第一章 1.1
版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理(一)课件 新人教B版必修5.pptx
跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的 边分别为a，b，c.求证：sina A ＝2R. 证明
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类型二 用正弦定理解三角形
例2 已知△ABC，根据下列条件，解三角形：a＝20，A＝30°，C＝ 45°. 解答 ∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 由正弦定理得 b＝assiinnAB＝20ssiinn3100°5°＝40sin(45°＋60°)＝10( 6＋ 2)， c＝assiinnAC＝20sisnin3405°°＝20 2， ∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2)，c＝20 2.
A.直角三角形 C.锐角三角形
√B.等腰三角形
D.钝角三角形
由sin A＝sin C，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.
1 2 3 247
3.在△ABC中，已知BC＝ 5 ，sin C＝2sin A，则AB＝_2__5___.
答案 解析
由正弦定理，得 AB＝ssiinn CABC＝2BC＝2 5.
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命题角度2 运算求解问题
例4
在△ABC中，A＝
π 3
，BC＝3，求△ABC的周长的最大值.
解答
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反思与感悟
利用sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 或正弦定理的变形公式 a＝ksin A，b＝ ksin B，c＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.
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跟 踪 训 练 3 在 △ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c ， 若 A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值. 解答
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当堂训练
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1. 在△ABC中，一定成立的等式是 答案 解析
人教A版高中数学必修1 课时分层训练 ：第一章 1.1 1.1.2
第一章1.1 1.1.2 集合间的基本关系课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．已知集合A ＝{－1,0,1}，则下列关系中正确的是( ) A ．A ∈A B ．0A C ．{0}∈AD ．∅A解析：选D “∈”用来表示元素与集合之间的关系，故A 、C 错误；“”用来表示集合与集合之间的关系，故B 错误；而∅是任一集合的子集，是任一非空集合的真子集，故D 正确．2．已知M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2＋x ＝0}，则能表示M ，N 之间关系的Venn 图是( )解析：选C 因为N ＝{x |x 2＋x ＝0}＝{0，－1}，M ＝{－1，0,1}，所以N M .3．满足{a }⊆M {a ，b ，c ，d }的集合M 共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．15个解析：选B 依题意a ∈M ，且M{a ，b ，c ，d }，因此M 中必含有元素a ，且可含有元素b ，c ，d 中的0个、1个或2个，即M 的个数等于集合{b ，c ，d }的真子集的个数，有23－1＝7(个).4．集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4＋12，k ∈Z ，则( )A ．M ＝NB ．MNC ．M ND ．M 与N 没有相同元素解析：选C 因为k 2＋14＝14(2k ＋1)，k 4＋12＝14(k ＋2)，当k ∈Z 时，2k ＋1是奇数，k ＋2是整数，又奇数都是整数，且整数不都是奇数，所以MN .选C.5．设A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ＞a }，若A B ，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≥3}B ．{a |a ≤－1}C ．{a |a ＞3}D ．{a |a ＜－1}解析：选B 集合A ，B 在数轴上表示如图所示，由A B 可求得a ≤－1，注意端点能否取到是正确求解的关键．6．设集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}和P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}，那么M 与P 的关系为________．解析：因为xy >0，所以x ，y 同号，又x ＋y <0，所以x <0，y <0，即集合M 表示第三象限内的点，而集合P 也表示第三象限内的点，故M ＝P .答案：M ＝P7．若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}的子集有且仅有两个，则实数a ＝________.解析：由集合A 的子集有且仅有两个知A 中只有一个元素，若a －1＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；若a －1≠0，由题意得⎩⎨⎧a －1≠0，Δ＝32－4×(－2)×(a －1)＝0， 得a ＝－18.∴a 的值为1或－18. 答案：1或－188．已知集合A ＝{－2,3,4m －4}，B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，则实数m ＝________. 解析：依题意可得m 2＝4m －4，即(m －2)2＝0，∴m ＝2. 当m ＝2时，A ＝{－2,3,4}，B ＝{3,4}，∴B ⊆A . 答案：29．设集合A ＝{x |－1≤x ≤6}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}，且B ⊆A . (1)求实数m 的取值范围；(2)当x ∈N 时，求集合A 的子集的个数． 解：(1)若B ＝∅，则m －1>2m ＋1， 得m <－2； 若B ≠∅，由题意得⎩⎨⎧m －1≤2m ＋1，2m ＋1≤6，m －1≥－1，得0≤m ≤52.综上得m 的取值范围是m <－2或0≤m ≤52.(2)当x ∈N 时，A ＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A 中共有7个元素，其子集个数为27＝128个．10．已知a ∈R ，x ∈R ，A ＝{2,4，x 2－5x ＋9}，B ＝{3，x 2＋ax ＋a }，C ＝{x 2＋(a ＋1)x －3,1}，求：(1)使A ＝{2,3,4}成立的x 的值； (2)使2∈B ，B ⊆A 成立的a ，x 的值； (3)使B ＝C 成立的a ，x 的值．解：(1)由题意，知x 2－5x ＋9＝3，解得x ＝2或x ＝3. (2)因为2∈B ，B ⊆A ，所以⎩⎨⎧2＝x 2＋ax ＋a ，3＝x 2－5x ＋9. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，a ＝－23或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，a ＝－74.(3)因为B ＝C ，所以⎩⎨⎧x 2＋(a ＋1)x －3＝3，x 2＋ax ＋a ＝1.解得⎩⎨⎧ x ＝－1，a ＝－6或⎩⎨⎧x ＝3，a ＝－2.‖层级二‖|应试能力达标|1．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，那么()A．若a＝1，则N⊆MB．若N⊆M，则a＝1C．若a＝1，则N⊆M，反之也成立D．a＝1和N⊆M成立没有关系解析：选A显然a＝1时，集合N＝{1}，此时N⊆M；若N⊆M，则a2可以是集合M中的元素1或2，此时a可以取值1，－1，2，－ 2.即若N⊆M，则a＝1不成立．2．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是() A．1 B．－1C．1或－1 D．0,1或－1解析：选D由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q⊆P，a＝1或a＝－1.3．已知集合A＝{0,1}，B＝{x|x⊆A}，则下列关于集合A与B的关系正确的是()A．A⊆B B．A BC．B A D．A∈B解析：选D因为x⊆A，所以B＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，则集合A＝{0,1}是集合B中的元素，所以A∈B，故选D.4．设集合A＝{x|a－1<x<a＋1}，B＝{x|x<b－2，或x>b＋2}．若A⊆B，则实数a，b必满足()A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3解析：选D根据题意知A⊆B，作出如图所示的数轴，所以有b＋2≤a－1或b－2≥a＋1，解得a－b≥3或a－b≤－3，即|a－b|≥3.5．已知∅{x|x2＋x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．解析：因为∅{x |x 2＋x ＋a ＝0}，所以方程x 2＋x ＋a ＝0有实数根，即Δ＝1－4a ≥0，a ≤14.答案：a ≤146．已知A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝{x |4x ＋m <0}，当B ⊆A 时，则实数m 的取值范围为________．解析：集合A 在数轴上表示如图．要使B ⊆A ，则集合B 中的元素必须都是A 中的元素． 即B 中元素必须都位于阴影部分内．那么由4x ＋m <0，即x <－m 4知，－m4≤－2，即m ≥8， 故实数m 的取值范围是m ≥8. 答案：m ≥87．(2019·浙江四校高一联考)已知M ＝{x |x 2－2x －3＝0}，N ＝{x |x 2＋ax ＋1＝0，a ∈R }，且NM ，则实数a 的取值范围是________．解析：M ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{3，－1}． ①当N ＝∅时，NM 成立，∴Δ＝a 2－4<0，∴－2<a <2. ②当N ≠∅时，∵NM ，∴3∈N 或－1∈N .当3∈N 时，32＋3a ＋1＝0，即a ＝－103，此时方程为x 2－103x ＋1＝0，解得N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，13，不满足NM ；当－1∈N 时，(－1)2－a ＋1＝0，即a ＝2，此时方程为x 2＋2x ＋1＝0，解得N ＝{－1}，满足NM .故实数a 的取值范围是－2＜a ≤2. 答案：－2＜a ≤28．集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，不存在元素x 使x ∈A 且x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅满足题意； 当m ＋1≤2m －1.即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，则有m ＋1≥－2且2m －1≤5，可得－3≤m ≤3，即2≤m ≤3. 综上可知，当m ≤3时，B ⊆A .(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共8个元素，故A 的非空真子集的个数为28－2＝254(个)．(3)因为x ∈R ，A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且不存在元素x 使x ∈A 且x ∈B 同时成立，所以A ，B 没有公共元素．当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅满足题意；当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使A ，B 没有公共元素， 则有⎩⎨⎧ m ≥2，m ＋1＞5或⎩⎨⎧m ≥2，2m －1＜－2，解得m ＞4.综上所述，当m ＜2或m ＞4时，不存在元素x 使x ∈A 且x ∈B 同时成立．由Ruize收集整理。
