定积分与微积分基本定理练习题及答案

定积分与微积分基本定理练习题及答案
1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x2－x)dx B ．S ＝⎠⎛01(x －x2)dx
C ．S ＝⎠⎛01(y2－y)dy
D ．S ＝⎠⎛01(y －y)dy [答案] B
[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．
[解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛0
1(x －x2)dx.
2．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02xdx ，b ＝⎠⎛02exdx ，c ＝⎠⎛02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系
是( )
A ．a<c<b
B ．a<b<c
)
C ．c<b<a
D ．c<a<b [答案] D
[解读] a ＝⎠⎛02xdx ＝1
2x2|02＝2，b ＝⎠⎛02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝⎠⎛0
2sinxdx ＝－cosx|02
＝1－cos2∈(1,2)，
∴c<a<b.
3．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形面积为( )
[答案] A
[解读] 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x2
y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．
∴S ＝⎠⎛0
1(x2－x3)dx ＝
⎪⎪⎝⎛⎭⎫1
3x3－14x401＝112.
[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函
数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：
—
(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P 的坐标是( )
[答案] A
[解读] 设P(t ，t2)(0≤t≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S1＝⎠⎛0t (tx －x2)dx ＝t3
6；S2＝⎠⎛t 2(x2－
tx)dx ＝83－2t ＋t36，若S1＝S2，则t ＝43，∴P ⎝⎛⎭
⎫43，169.
4．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x3所围成的图形的面积为( ) A ．4 D ．6 [答案] A
[解读] S ＝⎠⎛0
2x3dx ＝
⎪⎪
x4402＝4.
5．(2010·湖南省考试院调研)⎠
⎛1－1(sinx ＋1)dx 的值为( )
`
A ．0
B ．2
C ．2＋2cos1
D ．2－2cos1 [答案] B
[解读] ⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx ＝(－cosx ＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.
6．曲线y ＝cosx(0≤x≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π D ．π [答案] A [解读] 如右图， S ＝∫02π(1－cosx)dx ~
＝(x －sinx)|02π＝2π.
[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为
⎝⎛⎭
⎫π6，π，则对称性就无能为力了． 7．函数F(x)＝⎠⎛0x t(t －4)dt 在[－1,5]上( )
A ．有最大值0，无最小值
B ．有最大值0和最小值－32
3 C ．有最小值－32
3，无最大值 D ．既无最大值也无最小值
[解读] F′(x)＝x(x －4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， ∵F(－1)＝－73，F(0)＝0，F(4)＝－323，F(5)＝－25
3.
&
∴最大值为0，最小值为－32
3.
[点评] 一般地，F(x)＝⎠⎛0
x φ(t)dt 的导数F′(x)＝φ(x)．
8．已知等差数列{an}的前n 项和Sn ＝2n2＋n ，函数f(x)＝⎠⎛1
x 1
t dt ，若f(x)<a3，则x 的取
值范围是( )
B ．(0，e21)
C ．(e －11，e)
D ．(0，e11) [答案] D
[解读] f(x)＝⎠⎛1x 1
t dt ＝lnt|1x ＝lnx ，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，0<x<e11.
9．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sinx(0≤x≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )
)
[答案] A
[解读] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0
π
sinxdx ＝－cosx|0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝
S
S 矩形OABC ＝22π＝1π.
10．(2010·吉林质检)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2－2≤x <02cosx 0≤x≤π
2的图象与x 轴所围成的图形面积S
为( )
B ．1
C ．4
[解读] 面积S ＝∫π2－2f(x)dx ＝⎠
⎛0－2(x ＋2)dx ＋∫π
202cosxdx ＝2＋2＝4.
11．(2010·沈阳二十中)设函数f(x)＝x －[x]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[－]＝－2，[]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－x
3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛m
n g(x)dx 的值是( )
A ．－52
B ．－43
C ．－54
D ．－76 [答案] A
~
[解读] 由题意可得，当0<x<1时，[x]＝0，f(x)＝x ，当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x －1，
所以当x ∈(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛m n g(x)dx ＝⎠⎛14⎝⎛⎭
⎫－x 3dx ＝
⎪⎪－x2614＝－52.
