《空间中直线与直线的位置关系》习题
2.1.2直线和直线位置关系2
(3)解决问题
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角 (或夹角).
o o
异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]
课本例题3：如图，已知正方体中， （1）哪些棱所在的直线与直线BA1是 异面直线？ （2）直线BA1与直线CC1的夹角为多 少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA1垂 D1 C1 直？
A1 B1
D
A B
C
例题4： 如图所示，在空间四边形ABCD 中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD 的中点．若EF＝ 2 ，求AD、BC所成的 角．
求异面直线所成的角的步骤是:
一作(找)：作（或找）平行线
二证：证明所作的角为所求的异 面直
线所成的角。
三求：在一恰当的三角形中求出角
BACK
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三.课堂练习
如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度? 解答： (1)∵GF∥BC 2 E
如果两条异面直线 a , b 所成的角为直 角，我们就称这两 条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位
置不同时, 这一角的大小是否改变?
b′ b
a′ ″
O
BACK
NEXT
1、异面两直线所成交的大小与0点的位置无关。
o o
2、异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ] 3、在求作异面直线所成的角时,O点常选在其 中的一条直线上 (如线段的端点,线段的中点等)
2.4.1空间中直线与直线之间的位置关系
A F B
空间两直线的位置关系
相交直线 平行直线 异面直线 ：不同在任何一个 平面内的两条直线
公理4：在空间平行于同一条直线的两条直
线互相平行．（平行线传递性） 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补． 异面直线所成的角：平移，转化为相交直线所成的角
异面直线所成角的求法: 一作(找) 二证 三求
D1
G
A1
E B1
C1
D
F
C B
求异面直线所成的角的步骤是: 一作：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异面 直线所成的角 三算：在一恰当的三角形中求出角
2 5 5
A
例3 四边形ABCD是空间四边形，E、 G分别是边AB、 CD的中点，H、F分别是边AD、CB的中点，求证：四 边形EFGH是平行四边形. A
A B F G C E
D G
C
A D B
H
H
E F
二、异面直线的画法
说明: 画异面直线时,为了体现它们不共面的特点， 常借助一个或两个平面来衬托. 如图：
b A b
(2)
a
a b
(3)
a
(1)
在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,那么 这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢? 观察: 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, …之间有何关系？
600
A
A H E E G
D
C B
D G H C
B
注意：在求作异面直线所成角的平移过程中，经 常移到其中一条线段的端点或线段的中点处。
练习 1如图, 长方体ABCD-EFGH中, AB =2 3 , AD = 2 3 , AE = 2
高中数学第二章空间中直线与直线之间的位置关系课时作业含解析新人教A版必修2
高中数学课时分层作业：课时作业9 空间中直线与直线之间的位置关系——基础巩固类——1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(C)A．一定平行B．一定异面C．相交或异面D．一定相交解析：在空间中分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是异面或相交．故选C．2．两等角的一组对应边平行，则(D)A．另一组对应边平行B．另一组对应边不平行C．另一组对应边不可能垂直D．以上都不对解析：另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别．3．长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有(C)A．2对B．3对C．6对D．12对解析：如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对．故选C．4．若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是(D)A．异面B．平行C．相交D．相交、平行、异面均可能解析：若a∥b，显然直线a，b与直线l所成的角相等；若a，b相交，则a，b确定平面α，若直线l⊥α，则l⊥a，l⊥b，此时直线a，b与直线l所成的角相等；当直线a，b异面时，同样存在直线l与a，b都垂直，此时直线a，b与直线l所成的角相等．故选D．5．如下图所示，若G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(D)A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④解析：①中GH ∥MN ；③中GM ∥HN 且GM ≠HN ，故GH ，MN 必相交，所以①③中GH ，MN 共面，故选D ．6．在四面体ABCD 中，AD ＝BC ，且AD ⊥BC ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则EF 与BC 所成的角为( B )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析：如图，取BD 的中点G ，连接EG ，GF ，则∠EFG 即为异面直线EF 与BC 所成的角．因为EG ＝12AD ，GF ＝12BC ，且AD ＝BC ，所以EG ＝GF .因为AD ⊥BC ，EG ∥AD ，GF ∥BC ，所以EG ⊥GF ，所以△EGF 为等腰直角三角形，所以∠EFG ＝45°.7．已知空间两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为60°或120°. 解析：根据“等角定理”可知，α与β相等或互补，故β为60°或120°. 8．如图所示，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，AA 1的中点．(1)直线AB 1和CC 1所成的角为45°； (2)直线AB 1和EF 所成的角为60°.解析：如图．(1)因为BB1∥CC1，所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角，∠AB1B＝45°.(2)连接B1C，易得EF∥B1C，所以∠AB1C即为异面直线AB1和EF所成的角．连接AC，则△AB1C为正三角形，所以∠AB1C＝60°.9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．其中正确结论的序号是①③.解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，所以只有①③正确．10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点．求证：(1)GB∥D1F；(2)∠BGC＝∠FD1E.证明：(1)因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，所以CE綊GD1，BF綊GD1，所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形．所以GC∥D1E，GB∥D1F.(2)因为∠BGC 与∠FD 1E 两边的方向都相同，所以∠BGC ＝∠FD 1E .11.如图，在三棱锥A -BCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，AO ⊥OC ，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2，求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．解：如图，取AC 的中点M ，连接OM ，ME ，OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB ，OE ∥DC ，所以直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．EM ＝12AB ＝22，OE ＝12DC ＝1，因为OM 是Rt △AOC 斜边AC 上的中线， 所以OM ＝12AC ＝1，取EM 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥EM ，在Rt △OEH 中，所以cos ∠OEM ＝EH OE ＝12×221＝24.——能力提升类——12．已知在空间四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，且AC ＝4，BD ＝6，则( A )A ．1<MN <5B ．2<MN <10C ．1≤MN ≤5D ．2<MN <5解析：取AD 的中点H ，连接MH ，NH ，则MH 綊12BD ，NH 綊12AC ，且M ，N ，H 三点构成三角形．由三角形中三边关系可得|MH －NH |<MN <|MH ＋NH |，即1<MN <5.13．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1上有一只蚂蚁从A 点出发沿正方体的棱前进，若它走进的第(n ＋2)条棱与第n 条棱是异面的，则这只蚂蚁走过第 2 018条棱之后的位置可能在( D )A ．点A 1处B ．点A 处C ．点D 处 D ．点B 1处解析：由图形(如图)结合正方体的性质知，与直线AB异面的直线有A1D1，B1C1，CC1，DD1，共4条．蚂蚁从A点出发，走进的第(n＋2)条棱与第n条棱是异面的，如AB→BC→CC1→C1D1→D1A1→A1A，按照此走法，每次要走6条棱才回到起点．∵2 018＝6×336＋2，∴这只蚂蚁走过第2 018条棱之后的位置与走过第2条棱之后的位置相同．而前2条棱的走法有以下几种情况：AB→BB1，AB→BC，AD→DC，AD→DD1，AA1→A1B1，AA1→A1D1.故走过第2条棱之后的位置可能有以下几种情况：B1，C，D1.故选D．14．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM所成的角为90°.解析：如图所示，连接BC1，则BC1∥AD1，则异面直线AD1与DM所成的角为直线BC1与DM 所成的角．∵M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，∴BC1∥MN.∵∠CMN＝90°，∴BC1⊥MC，又MC是斜线DM在平面BCC1B1上的射影，∴DM⊥BC1，∴直线BC1与DM所成的角为90°，则异面直线AD1与DM所成的角为90°.15．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB ＝BC＝23，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，求AA1的长．解：如图，连接CD1，AC．由题意得在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC＝23，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，∴∠AD1C为A1B和AD1所成的角．∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°，∴∠AD1C＝90°.∵在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，且底面是菱形，∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝22AC．∵底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，∴AC＝23×sin60°×2＝6，∴AD1＝22AC＝32，∴AA1＝AD21－A1D21＝ 6.。
空间中直线与直线的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系[新知初探]1．异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．(2)异面直线的画法：2．空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点[点睛](1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．3．平行公理(公理4)(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．a∥b b∥c⇒a∥c.(2)符号表述：}4．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．5．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.[点睛](1)异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．(2)公理4也称为平行公理，表明空间的平行具有传递性，它在直线、平面的平行关系中得到了广泛的应用．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行()(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行()(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线()(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面解析：选D空间中两直线的位置关系有：①相交；②平行；③异面．两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故a与b的位置关系是平行或异面．3．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对解析：选B由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补，故∠PQR＝30°或150°.两直线位置关系的判定[典例]如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．[解析](1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1綊BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．[答案](1)平行(2)异面(3)相交(4)异面(1)判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．(2)判定两条直线是异面直线的方法①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．[活学活用]1．在空间四边形ABCD中，E，F分别为对角线AC，BD的中点，则BE与CF() A．平行B．异面C．相交D．以上均有可能解析：选B假设BE与CF是共面直线，设此平面为α，则E，F，B，C∈α，所以BF，CE⊂α，而A∈CE，D∈BF，所以A，D∈α，即有A，B，C，D∈α，与ABCD为空间四边形矛盾，所以BE与CF是异面直线，故选B.2．若a，b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．异面或相交解析：选D由空间直线的位置关系，知c与b可能异面或相交．平行公理与等角定理的应用[典例]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.[证明](1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，∴四边形AMM1A1是平行四边形，∴A1A綊M1M.又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一个平面内没有公共点；②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．(2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，这是两种情况都有可能．[活学活用]如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.证明：(1)如图，连接AC，在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，∴MN∥AC，MN＝12AC.由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1.又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.异面直线所成角[典例] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，1111的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．[解] 法一：如图1所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.图1法二：如图2所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HE綊12DB1，于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．连接HF，设AA1＝1，则EF＝22，HE＝32，取A1D1的中点I，连接HI，IF，则HI⊥IF，∴HF2＝HI2＋IF2＝5 4，∴HF2＝EF2＋HE2，∴∠HEF＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.图2法三：如图3，连接A1C1，分别取AA1，CC1的中点M，N，连接MN. ∵E，F分别是A1B1，B1C1的中点，∴EF∥A1C1，又MN∥A1C1，∴MN∥EF.连接DM，B1N，MB1，DN，则B1N綊DM，∴四边形DMB1N为平行四边形，∴MN与DB1必相交，设交点为P，则∠DPM为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．设AA1＝k(k>0)，则MP＝22k，DM＝52k，DP＝32k，∴DM2＝DP2＋MP2，∴∠DPM＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.法四：如图4，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接B1Q，易得B1Q∥EF，∴∠DB1Q就是异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．设AA1＝k(k>0)，则B1D＝3k，DQ＝5k，B1Q＝2k，∴B1D2＋B1Q2＝DQ2，∴∠DB1Q＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角范围是0°＜θ≤90°.[活学活用]如图所示，点A是△BCD所在平面外一点，AD＝BC，E，F分别是AB，CD的中点，当EF＝22AD时，求异面直线AD和BC所成的角．解：如图所示，设G为AC的中点，连接EG，FG. ∵E，F，G分别为AB，CD，AC的中点．∴EG∥BC，且EG＝12BC；FG∥AD，且FG＝12AD.又AD＝BC，∴EG＝FG＝12AD.∴EG与GF所成的锐角(或直角)即为AD与BC所成的角．在△EFG中，∵EG＝FG＝12AD，又EF＝22AD，∴EG2＋FG2＝EF2，即EG⊥FG.∴∠EGF＝90°.故AD与BC所成角为90°.