(完整版)整式的乘除与因式分解复习(附练习含答案)
(完整版)整式的乘法与因式分解考点练习(含答案)
整式的乘法与因式分解复习考点1 幂的运算1．下列计算正确的是( )A ．(a 2)3＝a 5B ．2a －a ＝2C ．(2a)2＝4aD ．a·a 3＝a 42．(铜仁中考)下列计算正确的是( )A ．a 2＋a 2＝2a 4B ．2a 2·a 3＝2a 6C ．3a －2a ＝1D ．(a 2)3＝a 63．计算：x 5·x 7＋x 6·(－x 3)2＋2(x 3)4.A. 124xB. 122xC. 12xD. 64x考点2 整式的乘法 4．下列运算正确的是( )A ．3a 2·a 3＝3a 6B ．5x 4－x 2＝4x 2C ．(2a 2)3·(－ab)＝－8a 7bD ．2x 2÷2x 2＝05．计算：(3x －1)(2x ＋1)＝________．A. 162-+x xB. 162--x xC. 1562-+x xD. 1562-+x x6．计算：(1)(－3x 2y)3·(－2xy 3)； (2)(34x 2y －12xy 2)(－4xy 2)． A. 636y x , 422323y x y x +- B. -636y x , 423323y x y x +-C. 6754y x ,423323y x y x +-D. -6754y x , 422323y x y x +-考点3 整式的除法7．计算8a 3÷(－2a)的结果是( )A ．4aB ．－4aC ．4a 2D ．－4a 28．若5a 3b m ÷25a n b 2＝252b 2，则m ＝____________，n ＝__________. 9．化简：(a 2b －2ab 2－b 3)÷b －(a －b)2.考点4 乘法公式10．下列关系式中，正确的是( )A ．(a ＋b)2＝a 2－2ab ＋b 2B ．(a －b)2＝a 2－b 2C ．(a ＋b)(－a ＋b)＝b 2－a 2D ．(a ＋b)(－a －b)＝a 2－b 211．已知(x ＋m)2＝x 2＋nx ＋36，则n 的值为( )A ．±6B ．±12C ．±18D ．±7212．计算：(1)(－2m ＋5)2； (2)(a ＋3)(a －3)(a 2＋9)； (3)(a －1)(a ＋1)－(a －1)2.考点5 因式分解13．(北海中考)下列因式分解正确的是( )A ．x 2－4＝(x ＋4)(x －4)B ．x 2＋2x ＋1＝x(x ＋2)＋1C ．3mx －6my ＝3m(x －6y)D ．2x ＋4＝2(x ＋2)14．多项式mx 2－m 与多项式x 2－2x ＋1的公因式是( )A ．x －1B ．x ＋1C ．x 2－1D ．(x －1)215．(黔西南中考)分解因式：4x 2＋8x ＋4＝________．16．若x －2y ＝－5，xy ＝－2，则2x 2y －4xy 2＝________．综合训练17．(威海中考)下列运算正确的是( )A ．(－3mn)2＝－6m 2n 2B ．4x 4＋2x 4＋x 4＝6x 4C ．(xy)2÷(－xy)＝－xyD ．(a －b)(－a －b)＝a 2－b 218．(毕节中考)下列因式分解正确的是( )A ．a 4b －6a 3b ＋9a 2b ＝a 2b(a 2－6a ＋9)B ．x 2－x ＋14＝(x －12)2 C ．x 2－2x ＋4＝(x －2)2D ．4x 2－y 2＝(4x ＋y)(4x －y)19．(大连中考)若a ＝49，b ＝109，则ab －9a 的值为________．20．(宁波中考)一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、2两种方式摆放，则图2的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是________(用a 、b 的代数式表示)[图1 图221．(绵阳中考)在实数范围内因式分解：x 2y －3y ＝________________．22．(崇左中考)4个数a ，b ，c ，d 排列成⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc.若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋3 x －3x －3 x ＋3＝12，则x ＝________． 23．计算：(1)5a 3b ·(－3b)2＋(－ab)(－6ab)2；(2)x(x 2＋3)＋x 2(x －3)－3x(x 2－x －1)．24．把下列各式因式分解：(1)2m(a－b)－3n(b－a)；(2)16x2－64；(3)－4a2＋24a－36.25先化简(a2b－2ab2－b3)÷b－(a＋b)(a－b)，然后对式子中a、b分别选择一个自己最喜欢的数代入求值．26．我们约定：a b＝10a÷10b，如43＝104÷103＝10.(1)试求123和104的值；(2)试求(215)×102的值．参考答案1．D2．D3.原式＝x 12＋x 6·x 6＋2x 12＝x 12＋x 12＋2x 12＝4x 12.4．C5.6x 2＋x －16.(1)原式＝－27x 6y 3×(－2xy 3)＝54x 7y 6.(2)原式＝34x 2y ·(－4xy 2)－12xy 2·(－4xy 2)＝－3x 3y 3＋2x 2y 4. 7.D8.4 39. 原式＝a 2－2ab －b 2－a 2＋2ab －b 2＝－2b 2.10. C11. B12. (1)原式＝4m 2－20m ＋25. (2)原式＝(a 2－9)(a 2＋9)＝a 4－81. (3)原式＝a 2－1－a 2＋2a －1＝2a －2.13. D14. A15.4(x ＋1)216.2017. C18. B19.4 90020．ab21.y(x －3)(x ＋3)22.123. (1)原式＝5a 3b ·9b 2＋(－ab)·36a 2b 2＝45a 3b 3－36a 3b 3＝9a 3b 3. (2)原式＝x 3＋3x ＋x 3－3x 2－3x 3＋3x 2＋3x ＝－x 3＋6x.24.(1)原式＝(a －b)(2m ＋3n)． (2)原式＝16(x ＋2)(x －2)． (3)原式＝－4(a －3)2.25.原式＝a 2－2ab －b 2－(a 2－b 2)＝a 2－2ab －b 2－a 2＋b 2＝－2ab.如选择一个喜欢的数为a ＝1，b ＝－1，则原式＝2.26.(1)123＝1012÷103＝109，104＝1010÷104＝106. (2)(215)×102＝(1021÷105)×102＝1018.。
整式的乘除与因式分解练习题及答案
第十一练：整式乘除和幂运算【练习1】 已知y x y x 11,200080,200025+==则等于 ． 【练习2】满足3002003)1(>-x 的x 的最小正整数为 ． 【练习3】 化简)2(2)2(2234++-n n n 得 ． 【练习4】 计算220032003])5[()04.0(-⨯得 ．【练习5】 4)(z y x ++的乘积展开式中数字系数的和是 ．【练习6】 若多项式7432+-x x 能表示成c x b x a ++++)1()1(2的形式，求a ，b ，c ．【练习7】 若=-+=-+=+-c b a c b a c b a 13125,3234,732则（ ）Ａ．３０ Ｂ．－３０ Ｃ．１５ Ｄ．－１５【练习8】 若=-+-=-+=++z y x z y x z y x 则,473,6452 ．【练习9】 如果代数式2,635-=-++x cx bx ax 当时的值是７，那么当2=x 时，该代数式的值是 ．【练习10】 多项式12+-x x 的最小值是 ．【练习1】下列各式得公因式是a得是（）A.ax＋ay＋5 B．3ma－6ma2 C．4a2＋10ab D．a2－2a＋ma 【练习2】－6xyz＋3xy2－9x2y的公因式是（）A.－3x B．3xz C．3yz D．－3xy【练习3】把多项式（3a－4b）（7a－8b）＋（11a－12b）（8b－7a）分解因式的结果是（）A．8（7a－8b）（a－b） B．2（7a－8b）2 C．8（7a－8b）（b－a）D．－2（7a－8b）【练习4】把（x－y）2－（y－x）分解因式为（）A．（x－y）（x－y－1） B．（y－x）（x－y－1）C．（y－x）（y－x－1） D．（y－x）（y－x＋1）【练习5】下列各个分解因式中正确的是（）A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c）B．（a－b）3－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y －1）D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a）【练习6】观察下列各式①2a＋b和a＋b，②5m（a－b）和－a＋b，③3（a＋b）和－a－b，④x2－y2和x2和y2。
第十四章 整式的乘法与因式分解复习题--解答题（含解析）
人教版八年级上14章整式的乘除与分解因式复习题（解答题）一．解答题1．（2018秋•雨花区校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果a c=b，则（a，b）=c．我们叫（a，b）为“雅对”．例如：因为23=8，所以（2，8）=3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3，3）+（3，5）=（3，15）成立．证明如下：设（3，3）=m，（3，5）=n，则3m=3，3n=5，故3m⋅3n=3m+n=3×5=15，则（3，15）=m+n，即（3，3）+（3，5）=（3，15）．（1）根据上述规定，填空：（2，4）=；（5，1）=；（3，27）=．（2）计算（5，2）+（5，7）=，并说明理由．（3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）=（2，3），对于任意自然数n都成立．2．（2018春•苏州期中）规定a*b=2a×2b，求：（1）求2*3；（2）若2*（x+1）=16，求x的值．3．（2018春•开福区校级期中）阅读材料：n个相同的因数a相乘，可记为a n，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若a n=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．根据以上材料，解决下列问题：（1）计算以下各对数的值：log24=，log216=，log264=；（2）根据（1）中的计算结果，写出log24，log216，log264满足的关系式；（3）根据（2）中的关系式及4，16，64满足的关系式猜想一般性结论：log a M+log a N=（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）；（4）根据幂的运算法则说明（3）中一般性结论的正确性．4．（2018春•苏州期中）若33×9m+4÷272m﹣1的值为729，求m的值．5．（2018春•利津县期末）若x m=16，x n=128，求x2m﹣n的值．6．（2018秋•安溪县期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a c=b，那么（a，b）=c．例如：因为23=8，所以（2，8）=3．（1）根据上述规定，填空：（5，125）=，（﹣2，4）=，（﹣2，﹣8）=；（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）=（3，4），他给出了如下的证明：设（3n，4n）=x，则（3n）x=4n，即（3x）n=4n∴3x=4，即（3，4）=x，∴（3n，4n）=（3，4）．请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．（4，5）+（4，6）=（4，30）7．（2018秋•松北区校级期中）（1）计算：﹣82018×（﹣0.125）2018（2）已知a m=6，a n=2，求a2m+3n的值．8．（2018•安庆一模）特殊两位数乘法的速算﹣﹣如果两个两位数的十位数字相同，个位数字相加为10，那么能立即说出这两个两位数的乘积．如果这两个两位数分别写作AB和AC（即十位数字为A，个位数字分别为B、C，B+C=10，A＞3），那么它们的乘积是一个4位数，前两位数字是A和（A+1）的乘积，后两位数字就是B和C的乘积．如：47×43=2021，61×69=4209．（1）请你直接写出83×87的值；（2）设这两个两位数的十位数字为x（x＞3），个位数字分别为y和z（y+z=10），通过计算验证这两个两位数的乘积为100x（x+1）+yz．（3）99991×99999=．9．（2017秋•武昌区期末）如图，某小区有一块长为4a米（a＞1），宽为（4a﹣2）米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为（2a+1）米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形用A型绿化方案，对正中间的长方形采用B型绿化方案．（1）用含a的代数式表示采用A型绿化方案的四个正方形边长是米，B型绿化方案的长方形的另一边长是米．（2）请你判断使用A型，B型绿化方案的面积哪个少？并说明理由．（3）若使用A型，B型绿化方案的总造价相同，均为1350元，每平方米造价高的比低的多元，求a的值．10．（2018春•三原县期末）如图所示，长方形ABCD是“阳光小区”内一块空地，已知AB=（2a+6b）米，BC=（8a+4b）米．（1）该长方形ABCD的面积是多少平方米？（2）若E为AB边的中点，DF=BC，现打算在阴影部分种植一片草坪，这片草坪的面积是多少平方米？11．（2018秋•开福区校级月考）如图1，长方形的两边长分别为m+3，m+13；如图2的长方形的两边长分别为m+5，m+7．（其中m为正整数）（1）写出两个长方形的面积S1，S2，并比较S1，S2的大小；（2）现有一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等．试探究该正方形的面积与长方形的面积的差是否是一个常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由．（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于S1，S2之间（不包括S1，S2）且面积为整数，这样的整数值有且只有19个，求m的值．