第一章 行列式1.1
n n 1 , 2 当 n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
五
定义5
对 换
排列中，将某两个数对调，其余的数
不动，这种对排列的变换叫对换，将相邻两数 对换，叫做相邻对换（邻换）。
定理1 一个排列中的任意两数对换，排列改变 奇偶性。
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证明： （1）首先讨论对换相邻两个数码的特殊情形， 设排列为AijB，其中A，B表示除i，j两个数 码外其余的数码，经过对换（i，j ），变为 排列AjiB， 比较上面两个排列中的逆序，显然A，B两 个数码的次序没有改变，并且i，j与A，B中 数码的次序也没有改变，仅仅改变了i，j的 次序,因此，新排列仅比原排列增加了一个 逆序（当i＜j ），或减少了一个逆序（当i＞ j ），所以他们的奇偶性相反。
例如 排列32514 中， 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 例如 排列32514 中，
0
0
1
3 2 5 1 4
1
逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列;
逆序数为偶数的排列称为偶排列.计算排列逆 Nhomakorabea数的方法
致我亲爱的同学们
天空的幸福是穿一身蓝 森林的幸福是披一身绿 阳光的幸福是如钻石般耀眼 老师的幸福是因为认识了你们 愿你们努力进取，永不言败
高中数学新人教A版必修5第一章 1.1 1.1.1 正弦定理
正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理(1)直角三角形中的边角之间有什么关系？(2)正弦定理的内容是什么？利用它可以解哪两类三角形？(3)解三角形的含义是什么？预习课本P 2～3，思考并完成以下问题[新知初探]1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C. [点睛] 正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．2．解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理适用于任意三角形( )(2)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立( ) (3)在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则此三角形有唯一解( )解析：(1)正确．正弦定理适用于任意三角形．(2)正确．由正弦定理知a sin A ＝bsin B，即b sin A ＝a sin B .(3)错误．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a ，b ，A 的值来定．答案：(1)√ (2)√ (3)×2．在△ABC 中，下列式子与sin Aa 的值相等的是( )A.bc B.sin B sin A C.sin C cD.c sin C 解析：选C 由正弦定理得，a sin A ＝c sin C， 所以sin A a ＝sin C c .3．在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝60°，a ＝10，则b 等于( ) A ．5 2B ．10 3C.1033D ．5 6解析：选B 由正弦定理得，b ＝a sin Bsin A＝10×3212＝10 3.4．在△ABC 中，A ＝30°，a ＝3，b ＝2，则这个三角形有 ( )A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定解析：选A ∵b <a ，A ＝30°，∴B <30°，故三角形有一解．已知两角及一边解三角形[典例] 在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c . [解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°， 由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46，由a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角． (2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．[注意] 若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．[活学活用]在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．43 B ．2 3 C. 3D ．32解析：选B 由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B.已知两边及其中一边的对角解三角形[典例] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A ，C ，c . [解] 由正弦定理及已知条件，有3sin A ＝2sin 45°，得sin A ＝32.∵a >b ，∴A >B ＝45°.∴A ＝60°或120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22； 当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－22. 综上可知：A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[活学活用]在△ABC 中，c ＝6，C ＝60°，a ＝2，求A ，B ，b . 解：∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝22.∴A ＝45°或A ＝135°. 又∵c >a ，∴C >A .∴A ＝45°. ∴B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6·sin 75°sin 60°＝3＋1.三角形形状的判断[典例] 在△ABC 中，a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，判断△ABC 的形状． 解：[法一 化角为边] ∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：a ·a 2R ＝b ·b2R ，∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形． [法二 化边为角]∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B .由正弦定理可得：2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ， ∴A ＝B .(A ＋B ＝π不合题意舍去) 故△ABC 为等腰三角形．利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径(1)化角为边．．．．．．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a ＝b ，a 2＋b 2＝c 2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R. (2)化边为角．．．．．．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ．[活学活用]在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，且sin A ＝2sin B ·cos C ．试判断△ABC 的形状． 解：由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝⎝⎛⎭⎫b 2R 2＋⎝⎛⎭⎫c 2R 2， 即a 2＝b 2＋c 2， 故A ＝90°.∴C ＝90°－B ，cos C ＝sin B . ∴2sin B ·cos C ＝2sin 2B ＝sin A ＝1. ∴sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°(A ＋B ＝225°＞180°，故舍去)． ∴△ABC 是等腰直角三角形．层级一 学业水平达标1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( )A.53B.35C.37D.57 解析：选A 根据正弦定理得sin A sin B ＝a b ＝53. 2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选B 由题意有a sin A ＝b ＝b sin B，则sin B ＝1， 即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形． 3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos C c，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理得，sin A a ＝sin C c ＝cos Cc ，则cos C ＝sin C ，即C ＝45°，故选B.4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15B.59C.53D ．1解析：选B 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝5×133＝59.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝3b sin A ，则sin B ＝( ) A. 3 B.33C.63D ．－63解析：选B 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以sin A ＝3sin B sin A ，故sinB ＝33. 