数学易失分点分析及应对方法
精心整理小学一至六年级数学概念(最全、最新) 小学数学易错易失分的26个知识点总结(附例题+答案)
精心整理小学一至六年级数学概念(最全、最新) 小学数学易错易失分的26个知识点总结(附例题+答案)小学数学概念（最全、最新）以下是小学数学易错易失分的26个知识点总结，附有例题和答案。
1.偶数：能被2整除的数叫做偶数，因为也能被2整除，所以也是偶数。
2.奇数：不能被2整除的数叫做奇数。
例如1、3、5、7.3.质数：一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数或者素数。
例如2、3、5、7、11都是质数。
4.素数：素数就是质数。
5.合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。
1不是质数，也不是合数。
例如4、6、8、9、10、12.都是合数。
6.质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
7.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如：12=3×2×28.公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。
9.最大公因数：在几个数的公因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
例如1，2，4是8和12的公约因数；4是8和12的最大公约因数。
10.互质数：公约数只有1的两个数，叫做互质数。
例如5和7是互质数，8和9也是互质数。
11.公倍数：几个数公用的倍数，叫做这几个数的公倍数。
12.最小公倍数：在几个数的公倍数中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
例如12，24，36.都是4和6的公倍数，12是4和6的最小公倍数。
13.单价数量总价：每件商品的价钱，我们叫它单价，买了多少，叫做数量，一共用了多少钱，叫总价。
总价=单价×数量14.速度、时间、路程：每小时（或每分钟或者每天）行进的路程，我们叫它速度，行进了几小时（或几分钟或几天）我们叫它时间，一共行进多少路，我们叫它路程。
路程=速度×时间15.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，这叫做加法交换律。
小学数学主要知识点失分点及辅导方案解读
六年级主要知识点、重难点、失分点
学科知识点 1．分数乘除法的应用 （比和比的应用）2、圆的周长和面积计算3、 圆柱，圆锥的表面积和体积 4、分数的加、减、乘、除运算 问题： 1、概念较多，学生易混淆 2、计算题上易失分，特别是分数的混合运 算 3、图形部分难度较大，在求图形的面积与周长上易失分。 失分点： 分数，百分数，比和比例的综合应用 、圆、 重难点： 1、分数的性质与应用 2、百分比的意义与应用 3、圆。
12/1/2018
小学三、四年级学生特点
1、自我意识发展，逐渐学会道德评判，但是认知水平尚低，易受影响； 2、情绪不稳定，感情容易激起和爆发，不善于控制自己，意志尚薄弱； 3、思维过渡阶段，有由形象向抽象思维过渡，但仍以直观形象思维为主； 4、品质形成，集体主义感有所发展，良好的道德品质正在形成； 5、独立意识增强，由儿童期向少年期转变，依赖性减少，不单纯听老师； 6、兴趣分化，不满足于课堂知识，爱看课外书，对自然和社会产生兴趣；
12/1/2018
小学五、六年级学生特点
1、矛盾期。开始进入少年期，幼稚趋向成熟，依赖向独立 半成熟交错； 2、掌握道德观念。开始对社会关注，并有自己的见解，但 易被影响； 3、选择性接受。面对学校和社会的信息开始选择性接受， 有自己的见解； 4、学习兴趣广。求知欲和好奇心增强，开始独立思考、追 求与探索； 5、自我意识发展。自尊心和自主性进一步增强，仍缺乏自 我约束力； 6、学习压力大。面临升初压力，心态不稳定，需要引导。
小学数学主要知识点及其考 试形式分析
一年级知识点
• 主要知识点 认识数字、大小比较、 加减学习与认识 、物体的认识 • 问题/失分点 位置分不清 、 运算进位退位易错、 生活常识应用易错（路、 人民币、重量）及单位的转化
初中数学易错点提前干预策略研究
初中数学易错点提前干预策略研究初中数学作为学生学习的重要科目之一，在教学过程中常常会出现一些易错点，这些易错点容易影响学生对数学知识的掌握和理解。
针对初中数学易错点提前干预策略的研究显得尤为重要。
本文将从初中数学易错点的特点、存在的问题和提前干预策略的研究成果等方面展开探讨。
一、初中数学易错点的特点1.易混淆的概念初中数学中有很多概念相近、容易混淆的知识点，比如平行线与垂直线、等腰三角形与等边三角形、相似三角形与全等三角形等，学生容易弄混这些概念，导致错误的出现。
2.易跳过的细节在解题过程中，学生往往容易忽略一些细微的地方，比如计算过程中的小数点问题、单位换算的错误等，这些细节性的错误同样会影响学生最终的答题结果。
3.易错的应用题初中数学中的应用题往往需要学生综合运用多种知识，如果学生对某一部分知识掌握不牢固，很容易在应用题中出现错误，特别是对于问题的分析和建模能力较弱的学生更是如此。
以上三点便是初中数学易错点的一些特点，对于这些特点，我们可以从教学和学生自身两个方面进行分析，以便更好地进行提前干预。
1.影响学生的学习兴趣和自信心在长期的易错点积累下，学生会因为错误的产生而影响到对数学的学习兴趣和学科自信心，甚至可能会对数学失去信心。
2.影响数学能力的全面发展易错点若不能得到及时纠正，会影响学生数学能力的全面发展，使得学生对数学的理解和掌握产生偏差，从而影响其未来的学习。
3.影响教师教学效果对于教师来说，学生的易错点也会影响其教学效果，需要花费更多的时间和精力进行纠正，从而影响到整体教学的进程。
以上三点便是初中数学易错点存在的一些问题，针对这些问题，提前干预策略的研究成为十分必要的一项工作。
三、提前干预策略的研究成果1.教学内容的优化针对初中数学的易错点，教师可以通过优化教学内容，强调易错点的解题技巧和注意事项，培养学生从容应对的能力。
2.巩固练习的加强学生在完成基础练习的可以加强易错点的巩固练习，通过多次反复的训练，提高学生对易错点的掌握程度。
高考数学6大题型答题技巧
⾼考数学6⼤题型答题技巧⾼考即将来临，你准备好了么？你是否已经攻克下数学这个困难呢？下⾯就是⼩编给⼤家带来的，希望⼤家喜欢！⾼考数学6⼤题型答题技巧1·三⾓函数题注意归⼀公式、诱导公式的正确性(转化成同名同⾓三⾓函数时，套⽤归⼀公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时，很容易因为粗⼼，导致错误!⼀着不慎，满盘皆输!)。
2·数列题1.证明⼀个数列是等差(等⽐)数列时，最后下结论时要写上以谁为⾸项，谁为公差(公⽐)的等差(等⽐)数列;2.最后⼀问证明不等式成⽴时，如果⼀端是常数，另⼀端是含有n的式⼦时，⼀般考虑⽤放缩法;如果两端都是含n的式⼦，⼀般考虑数学归纳法(⽤数学归纳法时，当n=k+1时，⼀定利⽤上n=k时的假设，否则不正确。
利⽤上假设后，如何把当前的式⼦转化到⽬标式⼦，⼀般进⾏适当的放缩，这⼀点是有难度的。
简洁的⽅法是，⽤当前的式⼦减去⽬标式⼦，看符号，得到⽬标式⼦，下结论时⼀定写上综上：由①②得证;3.证明不等式时，有时构造函数，利⽤函数单调性很简单(所以要有构造函数的意识)。
3·⽴体⼏何题1.证明线⾯位置关系，⼀般不需要去建系，更简单;2.求异⾯直线所成的⾓、线⾯⾓、⼆⾯⾓、存在性问题、⼏何体的⾼、表⾯积、体积等问题时，最好要建系;3.注意向量所成的⾓的余弦值(范围)与所求⾓的余弦值(范围)的关系(符号问题、钝⾓、锐⾓问题)。
4·概率问题1.搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数;2.搞清是什么概率模型，套⽤哪个公式;3.记准均值、⽅差、标准差公式;4.求概率时，正难则反(根据p1+p2+...+pn=1);5.注意计数时利⽤列举、树图等基本⽅法;6.注意放回抽样，不放回抽样;7.注意“零散的”的知识点(茎叶图，频率分布直⽅图、分层抽样等)在⼤题中的渗透;8.注意条件概率公式;9.注意平均分组、不完全平均分组问题。
5·圆锥曲线问题1.注意求轨迹⽅程时，从三种曲线(椭圆、双曲线、抛物线)着想，椭圆考得最多，⽅法上有直接法、定义法、交轨法、参数法、待定系数法;2.注意直线的设法(法1分有斜率，没斜率;法2设x=my+b(斜率不为零时)，知道弦中点时，往往⽤点差法);注意判别式;注意韦达定理;注意弦长公式;注意⾃变量的取值范围等等;3.战术上整体思路要保7分，争9分，想12分。
