高考数学综合练习三
2023届高考数学重点专题三轮冲刺双空题小题压轴练(解析版)
双空题小题压轴练-新高考数学复习分层训练(新高考通用)1.(2023秋·广东清远·高三统考期末)设函数f x =-x 2+4x ,x ≤4,log 2x -4 ,x >4, 若关于x 的方程f x =t 有四个实根x 1，x 2，x 3，x 4且x 1<x 2<x 3<x 4，则x 3x 4-4x 3+x 4 =，2+x 1 2-x 2 +4x 3+14x 4的最小值为.【答案】 -15 15【分析】画出f x 的图象，结合图象求得x 1，x 2，x 3，x 4的关系式，根据基本不等式求得正确答案.【详解】画出f x 的图象如下图所示.由图可知x 1+x 2=4，其中x 2>2>x 1>0.因为-log 2x 3-4 =log 2x 4-4 ，即x 3-4 x 4-4 =1，整理得x 3x 4-4x 3+x 4 =-15.且x 4>5>x 3>4，所以2+x 1 2-x 2 =-2+x 1 -2+x 2 ≥-2+x 1-2+x 222=-4，当且仅当2+x 1=-2+x 2,x 1=2-2,x 2=2+2时等号成立，此时t =2，又因为4x 3+14x 4=4x 3-4 +14x 4-4 +17≥24x 3-4 ⋅14x 4-4 +17=19，当且仅当4x 3-4 =14x 4-4 ,x 3=174,x 4=8时等号成立，此时t =2.所以2+x 1 2-x 2 +4x 3+14x 4的最小值为-4+19=15.故答案为：-15；15【点睛】解决含有绝对值的对数函数的问题，可结合函数图象来进行研究.求解最值问题，可考虑利用基本不等式或二次函数的性质来进行求解.二次函数的图象具有对称性.2.(2023春·广东惠州·高三校考阶段练习)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)，过其焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点(点P 在第一象限)，PF =3FQ ，则直线l 的斜率为若FQ =1，点A 为抛物线C 上的动点，且点A 在直线l 的左上方，则△APQ 面积的最大值为.【答案】33【分析】空1：设直线l 的方程为x -p2=my ，联立抛物线方程得到韦达定理式，根据线段比例关系得到两交点纵坐标关系，联立即可解出斜率；空2：根据三角形底为弦长PQ，若面积最大，则高最大，则点A到直线l的距离最大，则转化为直线与抛物线相切的问题.【详解】设直线l的方程为x-p2=my，P x1,y1，Q x2,y2，联立抛物线方程y2=2px p>0得y2-2pmy-p2=0，故y1+y2=2pm①，y1y2=-p2②，∵|PF|=3|FQ|，则y1=-3y2，代入②式得-3y22=-p2，解得y2=±33p，∵P在第一象限，故Q在第四象限，故y1>0,y2<0，故y2=-33p，y1=3p，则y1+y2=3p-33p=2pm，解得m=33，故直线l的斜率k=3，∵y22=2px2，即13p2=2px2，则x2=16p，若|FQ|=1，则|FQ|=16p+p2=1，则p=32，故抛物线方程为y2=3x，此时y1=332，x1=94，x2=16p=14，而PQ=x1+x2+p=14+94+32=4，若要△APQ的面积最大，则只需将直线沿着左上方平移直至与抛物线相切，此时切点位置即为A点位置，故设切线方程为：x-t=33y，t<33，将切线方程与抛物线方程联立得y2-3y-3t=0，则Δ=3+12t=0，解得t=-14，此时切线方程为：x-33y+14=0，直线l的方程为x-33y-34=0，则两直线的距离d=14+341+13=32，此时△APQ面积最大值为12×4×32=3.故答案为：3；3.【点睛】结论点睛：设抛物线方程为y2=2px p>0，若倾斜角为α直线l经过焦点F交抛物线于P x1,y1,Q x2,y2，则有以下结论：(1)x1x2=p24；(2)y1y2=-p2；(3)PQ=2psin2α=x1+x2+p.3.(2023·广东深圳·统考一模)设a>0，A2a,0，B0,2，O为坐标原点，则以OA为弦，且与AB相切于点A的圆的标准方程为；若该圆与以OB为直径的圆相交于第一象限内的点P(该点称为直角△OAB 的Brocard 点)，则点P 横坐标x 的最大值为．【答案】 x -a 2+y +a 2 2=a 2+a 445##0.8【分析】以OA 为弦的圆的圆心记作D ，易得圆心在线段OA 的垂直平分线，且通过DA ⊥AB 可得k DA =a ，得到直线DA 的方程即可求出圆的方程；先求出以OB 为直径的⊙C ，然后两圆进行相减得到公共弦方程y =aa 2+1x ，代入⊙C 可得点P 横坐标x =2a 2+1a+a a 2+1，然后用对勾函数即可求得最值【详解】以OA 为弦的圆的圆心记作D ，且圆心在线段OA 的垂直平分线x =a 上，⊙D 与直线AB 相切于A ，则DA ⊥AB ，由k AB =2-00-2a =-1a可得k DA =a ，所以直线DA 为y =a x -2a ，将x =a 代入直线DA 可得圆心为D a ,-a 2 ，r D =AD =2a -a2+0+a 2 2=a 2+a 4，所以所求的圆的标准方程为x -a 2+y +a 2 2=a 2+a 4①；以OB 为直径的圆的圆心C 0,1 ，半径为1，则⊙C 的方程为x 2+y -1 2=1②，①-②可得-2ax +2a 2+1 y =0，即y =aa 2+1x 为⊙C 与⊙D 的公共弦所在直线的方程，将y =a a 2+1x 代入⊙C 可得1+aa 2+12x 2-2a a 2+1x =0，因为交点P 在第一象限，所以x ≠0，所以x =2a 2+1a+aa 2+1，令m =a 2+1a =a +1a ≥2，(当且仅当a =1时取等号)则1m =aa 2+1所以交点P 的横坐标x =2m +1m ,m ≥2由对勾函数可得y =m +1m 在2,+∞ 内单调递增，所以当m =2时，y =m +1m取得最小值，为52，所以交点P 的横坐标的最大值为x =252=45故答案为：x -a 2+y +a 2 2=a 2+a 4；45【点睛】关键点睛：本题的关键是求出交点P 的横坐标x =2a 2+1a+a a 2+1后，利用换元法、构造函数法，结合对勾函数的单调性进行解题.4.(2023秋·广东·高三校联考阶段练习)数学家康托(Cantor )在线段上构造了一个不可数点集--康托三分集.将闭区间0,1 均分为三段，去掉中间的区间段13,23，余下的区间段长度为a 1；再将余下的两个区间0,13，23,1分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度为a 2.以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段.重复这一过程，余下的区间集合即为康托三分集，记数列a n 表示第n 次操作后余下的区间段长度.(1)a 4=；(2)若∀n ∈N *，都有n 2a n ≤λa 4恒成立，则实数λ的取值范围是.【答案】1681； 503,+∞ .【分析】由题意直接求出a 1，a 2，a 3，a 4.归纳出数列a n 为等比数列，求出a n =23n.利用分离常数法得到λ≥n 2⋅23n -4.记g n =n 2⋅23n -4,n ∈N ∗ ，判断出单调性，求出g 5 =503最大，即可求出λ的取值范围.【详解】由题意可知：a 1=23，a 2=a 1×23=232，a 3=a 2×23=233，a 4=a 3×23=234.所以a 4=1681.所以数列a n 为首项a 1=23，公比q =23的等比数列，所以a n =a 1×q n -1=23n.因为∀n ∈N *，都有n 2a n ≤λa 4恒成立，且a 4=1681，所以λ≥n 2⋅23n⋅8116=n 2⋅23n -4恒成立，只需λ≥n 2⋅23n -4max记g n =n 2⋅23n -4,n ∈N ∗ ，显然，g n >0.所以g n +1g n =n +1 2⋅23 n +1-4n 2⋅23n -4=2n +1 23n2.令g n +1 g n ≤1，即2n +1 23n2≤1，即n 2-4n -2≥0，解得：n ≥2+6.因为n ∈N ∗，所以n ≥2+6，可以取包含5以后的所有正整数，即n ≥5以后g n =n 2⋅23n -4,n ∈N ∗递减.而g 1 =12⋅231-4=278,g 2 =22⋅232-4=9,g 3 =32⋅233-4=812,g 4 =42⋅234-4=16,g 5 =52⋅235-4=503，所以g 1 <g 2 <g 3 <g 4 <g 5 .综上所述：当n =5时，g 5 =503最大.所以λ≥503，所以实数λ的取值范围是503,+∞ .故答案为：1681；503,+∞.【点睛】求数列最值的方法：(1)利用函数单调性求出最值；(2)利用数列的性质求出最大项或最小项.5.(2023·广东湛江·统考一模)已知函数f x =2x +1，记f 2x =f f x =22x +1 +1=4x +3为函数f x 的2次迭代函数，f 3x =f f f x =42x +1 +3=8x +7为函数f x 的3次迭代函数，⋯，依次类推，f nx =f f f ⋅⋅⋅f x ⋅⋅⋅ n 个为函数f x 的n 次迭代函数，则f nx =；f 10032 除以17的余数是．【答案】 2n x +1 -1 0【分析】第一空，根据题意结合等比数列的前n 项和公式即可推出f nx 的表达式；第二空，将f 10032 化为33×17-125-1，利用二项式定理展开，化简即可求得答案.【详解】由题意，f nx =2nx +2n -1+2n -2+⋅⋅⋅+20=2nx +1-2n1-2=2n x +1 -1，所以f 10032 =33×2100-1=33×1625-1=33×17-1 25-1=33C 25251725-C 24251724+C 23251723-C 22251722+⋯+C 12517-1 -1=33C 25251725-C 24251724+C 23251723-C 22251722+⋯+C 12517 -34=1733C 25251724-C 24251723+C 23251722-C 22251721+⋯+C 125 -2又33C 25251724-C 24251723+C 23251722-C 22251721+⋯+C 125 -2为正整数，所以f 10032 除以17的余数为0，故答案为：2n x +1 -1;0【点睛】关键点睛：解答本题中函数迭代问题，要结合题设找到迭代规律，即可求出函数表达式，解决余数问题的关键在于将f 10032 利用二项式定理展开化简转化为17的倍数的形式，即可求得答案.6.(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模)如图，椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 与双曲线x 2m 2-y 2n 2=1m >0,n >0 有公共焦点F 1-c ,0 ，F 2c ,0 c >0 ，椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，点P 为两曲线的一个公共点，且∠F 1PF 2=60°，则1e 21+3e 22=；I 为△F 1PF 2的内心，F 1,I ,G 三点共线，且GP ⋅IP =0，x 轴上点A ,B 满足AI =λIP ，BG =μGP ，则λ2+μ2的最小值为．【答案】 4 1+32【分析】第一空：利用椭圆与双曲线的定义及性质，结合图形建立方程，求出PF 1 ,PF 2 ，在利用余弦定理建立关于离心率的齐次方程解出即可；第二空：由I 为△F 1PF 2的内心，得出角平分线，利用角平分线的性质结合平面向量得出λ =e 1及μ =e 2，代入λ2+μ2中利用基本不等式求最值即可.【详解】①由题意得椭圆与双曲线的焦距为F 1F 2 =2c ，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，不妨设点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义：PF 1 -PF 2 =2m ，由椭圆的定义：PF 1 +PF 2 =2a ，可得：PF 1 =m +a ,PF 2 =a -m ，又∠F 1PF 2=60°，由余弦定理得：PF 12+PF 2 2-PF 1 ⋅PF 2 =FF 2 2=4c 2，即m +a 2+a -m 2-m +a ⋅a -m =4c 2，整理得：a 2+3m 2=4c 2，所以：a 2c 2+3m 2c 2=4⇒1e 21+3e 22=4；②I 为△F 1PF 2的内心，所以IF 2为∠PF 1F 2的角平分线，则有PF 1 AF 1=IP AI，同理：PF 2AF 2=IP AI，所以PF 1 AF 1 =PF 2 AF 2=IP AI，所以IP AI=PF 1 +PF 2 AF 1 +AF 2=2a 2c =1e 1，即AI =e 1IP ，因为AI =λIP，所以AI =λ IP ，故λ =e 1，I 为△F 1PF 2的内心，F 1,I ,G 三点共线，即F 1G 为∠PF 1B 的角平分线，则有GB PG=BF 2 PF 2=BF 1 PF 1，又BF 2 ≠BF 1 ，所以BGPG =BF 1 -BF 2PF 1 -PF 2=2c2m =e 2，即BG =e 2GP ，因为BG =μGP ，所以BG =μ GP ，故μ =e 2，所以λ2+μ2=e 21+e 22=14e 21+e 22 1e 21+3e 22=141+3+3e 21e 22+e 22e 21≥144+23e 21e 22⋅e 22e 21=1+32，当且仅当3e 21e 22=e 22e 21⇒e 2=3e 1时，等号成立，所以λ2+μ2的最小值为1+32，故答案为：4，1+32.【点睛】方法点睛：离心率的求解方法，(1)直接法：由题意知道a ,c 利用公式求解即可；(2)一般间接法：由题意知道a ,b 或b ,c 利用a ,b ,c 的关系式求出a ,c ，在利用公式计算即可；(3)齐次式方程法：建立关于离心率e 的方程求解.7.(2023春·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试)侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，往里第二个正方形为A 2B 2C 2D 2，⋯，往里第n 个正方形为A n B n C n D n ．那么第7个正方形的周长是，至少需要前个正方形的面积之和超过2．(参考数据：lg2=0.301，lg3=0.477)．【答案】5007294【分析】根据已知，利用勾股定理、正方形的周长公式、面积公式以及等比数列的通项、前n 项和公式进行求解.【详解】因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，且外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，所以A 2B 1=23，B 2B 1=13,由勾股定理有：A 2B 2=A 2B 1+B 1B 2=232+132=53，设第n 个正方形A n B n C n D n 的边长为l n ，则l 1=1，l 2=23l 12+13l 1 2=53l 1，⋯⋯，l n =23l n -12+13l n -1 2=53l n -1，所以l n =53n -1l 1=53n -1，所以第7个正方形的周长是4l 7=4×536=4×5336=4×125729=500729，第n 个正方形的面积为ln 2=532n -2=59n -1，则第1个正方形的面积为l 12=59=1，则第2个正方形的面积为l 22=591=59，则第3个正方形的面积为l 32=59 2，⋯⋯则第n 个正方形的面积为l n 2=59n -1，前n 个正方形的面积之和为S n =1+591+⋯+59n -1=1-59 n1-59=941-59n，当n =1时，S 1=941-591=1，当n =2时，S 2=941-592=149，当n =3时，S 3=941-593=15181，当n =4时，S 4=941-594=1484729>2，所以至少需要前4个正方形的面积之和超过2．故答案为：500729，4.8.(2023春·云南曲靖·高三宣威市第三中学校考阶段练习)△ABC 中，AB =AC =3,BC =2，沿BC 将△ABC 折起到△PBC 位置，P 点不在△ABC 面内，当三棱锥P -ABC 的体积最大时，三棱锥P -ABC 的外接球半径是；当PA =2时，三棱锥P -ABC 的外接球表面积是.【答案】654 15815π【分析】根据图形，得出面ABC 外接圆的半径为r ，而后利用勾股定理求出三棱锥P -ABC 的外接球半径；结合余弦定理，二倍角公式以及同角关系，求出OE ，再由勾股定理得出R 2，进而求出三棱锥P -ABC 的外接球表面积.【详解】由题知，取BC 中点D ，连接AD ，PD ，设△ABC 的外接圆的圆心为E ，△PBC 的外接圆的圆心为F ，三棱锥外接球的球心为O ，半径为R ，连接OE ，OF 如图所示，要使三棱锥P -ABC 的体积最大时，即要使得点P 到平面ABC 的距离最大，只有当平面ABC ⊥平面PBC 时，体积最大，即点P 到BC 的距离最大，三棱锥体积最大.此时，四边形OEDF 是正方形，假设△ABC 外接圆的半径为r ，则在△BDE 中，由勾股定理得：r 2-1+r =AD =22，解得r =928，所以OE =DF =DE =r 2-1=728，∴R =OE 2+r 2=654.当PA =2时，由上述可知，结合余弦定理cos ∠EDF =8+8-22×22×22=78，由二倍角公式cos ∠ODE =154，∴tan ∠ODE =1515，∴OE =1515×728=730120，∴R 2=OE 2+r 2，∴三棱锥P -ABC 的外接球表面积为S =4πR 2=158π15.故答案为：654；158π15.9.(2023春·云南·高三校联考开学考试)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点M ，N 的距离之比为定值λ(λ≠1,λ>0)的点的轨迹是圆”，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy 中，M (-2,0),N (4,0)，点P 满足|PM ||PN |=12．则点P 的轨迹方程为；在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥平面ABC ，且SA =3,BC =6,AC =2AB ，该三棱锥体积的最大值为．【答案】 (x +4)2+y 2=16 12【分析】利用求点的轨迹方程的步骤及两点间的距离公式即可求解；根据已知条件及阿波罗尼斯圆的特点，结合棱锥的体积公式即可求解.【详解】设P (x ,y ),|PM ||PN |=12，所以(x +2)2+y 2(x -4)2+y 2=12，所以x 2+8x +y 2=0，即(x +4)2+y 2=16，所以点P 的轨迹方程为(x +4)2+y 2=16；三棱锥的高为SA =3，当底面△ABC 的面积最大值时，三棱锥的体积最大，BC =6，AC =2AB ，取BC 靠近B 的一个三等分点为坐标原点O ，BC 为x 轴建立平面直角坐标系，不妨取B (-2,0),C (4,0)，由题设定义可知A (x ,y )的轨迹方程为(x +4)2+y 2=16，所以A 在圆(x +4)2+y 2=16的最高点处(-4,4)，S △ABC =12×6×4=12，此时，V S -ABC max =13×3×12=12．故答案为：(x +4)2+y 2=16；12.【点睛】解决此题的关键是第一空主要利用求点的轨迹方程的步骤即可；第二空要使该三棱锥体积的最大值，只需要将问题转化为求底面△ABC 的面积最大值，再利用阿波罗尼斯圆的特点即可.10.(2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知抛物线E ：x 2=2py p >0 的焦点为F ，现有不同的三点A ，B ，C 在抛物线E 上，且AF +BF +CF =0，AF +BF +CF=12，则p 的值是；若过点P 1,-2 的直线PM ，PN 分别与抛物线E 相切于点M ，N ，则MN =.【答案】 4172##8.5【分析】根据向量的坐标运算化简可得y A +y B +y C =32p ，再利用抛物线的定义求出p ，根据切线的方程可求出直线MN 的方程，根据直线过焦点利用弦长公式y 1+y 2+p 求解.【详解】设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),C (x C ,y C ),F 0,p2，则AF +BF +CF =-x A -x B -x C ,p 2-y A +p 2-y B +p2-y C =0,∴p 2-y A +p 2-y B +p 2-y C =0，即y A +y B +y C =32p ，又AF +BF +CF =y A +p 2+y B +p 2+y C +p 2=32p +32p =3p =12，解得p =4.设M (x 1,y 2),N (x 2,y 2)，由x 2=8y 可得y =x4，则k PM =x 14,k PN =x 24，所以直线PM 的方程为y -y 1=x14(x -x 1),即x 1x =4(y +y 1)①，同理直线PN 的方程为x 2x =4(y +y 2)②由直线均过点P 可得x 1=4(-2+y 1)，x 2=4(-2+y 2)，即直线MN 的方程为x =4(-2+y )，过焦点F (0,2)，联立x 2=8y x =4(-2+y ) ，消元得2y 2-9y +8=0，所以y 1+y 2=92，∴MN =y 1+y 2+p =92+4=172，故答案为：4；17211.(2023·安徽淮北·统考一模)已知双曲线C ：x 22-y 26=λ过点5,3 ，则其方程为，设F 1，F 2分别为双曲线C 的左右焦点，E 为右顶点，过F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(其中点A 在第一象限)，设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则ME -NE 的取值范围是．【答案】 x 24-y 212=1 -433,433【分析】①将点代入方程中求出λ，即可得答案；②据圆的切线长定理和双曲线的定义可推得△AF 1F 2，△BF 1F 2的内切圆与x 轴切于双曲线的右顶点E ，设直线AB 的倾斜角为θ，可用θ表示ME -NE ，根据A ,B 两点都在右支上得到θ的范围，利用θ的范围可求得ME -NE 的取值范围【详解】①由双曲线C ：x 22-y 26=λ过点5,3 ，所以52-36=λ⇒λ=2所以方程为x 24-y 212=1②如图：设△AF 1F 2的内切圆与AF 1,AF 2,F 1F 2分别切于H ,D ,G ，所以|AH |=|AD |,|HF 1|=|GF 1|,|DF 2|=|GF 2|，所以|AF 1|-|AF 2|=|AH |+|HF 1|-|AD |-|DF 2|=|HF 1|-|DF 2|=|GF 1|-|GF 2|=2a ，又|GF 1|+|GF 2|=2c ，所以|GF 1|=a +c ,|GF 2|=c -a ，又|EF 1|=a +c ,|EF 2|=c -a ，所以G 与E (a ,0)重合，所以M 的横坐标为a ，同理可得N 的横坐标也为a ，设直线AB 的倾斜角为θ.则∠EF 2M =π-θ2，∠EF 2N =θ2，|ME |-|NE |=c -a tan π-θ2-c -a tanθ2=c -a ⋅sin π2-θ2 cos π2-θ2 -sin θ2cos θ2=c -a ⋅cos θ2sin θ2-sin θ2cos θ2 =(c -a )⋅cos 2θ2-sin 2θ2sin θ2⋅cos θ2=c -a 2cos θsin θ，当θ=π2时，|ME |-|NE |=0，当θ≠π2时，由题知，a =2.c =4.ba=3.因为A ,B 两点在双曲线的右支上，∴π3<θ<2π3，且θ≠π2，所以tan θ<-3或tan θ>3，∴-33<1tan θ<33.且1tan θ≠0，ME -NE =4-2 ⋅2tan θ=4tan θ∈-433,0 ∪0,433，综上所述，|ME |-|NE |∈-433,433.故①答案为：x 24-y 212=1;-433,433【点睛】关键点点睛：第一问相对简单，代点求出即可；第二问难度较大，主要根据圆的切线长定理和双曲线的定义推出△AF 1F 2，△BF 1F 2的内切圆与x 轴同时切于双曲线的右顶点E ,并将ME -NE 用直线AB 的倾斜角θ表示出来是解题关键.12.(2023春·重庆·高三统考开学考试)定义：若A ，B ，C ，D 为球面上四点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则把以EF 为直径的球称为AB ，CD 的“伴随球”.已知A ，B ，C ，D 是半径为2的球面上四点，AB =CD =23，则AB ，CD 的“伴随球”的直径取值范围为；若A ，B ，C ，D 不共面，则四面体ABCD 体积的最大值为.【答案】 0,2 4【分析】设O 为A ,B ,C ,D 所在球面的球心，则由题可知E 、F 均是以O 为球心，1为半径的球面上的点，据此即可求出EF 范围；根据V A -BCD =2V A -CDE =23S △CDE⋅d (d 为点A 到平面CDE 距离，)，求出S △CDE ,d 的最大值即可得体积最大值.【详解】设O 为A ,B ,C ,D 所在球面的球心，∴OA =OC =2.∵AB =CD =23，且E ,F 分别是AB ,CD 的中点，∴OE ⊥AB ，OE ⊥CD ，且AE =CF =3，∴OE =OF =1，则E 、F 均是以O 为球心，1为半径的球面上的点，若以EF 为直径作球，则0<EF ≤OE +OF =2，即AB ，CD 的“伴随球”的直径取值范围是(0，2]；∵E 是AB 中点，∴V A -BCD =2V A -CDE =23S △CDE⋅d ，d 为点A 到平面CDE 距离，d ≤AE =3，又S △CDE =12CD ⋅h ，h 为点E 到CD 距离，h ≤EF ≤2，∴V A -BCD ≤23×23×22×3=4，当且仅当E ,O ，F 三点共线，且AB ⊥CD 时，等号成立.故答案为：(0，2]；4.【点睛】本题关键是根据已知条件确定E 和F 的轨迹，数形结合可得EF 的范围；根据E 是AB 中点，则A 与B 到平面CDE 的距离相等，据此将三棱锥A -BCD 的体积转化为三棱锥A -CDE 体积的2倍，再数形结合即可求得最值.对空间想象能力的要求很高，属于难题.13.(2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习)已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，准线交x 轴于点D ，过点F 作倾斜角为θ(θ为锐角)的直线交抛物线于A ，B 两点，如图，把平面ADF 沿x 轴折起，使平面ADF ⊥平面BDF ，则三棱锥A -BDF 体积为；若θ∈π6,π3，则异面直线AD ，BF 所成角的余弦值取值范围为．