第六章 二元选择模型
二元选择模型
• (2) 样本均值处的边际效应 (marginal effect at mean)，即在
• X=均值处的边际效应。
• (3) 在某代表值处的边际效应 (marginal effect at a
二、限值因变量模型
限值因变量有哪些情形 (limited dependent variable
regression model, LDV)
• 当因变量为定性变量或不连续变量 或是受约束的变量时，统称为限值 因变量回归模型。
• 不同的限值因变量模型中，因变量的 情形不同，所使用的估计方法不同， 如非线性最小二乘法，但使用最大似 然估计法较多。
限值因变量有哪些情形
(limited dependent variable
regression model, LDV)
线性概率模型（linear probability model,LPM）、对数单位模型（ logit model）、概率单位模型 (probit model)、托比模型(tobit model)、泊松模型(possion model) 、截取回归模型(censored regression model)、断尾回归模型 (truncated regression model)
二元选择模型(Binary outcome model)
一、线性概率模型
二、Logit model 三、probit model 二元选择模型下的参数估计、解释、系数
解释等。
2.1 线性概率模型
• 因变量是一个取值为0，1的二值结果的分 类变量
考虑模型：
二元选择模型
二元选择摸型如果回归模型的解释变量中含有定性变量，则可以用虚拟变量处理之。
在实际经济问题中，被解释变量也可能是定性变量。
如通过一系列解释变量的观测值观察人们对某项动议的态度，某件事情的成功和失败等。
当被解释变量为定性变量时怎样建立模型呢？这就是要介绍的二元选择模型或多元选择模型，统称离散选择模型。
这里主要介绍Tobit （线性概率）模型，Probit （概率单位）模型和Logit 模型。
1．Tobit （线性概率）模型 Tobit 模型的形式如下，y i = α + β x i + u i (1) 其中u i 为随机误差项，x i 为定量解释变量。
y i 为二元选择变量。
此模型由James Tobin 1958年提出，因此得名。
如利息税、机动车的费改税问题等。
设 1 （若是第一种选择） y i =0 （若是第二种选择）-0.20.00.20.40.60.81.01.2330340350360370380XY对y i 取期望，E(y i ) = α + β x i (2) 下面研究y i 的分布。
因为y i 只能取两个值，0和1，所以y i 服从两点分布。
把y i 的分布记为， P ( y i = 1) = p i P ( y i = 0) = 1 - p i 则E(y i ) = 1 (p i ) + 0 (1 - p i ) = p i (3) 由（2）和（3）式有p i = α + β x i （y i 的样本值是0或1，而预测值是概率。
） (4)以p i = - 0.2 + 0.05 x i 为例，说明x i 每增加一个单位，则采用第一种选择的概率增加0.05。
现在分析Tobit 模型误差的分布。
由Tobit 模型（1）有，u i = y i - α - β x i =⎩⎨⎧=--=--0,1,1i i i i y x y x βαβαE(u i ) = (1- α - β x i ) p i + (- α - β x i ) (1 - p i ) = p i - α - β x i 由（4）式，有E(u i ) = p i - α - β x i = 0因为y i 只能取0, 1两个值，所以，E(u i 2) = (1- α - β x i )2 p i + (- α - β x i )2 (1 - p i )= (1- α - β x i )2 (α + β x i ) + (α +β x i )2 (1 - α - β x i ), （依据(4)式） = (1- α - β x i ) (α + β x i ) = p i (1 - p i ) , （依据(4)式） = E(y i ) [1- E(y i ) ]上两式说明，误差项的期望为零，方差具有异方差。
二元选择模型
Λ ( β1 + β 2 ( q + 10) + β3v )
