数导数：(arcsin x)'=1/√(1-x^2), (arccos x)'=-1/√(1-x^2), (arctan x)'=1/(1+x^2)；（7）复合函数导数：f(g(x))'=f'(g(x))·g'(x)；2.积分基本公式：（1）不定积分：∫(k)dx=kx+C, ∫(x^n)dx= (x^(n+1))/(n+1)+C；（2）定积分：∫(a~b)f(x)dx= F(b)- F(a)，其中 F(x) 是 f(x) 在[a, b] 上的一个原函数；（3）换元积分：∫f(g(x))·g'(x)dx=∫f(u)du, 其中 u = g(x)；（4）分部积分：∫u·dv = u·v - ∫v·du；二、微分学公式：1.高阶导数：如果函数f(x)的n阶导数存在，则记作f^(n)(x)，有以下公式：（1）常函数的n阶导数为0；（2）幂函数的n阶导数为n!(n-1)!·x^(n-m)；（3）指数函数的 n 阶导数为a^x·ln^n(a)；（4）对数函数的n阶导数为(-1)^(n-1)·(n-1)!/x^n；（5）三角函数的n阶导数：sin(x)：n 为奇数时，n 阶导数为sin(x+ nπ/2)；n 为偶数时，n 阶导数为cos(x+ nπ/2)；cos(x)：n 为奇数时，n 阶导数为 -cos(x+ nπ/2)；n 为偶数时，n 阶导数为sin(x+ nπ/2)；tan(x)：n 为奇数时，n 阶导数为 (-1)^(n-1)·2^(n-1)·B_n·(2n)!·x^(2n-1)，其中 B_n 为 Bernoulli 数；n为偶数时，n阶导数为0；2.泰勒展开：函数f(x)的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)·(x-a)+f''(a)·(x-a)^2/2!+......+f^(n)(a)·(x-a)^n/n!+......；当x接近a时，可以使用前n阶导数来估算函数的值；三、积分学公式：1.牛顿-莱布尼茨公式：设函数F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则有∫(a~b)f(x)dx= F(b)- F(a)；2.反常积分：（1）瑕积分：∫(1/x)dx 在曲线 y=0, x=0 和 x=1 构成的区域内发散；（2）收敛式积分：∫(1/x)dx 在曲线 y=0, x=0 和 x=1 构成的区域外收敛为 ln，x；（3）点收敛、条件收敛和绝对收敛；3.广义积分：（1）广义积分存在：∫(a~+∞)f(x)d x= A 表示对于任意定义域上的f(x)，在 a 之后的任意区间上都是收敛的；（2）比较判别法：若存在p>0和M>0，使得，f(x)，<=M·g(x)，那么当f(x)的积分是收敛的，那么g(x)的积分也是收敛的；（3）绝对收敛：如果，f(x)，在定义域上是收敛的，那么f(x)的积分是绝对收敛的；（4）积分判别法：如果积分是收敛的，但是f(x)的绝对值不是；或者f(x)的绝对值是收敛的，但是积分是发散的，那么f(x)的积分是条件收敛的；以上仅是微积分常用公式的集合，只能作为参考，实际应用仍需根据具体问题进行判断和运用。
高等数学微积分公式
高等数学微积分公式
在高等数学里，微积分公式即微积分的基本公式，它由积分的概
念和积分操作组成。
积分的概念是指把一个有限或无限的连续区间中的某个函数f（x）在指定范围内的值求和，换个说，就是把连续范围、一定方向上的一
类函数，折合为指定函数定义范围内的一个实数。
如果在定积分区间[a,b]内把f (x)折叠为：
∫a bf(x)dx
就称上式为定积分，并且称f (x)为积分函数。
是不是把积分概念记住了，想要把它应用到实际生活里，就要把
积分进一步拆解为它的基本操作，即微积分公式。
主要公式如下：
1. 一阶导数：f'(x) = lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h
2. 二阶导数：f'(x) = lim(h→0)[f′(x+h) -f′(x)]/h
3. 曲线的面积：∫a bf(x) dx = F(b)-F(a)
4. 曲线的长度：L = ∫a b[1+(f′(x))2]1/2 dx
5. 平面曲线的曲率：k = |f″(x) / [1+(f′(x))2]3/2|
6. 曲面积分公式：∫ S f(x, y) dS = ∫∫ D(∇f) dD
7. 毕达哥拉斯公式：1/2π ∫0 2πf(cosθ,sinθ) dθ =
∫∫ Bf(x, y) d S
…
微积分的基本公式涵盖的范围极广，几乎可以把它应用到多种领域，可以求解机械運動的微积分問題，也可以解决金融领域利息计算
问题等，为工程中矩阵计算、计时和财务模拟分析提供各类运算算法，是统计学，随机分布理论和经济学中不可或缺的工具。
微积分公式与运算法则