【答案】4377,155【分析】根据抛物线焦点弦的性质可得AF =p 1-cos θ，BF =p1+cos θ，进而根据面面垂直即可求三棱锥的高，进而利用体积公式即可求解，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角就可求解异面直线的夹角.【详解】过B 作BM ⊥x ,BN ⊥准线，垂足为M ,N ,在Rt △BMF 中，MF =BF cos θ，又BN =BF =DF -MF =p -BF cos θ⇒BF =p 1+cos θ，MB =BF sin θ=p sin θ1+cos θ同理可得，AF =p1-cos θ过A 作AH ⊥x 于H ,由于平面ADF ⊥平面BDF ，且交线为DF ，AH ⊂平面ADF ,所以AH ⊥平面BDF ,且AH =AF sin θ=p sin θ1-cos θ，故三棱锥的体积为13S △BDF AF =13×12DF BM AH =16p p sin θ1+cos θp sin θ1-cos θ=p 36=86=43，AD =p 1-cos θ 2+p sin θ1-cos θ2=p 1-cos θ1+sin 2θ，BF =p1+cos θ且MB =p sin θ1+cos θ，FH =p cos θ1-cos θ，所以建立如图所示的空间直角坐标系，B p 2-p cos θ1+cos θ,-p sin θ1+cos θ,0 ,A p 2+p cos θ1-cos θ,0,p sin θ1-cos θ，p =2即B 1-cos θ1+cos θ,-2sin θ1+cos θ,0 ,A 1+cos θ1-cos θ,0,2sin θ1-cos θ ，D -1,0,0 ,F 1,0,0 ,DA =21-cos θ,0,2sin θ1-cos θ ,BF =2cos θ1+cos θ,2sin θ1+cos θ,0 ,DA ⋅BF =21+cos θ 2cos θ1-cos θ =4cos θsin 2θ所以cos DA ,BF =DA ⋅BFDA BF =4cos θsin 2θp 1-cos θ1+sin 2θp 1+cos θ=cos θ1+sin 2θ=1-sin 2θ1+sin 2θ=-1+21+sin 2θ，当θ∈π6,π3时，sin θ∈12,32 ⇒sin 2θ∈14,34 ⇒1+sin 2θ∈54,74 ，所以cos DA ,BF =-1+21+sin 2θ∈77,155 ，由于DA ,BF为锐角，所以异面直线AD ，BF 所成角的角等于DA ,BF ，故异面直线AD ，BF 所成角的余弦值取值范围为77,155故答案为：43，77,155【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用14.(2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知数列a n 满足：①a 1=5；②a n +1=a n +2,n 为奇数3a n +2,n 为偶数 .则a n 的通项公式a n =；设S n 为a n 的前n 项和，则S 2023=.(结果用指数幂表示)【答案】 a n =3n +32-4,n 为奇数 3n +22-2,n 为偶数2×31013-6079【分析】当n 为奇数时令n =2k -1,k ∈N *可得a 2k =a 2k -1+2，当n 为偶数时令n =2k ,k ∈N *，可得a 2k +1+4=3a 2k -1+4 ，即可得到a 2k -1+4 是以9为首项，3为公比的等比数列，从而求出通项公式，再利用分组求和法计算可得.【详解】当n 为奇数时a n +1=a n +2，令n =2k -1,k ∈N *，则a 2k =a 2k -1+2，当n 为偶数时a n +1=3a n +2，令n =2k ,k ∈N *，则a 2k +1=3a 2k +2=3a 2k -1+2 +2=3a 2k -1+8，则a 2k +1+4=3a 2k -1+4 ，当k=1时a1+4=9，所以a2k-1+4是以9为首项，3为公比的等比数列，所以a2k-1+4=9×3k-1=3k+1，所以a2k-1=3k+1-4，则a2k=a2k-1+2=3k+1-4+2=3k+1-2，当n为奇数时，由n=2k-1,k∈N*，则k=n+12，所以a n=3n+12+1-4=3n+32-4，当n为偶数时，由n=2k,k∈N*，则k=n2，所以a n=3n2+1-2=3n+22-2，所以a n=3n+32-4,n为奇数3n+22-2,n为偶数，所以S2023=a1+a3+⋯+a2023+a2+a4+⋯+a2022=32+33+⋯+31013-4×1012+32+33+⋯+31012-2×1011=321-310121-3-4×1012+321-310111-3-2×1011=2×31013-6079故答案为：a n=3n+32-4,n为奇数3n+22-2,n为偶数，2×31013-607915.(2023秋·河北张家口·高三统考期末)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=4，c=3b，则△ABC面积的最大值是；若r，R分别为△ABC的内切圆和外接圆半径，则rR的范围为．【答案】 3；34,2 .【分析】对于第一空，利用余弦定理表示出cos A，再表示出sin A，再利用S△ABC=12bc sin A可得答案；对于第二空，利用r=2S△ABCabc，R=12⋅asin A可得答案.【详解】因a，b，c在三角形中，则由三角形三边关系可得c+b=4b>4c-b=2b<4⇒1<b<2，又利用余弦定理有：cos A=b2+c2-a22bc =10b2-166b2，又cos2A+sin2A=1，sin A>0，则sin A=1-cos2A=1-100b4+256-320b236b4=4-b4+5b2-43b2.得S△ABC=12bc sin A=2-b4+5b2-4=2-b2-522+94≤3，当且仅当b2=52，即b=102时取等号.则△ABC面积的最大值是3；对于第二空，因S△ABC=12a+b+cr，则r=2S△ABCa+b+c=bc sin A4+4b=3b2sin A4+4b，又asin A=2R⇒R=a2sin A=2sin A，则rR=6b24+4b=32⋅b21+b=32⋅1+b-121+b=32b+1+1b+1-2，因1<b<2，则2<b+1<3.令f x =x+1x，其中x∈2,3，因f x =x2-1x2>0，则f x 在2,3上单调递增，故52<b+1+1b+1<103，得rR∈34,2.故答案为：3；3 4 ,2.16.(2023秋·河北保定·高三统考期末)定义在R上的两个函数f x 和g x ，已知f x +g1-x=3，g x +f x-3=3．若y=g x 图象关于点1,0对称，则f0 =，g1 +g2 +g3 +⋯+g1000=．【答案】 3 0【分析】①根据题意，利用方程法得到f x =f-2-x，通过赋值得到f0 =f-2，根据y=g x 的图象关于点1,0对称得到g1-x+g1+x=0，即可得到f x -g1+x=3，再利用方程法得到f x +f x-2=6，令x=0，得到f0 +f-2=6，然后求f0 即可；②利用方程法得到g x =-g x-2，整理可得g x =g x-4，得到4是g x 的一个周期，然后根据g x =-g x-2得到g1 +g2 +g3 +g4 =0，最后再利用周期求g1 +g2 +g3 +⋯+g1000即可.【详解】由g x +f x-3=3可得g1-x+f-2-x=3，又f x +g1-x=3，所以f x =f-2-x，令x=0，所以f0 =f-2；因为y=g x 的图象关于点1,0对称，所以g1-x+g1+x=0，又f x +g1-x=3，所以f x -g1+x=3，因为g x +f x-3=3，所以g1+x+f x-2=3，f x +f x-2=6，令x=0，所以f0 +f-2=6，则f0 =3；因为f x -g1+x=3，所以f x-3-g x-2=3，又g x +f x-3=3，所以g x =-g x-2，g x-2=-g x-4，则g x =g x-4，4是g x 的一个周期，因为g3 =-g1 ，g4 =-g2 ，所以g1 +g2 +g3 +g4 =0，因为g x 周期是4，所以g1 +g2 +g3 +⋯+g1000=0.故答案为：3，0.17.(2023秋·江苏·高三统考期末)已知数列a n､b n满足b n=a n+12,n=2k-1a n+1,n=2k其中k∈N*，b n 是公比为q的等比数列，则a n+1a n=(用q表示)；若a2+b2=24，则a5=.【答案】 q2 1024【分析】根据已知得出a k=b2k-1，则a n+1a n=b2n+1b2n-1，即可得出a n+1a n=q2，根据已知得出a2=b3，可得到b1q1+q=24，根据已知得出a3=b2,b5=a3，结合条件即得.【详解】∵n=2k-1时，b n=a n+12，即a k=b2k-1，k∈N*，则a n+1a n=b2n+1b2n-1，∵b n是公比为q的等比数列，∴b2n+1b2n-1=q2，即a n+1a n=q2；∵q2>0，∴a n中的项同号，∵n=2k时，b n=a n+1，∴a n+1≥0，则a n中的项都为正，即a n>0，∴b n=a n+12>0，∴q>0，∵b n=a n+12,n=2k-1a n+1,n=2k，∴a2=b3，∴a2+b2=b2+b3=24，∴b1q1+q=24，∵b n=a n+12,n=2k-1a n+1,n=2k，∴a3=b2,b5=a3，∴b22=b5，即b21q2=b1q4，∴b1=q2，∴q31+q=24,q4-16+q3-8=0，解得q=2，∴a5=b24=q10=1024.故答案为：q 2；1024.18.(2023秋·山东潍坊·高三统考期中)在△ABC 中，点D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍，且AD =λAC ，则实数λ的取值范围为；若△ABC 的面积为1，当BC 最短时，λ=.【答案】 0,43 2105##2510【分析】过C 作CE ⎳AB 交AD 延长线于E ，由题设易得BD =2DC 、AC =EC 、△ADB ∼△EDC ，在△ACE 中应用三边关系求λ的取值范围，若∠BAD =∠CAD =θ∈0,π2，由三角形面积公式得b 2sin2θ=1，且AE =2AC ⋅cos θ得cos θ=3λ4，进而可得b 2=83λ16-9λ2，应用余弦定理得到BC 关于λ的表达式，结合其范围求BC 最小时λ对应值即可.【详解】由△ABD 面积是△ADC 面积的2倍，即BD =2DC ，如上图，过C 作CE ⎳AB 交AD 延长线于E ，又AD 平分∠BAC ，所以∠BAE =∠CAE =∠AEC ，即AC =EC ，且△ADB ∼△EDC ，故ED AD=CD BD =12，若AC =EC =b ，又AD =λAC ，则AD =λb 且λ>0，ED =λb2，△ACE 中，AC +EC =2b >AE =3λb 2，可得λ<43，故0<λ<43；由角平分线性质知：S △ABD S △ACD =ABAC =2，则AB =2AC =2b ，若∠BAD =∠CAD =θ∈0,π2 ，则S △ABC =12AB ⋅AC sin2θ=b 2sin2θ=1，又AE =2AC ⋅cos θ，即3λb 2=2b cos θ，则cos θ=3λ4，故sin θ=16-9λ24，所以b 2sin2θ=2b 2sin θcos θ=3λb 216-9λ8=1，可得b 2=83λ16-9λ2，由BC 2=5b 2-4b 2cos2θ=9b 2-8b 2cos 2θ=12(2-λ2)λ16-9λ2=12⋅(λ2-2)2-9(λ2-2)2-20(λ2-2)-4，令t =1λ2-2∈-92,-12 ，则BC 2=12⋅1-9-20t-4t 2=12-141t+522-16，所以t =-52时BC 2min =12×14=3，即BC min =3，此时λ2=85，即λ=2105.故答案为：0<λ<43，2105.【点睛】关键点点睛：注意过C 作CE ⎳AB 交AD 延长线于E ，应用三角形三边关系求参数范围，根据已知条件得到BC 关于λ的表达式是求最值的关键.19.(2023秋·山东德州·高三统考期末)如图所示，已知F 1、F 2分别为双曲线x 24-y 212=1的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，则∠AF 2O 的取值范围为；记△AF 1F 2的内切圆O 1的面积为S 1，△BF 1F 2的内切圆O 2的面积为S 2，则S 1+S 2的取值范围是．【答案】π3,2π3 8π,403π【分析】分析可知直线AB 与x 轴不重合，设直线AB 的方程为x =my +4，将直线AB 的方程与双曲线的方程联立，利用韦达定理结合已知条件求出m 的取值范围，可求得∠AF 2O 的取值范围；设圆O 1切AF 1、AF 2、F 1F 2分别于点M 、N 、G ，分析可知直线AB 的倾斜角取值范围为π3,2π3，推导出圆O 1、圆O 2的半径r 1、r 2满足r 1r 2=4，求得r 1∈233,23 ，利用双勾函数的单调性可求得S 1+S 2的取值范围.【详解】设直线AB 的倾斜角为α，在双曲线x 24-y 212=1中，a =2，b =23，则c =a 2+b 2=4，故点F 24,0 ，若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与双曲线交于该双曲线的两个实轴的端点，不合乎题意，所以，直线AB 与x 轴不重合，设直线AB 的方程为x =my +4，设点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，联立x =my +43x 2-y 2=12可得3m 2-1 y 2+24my +36=0，由题意可得3m 2-1≠0Δ=242m 2-4×36×3m 2-1 >0 ，解得m 2≠13，由韦达定理可得y 1+y 2=-24m 3m 2-1，y 1y 2=363m 2-1，x 1+x 2=m y 1+y 2 +8=-24m 23m 2-1+8=-83m 2-1>0，可得m 2<13，x 1x 2=my 1+4 my 2+4 =m 2y 1y 2+4m y 1+y 2 +16=-12m 2+163m 2-1>0，可得m 2<13，所以，-33<m <33，且α∈0,π 当-33<m <0时，tan α=1m ∈-∞,-3 ，此时α∈π2,2π3，当m =0时，AB ⊥x 轴，此时α=π2，当0<m <33时，tan α=1m ∈3,+∞ ，此时α∈π3,π2 ，综上，π3<α<2π3，不妨设点A 在第一象限，则∠AF 2O =α∈π3,2π3；设圆O 1切AF 1、AF 2、F 1F 2分别于点M 、N 、G ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，可知直线AB 的倾斜角取值范围为π3,2π3，由切线长定理可得AM =AN ，F 1M =F 1G ，F 2G =F 2N ，所以，AF 2 +F 1F 2 -AF 1 =AN +F 2N +F 1G +F 2G -AM +F 1M =F 2N +F 2G =2F 2G =2c -2a ，则F 2G =c -a =2，所以点G 的横坐标为4-2=2.故点O 1的横坐标也为2，同理可知点O 2的横坐标为2，故O 1O 2⊥x 轴，故圆O 1和圆O 2均与x 轴相切于G 2,0 ，圆O 1和圆O 2两圆外切.在△O 1O 2F 2中，∠O 1F 2O 2=∠O 1F 2G +∠O 2F 2G =12∠AF 2F 1+∠BF 2F 1 =90°，O 1O 2⊥F 2G ，∴∠GO 1F 2=∠F 2O 1O 2，∠O 1GF 2=∠O 1F 2O 2=90°，所以，△O 1GF 2∽△O 1F 2O 2，所以，O 1G O 1F 2=O 1F 2 O 1O 2，则O 1F 2 2=O 1G ⋅O 1O 2 ，所以F 2G 2=O 1F 2 2-O 1G 2=O 1G ⋅O 1O 2 -O 1G 2=O 1G ⋅O 2G ，即c -a 2=r 1⋅r 2，则r 1⋅r 2=4，由直线AB 的倾斜角取值范围为π3,2π3 ，可知∠AF 2F 1的取值范围为π3,2π3，则∠O 1F 2F 1=12∠AF 2F 1∈π6,π3，故r 1=F 2G ⋅tan ∠O 1F 2F 1=2tan ∠O 1F 2F 1∈233,23，则S 1+S 2=πr 21+r 22 =πr 21+16r 21，其中r 1∈233,23 ，令f x =x +16x ，其中x ∈43,12 ，则f x 在43,4 单调递减，在4,12 单调递增.因为f 4 =8，f 43=f 12 =403，则当x ∈43,12 时，f x ∈8,403 ，故S 1+S 2=πr 21+16r 21∈8π,40π3 .故答案为：π3,2π3；8π,40π3.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.20.(2023春·山东滨州·高三山东省北镇中学校考阶段练习)如图所示，一个平面内任意两两相交但不重合的若干条直线，直线的条数与这些直线将平面所划分的区域个数满足如下关系：1条直线至多可划分的平面区域个数为2；2条直线至多可划分的平面区域个数为4；3条直线至多可划分的平面区域个数为7；4条直线至多可划分的平面区域个数为11；一般的，n n ∈N * 条直线至多可划分的平面区域个数为；在一个平面内，对于任意两两相交但不重合的若干个圆，类比上述研究过程，可归纳出：n 个圆至多可划分的平面区域个数为.【答案】 n 2+n +22n 2-n +2【分析】根据当直线两两相交且任意三条直线均不交于同一点时，可划分的平面区域个数最多，设n 条直线可划分的平面区域个数为a n ，推导出a n =a n -1+n n ≥2 ，利用累加法求得a n ；利用类比的方法可求得n 个圆至多可划分的平面区域个数.【详解】当这些直线两两相交且任意三条直线均不交于同一点时，可划分的平面区域个数最多，设这样的n 条直线可划分的平面区域个数为a n ，已知a 1=2,a 2=4，当n ≥2时，因为第n 条直线l 与前n -1条直线至多新增n -1个交点，且新增的这n -1个交点均在l 上，按沿l 的方向向量方向排布将这n -1个交点依次记为A 1,A 2,⋯，A n -1，对于线段A m -1A m m ∈N * ，且2≤m ≤n -1 ，和以A 1和A n -1为端点且不经过A 2,A 3⋯,A n -2的两条射线，均能将前n -1条直线所划分的区域一分为二，故将新增n 个区域，故a n =a n -1+n n ≥2 ，故a n =a 1+a 2-a 1 +a 3-a 2 +⋯+a n -a n -1 =2+2+3+⋯+n =1+n n +1 2=n 2+n +22，故n 条直线至多将平面划分的区域个数为n 2+n +22；同理，当这些圆两两相交，且任意三个圆均不交于同一点时，可划分的平面区域个数最多，设这样的n 个圆可划分的平面区域个数为b n ，已知b 1=2,b 2=4，当n ≥2时，因为第n 个圆C 与前n -1个圆至多新增2n -1 个交点，且新增的这2n -2个交点均在C 上，按沿C 的逆时针方向排布将这2n -2个交点依次记为B 1,B 2,⋯,B 2n -2，对于弧B k -1Bk (k ∈N *，且2≤k ≤2n -2)，和弧B 2n -2B 1，每一段弧均能将前n -1个圆所划分的区域一分为二，故将新增2n -2个区域，故有b n =b n -1+2n -2n ≥2 ，故b n =b 1+b 2 -b 1 +b 3-b 2 +⋯+b n -b n -1=2+2+4+⋯+2n -2 =2+n n -1 =n 2-n +2，故n 个圆至多可划分的平面区域个数为n 2-n +2.故答案为：n 2+n +22;n 2-n +2.【点睛】关键点点睛：确定当直线两两相交且任意三条直线均不交于同一点时，可划分的平面区域个数最多，设这样的n 条直线可划分的平面区域个数为a n ，关键点就是要推导出当增加一条直线时新增的区域个数，从而得到a n =a n -1+n n ≥2 .21.(2023·山东青岛·统考一模)设函数f x 是定义在整数集Z 上的函数，且满足f 0 =1，f 1 =0，对任意的x ，y ∈Z 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，则f 3 =；f 12+22+⋅⋅⋅+20232f 12+f 22 +⋅⋅⋅+f 20232=．【答案】 011011【分析】由f x +y +f x -y =2f x f y 结合已知函数值，通过代入特殊值计算f 3 ；推导出函数f x 周期T =4，通过已知函数值，分析f 12+22+⋅⋅⋅+20232 f 12 +f 22 +⋅⋅⋅+f 20232中自变量的数据特征求值.【详解】令x =y =1，f (2)+f (0)=2f 2(1)，∴f 2 =-1，。
2023届山东省高考模拟练习(三)数学试题
2023届山东省高考模拟练习（三）数学试题一、单选题：本题共8小题 每小题5分 共40分。
在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|12}A x x =-< {|0}B x x => 则(A B = )A ．{|0}x x >B ．{|1}x x >-C ．{|02}x x <D ．{|2}x x2．已知复数z 满足i z i =-)21(,则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知平面向量a 与b 的夹角为60︒ (2,0)a = ||1b = 则|2|a b -的值为( ) A ．2B ．2C ．4D ．124．如图l 在高为h 的直三棱柱容器111C B A ABC -中 a AC AB ==,AC AB ⊥现往该容器内灌进一些水 水深为h ',然后固定容器底面的一边AB 于地面上 再将容器倾斜 当倾斜到某一位置时 水面恰好为C B A 11（如图2） 则hh '=( ) A ．32B ．45 C ．21D ．22 5．某软件研发公司对某软件进行升级 主要是对软件程序中的某序列},,,{321 a a a A =重新编辑 编辑新序列为},,,{342312*a a a a a a A ---=,它的第n 项为n n a a -+1,若**)(A 的所有项都是2 且244=a 325=a 则=1a ( ) A ．8B ．10C ．12D ．146．立德学校于三月份开展学雷锋主题活动 某班级5名女生和2名男生 分成两个小组去两地参加志愿者活动 每小组均要求既要有女生又要有男生 则不同的分配方案有( )种． A ．20B ．4C ．60D ．807．已知()x f 是定义在R 上的奇函数 当[]1,0∈x 时,()x a x f 2cos π-=,若函数()1+=x f y 是偶函数 则下列结论不正确的为( ) A ．a=1B ．()x f 的最小正周期T =4C ．()x x f y 6log -=有4个零点D ．()()20222023f f >8．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F 过点F 且斜率为)0(=/k k 的直线l交双曲线于A 、B 两点 线段AB 的中垂线交x 轴子于点D . 若||3||DF AB ≥,则双曲线的离心率取值范围是( ) A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛332,1B ．(]3,1C ．[)+∞,3D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，332 二、多项选择题：本题共4小题 每小题5分 共20分 在每小题给出的选项中 有多项符合题目要求 全部选对的得5分 部分选对的得2分 有选错的得0分．9．每年4月23日为“世界读书日” 树人学校于四月份开展“书香润泽校园 阅读提升思想”主题活动 为检验活动效果 学校收集当年二至六月的借阅数据如下表：月份 二月 三月 四月 五月 六月 月份代码x l 2 3 4 5 月借阅量y （百册）4.95.15.55.75.8根据上表 可得y 关于x 的经验回归方程为a x yˆ24.0ˆ+= 则( ) A ．68.4ˆ=aB ．借阅量4.9 5.1 5.5 5.7 5.8的上四分位数为5.7C ．y 与x 的线性相关系数r >0D ．七月的借阅量一定不少于6. 12万册 10．已知33sin( cos 42)(-+⋅=）πx x x f 下列选项正确的是( )A ．)(x f 的值域为(][)+∞-∞-,11,B ．)(x f 的对称中心为))(0,23(Z k k ∈+ππC ．)(x f 的单调递增区间为)23,212(ππππk k ++和))(2127,23(Z k k k ∈++ππππ D ．x x g 2cos 1)(=图像向右平移12π个单位与)(x f 的图像重合 11．如图 点M 是棱长为l 的正方体1111D C B A ABCD -中的侧面11A ADD 上的一个动点（包含边界） 则下列结论正确的是( )A ．不存在点M 满足⊥CM 平面BD C 1B ．存在无数个点M 满足1AD CM ⊥C ．当点M 满足D A M A 1131=时 平面M BD 1截正方体所得截面的面积为26 D ．满足||2||1MD MD =的点M 的轨迹长度是92π 12．已知)1(1)(>-=x x xx f 若βα，分别是方程x e x f =)(和x x f n 1)(=的根 则下列说法正确的是( ) A ．2n 21<αB ．111>+βαC ．6<βaD ．4ln >+ββ第Ⅱ卷 非选择题三、填空题：本题共4小题 每小题5分 共20分． 13．二项式()nxx 2+的二项式系数之和为64 则展开式中的6x 的系数是 （填数字）14．己知βα，为锐角 211)tan(-=+βα 54cos =β 则=αsin 15．已知点P 是椭圆14:22=+y x C 上一点 椭圆C 在点P 处的切线l 与圆4:22=+y x O交于A B 两点 当三角形AOB 的面积取最大值时 切线l 的斜率等于 16．已知四边形ABCD 为平行四边形 4=AB 3=AD 3π=∠BAD 现将ABD ∆沿直线BD 翻折 得到三棱锥BCD A -' 若13='C A 则三棱锥BCD A -'的内切球与外接球表面积的比值为 .四、解答题：本题共6小题 共70分。
高三数学综合练习三[最新版]