Λ ( β1 + β 2 q + β3v )
结论：数量分析成绩相对平均成绩增加 分可提高 分可提高20%被录取的可能性 结论：数量分析成绩相对平均成绩增加10分可提高 被录取的可能性
计算词汇能力成绩相对平均分增加10分时被录取概率增加值 计算词汇能力成绩相对平均分增加 分时被录取概率增加值
线性概率模型
修正
转换函数 Probit模型 模型
yt = F ( xt β ) + ut
Logit模型 模型
例题
讨论GRE考试成绩与研究生入学情况的关系 考试成绩与研究生入学情况的关系 讨论 成绩（ 将GRE成绩（数量分析成绩和词汇能力成绩）与取得研究生入学资格的概率作为 成绩 数量分析成绩和词汇能力成绩） 二元选择模型的研究对象
β1 + β 2 q + β3v
'数量分析成绩相对平均分高出 分时被录取的概率 数量分析成绩相对平均分高出10分时被录取的概率 数量分析成绩相对平均分高出 分时被录取的概率' series xqplus2=@cnorm(common2+eq2.@coefs(2)*(@mean(q)+10-@mean(q))) '数量分析成绩达到平均分时被录取的概率 数量分析成绩达到平均分时被录取的概率' 数量分析成绩达到平均分时被录取的概率 series xq2=@cnorm(common2) '计算数量分析成绩相对平均分增加 分时被录取概率增加值 计算数量分析成绩相对平均分增加10分时被录取概率增加值 计算数量分析成绩相对平均分增加 分时被录取概率增加值' series var12=xqplus2-xq2
二元选择模型
二元选择模型一 线性概率模型(LPM)如果应变量的取值是二元的，则我们可定义应变量的取值如下：⎩⎨⎧=择第二个方案个被观测的决策主体选如果第择第一个方案个被观测的决策主体选如果第i i Y i 0，， 1 如果我们直接用最小二乘法作应变量对解释变量的回归，这样得到的模型称为线性概率模型。
如用i X 2表示解释变量(为简单记，我们在模型中只引入一个解释变量，如果要用多个解释变量来说明第i 个决策者的选择行为，则只要进行简单推广即可)，则线性概率模型为i i i u X Y ++=221ββ (1)其中i u 是相互独立且均值为零的随机变量。
由于应变量i Y 只取两个值，所以从总体上看i Y 的均值即i Y 的数学期望可直接由期望的定义获得：i i i i P P P Y E =-⨯+⨯=)1(01)(其中i P 为第i 个决策者选择第一个方案的概率。
另一方面，由(4.26)式可得i Y 的数学期望为i i X Y E 221)(ββ+=故线性概率模型可表示为i i X P 221ββ+= (2)但如对解释变量的范围没作任何限制，则(2)式右边的值有可能会超出区间[0,1]的范围，从而使该式没有意义。
为了解释这个问题，通常的做法是将线性概率模型写成如下形式：⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+<+≤+=1 ，110 ，0 0221221221221i i i i i X X X X P ββββββββ当当当， (3)按最小二乘法，利用观测到的样本值，对1)式进行估计，得i Y 的预测方程ii X Y 221ˆˆˆββ+= (4) 该预测方程即为第i 个决策主体选择第一个方案的概率的估计值。
如果第i 个决策主体的解释变量的值为02X X i =，则该决策主体选择第一个方案的概率的估计值为021ˆˆˆX Y i ββ+=。
而斜率项系数的意义则是：当解释变量增加一个单位时，决策主体选择第一个方案的概率增加2β。
第六章 二元选择模型
当用线性概率模型进行预测，预测值 X i 落在区间
[0,1]之内时，则没有什么问题；但当预测值 X i 落 在区间 [0,1] 之外时，则会暴露出该模型的严重缺点， 此模型由 James Tobin 1958年提出。 James Tobin 所以此时必须强令预测值（概率值）相应等于 0 或1 。 1981年获诺贝尔经济学奖。 因此，线性概率模型常常写成下面的形式
Yi 和Yi*的关系为：
1 Y i* 0 Yi * 0 Y i 0
Yi* X i ui*
1 Y i* 0 Yi * 0 Y i 0
则
P(Yi 1) P(Yi* 0) P(ui* X i ) 1 F ( X i )
是二元离散选择模型最关键的问题。 我们假设有以Y 轴为对称的概率密度函数f（.），则
P(Yi 1) 1 F ( X i ) F ( X i )
