第一章 1.1

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版高中数学第一章解三角形 1.1.1 正弦定理(一)课件新人教B版必修5.pptx

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跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.求证：sina A ＝2R. 证明
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类型二用正弦定理解三角形
例2 已知△ABC，根据下列条件，解三角形：a＝20，A＝30°，C＝ 45°. 解答 ∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，由正弦定理得 b＝assiinnAB＝20ssiinn3100°5°＝40sin(45°＋60°)＝10( 6＋ 2)， c＝assiinnAC＝20sisnin3405°°＝20 2， ∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2)，c＝20 2.
A.直角三角形 C.锐角三角形
√B.等腰三角形
D.钝角三角形
由sin A＝sin C，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.
1 2 3 247
3.在△ABC中，已知BC＝ 5 ，sin C＝2sin A，则AB＝_2__5___.
答案解析
由正弦定理，得 AB＝ssiinn CABC＝2BC＝2 5.
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命题角度2 运算求解问题
例4
在△ABC中，A＝
π 3
，BC＝3，求△ABC的周长的最大值.
解答
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反思与感悟
利用sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 或正弦定理的变形公式 a＝ksin A，b＝ ksin B，c＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.
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跟踪训练 3 在 △ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ，若 A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值. 解答
23
当堂训练
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1. 在△ABC中，一定成立的等式是答案解析

人教A版高中数学必修1 课时分层训练：第一章 1.1 1.1.2

第一章1.1 1.1.2 集合间的基本关系课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．已知集合A ＝{－1,0,1}，则下列关系中正确的是( ) A ．A ∈A B ．0A C ．{0}∈AD ．∅A解析：选D “∈”用来表示元素与集合之间的关系，故A 、C 错误；“”用来表示集合与集合之间的关系，故B 错误；而∅是任一集合的子集，是任一非空集合的真子集，故D 正确．2．已知M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2＋x ＝0}，则能表示M ，N 之间关系的Venn 图是( )解析：选C 因为N ＝{x |x 2＋x ＝0}＝{0，－1}，M ＝{－1，0,1}，所以N M .3．满足{a }⊆M {a ，b ，c ，d }的集合M 共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．15个解析：选B 依题意a ∈M ，且M{a ，b ，c ，d }，因此M 中必含有元素a ，且可含有元素b ，c ，d 中的0个、1个或2个，即M 的个数等于集合{b ，c ，d }的真子集的个数，有23－1＝7(个).4．集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4＋12，k ∈Z ，则( )A ．M ＝NB ．MNC ．M ND ．M 与N 没有相同元素解析：选C 因为k 2＋14＝14(2k ＋1)，k 4＋12＝14(k ＋2)，当k ∈Z 时，2k ＋1是奇数，k ＋2是整数，又奇数都是整数，且整数不都是奇数，所以MN .选C.5．设A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ＞a }，若A B ，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≥3}B ．{a |a ≤－1}C ．{a |a ＞3}D ．{a |a ＜－1}解析：选B 集合A ，B 在数轴上表示如图所示，由A B 可求得a ≤－1，注意端点能否取到是正确求解的关键．6．设集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}和P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}，那么M 与P 的关系为________．解析：因为xy >0，所以x ，y 同号，又x ＋y <0，所以x <0，y <0，即集合M 表示第三象限内的点，而集合P 也表示第三象限内的点，故M ＝P .答案：M ＝P7．若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}的子集有且仅有两个，则实数a ＝________.解析：由集合A 的子集有且仅有两个知A 中只有一个元素，若a －1＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；若a －1≠0，由题意得⎩⎨⎧a －1≠0，Δ＝32－4×(－2)×(a －1)＝0，得a ＝－18.∴a 的值为1或－18. 答案：1或－188．已知集合A ＝{－2,3,4m －4}，B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，则实数m ＝________. 解析：依题意可得m 2＝4m －4，即(m －2)2＝0，∴m ＝2. 当m ＝2时，A ＝{－2,3,4}，B ＝{3,4}，∴B ⊆A . 答案：29．设集合A ＝{x |－1≤x ≤6}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}，且B ⊆A . (1)求实数m 的取值范围；(2)当x ∈N 时，求集合A 的子集的个数．解：(1)若B ＝∅，则m －1>2m ＋1，得m <－2；若B ≠∅，由题意得⎩⎨⎧m －1≤2m ＋1，2m ＋1≤6，m －1≥－1，得0≤m ≤52.综上得m 的取值范围是m <－2或0≤m ≤52.(2)当x ∈N 时，A ＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A 中共有7个元素，其子集个数为27＝128个．10．已知a ∈R ，x ∈R ，A ＝{2,4，x 2－5x ＋9}，B ＝{3，x 2＋ax ＋a }，C ＝{x 2＋(a ＋1)x －3,1}，求：(1)使A ＝{2,3,4}成立的x 的值； (2)使2∈B ，B ⊆A 成立的a ，x 的值； (3)使B ＝C 成立的a ，x 的值．解：(1)由题意，知x 2－5x ＋9＝3，解得x ＝2或x ＝3. (2)因为2∈B ，B ⊆A ，所以⎩⎨⎧2＝x 2＋ax ＋a ，3＝x 2－5x ＋9. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，a ＝－23或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，a ＝－74.(3)因为B ＝C ，所以⎩⎨⎧x 2＋(a ＋1)x －3＝3，x 2＋ax ＋a ＝1.解得⎩⎨⎧ x ＝－1，a ＝－6或⎩⎨⎧x ＝3，a ＝－2.‖层级二‖|应试能力达标|1．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，那么()A．若a＝1，则N⊆MB．若N⊆M，则a＝1C．若a＝1，则N⊆M，反之也成立D．a＝1和N⊆M成立没有关系解析：选A显然a＝1时，集合N＝{1}，此时N⊆M；若N⊆M，则a2可以是集合M中的元素1或2，此时a可以取值1，－1，2，－ 2.即若N⊆M，则a＝1不成立．2．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是() A．1 B．－1C．1或－1 D．0,1或－1解析：选D由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q⊆P，a＝1或a＝－1.3．已知集合A＝{0,1}，B＝{x|x⊆A}，则下列关于集合A与B的关系正确的是()A．A⊆B B．A BC．B A D．A∈B解析：选D因为x⊆A，所以B＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，则集合A＝{0,1}是集合B中的元素，所以A∈B，故选D.4．设集合A＝{x|a－1<x<a＋1}，B＝{x|x<b－2，或x>b＋2}．若A⊆B，则实数a，b必满足()A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3解析：选D根据题意知A⊆B，作出如图所示的数轴，所以有b＋2≤a－1或b－2≥a＋1，解得a－b≥3或a－b≤－3，即|a－b|≥3.5．已知∅{x|x2＋x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．解析：因为∅{x |x 2＋x ＋a ＝0}，所以方程x 2＋x ＋a ＝0有实数根，即Δ＝1－4a ≥0，a ≤14.答案：a ≤146．已知A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝{x |4x ＋m <0}，当B ⊆A 时，则实数m 的取值范围为________．解析：集合A 在数轴上表示如图．要使B ⊆A ，则集合B 中的元素必须都是A 中的元素．即B 中元素必须都位于阴影部分内．那么由4x ＋m <0，即x <－m 4知，－m4≤－2，即m ≥8，故实数m 的取值范围是m ≥8. 答案：m ≥87．(2019·浙江四校高一联考)已知M ＝{x |x 2－2x －3＝0}，N ＝{x |x 2＋ax ＋1＝0，a ∈R }，且NM ，则实数a 的取值范围是________．解析：M ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{3，－1}． ①当N ＝∅时，NM 成立，∴Δ＝a 2－4<0，∴－2<a <2. ②当N ≠∅时，∵NM ，∴3∈N 或－1∈N .当3∈N 时，32＋3a ＋1＝0，即a ＝－103，此时方程为x 2－103x ＋1＝0，解得N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，13，不满足NM ；当－1∈N 时，(－1)2－a ＋1＝0，即a ＝2，此时方程为x 2＋2x ＋1＝0，解得N ＝{－1}，满足NM .故实数a 的取值范围是－2＜a ≤2. 答案：－2＜a ≤28．集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，不存在元素x 使x ∈A 且x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅满足题意；当m ＋1≤2m －1.即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，则有m ＋1≥－2且2m －1≤5，可得－3≤m ≤3，即2≤m ≤3. 综上可知，当m ≤3时，B ⊆A .(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共8个元素，故A 的非空真子集的个数为28－2＝254(个)．(3)因为x ∈R ，A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且不存在元素x 使x ∈A 且x ∈B 同时成立，所以A ，B 没有公共元素．当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅满足题意；当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使A ，B 没有公共元素，则有⎩⎨⎧ m ≥2，m ＋1＞5或⎩⎨⎧m ≥2，2m －1＜－2，解得m ＞4.综上所述，当m ＜2或m ＞4时，不存在元素x 使x ∈A 且x ∈B 同时成立．由Ruize收集整理。

