6.4.3.1余弦定理-【新教材】2020-2021学年人教A版(2019)高中数学必修第二册课件
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
设CB a CA b AB c ，那么 c a b
②进行恰当的向量运算： 对上式两边平方，得 c2=c·c=(a－b)·(a－b)=a·a+b·b－2a·b ③向量式化成几何式：
c2 a2 b2 2ab cos C
一、余弦定理的探究
问题2：上面第②步中怎么想到选用数量积运算的？三个步骤遵循 的是什么规则？ 问题3：如何用已知的边b，c和它们的夹角A表示第三边a？如何用 已知的边c ，a和它们的夹角B表示第三边b？
（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角； （2）已知三边，求三个角．
四、余弦定理及其推论的应用
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程 叫解三角形．
四、余弦定理及其推论的应用
问题7：你能解决教科书中的例5和例6吗？ 例5：在△ABC中，已知b= 60 cm，c= 34 cm，A=41°，解三角形
b2 a2 c2 2ac cos B
cos B c2 a2 b2 2ca
c2 a2 b2 2ab cosC
cos C a2 b2 c2 2ab
四、余弦定理及其推论的应用
问题6：利用余弦定理及其推论，可以解决哪几类解三角形问题？ 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
14
所以c=3
进而 cos B c2 a2 b2 9 49 64 1
2ca
237 7
利用计算器可得 B 98
五、课堂小结
问题8：请学生回答以下问题： 1．余弦定理是什么？ 2．如何用向量方法推导余弦定理？ 3．余弦定理的推论是什么？ 4．如何由余弦定理得到它的推论？ 5．运用余弦定理及其推论可以解决哪些解三角形的问题？
一、余弦定理的探究
在△ABC中，已知CB=a，CA=b，CB与CA的夹角为∠C， 求边c．
请同学们联系已经学过的知识，进行分组合作探究，寻求解 决方法．
一、余弦定理的探究
在△ABC中，已知CB=a，CA=b，CB与CA的夹角为∠C， 求边c．
用向量方法探索余弦定理可按如下步骤进行：
①把几何元素用向量表示：
四、余弦定理及其推论的应用
例6：在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足
，求B
（精确到1°）．
解：因为 sin C
百度文库
33 14
，且C为锐角。
所以 cosC 1 sin2 C 1 (3 3 )2 13 .
14 14
由余弦定理，得 c2 a2 b2 2abcosC 49 64 2 7 8 13 9
六、布置作业
作业： 教科书习题6.4第6，15，16题．
再见
余弦定理
一、余弦定理的探究
问题1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．这说明， 给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的．也就是说，三角形的 其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示．那么，表示的公式 是什么？ 明确数学问题：
在△ABC中，已知CB=a，CA=b，CB与CA的夹角为∠C， 求边c．
利用计算器，可得C≈106°． 所以B=180°-(A+C)≈180°-(41°+106°)=33°．
四、余弦定理及其推论的应用
问题7：你能解决教科书中的例5和例6吗？ 例6：在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足
（精确到1°）．
，求B
分析：由条件先求出cos C，再利用余弦定理及其推论可求出 B的值．
（角度精确到1°，边长精确到1 cm）． 解：根据余弦定理，得
a²=b²+c²-2bccosA=60²+34²-2×60×34×cos41° ≈1 676.78，
∴a≈41(cm)．
四、余弦定理及其推论的应用
例5：在△ABC中，已知b= 60 cm，c= 34 cm，A=41°，解三角形 （角度精确到1°，边长精确到1 cm）． 由余弦定理的推论，得
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
﹚
二、余弦定理与勾股定理的关系
问题4：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦 定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．你能说说这两 个定理之间的关系吗？
若在三角形ABC中，C=90°，则cos 90°=0，这时 c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2．
勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．
三、余弦定理的推论
问题5：利用余弦定理可以解决“已知三角形的两边和它们的夹角， 求第三边”的问题．然而，有时我们需要根据三角形的边长求
