2019福建中考数学试题
2019年福建省中考数学试题及答案
2019年福建省中考数学试题及答案一、选择题(每小题4分，共40分) 1.计算22+(－1)°的结果是( ).A.5B.4C.3D.22.北京故宫的占地面积约为720 000m 2，将720 000用科学记数法表示为( ).A.72×104B.7.2×105C.7.2×106D. 0.72×106 3.下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ). A.等边三角形 B.直角三角形 C.平行四边形 D.正方形4.右图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是( ).5.已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ). A.12 B.10 C.8 D.66.如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是( ).A.甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定主视方向■▲■▲▲■▲■■▲■▲60708090100数学成绩/分班级平均分丙乙甲B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C.丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D.就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳 7.下列运算正确的是( ).A.a ·a 3= a 3B.(2a )3=6a 3C. a 6÷a 3= a 2D.(a 2)3－(－a 3)2=08.《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少?”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字?已知《孟子》一书共有34 685个字，设他第一天读x 个字，则下面所列方程正确的是( ).A. x +2x +4x =34 685B. x +2x +3xC. x +2x +2x =34 685D. x +21x +41x 9.如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 且∠ACB ＝55°，则∠APB 等于( ).A.55°B.70°C.110°D.125° 10.若二次函数y =|a |x 2+bx+c 的图象经过A(m ,n )、B(0,y 1)、C(3－m ,n )、D(2, y 2)、E(2,y 3)，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( ).A. y 1< y 2< y 3B. y 1 < y 3< y 2C. y 3< y 2< y 1D. y 2<y 3< y 1P(第9题)二、填空题(每小题4分，共24分)11.因式分解：x 2－9=__( x +3)( x －3)_____.12.如图，数轴上A 、B 两点所表示的数分别是－4和2， 点C 是线段AB 的中点，则点C 所表示的数是__－1_____.13.某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案.为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有__1200_____人.14.中在平面直角坐标系xOy 中，□OABC 的三个顶点O (0,0)、A (3,0) 、 B (4,2),则其第四个顶点是是__(1,2)_____.15.如图,边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的⊙O 的圆心重合,E 、F 分别是AD 、BA 的延长与⊙O 的交点,则图中阴影部分的面积 是__π－1_____.(结果保留π)16.如图,菱形ABCD 顶点A 在例函数y =x3(x >0)的图象上，函数 y =xk (k >3，x >0)的图象关于直线AC 对称，且经过点B 、D 两点，若AB ＝2，∠DAB ＝30°，则k 的值为_6+23______. 三、解答题(共86分) 17. (本小题满分8分) 解方程组：⎩⎨⎧=+=-425y x y x(第15题)DC EFABO(第16题)yxDCBAO-4(第12题)解：⎩⎨⎧-==23y x18. (本小题满分8分)如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边 AB 、CD 上的一点，且DF ＝BE . 求证：AF=CE .解：（略）19. (本小题满分8分)先化简，再求值：(x －1)÷(x －xx 12-),其中x =2+1解：原式=1-x x, 1+2220. (本小题满分8分) 如图，已知△ABC 为和点A'.(1)以点A'为顶点求作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC ，S △A'B'C'=4S △ABC ; (尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)FEDCBA(2)设D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、AC 的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、A'C'的中点，求证：△DEF ∽△D'E'F'.(2)证明(略)21. (本小题满分8分)在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠BAC ＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到△AED ，点B 、C 的对应点分别是E 、D . (1)如图1，当点E 恰好在AC 上时，求∠CDE 的度数；(2)如图2，若α=60°时，点F 是边AC 中点，求证：四边形BFDE 是平行四边形.A'CBA (图1)EDC BA(图2)FED CBACBA22.(本小题满分10分)某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理. 但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理. 已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元.根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元.(1)求该车间的日废水处理量m；(2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.解：(1)∵处理废水35吨花费370，且3530370 ＝768>8，∴m<35,∴30+8m +12(35－m)＝370，m＝20(2)设一天生产废水x吨,则当0< x≤20时，8x+30≤10 x，15≤x≤20当x>20时，12(x－20)+160+30≤10x，20<x≤25综上所述，15≤x≤2023.(本小题满分10分)某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元.每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费某公司计划购实1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；(1)以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；(2)试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？解：(1)0.6(2)购买10次时，此时这100台机器维修费用的平均数1(24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10) y1=100＝27300购买11次时，此时这100台机器维修费用的平均数1(26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10) y2=100＝27500所以，选择购买10次维修服务.24. (本小题满分12分)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB=AC ，BD ⊥AC ，垂足为E ，点F 在BD 的延长线上，且DF =DC ，连接AF 、CF . (1)求证：∠BAC =2∠DAC ； (2)若AF ＝10，BC ＝45，求tan ∠BAD 的值.解：(1)∵BD ⊥AC ，CD=CD ， ∴∠BAC =2∠CBD =2∠CAD ; (2)∵DF =DC ，∴∠BFC =21∠BDC =21∠BAC =∠FBC ,∴CB=CF , 又BD ⊥AC ，∴AC 是线段BF 的中垂线，AB= AF =10, AC =10. 又BC ＝45，设AE ＝x , CE =10－x ,AB 2－AE 2=BC 2－CE 2, 100－x 2=80－(10－x )2, x =6∴AE =6,BE =8,CE =4,("1,2,5";"3,4,5";Rt △组合)∴DE =BECE AE ⋅=846⨯=3,作DH ⊥AB ，垂足为H ，则DH=BD ·sin ∠ABD =11×53=533, BH= BD ·cos ∠ABD =11×54=544∴AH =10－544＝56∴tan ∠BAD =AHDH =633=21125.已知抛物y=ax 2+bx+c (b <0)与轴只有一个公共点.FEDCBAHFE DCBA(1)若公共点坐标为(2，0)，求a 、c 满足的关系式；(2)设A 为抛物线上的一定点，直线l ：y=kx+1－k 与抛物线交于点B 、C 两点，直线BD 垂直于直线y =－1,垂足为点D .当k ＝0时，直线l 与抛物线的一个交点在 y 轴上，且△ABC 为等腰直角三角形. ①求点A 的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每个给定的实数 k ，都有A 、D 、C解：(1) y=a (x －2)2, c =4a ;(2) y=kx+1－k = k (x －1)+1过定点(1,1),且当k ＝0时，直线l变为y =1平行x 轴,又△ABC 为等腰直角三角形，∴点A ①c =1，顶点A (1,0)抛物线的解析式: y = x 2－2x +1.②⎩⎨⎧-+=+-=k kx y x x y 1122x 2－(2+k)x +k ＝0, x ＝21(2+k ±42+k )x D ＝x B ＝21(2+k －42+k ), y D =－1； D ⎝⎛+1 y C ＝21(2+k 2+k42+k ,C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++2)4(1,24122k k k k k , A (1,0) ∴直线AD 的斜率k AD =422+--k k =242++k k ,直线AC的斜率k AC=24 2++kk∴k AD= k AC, 点A、C、D三点共线.。
2019年福建省中考数学试卷
2019年福建省中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1. 计算22+(−1)0的结果是（）A.5B.4C.3D.22. 北京故宫的占地面积约为720000m2，将720000用科学记数法表示为（）A.72×104B.7.2×105C.7.2×106D.0.72×1063. 下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.等边三角形B.直角三角形C.平行四边形D.正方形4. 如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（）A.B.C.D.5. 已知正多边形的一个外角为36∘，则该正多边形的边数为（）A.12B.10C.8D.66. 如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（）A.甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C.丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D.就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳7. 下列运算正确的是（）A.a⋅a3＝a3B.(2a)3＝6a3C.a6÷a3＝a2D.(a2)3−(−a3)2＝08. 《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（）A.x+2x+4x＝34685B.x+2x+3x＝34685C.x+2x+2x＝34685D.x+12x+14x＝346859. 如图，PA，PB是⊙O切线，A，B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB=55∘，则∠APB 等于()A.55∘B.70∘C.110∘D.125∘10. 若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A(m, n)、B(0, y1)、C(3−m, n)、D(√2, y2)、E(2, y3)，则y1、y2、y3的大小关系是（）A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2C.y3<y2<y1D.y2<y3<y1二、填空题（每小题4分，共24分）因式分解：x2−9=________．如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是−4和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是________．某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有________人．在平面直角坐标系xOy中，OABC的三个顶点O(0, 0)、A(3, 0)、B(4, 2)，则其第四个顶点是________．如图，边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的⊙O 的圆心重合，E ，F 分别是AD ，BA 的延长线与⊙O 的交点，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留π）如图，菱形________顶点________在函数________．三、解答题（共86分）解方程组{x −y =52x +y =4．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、CD 上的一点，且DF ＝BE ．求证：AF ＝CE ．先化简，再求值：(x −1)÷(x −2x−1x )，其中x =√2+1．已知△ABC 和点A ′，如图．（1）以点A ′为一个顶点作△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′∽△ABC ，且△A ′B ′C ′的面积等于△ABC 面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、AC 的中点，D ′、E ′、F ′分别是你所作的△A ′B ′C ′三边A ′B ′、B ′C ′、C ′A ′的中点，求证：△DEF ∽△D ′E ′F ′．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90∘，∠ACB ＝30∘，将△ABC 绕点C 顺时针旋转一定的角度α得到△DEC ，点A 、B 的对应点分别是D 、E ．（1）当点E 恰好在AC 上时，如图1，求∠ADE 的大小；（2）若α＝60∘时，点F 是边AC 中点，如图2，求证：四边形BEDF 是平行四边形．某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．（1）求该车间的日废水处理量m；（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；（1）以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；（2）试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；（2）若AF＝10，BC＝4√5，求tan∠BAD的值．已知抛物线y＝ax2+bx+c(b<0)与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为(2, 0)，求a、c满足的关系式；（2）设A为抛物线上的一定点，直线l:y＝kx+1−k与抛物线交于点B、C，直线BD 垂直于直线y＝−1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．①求点A的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．参考答案与试题解析2019年福建省中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1.【答案】A【考点】零指数幂有理数的乘方有理数的加法【解析】分别计算平方、零指数幂，然后再进行实数的运算即可．【解答】原式＝4+1＝52.【答案】B【考点】科学记数法–表示较大的数【解析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．