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高三数学综合练习三一、选择题（每小题5分，共60分）1、已知全集U=R ，集合A={x|x 2>4}，B={x|x 2-6≤0}，则C u (A ∪B)=（ ） A {x|x<－3} B {x|－2≤x ≤2} C R D φ2、已知：函数f(x)=2x+x a2是奇函数，下列函数中，在（0，2）上为减函数的是（ ）A y=x 2+2ax －1B y=log 1-a xC y=－ax 3－12x+1D y=x －xa 3、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6：S 3=1：2，则S 9：S 3=（ ） A 1：2B 2：3C 3：4D 1：34、sin1630sin430－sin730sin470=( ) A 21-B21C 23-D23 5、向量b n a ),1,(==（4，n ）共线且反向，则n=( ) A ±2B －2C 2D 06、关于x 的方程7x=aa -+75有正根，则a 的取值范围是（ ） A （7，+∞）∪（－∞，1） B （1，+∞） C （－5，1）D （1，7） 7、a=－1是方程“a 2x 2+(a+2)y 2+2ax+a=0表示圆”的（ ）A 充要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既非充分又非必要条件y ≤x8、已知：x,y 满足不等式组 x+2y ≤4,则t=(x+1)2+(y －1)2的最小 y ≥－2 值是（ ）A59B 2C 3 D29、若函数y=x 2－3x －4的定义域是[0，m]，值域是[－]4,425-，则m 的取值范围是（ ）A （0，4]B []4,23C []3,23D （+,23∞） 10、有3对夫妻共6人，排成一行，要求同一对夫妻都不能相邻，则不同的排法有（ ）A 720B 432C 360D 24011、直线l 是双曲线0,0(12222>>=-b a by a x ）的右准线，以原点为圆心且过双曲线顶点的圆，被l 分成弧长为2：1的两段圆弧，则离心率是（ ）A 2B2C26D512、若方程m(x 2+y 2+2y+1)=(x －2y+3)2表示椭圆，则m 的取值范围是（ ）A （0，1）B （1，+∞）C （0，5）D （5，+∞） 二、填空（每小题4分，共24分）13、已知：。
高三数学综合练习题
高三数学综合练习题综合练习题一：1. 已知集合$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，集合$B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$，求集合$A$与集合$B$的交集。
2. 已知函数$f(x) = x^2 + 2x + 1$，求函数$f(x)$在$x = -1$处的函数值。
3. 设集合$C = \{x|x \text{是正整数}, x \leq 10\}$，集合$D = \{2, 4, 6, 8, 10\}$，求集合$C$与集合$D$的并集。
4. 已知等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2n + 1$，求当$n =5$时的数列值。
5. 已知方程$2x^2 - 5x + 2 = 0$，求方程的解。
综合练习题二：1. 已知函数$g(x) = \sqrt{x} + 1$，求函数$g(x)$的定义域。
2. 设集合$E = \{x|x \text{是偶数}, 1 \leq x \leq 10\}$，集合$F = \{2, 4, 6, 8, 10\}$，求集合$E$与集合$F$的差集。
3. 已知等比数列$\{b_n\}$的首项为$3$，公比为$2$，求当$n = 4$时的数列值。
4. 已知方程$3x^2 + 2x - 1 = 0$，求方程的解。
综合练习题三：1. 已知函数$h(x) = \frac{1}{x}$，求函数$h(x)$的定义域。
2. 设两个集合$G = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$H = \{3, 4, 5, 6, 7\}$，求集合$G$与集合$H$的对称差。
3. 已知等差数列$\{c_n\}$满足$c_1 = 2$，$c_2 = 5$，求当$n = 3$时的数列值。
4. 已知方程$x^2 + 4x + 4 = 0$，求方程的解。
综合练习题四：1. 已知函数$j(x) = \log(x)$，求函数$j(x)$的定义域。
2. 设两个集合$I = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$J = \{3, 4, 5, 6, 7\}$，求集合$I$与集合$J$的交集。
春季高考数学解答题专项练习：(三)三角函数
春季高考数学解答题专项练习三角函数1．已知()sin f x x x =．(1)求()f x 的周期，最大值和最小值．(2)把()f x 的图象向左平移π3后得到()y g x =的图象，求()y g x =的解析式．2．已知函数π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． (1)求函数()f x 的单调递减区间及其图象的对称中心；(2)已知函数()f x 的图象经过先平移后伸缩得到sin y x =的图象，试写出其变换过程．3．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象，如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域.4．已知函数()()2sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<最小正周期为π，图象过点4π⎛ ⎝. （1）求函数()f x 解析式（2）求函数()f x 的单调递增区间.5．已知向量()2sin ,1a x =，()2cos ,1b x =，x R ∈．（1）当4x π=时，求向量a b +的坐标；（2）设函数()f x a b =⋅，将函数()f x 图象上所有点向左平移4π个单位长度得到()g x 的图象，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的最小值．6．已知0ϕπ≤<，函数2())sin f x x x ϕ=++． （Ⅰ）若6πϕ=，求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()f x 的最大值是32，求ϕ的值．7.已知函数1π()sin()(0,R)23f x x x ωω=−>∈的最小正周期为π. (1)求()f x 的单调递减区间；(2)求()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.8．某同学解答一道三角函数题：“已知函数()2sin(),06f x x ωωπ=+>，其最小正周期为π． （1）求(0)f 和ω的值；（2）求函数()f x 在区间[,]63ππ−上的最小值及相应x 的值．” 该同学解答过程如下：下表列出了某些数学知识：请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识．9．已知函数()3sin 24f x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭． (1)写出()f x 的最小正周期；(2)求()f x 的最小值，并求取得最小值时自变量x 的集合．10．已知函数()π2sin 2,R 4f x x x ⎛⎫=−∈ ⎪⎝⎭ (1)求()f x 的最大值及对应的x 的集合；(2)求()f x 在[]0,π上的单调递增区间；11．已知函数()sin2f x x x =−．(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 的最大值以及取得最大值时x 的集合；(3)讨论()f x 在ππ,62⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的单调性．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c 1b =，120C =，求：(1)角B ；(2)△ABC 的面积S .13．已知△ABC 角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,△ABC 的周长为2,且sin sin A B C +.(1)求边c 的长;(2)若△ABC 的面积为23sin C ,求角C 的度数.14．在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知π,4C a ==. (1)求sin A 的值；(2)若c ，求b 的值.15．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos 0a B A =．(1)求角A 的大小；(2)若4b =，△ABC 的面积S =△ABC 的周长．16．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos cos b A c A a C =+.(1)求A ；(2)若4a =，求△ABC 面积的最大值.17．在△ABC 中，有222a c b ab −+=.(1)求角C 的大小；(2)若3a b ==，求△ABC 的面积.18．已知函数cos sin ()()()s x x x x f x =∈R ．(1)求()f x 的最小正周期和单调增区间；(2)在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若2B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，6b =，求△ABC 的面积的最大值．19．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin 2sin C A =，a =(1)求c ；(2)若3b =，求sin A ．20．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222a b c −−．(1)求B ；(2)若5b =，cos C c ．21．在△ABC 中，已知c =b ＝1，B ＝30°．(1)求角A ；(2)求△ABC 的面积．22．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(sin ,sin ),(cos ,cos ),sin2==⋅=−m A B n B A m n C ，(1)求C 的大小；(2)已知6==C A π，求b 的值．23．在锐角△ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c 2sin c A =(1)确定角C 的大小；(2)若c 6ab =，求边,a b .24．设 △ABC 的内角 、、A B C 的对边分别为 a b c 、、， 且 sin cos a b C B c−=(1)求角 C 的大小：(2)若边 AC 上的高为4b ， 求 cos B 的值．25．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()()b c b c a a c −+=+．(1)求角B ；(2)当1b =时，求△ABC 面积的最大值．26．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sinsin 2B C b a B += (1)求角A ；(2)若6b =，BC c .27．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c )cos sin a C b c A −=.(1)求角A ；(2)若AD 为BC 边上中线，5AD AB ==，求△ABC 的面积.28．在△ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知()22332a c b ac −=−(1)求cos B 的值；(2)若53a b =，求sin A 的值.29．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列，a ＝2．（1）若c ＝1，求b ；（2）若△ABCc ．30．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos a C A =． （1）求角A ．（2）若a =2c =求△ABC 的面积．31．在△ABC 中，内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，已知cos sin a B A ． （1）求B ；（2）若a 3c =，求b 的值．。
高三数学综合练习三带答案.docx
综合练习三一．选择题（共12 小题）1．设 A={x ∈Z||x|≤2} ， B={y|y=x 2+1， x∈A} ，则 B 的元素个数是（）A ． 5B ．4C．3D ．22．已知复数z 的模为 2，则 |z﹣ i|的最大值为（）A ． 1B ．2C． D ．33．某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（℃ ）之间的关系，随机统计了四个工作用电量与当天平均气温，并制作了对照表：气温（℃ ）181310﹣ 1用电量（度）24343864由表中数据得到线性回归方程=﹣ 2x+a，当气温为﹣ 4℃时，预测用电量为（）A ． 68 度B ．52 度 C．12 度 D ．28 度4．有三对师徒共 6 个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有（）A ． 72B ．54C．48 D ．85．已知向量为非零向量，，则夹角为（）A ．B ．C． D ．6．已知函数 f （ x）=|lgx| ， a＞ b＞ 0， f （a） =f （ b），则的最小值等于（）A ． 2B ．C．2+D． 27．执行如图所示的程序框图，输出的z 值为（）A ． 3B ．4C．5 D ．68．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最大的是（）A ． 8B ．C．12 D ．162345）9．设 f（x） =2+5x+10x +10x +5x+x ，则其反函数的解析式为（A ．B ．C． D ．10．已知函数f（ x）=，若g（x）=f（x）﹣a（x+2）的图象与x 轴有 3 个不同的交点，则实数 a 的取值范围是（）A ．（ 0，） B ．（0， ） C ． [ ， ） D ． [ ， ）11．在等差数列 {a n } 中， a 2=5，a 6=21，记数列 {} 的前 n 项和为 S n ，若 S 2n+1﹣ S n ≤，? n ∈N *恒成立，则正整数 m 的最小值为（）A ． 3B ．4C ．5D ．612．椭圆 的左右焦点分别为 F 1，F 2，若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P ，使得 △F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二．填空题（共 4 小题）13．抛物线 y 2=12x 的焦点为 F ，点 P 为抛物线上的动点， 点 M 为其准线上的动点，当△ FPM 为等边三角形时， 则 △ FPM的外接圆的方程为．6 0 1 （ 2x ﹣ 1） 2 2 62x ﹣ 1） 6，则=．14．设（ 3x ﹣ 2） =a +a +a （ 2x ﹣ 1） + +a （15．若直线 y=x+b 与曲线有公共点，则 b 的取值范围为．16．已知 tan （ α﹣ β） = ， tan β=﹣ ，且 α， β∈（﹣ π， 0），则 tan （ 2α﹣ β） =， 2α﹣β= ．三．解答题（共 7 小题）17．在数列 {a n } 中， a 1=2， a n+1=4a n ﹣3n+1 ， n ∈N*（ 1）证明数列 {a n ﹣ n} 为等比数列（ 2）求数列 {a n } 的前 n 项和 S n ．18． △ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分 ∠ BAC ， △ ABD 面积是 △ADC 面积的 2 倍．（ 1）求 ；（ 2）若 AD=1 ，DC=，求 BD 和 AC 的长．19．（ 2015?重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取（Ⅰ）求三种粽子各取到 1 个的概率；（Ⅱ）设 X 表示取到的豆沙粽个数，求3 个．X 的分布列与数学期望．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD分别是棱 CD 和 PC 的中点．中， AB ⊥ PA， AB ∥ CD，且PB=BC=BD=， CD=2AB=2，∠ PAD=120 °， E 和F （ 1）求证：平面BEF ⊥平面PCD ；（ 2）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．21．已知椭圆 C：+ =1（ a＞ b＞ 0）的离心率为，长轴长为等于圆22的直径，过点P（ 0，1）R： x+（ y﹣ 2） =4的直线与椭圆 C 交于两点A， B，与圆 R 交于两点M ， N（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）求证：直线RA ， RB 的斜率之和等于零；（Ⅲ）求 |AB| ?|MN| 的取值范围．22．设函数f（ x）=e mx+x2﹣ mx．（1）证明： f（ x）在（﹣∞， 0）单调递减，在（ 0，+∞）单调递增；（2）若对于任意 x1， x2∈[﹣ 1， 1] ，都有 |f（ x1）﹣ f（ x2） |≤e﹣ 1，求 m 的取值范围．23．在直角坐标系的极坐标系中，曲线xOy 中，曲线C1：C2：ρ=2sin θ，C3：ρ=2（t 为参数，cosθ．t≠0），其中0≤α≤π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴（1）求 C2与 C3交点的直角坐标；（2）若 C1与 C2相交于点 A ， C1与 C3相交于点 B，求 |AB| 的最大值．2016 年 05 月 27 日综合练习三参考答案与试题解析一．选择题（共12 小题）1．（ 2016?南昌校级二模）设A={x ∈Z||x|≤2} ，B={y|y=x 2+1 ， x∈A} ，则 B 的元素个数是（）A ． 5B ．4C．3 D ．2【考点】集合的表示法；元素与集合关系的判断．【专题】计算题．【分析】将 B 用列举法表示后，作出判断．【解答】解： A={x ∈Z||x|≤2}={ ﹣ 2，﹣ 1， 0， 1， 2} ，2B 的元素个数是3故选 C．【点评】本题考查集合的含义、表示方法．属于简单题．2．（ 2016 春 ?南阳期中）已知复数 z 的模为 2，则 |z﹣ i|的最大值为（）A ． 1B ．2C．D ．3【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的几何意义，知 |z|=2 对应的轨迹是圆心在原点半径为 2 的圆， |z﹣ i|表示的是圆上一点到点（0，1）的距离，其最大值为圆上点（0，﹣ 2）到点（ 0， 1）的距离．【解答】解：∵ |z|=2，则复数z 对应的轨迹是以圆心在原点，半径为 2 的圆，而 |z﹣ i|表示的是圆上一点到点（0， 1）的距离，∴其最大值为圆上点（ 0，﹣ 2）到点（ 0，1）的距离， z=a+bi z-i=a+(b-1)i |z﹣ i|=最大的距离为3． (圆心到点距离 +半径 )故选 D ．【点评】本题考查了复数及复数模的几何意义，数形结合可简化解答．3．（ 2015?湖北模拟）某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（℃ ）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：气温（℃）181310﹣1用电量（度）24343864由表中数据得到线性回归方程=﹣ 2x+a，当气温为﹣ 4℃时，预测用电量均为（）A ． 68 度B ．52 度 C．12 度 D ．28 度【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出 a 的值，可得线性回归方程，根据所给的x 的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．【解答】解：由表格得==10 ，=40．∴（，）为：（10，40），又（，）在回归方程=bx+a 中的 b=﹣ 2，∴40=10×（﹣ 2）+a，解得： a=60，∴=﹣ 2x+60 ，当x= ﹣4 时， =﹣ 2×（﹣ 4） +60=68 ．故选： A ．【点评】本题考查线性回归方程，考查最小二乘法的应用，考查利用线性回归方程预报变量的值，属于中档题．4．（ 2016?丰台区一模）有三对师徒共 6 个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有（）A ． 72B ．54C．48 D ．8【考点】排列、组合的实际应用．【专题】整体思想；分析法；排列组合．【分析】根据分步原理求解即可．【解答】解：用分步原理：第一步：把每一对师徒看成一整体，共有3×2=6 种方法；第二步：每对师徒都有两种站法共有2×2×2=8 种；（（ A22 ） ^3*A33 ）∴总的方法为6×8=48 种．故选： C．【点评】考查了分步原理和排列组合的应用．5．（ 2016?嘉峪关校级模拟）已知向量为非零向量，，则夹角为（）A ． B ．C． D ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；综合法；平面向量及应用．【分析】由条件即可得到，这样即可得到，且，从而可以求出，这样便可得出，的夹角．【解答】解：；∴，；∴；∴；∴；∴=；()∴夹角为．故选： B ．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，以及向量夹角余弦的计算公式．6．（ 2016?平度市三模）已知函数 f （x） =|lgx|， a＞ b＞0， f（ a） =f （ b），则的最小值等于（）A ． 2B ．C．2+D． 2【考点】 对数函数图象与性质的综合应用．【专题】 不等式的解法及应用．【分析】 根据对数的运算性质，可得ab=1（ a ＞b ＞ 0），进而可将 =（ a ﹣ b ）+ ，进而根据基本不等式，可得答案．【解答】 解： ∵ f （x ） =|lgx|， a ＞ b ＞0， f （ a ） =f （ b ），则 lga=﹣ lgb ，则 a= ，即 ab=1（ a ＞ b ＞ 0）==（ a ﹣ b ）+≥2故的最小值等于2故选 A【点评】 本题考查的知识点是对数的性质，基本不等式，其中根据已知得到ab=1 是解答的关键．7．（ 2016?佛山一模）执行如图所示的程序框图，输出的z 值为（）A ． 3B ．4C ．5D ．6【考点】 程序框图．【专题】 操作型；算法和程序框图．【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累乘循环变量 a 值，并输出满足条件的累乘积关于 2 的对数值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量的值的变化情况进行分析，不难给出答案．【解答】 解：执行循环体前， S=1， a=0，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=1×20=20， a=1， 当 S=2°，a=1，不满足退出循环的条件，执行循环体后， S=1×21=2 1，a=211 2 3当 S=2 ， a=2，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=2 ×2 =2， a=3当 S=23， a=3，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=23×23=26， a=4当 S=26， a=4，满足退出循环的条件，则 z==6故输出结果为 6 故选： D【点评】 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是： ① 分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）? ② 建立数学模型， 根据第一步分析的结果， 选择恰当的数学模型③ 解模．8．（ 2016?商丘三模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最大的是（ ）A ． 8B ．C ．12D ．16【考点】 由三视图求面积、体积．【专题】 计算题；函数思想；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】 根据三视图得出该几何体是在棱长为 4 的正方体中的三棱锥，画出图形，求出各个面积即可．【解答】 解：根据题意，得；该几何体是如图所示的三棱锥 A ﹣ BCD ，且该三棱锥是放在棱长为4 的正方体中，所以，在三棱锥 A ﹣BCD 中， BD=4 ， AC=AB= =， AD==6，S △ABC = ×4×4=8 ． S △ ADC = =4， S △DBC =×4×4=8 ，在三角形ABC 中，作CE ⊥E ，连结 DE ，则CE==， (面积 BC*4= 面积 AB*CE)DE= = ，S △ABD = =12 ．故选： C ．【点评】 本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是由三视图还原为几何体，是中档题．9．（ 2016?闵行区一模）设 f （ x ） =2+5x+10x 2+10x 3+5x 4+x 5，则其反函数的解析式为（）A ．B ．C ．D ．【考点】 反函数．【专题】 定义法；函数的性质及应用；二项式定理．【分析】 根据二项式定理： （ 1+x ）5=1+5x+10x 2+10x 3+5x 4+x 5，原函数可写成 y=1+ （ 1+x ） 5，再求其反函数即可．【解答】 解：因为 y=f （ x ）=2+5x+10x 2 3 4 5+10x +5x +x=1+[1+5x+10x 2+10x 3+5x 4+x 5]=1+ （ 1+x ）5，即 y=1+ （ 1+x ）5，所以， 1+x=，因此， x= ﹣ 1+，再交换 x， y 得， y= ﹣ 1+，所以， f（ x）的反函数的解析式为﹣1，x∈R，f （ x）=﹣ 1+故答案为： C．【点评】本题主要考查了反函数及其解法，涉及二项式定理的应用，根式的运算和函数定义域与值域的确定，属于中档题．10．（ 2016?福建校级模拟）已知函数f（ x）=，若g（x）=f（x）﹣a（x+2）的图象与x 轴有 3 个不同的交点，则实数 a 的取值范围是（）A ．（ 0，）B ．（0，）C．[，）D． [，）【考点】函数的图象．【专题】计算题；作图题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】 g（ x）的图象与 x 轴有 3 个不同的交点可化为 y=f （ x）与 y=a（ x+2）有 3 个不同交点，从而作图求解．【解答】解：∵ g（ x）的图象与 x 轴有 3 个不同的交点，∴y=f （x）与 y=a（x+2 ）有 3 个不同交点，作 y=f （x）与 y=a（x+2 ）的图象如下，易知直线 y=a（ x+2）过定点 A （﹣ 2， 0），斜率为a．当直线 y=a（ x+2）与 y=ln （ x+2）相切时是一个临界状态，设切点为（ x0， y0），则，解得， x0=e﹣ 2，a=，又函数过点B（ 2， ln4 ），k AB==，故≤a＜．故选C．