12．（2018秋•海安县期中）若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，求p、q的值；13．（2018秋•宜宾县期中）小明在计算一个多项式乘﹣2x2+x﹣1时，因看错运算符号，变成了加上﹣2x2+x﹣1，得到的结果为4x2﹣2x﹣1，那么正确的计算结果为多少？14．（2018秋•德惠市校级月考）已知（x+a）（x2﹣x+c）的乘积中不含x2和x项，求a，c的值．15．（2018秋•临清市校级月考）计算：（1）（3a+b2）（b2﹣3a）（2）（m﹣2n）216．（2018秋•龙凤区校级月考）利用乘法公式计算：（1）5002﹣499×501．（2）50×4917．（2018秋•武邑县校级月考）化简：（2x+3y）2﹣2（2x+3y）（2x﹣3y）+（2x﹣3y）218．（2018秋•襄汾县期中）已知（x+y）2=9，（x﹣y）2=25，分别求x2+y2和xy的值．19．（2018秋•德惠市校级月考）已知a+b=2，a2+b2=10，求：（1）ab的值．（2）a﹣b的值．20．（2018春•福田区校级期末）乘法公式的探究及应用：（1）如图，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；（2）如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是（写成多项式乘法的形式）；（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用式子表达）；（4）运用你所得到的公式，计算下列式子：（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）21．（2018春•常熟市期末）（1）如图1，阴影部分的面积是．（写成平方差的形式）（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是．（写成多项式相乘的积形式）（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式：．（4）应用公式计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．22．（2018秋•思明区校级期中）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a＞b）连结AF、CF、AC，若a+b=10，ab=20，求阴影部分的面积．23．（2018秋•路南区期中）已知图甲是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图甲中虚线用剪刀均匀分成四个小长方形，然后按图乙的形状拼成一个正方形．（1）请将图乙中阴影部分正方形的边长用含a、b的代数式表示；（2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积S；（3）观察图乙，并结合（2）中的结论，写出下列三个整式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab 之间的等式；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：当a+b=8，ab=12时，求（a﹣b）2的值．24．（2018春•大田县期中）乘法公式的探究及应用．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B 种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1：；方法2：（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b=5，a2+b2=11，求ab的值；②已知（2018﹣a）2+（a﹣2017）2=5，求（2018﹣a）（a﹣2017）的值．25．（2018春•杏花岭区校级期中）已知图甲是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均剪成四个小长方形，然后拼成如图乙所示的一个大正方形．（1）你认为图乙中的阴影部分的正方形的边长=；（2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积：方法一：方法二：（3）观察图乙，请你写出下列代数式之间的等量关系：（m+n）2、（m﹣n）2、mn．（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=8，ab=7，求a﹣b的值．26．（2018春•埇桥区期末）（1）因式分解：9（m+n）2﹣（m﹣n）2（2）已知：x+y=1，求x2+xy+y2的值．27．（2018春•沧县期末）请给4x2+1添上一个单项式，使新得到的多项式能运用完全平方公式分解因式．请写出两种情况，并对其分别进行因式分解．28．（2018春•宿豫区期中）把下列各式因式分解：（1）a4﹣1（2）（x+2）（x+4）+x2﹣429．（2017秋•前郭县期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程解：设x2﹣4x=y，原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（填序号）．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．30．（2018春•郓城县期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y，原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）=y2+8y+16 （第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．31．（2018春•诸城市期末）因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3（2）4ax2﹣48ax+128a；（3）（x2+16y2）2﹣64x2y232．（2018春•雨城区校级期中）分解因式：（1）a2（a﹣b）+b2（b﹣a）（2）a2﹣4ab+4b2﹣2a+4b33．（2018春•市中区期末）先阅读下面的村料，再分解因式．要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得am+an+bm+bn=a（m+n）+b（m+n）．这时，由于a（m+n）+b（m+n）中又有公困式（m+n），于是可提公因式（m+n），从而得到（m+n）（a+b），因此有am+an+bm+bn=（am+an）+（bm+bn）=a（m+n）+b（m+n）=（m+n）（a+b）．这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．请用上面材料中提供的方法因式分解：（1）ab﹣ac+bc﹣b2=a（b﹣c）﹣b（b﹣c）（请你完成分解因式下面的过程）=（2）m2﹣mn+mx﹣nx；（3）x2y2﹣2x2y﹣4y+8，34．（2018春•揭阳期末）甲、乙两个同学分解因式x2﹣4x+m+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），求a+b的值．35．（2018春•迁安市期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y=（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）=（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc=0，判断△ABC的形状．36．（2018春•滦县期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，请据此回答下列问题；（1）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：．（2）请模仿上面的方法尝试对多项式（m2﹣2m）（m2﹣2m+2）+1进行因式分解．37．（2018春•山亭区期末）解下列各题：（1）分解因式：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；（2）甲，乙两同学分解因式x2+mx+n，甲看错了n，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了m，分解结果为（x+1）（x+9），请分析一下m，n的值及正确的分解过程．38．（2018春•常熟市期末）将下列各式分解因式（1）3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）；（2）a2﹣4a﹣12；（3）81x4﹣72x2y2+16y4人教版八年级上14章整式的乘除与分解因式复习题（解答题）参考答案与试题解析一．解答题1．（2018秋•雨花区校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果a c=b，则（a，b）=c．我们叫（a，b）为“雅对”．例如：因为23=8，所以（2，8）=3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3，3）+（3，5）=（3，15）成立．证明如下：设（3，3）=m，（3，5）=n，则3m=3，3n=5，故3m⋅3n=3m+n=3×5=15，则（3，15）=m+n，即（3，3）+（3，5）=（3，15）．（1）根据上述规定，填空：（2，4）=2；（5，1）=0；（3，27）=3．（2）计算（5，2）+（5，7）=（5，14），并说明理由．（3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）=（2，3），对于任意自然数n都成立．【分析】（1）根据上述规定即可得到结论；（2）设（5，2）=x，（5，7）=y，根据同底数幂的乘法法则即可求解；（3）设（2n，3n）=x，于是得到（2n）x=3n，即（2x）n=3n根据“雅对”定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵22=4，∴（2，4）=2；∵50=1，∴（5，1）=0；∵33=27，∴（3，27）=3；故答案为：2，0，3；（2）设（5，2）=x，（5，7）=y，则5x=2，5y=7，∴5x+y=5x•5y=14，∴（5，14）=x+y，∴（5，2）+（5，7）=（5，14），故答案为：（5，14）；（3）设（2n，3n）=x，则（2n）x=3n，即（2x）n=3n所以2x=3，即（2，3）=x，所以（2n，3n）=（2，3）．2．（2018春•苏州期中）规定a*b=2a×2b，求：（1）求2*3；（2）若2*（x+1）=16，求x的值．【分析】（1）直接利用已知a*b=2a×2b，将原式变形得出答案；（2）直接利用已知得出等式求出答案．【解答】解：（1）∵a*b=2a×2b，∴2*3=22×23=4×8=32；（2）∵2*（x+1）=16，∴22×2x+1=24，则2+x+1=4，解得：x=1．3．（2018春•开福区校级期中）阅读材料：n个相同的因数a相乘，可记为a n，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若a n=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．根据以上材料，解决下列问题：（1）计算以下各对数的值：log24=2，log216=4，log264=6；（2）根据（1）中的计算结果，写出log24，log216，log264满足的关系式；（3）根据（2）中的关系式及4，16，64满足的关系式猜想一般性结论：log a M+log a N=log a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）；（4）根据幂的运算法则说明（3）中一般性结论的正确性．【分析】（1）根据a n=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b （即log a b=n），进而得出答案；（2）利用（1）中所求进而得出答案；（3）利用（2）中所求规律进而得出答案；（4）利用发现的规律进而分析得出答案．【解答】解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；故答案为：2，4，6；（2）由（1）得：log2 4+log2 16=log2 64；（3）由（2）得：log a M+log a N=log a MN；故答案为：log a MN；（4）记log a M=m，log a N=n，则M=a m，N=a n，所以MN=a m•a n=a m+n，所以log a MN=log a a m+n=m+n，所以log a M+log a N=log a MN．4．（2018春•苏州期中）若33×9m+4÷272m﹣1的值为729，求m的值．【分析】直接利用幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则将原式变形进而得出答案．【解答】解：∵33×9m+4÷272m﹣1的值为729，∴33×32m+8÷36m﹣3=36，∴3+2m+8﹣（6m﹣3）=6，解得：m=2．5．（2018春•利津县期末）若x m=16，x n=128，求x2m﹣n的值．【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则将原式变形得出答案．【解答】解：∵x m=16，x n=128，∴x2m﹣n=（x m）2÷x n=162÷128=2．6．（2018秋•安溪县期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a c=b，那么（a，b）=c．例如：因为23=8，所以（2，8）=3．（1）根据上述规定，填空：（5，125）=3，（﹣2，4）=2，（﹣2，﹣8）=3；（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）=（3，4），他给出了如下的证明：设（3n，4n）=x，则（3n）x=4n，即（3x）n=4n∴3x=4，即（3，4）=x，∴（3n，4n）=（3，4）．