定积分与微积分基本定理练习题及答案
定积分与微积分基本定理练习题(基础、经典、好用)
定积分与微积分基本定理一、选择题 1．(2013·汕尾质检)⎠⎛01(e x ＋2x)d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋12．(2013·湛江模拟)曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( )A ．∫π20(sin x －cos x)d xB ．2∫x40(sin x －cos x)d xC ．2∫π40(cos x －sin x)d xD ．∫π20(cos x －sin x)d x3．(2013·潮州模拟)设f(x)＝⎠⎛0x sin t d t ，则f[f(π2)]的值等于( )A ．－1B ．1C ．－cos 1D ．1－cos 1图2－13－34．如图2－13－3，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14，所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23B.13C.12D.145．一物体在力F(x)＝⎩⎨⎧10， （0≤x ≤2），3x ＋4， （x ＞2）(单位：N )的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4米，力F(x)做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J二、填空题6．设函数f(x)＝ax 2＋1，若⎠⎛01f(x)d x ＝2，则a ＝________．图2－13－47．(2013·肇庆模拟)如图2－13－4，是一个质点做直线运动的v —t 图象，则质点在前6 s 内的位移为________m .8．(2013·广州调研)若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x －4），x ＞0，2x ＋∫π60cos 3x d x ，x ≤0，则f(2 013)＝________． 三、解答题9．已知f(x)在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3， 试求⎠⎛03f(x)d x 的值．10．求由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝2，y ＝0所围成的图形的面积．图2－13－511．如图2－13－5所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解析及答案一、选择题1．【解析】 ⎠⎛01(e x＋2x)d x ＝(e x＋x 2)|10＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e .【答案】 C2．【解析】 当x ∈[0，π4]时，cos x ≥sin x ， 当x ∈(π4，π2)时，sin x ＞cos x.故所求平面区域的面积为∫π40(cos x －sin x)d x ＋∫π2π4(sin x －cos x)d x ，数形结合知∫π40(cos x －sin x)d x ＝∫π2π4(sin x －cos x)d x.【答案】 C3．【解析】 ∵f(π2)＝∫π20sin t d t ＝(－cos t)|π20＝1，∴f[f(π2)]＝f(1)＝⎠⎛01sin t d t ＝(－cos t)|10＝1－cos 1.【答案】 D4．【解析】 由x 2＝14得x ＝12或x ＝－12(舍)，则阴影部分的面积为S ＝∫120(14－x 2)d x ＋∫112(x 2－14)d x ＝(14x －13x 3)|120＋(13x 3－14x)|112＝14. 【答案】 D5．【解析】 力F(x)所做的功为⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝20＋26＝46(J )．【答案】 B 二、填空题6．【解析】 ∵⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01(ax 2＋1)d x＝(13ax 3＋x)|10＝13a ＋1， ∴13a ＋1＝2，即a ＝3. 【答案】 37．【解析】由题图易知v(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧34t ， 0≤t ≤4，9－32t ，4＜t ≤6.∴s ＝⎠⎛06v(t)d t ＝⎠⎛0434t d t ＋⎠⎛46(9－32t)d t＝38t 2|40＋(9t －34t 2)|64＝6＋3＝9. 【答案】 98．【解析】 当x ＞0时，f(x)＝f(x －4)，则f(x ＋4)＝f(x)， ∴f(2 013)＝f(1)＝f(－3)，又∵∫π60cos 3x d x ＝(13sin 3x)|π60＝13，∴f(2 013)＝f(－3)＝2－3＋13＝1124. 【答案】1124三、解答题9．【解】 ∵f(x)＝x 2＋2f′(2)x ＋3， ∴f ′(x)＝2x ＋2f′(2)， ∴f ′(2)＝4＋2f′(2)， ∴f ′(2)＝－4， ∴f(x)＝x 2－8x ＋3， ∴⎠⎛03f(x)d x ＝(13x 3－4x 2＋3x)|30＝－18.10．【解】作出直线x ＝2，曲线y ＝x 2－1的草图，所求面积为图中阴影部分的面积． 由x 2－1＝0得抛物线与x 轴的交点坐标是(－1，0)和(1，0)， 因此所求图形的面积为 S ＝⎠⎛－11|x 2－1|d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝(x －13x 3)|1－1＋(x 33－x)|21＝(1－13)－(－1＋13)＋(13×23－2)－(13－1) ＝1－13＋1－13＋83－2＋23＝83.图2－13－511．【解】 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1. 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积 S ＝⎠⎛1(x －x 2)d x ＝(x 22－13x 3)|10＝16.又⎩⎨⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ， 所以，S 2＝⎠⎛01－k (x －x 2－kx)d x ＝(1－k 2x 2－13x 3)|1－k 0＝16(1－k)3.又知S ＝16，所以(1－k)3＝12， 于是k ＝1－ 312＝1－342.。
高考数学一轮复习 定积分与微积分基本定理练习含答案
第3讲 定积分与微积分基本定理一、选择题1.(2017·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( ) A.e ＋2 B.e ＋1C.eD.e －1 解析 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10)＝1＋e 1－1＝e.故选C. 答案 C2.若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A.2 B.3C.4D.6 解析 ⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )⎪⎪⎪a 1＝a 2＋ln a －1， ∴a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，则a ＝2.答案 A3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12gB.gC.32gD.2g解析 电视塔高h ＝⎠⎛12gt d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12gt 221＝32g . 答案 C4.如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A.⎠⎛02|x 2－1|d x B.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02（x 2－1）d x C.⎠⎛02(x 2－1)d x D.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|d x .答案 A5.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A.S 1<S 2<S 3B.S 2<S 1<S 3C.S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1 解析S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e 2－e ， ∵e 2－e ＝e(e －1)＞e ＞73＞ln 2， ∴S 2＜S 1＜S 3.答案 B二、填空题6.已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝________. 解析 由⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8得，(x 2－2x ) ⎪⎪⎪t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去). 答案 47.已知二次函数y ＝f (x )的图像如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________.解析 根据f (x )的图像可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0).因为f (x )的图像过(0，1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1. 所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43. 答案 438.(2017·合肥模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析 封闭图形如图所示，则⎠⎛0a x d x ＝＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.答案 49三、解答题9.计算下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x d x ； (2)⎠⎛02－x 2＋2x d x ； (3)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x ； (4)⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ； (5)⎠⎛－22|x 2－2x |d x . 解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 1＝32－ln 2； (2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x ＝0，x ＝2，y ＝－x 2＋2x ，以及x 轴围成的图像的面积，即圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的一半，∴⎠⎛02－x 2＋2x＝π2； (3)原式＝ (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x ) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－ (－cos 0＋sin 0)＝2；(4)原式＝⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3)d x ＋⎠⎛－111d x ＝0＋x ⎪⎪⎪1-1＝2； (5)∵|x 2－2x |＝⎩⎨⎧x 2－2x ，－2≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2⎪⎪⎪20＝8.10.求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积.解 作出曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 的图像，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ，得交点(1，1)， 解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝3x ，得交点(3，9)， 因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(3x －x )d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝x 2⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2－13x 3⎪⎪⎪31 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32×32－13×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×12－13×13＝133. 11.若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( ) A.－1B.－13C.13D.1解析 由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ， 设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，∴f (x )＝x 2＋2m ， ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx ⎪⎪⎪10 ＝13＋2m ＝m ，∴m ＝－13.答案 B12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A.1＋25ln 5B.8＋25ln 113C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪40＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m).答案 C13.(2017·郑州调研)⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝________. 解析 ⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11(e x －1)d x . 因为⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积，则⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，又⎠⎛－11(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1 ＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e －2，所以⎠⎛－11(1－x 2＋e x－1)d x ＝π2＋e －1e －2. 答案 π2＋e －1e －214.在区间[0，1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值. 解 S 1面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3. S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t 2，1－t 的面积，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13. 所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1).令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12. t ＝0时，S (t )＝13；t ＝12时，S (t )＝14；t ＝1时，S (t )＝23.所以当t ＝12时，S (t )最小，且最小值为14.。