【点评】本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了数形结合的思想应用，注意临界状态的确定．11．（ 2016?岳阳校级一模）在等差数列{a n} 中， a2=5， a6=21，记数列 {} 的前 n 项和为 S n，若 S2n+1﹣ S n≤，? n∈N*恒成立，则正整数m 的最小值为（）A ． 3B ．4C．5 D ．6【考点】等差数列的前n 项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的通项公式求出数列{ } 的通项公式，证明数列{S 2n+1﹣ S n} （ n∈N *）是递减数列，可其最大值，进而可得 m 的取值范围，结合m 为正整数可得．【解答】解：∵在等差数列 {a n} 中 a2=5， a6=21 ，∴公差 d==4∴ a n=5+4（ n﹣ 2）=4n﹣ 3，∴=，∵（ S2n+1﹣ S n）﹣（ S2n+3﹣ S n+1）=（ ）﹣（ ）= ==（） +（）＞ 0，∴ 数列 {S 2n+1﹣ S n } （n ∈N *）是递减数列，∴ 数列 *）的最大项为 S={S 2n+1﹣ S n } （n ∈N3﹣S 1= ∴ 只需≤ ，变形可得 m ≥，又 ∵ m 是正整数， ∴m 的最小值为 5．故选： C ．【点评】 本题考查数列与不等式的结合，证数列{S 2n+1 n*）是递减数列并求数列 {S 2n+1 n*）的最大﹣ S }（ n ∈N ﹣ S } （ n ∈N值是解决问题的关键，属中档题．12．（ 2016?潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为 F 1， F 2，若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点P ，使得 △ F 1 F 2P 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】 椭圆的简单性质．【专题】 计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】分等腰三角形 △ F 1F 2P 以 F 1F 2 为底和以 F 1F 2 为一腰两种情况进行讨论， 结合以椭圆焦点为圆心半径为2c 的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a 、 c 的不等式，解之即可得到椭圆 C 的离心率的取值范围．【解答】 解： ① 当点 P 与短轴的顶点重合时，△ F 1 F 2P 构成以 F 1F 2 为底边的等腰三角形，此种情况有 2 个满足条件的等腰 △ F 1F 2P ；② 当 △ F 1F 2P 构成以 F 1F 2 为一腰的等腰三角形时， 以 F 2P 作为等腰三角形的底边为例， ∵ F 1 F 2=F 1P ，∴ 点 P 在以 F 1 为圆心，半径为焦距 2c 的圆上因此，当以 F 1 为圆心，半径为2c 的圆与椭圆 C 有 2 交点时，存在 2 个满足条件的等腰 △ F 1F 2 P ，在 △ F 1F 2P 1 中， F 1F 2+PF 1＞ PF 2 ，即 2c+2c ＞ 2a ﹣ 2c ，由此得知 3c ＞ a ．所以离心率 e ＞ ．当 e= 时（ a=2c, PF1=2c,PF2=2a-PF1=2c ），△ F 1F 2P 是等边三角形，与 ① 中的三角形重复 (PF1=PF2)，故 e ≠ 同理，当 F 1P 为等腰三角形的底边时，在e 且 e ≠ 时也存在1 22 个满足条件的等腰 △ F F P这样，总共有 6 个不同的点 P 使得 △ F 1F 2P 为等腰三角形 综上所述，离心率的取值范围是：e ∈（ ， ） ∪ （ ， 1）【点评】本题给出椭圆的焦点三角形中， 共有 6 个不同点 P 使得 △ F 1F 2P 为等腰三角形， 求椭圆离心率 e 的取值范围． 着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．二．填空题（共 4 小题）13．（ 2016?杭州模拟）抛物线y2=12x 的焦点为F，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△ FPM为等边三角形时，则△ FPM的外接圆的方程为．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线的定义得出 PM 垂直于抛物线的准线，设 M （﹣ 3，m），则 P（ 9，m），求出△ PMF 的边长，写出有关点的坐标，得到外心 Q 的坐标，△FPM 的外接圆的半径，从而求出其方程．【解答】解：据题意知，△ PMF为等边三角形，PF=PM ，∴ PM⊥抛物线的准线，F（ 3， 0）设 M （﹣ 3， m），则 P（ 9， m），所以 m=正负 6，（A为MP 在直角三角形APF 中， PF=12，解得外心Q 的坐标为（ 3，±4中点）等边三角形边长为12，如图．）．则△ FPM 的外接圆的半径为4，∴则△ FPM的外接圆的方程为．故答案为：．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力14．（ 2015?合肥三模）设（60 12266，则= ﹣．3x﹣ 2）=a +a （ 2x﹣ 1）+a （ 2x﹣ 1） + +a （ 2x﹣ 1）【考点】二项式定理．【专题】计算题；二项式定理．【分析】在所给的等式中，分别令 x=1 、 x= ﹣1，可得 2 个式子，相加、相减，即可得到要求式子的值．【解答】解：由题意，令 x=1 ，可得 a0+a1+a2+ +a6=1，令 x=0，可得 a0﹣ a1+a2+ +a6=64，两式相减可得，a1+a3+a5=﹣，两式相加可得a0+a2+a4+a6=，∴=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题．15．（ 2016 春 ?浦东新区期中）若直线y=x+b 与曲线有公共点，则 b 的取值范围为[ ﹣1，]．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】数形结合；直线与圆．【分析】 确定曲线所对应的图象，求出两个极端位置，即可求得结论．【解答】 解：依题意可知曲线可整理成 y 2+x 2=1（ y ≥0），图象如图所示直线与半圆相切时，原点到直线的距离为 1，即 =1， ∴ b=直线过半圆的右顶点时，1+b=0 ，∴ b= ﹣ 1∴ 直线y=x+b与曲线有公共点时，b 的取值范围为[﹣ 1，]故答案为： [ ﹣ 1，]【点评】 本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，属于中档题．16．已知 tan （ α﹣ β） = ， tan β=﹣ ，且 α， β∈（﹣ π， 0），则 tan （ 2α﹣ β） = 1， 2α﹣ β=﹣ ．【考点】 两角和与差的正切函数．【专题】 计算题；压轴题．【分析】 先根据 tan α=tan （ α﹣ β+β）利用正切的两角和公式求得 tan α的值，然后利用 tan （ 2α﹣ β） =tan （ α﹣ β+α），根据正切的两角和公式求得 tan （ 2α﹣ β）的值，进而根据 α， β的范围求得 2α﹣β的值．【解答】 解： tan α=tan （ α﹣β+β） = = ∴ tan （ 2α﹣β）=tan （ α﹣ β+α） ==1∵ tan β=﹣ ＜ 0，即﹣ 1＜ tan β＜0， ∴ β∈（﹣ ， 0）， ∵ tan α= ＞ 0，即 0＜ tan α＜ 1， ∴α∈（﹣ π，﹣ ），∴ 2α﹣β∈（﹣ 2π，﹣）∴ 2α﹣β=﹣故答案为： 1；﹣【点评】 本题主要考查了两角和与差的正切函数．考查了基础知识的熟练记忆和应用．三．解答题（共 7 小题）17．（ 2016?金凤区校级二模）在数列 {a n } 中， a 1=2， a n+1=4a n ﹣ 3n+1， n ∈N *（ 1）证明数列 {a n ﹣ n} 为等比数列（ 2）求数列 {a n } 的前 n 项和 S n ．【考点】 等比数列的前 n 项和；等差数列的前 n 项和；等比关系的确定．【专题】 计算题．【分析】（ 1）由 a n+1=4a n ﹣ 3n+1 可得 a n+1﹣（ n+1） =4a n ﹣ 3n+1﹣（ n+1） =4a n ﹣ 4n=4（ a n ﹣ n ），从而可证（ 2）由（ 1）可求 a n ，利用分组求和及等差数列与等比数列的求和公式可求 S n【解答】 解：（ 1） ∵ a n+1 n * ，=4a ﹣ 3n+1， n ∈N∴ a n+1﹣（ n+1 ）=4a n ﹣ 3n+1 ﹣（ n+1 ），4a n ﹣ 4n=4（ a n ﹣ n ）．∴ {a n ﹣ n} 为首项 a 1﹣ 1=1，公比 q=4 的等比数列；（ 2）∵ a n ﹣ n=4n ﹣1，∴ a n =n+4n ﹣1，S n=1+2+ +n+（ 1+4++4n﹣ 1）==．【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式构造证明等比数列，等比数列的通项公式的求解及分组求和方法的应用，等差数列及等比数列的求和公式的应用．18．（ 2015?新课标 II ）△ ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分∠ BAC ，△ ABD 面积是△ ADC 面积的 2 倍．（ 1）求；（ 2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【考点】正弦定理；三角形中的几何计算．【专题】解三角形．【分析】（ 1）如图，过 A 作 AE ⊥ BC 于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠ BAC及正弦定理可得sin∠ B=， sin∠ C=，从而得解．（2）由（ 1）可求 BD=．过D作DM⊥ AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则 AB=2x ，利用余弦定理即可解得BD 和 AC 的长．【解答】解：（ 1）如图，过A 作 AE ⊥ BC 于 E，∵==2∴BD=2DC ，∵AD 平分∠ BAC∴ ∠BAD= ∠DAC在△ABD中，=，∴sin ∠ B=在△ADC中，=，∴sin ∠ C=；∴= = ． 6 分（ 2）由（ 1）知， BD=2DC=2 ×=．过D 作 DM ⊥ AB 于 M ，作 DN ⊥ AC 于 N，∵ AD 平分∠ BAC ，∴ DM=DN ，∴==2，∴AB=2AC ，令AC=x ，则 AB=2x ，∵ ∠BAD= ∠DAC ，∴cos∠ BAD=cos ∠DAC ，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1 ，∴ BD 的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．19．（ 2015?重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个．（Ⅰ ）求三种粽子各取到 1 个的概率；（Ⅱ）设 X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量 X 的取值为： 0， 1， 2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ ）令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”，则由古典概型的概率公式有P（ A ） ==．（Ⅱ）随机变量X 的取值为： 0， 1， 2，则 P（X=0 ） ==，P（X=1）==，P（X=2）==，X012PEX=0 ×+1 ×+2×=．【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．20（． 2016?衡水一模）如图，在四棱锥 P﹣ ABCD 中，AB ⊥ PA，AB ∥ CD，且 PB=BC=BD=E 和F 分别是棱CD 和 PC 的中点．（ 1）求证：平面BEF ⊥平面 PCD ；（ 2）求直线PD 与平面 PBC 所成的角的正弦值．，CD=2AB=2，∠PAD=120 °，【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（ 1）先推导出四边形ABED 是矩形，从而 AB ⊥平面 PAD，进而 CD⊥PD ，CD⊥ EF，CD⊥ BE ，由此得到平面 BEF ，由此能证明平面BEF ⊥平面 PCD．（ 2）以 A 为原点， AB 为 x 轴， AD 为 y 轴，建立空间直角坐标角系，利用向量法能求出直线PD 与平面 PBC 角的正弦值．CD⊥所成的【解答】证明：（ 1）∵ BC=BD ， E 为 CD 中点，∴BE⊥ CD ，∵AB ∥CD ，∴ CD=2AB ，∴AB ∥DE ，且 AB=DE ，∴ 四边形 ABED 是矩形，∴BE∥ AD ，BE=AD ， AB ⊥ AD ，∵AB ⊥PA，又 PA∩AD=A ，∴ AB ⊥平面 PAD，∴ CD⊥PD ，且 CD ⊥ AD ，又∵在平面 PCD 中， EF∥ PD，∴ CD⊥EF，∵EF∩BE=E ，∴EF? 平面 BEF ， BE? 平面 BEF ，又 CD ⊥BE ，∴ CD ⊥平面 BEF ，∵CD? 平面 PCD，∴ 平面 BEF ⊥平面 PCD．解：（ 2）以 A 为原点， AB 为 x 轴， AD 为 y 轴，建立空间直角坐标角系，∵ PB=BC=BD=，CD=2AB=2，∠ PAD=120°，∴ PA===2， AD=BE==2，（三角形BDE中）BC===2 ，则 P（0，﹣ 1，），（因为PAD=120°， Z 垂直AB ，PA、 AD垂直AB ，所以∠PAZ=30 °由P 向Z 做垂线）， D （0，2， 0），B（），C（2，2，0），=（ 0， 3，﹣），=（﹣），=（），设平面 PBC 的法向量=（ x， y， z），则，取x=，得=（，），设直线PD与平面PBC 所成的角为θ，sinθ=|cos＜＞ |=||=||=．∴ 直线PD与平面PBC 所成的角的正弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，则中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（ 2016?天津一模）已知椭圆 C ： + =1（ a ＞ b ＞0）的离心率为 ，长轴长为等于圆R ： x 2 +（ y ﹣ 2）2=4 的直径，过点 P （ 0， 1）的直线与椭圆 C 交于两点 A ， B ，与圆 R 交于两点 M ， N（ Ⅰ ）求椭圆 C 的方程；（ Ⅱ ）求证：直线 RA ， RB 的斜率之和等于零； （ Ⅲ ）求 |AB| ?|MN| 的取值范围．【考点】 圆锥曲线的实际背景及作用；椭圆的标准方程．【专题】 综合题；数形结合；方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（ Ⅰ ）根据椭圆的简单几何性质，求出 a 、 b 的值即可；（ Ⅱ ）讨论直线 l 的斜率是否存在，求出直线RA 、RB 的斜率之和即可证明结论成立；（ Ⅲ ）讨论直线 l 的斜率是否存在，利用弦长公式以及转化法、基本不等式等求出|AB| ?|MN| 的取值范围．【解答】 解：（Ⅰ ）因为椭圆 C 长轴长等于圆R ： x 2+（ y ﹣ 2） 2=4 的直径， 所以 2a=4， a=2； （ 1 分）由离心率为，得 e 2= == ，所以 == ，得 b 2=2； （ 2 分）所以椭圆 C 的方程为 + =1； （3 分）（ Ⅱ ）当直线 l 的斜率不存在时， ∠ ARP= ∠ BRP=0，符合题意；（ 4 分）当直线 l 的斜率存在时（包含平行），设 l 的方程为 y=kx+1 ，与 + =1 联立，消去 y ，得（ 1+2k 2） x 2+4kx ﹣ 2=0；设 A （ x 1， y 1）， B （x 2， y 2），则 x 1+x 2=﹣，x 1x 2=﹣， （ 5 分）由 R （ 0， 2），得k RA +k RB =+=+=2k ﹣（+ ）=2k ﹣=2k ﹣=0． （ 7 分）所以 k RA =﹣ k RB ，即 ∠ ARP= ∠ BRP ；综上， ∠ ARP= ∠BRP 成立； （ 8 分）（ Ⅲ ）当直线 l 的斜率不存在时，当直线 l 的斜率存在时，|AB|=2， |MN|=4 ， |AB| ?|MN|=8； （ 9 分）|AB|==?|x 1﹣ x 2|=? = ? = ? ，|MN|=2 =2 ， （ 11 分）所以 |AB| ?|MN|= ? ×2 =4 ? ；因为直线 l 过点 P （0， 1），所以直线 l 与椭圆 C 和圆 R 均交于两点，令 1+2k 2=t ，则 t ≥1，所以 |AB| ?|MN|=4? =4 ? ＜ 8 ，又 y=4?在 t ≥1 时单调递增，所以 |AB| ?|MN|=4≥4 ，当且仅当 t=1 ， k=0 等号成立； （ 13 分） 综上， |AB|?|MN| 的取值范围是 [4， 8 ] ． （14 分）【点评】 本题考查了圆锥曲线的综合应用问题，也考查了数形结合思想、方程思想的应用问题，考查了计算能力与分析问题、解决问题的能力，是综合性题目．22．（ 2015?新课标 II ）设函数 f （x ） =e mx +x 2﹣ mx ．（ 1）证明： f （ x ）在（﹣ ∞， 0）单调递减，在（ 0，+∞）单调递增；（ 2）若对于任意 x 1， x 2∈[﹣ 1， 1] ，都有 |f （ x 1）﹣ f （ x 2） |≤e ﹣ 1，求 m 的取值范围．【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】 创新题型；导数的概念及应用．【分析】（ 1）利用 f ′（ x ） ≥0 说明函数为增函数，利用 f ′（x ） ≤0 说明函数为减函数．注意参数 m 的讨论； （ 2）由（ 1）知，对任意的 m ， f （ x ）在 [﹣ 1， 0] 单调递减，在 [0， 1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得 m 的取值范围．【解答】 解：（ 1）证明： f ′（ x ）=m （e mx﹣ 1） +2x ．若 m ≥0，则当 x ∈（﹣ ∞，0）时， e mx ﹣ 1≤0， f ′（x ）＜ 0；当 x ∈（ 0，+∞）时， e mx﹣ 1≥0，f ′（ x ）＞ 0．若 m ＜ 0，则当 x ∈（﹣ ∞， 0）时， e mx ﹣ 1＞ 0， f ′（ x ）＜ 0；当 x ∈（0， +∞）时， e mx﹣ 1＜0， f ′（ x ）＞ 0． 所以， f （ x ）在（﹣ ∞，0）时单调递减，在（ 0， +∞）单调递增．（ 2）由（ 1）知，对任意的 m ， f （ x ）在 [﹣ 1， 0] 单调递减，在 [0， 1]单调递增，故 f （ x ）在 x=0 处取得最小值．所以对于任意 x 1 ，x 2∈[﹣ 1， 1] ， |f （ x 1）﹣ f （ x 2） |≤e ﹣ 1 的充要条件是即设函数 g （ t ） =e t ﹣ t ﹣ e+1，则 g ′（t ） =e t﹣1．当 t ＜ 0 时， g ′（ t ）＜ 0；当 t ＞ 0 时， g ′（ t ）＞ 0．故 g （ t ）在（﹣ ∞， 0）单调递减，在（ 0， +∞）单调递增．﹣1时， g （ t ）≤0．又 g （1） =0 ， g （﹣ 1） =e +2﹣ e ＜ 0，故当 t ∈[﹣ 1， 1]当 m ∈[﹣ 1， 1] 时， g （ m ） ≤0， g （﹣ m ） ≤0，即合式成立；当 m ＞ 1 时，由 g （t ）的单调性， g （ m ）＞ 0，即 e m﹣ m ＞ e ﹣ 1．当 m ＜﹣ 1 时， g （﹣ m ）＞ 0，即 e ﹣ m+m ＞e ﹣ 1．综上， m 的取值范围是 [﹣ 1， 1]【点评】 本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．23．（ 2015?新课标 II ）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1：（ t 为参数， t ≠0），其中 0≤α≤π，在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2： ρ=2sin θ， C 3： ρ=2cos θ．（ 1）求 C 2 与 C 3 交点的直角坐标；（ 2）若 C 1 与 C 2 相交于点 A ， C 1 与 C 3 相交于点 B ，求 |AB| 的最大值．【考点】 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】 坐标系和参数方程．2ρsin θ，把代入可得直角坐标方程． 同理由 C 3：ρ=2 cos θ．可【分析】（I ）由曲线 C 2：ρ=2sin θ，化为 ρ=2得直角坐标方程，联立解出可得 C 2 与 C 3 交点的直角坐标．（ 2）由曲线 C 1 的参数方程，消去参数 t ，化为普通方程： y=xtan α，其中 0≤α≤π，其极坐标方程为： θ=α（ ρ∈R ， ρ≠0），利用 |AB|= 即可得出．2【解答】 解：（ I ）由曲线 C 2： ρ=2sin θ，化为 ρ=2ρsin θ，22∴ x +y =2y ．同理由 C 3： ρ=2cos θ．可得直角坐标方程： ，联立 ，解得，，∴ C2与C3交点的直角坐标为（0， 0），．（ 2）曲线C1：（ t 为参数， t≠0），化为普通方程：y=xtan α，其中0≤α≤π，其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵ A ， B 都在 C1上，∴ A （ 2sinα，α）， B．∴ |AB|==4，当时， |AB| 取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
高考数学练习卷及含答案 (3)
普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、在长方体ABCD—A′B′C′D′的12条棱中，与棱AA′成异面直线的棱有()A．3条B．4条C．6条D．8条2、如图1在正方体ABCD—A′B′C′D′中，直线AC与直线BC′所成的角为() A．30°B．60°C．90°D．45°3、若a∥α，⊂bα，则a和b的关系是()A．平行B．相交C．平行或异面D．以上都不对4、已知PD⊥矩形ABCD所在的平面（图2），图中相互垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．5对5、棱长为2的正方体内切球的表面积为()A．π4B．π16C．π8D．π26.函数sin24y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭在一个周期内的图像可能是（）PA BCD图27.在ABC △中,若2AB BC CA === ,则AB BC ⋅ 等于（）A.23- B.23 C.－2 D.28.如图所示,若,x y 满足约束条件0210220x x x y x y ⎧⎪⎪⎨--⎪⎪-+⎩≥≤≤≥则目标函数z x y =+的最大值是（）A.7B.4C.3D.19.已知α表示平面,,,l m n 表示直线,下列结论正确的是（）A.若,,l n m n ⊥⊥则l m ∥ B.若,,l n m n l ⊥⊥⊥则mC.若,,l m l αα∥∥则∥mD.若,,l m l αα⊥⊥∥则m 10.已知椭圆22126x y +=的焦点分别是12,F F ,点M 在椭圆上,如果120F M F M ⋅= ,那么点M 到x 轴的距离是（）A. B. C.2 D.111.等边△ABC 的边长为a，过△ABC 的中心O 作OP⊥平面ABC，且OP＝63a，则点P 到△ABC 的边的距离为()A．a B．32a C．33a D．63a 12.已知函数f (x)是定义域为R 的奇函数，给出下列6个函数：①g (x)＝sin x (1－sin x)1－sin x ；②g (x)＝sin(52π＋x)；③g (x)＝1＋sin x－cos x 1＋sin x＋cos x；④g (x)＝lg sin x ；⑤g (x)＝lg(x2＋1＋x)；⑥g (x)＝2ex＋1－1。
高中数学选择性必修一 高考训练 练习习题 课时作业(三)
课时作业(三) 空间向量基本定理[练基础]1．下列说法正确的是( )A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．直线的方向向量有且仅有一个2．设向量{a ，b ，c }是空间一个基底，则一定可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a 或b3．如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M 为A 1C 1的中点，若AB → ＝a ，BC →＝b ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝c ，则BM →可表示为( )A ．－12 a －12 b ＋cB ．12 a ＋12 b ＋cC ．－12 a ＋12 b ＋cD ．12 a －12 b ＋c4.如图，在四面体OABC 中，OA → ＝a ，OB → ＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →可用向量a ，b ，c 表示为( )A ．12 a ＋12 b ＋12 cB ．12 a ＋14 b ＋14 cC ．14 a ＋12 b ＋14 cD ．14 a ＋14 b ＋12c5．(多选)若向量{a ，b ，c }构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( ) A ．a ＋b ，a －b ，a ＋2b B ．a －b ，a ＋c ，b ＋c C ．a －b ，c ，a ＋b ＋cD ．a －2b ，b ＋c ，a ＋c －b6．在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设AB → ＝a ，AD →＝b ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝c ，用a 、b 、c 作为基底向量表示D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝________．7．已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 平行，则x ＝______，y ＝________．8.如图，在单位正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱B 1C 1，CC 1的中点．设AB →＝i ，AD → ＝j ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝k ，试用向量i ，j ，k 表示AE → 和AF → .[提能力]9．如图，平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′，其中AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝60°，∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A ．55B ．65C ．85D ．9510．(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( )A ．AC 1＝66B ．AC 1⊥DBC ．向量B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是60°D ．BD 1与AC 所成角的余弦值为6311．如图所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B 和B 1C 1上的点，且BM ＝3A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设MN → ＝xAA 1＋yAB → ＋zAC →(x ，y ，z ∈R )，则x ＋y ＋z 的值为________．12．如图，在直三棱柱ABC A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．[培优生]13．在四面体O ABC 中，G 是底面△ABC 的重心，且OG → ＝xOA → ＋yOB → ＋zOC →，则log 3|xyz |等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3。