层级一学业水平达标1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直解析：选D因为a⊥b，b∥c，则a⊥c，故选D.2．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条()A．相交B．异面C．相交或异面D．平行解析：选C如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面．3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是() A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：选C如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.4．已知直线a，b，c，下列三个命题：①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.其中，正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选A①不正确如图；②不正确，有可能相交也有可能异面；③不正确．可能平行，可能相交也可能异面．5．异面直线a，b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是()A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交解析：选D若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由公理4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．解析：连接AD1，则AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.答案：60°7．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS是异面直线的一个图是________(填序号)．解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．答案：③8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．解析：如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)．设正方体的棱长为a，则A1M＝32a，ME＝54a，A1E＝414a，所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即异面直线A1M与DN所成的角为90°. 答案：90°9.如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．证明：设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1(平行公理)．∴四边形EQC1B1为平行四边形．∴B1E綊C1Q.又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，∴QD綊C1F.∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q綊DF.∴B1E綊DF.∴四边形B1EDF为平行四边形．10.如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角．解：如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG.∵E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD，∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝12CD，GF＝12AB.∴∠GFE就是EF与AB所成的角，EG＝GF.∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.∴∠EGF＝90°.∴△EFG为等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°，即EF与AB所成的角为45°.层级二应试能力达标1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：选A如图所示，连接BD1，CD1，CD1与C1D交于点F，由题意可得四边形A1BCD1是平行四边形，在平行四边形A1BCD1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，所以EF∥BD1，所以直线A1B与直线EF相交，故选A.2．在三棱锥A-BCD中，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH 是( )A ．菱形B ．矩形C ．梯形D ．正方形解析：选B 如图，在△ABD 中，点H ，E 分别为边AD ，AB 的中点，所以HE 綊12BD ，同理GF 綊12BD ，所以HE 綊GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形．又AC ⊥BD ，所以HG ⊥HE ，所以四边形EFGH 是矩形，故选B.3．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与BC 1所成的角的大小是( )A ．60°B ．75°C ．90°D ．105°解析：选C 设BB 1＝1，如图，延长CC 1至C 2，使C 1C 2＝CC 1＝1，连接B 1C 2，则B 1C 2∥BC 1，所以∠AB 1C 2为AB 1与BC 1所成的角(或其补角)．连接AC 2，因为AB 1＝3，B 1C 2＝3，AC 2＝6，所以AC 22＝AB 21＋B 1C 22，则∠AB 1C 2＝90°.4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是( )A ．0°<θ<60°B ．0°≤θ<60°C ．0°≤θ≤60°D ．0°<θ≤60°解析：选D 如图，连接CD 1，AC ，因为CD 1∥BA 1，所以CP 与BA 1所成的角就是CP 与CD 1所成的角，即θ＝∠D 1CP .当点P 从D 1向A 运动时，∠D 1CP 从0°增大到60°，但当点P 与D 1重合时，CP ∥BA 1，与CP 与BA 1为异面直线矛盾，所以异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.5.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，则异面直线EF 与B 1D 1所成的角为__________．解析：连接BC 1，AD 1，AB 1，则EF 为△BCC 1的中位线，∴EF ∥BC 1.又∵AB 綊CD 綊C 1D 1，∴四边形ABC 1D 1为平行四边形．∴BC 1∥AD 1.∴EF ∥AD 1.∴∠AD 1B 1为异面直线EF 和B 1D 1所成的角或其补角．在△AB 1D 1中，易知AB 1＝B 1D 1＝AD 1，∴△AB 1D 1为正三角形，∴∠AD 1B 1＝60°.∴EF 与B 1D 1所成的角为60°.答案：60°6.如图，空间四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝6，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，并且异面直线AC 与BD 所成的角为90°，则MN 等于________．解析：取AD 的中点P ，连接PM ，PN ，则BD ∥PM ，AC ∥PN ，∴∠MPN 即异面直线AC 与BD 所成的角，∴∠MPN ＝90°，PN ＝12AC ＝4，PM ＝12BD ＝3，∴MN ＝5. 答案：57．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1与AC ，AB 所成的角均为60°，∠BAC ＝90°，且AB ＝AC ＝AA 1，求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值．解：如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC -A 1B 1D 1C 1，连接BD 1，A 1D 1，AD ， 由四棱柱的性质知BD 1∥AC 1，则∠A 1BD 1就是异面直线A 1B 与AC 1所成的角．设AB ＝a ，∵AA 1与AC ，AB 所成的角均为60°，且AB ＝AC ＝AA 1，∴A 1B ＝a ，BD 1＝AC 1＝2AA 1·cos 30°＝3a .又∠BAC ＝90°，∴在矩形ABCD 中，AD ＝2a ，∴A 1D 1＝2a ，∴A 1D 21＋A 1B 2＝BD 21，∴∠BA 1D 1＝90°， ∴在Rt △BA 1D 1中，cos ∠A 1BD 1＝A 1B BD 1＝a 3a ＝33.8.正三棱锥S -ABC 的侧棱长与底面边长都为a ，E ，F 分别是SC ，AB 的中点，求直线EF 和SA 所成的角．解：如图，取SB 的中点G ，连接EG ，GF ，SF ，CF .在△SAB 中，F ，G 分别是AB ，SB 的中点，∴FG ∥SA ，且FG ＝12SA . 于是异面直线SA 与EF 所成的角就是直线EF 与FG 所成的角．在△SAB 中，SA ＝SB ＝a ，AF ＝FB ＝12a ，∴SF⊥AB，且SF＝3 2a.同理可得CF⊥AB，且CF＝3 2a.在△SFC中，SF＝CF＝32a，SE＝EC，∴FE⊥SC且FE＝SF2－SE2＝2 2a.在△SAB中，FG是中位线，∴FG＝12SA＝a2.在△SBC中，GE是中位线，∴GE＝12BC＝a2.在△EGF中，FG2＋GE2＝a22＝FE2，∴△EGF是以∠FGE为直角的等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°.∴异面直线SA与EF所成的角为45°.。
空间两条直线之间的位置关系
3. 如图,已知长方体ABCD-EFGH中,
AB = 2 3 , AD = 2 3 , AE = 2
(1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度?
(1)∵GF∥BC H E 2 A
2 3 D 2 3
G F C B
∴∠EGF（或其补角）为所求.
a与b是异面直线
a与b是相交直线
a与b是平行直线
4.空间直线与直线之间的位置关系
相交直线 同在一个平面内 按是否在 同一平面内分 平行直线
不同在任何一个平面内: 异面直线 有一个公共点: 相交直线 按公共点个数分 无公共点 平行直线 异面直线
(1)在如图所示的正方体中，指出哪些 棱所在的直线与直线BA1是异面直线？
Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 (2) ∵BF∥AE ∴∠FBG（或其补角）为所求, Rt△BFG中，求得∠FBG = 60o
o
6.小结：
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线. 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 辅助平面衬托法 平移，转化为相交直线所成的角
温故知新
判断下列命题对错： 1.如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这 条直线上的所有点都在这个平面内。（ ） 2.将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课 桌所在平面只有一个公共点。 （） 3.四个点中如果有三个点在同一条直线上，那么 这四个点必在同一个平面内。 （ ） 4.一条直线和一个点可以确定一个平面。（ ） 5.如果一条直线和另两条直线都相交，那么这三 条直线可以确定一个平面。 （ ）
空间中直线与直线之间的位置关系(附答案)
空间中直线与直线之间的位置关系[学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题.知识点一空间中两条直线的位置关系1.异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行.②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线.(2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线.(3)判断方法方法内容定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内定理法过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)反证法假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线2.空间中两条直线位置关系的分类(1)按两条直线是否共面分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)按两条直线是否有公共点分类⎩⎨⎧有且仅有一个公共点——相交直线无公共点⎩⎪⎨⎪⎧平行直线异面直线思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？ 答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二 公理4(平行公理)知识点三 空间等角定理 1.定理判断或证明两个角相等或互补2.推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 思考 如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？ 答 不一定.这两条直线可能相交、平行或异面 知识点四 异面直线所成的角1.概念：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).2.异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.3.如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b.4.异面直线所成的角的两种求法(1)在空间任取一点O，过点O分别作a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的锐角(或直角)为异面直线a与b所成的角，然后通过解三角形等方法求角.(2)在其中一条直线上任取一点(如在b上任取一点)O，过点O作另一条直线的平行线(如过点O作a′∥a)，则两条直线相交所成的锐角(或直角)为异面直线所成的角(如b与a′所成的角)，然后通过解三角形等方法求角(如图).题型一空间两条直线的位置关系的判定例1若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A.平行B.异面C.相交D.平行、相交或异面答案 D解析可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面.跟踪训练1如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________； (4)直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________. 答案 (1)平行 (2)异面 (2)相交 (4)异面 解析 序号 结论 理由(1) 平行 因为A 1D 1綊BC ，所以四边形A 1BCD 1为平行四边形，所以A 1B ∥D 1C(2) 异面 A 1B 与B 1C 不同在任何一个平面内(3) 相交 D 1D ∩D 1C ＝D 1(4) 异面AB 与B 1C 不同在任何一个平面内题型二 公理4、等角定理的应用例2 E ，F 分别是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱A 1A ，C 1C 的中点，求证：四边形B 1EDF 是平行四边形.证明 设Q 是DD 1的中点， 连接EQ ，QC 1. 因为E 是AA 1的中点， 所以11//D A EQ .又因为在矩形A 1B 1C 1D 1中，1111//C B D A ， 所以11//C B EQ .所以四边形EQC 1B 1为平行四边形.所以Q C E B 11//. 又因为Q ，F 分别是矩形DD 1C 1C 两边D 1D ，C 1C 的中点， 所以F C QD 1//.所以四边形DQC 1F 为平行四边形. 所以FD Q C //1.又因为Q C E B 11//，所以FD E B //1. 所以四边形B 1EDF 为平行四边形.跟踪训练2 如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC ⊥BD . 证明 (1)在△ABD 中，∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH ∥BD .同理FG ∥BD ，则EH ∥FG . 故E ，F ，G ，H 四点共面.(2)由(1)知EH ∥BD ，同理AC ∥GH . 又∵四边形EFGH 是矩形， ∴EH ⊥GH .故AC ⊥BD .题型三 异面直线所成的角例3 如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角. 解 如图，取BD 的中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别为BC ，AD 的中点， AB ＝CD ，所以EG ∥CD ，GF ∥AB ， 且EG ＝12CD ，GF ＝12AB .所以∠GFE 就是EF 与AB 所成的角或其补角，EG ＝GF . 因为AB ⊥CD ，所以EG ⊥GF .所以∠EGF ＝90°. 所以△EFG 为等腰直角三角形.所以∠GFE ＝45°，即EF 与AB 所成的角为45°.跟踪训练3 空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小. 解 取AC 的中点G ，连接EG ，FG ， 则EG //12AB ，GF //12CD .故直线GE ，EF 所成的锐角即为AB 与EF 所成的角， 直线GE ，GF 所成的锐角即为AB 与CD 所成的角. ∵AB 与CD 所成的角为30°，∴∠EGF ＝30°或150°. 由AB ＝CD ，知EG ＝FG ，∴△EFG 为等腰三角形. 当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝75°； 当∠EGF ＝150°时，∠GEF ＝15°. 故EF 与AB 所成的角为15°或75°.转化与化归思想例5 在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2a ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，EF ＝3a ，求异面直线AD ，BC 所成的角.分析 要求异面直线AD ，BC 所成的角，可在空间中找一些特殊点，将AD ，BC 平移至一个三角形中.此题已知E ，F 分别为AB ，CD 的中点，故可寻找一边中点，如BD 的中点M ，则∠EMF (或其补角)为所求角.解 如图，取BD 的中点M .由题意，知EM 为△BAD 的中位线， 所以EM ∥AD 且EM ＝12AD .同理，MF ∥BC 且MF ＝12BC .所以EM ＝a ，MF ＝a ，且∠EMF (或其补角)为所求角. 在等腰△MEF 中，取EF 的中点N ， 连接MN ，则MN ⊥EF . 又因为EF ＝3a ， 所以EN ＝32a . 故有sin ∠EMN ＝EN EM ＝32.所以∠EMN ＝60°，所以∠EMF ＝2∠EMN ＝120°. 因为∠EMF ＝120°＞90°，所以AD ，BC 所成的角为∠EMF 的补角， 即AD 和BC 所成的角为60°.反证法的合理应用例6 如图，三棱锥P －ABC 中，E 是PC 上异于点P 的点.求证：AE 与PB 是异面直线.分析利用定义直接证明，即从不同在任何一个平面内中的“任何”开始入手，一个平面一个平面地寻找是不可能实现的，因此必须找到一个间接证法来证明，反证法即是一种行之有效的方法.证明假设AE与PB不是异面直线，设AE与PB都在平面α内，因为P∈α，E∈α，所以PE⊂α.又因为C∈PE，所以C∈α.所以点P，A，B，C都在平面α内.这与P，A，B，C不共面(P－ABC是三棱锥)矛盾.于是假设不成立，所以AE与PB是异面直线.1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A.共面B.平行C.