高效检查数学试卷方法技巧及答题来不及的应对措施
高效检查数学试卷方法技巧及答题来不及的应对措施第一招：基本概念检验基本概念、法则、公式是同学们复习时最容易忽视的，因此在解题时极易发生概念性错误，所以，概念检验法是一种对症下药的方法。
如：下列函数中，是一次函数的有几个？(1)y=2x(2)y=ax+2(3)y=3x-2(4)y=2答：有三个。
错了，我们先来回想一下一次函数的定义：一切形如y=kx+b(k不等于0)的函数称为一次函数。
对照定义形式，仅（1）和（3）为一次函数，而（2）的a可能为0，故只有两个。
第二招：对称原理检验对称的条件势必导致结论的对称（此结论通常被称为不充足理由律），利用这种对称原理可以对答案进行快速检验。
如：因式分解，(xy+1)(x+1)(y+1)+xy=(xy-y+1)(xy+x+1)结论显然错误。
左端关于x、y对称，所以右端也应关于x、y对称，正确答案应为：(xy+1)(x+1)(y+1)+xy=(xy+y+1)(xy+x+1)。
第三招：特殊情形检验问题的特殊情况往往比一般情况更易解决，因此通过特殊值、特例或极端状态来检验答案是非常快捷的方法，因为矛盾的普遍性寓于特殊性之中。
第四招：不变量检验某些数学问题在变化、变形过程中，其中有的量保持不变，如图形的平移、旋转、翻折时，图形的形状、大小不变，基本量也不变。
利用这种变化过程中的不变量，可以直接验证某些答案的正确性。
第五招：等价关系检验等价关系不仅广泛用于解题时的等价转换，而且在检验答案时也可收到事半功倍的效果。
第六招：整体思想检验整体把握不仅能培养我们全局观念，养成良好的思维习惯，而且在检验答案时，通过彼此的遥相呼应、全局的和谐统一也可收到出奇制胜的效果。
第七招：逻辑推理检验答案的正确性不仅体现在与条件之间和谐和统一，而且不会导致逻辑矛盾，还会体现出规律性和数学美。
这就给我们提供了检验答案的又一条新途径。
第八招：数形结合检验数是形的抽象概括，形是数的直观表现，数形结合相得益彰。
数学试卷分析失分原因和改进措施10篇
数学试卷分析失分原因和改进措施10篇数学试卷分析失分原因和改进措施1一、试卷分析本次期中试卷重点检测第一至四单元的基础知识、基本技能、基本方法，同时注重过程性知识和方法性知识的考察，关注学生的数学思考，具体表现在：1，内容覆盖面广，对每一部分内容均有涉及，有利于全面考察学生的知识和能力，突出了重点。
2，题型多样，考察了学生思维的灵活性。
试卷共分六个大题：大体分为填空、选择、计算、操作、解决问题等。
试题灵活。
3、试卷中难度较大的题有10分，有的题要通过2到3步思考才能算出来，考察了学生思维的广阔性。
二、成绩分析:二(2)班平均分是85.9分，二(1)班平均分是82.6。
二(2)班：90-100分的有35个，80-90分的有12个，70-80分的有2个，60-70分的有2个，不及格1个。
即优秀率为64.8%，及格率为98%。
二(1)班：90-100分的有24个，80-90分的有15个，70-80分的有7个，60-70分的有4个，不及格3个。
即优秀率为45.3%，及格率为94%。
总体来说成绩不是很理想。
三、试卷特点及典型错例分析1、试卷题型：一、填空题(21分);二、选择题(5分);三、量一量(10分);四、算一算(40分);五、解决问题(24分);六、想一想(附加10分) 2、典型错例：(1)第一填空题A、23厘米+77厘米=()米。
这个题目看起来简单，其实暗藏玄机。
其一考到100以内的加减法，有部分学生对进位加法没掌握牢固，导致算错变成90，有部分学生掌握进位加法得出100，却没能将单位进行转化。
所以这题的考察需要有严谨的数学思维。
这题的失败从侧面反映出学生的思维还不够严谨。
(2)第二选择题。
A、与4*5计算结果不相等的算式是()A.4+4+4+4+4B.4+5C.5+5+5+5D.10+10这个题目错在读不懂题意。
题目要求我们选出“不相等”的算式，而很多小朋友一看到有答案就恨开心，选A项的很多。
中考数学失分的原因及对策
中考数学失分的原因及对策数学是中考的一门重要科目，也是许多学生最头疼的科目之一、很多学生在中考中数学失分较多，这主要是由于以下几个原因：一、基础知识不扎实。
数学是一门基础学科，后面的知识都是建立在前面的基础之上的。
如果学生在初中阶段没有牢固掌握数学的基本概念、公式和定理，那么在中考时就无法应对更复杂的问题，容易造成失分。
二、解题思路不清晰。
数学题目必须有一定的解题思路，不能凭空猜测答案。
一些学生在解题时没有明确的思路，盲目地试错，导致答案错误。
这就需要培养学生的逻辑思维和解题能力，让他们能够理清解题步骤，减少错误的可能性。
三、考试紧张和时间管理不当。
中考是一场紧张而重要的考试，对许多学生来说是一次决定命运的考试。
有些学生在考试时容易紧张，导致思维混乱，不能正确解答问题。
另外，一些学生在考试中对时间的把握不准确，导致有些题目没有时间完成，或者答卷时间不充分。
这就需要学生在平时的学习中积累充分，实施针对性的训练，提高解题速度和时间管理能力。
针对以上问题，我们可以采取一些对策来提高中考数学成绩：一、扎实建立数学基础。
学习数学要从基本概念开始，逐渐掌握公式和定理，并通过大量的练习巩固理解和应用。
在课外时间，可以找一些相关的辅导书或在线课程来巩固基础，培养数学思维。
二、培养解题的思路。
在学习数学时，要注重培养学生解题的思路。
通过多做一些典型例题，并总结经验和方法，进行类似题目的演练，提高解题能力和独立思考的水平。
同时，要鼓励学生思考问题的背后的数学原理，培养抽象思维和逻辑思维能力。
三、积极参与课堂互动。
数学是一门需要自己动手操作、思维训练的学科，单纯的课堂听讲无法真正掌握其中的奥妙。
学生可以积极参与课堂上的讨论和问题解答，在老师的引导下分享自己的解题思路，以及和同学们的交流，增加自信心和实践能力。
四、合理安排考试准备时间。
考试期间的准备不应是仓促而密集的，而是要合理安排时间，提前预习和复习，分阶段地解决问题。
主观题易失分点以及得分策略
例 １ 已知角 Ｏ』， ． ＬＢ 成公 比为 ２的等 比数列 （ ， Ｏ ｔ
［，＂ ）ｉ ｔｉ３ｓ ｙ且也成等比数列 ， Ｏ卢， ０２ｒ ｓ ｏｓ ／， ｎ ｒ ｎ ，ｎ ｉ ］ 求 ｔ 的值． ，
，
试证 ： 数
点评 ： 由于ｂ ｃ ・是成 立的． ・＝ｄ ４ 因而第一 次 同理正
确； 第二 次 同理没有任何依据 ． 实际上 ， ｂ （ ）且 由（ ） ｄ ＝
由于考试时 的心理紧张又加上有些题 目的题 意隐 晦 ，容易 出现误解题意． 例４ 已知 ，０ 。 且 ＝ ． ２３ ＞ ， ≠１ （ｏ ） ｘ丽 ＋ ｘ
～
得 ： ８． 一． ．： ．： ， － ０ 即 ：；而 ；一 ． 那么 ．：． ０于
是 上 ， 故四边形 ＡＢ Ｄ为正方形． Ｃ
Ｆ ．再 看 看 图 形 ，确 实添 加 了 Ｅ Ｆ这 两 个 点 是 如 何 、 ．
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数学蒋数
产 生 的？ 不得 而知 ，失 分 是 必 然 的 ． ４ 心 理 紧张 ． 误解题意．
同理 ， 可得 （ ） （ ） 显然 四边形 Ａ Ｃ ｏ２ ６ ＝ ， Ｂ Ｄ为菱 形 ，
例 ３Ａ Ｄ ． Ａ Ｂ与 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ都 是等 腰直角 三角形 ．它
们 所 在 的 平 面 互 相 垂 直 ，且 ／Ａ Ｂ＝ Ｃ Ｄ＝ ０ ， ＿ Ｄ Ｂ ９ 。
Ａ ＝ ， Ｐ为线段 ＡＢ上 的动点 ，问 Ｂ两点 的距离 Ｄａ 设 为多少 时，Ａ Ｃ Ｐ Ｄ与 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ所在 的平面成 ４ 。 ５角．
错解 ：欲 求 仅， 的值 ，只 需列 出关 于 ， 卢， 卢，
高考数学学科二轮备考关键问题指导系列一(解析几何存在问题及应对策略)
