测试技术与信号处理课后答案

测试技术与信号处理课后答案

机械工程测试技术基础习题解答

教材：机械工程测试技术基础，熊诗波 黄长艺主编，机械工业出版社，2006年9月第3版第二次印刷。

第一章 信号的分类与描述

1-1 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|c n |–ω和φn –ω图，并与表1-1对比。

解答：在一个周期的表达式为

00 (0)2() (0)2

T A t x t T A t ⎧

--≤<⎪⎪=⎨

⎪≤<⎪⎩

积分区间取（-T/2，T/2）

00000000

220

2

00

2

111()d =

d +

d =(cos -1) (=0, 1, 2, 3, )L T T jn t

jn t

jn t T T n c x t e

t Ae

t Ae t

T T T A

j

n n n ωωωππ

-----=

-±±±⎰

⎰

⎰

所以复指数函数形式的傅里叶级数为 001

()(1cos )jn t

jn t n n n A

x t c e

j

n e n

∞

∞

=-∞

=-∞=

=--∑∑ωωππ，=0, 1, 2, 3, n ±±±L 。

(1cos ) (=0, 1, 2, 3, )0

nI nR A c n n n c ⎧

=-

-⎪±±±⎨

⎪=⎩L ππ

图1-4 周期方波

2

1,3,,

(1cos)

00,2,4,6,

n

A

n

A

c n n

n

n

⎧

=±±±

⎪

==-=⎨

⎪=±±±

⎩

L

L

ππ

π

1,3,5,

2

arctan1,3,5,

2

00,2,4,6,

nI

n

nR

π

n

cπ

φn

c

n

⎧

-=+++

⎪

⎪

⎪

===---

⎨

⎪

=±±±

⎪

⎪⎩

L

L

L

没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。

1-2 求正弦信号0

()sin

x t xωt

=的绝对均值xμ和均方根值rms x。

解答：0000

22

00

000

2242

11

()d sin d sin d cos

T T

T T

x

x x x x μx t t xωt tωt tωt

T T T TωTωπ

====-==

⎰⎰⎰

rms

x====

1-3 求指数函数()(0,0)

at

x t Ae a t

-

=>≥的频谱。

解答：

(2)

22

022

(2)

()()

(2)2(2)

a j f t

j f t at j f t

e A A a j f

X f x t e dt Ae e dt A

a j f a j f a f

-+

∞∞

---∞

-∞

-=====

-+++

⎰⎰π

ππ

π

πππ

()

X f=

π

/2

0ω

00

幅频

图

相频

图

周期方波复指数函

数形式频谱图

πω

ω0

ω0

Im ()2()arctan

arctan

Re ()X f f

f X f a

==-πϕ

1-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。

a)符号函数的频谱

10

()sgn()10

t x t t t +>⎧==⎨

-<⎩

t =0处可不予定义，或规定sgn(0)=0。

该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。

可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样

单边指数衰减信号频谱图 f

|X (f )|

A

φ

(f ) f

π/2

-π/2 t

sgn(t ) 0 1 -

1 t

u (t )

0 1

图1-25 题1-4

图

a)符号函数 b)阶跃函数

便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x 1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数x (t )的频谱。

10()sgn()0

at

at

at

e t x t e

t e

t --⎧>==⎨-<⎩

10

()sgn()lim ()

a x t t x t →==

2221122

4()()(2)j f t at j f t at j f t f X f x t e dt e e dt e e dt j

a f ∞

∞

-----∞

-∞

==-+=-+⎰⎰⎰πππππ

[]10

1()sgn()lim ()a X f t X f j

f

→===-πF

1()X f f

π=

02

()0

2

f f f πϕπ⎧<⎪⎪

=⎨⎪->⎪⎩

b)阶跃函数频谱

10()00

t u t t >⎧=⎨

<⎩

在跳变点t =0处函数值未定义，或规定u (0)=1/2。 阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变

1()sgn()

at x t e t -=符号函数

t

x 1(t )

0 1

-符号函数频谱

f φ

(

f )

0 π/2 0

f

|X (f )|

-π/2