【解答】将720000用科学记数法表示为7.2×105．3.【答案】D【考点】中心对称图形轴对称图形【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．4.【答案】C【考点】简单组合体的三视图【解析】从正面看几何体，确定出主视图即可．【解答】几何体的主视图为：5.【答案】B【考点】多边形内角与外角【解析】利用多边形的外角和是360∘，正多边形的每个外角都是36∘，即可求出答案．【解答】360∘÷36∘＝10，所以这个正多边形是正十边形．6.【答案】D【考点】方差折线统计图【解析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好【解答】A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确；B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确；C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确D．就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故D错误．7.【答案】D【考点】同底数幂的乘法幂的乘方与积的乘方合并同类项同底数幂的除法【解析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】A、原式＝a4，不符合题意；B、原式＝8a3，不符合题意；C、原式＝a3，不符合题意；D、原式＝0，符合题意，8.【答案】A【考点】由实际问题抽象出一元一次方程【解析】设他第一天读x个字，根据题意列出方程解答即可．【解答】设他第一天读x个字，根据题意可得：x+2x+4x＝34685，9.【答案】B【考点】多边形的内角和圆周角定理切线的性质【解析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110∘，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．【解答】解：连接OA，OB，如图，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB=55∘，∴∠AOB=110∘，∴∠APB=360∘−90∘−90∘−110∘=70∘．故选B.10.【答案】D【考点】二次函数图象上点的坐标特征【解析】由点A(m, n)、C(3−m, n)的对称性，可求函数的对称轴为x=32，再由B(0, y1)、D(√2, y2)、E(2, y3)与对称轴的距离，即可判断y1>y3>y2；【解答】∵经过A(m, n)、C(3−m, n)，∴二次函数的对称轴x=32，∵B(0, y1)、D(√2, y2)、E(2, y3)与对称轴的距离B最远，D最近，∵|a|>0，∴y1>y3>y2；二、填空题（每小题4分，共24分）【答案】(x+3)(x−3)【考点】因式分解-运用公式法【解析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】原式=(x+3)(x−3)，【答案】−1【考点】数轴【解析】根据A、B两点所表示的数分别为−4和2，利用中点公式求出线段AB的中点所表示的数即可．【解答】∵数轴上A，B两点所表示的数分别是−4和2，∴线段AB的中点所表示的数=1(−4+2)＝−1．2即点C所表示的数是−1．【答案】1200【考点】用样本估计总体【解析】用总人数乘以样本中喜欢甲图案的频率即可求得总体中喜欢甲图案的人数．【解答】=1200人，由题意得：2000×60100【答案】(1, 2)【考点】坐标与图形性质平行四边形的性质【解析】由题意得出OA＝3，由平行四边形的性质得出BC // OA，BC＝OA＝3，即可得出结果．【解答】∵O(0, 0)、A(3, 0)，∴OA＝3，∵四边形OABC是平行四边形，∴BC // OA，BC＝OA＝3，∵B(4, 2)，∴点C的坐标为(4−3, 2)，即C(1, 2)；【答案】π−1【考点】扇形面积的计算正方形的性质【解析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．【解答】解：由图可知，图中阴影部分的面积为：1 4×(S圆O−S正方形ABCD)=14×(4π−4)=π−1，故答案为：π−1. 【答案】ABCD,A,y=3x (x>0)的图象上，函数y=kx(k>3, x>0)的图象关于直线AC对称，且经过点B，D两点，若AB＝2，∠BAD＝30∘，则k＝6+2√3【考点】反比例函数与一次函数的综合【解析】连接OC，AC，过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，得O、A、C在第一象限的角平分线上，求得A点坐标，进而求得D点坐标，便可求得结果．【解答】连接OC，AC，过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，∵函数y=kx(k>3, x>0)的图象关于直线AC对称，∴O，A，C三点在同直线上，且∠COE＝45∘，∴OE＝AE，不妨设OE＝AE＝a，则A(a, a)，∵点A在在反比例函数y=3x(x>0)的图象上，∴a2＝3，∴a=√3，∴AE＝OE=√3，∵∠BAD＝30∘，∴∠OAF＝∠CAD=12∠BAD＝15∘，∵∠OAE＝∠AOE＝45∘，∴∠EAF＝30∘，∴AF=AEcos30=2，EF＝AEtan30∘＝1，∵ AB ＝AD ＝2，AE // DG ，∴ EF ＝EG ＝1，DG ＝2AE ＝2√3， ∴ OG ＝OE +EG =√3+1， ∴ D(√3+1, 2√3)， 三、解答题（共86分） 【答案】 {x −y =52x +y =4， ①+②得：3x ＝9，即x ＝3， 把x ＝3代入①得：y ＝−2， 则方程组的解为{x =3y =−2 ． 【考点】二元一次方程组的解代入消元法解二元一次方程组 【解析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解答】 {x −y =52x +y =4， ①+②得：3x ＝9，即x ＝3， 把x ＝3代入①得：y ＝−2， 则方程组的解为{x =3y =−2 ． 【答案】证明：∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ ∠D ＝∠B ＝90∘，AD ＝BC ， 在△ADF 和△CBE 中，{AD =BC∠D =∠BDF =BE，∴ △ADF ≅△CBE(SAS)， ∴ AF ＝CE ． 【考点】 矩形的性质全等三角形的性质与判定 【解析】由SAS 证明△ADF ≅△CBE ，即可得出AF ＝CE ． 【解答】证明：∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ ∠D ＝∠B ＝90∘，AD ＝BC ， 在△ADF 和△CBE 中，{AD =BC∠D =∠B DF =BE ，∴ △ADF ≅△CBE(SAS)， ∴ AF ＝CE ． 【答案】 原式＝(x −1)÷x 2−2x+1x＝(x−1)⋅x(x−1)2=xx−1，当x=√2+1，原式=√2+1√2+1−1＝1+√22．【考点】分式的化简求值【解析】先化简分式，然后将x的值代入计算即可．【解答】原式＝(x−1)÷x2−2x+1x＝(x−1)⋅x(x−1)2=xx−1，当x=√2+1，原式=√2+12+1−1＝1+√22．【答案】作线段A′C′＝2AC、A′B′＝2AB、B′C′＝2BC，得△A′B′C′即可所求．证明：∵A′C′＝2AC、A′B′＝2AB、B′C′＝2BC，∴△ABC∽△A′B′C′，∴S△A′B′C′S△ABC =(A′B′AB)2=4证明：∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，∴DE=12BC，DF=12AC，EF=12AB，∴△DEF∽△ABC同理：△D′E′F′∽△A′B′C′，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D′E′F′．【考点】相似三角形的判定三角形的面积三角形中位线定理作图—复杂作图【解析】（1）分别作A′C′＝2AC、A′B′＝2AB、B′C′＝2BC得△A′B′C′即可所求．（2）根据中位线定理易得∴△DEF∽△ABC，△D′E′F′∽△A′B′C′，故△DEF∽△D′E′F′【解答】作线段A′C′＝2AC、A′B′＝2AB、B′C′＝2BC，得△A′B′C′即可所求．证明：∵A′C′＝2AC、A′B′＝2AB、B′C′＝2BC，∴△ABC∽△A′B′C′，∴S△A′B′C′S△ABC =(A′B′AB)2=4证明：∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，∴DE=12BC，DF=12AC，EF=12AB，∴△DEF∽△ABC同理：△D′E′F′∽△A′B′C′，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D′E′F′．【答案】如图1，∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30∘，∠DEC＝∠ABC＝90∘，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA=1(180∘−30∘)＝75∘，2∴∠ADE＝90∘−75∘＝15∘；证明：如图2，∵点F是边AC中点，∴BF=1AC，2∵∠ACB＝30∘，∴AB=1AC，2∴BF＝AB，∵△ABC绕点C顺时针旋转60得到△DEC，∴∠BCE＝∠ACD＝60∘，CB＝CE，DE＝AB，∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，∴BE＝CB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≅△ABC，∴DF＝BC，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．【考点】平行四边形的判定旋转的性质【解析】（1）如图1，利用旋转的性质得CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30∘，∠DEC＝∠ABC＝90∘，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAD，从而利用互余和计算出∠ADE的度数；AC，利用含30度的直角三（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF=12AC，则BF＝AB，再根据旋转的性质得到∠BCE＝∠ACD＝角形三边的关系得到AB=1260∘，CB＝CE，DE＝AB，从而得到DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，接着证明△CFD≅△ABC得到DF＝BC，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．【解答】如图1，∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30∘，∠DEC＝∠ABC＝90∘，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA=1(180∘−30∘)＝75∘，2∴∠ADE＝90∘−75∘＝15∘；证明：如图2，∵点F是边AC中点，∴BF=1AC，2∵∠ACB＝30∘，∴AB=1AC，2∴BF＝AB，∵△ABC绕点C顺时针旋转60得到△DEC，∴∠BCE＝∠ACD＝60∘，CB＝CE，DE＝AB，∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，∴BE＝CB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≅△ABC，∴DF＝BC，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．【答案】∵35×8+30＝310（元），310<370，∴m<35．依题意，得：30+8m+12(35−m)＝370，解得：m＝20．答：该车间的日废水处理量为20吨．设一天产生工业废水x吨，当0<x≤20时，8x+30≤10x，解得：15≤x≤20；当x>20时，12(x−20)+8×20+30≤10x，解得：20<x≤25．综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为15≤x≤25．【考点】一元一次不等式的实际应用一元一次方程的应用——工程进度问题【解析】（1）求出该车间处理35吨废水所需费用，将其与370比较后可得出m<35，根据废水处理费用＝该车间处理m吨废水的费用+第三方处理超出部分废水的费用，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设一天产生工业废水x吨，分0<x≤20及x>20两种情况考虑，利用每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】∵35×8+30＝310（元），310<370，∴m<35．依题意，得：30+8m+12(35−m)＝370，解得：m＝20．答：该车间的日废水处理量为20吨．设一天产生工业废水x吨，当0<x≤20时，8x+30≤10x，解得：15≤x≤20；当x>20时，12(x−20)+8×20+30≤10x，解得：20<x≤25．综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为15≤x≤25．【答案】=0.6．“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率=60100购买10次时，此时这100台机器维修费用的平均数(24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10)＝y1=110027300购买11次时，此时这100台机器维修费用的平均数y2=1(26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10)＝10027500，∵27300<27500，所以，选择购买10次维修服务．【考点】总体、个体、样本、样本容量列表法与树状图法利用频率估计概率用样本估计总体加权平均数【解析】（1）利用概率公式计算即可．（2）分别求出购买10次，11次的费用即可判断．【解答】=0.6．“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率=60100购买10次时，此时这100台机器维修费用的平均数(24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10)＝y1=110027300购买11次时，此时这100台机器维修费用的平均数y2=1100(26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10)＝27500，∵27300<27500，所以，选择购买10次维修服务．【答案】∵AB＝AC，∴AB^=AC^，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC=12(180∘−∠BAC)＝90∘−12∠BAC，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90∘−∠CAD，∴12∠BAC＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠CAD；∵DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠BDC＝2∠DFC，∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC＝∠FBC，∴CB＝CF，又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB＝AF＝10，AC＝10．又BC＝4√5，设AE＝x，CE＝10−x，由AB2−AE2＝BC2−CE2，得100−x2＝80−(10−x)2，解得x＝6，∴AE＝6，BE＝8，CE＝4，∵∠ACD＝∠ABD，∠CED＝∠BEA，∴△CED∽△BEA，∴DEAE =CEBE，∴DE=AE⋅CEBE =6×48=3，∴BD＝BE+DE＝3+8＝11，作DH⊥AB，垂足为H，∵12AB⋅DH=12BD⋅AE，∴DH=BD⋅AEAB =11×610=335，∴BH=√BD2−DH2=445，∴AH＝AB−BH＝10−445=65，∴tan∠BAD=DHAH =336=112．【考点】圆周角定理等腰直角三角形圆心角、弧、弦的关系解直角三角形【解析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB^=AC^，即可得到∠ABC＝∠ADB，根据三角形内角和定理得到∠ABC=12(180∘−∠BAC)＝90∘−12∠BAC，∠ADB＝90∘−∠CAD，从而得到12∠BAC＝∠CAD，即可证得结论；（2）易证得BC＝CF＝4√5，即可证得AC垂直平分BF，证得AB＝AF＝10，根据勾股定理求得AE、CE、BE，根据相似三角形的性质求得DE，即可求得BD，然后根据三角形面积公式求得DH，进而求得AH，解直角三角函数求得tan∠BAD的值．