随机过程的基本知识
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是连续型，称该过程为连续型随机过程。 • 例：热噪声电压X(t)服从(a,b)上均匀分布 • 2、离散型 当X(t)是离散型，如排队问题
是离散型随机过程，t时刻通过的人数X(t)只 能取可数个值。据研究，X(t)服从泊松分布。
随机过程的意义
• 孤立地研究一个随机变量有时不能满足生 活需要。或者说人们对单个随机变量掌握 的信息不够多，需要将所有相关的历史信 息联系在一起考虑。
• (X(3),X(1/2))也有相应的分布函数 • 二维分布函数可以有无穷多个
• 一个随机过程完全取决于它的有限维分布.
例1：设随机过程X(t)=A+Bt, t>=0. 其中A,B是相互 独立的随机变量，都服从正态分布N(0,1)，求X(t)的 一维和二维分布。
• 解：1、一维分布 固定t, X(t)=A+Bt 是正 态随机变量的线性组合，应服从N( , )
F
(
x;
4
)
(2)二维分布函数
F
(
x1
,
x2
;0,
3
)
解：这是一维分布，即 X ( )的分布,因为X ( / 4) Acos( / 4) 2 A
4
2
X
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)所有可能的取值为
2 1， 2 2， 2 3
4
22
2
P{X ( ) 2} P{A 1} 1/ 3
42 P{X ( ) 2 2} P{A 2} 1/ 3
第一节 随机过程的概念和记号
• 第一节 随机过程的概念和记号
• 随机过程研究的是随时间变化的随机现象
• 例1：(随机游动)研究一醉汉醉酒后的行走路线， t时刻他所在的位置记作(X(t),Y(t)),
• 则{(X(t),Y(t)),t>0}为一个(二维)随机过程。
• 特点1：每一时刻t，这个位置是不确定的，有 随机性，是随机变量。
• 特点1：在时刻t通过柜台的人数是不确定的， 固定t,X(t)是随机变量。
• 特点2：通过柜台的人数X(t)随时间的增加 在变化（增加）。
随机过程的定义
• 随时间t变化的一族随机变量{X(t),t属于T}称 作随机过程。
• t称作时间参数。T称作时间参数集。 • 具体的一次实现称作一条样本曲线。 • t固定, X(t)是随机变量。
• 如股票的价格，人们需要了解过去的价格 分布，以帮助我们预测未来。
• 热噪声电压是随机的，从其历史分布状况 能够有助于检测它、避开它。
第二节 随机过程的统计描述
• (一)随机过程的分布函数族 • 对于固定的t,X(t)是一个随机变量，考虑X(t)的分布
函数(一维分布)，还可以考虑(X(t1),X(t2))的联合分 布函数(二维分布)… • 定义：
二维正态分布取决于E(X(t1)),E(X(t2)),以及协 方差矩阵
显然E( X (t1)) 0, E( X (t2 )) 0, Cov( X (t1), X (t2 )) E( X (t1) X (t2 )) E( X (t1))E( X (t2 )) E{(A Bt1)(A Bt2 )} E( A Bt1)E( A Bt2 ) E{A2 AB(t1 t2 ) B2t1t2} (E( A) t1E(B))(E( A) t2E(B)) E( A2 ) (t1 t2 )E( A)E(B) t1t2E(B2 ) 0 E( A2 ) t1t2E(B2 ) 1 t1t2
• 特点2：整个过程随时间t在不断变化。
例2：信号干扰
• 电子元器件由于内部微粒子随机热骚动引起的端电压称为 热噪声电压。记t时刻的热噪声电压为X(t).则{X(t),t>0}是一 个随机过程。
V(t)
V(t)
V(t)
t
t
t
• 特点1：每时刻t, 热噪声电压X(t)的取值是随机的， X(t)是随机变量
• 特点2：随时间t的变化，X(t)在延续变化。
例3：股票的价格
• 记t时刻股票的价格为Y(t),则{Y(t),t>0}是一个随机 过程。
•图
• 特点1：给定时刻t，股票价格Y(t)不可预测，可以 认为是随机变量。