微积分公式与运算法则(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--微积分公式与运算法则1.基本公式（1）导数公式 (2) 微分公式(xμ)ˊ= μxμ-1 d(xμ)= μxμ-1 dx(a x)ˊ= a x lna d(a x)= a x lna dx(loga x)ˊ= 1/(xlna) d(loga x)= 1/(xlna) dx(sin x)ˊ= cos x d(sin x)= cos x dx(con x)ˊ= -sin x d(con x)= -sin x dx(tan x)ˊ= sec2 x d(tan x)= sec2 x dx(cot x)ˊ= -csc2 x d(cot x)= -csc2 x dx(sec x)ˊ= sec x·tan x d(sec x)= sec x·tan x dx(csc x)ˊ= -csc x·cot x d(csc x)= -csc x·cot x dx(arcsin x)ˊ= 1/(1-x2)1/2 d(arcsin x)= 1/(1-x2)1/2dx(arccos x)ˊ= -1/(1-x2)1/2 d(arccos x)= -1/(1-x2)1/2dx(arctan x)ˊ= 1/(1+x2) d(arctan x)= 1/(1+x2) dx (arccot x)ˊ= -1/(1+x2) d(arccot x)= -1/(1+x2) dx(sinh x)ˊ= cosh x d(sinh x)= cosh x dx (cosh x)ˊ= sinh x d(cosh x)= sinh x dx2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R）（1）函数的线性组合积、商的求导法则（αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ（μ/υ）ˊ= (μˊυ-μυˊ)/υ2（2）函数和差积商的微分法则d（αμ+βυ）= αdμ+βdυd（μυ）=υdμ+μdυd（μ/υ）= (υdμ-μdυ)/υ23.复合函数的微分法则设y=f(μ)，μ=ψ(x),则复合函数y=f[ψ(x)]的导数为dy/dx = fˊ[ψ(x)] ·ψˊ(x)所以复合函数的微分为dy = fˊ[ψ(x)] ·ψˊ(x) dx由于fˊ[ψ(x)]= fˊ(μ)，ψˊ(x) dx = dμ，因此上式也可写成dy = fˊ(μ) dμ由此可见，无论μ是自变量，还是另一变量的可微函数，微分形式dy = fˊ(μ) dμ保持不变，这一性质称为微分形式不变性。
高等数学微积分公式大全
高等数学微积分公式大全高等数学微积分公式是高等数学中重要的一部分，也是我们在研究数学问题和应用数学技术时必须掌握的基础。
下面就让我们来看看高等数学微积分中常用的公式吧。
第一部分：导数公式1. 导数的定义公式$$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$2. 导数的四则运算公式$$\left(f(x)\pm g(x)\right)'=f'(x)\pm g'(x)$$$$\left(f(x)g(x)\right)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x) -f(x)g'(x)}{g^2(x)}(g(x)\neq 0)$$$$\left(g(f(x))\right)'=g'(f(x))f'(x)$$3. 高阶导数公式$$f''(x)=(f'(x))'$$$$f'''(x)=(f''(x))'$$$$f^{(n)}(x)=\left(f^{(n-1)}(x)\right)'$$4. 链式法则$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$$5. 反函数求导若$f(x)$的反函数为$y=g(x)$，则有$$\frac{d}{dx}g(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$$6. 隐函数求导设有方程$F(x,y)=0$，其中$y$是$x$的隐函数，则有$$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$$第二部分：微分公式7. 微分的定义公式$$df(x)=f'(x)dx$$8. 微分的四则运算公式$$(u\pm v)'=u'dx\pm v'dx$$$$(uv)'=(u'v+uv')dx$$$$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}dx(v\neq 0)$$$$(g\circ f)'=(g'\circ f)f'dx$$9. 高阶微分公式$$d^2y=d(dy)=d\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d^ 2y}{dx^2}dx$$$$d^3y=d(d^2y)=d\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)=\f rac{d^3y}{dx^3}dx$$$$d^ny=d(d^{n-1}y)=d\left(\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}\right)=\frac{d^ny}{dx^n}dx$$10. 多元函数微分公式设$z=f(x,y)$，则有$$dz=\frac{\partial z}{\partialx}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$其中，$\frac{\partial z}{\partial x}$表示$f(x,y)$对$x$的偏导数，$\frac{\partial z}{\partialy}$表示$f(x,y)$对$y$的偏导数。
医用高等数学 微积分基本公式
b 0.
～
,
得
c
1 2
.
说明
定理3.6.