定积分与微积分基本定理含答案版
定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎜⎛01(x 2－x )d x B ．S ＝⎠⎜⎛01(x －x 2)d x C ．S ＝⎠⎜⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎜⎛1(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎜⎛01(x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( )A ．2 3B ．2－3[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎜⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π[答案] C[解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案]A[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x，y)|－π4≤x≤π4，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y＝cos2x下方的概率是( )－1[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是( )A ．0 C ．2 D ．－2 [答案] D[解析] 2(cos sin )2x x ππ---＝2(cos sin )2x x ππ---＝－2. 7．⎠⎜⎛2(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3[解析] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎜⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎜⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎜⎛12(3－x )d x ＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3.9．已知a ＝2(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192 [解析] 由已知得a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r6×26－r ×x 3－r，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎜⎛ab[(a ＋b )x －ab －x 2]d x ＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|ba ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43， 解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )，其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b2，y ＝a 2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎜⎛34x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12[答案] C[解析] 因为S 3＝⎠⎜⎛34x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎜⎛1eln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎜⎛1eln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎜⎛-42[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18. 14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎜⎛0t(e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎜⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x ＝⎠⎜⎛0t(e t －e x )d x ＋⎠⎜⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎜⎛0πcos 2x2d x ； (3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎜⎛1x d x ＝2×12x 2|10＝1. (2)⎠⎜⎛0πcos 2x2d x ＝⎠⎜⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2.(3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．∴S 阴影＝⎠⎜⎛a[0－(－x 3＋ax 2)]d x ＝(14x 4－13ax 3)|0a＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dx ππ-⎰的值，结果是( )＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案] B[解析] 22()f x dx ππ-⎰＝22ππ-⎰sin 5x d x ＋22ππ-⎰1d x ，由于函数y ＝sin 5x是奇函数，所以22ππ-⎰sin 5x d x ＝0，而22ππ-⎰1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x － 1 －1≤x <0，cos x 0≤x <π2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )C ．1[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎜⎛πsin x d x ＝________.[答案] 22[解析] ∵⎠⎜⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎜⎛πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎜⎛1f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案] 33[解析] ⎠⎜⎛01f (x )d x ＝⎠⎜⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a3＋c＝ax 2＋c ，即ax 20＝a3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33. 5．设n ＝⎠⎜⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x)n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40[解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2，∴n ＝⎠⎜⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5. ∴(x －2x)5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r(－2x)r＝(－2)r C r 5x5－3r2 ，令5－3r 2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。
第二章 第十一节 定积分与微积分基本定理(优秀经典课时作业练习及答案详解)
课时作业 A 组——基础对点练1. ⎠⎛01 e x d x 的值等于( ) A ．e B ．1－e C ．e －1D.12(e －1)解析： ⎠⎛01 e x d x ＝e x |10＝e 1－e 0＝e －1.答案：C2．定积分 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( ) A ．e ＋2 B ．e ＋1 C ．eD ．e －1解析： ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，因此选C.答案：C3.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( ) A.2π5 B.43 C.32D.π2解析：由题中图象易知f (x )＝－x 2＋1，则所求面积为2 ⎠⎛01 (－x 2＋1)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋x ⎪⎪⎪1＝43.答案：B4．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43 B ．2 C.83D.1623解析：由题意知抛物线的焦点坐标为(0,1)，故直线l 的方程为y ＝1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2,1)，根据对称性和定积分的几何意义可得所求的面积是2 ⎠⎛02 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 312⎪⎪⎪20＝83.答案：C5．(2018·保定模拟)从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( ) A.12g B ．g C.32g D ．2g解析：由题意知电视塔高为： ⎠⎛12 gt d t ＝12gt 2|21＝2g －12g ＝32g . 答案：C6.(2018·长沙模拟)若 ⎠⎛01 (x 2＋mx )d x ＝0，则实数m 的值为( )A ．－13B ．－23C ．－1D ．－2解析：由题意知 ⎠⎛01 (x 2＋mx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋mx 22|10＝13＋m 2＝0，得m ＝－23. 答案：B7．如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1 B.43 C. 3D ．2解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.所以S ＝ ⎠⎛02 (－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝ ⎠⎛02 (－x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋x 2|20＝－83＋4＝43.答案：B8．(2018·厦门模拟)定积分 ( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：＝＋ ⎠⎛02 (2x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 2|0－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 33|20＝8. 答案：D9．(2018·衡阳模拟)如图，阴影部分的面积是( )A ．32B ．16 C.323D.83解析：由题意得，阴影部分的面积S ＝＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3－x 2＋3x |1－3＝323.答案：C10．设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( )A ．1 B.13 C.23D.43解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，得x ＝±1.如图，由对称性可知，S ＝2⎝⎛⎭⎫1×1－ ⎠⎛01 x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1×1－13x3⎪⎪⎪10＝43，选D.答案：D11．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B ．4 C.163D ．6解析：如图，阴影部分面积即为所求，求得曲线y ＝x 与直线y ＝x －2的交点为A (4,2)，∴所求阴影部分面积 S 阴＝ ⎠⎛04 (x －x ＋2)d x答案：C12. ⎠⎛03 (x 2＋1)d x ＝________.解析： ⎠⎛03 (x 2＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪3＝13×33＋3＝12.答案：1213．若 ⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________． 解析：∵ ⎠⎛0T x 2d x ＝13T 3＝9，T ＞0，∴T ＝3. 答案：314．汽车以72 km /h 的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以等减速度a ＝4 m/s 2刹车，则汽车从开始刹车到停止走的距离为__________ m. 解析：先求从刹车到停车所用的时间t ， 当t ＝0时，v 0＝72 km /h ＝20 m/s ，刹车后，汽车减速行驶，速度为v (t )＝v 0－at ＝20－4t . 令v (t )＝0，可得t ＝5 s ，所以汽车从刹车到停车，所走过的路程为： ⎠⎛05 (20－4t )d t ＝(20t －2t 2)|50＝50(m)． 即汽车从开始刹车到停止，共走了50 m. 答案：50B 组——能力提升练1．定积分 ⎠⎛12 x 2＋1x d x 的值为( )A.32＋ln 2 B.34 C ．3＋ln 2 D.12解析： ⎠⎛12 1＋x2x d x ＝ ⎠⎛12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x d x ＝ ⎠⎛12 1x d x ＋ ⎠⎛12x d x ＝ln x ⎪⎪⎪ 21＋12x 2⎪⎪⎪21＝ln 2－ln 1＋12×22－12×12＝32＋ln 2.故选A.答案：A2．若f (x )＝x 2＋2 ⎠⎛01 f (x )d x ，则 ⎠⎛01 f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13 C.13D ．1解析：由题意知f (x )＝x 2＋2 ⎠⎛01 f (x )d x ，设m ＝ ⎠⎛01 f (x )d x ，∴f (x )＝x 2＋2m ，⎠⎛01 f (x )d x ＝ ⎠⎛01 (x 2＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx |10＝13＋2m ＝m ，∴m ＝－13. 答案：B3.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( ) A.14 B.15 C.16D.17 解析：阴影部分的面积为 ⎠⎛01(x －x )d x ＝故所求的概率P ＝阴影部分的面积正方形OABC 的面积＝16，故选C.答案：C4．(2018·咸阳模拟)曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形的面积为( ) A ．2ln 2 B ．2－ln 2 C ．4－ln 2D ．4－2ln 2解析：由曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1联立，解得x ＝－1或x ＝2，如图所示，故所求图形的面积S ＝ ⎠⎛24 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－2x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x －2ln x |42 ＝4－2ln 2.答案：D5．