请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．（4，5）+（4，6）=（4，30）【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）根据积的乘方法则，结合定义计算．【解答】解：（1）53=125，（5，125）=3，（﹣2）2=4，（﹣2，4）=2，（﹣2）3=﹣8，（﹣2，﹣8）=3，故答案为：3；2；3；（2）设（4，5）=x，（4，6）=y，（4，30）=z，则4x=5，4y=6，4z=30，4x×4y=4x+y=30，∴x+y=z，即（4，5）+（4，6）=（4，30）．7．（2018秋•松北区校级期中）（1）计算：﹣82018×（﹣0.125）2018（2）已知a m=6，a n=2，求a2m+3n的值．【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则计算得出答案；（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形得出答案．【解答】解：（1）﹣82018×（﹣0.125）2018=﹣（8×0.125）2018=﹣1；（2）∵a m=6，a n=2，∴a2m+3n=（a m）2×（a n）3=36×8=288．8．（2018•安庆一模）特殊两位数乘法的速算﹣﹣如果两个两位数的十位数字相同，个位数字相加为10，那么能立即说出这两个两位数的乘积．如果这两个两位数分别写作AB和AC（即十位数字为A，个位数字分别为B、C，B+C=10，A＞3），那么它们的乘积是一个4位数，前两位数字是A和（A+1）的乘积，后两位数字就是B和C的乘积．如：47×43=2021，61×69=4209．（1）请你直接写出83×87的值；（2）设这两个两位数的十位数字为x（x＞3），个位数字分别为y和z（y+z=10），通过计算验证这两个两位数的乘积为100x（x+1）+yz．（3）99991×99999=9999000009．【分析】（1）根据“前两位数字是A和（A+1）的乘积，后两位数字就是B和C的乘积”进行计算；（2）这两个两位数的十位数字为x（x＞3），个位数字分别为y和z，则由题知y+z=10，利用多项式乘多项式的计算法则解答；（3）利用1×9=9，91×99=909，991×999=99009…找出规律解答．【解答】解：（1）83和87满足题中的条件，即十位数都是8，8＞3，且个位数字分别是3和7，之和为10，那么它们的乘积是一个4位数，前两位数字是8和9的乘积，后两位数字就是3和7的乘积，因而，答案为：7221；（2）这两个两位数的十位数字为x（x＞3），个位数字分别为y和z，则由题知y+z=10，因而有：（10x+y）（10x+z）=100x2+10xz+10xy+yz=100x2+10x（y+z）+yz=100x2+100x+yz=100x（x+1）+yz得证；（3）1×9=991×99=909991×999=99009…99991×99999=9999000009．故答案是：9999000009．9．（2017秋•武昌区期末）如图，某小区有一块长为4a米（a＞1），宽为（4a﹣2）米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为（2a+1）米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形用A型绿化方案，对正中间的长方形采用B型绿化方案．（1）用含a的代数式表示采用A型绿化方案的四个正方形边长是（a﹣）米，B 型绿化方案的长方形的另一边长是（2a﹣1）米．（2）请你判断使用A型，B型绿化方案的面积哪个少？并说明理由．（3）若使用A型，B型绿化方案的总造价相同，均为1350元，每平方米造价高的比低的多元，求a的值．【分析】（1）根据题意表示出A、B型绿化方案的边长或另一边长即可；（2）分别表示出A、B型的面积，利用作差法判断大小即可；（3）根据题意列出分式方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：（1）A型绿化方案的四个正方形边长是（a﹣）米，B型绿化方案的长方形的另一边长是（2a﹣1）米；故答案为：（a﹣）；（2a﹣1）；（2）记A型面积为S A，B型面积为S B，根据题意得：S A=4（a﹣）2=4a2﹣4a+1，S B=（2a+1）（2a﹣1）=4a2﹣1，∴S A﹣S B=﹣4a+2，∵4a﹣2＞0，∴﹣4a+2＜0，即S A﹣S B＜0，则S A＜S B；（3）由（2）得S A＜S B，∴﹣=，即﹣=，解得：a=2，经检验a=2是分式方程的解．10．（2018春•三原县期末）如图所示，长方形ABCD是“阳光小区”内一块空地，已知AB=（2a+6b）米，BC=（8a+4b）米．（1）该长方形ABCD的面积是多少平方米？（2）若E为AB边的中点，DF=BC，现打算在阴影部分种植一片草坪，这片草坪的面积是多少平方米？【分析】（1）根据长方形的面积公式，多项式与多项式相乘的法则计算；（2）根据题意分别求出AE，AF，根据多项式与多项式相乘的法则计算．【解答】解：（1）长方形ABCD的面积=AB×BC=（2a+6b）（8a+4b）=16a2+56ab+24b2；（2）由题意得，AF=AD﹣DF=BC﹣BC=（8a+4b）﹣（8a+4b）=（6a+3b），AE=（2a+6b）=a+3b，则草坪的面积=×AE×AF=×（a+3b）（6a+3b）=3a2+ab+b2．11．（2018秋•开福区校级月考）如图1，长方形的两边长分别为m+3，m+13；如图2的长方形的两边长分别为m+5，m+7．（其中m为正整数）（1）写出两个长方形的面积S1，S2，并比较S1，S2的大小；（2）现有一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等．试探究该正方形的面积与长方形的面积的差是否是一个常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由．（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于S1，S2之间（不包括S1，S2）且面积为整数，这样的整数值有且只有19个，求m的值．【分析】（1）利用矩形的面积公式计算即可；（2）求出正方形的面积即可解决问题；（3）构建不等式即可解决问题；【解答】解：（1）∵S1=（m+13）（m+3）=m2+16m+39，S2=（m+7）（m+5）=m2+12m+35，∴S1﹣S2=4m+4＞0，∴S1＞S2．（2）∵一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等，∴正方形的边长为m+8，∴正方形的面积=m2+16m+64，∴m2+16m+64﹣（m2+16m+39）=25，∴该正方形的面积与长方形的面积的差是一个常数；（3）由（1）得，S1﹣S2=4m+4，∴当19＜4m+4≤20时，∴＜m≤4，∵m为正整数，m=4．12．（2018秋•海安县期中）若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，求p、q的值；【分析】利用多项式乘多项式法则及合并同类项法则化简式子，找出x项与x3令其系数等于0求解．【解答】解：（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）=x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p﹣）x2+（qp+1）x+q，∵积中不含x项与x3项，∴p﹣3=0，qp+1=0，∴p=3，q=﹣．13．（2018秋•宜宾县期中）小明在计算一个多项式乘﹣2x2+x﹣1时，因看错运算符号，变成了加上﹣2x2+x﹣1，得到的结果为4x2﹣2x﹣1，那么正确的计算结果为多少？【分析】根据整式的加减混合运算求出原多项式，根据多项式乘多项式法则求出正确的结果．【解答】解：原多项式为：（4x2﹣2x﹣1）﹣（﹣2x2+x﹣1）=4x2﹣2x﹣1+2x2﹣x+1=6x2﹣3x（6x2﹣3x）（﹣2x2+x﹣1）=﹣12x4+6x3﹣6x2+6x3﹣3x2+3x=﹣12x4+12x3﹣9x2+3x．14．（2018秋•德惠市校级月考）已知（x+a）（x2﹣x+c）的乘积中不含x2和x项，求a，c的值．【分析】根据多项式乘多项式的法则计算，让x2项和x项的系数为0，即可求得a，c的值．【解答】解：（x+a）（x2﹣x+c）=x3﹣x2+cx+ax2﹣ax+ac=x3+（a﹣1）x2+（c﹣a）x+ac，∵（x+a）（x2﹣x+c）的乘积中不含x2和x项，∴a﹣1=0且c﹣a=0，则a=c=1．15．（2018秋•临清市校级月考）计算：（1）（3a+b2）（b2﹣3a）（2）（m﹣2n）2【分析】（1）根据平方差公式求出即可；（2）根据完全平方公式求出即可．【解答】解：（1）（3a+b2）（b2﹣3a）=（b2）2﹣（3a）2=b4﹣9a2；（2）（m﹣2n）2=m2﹣4mn+4n2．16．（2018秋•龙凤区校级月考）利用乘法公式计算：（1）5002﹣499×501．（2）50×49【分析】（1）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值；（2）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．【解答】解：（1）原式=5002﹣（500﹣1）×（500+1）=5002﹣（5002﹣1）=5002﹣5002+1=1；（2）原式=（50+）×（50﹣）=2500﹣=2499．17．（2018秋•武邑县校级月考）化简：（2x+3y）2﹣2（2x+3y）（2x﹣3y）+（2x﹣3y）2【分析】先根据完全平方公式和平方差公式展开，再去括号、合并同类项即可得．【解答】解：原式=4x2+12xy+9y2﹣2（4x2﹣9y2）+4x2﹣12xy+9y2=4x2+12xy+9y2﹣8x2+18y2+4x2﹣12xy+9y2=36y2．18．（2018秋•襄汾县期中）已知（x+y）2=9，（x﹣y）2=25，分别求x2+y2和xy的值．【分析】直接利用完全平方公式将原式变形，进而得出答案．【解答】解：∵（x+y）2=9，（x﹣y）2=25，∴两式相加，得（x+y）2+（x﹣y）2=2x2+2y2=34，则x2+y2=17；两式相减，得（x+y）2﹣（x﹣y）2=4xy=﹣16，则xy=﹣4．19．（2018秋•德惠市校级月考）已知a+b=2，a2+b2=10，求：（1）ab的值．（2）a﹣b的值．【分析】（1）根据（a+b）2=a2+b2+2ab求出即可；（2）先求出（a﹣b）2的值，再开方即可．【解答】解：（1）∵a+b=2，a2+b2=10，∴（a+b）2=4，∴a2+b2+2ab=4，∴10+2ab=4，∴ab=﹣3；（2）∵ab=﹣3，a2+b2=10，∴（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=10﹣2×（﹣3）=16，∴a﹣b==±4．20．（2018春•福田区校级期末）乘法公式的探究及应用：（1）如图，可以求出阴影部分的面积是a2﹣b2（写成两数平方差的形式）；（2）如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是a﹣b，长是a+b，面积是（a+b）（a﹣b）（写成多项式乘法的形式）；（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2（用式子表达）；（4）运用你所得到的公式，计算下列式子：（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）【分析】（1）由图形的面积关系即可得出结论；（2）由图形即可得到长方形的长，宽以及面积；（3）依据两图的阴影部分面积相等，可以得到乘法公式；（4）依据平方差公式以及完全平方公式，即可得到计算结果．【解答】解：（1）由图可得，阴影部分的面积=a2﹣b2；故答案为：a2﹣b2；（2）由图可得，矩形的宽是a﹣b，长是a+b，面积是（a+b）（a﹣b）；故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；（3）依据两图的阴影部分面积相等，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；故答案为：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（4）（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）=（2m）2﹣（n﹣p）2=4m2﹣（n2﹣2np+p2）=4m2﹣n2+2np﹣p2．21．（2018春•常熟市期末）（1）如图1，阴影部分的面积是a2﹣b2．（写成平方差的形式）（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是（a﹣b）（a+b）．（写成多项式相乘的积形式）（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式：a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）．（4）应用公式计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【分析】（1）根据面积的和差，可得答案；（2）根据矩形的面积公式，可得答案；（3）根据图形割补法，面积不变，可得答案；（4）根据平方差公式计算即可．【解答】解：（1）如图（1）所示，阴影部分的面积是a2﹣b2，故答案为：a2﹣b2；（2）根据题意知该长方形的长为a+b、宽为a﹣b，则其面积为（a+b）（a﹣b），故答案为：（a+b）（a﹣b）；（3）由阴影部分面积相等知a2﹣b2=（a﹣b）（a+b），故答案为：a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）；（4）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）=××××…××=×=．22．