第一章行列式1.1

t n 1 n 2 2 1
n n 1 , 2 当 n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k

五
定义5
对换
排列中，将某两个数对调，其余的数
不动，这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对换，叫做相邻对换（邻换）。
定理1 一个排列中的任意两数对换，排列改变奇偶性。
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证明：（1）首先讨论对换相邻两个数码的特殊情形，设排列为AijB，其中A，B表示除i，j两个数码外其余的数码，经过对换（i，j ），变为排列AjiB，比较上面两个排列中的逆序，显然A，B两个数码的次序没有改变，并且i，j与A，B中数码的次序也没有改变，仅仅改变了i，j的次序,因此，新排列仅比原排列增加了一个逆序（当i＜j ），或减少了一个逆序（当i＞ j ），所以他们的奇偶性相反。
例如排列32514 中，逆序 3 2 5 1 4 逆序逆序
定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 例如排列32514 中，
0
0
1
3 2 5 1 4
1
逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列;
逆序数为偶数的排列称为偶排列.计算排列逆 Nhomakorabea数的方法
致我亲爱的同学们
天空的幸福是穿一身蓝森林的幸福是披一身绿阳光的幸福是如钻石般耀眼老师的幸福是因为认识了你们愿你们努力进取，永不言败

高中数学新人教A版必修5第一章 1.1 1.1.1 正弦定理

正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理(1)直角三角形中的边角之间有什么关系？(2)正弦定理的内容是什么？利用它可以解哪两类三角形？(3)解三角形的含义是什么？预习课本P 2～3，思考并完成以下问题[新知初探]1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C. [点睛] 正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．2．解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理适用于任意三角形( )(2)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立( ) (3)在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则此三角形有唯一解( )解析：(1)正确．正弦定理适用于任意三角形．(2)正确．由正弦定理知a sin A ＝bsin B，即b sin A ＝a sin B .(3)错误．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a ，b ，A 的值来定．答案：(1)√ (2)√ (3)×2．在△ABC 中，下列式子与sin Aa 的值相等的是( )A.bc B.sin B sin A C.sin C cD.c sin C 解析：选C 由正弦定理得，a sin A ＝c sin C，所以sin A a ＝sin C c .3．在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝60°，a ＝10，则b 等于( ) A ．5 2B ．10 3C.1033D ．5 6解析：选B 由正弦定理得，b ＝a sin Bsin A＝10×3212＝10 3.4．在△ABC 中，A ＝30°，a ＝3，b ＝2，则这个三角形有 ( )A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定解析：选A ∵b <a ，A ＝30°，∴B <30°，故三角形有一解．已知两角及一边解三角形[典例] 在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c . [解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°，由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46，由a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角． (2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．[注意] 若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．[活学活用]在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．43 B ．2 3 C. 3D ．32解析：选B 由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B.已知两边及其中一边的对角解三角形[典例] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A ，C ，c . [解] 由正弦定理及已知条件，有3sin A ＝2sin 45°，得sin A ＝32.∵a >b ，∴A >B ＝45°.∴A ＝60°或120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－22. 综上可知：A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[活学活用]在△ABC 中，c ＝6，C ＝60°，a ＝2，求A ，B ，b . 解：∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝22.∴A ＝45°或A ＝135°. 又∵c >a ，∴C >A .∴A ＝45°. ∴B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6·sin 75°sin 60°＝3＋1.三角形形状的判断[典例] 在△ABC 中，a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，判断△ABC 的形状．解：[法一化角为边] ∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：a ·a 2R ＝b ·b2R ，∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形． [法二化边为角]∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B .由正弦定理可得：2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ， ∴A ＝B .(A ＋B ＝π不合题意舍去) 故△ABC 为等腰三角形．利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径(1)化角为边．．．．．．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a ＝b ，a 2＋b 2＝c 2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R. (2)化边为角．．．．．．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ．[活学活用]在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，且sin A ＝2sin B ·cos C ．试判断△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝⎝⎛⎭⎫b 2R 2＋⎝⎛⎭⎫c 2R 2，即a 2＝b 2＋c 2，故A ＝90°.∴C ＝90°－B ，cos C ＝sin B . ∴2sin B ·cos C ＝2sin 2B ＝sin A ＝1. ∴sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°(A ＋B ＝225°＞180°，故舍去)． ∴△ABC 是等腰直角三角形．层级一学业水平达标1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( )A.53B.35C.37D.57 解析：选A 根据正弦定理得sin A sin B ＝a b ＝53. 2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选B 由题意有a sin A ＝b ＝b sin B，则sin B ＝1，即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形． 3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos C c，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理得，sin A a ＝sin C c ＝cos Cc ，则cos C ＝sin C ，即C ＝45°，故选B.4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15B.59C.53D ．1解析：选B 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝5×133＝59.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝3b sin A ，则sin B ＝( ) A. 3 B.33C.63D ．－63解析：选B 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以sin A ＝3sin B sin A ，故sinB ＝33. 6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是______(填序号)． ①a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解； ②b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； ③a ＝15，b ＝2，A ＝90°，无解； ④a ＝40，b ＝30，A ＝120°，有一解．解析：①中a ＝b sin A ，有一解；②中c sin B <b <c ，有两解；③中A ＝90°且a >b ，有一解；④中a >b 且A ＝120°，有一解．综上，④正确．答案：④7．在△ABC 中，若(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝sin 2C ，则△ABC 的形状是________．解析：由已知得sin 2A －sin 2B ＝sin 2C ，根据正弦定理知sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，sin C＝c2R，所以⎝⎛⎭⎫a 2R 2－⎝⎛⎭⎫b 2R 2＝⎝⎛⎭⎫c 2R 2，即a 2－b 2＝c 2，故b 2＋c 2＝a 2.所以△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形8．在△ABC 中，若A ＝105°，C ＝30°，b ＝1，则c ＝________. 解析：由题意，知B ＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c ＝b sin C sin B ＝1×sin 30°sin 45°＝22. 答案：229．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．解：设△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，则C ＝180°－(A ＋B )＝75°. 因为C >B >A ，所以最小边为a . 又因为c ＝1，由正弦定理得， a ＝c sin A sin C ＝1×sin 45°sin 75°＝3－1，所以最小边长为3－1.10．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．解：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝42sin(30°＋45°)＝2＋2 3.层级二应试能力达标1．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝2×222＝12，又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的周长为4(2＋1)，且sin B ＋sin C ＝2sin A ，则a ＝( )A. 2 B ．2 C ．4D ．2 2解析：选C 根据正弦定理，sin B ＋sin C ＝2sin A 可化为b ＋c ＝2a ， ∵△ABC 的周长为4(2＋1)，∴⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝4(2＋1)，b ＋c ＝2a ，解得a ＝4.故选C. 3．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A解析：选A 由题意可知sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，即2sin B cos C ＝sin A cos C ，又cos C ≠0，故2sin B ＝sin A ，由正弦定理可知a ＝2b .4．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( )A.31010B.1010C.510D.515解析：选B 由题意得EB ＝EA ＋AB ＝2，则在Rt △EBC 中，EC ＝EB 2＋BC 2＝4＋1＝ 5.在△EDC 中，∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝π4＋π2＝3π4，由正弦定理得sin ∠CED sin ∠EDC ＝DC EC ＝15＝55，所以sin ∠CED ＝55·sin ∠EDC ＝55·sin 3π4＝1010. 5．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，a ＋b ＝12，则a ＝________. 解析：因为a sin A ＝b sin B ，所以a sin 60°＝bsin 45°，所以32b ＝22a ，① 又因为a ＋b ＝12，② 由①②可知a ＝12(3－6)．答案：12(3－6)6．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝_______. 解析：由正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A ，即sin C ＝AB ·sin ABC＝5sin 120°7＝5314. 可知C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝1114. ∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C ) ＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314.答案：33147．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .解：由A －C ＝90°，得A 为钝角且sin A ＝cos C ，利用正弦定理，a ＋c ＝2b 可变形为sin A ＋sin C ＝2sin B ，又∵sin A ＝cos C ，∴sin A ＋sin C ＝cos C ＋sin C ＝2sin(C ＋45°)＝2sin B ，又A ，B ，C 是△ABC 的内角，故C ＋45°＝B 或(C ＋45°)＋B ＝180°(舍去)，所以A ＋B ＋C ＝(90°＋C )＋(C ＋45°)＋C ＝180°. 所以C ＝15°.8．在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a ，b 及△ABC 的内切圆半径．解：由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A .即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B . 又∵a ≠b ，∴2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2.∴△ABC 是直角三角形，且C ＝90°，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102，b a ＝43得a ＝6，b ＝8.故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2.。

