换元法求函数值

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换元法求值域

解：变形为 u
3 4
x2
x
3 4
(
x
2)2 3
1 3
，而由
y2
x
x2 4
0得
x [0, 4] ；所以
u x2 y2 值域为[0,16].
四、换元法
换元法是求函数值域的重要方法，其目的是通过换元把复杂的函数化为常见、简单的函数.
（一）一般换元
1.形如 y a[ f (x)]2 bf (x) c(a 0) 或可化为此形的
于是 r2
1
2
3 2
sin 2
[72 , 2] ，所以
f
(x,
y)
x2
y2
r2
[
2 7
, 2].
5.形如 y ax b k cx2 dx e 及其变式的
686
典型例题：求函数 y 2x 1 2 x2 2x 3 的值域.
解：函数化为 y 2x 1 2
4 (x 1)2
，设
设 f (x) t 化为二次函数的条件值域，然后再求.
典型例题：若 f (x) 1 log2 x(1 x 4) ，求函数 g(x) f (x2 ) [ f (x)]2 的值域.
解：变形为
g(x)
log
2 2
x
4 log2
x
2
；因为
f
(x)
的定义域为[1, 4] ，则
f
(x2 )
的定义
域为[2, 1] [1, 2] ，[ f (x)]2 的定义域为[1, 4] ，所以 g(x) 的定义域为[1, 2] .设 log2 x t ，
1.若
x,
y
R
，且
x

函数值域的常见求法8大题型(解析版)

函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。

在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。

满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2.逐层法：求f 1(f 2⋯f n (x ))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y =ax x +bx +c (a ≠0)”或“y =a [f (x )]2+bf (x )+c (a ≠0)”的函数均可用配方法求值域；4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有(1)y =ax +b cx +d或y =cx +dax +b 的结构，可用“cx +d =t ”换元；(2)y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数，a ≠0,c ≠0)，可用“cx +d =t ”换元；(3)y =bx ±a 2-x 2型的函数，可用“x =a cos θ(θ∈[0,π])”或“x =a sin θθ∈-π2,π2”换元；5.分离常数法：形如y =ax +b cx +d (ac ≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y =ax +b cx +d=ac +bc -adc 2x +d c ，然后求值域；6.基本不等式法：形如y =ax +bx(ab >0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a +b ≥2ab 求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a >0,b >0；②a +b (或ab )为定值；③取等号的条件为a =b ，三个条件缺一不可；7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y =ax +b -cx +d (ac <0)的函数可用函数单调性求值域；(2)形如y =ax +bx的函数，当ab >0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；公众号：高中数学最新试题当ab <0时，y =ax +bx在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。

用换元法求函数值域

1用换元法求函数值域【自我诊断】1. 函数f (x )＝1 x ＋1＋1的值域为_________．【答案】(0，1]．2．函数f (x )＝2x －3＋4x －13的值域为_________．【答案】[72，＋∞)．【解析】方法一、2x －3，4x －13在定义域[134，＋∞)上都是增函数，所以f (x )≥f (2)．方法二、f (x )的定义域是[134，＋∞)，令4x －13＝t ，x ∈[134，＋∞)，则x ＝14(t 2＋13)，t ∈[0，＋∞)，则y ＝2×14(t 2＋13)－3＋t ＝12(t ＋1)2＋3，在t ∈[0，＋∞)单调递增， y ∈[72，＋∞)，所以函数f (x )＝2x －3＋4x －13的值域为[72，＋∞)． 3．函数f (x )＝2x －3－4x －13的值域为_________．【答案】[3，＋∞)．【解析】f (x )的定义域是[134，＋∞)，令4x －13＝t ，x ∈[134，＋∞)，则x ＝14(t 2＋13)，t ∈[0，＋∞)，则y ＝2×14(t 2＋13)－3－t ＝12(t －1)2＋3，在[0，1]单调递减，在[1，＋∞)单调递增， y ∈[3，＋∞)，所以函数f (x )＝2x －3－4x －13的值域为[3，＋∞)．4.函数y ＝e x3＋e x的值域为___________．【答案】(0，1)．【解析】f (x )的定义域是R ，令3＋e x ＝t ，x ∈R ，则e x ＝t －3，t ∈(3，＋∞)，则y ＝t －3t ＝1－3t ，由t ∈(3，＋∞)，得3t ∈(0，1)，－3t ∈(－1，0)，1－3t∈(0，1)．函数y ＝e x3＋e x的值域为(0，1)． 5. 函数y ＝ln e x3＋e x的值域为___________．【答案】(－∞，0)．6.函数y ＝(x 2－2x －1)2＋3x 2－6x －13的值域是___________．2 【答案】[－494，＋∞)．【解析】令t ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，x ∈R ，则t ∈[－2，＋∞)，y ＝t 2＋3t －10＝(t ＋32)2－494，t ∈[－2，＋∞)，在[－2，－32]单调减，在[－32，＋∞)单调增，当t ＝－32，y ＝－494．函数y ＝(x 2－2x －1)2＋3x 2－6x －13的值域是[－494，＋∞)．【跟踪训练】1．（1）y ＝x ＋x －1的值域是________；（2）y ＝x －x －1的值域是________．【答案】（1）[1，＋∞)；（2）[34，＋∞)．2．函数y ＝2e x3＋e x 的值域为___________．【答案】(0，2)．。

