2019高考数学理科全国卷III真题试卷及答案解析

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷III ）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,22．若(1i)2i z +=，则z= A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.84．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12B ．16C ．20D ．245．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项为和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ． 16B ． 8C ．4D ． 26．已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，ae ）处的切线方程为y=2x+b ，则 A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b=1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -= ，1b =-7．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图象大致为 A ． B ．C ．D ．8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED的中点，则A ．BM=EN ，且直线BM 、EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM=EN ，且直线BM 、EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线9．执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于A.4122-B. 5122-C. 6122-D. 7122-10．双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．11．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）12．设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是A ． ①④B ． ②③C ． ①②③D ． ①③④ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知a ，b 为单位向量，且a ·b=0，若2=c a ，则cos ,<>=a c ___________. 14．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 15．设12F F ，为椭圆C:22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．18．（12分）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c=1，求△ABC 面积的取值范围．19．（12分）图1是由矩形ADEB 、Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B-CG-A 的大小.20．（12分）已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在 ,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.21．已知曲线C ：y=22x ，D 为直线y=12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B.（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE的面积.（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-.2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国卷III ）答案及解析一、选择题：1． A解答：}11|{}1|{2≤≤-=≤=x x x x B ，所以}1,0,1{-=⋂B A . 2. D解答：i i z 2)1(=+,i i i i i i i i i z +=-=-+-=+=1)1()1)(1()1(212. 3. C 解答：7.0100608090=+-4.A解答：由题意可知含3x 的项为33142334121211x x C x x C =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，所以系数为12. 5. C解答：设该等比数列的首项1a ，公比q ，由已知得，4211134a q a q a =+，因为10a >且0q >，则可解得2q =，又因为231(1)15a q q q +++=，即可解得11a =，则2314a a q ==.6. D解析：令x x ae x f xln )(+=，则1ln )(++='x ae x f x，21)1(=+='ae f ，得11-==e ea .b ae f +==2)1(，可得1-=b .故选D.7. B 解析：∵32()22x x x y f x -==+，∴332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，∴()f x 为奇函数，排除选项C.