高中数学新教材必修第一册第一章第一章集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念(南开题库含详解)

高中数学新教材必修第一册第一章1.1 集合的概念（南开题库）一、选择题（共40小题；共200分）1. 集合的元素个数有A. 个B. 个C. 个D. 无数个2. 设集合，，那么" "是" "的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若，则的值为A. B. C. D. 或4. 设集合，，定义，则中元素的个数为A. B. C. D.5. 用列举法可以将集合表示为A.B.C.D.6. 下列说法正确的有①与表示同一个集合；②由，，组成的集合可表示为或；③方程的所有解的集合可表示为；④集合是有限集．A. 只有①和④B. 只有②和③C. 只有②D. 以上四种说法都不对7. 下面关于集合的表示正确的个数是①；②；③．A. B. C. D.8. 若集合，，则中元素的个数是A. B. C. D.9. 设集合，，则“且”成立的充要条件是A. B. C. D.10. 设集合，若（为自然对数底数），则A. B.C. D.11. 已知集合，则集合中元素的个数是A. B. C. D.12. 已知集合，，则中所含元素的个数为A. B. C. D.13. 设集合，，，则中的元素个数为A. B. C. D.14. 已知集合，则中元素的个数为A. B. C. D.15. 下列集合中，是空集的是A.B.C.D.16. 设集合，，若，则A. B. C. D.17. 设集合，集合，则集合中元素的个数是A. B. C. D.18. 若正方体的棱长为，则集合中个元素的个数为A. B. C. D.19. 若集合，则集合中的元素个数是A. B. C. D.20. 若集合，则实数的取值集合是A. B.C. D.21. 已知集合，，则中所含元素的个数为A. B. C. D.22. 设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是A. B. C. D.23. 若集合满足对任意的，有，则称集合为“闭集”，下列集合中不是“闭集”的是A. 自然数集B. 整数集C. 有理数集D. 实数集24. 已知集合，，则中所含元素的个数为A. B. C. D.25. 若集合，则实数的值的集合是A. B.C. D.26. 已知集合，集合中至少有个元素，则A. B. C. D.27. 已知，则集合的子集的个数是A. B. C. D.28. 已知集合，集合，则集合中元素的个数为A. B. C. D.29. 设是实数集的非空子集，如果，，，则称是一个“和谐集”．下面命题中假命题是A. 存在有限集，是一个“和谐集”B. 对任意无理数，集合都是“和谐集”C. 若，且均是“和谐集”，则D. 对任意两个“和谐集”，，若，，则30. 已知集合，，，则A. 或B. 或C. 或D. 或31. 函数的定义域为，图象如图1所示，函数的定义域为，图象如图2所示，若集合，，则中元素的个数为A. B. C. D.32. 已知集合，，定义集合，则中元素的个数为A. B. C. D.33. 已知集合，，定义集合，则中元素的个数为A. B. C. D.34. 设集合，则A. 对任意实数，B. 对任意实数，C. 当且仅当时，D. 当且仅当时，35. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，，，，，给出如下四个结论：①；②；③若整数，属于同一“类”，则；④若，则整数，属于同一“类”．其中，正确结论的个数是A. B. C. D.36. 用表示非空集合中元素的个数，定义若，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则A. B. C. D.37. 已知集合，，，且，，．设，则A. B. C. D. 以上都不对38. 设是实数集的非空子集，如果，有，，则称是一个“和谐集”．下面命题为假命题的是A. 存在有限集，是一个“和谐集”B. 对任意无理数，集合都是“和谐集”C. 若，且，均是“和谐集”，则D. 对任意两个“和谐集”，，若，，则39. 设是整数集的非空子集，如果对任意的，，有，则称关于数的乘法是封闭的．若，是的两个不相交的非空子集，，且对任意的，，，有，对任意的，，有，则下列结论恒成立的是A. ，中至少有一个关于数的乘法是封闭的B. ，中至多有一个关于数的乘法是封闭的C. ，中有且只有一个关于数的乘法是封闭的D. ，关于数的乘法都是封闭的40. 若集合且，且，用表示集合中元素个数，则A. B. C. D.二、填空题（共40小题；共200分）41. 集合，当时，若，则称为的一个“孤立元素”，则中孤立元素的个数为．42. 设集合，则．43. 集合中的最小整数为．44. 元素与集合的概念（1）把统称为元素，通常用表示．（2）把叫做集合（简称为集），通常用表示．45. 定义集合运算，设集合，，则集合．46. 集合的元素个数有个．47. 含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则．48. 已知关于的不等式的解集为，，则实数的取值范围是．49. 已知，，则．50. 下列各组对象不能形成集合的是．（填序号）①大于的所有整数；②高中数学的所有难题；③被除余的所有整数；④函数图象上所有的点．51. 已知，若集合中恰有个元素，则的取值范围为．52. 已知集合，若，则实数的值为 .53. 已知集合，若中元素至多有个，则的取值范围是．54. 集合与集合的元素个数相同，则的取值集合为．55. 已知集合，若，则的值为．56. 设，，，则集合中元素的个数为个．57. 将，，，，这个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有和，第二张卡片上写有，第三张卡片上写有，则应该写在第张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是．58. 已知集合，则集合中元素的个数是．59. 已知集合，且，那么实数的取值范围是．60. 从集合中随机取一个点，若的概率为，则的最大值是．61. 已知是集合的非空子集，且当时，有，记满足条件的集合的个数为，则，．62. 若集合中只有一个元素，则．63. 已知集合，若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是．64. 设集合，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个．65. 已知集合，若存在，使得集合中所有整数的元素的和为，则的取值范围是．66. 若集合，且下列四个关系中有且只有一个是正确的：①；②；③；④．则符合条件的有序数组的个数是．67. 已知集合，存在，使得集合中所有为整数的元素和为，则的取值范围是．68. 已知集合，若对于任意，都存在，使得成立，则称集合是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①；②；③；④．其中是“垂直对点集”的序号是．69. 已知集合，集合，定义集合，之间的运算“”：，则集合中最大的元素是，集合所有子集的个数为．70. 已知集合，若表示集合中元素的个数，则．71. 以下关于命题的说法正确的有（填写所有正确命题的序号）．①“若，则函数（，且）在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若，则”的否命题是“若，则”；③命题“若，都是偶数，则也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若，则”与命题“若，则”等价．72. 若集合，则实数的取值范围是．73. 设，，均为非零实数，则的所有值为元素组成的集合是．74. 对于任意实数，表示不超过的最大整数，如，．定义在上的函数，若，则中所有元素之和为．75. 设全集，，，，则集合，．76. 设表示不超过的最大整数，集合中的元素个数为个．77. 若自然数使得加法运算均不产生进位现象，则称为"给力数"，例如：是"给力数"，因为不产生进位现象；不是"给力数"，因产生进位现象．设小于的所有"给力数"的各个数位上的数字组成集合，则集合中的数字和为．78. 