6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是______(填序号)． ①a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解； ②b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； ③a ＝15，b ＝2，A ＝90°，无解； ④a ＝40，b ＝30，A ＝120°，有一解．解析：①中a ＝b sin A ，有一解；②中c sin B <b <c ，有两解；③中A ＝90°且a >b ，有一解；④中a >b 且A ＝120°，有一解．综上，④正确．答案：④7．在△ABC 中，若(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝sin 2C ，则△ABC 的形状是________． 解析：由已知得sin 2A －sin 2B ＝sin 2C ，根据正弦定理知sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，sin C＝c2R， 所以⎝⎛⎭⎫a 2R 2－⎝⎛⎭⎫b 2R 2＝⎝⎛⎭⎫c 2R 2，即a 2－b 2＝c 2，故b 2＋c 2＝a 2.所以△ABC 是直角三角形． 答案：直角三角形8．在△ABC 中，若A ＝105°，C ＝30°，b ＝1，则c ＝________. 解析：由题意，知B ＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c ＝b sin C sin B ＝1×sin 30°sin 45°＝22. 答案：229．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长． 解：设△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°， 则C ＝180°－(A ＋B )＝75°. 因为C >B >A ，所以最小边为a . 又因为c ＝1，由正弦定理得， a ＝c sin A sin C ＝1×sin 45°sin 75°＝3－1， 所以最小边长为3－1.10．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形． 解：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝42sin(30°＋45°)＝2＋2 3.层级二 应试能力达标1．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0， 所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝2×222＝12，又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的周长为4(2＋1)，且sin B ＋sin C ＝2sin A ，则a ＝( )A. 2 B ．2 C ．4D ．2 2解析：选C 根据正弦定理，sin B ＋sin C ＝2sin A 可化为b ＋c ＝2a ， ∵△ABC 的周长为4(2＋1)，∴⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝4(2＋1)，b ＋c ＝2a ，解得a ＝4.故选C. 3．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A解析：选A 由题意可知sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，即2sin B cos C ＝sin A cos C ，又cos C ≠0，故2sin B ＝sin A ，由正弦定理可知a ＝2b .4．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( )A.31010B.1010C.510D.515解析：选B 由题意得EB ＝EA ＋AB ＝2，则在Rt △EBC 中，EC ＝EB 2＋BC 2＝4＋1＝ 5.在△EDC 中，∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝π4＋π2＝3π4，由正弦定理得sin ∠CED sin ∠EDC ＝DC EC ＝15＝55， 所以sin ∠CED ＝55·sin ∠EDC ＝55·sin 3π4＝1010. 5．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，a ＋b ＝12，则a ＝________. 解析：因为a sin A ＝b sin B ，所以a sin 60°＝bsin 45°，所以32b ＝22a ，① 又因为a ＋b ＝12，② 由①②可知a ＝12(3－6)． 答案：12(3－6)6．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝_______. 解析：由正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A ，即sin C ＝AB ·sin ABC＝5sin 120°7＝5314. 可知C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝1114. ∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C ) ＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314.答案：33147．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .解：由A －C ＝90°，得A 为钝角且sin A ＝cos C ，利用正弦定理，a ＋c ＝2b 可变形为sin A ＋sin C ＝2sin B ，又∵sin A ＝cos C ，∴sin A ＋sin C ＝cos C ＋sin C ＝2sin(C ＋45°)＝2sin B ， 又A ，B ，C 是△ABC 的内角，故C ＋45°＝B 或(C ＋45°)＋B ＝180°(舍去)， 所以A ＋B ＋C ＝(90°＋C )＋(C ＋45°)＋C ＝180°. 所以C ＝15°.8．在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a ，b 及△ABC 的内切圆半径． 解：由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A .即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B . 又∵a ≠b ，∴2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2.∴△ABC 是直角三角形，且C ＝90°， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102，b a ＝43得a ＝6，b ＝8.故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2.。
高中数学新教材必修第一册第一章第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念(南开题库含详解)
高中数学新教材必修第一册第一章1.1 集合的概念（南开题库）一、选择题（共40小题；共200分）1. 集合的元素个数有A. 个B. 个C. 个D. 无数个2. 设集合，，那么" "是" "的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若，则的值为A. B. C. D. 或4. 设集合，，定义，则中元素的个数为A. B. C. D.5. 用列举法可以将集合表示为A.B.C.D.6. 下列说法正确的有①与表示同一个集合；②由，，组成的集合可表示为或；③方程的所有解的集合可表示为；④集合是有限集．A. 只有①和④B. 只有②和③C. 只有②D. 以上四种说法都不对7. 下面关于集合的表示正确的个数是①；②；③．A. B. C. D.8. 若集合，，则中元素的个数是A. B. C. D.9. 设集合，，则“且”成立的充要条件是A. B. C. D.10. 设集合，若（为自然对数底数），则A. B.C. D.11. 已知集合，则集合中元素的个数是A. B. C. D.12. 已知集合，，则中所含元素的个数为A. B. C. D.13. 设集合，，，则中的元素个数为A. B. C. D.14. 已知集合，则中元素的个数为A. B. C. D.15. 下列集合中，是空集的是A.B.C.D.16. 设集合，，若，则A. B. C. D.17. 设集合，集合，则集合中元素的个数是A. B. C. D.18. 若正方体的棱长为，则集合中个元素的个数为A. B. C. D.19. 若集合，则集合中的元素个数是A. B. C. D.20. 若集合，则实数的取值集合是A. B.C. D.21. 已知集合，，则中所含元素的个数为A. B. C. D.22. 设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是A. B. C. D.23. 若集合满足对任意的，有，则称集合为“闭集”，下列集合中不是“闭集”的是A. 自然数集B. 整数集C. 有理数集D. 实数集24. 已知集合，，则中所含元素的个数为A. B. C. D.25. 若集合，则实数的值的集合是A. B.C. D.26. 已知集合，集合中至少有个元素，则A. B. C. D.27. 已知，则集合的子集的个数是A. B. C. D.28. 已知集合，集合，则集合中元素的个数为A. B. C. D.29. 设是实数集的非空子集，如果，，，则称是一个“和谐集”．下面命题中假命题是A. 存在有限集，是一个“和谐集”B. 对任意无理数，集合都是“和谐集”C. 若，且均是“和谐集”，则D. 对任意两个“和谐集”，，若，，则30. 已知集合，，，则A. 或B. 或C. 或D. 或31. 函数的定义域为，图象如图1所示，函数的定义域为，图象如图2所示，若集合，，则中元素的个数为A. B. C. D.32. 已知集合，，定义集合，则中元素的个数为A. B. C. D.33. 已知集合，，定义集合，则中元素的个数为A. B. C. D.34. 设集合，则A. 对任意实数，B. 对任意实数，C. 当且仅当时，D. 当且仅当时，35. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，，，，，给出如下四个结论：①；②；③若整数，属于同一“类”，则；④若，则整数，属于同一“类”．其中，正确结论的个数是A. B. C. D.36. 用表示非空集合中元素的个数，定义若，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则A. B. C. D.37. 已知集合，，，且，，．设，则A. B. C. D. 以上都不对38. 设是实数集的非空子集，如果，有，，则称是一个“和谐集”．下面命题为假命题的是A. 存在有限集，是一个“和谐集”B. 对任意无理数，集合都是“和谐集”C. 若，且，均是“和谐集”，则D. 对任意两个“和谐集”，，若，，则39. 设是整数集的非空子集，如果对任意的，，有，则称关于数的乘法是封闭的．若，是的两个不相交的非空子集，，且对任意的，，，有，对任意的，，有，则下列结论恒成立的是A. ，中至少有一个关于数的乘法是封闭的B. ，中至多有一个关于数的乘法是封闭的C. ，中有且只有一个关于数的乘法是封闭的D. ，关于数的乘法都是封闭的40. 若集合且，且，用表示集合中元素个数，则A. B. C. D.二、填空题（共40小题；共200分）41. 集合，当时，若，则称为的一个“孤立元素”，则中孤立元素的个数为．42. 设集合，则．43. 集合中的最小整数为．44. 元素与集合的概念（1）把统称为元素，通常用表示．（2）把叫做集合（简称为集），通常用表示．45. 