异面D.平行或异面2.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交3.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线()A.有无数条B.有两条C.至多有两条D.有一条4.如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN 是异面直线的图形有________.(填序号)5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为________.一、选择题1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A.一定平行B.一定相交C.一定异面D.相交或异面2.已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β等于()A.60°B.120°C.30°D.60°或120°3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°4.下面四种说法：①若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面；②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；③若a∥b，则a、b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是()A.4B.3C.2D.15.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是()A.梯形B.矩形C.平行四边形D.正方形6.若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8,12，则过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为()A.10B.20C.8D.47.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()1与B1E是异面直线B.C1C与AE共面C.AE与B1C1是异面直线D.AE与B1C1所成的角为60°二、填空题8.在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对.9.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确的序号为________.10.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为______.三、解答题11.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA ＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值.12.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明：EG＝FH.当堂检测答案1.答案 D解析 若直线a 和b 共面，则由题意可知a ∥b ；若a 和b 不共面，则由题意可知a 与b 是异面直线.2.答案 B解析 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1与BC 是异面直线，又AA 1∥BB 1，AA 1∥DD 1，显然BB 1∩BC ＝B ，DD 1与BC 是异面直线，故选B.3.答案 A解析 我们现在研究的平台是锥空间.如图所示，过点P 作直线l ′∥l ，以l ′为轴，与l ′成30°角的圆锥面的所有母线都与l 成30°角.4.答案 ②④解析 ①中，∵G ，M 是中点，∴AG 綊BM ，∴GM 綊AB 綊HN ，∴GH ∥MN ，即G ，H ，M ，N 四点共面；②中，∵H ，G ，N 三点共面，且都在平面HGN 内，而点M 显然不在平面HGN 内，∴H ，G ，M ，N 四点不共面，即GH 与MN 异面；③中，∵G ，M 是中点，∴GM 綊12CD ，∴GM 綊12HN ，即GMNH 是梯形，则HG ，MN 必相交，∴H ，G ，M ，N 四点共面；④中，同②，G ，H ，M ，N 四点不共面，即GH 与MN 异面.5.答案 13解析 设棱长为1，因为A 1B 1∥C 1D 1，所以∠AED 1就是异面直线AE 与A 1B 1所成的角.在△AED 1中，cos ∠AED 1＝D 1E AE ＝1232＝13.课时精练答案一、选择题1.答案D解析 可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).2.答案 D解析 由等角定理，知β与α相等或互补，故β＝60°或120°.3.答案 B解析 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1∥CC 1，故∠B 1BA 1就是异面直线BA 1与CC 1所成的角，故为45°.4.答案 D解析 若a 、b 异面，b 、c 异面，则a 、c 相交、平行、异面均有可能，故①不对.若a 、b 相交，b 、c 相交，则a 、c 相交、平行、异面均有可能，故②不对.若a ⊥b ，b ⊥c ，则a 、c 平行、相交、异面均有可能，故④不对.③正确.5.答案 D解析 如图，因为BD ⊥AC ，且BD ＝AC ，又因为E ，F ，G ，H 分别为对应边的中点，所以FG //EH //12BD ，HG //EF //12AC .所以FG ⊥HG ，且FG ＝HG .所以四边形EFGH 为正方形.6.答案 B解析 设截面四边形为EFGH ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，∴EF ＝GH ＝12AC ＝4，FG ＝HE ＝12BD ＝6，∴周长为2×(4＋6)＝20. 7.答案 C解析 由于CC 1与B 1E 都在平面C 1B 1BC 内，故C 1C 与B 1E 是共面的，所以A 错误；由于C 1C 在平面C 1B 1BC 内，而AE 与平面C 1B 1BC 相交于E 点，点E 不在C 1C 上，故C 1C 与AE 是异面直线，B 错误；同理AE 与B 1C 1是异面直线，C 正确；而AE 与B 1C 1所成的角就是AE 与BC 所成的角，E 为BC 中点，△ABC 为正三角形，所以AE ⊥BC ，D 错误.综上所述，故选C.二、填空题8.答案 8解析 以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD 是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线.9.答案 ①③解析 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，AB ⊥EF ，EF 与MN 是异面直线，AB ∥CM ，MN ⊥CD ，只有①③正确.10.答案 60°解析 连接BC 1，A 1C 1，∵BC 1∥AD 1，∴异面直线A 1B 与AD 1所成的角即为直线A 1B 与BC 1所成的角.在△A 1BC 1中，A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，∴∠A 1BC 1＝60°，故异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°.三、解答题11.解 取AC 的中点F ，连接EF ，BF ，在△ACD 中，E ，F 分别是AD ，AC 的中点，∴EF ∥CD ，∴∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角).在Rt △ABC 中，BC ＝2，AB ＝AC ，∴AB ＝AC ＝1，在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝52. 在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22. 在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52. 在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010， ∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010.12.(1)证明 因为AE ∶EB ＝AH ∶HD ，所以EH ∥BD .又因为CF ∶FB ＝CG ∶GD ，所以FG ∥DB .所以EH ∥FG .所以E ，F ，G ，H 四点共面.(2)解 当且仅当EH ∥FG ，EH ＝FG 时，四边形EFGH 为平行四边形.因为EH BD ＝AE AE ＋EB ＝m m ＋1，所以EH ＝m m ＋1BD . 同理FG ＝n n ＋1BD ，由EH ＝FG ，得m ＝n . 故当m ＝n 时，四边形EFGH 为平行四边形.(3)证明 当m ＝n 时，AE ∶EB ＝CF ∶FB ，所以EF ∥AC .又因为AC ⊥BD ，而∠FEH 是AC 与BD 所成的角，所以∠FEH ＝90°，从而平行四边形EFGH 为矩形，所以EG ＝FH .。
空间直线与直线的位置关系
A H E D G
1 同理， 同理，FG ∥BD且FG = 2 BD 且
∴EH ∥FG且EH =FG 且 ∴EFGH是一个平行四边形 是一个平行四边形
B F C 空间几何问题转化为平面几何 评析： 把所要解的空间几何问题转化为平面几何的问题 评析： 把所要解的空间几何问题转化为平面几何的问题 ——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。 解立体几何时最主要 的一种方法。 解立体几何时最主要、最常用的一种方法
小结 作业
4. 如图 长方体 如图,长方体 长方体ABCD-EFGH中, AB = 2 3 , AD = 2 中 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度 求 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度 求 所成的角是多少度? 解答： (1)∵GF∥BC ∵ ∥ ∴∠EGF即为所求 即为所求. ∴∠ 即为所求 Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 △ 中 求得∠ (2) ∵BF∥AE ∥ ∴∠FBG即为所求 即为所求, ∴∠ 即为所求 Rt△BFG中，求得∠FBG = 60 △ 中 求得∠
H F D A B
G
C
C G H E F
A D B
EF与HG、 AB与HG、 AB与CD 与 、 与 、 与
4.异面直线所成的角 异面直线所成的角
(1)复习回顾 复习回顾 平面内两条直线交成4个角 其中不大于 平面内两条直线交成 个角,其中不大于 0 个角 其中不大于90 的角称为它们的夹角， 的角称为它们的夹角，夹角刻画了一条直线 相对于另一条直线的倾斜的程度。 相对于另一条直线的倾斜的程度。 (2)问题提出 问题提出 在空间,如图所示 直线 在空间 如图所示,直线 相对于直 如图所示 直线a相对于直 的倾斜程度怎样来刻画呢? 线b的倾斜程度怎样来刻画呢 的倾斜程度怎样来刻画呢
§2.1.2-3空间中直线与直线之间的位置关系(三)
2013-1-29
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17
D
A B
C
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13
§2.1.2-3空间中直线与直线之间的位置关系(三)
求异面直线间的距离的方法:
——找异面直线的公垂线段(既垂直,又相交) 求异面直线间的距离的步骤: (1)找(作)异面直线的公垂线段——作; (2)证(说)此即为所求的距离——证; (3)求距离——算.
(1)求证:MN⊥AC
(2)当AB=CD=a,BD=b,
B M α
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A N C
16
AC=c时,求MN的长.
D
§2.1.2-3空间中直线与直线之间的位置关系(三)
课堂练习 <<教材>> P.5
练习1.2
书面作业
<<教材>> P.20 习题1.1 A组1
§2.1.2-3空间中直线与直线之间的位置关系(三)
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§2.1.2-3空间中直线与直线之间的位置关系(三)
教学目的：
1. 理解两条异面直线垂直的概念； 2.了解两条异面直线的公垂线、公垂线段 3.会求两条异面直线间的距离及主要方法。
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§2.1.2-3空间中直线与直线之间的位置关系(三)
教学重点：
异面直线间的距离。
教学难点：
两条异面直线的距离的求法.
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§2.1.2-1空间中直线与直线之间的位置关系(一)
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§2.1.2-1空间中直线与直线之间的位置关系(一)
两条直线的位置关系 思考1：同一平面内两条直线有几种位置关系？ 空间中的两条直线呢？
b
C
a
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§2.1.2-1空间中直线与直线之间的位置关系(一)
1）教室内日光灯管所在直线与黑板左右两 侧所在直线的位置关系如何？
2）天安门广场上，旗杆所在直线与长安 街所在直线的位置关系如何？
2013-1-29
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§2.1.2-1空间中直线与直线之间的位置关系(一)
A'
A'
B
D
A
D
A
∠ADC=∠A′D′C′
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∠ADC+∠B′A′D′=1800
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§2.1.2-1空间中直线与直线之间的位置关系(一)
思考3 如图，在空间中AB// A′B′，AC// A′C′，你能证明 ∠BAC与∠B′A′C′ 相等吗？ C´ E´ A´ B´ D´ C E A
两条直线的位置关系 1.定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫 做异面直线.
a
a b
b
2.异面直线的图示
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§2.1.2-1空间中直线与直线之间的位置关系(一)
两条直线的位置关系 1.定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫 做异面直线. 2.如何画异面直线
高中数学空间中直线与直线之间的位置关系练习题含答案
高中数学空间中直线与直线之间的位置关系练习题含答案一、基础过关1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是()A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上都有可能2．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则有()A ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′B ．∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180°C ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′或∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180°D ．∠BAC ＞∠B ′A ′C ′3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A ．空间四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形4．“a 、b 为异面直线”是指：①a ∩b ＝∅，且aD \∥b ；②a ⊂面α，b ⊂面β，且a ∩b ＝∅；③a ⊂面α，b ⊂面β，且α∩β＝∅；④a ⊂面α，b ⊄面α；⑤不存在面α，使a ⊂面α，b ⊂面α成立．上述结论中，正确的是()A ．①④⑤B ．①③④C ．②④D ．①⑤5．如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是________．6．已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中：(1)BC ′与CD ′所成的角为________；(2)AD 与BC ′所成的角为________．7．如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？8．如图，正方体ABCD －EFGH 中，O 为侧面ADHE 的中心，求：(1)BE 与CG 所成的角；(2)FO 与BD 所成的角．二、能力提升9.如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是()A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN <12(AC ＋BD )10．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线()A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD .以上结论中正确的序号为________．12．已知A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．三、探究与拓展13．已知三棱锥A —BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M 、N 分别是BC 、AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．答案1．D2．C 3．B 4．D 5.平行或异面6．(1)60°(2)45°7．(1)证明由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解由BE 綊12AF ，G 为FA 中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．8．解(1)如图，∵CG ∥BF ，∴∠EBF (或其补角)为异面直线BE 与CG 所成的角，又△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°.(2)连接FH ，BD ，FO ，∵HD 綊EA ，EA 綊FB ，∴HD 綊FB ，∴四边形HFBD 为平行四边形，∴HF ∥BD ，∴∠HFO (或其补角)为异面直线FO 与BD 所成的角．连接HA 、AF ，易得FH ＝HA ＝AF ，∴△AFH 为等边三角形，又依题意知O 为AH 中点，∴∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角是30°.9．D 10．B11．①③12．(1)证明假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD 是异面直线．(2)解取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.13．解如图，取AC 的中点P .连接PM 、PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为直线AB 与CD 所成的角(或所成角的补角)．则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°，若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或所成角的补角)．又因AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.故直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.。
空间两直线的位置关系
解答： 如图
答: 这个角的大小与O点的位置无关.