已知数集（）具有性质对任意，其中，均有，若，则．79. 在边长为的正方形中，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．若为的最小值，其中，，则．80. 已知集合，对于元素和，有，（填“”或“”） .三、解答题（共20小题；共260分）81. 已知集合．（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围．82. 若数集具有以下性质：对任意的，，与两数中至少有一个属于，则称数集具有性质．分别判断数集与是否具有性质，并说明理由．83. 已知集合中至多有一个元素，求实数的取值范围．84. 已知，若，求实数的值．85. 已知集合，试用列举法表示集合．86. （1）已知，非空集合．若是的必要条件，求的取值范围．（2）本例条件不变，问是否存在实数，使是的充要条件．（3）本例条件不变，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．87. 已知集合各元素之和等于，求实数的值．88. 集合中的元素为正整数，且满足“若，则”．（1）试写出只有一个元素的集合；（2）试写出全部的有两个元素的集合；（3）满足上述条件的集合总共有多少个?89. 数集满足条件：若，则．（1）若，试求中必须含有的其它所有元素；（2）自己设计一个数属于，然后求出中必须含有的其它所有元素；（3）从上面的解答过程中你能悟出什么道理，并大胆证明你发现的"道理"．90. 设数集满足条件：①；②且；③若，则．（1）若，则中至少有几个元素?（2）证明：中不可能只有一个元素．91. 已知集合，其中，由的元素构成两个相应的集合：，，其中是有序数对．若对于任意的，总有，则称集合具有性质．检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和．92. （1）设集合，，，求集合中的元素个数；（2）设，集合，求的值．93. 已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围．94. 已知数集满足条件：，若，则．（1）若，则集合中还有哪些元素?（2）请你任意设集合中的一个元素（实数），再探讨该集合中其他元素；（3）从上面两题的解答过程中，你领悟到什么结论?并加以证明．95. 已知集合，，用列举法表示集合．96. 用适当的方法表示下列集合：（1）的正约数组成的集合；（2）大于且小于的实数组成的集合；（3）图中阴影部分的点（不包括边界）组成的集合．97. 已知集合．在下列条件下分别求实数的取值范围：（1）；（2）恰有两个子集；（3）．98. 已知数集且有性质：对任意的，，与两数中至少有一个属于．（1）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（2）证明：，且；（3）当时，证明：，，，，成等差数列．99. 已知集合．对于，，定义；；与之间的距离为．（1）当时，设，，求；（2）证明：若，，，且，使，则；（3）记．若，，且，求的最大值．100. 已知集合，其中，，称为的第个坐标分量，若，且满足如下两条性质：中元素个数不少于个；，，，存在，使得，，的第个坐标分量是；则称为的一个好子集．（1）为的一个好子集，且，，写出，；（2）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过；（3）若为的一个好子集，且中恰有个元素，求证：一定存在唯一一个，使得中所有元素的第个坐标分量都是．答案第一部分1. B2. B3. C 【解析】提示：由两个集合相等可知，或，当时，无意义，所以．4. D5. C【解析】集合中的元素是点，故A，B不对．又，分别可以取或，故选C．6. C 【解析】①错；表示元素不是集合；②对；考查集合中元素的无序性；③错；考查集合中元素的互异性；④错；为无限集．7. B 【解析】因为集合的元素具有无序性，•故①不正确；中的元素为，表示直线上的点组成的集合，中的元素是，表示函数的值域，故②不正确；和均表示大于的数组成的集合，故③正确．所以正确的说法只有③．8. B 【解析】由已知，得．由，得的取值只可能是和，从而，所以中含有个元素．9. D10. C11. C 【解析】集合的元素来源于集合，且是集合中两元素的差值，因为集合中不同任意两元素的差分别是，，，，当两元素相同时，差为，所以集合．12. B13. B 【解析】因为集合中的元素，，，所以当，时，．当，时，．由集合元素的互异性，可知．即，共有个元素．14. A15. D【解析】因为方程的判别式，所以方程无实根，故D选项为空集，A选项中只有一个元素，B选项中有无数个元素，即抛物线上的点，C选项中只有一个元素．16. C 【解析】已知，所以，则，所以，所以，，所以．17. C 【解析】当时，；当时，．所以集合B中的元素个数是．18. A 【解析】因为正方体的棱长为，，，，所以所以集合中元素的个数为．19. A20. D【解析】时，满足条件；时，由题意知且，得，所以．21. D22. B 【解析】当时，；当时，；当时，．由集合中元素的互异性知中有，，，，，，，共个元素．23. A 【解析】取自然数集中两个值，，而．24. D25. D【解析】当时符合题意；当时，相应一元二次方程中的，得．综上得．26. C27. B28. B29. D 【解析】A显然正确；B，对任意无理数，取，，，则，，所以是“和谐集”，正确；C，任意“和谐集”中一定含有，所以，正确；D，取，，但既不属于也不属于，所以，D为假命题．30. B31. C32. C 【解析】当时，，而，此时，，则中元素的个数为．当时，，而，此时，．由于，时，中的元素与前面重复，故此时与前面不重复的元素个数为，则中元素的个数为．33. C 【解析】或或，共个点；，共个点．由，知；同理由，知．当或时，可取；当时，可取．故中共有元素个．34. D35. C【解析】由于，对于①，除以等于余，所以，所以①对；对于②，，被除余，所以②错；对于③，因为，是同一类，可设，，则能被整除，所以，所以③正确；对于④，若，则可设，，即，，不妨令，，，，，，，则，，，所以，属于同一类，所以④正确．故正确的有①③④．36. B 【解析】由，则或，，当时，符合题意；当，，符合题意．综上，．37. B 【解析】要判断与集合之间的关系，只要看能否写成，，，，，的形式即可．，，分别是，，中的元素，分别可以写成，，，，，的形式，对它们进行运算即可．设，，，，，，则由于，所以．38. D 【解析】方法一：显然集合｛｝是和谐集，选项A为真命题；对任意无理数，，，，，所以集合都是“和谐集”，选项B为真命题；若，且，均是“和谐集”，显然，，则，选项C为真命题．故选D．方法二：显然，均是“和谐集”，且，，而，选项D是假命题，故选D．39. A 【解析】由于，则整数一定在，两个集合中的一个中．不妨设，则，由于，，，则，即，从而对乘法封闭；另一方面，当非负整数，负整数时，关于乘法封闭，关于乘法不封闭，故D不对；当奇数，偶数时，，显然关于乘法都是封闭的，故B和C不对．40. A【解析】对于集合，当时，、、可取、、、，故个数为；当时，、、可取、、，故个数为；当时，、、可取、，故个数为；当时，、、可取，故个数为；所以集合中元素的个数为．对于集合，当时，可取、、、；当时，可取、、；当时，可取、；当时，可取；故、组共可取个，同理，、组也可取个，所以集合中元素的个数为．因此，．第二部分41.【解析】当时，；当时，；当时，；当时，；综上可知，中只有一个孤立元素．42. 143.44. （1）研究对象小写拉丁字母 .（2）一些元素组成的总体大写拉丁字母45.【解析】当，时，；当，时，；当，时，；当，时，．所以．46.【解析】容易解得，于是集合中的元素个数为个．47.48. 由于，即不满足集合，则或，得．49.50. ②【解析】①③④中的对象是确定的，能够形成集合；②中的对象不确定，故不能形成集合的是②．51.【解析】因为中恰有个元素，所以，故的取值范围为．52. 或53. 或54.【解析】由于集合中只有等式这一个元素，所以集合中也只有一个元素．当时，；当时，，．55.【解析】因为，所以或．当，即时，，此时集合中有重复元素，所以不符合题意，舍去；当时，解得或（舍去），此时符合题意．所以．56.57. 