定义集合运算，设集合，，则集合．46. 集合的元素个数有个．47. 含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则．48. 已知关于的不等式的解集为，，则实数的取值范围是．49. 已知，，则．50. 下列各组对象不能形成集合的是．（填序号）①大于的所有整数；②高中数学的所有难题；③被除余的所有整数；④函数图象上所有的点．51. 已知，若集合中恰有个元素，则的取值范围为．52. 已知集合，若，则实数的值为 .53. 已知集合，若中元素至多有个，则的取值范围是．54. 集合与集合的元素个数相同，则的取值集合为．55. 已知集合，若，则的值为．56. 设，，，则集合中元素的个数为个．57. 将，，，，这个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有和，第二张卡片上写有，第三张卡片上写有，则应该写在第张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是．58. 已知集合，则集合中元素的个数是．59. 已知集合，且，那么实数的取值范围是．60. 从集合中随机取一个点，若的概率为，则的最大值是．61. 已知是集合的非空子集，且当时，有，记满足条件的集合的个数为，则，．62. 若集合中只有一个元素，则．63. 已知集合，若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是．64. 设集合，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个．65. 已知集合，若存在，使得集合中所有整数的元素的和为，则的取值范围是．66. 若集合，且下列四个关系中有且只有一个是正确的：①；②；③；④．则符合条件的有序数组的个数是．67. 已知集合，存在，使得集合中所有为整数的元素和为，则的取值范围是．68. 已知集合，若对于任意，都存在，使得成立，则称集合是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①；②；③；④．其中是“垂直对点集”的序号是．69. 已知集合，集合，定义集合，之间的运算“”：，则集合中最大的元素是，集合所有子集的个数为．70. 已知集合，若表示集合中元素的个数，则．71. 以下关于命题的说法正确的有（填写所有正确命题的序号）．①“若，则函数（，且）在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若，则”的否命题是“若，则”；③命题“若，都是偶数，则也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若，则”与命题“若，则”等价．72. 若集合，则实数的取值范围是．73. 设，，均为非零实数，则的所有值为元素组成的集合是．74. 对于任意实数，表示不超过的最大整数，如，．定义在上的函数，若，则中所有元素之和为．75. 设全集，，，，则集合，．76. 设表示不超过的最大整数，集合中的元素个数为个．77. 若自然数使得加法运算均不产生进位现象，则称为"给力数"，例如：是"给力数"，因为不产生进位现象；不是"给力数"，因产生进位现象．设小于的所有"给力数"的各个数位上的数字组成集合，则集合中的数字和为．78. 已知数集（）具有性质对任意，其中，均有，若，则．79. 在边长为的正方形中，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．若为的最小值，其中，，则．80. 已知集合，对于元素和，有，（填“”或“”） .三、解答题（共20小题；共260分）81. 已知集合．（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围．82. 若数集具有以下性质：对任意的，，与两数中至少有一个属于，则称数集具有性质．分别判断数集与是否具有性质，并说明理由．83. 已知集合中至多有一个元素，求实数的取值范围．84. 已知，若，求实数的值．85. 已知集合，试用列举法表示集合．86. （1）已知，非空集合．若是的必要条件，求的取值范围．（2）本例条件不变，问是否存在实数，使是的充要条件．（3）本例条件不变，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．87. 已知集合各元素之和等于，求实数的值．88. 集合中的元素为正整数，且满足“若，则”．（1）试写出只有一个元素的集合；（2）试写出全部的有两个元素的集合；（3）满足上述条件的集合总共有多少个?89. 数集满足条件：若，则．（1）若，试求中必须含有的其它所有元素；（2）自己设计一个数属于，然后求出中必须含有的其它所有元素；（3）从上面的解答过程中你能悟出什么道理，并大胆证明你发现的"道理"．90. 设数集满足条件：①；②且；③若，则．（1）若，则中至少有几个元素?（2）证明：中不可能只有一个元素．91. 已知集合，其中，由的元素构成两个相应的集合：，，其中是有序数对．若对于任意的，总有，则称集合具有性质．检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和．92. （1）设集合，，，求集合中的元素个数；（2）设，集合，求的值．93. 已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围．94. 已知数集满足条件：，若，则．（1）若，则集合中还有哪些元素?（2）请你任意设集合中的一个元素（实数），再探讨该集合中其他元素；（3）从上面两题的解答过程中，你领悟到什么结论?并加以证明．95. 已知集合，，用列举法表示集合．96. 用适当的方法表示下列集合：（1）的正约数组成的集合；（2）大于且小于的实数组成的集合；（3）图中阴影部分的点（不包括边界）组成的集合．97. 已知集合．在下列条件下分别求实数的取值范围：（1）；（2）恰有两个子集；（3）．98. 已知数集且有性质：对任意的，，与两数中至少有一个属于．（1）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（2）证明：，且；（3）当时，证明：，，，，成等差数列．99. 已知集合．对于，，定义；；与之间的距离为．（1）当时，设，，求；（2）证明：若，，，且，使，则；（3）记．若，，且，求的最大值．100. 已知集合，其中，，称为的第个坐标分量，若，且满足如下两条性质：中元素个数不少于个；，，，存在，使得，，的第个坐标分量是；则称为的一个好子集．（1）为的一个好子集，且，，写出，；（2）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过；（3）若为的一个好子集，且中恰有个元素，求证：一定存在唯一一个，使得中所有元素的第个坐标分量都是．答案第一部分1. B2. B3. C 【解析】提示：由两个集合相等可知，或，当时，无意义，所以．4. D5. C【解析】集合中的元素是点，故A，B不对．又，分别可以取或，故选C．6. C 【解析】①错；表示元素不是集合；②对；考查集合中元素的无序性；③错；考查集合中元素的互异性；④错；为无限集．7. B 【解析】因为集合的元素具有无序性，•故①不正确；中的元素为，表示直线上的点组成的集合，中的元素是，表示函数的值域，故②不正确；和均表示大于的数组成的集合，故③正确．所以正确的说法只有③．8. B 【解析】由已知，得．由，得的取值只可能是和，从而，所以中含有个元素．9. D10. C11. C 【解析】集合的元素来源于集合，且是集合中两元素的差值，因为集合中不同任意两元素的差分别是，，，，当两元素相同时，差为，所以集合．12. B13. B 【解析】因为集合中的元素，，，所以当，时，．当，时，．由集合元素的互异性，可知．即，共有个元素．14. A15. D【解析】因为方程的判别式，所以方程无实根，故D选项为空集，A选项中只有一个元素，B选项中有无数个元素，即抛物线上的点，C选项中只有一个元素．16. C 【解析】已知，所以，则，所以，所以，，所以．17. C 【解析】当时，；当时，．所以集合B中的元素个数是．18. A 【解析】因为正方体的棱长为，，，，所以所以集合中元素的个数为．19. A20. D【解析】时，满足条件；时，由题意知且，得，所以．21. D22. B 【解析】当时，；当时，；当时，．由集合中元素的互异性知中有，，，，，，，共个元素．23. A 【解析】取自然数集中两个值，，而．24. D25. D【解析】当时符合题意；当时，相应一元二次方程中的，得．综上得．26. C27. B28. B29. D 【解析】A显然正确；B，对任意无理数，取，，，则，，所以是“和谐集”，正确；C，任意“和谐集”中一定含有，所以，正确；D，取，，但既不属于也不属于，所以，D为假命题．30. B31. C32. C 【解析】当时，，而，此时，，则中元素的个数为．当时，，而，此时，．由于，时，中的元素与前面重复，故此时与前面不重复的元素个数为，则中元素的个数为．33. C 【解析】或或，共个点；，共个点．由，知；同理由，知．当或时，可取；当时，可取．故中共有元素个．34. D35. C【解析】由于，对于①，除以等于余，所以，所以①对；对于②，，被除余，所以②错；对于③，因为，是同一类，可设，，则能被整除，所以，所以③正确；对于④，若，则可设，，即，，不妨令，，，，，，，则，，，所以，属于同一类，所以④正确．故正确的有①③④．36. B 【解析】由，则或，，当时，符合题意；当，，符合题意．综上，．37. B 【解析】要判断与集合之间的关系，只要看能否写成，，，，，的形式即可．，，分别是，，中的元素，分别可以写成，，，，，的形式，对它们进行运算即可．设，，，，，，则由于，所以．38. D 【解析】方法一：显然集合｛｝是和谐集，选项A为真命题；对任意无理数，，，，，所以集合都是“和谐集”，选项B为真命题；若，且，均是“和谐集”，显然，，则，选项C为真命题．故选D．方法二：显然，均是“和谐集”，且，，而，选项D是假命题，故选D．39. A 【解析】由于，则整数一定在，两个集合中的一个中．不妨设，则，由于，，，则，即，从而对乘法封闭；另一方面，当非负整数，负整数时，关于乘法封闭，关于乘法不封闭，故D不对；当奇数，偶数时，，显然关于乘法都是封闭的，故B和C不对．40. A【解析】对于集合，当时，、、可取、、、，故个数为；当时，、、可取、、，故个数为；当时，、、可取、，故个数为；当时，、、可取，故个数为；所以集合中元素的个数为．对于集合，当时，可取、、、；当时，可取、、；当时，可取、；当时，可取；故、组共可取个，同理，、组也可取个，所以集合中元素的个数为．因此，．第二部分41.【解析】当时，；当时，；当时，；当时，；综上可知，中只有一个孤立元素．42. 143.44. （1）研究对象小写拉丁字母 .（2）一些元素组成的总体大写拉丁字母45.【解析】当，时，；当，时，；当，时，；当，时，．所以．46.【解析】容易解得，于是集合中的元素个数为个．47.48. 由于，即不满足集合，则或，得．49.50. ②【解析】①③④中的对象是确定的，能够形成集合；②中的对象不确定，故不能形成集合的是②．51.【解析】因为中恰有个元素，所以，故的取值范围为．52. 或53. 或54.【解析】由于集合中只有等式这一个元素，所以集合中也只有一个元素．当时，；当时，，．55.【解析】因为，所以或．当，即时，，此时集合中有重复元素，所以不符合题意，舍去；当时，解得或（舍去），此时符合题意．所以．56.57. 二，【解析】显然不在第一张卡片上，也不在第三张卡片上，所以只能在第二张卡片上；因为第一张卡片上已经写有和，所以不在第一张卡片上，又第二张卡片上写有，所以也不在第二张卡片上，故在第三张卡片上；，不在第三张卡片上，不在第二张卡片上，所以在第一张卡片上，在第二张卡片上；在第三张卡片上．58.【解析】当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，．根据集合中元素的互异性知，中元素有，，，，，共个．59.【解析】因为，所以不满足集合中的不等式，所以，故．