牛顿 – 莱布尼茨公式
函数 , 则
记作
( 牛顿 - 莱布尼茨公式) 计算函数 f (x) 在 [a,b]上的定积分,就是计算 f (x)
的任一原函数在 [a,b] 上的增量.
从而将计算定积分转化为求原函数.
2020/4/16
例1：
求
2
cos 6xdx
( x)
a
f
(t) d t
f [(x)](x) f [ (x)] (x)
2020/4/16
例1. 求
0
0
解: 原式 洛 lim ecos2 x ( sin x) 1
x0
2x
2e
例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使
解:
原式
洛
=
c ≠0 , 故 a 1. 又由
2020/4/16
的面积 .
y y sin x
解:
A
π
0
sin
x
dx
cos x
π (11) 2
O
x
0
2020/4/16
分段函数积分；与去绝对值积分 例4：(1)求分段函数
x 1, x 1 f (x) 3 x, x 1
在区间0，2上的定积分；
(2)求 3 x2 x 2dx 0
2020/4/16
h0
h
h0
2020/4/16
说明: 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . 2) 其他变限积分求导:
d dx
( x)
a
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定理1. 若
x
则变上限函数 y
y f (x)
(x) a f (t) d t
( x)
证: x, x) h
(x)
1
h
xh
a
f
(t) d t
x
a
f
(t) d t
xh
1 xh f (t) d t f ( )
hx
(x x h)
(x) lim (x h) (x) lim f ( ) f (x)
( x)
a
f
(t) d t
f [(x)](x) f [ (x)] (x)
2020/4/16
例1. 求
0
0
解: 原式 洛 lim ecos2 x ( sin x) 1
x0
2x
2e
例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使
解:
原式
洛
=
c ≠0 , 故 a 1. 又由
2020/4/16
的面积 .
y y sin x
解:
A
π
0
sin
x
dx
cos x
π (11) 2
O
x
0
2020/4/16
分段函数积分；与去绝对值积分 例4：(1)求分段函数
x 1, x 1 f (x) 3 x, x 1
在区间0，2上的定积分；
(2)求 3 x2 x 2dx 0
2020/4/16
2020/4/16
h0
h
h0
2020/4/16
说明: 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . 2) 其他变限积分求导:
d dx
( x)
a
f
(t) d t
f
[ ( x)] ( x)
d
dx
( x) (x)
f
(t) d t
d dx
a
f (t) d t
(x)
b 0.
～
,
得
c
1 2
.
说明
定理3.6.
牛顿 – 莱布尼茨公式
函数 , 则
记作
( 牛顿 - 莱布尼茨公式) 计算函数 f (x) 在 [a,b]上的定积分,就是计算 f (x)
的任一原函数在 [a,b] 上的增量.
从而将计算定积分转化为求原函数.
2020/4/16
例1：
求
2
cos 6xdx
例4：求分段函数
f
(x)
x 1, 3 x,
x 1 x 1
在区间0，2上的定积分；
利用定积分的区间可加性；
2
1
2
0 f (x)dx 0 f (x)dx 1 f (x)dx
原式
1
(x 1)dx
2
(3 x)dx
0
1
原式
( x2
1
x)
(3x
x2
)
2
1
2
2
0
1
2020/4/16
求 3 x2 x 2 dx 0
x2
x2
x2 x 2 (x2 x 2)
2 x3 0 x2
3 x2 x 2 dx 0
2 (x2 x 2)dx 3 (x2 x 2)dx
0
2
2020/4/16
牛顿 – 莱布尼茨公式
定理3.6. 函数 , 则
记作
( 牛顿 - 莱布尼茨公式) 作业：p90 6(1),7(1)-(7)
第二节
第三章
微积分的基本公式
牛顿 – 莱布尼茨公式
2020/4/16
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数
之间有关系:
s(t) v(t)
物体在时间间隔
内经过的路程为
T2 T1
v(t)
d
t
s(T2
)
s(T1)
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
2020/4/16
一、积分上限的函数及其导数
1
分析
Q
cos
6xdx
1 6
sin
6x
C
2
cos 6xdx
1 sin 6x
2
1
sin12
1
sin 6
1
6
16
6
2020/4/16
例2：计算
解:
3 dx
1 1 x2
arctan x
3 1
arctan
3 arctan(1)
π ( π) 7 π 3 4 12
2020/4/16
练习
求
1 2
0
2 1 x2
1 x 1
dx
解
1
2 0
2 1 x2
x
1
1
dx
1 2 0
2
dx
1 x2
1 2 0
x
1 1
dx
1
1
2arcsin x 2 ln x 1 2
0
0
2arcsin 1 2arcsin 0 ln 3
2
2
ln 3
32
2020/4/16
例3. 计算正弦曲线