二，【解析】显然不在第一张卡片上，也不在第三张卡片上，所以只能在第二张卡片上；因为第一张卡片上已经写有和，所以不在第一张卡片上，又第二张卡片上写有，所以也不在第二张卡片上，故在第三张卡片上；，不在第三张卡片上，不在第二张卡片上，所以在第一张卡片上，在第二张卡片上；在第三张卡片上．58.【解析】当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，．根据集合中元素的互异性知，中元素有，，，，，共个．59.【解析】因为，所以不满足集合中的不等式，所以，故．60.【解析】从集合中随机取一个点，共有种情况，即，；，；，，的概率为，即的情况有种，即，，，，，，则的最大值是．61. ，【解析】将，，，分为组，和，和，，和，为一组，每组中的两个数中必须同时属于或同时不属于一个满足条件的集合，每组属于或不属于，有两种情况，的可能性有，排除一个空集，的个数为，故，．62. 或【解析】若，则，符合题意；若，则由题意得，解得．综上，的值为或．63. 或【解析】由题意知或解得或．64.【解析】符合题意的集合是：，，，，，，共个．65.【解析】不等式可化为，当时，集合，此时集合中所有整数的元素的和不可能为，不符合题意；当时，集合，此时集合中所有整数的元素的和为，不符合题意；当时，集合，要使集合中所有整数的元素的和为，则．66.【解析】由于题意是只有一个是正确的，所以①不成立，否则②成立，即可得．若，则或；若，则；若，则或或．所以共有个．67.【解析】不等式可化为．当时，集合，此时集合中所有为整数的元素和不可能为，不符合题意；当时，集合，此时集合中所有整数的元素和为，不符合题意；当时，集合，要使集合中所有为整数的元素和为，则．68. ③④【解析】由题意可得集合是“垂直对点集”等价于对于过曲线上任意一点与原点的直线，都存在过曲线上另一点与原点的直线与之垂直．①，假设集合是“垂直对点集”，则存在两点，，满足，化为，无解，因此假设不成立，即集合不是“垂直对点集”；②，取，则不存在，满足，因此集合不是“垂直对点集”；③，结合图象可知，集合是“垂直对点集”；④，结合图象可知，集合是“垂直对点集”．综上可得，只有③④是“垂直对点集”．69. ，70.【解析】因为，，，，，因为，，，，成首项为、公差为的等差数列，所以易知该等差数列的项数为．所以．71. ②④【解析】对于①，若，则，所以函数在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若是偶数，则，都是偶数”，是假命题，如是偶数，但和均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出命题“若，则”与命题“若，则”互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④．72.【解析】因为，所以，所以或解得．73.【解析】，，均为正数时，；，，均为负数时，；，，两正一负或两负一正时，．74.75.【解析】，由知，所以，即．所以，，故，所以，．76.【解析】设．当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．所以在时，，由上知可以取，若，则只取个值，故集合中共有个不同元素．77.【解析】"给力数"的个位取值有，，三种情况，"给力数"的其他数位取值有，，，四种情况，所以，故集合中的数字和为．78.【解析】当有，即，又因为，所以，故，由已知，又，，所以，即．又，且，故或，若，则，与已知矛盾，所以，即．同理可得出，故，故，．79.【解析】正方形如图所示，由题可知，，，；，，；因此，，，；再结合，当，时，如上图，，可算得为的最大值，则相应的，时，最大，且此时与夹角为，所以．80. ，【解析】因为，所以与均为整数，且．令，即，所以解得即二元方程有解，所以 .对于，即，令无整数解；再令亦无整数解．因此，．第三部分81. （1）因为中有两个元素，所以关于的方程有两个不等的实数根，所以，且，即所求的范围是且．（2）当时，方程为，所以集合；当时，若关于的方程有两个不相等的实数根，则也只有一个元素，此时；若关于的方程没有实数根，则没有元素，此时，综合知此时所求的范围是或．82. 由于与均不属于集数，所以该数集不具有性质．由于，，，，，，，，，均属于数集，所以该数集具有性质．83. 或．84. ．85. ．86. （1）由，得，所以，由是的必要条件，知．则所以，所以当时，是的必要条件，即所求的取值范围是．（2）若是的充要条件，则，所以方程组无解，即不存在实数，使是的充要条件．（3）由例题知，因为是的必要不充分条件，所以且．所以．所以或所以，即的取值范围是．87. 或．忽略集合的互异性，由直接得到，所以．漏解，此时．88. （1），即，则．（2），．（3）共有个，分别为，，，，，，．89. （1），则，即．则，即；则，即；所以中必须含有的其它所有元素为．（2）答案不唯一，如：若，则中必须含有的其它所有元素为．（3）分析以上结果可以得出，中只要含有元素，就至少含有个元素，分别是，且三个数的乘积为．证明如下：若，则有，且，所以又有，且，进而有．又因为（因为，则，而方程无解），同理，所以中至少含有个元素，它们分别是，且三个数的乘积是．90. （1）若，则，所以．所以．所以中至少有，，三个元素．（2）假设中只有一个元素，设这个元素为，由已知，则，即，此方程无解．这与中有一个元素矛盾，所以中不可能只有一个元素．91. 集合不具有性质．集合具有性质，其相应的集合，．92. （1）因为集合中的元素，，，所以当时，，此时；当时，，此时．根据集合中元素的互异性可知，．即，共有个元素．（2）因为，，所以，得，所以，，所以．93. （1）当时，，则．（2）由知解得，即实数的取值范围为．（3）当，即时，满足；当，即时，要满足，需有或，解得或，所以．综上，实数的取值范围是．94. （1）由已知，得，即，，即，，即，所以，．所以集合中还有，．（2）不妨设，则，即，，即，，即，所以，．（3）由（ 1）（ 2）猜测中仅有三个元素，即，，．下面证明这三个数在集合中且互不相等．先证存在．因为，所以存在且不等于，所以．由，可知．而，即时，有意义．再证互不相等．若，则，又，故无实数解，即，同理，．综上所述，集合中必有这三个互不相等的元素，而，因此中有且仅有这三个元素．95. 因为，，，，，，，所以．96. （1）的正约数有，，，，是个有限集，因此采用列举法表示为．（2）采用描述法表示为．（3）采用描述法表示为且．97. （1）若，则关于的方程没有实数解，则解得；（2）若恰有两个子集，则为单元素集，则关于的方程恰有一个实数解．①当时，，满足题意；②当时，解得．综上，的取值集合为．（3）若，则关于的方程在区间内有解．因为所以．98. （1）因为与均不属于集合，所以数集不具有性质．因为，，，，，，，，，均属于集合，所以数集是具有性质．（2）因为对任意的，与两数中至少有一个属于，所以与中至少有一个是数列中的项，因为数列是递增有限数列，且，所以，故．从而．所以，因为，所以，故．所以．又因为，所以，所以，，，，，即．所以．（3）由知，当时，有，，即，因为，所以，所以，所以．由，得，且，所以，即，所以，，，，是首项为，公差为的等差数列．99. （1）当时，由，得所以．（2）设，，．由，使，即得所以，使得，其中．由此与同为非负数或同为负数．从而（3）首先证明如下引理：设，则有．证明如下：因为，，所以即成立．结合上述引理，得上式等号成立的条件为，或，所以．对于，，有，且综上，的最大值为．100. （1）；（2）对于，考虑元素，显然，，，，对于任意的，，，不可能都为，可得，不可能都在好子集中，又因为取定，则一定存在且唯一，而且，且由的定义知道，，，，这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素个数为，所以中元素个数不超过．（3），定义元素，的乘积为：，显然 .我们证明：“对任意的，，都有.”假设存在，使得，则由知，此时，对于任意的，不可能同时为，矛盾，所以．因为中只有个元素，我们记为中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道，显然这个元素的坐标分量不能都为，不妨设，根据的定义，可以知道中所有元素的坐标分量都为．下面再证明的唯一性：若还有，即中所有元素的坐标分量都为，所以此时集合中元素个数至多为个，矛盾.所以结论成立．。