P(Yi 0) F ( X i ) 1 F ( X i )
于是模型的似然函数为
P(Y1，Y2， Yn ) [1 F ( X i )] F ( X i )
分析公司员工的跳槽行为。 员工是否愿意跳槽到另一家公司，取决于薪 资、发展潜力等诸多因素的权衡。员工跳槽的成本 与收益是多少，我们无法知道，但我们可以观察到 员工是否跳槽，即
1 跳槽 Yi 0 不跳槽
对某项建议进行投票。 建议对投票者的利益影响是无法知道的，但可 以观察到投票者的行为只有三种，即
随机干扰项ui非正态且存在异方差性
由于随机干扰项具有异方差性。修正异方差 的一个方法就是使用加权最小二乘估计。但是加 ˆ 在 [0,1] 之间， 权最小二乘法无法保证预测值 Y i 这是线性概率模型的一个严重缺陷。
二元选择模型BinaryChoiceModel
1 X i 当yi 1，其概率为X i i X i 当yi 0，其概率为1 X i
具有异 方差性
• 由于存在这两方面的问题，所以原始模型不能作 为实际研究二元选择问题的模型。 • 需要将原始模型变换为效用模型。 • 这是离散选择模型的关键。
• 对第i个决策者重复观测n次，选择yi=1的次数比例为pi， 那么可以将pi作为真实概率Pi的一个估计量。
pi Pi ei F ( X i ) ei
定义“观测 到的”概率 单位
E ( ei ) 0 Var (ei ) pi (1 pi ) ni
vi F 1 ( pi ) F 1 ( Pi ei )
JG 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
XY 1500 96.00 -8.000 375.0 42.00 5.000 172.0 -8.000 89.00 128.0 6.000 150.0 54.00 28.00 25.00 23.00 14.00 49.00 14.00 61.00 40.00 30.00 112.0 78.00 0.000 131.0
Y X yi X i i
E( i ) 0 E ( yi ) X i
pi P( yi 1) 1 pi P( yi 0)
E( yi ) 1 P( yi 1) 0 P( yi 0) pi
E ( yi ) P( yi 1) X i
3、最大似然估计
• 欲使得效用模型可以估计，就必须为随机误差项 选择一种特定的概率分布。
• 两种最常用的分布是标准正态分布和逻辑 （logistic）分布，于是形成了两种最常用的二元 选择模型—Probit模型和Logit模型。 • 最大似然函数及其估计过程如下：
二元选择模型的建立
二元选择模型的建立
二元选择模型是一种用来评估两个不同选项的得失情况的模型，其中一个选项的得失会被衡量和评估，以帮助用户做出最佳决定。
建立二元选择模型的过程可分为以下几个步骤：
1. 确定问题：确定比较的问题，是跟踪投资回报，比较两个投资机会，还是决定所采取的目标市场等。
2. 建立模型：将所有与该问题有关的数据分类收集并且建立选择模型，是一个表格或图表，或者一个数学模型等。
3. 加入偏好因素：建立模型的过程中，应考虑偏好的因素，比如风险大小、可承受的损失，或者对未来收益的期望等。
4. 评估得失：用不同的指标评估每个选择的得失，评估模型中各个依据及其对失误机率及后果的影响等。
5. 做出最终决定：最后，根据二元选择模型的评估结果，作出最佳决定。
二元选择模型
线性概率模型的缺陷
1、干扰项的非正态性
2.3 LOGIT模型的估计
• 采用极大似然估计法。为什么采用极大 似然估计法？
• Stata命令：
logit depvar [indepvars] [if] [in] [weight] [, options]
• 极大似然估计的出发点就是寻找样本观 的估计值 测值最有可能发生条件下的 。从样本看，如果第一种选择发生了n次 ，第二种选择发生了N-n次。设采取第 一种选择的概率是pi。采取第二种选择 的概率是（1- pi）。重新将样本数据排 列，使前n个观测值为第一种选择，后 N-n个观测值为第二种选择，则似然函 数是 L(1 , 2 ) P(Y1 , Y2 ,...YN ) P(Y1 ) P(Y2 )...P(YN )
Probit模型
为了解释二分因变量，除了逻辑斯蒂函数 以外，还可以采用正态分布函数。这就 是Probit模型，也称为概率单位模型。
P( y 1| x) G(1 2 x1 ... k xk ) G(1 x )