换元法求函数值域

换元法求函数值域某些函数能够利用代数或三角代换将其化成值域简单确立的另一函数，进而求得原函数的值域，其题型特点是函数分析式含有根式或三角函数公式模型。

形如 y ax bcxd (a 、 b 、 c 、 d 均为常数，且 a ≠0) ，能够令 t = cx d (t0), 则有 t 2cx d ∴ xt 2 d∴ y a t 2 db t ；进而就把原函数化cc成了对于 t 的二次函数，求出这个函数值域就是原函数的值域，值得一提的是要注意参数 t 的取值范围。

换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中相同发挥侧重要的作用。

例 1、求函数 y 3x 1 3x 的值域。

剖析：函数 y3x1 3x 形如 y axbcx d (a 、b 、c 、 d 均为常数，且 a ≠0) ，所以，能够考虑用换元法。

解：令 t13x(t0) ，则 t 21 3x1 t 2∴ x3∴原函数可化为 y31t 2 t = t 2 t 1= (t 1)2 5324∴ 其函数图像如图 1 所示 ∴当 t1时，即 x1 时245y 获得最大值 y max = , 无最小值。

∴函数 y 3x 1 3x 的值域为（ -∞，5] 。

4例 2、求函数 y 4x 12x 3 的值域。

解：[换元法]令 t 2x 3t 2 3(t 0) ，则 x2∴原函数可化为 yt 23 1 t 2t 2t1 )2 39425 2(t84∵t 0∴当 t0时，即 x 3时， y 获得最小值y min =5，无最大值。

2∴函数 y4x12x 3的值域为 [ 5，+∞）。

例 3、求函数 y x1x2的值域。

[4]剖析：函数y x1x2的定义域为 [-1， 1] ，我们注意到 1 sin t 1 (t),所以,对于定义域为[-1，1]的函数,我们能够考虑用22x sin t (2t) 进行三角换元。

2解：函数y x1x2的定义域为 [-1 ，1] ，设 x sin t (t) ，22则原函数 y x1x2可化为y sin t cost = 2 sin(t)4∵t∴t324442看图像（图 2）可知2sin(t)124∴ 1 2 sin(t) 2 ∴1y24即原函数的值域为 [-1 ，2] 。

换元法求函数值域

换元法求函数值域某些函数可以利用代数或三角代换将其化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。

形如y ax b . cx d （a 、b 、c 、 d 均为常数，且0）,可以令t 二Jex d （t 0）,则有t 2 cx d值域就是原函数的值域，值得一提的是要注意参数 t 的取值范围。

换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥着重要的作用。

例1、求函数y 3x ,1 3x 的值域。

1 t 2…x3••• t 0 .•.当t 0时，即x -时，y 取得最小值y min =5，无最大值。

2•函数y 4x 1 ,2x 3的值域为［5，+^）0t 2 d a cb t ;从而就把原函数化成了关于 t 的二次函数，求出这个函数分析：函数y 3x - 1 3x 形如y 此，可以考虑用换元法。

ax b . cx d (a 、b 、c 、d 均为常数，且a ^0），因解：令 t J 3x(t0)，则 t 2 13x•原函数可化为y .••其函数图像如图 •当 t 1时，2y 取得最大值ymax3 上 t = t 231所示丄时45，无最小值。

41= (t•••函数y 3x 、、1 3x 的值域为（-x ， 5] 例2、求函数y 4x 1. 2x 3的值域。

2- ,，/ 戶d-i 心亞砧M\ 1 /! a-*7 \解：［换元法］令t t 23 .2x 3 (t 0)，则 x -32•原函数可化为y 4— 1 t 店 t 5 2(t24)239 8例3、求函数y x 、.厂X2的值域。

⑷ 分析：函数y x .1 x2的定义域为［-1,1］，我们注意到1 sint 1( t )，因此,对于定义域为［-1,1］的函数，我们可以考虑用x sint( t )进行三2 2 2 2角换元。

解：函数y x.1x2的定义域为［-1,1］,设x sint(t-),22x2可化为y si nt cost — 2 s in (t )则原函数y x、1••• 一t -二-t — 3 4t 二t2 2 4 4 42看图像(图2)可知—sin(t -) 12 41 』2 sin(t —) ■■■..■ 21 y J24即原函数的值域为［-1 , 、2］。

高中数学：求函数值域的方法十三种(二)

高中数学：求函数值域的方法十三种（二）五、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。

（解析式中含有分式和根式。

）【例1】求函数2211x x y x ++=+的值域。

【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程,由于x 取一切实数，故有（1）当时，解得：（2）当y=1时，，而故函数的值域为【例2】求函数y x =+的值域。

【解析】两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

解法二：2(2)1(x 1)y x x x x =+-=+--]2,2[sin 1ππθθ-∈=-x )4sin(21cos sin 1πθθθ++=++=y 4344ππθπ≤+≤-14sin(22≤+≤-πθ原函数的值域为：【例3】已知函数222()1x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。

【解析】2221x ax by x ++=+22(2)04(y 2)(y b)0y x ax y b a ⇒--+-=⇒∆=---≥2244(2b)y 8b a 0y -++-≤。