【解答】∵AB＝AC，∴AB^=AC^，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC=12(180∘−∠BAC)＝90∘−12∠BAC，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90∘−∠CAD，∴12∠BAC＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠CAD；∵DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠BDC＝2∠DFC，∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC＝∠FBC，∴CB＝CF，又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB＝AF＝10，AC＝10．又BC＝4√5，设AE＝x，CE＝10−x，由AB2−AE2＝BC2−CE2，得100−x2＝80−(10−x)2，解得x＝6，∴AE＝6，BE＝8，CE＝4，∵∠ACD＝∠ABD，∠CED＝∠BEA，∴ △CED ∽△BEA ， ∴ DEAE =CEBE ， ∴ DE =AE⋅CE BE=6×48=3，∴ BD ＝BE +DE ＝3+8＝11， 作DH ⊥AB ，垂足为H ， ∵ 12AB ⋅DH =12BD ⋅AE ， ∴ DH =BD⋅AE AB=11×610=335， ∴ BH =√BD 2−DH 2=445， ∴ AH ＝AB −BH ＝10−445=65， ∴ tan∠BAD =DHAH =336=112．【答案】抛物线与x 轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y ＝a(x −2)2＝ax 2−4ax +4a ， 则c ＝4a ；y ＝kx +1−k ＝k(x −1)+1过定点(1, 1)，且当k ＝0时，直线l 变为y ＝1平行x 轴，与y 轴的交点为(0, 1)， 又△ABC 为等腰直角三角形， ∴ 点A 为抛物线的顶点； ①c ＝1，顶点A(1, 0)，抛物线的解析式：y ＝x 2−2x +1， ②{y =x 2−2x +1y =kx +1−k ，x 2−(2+k)x +k ＝0， x =12(2+k ±√k 2+4)，x D ＝x B =12(2+k −√k 2+4)，y D ＝−1；则D(1+k−√k2+42,−1)，y C =12(2+k 2+k√k 2+4)， C(1+k+√k 2+42,1+k(k+√k 2+4)2)，A(1, 0)，∴ 直线AD 表达式中的k 值为：k AD =k−√k 2+4=k+√k 2+42，直线AC 表达式中的k 值为：k AC =k+√k2+42，∴ k AD ＝k AC ，点A 、C 、D 三点共线．【考点】二次函数综合题 【解析】（1）抛物线与x 轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，即可求解；（2）①y ＝kx +1−k ＝k(x −1)+1过定点(1, 1)，且当k ＝0时，直线l 变为y ＝1平行x 轴，与轴的交点为(0, 1)，即可求解；②计算直线AD 表达式中的k 值、直线AC 表达式中的k 值，两个k 值相等即可求解． 【解答】抛物线与x 轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y ＝a(x −2)2＝ax 2−4ax +4a ， 则c ＝4a ；y ＝kx +1−k ＝k(x −1)+1过定点(1, 1)，且当k ＝0时，直线l 变为y ＝1平行x 轴，与y 轴的交点为(0, 1)， 又△ABC 为等腰直角三角形， ∴ 点A 为抛物线的顶点； ①c ＝1，顶点A(1, 0)，抛物线的解析式：y ＝x 2−2x +1， ②{y =x 2−2x +1y =kx +1−k ，x 2−(2+k)x +k ＝0， x =12(2+k ±√k 2+4)，x D＝x B=12(2+k−√k2+4)，y D＝−1；则D(1+k−√k2+42,−1)，y C=12(2+k2+k√k2+4)，C(1+k+√k2+42,1+k(k+√k2+4)2)，A(1, 0)，∴直线AD表达式中的k值为：kAD =2=k+√k2+42，直线AC表达式中的k值为：k AC=k+√k2+42，∴k AD＝k AC，点A、C、D三点共线．试卷第21页，总21页。
2019年福建省中考数学试卷(带解析)
一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）
1．（4 分）计算 22+（﹣1）0 的结果是（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
2．（4 分）北京故宫的占地面积约为 720000m2，将 720000 用科学记数法表示为（ ）
A．72×104
B．7.2×105
C．7.2×106
D．0.72×106
23．（10 分）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外 购买若干次维修服务，每次维修服务费为 2000 元．每台机器在使用期间，如果维修次数 未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费 500 元； 如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费 5000 元，但无需支付工时费．某公司计划购买 1 台该种机器，为决策在购买机器时应同 时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内的维修 次数，整理得下表； 维修次数 8 9 10 11 12 频率（台数） 10 20 30 30 10 （1）以这 100 台机器为样本，估计“1 台机器在三年使用期内维修次数不大于 10”的概
A．72×104
B．7.2×105
C．7.2×106
D．0.72×106
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，
据此判断即可．
【解答】解：将 720000 用科学记数法表示为 7.2×105．
故选：B．
3．（4 分）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
2019年福建省中考数学试卷-答案(可编辑修改word版)
福建省2019年初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学答案解析1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】D7.【答案】D8.【答案】A9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】()(33)x x ①①12.【答案】1①13.【答案】1 20014.【答案】(1)2①15.【答案】1π①16.【答案】6+17.【答案】解：5,24,x y x y -=⎧⎨+=⎩①①①＋②，得，()24)5(x y x y ①①①①①即，39x ①解得，3x ①把代入②，得，3x ①234y ⨯①①解得．2y ①①所以原方程组的解为32x y =⎧⎨=-⎩【考点】二元一次方程组的解法【考查能力】运算能力18.【答案】证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴，90D B ∠∠︒＝＝，AD CB ＝在和中，ADF △CBE △AD CB D B DF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①①∴，ADF CBE △≌△∴．AF CE＝【考点】矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质【考查能力】推理能力19.【答案】解：原式2(21)(1)x x x x--=-- 221(1)x x x x-+=-- 2(1)(1)x x x-=-- 2(1)(1)xx x =-⋅- (1)xx =-当时，原式.1x =1===+【考点】分式的混合运算，因式分解，二次根式的运算【考查能力】运算能力20.【答案】解：（1）即为所求作的三角形．A B C '''△（2）证明∵D ，E ，F 分别是三边AB ，BC ，CA 的中点，ABC △∴，111222DE AC EF AB FD BC ＝，＝，＝同理，．111''''''''''''222D E A C E F A B F D B C ＝，＝，＝∵，ABC A B C '''△∽△=''''AC AB BC A C A B B C =‘’，即111222=111''''222AC AB BC A C A B B C =‘’''''''DE EF FD D E E F F D ==∴DEF D E F '''△∽△【考点】尺规作图，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理【考查能力】推理能力21.【答案】解：（1）在中，，，ABC △90ABC ∠︒＝30ACB ∠︒＝∴．60BAC ∠︒＝由旋转性质得，，．DC AC ＝30DCE ACB ∠∠︒＝＝∴，1180752()DAC ADC DCE ∠∠︒-∠︒＝＝＝又，60EDC BAC ∠∠︒＝＝∴．15ADE ADC EDC ∠∠-∠︒＝＝（2）在中，，，ABC △90ABC ∠︒＝30ACB ∠︒＝∴，12AB AC ＝∵F 是AC 的中点，∴，12BF FC AC ＝＝∴．由旋转性质得，30FBC ACB ∠∠︒＝＝，90AB DE DEC ABC ∠∠︒＝，＝＝，60BCE ACD ∠∠︒＝＝∴，DE BF ＝延长BF 交EC 于点G ，则，90BGE GBC GCB ∠∠∠︒＝＋＝∴，BGE DEC ∠∠＝∴，DE BF A ∴四边形 BEDF 是平行四边形．【考点】图形的旋转，直角三角形，等腰三角形，等边三角形，三角形的内角和，平行四边形的判定【考查能力】运算能力，推理能力22.【答案】解：（1）因为工厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元，又，所以37030688357-=＞35m ＜依题意得，，308123)3(570m m -＋＋＝解得20m ＝故该车间的日废水处理量为20吨．（2）设该厂一天产生的工业废水量为吨．x ①当时，依题意得，，解得，所以．020x ＜≤83010x x ＋≤15x ≥1520x ≤≤②当时，依题意得，，解得，所以．20x ＞12202083010()x x ⨯－＋＋≤25x ≤2025x ＜≤综上所述，，1525x ≤≤故该厂一天产生的工业废水量的范围在15吨到25吨之间．【考点】一元一次方程，一元一次不等式，反比例函数的性质，平均数的概念【考查能力】运算能力，推理能力23.【答案】解：（1）因为100台机器在三年使用期内维修的次数不大于100的台数为10＋20＋30＝60，所以“100台机器在三年使用期内维修的次数不大于10”的频率为，60=0.6100故可估计“1台机器在三年使用期内维修的次数不大于10”的概率为0.6．（2）若每台都购买10次维修服务，则有下表：某台机器使用期内维修次数89101112该台机器的维修费用2400024500250003000035000此时这100台机器维修费用的平均数124000102450020250003030000303500010100100y ⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＝，=27300若每台都购买 11 次维修服务，则有下表：某台机器使用期内维修次数89101112该台机器的维修费用2600026500270002750032500此时这100台机器维修费用的平均数226000102650020270003027500303250010=100y ⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋，=27500因为，所以购买1台该机器的同时应一次性额外购买10次维修服务．12y y ＜【考点】概率，加权平均数，统计表【考查能力】运算能力，推理能力24.【答案】证明：（1）∵，AC BD ⊥∴，90AED ∠︒＝在中，．Rt AED △90ADE CAD ∠︒∠＝－∵，AB AC ＝∴A A AB AC=∴．90ACB ABC ADE CAD ∠∠∠︒∠＝＝＝－在中，，ABC △180BAC ABC ACB ∠∠∠︒＋＋＝∴，即．()(180180290)BAC ABC ACB CAD ∠︒∠∠︒︒∠＝－＋＝－－2BAC CAD ∠=∠（2）∵，DF DC ＝∴，FCD CF ∠∠＝∴，BDC FCD CFD ∠∠∠＝＋∴2BDC CFD∠∠＝∵，且由（1）知，BDC BAC ∠∠＝2BAC CAD ∠∠＝∴，CFD CAD ∠∠＝∵，CAD CBD ∠∠＝∴，CFD CBD ∠∠＝∴，CF CB ＝∵，AC BF ⊥∴，故垂直平分，BE EF ＝CA BF ∴，10AC AB AF ＝＝＝设，则，在和中，，AE x ＝10CE x ＝－Rt ABE △Rt BCE △²²²²²AB AE BE BC CE －＝＝－又∵，BC ＝∴，解得，(()22221010x x -=--6x =∴64AE CE ＝，＝，∴，8BE ∵，，DAE CBE ∠∠＝ADE BCE ∠∠＝∴．ADE BCE △∽△∴AE DE AD BE CE BC==∴3,DE AD ==过点D 作，垂足为H .DH AB ⊥∵，11,1122ABD S AB DH BD AE BD BE DE =⋅=⋅=+=△∴故10116,DH =⨯335DH =在中，Rt ADH △6²²5AH AD DH -＝＝∴112DH tan BAD AH ∠==【考点】圆的有关性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形面积等基础知识【考查能力】运算能力，推理能力25.【答案】解：（1）依题意，，，240b ac △＝－＝22b a-=所以，2440()a ac －－＝因为，所以，即满足的关系式为．0a ≠4c a ＝a c ，4c a ＝（2）①当时，直线为，它与轴的交点为．0k ＝l 1y ＝y (0)1，∵直线与轴平行，1y ＝x ∴等腰直角的直角顶点只能是，且是抛物线的顶点．过作，垂足为，则ABC △A A A AM BC ⊥M ，1AM ＝∴，故点坐标为，1BM MC AM ＝＝＝A (1)0，∴抛物线的解析式可改写为【考点】一次函数和二次函数的图形与性质，等腰直角三角形的性质与判定，图形的对称【考查能力】运算能力，推理能力∴抛物线的解析式可改写为，2(1)y a x =-∵抛物线过点，所以，解得.()0,121(01)a =-1a =所以抛物线的解析式为，即.2(1)y a x =-221y x x =-+②设，则.()()1122,,,B x y C x y ()1,1D x -由得，2121y kx k y x x =+-⎧⎨=-+⎩2(2)0x k x k -++=因为22(2)440k k k =+-=+△＞由抛物线的对称性，不妨设，则，12x x ＜1x =2x =所以，121x x ＜＜设直线的解析式为，则有，解得AD y mx n =+101m n mx n =+⎧⎨-=+⎩111111m x n x ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩所以直线的解析式为.AD 111111y x x x =-+--因为()222221111111111x y x x x x x ⎛⎫---+=-+ ⎪---⎝⎭()()()212111111x x x x -⎡--+⎤⎣⎦=-()21111x x ⎫-+⎪⎪⎝⎭=-0=即，所以点在直线上.22111111y x x x =-+--()22,C x y AD 故对于每个给定的实数，都有三点共线.k ,,A C D。
2019福建省中考数学试卷(详解版)
2019福建省中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）答案解析A.B.C.D.计算的结果是（）．1A，故选：．答案解析A.B.C.D.北京故宫的占地面积约为，将用科学记数法表示为（）．2B．故选．答案解析A.等边三角形B.直角三角形C.平行四边形D.正方形下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．3DA 选项：是轴对称，不是中心对称；B 选项：既不是轴对称，也不是中心对称；C 选项：是中心对称，但不是轴对称；4右图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（从正面看，球的视图是一个圆；长方体的视图是一个长方形，且长方体的长大于球直径，故5已知正多边形的一个外角是6如图是某班甲、乙、丙三位同学最近7下列运算正确的是（8《增删算法统宗》记载：9如图，10若二次函数11因式分解：12如图，数轴上13某校征集校运会会徽图案，遴选出甲、乙，丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机调查了14在平面直角坐标系15如图，边长为16如图，菱形17解方程组：18如图，点19先化简，再求值：20已知21在答案解析某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，投资组建了日废水处理量为吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本元，并且每处理一吨废水还需其他费用元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付元．根据记录，月日，该厂产生工业废水吨，共花费废水处理费元．22求该车间的日废水处理量．(1)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过元吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．(2)吨．(1)吨到吨之间．(2)因为工厂产生工业废水吨，共花费废水处理费元，又，所以，依题意得，，解得，故该车间的日废水处理量为吨．(1)设该厂一天产生的工业废水量为吨．①当时，依题意得，，解得，所以．②当时，依题意得，，解得，所以，综上所述，，故该厂一天产生的工业废水量的范围在吨到吨之间．(2)某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修还需向维修人员支付工时费元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修需支付维修服务费元，但无需支付工时费．某公司计划购买台该23答案解析种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表：维修次数频数（台数）以这台机器为样本，估计“台机器在三年使用期内维修次数不大于”的概率．(1)试以这台机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买台该机器的同时应一次性额外购买次还是次维修服务？(2)．(1)购买台该机器的同时应一次性额外购买次维修服务．(2)因为“台机器在三年使用期内维修次数不大于”的台数为，所以“台机器在三年使用期内维修次数不大于”的频率为，故可估计“台机器在三年使用期内维修次数不大于”的概率为．(1)若每台都购买次维修服务，则有下表：某台机器使用期内维修次数该台机器的维修费用此时这台机器维修费用的平均数，若每台都购买次维修服务，则有下表：某台机器使用期内维修次数该台机器的维修费用此时这台机器维修费用的平均数，因为，所以购买台该机器的同时应一次性额外购买次维修服务．(2)24如图，四边形25已知抛物线设，，则，由得，因为，由抛物线的对称性，不妨设，则，，所以，设直线的解析式为，则有，解得，所以直线的解析式为，因为，即，所以点在直线上，故对于每个给定的实数，都有，，三点共线．2。
