圆的对称性

练一练
挑战自我
驶向胜利 的彼岸
1、判断：
(1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条 弧。
√（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对 的另一条弧。
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦。 √（4）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧。 √（5）平行弦所夹的弧相等。
（6）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行。
平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
判断题：
(1)过圆心的直线平分弦 错
C C
(2)垂直于弦的直线平分弦错
•o
E
(3)⊙O中，OE⊥弦AB于E，A
则AE=BE
对
D (1)
B
•o
E A
D
(2)
A
B
•O EB
(3)
练一练
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是2 3cm.
O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为
垂足，OC与弧AB 相交于点C，根据前面的结论，D
是AB 的中点，C是弧AB的中点，CD 就是拱C高．
在图中 AB=37.4，CD=7.2，
AD 1 2A B1 23.7 41.8 7,A
D B
OD=OC－CD=R－7.2
R
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
由 ① CD是直径
④A⌒C=B⌒C,
可推得
②CD⊥AB, ③ AP=BP
⑤A⌒D=B⌒D.
D
●O
P
推论2：
A
B
C
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。
问题4：弦的垂直平分线有什么特点？
D
由②CD⊥AB ③ AP=BP
可推得
① CD是直径
④⑤AA⌒⌒CD==BB⌒⌒CD,.
●O
A
●P B
D
推论3：
弦的垂直平分线经过圆心并且
▪ 你能发现直径CD与弦AB有什么关
D
系？图中有哪些等量关系?与同伴说
说发现你图的中想有法: 和理由.
●O
A
┗●P
推论1C：
n由 ① CD是直径
B
③ AP=BP
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并
且平分弦所对的两条弧;
问题3：平分弧的直径有什么特点？
求赵州桥桥拱半径的问题
驶向胜利 的彼岸
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的 桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)
为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
求赵州桥桥拱半径的问题
A
B
如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为
动手操作，观察猜想.
CD是⊙O的直径，过直径上任一点P 作弦AB⊥CD，将⊙O沿CD对折，比 较图中的线段和弧，你有什么发现？
D
线段： AP=BP 弧： A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D.
·O
P
A
B
C
问题1. 垂直于弦的直径有什么特点？
n由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AP=BP,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
O
OA2=AD2+OD2
即
R2=18.72+（R－7.2）2
解得：R≈27．9（m）
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
检测题
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到
弦AB的距离（弦心距）为3cm，求⊙O的半径．
解：过点O做OE ⊥AB于E,连结OA
A
E
B
则AE1AB184 22
·
O
在RT△AOE中
平分弦所对的两条弧。
理解
记忆
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。

推论1：平 平分 分弦 弦（ 所不对是的直两径条）弧的。直径垂直于弦，并且
推论2：平 并分 且弦 平所 分对弦的所一对条的弧另的一直条径弧，。垂直平分弦，
推论3： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对
的两条弧。
O AE B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
O
距离为3cm，则弦AB的长是 8cm . A E B
3．半径为2cm的圆中，过半径OC中点E且
O
垂直于这条半径的弦AB长是 2 3cm. A E B
C
问题2 平分弦的直径有什么特点？
如图在⊙O中，直径CD交弦AB于点P，AP=BP
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
如图,理由是: 连结OA,OB, 则OA=OB.
∵ CD⊥AB
D
∴AP=BP ∠AOC= ∠BOC
∴
A⌒C
=
⌒
BC,
∴A⌒D =B⌒D,
●O
P
A
B
C
定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对
的两条弧.
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分
弦所对的两条弧。
题设
直径（或过圆心的直线） 垂直于弦
结论
圆的对称性
学习目标
理解并掌握垂径定理：垂直于弦 的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的两条弧。
赵州桥主桥拱的半径是多少？
A
B
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？.(精确 到0.1米)
A O O E 2A E 2=3 2+ 4 2= 5 cm
答：⊙O的半径为5cm.
检测
2 已知：如图，在以O为
圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C， D两点。试说明：AC＝A C
O.
E
D
B
BD。
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则 AE＝BE，CE＝DE
∴AE－CE＝BE－DE
∴ AC＝BD
讲解
3 已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两 条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm， 求弦AB与CD之间的距离。
A
20 E
B
A
. 25
15
C
25
C
O7
D
24
E
B
.F
D
O
EF有两解：15+7=22cm 15-7=8cm
请你谈谈这节课 的收获和体会。
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