新高考数学模拟综合试卷(三)解析版
新高考数学模拟综合试卷（三）解析版一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1.设集合A={1,2，6}，B={2,4}，C={x∈R|−1≤x≤5}，则(A∪B)∩C=()A. {2}B. {1,2，4}C. {1,2，4，5}D. {x∈R|−1≤x≤5}2.“a=1”是“|a|=1”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.如图为函数y=f(x)的图象，则其定义域和值域分别为()A. [−4,0]∪[2,6]、[0,+∞)B. [−4,0]∪[2,6)、[0,+∞)C. [−4,0]∪[2,6]、[0,6)D. [−4,6)、[0,+∞)4.从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为()A. 10B. 18C. 20D. 365.三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为()A. log20.8<0.993.3<log3πB. log20.8<log3π<0.993.3C. 0.993.3<log20.81<log3πD. log3π<0.993.3<log20.86.设F1、F2分别是双曲线x2−y2=1的左、右焦点，点P在双曲线上，且，则4)A. 1B. 3C. 3或7D. 1或97.将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数()A. 在区间[3π4,5π4]上单调递增 B. 在区间[3π4,π]上单调递减C. 在区间[5π4,3π2]上单调递增 D. 在区间[3π2,2π]上单调递减8.设方程，的根分别为x1，x2，则()A. 0<x1x2<1B. x1x2=1C. 1<x1x2<2D. x1x2≥2二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）9.设z是复数，则下列命题中的真命题是()A. 若z2≥0，则z是实数B. 若z2<0，则z是虚数C. 若z是虚数，则z2≥0D. 若z是纯虚数，则z2<010.在“学习强国”的某时间段，某单位有4名男干部(包含甲)的分数在7000分到8000分之间，2名女干部(包含乙)的分数在8000分以上.单位决定从中任选3人在“学习强国”会上谈学习心得，则下列说法正确的是()A. 男干部甲被选中的概率为13B. 男干部甲与女干部乙同时被选中的概率为15C. 至少选中一名女干部的概率为35D. 在男干部甲被选中的情况下，女干部乙也被选中的概率为2511.在同一直角坐标系中，直线y=ax+a2与圆(x+a)2+y2=a2的位置不可能．．．是()A. B. C. D.12.下列四个命题中，是真命题的是()A. ∀x∈R，且x≠0，x+1x≥2B. 若x>0，y>0，则√x2+y22≥2xyx+yC. 函数f (x )=x +√2−x 2值域为[−√2,2]D. 已知函数f (x )=|x +9x +a|−a 在区间[1,9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围为[−8,+∞)三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________14. 已知在中，，，，，，，则的值为______．15. 等差数列{a n }中，a 1=25，S 17=S 9，则当n =______时，S n 有最大值． 16. 已知f (x )={|log 2x |,0<x ≤2x 2−8x +13,x >2，a,b,c,d 是互不相同的正数，且f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，则a +b +c +d 的取值范围是_______．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其中c =2b −2acosC ．(1)求A ；(2)当a =2时，求△ABC 面积的最大值．18. 设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项．(1)求{a n }的公比;(2)若a 1=1，求数列{na n }的前n 项和．19.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到a2；右侧曲线BO上任MN的距离ℎ1(米)与D到OO′的距离a(米)之间满足关系式ℎ1=140b3+6b.已一点F到MN的距离ℎ2(米)与F到OO′的距离b(米)之间满足关系式ℎ2=−1800知点B到OO′的距离为40米．(1)求桥AB的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在ABk(万元)(k>0)，问O′E 上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价32为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？20.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=√5，AC=AA1=2．(1)求证：AC⊥平面BEF；(2)求二面角B−CD−C1的余弦值；(3)证明：直线FG与平面BCD相交．21.平面直角坐标系中，椭圆C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，一个焦点F的坐标为(1,0)，离心率为e=√2．2(1)求椭圆C的标准方程：(2)若直线l经过焦点F，其倾斜角为π，且交椭圆C于A、B两点，求线段AB长.422.设函数f(x)=e x cosx，g(x)为f(x)的导函数．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)当x∈[π4,π2]时，证明f(x)+g(x)(π2−x)≥0；(Ⅲ)设x n为函数u(x)=f(x)−1在区间(2nπ+π4,2nπ+π2)内的零点，其中n∈N，证明2nπ+π2−x n<e−2nπsinx0−cosx0．新高考数学模拟综合试卷（三）解析版一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）23.设集合A={1,2，6}，B={2,4}，C={x∈R|−1≤x≤5}，则(A∪B)∩C=()A. {2}B. {1,2，4}C. {1,2，4，5}D. {x∈R|−1≤x≤5}【答案】B【解析】【分析】本题考查交、并的混合运算，是基础题．由并集概念求得A∪B，再由交集概念得答案．【解答】解：∵A={1,2，6}，B={2,4}，∴A∪B={1,2，4，6}，又C={x∈R|−1≤x≤5}，∴(A∪B)∩C={1,2，4}．故选：B．24.“a=1”是“|a|=1”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】本题考查充分条件，必要条件的判断，属基础题．从充分性和必要性分别进行判断即可得．【解答】解：因为a=1⇒|a|=1，但是|a|=1⇏a=1，所以a=1是|a|=1的充分而不必要条件．故选A.25.如图为函数y=f(x)的图象，则其定义域和值域分别为()A. [−4,0]∪[2,6]、[0,+∞)B. [−4,0]∪[2,6)、[0,+∞)C. [−4,0]∪[2,6]、[0,6)D. [−4,6)、[0,+∞)【答案】B【解析】解：由图可知，定义域为[−4,0]∪[2,6)；值域为[0,+∞)．故选：B．本题考查函数的定义域及值域，考查读图识图能力，属于基础题．由图象观察即可得到答案．26.从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为()A. 10B. 18C. 20D. 36【答案】B【解析】【分析】本题考查了频率分布直方图，属于基础题．根据频率分布直方图求出直径落在区间[5.43,5.47)的频率，再乘以样本的个数即可．【解答】解：直径落在区间[5.43,5.47)的频率为(6.25+5)×0.02=0.225，则被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为0.225×80=18个，故选：B．27.三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为()A. log20.8<0.993.3<log3πB. log20.8<log3π<0.993.3C. 0.993.3<log20.81<log3πD. log3π<0.993.3<log20.8【答案】A【解析】解：∵0<0.993.3<1，log3π>1，log20.8<0，∴log20.8<0.993.3<log3π，故选：A．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．28.设F1、F2分别是双曲线x2−y2=1的左、右焦点，点P在双曲线上，且，则4)A. 1B. 3C. 3或7D. 1或9【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的定义及标准方程，属于基础题．利用双曲线的定义转化求解即可．【解答】解：双曲线x2−y24=1，可得a=1，b=2，∴c=√5，F1,F2分别是双曲线x2−y24=1的左，右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|=5，∵c+a=√5+1<5，∴P既有可能在双曲线的左支上，也有可能在右支上，当P在双曲线的左支时，则|PF2|=2a+|PF1|=2+5=7，当P在双曲线的右支时，则|PF2|=−2a+|PF1|=−2+5=3，综上，|PF2|=3或|PF2|=7．故选C．29.将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数()A. 在区间[3π4,5π4]上单调递增 B. 在区间[3π4,π]上单调递减C. 在区间[5π4,3π2]上单调递增 D. 在区间[3π2,2π]上单调递减【答案】A【解析】【分析】本题考查三角函数的图象与性质，考查三角函数平移等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，增区间为[−π4+kπ,π4+kπ]，k∈Z，减区间为[π4+kπ,3π4+kπ]，k∈Z，由此能求出结果．【解答】解：将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，增区间满足：−π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ，k∈Z，减区间满足：π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ，k∈Z，∴增区间为[−π4+kπ,π4+kπ]，k∈Z，减区间为[π4+kπ,3π4+kπ]，k∈Z，∴将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数在区间[3π4,5π4]上单调递增．故选A．30.设方程，的根分别为x1，x2，则()A. 0<x1x2<1B. x1x2=1C. 1<x1x2<2D. x1x2≥2【答案】A【解析】【分析】本题主查对数函数、指数函数的图和性，体现了数形结合和转化的数思想，画出图象即可判断出结果，属于中等题．【解答】解：题意得x1是函数y=log4x的图象和y=(14)x图象的交点的横坐标，x2是的图象和函数y=(14)x图象的交点的横坐标，且x1，x2正实数，如图所示：故有，故，，即，所以0<x1x2<1．故选A．三、多项选择题：（本题共4小题每小题5分，共20分.在每小题给出的选,项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）31.设z是复数，则下列命题中的真命题是()A. 若z2≥0，则z是实数B. 若z2<0，则z是虚数C. 若z是虚数，则z2≥0D. 若z是纯虚数，则z2<0【答案】ABD【解析】【分析】本题考查复数真假命题的判断，复数的基本运算，属于基础题．设出复数z，求出z2，利用a，b的值，判断四个选项的正误即可．【解答】解：设z=a+bi，a，b∈R，z2=a2−b2+2abi，对于A，z2≥0，则b=0，所以z是实数，故A为真命题；对于B，z2<0，则a=0，且b≠0，所以z是虚数，故B为真命题；对于C ，z 是虚数，则b ≠0，所以z 2=a 2−b 2+2abi 可能为复数，或者当a =0，此时z 2<0，故C 是假命题；对于D ，z 是纯虚数，则a =0，b ≠0，所以z 2<0，故D 是真命题． 故选：ABD ．32. 在“学习强国”的某时间段，某单位有4名男干部(包含甲)的分数在7000分到8000分之间，2名女干部(包含乙)的分数在8000分以上.单位决定从中任选3人在“学习强国”会上谈学习心得，则下列说法正确的是( )A. 男干部甲被选中的概率为13B. 男干部甲与女干部乙同时被选中的概率为15 C. 至少选中一名女干部的概率为35D. 在男干部甲被选中的情况下，女干部乙也被选中的概率为25【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查等可能事件的概率求法，条件概率的求法，考查推理能力和计算能力，属于中档题． 设事件，利用组合数，对立事件的概率，古典概型公式，条件事件的概率公式即可求解． 【解答】解：设“男干部甲被选中”为事件A ，“女干部乙被选中”为事件B ，“至少选中一名女干部”为事件C ，则P(A)=C 52C 63=1020=12，A 错误；P(AB)=C 41C 63=15，B 正确；，C 错误；P(B|A)=P(AB)P(A)=25，D 正确．故选BD ．33.在同一直角坐标系中，直线y=ax+a2与圆(x+a)2+y2=a2的位置不可能．．．是()A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查曲线与方程的应用，直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查，是中档题．求出圆的圆心与半径，确定出直线的斜率以及纵截距，即可得出选项．【解答】解：圆(x+a)2+y2=a2的可知a≠0，圆的圆心(−a,0)半径为|a|，直线y=ax+a2，的斜率为a，在y轴上的焦距为a2>0，所以在同一直角坐标系中，直线y=ax+a2与圆(x+a)2+y2=a2的位置不可能是ABD．故选：ABD．34.下列四个命题中，是真命题的是()A. ∀x∈R，且x≠0，x+1x≥2B. 若x>0，y>0，则√x2+y22≥2xyx+yC. 函数f(x)=x+√2−x2值域为[−√2,2]D. 已知函数f(x)=|x+9x+a|−a在区间[1,9]上的最大值是10，则实数a的取值范围为[−8,+∞)【答案】BCD【解析】【试题解析】【分析】本题考查基本不等式相关的概念，考查求函数值域的问题及含参数的绝对值型函数的最大值问题，本题涉及知识面广，并且后两问都有一定难度，属于较难题。
高三综合数学试卷及答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若存在实数a，使得f(a) = 0，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 02. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则复数z的几何意义是（）A. z在复平面上的实部为0B. z在复平面上的虚部为0C. z在复平面上的轨迹为y轴D. z在复平面上的轨迹为直线x=03. 在等差数列{an}中，若a1 + a3 = 10，a2 + a4 = 18，则该数列的公差d是（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，若函数g(x) = |x| - 2，则f(x)与g(x)的图象交点的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 55. 若等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，则该数列的前5项和S5是（）A. 62B. 72C. 82D. 926. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC的值是（）A. √3/2B. 1/2C. √2/2D. 1/√27. 若函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且a > 0，b < 0，则该函数的对称轴是（）A. x = -b/2aB. x = b/2aC. x = -b/aD. x = b/a8. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点P'的坐标是（）A. (3,2)B. (2,3)C. (3,3)D. (2,2)9. 若等差数列{cn}的前n项和为Sn，公差为d，则Sn^2 - (n^2 - 1)Sn + 2(n^2 - 1) = 0的解为（）A. n = 1B. n = 2C. n = 3D. n = 410. 已知函数f(x) = |x-1| + |x+1|，若x∈[-1,1]，则f(x)的最大值是（）A. 0B. 2C. 4D. 6二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项a10 = ________。
高三数学综合练习三
高三数学综合练习三高三数学综合练习三一.选择题(每小题5分,共50分)1．已知集合,则的取值范围是(D)A．[0,1]B．C．D．2．若,则等于(D)A．0B．2C．8D．163．已知,则函数的图象必定不经过(B)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．方程的解集为M,方程的解集为N,那么M与N 的关系是(A)A．M=NB．C．D．5．函数,则函数是(A)A．奇函数B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数6．对于函数,若,则函数在区间内(C)A．一定有零点B．一定没有零点C．可能有两个零点D．至多有一个零点7．下列说法:①任取都有;②当时,任取都有;③是增函数;④的最小值为1;⑤在同一坐标系中,与的图象对称于轴.其中正确的是(B)A．①②④B．④⑤C．②③④D．①⑤8．已知函数图象恒过点(2,0),则的最小值为(B)A．5B．C．4D．9．已知的图象如图所示,今考虑,则方程式(A)A．当时,恰有一实根B．当时,恰有一实根C．当时,恰有一实根D．当时恰有一实根10．已知是奇函数,且在上是递减函数,在(0,1)上是单调增函数,则的大小关系是(A)A．B．C．D．不确定二.填空题(每小题5分,共20分)11．若集合,且,那么集合P的子集个数有个.812．关于的方程有负根,则实数的取值范围是.13．函数的单调递增区间是;其值域为.14．已知函数满足:(1)对任意,都有;(2),写出一个同时满足这些条件的函数解析式.(只要写出一个即可)三.解答题(6小题,共80分)15．(本小题满分12分)已知二次函数满足,且的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.16．(本小题满分13分)设,且,如果函数在上的最大值为14,求的值.17．(本小题满分13分)某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 18．(本小题满分14分)定义在实数集上的函数,对任意,有,且.(1)求证:;(2)求证:是偶函数;(3)若存在常数,使.①求证对任意,有成立;②试问函数是不是周期函数,如果是,找出它的一个周期;如果不是,请说明理由.19．(本小题满分14分)已知函数的图象与函数的图象关于点A(0,1)对称.(1)求的解析式;(2)若,且在区间上为减函数,求实数的取值范围.20．(本小题满分14分)已知函数,点是函数图象上的任意两点,且线段的中点P 的横坐标为.(1)求证:点P的纵坐标为定值;(2)在数列中,若,求数列的前项和.。
2024年新高考改革适应性练习(3)(九省联考题型)数学卷及答案
2024年新高考改革适应性练习（3）（九省联考题型）数学试题卷（2024.2.6）考生须知1. 本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；2. 答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；3. 考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设样本空间ΩΩ={1,2,…,6}包含等可能的样本点，且AA={1,2,3,4}，BB={3,4,5,6}，则PP(AABB)= A．13B．14C．15D．162. 若复数zz满足zz2是纯虚数，则|zz−2|的最小值是A．1 B．√2C．2 D．2√23. 算术基本定理告诉我们，任何一个大于1的自然数NN，如果NN不为质数，那么NN可以唯一分解成有限个素因数的乘积的形式．如，60可被分解为 22×31×51，45可被分解为 32×51．任何整除NN的正整数dd都叫作NN的正因数．如，20的正因数有1，2，4，5，10，20．则4200的正因数个数是A．4 B．7 C．42 D．484. 已知点(aa,bb)在直线 2xx+yy−1=0 第一象限的图像上，则1aa+1bb的最小值是A．3+2√2B．2+2√2C．1+2√2D．2√25. 已知函数ff(xx)=sin xx，gg(xx)=cos xx，则ff�gg(xx)�和gg�ff(xx)�都单调递增的一个区间是A．�2ππ5,4ππ5�B．�4ππ5,6ππ5�C．�6ππ5,8ππ5�D．�8ππ5,2ππ�6. 已知直线ll过点(2,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6，则满足条件的直线ll共有A．1条B．2条C．3条D．4条7. 我们记ff(nn)(xx)为函数ff(xx)的nn次迭代，即ff(1)(xx)=ff(xx)，ff(2)(xx)=ff�ff(xx)�，…，ff(nn)= ff�ff(nn−1)(xx)�．已知函数gg(xx)=xx|xx|，则gg(2024)(xx)=A．xx3|xx|2021B．xx4|xx|2020C．xx2|xx|2022D．xx20248. 若一四面体恰有一条长度大于1的棱，则这个四面体体积的最大值是A．√33B．12C．13D．√22二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9. 已知函数ff(xx)=xx3−2xx，下列说法正确的是A．函数gg(xx)=ff(xx)+ff′(xx)无零点B．直线 2xx+yy=0 与yy=ff(xx)相切C．存在无数个aa>0 ，ff(xx)在区间(−aa,aa)上不单调D．存在mm>0 ，使得对于任意nn，ff(nn)≤ff(nn+mm)10. 若一个人一次仅能爬1级或2级台阶，记aa nn为爬nn级台阶时不同的爬法数(nn∈NN∗)．关于数列{aa nn}，下列说法正确的是A．函数ff(nn)=aa nn单调递增B．aa1+aa3+aa5的值为12C．aa1+aa2+⋯+aa10=232D．2aa12+aa22+⋯+aa102=89×14411. 如右图，已知抛物线CC的焦点为FF，准线方程为ll:xx=−1 ，点PP是CC上的一动点．过点PP作ll的垂线，垂足为QQ．过点PP作CC的切线，该切线与xx,yy轴分别交于AA,BB两个不同的点．下列说法正确的是A．抛物线CC的标准方程为yy2=2xxB．QQ,BB,FF三点共线当且仅当|PPFF|=4C．当|PPFF|≠1 时，都有PPAA⊥QQFFD．当|PPFF|≠1 时，△PPAAFF恒为等腰三角形三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12. 在棱长为1的正方体AABBCCAA−AA1BB1CC1AA1中，三棱锥CC−AABB1AA1的体积是_________．13. 从集合{xx|−4≤xx≤2024}中任选2个不同的非零整数作为二次函数ff(xx)=aaxx2+bbxx的系数，则所有满足ff(xx)的顶点在第一象限或第三象限的有序数对(aa,bb)共有_________组．14. 已知向量aa,bb,cc满足aa+bb+cc=00，(aa−bb)⊥(aa−cc)，|bb−cc|=3 ，则|aa|+|bb|+|cc|的最大值是_________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）已知正方体AABBCCAA−AA1BB1CC1AA1．（1）证明：AAAA1⊥AA1CC；（2）求二面角BB−AA1CC−AA．16.（15分）已知定义在RR上的函数ff(xx)=aaxx4+bbxx3+ccxx2+ddxx(aa≠0)．（1）若原点是ff(xx)的一个极值点，证明：ff(xx)的所有零点也是其所有极值点；（2）若ff(xx)的4个零点成公差为2的等差数列，求ff′(xx)的最大零点与最小零点之差．17.