• 特点2：股票价格Y(t)随时间t的变化在不断变化。
例4 排队问题
• 记X(t)表示[0,t)小时内通过柜台的人数，则 {X(t),t>0}是一个随机过程。
• E(X(t))=E(A+Bt)=E(A)+tE(B)=0+tx0=0
• D(X(t))=D(A+Bt)=D(A)+D(tB)=1+t^2x1
• 所以X(t)服从N(0,1+t^2)分布
• 2、二维分布 对于任意t1,t2,考虑 (X(t1),X(t2))是正态随机变量的组合构成， 应该服从二维正态分布
随机过程的分类
• 按时间参数集进行划分: • 随机序列：时间参数集T为可数集，则称
{X(t),t属于T}为时间序列。 • 例:股票价格X(t)的时间参数集按日、周计算, • 可以认为是时间序列。 • 连续时间过程：时间参数集T为连续统，则
称过程为连续时间过程。 • 例：热噪声电压
随机过程的分类
• 按随机变量的类型划分： • 1、连续型随机过程 • 若{X(t),t属于T}在t=t0时所取随机变量X(t0)
42
P{X ( ) 2 3} P{A 3} 1/ 3 42
0
1
F
(
x;
4
)
3 2
3
1
x 2 2
2 x 2 2 2x3 2
2 x3 2
2
(2)求F
(
x1
,
x2
;0,
3
)
X (0)
A c os (0)
A,
对于任意的正整数n, 任意的实数t1, t2 ,...,tn属于T
定义
F(x1, x2,...,xn;t1,t2,...,tn ) P{X (t1) x1, X (t2 ) x2,...,X (tn ) xn}
• 称作随机过程{X(t),t属于T}的一个n维分布函数。
n维分布函数的意义
• (X(1),X(2))是二维随机变量，它的分布函数 就是一个二维分布函数
所以
C 11tt11t22
1 t1t2
1
t
2 2
故( X (t1), X (t2 ))服从以(0,0) 为均值向量，C为协方差矩阵 的二维正态分布
例2：设随机过程X(t)=A cos(t), t实数，其中A是随
机变量，其分布律为：P{A=1}=P{A=2}=P{A=3}=1/3
求(1)X(t)的一维分布函数
是离散型随机过程，t时刻通过的人数X(t)只 能取可数个值。据研究，X(t)服从泊松分布。
随机过程的意义
• 孤立地研究一个随机变量有时不能满足生 活需要。或者说人们对单个随机变量掌握 的信息不够多，需要将所有相关的历史信 息联系在一起考虑。
• (X(3),X(1/2))也有相应的分布函数 • 二维分布函数可以有无穷多个
• 一个随机过程完全取决于它的有限维分布.
例1：设随机过程X(t)=A+Bt, t>=0. 其中A,B是相互 独立的随机变量，都服从正态分布N(0,1)，求X(t)的 一维和二维分布。
• 解：1、一维分布 固定t, X(t)=A+Bt 是正 态随机变量的线性组合，应服从N( , )
F
(
x;
4
)
(2)二维分布函数
F
(
x1
,
x2
;0,
3
)
解：这是一维分布，即 X ( )的分布,因为X ( / 4) Acos( / 4) 2 A
4
2
X
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)所有可能的取值为
2 1， 2 2， 2 3
4
22
2
P{X ( ) 2} P{A 1} 1/ 3
42 P{X ( ) 2 2} P{A 2} 1/ 3
第一节 随机过程的概念和记号
• 第一节 随机过程的概念和记号
• 随机过程研究的是随时间变化的随机现象
• 例1：(随机游动)研究一醉汉醉酒后的行走路线， t时刻他所在的位置记作(X(t),Y(t)),
• 则{(X(t),Y(t)),t>0}为一个(二维)随机过程。
• 特点1：每一时刻t，这个位置是不确定的，有 随机性，是随机变量。
• 特点1：在时刻t通过柜台的人数是不确定的， 固定t,X(t)是随机变量。
• 特点2：通过柜台的人数X(t)随时间的增加 在变化（增加）。
随机过程的定义