若G采取如下形式 G( z) ( z) (v)dv 这样可得到Probit model。Probit模型的 估计：极大似然估计法 • STATA命令： probit depvar [indepvars]
模型回归系数的解释
1、由于Probit 与Logit 使用的分布函数不同，其参数估计值并不 直接可比。须计算边际效应，然后进行比较。 2、但对于非线性模型，边际效应不是常数，随着解释变量而变。 常用的边际效应概念： • (1) 平均边际效应(average marginal effect)，即分别计算在每 个样本观测值上的边际效应，然后进行简单算术平均。 • (2) 样本均值处的边际效应 (marginal effect at mean)，即在 • X=均值处的边际效应。 • (3) 在某代表值处的边际效应 (marginal effect at a representative value)，即给定x*，在x=x*处的边际效应。 3、在非线性模型中，样本均值处的个体行为并不等于样本中个体 的平均行为(average behavior of individuals differs from behavior of the average individual)。 4、对于政策分析而言，平均边际效应(Stata 的默认方法)，或在某 • 代表值处的边际效应通常更有意义。
二元选择模型和二值响应模型
二元选择模型和二值响应模型
"二元选择模型"（Binary Choice Model）和"二值响应模型"（Binary Response Model）通常在统计学和计量经济学中使用，用于处理对一个二元结果的建模和分析。
尽管这两个术语有时可以互换使用，但它们通常涉及到略微不同的概念。
1.二元选择模型（Binary Choice Model）：这个术语通常用于描述一类模型，其中观测值的因变量（响应变量）只有两个可能的取值，通常是0和1。
这个模型用于解释一个二元决策或选择的过程。
例如，考虑一个人是否购买某个产品（购买=1，不购买=0），这种情况下可以使用二元选择模型来建模。
2.常见的二元选择模型包括Logit模型（逻辑回归）和Probit模型（概率模型），它们都是处理二元结果的广泛应用的模型。
3.二值响应模型（Binary Response Model）：这个术语更加通用，它指的是对于某个事件或观测结果的响应只有两个可能取值的模型。
这也可以包括那些不仅仅涉及到选择或决策的情境，还包括其他类型的二元结果。
例如，是否违约（违约=1，未违约=0）也可以用二值响应模型来建模。
4.二值响应模型可以包括二元选择模型，但不限于此，因为它可以应用于更广泛的情境，包括一些不涉及明确选择的问题。
总体而言，这两个术语都涉及到处理二元结果的模型，而具体使用哪一个取决于具体的上下文和研究问题。
逻辑回归和概率模型是处理这类问题时常见的方法，它们在许多领域，包括经济学、社会科学和医学等方面都有广泛的应用。
2011管理统计 二元选择模型和受限因变量
模型框架
1 若某结果出现 yi 0 若某结果不出现
随机变量形式
1 yi 0 以概率p出现某结果 以概率1-p不出现某结果
二元选择模型的目的：考察X对于观察到 y=1的概率的影响。
E(y|x) 1 p+0 （ 1 p) p
Y的条件期望就是y=1的概率 因此二元选择模型又被称为概率模型
2、Logit模型
随机扰动项去Logistic分布， 称为Logit模型
e 1 F ( ) 1 e 1 e
Pi F (a bxi )
1 1 e ( a bxi )
利用极大似然估计方法求解
参数的含义
a bx e 机会比： P 1 e a bx p 机会比： e a bx， 1 p
离散因变量模型
我们经常会遇到被解释变量的取值是离散的 ，分类的或者顺序的情形。 本节讲述离散因变量模型中最简单的一种— —二元选择模型
一、二元选择模型
很多现象都可以用二元变量描述
学生是否选择某选修课程，选或者不选 消费者对某种商品的选择，买或者不买 农民是否加入合作医疗保险，加入或者不加入
即：y min( y* , c)
例如，在电影或者球赛的门票销售中，由于受到场地的限 制，门票的需求量超过了座位数C时，我们只能观察到 Y=C。
（2）下截取（左截取） 定义类似于上截取模型。一个特殊的下截取 模型，TOBIT模型
0 yi * yi if if yi* 0 yi* 0
E (Y | Y 0) ( x ) x ' ( x )
' '