设a ′与 b ′相交所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 ,
∵ a′∥a , a″ ∥a∴ a′∥ a″ (公理4), 同理 b′∥b″, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理)
b
b′
a″ a
∠2
a′
O
∠1
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我们下面看书本P26例题1
B F A E D B1 E1
图2
C
F1
A1
C1
D1
3.已知：四边形ABCD空间四边形（四顶点不共面的 四边形），E、H分别是边AB，AD的中点，F、G CF CG 2 分别是边CB，CD上的点，且 CB CD 3 求证：四边形EFGH是梯形。
A
H
E
D B F
G
C
证明：如图，连结BD ∵EH是三角形ABD的中位线 1 ∴EH∥BD，EH= BD 2 CF CG 2 又在△BCD中， CB CD 3 2 ∴FG∥BD，FG= BD E 3
b b b 1b 1b 1b 1b 1b 1b 1b 1b 1b 1b 1b 111 b 1 b b b b b b b b b b b b b b b b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b b b b b 1b 1b 1b 1b 1b 11111 b 1 b b a a b 11 b a 1111 1 a 1 a b a1 1 a 1 a a1 1 a 1 a 1 a o 1 a 1 a a 11 a 1 a a11 a 1 a a1 1 a
练习1. 如图，是一块长方体形状的木块，平面AC上 有一点P，过点P画一条直线和棱 C1D1平行，说明应 该怎么画。 解： 如图（1），过点P作直线 MN∥CD，分别交AD，BC于M、N， 则由基本性质4得，MN∥C 1D1.
2-1-2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、选择题1．异面直线是指()A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线[答案] D[解析]对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除．对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是相交的情况，∴B应排除．对于C，如右图的a，b可看做是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D.规律总结：解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面要熟练掌握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例，构造相关特例模型，能快速、有效地排除相关的选择项．2．a，b为异面直线，且a⊂α，b⊂β，若α∩β＝l，则直线l必定()A．与a，b都相交B．与a，b都不相交C．至少与a，b之一相交D．至多与a，b之一相交[答案] C[解析]若a，b与l都不相交，则a∥l，b∥l，即a∥b，与a，b是异面直线矛盾．故选C.3．直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．以上都有可能[答案] D[解析]如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，所以AB∥A1B1；又AD与AA1相交，所以AB与AD相交；又A1D1与AA1相交，所以AB与A1D1异面．故选D.4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有() A．3条B．4条C．6条D．8条[答案] C[解析]画一个正方体，不难得出有6条．5．下列命题中，正确的结论有()①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] B[解析]②④是正确的．6. 空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案] A[解析]取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中∠EFH＝90°，HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，故选A.7．正方体A1B1C1D1－ABCD中，BD与B1C所成的角是()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] C [解析] ∵A 1D ∥B 1C ，∴A 1D 与BD 所成的锐角(或直角)即为所求角，连接A 1B .∵△A 1DB 为正三角形，∴∠A 1DB ＝60°.8．空间四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 的中点分别为P 、Q 、R ，且AC ＝4，BD ＝25，PR ＝3，则AC 和BD 所成的角为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°[答案] A[解析] 如图，P 、Q 、R 分别为AB 、BC 、CD 中点，∴PQ ∥AC ，QR ∥BD ，∴∠PQR 为AC 和BD 所成角又PQ ＝12AC ＝2，QR ＝12BD ＝5，RP ＝3∴PR2＝PQ2＋QR2，∴∠PQR＝90°即AC和BD所成的角为90°，故选A.二、填空题9．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是________，不平行的两条直线的位置关系是________，两条直线没有公共点，则它们的位置关系是________，垂直于同一直线的两条直线的位置关系为________．[答案]平行、相交、异面相交、异面平行、异面平行、相交、异面．10．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：①∠ACB＝∠A′C′B′；②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；③∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°.一定成立的是________．[答案]③11．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a、M、N、P、Q分别为棱AB、BC、C1D1和CC1的中点，则①MN与PQ的位置关系为________，它们所成的角为________．②DB1与MN的位置关系为________，它们所成的角是________．[答案]①相交60°②异面90°[解析]①连接AC、D1C由于P、Q分别为C1D1、C1C的中点，所以PQ∥D1C，同理MN∥AC，则AC与D1C所成角即为MN与PQ所成角，∠D1CA＝60°.②连接AC、BD交于O，取BB1的中点H，连OH，则OH∥B1D，连AH，HC，则AH＝HC，∴OH⊥AC，又MN∥AC，OH∥B1D，∴MN⊥B1D.12．正方体ABCD－A1B1C1D1中①AC和DD1所成角是________度．②AC和D1C1所成的角是________度．③AC和B1D1所成的角是________度．④AC和A1B所成的角是________度．⑤O为B1D1中点，AC和BO所成角是________度．⑥A1B和B1D1所成角是________度．[答案]①90°，②45°，③90°，④60°，⑤90°，⑥60°. [解析]①DD1⊥面ABCD，∴DD1⊥AC；②D1C1∥DC，∠DCA＝45°，∴D1C1与AC成45°角；③B1D1∥BD，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC；④A1B∥D1C，△D1AC为等边三角形，∴成60°角；⑤在正方体中，∵O是B1D1中点，∴O为A1C1中点，又A1B＝BC1∴BO⊥A1C1，又AC∥A1C1，∴BO⊥AC，∴AC与BO成90°角；⑥B1D1∥BD，△A1BD为等边三角形，∴成60°角．三、解答题13．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由．[分析]由于BC∥B1C1，所以平行于BC的直线只需要平行于B1C1即可．[解析]如图所示，在面A1C1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求．理由：∵EF∥B1C1，BC∥B1C1，∴EF∥BC.14．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E 分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．[解析]由已知得BC⊥AC，又BC＝AC，∴∠ABC＝45°.又在△VBC中，D、E分别为VB、VC中点，∴DE∥BC，∴DE与AB所成的角为∠ABC＝45°.15．如右图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2，DA ⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．[分析]根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE与DC的平行线，换句话说，平移BE(或CD)．设想平移CD，沿着DA的方向，使D移向E，则C移向AC的中点F，这样BE 与CD 所成的角即为∠BEF 或其补角，解△EFB 即可获解．[解析] 取AC 的中点F ，连接BF 、EF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点，∴EF ∥CD ，∴∠BEF 即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角)．在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝52.在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22.在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52.在等腰△EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010， ∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010.16．如下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、E 1、F 1分别为棱AD 、AB 、B 1C 1、C 1D 1的中点．求证：∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.[证明] 如下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点M，则BF＝A1M＝12AB.又∵BF∥A1M，∴四边形A1FBM为平行四边形．∴A1F∥BM.而F1、M分别为C1D1、A1B1的中点，则F1M綊C1B1，而C1B1綊BC，∴F1M∥BC，且F1M＝BC. ∴四边形F1MBC为平行四边形，∴BM∥F1C.又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则A1N綊DE，∴四边形A1NDE为平行四边形．∴A1E∥DN.又E1N∥CD，且E1N＝CD，∴四边形E1NDC为平行四边形．∴DN∥CE1.∴A1E∥CE1.∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反．∴∠EA1F＝∠E1CF1.规律总结：证明角的相等问题，等角定理及其推论是较常用的方法．另外，通常证明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的证明，如本例还可通过证明△EA1F与△E1CF1全等来证明角相等．。
2.1.2直线和直线位置关系3
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一找、二证、三求
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作业提醒
2．选择题 （1）“a，b是异面直线”是指 ① a∩b=Φ ,且a 不平行于b；② a 平面a，b平面b且a∩b=Φ ③ a 平面a，b 平面a ④ 不存在平面a，能使 a a且b a成立 上述结论中，正确的是 （ C） （A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④
（2）长方体的一条面对角线与长方体的棱所组 成的异面直线有 （ C） （A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对 （3）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则 它和另一条的位置关系是( D ) （A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面
复习检测练习题：
1. 判断: （1）平行于同一直线的两条直线平行. （ ） （2）两条直线互相垂直，它们一定相交. （ ） （3）过直线外一点，有且只有一条直线与 已知直线平行 . （ ）
王新敞
奎屯 新疆
（4）与已知直线平行且这两直线间 的距离等于5cm的直线只有两条.（ ） （5）若一个角的两边分别与另一个角 的两边平行，那么这两个角相等（ ） （6）若两条相交直线和另两条相交 直线分别平行，那么这两组直线 所成的锐角（或直角）相等. （ ）
三：思考题
正方体的平面展开图 复原后 ①BM与ED平行； ②CN与BE是异面； ③CN与BM成60°角； ④DM与BN垂直．
E D C G
A
B
F
以上四个命题中，正确命题的序号是( A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④
)
四、课堂小结
空间两直线的位置关系
相交 平行 异面
异面直线的画法 用平面来行的角相等或互补。
教学目标
• 1、理解并掌握空间直线的异面关系，能 够判断异面直线； • 2、理解并掌握异面直线所成角的定义， 会求异面所称角的大小； • 3培养学生的空间想象能力；
数学必修二空间点_直线_平面的位置关系练习题含答案