60.【解析】从集合中随机取一个点，共有种情况，即，；，；，，的概率为，即的情况有种，即，，，，，，则的最大值是．61. ，【解析】将，，，分为组，和，和，，和，为一组，每组中的两个数中必须同时属于或同时不属于一个满足条件的集合，每组属于或不属于，有两种情况，的可能性有，排除一个空集，的个数为，故，．62. 或【解析】若，则，符合题意；若，则由题意得，解得．综上，的值为或．63. 或【解析】由题意知或解得或．64.【解析】符合题意的集合是：，，，，，，共个．65.【解析】不等式可化为，当时，集合，此时集合中所有整数的元素的和不可能为，不符合题意；当时，集合，此时集合中所有整数的元素的和为，不符合题意；当时，集合，要使集合中所有整数的元素的和为，则．66.【解析】由于题意是只有一个是正确的，所以①不成立，否则②成立，即可得．若，则或；若，则；若，则或或．所以共有个．67.【解析】不等式可化为．当时，集合，此时集合中所有为整数的元素和不可能为，不符合题意；当时，集合，此时集合中所有整数的元素和为，不符合题意；当时，集合，要使集合中所有为整数的元素和为，则．68. ③④【解析】由题意可得集合是“垂直对点集”等价于对于过曲线上任意一点与原点的直线，都存在过曲线上另一点与原点的直线与之垂直．①，假设集合是“垂直对点集”，则存在两点，，满足，化为，无解，因此假设不成立，即集合不是“垂直对点集”；②，取，则不存在，满足，因此集合不是“垂直对点集”；③，结合图象可知，集合是“垂直对点集”；④，结合图象可知，集合是“垂直对点集”．综上可得，只有③④是“垂直对点集”．69. ，70.【解析】因为，，，，，因为，，，，成首项为、公差为的等差数列，所以易知该等差数列的项数为．所以．71. ②④【解析】对于①，若，则，所以函数在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若是偶数，则，都是偶数”，是假命题，如是偶数，但和均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出命题“若，则”与命题“若，则”互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④．72.【解析】因为，所以，所以或解得．73.【解析】，，均为正数时，；，，均为负数时，；，，两正一负或两负一正时，．74.75.【解析】，由知，所以，即．所以，，故，所以，．76.【解析】设．当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．所以在时，，由上知可以取，若，则只取个值，故集合中共有个不同元素．77.【解析】"给力数"的个位取值有，，三种情况，"给力数"的其他数位取值有，，，四种情况，所以，故集合中的数字和为．78.【解析】当有，即，又因为，所以，故，由已知，又，，所以，即．又，且，故或，若，则，与已知矛盾，所以，即．同理可得出，故，故，．79.【解析】正方形如图所示，由题可知，，，；，，；因此，，，；再结合，当，时，如上图，，可算得为的最大值，则相应的，时，最大，且此时与夹角为，所以．80. ，【解析】因为，所以与均为整数，且．令，即，所以解得即二元方程有解，所以 .对于，即，令无整数解；再令亦无整数解．因此，．第三部分81. （1）因为中有两个元素，所以关于的方程有两个不等的实数根，所以，且，即所求的范围是且．（2）当时，方程为，所以集合；当时，若关于的方程有两个不相等的实数根，则也只有一个元素，此时；若关于的方程没有实数根，则没有元素，此时，综合知此时所求的范围是或．82. 由于与均不属于集数，所以该数集不具有性质．由于，，，，，，，，，均属于数集，所以该数集具有性质．83. 或．84. ．85. ．86. （1）由，得，所以，由是的必要条件，知．则所以，所以当时，是的必要条件，即所求的取值范围是．（2）若是的充要条件，则，所以方程组无解，即不存在实数，使是的充要条件．（3）由例题知，因为是的必要不充分条件，所以且．所以．所以或所以，即的取值范围是．87. 或．忽略集合的互异性，由直接得到，所以．漏解，此时．88. （1），即，则．（2），．（3）共有个，分别为，，，，，，．89. （1），则，即．则，即；则，即；所以中必须含有的其它所有元素为．（2）答案不唯一，如：若，则中必须含有的其它所有元素为．（3）分析以上结果可以得出，中只要含有元素，就至少含有个元素，分别是，且三个数的乘积为．证明如下：若，则有，且，所以又有，且，进而有．又因为（因为，则，而方程无解），同理，所以中至少含有个元素，它们分别是，且三个数的乘积是．90. （1）若，则，所以．所以．所以中至少有，，三个元素．（2）假设中只有一个元素，设这个元素为，由已知，则，即，此方程无解．这与中有一个元素矛盾，所以中不可能只有一个元素．91. 集合不具有性质．集合具有性质，其相应的集合，．92. （1）因为集合中的元素，，，所以当时，，此时；当时，，此时．根据集合中元素的互异性可知，．即，共有个元素．（2）因为，，所以，得，所以，，所以．93. （1）当时，，则．（2）由知解得，即实数的取值范围为．（3）当，即时，满足；当，即时，要满足，需有或，解得或，所以．综上，实数的取值范围是．94. （1）由已知，得，即，，即，，即，所以，．所以集合中还有，．（2）不妨设，则，即，，即，，即，所以，．（3）由（ 1）（ 2）猜测中仅有三个元素，即，，．下面证明这三个数在集合中且互不相等．先证存在．因为，所以存在且不等于，所以．由，可知．而，即时，有意义．再证互不相等．若，则，又，故无实数解，即，同理，．综上所述，集合中必有这三个互不相等的元素，而，因此中有且仅有这三个元素．95. 因为，，，，，，，所以．96. （1）的正约数有，，，，是个有限集，因此采用列举法表示为．（2）采用描述法表示为．（3）采用描述法表示为且．97. （1）若，则关于的方程没有实数解，则解得；（2）若恰有两个子集，则为单元素集，则关于的方程恰有一个实数解．①当时，，满足题意；②当时，解得．综上，的取值集合为．（3）若，则关于的方程在区间内有解．因为所以．98. （1）因为与均不属于集合，所以数集不具有性质．因为，，，，，，，，，均属于集合，所以数集是具有性质．（2）因为对任意的，与两数中至少有一个属于，所以与中至少有一个是数列中的项，因为数列是递增有限数列，且，所以，故．从而．所以，因为，所以，故．所以．又因为，所以，所以，，，，，即．所以．（3）由知，当时，有，，即，因为，所以，所以，所以．由，得，且，所以，即，所以，，，，是首项为，公差为的等差数列．99. （1）当时，由，得所以．（2）设，，．由，使，即得所以，使得，其中．由此与同为非负数或同为负数．从而（3）首先证明如下引理：设，则有．证明如下：因为，，所以即成立．结合上述引理，得上式等号成立的条件为，或，所以．对于，，有，且综上，的最大值为．100. （1）；（2）对于，考虑元素，显然，，，，对于任意的，，，不可能都为，可得，不可能都在好子集中，又因为取定，则一定存在且唯一，而且，且由的定义知道，，，，这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素个数为，所以中元素个数不超过．（3），定义元素，的乘积为：，显然 .我们证明：“对任意的，，都有.”假设存在，使得，则由知，此时，对于任意的，不可能同时为，矛盾，所以．因为中只有个元素，我们记为中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道，显然这个元素的坐标分量不能都为，不妨设，根据的定义，可以知道中所有元素的坐标分量都为．下面再证明的唯一性：若还有，即中所有元素的坐标分量都为，所以此时集合中元素个数至多为个，矛盾.所以结论成立．。
七年级(上册)数学课后答案解析
七年级上册第一章１.１具有相反意义的量
１.２数轴相反数与绝对值
１.３有理数大小的比较
１.４.１有理数的加法
１.４.２有理数的减法
１.５有理数的乘法和除法
１.６有理数的乘方
１.７有理数的混合运算
第一章复习题
第二章２.１用字母表示
２.２列代数式
２.３代数式的值
２.４整式
２.５整式的加法和减法
第二章复习题
第三章３.１建立一元一次方程模型
３.２等式的性质
３.２一元一次方程的解法
３.４一元一次方程模型的应用
第三章复习题
第四章４.１几何图形
４.２线段射线直线
４.３.１角与角的大小
４.３.２角的度量与计算
第五章复习题
５.１数据的收集与抽样
５.２统计图
第六章复习题。
第一章基本初等函数1.1.2
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导学号34340042 把α＝1 690°写成β＋2kπ(k∈Z，β∈[0,2π))的形式．
π 25π [解析] 1 690° ＝180×1 690＝8π＋ 18 .
第一章
1.1
1.1.2
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导学号34340045
27π 3π ∴ 4 与 4 终边相同． 3π 27π 又∵ 4 是第二象限角，∴ 4 是第二象限角．
第一章 1.1 1.1.2
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39π 3π π 39π π (2) 6 ＝6π＋ 6 ＝6π＋2，∴ 6 与2的终边相同． π 39π 又∵2是象限界角，∴ 6 也是象限界角，它不属于任何象 限．
第一章 1.1 1.1.2
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3π 3 (2)∵β1＝ 5 ＝(5×180)° ＝108° ，与其终边相同的角为 108° ＋k· 360° ，k∈Z， ∴在－720° ～0° 范围内与 β1 有相同终边的角是－612° 和－ 252° . 同理，β2＝－420° 且在－720° ～0° 范围内与 β2 有相同终边 的角是－60° ，－420° .
导学号34340033
[答案] B 12π [解析] ＝720° ，故选 B． 3 ＝4π＝4×180°
第一章 1.1 1.1.2
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2．(2015· 山东烟台高一期末测试)若扇形的半径为 1，圆心 角为 3 弧度，则扇形的面积为( A．1 C．2
第一章 集合1.1.1集合的概念
• 用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合 的办法，叫文氏图。
多用于解题些指定的对象集在一起就形成一个集合。 • 集合的表示以及元素与集合间关系表示方 法。 • 集合表示方法： 列举法、描述法、文氏图法。 D:\高一PPT\集合的表示方法.doc D:\高一PPT\集合概念与表示方法练习题.doc
如何表示一个集合呢？
1.1.2集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法
• 列举法 如果一个集合是有限集，元素又不太多，常 常把集合的所有元素都列举出来，写在话 括号“{ }”内表示这个集合。例如，由两 个元素0，1构成的集合可表示为 {0,1}. 又如，24的所有正因数1,2,3,4,6,8,12,24构成 的集合可以表示为 {1,2,3,4,6,8,12,24}.
• 大括号内竖线左边的x表示这个集合的任意 一个元素，元素x从实数集合中取值，在竖 线集合右边写出只有集合内的元素x才具有 的性质
• 一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一 个元素x都具有性质p（x），而不属于集合A的 元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的 一个特征性质。于是，集合A可以用它的特征性 质p(x)描述为
例题：
• 下列各组对象能确定一个集合吗？ （1）所以很大的实数； （2）市四中高一（二）班的高个子同学； （3）1，1，2，3，4，5.