一物体在力F (x )＝⎩⎨⎧10 ，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2，(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，则力F (x )所做的功为( ) A ．44 J B ．46 J C ．48 J D ．50 J解析：力F (x )所做的功为 ⎠⎛02 10d x ＋ ⎠⎛24 (3x ＋4)d x ＝20＋26＝46(J)．答案：B6．设实数a ，b 均为区间[0,1]内的随机数，则关于x 的不等式bx 2＋ax ＋14＜0有实数解的概率为( ) A.12 B.16 C.13D.23解析：当b ＝0时，不等式要有实数解必有a ≠0，此时点(a ，b )构成的图形为直线；当b ≠0时，不等式bx 2＋ax ＋14＜0有实数解，则需满足a 2－b ＞0，即a 2＞b ，满足此条件时对应的图形的面积为 ⎠⎛01 a 2d a ＝13a 3 | 10 ＝13，而在区间[0,1]内产生的两个随机数a ，b 对应的图形面积为1，所以不等式bx 2＋ax ＋14＜0有实数解的概率P ＝131＝13，故选C. 答案：C7．已知S 1＝ ⎠⎛12 x d x ，S 2＝ ⎠⎛12 e x d x ，S 3＝ ⎠⎛12 x 2d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 1<S 3<S 2 C ．S 3<S 2<S 1D ．S 2<S 3<S 1解析：∵S 1＝ ⎠⎛12 x d x ＝x 22|21＝2－12＝32， S 2＝ ⎠⎛12 e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)，S 3＝ ⎠⎛12 x 2d x ＝x 33|21＝83－13＝73，∴S 1<S 3<S 2，故选B. 答案：B8．等比数列{a n }中，a 3＝9，前3项和为S 3＝3 ⎠⎛03 x 2d x ，则公比q 的值是( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：∵ ⎠⎛03 x 2d x ＝13x 3|30＝9，∴S 3＝3×9＝27.∴⎩⎨⎧a 3＝a 1q 2＝9，S 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝27， 解得q ＝1或q ＝－12. 答案：C9．如图，曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 和直线x ＝0，x ＝π2所围成的阴影部分平面区域的面积为( )解析：曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22，由图象的对称性可知阴影部分面积为＝所以本题的正确选项为D. 答案：D10．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x >1，e x ＋ ⎠⎛12 1t d t ，x ≤1，则f (2 016)＝( )A ．0B ．ln 2C ．1＋e 2D ．1＋ln 2解析：当x >1时，f (x )＝f (x －4)，∴f (x )在(－3，＋∞)上是周期为4的周期函数，f (2 016)＝f (504×4＋0)＝f (0)＝e 0＋ ⎠⎛12 1t d t ＝e 0＋ln t |21＝1＋ln 2，故选D. 答案：D11．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若 ⎠⎛02 f (x )d x ＝2f (x 0)，x 0>0，则x 0＝( )A.33B.233C.32D ．3解析：∵函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0), ⎠⎛02 f (x )d x ＝2f (x 0)，∴ ⎠⎛02(ax 2＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋bx |20＝83a ＋2b ，2f (x 0)＝2ax 20＋2b ， ∴83a ＝2ax 20，∴x 0＝233，故选B. 答案：B12. ⎠⎛02 (x －1)d x ＝________.解析： ⎠⎛02 (x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪20＝12×22－2＝0.答案：013.正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．解析：由几何概型的概率计算公式可知，所求概率P ＝S 阴影S 正方形＝2 ⎠⎛1－1 (1－x 2)d x 22＝834＝23. 答案：2314．由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．解析：把阴影部分分成两部分求面积．＝22－(2)33＋2－13－12＝423＋76.答案：423＋7615．(2018·泉州模拟) ⎠⎛01 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x d x ＝__________.解析： ⎠⎛01 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x d x ＝ ⎠⎛01 1－x 2d x ＋ ⎠⎛0112x d x, ⎠⎛01 12x d x ＝14，⎠⎛01 1－x 2d x 表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14.答案：π＋14。
2023年高考数学微专题练习专练15定积分与微积分基本定理含解析理
专练15 定积分与微积分基本定理命题范围：积分的概念与运算、微积分基本定理．[基础强化]一、选择题1.⎠⎛12(x －2)d x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－122．若f(x)＝x 2＋2⎠⎛01f(x)d x ，则⎠⎛01f(x)d x ＝( )A .－1B ．－13C ．13D ．13．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．22B ．4 2C ．2D ．44．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b5.⎠⎛－11(1－x 2＋sin x)d x ＝( )A ．π4B ．π2C ．πD ．π2＋26．设k ＝⎠⎛0π(sin x －cos x)d x ，若(1－kx)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 8＝( )A .－1B ．0C ．1D ．2567．设f(x)＝⎩⎨⎧1－x 2，x∈[－1，1），x 2－1，x∈[1，2]，则⎠⎛－12f(x)d x 的值为( )A .π2＋43B ．π2＋3C ．π4＋43D ．π4＋38．如图是函数y ＝cos (2x －5π6)在一个周期内的图像，则阴影部分的面积是( )A ．34B ．54C ．32D ．32－349．已知等差数列{a n }中，a 5＋a 7＝⎠⎛0πsin x d x ，则a 4＋2a 6＋a 8的值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2二、填空题10．[2022·安徽滁州二模]设f(x)＝e x，则⎠⎛01[f′(x)＋2x]d x________．11．曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________.12．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a ，b∈R )的图像如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为274，则a 的值为________.13．[2022·西藏拉萨中学月考]由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的平面图形的面积为________．14．[2022·甘肃张掖期末]如图，在矩形ABDC 中，AB ＝1，AC ＝2，O 为AC 中点，抛物线的一部分在矩形内，点O 为抛物线顶点，点B ，D 在抛物线上，在矩形内随机地放一点，则此点落在阴影部分的概率为________．15．[2022·宁夏石嘴山一模]⎠⎛－11(e x＋|x|)d x ＝________．16．[2022·黑龙江一模]在棱长为2的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的侧面ABB 1A 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则在侧面ABB 1A 1上动点P 的轨迹与棱AB 、BB 1所围成的图形面积是________．专练15 定积分与微积分基本定理1．D ⎠⎛12(x －2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x |21 ＝12×22－2×2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝－12.2．B 令⎠⎛01f(x)d x ＝m ，则f(x)＝x 2＋2m ，∴⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛012m d x ＝(13x 2＋2mx)|10＝m ，得m ＝－13.3．D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3，得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍)， ∴S＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4|20 ＝4.4．D a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3|20 ＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4|20 ＝4，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x )|20 ＝1－cos2，∵1－cos2<83<4，∴c <a <b .5．B ⎠⎛－11(1－x 2＋sin x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x ，∵y ＝sin x 为奇函数，∴⎠⎛－11sin x d x ＝0，又⎠⎛－111－x 2d x 表示以坐标原点为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，∴⎠⎛－111－x 2d x＝π2， ∴⎠⎛－11( 1－x 2＋sin x )d x ＝π2.6．B 因为k ＝⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ＝－cos x |π0 －sin x |π0 ＝2，所以(1－kx )8＝(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8.令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝(1－2)8＝1，令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 8＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8)－a 0＝1－1＝0.故选B.7．A ⎠⎛－12f(x)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝12π×12＋(13x 3－x)|21 ＝π2＋43.故选A .8．B S ＝－∫π60cos (2x －5π6)d x ＋∫2π3π6cos (2x －5π6)d x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin （2x －5π6）|π60＋[12sin (2x －5π6)]|2π3π6＝－[12sin (－π2)－12sin (－5π6)]＋[12sin π2－12sin (－π2)]＝14＋1＝54.故选B .9．C ∵a 5＋a 7＝⎠⎛0πsin x d x ＝(－cos x)|π0 ＝－(cosπ－cos 0)＝2，又{a n }为等差数列， ∴a 5＋a 7＝2a 6＝2，∴a 6＝1， ∴a 4＋2a 6＋a 8＝4a 6＝4. 10．e解析：因为f(x)＝e x， 所以错误!错误!0＝e ＋1－1＝e . 11.16解析：如图，阴影部分的面积即为所求．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则A(1，1). 故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝(12x 2－13x 3)|10 ＝16.12．－3解析：由已知得f′(0)＝0，因为f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，所以b ＝0，则f(x)＝x 3＋ax 2，令f(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝－a.由切线y ＝0与函数图像所围区域(题图中阴影部分)的面积为274，得 －⎠⎛0－a f(x)d x ＝274，即－⎠⎛0－a (x 3＋ax 2)d x ＝274，即－(14x 4＋a 3x 3)－a 0 ＝274，所以－⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 44＋a3×（－a ）3＝274，即a 412＝274，解得a ＝±3，由题图可知a<0，∴a＝－3. 13.163解析：由定积分知 S ＝⎠⎛4x －(x －2)d x ＝(23x 32－12x 2＋2x)|1＝(23×8－8＋8)－0＝163. 14.13解析：由题可知矩形面积为2，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线方程为y 2＝2x(0≤x≤1)， 抛物线及BD 围成的面积为2(1－⎠⎛01x d x)＝23，点落在阴影部分的概率为232＝13.15．e －1e＋1解析：⎠⎛－11(e x＋|x|)d x ＝⎠⎛－1(e x－x)d x ＋⎠⎛01(e x＋x)d x ＝(e x－x 22)|0－1 ＋(e x ＋x 22)|10 ＝(e－0)[e －1－（－1）22]＋(e 1＋122)－[e 0＋0]＝1－1e ＋12＋e ＋12－1＝e －1e ＋1.16.43解析：以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设点P(x ，0，z)，则0≤x≤2，0≤z≤2，则点P 到直线A 1B 1的距离为2－z ， 因为BC⊥平面AA 1B 1B ，BP ⊂平面AA 1B 1B ， 所以，BC⊥BP，所以，点P 到直线BC 的距离为|BP →|＝（x －2）2＋z 2， 由已知可得（z －2）2＋z 2＝2－z ，化简可得z ＝x －x24，当x ＝2时，z ＝1，即点P 的轨迹交棱BB 1于点(2，0，1)，因此，在侧面ABB 1A 1上动点P 的轨迹与棱AB 、BB 1所围成的图形面积是⎠⎛02(x －x 24)d x ＝(12x 2－x 312)|20 ＝43.。
定积分与微积分基本定理练习