福建省2024届高中毕业班数学学科二轮备考关键问题指导系列一解析几何存在问题及应对策略（福建省高三毕业班复习教学指导组余小萍执笔整理）新高考的背景下，解析几何知识板块试题分值高，在全卷中占比高，但整体得分低，得分率最低，对全卷影响重大，新高考解析几何如何提分，值得研究.解析几何高考试题以核心素养为导向，突出了学科素养、关键能力的考查，有以下特点：1．突显解析思想，考查全面解析思想解题主要包含两个方面．其一，在坐标系下，每个几何对象均可被数（坐标、方程等）所完全表达，并通过代数（或向量）方法来解决；其二，特定的代数语言有了几何解释，从而使代数语言有了直观意义，人们能从中得到启发，进而解决问题或提出新的结论．解析几何问题考查模式可以用下图的框架体现：2．突出直观想象，强调算理解析法是通过坐标系实现“点与坐标互化”、“曲线与方程互化”、“几何关系代数化”，从而达到用代数方法解决几何问题，其思维模式可以用下图的框架体现：这是平面解析几何复习教学可以遵循的思维模式，通过它，帮助厘清知识，构建方法体系，回到基础，落实对知识与方法的深刻理解，让解析法升华为一种认识论与方法论.3．突破题型套路，鼓励创新新高考试卷持续推进题型和结构的创新，在解析几何试题的设计上，最大的变化就是突破题型套路，有多选题、多空题和条件开放或结论开放试题，在难度层次上也有所变化，从情境选择、设问方式到解题方法，鼓励创新求解的意识，培养学生探究能力．下面就具体的平面解析几何复习教学的相关问题探讨如下.一、存在的问题及原因分析（一）作图意识薄弱，以形助思待提高规范作图是认识问题、研究问题的基础，将图形特征转化、合理代数化的过程是问题条件的理解与解题思路的探究过程．【例1】过点(0,2)-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=( )A. 1B.4C.4D. 4【解析】圆22410x y x +--=化简，得22(2)5x y -+=，故圆心(2,0)B，记(0,2)A -，设切点为M ，.N AB =BM =，故AM sinsin MAB 24BM ABα=∠==，coscos M B 2A AM ABα=∠==，sin 2sincos22ααα==B. 【评析】本题考查直线与圆的位置关系、二倍角公式，属于基础题．利用切线构造直角三角形，由三角函数定义求出sin2α，cos2α，再利用二倍角正弦公式即可求解．本题中切线的运用很多学生能想到，但学生不易想到角度关系MAB 2α=∠，究其原因在于作图意识薄弱，对题中的几何关系挖掘不够，缺乏对图形中几何特征与数量关系的细致分析，难以借助图形分析思考问题.【例2】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 在C 上，点B 在y轴上，11F A F B ⊥，222=3F A F B -，则C 的离心率为__________.【解析】依题意222=3F A F B -，设22||2,||3(0)F A t F B t t ==>，||5.AB t ∴=由对称性知21|||| 3.F B F B t ==又11F A F B ⊥，故1||4F A t =，4cos .5A = 由双曲线的定义知，12||||2F A F A a -=，故.t a =在12F AF 中，22216444cos 2425a a c A a a +-==⋅⋅，解得：29()5c a =，故C 的离心率为5【评析】本题考查双曲线的定义及性质、余弦定理、向量共线的充要条件等，属于中档题. 根据向量的关系设参数t ，得到||AB ，2||F B ，1||F B 的关系，勾股定理得到1||4F A t =.由双曲线的定义得到t a =，在1Rt F AB △和12F AF △中通过对cos A 算两次得到a 与c 的关系.学生若作图潦草，难以发现关键的几何特征信息，导致对图中几何关系的提取错误或者不完整，思路受阻．本题中222=3F A F B -，不仅有数量特征，还具有位置关系．【建议】课堂教学中教师能使用尺规规范作图，起到示范指导，并要求学生当堂作图练习．布置不给图形的解几练习，要求学生通过审题自己作图.教师对图形中几何特征与数量关系进行细致分析，结合图形从整体角度理解题意、寻找解题思路．（二）概念思维淡漠，核心观点需增强定义是数学问题研究的起点．曲线方程的概念蕴含了丰富的内涵，对我们的问题的理解与思考有深刻的意义．【例3】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12，过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE △的周长是__________.【解析】由椭圆离心率为12，可得2a c =，则b ==则椭圆C ：2222143x y c c +=，)A ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，易得ED l ：()3y x c =+，由2211||||||2AF AF F F c ===，故过1F 且垂直于2AF 的直线DE 垂直平分2AF ，即2||||EA EF =，2||||DA DF =，又2222143)x y c c y x c =⎧+=⎪⎨+⎪⎪⎪⎩，得22138320x cx c +-=，故28133213D E D Ec x x x c x =⎧+=-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩， 213||||6()4278D E D E D E DE x x x x x x c ∴=-=⇒+-=⇒=，所以ADE △的周长2211||||||||||||||4813DA EA DE DF EF DF EF a c ++=+++===.【评析】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考查了运算求解能力，属于中档题.部分学生不能从离心率、椭圆定义角度去分析几何特征解决问题，而是先求点M 坐标，再求点D 、E 的坐标，利用两点间的距离公式，绕了一大圈才得出周长，没能活用定义轻松得到解题的突破口．究其原因在于没有养成优先站在“定义”的角度探究问题和解决问题意识，未能从圆锥曲线的定义审视几何关系，选择简便的方法实现几何条件代数化．【建议】复习教学中凡涉及圆锥曲线的最值问题，均需先回顾梳理各种方法，结合问题背景比较、优化方法；强调要在大问题（圆锥曲线的定义与几何图形中的位置关系与数量关系）下研究几何性质；加强逻辑严密的课堂推演与条理清晰试题剖析． （三）欠缺条件思辨，代数方法要选择解析几何就是用代数的方法研究几何问题．那么，对题目所给的几何条件如何代数化（坐标化）很值得研究，我们追求的是既要准确转化，又要简便、减少运算量的转化．【例4】写出与圆221x y +=和圆22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程__________. 【解法一】显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为0x by c ++=，1=化简得221c b =+①，4.=化简得，|34||4|b c c ++=，故344b c c ++=或344b c c ++=-，再结合①解得01b c =⎧⎨=⎩或247257b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或4353b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.(x y +-=填一条即可) 【解法二】设圆221x y +=的圆心(0,0)O ，半径为11r =， 圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径24r =， 则12||5OC r r ==+，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然10x +=符合题意； 又由方程22(3)(4)16x y -+-=和221x y +=相减可得方程3450x y +-=，即为过两圆公共切点的切线方程；又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为430x y -=，直线OC 与直线10x +=的交点为4(1,)3--，设过该点的直线为4(1)3y k x +=+1=，解得724k =，从而该切线的方程为724250x y --=； 所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.(x y +-=填一条即可)【评析】本题是一道开放题，代数法设切线方程通过解方程组能解决问题，也可以利用几何特征快速写出公切线10x +=，发现题中两圆的位置关系是快速破题的关键．本题若改为写出所有公切线方程学生失分率将更高，两种方法计算量也相差无几，代数法中方程组的求解是学生的失分点，其中直线方程的设法涉及简便、减少运算量，几何法通过先求直线OC 与直线10x +=的交点，再求过该点且与圆221x y +=相切的直线即可得到公切线724250x y --=也是利用几何特征简便、减少运算量.【例5】已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴y 轴分别相交于M ，N 两点，且||||MA NB =，||MN =l 的方程为__________.