由于222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3}1221221328234y y b a b ab y y +=+=+⎧=±⎧⎪⇒⇒⎨⎨-===⎩⎪⎩【例4】求函数2212+++=x x x y 的值域。

函数值域之换元法

综合理论课程教育研究292 学法教法研究换元法是数学中一个非常重要且应用十分广泛的解题方法。

我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

然而换元法在高考求值域问题中也是相当重要的。

一、一般换元法【例1】求函数的值域. 解：令，则且，函数的值域为【变式.重要公式：有着本质的联系！【例2】(2005福建)已知实数满足，求.● 反思: 角的范围为什么这么取？【变式1】求函数的最大值.答案：.【例4】(2009辽宁竞赛) 函数解：，令所以答案是.三、双换元【例5】求函数的值域.解：方法1：平方当时，；当或1时，.函数的值域为. 方法2：双换元令，则，其中，则解函数值域之换元法谢金辉（福建省晋江市内坑中学福建晋江 362200）【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2018） 11-0292-02综合理论课程教育研究学法教法研究 293五、结论换元当待解题目的条件较繁而结论形式简单时，可考虑改变常规的习惯，逆向思考，结论换元，化未知为已知，获得简单方法。

【例8】已知，且，求的取值范围. 解：设，令，六、小结通过结论换元为用三角代换创造了条件，而且整体代入已知等式，转化为三角问题，十分巧妙，值得一学.【变式1】实数满足，设，求的最大值和最小值.解：设，则而《溶液中的离子反应》为化学反应原理三大“支柱”之一。

因其涵盖内容广，涉及化学反应原理的核心，成为高考化学的重要热点，该部分内容常以“溶液中离子浓度大小比较”形式呈现，其题型多为选择题，这种题型考查的知识点多、灵活性、综合性较强，有较好的区分度，它能很有效地考查学生对强、弱电解质、电离平衡、电离度、水的电离、pH 值、离子反应、盐类水解等基本概念的掌握。

求函数值域的12种方法

求函数值域的12种方法函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。

函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。

下面就函数的值域的求法，举例说如下。

一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

求函数最值的10种方法

【例 1】设函数 f(x)的定义域为 R，有下列三个命题： ① 若存在常数 M ，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤M ，
则 M 是函数 f(x)的最大值；
② 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，且 x≠x0，有 f(x)<f(x0)，则 f(x0)是函数 f(x)的最大值；
③ 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤f(x0)，
x 没有最大值，也没有最小值．
二、配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如 F (x)＝ af2(x)＋bf(x)＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配方法．
【例 2】已知函数 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R， a≠0)，求函数 y 的最小值．
分析将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量 ex＋e－x的二次函数．
＝3,
xz 4xz
y2 当且仅当x＝3z时取“＝”．故的最小值为3.故填3.
xz
点评本题是三元分式函数的最值问题，一般地，可将这类函数问题转化为二元函数问题加以解决．在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正二定三相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产生失误．
五、函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现．
一、定义法函数最值的定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M ，满足：①对任意x∈I，都有f(x)≤M ，②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ，则称M 为
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值．我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值的相关问题．

函数值域的求法典例精讲

函数值域的求法典例精讲1、换元法：例1：函数()2f x x =-的值域是（）A.[)0,+∞ B.17,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解析式转为二次函数，求得值域即可。

解：()f x 的定义域为[)1,+∞令t =0t ∴≥，则21x t =+()2211521248y t t t ⎛⎫∴=+-=-+⎪⎝⎭[)0,t ∈+∞ ()f x ∴的值域为15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭例2（1）函数113x y -=的值域为（）A.()0,+∞ B.()()0,11,+∞ C.{}|1x x ≠ D.()1,+∞（2）函数()[]1428,2,2xx f x x +=--∈-的值域为__________（3）函数1ln 1x x e y e +=-的值域为__________思路：（1）本题可视为()3f x y =的形式，所以可将指数进行换元，从而转化为指数函数值域问题：令11t x =-，则()(),00,t ∈-∞+∞ ，所以可得()()30,11,ty =∈+∞ （2）如前文所说，()()214282228xx x x f x +=--=-⋅-，将2x视为一个整体令2x t =，则可将其转化为二次函数求得值域解：()()214282228xx xx f x +=--=-⋅-令2xt =[]2,2x ∈- 1,44t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦()222819y t t t =--=--()f x ∴的值域为[]9,0-（3）所求函数为()ln f x ⎡⎤⎣⎦的形式，所以求得11x x e e +-的范围，再取对数即可。