课时作业 A 组 基础对点练1．sin 2x2d x ＝( )A ．0B ．π4－12 C.π4－14 D ．π2－1解析：sin 2x 2d x ＝1－cos x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ＝π4－12.故选B.答案：B 2．(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：由题知(－cos x －a sin x ) ＝1－a ＝2，a ＝－1.答案：A3．(2017·西安调研)定积分⎠⎛01(2＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：⎠⎛01(2＋e x )d x ＝(2x ＋e x )| 10 ＝2＋e 1－1＝e ＋1.故选B.答案：B4．若S 1＝⎠⎛121x d x ，S 2＝⎠⎛12(ln x ＋1)d x ，S 3＝⎠⎛12x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 1＜S 3＜S 2D ．S 3＜S 1＜S 2解析：如图，分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选A. 答案：A5．已知t ＞0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4解析：由⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8得(x 2－2x )| t0 ＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，故选D. 答案：D6．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( ) A.12g B ．g C.32gD ．2g解析：电视塔高h ＝⎠⎛12gt d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12gt 2| 21 ＝32g .答案：C7．(2017·长沙模拟)设a ＝⎠⎛01cos x d x ，b ＝⎠⎛01sin x d x 则下列关系式成立的是( ) A ．a ＞b B ．a ＋b ＜1 C ．a ＜bD ．a ＋b ＝1解析：∵(sin x )′＝cos x ， ∴a ＝⎠⎛01cos x d x ＝sin x | 10 ＝sin 1.∵(－cos x )′＝sin x ，∴b ＝⎠⎛01sin x d x ＝(－cos x ) | 10 ＝1－cos 1.∵sin 1＋cos 1＞1，∴sin 1＞1－cos 1，即a ＞b .故选A. 答案：A8．(2017·贵阳模拟)若由曲线f (x )＝x 与y 轴及直线y ＝m (m ＞0)围成的图形的面积为83，则m 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．1D ．8答案：A9．(2017·武汉模拟)设变力F (x )(单位：N)作用在质点M 上，使M 沿x 轴正方向从x ＝1 m 处运动到x ＝10 m 处，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正方向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为( ) A ．1 J B ．10 J C ．342 JD ．432 J解析：变力F (x )＝x 2＋1，使质点M 沿x 轴正方向从x ＝1运动到x ＝10所做的功W ＝∫101F (x )d x ＝∫101(x 2＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x | 101 ＝342 (J)． 答案：C10．(2017·济南模拟)如图，设抛物线y ＝－x 2＋1的顶点为A ，与x 轴正半轴的交点为B ，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M ，随机往M 内投一点P ，则点P 落在△AOB 内的概率是( )A.56 B ．45 C.34D ．23解析：由题意得，在第一象限内抛物线与坐标轴所围成的区域的面积为⎠⎛01(－x 2＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x | 10 ＝23，△AOB 的面积为12×1×1＝12，所以点P 落在△AOB 内的概率为1223＝34.答案：C11．(2017·汕头模拟)计算⎠⎛1e(2x ＋1x )d x ＝________.解析：⎠⎛1e (2x ＋1x )d x ＝(x 2＋ln x )| e1 ＝e 2＋ln e －1－ln 1＝e 2.答案：e 212．(2017·山西模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧4－x 2，－2≤x ≤0，x ＋2，0＜x ≤2，则⎠⎛－22f (x )d x ＝________.解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2，－2≤x ≤0，x ＋2，0＜x ≤2，则⎠⎛－22f (x )d x ＝⎠⎛－204－x 2d x ＋⎠⎛02(x ＋2)d x ＝14π×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x | 20 ＝π＋6.答案：π＋613．(2017·历城二中模拟)设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 解析：封闭图形如图所示，答案：4914．汽车以v ＝3t ＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是多少？解析：阴影部分面积S ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t | 21 ＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m)．B 组 能力提速练1．(2017·衡阳模拟)如图，阴影部分的面积是( )A ．32B ．16 C.323D ．83答案：C2．(2017·贵州七校联考)设实数a ，b 均为区间[0,1]内的随机数，则关于x 的不等式bx 2＋ax ＋14＜0有实数解的概率为( ) A.12B ．16C.13 D ．23解析：当b ＝0时，不等式要有实数解必有a ≠0，此时点(a ，b )构成的图形为直线；当b ≠0时，不等式bx 2＋ax ＋14＜0有实数解，则需满足a 2－b ＞0，即a 2＞b ，满足此条件时对应的图形的面积为⎠⎛01a 2d a ＝13a 3| 10 ＝13，而在区间[0,1]内产生的两个随机数a ，b 对应的图形面积为1，所以不等式bx 2＋ax ＋14＜0有实数解的概率P ＝131＝13，故选C. 答案：C3．(2017·辽宁联考)设k 是一个正整数，(1＋x k )k 的展开式中第四项的系数为116，记函数y ＝x 2与y ＝kx 的图象所围成的阴影部分的面积为S ，任取x ∈[0,4]，y ∈[0,16]，则点(x ，y )恰好落在阴影区域内的概率为( ) A.1796 B ．532C.16D ．748解析：由题意得C 3k 1k 3＝116，解得k ＝4.阴影部分的面积S ＝⎠⎛04(4x －x 2)d x ＝(2x 2－13x 3)| 40 ＝323，点(x ，y )所围成的区域面积为S ′＝4×16＝64，所以所求概率P ＝S S ′＝16，故选C. 答案：C4．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解析：∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点， 设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2， ∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)， 即y ＝2x ，y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x ，可得交点A (2,4)． ∴y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积 S ＝⎠⎛02(2x －x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3| 20 ＝4－83＝43.5．在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．解析：S 1面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3.S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t 2,1－t 的面积，即S 2＝⎠⎛t 1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12.t ＝0时，S (t )＝13；t ＝12时，S (t )＝14；t ＝1时，S (t )＝23.所以当t ＝12 时，S (t )最小，且最小值为14.。
高考数新人教A一轮复习专题练习 3.3 定积分与微积分基本定理
1.设连续函数f(x)>0,则当a<b 时,定积分∫()b a f x dx 的符号( ) A.一定是正的 B.一定是负的C.当0<a<b 时是正的,当a<b<0时是负的D.以上结论都不对 【答案】 A【解析】 由∫()b a f x dx 的几何意义及f(x)>0,可知∫()ba f x 表示x=a,x=b,y=0与y=f(x)围成的曲边梯形的面积. ∴∫()b a f x dx>0.2. ∫22ππ- (1+cosx)dx 等于( )A.πB.2C.π-2D.π+2【答案】 D【解析】 ∫22ππ-(1+cosx)dx=(x+sinx)|22ππ-2(π=+sin 22)[ππ--+sin 2()]2π-=+π. 3.用S 表示图中阴影部分的面积,则S 的值是( )A. ∫()c a f x dxB.| ∫()c a f x dx|C. ∫()b a f x dx+∫()cb f x dxD. ∫()cb f x dx-∫()b a f x dx【答案】 D【解析】 由定积分的几何意义知选项D 正确.4.(2012山东荷泽模拟)设函数()mf x x ax =+的导函数则∫21()f x -dx 的值等于( ) A.56 B.12 C.23 D.16【答案】 A【解析】 由于()m f x x ax =+的导函数为f′(x)=2x+1,所以2()f x x x =+,于是∫21()f x -dx=∫221()x x -313(x -212)x |2516=.5.直线y=2x+3与抛物线2y x =所围成的图形面积为 . 【答案】323【解析】 由 223y x y x =+,⎧⎨=,⎩得1213x x =-,=. ∴面积S=∫31(23)x -+dx-∫321x -dx 2(3)x x =+|33113x --|33213-=. 1. ∫412x dx 等于( )A.-2ln2B.2ln2C.-ln2D.ln2【答案】 D【解析】 ∫412x dx=lnx |42=ln4-ln2=ln2.2.(2011福建高考,理5) ∫10(e 2)xx +dx 等于( ) A.1B.e-1 C.e D.e+1【答案】 C【解析】 ∵被积函数e 2x x +的一个原函数为e 2xx +,∴∫10(e 2)x x +dx=(e 2)x x +|10(=e 121)(+-e 0+3.已知f(x)= 210101x x x ⎧,-≤≤,⎨,<<,⎩则∫11()f x -dx 的值为 ( )A.32B.23-C.23D.43【答案】 D【解析】 ∫11()f x -dx=∫021x -dx+∫101dx 313x=|01x -+|10 14331=+=.4.函数f(x)= 2110cosx 0x x x π+,-≤<,⎧⎨,≤≤⎩ 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.32B.1C.2D.12【答案】 A【解析】 根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积为1211S =⨯⨯+∫20πcosxdx 12=+sinx |2π12=+sin 2π-sin032=.5.函数y=∫(x x -cos 22)t t ++dt( )A.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数D.以上都不正确【答案】 A【解析】 y=(sin 332)t t t ++|2xx -=sin 3234x x x ++,为奇函数6.(2011湖南高考,理6)由直线330x x y ππ=-,=,=与曲线y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( ) A.12 B.1【答案】 D【解析】 结合图形可得:S=∫33ππ-cosxdx=sin x |33ππ-3π-3()π-=7.由曲线32y x y x =,=围成的封闭图形的面积为( )A.112B.14C.13D.712【答案】 A【解析】 因为2y x =与3y x =的交点为(0,0),(1,1), 故所求封闭图形的面积为∫102x dx-∫103x d 313x x =|10414x -|101113412=-=,选A.8.曲线1x y =与直线y=x,x=2所围成的图形面积为 . 【答案】32-ln2【解析】 S=∫211()x x -d 212(x x =-lnx)|2312=-ln2. 9.如果∫10()f x dx=1, ∫20()f x dx=-1,则∫21()f x dx= .【答案】 -2【解析】 ∵∫20()f x dx=∫10()f x dx+∫21()f x dx, ∴∫21()f x dx=∫20()f x dx-∫10()f x dx=-1-1=-2.10.由曲线2y x =和直线2(01)t t ,∈,所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为 .【答案】14【解析】 围成图形的阴影部分的面积3S t =-∫20t x dx+∫12t x dx 2324133(1)t t t t --=-+.令S′2420t t =-=,解得12t =或t=0(舍去).可判断当12t =时S 最小1min 4S ,=.11.计算下列定积分.(1) ∫2211(2)x x -dx;(2) ∫322dx;(3) ∫30π(sinx-sin2x)dx.【解】 (1) ∫2211(2)x x -d 323(x x =-lnx)|21 163=-ln 214332-=-ln2.(2) ∫322dx=∫312(2)x x ++dx212(x =+lnx+2x)|32 92(=+ln3+6)-(2+ln2+4)=ln 3922+.(3) ∫30π(sinx-sin2x)dx=(-cos 12x +cos2x)|30π11112424()(1)=----+=-.12.已知f(x)为二次函数,且f(-∫10()f x -2.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.【解】 (1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠,则f′(x)=2ax+b. 由f(-1)=2,f′(0)=0,得 20a b c b -+=,⎧⎨=⎩即20c a b =-,⎧⎨=.⎩∴2()(2)f x ax a =+-.又∫10()f x dx=∫120[(2)]ax a +-dx 313[(2)]ax a x =+-|120322a =-=-. ∴a=6,c=-4.从而2()64f x x =-. (2)∵2()64[11]f x x x =-,∈-,, ∴当x=0时min ()4f x ,=-; 当1x =±时max()2f x =.13.如图所示,直线y=kx 分抛物线2y x x =-与x 轴所围图形为面积相等的两部分,求k 的值.【解】 抛物线2y x x =-与x 轴两交点的横坐标为1201x x =,=, 所以,抛物线与x 轴所围图形的面积S=∫120()x x -d 23123()x x x =-|1106=.又由 2y x x y kx ⎧=-,⎨=,⎩ 可得抛物线2y x x =-与y=kx 两交点的横坐标为3401x x k =,=-,所以,2S =∫120()k x x kx ---d 231123()k x x x -=-|13106(1)k k -=-.又知16S =,所以312(1)k -=,于是11k ==14.一条水渠横断面为抛物线型,如图,渠宽AB=4米,渠深CO=2米,当水面距地面0.5米时,求水的横断面的面积.【解】 如图,建立直角坐标系,设抛物线方程为22x py =,代入(2,2)得2p=2,∴22x y =.将点(x,1.5)代入22x y =得x =∴水的横断面的面积为S=(1.2125)x -dx=(1.3165)x x -|.∴水的横断面的面积为平方米.。
定积分及微积分基本定理练习试题包括