七年级(上册)数学课后答案解析

七年级上册第一章１.１具有相反意义的量
１.２数轴相反数与绝对值
１.３有理数大小的比较
１.４.１有理数的加法
１.４.２有理数的减法
１.５有理数的乘法和除法
１.６有理数的乘方
１.７有理数的混合运算
第一章复习题
第二章２.１用字母表示
２.２列代数式
２.３代数式的值
２.４整式
２.５整式的加法和减法
第二章复习题
第三章３.１建立一元一次方程模型
３.２等式的性质
３.２一元一次方程的解法
３.４一元一次方程模型的应用
第三章复习题
第四章４.１几何图形
４.２线段射线直线
４.３.１角与角的大小
４.３.２角的度量与计算
第五章复习题
５.１数据的收集与抽样
５.２统计图
第六章复习题。

第一章基本初等函数1.1.2

第一章 1.1 1.1.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修4
导学号34340042 把α＝1 690°写成β＋2kπ(k∈Z，β∈[0,2π))的形式．
π 25π [解析] 1 690° ＝180×1 690＝8π＋ 18 .
第一章
1.1
1.1.2
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导学号34340045
27π 3π ∴ 4 与 4 终边相同． 3π 27π 又∵ 4 是第二象限角，∴ 4 是第二象限角．
第一章 1.1 1.1.2
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39π 3π π 39π π (2) 6 ＝6π＋ 6 ＝6π＋2，∴ 6 与2的终边相同． π 39π 又∵2是象限界角，∴ 6 也是象限界角，它不属于任何象限．
第一章 1.1 1.1.2
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3π 3 (2)∵β1＝ 5 ＝(5×180)° ＝108° ，与其终边相同的角为 108° ＋k· 360° ，k∈Z， ∴在－720° ～0° 范围内与 β1 有相同终边的角是－612° 和－ 252° . 同理，β2＝－420° 且在－720° ～0° 范围内与 β2 有相同终边的角是－60° ，－420° .
导学号34340033
[答案] B 12π [解析] ＝720° ，故选 B． 3 ＝4π＝4×180°
第一章 1.1 1.1.2
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2．(2015· 山东烟台高一期末测试)若扇形的半径为 1，圆心角为 3 弧度，则扇形的面积为( A．1 C．2

第一章集合1.1.1集合的概念

• 用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的办法，叫文氏图。
多用于解题些指定的对象集在一起就形成一个集合。 • 集合的表示以及元素与集合间关系表示方法。 • 集合表示方法：列举法、描述法、文氏图法。 D:\高一PPT\集合的表示方法.doc D:\高一PPT\集合概念与表示方法练习题.doc
如何表示一个集合呢？
1.1.2集合的表示方法
1.1.2 集合的表示方法
• 列举法如果一个集合是有限集，元素又不太多，常常把集合的所有元素都列举出来，写在话括号“{ }”内表示这个集合。例如，由两个元素0，1构成的集合可表示为 {0,1}. 又如，24的所有正因数1,2,3,4,6,8,12,24构成的集合可以表示为 {1,2,3,4,6,8,12,24}.
• 大括号内竖线左边的x表示这个集合的任意一个元素，元素x从实数集合中取值，在竖线集合右边写出只有集合内的元素x才具有的性质
• 一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p（x），而不属于集合A的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质。于是，集合A可以用它的特征性质p(x)描述为
例题：
• 下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所以很大的实数；（2）市四中高一（二）班的高个子同学；（3）1，1，2，3，4，5.
上面我们用自然的语言来描述集合的几个例子，下面我们来看下集合的表示方法。
• 集合通常用英语大写字母A,B,C,...来表示，它们的元素通常用英语小写字母a，b，c，...来表示。 • 如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作读作“a属于A”. 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作
例题：
• 由方程 x 2 − 1 = 0 的所有解组成的集合，可以表示为｛-1，1｝