【解析】取AB 的中点为E ，因为||||MA NB =，所以||||ME NE =，设11(,)A x y ，22(,)B x y 可得1212121212y y y y x x x x +-⨯=-+-，即1.2OE AB k k =-⋅ 设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，则(0,)M m ，(,0)mN k-， 所以(,)22m m E k -，所以212m k k m k⨯=-=--，k =又||MN =22212m m +=，故2m =，所以直线:22AB y x =-+，即0.x -= 【评析】本题考查椭圆的中点弦问题，属于偏难题.条件 ||||MA NB = 的转化应用是解本题快速与否的关键，取AB 的中点为E ，将中点E 纵横坐标比转化为中点与原点连线的斜率，利用点差法及点坐标就能快速找到一个,k m 的关系式.学生若能依题构图，结合图形联想第三定义推论，就能将条件 ||||MA NB = 转化为简洁的代数形式，从而达到解决问题的目的.【建议】复习教学中重视引导学生依题构图，结合圆锥曲线的性质从题意与图形中抽象出关键的几何特征，并以简洁的代数形式加以呈现，从而转化为待求目标关系式进行变形演算．（四）缺乏算法算理，运算求解须考究解析几何问题常常都有计算量大的特点，如何进行有效运算、简便运算，寻找化简方向是我们必须重视的环节，包括如何设元、如何设方程，回归定义，以简驭繁；设而不求，整体运算；充分运用图形几何性质，简化计算；利用根与系数关系化繁为简；选用方程适当形式，减少运算量等，这些方法一定要结合具体问题进行训练.【例6】已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥．若||6FQ =，则C 的准线方程为 ．【解法一】解直角三角形法：如图，依题意得,2p P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭且OPF PQF ∠=∠，所以tan tan OPF PQF ∠=∠，所以2,6pOF PF p PF FQ p =∴=，解得3p =，所以C 的准线方程为32x =-.【解法二】射影定理应用法依题意得,2p P p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2,PF OF FQ =⋅262p p ∴=⨯，解得3p =或0p =（舍去），所以C 的准线方程为32x =-.【解法三】由题意，不妨设P 在第一象限，则(2p P ，)p ，所以直线OP 的斜率22OP pk p ==，因为PQ OP ⊥，所以12PQ k =-，所以PQ 的方程为1()22p y p x -=--，即524px y =-+.令0y =时，52p x =，因为||6FQ =，所以5622p p -=，解得3p =，所以C 的准线方程为32x =-． 【解法四】由题意，不妨设P 在第一象限，则(2p P ，)p ，(6,0)2pQ +，所以(6,)PQ p =-， 因为PQ OP ⊥，所以0PQ OP ⋅=，所以602pPQ p p =⨯-⨯=，所以()30p p -=，因为0p >，所以3p =，所以C 的准线方程为32x =-．【评析】破解本题的关键是对PQ OP ⊥进行转化，可以从解直角三角形的角度，也可以从斜率角度，还可以从向量的角度，甚至可以利用射影定理的角度去进行转化，显见不同的思路其解题的长度不一样.因此，需强化的解题训练形成套路化、模式化，就能根据问题特点灵活处理.【例7】在平面直角坐标系xOy中，已知点1(F，2F ，12||||2MF MF -=，点M 的轨迹为C ．（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【解析】（1）因为12122MF MF F F -=<=C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥. （2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >．由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 所以，()()()()22122121121122112111111222416t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+=⎪-⎝⎭， 设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116tk TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=． 因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0．【评析】TA TB ⋅与TP TQ ⋅从弦长公式到韦达定理代入化简是破解本题的关键，从设直线方程到联立消元再到弦长公式的应用，有明晰的解题方向，形成套路化、模式化的解题训练有助于学生根据问题特点灵活处理.【建议】课堂教学时不能只是谈思路方法，应合理利用几何特征设参，分析算式结构，合理消参、降次，通过课堂师生共同演算的体验，增加实践经验，进行算法算理的指导．在涉及求有关过一点的两条斜率不同的直线的交点坐标或弦长问题时，往往只需计算其中的一类交点坐标或弦长，另一类只需等价代换的结果中的参数即可．（五）只求题型模仿，解析思想欠领悟高中解析几何既是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学方法，其核心是“数形结合”的思想方法.由于解析几何内容的综合性，在解决问题的过程中，充满着探究性、创新性，对能力有较高的要求.解题中必然要用到思想方法引领，如函数与方程、特殊与一般、分类与整合的思想，以及待定系数法、换元法等等.【例8】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，点．若，则________．【解析】设弦AB 的中点为P ,综合题目的几何特征，直观猜测，PM 平行于x 轴，故由点差法可得124=2k y y =+，快速地给出答案为2． 【评析】本题是典型的直线与抛物线的位置关系问题，常规的解法是设方程、联立方程、用韦达定理求解套路，这势必费力费时且会算错．由于问题的特殊性，焦点弦张角为直角，借助数形结合，动中求不变解析思考，斜率为k 的平行弦的不变性，以及焦点弦张角的不变性，就能抓住问题的本质，既解决了问题，又提升了对抛物线的认识．【例9】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=(a >1)左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 方程；(2)证明：直线CD 过定点．【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，∴(),1AG a =，(),1GB a =-， ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =，∴椭圆方程为：2219x y +=.()11M -，24C y x =：C k C A B 90AMB =︒∠k =的的（2）证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+，将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+， 所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭． 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， ∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭， 整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭，故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭. 【评析】解决本题的关键是借助数形结合，由椭圆的对称性可知定点应在x 轴上，明晰计算化简的方向．【建议】教学中要让学生意识到变化是理解解析几何问题的切入点，不变是解决解析几何问题的落脚点，对于它的探究过程主要集中在数学观察、联想、类比、猜测、抽象、概括等思维过程．解决解几具体问题时常常需要用到“数形结合”的思想方法.在解决问题的过程中，针对具体问题具体分析，跳出套路，数形结合找到解题方向.二、解决问题的思考与对策（一）回归基础，揭示本质，返璞归真解析几何思想的数学结构是由核心概念、基本方法、数学原理3个层次构成.