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2019年福建省中考数学试题及答案一、选择题(每小题4分，共40分) 1.计算22+(－1)°的结果是( ).A. 5B.4C.3D.22.北京故宫的占地面积约为720 000m 2，将720 000用科学记数法表示为( ). A. 72×104 B.7.2×105 C.7.2×106 D. 0.72×1063.下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ). A.等边三角形 B.直角三角形 C.平行四边形 D.正方形4. 右图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是( ).5. 已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ). A.12 B.10 C.8 D.66. 如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是( ).A.甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C.丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D.就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳定 7.下列运算正确的是( ).A. a ·a 3= a 3B. (2a )3=6a 3C. a 6÷a 3= a 2D. (a 2)3－(－a 3)2=08.《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少?”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字?已知《孟子》一书共有34 685个字，设他第一天读x 个字，则下面所列方程正确的是( ). A. x +2x +4x =34 685 B. x +2x +3x =34 685 C. x +2x +2x =34 685 D. x +21x +41x =34 685 9. 如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上， 且∠ACB ＝55°，则∠APB 等于( ). A.55° B.70° C.110° D.125°OPBA主视方向■▲■▲▲■▲■■▲■▲54321060708090100数学成绩/分班级平均分丙乙甲10. 若二次函数y =|a |x 2+bx+c 的图象经过A(m ,n )、B(0,y 1)、C(3－m ,n )、D(2, y 2)、E(2,y 3)，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( ).A. y 1< y 2< y 3B. y 1 < y 3< y 2C. y 3< y 2< y 1D. y 2< y 3< y 1 二、填空题(每小题4分，共24分)11.因式分解：x 2－9=__( x +3)( x －3)_____.12.如图，数轴上A 、B 两点所表示的数分别是－4和2， 点C 是线段AB 的中点，则点C 所表示的数是__－1_____.13.某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案.为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有__1200_____人. 14.中在平面直角坐标系xOy 中，□OABC 的三个顶点O (0,0)、A (3,0) 、 B (4,2),则其第四个顶点是是__(1,2)_____.15.如图,边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的⊙O 的圆心重合,E 、F 分别是AD 、BA 的延长与⊙O 的交点,则图中阴影部分的面积 是__π－1_____.(结果保留π)16.如图,菱形ABCD 顶点A 在例函数y =x3(x >0)的图象上，函数y =xk(k >3，x >0)的图象关于直线AC 对称，且经过点B 、D两点，若AB ＝2，∠DAB ＝30°，则k 的值为_6+23______. 三、解答题(共86分) 17. (本小题满分8分)解方程组：⎩⎨⎧=+=-425y x y x答案：⎩⎨⎧-==23y x18. (本小题满分8分)如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边 AB 、CD 上的一点，且DF ＝BE . 求证：AF=CE . 证明：（略）(第15题)DCE F A BO F EDCBA (第16题)yxDCBAO-4CB A (第12题)先化简，再求值：(x －1)÷(x －xx 12-),其中x =2+1 答案：原式=1-x x, 1+2220. (本小题满分8分)如图，已知△ABC 为和点A'.(1) 以点A'为顶点求作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC ，S △A'B'C'=4S △ABC ; (尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)设D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、AC 的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、A'C'的中点，求证：△DEF ∽△D'E'F'.(2)证明：(略)21. (本小题满分8分)在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠BAC ＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到△AED ，点B 、C 的对应点分别是E 、D .(1)如图1，当点E 恰好在AC 上时，求∠CDE 的度数； (2)如图2，若α=60°时，点F 是边AC 中点，求证：四边形BFDE 是平行四边形.A'CB A (图1)EDC B A (图2)F ED C BAC B A某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m 吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理. 但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理. 已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元.根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元. (1) 求该车间的日废水处理量m ；(2) 为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.解：(1)∵处理废水35吨花费370，且3530370 ＝768>8，∴m <35, ∴30+8m +12(35－m )＝370，m ＝20(2)设一天生产废水x 吨,则当0< x ≤20时，8x +30≤10 x ， 15≤x ≤20当x >20时，12(x －20)+160+30≤10x ， 20<x ≤25 综上所述，15≤x ≤20 23.(本小题满分10分)某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元.每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费某公司计划购实1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在10”的概率；(2)试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？ 解： (1) 0.6y 1=1001(24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10)＝27300y 2=1001(26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10)＝27500 所以，选择购买10次维修服务.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB=AC ，BD ⊥AC ，垂足为E ，点F 在BD 的延长线上，且DF =DC ，连接AF 、CF .(1)求证：∠BAC =2∠DAC ；(2)若AF ＝10，BC ＝45，求tan ∠BAD 的值. 解：(1)∵BD ⊥AC ，CD=CD ， ∴∠BAC =2∠CBD =2∠CAD ; (2)∵DF =DC ， ∴∠BFC =21∠BDC =21∠BAC =∠FBC , ∴CB=CF ,又BD ⊥AC ，∴AC 是线段BF 的中垂线，AB= AF =10, AC =10. 又BC ＝45，设AE ＝x , CE =10－x ,AB 2－AE 2=BC 2－CE 2, 100－x 2=80－(10－x )2, x =6 ∴AE =6,BE =8,CE =4,("1,2,5";"3,4,5";Rt △组合) ∴DE =BE CE AE ⋅=846⨯=3, 作DH ⊥AB ，垂足为H ，则 DH=BD ·sin ∠ABD =11×53=533, BH= BD ·cos ∠ABD =11×54=544∴AH =10－544＝56∴tan ∠BAD =AH DH =633=21125. 已知抛物y=ax 2+bx+c (b <0)与轴只有一个公共点.(1)若公共点坐标为(2，0)，求a 、c 满足的关系式；(2)设A 为抛物线上的一定点，直线l ：y=kx+1－k 与抛物线交于点B 、C 两点，直线BD 垂直于 直线y =－1,垂足为点D .当k ＝0时，直线l 与抛物线的一个交点在 y 轴上，且△ABC 为等腰直角三角形.①求点A 的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每个给定的实数 k ，都有A 、D 、C 三点共线.解：(1) y=a (x －2)2, c =4a ;(2) y=kx+1－k = k (x －1)+1过定点(1,1),且当k ＝0时，直线l 变为y =1平行x 轴,与轴的交点为(0,1)又△ABC 为等腰直角三角形，∴点A 为抛物线的顶点 ①c =1，顶点A (1,0)抛物线的解析式: y = x 2－2x +1. FEDCBA HFEDCBA②⎩⎨⎧-+=+-=kkx y x x y 1122 x 2－(2+k)x +k ＝0, x ＝21(2+k ±42+k ) x D ＝x B ＝21(2+k －42+k ), y D =－1； D ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+1,2412k k y C ＝21(2+k 2+k 42+k , C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++2)4(1,24122k k k k k , A (1,0) ∴直线AD 的斜率k AD =422+--k k =242++k k ,直线AC 的斜率k AC =242++k k∴k AD = k AC , 点A 、C 、D 三点共线.。
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2019年福建省中考数学试题（满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．计算22+（﹣1）0的结果是（）A．5 B．4 C．3 D．22．北京故宫的占地面积约为720000m2，将720000用科学记数法表示为（）A．72×104B．7.2×105C．7.2×106D．0.72×1063．下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．直角三角形C．平行四边形D．正方形4．如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．5．已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（）A．12 B．10 C．8 D．66．如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（）A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳7．下列运算正确的是（）A．a•a3＝a3B．（2a）3＝6a3C．a6÷a3＝a2D．（a2）3﹣（﹣a3）2＝08．《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（）A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685 C．x+2x+2x＝34685 D．x+x+x＝34685 9．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（）A．55°B．70°C．110°D．125°10．若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E （2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
2019年福建省中考数学试题(含解析)