又∵334442424(4)8222f -⨯⨯=≈=+，根据图像进行判断，可知选项B 符合题意. 8. B解析： 因为直线，都是平面内的直线，且不平行，即直线，是相交直线，设正方形的边长为，则由题意可得：，根据余弦定理可得：，，所以，故选B.9. C 解析： 第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；…第七次循环：，此时循环结束，可得.故选C.10. A 解析：由双曲线的方程22042x y -=可得一条渐近线方程为2y x =；在PFO ∆中||||PO PF =过点P 做PH 垂直OF因为tan POF=2∠得到PO =;所以124S PFO ∆==;故选A;11. C解析:依据题意函数为偶函数且函数在(0,)+∞单调递减，则函数在(,0)-∞上单调递增；因为3331(log )(log 4)(log 4)4f f f =-=；又因为233230221log 4--<<<<；所以233231(2)(2)(log )4f f f -->>；故选C.12.D 解析：根据题意，画出草图，由图可知[)122,x x π∈，由题意可得，125565x x πωππωπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得12245295x x πωπω⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，故○4对； 令52x ππω+=得3010x πω=>，∴图像中y 轴右侧第一个最值点为最大值点，故○1对； ∵[)122,x x π∈，∴()f x 在()0,2π有2个或3个极小值点，故○2错；∵1229510ω≤<，∴1149251051002πππππω≤⋅+<<，故○3对. 二.填空题 13.23解析：∵()22222545459c a ba b a b =-=+-⋅=，∴3c =，∵()225252a c a a b a a b ⋅=⋅-=-⋅=，∴22cos ,133a c a c a c⋅===⨯⋅. 14. 4 解析：设该等差数列的公差为d ，∵213a a =，∴113a d a +=，故()1120,0d a a d =≠≠，∴()()()1101101551102292102452452a a a d S d a a S a d d ++⨯====++.15. )15,3(解析：已知椭圆1203622=+y x C ：可知，6=a ，4=c ，由M 为C 上一点且在第一象限，故等腰三角形21F MF ∆中8211==F F MF ，4212=-=MF a MF ,415828sin 2221=-=∠M F F ,15sin 212=∠=M F F MF y M ，代入1203622=+y x C ：可得3=M x .故M 的坐标为)15,3(.16. 8.118解答：123221464=⨯⨯⨯-⨯=EFGH S 四边形2cm ，13231231466=⨯⨯-⨯⨯=V 3cm .8.1181329.0=⨯==V m ρg .三．解答题 17.解析解答: （1）依题意得⎩⎨⎧=+++++=++12.015.015.005.07.015.02.0a b a ，解得⎩⎨⎧==1.035.0b a .（2）05.4705.061.052.043.032.0215.0=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 7.5815.072.063.0515.041.0305.0=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 得到甲离子残留百分比的平均值为4.05,，乙离子残留百分比的平均值为5.7. 18. (1)3π（2）见解析 解析：(1)因为sin sinsin sin 2BA B Aπ-=；结合正弦定理sin sinsin sin 2BA B Aπ-=,得cossin 2sin cos 222B B B B ==,即1sin 22B =；得到,263B B ππ==；(2)因为23A C π+=,0,2A π<<0,2C π<<20,32C ππ<-<所以,62C ππ<<又因为sin sin sin a b c A B C ==,11sin sin sin 122sin 24sin c A S ac B A C C ==⋅⋅⋅⋅=⋅;又因为sin 1(,2)sin 2A C ∈（因为2,3A C π+=,A C 为锐角，若A 越大sin A 越大，则C 越小sin C 越小；sin sin A C 越大）；所以sin 1(,2)sin 2A C ∈，所以)82S ∈.19. 解析： 证明：（1）由题意知，，，又，平面，又平面，平面平面.(2)分别取，的中点为，，连结，，则，四边形为棱形，且60，， 又平面， ，即平面，以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，，，，设平面的一个法向量为, ，令，则,得到，平面的一个法向量为，,故二面角的大小为.20. 答案：见解析 解析：（1）2'()626()3a f x x ax x x =-=-当0a =时，2'()60f x x =≥，此时()f x 在(,)-∞+∞单调递增.当0a >时，令'()0f x >，解得3a x >或0x <，令'()0f x <，解得03a x <<. 此时()f x 在(,0),(,)3a -∞+∞单调递增，在(0,)3a单调递减.当0a <时，令'()0f x >，解得0x >或3a x <，令'()0f x <，解得03ax <<.此时()f x 在(,),(0,)3a -∞+∞单调递增，在(,0)3a单调递减.综上可得，当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞单调递增.当0a >时，()f x 在(,0),(,)3a -∞+∞单调递增，在(0,)3a单调递减.