（15分）设点SS(1,1)在椭圆CC:xx2aa2+yy2bb2=1(aa>bb>0)内，直线ll:bb2xx2+aa2yy2−aa2bb2=0 ．（1）求ll与CC的交点个数；（2）设PP为ll PPSS与CC相交于MM,NN两点．给出下列命题：①存在点PP，使得1|PPPP|,1|PPPP|,1|PPPP|成等差数列；②存在点PP，使得|PPMM|,|PPSS|,|PPNN|成等差数列；③存在点PP，使得|PPMM|,|PPSS|,|PPNN|成等比数列；请从以上三个命题中选择一个，证明该命题为假命题．（若选择多个命题分别作答，则按所做的第一个计分．）18.（17分）2024部分省市的高考数学推行8道单选，3道多选的新题型政策．单选题每题5分，选错不得分，多选题每题完全选对6分，部分选对部分分（此处直接视作3分），不选得0分．现有小李和小周参与一场新高考数学题，小李的试卷正常，而小周的试卷选择题是被打乱的，所以他11题均认为是单选题来做．假设两人选对一个单选题的概率都是14，且已知这四个多选题都只有两个正确答案．（1）记小周选择题最终得分为XX，求EE(XX)．（2）假设小李遇到三个多选题时，每个题他只能判断有一个选项是正确的，且小李也只会再选1个选项，假设他选对剩下1个选项的概率是 pp 0�pp 0≥13� ，请你帮小李制定回答4个多选题的策略，使得分最高．19.（17分）信息论之父香农（Shannon ）在1948年发表的论文“通信的数学理论”中指出，任何信息都存在冗余，冗余大小与信息中每个符号（数字、字母或单词）的出现概率或者说不确定性有关．香农借鉴了热力学的概念，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式．设随机变量 XX 所有取值为 1,2,…,nn ，且 PP (xx =ii )=PP ii >0（ii =1,2,…,nn ），PP 1+PP 2+⋯+PP nn =1 ，定义 XX 的信息熵HH (XX )=−�PP ii log 2PP ii nn ii=1（1）当 nn =1 时，求 HH (XX ) 的值；（2）当 nn =2 时，若 PP 1∈�0,12� ，探究 HH (XX ) 与 PP 1 的关系，并说明理由； （3）若 PP 1=PP 2=12nn−1 ，PP kk+1=2PP kk (kk =2,3,⋯,nn ) ，求此时的信息熵 HH (XX ) ．2024年新高考改革适应性练习（3）（九省联考题型）数学参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D A D D B C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．具体得分如【附】评分表．）题号91011答案BC ABD BCD【附】评分表三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）题号121314答案132023×2024+4×2024（或 2027×2024）3+3√10四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）以点AA1为坐标原点，AA1BB1���������⃗为xx轴正方向，AA1DD1����������⃗为yy轴正方向，AA1AA�������⃗为zz轴正方向，建立空间直角坐标系OOxxyyzz，并令正方体AABBAADD−AA1BB1AA1DD1的棱长为1．（1）则AA1(0,0,0)，AA(1,−1,1)，AA1AA�������⃗=(1,−1,1)；AA(0,0,1)，DD1(0,−1,0)，AADD1�������⃗=(0,−1,−1)．所以AADD1�������⃗·AA1AA�������⃗=0+1+(−1)=0 ，即AADD1�������⃗⊥AA1AA�������⃗．故AADD1⊥AA1AA得证．（2）BB(1,0,1)，AA1BB�������⃗=(1,0,1)，由（1）得AA1AA�������⃗=(1,−1,1)，设平面AA1BBAA的一个法向量nn11=(xx1,yy1,zz1)，则nn11·AA1BB�������⃗=nn11·AA1AA�������⃗=0 ，即�xx1+zz1=0xx1−yy1+zz1=0令xx1=1 ，则�yy1=0zz1=−1，所以nn11=(1,0,−1)是平面AA1BBAA的一个法向量．同理可求得平面AA1AADD的一个法向量nn22=(0,1,1)，cos<nn11,nn22>=nn11·nn22|nn11|·|nn22|=−12又 <nn11,nn22>∈(0,ππ)，所以 <nn11,nn22>=2ππ3，即平面AA1BBAA与平面AA1AADD的所成角为2ππ3．故二面角BB−AA1AA−DD的大小为2ππ3．16.（15分）（1）ff(xx)=aaxx4+bbxx3+ccxx2+ddxx，ff′(xx)=aaxx3+bbxx2+ccxx+dd，由题意，原点是ff(xx)的一个极值点，即ff′(0)=0 ，代入得dd=0 ，所以ff(xx)=aaxx4+bbxx3+ccxx2=xx2(aaxx2+bbxx+cc)，ff′(xx)=aaxx3+bbxx2+ccxx=xx(aaxx2+bbxx+cc)，所以ff(xx)和ff′(xx)的零点（0除外）都是方程aaxx2+bbxx+cc=0 的根，即ff(xx)和ff′(xx)有共同零点，故ff(xx)的所有零点也是其所有极值点．（2）设ff(xx)的四个零点分别为mm−3 ，mm−1 ，mm+1 ，mm+3 ，则可以设ff(xx)=kk(xx−mm+3)(xx−mm+1)(xx−mm−1)(xx−mm−3)其中kk≠0 ，令tt=xx−mm，则ff(xx)=kk(tt+3)(tt+1)(tt−1)(tt−3)=kk(tt4−10tt+9)=gg(tt)gg′(tt)=kk(4tt3−20tt)=4kk(tt3−5tt)令gg′(tt)=0 得tt1=−√5 ，tt=0 ，tt=√5 ，所以 ff ′(xx )=0 的所有根为 xx 1=mm −√5 ，xx 2=mm ，xx 3=mm +√5 ，所以 ff ′(xx ) 的最大零点与最小零点之差为 |xx 3−xx 1|=2√5 ．17.（15分）（1）因为点 SS (1,1) 在 AA 内，所以 1aa 2+1bb 2<1 ，即 aa 2+bb 2−aa 2bb 2<0 ． 联立 ll 与 AA 的方程，得 bb 2(aa 2+bb 2)xx 2−2aa 2bb 4xx +aa 4bb 2(bb 2−1)=0 ． 判别式 Δ=4aa 4bb 8−4aa 4bb 4(aa 2+bb 2)(bb 2−1)=4aa 4bb 4(aa 2+bb 2−aa 2bb 2)<0 ，故该二次方程无解，即 ll 与 AA 交点个数为0．（2）可选择命题②或命题③（命题①无法证伪），证明其为假命题． 记点 PP ,MM ,NN 的横坐标分别为 xx PP ,xx MM ,xx NN ，不妨设 PP ,MM ,SS ,NN 顺次排列．选择命题②的证明：当直线 MMNN 的斜率不存在时，MMNN :xx =1 ，分别与 ll ,AA 的方程联立可得 PP �1,bb 2−bb 2aa 2� ，MM �1,bb�1−1aa 2�,NN �1,−bb�1−1aa 2� ． 若 |PPMM |,|PPSS |,|PPNN | 依次成等差数列，则 bb�1−1aa 2+�−bb�1−1aa 2�=2 ，显然矛盾，不满足题意．当直线 MMNN 的斜率存在时，设其斜率为 kk ，则 MMNN :yy =kk (xx −1)+1 ，与 ll 的方程联立可得 xx PP =aa 2�bb 2+kk−1�aa 2kk+bb 2；与 AA 的方程联立，得 (aa 2kk 2+bb 2)xx 2−2aa 2kk (kk −1)xx +aa 2[(kk −1)2−bb 2]=0 ，由韦达定理⎩⎨⎧xx MM +xx NN =2aa 2kk (kk −1)aa 2kk 2+bb 2xx MM xx NN =aa 2[(kk −1)2−bb 2]aa 2kk 2+bb 2则 2|PPSS |−(|PPMM |+|PPNN |)=√1+kk 2(2|xx PP −1|−|xx MM −xx PP |−|xx NN −xx PP |) . 不妨设 xx PP >1 ，则 xx PP >xx MM >1>xx NN ， 所以原式=�1+kk 2[2(xx PP −1)−(xx PP −xx MM )−(xx PP −xx NN )]=�1+kk 2(xx MM +xx NN −2)=�1+kk 2⋅−2aa 2kk −2bb 2aa 2kk 2+bb 2<0因此 |PPMM |,|PPSS |,|PPNN | 不能成等差数列，从而②是假命题．选择命题③的证明：当直线 MMNN 的斜率不存在时，MMNN :xx =1 ，分别与 ll ,AA 的方程联立可得 PP �1,bb 2−bb 2aa 2� ，MM �1,bb�1−1aa 2�，NN �1,−bb�1−1aa 2�． 若|PPMM |,|PPSS |,|PPNN |成等比数列，则��bb 2−bb 2aa 2�−bb �1−1aa 2�×��bb 2−bb 2aa 2�+bb �1−1aa 2�=��bb 2−bb 2aa2�−1�2即 aa 2+aa 2bb 2−bb 2=0 ，但 aa 2bb 2>aa 2+bb 2 ，因此 aa 2+aa 2bb 2−bb 2>2aa 2>0 ，矛盾，不满足题意．当直线 MMNN 的斜率存在时，设其斜率为 kk ，则 MMNN :yy =kk (xx −1)+1 ，与 ll 的方程联立可得 xx PP =aa 2�bb 2+kk−1�aa 2kk+bb 2；与 AA 的方程联立，得 (aa 2kk 2+bb 2)xx 2−2aa 2kk (kk −1)xx +aa 2[(kk −1)2−bb 2]=0 ，由韦达定理，⎩⎨⎧xx MM +xx NN =2aa 2kk (kk −1)aa 2kk 2+bb 2xx MM xx NN =aa 2[(kk −1)2−bb 2]aa 2kk 2+bb 2则|PPSS |2−|PPMM |⋅|PPNN |=�1+kk 2[(xx PP −1)2−(xx PP −xx MM )(xx PP −xx NN )] =�1+kk 2[(xx MM +xx NN −2)xx PP +1−xx MM xx NN ]=�1+kk 2��2aa 2kk (kk −1)aa 2kk 2+bb 2−1�⋅aa 2(bb 2+kk −1)aa 2kk +bb 2+1−aa 2[(kk −1)2−bb 2]aa 2kk 2+bb 2�=√1+kk 2aa 2kk 2+bb 2(aa 2+bb 2−aa 2bb 2)<0 因此 |PPMM |,|PPSS |,|PPNN | 不能成等比数列，故③是假命题．18.（17分）（1）由题意，对于单选题，小周每个单选题做对的概率为 14 ， 对于多选题，小周每个多选题做对的概率为 12，设小周做对单选题的个数为 XX 1 ，做对多选题的个数为 XX 2 ， 则XX 1∼BB �8,1�，XX 2∼BB �3,1� ，所以EE(XX1)=8×14=2 ，EE(XX1)=3×12=32，而小周选择题最终得分为XX=5XX1+3XX2，所以EE(XX)=5EE(XX1)+3EE(XX2)=5×2+3×32=292．（2）由题意他能判断一个选项正确，先把这个正确选项选上，如果他不继续选其他选项肯定能得三分，如果他继续选其它选项的话，设此时他的最终得分为XX3，则XX3的所有可能取值为0，6，则XX3的分布列为：XX30 6PP(XX3)1−pp0pp0那么这个题的得分期望是EE(XX3)=0×(1−pp0)+6pp0=6pp0,�pp0≥13�所以我们只需要比较3和 6pp0的大小关系即可，令 6pp0≥3，解得12≤pp0<1 ，此时四个多选题全部选两个选项得分要高，反之，若13≤pp0<12，此时四个多选只选他确定的那个选项得分最高．19.（17分）（1）若nn=1 ，则ii=1 ，PP1=1 ，因此HH(xx)=−(1×log21)=0 ．（2）HH(XX)与PP1正相关，理由如下：当nn=2 时，PP1∈�0,12�，HH(xx)=−PP1log2PP1−(1−PP1)log2(1−PP1)令ff(tt)=−tt log2tt−(1−tt)log2(1−tt)，其中tt∈�0,12�，则ff′(tt)=−log2tt+log2(1−tt)=log2�1tt−1�>0所以函数ff(tt)在�0,12�上单调递增，所以HH(xx)与PP1正相关．（3）因为PP1=PP2=12nn−1，PP kk+1=2PP kk(kk=2,3,⋯,nn)，所以PP kk =PP 2⋅2kk−2=2kk−22nn−1=12nn−kk+1 (kk =2,3,⋯,nn ) 故PP kk log 2PP kk =12nn−kk+1log 212nn−kk+1=−nn −kk +12nn−kk+1而PP 1log 2PP 1=12nn−1log 212nn−1=−nn −12nn−1于是HH (XX )=nn −12nn−1+�PP kk log 2PP kk nnkk=2=nn −12nn−1+nn −12nn−1+nn −22nn−2+⋯+222+12整理得HH (XX )=nn −12nn−1−nn 2nn +nn 2nn +nn −12nn−1+nn −22nn−2+⋯+222+12 令SS nn =12+222+323+⋯+nn −12nn−1+nn2nn 则12SS nn =122+223+324+⋯+nn −12nn +nn 2nn+1 两式相减得12SS nn =12+122+123+⋯+12nn −nn 2nn+1=1−nn +22nn+1 因此 SS nn =2−nn+22nn， 所以 HH (XX )=nn−12nn−1−nn 2nn+SS nn =nn−12nn−1−nn 2nn+2−nn+22nn=2−12nn−2．。
2024届高三新高考改革数学适应性练习(3)(九省联考题型)【参考答案】
2024年新高考改革适应性练习（3）（九省联考题型）数学参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D A D D B C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．具体得分如【附】评分表．）题号91011答案BC ABD BCD【附】评分表三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）题号121314答案132023×2024+4×2024（或 2027×2024）3+3√10四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）以点AA1为坐标原点，AA1BB1���������⃗为xx轴正方向，AA1DD1����������⃗为yy轴正方向，AA1AA�������⃗为zz轴正方向，建立空间直角坐标系OOxxyyzz，并令正方体AABBAADD−AA1BB1AA1DD1的棱长为1．（1）则AA1(0,0,0)，AA(1,−1,1)，AA1AA�������⃗=(1,−1,1)；AA(0,0,1)，DD1(0,−1,0)，AADD1�������⃗=(0,−1,−1)．所以AADD1�������⃗·AA1AA�������⃗=0+1+(−1)=0 ，即AADD1�������⃗⊥AA1AA�������⃗．故AADD1⊥AA1AA得证．（2）BB(1,0,1)，AA1BB�������⃗=(1,0,1)，由（1）得AA1AA�������⃗=(1,−1,1)，设平面AA1BBAA的一个法向量nn11=(xx1,yy1,zz1)，则nn11·AA1BB�������⃗=nn11·AA1AA�������⃗=0 ，即�xx1+zz1=0xx1−yy1+zz1=0令xx1=1 ，则�yy1=0zz1=−1，所以nn11=(1,0,−1)是平面AA1BBAA的一个法向量．同理可求得平面AA1AADD的一个法向量nn22=(0,1,1)，cos<nn11,nn22>=nn11·nn22|nn11|·|nn22|=−12又 <nn11,nn22>∈(0,ππ)，所以 <nn11,nn22>=2ππ3，即平面AA1BBAA与平面AA1AADD的所成角为2ππ3．故二面角BB−AA1AA−DD的大小为2ππ3．16.（15分）（1）ff(xx)=aaxx4+bbxx3+ccxx2+ddxx，ff′(xx)=aaxx3+bbxx2+ccxx+dd，由题意，原点是ff(xx)的一个极值点，即ff′(0)=0 ，代入得dd=0 ，所以ff(xx)=aaxx4+bbxx3+ccxx2=xx2(aaxx2+bbxx+cc)，ff′(xx)=aaxx3+bbxx2+ccxx=xx(aaxx2+bbxx+cc)，所以ff(xx)和ff′(xx)的零点（0除外）都是方程aaxx2+bbxx+cc=0 的根，即ff(xx)和ff′(xx)有共同零点，故ff(xx)的所有零点也是其所有极值点．（2）设ff(xx)的四个零点分别为mm−3 ，mm−1 ，mm+1 ，mm+3 ，则可以设ff(xx)=kk(xx−mm+3)(xx−mm+1)(xx−mm−1)(xx−mm−3)其中kk≠0 ，令tt=xx−mm，则ff(xx)=kk(tt+3)(tt+1)(tt−1)(tt−3)=kk(tt4−10tt+9)=gg(tt)gg′(tt)=kk(4tt3−20tt)=4kk(tt3−5tt)令gg′(tt)=0 得tt1=−√5 ，tt=0 ，tt=√5 ，所以 ff ′(xx )=0 的所有根为 xx 1=mm −√5 ，xx 2=mm ，xx 3=mm +√5 ，所以 ff ′(xx ) 的最大零点与最小零点之差为 |xx 3−xx 1|=2√5 ．17.（15分）（1）因为点 SS (1,1) 在 AA 内，所以 1aa 2+1bb 2<1 ，即 aa 2+bb 2−aa 2bb 2<0 ． 联立 ll 与 AA 的方程，得 bb 2(aa 2+bb 2)xx 2−2aa 2bb 4xx +aa 4bb 2(bb 2−1)=0 ． 判别式 Δ=4aa 4bb 8−4aa 4bb 4(aa 2+bb 2)(bb 2−1)=4aa 4bb 4(aa 2+bb 2−aa 2bb 2)<0 ，故该二次方程无解，即 ll 与 AA 交点个数为0．（2）可选择命题②或命题③（命题①无法证伪），证明其为假命题． 记点 PP ,MM ,NN 的横坐标分别为 xx PP ,xx MM ,xx NN ，不妨设 PP ,MM ,SS ,NN 顺次排列．选择命题②的证明：当直线 MMNN 的斜率不存在时，MMNN :xx =1 ，分别与 ll ,AA 的方程联立可得 PP �1,bb 2−bb 2aa 2� ，MM �1,bb�1−1aa 2�,NN �1,−bb�1−1aa 2� ． 若 |PPMM |,|PPSS |,|PPNN | 依次成等差数列，则 bb�1−1aa 2+�−bb�1−1aa 2�=2 ，显然矛盾，不满足题意．当直线 MMNN 的斜率存在时，设其斜率为 kk ，则 MMNN :yy =kk (xx −1)+1 ，与 ll 的方程联立可得 xx PP =aa 2�bb 2+kk−1�aa 2kk+bb 2；与 AA 的方程联立，得 (aa 2kk 2+bb 2)xx 2−2aa 2kk (kk −1)xx +aa 2[(kk −1)2−bb 2]=0 ，由韦达定理⎩⎨⎧xx MM +xx NN =2aa 2kk (kk −1)aa 2kk 2+bb 2xx MM xx NN =aa 2[(kk −1)2−bb 2]aa 2kk 2+bb 2则 2|PPSS |−(|PPMM |+|PPNN |)=√1+kk 2(2|xx PP −1|−|xx MM −xx PP |−|xx NN −xx PP |) . 不妨设 xx PP >1 ，则 xx PP >xx MM >1>xx NN ， 所以原式=�1+kk 2[2(xx PP −1)−(xx PP −xx MM )−(xx PP −xx NN )]=�1+kk 2(xx MM +xx NN −2)=�1+kk 2⋅−2aa 2kk −2bb 2aa 2kk 2+bb 2<0因此 |PPMM |,|PPSS |,|PPNN | 不能成等差数列，从而②是假命题．选择命题③的证明：当直线 MMNN 的斜率不存在时，MMNN :xx =1 ，分别与 ll ,AA 的方程联立可得 PP �1,bb 2−bb 2aa 2� ，MM �1,bb�1−1aa 2�，NN �1,−bb�1−1aa 2�． 若|PPMM |,|PPSS |,|PPNN |成等比数列，则��bb 2−bb 2aa 2�−bb �1−1aa 2�×��bb 2−bb 2aa 2�+bb �1−1aa 2�=��bb 2−bb 2aa2�−1�2即 aa 2+aa 2bb 2−bb 2=0 ，但 aa 2bb 2>aa 2+bb 2 ，因此 aa 2+aa 2bb 2−bb 2>2aa 2>0 ，矛盾，不满足题意．当直线 MMNN 的斜率存在时，设其斜率为 kk ，则 MMNN :yy =kk (xx −1)+1 ，与 ll 的方程联立可得 xx PP =aa 2�bb 2+kk−1�aa 2kk+bb 2；与 AA 的方程联立，得 (aa 2kk 2+bb 2)xx 2−2aa 2kk (kk −1)xx +aa 2[(kk −1)2−bb 2]=0 ，由韦达定理，⎩⎨⎧xx MM +xx NN =2aa 2kk (kk −1)aa 2kk 2+bb 2xx MM xx NN =aa 2[(kk −1)2−bb 2]aa 2kk 2+bb 2则|PPSS |2−|PPMM |⋅|PPNN |=�1+kk 2[(xx PP −1)2−(xx PP −xx MM )(xx PP −xx NN )] =�1+kk 2[(xx MM +xx NN −2)xx PP +1−xx MM xx NN ]=�1+kk 2��2aa 2kk (kk −1)aa 2kk 2+bb 2−1�⋅aa 2(bb 2+kk −1)aa 2kk +bb 2+1−aa 2[(kk −1)2−bb 2]aa 2kk 2+bb 2�=√1+kk 2aa 2kk 2+bb 2(aa 2+bb 2−aa 2bb 2)<0 因此 |PPMM |,|PPSS |,|PPNN | 不能成等比数列，故③是假命题．18.（17分）（1）由题意，对于单选题，小周每个单选题做对的概率为 14 ， 对于多选题，小周每个多选题做对的概率为 12，设小周做对单选题的个数为 XX 1 ，做对多选题的个数为 XX 2 ， 则XX 1∼BB �8,1�，XX 2∼BB �3,1� ，所以EE(XX1)=8×14=2 ，EE(XX1)=3×12=32，而小周选择题最终得分为XX=5XX1+3XX2，所以EE(XX)=5EE(XX1)+3EE(XX2)=5×2+3×32=292．（2）由题意他能判断一个选项正确，先把这个正确选项选上，如果他不继续选其他选项肯定能得三分，如果他继续选其它选项的话，设此时他的最终得分为XX3，则XX3的所有可能取值为0，6，则XX3的分布列为：XX30 6PP(XX3)1−pp0pp0那么这个题的得分期望是EE(XX3)=0×(1−pp0)+6pp0=6pp0,�pp0≥13�所以我们只需要比较3和 6pp0的大小关系即可，令 6pp0≥3，解得12≤pp0<1 ，此时四个多选题全部选两个选项得分要高，反之，若13≤pp0<12，此时四个多选只选他确定的那个选项得分最高．19.（17分）（1）若nn=1 ，则ii=1 ，PP1=1 ，因此HH(xx)=−(1×log21)=0 ．（2）HH(XX)与PP1正相关，理由如下：当nn=2 时，PP1∈�0,12�，HH(xx)=−PP1log2PP1−(1−PP1)log2(1−PP1)令ff(tt)=−tt log2tt−(1−tt)log2(1−tt)，其中tt∈�0,12�，则ff′(tt)=−log2tt+log2(1−tt)=log2�1tt−1�>0所以函数ff(tt)在�0,12�上单调递增，所以HH(xx)与PP1正相关．（3）因为PP1=PP2=12nn−1，PP kk+1=2PP kk(kk=2,3,⋯,nn)，所以PP kk =PP 2⋅2kk−2=2kk−22nn−1=12nn−kk+1 (kk =2,3,⋯,nn ) 故PP kk log 2PP kk =12nn−kk+1log 212nn−kk+1=−nn −kk +12nn−kk+1而PP 1log 2PP 1=12nn−1log 212nn−1=−nn −12nn−1于是HH (XX )=nn −12nn−1+�PP kk log 2PP kk nnkk=2=nn −12nn−1+nn −12nn−1+nn −22nn−2+⋯+222+12整理得HH (XX )=nn −12nn−1−nn 2nn +nn 2nn +nn −12nn−1+nn −22nn−2+⋯+222+12 令SS nn =12+222+323+⋯+nn −12nn−1+nn2nn 则12SS nn =122+223+324+⋯+nn −12nn +nn 2nn+1 两式相减得12SS nn =12+122+123+⋯+12nn −nn 2nn+1=1−nn +22nn+1 因此 SS nn =2−nn+22nn， 所以 HH (XX )=nn−12nn−1−nn 2nn+SS nn =nn−12nn−1−nn 2nn+2−nn+22nn=2−12nn−2．。
新高考2021年高三数学高考三模试题卷三附答案解析