2019年福建省初中毕业、升学考试数学学科（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．（2019福建省，1，4分）计算22＋(－1)0的结果是( ) ． A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】A【解析】原式＝4＋1＝5故选择A ．【知识点】有理数的运算；乘方；零指数次幂；2．（2019福建省，2，4分）北京故宫的占地面积约为720 000m 2，将720 000用科学记数法表示为( ). A ．72×104 B ．7．2×105 C ．7．2×106 D ．0．72×106 【答案】B【解析】因为720 000＝7．2×100000＝7．2×105，故选项B 正确． 【知识点】科学记数法； 3．（2019福建省，3，4分）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．平行四边形D ．正方形 【答案】D【解析】等边三角形是轴对称不是中心对称选，故A 选项错误；直角三角形既不是轴对称也不是中心对称图形，故B 选项错误；平行四边形是中心对称图形而不是轴对称图形，故C 选项错误；正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，D 选项正确．故选D【知识点】轴对称图形；中心对称图形； 4．（2019福建省，4，4分）右图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（ ）【答案】C【解析】因为球体的主视图是圆形，长方体的主视图是一个长方形，再根据摆放的位置和大小可以判断出C 选项正确．【知识点】三视图；主视图； 5．（2019福建省，5，4分）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．6 【答案】B【解析】根据正多边形的外角和360°，且正多边形的每个外角都相等，则边数n ＝36036︒︒＝10，故选项B 正确． 【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和； 6．（2019福建省，6，4分）如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（ ）A ．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B ．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C ．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D ．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳主视方向 D ． C ． A ． B ．■▲■▲▲■▲■■▲■▲54321060708090100数学成绩/分次数班级平均分丙乙甲【答案】D【解析】根据折线统计图可以看出A 、B 、C 选项均是正确的．D 选项就甲、乙、丙三个人的数学成绩而言，丙的波动幅度较大，所以应该是丙的数学成绩最不稳，所以D 错误，故选择D ． 【知识点】折线统计图 7．（2019福建省，7，4分）下列运算正确的是（ ）A ．a ·a 3＝ a 3B ．(2a )3＝6a 3C ．a 6÷a 3＝ a 2D ．(a 2)3－(－a 3)2＝0 【答案】D【解析】A ．a ·a 3＝a 4，故A 错误；B ．(2a )3＝8a 3，故B 错误；C ．a 6÷a 3＝ a 3，故C 错误；D ．(a 2)3－(－a 3)2＝a 6－a 6＝0，D 正确，故选D ．【知识点】同底数幂的乘除法；积的乘方；幂的乘方； 8．（2019福建省，8，4分）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34 685个字，设他第一天读x 个字，则下面所列方程正确的是（ ） A ． x ＋2x ＋4x ＝34 685 B ．x ＋2x ＋3x ＝34 685 C ． x ＋2x ＋2x ＝34 685 D ．x ＋21x ＋41x ＝34 685 【答案】A【解析】设他第一天读x 个字，则第二天读2x 个字，第三天读4x 个字，由题意可列方程x ＋2x ＋4x ＝34 685． 【知识点】一元一次方程； 9．（2019福建省，9，4分）如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上， 且∠ACB ＝55°，则∠APB 等于（ ）A ．55°B ．70°C ．110°D ．125°【答案】B【思路分析】连接OA 、OB ，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AOB 的度数，再根据切线的性质可以得到∠OAP ＝∠OBP ＝90°，由四边形的内角和360°可以求出∠APB 的度数．【解题过程】解：连接OA 、OB ，∵PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∵∠ACB ＝55°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝110°，∴∠APB ＝360° －110°－90°－90°＝70°．O PCB A (第9题)O PCBA【知识点】圆周角定理；切线的性质；四边形内角和；10．（2019福建省，10，4分）若二次函数y ＝｜a ｜x 2＋bx ＋c 的图象经过A (m ，n )、B (0，y 1)、C (3－m ，n )、D (2， y 2)、E (2，y 3)，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A ．y 1< y 2< y 3B ． y 1 < y 3< y 2C ．y 3< y 2< y 1D ． y 2< y 3< y 1 【答案】D【思路分析】利用A (m ，n )、C (3－m ，n )两点代入二数函数可以得到b ＝－3｜a ｜，所以对称轴为x ＝32，因为｜a ｜＞0，对称轴左侧y 随x 的增大而减小，对称轴右侧y 随x 的增大而增大，再根据0、2、2三个数的大小以及对称性，就可以比较出y 1、y 2、y 3的大小关系．【解题过程】解：把A (m ，n )、C (3－m ，n )两点分别代入y ＝｜a ｜x 2＋bx ＋c ，得｜a ｜m 2＋bm ＝｜a ｜()23m -＋b （3－m ），整理得b ＝－3｜a ｜，对称轴x ＝－2b a ＝32，∵｜a ｜＞0，开口向上，∴在对称轴左侧y 随x 的增大而减小，对称轴右侧y 随x 的增大而增大，∵0＜2＜32＜3－2＜2，∴y 2< y 3< y 1． 【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质；对称轴二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11．（2019福建省，11，4分）因式分解：x 2－9＝ ． 【答案】( x ＋3)( x －3)【解析】利用平方差公式进行因式分解，则原式＝x 2－32＝( x ＋3)( x －3)． 【知识点】平方差公式；因式分解；12．（2019福建省，12，4分）如图，数轴上A 、B 两点所表示的数分别是－4和2，点C 是线段AB 的中点，则点C 所表示的数是 ．【答案】－1【解析】∵点C 是线段AB 的中点，∴AC ＝BC ，设C 所表示的数为x ，则有x －（－4）＝2－x ，整理得2x ＝－2，解得x ＝－1．【知识点】数轴；数轴上表示两点间的距离； 13．（2019福建省，13，4分）某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案.为了解何种图案更受欢迎， 随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该 校喜欢甲图案的学生有 ．【答案】1200人【解析】60100×2000＝1200人． 【知识点】样本；统计 2-4CB A (第12题)14．（2019福建省，14，4分）在平面直角坐标系xOy 中，□OABC 的三个顶点O (0，0)、A (3，0) 、 B (4，2)，则其第四个顶点是 ． 【答案】（1，2）【解析】如图，过C 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E ，可证△OCD ≌△ABE ，∴CD ＝BE ＝2，OD ＝AE ＝1，∴C (1，2) ．E D yxC OB （4，2）A (3，0)【知识点】平行四边形的性质；全等三角形的判定和性质；15．（2019福建省，15，4分）如图，边长为2的正方形ABCD 中心与半径为2的⊙O 的圆心重合，E 、F 分别是AD 、BA 的延长与⊙O 的交点，则图中阴影部分的面积是 ． (结果保留π)【答案】π－1【思路分析】可以利用图形的中心对称性质，阴影部分的面积是圆与正方形的面积差的14，即可求解． 【解题过程】解：分别延长DC 、CB 交圆于G 、H 两点，∵正方形和圆都是中心对称图形，两者的中心重合， 所以该图为中心对称图形，∴阴影部分的面积＝14（O ABCD S S -e 正方形）＝14（4π－4）＝π－1． HG【知识点】中心对称图形；圆的面积；正方形的面积16．（2019福建省，16，4分）如图，菱形ABCD 顶点A 在例函数y ＝x 3(x >0)的图象上，函数y ＝xk(k >3，x >0)的图象关于直线AC 对称，且经过点B 、D 两点，若AB ＝2，∠DAB ＝30°，则k 的值为 ．(第15题)DCE FAB O【答案】6+23【思路分析】根据题意可知直线AC 的解析式为y ＝x ，因为点A 在例函数y ＝x3(x >0)的图象上，联立可以求出点A 的坐标，由∠AOG ＝∠CAE ＝45°，∠CAB ＝12∠DAB ＝15°，得∠BAE ＝30°，在Rt △ABE 中利用三角形函数可以分别求出BE 和AE 的长，从而求得点B 的坐标，代入即可求得k 值．【解题过程】解：作出直线AC ，过A 、B 分别作出x 轴的垂线，垂足为G 、H ，过A 作AE ⊥BH 于E ，∵函数y ＝k x (k >3，x >0)的图象关于直线AC 对称，∴直线AC 的解析式为y ＝x ，∵点A 在 y ＝3x (x >0)的图象上，∴2x ＝3，解得x ＝3（负舍去）∴A （3，3），∵AE ∥x 轴，∴∠AOG ＝∠CAE ＝45°，∵菱形ABCD ，∠CAB ＝12∠DAB ＝15°，∴∠BAE ＝30°，在Rt △ABE ，∵AB ＝2，∴BE ＝12AB ＝1，AE ＝32AB ＝3，∴B （23，3+1），把B （23，3+1）代入y ＝kx得k ＝6+23． EHG【知识点】反比例函数的解析式；轴对称；菱形的性质；锐角三角函数；三、解答题（本大题共9小题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2019福建省市，17，8分）解方程组：⎩⎨⎧=+=-425y x y x【思路分析】利用加法消元消去y ，求得x 的值，再代入原方程组中的任意一个方程中求得y 值即可．【解题过程】解：524x y x y -=⎧⎨+=⎩①②，①＋②得，3x ＝9，解得x ＝3，将x ＝3代入①，得3－y ＝5，解得y ＝－2． 所以原方程组的解为32x y =⎧⎨=-⎩．【知识点】解二元一次方程组18．（2019福建省市，18，8分）如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边 AB 、CD 上，且DF ＝BE .(第16题)yxDCBA O求证：AF=CE .FEDCBA【思路分析】根据矩形对边平行且相等，得出DC 平行且等于AB ，结合DF ＝BE 可证明四边形AFCE 为平行四边形，即可得出结论. 也可利用证明△ADF ≌△△CBE ，证明AF=CE .【解题过程】证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴DC ∥AB ，DC ＝AB ，∵DF ＝BE ，∴DC －DF ＝AB －BE ，即CF ＝AE ，∵FC ∥AE ，∴四边形AFCE 为平行四边形，∴AF=CE .【知识点】矩形的性质；平行四边形的判定及性质；全等三角形的判定与性质19．（2019福建省市，19，8分）先化简，再求值：(x －1)÷(x －xx 12-)，其中x =2+1. 【思路分析】先通分，然后利用因式分解及约分，进行化简，最后代入x 的值，再利用分母有理化知识化简求值.【解题过程】解：原式＝(x －1)÷2(21)x x x --＝(x －1)÷221x x x -+＝(x －1)÷2(1)x x-＝(x －1)·2(1)x x -＝1x x -. 当x =2+1时，原式＝21(21)1++-＝212+＝1＋22. 【知识点】分式混合运算；二次根式运算；因式分解20．（2019福建省市，20，8分）已知△ABC 为和点A'，如图. (1)以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC ，△A'B'C'的面积等于△ABC 面积的4倍； (尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)设D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、AC 的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF ∽△D'E'F'.A'C BA【思路分析】（1）利用相似三角形面积比等于相似比平方，作△A'B'C'使△A'B'C'的各边是△ABC 中各边的2倍；（2）利用三角形中位线定理，结合相似三角形对应边成比例，可得△DEF 的各边与△D'E'F'的各边对应成比例，即可得出结论.【解题过程】（1）如图：C'A'B'CBA则△A'B'C'为所求作图形.(2)证明：∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，∴DE=12AC，EF=12AB，FD=12BC，同理，D'E'=12A'C'，E'F'=12A'B'，F'D'=12B'C'，∵△ABC∽△A'B'C'，∴ACA C''=ABA B''=BCB C''，∴1212ACA C''=1212ABA B''=1212BCB C''，即DED E''=EFE F''=FDF D''，∴△DEF∽△D'E'F'.【知识点】尺规作图；相似三角形性质与判定；三角形中位线21．（2019福建省市，21，8分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E.(1)若点E恰好落在边AC上，如图1，求∠ADE的大小；(2) 若α=60°，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BFDE是平行四边形.【思路分析】(1)根据旋转后图形的形状大小不变，得△ADC为等腰三角形，利用等腰三角形性质求底角度数，再利用直角三角形两个锐角互余，即可求出∠ADE的大小；(2)根据F是AC中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得DE＝AB＝BF，再利用等腰三角形三线合一证明BF⊥CE，从而得出BF∥DE，即可得出四边形BFDE 是平行四边形.【解题过程】解：（1）根据旋转性质得：∠DCE=∠ACB＝30°，∠DEC=∠ABC＝90°，CA＝CD，∴∠ADC=∠DAC＝1802DCE︒-∠＝75°，∵∠EDC=90°－∠ACD=60°，∴∠ADE=∠ADC－∠EDC=15°；（2）延长BF交CE于点G.在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∵点F是边AC中点，∴BF=FC=12AC，∴∠FBC=∠ACB=30°，由旋转性质AB=DE，∠DEC=∠ABC=90°，∠BCE=∠ACD=60°，∴DE=BF，∵∠BGE=∠GBC＋∠ECB=90°，∴∠DEC=∠BGE=90°，∴BF∥DE，∴四边形BFDE是平行四边形.【知识点】图形的旋转；直角三角形性质；等边三角形性质与判定；平行四边形判定22．（2019福建省市，22，10分）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m 吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理. 但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理. 已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元.根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元. (1)求该车间的日废水处理量m ；(2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.【思路分析】(1)根据每天花费废水处理费370元，判断每天处理废水量是否8元，若超过则需要交给第三方企业处理，然后列式求出m 的值；（2）分为该车间每天自己处理废水，和将废水交给第三方企业处理，两种情况列不等式分别讨论，然后取其公共部分，即可求得该厂一天产生的工业废水量的范围. 【解题过程】解：(1)因为工厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元，又3530370 ＝768＞8，所以m ＜35，依题意得，30+8m +12(35－m )＝370，解得m ＝20，故该车间的日废水处理量为20吨.（2）设一天生产废水x 吨.①当0＜x ≤20时，依题意得，8x +30≤10x ，解得x ≥15，所以15≤x ≤20.②当x ＞20时，依题意得，12(x －20)+20×8+30≤10x ，解得x ≤25，所以20＜x ≤25. 综上所述，15≤x ≤25.故该厂一天产生的工业废水量的范围在15吨到25吨之间. 【知识点】一元一次方程；一元一次不等式；反比例函数 23．（2019福建省市，23，10分）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购实1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；维修次数 8 9 10 11 12 频率(台数)1020303010(1)以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；(2)试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？【思路分析】(1)根据表格用维修次数小于等于10的机器总数除以总台数即可；（2）分别求出购买10次维修费用，与11次维修费用的总费用，通过比较，选择维修费用较少的即可． 【解题过程】解：(1)因为“100台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的台数为10＋20＋30＝60，所以“100台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率为60100＝0.6．故“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率为0.6；（2）若每台都购买10次维修服务，某台机器使用期内维修次数8 9 10 11 12 该台机器维修费用2400024500250003000035000此时这100台机器维修费用的平均数为：y 1=1100(24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10)＝27300， 若每台都购买11次维修服务：某台机器使用期内维修次数8 9 10 11 12 该台机器维修费用26000 26500 27000 27500 32500此时这100台机器维修费用的平均数为：y 2=1100(26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10)＝27500， 因为y 1＜y 2，所以，购买1台该机器的同时应一次性额外购10次维修服务. 