11．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )
[答案] A
[解读] 方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c≥0，即b2≥c ，
由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b2db 1×1＝1
3.
12．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y ＝x2(x≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )
[答案] C
（
[解读] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛0
1x2dx
＝13x3|01＝13，故所求概率p ＝13.
2．如图，阴影部分面积等于( )
A ．23
B ．2－3
[答案] C
[解读] 图中阴影部分面积为
S ＝⎠⎛-31 (3－x2－2x)dx ＝(3x －13x3－x2)|1－3＝32
3. 4－x2dx ＝( )
《
A ．4π
B ．2π
C ．π [答案] C
[解读] 令y ＝4－x2，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴
影部分的面积，
∴S ＝1
4×π×22＝π.
4.
已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()
A．在t1时刻，甲车在乙车前面
|
B．在t1时刻，甲车在乙车后面
C．在t0时刻，两车的位置相同
D．t0时刻后，乙车在甲车前面
[答案]A
[解读]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：
在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.
5．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y)|－π4≤x≤π
4，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )
－1 [答案] D [解读]
平面区域
Ω
是矩形区域，其面积是π
2，在这个区
】
6． (sinx －cosx)dx 的值是( )
A ．0 C ．2 D ．－2 [答案] D
[解读] (sinx －cosx)dx ＝(－cosx －sinx) ＝－2.
7．(2010·惠州模拟)⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝________.
[答案] 3
[解读] ∵y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋x 0≤x≤1
3－x 1<x≤2，
∴⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝⎠⎛01(1＋x)dx ＋⎠⎛12(3－x)dx
＝(x ＋12x2)|10＋(3x －12x2)|21＝32＋32＝3.
8．(2010·芜湖十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x ＋1，若⎠
⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)成立，则a ＝
________. —
[答案] －1或1
3
[解读] ∵⎠⎛1－1f(x)dx ＝⎠⎛1－1(3x2＋2x ＋1)dx ＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，⎠⎛1－1f(x)dx ＝
2f(a)，∴6a2＋4a ＋2＝4，
∴a ＝－1或1
3.
9．已知a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ，则二项式(a x －1
x )6的展开式中含x2项的系数是
________．
[答案] －192
[解读] 由已知得a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ＝(－cosx ＋sinx)|π20＝(sin π2－cos π
2)－(sin0－cos0)＝2，
(2x －
1
x
)6的展开式中第r ＋1项是Tr ＋1＝(－1)r×Cr 6×26－r×x3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C16×25＝－192.
10．有一条直线与抛物线y ＝x2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于4
3，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．
[解读] 设直线与抛物线的两个交点分别为A(a ，a2)，B(b ，b2)，不妨设a<b ， 则直线AB 的方程为y －a2＝
b2－a2
b －a
(x －a)， -
即y ＝(a ＋b)x －ab.
则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛a
b [(a ＋b)x －ab －x2]dx ＝(a ＋b
2x2－abx －
x33)|b a ＝16(b －a)3，
∴16(b －a)3＝43，
解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P(x ，y)， 其中⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a ＋b 2，y ＝a2＋b2
2.
将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a ＋1，
y ＝a2＋2a ＋2.
消去a 得y ＝x2＋1.
∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x2＋1.
能力拓展提升
11.(2012·郑州二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝⎠⎛034xdx ，则公比q 的值为( )
A ．1
B ．－1
2
—
C ．1或－12
D ．－1或－1
2 [答案] C
[解读] 因为S3＝⎠⎛0
34xdx ＝2x2|30＝18，所以6q ＋6
q2＋6＝18，化简得2q2－q －1＝0，解
得q ＝1或q ＝－1
2，故选C.