数学必修二空间点、直线、平面的位置关系学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 如图，平面不能用( )表示．A.平面αB.平面ABC.平面ACD.平面ABCD2. 已知m，n，l为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若m⊥l，n⊥l，则m // nB.若m // α，n // α，则m // nC.若m⊥α，n⊥α，则m // nD.若α⊥γ，β⊥γ，则α // β3. 对于不同点A、B，不同直线a、b、l，不同平面α，β，下面推理错误的是（）A.若A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，则a⊂βB.若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β=直线ABC.若l⊄α，A∈l，则A∉αD.a∩b=Φ，a不平行于b，则a、b为异面直线4. 若点B在直线b上，b在平面β内，则B、b、β之间的关系可记作（）A.B∈b∈βB.B∈b⊂βC.B⊂b⊂βD.B⊂b∈β5. 直线a、b为两异面直线，下列结论正确的是（）A.过不在a、b上的任何一点，可作一个平面与a、b都平行B.过不在a、b上的任一点，可作一直线与a、b都相交C.过不在a、b上任一点，可作一直线与a、b都平行D.过a可以并且只可以作一个平面与b平行6. 如图所示，平面α∩平面β=l，点A，B∈α，点C∈β，直线AB∩l=R．设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ=（）A.直线ACB.直线BCC.直线CRD.以上均不正确7. 一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是()A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定8. 若点P为两条异面直线a，b外的任意一点，则下列说法一定正确的是( )A.过点P有且仅有一条直线与a，b都平行B.过点P有且仅有一条直线与a，b都垂直C.过点P有且仅有一条直线与a，b都相交D.过点P有且仅有一条直线与a，b都异面9. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1上一点且CE=2EC1，则异面直线AE与A1B所成角的余弦值为()A.√1144B.√1122C.3√1144D.√111110. 空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角的大小关系为（）A.相等B.互补C.相等或互补D.互余11. 在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线AB和CC1的距离为________．12. 如图所示是一个正方体的表面展开图，A，B，C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为________．13. 如果一条直线不在平面内，那么这条直线与这个平面的位置关系是________．14. 已知a // β，a⊂α，α∩β=b，则a和b的位置关系是________．15. 设a、b为两条直线，α、β为两个平面，有下列四个命题：①若a⊂α，b⊂β，且a // b，则α // β；②若a⊂α，b⊂β，且a⊥b，则α⊥β；③若a // α，b⊂α，则a // b；④若a⊥α，b⊥α，则a // b；其中正确命题的序号为________．16. 设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________（用代号表示）．17. 在空间直角坐标系O−xyz中，经过A(1, 0, 2)，B(1, 1, −1)，C(2, −1, 1)三个点的平面方程为________．18. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，D、E、F分别是A1B1、BC、B1C1的中点，则平面DEF与平面ACC1A1的位置关系是________．19. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB // CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．20. 给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直干同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中真命题是________（写出所有真命题的序号）21. 已知直线a，b，c，且a∩b＝A，a∩c＝B，b和c异面，试画出图形表示它们之间的关系．22. 举几对既不相交也不平行的直线的例子．23. 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形（四条线段首尾相接，且连接点不在同一个平面内，所组成的空间图形叫空间四边形）各边AB，AD，CB，CD上的点，且直线EF和HG交于点P，求证：点B，D，P在同一条直线上．24. 如图，过直线l外一点P，作直线a，b，c分别交直线l于点A，B，C，求证：直线a、b、c共面．25. 如图，已知E、F分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的中点，求证：四边形EBFD1是菱形．26. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，若AC1=3,BC1=√5，则异面直线BC1与AD所成的角的正切值为________.27. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点．（1）判断BD1与平面AEC的位置关系，并证明你的结论．（2）若AB=BC=√3，CC1=2，求异面直线AE、BD1所成的角的余弦值．28. 如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=3，求异面直线A1B与B1C夹角的余弦值．29. 如图，已知长方体的长宽都是4cm，高为2cm．（1）求BC与A′C′，A′D与BC′所成角的余弦值；（2）求AA′与BC，AA′与CC′所成角的大小．30. 已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面（1）若α⊥γ，β⊥γ，则α // β；（2）若m // α，m // β，则α // β；（3）若m // α，n // α，则m // n；（4）若m⊥α，n⊥α，则m // n．上述命题中正确的为________．31. 如图，已知ABCD是空间四边形，AB=AD，CB=CD，求证：BD⊥AC．32. 已知三条直线a、b、c，若这三条直线两两相交，且交点分别为A、B、C，试判断这三条直线是否共面．33. 如图，△ABC中，∠ABC=90∘，SA⊥平面ABC，E、F分别为点A在SC、SB上的射影．（1）求证：BC⊥SB；（2）求证：EF⊥SC．34. 三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC＝90∘，AB＝BC＝BB1＝2，M，N分别是AB，A1C的中点．(Ⅰ)求证：MN // 平面BCC1B1；(Ⅱ)求证：MN⊥平面A1B1C．35. 如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′．（1）要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？（写出画法步骤，并在图中画出）（2）说明所画的线与平面AC的位置关系．36. 直线a // b，a与平面α相交，判定b与平面α的位置关系，并证明你的结论．37. 如图，在四棱锥P−ABCD中，有同学说平面PAD∩平面PBC=P，这句话对吗？请说明理由．38.（1）如图，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的α1，α2，α3，α4，使得A i∈αi(i=1, 2, 3, 4)，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足：A i∈αi(i=1, 2, 3, 4)，求该正四面体A1A2A3A4的体积．39. 如图，a，b是异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的两点，直线a // 平面a，直线b // 平面a，AB∩a=M，CD∩a=N，若AM=BM，求证：CN=DN．40. 如图，已知平面α、β，且α∩β=l．设梯形ABCD中，AD // BC，且AB⊂α，CD⊂β．求证：AB，CD，l共点（相交于一点）．参考答案与试题解析数学必修二空间点、直线、平面的位置关系一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【考点】平面的概念、画法及表示【解析】利用平面的表示方法，对每个选项逐一判断即可.【解答】解：A．平面可用希腊字母α，β，γ表示，故A正确；B．平面不可用平行四边形的某条边表示，故B错误；C．平面可用平行四边形的对角的两个字母表示，故C正确；D．平面可用平行四边形的顶点表示，故D正确.故选B.2.【答案】C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】根据空间线面位置关系的情况举出反例判断或根据性质说明．【解答】对于A，当l⊥α，m⊂α，n⊂α时，显然有m⊥l，n⊥l，单m与n可能平行，也可能相交，故A错误．对于B，若α // β，m⊂β，n⊂β，则m // α，n // α，但m，n可能平行也可能相交，故B错误．对于C，由线面平行的性质“垂直于同一个平面的两条直线平行“可知C正确．对于D，当三个平面α，β，γ两两垂直时，显然结论错误．3.【答案】C【考点】平面的基本性质及推论【解析】在A中，由直线a上有两个点A，B都在β内，知a⊂β；在B中，由不同点A、B分别是两个不同平面α，β的公共点，知α∩β=直线AB；在C中，由l⊄α，A∈l，知A有可能是l与α的交点；在D中，因a∩b=Φ，a不平行于b，知a、b为异面直线．【解答】解：在A中，∵直线a上有两个点A，B都在β内，∴a⊂β，故A正确；在B中，∵不同点A、B分别是两个不同平面α，β的公共点，∴α∩β=直线AB，故B正确；在C中，∵l⊄α，A∈l，∴A有可能是l与α的交点，故C错误；在D中，∵a∩b=Φ，a不平行于b，∴a、b为异面直线，故D正确．故选C．4.【答案】B【考点】平面的概念、画法及表示【解析】由题意，点B在直线b上，b在平面β内，点与面之间的关系是属于关系，线与面之间的关系是包含关系，由此三者之间的关系易得【解答】解：由题意，点B在直线b上，b在平面β内，则B、b、β之间的关系可记作B∈b⊂β故选B5.【答案】D【考点】异面直线的判定【解析】若此点与直线a确定一平面β恰好与直线b平行，可得a⊂β，可判断A的真假；结合空间中直线关系的定义及几何特征，可判断B的真假；依据平行公理，即可判断C的真假；由公理2及其推论，我们可以判断D的真假．【解答】解：A中：若此点与直线a确定一平面β恰好与直线b平行，此时直线a在已知平面上，并非与已知平面平行，故A错误；B中：由①可得，当此点在β平面上时，结论B不成立；C中：若存在这样的直线l，则l // a，l // b，有平行公理知，必有a // b，与已知矛盾，故C错误；D中：在直线a上取A、B点，过A、B分别作直线c、d与直线b平行，c、d可确定平面α，即b平行于α，此时a在α平面上，故D正确；故答案为D6.【答案】C【考点】平面的基本性质及推论【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，∵AB∩l=R，平面α∩平面β=l，∴ R ∈l ，l ⊂β，R ∈AB ，∴ R ∈β．又∵ A ，B ，C 三点确定的平面为γ，∴ C ∈γ，AB ⊂γ，∴ R ∈γ．又∵ C ∈β，∴ C ，R 是平面β和γ的公共点，∴ β∩γ=CR ．故选C ．7.【答案】D【考点】平行公理【解析】根据题意，可在正方体中，举例说明，得到答案【解答】如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，二面角D −AA 1−F 与二面角D 1−DC −A 的两个半平面分别对应垂直，但是这两个二面角既不相等，也不互补，所以这两个二面角不一定相等或互补．．AB例如：开门的过程中，门所在平面及门轴所在墙面分别垂直于地面与另一墙面，但门所在平面与门轴所在墙面所成二面角的大小不定，而另一二面角却是90∘，所以这两个二面角不一定相等或互补．8.【答案】B【考点】异面直线的判定【解析】A 通过反证法可以判定；B 由异面直线公垂线的唯一性可以判定；C 、D 利用常见的图形举出反例即可．【解答】解：设过点P 的直线为n ，且{n//a,n//b,， ∴ a // b ，这与a ，b 异面矛盾，选项A 错误；∵ 异面直线a ，b 有唯一的公垂线，∴ 过点P 与公垂线平行的直线有且只有一条，选项B 正确；如图所示的正方体中，设AD 为直线a ，A′B′为直线b ，若点P 在P 1点处，则无法作出直线与两直线都相交， ∴ 选项C 错误；如图所示的正方体中，若P 在P 2点，则由图中可知直线CC′及D′P 2均与a ，b 异面， ∴ 选项D 错误.故选B .9.【答案】B【考点】异面直线及其所成的角【解析】本题考查建立适当的空间直角坐标系，利用向量方法求解即可.【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系，如图，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，E (1,1,23)，A 1(0,0,1)，B(1,0,0),∴ AE →=(1,1,23)，A 1B →=(1,0,−1),∴ cos <AE →,A 1B →>=AE →⋅A 1B →|AE||A 1B|=1−2 3√12+12+(23)2⋅√12+(−1)2=√1122.故选B．10.【答案】C【考点】平行公理【解析】根据等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角的相等，从而易知本题答案．【解答】解：根据等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角的相等．本题的条件是：一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，由于没有指出角的对应两边的方向情况，故两个角可能相等或互补．故选C．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】2【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】由题意，异面直线AB和CC1的距离为BC，即可得出结论．