上面我们用自然的语言来描述集合的几个例 子，下面我们来看下集合的表示方法。
• 集合通常用英语大写字母A,B,C,...来表示，它们的元 素通常用英语小写字母a，b，c，...来表示。 • 如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作 读作“a属于A”. 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作
例题：
• 由方程 x 2 − 1 = 0 的所有解组成的集合，可 以表示为｛-1，1｝
第一章 §1.1 1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算
§1.1 空间向量及其运算 1．1.1 空间向量及其线性运算 第1课时 空间向量及其线性运算学习目标 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算． 导语国庆期间，某游客从上海世博园(O )游览结束后乘车到外滩(A )观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B )游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D )俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？一、空间向量的有关概念 知识梳理1．在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. 2．几类特殊的空间向量名称 定义及表示零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量 模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记为－a共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这注意点：(1)平面向量是一种特殊的空间向量．(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． (3)向量不能比较大小．(4)共线向量不一定具备传递性，比如0．例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，则AB →>CD →D ．相等向量其方向必相同 答案 D解析 A 中，单位向量长度相等，方向不确定； B 中，|a |＝|b |只能说明a ，b 的长度相等而方向不确定； C 中，向量不能比较大小．(2)(多选)下列命题为真命题的是( ) A ．若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b B ．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1——→C ．若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝pD ．空间中，a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 答案 BC解析 A 为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A 中向量a 与b 的方向不一定相同；B 为真命题，AC →与A 1C 1——→的方向相同，模也相等，故AC →＝A 1C 1——→； C 为真命题，向量的相等满足传递性；D 为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b ＝0时，a 与c 不一定平行．反思感悟 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念． 跟踪训练1 如图所示，以长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)试写出与AB →相等的所有向量； (2)试写出AA 1→的相反向量；(3)若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1→的模．解 (1)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A 1B 1——→，DC →及D 1C 1——→共3个． (2)向量AA 1→的相反向量为A 1A —→，B 1B —→，C 1C —→，D 1D —→. (3)|AC 1→|＝|AC |2＋|CC 1|2＝|AB |2＋|BC |2＋|CC 1|2＝3.二、空间向量的加减运算问题 空间中的任意两个向量是否共面？为什么？提示 共面，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致． 知识梳理加法运算三角形 法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述减法运算三角形 法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述加法交换律a ＋b ＝b ＋a运算结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )注意点：(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点． (2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用．例2 (1)(多选)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1→的是( )A.A 1D 1——→－A 1A —→－AB →B.BC →＋BB 1→－D 1C 1——→C.AD →－AB →－DD 1→D.B 1D 1——→－A 1A —→＋DD 1→ 答案 AB解析 A 中，A 1D 1——→－A 1A —→－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； B 中，BC →＋BB 1→－D 1C 1——→＝BC 1→＋C 1D 1——→＝BD 1→；C 中，AD →－AB →－DD 1→＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D —→≠BD 1→；D 中，B 1D 1——→－A 1A ——→＋DD 1→＝BD →＋AA 1→＋DD 1→＝BD 1→＋AA 1→≠BD 1→.故选AB. (2)化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________. 答案 0解析 方法一(转化为加法运算)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD → ＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0． 方法二(转化为减法运算) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝(AB →－AC →)＋(BD →－CD →) ＝CB →＋BC →＝0．反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．跟踪训练2 如图，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果．(1)AB →＋BC →－DC →； (2)AB →－DG →－CE →.解 (1)AB →＋BC →－DC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →.(2)AB →－DG →－CE →＝AB →＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →. 三、空间向量的数乘运算 知识梳理定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义λ>0λa 与向量a 的方向相同 λa 的长度是a 的长度的|λ|倍λ<0 λa 与向量a 的方向相反 λ＝0λa ＝0，其方向是任意的运算律结合律 λ(μa )＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb注意点：(1)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0．(2)λ的正负影响着向量λa 的方向，λ的绝对值的大小影响着λa 的长度． (3)向量λa 与向量a 一定是共线向量．例3 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N —→；(3)MP →. 解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1——→＋D 1P —→＝a ＋AD →＋12D 1C 1——→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋12b ＋c .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N —→＝A 1A —→＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A —→＋AP →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c . 延伸探究1.例3的条件不变，试用a ，b ，c 表示向量PN →. 解 因为P ，N 分别是D 1C 1，BC 的中点，所以PN →＝PC 1→＋C 1C —→＋CN →＝12AB →＋(－AA 1→)＋⎝⎛⎭⎫－12AD →＝－a ＋12b －12c .2．若把例3中“P 是C 1D 1的中点”改为“P 在线段C 1D 1上，且C 1P PD 1＝12”，其他条件不变，如何表示AP →？解 AP →＝AD →1＋D 1P —→＝AA 1→＋AD →＋23AB →＝a ＋c ＋23b .反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．跟踪训练3 已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值． (1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →； (2)P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →. 解 (1)由图可知，OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(P A →＋PC →)＝PQ →－12P A →－12PC →，∴x ＝y ＝－12.(2)∵P A →＋PC →＝2PO →， ∴P A →＝2PO →－PC →. ∵PC →＋PD →＝2PQ →， ∴PC →＝2PQ →－PD →，∴P A →＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →. ∴x ＝2，y ＝－2.1．知识清单： (1)向量的相关概念．(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘)． (3)向量的线性运算的运算律．2．方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想．3．常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数．1．(多选)下列命题中，真命题是( )A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等 答案 ABC解析 容易判断D 是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量． 2．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.PM → B.NP → C ．0 D.MN →答案 C解析 PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝NM →－NM →＝0．3．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．空间四边形 C ．等腰梯形 D ．矩形 答案 A解析 ∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →， ∴AB →＝DC →.∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1——→)＋D 1C 1——→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1——→；④(AA 1→＋A 1B 1——→)＋B 1C 1——→.其中运算结果为AC 1→的有________个． 答案 4解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断： ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1——→)＋D 1C 1——→＝AD 1→＋D 1C 1——→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1——→＝AB 1→＋B 1C 1——→＝AC 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1——→)＋B 1C 1——→＝AB 1→＋B 1C 1——→＝AC 1→. 所以4个式子的运算结果都是AC 1→.课时对点练1．下列说法中正确的是( )A ．空间中共线的向量必在同一条直线上B.AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合 C ．数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向 D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →答案 C解析 对于A ，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A 错误； 对于B ，AB →＝CD →的充要条件是|AB →|＝|CD →|，且AB →，CD →同向．但A 与C ，B 与D 不一定重合，所以B 错误；对于C ，λ既决定大小又决定方向，所以C 正确；对于D ，满足AB →＋AD →＝AC →的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，因而D 错误．综上可知，正确的为B.2．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3答案 D解析 向量a ，b 互为相反向量，则a ，b 模相等，方向相反，故选D. 3.如图，在四棱柱的上底面ABCD 中，AB →＝DC →，则下列向量相等的是( )A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB → 答案 D解析 对于A ，AD →与CB →的方向相反，因而不是相等向量，所以A 错误； 对于B ，OA →与OC →的方向相反，因而不是相等向量，所以B 错误； 对于C ，AC →与DB →的方向不同，因而不是相等向量，所以C 错误； 对于D ，DO →与OB →的方向相同，大小相等，是相等向量，因而D 正确．4.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B —→等于( )A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．b －a －cD ．b －a ＋c答案 C解析 A 1B —→＝AB →－AA 1→＝(CB →－CA →)－AA 1→， ∵AA 1→＝CC 1→＝c ， ∴A 1B —→＝b －a －c .5.