第一章 §1.1 1.1.1 第1课时空间向量及其线性运算

§1.1 空间向量及其运算 1．1.1 空间向量及其线性运算第1课时空间向量及其线性运算学习目标 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算．导语国庆期间，某游客从上海世博园(O )游览结束后乘车到外滩(A )观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B )游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D )俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？一、空间向量的有关概念知识梳理1．在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. 2．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记为－a共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这注意点：(1)平面向量是一种特殊的空间向量．(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． (3)向量不能比较大小．(4)共线向量不一定具备传递性，比如0．例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，则AB →>CD →D ．相等向量其方向必相同答案 D解析 A 中，单位向量长度相等，方向不确定； B 中，|a |＝|b |只能说明a ，b 的长度相等而方向不确定； C 中，向量不能比较大小．(2)(多选)下列命题为真命题的是( ) A ．若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b B ．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1——→C ．若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝pD ．空间中，a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 答案 BC解析 A 为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A 中向量a 与b 的方向不一定相同；B 为真命题，AC →与A 1C 1——→的方向相同，模也相等，故AC →＝A 1C 1——→； C 为真命题，向量的相等满足传递性；D 为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b ＝0时，a 与c 不一定平行．反思感悟空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．跟踪训练1 如图所示，以长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)试写出与AB →相等的所有向量； (2)试写出AA 1→的相反向量；(3)若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1→的模．解 (1)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A 1B 1——→，DC →及D 1C 1——→共3个． (2)向量AA 1→的相反向量为A 1A —→，B 1B —→，C 1C —→，D 1D —→. (3)|AC 1→|＝|AC |2＋|CC 1|2＝|AB |2＋|BC |2＋|CC 1|2＝3.二、空间向量的加减运算问题空间中的任意两个向量是否共面？为什么？提示共面，任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致．知识梳理加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算三角形法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述加法交换律a ＋b ＝b ＋a运算结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )注意点：(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点． (2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用．例2 (1)(多选)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1→的是( )A.A 1D 1——→－A 1A —→－AB →B.BC →＋BB 1→－D 1C 1——→C.AD →－AB →－DD 1→D.B 1D 1——→－A 1A —→＋DD 1→ 答案 AB解析 A 中，A 1D 1——→－A 1A —→－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； B 中，BC →＋BB 1→－D 1C 1——→＝BC 1→＋C 1D 1——→＝BD 1→；C 中，AD →－AB →－DD 1→＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D —→≠BD 1→；D 中，B 1D 1——→－A 1A ——→＋DD 1→＝BD →＋AA 1→＋DD 1→＝BD 1→＋AA 1→≠BD 1→.故选AB. (2)化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________. 答案 0解析方法一(转化为加法运算)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD → ＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0．方法二(转化为减法运算) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝(AB →－AC →)＋(BD →－CD →) ＝CB →＋BC →＝0．反思感悟空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．跟踪训练2 如图，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果．(1)AB →＋BC →－DC →； (2)AB →－DG →－CE →.解 (1)AB →＋BC →－DC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →.(2)AB →－DG →－CE →＝AB →＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →. 三、空间向量的数乘运算知识梳理定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义λ>0λa 与向量a 的方向相同 λa 的长度是a 的长度的|λ|倍λ<0 λa 与向量a 的方向相反 λ＝0λa ＝0，其方向是任意的运算律结合律 λ(μa )＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb注意点：(1)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0．(2)λ的正负影响着向量λa 的方向，λ的绝对值的大小影响着λa 的长度． (3)向量λa 与向量a 一定是共线向量．例3 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N —→；(3)MP →. 解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1——→＋D 1P —→＝a ＋AD →＋12D 1C 1——→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋12b ＋c .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N —→＝A 1A —→＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A —→＋AP →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c . 延伸探究1.例3的条件不变，试用a ，b ，c 表示向量PN →. 解因为P ，N 分别是D 1C 1，BC 的中点，所以PN →＝PC 1→＋C 1C —→＋CN →＝12AB →＋(－AA 1→)＋⎝⎛⎭⎫－12AD →＝－a ＋12b －12c .2．若把例3中“P 是C 1D 1的中点”改为“P 在线段C 1D 1上，且C 1P PD 1＝12”，其他条件不变，如何表示AP →？解 AP →＝AD →1＋D 1P —→＝AA 1→＋AD →＋23AB →＝a ＋c ＋23b .反思感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．跟踪训练3 已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值． (1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →； (2)P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →. 解 (1)由图可知，OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(P A →＋PC →)＝PQ →－12P A →－12PC →，∴x ＝y ＝－12.(2)∵P A →＋PC →＝2PO →， ∴P A →＝2PO →－PC →. ∵PC →＋PD →＝2PQ →， ∴PC →＝2PQ →－PD →，∴P A →＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →. ∴x ＝2，y ＝－2.1．知识清单： (1)向量的相关概念．(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘)． (3)向量的线性运算的运算律．2．方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想．3．常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数．1．(多选)下列命题中，真命题是( )A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等答案 ABC解析容易判断D 是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量． 2．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.PM → B.NP → C ．0 D.MN →答案 C解析 PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝NM →－NM →＝0．3．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．空间四边形 C ．等腰梯形 D ．矩形答案 A解析 ∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →， ∴AB →＝DC →.∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1——→)＋D 1C 1——→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1——→；④(AA 1→＋A 1B 1——→)＋B 1C 1——→.其中运算结果为AC 1→的有________个．答案 4解析根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断： ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1——→)＋D 1C 1——→＝AD 1→＋D 1C 1——→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1——→＝AB 1→＋B 1C 1——→＝AC 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1——→)＋B 1C 1——→＝AB 1→＋B 1C 1——→＝AC 1→. 所以4个式子的运算结果都是AC 1→.课时对点练1．下列说法中正确的是( )A ．空间中共线的向量必在同一条直线上B.AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合 C ．数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向 D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →答案 C解析对于A ，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A 错误；对于B ，AB →＝CD →的充要条件是|AB →|＝|CD →|，且AB →，CD →同向．但A 与C ，B 与D 不一定重合，所以B 错误；对于C ，λ既决定大小又决定方向，所以C 正确；对于D ，满足AB →＋AD →＝AC →的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，因而D 错误．综上可知，正确的为B.2．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3答案 D解析向量a ，b 互为相反向量，则a ，b 模相等，方向相反，故选D. 3.如图，在四棱柱的上底面ABCD 中，AB →＝DC →，则下列向量相等的是( )A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB → 答案 D解析对于A ，AD →与CB →的方向相反，因而不是相等向量，所以A 错误；对于B ，OA →与OC →的方向相反，因而不是相等向量，所以B 错误；对于C ，AC →与DB →的方向不同，因而不是相等向量，所以C 错误；对于D ，DO →与OB →的方向相同，大小相等，是相等向量，因而D 正确．4.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B —→等于( )A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．b －a －cD ．b －a ＋c答案 C解析 A 1B —→＝AB →－AA 1→＝(CB →－CA →)－AA 1→， ∵AA 1→＝CC 1→＝c ， ∴A 1B —→＝b －a －c .5.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，则MN →等于( )A.12a －12b ＋12c B ．－12a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23cD.12a ＋12b －12c 答案 B解析 MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝12a ＋(b －a )＋12(c －b )＝－12a ＋12b ＋12c .6．(多选)已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，则下列四式中正确的有( ) A.AB →－CB →＝AC →B.AC ′——→＝AB →＋B ′C ′———→＋CC ′—→C.AA ′—→＝CC ′—→D.AB →＋BB ′—→＋BC →＋C ′C ——→＝AC ′—→ 答案 ABC解析作出平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′的图象如图，可得AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，故A 正确；AB →＋B ′C ′———→＋CC ′—→＝AB →＋BC →＋CC ′—→＝AC ′—→，故B 正确；C 显然正确；AB →＋BB ′—→＋BC →＋C ′C ——→＝AB →＋BC →＝AC →，故D 不正确．综上，正确的有ABC.7．设A ，B ，C ，D 为空间任意四点，则AC →－BC →＋BD →＝________. 答案 AD →解析 AC →－BC →＋BD →＝AC →＋CB →＋BD →＝AD →.8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 是AA 1的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，用a ，b ，c 表示CM →，则CM →＝________. 答案－a －b ＋12c解析 ∵CM →＝CB →＋BA →＋AM →＝－BC →－AB →＋AM →，又∵M 是AA 1的中点， ∴AM →＝12AA 1→，∴CM →＝－BC →－AB →＋12AA 1→，∵AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， ∴CM →＝－a －b ＋12c .9.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量．(1)CB →＋BA 1→； (2)AC →＋CB →＋12AA 1→；(3)AA 1→－AC →－CB →. 解 (1)CB →＋BA 1→＝CA 1→. (2)因为M 是BB 1的中点，所以BM →＝12BB 1→.又AA 1→＝BB 1→，所以AC →＋CB →＋12AA 1→＝AB →＋BM →＝AM →.(3)AA 1→－AC →－CB →＝CA 1→－CB →＝BA 1→. 向量CA 1→，AM →，BA 1→如图所示．10.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值．解 ∵AE →＝AB →＋BC →＋CE →＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12OC →＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12(OD →＋DC →)＝－OA →＋12(OD →＋AB →)＝－OA →＋12OD →＋12(OB →－OA →)＝12OD →＋12OB →－32OA →，又AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，∴x ＝12，y ＝－32.11．已知空间中任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A.DB → B.AB → C.AC → D.BA → 答案 D解析方法一 DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →＝CA →－CB →＝BA →. 方法二 DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →)＝DA →＋BD →＝BA →.12.如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC 与BD 的交点为O ，点M 在BC ′上，且BM ＝2MC ′，则OM →等于( )A ．－12AB →＋76AD →＋23AA ′—→B ．－12AB →＋56AD →＋13AA ′—→C ．12AB →＋16AD →＋23AA ′—→D ．12AB →－16AD →＋13AA ′—→答案 C解析因为BM ＝2MC ′，所以BM →＝23BC ′—→，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，OM →＝OB →＋BM →＝OB →＋23BC ′—→＝12DB →＋23(AD →＋AA ′—→)＝12(AB →－AD →)＋23(AD →＋AA ′—→)＝12AB →＋16AD →＋23AA ′—→. 13．如图，在四面体ABCD 中，E ，G 分别是CD ，BE 的中点，若记AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，则AG →＝________.答案 12a ＋14b ＋14c解析在四面体ABCD 中，E ，G 分别是CD ，BE 的中点，则AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12BE →＝AB →＋12×12(BC →＋BD →)＝AB →＋14(AC →－AB →＋AD →－AB →)＝AB →＋14AC →＋14AD →－12AB →＝12AB →＋14AD →＋14AC →＝12a ＋14b ＋14c . 14.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简A 1O —→－12AB →－12AD →＝________.(2)用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________. 答案 (1)A 1A —→(2)12AB →＋12AD →＋AA 1→解析 (1)A 1O —→－12AB →－12AD →＝A 1O —→－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1O —→＋OA →＝A 1A —→.(2)因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，所以OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.15．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′—→＝xAB →＋y 2BC →＋z 3CC ′—→，则x ＋y ＋z ＝________. 答案 6解析在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC ′—→＝AB →＋BC →＋CC ′—→，又AC ′—→＝xAB →＋y2BC →＋z 3CC ′—→，∴⎩⎨⎧ x ＝1，y2＝1，z3＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，z ＝3，∴x ＋y ＋z ＝6.16.如图，已知ABCD －A ′B ′C ′D ′是平行六面体．(1)化简12AA ′—→＋BC →＋23AB →，并在图中标出其结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD→＋γAA ′—→，试求α，β，γ的值．解 (1)如图，取AA ′的中点E ，在D ′C ′上取一点F ，使D ′F ＝2FC ′，连接EF ，则EF →＝12AA ′—→＋BC →＋23AB →.(2)因为MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′—→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′—→)＝12AB →＋14AD →＋34AA ′—→，所以α＝12，β＝14，γ＝34.。

