一元二次方程知识树
(完整)一元二次方程(分知识点,详细,适合基础差的学生),推荐文档
一元二次方程知识网络详解：考点 1．一元二次方程的定义：形如ax bx c 0（a 0）的关于x 的方程为一元二次方程．考点 2．一元二次方程的解法：先尝试“因式分解法” ；不能分解时可选择“配方法”或者“求根公式法”b b24acx1,2求根公式：2a考点 3．一元二次方程的判别式：b2 4ac有两个不相等的实数根：0有两个相等的实数根：0 无实数根：0有实数根：0 考点 4．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：2若0 时，设x1、x2为一元二次方程ax bx c 0（a 0）的两个实数根，那么：bcx1 x2 x1 x2a ，a考点 5．一元二次方程应用题（数字问题，互赠问题，面积问题，增长率问题，利润问题）【课前回顾】形的斜边是（）A. 3B.3C.6D. 62、关于x 的方程m 1 x22mx m0有实数根，则 m 的取值范围是（）A. m 0且 1B. m0C. m 1D. m 13、关于 x 的一元二次方程（k-1）x 2-4x-5=0 有两个不相等实数根 , 则 k 的取值范围是4、某工厂计划在两年内把产量提高44%，如果每年的增长率都和上一年相同，则平均每年的增长率是。
5、解方程（1）x 2 225 0 （2）2x2 10x 31、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2 8x 7 0 的两根，则这个直角三角经典例题讲解：例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ）211A3x 1 22 x1B220xxC ax 2 bx c 02D x 22xx2 1变式：当k时，关于 x 的方程 kx 2 2x x 2 3是一元二次方程。
例 2、方程 m 2 x m3mx 1 0 是关于 x 的一元二次方程， 则 m 的值为 变式练习：1、方程 8x 27 的一次项系数是 ，常数项是 。
2、若方程 m 2 x m 10是关于 x 的一元一次方程，⑴求 m 的值；⑵写出关于 x 的一元一次方程。
一元二次方程知识树于凤俊
运用一元二次方程对市场趋势进行 拟合和预测，为企业制定营销策略 提供参考。
05 一元二次方程与其他知识 点的联系
与一次方程的联系
一元二次方程和一次方程的解法都涉及到方程的根， 即方程的解。对于一元二次方程，根的求解需要用到 配方法、公式法或分解因式法等方法，而这些方法也 适用于一次方程的求解。
示例：解方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$， 可以寻找两个数 $-2$ 和 $-3$，使它 们的和等于 $-5$，它们的积等于 $6$， 所以可以将方程因式分解为 $(x - 2)(x - 3) = 0$，解得 $x = 2$ 或 $x = 3$。
03 一元二次方程根的性质
根与系数的关系
一元二次方程和一次方程都是代数方程，它们都是研 究未知数（变量）与已知数（常数）之间关系的数学 工具。
一元二次方程和一次方程在实际问题中都有广泛的应 用，如物理、化学、经济等领域的问题常常可以转化 为一元二次方程或一次方程进行求解。
与二次函数的联系
一元二次方程与二次函数密切相关，一元二次方程的解就是对应 二次函数与x轴交点的横坐标。
03
一元二次方程和分式方程在实际问题中都有广泛的应用，如物理中的电路问题 、化学中的反应速率问题等都可以转化为一元二次方程或分式方程进行求解。
06 一元二次方程常见误区及 注意事项
忽略判别式导致错误解
忽略判别式 $Delta = b^2 4ac$ 的计算，直接求解方程，
可能导致错误解或无解。
判别式 $Delta < 0$ 时，方程 无实数解，但有些同学可能忽略
没有理解到一元二次方程的根可能是复数，当 $Delta < 0$ 时，方程的解为复数。
忽视题目条件导致无解或多解
一元二次方程知识点总结
一元二次方程知识点一、知识框架二、知识点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0）3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
4.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根．（3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)
初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)一元二次方程知识点的总结知识结构梳理：1、概念1) 一元二次方程含有一个未知数。
