809.勾股定理-奥数精讲与测试8年级

例1．如图46，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC边上一点，求证：BD2+DC2=2AD2。

例2．如图47，四边形ABCD

中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=6，

BC=5−3，CD=6，求AD的长。

例3．如图48，在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，求证：BD2=AB2+BC2。

例4．如图49，已知△ABC中，D是BC中点，E为AB上一点，F为AC 上一点，若∠EDF=90°，且BE2+FC2=EF2，求证：∠BAC=90°。例5．如图50，正方形ABCD中，点M为AB的中点，AE=

1

4

AD，点N 是EC的中点，求证：MN=

1

2

EC。

例6．求证：2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1 (n是正整数)是一组勾股数。

例7．证明勾股数组x、y、z必有6︱xy。

A卷

一、填空题

01．高为3的等边三角形的面积为_________。

02．从边长为4的正方形的一个顶点到这个正方形各边中点的距离和是_________。

03．在Rt△ABC的斜边AB上，再作一个Rt△ABD，AB是斜边。若BC=2，AC=a，AD=3，则BD=_________。

04．已知一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另外两边之和为1+3，由此三角形的面积为_________。

05．已知正方形ABCD的边长为4，M为AD的中点，连结CM，过B作BE⊥CM，垂足为E，则BE=_________。

06．已知△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为_________。

07．正方形ABCD内取一点P，使PA=BP=PH=h，且PH⊥CD，正方形的边长为1，则h=_________。

08．如图51，在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB∙PC=_________。

09．如图52，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，且BD=5，CD=3，则AC=_________。10．如图53，△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠BAC=60°，∠DAC=45°，BD=a，则AB=_________。

二、解答题

11．如图54，已知△ABC中AB=AC，DE∥BC，求证：BE2=EC2+BC∙DE。

12．如图55，已知△ABC中，∠BAC=90°，E、D是BC的三等分点。求证：222

5

9

AE AD BC

+=

B卷

一、填空题

01．如图56，已知梯形两底分别为11和25，两腰长分别为15和13，则BD=_________，AC=_________，AG=_________。

02．在Rt△ABC中，∠A=90°，BE和CF为△ABC的中线，则(BE2+CF2) ：BC2=_________。

03．如图57，∠ABC中，AB=AC=20，BC=32，AD⊥AC，AD⊥B C于D，则BD=_________。

04．如图58，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=2

5

∠B，则BC=_________。

05．如图59，已知∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，则BC=_________，AD=_________。

06．如图60，已知△ABC中，BC=28，AC=25，AB=17，则S△ABC=_________。07．△ABC周长是24，M是AB中点，MC=MA=5，则S△ABC=_________。

08．如图61，P为正方形ABCD内一点，PA=PB=10，且P点到CD边的距离也等于10，则S正方形ABCD=_________。

09．如图62，已知∠XOY=60°，M是∠XOY内的一点，它到OX的距离MA=2，到OY的距离MB=11，则OM=_________。10．如图63，在△AB C中，∠C=90°。若三角形内有一点O，使得△AOB、△OAC和△OB C的面积相等，则(OA2+OB2) ：OC2=_________。

二、解答题

11．在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=60°，D点在AC延长线上，且AB=6CD，求∠DBC的度数。

12．如图64，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，P、Q在斜边AB上，且∠PCQ=45°，求证：PQ2=AP2+BQ2。

C卷

解答题

01．如图65，△ABC中，AB=AC=2，BC边上有10个不同的

点P1、P2、…、P10。记M i=AP i2+P i B∙P i C(i=1、2、…、10)，求M1+ M2+⋯+M10的值。

02．已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，求这个三角形三边的长。

03．已知Rt△ABC中，M是斜边BC的中点，D、E分别在AB、AC上，且DM⊥ME，BD=3，CE=4，求线段DE长。

04．如图66，△ABC三边长分别是BC=17，CA=18，AB=19，过△ABC 内点P向△ABC三边作垂线PD、PE、PF，且BD+CE+AF=27，求BD+BF 的值。

05．如图67，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC。

06．如图68，点P是正方形ABCD内一点。若PA=a，

PB=2a，PC=3a(a＞0)，求∠APB。07．如图69，已知O是矩形ABCD内一点，且OA=1，OB=3，OC=4。求OD。

08．如图70，在等腰直角三角形ABC 中，∠A=90°，P 是△ABC内一点，PA=1，PB=3，PC=7，求∠CPA。

09．如图71，已知等边三角形ABC内一点P，PA=3，PC=4，PB=5。求△ABC的边长。

10．如图72，四边形ABCD是直角梯形，且AB=BC=2AD，PA=1，PB=2，PC=3，求S梯形ABCD。