统计学 正态分布

正态分布曲线的数学函数表达式： 如果随机变量 的分布服从概率密度函数：
( X − µ)2 1 , − ∞ < X < ∞ f (X ) = exp − 2 2σ σ 2π π＝ .14159， 是以 .72818为底的自然对数指数 3 exp 2 X ~ N(µ,σ 2 ), µ为X的总体均数，σ为总体标准差 f ( X )称为概率密度函数（probabilit y density function ） 以f ( X )为纵坐标，X为横坐标，绘制的曲线就是 正态曲线（norm curve ） al
为伽玛函数； 圆周率； 式中 Γ(•)为伽玛函数； 圆周率； V 为 自由度（ freedom）， ），是 自由度（degree of freedom），是t分布的 唯一参数； 为随机变量。 唯一参数；t为随机变量。 为纵轴, 以t (•)为横轴，f(t)为纵轴,可绘制t分布 Γ 为横轴， 曲线。 曲线。
查t 界值表
举例： 举例：
， α t ①ν =10 单 =0.05， 0.05,10 =1.812 ，则有
P(t ≤ −1.812) = 0.05 或 P(t ≥1.812) = 0.05
， α t ②ν =10 双 =0.05， 0.05/2,10 = 2.228 ，则有
P(t ≤ −2.228) + P(t ≥ 2.228) = 0.05
（正态分布是对称分布，但对称分布不一定是正态分布） 正态分布是对称分布，但对称分布不一定是正态分布） 2. 实 际 频 数 分 布 ： 中 间 频 数 多 ， 两 端 越 来 越少， 越少，且左右大致对称 理论频数分布：正态分布曲线。 理论频数分布：正态分布曲线。
4 频数分布逐渐接近正态分布示意
设想当原始数据的频数分布图的观察数 逐渐增加且组段不断分细时， 逐渐增加且组段不断分细时 ， 图中的直条 就不断变窄， 就不断变窄 ， 其顶端则逐渐接近于一条光 滑的曲线。 这条曲线形态呈钟形 ， 两头低、 滑的曲线 。 这条曲线形态呈 钟形， 两头低 、 中间高， 左右对称 ， 中间高 ， 左右对称， 近似于数学上的正态 分布。 在处理资料时 ， 分布 。 在处理资料时， 我们就把它看成是 正态分布。 正态分布。
e
− X2
2
dX
-4
-3
-2
-1
0 X
1
2
3
4
1 F( X ) = σ 2π
∫
X
−( X −µ)2
−∞
e
(2σ 2 )
dX
态 布 正 分 μ ±σ μ ±1.96σ ± σ ±2.58σ μ ± σ
积 概 面 或 率 68.27% 95.00% 99.00%
二、正态分布的应用
1、估计医学参考值范围 2、质量控制 3、正态分布是许多统计方法的理 论基础
随机变量X
u=
X −µ
N （µ，σ2）
均数 X
u变换
X −µ u= σ n
σ
标准正态分布 N（0，12） 标准正态分布 N（0，12） Student t分布 自由度： 自由度：n-1
N(µ,σ n)
2
X −µ X −µ t= = , v = n −1 SX S n
t分布的概率密度函数
Γ[(ν +1) 2] 2 −(ν +1) 2 f (t) = (1+ t /ν ) πνΓ(ν 2)
适用：正态分布资料 适用：正态分布资料
2. 百分位数法
双侧95%参考值范围： P2.5～P97.5 参考值范围： 双侧 参考值范围 单侧95%参考值范围： < P95（上限） 单侧 参考值范围： 上限） 参考值范围 下限） 或 > P5（下限） 适用于偏态分布资料
第三节 t 分布
t 分布
第3章 正态分布
1 正态分布概念
正态分布（ distribution） 正态分布（normal distribution）也叫高斯 分布（ distribution），一种最常见、 ），一种最常见 分布（Gaussian distribution），一种最常见、 最重要的连续型对称分布。 最重要的连续型对称分布。
σ
u2 1 f (u) = exp − , − ∞ < X < ∞ 2 2π
一般正态分布为一个分布族:N(µ,σ2) ；标准正 态分布只有一个 N(0,1) ；这样简化了应用
四、曲线下面积
0.5
f(X)
0.4
-∞
u 0.3
0.2 0.1 0.0
Φ(u) =
1 2π
∫
u
−∞
t
t分布曲线下面积（附表）
双侧t0.05/2，9＝2.262 0.05/2， ＝单侧t0.025，9 0.025， 单侧t0.05，9＝1.833 0.05， 双侧t0.01/2，9＝3.250 0.01/2， ＝单侧t0.005，9 0.005， 单侧t0.01，9＝2.821 0.01， 双侧t0.05/2，∞＝1.96 0.05/2， ＝单侧t0.025，∞ 0.025， 单侧t0.05，∞ ＝1.64 0.05，
0.6