核心概念是曲线与方程，基本方法是几何问题代数化和代数问题几何化，数学原理是映射原理(或化归原则)，其中几何问题代数化的途径是坐标法，是笛卡尔“方法论”的观念表现．【例10】若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，_____．【解析】正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图直角坐标系， 设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan 2θ=，由正方形性质可知，直线OA 的倾斜角为45θ-︒，直线OB 的倾斜角为45θ+︒，故()tan tan 45211tan 451tan tan 45123OA k θθθ-︒-=-︒===+︒+，()tan tan 4521tan 4531tan tan 4512OB k θθθ+︒+=+︒===--︒-.故答案为：13；3-.【评析】本题以简单的多空形式呈现，以正方形、直线与直线的位置关系为载体，考查坐标法的基本 应用.考点虽然稍冷，却有着浓浓的解析味.解决问题的关键在于，合理建立坐标系，恰当地表征几何对象，如倾斜角的引进，以及与斜率的互化，体现了基础性、综合性和应用性.【例11】已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A. 若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B. 若m =n >0，则CC. 若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线 【解析】ACD【评析】曲线方程的特征及区别是求解的关键，是解析几何的基本工具，一定要熟知．【例12】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =【解析】（1）由题意，椭圆半焦距c =3c e a ==，所以a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213xy +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>， 当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y --=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以1212,324x x x x +=⋅=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx t kt =+<即0kx y t -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得1=，所以221t k =+，联立2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x ktx t +++-=， 所以2121222633,1313kt t x x x x k k-+=-⋅=++，所以MN ==213k=+= 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x=y x =-，所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N，F 三点共线的充要条件是||MN =【评析】问题归结——利用椭圆焦距的定义和椭圆离心率的定义；策略突破——利用椭圆焦距的定义和椭圆离心率的定义，构建方程，转化为求2,2a c 的值或齐次方程，从而求椭圆的方程．【建议】教学中要回归基础，即是回到知识的联系、回到思想方法、回到定义和基本性质中去．对于圆锥曲线而言，即是回到定义、方程、性质去，也是解决问题的认知基础．归纳：1．定义是事物本质属性的概括和反映，圆锥曲线许多性质都是由定义派生出来的．对某些圆锥曲线问题，采用“回归定义”的策略，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则往往能获得题目所固有的本质属性，达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的．2．求圆锥曲线方程常用的方法有直接法、定义法、待定系数法、参数法等．用待定系数法求圆锥曲线的标准方程时，要“先定型，后计算”．所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定椭圆、双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，抛物线的焦点是在x 轴的正半轴、负半轴，还是y 轴的正半轴、负半轴，从而设出相应的标准方程的形式；“计算”就是指运用方程思想、利用待定系数法求出方程中的a 2、b 2、p 的值（基本量法），最后代入椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．3．求椭圆或双曲线的离心率时，应该寻求三角形中的边角之间的关系，从而建立a 、c 的齐次方程（求值）或者齐次不等式（求范围）．4.证明充要条件的问题，不要只证明充分性，或只证明必要性，需注意：既要证明其充分性，又要证明其必要性.（二）弄清几何问题，选择代数方法，合理转化解析几何就是用代数方法来研究几何问题，即：几何问题→代数问题→代数结论→几何结论．所以，它的两大任务是：（1）把几何问题转化为代数问题，（2）研究代数问题，得出代数结论．【例13】设椭圆:C 2212+=x y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1) 当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2) 设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【解析】(1)由已知得(1,0)F ，l 的方程为1x =．由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-．所以AM 的方程为2y x =-+2y x = （2）本题目标要研究的几何对象为角，这需要在图形中挖掘这两个角的几何特征或这个角的等价几何关系．特例情况当l 与x 轴重合时．①0OMA OMB ∠=∠=︒；②当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，将OMA OMB ∠=∠代数化，即角相等的证明可以有两个思路，即从 数量关系或几何关系来思考．为此，不妨设1221(,),(,)A y x y x B ．思路1：从图形中直线的倾斜角直接切入，由位置特征，可以将问题转化为0MA MB k k +=； 思路2：从数量关系角度看，通过向量运算去获取，淡化几何特征，直接采取坐标运算，即证；思路3：从几何角度看，问题可以转化为运用角平分线定理，现坐标化，即证11AF y AM BFy BM==；思路4:从几何角度看，在坐标几何中，构造直角三角形相似来证． 思路5：从几何角度看，视为角平分线，用点到两边的距离进行代数化． 思路6：角平分线具有对称性，故可证明点A 关于x 轴的对称点在直线BM 上． 这么多的思路，如何代数化，要不要求坐标？程序化（算术化）：即设直线方程，遵循不断求出的思路进行运算，求出点A ，B 坐标，后再计算； 结构化（关系化）：即设直线方程，找出A ，B 坐标关系（这里的策略就是通常所说的“设而不求”， 再对要证的结构关系进行推演．事实上，程序化和结构化的代数思维没有特别的优劣，它都是代数思维的重要特征，它是一个不断螺旋上升的过程，只是大家目前都喜欢用结构化的思维，忽视程序化的思维，这是不对的，对结构化思维的形成与培养也不利．另外，即便用结构化思维进行推演，在设方程上也有此许的差别，如设l 的方程为(1)y k x =-或设x my t =+，还是有讲究的．【评析】解析法的过程，充满着概念与思辩，需要大家细细品味！绝不是机械模仿能达到的． 【建议】课堂中怎样将几何问题转化为代数问题？（1）要主动去理解几何对象的本质特征；（2）善于将几何条件、几何性质用代数的形式表达出来；（3）恰当选择代数化的形式，这点是关键：一要研究具体的几何对象具有什么样的几何特征（如果几何特征不清楚，就不可能准确将其代数化），这就要在审题上下功夫；二是选择最简洁的代数形式（方便后续的代数研究），这需要大局观；（4）注意等价转化．