新高考2021年高三数学高考三模试题卷三第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数z 满足，则z 的虚部是（ ） A ．B ．1C ．D ．i3．“”是“函数在上为增函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．函数的最大值是（ ） A ．B ．C ．D ．5．垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等几方面的效益．已知某种垃圾的分解率与时间（月）满足函数关系式（其中，为非零常数）．若经过12个月，这种垃圾的分解率为，经过24个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解（分解率为）至少需要经过（ ）（参考数据） A ．120个月B ．64个月C ．52个月D ．48个月6．如图，是的直径，点、是半圆弧上的两个三等分点，，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数，且）的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为（ ） A ．12B ．10C ．8D ．98．，，，，五个人站成一排，则和分别站在的两边（可以相邻也可以不相邻）的概率为（ ）{}ln 1A x x =>{B x y ==()A B =R {}21x x -≤≤{}2x x e -≤≤{}21x x -<≤{}2x x e -<≤2i z z -=1-i -0m ≤()ln f x x mx =-(]0,122sin 2cos 3y x x =+-1-112-5-v t t v a b =⋅a b 10%20%100%lg 20.3≈AB O C D AB AB =a AC =bAD 12-a b 12-a b 12+a b 12+a b 2(0xy aa -=>1a ≠A A 221x y m n+=m n +A B C D E A C BA ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设等比数列的公比为q ，其前n 项和为，前n 项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．是数列中的最大值D ．数列无最大值10．在中，如下判断正确的是（ ） A ．若，则为等腰三角形 B ．若，则C ．若为锐角三角形，则D ．若，则11．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线与交于，两点，则（ ）A ．的方程为B ．C ．的渐近线与圆相切D ．满足的直线有2条12．已知函数，若函数有6个不同零点，则实数的可能取值是（ ） A ．0 B ． C ．D ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．给出下列说法：①回归直线恒过样本点的中心； ②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变；④在回归直线方程中，当变量x 增加一个单位时，平均减少个单位． 161331035{}n a n S n T 11a >201920201a a >20192020101a a -<-20192020S S <2019202110a a -<2020T {}n T {}n T ABC △sin 2sin 2A B =ABC △A B >sin sin A B >ABC △sin cos A B >sin sin A B >A B >xOy P ()1F )2F 13P E ():2l y k x =-E A B E 2213x y -=E E 2221x y AB =l ln ,0()1,x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩(())y f f x a =+a 12-1-13-ˆˆˆybx a =+(),x y r ˆ20.5yx =-ˆy 0.5其中说法正确的是__________． 14．若，则被4除得的余数为__________． 15．有以下四个条件：①的定义域是，且其图象是一条连续不断的曲线； ②是偶函数；③在上不是单调函数； ④恰有两个零点．若函数同时满足条件②④，请写出它的一个解析式_____________；若函数同时满足条件①②③④，请写出它的一个解析式_____________．16．设函数的定义域为，若对任意，存在，使得， 则称函数具有性质，给出下列四个结论： ①函数不具有性质；②函数具有性质；③若函数，具有性质，则； ④若函数具有性质，则． 其中，正确结论的序号是________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①，；②，，两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列为等差数列，数列为等比数列，数列前项和为，数列前项和为，，，______．（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．()20222202201220222x a a x a x a x +=++++0242022a a a a +++()f x R ()f x ()f x ()0,∞+()f x ()f x =()g x =()y f x =D 1x D ∈2x D ∈12()()1f x f x ⋅=()f x M 3y x x =-M 2x x e e y -+=M 8log (2)y x =+[0,]x t ∈M 510t =3sin 4x ay +=M 5a =226a b +=3311+=a b 312S =531T ={}n a {}n b {}n a n n S {}n b n n T 11a =11b ={}n a {}n b n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n18．（12分）的内角，，的对边分别是，，． （1）求角的大小；（2）若，为边上一点，，且___________，求的面积．(从①为的平分线，②为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答)19．（12分）在年的新冠肺炎疫情影响下，国内国际经济形势呈现出前所未有的格局．某企业统计了年前个月份企业的利润，如下表所示：（1）根据所给的数据建立该企业所获得的利润（万元）关于月份的回归直线方程，并预测年月份该企业所获得的利润；（2）企业产品的质量是企业的生命，该企业为了生产优质的产品投放市场，对于生产的每一件产品必须要经过四个环节的质量检查，若每个环节中出现不合格产品立即进行修复，且每个环节是相互独立的，前三个环节中生产的产品合格的概率为，每个环节中不合格产品所需要的修复费用均为元，第四个环节中产品合格的概率为，不合格产品需要的修复费用为元，设每件产品修复的费用为元，写出的分布列，并求出每件产品需要修复的平均费用．参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，，为样本数据的平均值．20．（12分）图1是由正方形，，组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿折起使得E 与F 重合，如图2． （1）设平面平面，证明：；（2）若二面角的余弦值为，求长．ABC △A B C a b c sin cos c B C -=B 3b =D AC 2BD =ABC △BD B D AC 202020205ˆˆˆybx a =+202012121003450ξξˆˆˆybx a =+1221ˆni ii nii x y nxyb xnx==-=-∑∑ˆˆay bx =-x y ABCD ABE Rt △CDF Rt △2AB =ABE △CDF △,AB CD ABECDE l =//l CD A BE D --5AE21．（12分）已知函数，其中实数． （1）讨论的单调性；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．22．（12分）已知椭圆的左焦点为F ，过F 的直线与椭圆在第一象限交于M 点，O 为坐标原点，三角形． （1）求椭圆的方程；（2）若的三个顶点A ，B ，C 都在椭圆上，且O 为的重心，判断的面积是否为定值，并说明理由． 答 案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】依题意，，所以，因为，故，故选B ．2．【答案】A【解析】设，因为，可得， 则，可得，所以复数的虚部是，故选A ． 3．【答案】A【解析】由可得， 若在上为增函数，则在恒成立， 即在恒成立，则， ()axf x e ex =-0a ≠()f x 0x ≥()()21f x x ≥-a 22221(0)x y a b a b+=>>0x -=MFO ABC △ABC △ABC △{}{}ln 1A x x x x e =>=>{|}A x x e =≤R{{}2B x y x x ===≥-(){}2A B x x e =-≤≤R ()i ,z a b a b =+∈R 2i z z -=()i i 2i 2i z z a b a b b -=--+=-=22b -=1b =-z 1-()ln f x x mx =-1()f x m x'=-()ln f x x mx =-(]0,1()0f x '≥(]0,11m x≤(]0,11m，则可得“”是“函数在上为增函数”的充分而不必要条件，故选A ． 4．【答案】C【解析】，因为，所以当时等号成立， 所以函数的最大值是，故选C ． 5．【答案】C【解析】依题设有，解得，， 故．令，得，故，故选C ． 6．【答案】D【解析】连接、、，如图．由于点、是半圆弧上的两个三等分点，则，，则、均为等边三角形，，，，同理可知，(](],0,1-∞-∞0m ≤()ln f x x mx =-(]0,1()222sin 2cos 321cos 2cos 3y x x x x =+-=-+-22112cos 2cos 12(cos )22x x x =-+-=---1cos 1x ≤≤－1cos 2x =22sin 2cos 3y x x =+-12-()()1224120.1240.2v ab v ab ⎧==⎪⎨==⎪⎩1122b =0.05a =()1120.052tv t ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭()1v t =112220t⎛⎫= ⎪⎝⎭()11212121210.3lg 201lg 2log205210.3lg 2lg 212t ⨯++===≈=CD ODOC C D AB 60BOD COD AOC ∠=∠=∠=︒OA OC OD ==AOC △COD △60OAC OCD ∴∠=∠=︒OAC BOD ∴∠=∠//OD AC ∴//CD AB所以，四边形为平行四边形，所以，， 故选D ． 7．【答案】D【解析】由于函数，且）向右平移两个单位得，且），即为函数，且），所以定点，由于点在椭圆，所以，且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号，故选D ． 8．【答案】B【解析】和分别站在的两边，则只能在中间3个位置，分类说明： （1）若站在左2位置，从，选一个排在左侧，剩余的3个人排在右侧， 故有种排法；（2）若站在3位置，从，选一个，从，选一个排在左侧，并排列，剩余的2个人排在右侧，故有种排法；（3）若站在右2位置，排法与（1）相同，即有12种排法； 所以和分别站在的两边的排法总共有种排法；，，，，五个人站成一排有种排法，故和分别站在的两边的概率，故选B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．【答案】AB【解析】当时，，不成立； 当时，，，不成立；故，且，，故，A 正确；AODC 12AD AO AC =+=+a b 1(0x y a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭1a ≠21(0x y a a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭1a ≠2(0xy aa -=>1a ≠()2,1A A 221x y m n +=411m n +=0m >0n >()414559n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭4n mm n=6m =3n =A C B B B A C B B 1323C A 232112=⨯⨯⨯=B A C D E B B 11222222C C A A 222216=⨯⨯⨯=B A C B 12161240++=A B C D E 55A 54321120n ==⨯⨯⨯⨯=A C B 4011203P ==0q <22019202020190a a a q =<1q ≥20191a ≥20201a >20192020101a a -<-01q <<20191a >202001a <<20202019S S >，故B 正确；是数列中的最大值，C 、D 错误，故选AB ． 10．【答案】BCD【解析】选项A ．在中，若，则或， 所以或，所以为等腰或直角三角形，故A 不正确； 选项B ．在中，若，则，由正弦定理可得，即，故B 正确； 选项C ．若为锐角三角形，则， 所以，所以，故C 正确； 选项D ．在中，若，由正弦定理可得， 即，所以，故D 正确， 故选BCD ． 11．【答案】CD【解析】令，即得，∴A 错误；又，，即，故B 错误， 由E 的渐近线为，而圆心为，半径为1，∴到距离为，故的渐近线与圆相切，故C 正确；联立曲线E 与直线的方程，整理得，，∴，，而代入整理2201920212020110a a a -=-<2019T {}n T ABC △sin 2sin 2A B =22A B =22πA B +=A B =2πA B +=ABC △ABC △A B >a b >2sin 2sin R A R B >sin sin A B >ABC △π2A B +>ππ022A B >>->πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭ABC △sin sin A B >22a bR R>a b >A B >(,)P x y 13=221,3x y x -=≠a =2c =3e =y x =2221x y (2,0)(2,0)y =1d ==E 2221xy l 2222(13)123(41)0k x k x k -+-+=210Δk =+>21221231k x x k +=-21223(41)31k x x k +=-12|AB x x =-=22)|||31|k AB k +==-即有或(由与)，故，∴D 正确， 故选CD ． 12．【答案】BD【解析】画出函数的图象：函数有零点，即方程有根的问题． 对于A ：当时，，故，，故，，，， 故方程有4个不等实根； 对于B ：当时，，故，当时，由图象可知，有1个根， 当时，由图象可知，有2个根， 当3个根， 故方程有6个不等实根； 对于C ：当时，， 故，，， 当时，由图象可知，有2个根， 当时，由图象可知，有2个根，21k =20k =0y =221,3xy x -=≠1k =±ln ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩(())y f f x a =+(())0f f x a +=0a =(())0f f x =()1f x =-()1f x =0x =2x =-1=x ex e =(())0f f x a +=12a =-1(())2f f x =1()2f x =-()f x =()f x =1()2f x =-()f x =()f x =(())0f f x a +=1a =-(())1f f x =()0f x =()f x e =1()f x e=()0f x =()f x e =当时，由图象可知，有3个根， 故方程有7个不等实根； 对于D ：当时，， 故，当时，由图象可知，有1个根， 当时，由图象可知，有2个根， 当3个根， 故方程有6个不等实根， 故选BD ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】①②④【解析】对于①中，回归直线恒过样本点的中心，所以正确； 对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1， 所以是正确的；对于③中，根据平均数的计算公式可得，根据方差的计算公式，所以是不正确的； 对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少个单位，所以是正确的， 故答案为①②④． 14．【答案】1【解析】由题知，时，①，时，②，由①+②，得， 1()f x e=(())0f f x a +=13a =-1(())3f f x =2()3f x =-()f x =()f x =2()3f x =-()f x =()f x =(())0f f x a +=ˆˆˆybx a =+(,)x y ||r 744471x ⨯+==+()2217244 1.7528s ⎡⎤=⨯+-=<⎣⎦ˆ20.5yx =-x ˆy0.51x =-0123202120221a a a a a a -+-+-+=1x =2022012320223a a a a a +++++=()2022024********a a a a ++++=+故， 所以被4除得的余数是1，故答案为1．15．【答案】（答案不唯一），（答案不唯一）【解析】根据条件②④可得（答案不唯一），根据函数同时满足条件①②③④，可得（答案不唯一）．故答案为（答案不唯一），（答案不唯一）．16．【答案】①③【解析】依题意，函数的定义域为，若对任意，存在，使得，则称函数具有性质．①函数，定义域是R ，当时，显然不存在，使得，故不具备性质，故①正确；②是单调增函数，定义域是R ，， 当且仅当时等号成立，即值域为．对任意的，，要使得，则需，而不存在，使，故不具备性质，故②错误；③函数在上是单调增函数，定义域是，其值域为． 要使得其具有性质，则对任意的，，总存在，， 即，即，即，202210110242022111()(31)(91)488a a a a ++++=+=+()()101101011110101010110111011101110111011C 118118C 8C 8C 188⎡⎤=++=+++++⎣⎦()010*******10101101110111011118C 8884C C =++++()22f x x =-+()22g x x x =-++()22f x x =-+()22g x x x =-++()22f x x =-+()22g x x x =-++()y f x =D 1x D ∈2x D ∈12()()1f x f x ⋅=()f x M 3y x x =-10x =∈R 2x ∈R ()()121f x f x =M 2x x e e y -+=12x xe e y -+=≥=0x =[)1,+∞1>0x ()11f x >()()121f x f x ⋅=()21f x <2x ∈R ()21f x <2x xe e y -+=M ()8log 2y x =+[]0,t []0,t ()88log 2,log 2t ⎡⎤+⎣⎦M []10,x t ∈()()188log 2,log 2f x t ⎡⎤∈+⎣⎦[]20,x t ∈()()()()288188111,log 2,log 2log 2log 2f x t f x t ⎡⎤⎡⎤=∈⊆+⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≥⎪+⎪⎨⎪≤+⎪⎩8888log 2log (2)1log 2log (2)1t t ⨯+≤⎧⎨⨯+≥⎩()88log 2log 21t ⨯+=故，即，故，故③正确； ④若函数具有性质，定义域是R ，使得， 一方面函数值不可能为零，也即对任意的恒成立，而， 故或，在此条件下， 另一方面，的值域是值域的子集．的值域为；的值域为， 要满足题意，只需，， 时，，即； 时，，即， 故，即， 即，即，故．故④错误， 故答案为①③．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1），；（2）．【解析】选择①：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，，，得，解得， 所以，．（2）记；（1） 又，（2）()8821log 2log log 328t +===328t +=510t =3sin 4x ay +=M []sin 1,1x ∈-3sin 0x a +≠x []3sin 3,3x ∈-3a >3a <-43sin y x a =+3sin 4x ay +=3sin 4x a y +=33,44a a -+⎡⎤⎢⎥⎣⎦43sin y x a =+44,33a a ⎡⎤⎢⎥+-⎣⎦3434a a -≥+3434a a +≤-3a <-441,1334334a a a a ⋅≤⋅≥+-+-44133a a ⋅=+-3a >441,1334334a a a a ⋅≥⋅≤+-+-44133a a ⋅=+-44133a a ⋅=+-()()3316a a -+=2916a -=225a =5a =±32n a n =-12n nb -=()8682nn --+{}n a d {}n b ()0q q ≠11a =11b =226a b +=3311+=a b 2161211d q d q ++=⎧⎨++=⎩32d q =⎧⎨=⎩32n a n =-12n n b -=()121312123114272322n n n na a a a A nb b b b ---+=+++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯()()112312124272352322n n n A n n -----+-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯（1）（2），得， 所以， 所以，所以．选择②：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且． 由，，，，得，解得， 所以，．（2）记；（1） 又，（2）（1）（2），得， 所以， 所以，所以．18．【答案】（1）；（2）选择①：；选择②：． 【解析】（1，，，，则有， 又因为，所以． -()()12111322 (23222)n n n A n ---+-=++++--⋅()()121+12622 (2)322n n n A n ---+-=++++--⋅()()()1+11+111122263222612322112n n n n n A n n ---+-⎛⎫- ⎪⎝⎭=+--⋅=+---⋅-()8682nn A n -=-+{}n a d {}n b ()0q q ≠1q ≠11a =11b =312S =531T =()533121311d q q +=⎧⎨-=-⎩32d q =⎧⎨=⎩32n a n =-12n n b -=()121312123114272322n n n na a a a A nb b b b ---+=+++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯()()112312124272352322n n n A n n -----+-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯-()()12111322 (23222)n n n A n ---+-=++++--⋅()()121+12622 (2)322n n n A n ---+-=++++--⋅()()()1+11+111122263222612322112n n n n n A n n ---+-⎛⎫- ⎪⎝⎭=+--⋅=+---⋅-()8682nn A n -=-+π3B =2ABC S =△8ABC S =△sin cos c B C -()sin sin cos B C C B B C +-=sin sin sin B C C B =sin 0C ≠tan B =()0,πB ∈π3B =（2）选择条件①为的平分线，因为为的平分线，所以， 又因为， 所以， 又根据余弦定理得，即， 则有，即，解得或(舍)， 所以． 选择②为的中点，则，，， 则有，可得， 又根据余弦定理得，解得， 则． 19．【答案】（1），万元；（2）分布列见解析，修复的平均费用为元． 【解析】（1）由表格数据知，，， 由回归直线经过样本点的中心可知：，，则回归直线方程为， BD B BDB π6ABD DBC ∠=∠=ABC ABD BDC S S S =+△△△1π1π1πsin 2sin 2sin 232626ac a c =⨯+⨯()2a c =+2222cos b a c ac B =+-()293a c ac =+-()23934ac ac =-()24120ac ac --=6ac =2ac =-1sin 2ABCSac B ==D AC 32AD DC ==πBDA BDC ∠=-∠cos cos BDA BDC ∠=-∠22222233222233222222c a ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⨯⨯⨯⨯22252a c +=229a c ac +-=72ac =1sin 28ABC S ac B ==△9173ˆ22yx =+140.532521234535x ++++==90951051001101005y ++++==()()515222222221519029531054100511053100ˆ12345535i ii ii x y xy b x x==-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯∴==++++-⨯-∑∑459102==(),x y 9ˆ10032a =⨯+173ˆ2a ∴=9173ˆ22yx =+预测年月份该企业所获得的利润为（万元）．（2）根据题意知所有可能取值为，，，，，，，，；；；；；；；，的分布列为：，即每件产品需要修复的平均费用为元．20．【答案】（1）证明见解析；（2．【解析】（1）因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以．（2）因为，，所以，又，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，过E作于点O，则O是的中点，因为平面平面，平面，所以平面，以O为原点，与平行的直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，202012917312140.522⨯+=ξ050100150200250300350 ()31332432Pξ⎛⎫∴==⨯=⎪⎝⎭()3111502432Pξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭()2231139100C22432Pξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭()2231113150C22432Pξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭()2131139200C22432Pξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭()2131113250C22432Pξ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭()31333002432Pξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭()31113502432Pξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭ξ∴()05010015020025030032323232323232Eξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+135032⨯3252=3252//CD AB AB ABE CD⊂/ABE//CD ABECD⊂ECD ABE ECD l=//l CD//AB CD CD DE⊥AB DE⊥AB AE⊥AE DE E=AE⊂ADE DE⊂ADEAB⊥ADEAB ABCD ABCD⊥AED⊥EO AD ADABCD AED AD=EO⊂ADEEO⊥ABCDAB OD OEO xyz-设，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，取，则，所以平面的一个法向量；，，设平面的法向量为，则，即，取，则，同理可求得平面的一个法向量为， 所以，解得，当时，，二面角的平面角为钝角，舍去， 所以，此时，所以．