对11x x e e +-进行变形可得：12111x x xe e e +=+--，从而将1x e -视为一个整体，即可转为反比例函数，从而求得范围解：定义域：()100,xe x ->⇒∈+∞12111x x xe e e +=+-- 令1xt e =-()0,t ∴∈+∞()211,t ∴+∈+∞()1ln 0,1x x e y e +∴=∈+∞-答案：（1）B（2）[]9,0-（3）()0,+∞例3：已知函数()[]23log ,1,4f x x x =+∈，则()()()22g x f x f x =-⎡⎤⎣⎦的值域为（）A.[]18,2-- B.[]11,6-- C.[]18,6- D.[]11,2--思路：依题意可知()()()22222223log 3log log 4log 6g x x x x x =+-+=---，所以可将2log x 视为一个整体换元，从而将问题转化为求二次函数值域，但本题要注意的是()g x 的定义域，由已知()f x 的定义域为[]1,4，则()()()22g x f xf x =-⎡⎤⎣⎦的定义域为：21414x x ⎧≤≤⎨≤≤⎩，解得：[]1,2x ∈，而不是[]1,4解：()()22223log 3log g x x x =+-+()222232log log 6log 9x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦()222log 4log 6x x =---()f x 的定义域为[]1,4，且()()()22g x f x f x =-⎡⎤⎣⎦21414x x ⎧≤≤∴⎨≤≤⎩，解得：[]1,2x ∈令2log t x =，则[]0,1t ∈()224622y t t t ∴=---=-+-[]11,6y ∴∈--，即()g x 的值域为[]11,6--答案：B 2、数形结合例4：（1）设函数()y f x =定义域为R ，对给定正数M ，定义函数()()()(),,M f x f x M f x M f x M≤⎧⎪=⎨>⎪⎩则称函数()M f x 为()f x 的“孪生函数”，若给定函数()22,20,121,0x x x f x M x ⎧--≤≤⎪==⎨->⎪⎩，则()M y f x =的值域为（）A.[]2,1- B.[]1,2- C.(],2-∞ D.(],1-∞-（2）定义{}min ,,a b c 为,,a b c 中的最小值，设(){}2min 23,1,53f x x x x =++-，则()f x 的最大值是__________思路：（1）根据“孪生函数”定义不难发现其图像特点，即以y M =为分界线，()f x 图像在y M =下方的图像不变，在M 上方的图像则变为y M =，通过作图即可得到()M f x 的值域为[]2,1-（2）本题若利用{}min ,,a b c 的定义将()f x 转为分段函数，则需要对三个式子两两比较，比较繁琐，故考虑进行数形结合，将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则()f x为三段函数图像中靠下的部分，从而通过数形结合可得()f x 的最大值点为21y x =+与53y x =-在第一象限的交点，即211253x y x y y x=⎧=+⎧⇒⎨⎨==-⎩⎩，所以()max 2f x =答案：（1）A（2）2例5：已知函数()()()()222222,228f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+，设()()(){}()()(){}12max ,,min ,H x f x g x H x f x g x ==，（其中{}max ,p q 表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值）记()1H x 的值域为A ，()2H x 的值域为B ，则A B = ______________思路：由()()12,H x H x 的定义可想到其图像特点，即若将()(),f x g x 的图像作在同一坐标系中，那么()1H x 为()(),f x g x 图像中位于上方的部分，而()2H x 为()(),f x g x 图像中位于下方的部分。

换元法求函数最值

换元法求函数最值换元法是高等数学中常用的一种求函数最值的方法。

它的基本思想是将原函数中的自变量用一个新的变量来表示，从而将原函数转化为一个新的函数，然后通过对新函数的求导或者其他方法来求出原函数的最值。

换元法的具体步骤如下：1. 选取一个合适的新变量，将原函数中的自变量用新变量表示。

2. 将原函数转化为一个新的函数，即将原函数中的自变量用新变量表示后得到的函数。

3. 对新函数求导，找到其极值点。

4. 将极值点代入原函数中，求出原函数的最值。

下面我们通过一个例子来说明换元法的具体应用。

例：求函数$f(x)=x^3-3x^2+2$在区间$[0,2]$上的最大值。

解：首先我们观察到$f(x)$是一个三次函数，因此我们可以尝试将其转化为一个二次函数来求解。

我们可以选取一个新变量$t=x-1$，将原函数中的自变量$x$用$t$表示，得到新函数$g(t)=(t+1)^3-3(t+1)^2+2$。

接下来，我们对新函数$g(t)$求导，得到$g'(t)=3(t+1)^2-6(t+1)$。

令$g'(t)=0$，解得$t=-\frac{1}{2}$。

将$t=-\frac{1}{2}$代入$g(t)$中，得到$g(-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$。

我们将$t=-\frac{1}{2}$代入原函数$f(x)$中，得到$f(-\frac{1}{2}+1)=\frac{1}{2}$。

因此，函数$f(x)$在区间$[0,2]$上的最大值为$\frac{1}{2}$，当$x=\frac{1}{2}$时取到。

通过这个例子，我们可以看到，换元法是一种非常实用的求函数最值的方法。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选取不同的新变量，将原函数转化为不同的形式，从而更加方便地求解函数的最值。

求函数值取值范围八法

求函数值取值范围八法注：红色部分的函数表达式为例题，求解的均为y的取值范围一、分式降次法适用范围：分子次数≥分母次数的分式方法介绍：将分式化为常数和一个分子是常数的分式的和y=3x+2 5−4xy=3x−154+154+2−4x+5=−34+234−4x+5≠−34二、常规配方法适用范围：一元二次整式方法介绍：将一元二次整式转化为a(x+m)2+k的形式y=−x2+x+2(−2<x≤3)y=−(x2−x)+2=−(x2−x+14−14)+2=−(x−12)2+94∴当x=12,y max=94当x=3,|x−12|达到最大，∴y min=−9+3+2=−4即−4≤y≤9 4三、∆法适用范围：分母为二次，分子为一次的分式方法介绍：将y视为常数，整理得关于x的方程，当二次项系数为0时代入验证，否则用Δ ≥0求出一的取值范围y=2x x2+1yx2+y=2xyx2−2x+y=0将y视作常数，得到关于x的方程①y=0 解得x=0，成立②y≠0,这是一个关于x的一元二次方程有∆=4−4y2≥0解得−1≤y≤1∴y的取值范围：（−1≤y≤1且y≠0）或y=0即−1≤y≤1四、换元法适用范围：含根号的式子，且根号内外均为一次方法介绍：将整个根号用另一未知数（如t代替）求出t的取值范围。