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，则MN →等于( )A.12a －12b ＋12c B ．－12a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23cD.12a ＋12b －12c 答案 B解析 MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝12a ＋(b －a )＋12(c －b )＝－12a ＋12b ＋12c .6．(多选)已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，则下列四式中正确的有( ) A.AB →－CB →＝AC →B.AC ′——→＝AB →＋B ′C ′———→＋CC ′—→C.AA ′—→＝CC ′—→D.AB →＋BB ′—→＋BC →＋C ′C ——→＝AC ′—→ 答案 ABC解析 作出平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′的图象如图，可得AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，故A 正确；AB →＋B ′C ′———→＋CC ′—→＝AB →＋BC →＋CC ′—→＝AC ′—→，故B 正确；C 显然正确；AB →＋BB ′—→＋BC →＋C ′C ——→＝AB →＋BC →＝AC →，故D 不正确．综上，正确的有ABC.7．设A ，B ，C ，D 为空间任意四点，则AC →－BC →＋BD →＝________. 答案 AD →解析 AC →－BC →＋BD →＝AC →＋CB →＋BD →＝AD →.8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 是AA 1的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，用a ，b ，c 表示CM →，则CM →＝________. 答案 －a －b ＋12c解析 ∵CM →＝CB →＋BA →＋AM →＝－BC →－AB →＋AM →， 又∵M 是AA 1的中点， ∴AM →＝12AA 1→，∴CM →＝－BC →－AB →＋12AA 1→，∵AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， ∴CM →＝－a －b ＋12c .9.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量．(1)CB →＋BA 1→； (2)AC →＋CB →＋12AA 1→；(3)AA 1→－AC →－CB →. 解 (1)CB →＋BA 1→＝CA 1→. (2)因为M 是BB 1的中点，所以BM →＝12BB 1→.又AA 1→＝BB 1→，所以AC →＋CB →＋12AA 1→＝AB →＋BM →＝AM →.(3)AA 1→－AC →－CB →＝CA 1→－CB →＝BA 1→. 向量CA 1→，AM →，BA 1→如图所示．10.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值．解 ∵AE →＝AB →＋BC →＋CE →＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12OC →＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12(OD →＋DC →)＝－OA →＋12(OD →＋AB →)＝－OA →＋12OD →＋12(OB →－OA →)＝12OD →＋12OB →－32OA →， 又AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，∴x ＝12，y ＝－32.11．已知空间中任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A.DB → B.AB → C.AC → D.BA → 答案 D解析 方法一 DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →＝CA →－CB →＝BA →. 方法二 DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →)＝DA →＋BD →＝BA →.12.如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC 与BD 的交点为O ，点M 在BC ′上，且BM ＝2MC ′，则OM →等于( )A ．－12AB →＋76AD →＋23AA ′—→B ．－12AB →＋56AD →＋13AA ′—→C ．12AB →＋16AD →＋23AA ′—→D ．12AB →－16AD →＋13AA ′—→答案 C解析 因为BM ＝2MC ′， 所以BM →＝23BC ′—→，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，OM →＝OB →＋BM →＝OB →＋23BC ′—→＝12DB →＋23(AD →＋AA ′—→)＝12(AB →－AD →)＋23(AD →＋AA ′—→)＝12AB →＋16AD →＋23AA ′—→. 13．如图，在四面体ABCD 中，E ，G 分别是CD ，BE 的中点，若记AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，则AG →＝________.答案 12a ＋14b ＋14c解析 在四面体ABCD 中，E ，G 分别是CD ，BE 的中点，则AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12BE →＝AB →＋12×12(BC →＋BD →)＝AB →＋14(AC →－AB →＋AD →－AB →)＝AB →＋14AC →＋14AD →－12AB →＝12AB →＋14AD →＋14AC →＝12a ＋14b ＋14c . 14.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简A 1O —→－12AB →－12AD →＝________.(2)用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________. 答案 (1)A 1A —→(2)12AB →＋12AD →＋AA 1→解析 (1)A 1O —→－12AB →－12AD →＝A 1O —→－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1O —→＋OA →＝A 1A —→.(2)因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，所以OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.15．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′—→＝xAB →＋y 2BC →＋z 3CC ′—→，则x ＋y ＋z ＝________. 答案 6解析 在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC ′—→＝AB →＋BC →＋CC ′—→，又AC ′—→＝xAB →＋y2BC →＋z 3CC ′—→，∴⎩⎨⎧ x ＝1，y2＝1，z3＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，z ＝3，∴x ＋y ＋z ＝6.16.如图，已知ABCD －A ′B ′C ′D ′是平行六面体．(1)化简12AA ′—→＋BC →＋23AB →，并在图中标出其结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD→＋γAA ′—→，试求α，β，γ的值．解 (1)如图，取AA ′的中点E ，在D ′C ′上取一点F ，使D ′F ＝2FC ′，连接EF ，则EF →＝12AA ′—→＋BC →＋23AB →.(2)因为MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′—→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′—→)＝12AB →＋14AD →＋34AA ′—→， 所以α＝12，β＝14，γ＝34.。
人教版七年级地理上册 第一章 第一节 1.1.2 纬线和纬度 经线和经度 经纬网
当堂练习
1．下列关于纬线说法正确的是( A )
A．形状为圆形
B．形状为直线
C．各条纬线长度相等
D．指示南北方向
2. 东半球的范围是（ D ） A.0°经线以东至180°经线之间的半球 B.20°E至160°W之间的半球 C.20°W至160°E之间的半球 D.20°W往东至160°E之间的半球
10°W 0° 10°E 20°E 30°E
向西度数增大 向东度数增大
向
20°N 北
度
10°N 数
增 0° 大
向
10°S 南
度 数 增 大
课堂小结
地球和 地球仪
纬线和纬度 经线和经度 经纬网
纬线 定义、形状、指示方向、长度、位置关系
纬度
定义、代表字母、度数范围、 半球划分、中高低纬划分
经线 定义、形状、指示方向、长度、经线圈
__半__圆____
由赤道向两极逐渐 __缩__短____
所有的经线长度都 __相__等____
___东__西___方向
___南__北___方向
所有纬线都相互平行(除 所有经线都相交于
南、北极点外)
南北极点
课堂小结
二、纬度和经度
项目
纬度
经度
图示
度数起始线 划分方法
__赤__道____(0°纬线)
从0°纬线向南和向 北各分___9_0_°___
当堂练习
3．图中位于南半球的是( B ) A．小红 B．小兰 C．小刚 D．小明
无数条
半圆
南北
相等 均为2万 千米
相互关系 纬线与纬线 相互平行
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.1 集合的含义与表示 第2课时 集合的表示课件 新人教版必修1
举法表示为{(1,2)}，也可用描述法表示为{(x，y)|xy＝ ＝12， }.
易错警示
解析答案
跟踪训练4 用列举法表示下列集合. (1)A＝{y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}； 解 因为y＝－x2＋6≤6，且x∈N，y∈N， 所以x＝0,1,2时，y＝6,5,2，符合题意， 所以A＝{2,5,6}. (2)B＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}. 解 (x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；
解 设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}.
(3)由1～20以内的所有质数组成的集合.
解 设 由 1 ～ 2 0 以 内 的 所 有 质 数 组 成 的 集 合 为 C ， 那 么 C＝
反思与感悟
第一章 1.1.1 集合的含义与表示
第2课时 集合的表示
学习 目标
1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法). 2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.
栏目 索引
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自主学习
知识点 集合的表示方法 1.列举法：把集合的元素 一一列举 出来，并用花括号“{ }”括起来表 示集合的方法叫做列举法. 2.描述法：(1)定义：用集合所含元素的 共同特征 表示集合的方法称为描 述法. (2)写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的_一__般__符__号__及__取__值__(_或__变__ 化)范围 ，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的_共__同__ 特征 .
则Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
数学必修5教学课件第一章 数列1.1.2
解:(1)列表如下.
n1 2
3
4
5
6
789…
an -7 -12 -15 -16 -15 -12 -7 0 9 …
描点:在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图像. (1,-7),(2,-12),(3,-15),(4,-16),(5,-15),(6,-12),(7,-7),(8,0),(9,9),…
分析:通过考查 f(x)=2������1-11的单调性得到数列{an}的增减性,同时
考查 an 的符号,即可得到{an}的最大项和最小项.
1
解:因为函数
f(x)=2������1-11
=
2
������2
上是减少的,
在
11 2
,
+
∞
上是减少的,所以当 1≤n≤5 时,
an<0,{an}是递减的;
解法一:因为 an=32���������-���1, 所以 an+1=32������������++22,
于是
an+1-an=32������������++22
−
3������-1 2������
=
(2������+22)·2������>0,
所以 an+1>an,故{an}是递增数列.
-11-
-7-
1.1 数列的概念
探究一
探究二
图像如图.
探究三
首页 思维辨析
自主预习
合作学习
当堂检测
(2)数列{an}的图像既不是上升的,也不是下降的,所以{an}既不是
2022年秋高中数学第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算课件新人
π
2
<a,b>=
a⊥b
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)两个有共同始点且相等的向量,其终点必相同.( √ )
(2)两个有公共终点的向量,一定是共线向量.( × )
(3)在空间中,任意一个向量都可以进行平移.( √ )
(4)模相等的向量不一定是相等向量.( √ )
(5)表示两个平行向量的有向线段所在的直线一定不重合.( × )
提示两个非零向量共线且同向时,<a,b>=0;两个非零向量共线且反向
时,<a,b>=π.
知识点2 空间向量的线性运算及其运算律
(1)如图,任意给定两个不共线的向量a,b,在空间中任取一点O,作
=a, =b ,以OA,OC为邻边作平行四边形OABC,则
①加法:a+b= .
②减法:a-b= .
向量的模(或
向量的 大小也称为向量的模,向量a的模可用 |a| 来表示
长度)
相等向量
大小 相等 、方向 相同 的向量
平行向量
方向 相同 或者 相反 的两个非零向量
(或共线向量)
空间中的多个向量,如果表示它们的有向线段通过平移之后,
共面向量
都能在 同一平面 内
(2)空间向量的夹角
∠AOB
<a,b>
0≤<a,b>≤π
λa+λb
.
名师点睛
(1)在△ABC 中, + + =0.
(2)以向量a,b为邻边的平行四边形中,a+b与a-b对应的有向线段所表示的
是两条对角线,|a+b|与|a-b|为两条对角线的长度.
高等代数课件(北大版)第一章_多项式§1.1
又对 x, y Q( 2), 设 x a b 2, y c d 2, a,b,c,d Q, 则有
x y (a c) (b d ) 2 Q( 2),
x y (ac 2bd ) (ad bc) 2 Q( 2)
设 a b 2 0, 于是 a b 2 也不为0．
第一章 多项式
§1 数域 §2 一元多项式 §3 整除的概念 §4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式
§7 多项式函数 §8 复、实系数多项式
的因式分解 §9 有理系数多项式 §10 多元多项式 §11 对称多项式
2020/2/9
数学科学学院
一、数域 二、数域性质定理
§1.1 2020/2/9 数域
ac a2
2bd 2b2
ad bc a2 2b2
2 Q.
Q( 2)为数域．
Gauss数域
类似可证 Q(i) a bi a,b Q, i 1 是数域.