（三）增强几何意识，配合解析工具，巧妙转化解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，结合平面几何知识，这往往能减少计算量．数学试题中很多图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解．【例14】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则PQ 的取值范围为．分析：问题归结——定直线上的动点与圆上一点距离问题；策略突破——首先要明确目标PQ 垂径定理，在等腰PCQ △与Rt PCB △中，PC 形，问题溯源，选定较为直观的几何变量AC ，构建PQ 式：2PQ PB PCA ==∠==围，计算求解，又3AC ≥，所以21109AC <≤，因此PQ 的取值范围为． 【建议】直线与圆的三种位置关系：相切，相交，相离．解决直线与圆的问题时，一方面，要运用解析几何的一般方法，即代数化方法，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系非常紧密，因此，准确地作出图形，挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．提高学生等价转化的能力——实现复杂问题简单化，陌生问题熟悉化．例如：①没有图形，不妨画个图形，以便直观思考；②“设—列—验”是求轨迹的通法；③消元转化为一元二次函数（方程），判别式，韦达定理，中点，弦长公式等要把握好；④多感悟“设—列—解”，“设”：设什么？坐标、方程、角、斜率、截距?“列”：列的前提是找等量关系，“解”：解就是转化、化简、变形，向目标靠拢；⑤紧扣题意，联系图形，数形结合；⑥一旦与自己熟悉的问题接轨立即入位．【例15】如图所示，过点（1，0）的直线与抛物线2y x =交于A 、B 线OA 和OB 分别和圆22(2)4x y -+=交于D 、E 两点，若OABODES S λ∆∆=，则λ等于A ．12B ．13C ．14D ．15【解析】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由2,(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得222(21)0k x k x k -++=，即121x x ⋅=．又11222,y x ⎪⎨=⎪⎩所以12120x x y y ⋅+⋅=，即OA OB ⊥．设直线OA ：1y k x =，直线OB ：2y k x =，则121k k ⋅=-．由21,y x y k x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得21111(,)A k k ，同理22211(,)B k k ．由221(2)4,x y y k x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩得1221144(,)11k D k k ++，同理2222244(,)11k E k k ++． 所以OA =OB =OD =，OE ． x所以221122*********(1)(1)2(1)(1)12116161642OAB ODEk k OA OBS k k k k S OD OE ∆∆++++++====≥．【建议】1．解析几何研究的对象是几何图形，善用巧用几何图形的特征，把几何特征转化为代数表示，从而缩短思维链条，简化运算过程；2．在几何图形中，利用解三角形和三角形相似等知识，转化为边角之间的关系解决解析几何问题．其中，解三角形的画图用图，体现数形结合的思想；利用角或边的关系消角（边），体现了消元的思想；用正弦、余弦定理列方程组求三角函数值，体现了方程思想．（四）重视平面解析几何中代数方法的思维训练代数的思维特征，可以概括为程序化：即有点类似于解应用题的算术思维，遵循不断求出的计算，即便引进参数，也当成假设已知，参与运算；构造性的：即有点类似于解应用题的方程思维，注重寻找关系，“设而不求”，推演求解．复习教学中，要通过恰当的事例，训练学生的代数思维，这使得解析几何的代数方法不是一招一式的技巧，而是有着行动指南的思维模式.【例16】已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4.（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．【解析】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，42p FM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =. （2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=，同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=.由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=，所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=. 由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB===点P到直线AB的距离为d=，所以，()3220011422PABS AB d x y=⋅==-△，()()2222000000041441215621x y y y y y y-=-+-=---=-++，由已知可得53y-≤≤-，所以，当5y=-时，PAB△的面积取最大值321202⨯=．【评析】运算繁杂是解析几何最突出的特点．首先，解题中要指导学生克服只重视思路、轻视动手运算的缺点．运算能力差是学生普遍存在的问题，不仅在解析几何问题中要加强训练，在其它板块中也要加强训练，只有把提高学生的运算能力贯彻于教学的过程之中，才能收到较好的效果．其次，要培养学生运算的求简意识，充分发挥圆锥曲线的定义和利用平面几何知识化难为易、化繁为简的作用．【例17】过抛物线24y x=的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为1A，1B两点，以线段1A1B为直径的圆C过点(2,3)-，则圆C的方程为A．22(1)(2)2x y++-=B．22(1)(1)5x y++-=C．22(1)(1)17x y+++=D．22(1)(2)26x y+++=分析一：问题归结——确定圆的方程的基本要素：过焦点的直线AB的方程及与抛物线的交点坐标()()1122,,,A x yB x y；策略突破——圆的两个关键量的代数形式：圆心和半径，确定参变量，引入关联变量——斜率的倒数t，可设直线AB：1x ty=+；；求解过程分析：联立方程组21,4,x tyy x=+⎧⎨=⎩消元得到2440y ty--=；由韦达定理得12124,4y y t y y+==-，则()1,2C t-，直径()()2221112161A B y y t=-=+；求半径()2212-3MC t=+，由22114A B MC=得方程()()()22161412-3t t+=+，则1=2t.回归圆：圆心(1,1)C-，半径的平方25MC=，答案选B．。
高中数学试卷分析失分原因和改进措施4篇
高中数学试卷分析失分原因和改进措施4篇高中数学试卷分析失分原因和改进措施1一．失分主要原因剖析考试失误的原因归纳起来，主要有四个方面：（1）对基础知识的记忆不够清晰和准确，不扎实。
（2）基本技能不够熟练解题缺乏思路，基本解题方法掌握和运用不熟练。
做选择题耗时长而准确率低。
做计算题该得的分得不了，造成无谓失分。
（3）解题不规范，推理不严谨,以偏概全，把特例当一般，忽视题中的隐含条件,这必将会增加失误。
（4）考试一味追求速度，审题马虎，书写潦草，看错写错，丢三落四，求胜心切，操之过急。
二．对策（1）“三基”掌握方面①学生掌握知识不是靠老师把知识塞进头脑中，要靠学生积极主动地学，要把知识的来龙去脉搞清楚才能理解透彻.重视反思和回顾，通过练习加深记忆，加强理解，从而达到灵活运用之目的。
②及时复习巩固，注意新旧知识的联系，提炼方法，总结规律，从而提高学习效率。
（2）学习方法方面智力固然是重要的，但在智力一定的条件下不会自己思考是致命的弱点，多数人在自习课上只是忙于做题，丢掉了复习中一个重要的学习环节——对所做题目进行理性思考，自己不能总结解题规律和技巧，不能优化解题方法，不能系统地掌握所学内容。
掌握学习方法要做到以下几点：1勤于动脑，课堂上认真听老师的分析，领悟其中的道理，形成自己的观点。
2自习课上要做到三思：一思知识提取是否熟练。
题目涉及到哪些知识点，涉及到哪些解题规律、技巧，在脑海中做到快速检索，直至能够熟练提取运用自如。