【知识点】概率；加权平均数 24．（2019福建省市，24，12分） 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB=AC ，AC ⊥BD ，垂足为E ，点F 在BD 的延长线上，且DF =DC ，连接AF 、CF . (1)求证：∠BAC =2∠DAC ；(2)若AF ＝10，BC ＝45，求tan ∠BAD 的值.FEDCB A【思路分析】（1）由AC ⊥BD ，在Rt △AED 中根据两个锐角互余，得∠CAD 与∠ADE 的关系；AB ＝AC ，在等腰△ABC 中得∠BAC 与底角∠ACB 关系；再结合同弧所对圆周角相等，得∠ADE ＝∠ACB ，整理即可得出结论；（2）由DF =DC ，得外角∠BDC 与∠CFD 关系，再结合∠BAC =2∠DAC 与同弧所对圆周角相等得CF =BC ，知CA 垂直平分BF ，求出AB 与AC 的长度，根据勾股定理列方程分别求出AE 、CE 、BE ，再利用△ADE ∽△BCE ，求出AD 、DE ，作△ABD 中AB 边上的高DH ，利用面积法求出DH ，及AH 的值，即可利用正切定义求值. 【解题过程】证明：(1)∵AC ⊥BD ，∴∠AED =90°，在Rt △AED 中，∠ADE =90°－∠CAD ，∵AB ＝AC ，∴»AB ＝»AC ，∴∠BAC ＝180°－(∠ABC －∠ACB )＝180°－2(90°－∠CAD )，即∠BAC ＝2∠CAD ；解： (2)∵DF =DC ，∴∠FCD =∠CFD ，∴∠BDC =∠FCD ＋∠CFD =2∠CFD ，∵∠BDC ＝∠BAC ，由（1）得∠BAC ＝2∠CAD ，∴∠CFD =∠CAD ，∵∠CAD ＝∠CBD ，∴∠CFD =∠CBD ，∴CF ＝CB ，∵AC ⊥BD ，∴BE ＝EF ，故CA 垂直平分BF ，∴AC ＝AB ＝AF ＝10，设AE ＝x ，则CE ＝10－x ，在Rt △ABE 和Rt △BCE 中，AB 2－AE 2=BE 2=BC 2－CE 2，又∵BC ＝45，∴102－x 2=(45)－(10－x ) 2，解得x =6，∴AE ＝6，CE ＝4，∴BE ＝22AB AE -=8，∵∠DAE ＝∠CBE ，∠ADE ＝∠BCE ，∴△ADE ∽△BCE ，∴AE BE ＝DE CE ＝ADBC，∴DE ＝3，AD ＝35，过点D 作DH ⊥AB 于H . ∵S △ABD ＝12AB ·DH ＝12BD ·AE ，BD ＝BE ＋DE ＝11，10 DH ＝11×6，∴DH ＝335，在Rt △ADH 中，AH ＝22AD DH -＝65，∴tan ∠BAD ＝112.HFEDCBA【知识点】等腰三角形的性质与判定；圆的有关性质；相似三角形的性质与判定；直角三角形的性质 25．（2019福建省市，25，14分）已知抛物y =ax 2+bx+c (b <0)与x 轴只有一个公共点. (1)若抛物线与x 轴的公共点坐标为(2，0)，求a 、c 满足的关系式；(2)设A 为抛物线上的一定点，直线l ：y =kx+1－k 与抛物线交于点B 、C 两点，直线BD 垂直于直线y=－1，垂足为点D .当k ＝0时，直线l 与抛物线的一个交点在 y 轴上，且△ABC 为等腰直角三角形. ①求点A 的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每个给定的实数 k ，都有A 、D 、C 三点共线. 【思路分析】（1）根据抛物线与x 轴只有一个公共点可知△=0，再利用抛物线与x 轴的公共点坐标为(2，0)，得到对称轴为x =2，二者联立即可得出结论；（2）将k ＝0代入直线y =kx+1－k 解析式可知抛物线与直线的两个交点B 、C 的坐标，由△ABC 为等腰直角三角形，求得A 点坐标，及抛物线的解析式；（3）联立y =kx+1－k 与抛物线解析式，求出B 、C 的坐标，求得直线AC 的解析式，根据B 、D 垂直于直线y=－1，求得D 坐标，将点D 坐标代入直线AC 解析式，即可求得对于每个给定的实数 k ，都有A 、D 、C 三点共线.【解题过程】解：（1）△=b 2－4ac =0，且－2ba=2，∴(－4a )2－4ac =0，∵a ≠0，∴c =4a ； （2）①当k ＝0时，直线l 解析式为y =1，它与y 轴的交点为(0，1) .因为直线y =1与x 轴平行，所以等腰直角△ABC 的直角顶点只能是A ，且A 是抛物线的顶点，过点A 作AM ⊥BC 于M ，则AM =1，所以BM =CM = AM =1，故点A 坐标为(1，0)，所以抛物线的解析式可以改写为y =a (x －1)2，因为抛物线过(0，1)，所以1=a (0－1) 2，解得a =1，所以抛物线的解析式为y = x 2－2x ＋1.②设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则D (x 1，－1)．由2121y kx k y x x =+-⎧⎨=-+⎩，得x 2－(k ＋2)x ＋k =0，因为△=( k ＋2)2－4k = k 2＋4＞0，由抛物线的对称性，不妨设x 1＜x 2，则x 1= 2242k k +-+，x 2= 2242k k +++，所以x 1＜1＜x 2．设直线AD 的解析式为y =mx ＋n ，则有101m n mx n =+⎧⎨-=+⎩，解得111111m x n x ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩，所以直线AD 的解析式为y =－111x -x＋11 1x-．因为y2－(－11 1x-x2＋111x-)=( x2－1)2＋2111xx--=[]2121(1)(1)(1)11x x xx---+-=222144(1)(1)221k k k kxx-+++-⋅+-=0，即y2=－111x-x2＋111x-，所以点C(x2，y2)在直线AD上．【知识点】二次函数解析式；二次函数的图象与性质；等腰三角形性质与判定；一次函数解析式；数形结合思想。
2019年福建省中考数学试题(原卷+解析)含答案
2019年福建省中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）计算22+（﹣1）0的结果是（）A．5B．4C．3D．22．（4分）北京故宫的占地面积约为720000m2，将720000用科学记数法表示为（）A．72×104B．7.2×105C．7.2×106D．0.72×106 3．（4分）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．直角三角形C．平行四边形D．正方形4．（4分）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．5．（4分）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（）A．12B．10C．8D．66．（4分）如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（）A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳7．（4分）下列运算正确的是（）A．a•a3＝a3B．（2a）3＝6a3C．a6÷a3＝a2D．（a2）3﹣（﹣a3）2＝08．（4分）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（）A．x+2x+4x＝34685B．x+2x+3x＝34685C．x+2x+2x＝34685D．x+x+x＝346859．（4分）如图，P A、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（）A．55°B．70°C．110°D．125°10．（4分）若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）因式分解：x2﹣9＝．12．（4分）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣4和2，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是．13．（4分）某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有人．14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，▱OABC的三个顶点O（0，0）、A（3，0）、B（4，2），则其第四个顶点是．15．（4分）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）16．（4分）如图，菱形ABCD顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，函数y＝（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB＝2，∠BAD＝30°，则k ＝．三、解答题（共86分）17．（8分）解方程组．18．（8分）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．19．（8分）先化简，再求值：（x﹣1）÷（x﹣），其中x＝+1．20．（8分）已知△ABC和点A'，如图．（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC 面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．21．（8分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．22．（10分）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．（1）求该车间的日废水处理量m；（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．23．（10分）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；（1）以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；（2）试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？24．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD 的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；（2）若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值．25．（14分）已知抛物y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．①求点A的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．2019年福建省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．【分析】分别计算平方、零指数幂，然后再进行实数的运算即可．【解答】解：原式＝4+1＝5故选：A．2．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：将720000用科学记数法表示为7.2×105．故选：B．3．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．4．【分析】从正面看几何体，确定出主视图即可．【解答】解：几何体的主视图为：故选：C．5．【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．【解答】解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．故选：B．6．【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好【解答】解：A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确；B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确；C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确D．就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故D错误．故选：D．7．【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝a4，不符合题意；B、原式＝8a3，不符合题意；C、原式＝a3，不符合题意；D、原式＝0，符合题意，故选：D．8．【分析】设他第一天读x个字，根据题意列出方程解答即可．【解答】解：设他第一天读x个字，根据题意可得：x+2x+4x＝34685，故选：A．9．【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB ＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．【解答】解：连接OA，OB，∵P A，PB是⊙O的切线，∴P A⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝110°，∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°．故选：B．10．【分析】由点A（m，n）、C（3﹣m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x＝，再由B （0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断y1＞y3＞y2；【解答】解：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），∴二次函数的对称轴x＝，∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，∵|a|＞0，∴y1＞y3＞y2；故选：D．二、填空题（每小题4分，共24分）11．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），故答案为：（x+3）（x﹣3）．12．【分析】根据A、B两点所表示的数分别为﹣4和2，利用中点公式求出线段AB的中点所表示的数即可．【解答】解：∵数轴上A，B两点所表示的数分别是﹣4和2，∴线段AB的中点所表示的数＝（﹣4+2）＝﹣1．即点C所表示的数是﹣1．故答案为：﹣113．【分析】用总人数乘以样本中喜欢甲图案的频率即可求得总体中喜欢甲图案的人数．【解答】解：由题意得：2000×＝1200人，故答案为：1200．14．【分析】由题意得出OA＝3，由平行四边形的性质得出BC∥OA，BC＝OA＝3，即可得出结果．【解答】解：∵O（0，0）、A（3，0），∴OA＝3，∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC＝OA＝3，∵B（4，2），∴点C的坐标为（4﹣3，2），即C（1，2）；故答案为：（1，2）．15．【分析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．【解答】解：延长DC，CB交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正方形ABCD）＝×（4π﹣4）＝π﹣1，故答案为：π﹣1．16．【分析】连接OC，AC过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，得O、A、C在第一象限的角平分线上，求得A点坐标，进而求得D 点坐标，便可求得结果．【解答】解：连接OC，AC过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D 作DG⊥x轴于点G，∵函数y＝（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，∴O、A、C三点在同直线上，且∠COE＝45°，∴OE＝AE，不妨设OE＝AE＝a，则A（a，a），∵点A在在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴a2＝3，∴a＝，∴AE＝OE＝，∵∠BAD＝30°，∴∠OAF＝∠CAD＝∠BAD＝15°，∵∠OAE＝∠AOE＝45°，∴∠EAF＝30°，∴AF＝，EF＝AE tan30°＝1，∵AB＝AD＝2，AE∥DG，∴EF＝EG＝1，DG＝2AE＝2，∴OG＝OE+EG＝+1，∴D（+1，2），故答案为：6+2．三、解答题（共86分）17．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：3x＝9，即x＝3，把x＝3代入①得：y＝﹣2，则方程组的解为．18．【分析】由SAS证明△ADF≌△BCE，即可得出AF＝CE．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，在△ADF和△BCE中，，∴△ADF≌△BCE（SAS），∴AF＝CE．19．【分析】先化简分式，然后将x的值代入计算即可．