§1.1 2020/2/9 数域
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例2．设P是至少含两个数的数集，证明：若P中任 意两个数的差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一
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作业
1．若 P1, P2为数域，证明：P1 I P2也为数域．
§1.1 2020/2/9 数域
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一、数域
定义 设P是由一些复数组成的集合，其中包括
0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除 数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域．
常见数域： 复数域C；实数域R；有理数域Q；
（注意：自然数集N及整数集Z都不是数域．）
§1.1 2020/2/9 数域
北师大版九年级数学上册第一章 《1.1 菱形的性质与判定》 练习题
《1.1 菱形的性质与判定》练习题一．选择题1．菱形具有而一般平行四边形所没有的性质是（）A．两组对边分别相等B．两条对角线相等C．四个内角都是直角D．对角线平分对角2．已知菱形的边长与一条对角线的长相等，则菱形的最大的内角是（）A．90°B．120°C．135°D．150°3．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD 上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝30°，则菱形ABCD的面积是（）A．18 B．18C．36 D．365．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4 B．8 C．D．66．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连结OA．则四边形AOED的周长为（）A．9+2B．9+C．7+2D．87. 如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是( )A．24 B．16 C．413 D．2 38. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，0)，B(1，1)．若平移点A 到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是( )A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B．向左平移(22－1)个单位，再向上平移1个单位C．向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向上平移1个单位9. 如图，已知四边形ABCD的四边都相等，等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC，CD上，且AE＝AB，则∠C的度数为( )A．100°B．105°C．110°D．120°10．如图6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为60°，边长为1，A，B都在格点上，则AB的长为( )A． 5 B．32C．7 D．52。
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§1.1集合及其运算最新考纲考情考向分析1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4.在具体情境中，了解全集与空集的含义．5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7.能使用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算.集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择题为主，低档难度.1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋(或N*)Z Q R2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都是集合B中的元素(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁U A＝{x|x∈U且x∉A}知识拓展1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U；∁U(∁U A)＝A.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)(4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( √ )(5)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立．( √ ) (6)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( × ) 题组二 教材改编2．已知U ＝{α|0°＜α＜180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________. 答案 {x |x 是直角}3．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________． 答案 2解析 集合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝⎛⎭⎫22，22，⎝⎛⎭⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素． 题组三 易错自纠4．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3或0答案 B解析 A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3，故选B.5．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (3，＋∞)解析 A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}， ∵A ⊆B ，B ＝{x |x <a }，∴a >3.6．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 0或98解析 若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98.综上，a 的值为0或98.题型一集合的含义1．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.答案1解析∵3∈B，又a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.经检验，a＝1符合题意．2．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是() A．2 B．3 C．4 D．5答案B解析B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}＝{6,8,12}．思维升华(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．题型二集合的基本关系典例(1)设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的集合B的个数是() A．5 B．4 C．3 D．2答案B解析∵{1,2}⊆B，I＝{1,2,3,4}，∴满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．(2)已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018<0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是_____________________________________．答案[2 018，＋∞)解析由x2－2 019x＋2 018<0，解得1<x<2 018，故A＝{x|1<x<2 018}．又B＝{x|x<a}，A⊆B，如图所示，可得a ≥2 018. 引申探究本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，1]解析 A ＝{x |1<x <2 018}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≤1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．跟踪训练 (1)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的值为( ) A.13或－12 B ．－13或12C.13或－12或0 D ．－13或12或0答案 D解析 由题意知，A ＝{2，－3}． 当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ； 当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1a ，由B ⊆A ，可得1a ＝－3或1a ＝2，∴a ＝－13或a ＝12.综上可知，a 的值为－13或12或0.(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是____________． 答案 (－∞，4]解析 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2； 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧m＋1≥－2，2m－1≤7，m＋1<2m－1，解得2<m≤4.综上，m的取值范围是(－∞，4]．题型三集合的基本运算命题点1集合的运算典例(1)(2017·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则()A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅答案A解析∵B＝{x|3x<1}，∴B＝{x|x<0}．又A＝{x|x<1}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．故选A.(2)(2018届珠海二中月考)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－5<x<5}，则() A．A∩B＝∅B．A⊆BC．B⊆A D．A∪B＝R答案D解析∵A＝{x|x>2或x<0}，∴A∪B＝R.命题点2利用集合的运算求参数典例(1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是() A．－1<a≤2 B．a>2C．a≥－1 D．a>－1答案D解析因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A ．0B ．1C ．2D ．4 答案 D解析 由题意可得{a ，a 2}＝{4,16}，∴a ＝4.(3)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是______． 答案 (－∞，－1]∪{1}解析 因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化． 跟踪训练 (1)(2017·天津)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C 等于( ) A ．{2} B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}答案 B解析 A ∪B ＝{1,2,4,6}．又C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}， 故选B.(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)答案 D解析 由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2； ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)． 题型四 集合的新定义问题典例 若集合E ＝{(p ，q ，r ，s )|0≤p <s ≤4,0≤q <s ≤4,0≤r <s ≤4且p ，q ，r ，s ∈N }，F ＝{(t ，u ，v ，w )|0≤t <u ≤4，0≤v <w ≤4且t ，u ，v ，w ∈N }，用card(X )表示集合X 中的元素个数，则card(E )＋card(F )等于( ) A ．200 B ．150 C ．100 D ．50 答案 A解析 在集合E 中，当s ＝1时，p ＝q ＝r ＝0，此时只有1个元素；当s ＝2时，p ，q ，r ∈{0,1}，此时有2×2×2＝8(个)元素；当s ＝3时，p ，q ，r ∈{0,1,2}，此时有3×3×3＝27(个)元素；当s ＝4时，p ，q ，r ∈{0,1,2,3}，此时有4×4×4＝64(个)元素，故card(E )＝1＋8＋27＋64＝100.在集合F 中，(t ，u )的取值可能是(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共10种可能．同理，(v ，w )也有10种可能，故card(F )＝10×10＝100，∴card(E )＋card(F )＝200.思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．跟踪训练定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于()A．{x|3<x≤4} B．{x|3≤x≤4}C．{x|3<x<4} D．{x|2≤x≤4}答案B解析A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2≤x≤4}，由题意知，B△A＝{x|x∈B，且x∉A}＝{x|3≤x≤4}．1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A答案D2．(2017·浙江)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，则P∪Q等于()A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)答案A解析∵P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，∴P∪Q＝{x|－1＜x＜2}．故选A.3．(2016·四川)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是() A．3 B．4 C．5 D．6答案C解析由题意可知，A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩Z中的元素的个数为5.故选C. 4．(2017·吉林大学附中模拟)若集合A＝{x∈N|5＋4x－x2>0}，B＝{x|x<3}，则A∩B等于() A．∅B．{1,2}C．[0,3) D．{0,1,2}答案D解析由A中不等式变形，得(x－5)(x＋1)<0，x∈N，解得－1<x<5，x∈N，即A＝{0,1,2,3,4}，∵B＝{x|x<3}，∴A∩B＝{0,1,2}．5．(2017·潍坊调研)已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{0,1} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}答案B解析因为A∩B＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为集合A去掉A∩B部分，所以阴影部分所表示的集合为{1}．6．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为()A．8 B．4C．3 D．2答案B解析由题意得P＝{3,4}，∴集合P有4个子集．7．(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于() A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5}答案C解析∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.8．已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为()A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)答案B解析用数轴表示集合A，B(如图)，由A⊆B，得a≥0.9．已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则(∁R P)∩Q＝________.答案(1,2)解析 ∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}，∁R P ＝{x |0＜x ＜2}，∴(∁R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}．10．若{3,4，m 2－3m －1}∩{2m ，－3}＝{－3}，则m ＝______.答案 1解析 由集合中元素的互异性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －1＝－3，2m ≠－3，2m ≠3，2m ≠4，所以m ＝1. 11．(2017·衡水模拟)若集合A ＝{y |y ＝lg x }，B ＝{x |y ＝x }，则集合A ∩B ＝________. 答案 [0，＋∞)解析 集合A ＝{y |y ＝lg x }＝{y |y ∈R }＝R ，B ＝{x |y ＝x }＝{x |x ≥0}，则集合A ∩B ＝{x |x ≥0}＝[0，＋∞)．12．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.13．(2018·安徽黄山二模)已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，∁R B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －1x ＋2≥0，则A ∩B 等于( ) A ．{－1,0,1}B ．{－1,0}C ．{－2，－1,0}D ．{0,1,2}答案 C解析 ∵集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，∁R B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －1x ＋2≥0＝{x |x <－2或x ≥1}， ∴B ＝{x |－2≤x <1}，则A ∩B ＝{－2，－1,0}．14．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝______，n ＝________.答案 －1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.15．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．答案 6解析 依题意可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．16．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ 6x ＋1≥1，x ∈R ，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，则实数m 的值为______．答案 8解析 由6x ＋1≥1，得x －5x ＋1≤0， ∴－1<x ≤5，∴A ＝{x |－1<x ≤5}．又∵B ＝{x |x 2－2x －m <0}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴4是方程x 2－2x －m ＝0的根，即42－2×4－m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m的值为8.。