二思典型习题。
从条件变换到多解优解、概括思路、异题迁移等多个方面进行主体化思考，建立解题模型。
三思存在的弱点。
对出现的错题纠错析因，查析知识和技巧漏洞，整理错题档案，经常翻阅，以防再错。
（3）应试心理方面正确对待学习与考试的关系。
我们学习的目的不是为了考试，是为了掌握知识提高能力，考试是检验你学习的知识扎实与否，能力提高了多少，一旦发现错误、缺点，立即找出问题症结，有利于以后的学习。
小学数学易错易失分的26个知识点
小学数学易错易失分的26个知识点小学数学中有很多易错易失分的知识点，以下是26个常见的知识点及其容易出错的地方：1.数字的认识：容易混淆数字的大小和位置，如将十位和个位数字颠倒；2.加法和减法：容易出错的地方是进位和借位的处理，尤其是多位数的加减法；3.乘法和除法：容易出错的地方是乘法口诀和除法运算规则的记忆，以及对不规则除法的处理；4.数量比较：常常混淆大于、小于和等于的概念，需要注意符号的位置；5.分数的认识：分子和分母的理解容易混淆，如将分子理解为总数，导致计算错误；6.分数的加减：容易出错的地方是分母不同的分数的加减运算，需要找到通分的方法；7.倍数和约数：容易混淆倍数和约数的概念，导致计算错误；8.分配律和结合律：在多个数的加减乘除中容易迷失顺序，导致结果错误；9.单位换算：容易在不同单位之间转换时出错，尤其是涉及到倍数和进制转换的情况；10.平面图形的认识：容易混淆正方形、矩形、圆和三角形等基本图形，导致计算错误；11.周长和面积：容易忘记周长和面积的公式，导致计算错误；12.十进制和分数的转换：容易在十进制和分数之间转换时出错，尤其是小数和分数之间的转换；13.时钟和日历的认识：容易混淆24小时制和12小时制，以及年、月、日的概念；14.数据图表的理解：容易在柱状图、折线图和饼图中读取和比较数据时出错；15.位置与方向：容易迷失方向和位置的概念，导致问题的理解错误；16.长度、容量和质量的单位换算：容易在不同单位之间转换时出错，尤其是涉及到倍数和进制转换的情况；17.连续数的加减：容易在连续数的加减运算中迷失顺序，导致结果错误；18.分解因数和最大公约数：容易在分解因数和求最大公约数时出错，需要掌握奇偶性和素数的基本概念；19.分数的比较：容易在比较不同分数大小时出错，需要通分并比较分子；20.成倍背数：容易在成倍背数的问题中理解错误，导致计算结果错误；21.百分数和整数的转换：容易在百分数和整数之间转换时出错，尤其是百分数的换算和计算；22.简单方程的理解和计算：容易在解方程时迷失顺序和方法，导致结果错误；23.几何图形的投影：容易在图形的投影中迷失方向和理解深度，导致结果错误；24.大数的加减和乘法：容易在大数的加减和乘法运算中迷失进位和借位的处理方法，导致结果错误；25.阶乘和质因数分解：容易在求阶乘和质因数分解时忘记规则和方法，导致计算错误；26.图形的对称和旋转：容易在判断图形的对称性和旋转时出错，需要理解对称轴和旋转角度的概念。
高考数学失分点原因分析及应对策略
高考数学失分点原因分析及应对策略1.答题“跳步”。
一些学生数学估分比实际得分高，多是由于答题时省略了必要的步骤，导致得分不全。
还有一些学生在考试时使用了不能直接应用的公式，也会造成失分。
建议：解题时证明过程要书写规范，必要的步骤一定不能省略。
2.做选择题、填空题粗心。
数学选择题、填空题中都有基础题，但往往基础题失分比较严重，主要是做题时认为简单而不认真。
建议：学生做选择题要讲究技巧，可用排除法、特值法、逻辑分析法解答。
3.数学符号书写不规范。
有些考生不注意数学符号的表示，有些考生图表画得不清晰，有些考生自己乱造数学符号。
建议：严格按照课本上的写法，千万不要自创各种数学符号！4.计算出错。
很多解答题都是多步计算，中间步骤的计算出错会直接导致后续解答相应出错，造成严重丢分。
一句话：不是不会做，而是计算错！”建议：计算时认真细心。
5.答题不规范。
把一堆数学式子和数学符号写在试卷上。
此外，给出的结果不规范也易失分。
比如答案是一个计算出来的具体数字，但考生只是给出了中间一步还没有算完的式子等等。
建议：答题时把解答的思维过程展示给评卷老师即可。
6.答非所选。
填空题同样是“无谓失分”较多的。
一些考生做填空题时答非所选，即答题卡所选择的题目与实际做的题目不一致，但评卷时是根据所选题目进行评判的，当然不给分。
数学：别再抠难题，回归基础面对数学这个难啃的硬骨头：一、要有一个良好的心态。
二、继续完善知识体系。
更多地是做题、做模拟题。
对于做错的题，要分析这些题考察了哪些知识，对于这类题型是否已经掌握，并将其完善到自己的知识体系中。
三、逐渐回归到基础知识、基础技能的练习上。
四、细节是提分的考前有效手段之一。
一定要从细节入手，比如说表达形式：集合、定义域、值域、单调区间；比如范围中的端点值；直线与圆锥曲线位置关系的直线斜率存在与否的计算等。
五、要有计划地将错题再做一遍，想一下当时做错的原因。
如果继续出错，做好标记，过段时间再做，直到做对为止。
初中数学考试答题技巧及数学学习方法
初中数学考试答题技巧及数学学习方法一、整卷答题技巧1.按照“三先三后”的顺序作答：(1)先易后难，通常是按照从前往后的顺序做，先做容易题，后做复杂题；(2)先熟后生，即先做那些内容已经熟练掌握，题型结构又比较熟悉的题目，后做生疏题；(3)先高分后低分，特别是在考试的后半段，要特别注意时间效益，如果都能解决的问题，先解决分值较高的再解决分值比较低的。
2.合理分配答题时间，最好能预留一定的时间来检查；下表是合理分配答题时间的一些建议（仅供参考）：3.审题奥义，这三种情况都要审：(1)解题前要仔细审题（这是做题的条件）；(2)解题过程中碰到困难时要审题（看看有哪些条件未用，哪些条件背后隐含着条件等）；(3)解题结束时要审题，防止出现答非所问的现象；4.做标记：在做题中学会做标记，将不确定答案的题号标记出来（用铅笔或在草稿纸上标出来），到检查时着重检查，不在已经确定的题目中浪费时间；5.检查时，应注意以下几点：(1)查整份试卷中有没有漏做的题目，尤其是一题多问的题目，或文字与图表均有的题目；(2)查填空题或解答题是否漏写单位，解答题是否漏答，多解题是否漏解；(3)查计算时是否按照给出的参考数据进行计算，结果是否按题目要求取近似数等；(4)最后重点检查标记出来的不确定或者是不会做的题目，可以变换思维，转换角度，多层面、多方法挖掘已知条件与隐含条件间的内在联系，争取有全新的认识并计算出正确答案。
二、选择、填空题的答题技巧解答选择、填空题时要熟练、准确、灵活、快速，要“多想一点、少算一点”，尽量减少计算过程，要“小题小做”，不要“小题大做”。
解答选填题可参考以下的答题方法：(2)三大函数的图象与性质可选用数形结合法；(3)阴影部分面积的计算题可选用转化构造法；(4)概率计算题选用图解法（列表或画树状图）；(5)针对需要空间想象的几何图形操作题，如展开与折叠、平移与旋转等变换的试题，仅凭“大脑”的想象，有时候很难完成一个完整的图象，因此，可以借助于草稿纸按照题目要求进行折叠实践，得出直观的图形，使得问题得以快速解决。
高考数学易失分知识点
高考数学易失分知识点高考数学易失分知识点高考数学易失分知识点1遗忘空集致误由于空集是任何非空集合的真子集，因此B=?时也满足B?A。
解含有参数的集合问题时，要特别注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。
忽视集合元素的三性致误集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
混淆命题的否定与否命题命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论。
充分条件、必要条件颠倒致误对于两个条件A，B，如果A?B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件;如果B?A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件;如果A?B，则A，B互为充分必要条件。
解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断。
“或”“且”“非”理解不准致误命题p∨q真?p真或q真，命题p∨q假?p假且q假(概括为一真即真);命题p∧q真?p真且q真，命题p∧q假?p假或q假(概括为一假即假);绨p真?p假，绨p假?p真(概括为一真一假)。
求参数取值范围的题目，也可以把“或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”对应起来进行理解，通过集合的运算求解。
函数的单调区间理解不准致误在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法。