1.4 定积分与微积分基本定理练习题及答案1.(2011 ·宁夏银川一中月考) 求曲线y＝ x2 与y＝ x 所围成图形的面积，此中正确的选项是( )A． S＝1(x2 － x)dx0 B． S＝1(x －x2)dxC． S＝1(y2 － y)dy D0 ． S＝1(y －y)dy[0,1] [ 答案 ] B[ 剖析 ]依据定积分的几何意义，确立积分上、下限和被积函数．[ 解读 ]两函数图象的交点坐标是(0,0) ， (1,1) ，故积分上限是上， x≥ x2，故函数y＝x2 与 y＝x 所围成图形的面积S＝1(x1，下限是－x2)dx.0，因为在2．(2010 ·山东日照模考)a ＝2xdx，b＝2exdx ，c＝2sinxdx，则a、 b、c 的大小关系是 ( )A． a<c<bB． a<b<cC． c<b<aD． c<a<b[ 答案 ] D1[ 解读] a ＝2xdx ＝2x2|02 0 ＝ 2 ， b ＝2exdx ＝ex|02 0＝ e2－ 1>2， c＝2sinxdx＝－cosx|02 ＝ 1－ cos2 ∈(1,2)，∴c<a<b.3．(2010 ·山东理， 7) 由曲线 y＝ x2， y＝ x3 围成的关闭图形面积为()1 1 1 7A. 12B. 4C. 3D. 12[ 答案 ] Ay＝ x2[ 解读 ] 由得交点为 (0,0) ， (1,1) ．y＝ x31 1 1∴ S＝1(x2 － x3)dx ＝3x3 －4x4 01＝12.[ 评论 ]图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010 ·湖南师大附中 ) 设点 P 在曲线 y＝ x2 上从原点到A(2,4) 挪动，假如把由直线OP，直线 y＝ x2 及直线 x＝ 2 所围成的面积分别记作S1，S2. 以下图，当S1＝S2 时，点 P 的坐标是 ( )A. 4 16B.4 16 3，9 5，9C. 4 15D.4 13 3，7 5，7[ 答案 ] At3 [ 解读 ] 设 P(t ， t2)(0 ≤t ≤ 2) ，则直线 OP：y＝ tx ，∴ S1＝ t(tx － x2)dx ＝6；S2＝8 t3 4 4 162(x2 － tx)dx ＝3－ 2t ＋6 ，若 S1＝ S2，则 t ＝3，∴ P 3，9 .t4．由三条直线 x＝ 0、 x＝2、 y＝ 0 和曲线 y＝ x3 所围成的图形的面积为 ( )4 18A． 4 B. 3C. 5 D．6[ 答案 ] Ax4[ 解读 ] S＝2x3dx ＝4 02＝ 4.5．(2010 ·湖南省考试院调研)1－1(sinx＋1)dx的值为()A． 0 B ． 2C． 2＋2cos1 D ． 2－ 2cos1[ 答案 ] B[ 解读 ]1－1(sinx＋1)dx＝(－cosx＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.6．曲线 y＝ cosx(0 ≤ x≤2π) 与直线y＝ 1 所围成的图形面积是()A．2π B ．3π3πC. 2 D．π[ 答案 ] A[ 解读 ]如右图，S＝∫ 02π(1 － cosx)dx＝(x －sinx)|02 π＝ 2π.[ 评论 ]本题可利用余弦函数的对称性①②③④ 面积相等解决，但若把积分区间改为π6 ，π ，则对称性就力所不及了．7．函数 F(x) ＝xt(t－4)dt在[－1,5]上()A．有最大值0，无最小值32B．有最大值0 和最小值－332C．有最小值－ 3 ，无最大值D．既无最大值也无最小值[ 答案 ] B[ 解读 ] F′(x) ＝ x(x － 4) ，令 F′(x) ＝ 0，得 x1＝ 0， x2＝ 4，73225∵F( －1) ＝－3， F(0) ＝ 0， F(4) ＝－3， F(5) ＝－3 .32∴最大值为 0，最小值为－3 .[ 评论 ] 一般地， F(x) ＝ xφ(t)dt 的导数 F′(x) ＝φ (x) ．18．已知等差数列 {an} 的前 n 项和 Sn＝ 2n2＋ n，函数 f(x) ＝x t dt ，若 f(x)<a3 ，则 x1的取值范围是 ()3A.6，＋∞ B． (0 ， e21)C． (e － 11， e) D ． (0 ，e11)[ 答案 ] D1[ 解读 ]f(x)＝x dt ＝ lnt|1x＝lnx，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，t10<x<e11.9．(2010 ·福建厦门一中 ) 以下图，在一个长为π，宽为 2 的矩形 OABC内，曲线y＝sinx(0 ≤ x≤ π) 与 x 轴围成以下图的暗影部分，向矩形OABC内随机投一点( 该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的) ，则所投的点落在暗影部分的概率是()123πA. πB. πC. πD. 4[ 答案 ] A—[ 解读 ]由图可知暗影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝ πsinxdx ＝－ cosx|0 π＝－ (cos π－ cos0) ＝ 2 ，再依据几何概型的算法易知所求概率P ＝S 2＝1.＝πS 矩形 OABC 2πx ＋ 2 －2≤ x<010．(2010 ·吉林质检 ) 函数 f(x) ＝ π的图象与 x 轴所围成的图形2cosx 0≤ x ≤ 2面积 S 为 ()31A. 2B ． 1 C ． 4 D. 2 [ 答案 ] C[ 解读 ]面积 S ＝∫ π－ 2f(x)dx ＝0－2(x ＋ 2)dx ＋∫ π 02cosxdx ＝ 2＋ 2＝ 4.2 211．(2010 ·沈阳二十中 ) 设函数 f(x) ＝ x －[x] ，此中 [x] 表示不超出 x 的最大整数， 如 [ －x1.2] ＝－ 2， [1.2] ＝1， [1]＝1. 又函数 g(x) ＝－ 3， f(x) 在区间 (0,2) 上零点的个数记为 m ，f(x) 与 g(x) 的图象交点的个数记为n ，则 ng(x)dx 的值是 ( )m54A ．－ 2B ．－ 357C ．－ 4D ．－ 6[ 答案 ]A[ 解读 ]由题意可得，当 0<x<1 时， [x] ＝ 0， f(x) ＝ x ，当 1≤ x<2 时， [x] ＝ 1，f(x)＝x － 1，所以当 x ∈ (0,2) 时，函数 f(x) 有一个零点， 由函数 f(x)与 g(x) 的图象可知两个函xx25数有 4 个交点，所以 m ＝ 1， n ＝ 4，则 ng(x)dx ＝ 4 － 3 dx ＝ － 614＝－ 2.m111．(2010 ·江苏盐城调研 ) 甲、乙两人进行一项游戏竞赛， 竞赛规则以下： 甲从区间 [0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间 [0,1] 上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 能够相等 ) ，若对于 x 的方程 x2＋ 2bx ＋c ＝ 0 有实根，则甲获胜，不然乙获胜，则在一场竞赛中甲获胜的概率为( )1 2 13A. 3B. 3C. 2D. 4[ 答案 ]A[ 解读 ] 方程 x2＋ 2bx ＋c ＝ 0 有实根的充要条件为＝ 4b2－ 4c ≥ 0，即 b2≥ c ，1b2db0 1由题意知，每场竞赛中甲获胜的概率为p＝1×1＝3.12．(2010 ·吉林省调研 ) 已知正方形四个极点分别为O(0,0) ，A(1,0) ，B(1,1) ，C(0,1) ，曲线 y＝ x2(x ≥ 0) 与 x 轴，直线 x＝1 组成地区 M，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在地区 M内的概率是 ()1 1A. 2B. 41 2C. 3D.5[ 答案 ] C[ 解读 ] 如图，正方形面积1，地区 M的面积为 S＝ 1x2dx1 1 1＝3x3|01 ＝3，故所求概率 p＝3.2．如图，暗影部分面积等于()A． 2 3B． 2－ 33235C. 3D. 3[ 答案 ] C[ 解读 ] 图中暗影部分面积为1 32.S＝ 1 (3 － x2－ 2x)dx ＝ (3x －3x3－ x2)|1－ 3＝ 3-33. 2 4－ x2dx ＝ ()A．4π B ．2ππC．π D. 2[ 答案 ] C[ 解读 ] 令 y＝4－ x2，则 x2＋y2＝ 4(y ≥0) ，由定积分的几何意义知所求积分为图中暗影部分的面积，1∴ S＝4×π× 22＝π.4.已知甲、乙两车由同一同点同时出发，并沿同一路线( 假设为直线 ) 行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和 v 乙 ( 以下图 ) ．那么对于图中给定的t0 和 t1 ，以下判断中必定正确的是 ()A．在 t1 时辰，甲车在乙车前方B．在 t1 时辰，甲车在乙车后边C．在 t0 时辰，两车的地点相同D． t0 时辰后，乙车在甲车前方[ 答案 ] A[ 解读 ] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，其实是判断在t0 ， t1 时辰，甲、乙两车行驶行程的大小问题．依据定积分的几何意义知：车在某段时间行家驶的行程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数 v(t) 的图象与t 轴以实时间段围成地区的面积．从图象知：在 t0 时辰， v 甲的图象与 t 轴和 t ＝ 0，t ＝ t0 围成地区的面积大于 v 乙的图象与 t 轴和 t ＝ 0， t ＝ t0 围成地区的面积，所以，在t0 时辰，甲车在乙车的前方，并且此时乙车的速度刚才追上甲车的速度，所以选项C，D 错误；相同，在t1 时辰， v 甲的图象与 t 轴和t ＝ t1 围成地区的面积，仍旧大于v 乙的图象与 t 轴和 t ＝t1 围成地区的面积，所以，能够判定：在 t1 时辰，甲车仍是在乙车的前方．所以选 A.ππ5．(2012 ·山东日照模拟 ) 向平面地区Ω＝ {(x ，y)| －4≤ x≤4 ，0≤ y≤1} 内随机扔掷一点，该点落在曲线y＝ cos2x 下方的概率是 ( )π 1A. 4B. 2π 2C. 2－ 1D. π[ 答案 ] D[ 解读 ]π平面区域Ω 是矩形区域，其面积是2，在这个区6．(sinx － cosx)dx 的值是 ()πA． 0 B. 4 C． 2 D．－ 2[ 答案 ] D[ 解读 ](sinx－cosx)dx＝(－cosx－sinx)＝－2.7．(2010 ·惠州模拟 )2(2 － |1 － x|)dx ＝ ________.[ 答案 ] 3[ 解读 ]1＋ x 0≤ x≤ 1∵ y＝，3－ x 1<x ≤ 2∴ 2(2 － |1 － x|)dx ＝1(1 ＋ x)dx ＋ 2(3 － x)dx0 0 11 1 3 3＝(x ＋2x2)|10＋ (3x －2x2)|21＝2＋2＝ 3.8．(2010 ·芜湖十二中 ) 已知函数 f(x) ＝3x2 ＋ 2x＋ 1，若1－1f(x)dx ＝2f(a) 建立，则a＝ ________.1[ 答案 ] － 1 或3[ 解读 ] ∵1－ 1f(x)dx ＝1－ 1(3x2 ＋ 2x ＋ 1)dx ＝ (x3 ＋ x2 ＋ x)|1 － 1 ＝ 4 ，1－1f(x)dx＝2f(a)，∴ 6a2＋4a＋2＝4，1∴ a＝－ 1 或3.π 19．已知a＝∫2 0(sinx＋cosx)dx，则二项式(a x－x)6 的睁开式中含x2项的系数是________．[ 答案 ]－192ππππ[ 解读 ]由已知得a＝∫2 0(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)| 2 0＝(sin2－cos2) －(sin0 － cos0) ＝ 2，1(2 x－ )6 的睁开式中第 r ＋ 1 项是 Tr ＋ 1＝ ( －1)r ×C6r×26－r ×x3－r，令 3－ r ＝ 2 得，xr ＝ 1，故其系数为( －1)1 ×C16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y＝ x2 订交于 A、B 两点，线段 AB 与抛物线所围成图形的面积4恒等于3，求线段AB的中点 P 的轨迹方程．[ 解读 ]设直线与抛物线的两个交点分别为A(a， a2) ， B(b ， b2) ，不如设a<b，b2－ a2则直线 AB 的方程为y－ a2＝b－a (x － a) ，即y＝(a ＋ b)x － ab.a＋ b 则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S＝b[(a ＋b)x － ab－x2]dx ＝(2x2－abx －ax3 13 )|ba＝6(b －a)3 ，1 4∴6(b － a)3 ＝3，解得 b－ a＝ 2. 设线段 AB的中点坐标为 P(x ，y) ，a＋ b此中x＝2，将 b－a＝ 2 代入得x＝a＋ 1，y＝ a2＋ b2. y＝ a2＋ 2a＋ 2.2消去 a 得 y＝ x2＋ 1.∴线段 AB 的中点 P 的轨迹方程为 y＝ x2＋ 1.能力拓展提高11.(2012 ·郑州二测 ) 等比数列 {an} 中，a3＝ 6，前三项和 S3＝34xdx ，则公比 q 的值为()1A． 1 B ．－21 1C． 1 或－2D．－ 1 或－2[ 答案 ] C6 6[ 解读 ] 因为 S3＝34xdx ＝ 2x2|30＝ 18，所以q＋q2＋ 6＝ 18，化简得 2q2－ q－1＝ 0，1解得 q＝ 1 或 q＝－2，应选 C.12． (20 12·太原模拟 ) 已知 (xlnx) ′＝ lnx ＋1，则elnxdx ＝ ( )1A． 1 B ． e C ． e－ 1 D ． e＋ 1[ 答案 ] A[ 解读 ] 由(xlnx) ′＝ lnx ＋ 1，联想到 (xlnx －x) ′＝ (lnx ＋ 1) －1＝ lnx ，于是 elnxdx1＝(xlnx － x)|e1＝ (elne － e) －(1 ×ln1 －1) ＝ 1.13．抛物线 y2＝ 2x 与直线 y＝ 4－ x 围成的平面图形的面积为 ________．[ 答案 ] 18[ 解读 ]y2＝ 2x，A(2,2) 、B(8 ，－4) ，选 y 作为积分变量 x 由方程组解得两交点y＝ 4－ x，y2＝2、 x＝ 4－y，2 [(4 － y) －y2 y2 y3∴ S＝2 ]dy ＝ (4y －2－6 )|2－ 4＝ 18.-414.已知函数 f(x) ＝ ex－ 1，直线 l1 ： x＝ 1， l2 ： y＝et － 1(t 为常数，且 0≤ t ≤ 1) ．直线l1 ， l2 与函数 f(x) 的图象围成的关闭图形如图中地区Ⅱ所示，其面积用S2 表示．直线 l2 ，y 轴与函数 f(x) 的图象围成的关闭图形如图中地区Ⅰ所示，其面积用S1 表示．当 t 变化时，暗影部分的面积的最小值为________．[ 答案 ] ( e－ 1)2[ 解读 ] 由题意得S1＋ S2＝ t(et － 1－ ex ＋ 1)dx ＋1(ex － 1－ et ＋ 1)dx ＝ t(et －0 t 0ex)dx ＋ 1(ex － et)dx ＝ (xet － ex)|t 0 ＋ (ex － xet)|1 t ＝ (2t － 3)et ＋ e＋ 1，令 g(t) ＝ (2t －t3)et ＋ e＋ 1(0 ≤ t ≤ 1) ，则 g′(t) ＝ 2et ＋ (2t －3)et ＝ (2t － 1)et ，令 g′(t) ＝ 0，得 t ＝1 2，11∴当 t ∈ [0 ，2) 时， g ′(t)<0 ， g(t) 是减函数，当 t ∈ ( 2，1] 时， g ′(t)>0 ， g(t) 是增函数，1 1 所以 g(t) 的最小值为g( 2) ＝ e ＋ 1－ 2e 2＝ ( e － 1)2. 故暗影部分的面积的最小值为( e －1)2.15．求以下定积分．(1)－ 1|x|dx 。
第二章 第十三节 定积分与微积分基本定理
②一般情况下，定积分∫b af(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲 线 f(x)以及直线 x＝a、 x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(如 图中阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积 分值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
(3)定积分的基本性质
b k∫a f(x)dx . b b b ∫ ∫ f ( x )d x ± a f2(x)dx . ②∫a[f1(x)± f2(x)]dx＝ a 1
设一个物体从初速度为 1 时开始做直线运动， 已知在任意 时刻 t 时的加速度为 2 t＋1，试将位移 s 表示为时间 t 的 函数式．
解：取物体运动的起点为原点，在t时刻的位移为s＝s(t)，速度 为v＝v(t)，加速度为a＝a(t)，则有 s′(t)＝v(t)，v′(t)＝a(t)＝2 t＋1，s(0)＝0，v(0)＝1. 在区间[0，t]上有v(t)－v(0)
b
a
f(x)dx|＝－
b
a
f(x)dx.