（2018秋•思明区校级期中）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a＞b）连结AF、CF、AC，若a+b=10，ab=20，求阴影部分的面积．【分析】根据完全平方公式即可求出答案．【解答】解：∵a2+b2=（a+b）2﹣2ab=100﹣40=60，∴阴影部分的面积=a2+b2﹣（a+b）•b﹣a2=60﹣×ab﹣b2﹣a2=60﹣×20﹣×60=60﹣10﹣30=20．23．（2018秋•路南区期中）已知图甲是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图甲中虚线用剪刀均匀分成四个小长方形，然后按图乙的形状拼成一个正方形．（1）请将图乙中阴影部分正方形的边长用含a、b的代数式表示；（2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积S；（3）观察图乙，并结合（2）中的结论，写出下列三个整式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab 之间的等式；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：当a+b=8，ab=12时，求（a﹣b）2的值．【分析】（1）根据图形即可得出图乙中阴影部分小正方形的边长为a﹣b；（2）直接利用正方形的面积公式得到图中阴影部分的面积为（a﹣b）2；也可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图中阴影部分的面积为（a+b）2﹣4ab；（3）根据图中阴影部分的面积是定值得到（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系式；（4）利用（3）中的公式得到（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，进而得出（a﹣b）2的值．【解答】解：（1）图乙中小正方形的边长为a﹣b．（2）方法①：S=（a﹣b）2；方法②：S=（a+b）2﹣4ab；（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab；（4）由（3）得：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，∵a+b=8，ab=12，∴（a﹣b）2=82﹣4×12=64﹣48=16．24．（2018春•大田县期中）乘法公式的探究及应用．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B 种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1：（a+b）2；方法2：a2+b2+2ab（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．（a+b）2=a2+2ab+b2（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b=5，a2+b2=11，求ab的值；②已知（2018﹣a）2+（a﹣2017）2=5，求（2018﹣a）（a﹣2017）的值．【分析】（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；（3）画出长为a+2b，宽为a+b的长方形，即可验证：（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2；（4）①依据a+b=5，可得（a+b）2=25，进而得出a2+b2+2ab=25，再根据a2+b2=11，即可得到ab=7；②设2018﹣a=x，a﹣2017=y，即可得到x+y=1，x2+y2=5，依据（x+y）2=x2+2xy+y2，即可得出xy==﹣2，进而得到（2018﹣a）（a﹣2017）=﹣2．【解答】解：（1）图2大正方形的面积=（a+b）2图2大正方形的面积=a2+b2+2ab故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；（2）由题可得（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系为：（a+b）2=a2+2ab+b2故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；（3）如图所示，（4）①∵a+b=5，∴（a+b）2=25，∴a2+b2+2ab=25，又∵a2+b2=11，∴ab=7；②设2018﹣a=x，a﹣2017=y，则x+y=1，∵（2018﹣a）2+（a﹣2017）2=5，∴x2+y2=5，∵（x+y）2=x2+2xy+y2，∴xy==﹣2，即（2018﹣a）（a﹣2017）=﹣2．25．（2018春•杏花岭区校级期中）已知图甲是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均剪成四个小长方形，然后拼成如图乙所示的一个大正方形．（1）你认为图乙中的阴影部分的正方形的边长=m﹣n；（2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积：方法一：（m﹣n）2方法二：（m+n）2﹣4mn（3）观察图乙，请你写出下列代数式之间的等量关系：（m+n）2、（m﹣n）2、mn（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn．（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=8，ab=7，求a﹣b的值．【分析】（1）根据图乙中的阴影部分的正方形的边长等于小长方形的长减去宽进行判断；（2）图乙中阴影部分的面积既可以用边长的平方进行计算，也可以用大正方形的面积减去四个小长方形的面积进行计算；（3）根据（m﹣n）2和（m+n）2﹣4mn表示同一个图形的面积进行判断；（4）根据（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，进行计算即可得到a﹣b的值．【解答】解：（1）由题可得，图乙中的阴影部分的正方形的边长等于m﹣n；故答案为：m﹣n；（2）方法一：图乙中阴影部分的面积=（m﹣n）2方法二：图乙中阴影部分的面积=（m+n）2﹣4mn；故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；（3）∵（m﹣n）2和（m+n）2﹣4mn表示同一个图形的面积；∴（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；故答案为：（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（4）∵（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，而a+b=8，ab=7，∴（a﹣b）2=82﹣4×7=64﹣28=36，∴a﹣b=±6．26．（2018春•埇桥区期末）（1）因式分解：9（m+n）2﹣（m﹣n）2（2）已知：x+y=1，求x2+xy+y2的值．【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，进而把已知代入求出答案．【解答】解：（1）9（m+n）2﹣（m﹣n）2=[3（m+n）+（m﹣n）][3（m+n）﹣（m﹣n）]=（4m+2n）（2m+4n）=4（2m+n）（m+2n）；（2）x2+xy+y2=（x2+2xy+y2）=（x+y）2，当x+y=1时，原式=×12=．27．（2018春•沧县期末）请给4x2+1添上一个单项式，使新得到的多项式能运用完全平方公式分解因式．请写出两种情况，并对其分别进行因式分解．【分析】添加4x或﹣4x，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：添加4x，得4x2+4x+1=（2x+1）2，添加﹣4x，得4x2﹣4x+1=（2x﹣1）2．28．（2018春•宿豫区期中）把下列各式因式分解：（1）a4﹣1（2）（x+2）（x+4）+x2﹣4【分析】（1）直接利用平方差公式计算得出答案；（2）直接将原式分解因式进而提取公因式得出答案．【解答】解：（1）a4﹣1=（a2+1）（a2﹣1）=（a2+1）（a+1）（a﹣1）；（2）（x+2）（x+4）+x2﹣4=（x+2）（x+4）+（x+2）（x﹣2）=（x+2）（2x+2）=2（x+2）（x+1）．29．（2017秋•前郭县期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程解：设x2﹣4x=y，原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的C（填序号）．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？否．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果（x ﹣2）4．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；（3）将（x2﹣2x）看作整体进而分解因式即可．【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；（2）这个结果没有分解到最后，原式=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4；故答案为：否，（x﹣2）4；（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1=（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1=（x2﹣2x+1）2=（x﹣1）4．30．（2018春•郓城县期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y，原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）。
整式的乘除及因式分解单元复习
将单项式的每一项分别与多项式的每一项相乘，合并同类项 。
多项式乘多项式
定义
将两个多项式相乘，得到一个新的多 项式。
方法
根据分配律，将一个多项式的每一项 与另一个多项式的每一项相乘，再合 并同类项。
乘法公式
01
02
03
04
平方差公式
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
完全平方公式
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
题目
计算：$frac{a^6}{a^{-3}}$
答案
$a^{6+3} = a^9$
解析
利用同底数幂的除法法则，$frac{a^6}{a^{-3}} = a^{6+3} = a^9$。
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多项式除以多项式
除法运算
将多项式的每一项分别除以被除式的每一项，再将商相加。
举例
$(x^3 + 2x^2 - x) div (x^2 - 1) = frac{x^3}{x^2} + frac{2x^2}{x^2} - frac{x}{x^2} = x + 2 - frac{1}{x}$。
03 因式分解
VS
详细描述
提公因式法是指从多项式的每一项中提取 公因子，从而将多项式化成几个整式的积 的形式。公因子必须是各项系数的公约数 以及相同字母的最低次幂的乘积。
公式法
总结词
掌握公式法能够更快速地进行因式分解。
详细描述
公式法是指利用平方差公式、完全平方公式 等数学公式进行因式分解的方法。这些公式 可以直接应用于多项式，简化因式分解的过 程。
整式的乘除与因式分解综合练习题含答案
整式的乘除与因式分解综合练习题一、选择题1．下列计算中，运算正确的有几个（ ）(1) a 5+a 5=a 10(2) (a+b)3=a 3+b 3(3) (-a+b)(-a-b)=a 2-b 2(4) (a-b)3= -(b-a)3A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个2．当a =-1时，代数式(a +1)2+ a (a +3)的值等于( )A.-4B.4C.-2D.23、下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）A 、B 、C 、D 、4．若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m 的值等于( )A.3B.-5C.7.D.7或-15．若，则的值为 （ ） A ． B ．5 C ．D ．26、计算：1.992－1.98×1.99+0.992得（ ）A 、0B 、1C 、8.8804D 、3.9601))((b a b a +--))((b a b a ---))((c b a c b a +---+-))((b a b a -+-7、(x 2+px+8)(x 2-3x+q)乘积中不含x 2项和x 3项,则p,q 的值 ( )A 、p=0,q=0B 、p=3,q=1C 、p=–3,–9D 、p=–3,q=18．如果一个单项式与的积为,则这个单项式为（ ） A. B. C. D.9、对于任何整数，多项式都能（ ）A 、被8整除B 、被整除C 、被－1整除D 、被（2-1）整除10．已知,,则与的值分别是 （ ）A. 4,1B. 2,C.5,1D. 10,二、填空题11、(1)化简：a 3·a 2b=12、把边长为12.75cm 的正方形中，挖去一个边长为7.25cm 的小正方形，则剩下的面积为 。
13．已知31=-a a ，则221a a + 的值等于 。
14、有一串单项式：……，（1）第2006个单项式是 ；（2）第（n+1）个单项式是 ．三、解答题。