( x )[ x ' ( x )]
《二元选择模型》课件
与其他模型的比较研究
比较二元选择模型与其他分类模型的 优缺点，为实际应用提供参考。
应用领域的拓展
将二元选择模型应用于更多领域，如 生物医学、环境科学等，以挖掘更多 有价值的信息。
谢谢观看
实证结果分析
边际效应分析
通过实证分析，我们得到了每个解释变量的边际效应，这些边际效应可以帮助我们了解各 个变量对二元选择结果的影响程度。
条件概率分析
在二元选择模型中，我们计算了每个解释变量的条件概率，这些条件概率可以帮助我们了 解在控制其他变量的情况下，某个变量对二元选择结果的影响程度。
稳健性检验
Probit模型
另一种统计方法，与Logit模型类似，用于估计二元选择概率 的优势。Probit模型同样将因变量的取值概率为0到1之间的 连续变量转换为二分类的离散变量，并使用最大似然估计法 估计模型参数。
概率优势的检验方法
显著性检验
检验解释变量对概率优势的影响是否 显著。通过比较模型拟合优度、参数 估计值等指标，判断解释变量是否对 二元选择结果产生了显著影响。
最小二乘估计法
总结词
最小二乘估计法是一种线性回归分析中的参数估计方法，通过最小化预测值与实 际值之间的平方误差来估计参数。
详细描述
最小二乘估计法的基本思想是，对于一组样本数据，选择参数值使得预测值与实 际值之间的平方误差最小。通过最小化误差平方和，可以得到参数的估计值。这 种方法在二元选择模型中有时也被用来估计模型参数。
二元选择模型的重要性
预测和决策支持
二元选择模型能够预测二 元结果，帮助决策者了解 不同因素对结果的影响， 从而做出更好的决策。
深入了解影响因素
通过分析影响二元结果的 因素，可以深入了解这些 因素的作用机制和影响程 度。
高级计量经济学二元选择模型
本章内容
反映选择行为的模型 线性概率模型 经典二元选择模型
PROBIT模型 LOGIT模型 极端值模型
拟合优度测定 案例分析
用计量经济模型反映选择行为
行为主体从事的每项活动都可以看作是一种选择； 每个行为主体都有其偏好； 人们的行为有其规则； 在经济分析中，通常认为选择基于效用最大化标准。 研究中需要考虑：
不同统计分布的特征
Probit 模型
G(z)的一种可选形式是标准正态累积分布函数， 此即Probit模型。
Pi GZi
1 2
e Zi u22du
式中u是误差项，假定服从标准正态分布；
P代表事件发生的概率。
估计指标Z，需要应用累计正态分布函数的逆函数
Z iG 1P iX i
由于Probit模型是参数非线性函数，因而需要用最 大似然法来估计。
我们可以估计有系数限制和没有系数限制的模型，然后利 用得到的两个对数似然值进行检验，相应的统计值为：
LR = 2(Lur – Lr) ~ χ2q
拟合优度
对于线性概率模型，可以直接用得到R2来判断拟合优度； Probit 模型和Logit模型没有R2，因而需要利用其他方法来
反映拟合优度。 一种方法是利用对数似然值计算伪R2（pseudo R2），该值
推断个人的行为
哪些学生最有可能报考研究生
二元选择模型可用于评价政策
在评价某项政策计划（或技术应用）产生的影响 时，常常可以用虚变量作为模型的因变量，例如：
是否参与某政策计划：
当所分析对象参与该某政策计划时D=1，否则D=0；
是否采纳某种（新）技术
当所分析对象采纳该技术时D=1，否则D=0；
也被称作对数似然值比值指数，定义为1 – Lur/Lr
二元离散选择模型
当（Z>0) D=1， 否则D=0 （Z<0) 区分开来;
确定了二值结果但有观察不到的概括性变量Z称为潜变量
Zi 0 1xi i
• 解释变量，包括选择对象所具有的属性和 选择主体所具有的属性。
1．二元响应模型(Binary response model)
• 我们往往关心响应概率
一类是求职者个体所具有的属性，诸如年龄、 文化水平、对职业的偏好等。 • 从大量的统计中，可以发现选择结果与影响因素 之间具有一定的因果关系。揭示这一因果关系并 用于预测研究，对于用人单位如何适应就业市场， 显然是十分有益的，这也需要建立计量经济模型。
二元离散选择模型的基 本要素
潜变量Z:这是一个观察 不到的连续变量（如 成功的实力或者就业 的可能性），它将
G ˆ0 ˆ1 X1 ... ˆm1 X m1 ˆm (cm 1) G ˆ0 ˆ1 X1 ... ˆm1 X m1 ˆmcm
如果X m为二值变量,则取cm 0;
一般都是对大致连续的变量代入其平均值.