在求出x关于t的函数表达式，代入得y关于他的函数表达式求解y=x+√1−2x设t=√1−2x(t≥0)t 2=1−2x,解得x =1−t 22 ∴y =1−t 22+t =−12(t −1)2+1≤1 五、主元配方法使用范围：y 等于一个二元二次整式方法介绍，将一个自变量先作为常数对另一个自变量进行配方，之后将该自变量进行配方 y =a 2+ab +b 2−a −2by =a 2+(b −1)a +b 2−2b=a 2+(b −1)a +(b −12)2+b 2−2b −(b −12)2 =(a +b −12)2+34b 2−32b −14=(a +b −12)2+34(b 2−2b +1)−1 =(a +b −12)2+34(b −1)2−1≥−1 六、平方法使用范围：两个一次根式相加，且根号内自变量系数互为相反数方法介绍：两边平方，得到y 2=常数+一个根号内是二次的根式，对根式进行配方 y =√x −2+√4−xy 2=x −2+4−x +2√(x −2)(4−x )=2+2√−x 2+6x −8=2+2√−(x −3)2+1∵为了根式有意义−(x −3)2+1≥0且−(x −3)2+1≤1∴2≤y 2≤4即√2≤y ≤2七、零点排列法使用范围：若干个自变量系数为1的绝对值相加（自变量和因变量系数不为1可以化为1）方法介绍：按顺序排列每个绝对值的零点（即使绝对值为0的自变量值，绝对值前系数为几写几次），找到零点的中位数（零点为偶数个时可以任选中间两个的任意一个），代入就可得y 的最小值y =|x −1|+2|x −2|+3|x −3|+4|x −4|按顺序排列零点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，找到其中位数3，即为当y 最小时x 的值代入得y min =8,即y ≥8八、数形结合法使用范围：几个根式相加，根式内是二次且易化为平方和方法介绍：将根式内转化为平方和，再转化为两点间距离，用平移，对称等几何方法求解最小（大）值y =√x 2+9+√x 2−8x +41y =√x 2+32+√(x −4)2+52可以视作x 轴上一点P(x,0)与A(0,3)和 B(4,5)的距离之和，如图作A 关于x 轴的对称点A’(0,-3)AP +BP =A’P +BP ≥A’B =√[5−(−3)]2+(4−0)2=4√5∴y ≥4√5本文章由@handsome 一16制作O xyA BA’P。

换元法求函数值域例题

换元法求函数值域例题
换元法是高等数学中的一个重要概念，在函数值域的求解中起着关键的作用。

它可以将原函数转化为一个新的变量，从而简化函数表达式的形式，从而更容易求出函数的值域。

本文将为你提供一个换元法求函数值域的例题，并解释相关的参考内容。

例题：求函数f(x) = √(2x + 5) 的值域。

解答：要求函数的值域，我们首先需要知道函数的定义域。

显然，由于函数中存在根号，那么 2x + 5 的取值范围不能小于0，即2x + 5 ≥ 0。

解这个不等式得x ≥ -2.5，因此函数的定义域为[-2.5, +∞)。

接下来，我们可以使用换元法来求出函数的值域。

首先，让 y = √(2x + 5)，则原函数可以表示为 x = (y^2 - 5) / 2。

注意到，
对于函数y = √(2x + 5) 来说，y 只能取得大于等于0的值，即
y ≥ 0。

因此，我们只需要考虑 x 在定义域内的取值，即 x ∈ [-2.5, +∞)。

将 x = (y^2 - 5) / 2 代入定义域的范围，可以得到 y 的范围。

当
x = -2.5 时，y = √(2*(-2.5) + 5) = 0。

当 x 趋于正无穷时，y =
√(2*x + 5) 也趋于正无穷。

因此，我们可以得知 y ∈ [0, +∞)。

即 y 的范围是大于等于0的实数集。

综上所述，函数f(x) = √(2x + 5) 的值域为[0, +∞)。

换元法使
我们能够将原函数转化为新的变量，从而更容易理解和求解函数的性质。

(专题一)求函数最值问题常用的10种方法

【练习】(江苏)将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形
，记
s
（
梯梯形形周面长积）2 ,则S的最小值是____▲_
设剪成的小正三角形的边长为x
s(x)
(3 x)2

1 (x 1) 3 (1 x)
4 3

(3 1

x)2 x2
2
2
4 2(3x 1)( x 3)
【例aa2b6＋≤】ba＋2设2≥2bxa，2b≤(yaa，2，＋2bz b为为2(正实 a，实数b数)；为，a实＋x2－数b≥2)y．＋ab3(za＝≥00，，b则≥0)y；2
的最小值为________．
xz
解析 y＝x＋23z，所以xyz2＝x2＋94zx2z＋6xz≥6xz4＋xz6xz＝3, 当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
【练习】求y x2 2x 3 ,( x 1)的最小值. 2
x1
注：分子转化为分母的形式
七、数形结合法
【例 7】对 a，b∈R，记 max|a，b|＝ab，，aa≥<bb，，函数 f(x) ＝max||x＋1|，|x－2||(x∈R)的最小值是________．
专题一求函数最值问题常用的十种方法
一、定义法
前提设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数 M满足
①对于任意x∈I， ①对于任意x∈I，都
都有_f_（__x_）___≤_M__；有_f_（__x_）__≥__M___；
条件 ②存在x0∈I,使得 ②存在x0∈I,使得
___f_（__x_0_）__=_M__. ___f_（__x_0_）__=__M___.