【解答】解：由题意，异面直线AB和CC1的距离为BC=2．故答案为：2．12.【答案】√105【考点】异面直线及其所成的角【解析】建立空间坐标系，分别求出两条异面直线的方向向量，利用向量的夹角公式即可得出．【解答】解：如图所示，建立空间坐标坐标系．取正方体的棱长为2．则B(1, 2, 0)，A(2, 2, 1)，D(2, 0, 2)，C(2, 1, 0)．∴ BA →=(1, 0, 1)，CD →=(0, −1, 2)．∴ cos <BA →，CD →>=|BA →|⋅|CD →|˙=2√2⋅√5=√105． ∴ 异面直线AB 和CD 的夹角的余弦值为√105． 故答案为：√105． 13. 【答案】平行或相交【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】利用直线与平面的位置关系求解．【解答】解：∵ 直线与平面的位置关系有三种：平行、相交或直线在平面内，∴ 如果一条直线不在平面内，那么这条直线与这个平面的位置关系是平行或相交．故答案为：平行或相交．14.【答案】平行【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据线面平行的性质定理判断出a // b ．【解答】解：∵ a // β，a ⊂α，α∩β=b ，∴ 由线面平行的性质定理得，a // b ，故答案为：平行．15.【答案】④【考点】空间中平面与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据空间中面面平行的判定方法，面面垂直的判定方法，线面平行的性质及线面垂直的性质，我们对已知中四个结论逐一进行判断即可得到结论．【解答】解：若a⊂α，b⊂β，且a // b，则α与β可能平行与可能相交，故①错误；若a⊂α，b⊂β，且a⊥b，则α与β可能平行与可能相交，故②错误；若a // α，b⊂α，则a与b可能平行与可能异面，故③错误；若a⊥α，b⊥α，则a // b，故④正确；故答案为：④16.【答案】①③④⇒②（或②③④⇒①）【考点】空间中平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系【解析】分析本题中的条件，四个条件取三个，有四种组合，由于本题是一开放式题答案不唯一，故选取其一即可．【解答】解：观察发现，①③④⇒②与②③④⇒①是正确的命题，证明如下：证①③④⇒②，即证若m⊥n，n⊥β，m⊥α，则α⊥β，因为m⊥n，n⊥β，则m⊂β或m // β，又m⊥α故可得α⊥β，命题正确；证②③④⇒①，即证若n⊥β，m⊥α，α⊥β，则m⊥n，因为m⊥α，α⊥β则m⊂β或m // β，又m⊥α故可得m⊥n，命题正确．故答案为：①③④⇒②（或②③④⇒①）．17.【答案】4x+3y+z＝6【考点】平面的概念、画法及表示【解析】设过A、B、C三点的平面方程为Ax+By+Cz＝D，把点的坐标代入方程求得A、B、C的值，从而求得平面方程．【解答】设过A(1, 0, 2)，B(1, 1, −1)，C(2, −1, 1)三点的平面方程为Ax+By+Cz＝D，则A+2C＝D①，A+B−C＝D②，2A−B+C＝D③，由①②③组成方程组，解得A=2D3，B=D2，C=D6；∴2D3x+D2y+D6z＝D，化简得4x+3y+z＝（6）18.【答案】平行【考点】空间中平面与平面之间的位置关系【解析】根据面面平行的判定定理，判断两个平面平行即可．【解答】解：因为D、E、F分别是A1B1、BC、B1C1的中点，所以BD // A1C1，BE // C1C，所以BD // 面A1B1C1，BE // 面A1B1C1，因为DB∩BE=E，所以平面DEF // ACC1A1．故答案为：平行．19.【答案】4【考点】平面的基本性质及推论【解析】判断EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可．【解答】由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．20.【答案】②④【考点】平面的基本性质及推论【解析】利用两个平面平行的判断判断出①错；利用两个平面垂直的判断判断出②对；利用垂直于同一条直线的直线的位置关系判断出③错；利用两个平面垂直的性质判断出④对．【解答】解：对于①，若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，故①错对于②，若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直是两个平面垂直的判断定理，故②对对于③，垂直干同一直线的两条直线相互平行、相交或异面，故③错．对于④，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直．故④对故答案为：②④．三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ）21.【答案】∵ a ∩b ＝A ，a ∩c ＝B ，b 和c 异面，∴ 画图表示如下：．【考点】异面直线的判定【解析】根据直线a ，b ，c 的关系，画出图形即可．【解答】∵ a ∩b ＝A ，a ∩c ＝B ，b 和c 异面，∴ 画图表示如下：．22.【答案】既不相交也不平行的直线是异面直线，如图，在正方体A 1B 1C 1D 1−ABCD 中，AB 和A 1D 1，B 1C 1都构成异面直线，BC 和A 1B 1，C 1D 1→都构成异面直线．【考点】异面直线的判定【解析】可知，既不相交也不平行的直线是异面直线，可画出一个正方体，找出几对上面的异面直线即可．【解答】既不相交也不平行的直线是异面直线，如图，在正方体A 1B 1C 1D 1−ABCD 中，AB 和A 1D 1，B 1C 1都构成异面直线，BC 和A 1B 1，C 1D 1→都构成异面直线．23.【答案】证明：∵ E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边AB ，AD ，CB ，CD 上的点， ∴ 由公理一，得EF ⊂平面ABD ，GH ⊂平面CBD ，∵ 面ABD ∩面CBD =BD ，直线EF 和HG 交于点P ，∴ 由公理三得P ∈BD ，∴ 点B ，D ，P 在同一条直线上．．【考点】平面的基本性质及推论【解析】由公理一，得EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，由公理三得P∈BD，由此能证明点B，D，P在同一条直线上．．【解答】证明：∵E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，AD，CB，CD上的点，∴由公理一，得EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，∵面ABD∩面CBD=BD，直线EF和HG交于点P，∴由公理三得P∈BD，∴点B，D，P在同一条直线上．．24.【答案】证明：设直线l与l外一点P确定的平面为α，则P∈平面α，又A∈直线l，∴A∈平面α；又P∈直线a，A∈直线a，∴直线a⊂平面α；同理直线b⊂平面α，直线c⊂平面α，∴直线a、b、c共面．【考点】平面的基本性质及推论【解析】先设直线l与l外一点P确定一个平面α，再证明直线a⊂平面α，同理得出直线b、c⊂平面α即可．【解答】证明：设直线l与l外一点P确定的平面为α，则P∈平面α，又A∈直线l，∴A∈平面α；又P∈直线a，A∈直线a，∴直线a⊂平面α；同理直线b⊂平面α，直线c⊂平面α，∴直线a、b、c共面．25.【答案】证明：取棱BB1中点为G，连C1G、EG，由正方体性质，侧面ABB1A1为正方形，又E、G分别为边AA1、BB1中点，所以EG=A1B1=C1D1，EG // A1B1 // C1D1，从而四边形EGC1D1为平行四边形，∴D1E // C1G，D1E=C1G，又F、G分别为棱CC1、BB1中点，由侧面CBB1C1为正方形，知四边形BGC1F为平行四边形，所以BF // C1G，BF=C1G，又∴D1E // C1G，D1E=C1G，由平行公理可知D1E=BF，D1E // BF，从而四边形EBFD1为平行四边形．由ABCD−A1B1C1D1为正方体，不妨设其棱长为a，易a知BE=BF=√52而由四边形EBFD1为平行四边形，从而即为菱形．【考点】平行公理【解析】根据菱形的定义直接证明即可．【解答】证明：取棱BB1中点为G，连C1G、EG，由正方体性质，侧面ABB1A1为正方形，又E、G分别为边AA1、BB1中点，所以EG=A1B1=C1D1，EG // A1B1 // C1D1，从而四边形EGC1D1为平行四边形，∴D1E // C1G，D1E=C1G，又F、G分别为棱CC1、BB1中点，由侧面CBB1C1为正方形，知四边形BGC1F为平行四边形，所以BF // C1G，BF=C1G，又∴D1E // C1G，D1E=C1G，由平行公理可知D1E=BF，D1E // BF，从而四边形EBFD1为平行四边形．由ABCD−A1B1C1D1为正方体，不妨设其棱长为a，易a知BE=BF=√52而由四边形EBFD1为平行四边形，从而即为菱形．26.【答案】12【考点】异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】解：设AB=a，因为ABCD是正方形，所以AC=√2a.所以CC1⊥AC,CC1⊥BC，所以CC12=AC12−AC2=BC12−BC2，即9−2a2=5−a2，解得a=2.所以CC1=1，因为AD//BC，所以∠CBC1即异面直线BC1与AD所成的角，tan∠CBC1=CC1BC =12.故答案为：12.27.【答案】解：（1）BD1 // 平面AEC，如图，连结BD交AC于O，则O为BD中点，连结OE；∵E为DD1的中点，∴OE // BD1；∵OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC；∴BD1 // 平面AEC；（2）∵OE // BD1；∴异面直线AE，BD1所成的角为∠AEO；∵AB=BC=√3，CC1=2；∴EA=EC=2，EO=12BD1=√102；∴EO⊥AC；∴Rt△AEO中，cos∠AEO=EOEA =√104；因此，异面直线AE，BD1所成的角的余弦值为√104．【考点】异面直线及其所成的角空间中直线与平面之间的位置关系【解析】（1）连接BD，设交AC于O，连接EO，便可说明BD1 // OE，由线面平行的判定定理即（2）由上面BD1 // OE即可得到异面直线AE、BD1所成的角为∠AEO，而通过条件可说明OE⊥AC，并且可求出AE，OE，从而根据直角三角形的边角关系cos∠AEO=EOAE，这样即可求出异面直线AE，BD1所成角的余弦值．【解答】解：（1）BD1 // 平面AEC，如图，连结BD交AC于O，则O为BD中点，连结OE；∵E为DD1的中点，∴OE // BD1；∵OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC；∴BD1 // 平面AEC；（2）∵OE // BD1；∴异面直线AE，BD1所成的角为∠AEO；∵AB=BC=√3，CC1=2；∴EA=EC=2，EO=12BD1=√102；∴EO⊥AC；∴Rt△AEO中，cos∠AEO=EOEA =√104；因此，异面直线AE，BD1所成的角的余弦值为√104．28.【答案】【考点】异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答29.【答案】解：（1）∵ 长方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，BC // A′C′∴ ∠A ′C ′B ′就是异面直线BC 与A′C′所成角 Rt △A ′B ′C ′中，A′C′=√42+42=4√2 ∴ cos ∠A ′C ′B ′=B ′C‘A′C′=√22； 连结B ′C ，可得四边形A ′DCB ′是平行四边形，∴ A ′D // CB ′，直线B ′C 与BC ′所成的角就是A′D 与BC′所成的角 矩形BB ′C ′C 中，BC ′=B ′C =√42+22=2√5 设A′D 与BC′所成的角为θ，则由余弦定理得cos θ=2×√5×√5=35综上所述，可得BC 与A′C′，A′D 与BC′所成角的余弦值分别为√22和35； （2）∵ 长方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，AA ′ // BB ′∴ ∠B ′BC （或其补角）就是AA′与BC 所成的角 矩形BB ′C ′C 中，可得∠B ′BC =90∘；又∵ AA′ // CC′，∴ AA′与CC′所成角为0∘综上所述AA′与BC ，AA′与CC′所成角的大小分别为90∘和0∘．【考点】异面直线及其所成的角 【解析】（1）根据长方体的性质，可得∠A ′C ′B ′就是异面直线BC 与A′C′所成角，在Rt △A ′B ′C ′中，利用三角函数的定义可得cos ∠A ′C ′B ′=√22，即为BC 与A′C′所成角的余弦值．同理可得直线B ′C 与BC ′所成的角就是A′D 与BC′所成的角，结合余弦定理加以计算即可得到A′D 与BC′所成角的余弦值；（2）根据长方体的性质可得AA ′ // BB ′，因此矩形BB ′C ′C 中，∠B ′BC =90∘就是AA′与BC 所成的角；再由AA′ // CC′，得到AA′与CC′所成角为0∘． 【解答】解：（1）∵ 长方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，BC // A′C′∴ ∠A ′C ′B ′就是异面直线BC 与A′C′所成角 Rt △A ′B ′C ′中，A′C′=√42+42=4√2 ∴ cos ∠A ′C ′B ′=B ′C‘A′C′=√22； 连结B ′C ，可得四边形A ′DCB ′是平行四边形，∴ A ′D // CB ′，直线B ′C 与BC ′所成的角就是A′D 与BC′所成的角 矩形BB ′C ′C 中，BC ′=B ′C =√42+22=2√5设A′D 与BC′所成的角为θ，则由余弦定理得cos θ=5+5−162×√5×√5=35综上所述，可得BC 与A′C′，A′D 与BC′所成角的余弦值分别为√22和35；（2）∵ 长方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，AA ′ // BB ′ ∴ ∠B ′BC （或其补角）就是AA′与BC 所成的角 矩形BB ′C ′C 中，可得∠B ′BC =90∘；又∵ AA′ // CC′，∴ AA′与CC′所成角为0∘综上所述AA′与BC ，AA′与CC′所成角的大小分别为90∘和0∘． 30.【答案】 （4）． 