例
1．数据：美国1988年的CPS数据 2．模型：估计成为工会成员的可能性，模型
0.006 0.587 0.000 0.709 0.586
-1.16e-11 -.2266117
.3858052 -6.685696 -.1699249
-1.91e-12 .1283442 .8367009 9.828388 .3007297
• 房地产政策的影响效应？
. dprobit effect capital type area gdprate
二元离散选择模型
• 1962年，Warner首次将它应用于经济研究领域， 用以研究公共交通工具和私人交通工具的选择问 题。
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三、Probit模型 在最终的效用模型
Yi* X i ui*
中，假定ui*的分布为标准正态分布，则该模型称为 Probit模型。
Probit模型的另一种表述为：
P(Yi 1) P(Yi* 0) P(ui* X i ) 1 ( X i )
( X i )
X i
1
e
z2 2
dz
2
五、 Extreme 模型 在最终的效用模型
Yi* X i ui*
中，假定ui*的分布为极值分布，则该模型称为 Extreme模型。
第二节 二元离散选择模型最大似然估计
下面我们来构造二元离散选择模型的似然函数。这 是二元离散选择模型最关键的问题。
我们假设有以Y 轴为对称的概率密度函数f（.），则
X
i
(*)
一、 Logit模型的最大似然估计
对于Logit模型，我 们有： 分布函数 F ( x) exp( x) Λ( x)
1 exp( x)
exp( x) 密度函数 f ( x) (1 exp( x))2 Λ( x)(1 Λ( x))
带入(*)式，我们得到： ln L
N
Yi
X i (1, X1i , X 2i , , X ki ) (0 , 1 , , k ) Pi P(Yi 1) E(Yi ) X i
Yi的样本值是0或1 。
现在来分析线性概率模型随机干扰项ui的分布
Yi 0 1 X1i k X ki ui X i ui
ui Yi Xi 1XXii
3. Extreme Value模型的建立与估计
P(Gradei 1) 1 exp(eXi )
Extreme Value模型估计结果表达式
Xiˆ 7.140 1.584*GPAi 0.060*SEi 1.616* PSIi
第三节 二元离散模型的评价和参数的统计检验
一、 模型的拟合优度检验
Mcfadden R-squared：
麦克法登似然比率指数（likelihood Ratio Index）
其被定义为:
1
P(Yi 1) 1 F ( X i ) F ( X i )
P(Yi 0) F ( X i ) 1 F ( X i )
于是模型的似然函数为
P(Y1，Y2， Yn ) [1 F( Xi )] F( Xi )
Yi 0
Yi 1
模型的似然函数为
L P(Y1，Y2， Yn ) [1 F( Xi )] F( Xi )
Yi 1 Yi 0
随Eu(i机ui干) 扰0项Xuii的方差1 为X i
概E(率ui2 ) (1X-Pii )2 (1 Pi ) P(i1 Xi )2 Pi Pi (1 Pi )
随机干扰项ui非正态且存在异方差性
由于随机干扰项具有异方差性。修正异方差
的一个方法就是使用加权最小二乘估计。但是加
道随机干扰项ui*的概率分布，通常假定ui*服从下列 二种分布，于是我们便得到了Logit 、 Probit模型：
逻辑分布
F ( x) exp( x) Λ( x) 1 exp( x)
标准正态分布
F( x) ( x)
x
1
e
z2 2
dz
2
第二节 二元Logit离散模型
在最终的P(效Yi用模1)型 1 P(YYi i* 1) X
i 1
Λ( X i )X i
0
然后运用迭代法来估计系数 。
Logistic回归参数的极大似然估计值有如下性质
（1）极大似然估计为一致估计，当样本容量很大 时，模型的参数估计值将比较接近真值; （2）极大似然估计为渐进有效的，当样本容量 增大时,参数估计的方差相对缩小,当样本容量N 时，极大似然的方差不大于用其它方法得到的参 数估计的方差;
又因为 E(ui ) 0 所以
E(Yi ) P(Yi 1) Pi 0 1 X i
线性概率模型只能在 0 Pi Xi 1 范围内
进行估计。
根据经典线性回归，我们知道其总体回归方程是 条件期望建立的，这使我们想象可以构造线性概 率模型
Yi 0 1 X1i k X ki ui X i ui
对某项建议进行投票。
建议对投票者的利益影响是无法知道的，但可 以观察到投票者的行为只有三种，即
1支持 Yi 2 反 对
3 弃 权