当0a <时，()f x 在(,),(0,)3a -∞+∞单调递增，在(,0)3a单调递减.（2）由（1）中结论可知，当0a ≤时，()f x 在[0,1]单调递增，此时min max ()(0)1,()(1)21f x f b f x f a b ===-==-+=，∴0,1a b ==-，满足题意.当0a >时，若13a≥，即3a ≥，则()f x 在[0,1]单调递减，此时min max ()(1)21,()(0)1f x f a b f x f b ==-+=-===，∴4,1a b ==，满足题意. 若13a <，即03a <<，则()f x 在[0,]3a 单调递减，在[,1]3a单调递增. 此时323min ()()21327927a a a a f x f ab b ==⋅-⋅+=-+=-∵(0),(1)2f b f b a ==+-∴当02a <<时，max ()(1)21f x f b a ==+-=，由可得33,331a b ==-，与02a <<矛盾，故不成立.当23a ≤<时，max ()(0)1f x f b ===，由可得32,1a b ==，与23a ≤<矛盾，故不成立.综上可知，0,1a b ==-或4,1a b ==满足题意. 21.答案：见解析； 解答：（1）当点D 在1(0,)2-时，设过D 的直线方程为012y k x =-，与曲线C 联立化简得 20210x k x -+=，由于直线与曲线相切，则有20440k ∆=-=，解得01k =±，并求得,A B 坐标分别为11(1,),(1,)22-，所以直线AB 的方程为12y =；当点D 横坐标不为0时，设直线AB 的方程为y kx m =+（0k ≠），由已知可得直线AB 不过坐标原点即0m ≠，联立直线AB 方程与曲线C 的方程可得，22y kx m x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，消y 并化简得2220x kx m --=，∵有两个交点∴2480k m ∆=+>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据韦达定理有，122x x k +=，122x x m =-，由已知可得曲线C 为抛物线等价于函数2()2x f x =的图像，则有()f x x '=，则抛物线在11(,)A x y 上的切线方程为111()y y x x x -=-①，同理，抛物线在22(,)B x y 上的切线方程为222()y y x x x -=-②，联立①，②并消去x 可得122112y y y y x x x x ---=-， 由已知可得两条切线的交点在直线12y =-上，则有22122112112222x x x x x x -----=-，化简得，12212112(1)()2x x x x x x x x --=-，∵0k ≠，∴12x x ≠， 即1212112x x x x -=，即为2114m m --=-，解得12m =，经检验12m =满足条件，所以直线AB 的方程为12y kx =+过定点1(0,)2，综上所述，直线AB 过定点1(0,)2得证.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y kx =+，当0k =时，即直线AB 方程为12y =，此时点D 的坐标为1(0,)2-，以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切于1(0,)2F 恰为AB 中点，此时1123322ADBE S AB ED =⋅=⨯⨯=；当0k ≠时，直线AB 方程与曲线方程联立化简得2210x kx --=，122x x k +=，121x x =-，21221y y k +=+， 则AB 中点坐标为21(,)2H k k +，由已知可得EH AB ⊥，即2152210EH k k k k k +-⋅=⋅=--， 解得，1k =±，由对称性不妨取1k =，则直线方程为12y x =+， 求得D 的坐标为1(1,)2-，4AB =，E 到直线AB距离1d ==D 到直线AB距离2d ==则121122ADBE S AB d AB d =⋅+⋅=，综上所述，四边形ADBE 的面积为3或.四．选做题（2选1） 22.答案：见解答 解答：（1）由题意可知1M ,2M ,3M 的直角坐标方程为：)01,12(1)1(22≥≥≥≥=+-y x y x ，)21,11(1)1(22≤≤≤≤-=-+y x y x ，)10,12(1)1(22≤≤-≤≤-=++y x y x ，所以1M ,2M ,3M 的极坐标为)40(cos 2πθθρ≤≤=，)434(sin 2πθπθρ≤≤=，)43(cos 2πθπθρ≤≤-=.（2）3cos 2=θ时，23cos =θ，6πθ=，3sin 2=θ时，23sin =θ，3πθ=或32πθ=，3cos 2=-θ时，23cos -=θ，65πθ=，所以P 点的极坐标为)6,3(π，)3,3(π，)32,3(π，)65,3(π.23. 答案：见解析解析：（1）根据柯西不等式，4)111(3])1()1()1[(2222=++++-≥⨯++++-z y x z y x故34)1()1()1(222≥++++-z y x ，当且仅当111+=+=-z y x ，即35=x ，31-==z y 时，222)1()1()1(++++-z y x 取最小值34;（2）方法一：根据柯西不等式，2222)12(3])()1()2[(a z y x a z y x -+-+-≥⨯-+-+-1331)2(2=⨯≥+=a ，证得3-≤a 或1-≥a .方法二：令),1,2(a z y x m ---=，)1,1,1(=n ，3)()1()2(12222⋅-+-+-=≥-+-+-=a z y x a z y x1331=⨯≥，12≥--∴a ，证得3-≤a 或1-≥a。