【考点】空间中平面与平面之间的位置关系 空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据题意，分析4个命题：（1）由α⊥γ，β⊥γ，得α // β，或α∩β； （2）由m // α，m // β，得α // β，或α∩β；（3）由m // α，n // α，得m // n ，或m ∩n ，或m ，n 异面；（4）由m ⊥α，n ⊥α，根据线面垂直的性质，得m // n ．进而可得答案． 【解答】 解：（1）命题不一定成立，因为α⊥γ，β⊥γ时，α，β可能平行，也可能相交； （2）命题不一定成立，因为m // α，m // β时，α，β可能平行，也可能相交； （3）命题不一定成立，因为m // α，n // α时，直线m ，n 可能平行，也可能相交，也可能异面；（4）命题是正确的，因为m ⊥α，n ⊥α时，由垂直于同一平面的两条直线平行，得m // n ．所以，上述正确的命题只有（4）． 31.【答案】证明：取BD 的中点O ，连接AO ，CO ． ∵ AB =AD ，∴ AO ⊥BD ， ∵ CB =CD ，∴ CO ⊥BD ， 又AO ∩CO =O ， ∴ BD ⊥平面ACO ， AC ⊂平面ACO ，∴BD⊥AC．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】取BD的中点O，连接AO，CO．由等腰三角形的三线合一，得到AO⊥BD，CO⊥BD，再由线面垂直的判定定理得到BD⊥平面ACO，运用线面垂直的性质即可得证．【解答】证明：取BD的中点O，连接AO，CO．∵AB=AD，∴AO⊥BD，∵CB=CD，∴CO⊥BD，又AO∩CO=O，∴BD⊥平面ACO，AC⊂平面ACO，∴BD⊥AC．32.【答案】解：如图，三条直线a、b、c两两相交，且交点分别为A、B、C，设a，b确定一个平面α，∵B∈a，C∈a，A∈b，C∈b，∴A∈α，B∈α，又∵A∈c，B∈c，∴c⊂α，∴三条直线a，b，c共面于α．∴这三条直线共面．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】利用设a，b确定一个平面α，由已知条件利用公理二能推导出c⊂α，从而这三条直线a，b，c共面于α．【解答】解：如图，三条直线a、b、c两两相交，且交点分别为A、B、C，设a，b确定一个平面α，∵B∈a，C∈a，A∈b，C∈b，∴A∈α，B∈α，又∵A∈c，B∈c，∴c⊂α，∴三条直线a，b，c共面于α．∴这三条直线共面．33.【答案】证明：（1）∵ SA ⊥面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴ SA ⊥BC ，又∵ AB ⊥BC ，SA ∩AB =A ， ∴ BC ⊥平面SAB ， ∵ SB ⊂平面SAB ， ∴ BC ⊥SB ；（2）∵ AF ⊂平面SAB ，BC ⊥平面SAB ， ∴ BC ⊥AF ，∵ AF ⊥SB ，且BC ∩SB =B ， ∴ AF ⊥平面SBC ， ∵ SC ⊂平面SBC ，∴ SC ⊥AF ，又AE ⊥SC ，且AF ∩AE =A ， ∴ SC ⊥平面AEF ， ∴ EF ⊥SC ．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】（1）证明BC ⊥平面SAB ，然后，从而得到BC ⊥SB ；（2）对于EF ⊥SC 的证明，可以先证明SC ⊥平面EF ，然后，很容易得到EF ⊥SC ． 【解答】 证明：（1）∵ SA ⊥面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴ SA ⊥BC ，又∵ AB ⊥BC ，SA ∩AB =A ， ∴ BC ⊥平面SAB ， ∵ SB ⊂平面SAB ， ∴ BC ⊥SB ；（2）∵ AF ⊂平面SAB ，BC ⊥平面SAB ， ∴ BC ⊥AF ，∵ AF ⊥SB ，且BC ∩SB =B ， ∴ AF ⊥平面SBC ， ∵ SC ⊂平面SBC ，∴ SC ⊥AF ，又AE ⊥SC ，且AF ∩AE =A ， ∴ SC ⊥平面AEF ， ∴ EF ⊥SC ． 34.【答案】证明：(Ⅰ)证明：连接BC 1，AC 1．在△ABC 1中，∵ M ，N 是AB ，A 1C 的中点，∴ MN||BC 1． 又∵ MN ⊄平面BCC 1B 1，∴ MN||平面BCC 1B 1．（2）如图，以B 1为原点建立空间直角坐标系B 1−xyz ．则B 1(0, 0, 0)，C(0, 2, 2)，A 1(−2, 0, 0)，M(−1, 0, 2)，N(−1, 1, 1) ∴ B 1C →=(0, 2, 2)，A 1B 1→=(2,0,0)，NM →=(0,−1,1)． 设平面A 1B 1C 的法向量为n ＝(x, y, z)．{n ⋅B 1C →=0n ⋅A 1B 1→=0⇒{x =0y =−z令z ＝1，则x ＝0，y ＝−1，∴ n ＝(0, −1, 1)． ∴ n =NM →．∴ MN ⊥平面A 1B 1C ．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】(Ⅰ)欲证MN||平面BCC 1B 1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN 与平面BCC 1B 1内一直线平行即可，而连接BC 1，AC 1．根据中位线定理可知MN||BC 1，又MN ⊄平面BCC 1B 1满足定理所需条件；(Ⅱ)以B 1为原点，A 1B 1为x 轴，B 1B 为y 轴，B 1C 1为z 轴建立空间直角坐标系B 1−xyz ，求出平面A 1B 1C 的法向量为n ＝(x, y, z)，而n =NM →，根据法向量的意义可知MN ⊥平面A 1B 1C ． 【解答】证明：(Ⅰ)证明：连接BC 1，AC 1．在△ABC 1中，∵ M ，N 是AB ，A 1C 的中点，∴ MN||BC 1． 又∵ MN ⊄平面BCC 1B 1，∴ MN||平面BCC 1B 1．（2）如图，以B 1为原点建立空间直角坐标系B 1−xyz ．则B 1(0, 0, 0)，C(0, 2, 2)，A 1(−2, 0, 0)，M(−1, 0, 2)，N(−1, 1, 1) ∴ B 1C →=(0, 2, 2)，A 1B 1→=(2,0,0)，NM →=(0,−1,1)． 设平面A 1B 1C 的法向量为n ＝(x, y, z)．{n ⋅B 1C →=0n ⋅A 1B 1→=0 ⇒{x =0y =−z令z ＝1，则x ＝0，y ＝−1，∴ n ＝(0, −1, 1)． ∴ n =NM →．∴ MN ⊥平面A 1B 1C ．35.【答案】解：（1）过点P作B′C′的平行线，交A′B′、C′D′于点E，F，连结BE，CF；作图如右图，（2）易知BE，CF与平面AC的相交，∵BC // 平面A′C′，又∵平面B′C′CB∩平面A′C′=B′C′，∴BC // B′C′，∴EF // BC，又∵EF⊄平面AC，BC⊂平面AC，∴EF // 平面AC．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】（1）注意到棱BC平行于面A′C′，故过点P作B′C′的平行线，交A′B′、C′D′于点E，F，连结BE，CF；（2）易知BE，CF与平面AC的相交，可证EF // 平面AC．【解答】解：（1）过点P作B′C′的平行线，交A′B′、C′D′于点E，F，连结BE，CF；作图如右图，（2）易知BE，CF与平面AC的相交，∵BC // 平面A′C′，又∵平面B′C′CB∩平面A′C′=B′C′，∴BC // B′C′，∴EF // BC，又∵EF⊄平面AC，BC⊂平面AC，∴EF // 平面AC．36.【答案】解：判定b与平面α的位置关系是b∩α=Q，下面给出证明：如图所示，∵a // b，∴可以经过直线a，b确定一个平面β．∵a∩α=P，∴α∩β=l．则b与直线l必然相交，否则b // l，则a // l，与a∩l=P相矛盾．因此b∩l=Q，∴b∩α=Q．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】判定b与平面α的位置关系是b∩α=Q，可用反证法给出证明：如图所示，由于a // b，可以经过直线a，b确定一个平面β．由于a∩α=P，可得α∩β=l．可得b与直线l必然相交，否则b // l，得出矛盾．【解答】解：判定b与平面α的位置关系是b∩α=Q，下面给出证明：如图所示，∵a // b，∴可以经过直线a，b确定一个平面β．∵a∩α=P，∴α∩β=l．则b与直线l必然相交，否则b // l，则a // l，与a∩l=P相矛盾．因此b∩l=Q，∴b∩α=Q．37.【答案】解：由平面与平面的基本性质可知，如果两个平面相交，有且仅有结果该点的公共直线，所以如图，在四棱锥P −ABCD 中，有同学说平面PAD ∩平面PBC =P ，这句话不正确．【考点】平面的基本性质及推论空间中直线与平面之间的位置关系【解析】利用平面的基本性质判断即可．【解答】解：由平面与平面的基本性质可知，如果两个平面相交，有且仅有结果该点的公共直线，所以如图，在四棱锥P −ABCD 中，有同学说平面PAD ∩平面PBC =P ，这句话不正确． 38.【答案】解：（1）如图所示，取A 1A 4的三等分点p 2，p 3，A 1A 3的中点M ，A 2A 4，的中点N ， 过三点A 2，P 2，M ，作平面α2，过三点A 3，P 3，N 作平面α3，因为A 2P 2 // NP 3，A 3P 3 // MP 2，所以平面α2 // α3，再过点A 1，A 4，分别作平面α1，α4，与平面α3平行，那么四个平面α1，α2，α3，α4依次互相平行，由线段A 1A 4被平行平面α1，α2，α3，α4截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故α1，α2，α3，α4为所求平面．（2）：当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面每相邻两平面之间的距离为1，则正四面体A 1A 2A 3A 4就是满足题意的正四面体．设正四面体的棱长为a ，以△A 2A 3A 4的中心O 为坐标原点，以直线A 4O 为y 轴，直线OA 1为Z 轴建立如图所示的右手直角坐标系，则A 1(0, 0, √63a)，A 2(−a 2, √36a, 0)，A 3(a 2, √36a, 0)，A 4(0, −√33a, 0)． 令P 2，P 3为．A 1A 4的三等分点，N 为A 2A 4的中点，有P 3(0, −2√39a, √69a)，N(−a 4, −√312a, 0)，所以P 3N →=(−a 4, 5√336a, −√69a)，NA 3→=(34a, √34a, 0)，A 4N →=(−a 4, √34a, 0)。
人教A版高中数学必修二第2章 2 2.1 空间中直线与直线之间的位置关系牛老师
►走进颐和园，眼前是繁华的苏州街，现在依稀可以想象到当年的热闹场 面，苏州街围着一片湖，沿着河岸有许多小绿盘子里装着美丽的荷花。这 里是仿照江南水乡--苏州而建的买卖街。当年有古玩店、绸缎店、点心铺 等，店铺中的店员都是太监、宫女妆扮的，皇帝游览的时候才营业。我正 享受着皇帝的待遇，店里的小贩都在卖力的吆喝着。 ►走近一看，我立刻被这美丽的荷花吸引住了，一片片绿油油的荷叶层层 叠叠地挤在水面上，是我不由得想起杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。荷 叶上滚动着几颗水珠，真像一粒粒珍珠，亮晶希望对您有帮助，谢谢 晶的。 它们有时聚成一颗大水珠，骨碌一下滑进水里，真像一个顽皮的孩子！
解：(1)经过顶点 B、A1 的六条棱与直线 BA1 都相交，不是 异面直线，其余六条 CD、C1D1、CC1、DD1、C1B1、DA 与直线 BA1 都是异面直线．
(2)根据异面直线所成角的定义知，上底面、下底面的四条棱 都和直线 AA1 垂直，即 AB、BC、CD、DA、A1B1、B1C1、C1D1、 D1A1 所在的直线与直线 AA1 垂直．
B．2 条
图5 C．3 条
D．4 条
解析：如图 13，将 A 移到 O 点，对应在 O 点建立坐标系， 形成 x 轴、y 轴、z 轴，l 与 x、y、z 轴所成角相等，这样的直线 刚好是 4 条体对角线所在直线，所以 4 条．
答案：D
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系(2)
·
A
a
B
3
例：已知不共面的三直线a、b、c相交于点 O，M、P是a上两点，N、Q分别在 b、c上 ． 求证：MN、PQ异面 .
M O P a
10
注1：异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有 b 关，而与点O位置无关 注2：一般常把点O取在直线a或b上 注3：异面直线所成角的取值范围：
O a a’
0 90 5、两条异面直线垂直
α
如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面 直线垂直。记作：a⊥b
6
典型例题
例1、如图表示一个正方体
D1
A1 C1 B1
D
A B
C
8
例3．求异面直线所成的角． 转化为平面角
D1 A1
M
M
D A
E N
B1
L
C1
* 中位线
C
O
B
F
主要步骤：①构造平面角；
②证明； ③求角计算．
9
定量 ——异面直线的距离 ——公垂线段的长度 和两条异面直线都垂直、相交的直线，
叫做两条异面直线的公垂线．
处理所有课本练习：P48，51习题 2.1A组 3（4）（5） 4（1）（2） （3） 5， 6
Q
N b
c角的两边和 另一个角的两边分别对应平行， A 那么这两个角相等或互补
D
B
E
C
A1
D1 E1 C1
B1
5
4、两条异面直线所成的角 定义：直线a、b为异面直线，经过空间任一点O， 分别引a′∥a，b′∥b，则相交直线a′，b′所成的 锐角（或直角）叫做两条异面直线a、b所成的角 (或夹角)
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
思考： 思考：我们把具有上述特征的两条 直线取个怎样的名字才好呢？ 直线取个怎样的名字才好呢？
异面直线的定义: 异面直线的定义: 的定义 我们把不同在任何一个平面内 不同在任何一个平面内的 我们把不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线（ lines）。 叫做异面直线（skew lines）。 想一想:怎样通过图形来表示异面直线? 想一想:怎样通过图形来表示异面直线? 为了表示异面直线a 不共面的特点， 为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图 通常用一个或两个平面衬托。如下图: 时，通常用一个或两个平面衬托。如下图:
A B
C
α
Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
β
E 定理的推论:如果两条相交直线和另两条相 定理的推论: 交直线分别平行, 交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐 或直角)相等. 角(或直角)相等.