角．请思考：能否将余弦定理适当变形，用三条边表示角？
a2 b2 c2 2bc cos A
cos A b2 c2 a2 2bc
②进行恰当的向量运算： 对上式两边平方，得 c2=c·c=(a－b)·(a－b)=a·a+b·b－2a·b ③向量式化成几何式：
c2 a2 b2 2ab cos C
一、余弦定理的探究
问题2：上面第②步中怎么想到选用数量积运算的？三个步骤遵循 的是什么规则？ 问题3：如何用已知的边b，c和它们的夹角A表示第三边a？如何用 已知的边c ，a和它们的夹角B表示第三边b？
（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角； （2）已知三边，求三个角．
四、余弦定理及其推论的应用
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程 叫解三角形．
四、余弦定理及其推论的应用
问题7：你能解决教科书中的例5和例6吗？ 例5：在△ABC中，已知b= 60 cm，c= 34 cm，A=41°，解三角形
b2 a2 c2 2ac cos B
cos B c2 a2 b2 2ca
c2 a2 b2 2ab cosC
cos C a2 b2 c2 2ab
四、余弦定理及其推论的应用
问题6：利用余弦定理及其推论，可以解决哪几类解三角形问题？ 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
14
所以c=3
进而 cos B c2 a2 b2 9 49 64 1
2ca
237 7
利用计算器可得 B 98
五、课堂小结
问题8：请学生回答以下问题： 1．余弦定理是什么？ 2．如何用向量方法推导余弦定理？ 3．余弦定理的推论是什么？ 4．如何由余弦定理得到它的推论？ 5．运用余弦定理及其推论可以解决哪些解三角形的问题？
一、余弦定理的探究
在△ABC中，已知CB=a，CA=b，CB与CA的夹角为∠C， 求边c．
请同学们联系已经学过的知识，进行分组合作探究，寻求解 决方法．
一、余弦定理的探究
在△ABC中，已知CB=a，CA=b，CB与CA的夹角为∠C， 求边c．
用向量方法探索余弦定理可按如下步骤进行：
①把几何元素用向量表示：
四、余弦定理及其推论的应用
例6：在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足
，求B
（精确到1°）．
解：因为 sin C
百度文库
33 14
，且C为锐角。
所以 cosC 1 sin2 C 1 (3 3 )2 13 .
14 14
由余弦定理，得 c2 a2 b2 2abcosC 49 64 2 7 8 13 9
六、布置作业
作业： 教科书习题6.4第6，15，16题．
再见
余弦定理
一、余弦定理的探究
问题1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．这说明， 给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的．也就是说，三角形的 其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示．那么，表示的公式 是什么？ 明确数学问题：
在△ABC中，已知CB=a，CA=b，CB与CA的夹角为∠C， 求边c．
利用计算器，可得C≈106°． 所以B=180°-(A+C)≈180°-(41°+106°)=33°．
四、余弦定理及其推论的应用
问题7：你能解决教科书中的例5和例6吗？ 例6：在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足
（精确到1°）．
，求B
分析：由条件先求出cos C，再利用余弦定理及其推论可求出 B的值．
（角度精确到1°，边长精确到1 cm）． 解：根据余弦定理，得
a²=b²+c²-2bccosA=60²+34²-2×60×34×cos41° ≈1 676.78，
∴a≈41(cm)．
四、余弦定理及其推论的应用
例5：在△ABC中，已知b= 60 cm，c= 34 cm，A=41°，解三角形 （角度精确到1°，边长精确到1 cm）． 由余弦定理的推论，得
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
﹚
二、余弦定理与勾股定理的关系
问题4：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦 定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．你能说说这两 个定理之间的关系吗？
若在三角形ABC中，C=90°，则cos 90°=0，这时 c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2．
勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．
三、余弦定理的推论
问题5：利用余弦定理可以解决“已知三角形的两边和它们的夹角， 求第三边”的问题．然而，有时我们需要根据三角形的边长求
角．请思考：能否将余弦定理适当变形，用三条边表示角？
a2 b2 c2 2bc cos A
cos A b2 c2 a2 2bc