m 9)54(2-+m m m m 234,2,3,4,x x x x --192019,20x x -15、化简(1)3x2y·(-2xy3)； (2)2a2(3a2-5b)；(3)(-2a2)(3a b2-5a b3). (4)(5x+2y)(3x-2y).1)2009 （5）(3y+2)(y-4)-3(y-2)(y-3)；（6）(-3)2008·(316、因式分解(1)xy+a y-by； (2)3x(a-b)-2y(b-a)；(3)m2-6m+9；(4) 4x2-9y2(5) x4-1； (6) x2-7x+10；17、先化简，再求值(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)，其中a=2， b=-1 18.已知x-y=1,xy=3，求x3y-2x2y2+xy3的值.19、如图是L 形钢条截面，试写出它的面积公式。
八年级上册数学整式的乘除与因式分解精选练习题及答案
整式的乘除与因式分解精选练习题（一）一、填空题（每题2分，共32分）1．－x2·（－x）3·（－x）2＝__________．2．分解因式：4mx+6my=_________．3．___ ____．4．_________；4101×0.2599＝__________．5．用科学记数法表示－0.0000308＝___________．6．①a2－4a+4，②a2+a+，③4a2－a+，•④4a2+4a+1，•以上各式中属于完全平方式的有______（填序号）．7．（4a2－b2）÷（b－2a）=________．8．若x＋y＝8，x2y2＝4，则x2＋y2＝_________．9．计算：832+83×34+172=________．10．．11．已知．12．代数式4x2＋3mx＋9是完全平方式，则m＝___________．13．若，则，．14．已知正方形的面积是（x>0，y>0），利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式．15．观察下列算式：32—12＝8，52—32＝16，72—52＝24，92—72＝32，…，请将你发现的规律用式子表示出来：____________________________．16．已知，那么_______．二、解答题（共68分）17．（12分）计算：（1）（－3xy2）3·（x3y）2；（2）4a2x2·（－a4x3y3）÷（－a5xy2）；（3）；（4）．18．（12分）因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）．19．（4分）解方程：．20．（4分）长方形纸片的长是15㎝，长宽上各剪去两个宽为3㎝的长条，剩下的面积是原面积的．求原面积．21．（4分）已知x2＋x－1＝0，求x3＋2x2＋3的值．22．（4分）已知，求的值．3．（4分）给出三个多项式：，，4．（4分）已知，求的值．6．（4分）已知，试判断此三角形的形状．答案一、填空题1．x7 2．3．4．5．6．①②④7．8．12 9．10000 10．11．2 12．13．14． 15． 16．65二、解答题17．（1）－x9y8；（2）ax4y；（3）；（4）18．（1）；（2）；（3）；（4）19．3 20．180cm21．4 22．4 23．略24．7 25． 26．等边三角形。
整式的乘法与因式分解习题带答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版Array第十四章、整式乘除与因式分解14.1 整式的乘法（1）(－3x)2(x＋1)(x＋3)＋4x(x－1)(x2＋x＋1)，其中x=－1；解：原式=9x2(x2＋3x＋x＋3)＋4x(x3＋x2＋x－x2－x－1)=9x2(x2＋4x＋3)＋4x(x3－1)=9x4＋36x3＋27x2＋4x4－4x=13x4＋36x3＋27x2－4x当x=－1时原式=13×(－1)4＋36×(－1)3＋27×(－1)2－4×(－1)=13－36＋27＋4=8（2）y n(y n＋3y－2)－3(3y n＋1－4y n)，其中y=－2，n=2．解：原式=y2n＋3y n＋1－2y n－9y n＋1＋12y n=y2n－6y n＋1＋10y n当y=－2，n=2时原式=(－2)2×2－6×(－2)2＋1＋10×(－2)2=16＋48＋40=10415、已知不论x、y为何值时(x＋my)(x＋ny)=x2＋2xy－8y2恒成立.求(m＋n)mn的值.解：x2＋nxy＋mxy＋mny2＝x2＋2xy－8y2x2＋(m＋n)xy＋mny2＝x2＋2xy－8y2∴m＋n＝2，mn＝－8∴(m＋n)mn＝2×(－8)＝－166、已知31=+a a，则221a a +＝（ B ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．117、如果x 2＋kx ＋81是一个完全平方式，则k 的值是（ D ）A ．9B ．－9C ．±9D ．±188、下列算式中不正确的有（ C ）①(3x 3－5)(3x 3＋5)＝9x 9－25②(a ＋b ＋c ＋d)(a ＋b －c －d)＝(a ＋b)2－(c ＋d)2③22)31(5032493150-=⨯ ④2(2a －b)2·(4a ＋2b)2＝(4a －2b)2(4a －2b)2＝(16a 2－4b 2)2A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9、代数式2)(2y x +与代数式2)(2y x -的差是（ A ） A ．xy B ．2xy C ．2xy D ．0 10、已知m 2＋n 2－6m ＋10n ＋34＝0，则m ＋n 的值是（ A ）A ．－2B ．2C ．8D ．－8二、解答题11、计算下列各题：(1)(2a ＋3b)(4a ＋5b)(2a －3b)(5b －4a)(2)(x ＋y)(x －y)＋(y －z)(y ＋z)＋(z －x)(z ＋x);(3)(3m 2＋5)(－3m 2＋5)－m 2(7m ＋8)(7m －8)－(8m)2(1) 解：原式＝(2a ＋3b)(2a －3b)(4a ＋5b)(5b －4a)＝(4a 2－9b 2)(25b 2－16a 2)＝100a 2b 2－64a 4－225b 4＋144a 2b 2＝－64a 4＋244a 2b 2－225b 4(2) 解：原式＝x 2－y 2＋y 2－z 2＋z 2－x 2＝0(3) 解：原式＝25－9m 4－m 2(49m 2－64)－64m 2＝－58m 4＋2512、化简求值：(1)4x(x 2－2x －1)＋x(2x ＋5)(5－2x)，其中x ＝－1(2)(8x 2＋4x ＋1)(8x 2＋4x －1)，其中x ＝21 (3)(3x ＋2y)(3x －2y)－(3x ＋2y)2＋(3x －2y)2，其中x ＝31，y ＝－21 (1) 解：原式＝4x 3－8x 2－4x ＋x(25－4x 2)＝4x 3－8x 2－4x ＋25x －4x 3＝－8x 2＋21x当x ＝－1时原式＝－8×(－1)2＋21×(－1)＝－8－21＝－29(2) 解：原式＝(8x 2＋4x)2－1当x ＝时，原式＝[8×()2＋4×]2－1＝(2＋2)2－1＝15(3) 解：原式＝9x 2－4y 2－9x 2－12xy －4y 2＋9x 2－12xy ＋4y 2＝9x 2－24xy －4y 2当x ＝，y ＝－时原式＝9×()2－24××(－)－4×(－)2＝1＋4－1＝413、解下列方程：(1)(3x)2－(2x ＋1)2＝5(x ＋2)(x －2)解：9x 2－4x 2－4x －1＝5x 2－205x 2－4x －1＝5x 2－204x ＝19∴x ＝419(2)6x ＋7(2x ＋3)(2x －3)－28(x －21)(x ＋21)＝4解：6x ＋28x 2－63－28x 2＋7＝46x －56＝46x ＝60∴x ＝1014、解不等式：(1－3x)2＋(2x －1)2>13(x －1)(x ＋1)解：1－6x ＋9x 2＋4x 2－4x ＋1>13x 2－1313x 2－10x ＋2>13x 2－13－10x>－15∴x<2315、若n 满足(n －2004)2＋(2005－n)2＝1，求(2005－n)(n －2004)的值.解：(n －2004)2＋2·(n －2004)·(2005－n)＋(2005－n)2＝1＋2(n －2004)(2005－n)(n －2004＋2005－n)2＝1＋2(n －2004)(2005－n)1＝1＋2(2005－n)(n －2004)∴(2005－n)(n －2004)＝014.3 因式分解一、选择题1、下列各式，从左到右的变形是因式分解的为（ B ）A ．x 2－9＋5x ＝（x ＋3）（x －3）＋5xB ．x 2－4x ＋4＝（x －2）2C ．（x －2）（x －3）＝x 2－5x ＋6D ．（x －5）（x ＋2）＝（x ＋2）（x －5）2、把多项式x 2－mx －35分解因式为(x －5)(x ＋7)，则m 的值是（ B）A ．2B ．－2C ．12D ．－123、分解因式：x 2－2xy ＋y 2＋x －y 的结果是（ A ）A ．（x －y ）（x －y ＋1）B ．（x －y ）（x －y －1）C ．（x ＋y ）（x －y ＋1）D ．（x ＋y ）（x －y －1）4、若9x 2－12xy ＋m 是一个完全平方公式，那么m 的值是（ B ）。
《整式的乘除与因式分解》培优训练及答案
整式的乘除与因式分解一、选择题：1．下列计算正确的是（ ）A ．105532a a a =+B ．632a a a =⋅C ．532)(a a =D ． 8210a a a =÷2．下列计算结果正确的是（ ）A ．4332222y x xy y x -=⋅-B ．2253xy y x -=y x 22-C ．xy y x y x 4728324=÷D ．49)23)(23(2-=---a a a3．两个三次多项式相加，结果一定是 （ ）A ．三次多项式B ．六次多项式C ．零次多项式D ．不超过三次的多项式4．把多项式()()()111---+x x x 提取公因式()1-x 后，余下的部分是（ ）A ．()1+xB ．()1+-xC ．xD ．()2+-x5．计算24(1)(1)(1)(1)x x x x -++--的结果是 （ ）A 、2B 、0C 、－2D 、－56．已知代数式12x a －1y 3与－3x －b y 2a+b 是同类项，那么a 、b 的值分别是（ ）A ．2,1a b =-⎧⎨=-⎩B ．2,1a b =⎧⎨=⎩C ．2,1a b =⎧⎨=-⎩D ．2,1a b =-⎧⎨=⎩7．已知2239494b b a b a n m =÷，则（ ）A ．3,4==n mB ．1,4==n mC ．3,1==n mD ．3,2==n m8．如图，是一个正方形与一个直角三角形所拼成的图形，则该图形的面积为（）A ．m 2+12mnB ．22mn n -C ．22m mn+ D ．222m n +9．若2()9a b +=，2()4a b -=，则ab 的值是（ ）A 、54B 、－54C 、1D 、－1 二、填空题： 1．分解因式2233ax ay -= ．2．分解因式ab b a 8)2(2+- =_______．3．分解因式221218x x -+= ．4．若22210a b b -+-+=，则a = ，b ＝ ．5．代数式4x 2＋3mx ＋9是完全平方式，则m ＝___________．6. 已知a+b=5，ab=3，求下列各式的值：（1）a 2+b 2= ；（2）-3a 2+ab-3b 2= ．7. 已知522=+b a ，()()223232a b a b --+＝－48，则a b +＝________． 8. 已知正方形的面积是2269y xy x ++ （x >0，y >0），利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式 ．9．观察下列等式： 第一行 3＝4－1第二行 5＝9－4第三行 7＝16－9第四行 9＝25－16… …按照上述规律，第n 行的等式为____________ ．三、解答题：1．计算题（1）（－3xy 2）3·（61x 3y ）2 （2）4a 2x 2·（－52a 4x 3y 3）÷（－21a 5xy 2）（3）222)(4)(2)x y x y x y --+（ （4）221(2)(2))x x x x x-+-+－（2．因式分解（1）3123x x - （2）2222)1(2ax x a -+（3）xy y x 2122--+ （4）)()3()3)((22a b b a b a b a -+++-3．解方程：41)8)(12()52)(3(=-+--+x x x x4．已知x 2＋x －1＝0，求x 3＋2x 2＋3的值5．若（x 2＋px ＋q ）（x 2－2x －3）展开后不含x 2，x 3项，求p 、q 的值．四．综合拓展：1．已知c b a 、、是△ABC 的三边的长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，试判断此三角形的形状．2．已知2006x+2006y=1，x+3y=2006，试求2x 2+8xy+6y 2的值五．巩固练习：1．若n221623=÷，则n 等于（ ）A ．10B ．5C ．3D ．62．计算：xy xy y x y x 2)232(2223÷+--的结果是（ ） A ．xy y x 232- B ．22322+-xy y x C ．1232+--xy y x D ．12322+--xy y x3．下列计算正确的是（ ）A ．x y x y x 221222223=⋅÷ B ．57222257919n m n m m n n m =÷⋅ C ．mn mn n m n m =⋅÷24322)(2 D ．22242231043)3012(y x y x y x y x +=÷+4．已知一个多项式与单项式457y x -的积为2234775)2(72821y x y y x y x +-，则这个多项式为＿＿＿5．若（a+b ）2=13（a-b ）2=7求a 2+b 2和ab 的值。
2023年中考数学《整式的运算与因式分解》专题知识回顾及练习题(含答案解析)
2023年中考数学《整式的运算与因式分解》专题知识回顾及练习题（含答案解析）1. 合并同类型：法则：“一相加，两不变”，即系数相加，字母与字母的指数不变照写。
2. 整式的加减的实质：合并同类项。
3. 整式的乘除运算：①单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，其中一个因式单独存在的字母连同它的指数作为积的一个因式。
②单项式×多项式：单项式乘以多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。
③多项式×多项式：用其中一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。