4. 异面直线所成的角
如图，已知两条异面直线a 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一 作直线a'∥a b'∥b，我们把a' b'所成 a'∥a， a'与 点O作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成 的锐角（或直角）叫做异面直线a 的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角 或夹角）。 （或夹角）。
m
α
m
l
l
想一想,做一做： 想一想,做一做： 1.已知 已知M 分别是长方体的棱C 1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的 那么MN AB所在的直线是异面直线吗 MN与 所在的直线是异面直线 点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？
D1 A1
D
A
M
C1
B1
空间中直线与直线之间的位置关系
二、空间两直线的位置关系：
(1)从公共点的数目来看，可分为：
①有且只有一个公共点——两直线相交
记作：l1 l2 A
l1
A
l2
l1
两直线平行
l2
②没有公共点
记作：l1 /为：
①在同一平面内
两直线相交 两直线平行
②不在同一平面内——两直线为异面直线
注：概念应理解为:
“经过这两条直线无法作出一个平面” .
或 :“ 不 可 能 找 到 一 个 平 面 同 时 经 过 这 两 条 直 注线意”: ．分别在某两个平面内的两条直线不一定 是异面直线, 它们可能是相交,也可能是平行.
想一想：在空间中两条直线 的位置关系？
（1）相交直线——有且只有一个公共点 （2）平行直线——在同一平面内，没有公 共点 （3）异面直线——不同在任何一个平面内， 没有公共点
答 ：三对分别是AB与CD；AB与 GH；EF与GH。
我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条 直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是 否还成立呢?
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系？
abcde
a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平
行．
———空间平行线的传递性
推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平 行．
例1：已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内 的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC， CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE， 求证EFGH是一个平行四边形。
同一平面内的两条直线有几种位置关系？
1、相交直线
空间中直线与直线之间的位置关系试题及答案
空间中直线与直线之间的位置关系?一、选择题1．已知异面直线a ，b 分别在平面α、β内，且α∩β＝c ,那么直线c 一定（ ）A ．与a 、b 都相交；B ．只能与a 、b 中的一条相交；C ．至少与a 、b 中的一条相交；D ．与a 、b 都平行．2、若a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则 a 和c 的位置关系是（ ）A ．异面或平行B ．异面或相交C ．异面D ．相交、平行或异面3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ）A ．一定平行B ．一定相交C ．一定异面D ．相交或异面4．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．23B ．1010C ．53D ．525．三条直线两两垂直，那么在下列四个结论中，正确的结论共有（ ）①这三条直线必共点；②其中必有两知是异面直线；③三条直线不可能共面；④其中必有两条在同一平面内．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．空间四边形的两条对角线互相垂直，顺次连结四边中点的四边形一定是（ ）A ．空间四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形二．填空题7．和两条异面直线中的一条相交的直线与另一条的位置关系是____________．8．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中AA 1＝a ，∠BAB 1＝∠B 1A 1C 1＝30°，则异面直线AB 1与A 1C 1所成角的余弦值为__________．9．四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，且EF ＝3，则AB 与CD 所成的角为__________．10．已知直线a 、b 、c ?a ，直线a ′、b ′、c ′是两两异面的三直线，且a ∥a ′，b ∥b ′，c ∥c ′，若a ′、b ′、c ′，两两所成的角均等于θ，则θ＝____________．11．已知a ，b 是一对异面直线，而且a 平行于△ABC 的边AB 所在直线，b 平行于AC 所在的直线，若cos∠BAC ＝23，则a ，b 所成的角为__________．三、解答题12．如图，已知平面α与平面β相交于直线m ，n ?β，且m ∩n ＝A ，直线l ?a 且l ∥m ．证明n 、l 是异面直线．13．已知直线a ∥b ，a 与平面α相交于A ，求证：b 与平面α必相交．14．在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3，且AD ⊥BC ，对角线BD ＝213，AC ＝23，求AC 和BD 所成的角．15．已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边AB 、AD 、CB 、CD 上的点，并且有GB CG EB AB ＝，HD CH FD AF ＝，试证EF 、GH 、BD 共点或两两平行．16．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB ＝BC ＝3，AA 1＝4，求A 1B 和B 1C 所成角的余弦值．四、思考题已知异面直线a 、b 所成的角为60°，在过空间一定点P 的直线中，与a ，b 所成的角均为60°的直线有多少条？过P 与a 、b 所成角均为50°，或均为70°的直线又各有多少呢？希望读者通过对上述三个具体问题的求解，总结解题方法，然后再探讨关于与异面直线成等角的直线的存在性问题的一般性情况：已知异面直线a ，b 所成的角为θ0且θ0＜90°，过空间一点P 的直线中与a ，b 所成的角均为θ的直线有多少条？参考答案一、选择题1．C 2．D 3．D 4．D 5．D 6．B二、填空题7．相交、平行或异面；8．43；9．60°；10．60°；11．30°三、解答题12．证明：若n 、l 共面，设该平面为?，∵A ∈n ，n ??，∴A ∈?．又∵l ??，∴平面?经过点A 和直线l ，∴平面?与α重合．由于α与?重合，且m ??，∴平面?经过直线m 和n ．∵m 与n 是相交直线，∴?与β也重合，于是α与β重合，这就与条件α∩β＝m 矛盾，故假设不成立．∴n 、l 是异面直线．13．证明：∵a ∥b ，∴a ，b 可确定平面β，∵A ∈a ?β，∴A 是α与β的公共点．∴α与β相交，设α∩β＝l ，则A ∈l ，∴a ∩l ＝A ．∴在平面β内b 与l 必相交，∴b 与α必相交，交点即为b 与l 的交点．14．证明：AB 、CD 、AD 的中点E 、G 、F ，连接EF 、FG 、GE ，则∠EFG 或其补角为异面直线BD 、AC 所成的角，且EF ＝21BD ＝413，FG ＝21AC ＝43，再取AC 的中点H ，则EH ∥BC ，HG ∥AD ，∵AD ⊥BC ，∴EH ⊥HG ，∴EG 2＝EH 2＋HG 2＝1．在△EFG 中，EG 2＝EF 2＋FG 2＝1，∴∠EFG ＝90°，∴AC 与BD 所成的角为90°．15．证明：如图，连AC 、EG 、FH ，在△ABC 中， ∵EB AE ＝GB CG，∴EG ∥AC ．同理FH ∥AC ，于是根据公理4可知：EG ∥FH ．∴E 、F 、H 、G 四点共面于α，于是EF 与HG 只有相交与平行两种可能．（Ⅰ）若EF 与HG 相交，设交点为P ，则P ∈EF ?平面ACD ．∴P ∈平面ACD ，同理可知：P ∈平面BCD ．∴P 是平面ABD 与平面BCD 的公共点．∴两平面的交线BD 必过P 点．∴FE 、GH 、BD 共点．（Ⅱ）若EF 与HG 平行，则必有EF ∥BD ．∵EF 、BD ?平面ABD ，∴若EF 与BD 不平行，则EF 与BD 就相交，设交点为Q ，则EF ?平面EFHG ，Q ∈BD ?平面BDC ， ∴Q 是平面EFHG 与平面BDC 的公共点．又∵HG 是这两个平面的交线，∴Q ∈HG ，∴EF ∩HG ＝Q ．这就与EF ∥HG 相矛盾，故假设错误．∴EF ∥BD ．同理可证：HG ∥BD ．故由公理4知：EF 、HG 、BD 两两平行．16．解：如图，连接A 1D ，BC ，由长方体性质易知，A 1D ∥B 1C ，∴∠DA 1B 即为A 1B 与B 1C 所成角或其补角．由题设易求A 1D ＝5，A 1B ＝5，BD ＝23．∴cos ∠DA 1B ＝B A D A BD B A D A 1122121·2－＋＝552182525⨯⨯－＋＝2516．∴A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为2516．四、思考题解：①3条；②2条；③4条．④如图10，过点P 分别作异面直线a 、b 的平行线a ′、b ′． 设l 1、l 2是a ′、b ′确定α内，由a ′、b ′所成角的角平分直线． 于是，当θ＜20θ时，满足条件的直线不存在； 当θ＝20θ时，满足条件的直线仅有一条，就是l 1； 当20θ＜θ＜90°－20θ时，满足条件的直线有2条；当θ＝90°－20θ时，满足条件的直线有3条；当90°－20θ＜θ＜90°时，满足条件的直线有4条； 当θ＝90°时，满足条件的直线仅有1条．。
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《空间中直线与直线的位置关系》习题
一、选择题
1. 一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条的位置关系是 ( )
A .相交．
B .异面
C .平行．
D .相交或异面．
2.a 、b 是两条异面直线，c 、d 小也是两条异面直线，则a 、c 的位置关系是( )
A .相交、平行或异面．
B .相交或平行．
C .异面
D .平行或异面．
3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各侧面对角线所在的直线中与B 1D 成异面直线的条数是()
A .3．
B .4．
C .5．
D .6．
4.异面直线a 、b 分别在平面α和β内，若l =βα 则直线l 必定( )
A .分别与a 、b 相交．
B .与a 、b 都不相交．
C .至多与a 、b 中的一条相交．
D .至少与a 、b 中的一条相交．
5. 空间四边形ABCD 中AB =CD ，且AB 与CD 成60°角，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，则EF 与AB 所成角的度数为
( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．30°或60°
二、填空题
6.在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线．②若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是______．(把符合要求的命题序号都填上)
7.异面直线a ，b 所成角为80º，过空间一点作与直线a ，b 所成角都为θ的直线只可以作2条，则θ的取值范围为_________.
8.如果把两条异面直线看成“一对”，那么在正方体的十二条棱所在的直线中，共有_____对异面直线． 9. 正四棱锥ABCD V -的侧棱长与底面边长相等，E 是V A 中点，O 是底面中心，则异面直线EO 与BC 所成的角是___________.
10. 已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 ①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是__________________(写出所有正确结论的编号)．
三、解答题
11.已知直线a 和b 是异面直线，直线c ∥a ，直线b 与c 不相交，求证b 和c 是异面直线． =132，AC
12.空间四边形ABCD ，已知AD =1，BD =3，且AD ⊥BC ，对角线BD
=32，求AC 和BD 所成的角。
答案与解析
1.D
2.A
3.D
4.D
5.D
6.②
7.40º<θ<50º
8.24.
9.3
π 10.对于命题①，经过两条平行直线分别作两个平面垂直于平面α，则在这两个平面内可以作出两条不垂直的异
面直线．所以①为真．
对于命题②，过平面α内两条互相垂直的直线分别作两个垂直于平面α的平面，则在这两个平面内也可以作出两条异面但不垂直的直线，即②亦真．
对于命题③，当射影为同一条直线时，两条直线同在过这条直线并与平面口垂直的平面內，即共面．故③为假． 同样可推知④为真．
答案：①②④
11.证明：假设b 和c 不是异面直线，则b 和c 共面，∵直线b 与c 不相交，∴b ∥c .
又直线c ∥a ，∴b ∥a .这与已知直线a 和b 是异面直线与矛盾.故b 和c 是异面直线．
12.解：取AB 、AD 、DC 、BD 中点为E 、F 、G 、M ，连EF 、FG 、GM 、ME 、EG .
则
MG 1
2
BC EM 12AD
∵AD ⊥BC ∴EM ⊥MG
在R t △EMG 中，有EG =在RFG 中，∵EF =12BD = ∴EF 2 +FG 2 = EG 2
∴EF ⊥FG ，即AC ⊥BD
∴AC 和BD 所成角为90°. ∥ ＝ ∥ ＝。