高一数学求函数最值(值域)的方法大全

高一数学:求函数最值（值域）的方法大全一、观察法（直接法）
当函数的解析式中出现二次式的结构时，常用配方法求值域.
求基本初等函数(正、反比例函数，一次、二次函数)、分段函数的最值，画出函数图像，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值．
五、单调性法
先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值．常用到下面的结论：①如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增加的，在区间[b，c)上是减少的，则函数y＝f(x)在x＝b处有最大值f(b)；②如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减少的，在区间[b，c)上是增加的，则函数y＝f(x)在x＝b处有最小值f(b)．
六、分离常数法
注意到分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法求出值域．。

三角换元法求值域

三角换元法求值域一、引言三角换元法是高中数学中的一个重要概念，其在解决函数的值域问题时有着重要的应用。

本文将详细介绍三角换元法的概念、原理和具体步骤，并通过实例演示如何利用三角换元法求出函数的值域。

二、三角换元法概述1. 三角函数与反三角函数在介绍三角换元法之前，需要先了解一些基本的三角函数和反三角函数。

常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别表示为sin(x)、cos(x)和tan(x)。

而对于反三角函数，常见的有arcsin(x)、arccos(x)和arctan(x)，它们分别表示为sin^-1(x)、cos^-1(x)和tan^-1(x)。

2. 什么是三角换元法在高中数学中，我们经常需要求出一个函数的值域。

而对于某些比较复杂或者不好求解的函数，我们可以通过使用一些特殊的方法来简化计算。

其中，就包括了三角换元法。

三角换元法是一种利用基本三角公式将含有根式或分式等形式比较复杂的代数式转化成含有简单三角函数（如sinx、cosx、tanx等）的形式，从而便于求解的方法。

通过三角换元法，我们可以将函数转化为一个简单的三角函数，然后根据该三角函数的性质来确定其值域。

三、三角换元法原理1. 基本三角公式在使用三角换元法时，需要掌握一些基本的三角公式。

常见的基本三角公式有：（1）sin^2(x) + cos^2(x) = 1（2）1 + tan^2(x) = sec^2(x)（3）1 + cot^2(x) = csc^2(x)这些基本公式是进行三角换元法时不可或缺的工具。

2. 代数式转化为三角函数在使用三角换元法时，我们需要将一个含有根式或分式等形式比较复杂的代数式转化为含有简单三角函数（如sinx、cosx、tanx等）的形式。

具体来说，我们可以利用基本三角公式将代数式中的某些部分转化为sinx、cosx或者tanx等形式。

例如：（1）√(a² - x²)，可以转化为a sinθ或者a cosθ；（2）√(a² + x²)，可以转化为a tanθ或者a cotθ；（3）(a² - x²)/(a² + x²)，可以转化为sin²θ或者cos²θ等。