对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。
判断函数奇偶性忽略定义域致误判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数。
函数零点定理使用不当致误如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，但f(a)f(b)0时，不能否定函数y=f(x)在(a，b)内有零点。
小学数学易错易失分的26个知识点总结(附例题+答案)
小学数学易错易失分的26个知识点总结（附例题+答案）1、列式计算时，一定要注意除和除以的区别：a除以b或a被b除列式为：a÷b，a除b，或用a去除b，列式为：b÷a2、边长为4cm的正方形，半径为2cm的圆，它们的面积与周长并不相等，因为单位不同，无法比较！应该表述为：“边长为4cm的正方形的周长与面积的数值相等”。
3、半圆的周长和圆的周长的一半有区别。
4、压路机滚动一周前进多少米？是求它的周长。
压路机滚动一周压路的面积，就是求滚筒的侧面积。
5、无盖的水桶，水池，金鱼缸，水槽等求表面积时一定要减少一个底面积。
6、大数比小数大几分之几的方法：（大数—小数）÷单位“1”的量。
7、两根同样长的绳子，一根剪去1/2米另一根剪去1/2，剩下的长度无法比较；8、0.52÷0.17商是3，余数不是1而是0.019、求××率或百分之几的列式中，最后必须“×100﹪”.10、在求总人数、总只数、总棵树……的应用题时，结果不可能是分数和小数11、改写一个准确数，不要求“四舍五入”取近似值时，一定要把“万”或“亿”后面的数写到小数部分；只有大约或省略“万”或“亿”位后面的尾数时，才用“四舍五入”求近似值，末尾一定要写“万”或“亿”12、大数的读法：读几个0的问题【相关例题】10,0070,0008读几个0？【错误答案】其他【正确答案】2个【例题评析】大数的读法是四年级学的一个知识点，尤其是读几个零的问题，容易犯错。
13、近似值问题【相关例题】一个数的近似数是1万，这个数最大是_________【错误答案】9999【正确答案】14999【例题评析】四舍五入得出的近似值，不仅可能是“五入”得来的，还有可能是“四舍”得来的。
14、数大小排序问题：注意题目要求的大小顺序【相关例题】把3.14，π，22/7按照从大往小的顺序排列【错误答案】3.14＜π＜22/7【正确答案】22/7＞π＞3.14【例题评析】题目怎么要求就怎么来，别瞎胡闹。
数学中最易失分知识点归纳总结
数学中最易失分知识点归纳总结数学是一门逻辑严密、概念抽象的学科，学生在学习过程中往往会遇到一些容易失分的知识点。
以下是一些数学学习中常见的易失分知识点的归纳总结：1. 基础概念理解不深入：数学概念是理解问题和解决问题的基础。
例如，对函数、极限、微分、积分等概念的理解不透彻，会导致在解决高阶问题时出现困难。
2. 计算能力不足：数学问题往往需要精确的计算。
学生在进行代数运算、几何计算、三角函数变换等过程中，可能会因为计算错误而失分。
3. 公式记忆不准确：数学中有许多公式需要记忆，如二次方程的求根公式、正弦定理、余弦定理等。
记忆不准确或混淆公式，会直接影响解题效果。
4. 逻辑推理能力不足：数学问题解决过程中需要严密的逻辑推理。
缺乏逻辑推理能力的学生在证明题和解决复杂问题时容易出错。
5. 空间想象能力不足：在解决立体几何问题时，学生需要有较强的空间想象能力。
缺乏这种能力的学生在处理立体图形的体积、表面积等问题时容易出错。
6. 解题方法单一：数学问题往往有多种解法，但学生如果只掌握一种方法，可能会在遇到特定类型的题目时束手无策。
7. 审题不仔细：数学题目的表述往往包含关键信息，不仔细阅读题目，很容易忽略这些信息，导致解题方向错误。
8. 时间管理不当：在考试中，时间管理至关重要。
学生如果不能合理分配时间，可能会在某些题目上花费过多时间，导致其他题目没有足够的时间完成。
9. 忽视基础知识：一些学生在学习数学时，可能会忽视基础知识的学习，而急于解决复杂问题。
没有扎实的基础知识，解决复杂问题时容易出错。
10. 心理因素影响：考试焦虑、紧张等心理因素也会影响学生在数学考试中的表现。
保持冷静、自信的心态对于数学考试同样重要。
为了减少在数学学习中的失分，学生需要加强基础知识的学习，提高计算能力，培养逻辑推理和空间想象能力，同时在练习中注意审题和时间管理。
通过不断的练习和反思，逐步提高数学解题能力。
盘点中考数学失分点以及应对策略
盘点中考数学失分点以及应对策略中考数学失分点集中在以下几个方面：考查简单二次根式的化简求值，函数中自变量取值范畴，易出错。
考查点和圆、直线和圆的位置关系，易将其判定相混，或不审题误把圆直径当半径。
考查简单直角三角形的应用，失分点在于对括号中给出精确度忽略而错选。
视图时，考生由于缺乏空间想象力而易失分。
考查一元二次方程的实际应用，专门是均变速运动有关问题是难点。
以图表形式提供信息考查统计知识，由于信息量及阅读量大，线索多，要求小伙伴们平复、细心审题，否则易失分。
考查几何变换中点的坐标及点或线段在变换中通过的路线，考生容易在三个方面失分，旋转中的旋转方向，坐标与线段转化过程中忽略点所在位置或者是弧长公式、扇形面积公式相混。
考查概率在实际问题中应用，用频率估分概率时考生容易出错。
策略：小伙伴们卷面上一样会显现大量“会而不对”、“对而不全”的现象。
小伙伴们应注意以下三个问题。
解题速度慢，导致后面的解答题没有时刻做，连看题都没有时刻了。
解题速度缓慢缘故确实是不熟练，基础知识不熟练，差不多方法不熟练，这是平常训练不够所致，因此我们经常说回来课本，目的确实是要让考生全面、系统地把握课本中的基础知识和差不多方法，吃透课本中的例题和习题。
运算错误多。
答卷的时候，经常会犯一些低级的错误，这是运算能力的问题，不能简单的说是粗心大意，这方面要加强运算能力的训练，幸免基础性失分。
答题不规范。
一道题做完了，自己以为是对的，事实上大打折扣，要紧是因为答题不规范，丢三落四。
例如解应用题没有作答，求函数解析式没有写出定义域(自变量取值范畴)，乱用数学符号、乱造数学符号等。
观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。
随机观看也是不可少的，是相当有味的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，小孩一边观看，一边提问，爱好专门浓。
我提供的观看对象，注意形象逼真，色彩鲜亮，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观看，保证每个幼儿看得到，看得清。
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数学易失分点分析及应对方法
中考数学失分点集中在以下几个方面：
1、考查简单二次根式的化简求值，函数中自变量取值范围，易出错。
2、考查点和圆、直线和圆的位置关系，易将其判定相混，或不审题误把圆直径当半径。
3、考查简单直角三角形的应用，失分点在于对括号中给出精确度忽略而错选。
视图时，考生由于缺乏空间想象力而易失分。
4、考查一元二次方程的实际应用，特别是均变速运动有关问题是难点。
以图表形式提供信息考查统计知识，由于信息量及阅读量大，线索多，要求学生冷静、细心审题，否则易失分。
5、考查几何变换中点的坐标及点或线段在变换中经过的路线，考生容易在三个方面失分，旋转中的旋转方向，坐标与线段转化过程中忽略点所在位置或者是弧长公式、扇形面积公式相混。
6、考查概率在实际问题中应用，用频率估分概率时考生容易出错。
应对策略：
从历年中考数学试卷可以看出，考生卷面上出现大量“会而不对”、“对而不全”的现象。
考生应注意以下三个问题。
1、解题速度慢，导致后面的解答题没有时间做，连看题都没有时间了。
解题速度缓慢原因就是不熟练，基础知识不熟练，基本方法不熟练，这是平时训练不够所致，所以我们经常说回归课本，目的就
是要让考生全面、系统地掌握课本中的基础知识和基本方法，吃透课本中的例题和习题。
2、运算错误多。
答卷的时候，经常会犯一些低级的错误，这是运算能力的问题，不能简单的说是粗心大意，这方面要加强运算能力的训练，避免基础性失分。
3、答题不规范。
一道题做完了，自己以为是对的，其实大打折扣，主要是因为答题不规范，丢三落四。
例如解应用题没有作答，求函数解析式没有写出定义域（自变量取值范围），乱用数学符号、乱造数学符号等。
因此考生在复习数学的时候，要注意回归教材，认真通读课本，结合考试说明的能力要点，及时查漏补缺，把知识方法系统化，针对调考后训练中出现的错误，失分点，进一步总结错因，杜绝隐患。
调整心态及作息时间，以适应数学中考安排。