(3)由两条直线 x＝a、x＝b(a＜b)、两条曲线 y＝f(x)、y＝ g(x)[f(x)≥g(x)]围成的平面图形的面积(如图 3)：
图3 S＝ [f(x)－g(x)]dx.
a
b
4 1 ∫ 1．(2010· 湖南高考) 2 xdx等于
[自主解答] a＝－0.4 m/s2，v0＝72 km/h＝20 m/s. 设t s后的速度为v，则v＝20－0.4t. 令v＝0，即20－0.4t＝0得t＝50(s)．
50 设列车由开始制动到停止所走过的路程为s，则s＝ ∫ 50 0 vdt＝ ∫ 0
(20－0.4t)dt ＝(20t－0.2t2)|50 0 ＝20×50－0.2×502＝500 (m)， 即列车应在进站前50 s和进站前500 m处制动．
3-3定积分与微积分基本定理试题及答案
定积分与微积分基本定理A 组专项基础训练 (时间：35分钟)1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为()A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －12．(2017·河北定州中学第一次考试)曲线C ：y ＝x 3(x ≥0)在点x ＝1处的切线为l ，则由曲线C 、直线l 及x 轴围成的封闭图形的面积是() A ．1 B.112C.43D.343．(2017·武汉市高三调研测试)一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为() A. 3 J B.233 JC.433 J D ．2 3 J4．(2017·沈阳质量监测)由曲线y ＝x 2，y ＝x 围成的封闭图形的面积为() A.16B.13C.23D ．1A ．－1B ．0C ．1D ．27．(2017·广东东莞一中、松山湖学校联考)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．9．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．10．在某介质内作变速直线运动的物体，经过时间t (单位：s)所走过的路程s ＝4t 2(单位：m)，若介质阻力F 与物体的运动速度v 成正比，且当v ＝10 m/s 时，F ＝5 N ，求物体在位移区间[1，4]内克服介质阻力所做的功．定积分与微积分基本定理B 组专项能力提升(时间：15分钟)11．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x 等于()A ．－1B ．－13C.13D ．1A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ．S 3＜S 2＜S 114．汽车以v ＝3t ＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________m.15．(2015·陕西)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．定积分与微积分基本定理A 组专项基础训练(时间：35分钟)1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为()A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1【解析】⎠⎛01(2x ＋e x)d x ＝(x 2＋e x)⎪⎪⎪10＝e.故选C. 【答案】C2．(2017·河北定州中学第一次考试)曲线C ：y ＝x 3(x ≥0)在点x ＝1处的切线为l ，则由曲线C 、直线l 及x 轴围成的封闭图形的面积是()A ．1 B.112C.43D.34【答案】B3．(2017·武汉市高三调研测试)一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为()A. 3 JB.233 JC.433 J D ．2 3 J【解析】⎠⎛12F (x )cos 30°d x ＝⎠⎛1232(5－x 2)d x∴F (x )做的功为43 3 J.【答案】C4．(2017·沈阳质量监测)由曲线y ＝x 2，y ＝x 围成的封闭图形的面积为()A.16B.13C.23D ．1【答案】BA ．－1B ．0C ．1D ．2【答案】A7．(2017·广东东莞一中、松山湖学校联考)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．所求图形的面积为S ＝⎠⎛－11(2x 2)d x －⎠⎛－11(－4x －2)d x ＝43－(－4)＝163.【答案】163【答案】369．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．10．在某介质内作变速直线运动的物体，经过时间t (单位：s)所走过的路程s ＝4t 2(单位：m)，若介质阻力F 与物体的运动速度v 成正比，且当v ＝10 m/s 时，F ＝5 N ，求物体在位移区间[1，4]内克服介质阻力所做的功．【解析】∵物体经过时间t 所走过的路程s ＝4t 2， ∴速度v (t )＝s ′＝8t .设F ＝kv (t )，由“当v ＝10 m/s 时，F ＝5 N ”知k ＝12，∴F ＝4t ·d W ＝F d s ＝4t ·d(4t 2)＝32t 2d t . ∵s ∈[1，4]，∴t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，∴物体在位移区间[1，4]内克服介质阻力所做的功 W ＝∫11232t 2d t ＝32t 33⎪⎪⎪⎪112＝283(J)． 定积分与微积分基本定理B 组专项能力提升(时间：15分钟)11．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x 等于()A ．－1B ．－13C.13D ．1【答案】BA ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ．S 3＜S 2＜S 1 【解析】方法一S 1＝13x 3⎪⎪⎪21＝83－13＝73，S 2＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2＜lne ＝1， S 3＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59， 所以S 2＜S 1＜S 3.【答案】B【答案】D14．汽车以v ＝3t ＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________m.【答案】6.515．(2015·陕西)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．【解析】建立平面直角坐标系如图所示，可求得A (3，0)，B (5，2)，∴可求得抛物线方程为y ＝225x 2.【答案】65。
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3.4 定积分与微积分基本定理一、选择题1．与定积分∫3π1－cos x d x 相等的是( )． A.2∫3π0sin x2d xB.2∫3π⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪2∫3π0sin x 2d xD ．以上结论都不对解析 ∵1－cos x ＝2sin 2x2，∴∫3π1－cos x d x ＝ ∫3π02|sin x2|d x ＝2∫3π|sin x2|d x .答案 B2. 已知f (x )为偶函数，且⎠⎛06f(x)d x ＝8，则⎠⎛6－6f(x)d x ＝( )[来源:学.科.网Z.X.X.K]A ．0B ．4C ．8D ．16 解析 ⎠⎛6－6f(x)d x ＝2⎠⎛06f(x)d x ＝2×8＝16.答案 D3．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )． A.1603 m B.803 m C.403m D.203m 解析 v ＝40－10t 2＝0，t ＝2，⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫40t －103t 320＝40×2－103×8＝1603(m)． 答案 A4．一物体以v ＝9.8t ＋6.5(单位：m /s )的速度自由下落，则下落后第二个 4 s 内经过的路程是( )A ．260 mB ．258 mC ．259 mD ．261.2 m[来源:]解析 ⎠⎛48(9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2＋6.5t)⎪⎪ 84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝313.6＋52－78.4－26＝261.2. 答案 D5．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )．A.103 B ．4 C.163D ．6解析 由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，所以由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x | 40＝163.答案 C6．已知a ＝∑i ＝1n1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2，n ∈N *，b ＝⎠⎛01x 2d x ，则a ，b 的大小关系是( )．A ．a >bB ．a ＝bC ．a <bD ．不确定答案 A 7．下列积分中①⎠⎛1e 1x d x ；②⎠⎛2－2x d x ；③⎠⎛024－x 2πd x ； ④∫π20cos 2x 2cos x －sin xd x ，积分值等于1的个数是( )．[来源:Z§xx§]A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 ①⎪⎪⎪⎠⎛1e1x d x ＝ln x e1＝1，[来源:学|科|网] ②⎪⎪⎪⎠⎛2－2x d x ＝12x 22－2＝0，③⎠⎛024－x 2πd x ＝1π(14π22)＝1，④∫π20cos 2x 2cos x －sin x d x ＝12∫π20(cos x ＋sin x )d x＝12(sin x －cos)|π20＝1. 答案 C 二、填空题8．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为______．[来源:]解析 由F(x)＝kx ，得k ＝100，F(x)＝100x ，W ＝∫0.060100x d x ＝0.18(J )． 答案 0.18 J9．曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为____________．答案32－ln 2 10．若⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于_________．解析 ⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝⎠⎛0k 2x d x －⎠⎛0k 3x 2d x ＝x 2⎪⎪⎪⎪k－x 3k0＝k 2－k 3＝0， ∴k＝0或k ＝1. 答案 0或111． ⎠⎛12|3－2x |d x ＝________.解析∵|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3，x ≤32，2x －3，x ＞32，∴⎠⎛12|3－2x |d x ＝∫321(3－2x )d x ＋⎠⎛232(2x －3)d x＝|3x －x 2321＋(x 2－3x )|232＝12. 答案 1212．抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为________．解析 如图所示，因为y ′＝－2x ＋4，y ′|x ＝1＝2，y ′|x ＝3＝－2，两切线方程为y ＝2(x －1)和y ＝－2(x －3)． 由⎩⎨⎧y ＝2x －1，y ＝－2x －3得x ＝2.所以S ＝⎠⎛12[2(x －1)－(－x 2＋4x －3)]d x ＋⎠⎛23[－2(x －3)－(－x 2＋4x －3)]d x＝⎠⎛12(x 2－2x ＋1)d x ＋⎠⎛23(x 2－6x ＋9)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2＋x 21＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－3x 2＋9x 32＝23. 答案23三、解答题13．如图在区域Ω＝{(x ，y )|－2≤x ≤2,0≤y ≤4}中随机撒900粒豆子，如果落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，试估计落在图中阴影部分的豆子数．解析 区域Ω的面积为S 1＝16. 图中阴影部分的面积S 2＝S 1－⎪⎪⎪⎠⎛2－2x 2d x ＝16－13x 32－2＝323. 设落在阴影部分的豆子数为m ， 由已知条件m 900＝S 2S 1， 即m ＝900S 2S 1＝600.因此落在图中阴影部分的豆子约为600粒．14．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解析 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 310＝16. 又⎩⎨⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以， S 2＝∫1－k(x －x 2－kx )d x ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 31－k0 ＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.15．曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积．解析 设切点坐标为(x 0，y 0)y′＝6x2－6x－2，则y′|x＝x0＝6x20－6x0－2，切线方程为y ＝(6x 20－6x 0－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则y 0＝(6x 20－6x 0－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－12， 即2x 30－3x 20－2x 0＋1＝(6x 20－6x 0－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－12. 整理得x 0(4x 20－6x 0＋3)＝0，解得x 0＝0，则切线方程为y ＝－2x ＋1. 解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ＋1，y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝－2.由y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1与y ＝－2x ＋1的图象可知S ＝∫320[(－2x ＋1)－(2x 3－3x 2－2x ＋1)]d x[来源:学*科*网]＝∫320(－2x 3＋3x 2)d x ＝2732.16. 已知二次函数f(x)＝3x 2－3x ，直线l 1：x ＝2和l 2：y ＝3tx(其中t 为常数，且0<t<1)，直线l 2与函数f(x)的图象以及直线l 1、l 2与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图K 15－3，设这两个阴影区域的面积之和为S(t)．[来源:.Com] (1)求函数S(t)的解析式；(2)定义函数h(x)＝S(x)，x ∈R .若过点A (1，m )(m ≠4)可作曲线y ＝h (x )(x ∈R )的三条切线，求实数m 的取值范围．解析 (1)由⎩⎨⎧y ＝3x 2－3x ，y ＝3tx得x 2－(t ＋1)x ＝0，所以x 1＝0，x 2＝t ＋1.所以直线l 2与f(x)的图象的交点的横坐标分别为0，t ＋1. 因为0<t<1，所以1<t ＋1<2.所以S(t)＝∫t ＋1[3tx －(3x 2－3x)]d x ＋⎠⎛2t ＋1[(3x 2－3x)－3tx]d x ＝ ⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3t ＋12x 2－x 3t ＋10＋⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3－3t ＋12x 22t ＋1＝(t＋1)3－6t＋2.(2)依据定义，h(x)＝(x＋1)3－6x＋2，x∈R，[来源:]则h′(x)＝3(x＋1)2－6.因为m≠4，则点A(1，m)不在曲线y＝h(x)上．过点A作曲线y＝h(x)的切线，设切点为M(x0，y0)，[来源:Z&xx&]则3(x 0＋1)2－6＝x 0＋13－6x 0＋2－m x 0－1， 化简整理得2x 30－6x 0＋m ＝0，其有三个不等实根．设g (x 0)＝2x 30－6x 0＋m ，则g ′(x 0)＝6x 20－6.由g ′(x 0)>0，得x 0>1或x 0<－1；由g ′(x 0)<0，得－1<x 0<1，所以g (x 0)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，所以当x 0＝－1时，函数g (x 0)取极大值；当x 0＝1时，函数g (x 0)取极小值．因此，关于x 0的方程2x 30－6x 0＋m ＝0有三个不等实根的充要条件是⎩⎨⎧ g －1>0，g 1<0，[来源:学_科_网Z_X_X_K] 即⎩⎨⎧ m ＋4>0，m －4<0，即－4<m <4.故实数m 的取值范围是(－4,4)．（注：素材和资料部分来自网络，供参考。
2-定积分与微积分基本定理(理)含答案
(理)定积分与微积分基本定理一、选择题1．S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析 本题考查微积分基本定理． S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝73.S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2.S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e (e －1)．令e ＝2.7，∴S 3>3>S 1>S 2.故选B . 答案 BA ．3B ．4C ．3.5D ．4.5解析答案 C3．如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是()A .⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d x B .⎠⎛02(x 2－1)d xC.⎠⎛02|x 2－1|d xD .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛02(x 2－1)d x解析 面积S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎠⎛02|x 2－1|d x ，故选C.答案 C4．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为()A.2π5B.43C.32D.π2解析答案 B5．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln5B ．8＋25ln 113 C ．4＋25ln5D ．4＋50ln2解析 令v (t )＝0,7－3t ＋251＋t＝0∴3t 2－4t －32＝0，∴t ＝4，则汽车行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )|40＝7×4－32×42＋25ln5－0＝4＋25ln5，故选C.答案 C6．如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x ＞0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln22B.1－ln22C.1＋ln22D.2－ln22解析答案 C 二、填空题7．若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析 ∵⎠⎛0T x 2d x ＝x 33|T 0＝T 33＝9，∴T ＝3.答案 38．计算：⎠⎛01(x 2＋1－x 2)d x ＝______.解析 ⎠⎛01(x 2＋1－x 2)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛011－x 2d x ＝x 3310＋14π＝13＋π4.答案 13＋π49．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．解析 设直线为y ＝kx ＋b ，代入A ，B 两点，得y ＝10x . 代入B ，C 两点，则⎩⎪⎨⎪⎧5＝12k ＋b ，0＝k ＋b ，∴k ＝－10，b ＝10.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ， 0≤x ≤12，－10x ＋10， 12＜x ≤1.∴y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2， 0≤x ≤12，－10x 2＋10x ， 12＜x ≤1.答案 54 三、解答题10．若f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求⎠⎛12f (x )x d x的值．解 ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．由⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx |10＝12a ＋b ＝5.① 由⎠⎛01xf (x )d x ＝176，得⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝176. 即⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2|10＝176. ∴13a ＋12b ＝176.②解①②，得a ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3. 于是⎠⎛12f (x )x d x ＝⎠⎛124x ＋3x d x ＝⎠⎛12(4＋3x )d x＝(4x ＋3ln x )|21＝8＋3ln2－4 ＝4＋3ln2.11．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1， 所以抛物线与x 轴所围图形的面积 S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33|10＝12－13＝16. 又可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ，所以S 2＝∫1－k0(x －x 2－kx )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 33|1－k0 ＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12. 于是k ＝1－ 312＝1－342.12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 在点x ＝1处有极值－2. (1)求常数a ，b 的值；(2)求曲线y ＝f (x )与x 轴所围成的图形的面积．解 (1)由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f (1)＝－2，且f ′(1)＝0，即⎩⎨⎧1＋a ＋b ＝－2，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)可知，f (x )＝x 3－3x . 作出曲线y ＝x 3－3x 的草图如图，所求面积为阴影部分的面积，由x 3－3x ＝0得曲线y ＝x 3－3x 与x 轴的交点坐标是(－3，0)，(0,0)和(3，0)，而y ＝x 3－3x 是R 上的奇函数，所以函数图象关于原点成中心对称．所以所求图形的面积为。