• 随时间t变化的一族随机变量{X(t),t属于T}称 作随机过程。
• t称作时间参数。T称作时间参数集。 • 具体的一次实现称作一条样本曲线。 • t固定, X(t)是随机变量。
• 如股票的价格，人们需要了解过去的价格 分布，以帮助我们预测未来。
• 热噪声电压是随机的，从其历史分布状况 能够有助于检测它、避开它。
第二节 随机过程的统计描述
• (一)随机过程的分布函数族 • 对于固定的t,X(t)是一个随机变量，考虑X(t)的分布
函数(一维分布)，还可以考虑(X(t1),X(t2))的联合分 布函数(二维分布)… • 定义：
二维正态分布取决于E(X(t1)),E(X(t2)),以及协 方差矩阵
显然E( X (t1)) 0, E( X (t2 )) 0, Cov( X (t1), X (t2 )) E( X (t1) X (t2 )) E( X (t1))E( X (t2 )) E{(A Bt1)(A Bt2 )} E( A Bt1)E( A Bt2 ) E{A2 AB(t1 t2 ) B2t1t2} (E( A) t1E(B))(E( A) t2E(B)) E( A2 ) (t1 t2 )E( A)E(B) t1t2E(B2 ) 0 E( A2 ) t1t2E(B2 ) 1 t1t2
• 特点2：整个过程随时间t在不断变化。
例2：信号干扰
• 电子元器件由于内部微粒子随机热骚动引起的端电压称为 热噪声电压。记t时刻的热噪声电压为X(t).则{X(t),t>0}是一 个随机过程。
V(t)
V(t)
V(t)
t
t
t
• 特点1：每时刻t, 热噪声电压X(t)的取值是随机的， X(t)是随机变量
• 特点2：随时间t的变化，X(t)在延续变化。
例3：股票的价格
• 记t时刻股票的价格为Y(t),则{Y(t),t>0}是一个随机 过程。
•图
• 特点1：给定时刻t，股票价格Y(t)不可预测，可以 认为是随机变量。
• 特点2：股票价格Y(t)随时间t的变化在不断变化。
例4 排队问题
• 记X(t)表示[0,t)小时内通过柜台的人数，则 {X(t),t>0}是一个随机过程。
• E(X(t))=E(A+Bt)=E(A)+tE(B)=0+tx0=0
• D(X(t))=D(A+Bt)=D(A)+D(tB)=1+t^2x1
• 所以X(t)服从N(0,1+t^2)分布
• 2、二维分布 对于任意t1,t2,考虑 (X(t1),X(t2))是正态随机变量的组合构成， 应该服从二维正态分布
随机过程的分类
• 按时间参数集进行划分: • 随机序列：时间参数集T为可数集，则称
{X(t),t属于T}为时间序列。 • 例:股票价格X(t)的时间参数集按日、周计算, • 可以认为是时间序列。 • 连续时间过程：时间参数集T为连续统，则
称过程为连续时间过程。 • 例：热噪声电压
随机过程的分类
• 按随机变量的类型划分： • 1、连续型随机过程 • 若{X(t),t属于T}在t=t0时所取随机变量X(t0)
42
P{X ( ) 2 3} P{A 3} 1/ 3 42
0
1
F
(
x;
4
)
3 2
3
1
x 2 2
2 x 2 2 2x3 2
2 x3 2
2
(2)求F
(
x1
,
x2
;0,
3
)
X (0)
A c os (0)
A,
对于任意的正整数n, 任意的实数t1, t2 ,...,tn属于T
定义
F(x1, x2,...,xn;t1,t2,...,tn ) P{X (t1) x1, X (t2 ) x2,...,X (tn ) xn}
• 称作随机过程{X(t),t属于T}的一个n维分布函数。
n维分布函数的意义
• (X(1),X(2))是二维随机变量，它的分布函数 就是一个二维分布函数
所以
C 11tt11t22
1 t1t2
1
t
2 2
故( X (t1), X (t2 ))服从以(0,0) 为均值向量，C为协方差矩阵 的二维正态分布
例2：设随机过程X(t)=A cos(t), t实数，其中A是随
机变量，其分布律为：P{A=1}=P{A=2}=P{A=3}=1/3
求(1)X(t)的一维分布函数