④单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，被除数中单独存在的字母连同它的指数作为商的一个因式。
4. 乘法公式：①平方差公式：()()22b a b a b a −=−+。
②完全平方公式：()2222b ab a b a +±=±。
5. 因式分解的方法：①提公因式法：()c b a m cm bm am ++=++；②公式法：平方差公式：()()b a b a b a −+=−22完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±。
③十字相乘法：在c bx x ++2中，若()均为整数，且n m b n m mn c =+=，则： ()()n x m x c bx x ++=++2。
31．（2022•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy）＝4xy﹣2xy+3xy＝5xy，当x＝2，y＝﹣1时，原式＝5×2×（﹣1）＝﹣10．32．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可．【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9＝2x2﹣6x﹣7，∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴2x2﹣6x＝﹣2，∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．33．（2022•长春）先化简，再求值：2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝2﹣4．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）＝4﹣a2+a2+a＝4+a，当a＝﹣4时，原式＝4+﹣4＝．34．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x＝2代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：x（x+2）+（x+1）2＝x2+2x+x2+2x+1＝2x2+4x+1，∵x 2+2x ﹣2＝0，∴x 2+2x ＝2，∴当x 2+2x ＝2时，原式＝2（x 2+2x ）+1＝2×2+1＝4+1＝5．35．（2022•广西）先化简，再求值：（x +y ）（x ﹣y ）+（xy 2﹣2xy ）÷x ，其中x ＝1，y ＝21． 【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式，可以将题目中的式子化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（x +y ）（x ﹣y ）+（xy 2﹣2xy ）÷x＝x 2﹣y 2+y 2﹣2y＝x 2﹣2y ，当x ＝1，y ＝时，原式＝12﹣2×＝0．36．（2022•衡阳）先化简，再求值．（a +b ）（a ﹣b ）+b （2a +b ），其中a ＝1，b ＝﹣2．【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把a ＝1，b ＝﹣2代入计算即可．【解答】解：（a +b ）（a ﹣b ）+2a +b ）＝a 2﹣b 2+2ab +b 2＝a 2+2ab ，将a ＝1，b ＝﹣2代入上式得：原式＝12+2×1×（﹣2）＝1﹣4＝﹣3．37．（2022•丽水）先化简，再求值：（1+x ）（1﹣x ）+x （x +2），其中x ＝21． 【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再把x ＝代入计算即可．【解答】解：（1+x ）（1﹣x ）+x （x +2）＝1﹣x 2+x 2+2x＝1+2x ，当x ＝时，原式＝1+＝1+1＝2．38．（2022•南充）先化简，再求值：（x +2）（3x ﹣2）﹣2x （x +2），其中x ＝3﹣1．【分析】提取公因式x +2，再利用平方差公式计算，再代入计算．【解答】解：原式＝（x +2）（3x ﹣2﹣2x ）＝（x +2）（x ﹣2）＝x 2﹣4，当x ＝﹣1时， 原式＝（﹣1）2﹣4＝﹣2．39．（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣3|﹣12．（2）先化简，再求值：（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1），其中x ＝21． 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先去括号，再合并同类项，然后把x 的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．【解答】解：（1）（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣ ＝1+1+2×+﹣1﹣2 ＝2++﹣1﹣2＝1；（2）（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1）＝x 2+6x +9+x 2﹣9﹣2x 2﹣2x＝4x ，当x ＝时，原式＝4×＝2．40．（2022•岳阳）已知a 2﹣2a +1＝0，求代数式a （a ﹣4）+（a +1）（a ﹣1）+1的值．【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．【解答】解：a （a ﹣4）+（a +1）（a ﹣1）+1＝a 2﹣4a +a 2﹣1+1＝2a 2﹣4a＝2（a 2﹣2a ），∵a 2﹣2a +1＝0，∴a 2﹣2a ＝﹣1，∴原式＝2×（﹣1）＝﹣2．41．（2022•苏州）已知3x 2﹣2x ﹣3＝0，求（x ﹣1）2+x （x +32）的值． 【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而合并同类项，再结合已知代入得出答案．【解答】解：原式＝x 2﹣2x +1+x 2+x＝2x 2﹣x +1，∵3x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x 2﹣x ＝1，∴原式＝2（x 2﹣x ）+1＝2×1+1＝3．42．（2022•荆门）已知x +x1＝3，求下列各式的值： （1）（x ﹣x 1）2； （2）x 4+41x． 【分析】（1）利用完全平方公式的特征得到：（a ﹣b ）2＝（a +b ）2﹣4ab ，用上述关系式解答即可；（2）将式子用完全平方公式的特征变形后，利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：（1）∵＝， ∴＝ ＝ ＝﹣4x • ＝32﹣4＝5；（2）∵＝，∴＝+2 ＝5+2＝7，∵＝，∴＝﹣2＝49﹣2＝47．43．（2022•无锡）计算：（1）|﹣21|×（﹣3）2﹣cos60°； （2）a （a +2）﹣（a +b ）（a ﹣b ）﹣b （b ﹣3）．【分析】（1（2）根据单项式乘多项式，平方差公式化简，去括号，合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝×3﹣＝﹣＝1；（2）原式＝a 2+2a ﹣（a 2﹣b 2）﹣b 2+3b＝a 2+2a ﹣a 2+b 2﹣b 2+3b＝2a +3b ．44．（2022•安徽）观察以下等式：第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，证明：左边＝4n2+4n+1，右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边．∴等式成立．45．（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．【分析】（1）用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解即可；（2）用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解即可；（3）先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值即可．【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a+1）；（2）原式＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2）＝x（a﹣b）+（a﹣b）2＝（a﹣b）（x+a﹣b）；（3）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b）＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2）＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab）＝（a2+b2）（a﹣b）2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1，∴原式＝9．。
整式的乘除与因式分解测试题及答案
整式的乘除与因式分解测试题及答案整式的乘除与因式分解测试题及答案题目：1．（4分）下列计算正确的是（）A．a2+b3=2a5B．a4÷a=a4C．a2a3=a6D．（﹣a2）3=﹣a6 2．（4分）（x﹣a）（x2+ax+a2）的计算结果是（）A．x3+2ax+a3B．x3﹣a3C．x3+2a2x+a3D．x2+2ax2+a33．（4分）下面是某同学在一次检测中的计算摘录：①3x3（﹣2x2）=﹣6x5 ②4a3b÷（﹣2a2b）=﹣2a ③（a3）2=a5④（﹣a）3÷（﹣a）=﹣a2其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（4分）若x2是一个正整数的平方，则它后面一个整数的平方应当是（）A．x2+1B．x+1C．x2+2x+1D．x2﹣2x+15．（4分）下列分解因式正确的是（）A．x3﹣x=x（x2﹣1）B．m2+m﹣6=（m+3）（m﹣2）C．（a+4）（a﹣4）=a2﹣16D．x2+y2=（x+y）（x﹣y）6．（4分）（2003常州）如图：矩形花园ABCD中，AB=a，AD=b，花园中建有一条矩形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSTK．若LM=RS=c，则花园中可绿化部分的面积为（）A．bc﹣ab+ac+b2B．a2+ab+bc﹣acC．ab﹣bc﹣ac+c2D．b2﹣bc+a2﹣ab答案：1，考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。
1923992分析：根据同底数相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．解答：解：A、a2与b3不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、应为a4÷a=a3，故本选项错误；C、应为a3a2=a5，故本选项错误；D、（﹣a2）3=﹣a6，正确．故选D．点评：本题考查合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．2．考点：多项式乘多项式。
经典资料：初二数学《整式的乘除与因式分解》习题(含答案)
整式的乘除与因式分解 一、选择题 1．下列计算中，运算正确的有几个（ (1) a +a =a
5 5 10
）
2
(2)
(a+b) =a +b (3) (-a+b)(-a-b)=a B 、1 个
5 3
3
3
3
-b
2
(4)
(a-b) = -(b-a) D 、3 个
3
3
A、 0 个
3 5
C ） C
、2 个
2 2 2 2
B D
2
+ab-2b
2
7,
a b
3, 则 3 2
与
的值分别是 C.5,1 D. 10,
（
ห้องสมุดไป่ตู้
） 3 2
B. 2,
b
2
， a b 的值等于
2
1 2 1 2．已知 a－ =3 ，则 a ＋ 2 a a
2 2
・ k ＝ ________________ ；
3．如果 x － kx ＋ 9y 是一个完全平方式，则常数
部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一 个等式，则这个等式是（ A． a -b =(a+b)(a-b) C ． (a-b) =a -2ab+b 6． 已知 a b A. 4,1 二、填空题 1．若 a b
3 , ab 2 ，则 a
2 2 2 2 2 2 2
） ． (a+b) =a +2ab+b ． (a+2b)(a-b)=a
y=2； 7． 2（ x+y+z）； 8． B
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整式的乘除与因式分解(基础篇)含答案
整式的乘除与因式分解一、复习目标：1.掌握与整式有关的概念；2.掌握同底数幂、幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则；3.掌握单项式、多项式的相关计算；4.掌握乘法公式：平方差公式，完全平方公式。
5..掌握因式分解的常用方法。
二、知识点分析：1. 同底数幂、幂的运算：a m ·a n =a m+n (m ，n 都是正整数).(a m )n =a mn (m ，n 都是正整数).1、 若6422=-a ，则a= 8 ；若8)3(327-=⨯n ，则n= 5 .()[]()[]m n x y y x 2322--= (x-2y)3n+2m .32=n a ，则n a 6= 27 .点评：考察公式的逆用，一般底不同时，化底相同，或化指数相同。