求解函数值域的三种典型方法

Җ㊀山东㊀马建国㊀㊀求解函数值域是函数学习的一个关键环节,正确求解值域对函数的运用和计算都十分重要,如果值域的求解错误,运用过程可能会受到阻碍．因此,在教学中应注重函数值域求解方法的选择,化繁为简,提高解题效率．本文从求解函数值域的三种典型方法着手进行研究．１㊀换元法换元法是指将函数中某个式子看成一个整体,用一个变量去替换它,从而将问题进行简化．在运用换元法求函数值域的过程中,通常是将复杂的复合函数进行换元,然后根据新函数的定义域对函数值域进行求解．例１㊀已知函数y＝x２＋x２－１,求解该函数的值域．分析㊀观察可知函数中存在根式,因此可以采用换元法,在本题中可以将x２－１整体换为t(tȡ０),将原函数转化为用t表示的函数,再根据tȡ０的条件得出原函数的值域．解㊀令x２－１＝t,则x２＝t２＋１,所以y＝t２＋t＋１．又因为tȡ０,所以y＝t２＋t＋１＝(t＋１２)２＋３４ȡ１,则函数y＝x２＋x２－１的值域是[１,＋ɕ)．例２㊀已知函数y＝２x－x－１,求解该函数的值域．分析㊀观察可知函数中存在根式,因此可以采用换元法,在本题中可以将x－１整体换为t(tȡ０),将原函数转化为用t表示的函数,再根据tȡ０的条件,得出原函数的值域．解㊀因为x－１＝t,x＝t２＋１,所以y＝２(t２＋１)－t＝２(t－１４)２＋１５８．又因为tȡ０,所以yȡ１５８,则函数y＝２x＋x－１的值域是[１５８,＋ɕ)．２㊀判别式法判别式法是在一元二次方程中,判断方程有没有根以及有几个根的方法．当b２－４a c＜０时,方程无实根;当b２－４a c＝０时,方程有两个相等的实根;当b２－４a c＞０时,方程有两个不相等的实根．在利用判别式法求值域的过程中,首先要构造出一个一元二次方程(将y看作常数),利用判别式Δȡ０,求得函数的值域．例３㊀已知函数y＝２x１＋x２,求解该函数的值域．分析㊀通过观察可知目标函数是分母为一元二次函数的分式函数,因此先将函数变形为一元二次方程,即y x２－２x＋y＝０,然后根据y＝０和yʂ０的情况进行分析,同时利用判别式法对一元二次方程的根进行判断,从而可以得出函数的值域．解㊀因为y＝２x１＋x２,所以y(１＋x２)＝２x,即y x２－２x＋y＝０．当y＝０时,－２x＝０,则x＝０．当yʂ０时,根据Δ＝４－４y２ȡ０,得－１ɤyɤ１．综上所述,函数y＝２x１＋x２的值域是[－１,１]．例４㊀已知函数y＝３x２＋３x＋１x２＋x＋１,求解该函数的值域．分析㊀已知函数是分子㊁分母均为一元二次函数的分式函数,可以利用判别式法进行值域求解,先将函数变形为一元二次方程,即(y－３)x２＋(y－３)x＋y－１,再根据y－３＝０和y－３ʂ０的情况分析,从而得出函数的值域．解㊀因为y＝３x２＋３x＋１x２＋x＋１,所以(y－３)x２＋(y－３)x＋y－１＝０．当y－３＝０时,y＝３,３－１＝０不存在．当y－３ʂ０时,则Δ＝(y－３)２－４(y－３)(y－１)ȡ０,１３ɤy＜３．综上所述,y＝３x２＋３x＋１x２＋x＋１的值域是[１３,３)．３㊀分类讨论法分类讨论法指的是在求解一类问题时,有时会遇到多种情况,无法用同一种方法去解决,需要分类进行讨论,最后再归纳总结得出最终结论．求解函数值域４的分类讨论法通常是用在分段函数求值域或者是含绝对值函数求值域,其主要思路是分别根据定义域分类进行值域求解,最终再汇总结果．例５㊀已知函数y ＝|x ＋１|＋|x －２|,求解该函数的值域．分析㊀通过观察可知函数带有绝对值符号,首先考虑去绝对值符号,从而发现分段区间函数的表达式不同,因此考虑分类讨论法,将函数的定义域求出后,分别代入函数式,就可以得出原函数的值域．解㊀该函数的定义域可分为x ɤ－１,－１＜x ɤ２,x ＞２．在定义域内的函数表达式为y ＝－２x ＋１,x ɤ－１,３,－１＜x ɤ２,２x －１,x ＞２．ìîíïïïï当x ɤ－１时,y ＝－２x ＋１ȡ３;当－１＜x ɤ２时,y ＝３;当x ＞２时,y ＝２x －１＞３．综上所述,函数y ＝|x ＋１|＋|x －２|的值域是[３,＋ɕ)．例６㊀已知函数y ＝x ２－４x ＋３,０＜x ＜５,x ２＋４x ＋３,－３ɤx ɤ０,{求解该函数的值域．分析㊀观察已知函数,分段区间内函数的表达式不同,因此考虑分类讨论法,求得x 的取值范围,再代入函数式,就可以得出函数值域．解㊀令x １＝２,则y １＝－１,令x ２＝－２,则y ２＝－１．当０＜x ＜５时,x ２－４x ＋３的值域为[－１,８);当－３ɤx ɤ０时,x ２＋４x ＋３的值域为[－１,３]．综上所述,y＝x ２－４x ＋３,０＜x ＜５,x ２＋４x ＋３,－３ɤx ɤ０{的值域为[－１,８)．换元法㊁判别式法㊁分类讨论法是函数求值域中典型的三种方法,使用这三种方法时,应注意换元后表达式的等价变形㊁判别式的正确使用㊁分段函数的定义域划分等．这三种方法是值域求解的重要方法,应该要求学生要对方法熟练掌握㊁融会贯通．(作者单位:山东临沂高新区高级中学)Җ㊀湖南㊀蒋迎芳㊀㊀高考对集合问题的考查多与函数㊁不等式进行交会,问题难度不大,只要准确理解集合的关系及运算即可．集合是高中生学习的第一个数学知识,为什么把它放在第一章?因为集合是学习其他模块的基础,与其他知识具有紧密的联系．下面谈一谈笔者的几点感悟,供读者参考．１㊀集合的关系和运算丰富了其他问题的求解视角１)集合之间的关系包括子集㊁真子集㊁相等．２)集合之间的运算包括交㊁并㊁补．集合的关系和运算可应用到其他知识的学习或问题的求解中．例如,集合的关系和运算与充分㊁必要条件之间的关系:若A 是B 的子集,即A ⊆B ,则A 是B 的充分条件;若A ＝B ,则A 与B 互为充要条件;若A ɘB ＝∅,则A ,B 之间既不是充分条件,也不是必要条件．再如,集合的关系和运算与概率之间的关系:若A ,B 为互斥事件,则A ɘB ＝∅;若A ,B 为对立事件,则A ɘB ＝∅,且B ＝∁U A ;事件A ,B 至少有一个发生,记为A ɣB ,称为A,B 的和事件;事件A ,B同时发生,记为A ɘB ,称为A ,B 的积事件．例１㊀某高校数学学院举行２０２０届毕业典礼,主席台上有并排的六个座位,出席典礼的甲㊁乙㊁丙等六位院系的教师可随意就座,则甲㊁乙两位教师的座位均不与丙相邻的概率为．设U ＝{六位教师任意就座的所有情况},A ＝{甲㊁丙两位教师的座位相邻的情况},B ＝{乙㊁丙两位教师的座位相邻的情况},则A ɘB ＝{全集U 中甲㊁乙两位教师的座位与丙相邻的情况},A ɣB ＝{全集U 中甲或乙两位教师的座位与丙相邻的情况},A ɣB ＝{全集U 中甲㊁乙两位教师的座位均不与丙相邻的情况}．本题即求P (A ɣB ),而P (A ɣB )＝１－P (A ɣB ),故只需求P (A ɣB )．因为P (A ɣB )＝P (A )＋P (B )－P (A ɘB ),而５。