【解答】解：原式＝（x﹣1）÷＝（x﹣1）•＝，当x＝+1，原式＝＝1+．20．【分析】（1）分别作A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC得△A'B'C'即可所求．（2）根据中位线定理易得∴△DEF∽△ABC，△D'E'F'∽△A'B'C'，故△DEF∽△D'E'F'【解答】解：（1）作线段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，得△A'B'C'即可所求．证明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，∴△ABC∽△A′B′C′，∴（2）证明：∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，∴DE＝，，，∴△DEF∽△ABC同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D'E'F'．21．【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAD，从而利用互余和计算出∠ADE的度数；（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF＝AC，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AB＝AC，则BF＝AB，再根据旋转的性质得到∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，从而得到DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，接着证明△CFD≌△ABC得到DF＝BC，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．【解答】（1）解：如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC 上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠ADE＝90°﹣75°＝25°；（2）证明：如图2，∵点F是边AC中点，∴BF＝AC，∵∠ACB＝30°，∴AB＝AC，∴BF＝AB，∵△ABC绕点A顺时针旋转60得到△DEC，∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，∴BE＝CB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≌△ABC，∴DF＝BC，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．22．【分析】（1）求出该车间处理35吨废水所需费用，将其与350比较后可得出m＜35，根据废水处理费用＝该车间处理m吨废水的费用+第三方处理超出部分废水的费用，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设一天产生工业废水x吨，分0＜x≤20及x＞20两种情况考虑，利用每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵35×8+30＝310（元），310＜350，∴m＜35．依题意，得：30+8m+12（35﹣m）＝370，解得：m＝20．答：该车间的日废水处理量为20吨．（2）设一天产生工业废水x吨，当0＜x≤20时，8x+30≤10x，解得：15≤x≤20；当x＞20时，12（x﹣20）+8×20+30≤10x，解得：20＜x≤25．综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为15≤x≤20．23．【分析】（1）利用概率公式计算即可．（2）分别求出购买10次，11次的费用即可判断．【解答】解：（1）“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率＝＝0.6．（2）购买10次时，此时这100台机器维修费用的平均数y1＝（24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10）＝27300购买11次时，此时这100台机器维修费用的平均数y2＝（26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10）＝27500，∵27300＜27500，所以，选择购买10次维修服务．24．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据圆心角、弧、弦的关系得到＝，即可得到∠ABC＝∠ADB，根据三角形内角和定理得到∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，∠ADB＝90°﹣∠CAD，从而得到∠BAC＝∠CAD，即可证得结论；（2）易证得BC＝CF＝4，即可证得AC垂直平分BF，证得AB＝AF＝10，根据勾股定理求得AE、CE、BE，根据相交弦定理求得DE，即可求得BD，然后根据三角形面积公式求得DH，进而求得AH，解直角三角函数求得tan∠BAD的值．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴＝，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°﹣∠CAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠CAD；（2）解：∵DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠BDC＝2∠DFC，∴∠BFC＝∠BDC＝∠BAC＝∠FBC，∴CB＝CF，又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB＝AF＝10，AC＝10．又BC＝4，设AE＝x，CE＝10﹣x，由AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，得100﹣x2＝80﹣（10﹣x）2，解得x＝6，∴AE＝6，BE＝8，CE＝4，∴DE＝＝＝3，∴BD＝BE+DE＝3+8＝11，作DH⊥AB，垂足为H，∵AB•DH＝BD•AE，∴DH＝＝＝，∴BH＝＝，∴AH＝AB﹣BH＝10﹣＝，∴tan∠BAD＝＝＝．25．【分析】（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，即可求解；（2）①y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1过定点（1，1），且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与轴的交点为（0，1），即可求解；②计算直线AD表达式中的k值、直线AC表达式中的k值，两个k值相等即可求解．【解答】解：（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y＝a（x﹣2）2＝ax2﹣4ax+4a，则c＝4a；（2）y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1过定点（1，1），且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与轴的交点为（0，1），又△ABC为等腰直角三角形，∴点A为抛物线的顶点；①c＝1，顶点A（1，0），抛物线的解析式：y＝x2﹣2x+1，②，x2﹣（2+k）x+k＝0，x＝（2+k±），x D＝x B＝（2+k﹣），y D＝﹣1；则D，y C＝（2+k2+k，C，A（1，0），∴直线AD表达式中的k值为：k AD＝＝，直线AC表达式中的k值为：k AC＝，∴k AD＝k AC，点A、C、D三点共线．。
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一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）计算22+（﹣1）0的结果是（）A．5 B．4 C．3 D．22．（4分）北京故宫的占地面积约为720000m2，将720000用科学记数法表示为（）A．72×104B．7.2×105C．7.2×106D．0.72×1063．（4分）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．直角三角形C．平行四边形D．正方形4．（4分）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（）5．（4分）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（）A．12B．10C．8D．66．（4分）如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（）A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳7．（4分）下列运算正确的是（）A．a?a3＝a3 B．（2a）3＝6a3C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3﹣（﹣a3）2＝08．（4分）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（）A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685C．x+2x+2x＝34685 D．x+x+x＝346859．（4分）如图，P A、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB 等于（）A．55°B．70°C．110°D．125°10．（4分）若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）因式分解：x2﹣9＝．12．（4分）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣4和2，点C是线段AB的中点，则点C 所表示的数是．13．（4分）某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有人．14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，?OABC的三个顶点O（0，0）、A（3，0）、B （4，2），则其第四个顶点是．15．（4分）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F 分别是AD、BA的延长与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）16．（4分）如图，菱形ABCD顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，函数y＝（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB＝2，∠BAD＝30°，则k＝．三、解答题（共86分）17．（8分）解方程组．18．（8分）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．19．（8分）先化简，再求值：（x﹣1）÷（x﹣），其中x＝+1．20．（8分）已知△ABC和点A'，如图．（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．21．（8分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．22．（10分）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．（1）求该车间的日废水处理量m；（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．23．（10分）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；维修次数 8 9 10 11 12频率（台数）10 20 30 30 10（1）以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；（2）试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？24．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD 的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；（2）若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值．25．（14分）已知抛物y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD 垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．①求点A的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）计算22+（﹣1）0的结果是（）A．5B．4C．3D．2【分析】分别计算平方、零指数幂，然后再进行实数的运算即可．【解答】解：原式＝4+1＝5故选：A．【点评】此题考查了实数的运算，解答本题关键是掌握零指数幂的运算法则，难度一般．2．（4分）北京故宫的占地面积约为720000m2，将720000用科学记数法表示为（）A．72×104B．7.2×105C．7.2×106D．0.72×106【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：将720000用科学记数法表示为7.2×105．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．直角三角形C．平行四边形D．正方形【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合4．（4分）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是（）【分析】从正面看几何体，确定出主视图即可．【解答】解：几何体的主视图为：故选：C．【点评】此题考查了简单组合体的三视图，主视图即为从正面看几何体得到的视图．5．（4分）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（）A．12B．10C．8D．6【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．【解答】解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．故选：B．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．6．（4分）如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（）A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好【解答】解：A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确；B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确；C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确D．就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故D错误．故选：D．【点评】本题是折线统计图，要通过坐标轴以及图例等读懂本图，根据图中所示的数量解决问题．7．（4分）下列运算正确的是（）A．a?a3＝a3 B．（2a）3＝6a3C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式＝a4，不符合题意；B、原式＝8a3，不符合题意；C、原式＝a3，不符合题意；D、原式＝0，符合题意，故选：D．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（4分）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（）A．x+2x+4x＝34685B．x+2x+3x＝34685C．x+2x+2x＝34685D．x+x+x＝34685【分析】设他第一天读x个字，根据题意列出方程解答即可．【解答】解：设他第一天读x个字，根据题意可得：x+2x+4x＝34685，故选：A．【点评】此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．9．（4分）如图，P A、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB 等于（）A．55°B．70°C．110°D．125°【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．【解答】解：连接OA，OB，∵P A，PB是⊙O的切线，∴P A⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝110°，∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB 的度数．