五年级奥数分数裂差

1、 灵活运用分数裂差计算常规型分数裂差求和

2、 能通过变型进行复杂型分数裂差计算求和

一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-⨯-

2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：

1111[]()(2)2()()(2)

n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)

n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 3、 对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭

()()()()()

21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ 知识框架

考试要求

分数裂差

()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()(

)()()11222h h n n k n k k n n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦ ()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k k

n n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦

()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭

二、裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

1、 分子不是1的分数的裂差变型；

2、 分母为多个自然数相乘的裂差变型。

一、用裂项法求1(1)

n n +型分数求和 分析：1(1)

n n +型（n 为自然数） 因为

111n n -+＝11(1)(1)(1)

n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数），所以有裂项公式：111(1)1n n n n =-++ 【例 1】 填空：

（1）1-21= （2）=⨯211 （3） =-3121 （4）=⨯3

21 例题精讲

重难点

（5）=⨯60591 （6）=-601591 （7）=⨯100991 （8）=-100

1991 【巩固】

111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯ 。

【例 2】 计算：

111......101111125960+++⨯⨯⨯

【巩固】计算：

11111198519861986198719951996199619971997+++++⨯⨯⨯⨯

【例 3】 计算：

1122426153577

++++= ____。

【巩固】11111111

612203042567290

+++++++=_______。

【例 4】计算：111111111 2612203042567290

--------＝。

【巩固】计算：

11111 123420 261220420 +++++

【例 5】计算：

11111 20082009201020112012

1854108180270

++++= 。

【巩固】计算：

15111929970198992612203097029900+++++++= ．

二、用裂项法求1()

n n k +型分数求和 分析：1()

n n k +型。（n,k 均为自然数） 因为11111()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++，所以1111()()n n k k n n k =-++

【例 6】 1111133557

99101

++++=⨯⨯⨯⨯

【巩固】计算：1111111315356399143195

++++++

【例 7】 计算：1111251335572325⎛⎫⨯++++= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭

【巩固】计算：11111111()1288244880120168224288

+++++++⨯=

三、用裂项法求()

k n n k +型分数求和 分析：()

k n n k +型（n,k 均为自然数） 因为

11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()

k n n k +，所以()k n n k +＝11n n k -+ 【例 8】 求

2222 (1335579799)

++++⨯⨯⨯⨯的和