第11练 定积分与微积分基本定理-2021年高考数学(理)一轮复习小题必刷(解析版)
第11练 定积分与微积分基本定理刷基础1．（2020·古浪县第二中学高二期中（理））如图，抛物线的方程是21y x =-，则阴影部分的面积是（ ）A ．()221x dx -⎰B ．()221xdx -⎰C ．2201x dx -⎰D ．()()12220111x dx x dx ---⎰⎰【答案】C 【解析】由微积分基本定理的几何意义可得图中阴影部分的面积为122201(1)(1)x dx x dx -+-⎰⎰220|1|x dx =-⎰.故选：C2．（2020·长春市第二中学高二月考（理））如图所示，正弦曲线sin y x =，余弦曲线cos y x =与两直线0x =，x π=所围成的阴影部分的面积为( )A ．1B 2C ．2D ．2【答案】D 【解析】44(cos sin )(sin cos )x x x x d x x d πππ-+-⎰⎰(sin cos )|(cos sin )|404x x x x πππ=++--21+1222== ，选D.3．（2020·山西高二期末（理））120(1(1))xx dx ⎰---=（ ） A ．22π+B ．12π+ C ．122π-D ．142π- 【答案】D 【解析】 由题意，()()1112201(1)1(1)()x x dx x dx x dx ---=--+-⎰⎰⎰，如图：1201(1)x dx --⎰的大小相当于是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的面积的14，故其值为4π，021011()1()|22x d x x --=-=⎰，所以，)(11122011(1)1(1)()42x x dx x dx x dx π--=--+-=-⎰⎰⎰ 所以本题选D.4．（2019·湖南雁峰·衡阳市八中高三月考（理））已知函数22,2()1(3),24x x f x x x -+≤⎧=--<≤，则定积分41()f x dx ⎰的值为( )A ．948π+ B ．144π+ C ．12π+ D ．324π+ 【答案】C 【解析】依题意，()()424211221(3)f x dx x dx x dx ⎰=⎰-++⎰-- 其中4221(3)x dx --⎰表示以（3，0）为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，所以()()424211221(3)f x dx x dx x dx ⎰=⎰-++⎰--=222111121222x x ππ+⎛⎫-+⨯=⎪⎝⎭ 故选：C ．5．（2020·长春市第二中学高二月考（理））已知函数()[](]2sin ,,01,0,1x x f x x x π⎧∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则()1f x dx π-=⎰（ ） A ．2π+ B ．2π C ．22π-+ D ．24π-【答案】D 【解析】()102sin 1f x dx xdx x dx ππ--=+-⎰⎰⎰，sin cos |2xd x ππ--=-=-⎰，021x dx -⎰的几何意义是以原点为圆心，半径为1的圆的面积的14，故()12011,244x dx f x dx πππ--=∴=-⎰，故选D.二、填空题6．（2020·霍邱县第二中学高二开学考试（理））(12021x x dx -=⎰________【答案】14π+ 【解析】因1122(21)(2)1x x dx x dx x dx +-=+-⎰⎰⎰，而1220(2)101x dx =-=⎰，222220001111)cos (1cos 2)sin 2|22224x dx tdt t dt t πππππ-==+=⨯+=⎰⎰，应填答案14π+． 7．（2019·安徽省怀宁中学高三月考（理））22cos 1xdx x dx π+-⎰⎰________ .【答案】14π+ 【解析】 由题意，2200cos sin =sinsin 012xdx x πππ=-=⎰画出函数21y x =-的图象如下图所示：则21x dx -⎰的几何意义为阴影部分面积，则1214x dx π-=⎰则有122cos 114xdx x dx ππ+-=+⎰⎰故答案为：14π+ 8．（2020·大通回族土族自治县第一完全中学高二期中（理））定积分()11xx ee dx ---=⎰________.【答案】0 【解析】根据导数的运算法则，可得()11111111()|()()0xx x x ee dx e e e e e e -------=+=+-+=⎰.故答案为：0.刷能力1．（2020·寻甸回族彝族自治县民族中学高二月考（理））如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处，则克服弹力所做的功为( ) A ．0.28J B ．0.12JC ．0.26JD ．0.18J【答案】D设弹力为F N ，弹簧离开平衡位置的距离为l m ，弹性系数为k ， 则F kl =，因为10F N =时，100.1l cm m ==， 所以101000.1k ==，所以100F l =， 所以在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处，克服弹力所做的功为：W 0.06100ldl =⎰20.06(50)l =2500.060.18=⨯=J .故选：D2．（2019·广东江门·高二期末）某汽车在公路直线行驶，刹车后的速度()408v t t =-（单位：/m s ），则该汽车到停车的位移是________. 【答案】100m 【解析】令40-8t=0,所以t=5.所以该汽车到停车的位移为52500408)(404)|200100100t dt t t -=-=-=⎰（.故答案为:100m.3．（2020·河南郑州·高三二模（理））为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示：劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等，劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积．将aGini S=，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x>； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则14Gini =； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则12Gini =．其中不正确的是：（ ） A ．①④ B ．②③C ．①③④D ．①②④【答案】B 【解析】依题意当a 越小时，aGini S=越小，则国民分配越公平，故①正确；当收入完全平等时，劳伦茨曲线为直线OL ，此时()1f x x=，故②错误； 当劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈时，1223100111()()236a x x dx x x =-=-=⎰，111122OKL S ∆=⨯⨯=，所以116132a Gini S ===，故③错误；当劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈时，1324100111()()244a x x dx x x =-=-=⎰，111122OKL S ∆=⨯⨯=，所以114122a Gini S ===，故④正确；故选：B刷真题1．（2017·上海市宜川中学高三三模（理））已知11ea x dx x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则a =__________． 【答案】21122e + 【解析】依题意11ea x dx x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰22211ln |ln ln1222e x e x e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21122e =+. 故答案为：21122e + 2．（2020·岳麓·湖南师大附中高三月考（理））考虑函数xy e =与函数y lnx =的图象关系，计算：2e 1lnxdx =⎰______．【答案】21e +. 【解析】函数xy e =与函数ln y x =互为反函数， 其图象关于直线y x =对称， 所以两部分阴影面积相等， 又函数xy e =直线2y e =的交点坐标为()22,e，21ln e xdx =⎰()()2222200|1x x ee dx e x e e -=-=+⎰，故答案为21e +.。
定积分与微积分基本定理含答案版
定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎜⎛01(x 2－x )d x B ．S ＝⎠⎜⎛01(x －x 2)d x C ．S ＝⎠⎜⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎜⎛1(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎜⎛01(x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( )A ．2 3B ．2－3[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎜⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π[答案] C[解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案]A[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x，y)|－π4≤x≤π4，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y＝cos2x下方的概率是( )－1[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是( )A ．0 C ．2 D ．－2 [答案] D[解析] 2(cos sin )2x x ππ---＝2(cos sin )2x x ππ---＝－2. 7．⎠⎜⎛2(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3[解析] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎜⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎜⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎜⎛12(3－x )d x ＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3.9．已知a ＝2(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192 [解析] 由已知得a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r6×26－r ×x 3－r，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎜⎛ab[(a ＋b )x －ab －x 2]d x ＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|ba ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43， 解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )，其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b2，y ＝a 2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎜⎛34x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12[答案] C[解析] 因为S 3＝⎠⎜⎛34x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎜⎛1eln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎜⎛1eln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎜⎛-42[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|2－4＝18. 14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎜⎛0t(e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎜⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x ＝⎠⎜⎛0t(e t －e x )d x ＋⎠⎜⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)e t ＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎜⎛0πcos 2x2d x ； (3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎜⎛1x d x ＝2×12x 2|10＝1. (2)⎠⎜⎛0πcos 2x2d x ＝⎠⎜⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2.(3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．∴S 阴影＝⎠⎜⎛a[0－(－x 3＋ax 2)]d x ＝(14x 4－13ax 3)|0a＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a ＝－1.1．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dx ππ-⎰的值，结果是( )＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案] B[解析] 22()f x dx ππ-⎰＝22ππ-⎰sin 5x d x ＋22ππ-⎰1d x ，由于函数y ＝sin 5x是奇函数，所以22ππ-⎰sin 5x d x ＝0，而22ππ-⎰1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x － 1 －1≤x <0，cos x 0≤x <π2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )C ．1[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎜⎛0πsin x d x ＝________.[答案] 22[解析] ∵⎠⎜⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎜⎛πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22. 4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎜⎛1f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案] 33[解析] ⎠⎜⎛01f (x )d x ＝⎠⎜⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a3＋c＝ax 2＋c ，即ax 20＝a3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33. 5．设n ＝⎠⎜⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x)n 展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40[解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2，∴n ＝⎠⎜⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5. ∴(x －2x)5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r(－2x)r＝(－2)r C r 5x5－3r2 ，令5－3r 2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。
定积分与微积分基本定理答案与解析
定积分与微积分基本定理答案和解析第1题：【答案】B【解析】,二项式的通项公式为, 令可得,所以所求常数项为,故选B.第2题：【答案】C【解析】因为,而,令,故,故,常数项为．第3题：【答案】A【解析】表示半径为的圆面积的，所以面积为.第4题：【答案】A【解析】.第5题：【答案】A【解析】曲线,,交点为:,,围成图形的面积:.第6题：【答案】B【解析】阴影部分的面积:.第7题：【答案】A【解析】.第8题：【答案】D【解析】由定积分的几何意义及数形结合可知阴影部分的面积.第9题：【答案】B【解析】可表示为以原点为圆心,以为半径的半圆,则.第10题：【答案】C【解析】作出两个曲线的图象,由,解得或,则曲线与所围图形的面积为.第11题：【答案】C【解析】显然是以原点为圆心,以为半径的圆的四分之一,所以定积分为半径为的圆面积的四分之一,故选择C.第12题：【答案】A【解析】图中阴影部分的面积为,矩形面积为,∴豆子落在图中阴影部分的概率为.第13题：【答案】D【解析】定积分的几何意义是求函数与之间的阴影部分的面积,必须注意的图象要在的图象上方,对照各选项,知D中的图象不全在的图象上方.第14题：【答案】D【解析】由得,,∴,,因此曲线与直线所围成图形的面积为.第15题：【答案】见解析【解析】由曲线,,可得交点横坐标为,∴所求面积为.第16题：【答案】【解析】由，解得，，.交点为，，.所求面积为：.第17题：【答案】见解析【解析】由解得或,从而所求图形的面积.第18题：【答案】【解析】（1）分割：将区间等分成个小区间，每个小区间的长度为，过各区间端点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，它们的面积分别记作（2）近似代替：对区间上的小曲边梯形，以区间左端点对应的函数值为一边的长，以为邻边的长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，即. （3）求和：（4）取极限：当时，趋近于，即。