从上述被解释变量所取的离散数据看，如果被 解释变量只有两个选择，则建立的模型为二元离散 选择模型，又称二元型响应模型；如果变量有多于 二个的选择，则为多元选择模型。这种二元选择模 型或多元选择模型，统称离散选择模型。
ui0 )
记
Yi*
U
1 i
U
0 i
,
1 0 , ui* ui1 ui0
则有 Yi* X i ui* 格林称该模型为潜回归
Yi* X i ui* 作为研究对象的二元选择模型
这是二元选择模型的切入点。称Yi*为潜在变量。 这个变量是不可观测的。
当效用差Yi*大于零，则Yi 应该选 “ 1 ”
例1 考虑Greene给出的斯佩克特和马泽欧(1980) 的例子。
在例子中分析了某种教学方法对学生成绩的有效性。 因变量(Grade)表示学生在接受新教学方法后成绩是否得 到提高，如果提高， 则Grade =1；未提高，则Grade =0 。同时使用学生平均学分成绩GPA、调查测试之前学生的 期初考试分数SE和个性化教学系统PSI作为学生成绩的预 测单元，即解释变量。其中，如果对受调查学生采用新的 教学方法，则PSI=1；若没有采用新的教学方法，则PSI=0 。学校对32位学生进行了调查，得到表1所示的数据。
第六章 二元选择模型
第一节 线性概率模型模型 第二节 二元Logit离散模型 第三节 二元Probit离散模型模型 第四节 受限Tobit模型
二元离散选择模型的经济背景
实际经济生活中，人们经常遇到二元选择问题。
研究家庭是否购买住房。
由于购买住房行为要受到许多因素的影响，不
仅有家庭收入、房屋价格，还有房屋的所在环境、
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
0
5XBiblioteka 101520
25
30
效用模型
用
U
1 i
表示第
i个个体选择1的效用，U
0 i
表示第
i个
个体选择0的效用。其效用均为随机变量，于是有
UUi0i1
X i X i
1 0
ui1 ui0
（1） （2）
将(1)-(2)，得
U
1 i
U
0 i
X i( 1
0)
(ui1
（一） McFadden-R2 线性回归模型中的可决系数R2不再适用于测度
离散选择模型的拟合优度。原因是离散选择模型的 R2不可能接近1(因为Yi的观测值只取0或1，而Yi 的 预测值是概率) 。 目前最常用的是McFadden(1974) 提出的McFadden-R2，它是一种替代R2的度量拟合 优度的较好方法。
权最小二乘法无法保证预测值 Yˆi 在 [0,1] 之间，
这是线性概率模型的一个严重缺陷。
Yi 0 1 X1i k X ki ui X i ui
0 P i E ( Y i ) X i 1
可能不成立
当用线性概率模型进行预测，预测值 X i 落在区间 [0,1]之内时，则没有什么问题；但当预测值 X i 落
在此区模间型[由0,J1a]m之es外T时ob，in则19会58暴年露提出出该。模J型am的es严To重b缺in 点， 所19以81此年时获必诺须贝强尔令经预济测学值奖（。概率值）相应等于0或1。
因此，线性概率模型常常写成下面的形式
Pi
X i
1
0
0 X i 1 X i 1 X i 0
1.2 Y
人们的购买心理等，所以人们购买住房的心理价位
很难观测到，但我们可以观察到是否购买了住房，
即
1 购买住房
Yi 0 不购买住房
分析公司员工的跳槽行为。
员工是否愿意跳槽到另一家公司，取决于薪 资、发展潜力等诸多因素的权衡。员工跳槽的成本 与收益是多少，我们无法知道，但我们可以观察到 员工是否跳槽，即
1 跳槽 Yi 0 不跳槽
根据这些解释变量，建立度量学习效果模型
Grade
* i
X i
ui*
0
1GPA i
2 SE i
3 PSI i
ui*
其中，Grade 是 Grade 的不可观测的潜在变量。
1. Logit模型的建立与估计
X i
ln P(Gradei 1) 1 P(Gradei 1)
,
P (Grade i
1)
1 ,参数 j 的置信区间为 :
(ˆ j Z 2SE(ˆ j ), ˆ j Z 2SE(ˆ j ))
N
ln L (1 Yi )ln1 F ( Xi ) Yi lnF ( Xi ) i 1
二、 Probit模型、Extreme 模型的最大似然估计 如果是正态分布，则对数似然函数为
对数似然函数最大化的条件是
ln L
N i 1
(1
Yi
)
1
f ( Xi ) F ( Xi )
Yi f ( Xi ) F ( Xi )
X
i
(*)
于是我们选择F不同的形式得到不同的经验模型
ln L
N i 1
(1
Yi
)
1
f ( Xi ) F ( Xi )
Yi f ( Xi ) F ( Xi )
N
ln L (1 Yi )ln1 ( Xi ) Yi ln ( Xi ) i 1
如果是极值分布，则对数似然函数为