f (X )
N(−1,0.8 )
2
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
N(0,1 )
N(1,1.2 )
2
2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
X
100%； ① X 轴与正态曲线所夹面积恒等于 1 或 100%； 68.27%； ② 区间 µ ±σ 的面积为 68.27%； ③ 区间 µ ±1.96σ 的面积为 95.00%； 95.00%； 99.00%。 ④ 区间 µ ± 2.58σ 的面积为 99.00%。
异常 双侧上限
单侧下限---过低异常 单侧下限 过低异常
异常
正常 单侧下限
正常
异常
异常
正常
单侧上限
双侧下限
1. 正态分布法
方法： 方法： 1. 正态分布法 2. 百分位数法
双侧1-α参考值范围： 双侧 参考值范围： 参考值范围 单侧1-α参考值范围： 参考值范围 单侧 参考值范围：
X ± uα / 2S < X + uα S (上 ) 限 > X −uα S （ 限 下 ）
f(X)
µ
X
态 布 正 分 μ ±σ ±1.96σ μ ± σ ±2.58σ μ ± σ
积 概 面 或 率 68.27% 95.00% 99.00%
三、标准正态分布
标准正态分布 (standard normal distribution)的两个 参数为：µ=0,σ=1 记为 N(0,1)
经 准 态 量 变 ： 般 态 布 (µ,σ 2 )被 化 标 正 变 u 换 一 正 分 N 转 为 标 正 分 N(0,1); 其 u = 准 态 布 中 X −µ
医学参考值范围涉及到采用单侧 界值还是双侧界值的问题，这通常依 据医学专业知识而定。
双侧 : 血清总胆固醇无论过低或过高均属异常 白细胞数无论过低或过高均属异常 单侧 : 1、血清转氨酶仅过高异常 2、肺活量仅过低异常
医学参考值范围有 90%、 95%、99%、 90%、 95%、99%、 等， 最常用的为 95% 。 计算医学参考值范围的常用方法： 1、正态分布法 2、百分位数法
2、正态曲线特点 、正态曲线特点
f(X)
钟型 中间高 两头低 左右对称 最高处对应于X 最高处对应于 轴的值就是均数 6. 曲线下面积为 曲线下面积为1 7. 标准差决定曲线 的形状 1. 2. 3. 4. 5.
µ
X
normal curve
位置参数µ决定曲线的位置，形态参数 决定曲线的形态 决定曲线的位置， 决定曲线的位置 形态参数σ决定曲线的形态
双侧95%正常值范围： X ±1.96S 正常值范围： 双侧 正常值范围 单侧95%正常值范围： < X +1.64S (上限) 正常值范围： 单侧 正常值范围
> X −1.64S （下限）
例 2-14
对例 2-1，例 2-3 和例 2-13 已计算出101 名正常成年女
子的血清总胆固醇均数 X = 4.06 mmol/L ，标准差 S = 0.654 mmol/L 。试估 计该单位正常女子血清总胆固醇在 4.00 mmol/L 以下者及5.00 mmol/L 以 下者各占正常女子总人数的百分比。
医学参考值范围
临床上常用的参考值是指包括绝大多数正常人的人 体形态、机能和代谢产物等各种生理及生化指标，过去 称正常值。
步骤： 1. 2. 3. 4. 从“正常人”总体中抽样：明确研究总体 统一测定方法以控制系统误差。 判断是否需要分组（如性别、年龄）确定。 根据专业知识决定单侧还是双侧。
单侧上限---过高异常 双侧---过高 过高、 单侧上限 过高异常 双侧 过高、过低均异常
正态分布除了可估计频数分布外，还 是许多统计方法的基ห้องสมุดไป่ตู้，并可应用于 质量控制及制定医学参考值范围。
医学参考值范围的制定
一、基本概念 医学参考值（ 医学参考值 （ reference value ） 是指包括绝 value） 大多数正常人的人体形态、 大多数正常人的人体形态 、 机能和代谢产物等各 种生理及生化指标常数，也称正常值。 种生理及生化指标常数，也称正常值。 由于存在个体差异， 由于存在个体差异 ， 生物医学数据并非常数而是在 一定范围内波动，故采用医学参考值范围 （ medical reference range ） 作为判定正常和异 range） 常的参考标准。 常的参考标准。
二、方法
1、正态分布法： 许多生物医学数据服从或近似服从正态 分布，如同年龄同性别儿童的身高值、 分布，如同年龄同性别儿童的身高值、体 重值，同性别健康成人的红细胞数等； 重值，同性别健康成人的红细胞数等； 有些医学资料虽然呈偏态分布，但若能 通过适当的变量变换转换为正态分布，也 通过适当的变量变换转换为正态分布，也 可采用正态分布法制定参考值范围。