换元法求函数值域例题

当然可以，以下是一个使用换元法求函数值域的例题，用1500字回答：题目：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1的值域。

解答：首先，我们观察函数f(x)的形式，发现它具有形式$f(x) = x^3 - 6x^2 + ax$，其中a为待定参数。

由于$f(x)$中含有一个常数项，我们可以利用换元法将其分离出常数项，从而得到一个更易于求解的值域问题。

步骤如下：1. 将原函数中的常数项分离出来，得到$f(x) = x(x-3)(x-1) + 1$。

2. 令$t = x-3$，则原函数变为$g(t) = t(t+1)(t-1) + 1$。

3. 由于$g(t)$中只含有一次项和二次项，因此可以利用求导的方法求出其极值点，从而得到值域。

具体步骤如下：1. 求导：$g^{\prime}(t) = 0 \Rightarrow t = - 1$或$t = 1$。

2. 当$t < - 1$时，$g^{\prime}(t) < 0$，函数单调递减；当$- 1 < t < 1$时，$g^{\prime}(t) > 0$，函数单调递增；当$t > 1$时，$g^{\prime}(t) < 0$，函数单调递减。

3. 极值点处的函数值为极值点。

在上面的步骤中，我们需要对每个情况进行讨论，找到合适的极值点处的函数值，并将其代入原函数的定义域中，求得最终的值域。

由于上述方法涉及到较复杂的讨论和推导过程，下面我们用具体数值来求解这个例子。

具体数值解法：假设定义域为$x \in [0,4]$，将原函数变形为：$f(x) = (x-3)^3 - (x-3) + 4$。

此时定义域变为[0,4]，可得到值域如下：当x=4时，ymin=7当x=0时，ymax=26所以函数的值域为[7,26]。

方法总结：换元法是一种常用的求函数值域的方法。

通过将原函数中的某个变量看作一个整体，利用另一个变量来替换原函数中的变量，从而将原函数转化为一个更易于求解的形式。

换元法求函数最值

换元法求函数最值换元法是一种重要的数学方法，用于求解一个函数的最值问题。

它通过将原函数中的变量用一个新的变量表示，从而将原函数转化为一个新的函数，进而求解最值问题。

假设我们要求函数f(x)的最值，可以通过换元法将原函数转化为一个只有一个变量的函数g(u)，然后再求解函数g(u)的最值。

具体步骤如下：1.确定需要求解的原函数f(x)和其定义域。

2.假设新的变量为u，然后将原函数中的变量x表示为u的函数，即x=φ(u)。

函数φ(u)需要满足两个条件：一是φ(u)在定义域内有合适的取值，二是φ(u)在定义域内是单调可导的。

3.将x=φ(u)代入原函数f(x)中，得到新的函数g(u)=f(φ(u))。

4.求函数g(u)的最值。

可以使用求导的方法，求g'(u)=f'(φ(u))φ'(u)，然后令g'(u)=0，找出使g'(u)=0的所有解，再将这些解代入g(u)中，求出对应的函数值，最后比较这些函数值的大小，找出最大值或最小值。

5.将u的取值代入x=φ(u)中，得到最值对应的x的值。

下面我们通过一个例子来演示换元法求函数最值的过程。

例子：求函数f(x)=x^3-3x的最值。

解：1.确认原函数f(x)=x^3-3x，并确定其定义域为全体实数。

2.让新的变量为u，将原函数中的变量x表示为u的函数。

假设x=u，则原函数可以表示为f(u)=u^3-3u。

3.将x=u代入原函数f(x)中，得到新的函数g(u)=f(u)=u^3-3u。

4.求函数g(u)的最值。

首先求导数g'(u)=3u^2-3，令g'(u)=0，解得u=±1、然后将u=±1代入g(u)中，得到g(1)=-2和g(-1)=2，比较这两个值，可以得知g(u)的最小值为-2，最大值为25.将u的取值代入x=u中，得到最值对应的x的值。

当u=1时，x=1；当u=-1时，x=-1、因此，函数f(x)的最小值为-2，对应的x值为-1；最大值为2，对应的x值为1通过上面的例子可以看出，换元法是一种非常有效的数学方法，可以在解决函数最值问题时起到很大的帮助作用。