定积分与微积分基本定理理含答案版
定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于( )A ．2 3B ．2－3[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31 (3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323.4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π[答案] C[解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A[解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积，因此，在t 0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t 1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t 1围成区域的面积，所以，可以断定：在t 1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x ，y )|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )－1[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是( )A ．0 C ．2 D ．－2 [答案] D[解析] 2(cos sin )2x x ππ---＝2(cos sin )2x x ππ---＝－2. 7．⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3[解析] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3. 9．已知a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192[解析] 由已知得a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r ×x 3－r，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|b a ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )，其中⎩⎨⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2. 消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12 D ．－1或－12[答案] C[解析] 因为S 3＝⎠⎛34x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x ＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)et＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎛0πcos 2x2d x ； (3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛01x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛0πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1.16．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a的值．[解析]f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．∴S阴影＝⎠⎛a0[0－(－x3＋ax2)]d x＝(14x4－13ax3)|0a＝112a4＝112，∵a<0，∴a＝－1.1．已知函数f(x)＝sin5x＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dxππ-⎰的值，结果是()＋π2B．πC．1 D．0[答案]B[解析]22()f x dxππ-⎰＝22ππ-⎰sin5x d x＋22ππ-⎰1d x，由于函数y＝sin5x是奇函数，所以22ππ-⎰sin5x d x＝0，而22ππ-⎰1d x＝x|π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1 －1≤x <0，cos x 0≤x <π2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )C ．1[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若ab 的运算原理如图所示，则2⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案] 22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2，∴2⎠⎛0πsin x d x ＝22＝2－12＝22.4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案] 33[解析] ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33. 5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x )n展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40[解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2， ∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r (－2x)r ＝(－2)r C r 5x 5－3r 2 ，令5－3r 2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。
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定积分与微积分基本定理练习题及答案1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x2－x)dx B ．S ＝⎠⎛01(x －x2)dxC ．S ＝⎠⎛01(y2－y)dyD ．S ＝⎠⎛01(y －y)dy [答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x2)dx.2．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02xdx ，b ＝⎠⎛02exdx ，c ＝⎠⎛02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<c)C ．c<b<aD ．c<a<b [答案] D[解读] a ＝⎠⎛02xdx ＝12x2|02＝2，b ＝⎠⎛02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝⎠⎛02sinxdx ＝－cosx|02＝1－cos2∈(1,2)，∴c<a<b.3．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形面积为( )[答案] A[解读] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x2－x3)dx ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x3－14x401＝112.[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：—(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P 的坐标是( )[答案] A[解读] 设P(t ，t2)(0≤t≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S1＝⎠⎛0t (tx －x2)dx ＝t36；S2＝⎠⎛t 2(x2－tx)dx ＝83－2t ＋t36，若S1＝S2，则t ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，169.4．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x3所围成的图形的面积为( ) A ．4 D ．6 [答案] A[解读] S ＝⎠⎛02x3dx ＝⎪⎪x4402＝4.5．(2010·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx 的值为( )`A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos1 [答案] B[解读] ⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx ＝(－cosx ＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.6．曲线y ＝cosx(0≤x≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π D ．π [答案] A [解读] 如右图， S ＝∫02π(1－cosx)dx ~＝(x －sinx)|02π＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为⎝⎛⎭⎫π6，π，则对称性就无能为力了． 7．函数F(x)＝⎠⎛0x t(t －4)dt 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323 C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值[解读] F′(x)＝x(x －4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， ∵F(－1)＝－73，F(0)＝0，F(4)＝－323，F(5)＝－253.&∴最大值为0，最小值为－323.[点评] 一般地，F(x)＝⎠⎛0x φ(t)dt 的导数F′(x)＝φ(x)．8．已知等差数列{an}的前n 项和Sn ＝2n2＋n ，函数f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ，若f(x)<a3，则x 的取值范围是( )B ．(0，e21)C ．(e －11，e)D ．(0，e11) [答案] D[解读] f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ＝lnt|1x ＝lnx ，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，0<x<e11.9．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sinx(0≤x≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( ))[答案] A[解读] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsinxdx ＝－cosx|0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝SS 矩形OABC ＝22π＝1π.10．(2010·吉林质检)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x <02cosx 0≤x≤π2的图象与x 轴所围成的图形面积S为( )B ．1C ．4[解读] 面积S ＝∫π2－2f(x)dx ＝⎠⎛0－2(x ＋2)dx ＋∫π202cosxdx ＝2＋2＝4.11．(2010·沈阳二十中)设函数f(x)＝x －[x]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[－]＝－2，[]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－x3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g(x)dx 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－76 [答案] A~[解读] 由题意可得，当0<x<1时，[x]＝0，f(x)＝x ，当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛m n g(x)dx ＝⎠⎛14⎝⎛⎭⎫－x 3dx ＝⎪⎪－x2614＝－52.11．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )[答案] A[解读] 方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c≥0，即b2≥c ，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b2db 1×1＝13.12．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y ＝x2(x≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )[答案] C（[解读] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x2dx＝13x3|01＝13，故所求概率p ＝13.2．如图，阴影部分面积等于( )A ．23B ．2－3[答案] C[解读] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31 (3－x2－2x)dx ＝(3x －13x3－x2)|1－3＝323. 4－x2dx ＝( )《A ．4πB ．2πC ．π [答案] C[解读] 令y ＝4－x2，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()A．在t1时刻，甲车在乙车前面|B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案]A[解读]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y)|－π4≤x≤π4，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )－1 [答案] D [解读]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区】6． (sinx －cosx)dx 的值是( )A ．0 C ．2 D ．－2 [答案] D[解读] (sinx －cosx)dx ＝(－cosx －sinx) ＝－2.7．(2010·惠州模拟)⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝________.[答案] 3[解读] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x≤13－x 1<x≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝⎠⎛01(1＋x)dx ＋⎠⎛12(3－x)dx＝(x ＋12x2)|10＋(3x －12x2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·芜湖十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)成立，则a ＝________. —[答案] －1或13[解读] ∵⎠⎛1－1f(x)dx ＝⎠⎛1－1(3x2＋2x ＋1)dx ＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)，∴6a2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.9．已知a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x2项的系数是________．[答案] －192[解读] 由已知得a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ＝(－cosx ＋sinx)|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是Tr ＋1＝(－1)r×Cr 6×26－r×x3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解读] 设直线与抛物线的两个交点分别为A(a ，a2)，B(b ，b2)，不妨设a<b ， 则直线AB 的方程为y －a2＝b2－a2b －a(x －a)， -即y ＝(a ＋b)x －ab.则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b)x －ab －x2]dx ＝(a ＋b2x2－abx －x33)|b a ＝16(b －a)3，∴16(b －a)3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P(x ，y)， 其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x2＋1.能力拓展提升11.(2012·郑州二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝⎠⎛034xdx ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12—C ．1或－12D ．－1或－12 [答案] C[解读] 因为S3＝⎠⎛034xdx ＝2x2|30＝18，所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．(2012·太原模拟)已知(xlnx)′＝lnx ＋1，则⎠⎛1e lnxdx ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解读] 由(xlnx)′＝lnx ＋1，联想到(xlnx －x)′＝(lnx ＋1)－1＝lnx ，于是⎠⎛1e lnxdx ＝(xlnx －x)|e 1＝(elne －e)－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解读] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y22、x ＝4－y ，,∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y)－y22]dy ＝(4y －y22－y36)|2－4＝18.14.已知函数f(x)＝ex －1，直线l1：x ＝1，l2：y ＝et －1(t 为常数，且0≤t≤1)．直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y 轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解读] 由题意得S1＋S2＝⎠⎛0t (et －1－ex ＋1)dx ＋⎠⎛t 1(ex －1－et ＋1)dx ＝⎠⎛0t (et －ex)dx ＋⎠⎛t1(ex －et)dx ＝(xet －ex)|t 0＋(ex －xet)|1t ＝(2t －3)et ＋e ＋1，令g(t)＝(2t －3)et ＋e ＋1(0≤t≤1)，则g′(t)＝2et ＋(2t －3)et ＝(2t －1)et ，令g′(t)＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g′(t)<0，g(t)是减函数，当t ∈(12，1]时，g′(t)>0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为g(12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x|dx 。