如：2a -2 = 64，因为64 = 26，所以a -2 = 6，a = 8如：a 2n = 3，那么a 6n = (a 2n )3 = 33 = 272.积的乘方(a b)n =a n b n (n 为正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 计算：=()[]()()[]43p p m n n m m n -⋅-⋅- = (n-m)3p+4+4p = (n-m)7p+4点评：积的乘方，同底数幂公式的应用，可以先确定符号，“奇出偶不出”3.乘法公式平方差公式：()()22b a b a b a -=-+ 完全平方和公式：()2222b ab a b a ++=+ 完全平方差公式：()2222b ab a b a +-=- 1.利用平方差公式计算：2009×2007－20082=___-1___2. （a －2b ＋3c －d ）（a ＋2b －3c －d ）=___a 2-2ad+d 2-4b 2+12bc-9c 2___点评：套用公式时，需不拘于样式。
将符号不变的看作一个整体，符号变化的看作另一个整体。
如：(a －2b ＋3c －d )( a ＋2b －3c －d )= [(a-d ) － (2b-3c )]·[(a-d ) +(2b-3c )] ，于是就可以应用平方差公式。
(完整版)整式的乘除与因式分解复习(附练习含答案)
整式的乘除与因式分解考点归纳知识网络归纳互逆因式分解的意义因式分解的步骤专题归纳专题一：基础计算【例1】完成下列各题：1. 计算：2x 3 •(- 3x ) 2 __________ .2. 下列运算正确的是()A. x • x = xB.(- 6x )-(- 2x )= 3xC. 2 a - 3a =- aD. (x — 2) 2= x 2-43. 把多项式2mf — 4mxy + 2m?分解因式的结果是 ___________ .24 分解因式：(2a - b ) + 8ab = ________________ .专题二：利用幕的有关运算性质和因式分解可使运算简化 【例2】用简便方法计算.(1 ) 0. 252009X 42°°9 — 8100X 0. 5300.(2) 4292-仃 12.整式的乘法ma(a m)(ab)n单项式 单项式 整式的乘法多项式幕的运算法则n=amnmna n j na(m, n 为正整数, a,b 可为一个单项式或一个式项式)特殊的单项式多项式：m(a b) ma 多项式:(m n)(a b) 乘法公式平方差公式:(a b)(a 2mb ma mb na nb 完全平方公式:(a b)2b) 2a2 2 a b2ab b 2因式分解 因式分解的方法提公因式法运用公式法完全差公式式a 「 (a 2ab b)(a b) b 2(ab)2专题三：简捷计算法的运用【例3】设m2+ m—2= 0,求m3+ 3m2+ 2000 的值.专题四：化简求值【例4】化简求值:2 25 ( m+n) (m-n) - 2(m+n) - 3(m-n),其中m=-2,n=专题五：完全平方公式的运用2 【例5】已知a b 11,2 2 2a b 5，求(1) a b ； (2) ab例题精讲基础题【例1】填空：1. (- a b)3• (a b2)2=;(3x 3 2+3x)十(x +1)=2. ( a+b)( a-2b)= ;( a+4b)(m+n)=3. (- a+b+c)( a+b-c)=[b-( )l[b+( )]. ____4. 多项式x2+kx+25是另一个多项式的平方，则k=.5. 如果(2a+ 2b+ 1) (2a + 2b—1)=63，那么a+ b 的值为【例2】选择：6.从左到右的变形，是因式分解的为( )2 23 3A.m a+mb-c=m(a+b)-cB.( a-b)( a +a b+b )=a -bC. a2-4 a b+4b2-仁a( a-4b)+(2b+1)(2b-1)D.4x 2-25y 2=(2x+5y)(2x-5y)7.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）2 2 22 2 （A）a（b）（B）5m 20mn（C）x y2 c(D) X 98.如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49,小正方形的面积为4,若用x，y表示小矩形的两边长（x >y），请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是（）A.x+y=7B.x-y=22 2C.4xy+4=49D.x +y =25【例3】9计算：1(1)(-3xy2) 3•( 6x3y) 2; (2) 4a2x2- (- 5a4x3y3) + (—2 a5xy2)；⑶(x y 9)(x y 9)⑷[(3x 4y)23x(3x 4y)] ( 4y)(6) [ (x+y) 2-(x —y) 2](2xy)2 1 2x (x 2)(x 2)-( x -) ⑸X中档题【例1】10.因式分解：⑴X2X 1(2)(3a 2b)2(2 a 3b)24227) 9a 2(x-y)+4b 2(y-x) ；28)(x+y) 2 ＋2(x ＋y)＋1例 2】 11.化简求值：(1) 2(x 3)(x 2) (3 a)(3 a)其中 a 2., x=1【例3】12若(x 2+ px + q ) (x 2— 2x - 3)展开后不含x 2, x 3项，求p 、q 值.【例4】13对于任意的正整数 n ,代数式n(n+7) -(n+3)(n-2)的值是否总能被6整除，请说明理由23)2x2y －8xy ＋8y4)a 2(x －y) －4b 2(x －y)22 (5) x 2xy yz 2(6)1 x x(1 x)能力题【例1】14下面是对多项式(x2—4x+2) (x2—4x+6) +4进行因式分解的过程.解：设x2—4x=y原式=(y+2) (y+6) +4(第一步)=y2+8y+16(第二步)=(y+4) 2(第三步)=(x2—4x+4) 2(第四步)回答下列问题：(1)_____________________________________ 第二步到第三步运用了因式分解的 .A •提取公因式B•平方差公式C •两数和的完全平方公式D •两数差的完全平方公式(2)_____________________________________ 这次因式分解的结果是否彻底？•(填彻底”或不彻底”若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_____________ .(3)请你模仿以上方法尝试对多项式( x2—2x) (x2—2x+2)+1进行因式分解.b2c2ab bc ac 0【例2】已知a、b、c ABC的三边，且满足a2(1)说明△ ABC的形状；(2)如图①以A为坐标原点, AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，D是y轴上一点，连DB、DO DC DB之间有何数量关系，并证明你的猜想。
第15章 整式的乘除与因式分解测试卷(含答案)
第15章 整式的乘除与因式分解 测试卷注意事项：本卷共八大题，计23小题，满分150分．考试时间120分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内，每一小题；选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分． 1．若32144mnx y x y x ÷=，则m 、n 满足条件的取值为 （ ）． A ．m ＝6，n ＝1 B ．m ＝5，n ＝1 C ．m ＝5，n ＝0 D ．m ＝6，n ＝0 2．下列各式可以用平方差公式的是（ ）．A ．(4)(4)a c a c -+-B ．(2)(2)x y x y -+C ．(31)(13)a a ---D ． 11()()22x y x y --+ 3．下列各式中是完全平方公式的是（ ）．A ．224a x + B ．2244x ax a +-- C ．2444x x ++ D ． 2412x x ++-4．在（1）623[()]a a -⋅-；（2）34)(a a -⋅；（3）2332)()(a a ⋅-；（4）43()a --中，计算结果为12a -的有（ ）．A ．（1）和（3）B ．（1）和（2）C ．（2）和（3）D ．（3）和（4）5．为了应用平方差公式计算()()a b c a b c -++-，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是（ ）．A ．()()a c b a c b +--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦B ．()()a b c a b c -++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦C ．()()b c a b c a +--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦D ．()()a b c a b c --+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 6．下列多项式相乘的结果为1242--x x 的是（ ）．A ．)4)(3(-+x xB ．)6)(2(-+x xC ．)4)(3(+-x xD ．)2)(6(-+x x 7．计算24(1)(1)(1)(1)x x x x -++-+的结果是（ ）．A ．0B ．2C ．－2D ．－5 8． 下列多项式中，含有因式)1(+y 的多项式是（ ）． A ．2232x xy y --B ．22)1()1(--+y yC ．)1()1(22--+y yD ．1)1(2)1(2++++y y9．如图：（如图①）在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②），通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）．图 ① 图 ② A ． a 2－b 2 ＝（a ＋b ）（a －b ） B ．（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2C ．（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2D ．（a ＋2b ）（a －b ）＝ a 2＋ab －2b 210．观察下列等式：170=，771=，4972=，34373=，240174=，…，由此可判断1007的个位数字是（ ）．A ．3B ．7C ．1D ．9二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）11．不等式22(21)(21)x x --+≤2(3)x -的解集是_______________．12．已知2ma =，16nb =，则382m n+＝____________．13．已知)3)(8(22q x x px x +-++的展开式中不含2x 项和3x 项，则q p +的值＝______.14．如图，从直径是2x y +的圆中挖去一个直径为x 的圆和两个直径为y 的圆，则剩余部分的面积是_______________． 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．化简：（1）82()()mn mn ÷ （2） )9()15()3(24322y x xy y x -⋅-÷16．用乘法公式计算：（1）49.850.2⨯； （2）2298．四、（本题共2小题，每小题8分，共16分）17．已知x 是有理数，y 是无理数，请先化简下面的式子，再在相应的圆圈内选择你喜欢的数代入求值：2()(2)x y y x y -+-．18．利用简便方法计算：222111(1)(1)(1)234--- (22)11(1)(1)910--五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19．因式分解：（1）x x x 2718323+- （2）()222164x x -+20．先化简，再求值：22(1)(2)22()ab ab a b ab ⎡⎤+--+÷-⎣⎦；其中3,2a b 4==-3．13-，， 121.223，，， 1.50-，六、（本题满分12分）21．一个正方形的一边增加3cm ，另一边减少3cm ，所得到的长方形与这个正方形的每一边减少1cm 所得到的正方形的面积相等，求原来正方形的面积． 七、（本题满分12分）22．如图，图1是一个长为2 m 、宽为2 n 的长方形， 沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形， 然后按图2的形状拼成一个正方形。
(完整版)八年级数学整式的乘除及因式分解单元测试题[含答案解析],推荐文档
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列aa图②3 《整式的乘法》单元测试题一．选择题（10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1、下列运算正确的是（ ）A 、8x 9 ÷ 4x 3 = 2x 3B 、4a 2b 3 ÷ 4a 2b 3 = 0 C 、a 2m ÷ a m = a 2 D 、2ab 2c ÷ (- 1ab 2 ) = -4c22、计算( 2 )2003×1.52002×(-1)2004 的结果是() 3A 、 2 3B 、32C 、- 23D 、- 323、下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ） A 、(-a + b )(a - b )(x - 2)(x + 1)4、下列计算中：B 、(x + 2)(2 + x )C 、(1x + y )( y - 1 x )D 、3①x （2x 2﹣x+1）=2x 3﹣x 2+1；②（a+b ）2=a 2+b 2；③（x ﹣4）2=x 2﹣4x+16；④（5a ﹣1）（﹣5a ﹣1）=25a 2﹣1；⑤（﹣a ﹣b ） 2=a 2+2ab+b 2，正确的个数有（）A 、2 个 B 、1 个C 、3 个D 、4 个5、在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形(a ＞b )，再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯 形，如图②，根据这两个图形的面积关系，表明下 a bb b式子成立的是（ ）。