12．(2012·太原模拟)已知(xlnx)′＝lnx ＋1，则⎠⎛1e lnxdx ＝( )
A ．1
B ．e
C ．e －1
D ．e ＋1 [答案] A
[解读] 由(xlnx)′＝lnx ＋1，联想到(xlnx －x)′＝(lnx ＋1)－1＝lnx ，于是⎠⎛1e lnxdx ＝(xlnx －
x)|e 1＝(elne －e)－(1×ln1－1)＝1.
13．抛物线y2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18
[解读] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y2＝2x ，y ＝4－x ，
解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y2
2、
x ＝4－y ，
,
∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y)－y22]dy ＝(4y －y22－y3
6)|2－4＝18.
14.
已知函数f(x)＝ex －1，直线l1：x ＝1，l2：y ＝et －1(t 为常数，且0≤t≤1)．直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y 轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．
[答案] (e －1)2
[解读] 由题意得S1＋S2＝⎠⎛0t (et －1－ex ＋1)dx ＋⎠⎛t 1(ex －1－et ＋1)dx ＝⎠⎛0t (et －ex)dx ＋
⎠⎛t
1(ex －et)dx ＝(xet －ex)|t 0＋(ex －xet)|1t ＝(2t －3)et ＋e ＋1，令g(t)＝(2t －3)et ＋e ＋1(0≤t≤1)，则g′(t)＝2et ＋(2t －3)et ＝(2t －1)et ，令g′(t)＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，1
2)时，g′(t)<0，g(t)是减函数，当t ∈(12，1]时，g′(t)>0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为g(12)＝e ＋1－2e 1
2＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.
15．求下列定积分．
(1)⎠⎛1－1|x|dx 。

(2)⎠⎛0πcos2x
2dx ； (3)∫e ＋121x －1
dx.
】
[解读] (1)⎠⎛1－1|x|dx ＝2⎠⎛01xdx ＝2×1
2x2|10＝1.
(2)⎠⎛0πcos2x 2dx ＝⎠⎛0
π1＋cosx 2dx ＝12x|π0＋12sinx|π0＝π
2.
(3)∫e ＋121x －1
dx ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a ，b ∈R)的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，
且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．
[解读] f ′(x)＝－3x2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0，
∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x ＝0或x ＝a(a<0)．
∴S 阴影＝⎠⎛a
0[0－(－x3＋ax2)]dx ＝(14x4－13ax3)|0a ＝112a4＝112，
∵a<0，∴a ＝－1.
"
1．(2011·龙岩质检)已知函数f(x)＝sin5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求
f(x)dx 的值，结果是( )
＋π2 B ．π
C ．1
D ．0
[答案] B [解读] f(x)dx ＝sin5xdx ＋1dx ，由于函数y ＝sin5x 是奇函数，所以sin5xdx ＝0，而1dx ＝x|π2－π2＝π，故选B.
2．若函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧ －x －1 －1≤x<0，cosx 0≤x <π2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )
C ．1
[答案] D
%
[解读] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎛0
π2cosxdx ＝12＋sinx|π20＝32.
3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0
πsinxdx ＝________.
[答案] 22
[解读] ∵⎠⎛0
πsinxdx ＝－cosx|π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0
πsinxdx ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若⎠⎛0
1f(x)dx ＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________． [答案] 33
[解读] ⎠⎛01f(x)dx ＝⎠⎛0
1(ax2＋c)dx ＝(ax33＋cx)|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax20＋c ，即ax20＝a 3，又a≠0，所以x20＝13，又0≤x0≤1，所以x0＝33.故填33.
5．设n ＝⎠⎛1
2(3x2－2)dx ，则(x －2x )n 展开式中含x2项的系数是________． [答案] 40
[解读] ∵(x3－2x)′＝3x2－2，
∴n ＝⎠⎛1
2(3x2－2)dx ＝(x3－2x)|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5. ∴(x －2x )5的通项公式为Tr ＋1＝Cr 5x5－r(－2x
)r ＝(－2)rCr 5x 5－3r 2 ，令5－3r 2＝2，得r ＝2，
∴x2项的系数是(－2)2C25＝40.。