人教版七年级地理上册第一章第一节 1.1.2 纬线和纬度经线和经度经纬网

2．用途：在航海、航空、交通、军事以及气象观测等许多方面都可以利用__经__纬__网__来确定位置。
当堂练习
1．下列关于纬线说法正确的是( A )
A．形状为圆形
B．形状为直线
C．各条纬线长度相等
D．指示南北方向
2. 东半球的范围是（ D ） A.0°经线以东至180°经线之间的半球 B.20°E至160°W之间的半球 C.20°W至160°E之间的半球 D.20°W往东至160°E之间的半球
10°W 0° 10°E 20°E 30°E
向西度数增大向东度数增大
向
20°N 北
度
10°N 数
增 0° 大
向
10°S 南
度数增大
课堂小结
地球和地球仪
纬线和纬度经线和经度经纬网
纬线定义、形状、指示方向、长度、位置关系
纬度
定义、代表字母、度数范围、半球划分、中高低纬划分
经线定义、形状、指示方向、长度、经线圈
__半__圆____
由赤道向两极逐渐 __缩__短____
所有的经线长度都 __相__等____
___东__西___方向
___南__北___方向
所有纬线都相互平行(除所有经线都相交于
南、北极点外)
南北极点
课堂小结
二、纬度和经度
项目
纬度
经度
图示
度数起始线划分方法
__赤__道____(0°纬线)
从0°纬线向南和向北各分___9_0_°___
当堂练习
3．图中位于南半球的是( B ) A．小红 B．小兰 C．小刚 D．小明
无数条
半圆
南北
相等均为2万千米
相互关系纬线与纬线相互平行

高中数学第一章集合与函数概念 1.1.1 集合的含义与表示第2课时集合的表示课件新人教版必修1

举法表示为{(1,2)}，也可用描述法表示为{(x，y)|xy＝＝12， }.
易错警示
解析答案
跟踪训练4 用列举法表示下列集合. (1)A＝{y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；解因为y＝－x2＋6≤6，且x∈N，y∈N，所以x＝0,1,2时，y＝6,5,2，符合题意，所以A＝{2,5,6}. (2)B＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}. 解 (x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；
解设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}.
(3)由1～20以内的所有质数组成的集合.
解设由 1 ～ 2 0 以内的所有质数组成的集合为 C ，那么 C＝
反思与感悟
第一章 1.1.1 集合的含义与表示
第2课时集合的表示
学习目标
1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法). 2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.
栏目索引
知识梳理题型探究当堂检测
自主学习重点突破自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点集合的表示方法 1.列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法. 2.描述法：(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. (2)写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的_一__般__符__号__及__取__值__(_或__变__ 化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的_共__同__ 特征 .
则Δ＝64－64k＝0，即k＝1.

数学必修5教学课件第一章数列1.1.2

可.(2)图像的上升或下降显示数列的增减性.
解:(1)列表如下.
n1 2
3
4
5
6
789…
an -7 -12 -15 -16 -15 -12 -7 0 9 …
描点:在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图像. (1,-7),(2,-12),(3,-15),(4,-16),(5,-15),(6,-12),(7,-7),(8,0),(9,9),…
分析:通过考查 f(x)=2��1-11的单调性得到数列{an}的增减性,同时
考查 an 的符号,即可得到{an}的最大项和最小项.
1
解:因为函数
f(x)=2��1-11
=
2
��2
上是减少的,
在
11 2
,
+
∞
上是减少的,所以当 1≤n≤5 时,
an<0,{an}是递减的;
解法一:因为 an=32��-��1, 所以 an+1=32��++22,
于是
an+1-an=32��++22
−
3��-1 2��
=
(2��+22)·2��>0,
所以 an+1>an,故{an}是递增数列.
-11-
-7-
1.1 数列的概念
探究一
探究二
图像如图.
探究三
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(2)数列{an}的图像既不是上升的,也不是下降的,所以{an}既不是

2022年秋高中数学第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算课件新人

π
2
<a,b>=
a⊥b
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)两个有共同始点且相等的向量,其终点必相同.( √ )
(2)两个有公共终点的向量,一定是共线向量.( × )
(3)在空间中,任意一个向量都可以进行平移.( √ )
(4)模相等的向量不一定是相等向量.( √ )
(5)表示两个平行向量的有向线段所在的直线一定不重合.( × )
提示两个非零向量共线且同向时,<a,b>=0;两个非零向量共线且反向
时,<a,b>=π.
知识点2 空间向量的线性运算及其运算律
(1)如图,任意给定两个不共线的向量a,b,在空间中任取一点O,作
=a, =b ,以OA,OC为邻边作平行四边形OABC,则
①加法:a+b= .
②减法:a-b= .
向量的模(或
向量的大小也称为向量的模,向量a的模可用 |a| 来表示
长度)
相等向量
大小相等、方向相同的向量
平行向量
方向相同或者相反的两个非零向量
(或共线向量)
空间中的多个向量,如果表示它们的有向线段通过平移之后,
共面向量
都能在同一平面内
(2)空间向量的夹角
∠AOB
<a,b>
0≤<a,b>≤π
λa+λb
.
名师点睛
(1)在△ABC 中, + + =0.
(2)以向量a,b为邻边的平行四边形中,a+b与a-b对应的有向线段所表示的
是两条对角线,|a+b|与|a-b|为两条对角线的长度.

高等代数课件(北大版)第一章_多项式§1.1

又对 x, y Q( 2), 设 x a b 2, y c d 2, a,b,c,d Q, 则有
x y (a c) (b d ) 2 Q( 2),
x y (ac 2bd ) (ad bc) 2 Q( 2)
设 a b 2 0, 于是 a b 2 也不为0．
第一章多项式
§1 数域 §2 一元多项式 §3 整除的概念 §4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式
§7 多项式函数 §8 复、实系数多项式
的因式分解 §9 有理系数多项式 §10 多元多项式 §11 对称多项式
2020/2/9
数学科学学院
一、数域二、数域性质定理
§1.1 2020/2/9 数域

ac a2
2bd 2b2

ad bc a2 2b2
2 Q.
Q( 2)为数域．
Gauss数域
类似可证 Q(i) a bi a,b Q, i 1 是数域.
§1.1 2020/2/9 数域
数学科学学院
例2．设P是至少含两个数的数集，证明：若P中任意两个数的差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一
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作业
1．若 P1, P2为数域，证明：P1 I P2也为数域．
§1.1 2020/2/9 数域
数学科学学院
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一、数域
定义设P是由一些复数组成的集合，其中包括
0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域．
常见数域：复数域C；实数域R；有理数域Q；
（注意：自然数集N及整数集Z都不是数域．）
§1.1 2020/2/9 数域

北师大版九年级数学上册第一章《1.1 菱形的性质与判定》练习题

《1.1 菱形的性质与判定》练习题一．选择题1．菱形具有而一般平行四边形所没有的性质是（）A．两组对边分别相等B．两条对角线相等C．四个内角都是直角D．对角线平分对角2．已知菱形的边长与一条对角线的长相等，则菱形的最大的内角是（）A．90°B．120°C．135°D．150°3．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD 上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝30°，则菱形ABCD的面积是（）A．18 B．18C．36 D．365．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4 B．8 C．D．66．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连结OA．则四边形AOED的周长为（）A．9+2B．9+C．7+2D．87. 如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是( )A．24 B．16 C．413 D．2 38. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，0)，B(1，1)．若平移点A 到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是( )A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B．向左平移(22－1)个单位，再向上平移1个单位C．向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向上平移1个单位9. 如图，已知四边形ABCD的四边都相等，等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC，CD上，且AE＝AB，则∠C的度数为( )A．100°B．105°C．110°D．120°10．如图6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为60°，边长为1，A，B都在格点上，则AB的长为( )A． 5 B．32C．7 D．52。

第一章 1.1

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