图①A 、a2＋b 2=(a ＋b )(a －b ) B 、(a ＋b)2=a 2＋2ab ＋(b第205 题图)C 、(a －b )2=a 2－2ab ＋b 2D 、a 2－b 2=(a －b )26、（﹣a ）3（﹣a ）2（﹣a 5）=（ ） A 、a 10 B 、﹣a 10 C 、a 30 D 、﹣a 307、已知a=8131，b=2741，c=961，则a，b，c 的大小关系是（）A、a＞b＞cB、a＞c＞bC、a＜b＜cD、b＞c＞a8、下列四个算式中正确的算式有（）①（a4）4=a4+4=a8；②[（b2）2]2=b2×2×2=b8；③[（﹣x）3] 2=（﹣x）6=x6；④（﹣y2）3=y6．A、0 个B、1 个C、2 个D、3 个9、（2004•宿迁）下列计算正确的是（）A、x2+2x2=3x4B、a3•（﹣2a2）=﹣2a5C、（﹣2x2）3=﹣6x6 D、3a•（﹣b）2=﹣3ab210、如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（）A、﹣3B、3C、0D、1二．填空题（8 小题，每小题 3 分，共 24 分）11、运用乘法公式计算：( 2 a-b)( 2 a+b)= (-2x-5)3 3(2x-5)=12、计算：-5a5b3c ÷15a4b =13、若a+b=1,a-b=2006，则a²-b²=14、在多项式4x²+1中添加一个单项式，使其成为完全平方式，则添加的单项式为（只写出一个即可）15、小亮与小明在做游戏，两人各报一个整式，小明报的被除式是x³y-2xy²，商式必须是 2xy，则小亮报一个除式是。
初二数学《整式的乘除与因式分解》习题(含答案)
整式的乘除与因式分解一、选择题1．下列计算中，运算正确的有几个（）(1) a5+a5=a10(2) (a+b)3=a3+b3 (3) (-a+b)(-a-b)=a2-b2 (4) (a-b)3= -(b-a)3A、0个B、1个C、2个D、3个2．计算（-2a3）5÷(-2a5)3的结果是（）A、— 2B、2 C、4 D、—4 3．若，则的值为（）A． B．5 C． D．2 4．若x2+mx+1是完全平方式，则m=（）。
A、2B、-2C、±2D、±4 5．如图，在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b）把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2-b2=(a+b)(a-b) B．(a+b)2=a2+2ab+b2C．(a-b)2=a2-2ab+b2D．(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b26．已知()b-2a3,则与的值分别=+2ba7, ()=是（）A. 4,1B. 2,32C.5,1D. 10, 32二、填空题1．若2,3=-=+ab b a ，则=+22b a ，()=-2b a2．已知a －1a =3，则a 2＋21a的值等于 · 3．如果x 2－kx ＋9y 2是一个完全平方式，则常数k ＝________________；4．若⎩⎨⎧-=-=+31b a b a ，则a 2－b 2＝ ；5．已知2m ＝x ，43m ＝y ，用含有字母x 的代数式表示y ，则y ＝________________；6、如果一个单项式与的积为-34a 2bc,则这个单项式为________________； 7、（－2a 2b 3）3 （3ab+2a 2）=________________；8、()()()()=++++12121212242n ________________；9、如图，要给这个长、宽、高分别为x 、y 、z 的箱子打包，其打包方式如下图所示，则打包带的长至少要____________（单位：mm ）。
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整式的乘除与因式分解考点归纳知识网络归纳22222()(,,)()()()():()()()2m n m nm n mnn n na a aa a m n a bab a bm a b ma mbm n a b ma mb na nba b a b a ba b a ab b+⎧⎫⋅⎪⎪=⎨⎬⎪⎪=⋅⎩⎭⨯⎧⎪⨯+=+⨯++=+++⎨⎧+-=-⎪−−−→⎨±=±+⎪⎩特殊的=幂的运算法则为正整数，可为一个单项式或一个式项式单项式单项式单项式多项式:多项式多项式：整式的乘法平方差公式 乘法公式完全平方公式：⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩互逆22222()():2()a b a b a ba ab b a b⎧⎪⎪⎪⎧-=+-⎨⎨⎪⎨⎪⎪±+=±⎪⎩⎩⎪⎪⎩因式分解的意义提公因式法因式分解因式分解的方法平方差公式:运用公式法完全平方公式因式分解的步骤专题归纳专题一：基础计算【例1】完成下列各题：1.计算：2x3·（－3x）2__________．2.下列运算正确的是（）A. x3·x4＝x12B. （－6x6）÷（－2x2）＝3x3C. 2a－3a＝－aD. （x－2）2＝x2－43.把多项式2mx2－4mxy＋2my2分解因式的结果是__________．4分解因式：（2a－b）2＋8ab＝____________．专题二：利用幂的有关运算性质和因式分解可使运算简化【例2】用简便方法计算．（1）0. 252009×42009－8100×0. 5300．（2）4292－1712．整式的乘法专题三：简捷计算法的运用【例3】设m 2＋m －2＝0，求m 3＋3m 2＋2000的值．．专题四：化简求值【例4】化简求值：5（m+n ）(m-n )–2(m+n)2–3(m-n)2,其中m=-2,n=.15专题五：完全平方公式的运用【例5】已知，，求（1）；（2）()211a b +=()25a b -=22a b +ab例题精讲基础题【例1】填空：1. (-a b)3·(a b 2)2= ; (3x 3+3x)÷(x 2+1)= .2. (a +b)(a -2b)= ;(a +4b)(m+n)= .3. (-a +b+c)(a +b-c)=[b-( )][b+( )].4. 多项式x 2+kx+25是另一个多项式的平方，则k= .5. 如果（2a ＋2b ＋1）(2a ＋2b －1)=63，那么a ＋b 的值为 .【例2】选择：6.从左到右的变形，是因式分解的为 （ ）A.m a +mb-c=m(a +b)-cB.(a -b)(a 2+a b+b 2)=a 3-b 3C.a 2-4a b+4b 2-1=a (a -4b)+(2b+1)(2b-1)D.4x 2-25y 2=(2x+5y)(2x-5y)7.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）（A ）22)(b a -+ （B ）mn m 2052- （C ）22y x -- （D ）92+-x8. 如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x ，y 表示小矩形的两边长(x ＞y)，请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是 ( )A.x+y=7 B.x-y=2C.4xy+4=49 D.x 2+y 2=25【例3】9计算：（1）（－3xy 2）3·（61x 3y ）2； （2）4a 2x 2·（－52a 4x 3y 3）÷（－21a 5xy 2）；(3)(9)(9)x y x y -++- (4)2[(34)3(34)](4)x y x x y y +-+÷-(5)22)1)2)(2(x x x x x +-+-－（ (6) [（x+y ）2－（x －y ）2]÷(2xy) 中档题【例1】10.因式分解：(2)22(32)(23)a b a b --+21(1)4x x -+（3）2x 2y －8xy ＋8y （4）a 2(x －y)－4b 2(x －y)(5)2222x xy y z -+- (6)1(1)x x x +++（7）9a 2(x-y)+4b 2(y-x)； （8）(x+y)2＋2(x ＋y)＋1【例2】11.化简求值：（1）.2)3)(3()2)(3(2-=-+-+-a a a x x 其中，x=1【例3】12若（x 2＋px ＋q ）（x 2－2x －3）展开后不含x 2，x 3项，求p 、q 值．【例4】13对于任意的正整数n ，代数式n(n+7)－(n+3)(n-2)的值是否总能被6整除，请说明理由能力题【例1】14下面是对多项式（x 2－4x +2）（x 2－4x +6）+4进行因式分解的过程．解：设x 2－4x =y 原式=（y +2）（y +6）+4 （第一步）= y 2+8y +16 （第二步） =（y +4）2 （第三步）=（x 2－4x +4）2（第四步）回答下列问题：（1）第二步到第三步运用了因式分解的_______． A ．提取公因式 B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）这次因式分解的结果是否彻底？________．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x 2－2x ）（x 2－2x +2）+1进行因式分解．【例2】已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足2220a b c ab bc ac ++---= （1）说明△ABC 的形状；（2）如图①以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，D 是y 轴上一点，连DB 、DC ，若∠ODB=60°，猜想线段DO 、DC 、DB 之间有何数量关系，并证明你的猜想。
（3）如图②，P 是y 轴正半轴上一动点，连PB ，以PB 为一边在第一象限作等边△PBQ，连CQ ，当P 在y 轴正半轴上运动时，∠BCQ 的大小是否改变，若不变，求出其值，若改变，求出其变化范围。
整式的乘除与因式分解综合复习测试一、选择题1、下列计算正确的是 ( )A 、3x －2x ＝1B 、3x+2x=5x 2C 、3x·2x=6xD 、3x －2x=x2、如图，阴影部分的面积是（ ）A 、xy 27 B 、xy 29 C 、xy4 D 、xy23、下列计算中正确的是（ ）A 、2x+3y=5xyB 、x·x 4=x 4C 、x 8÷x 2=x 4D 、（x 2y ）3=x 6y 34、在下列的计算中正确的是（ ）A 、2x ＋3y ＝5xy ； B 、（a ＋2）（a －2）＝a 2＋4；C 、a 2•ab ＝a 3b ； D 、（x －3）2＝x 2＋6x ＋95、下列运算中结果正确的是（ ）A 、633·x x x =； B 、422523x x x =+；C 、532)(x x =； D 、222()x y x y +=+.6、下列说法中正确的是（ ）。
A 、2t 不是整式；B 、y x 33-的次数是4；C 、ab 4与xy 4是同类项；D 、y1是单项式 7、ab 减去22b ab a +-等于 ( )。
A 、222b ab a ++；B 、222b ab a +--；C 、222b ab a -+-；D 、222bab a ++-8、下列各式中与a －b －c 的值不相等的是（ ） A 、a －（b+c ） B 、a －（b －c ） C 、（a －b ）+（－c ） D 、（－c ）－（b －a ）9、已知x 2+kxy+64y 2是一个完全式，则k 的值是（ ） A 、8 B 、±8 C 、16 D 、±16第2题图a图1图2(第10题图)10、如下图（1），边长为a 的大正方形中一个边长为b 的小正方形，小明将图（1）的阴影部分拼成了一个矩形，如图（2）。
这一过程可以验证（ ）A 、a 2+b 2－2ab =(a －b )2 ； B 、a 2+b 2+2ab =(a +b )2 ；C 、2a 2－3ab +b 2=(2a －b )(a －b ) ；D 、a 2－b 2=(a +b ) (a －b )二、填空题11、（1）计算：32()x x -=· ；（2）计算：322(3)a a -÷= ．12、单项式z yx n 123-是关于x 、y 、z 的五次单项式，则n；13、若244(2)()x x x x n ++=++，则_______n =14、当2y–x=5时，()()6023252-+---y x y x = ；15、若a 2＋b 2＝5，ab ＝2，则(a ＋b )2＝ 。
16、若4x 2＋kx ＋25＝(2x －5)2，那么k 的值是 17、计算：1232－124×122=______ ___．18、将多项式42+x 加上一个整式，使它成为完全平方式，试写出满足上述条件的三个整式： ， ， .19、一个多项式加上－3+x －2x 2 得到x 2－1，那么这个多项式为；20、若1003x y +=，2x y -=，则代数式22x y -的值是．三、解答题21、计算：22()()a b a ab b +-+；22、已知2x －3=0，求代数式x (x 2－x )＋x 2(5－x )－9的值。
23、计算：()()x y x y -+-2（x-y ）24、（1）先化简，再求值：(a–b)2+b(a–b)，其中a=2，b=–。
12（2）先化简，再求值：2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中13x =-25、李老师给学生出了一道题：当a=0.35，b= －0.28时，求332332376336310a a b a b a a b a b a -+++--的值．题目出完后，小聪说：“老师给的条件a=0.35，b= －0.28是多余的．”小明说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理？为什么？od f o 26、按下列程序计算，把答案写在表格内：(1)填写表格：输入n 321—2 —3…输出答案1111…(2)请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简．27、如图为杨辉三角表，它可以帮助我们按规律写出（a+b ）n （其中n 为正整数） 展开式的系数，请仔细观察表中规律，填出（a+b ）4的展开式中所缺的系数．（a+b ）1=a+b ；（a+b ）2=a 2+2ab+b 2；（a+b ）3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3；（a+b ）4=a 4+_____a 3b+_____a 2b 2+______ab 3+b 428、阅读下列题目的解题过程：已知a 、b 、c 为的三边，且满足，试判断ABC ∆222244c a c b a b -=-的形状。