10．（4分）若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1【分析】由点A（m，n）、C（3﹣m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x＝，再由B （0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断y1＞y3＞y2；【解答】解：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），∴二次函数的对称轴x＝，∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，∵|a|＞0，∴y1＞y3＞y2；故选：D．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）因式分解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），故答案为：（x+3）（x﹣3）．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．12．（4分）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣4和2，点C是线段AB的中点，则点C 所表示的数是﹣1．【分析】根据A、B两点所表示的数分别为﹣4和2，利用中点公式求出线段AB的中点所表示的数即可．【解答】解：∵数轴上A，B两点所表示的数分别是﹣4和2，∴线段AB的中点所表示的数＝（﹣4+2）＝﹣1．即点C所表示的数是﹣1．故答案为：﹣1【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．13．（4分）某校征集校运会会徽，遴选出甲、乙、丙三种图案．为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人，根据所学的统计知识可以估计该校喜欢甲图案的学生有1200人．【分析】用总人数乘以样本中喜欢甲图案的频率即可求得总体中喜欢甲图案的人数．【解答】解：由题意得：2000×＝1200人，故答案为：1200．【点评】本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中喜欢甲图案的频率，难度不大．14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，?OABC的三个顶点O（0，0）、A（3，0）、B （4，2），则其第四个顶点是（1，2）．【分析】由题意得出OA＝3，由平行四边形的性质得出BC∥OA，BC＝OA＝3，即可得出结果．【解答】解：∵O（0，0）、A（3，0），∴OA＝3，∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC＝OA＝3，∵B（4，2），∴点C的坐标为（4﹣3，2），即C（1，2）；故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．15．（4分）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F 分别是AD、BA的延长与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是π﹣1．（结果保留π）【分析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．【解答】解：延长DC，CB交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正方形ABCD）＝×（4π﹣4）＝π﹣1，故答案为：π﹣1．【点评】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．16．（4分）如图，菱形ABCD顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，函数y＝（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB＝2，∠BAD＝30°，则k＝6+2．【分析】连接OC，AC过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，得O、A、C在第一象限的角平分线上，求得A点坐标，进而求得D点坐标，便可求得结果．【解答】解：连接OC，AC过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG ⊥x轴于点G，∵函数y＝（k＞3，x＞0）的图象关于直线AC对称，∴O、A、C三点在同直线上，且∠COE＝45°，∴OE＝AE，不妨设OE＝AE＝a，则A（a，a），∵点A在在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴a2＝3，∴a＝，∴AE＝OE＝，∵∠BAD＝30°，∴∠OAF＝∠CAD＝∠BAD＝15°，∵∠OAE＝∠AOE＝45°，∴∠EAF＝30°，∴AF＝，EF＝AE tan30°＝1，∵AB＝AD＝2，AE∥DG，∴EF＝EG＝1，DG＝2AE＝2，∴OG＝OE+EG＝+1，∴D（+1，2），故答案为：6+2．【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，菱形的性质，解直角三角形，关键是确定A点第一象限的角平分线上．三、解答题（共86分）17．（8分）解方程组．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：3x＝9，即x＝3，把x＝3代入①得：y＝﹣2，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．18．（8分）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．【分析】由SAS证明△ADF≌△BCE，即可得出AF＝CE．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，在△ADF和△BCE中，，∴△ADF≌△BCE（SAS），∴AF＝CE．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．19．（8分）先化简，再求值：（x﹣1）÷（x﹣），其中x＝+1．【分析】先化简分式，然后将x的值代入计算即可．【解答】解：原式＝（x﹣1）÷＝（x﹣1）?＝，当x＝+1，原式＝＝1+．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．20．（8分）已知△ABC和点A'，如图．（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．【分析】（1）分别作A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC得△A'B'C'即可所求．（2）根据中位线定理易得∴△DEF∽△ABC，△D'E'F'∽△A'B'C'，故△DEF∽△D'E'F' 【解答】解：（1）作线段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，得△A'B'C'即可所求．证明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，∴△ABC∽△A′B′C′，∴（2）证明：∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，∴DE＝，，，∴△DEF∽△ABC同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D'E'F'．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定方法，本题用到的是三边法．21．（8分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC ＝90°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAD，从而利用互余和计算出∠ADE 的度数；（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF＝AC，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AB＝AC，则BF＝AB，再根据旋转的性质得到∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，从而得到DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，接着证明△CFD≌△ABC得到DF＝BC，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．【解答】（1）解：如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC 上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°；（2）证明：如图2，∵点F是边AC中点，∴BF＝AC，∵∠ACB＝30°，∴AB＝AC，∴BF＝AB，∵△ABC绕点A顺时针旋转60得到△DEC，∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，∴DE＝BF，△ACD和△BCE为等边三角形，∴BE＝CB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≌△ABC，∴DF＝BC，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定．22．（10分）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．（1）求该车间的日废水处理量m；（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．【分析】（1）求出该车间处理35吨废水所需费用，将其与350比较后可得出m＜35，根据废水处理费用＝该车间处理m吨废水的费用+第三方处理超出部分废水的费用，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设一天产生工业废水x吨，分0＜x≤20及x＞20两种情况考虑，利用每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵35×8+30＝310（元），310＜350，∴m＜35．依题意，得：30+8m+12（35﹣m）＝370，解得：m＝20．答：该车间的日废水处理量为20吨．（2）设一天产生工业废水x吨，当0＜x≤20时，8x+30≤10x，解得：15≤x≤20；当x＞20时，12（x﹣20）+8×20+30≤10x，解得：20＜x≤25．综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为15≤x≤20．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．（10分）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元．每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费．某公司计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表；维修次数89101112频率（台数）1020303010（1）以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；（2）试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？【分析】（1）利用概率公式计算即可．（2）分别求出购买10次，11次的费用即可判断．【解答】解：（1）“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率＝＝0.6．（2）购买10次时，某台机器使用期内维修次数89101112该台机器维修费用2400024500250003000035000此时这100台机器维修费用的平均数y1＝（24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10）＝27300购买11次时，某台机器使用期内维修次数89101112该台机器维修费用2600026500270002750032500此时这100台机器维修费用的平均数y2＝（26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10）＝27500，∵27300＜27500，所以，选择购买10次维修服务．【点评】本题考查利用频率估计概率，加权平均数，列表法等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD 的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；（2）若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据圆心角、弧、弦的关系得到＝，即可得到∠ABC＝∠ADB，根据三角形内角和定理得到∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，∠ADB＝90°﹣∠CAD，从而得到∠BAC＝∠CAD，即可证得结论；（2）易证得BC＝CF＝4，即可证得AC垂直平分BF，证得AB＝AF＝10，根据勾股定理求得AE、CE、BE，根据相交弦定理求得DE，即可求得BD，然后根据三角形面积公式求得DH，进而求得AH，解直角三角函数求得tan∠BAD的值．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴＝，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°﹣∠CAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠CAD；（2）解：∵DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠BDC＝2∠DFC，∴∠BFC＝∠BDC＝∠BAC＝∠FBC，∴CB＝CF，又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB＝AF＝10，AC＝10．又BC＝4，设AE＝x，CE＝10﹣x，由AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，得100﹣x2＝80﹣（10﹣x）2，解得x＝6，∴AE＝6，BE＝8，CE＝4，∴DE＝＝＝3，∴BD＝BE+DE＝3+8＝11，作DH⊥AB，垂足为H，∵AB?DH＝BD?AE，∴DH＝＝＝，∴BH＝＝，∴AH＝AB﹣BH＝10﹣＝，∴tan∠BAD＝＝＝．【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，圆心角、弧、弦的关系，相交弦定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握并灵活运用性质定理，属于中考压轴题．25．（14分）已知抛物y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD 垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．①求点A的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．【分析】（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，即可求解；（2）①y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1过定点（1，1），且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与轴的交点为（0，1），即可求解；②计算直线AD表达式中的k值、直线AC表达式中的k值，两个k值相等即可求解．【解答】解：（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y＝a（x﹣2）2＝ax2﹣4ax+4a，则c＝4a；（2）y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1过定点（1，1），且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与轴的交点为（0，1），又△ABC为等腰直角三角形，∴点A为抛物线的顶点；①c＝1，顶点A（1，0），抛物线的解析式：y＝x2﹣2x+1，②，x2﹣（2+k）x+k＝0，x＝（2+k±），x D＝x B＝（2+k﹣），y D＝﹣1；则D，y C＝（2+k2+k，C，A（1，0），∴直线AD表达式中的k值为：k AD＝＝，直线AC表达式中的k值为：k AC＝，∴k AD＝k AC，点A、C、D三点共线．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质等知识点，本题关键是复杂数据的计算问题，难度不大．。