21．【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1），当时，，故在上单调递减；EO h =(0,1,0)A -(0,1,0)D (2,1,0)B -(0,0,)E h (2,0,0)AB =(0,1,)AE h =(0,1,)ED h =-(2,2,0)BD =-ABE 1(,,)x y z =n 1100AB AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 200x y hz =⎧⎨+=⎩0,x y h ==1z =-ABE 1(0,,1)h =-n (0,1,)ED h =-(2,2,0)BD =-BDE 2222(,,)x y z =n 220ED BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 22220220y hz x y -=⎧⎨-+=⎩2x h =22,1y h z ==BDE 2(,,1)h h =n 121212cos ,⋅===⋅n n n n n n 2h =3h =21212122cos ,0-⋅====<⋅n n n n n n A BE D --2h =(0,1,2)AE =5AE =AE [)1,+∞()axf x ae e '=-0a <()0f x '<()f x (),-∞+∞当时，令，解得． 即在区间上单调递减，在区间上单调递增． （2）当时，，则．下证：当时，不等式在上恒成立即可．当时，要证，即，又因为，即只需证．令，， 令，则，解得．故在区间上单调递减，在区间上单调递增，，，故．因此存在，使得．故在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．，，故成立．综上，的取值范围为．22．【答案】（1）；（2，理由见解析．【解析】（1）直线过左焦点F，则有， 所以且右焦点， 又，得， 代入直线方程有，所以．∴为直角三角形且，由椭圆定义，知，即， ∴椭圆的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，0a >()0f x '=1ln e x aa=()f x 1,ln e a a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1ln ,e a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1x =0a e e -≥1a ≥1a ≥()2(1)f x x ≥-[)0,+∞1a ≥()()21f x x ≥-2(1)0axe x ex ---≥ax x e e ≥2(1)0x e x ex ---≥2()(1)(0)xg x e x ex x =---≥()22xg x e x e '=-+-()22xh x e x e =-+-()20xh x e '=-=ln 2x =()g x '()0,ln 2()ln 2,+∞(0)30g e '=->(1)0g '=()ln 20g <()00,ln 2x ∈()00g x '=()g x ()00,x ()0,1x ()1,+∞(0)0g =(1)0g =()0g x ≥a [)1,+∞2214x y +=0x -=(F c =F '124OMF M S y ==△12My =M x =12M ⎫⎪⎭FMF '△90MF F '∠=︒12||||42a MF MF '=+==2a =2214x y +=BC BC 1x x =若，则，∵O 为的重心，可知，代入椭圆方程，得，， 即有A 到BC 的距离为， ∴； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设，，由，得，显然， ∴，， 则，∵O 为的重心，可知， 由A 在椭圆上，得，化简得，∴，由重心的性质知：A 到直线的距离d 等于O 到直线距离的3倍，即，∴， 综上得，．()11,B x y ()11,C x y -ABC △()12,0A x -211x =2134y =1||2||BC y ==3d =11||322ABC S BC d =⋅==△BC BC y kx m =+()11,B x y ()22,C x y 2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222148440k x kmx m +++-=0Δ>122841km x x k -+=+21224441m x x k -=+()121222241my y k x x m k +=++=+ABC △2282,4141km m A k k -⎛⎫⎪++⎝⎭2222182144141km m k k -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭22441m k =+1222||||414BC x x k m =-===+BC BC d =1||2ABC S BC d =⋅=△ABC △。
(完整版)高三数学综合测试题试题及答案
高三数学综合测试题一、选择题1、设会合U =1,2,3,4， M = x U x25x+ p = 0 ，若 C U M = 2,3，则实数 p 的值为 (B)A ．4B．4C．6 D ．62．条件p : x1, y1, 条件 q : x y2, xy1，则条件p是条件q的A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充要条件D.既不充足也不用要条件B.{ 1,0,1,2}C.{ 1,0,2,3}D.{ 0,1,2,3}3. 设函数f (x) 1 e x的图象与x轴订交于点P,则曲线在点P的切线方程为( C )（ A ）y x1（B ）y x 1（C）y x（D ）y x114．设 a= 2，b= 2， c=lg0.7 ，则 (C)A ． c＜ b＜ a B． b＜ a＜ cC．c＜ a＜ b D．a＜ b＜ c5．函数 f (x)=e x- x- 2 的零点所在的区间为( C)A．(-1，0)B． (0， 1)C．(1， 2)D．(2， 3)6 、设函数f (x)( 1 )x7, x0，则实数 a 的取值范围是2，若 f (a) 1x , x0（C）A 、(,3)B、(1,)C、(3,1) D 、(,3) U (1,)7 f ( x)log a x,f (| x |1)的图象大概是(D)．已知对数函数是增函数则函数8．函数 y＝log a(x＋ 1)＋ x2－ 2(0＜a＜ 1)的零点的个数为 ()A ． 0B． 1C．2D．没法确立新课标第一网分析：选 C.令 log a(x＋ 1)＋ x2－ 2＝ 0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考察图象1a22的交点个数y ＝ log(x＋ 1)与 y＝－ x ＋ 29．若函数 f (x)= - x3+bx 在区间 (0，1)上单一递加，且方程 f (x)=0 的根都在区间 [ - 2，2]上，则实数 b 的取值范围为(D)A．[0，4]B．3，C．[2，4]D．[3， 4]10．已知定义在R 上的奇函数 f ( x) 是，0 上的增函数，且 f (1)= 2， f ( - 2)= - 4，设P={ x|f (x+t)- 4<0} ，Q={ x|f (x)<- 2} ．若“ x∈P”是“ x∈ Q”的充足不用要条件，则实数t 的取值范围是（B）A ． t≤ - 1B． t>3C． t≥ 3 D ． t>- 1二、填空题11．命题“若x21，则1x 1 ”的逆否命题为________________ 4n n 212．已知偶函数 f (x)= x2(n∈ Z) 在(0 ，+∞ )上是增函数，则 n=2．13、已知函数f ( x)x3mx2(m 6) x 1 既存在极大值又存在极小值，则实数 m 的取值范围是 __、m 6 或 m3_____________14．若不等式 1 一 log a( 10a x ) ＜0有解，则实数a 的范围是；15．已知函数 f ( x)定义域为 [-1, 5], 部分对应值如表x-1045f ( x)1221f ( x) 的导函数 f ( x) 的图象如下图,以下对于函数 f (x) 的命题①函数 f ( x) 的值域为[1,2];②函数 f ( x) 在[0,2]上是减函数;③假如当 x[1, t] 时,f (x) 的最大值是2,那么 t 的最大值为4;④当 1 a 2时 ,函数 y f (x) a 有4个零点.此中真命题是②(只须填上序号 ).yy f(x)-1012345x16题三、解答题16．已知命题：“x x |1x1，使等式 x2x m 0 建立”是真命题，（1）务实数 m 的取值会合 M ；（2）设不等式( x a)( x a2)0 的解集为N，若x∈N是x∈M的必需条件，求 a 的取 范 ．答案 :(1)Mm1m 2 4(2) a9a1或 4417．（本 分12 分）已知二次函数 y= f (x)的 象 点 (1， - 4)，且不等式 f (x)<0 的解集是(0， 5)．（Ⅰ）求函数f (x)的分析式；（Ⅱ）g(x)=x 3- (4k- 10)x+5 ，若函数h(x)=2 f (x)+ g(x)在 [ - 4，- 2]上 增，在 [- 2，0]上 减，求y=h(x)在[ - 3， 1]上的最大 和最小 ．17． 解：（Ⅰ）由已知y= f (x) 是二次函数，且 f (x)<0 的解集是 (0，5) ， 可得 f (x)=0 的两根 0， 5，于是 二次函数f (x)=ax(x- 5)，代入点 (1，- 4)，得 - 4=a ×1×(1- 5) ，解得 a=1，∴ f (x)=x(x- 5) ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（Ⅱ） h(x)=2f (x)+g(x)=2 x(x- 5)+ x 3- (4k- 10)x+5= x 3 +2x 2- 4kx+5，于是 h (x) 3x 2 4 x 4k ，∵ h(x)在 [ - 4， - 2] 上 增，在 [- 2， 0]上 减， ∴ x=- 2 是h(x)的极大 点，∴ h ( 2) 3( 2)24 ( 2) 4k 0 ，解得 k=1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∴ h(x)=x 3+2x 2- 4x+5 ， 而得 h ( x) 3x 2 4x4 ．令 h ( x) 3x 24x 4 3(x2)( x 2)0 ， 得 x 12，x 22 ．33由下表：x(-3，-2)- 2 (-2， 2)2 (2，1)333h (x)+ 0- 0+ h(x)↗极大↘极小↗可知： h(- 2)=( - 2)3+2×(- 2)2- 4×(- 2)+5=13 ， h(1)=1 3+2×12 - 4×1+5=4，3 22 23 2 2 2 95 ， h( - 3)=( - 3) +2×(- 3) - 4×(- 3)+5=8 ，h()=()+2×( ) - 4× +5=3 33327∴ h(x)的最大 13，最小95．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分2718、（本 分12 分）x 1 0,a 1)已知函数 f ( x) log a(ax1（1）求 f ( x ) 的定 域，判断 f ( x ) 的奇偶性并 明；（2） 于 x [2,4] ， f ( x ) log am恒建立，求 m 的取 范 。
高三数学综合测试题(含答案)
高三数学试题（理科）一、选择题(本大题共12小题,每小题5.0分,共60分)1.已知复平面内的平行四边形ABCD中，定点A对应的复数为i(i是虚数单位)，向量BC 对应的复数为2＋i，则点D对应的复数为()A． 2 B． 2＋2i C．－2 D．－2－2i2.在判断两个变量y与x是否相关时，选择了4个不同的模型，它们的相关指数分别为：模型1的相关指数为0.98，模型2的相关指数为0.80，模型3的相关指数为0.50，模型4的相关指数为0.25.其中拟合效果最好的模型是()．A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型43.设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1．6，则a－b＝()A．0．2B．0．1C．－0．2D．－0．44.若方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是()A． [－2,2] B． [0,2]C． [－2,0]D． (－∞，－2)∪(2，＋∞)5.已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有()A．36个 B．72个 C．63个 D．126个6.函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的一个充分而不必要条件是()A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a<17.若（n∈N*),且,则() A．81 B．16 C．8 D．18.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为()A． B． C． D．9.高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是()A． B． C． D．10.已知x与y之间的几组数据如表:假设根据如表数据所得线性回归直线方程为,若某同学根据表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为,则以下结论正确的是()A．, B．, C．, D．,11.某人射击一发子弹的命中率为0.8，现在他射击19发子弹，理论和实践都表明，在这19发子弹中命中目标的子弹数X的概率满足P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，19)，则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是 ()A．14发 B．15发 C．16发 D．15发或16发12.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，若a＋b＋c＝0，导函数f′(x)满足f′(0)f′(1)>0，设f′(x)＝0的两根为x1，x2，则|x1－x2|的取值范围是()A．323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，B．14,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．133⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， D．1193⎡⎫⎪⎢⎣⎭，第II 卷非选择题二、填空题(本大题共4小题,每小题5.0分,共20分)13.某人从某城市的A地乘公交车到火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)X～N(50,)，则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率为________．14.如图(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；若类比该命题，如图(2)，三棱锥A－BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有________．15.设M＝，则M与1的大小关系是__________．16.若对任意的x∈A，则x∈，就称A是“具有伙伴关系”的集合．集合M＝{－1,0，，，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.（本小题共12分）已知一元二次方程x2－ax＋1＝0(a∈R)．(1)若x＝37+i44是方程的根，求a的值；(2)若x1，x2是方程两个虚根，且|x1－1|＞|x2|，求a的取值范围．18. （本小题共12分）随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n 个人，其中男性占调查人数的.已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有的人的休闲方式是运动．(1)完成如图2×2列联表：(2)若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“休闲方式有关与性别”，那么本次被调查的人数至少有多少？(3)根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？参考公式：＝，其中n=a+b+c+d.参考数据：19.若n为正整数，试比较3·2n－1与n2＋3的大小，分别取n＝1,2,3,4,5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明．20.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳．各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)为3，标准差为.(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种．求需要补种沙柳的概率．21.已知函数f(x)＝(ax－x2)e x.(1)当a＝2时，求f(x)的单调递减区间；(2)若函数f(x)在(－1,1]上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)是否可为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围，若不是，说明理由．22.设函数f(x)＝|x－a|＋x.(1)当a＝2时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)＝|x＋1|，求不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立时a的取值范围．答案解析1.B2.A3.C4.A5.D【解析】此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有＝126(个)6.C7.A8.D9.C10. C11. D【解析】由≥且≥，解得15≤k≤16，即P(X＝15)＝P(X＝16)最大12.A【解析】由题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵x1，x2是方程f′(x)＝0的两个根，∴x 1＋x2＝－，x1·x2＝，∴|x1－x2|2＝(x＋x2)2－4x1·x2＝.∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴|x 1－x2|2＝＝()2＋·＋.∵f′(0)·f′(1)>0，f′(0)＝c＝－(a＋b)，且f′(1)＝3a＋2b＋c＝2a＋b，∴(a＋b)(2a＋b)<0，即2a2＋3ab＋b2<0，∵a≠0，两边同除以a2，得()2＋3＋2<0，解得－2<<－1.由二次函数的性质可得，当＝－时，|x 1－x2|2有最小值为，当趋于－1时，|x1－x2|2趋于，故|x 1－x2|2∈[，)，故|x1－x2|∈[，)．13. 0．9544 14.＝S △BCM·S△BCD15.【答案】M<1【解析】∴M＝＝1.16.【答案】15【解析】具有伙伴关系的元素组有－1；1；，2；，3；共4组，所以集合M的所有非空子集中，具有伙伴关系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为＋＋＋＝15．17.解(1)已知一元二次方程x2－ax＋1＝0(a∈R)，若x＝＋i是方程的根，则x＝-i也是方程的根．(＋i)＋(-i)＝a，解得a＝.(2)x 1，x2是方程x2－ax＋1＝0的两个虚根，不妨设x1＝，x2＝，a∈(－2,2)，|x 1－1|＞|x2|，∴(－1)2＋(－)2＞()2＋()2，∴a＜1.综上，－2＜a＜1.18.【解】(1)依题意，被调查的男性人数为，其中有人的休闲方式是运动；被调查的女性人数为，其中有人的休闲方式是运动，则2×2列联表如图。
2019年数学全国卷三
高考数学模拟试卷一、单选题1．设集合{}{}234345M N ==，，，，，， 那么M N ⋃=（ ） A.{} 2345，，， B.{}234，， C.{}345，， D.{}34， 2.若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分也非必要条件3.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.2525 5 D.54．已知集合{}3,1,0,2,3,4A =--，{|0R B x x =≤或3}x >，则A B =（ ）A.∅B.{}3,1,0,4--C.{}2,3D.{}0,2,35.下列函数中，既是偶函数又在区间(0),-∞上单调递增的是（ ）A ．2(1)f x x =B ．()21f x x =+C ．()2f x x =D ．()2xf x -= 6．已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则(2)()1f x g x x =-的定义域为（ ） A.[)(]0,11,2 B.[)(]0,11,4 C.[0,1) D.(1,4]7.设32x y +=，则函数327x y z =+的最小值是（ ）A.12B.6C.27D.308.函数1y x =-的定义域为( )A ．{|21}x x x >-≠且B ．{|21}x x x ≥-≠且C ．)[(21,1,)-⋃+∞D ．)((21,1,)-⋃+∞9．袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（ ）10.已知函数()11f x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A ．14 ,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．12 ,1⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．(1,2)D ．(2,3) 11.已知m 3=n4，那么下列式子中一定成立的是（ ） A ．4m =3n B ．3m =4n C ．m =4n D ．mn =12二、填空题12.定义在(1,1)-上的函数()f x 满足()()()1f x g x g x =--+，对任意的1212,(1,1),x x x x ∈-≠，恒有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则关于x 的不等式(21)()2f x f x ++>的解集为（ ） 。
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高考数学综合练习三
暑期数学综合练习三
一、 填空题 1、 已知函数
⎩⎨
⎧<≥+=0
10
12x ,x ,x )x (f ,则满足不等式
)
x (f )x (f 212>-的x 的范围是____。
2、 设实数x,y 满足3≤2
xy ≤8，4≤y x 2≤9，则4
3y x 的最大值是_____▲____
3、在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别
为a 、b 、c ，C cos b a a b 6=+，则=+B
tan C
tan A tan C tan __ 4、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=
梯形的面积
梯形的周长）2
(,则S 的最小值是_______▲_______
5、[x ]表示不大于
x 的最大整数，则方程
2
1
×[x 2＋x ]＝19x ＋99的实数解x 是 ．
6、设a 1＝1，a n +1＝2a n ＋n 2，则通项公式a n ＝ ．
7、数799被2550除所得的余数是 ．
8、在△ABC 中，∠A ＝3
π，sin B ＝135
，则cos C ＝ ．
9、设k 、θ是实数，使得关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－1＝0的两个根为sin θ
和cos θ，则θ的取值范围是 ．
10、数()n
2245+（n ∈N ）的个位数字是 ．
二、解答题
1、18.（16分）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆
15
92
2=+y x 的左右顶点为A,B ，右顶点为F ，
设过点T （m t ,）的直线TA,TB 与椭圆分别交于点M ),(1
1
y x ，),(2
2
y x N ，其中m>0,0,02
1
<>y y
①设动点P 满足42
2=-PB PF ,求点P 的轨迹
②设3
1,221
=
=x x
，求点T 的坐标
③设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点 （其坐标与m 无关）
2、19．（16分）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2a 2=a 1+a 3，数列{S n }是公差为d 的等差数列.
⑴求数列{}n
a 的通项公式（用d n ,表示）
⑵设c 为实数，对满足m+n=3k 且m ≠n 的任意正整数m ，n ，k ，不等式S m +S n >cS k 都成立。
求证：c 的最大值为92
A
B
O F
3、1．已知椭圆2
2
2
1
169x y
b
+
=的两条准线之间的距离为
3385
，动点M 与该椭圆的左焦点和右焦点的距离
之比为2∶3，则动点M 的轨迹方程为？（计算过程）
答案
1、38181-或381587
； 2、7×2n -1－n 2－2n －3； 3、343；
4、
26
12
35-；
5、{θ|θ＝2n π＋π或2n π－
2
π
，n ∈Z} ；6、1（n 为偶数）；7（n 为奇数）． 解答题 1
、
2、
3、解析：椭圆的焦点在x 轴上，且169338
25
c ⨯=
，解得5c =． 两个焦点1
2
F F ,的坐标分别为1
2
(5,0),(5,0)F F -，
设点M 的坐标为),(y x ，依题意，点M 满足
122
3
MF MF =．
由2222
1
2(5),(5)MF x y MF x y
=
++=-+222
2
(5)23
(5)x y x y
++=
-+． 化简整理，得点M 的轨迹方程为2
226250
x y x +++=．。