2) 未知数的最高次数是2.3) 是方程。
4) 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0.2、解法1) 因式分解法，适用于能化为(x+m)(x+n)=0的一元二次方程。
2) 公式法，即把方程变形为ax²+bx+c=0的形式，一元二次方程的解为x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。
3) 完全平方式，其中求根公式是(x±a)²=b，当时，方程有两个不相等的实数根。
4) 配方法，其中求根公式是(x±a)(x±b)=0，当时，方程有两个实数根。
5) 二次函数图像法，当时，方程有没有实数根。
3、应用1) 一元二次方程可用于解某些求值题。
2) 一元二次方程可用于解决实际问题的步骤包括：列方程、化简方程、解方程、检验答案。
知识点归类：考点一：一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.考点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
考点三：解一元二次方程的方法一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
解一元二次方程的方法包括因式分解法、公式法、完全平方式、配方法和二次函数图像法。
解一元二次方程有四种常用方法：直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法。
选择哪种方法要根据具体情况而定。
直接开平方法是解形如x²=a的方程的方法，解为x=±√a。
配方法是将方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，然后用因式分解法或直接开平方法解方程。
知识树解读一元二次方程PPT课件
（2）能够根据具体
考察角度 常以选择题、
填空题的 形式考察
一元二 次方程 的概念
课标要求 了解一元二次方程 的概念及一般式。
在 中 考 中 的 考 点
《 一 元 二 次 方 程 》
一元应二用次题方程问验题结的果实是际否意合义理，检
考察角度 常以选择题、填空 题的形式考察一元二次 方程的列法，以列方程应用 题的形式考察解一元二 次方程的基本思想和列方 程解应用题的意识
x b b2 4ac 2a
(b2 4ac 0)
(ax b)2 c
a.b.c较小时 用公式法
设计意图：符合学生由“已知”到“未知”，由“简单”到“复杂”的认知规律， 体现了转化的数学思想。
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(2x 1)2 4 0
x2 4x44 0
2x2 x 4 0 2(x 3)2 5(x 3)
设置丰富的问题情境， 让学生经历模型化的过程， 激发学生的学习兴趣。
“ 花边有多宽” “梯子下滑多少米” “怎样设计小路宽”
教 学 建 议
第6页/共18页
直接开平方法 配 方法 公式法之间
的联系
教学中根据具体情况， 恰当渗透、突出运用 转化的思想方法。
避免过多解决没有实际背景 的一元二次方程。
将知识技能的培养寓于 实际问题的解决过程中。
利 x)2 b
基数a
变化次数2
简便方法 要掌握
要验根
变化率问题
末数b
解方程 准确作答
面积问题
利润问题
列方程
数字问题 实
设未知数
践 与
应
设计意图：符合重点突出，详略得当用的编写原则。有利于学生突破难点，
一元二次方程知识整理
一元二次方程知识整理一、什么是一元二次方程一元二次方程是指一个未知数的平方与一次项的乘积再加上一个常数项的等式，通常表达为ax^2 + bx + c = 0。
其中，a、b、c为已知的实数，a不等于0，x为未知数。
二、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数，且a不等于0。
这个方程中的x称为未知数，a、b、c则是已知的系数。
方程中的平方项ax^2、一次项bx以及常数项c分别对应了二次函数的系数。
三、一元二次方程的解的判别式一元二次方程的解的判别式是用来判断方程的根的情况的。
判别式的公式为D = b^2 - 4ac。
根据判别式的值可以分为三种情况：1. 当D > 0时，方程有两个不相等的实根；2. 当D = 0时，方程有两个相等的实根；3. 当D < 0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
四、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法：当方程能够被因式分解为两个一次因式的乘积时，可以直接得到方程的解。
2. 完全平方公式法：当方程的判别式D = b^2 - 4ac为完全平方数时，可以利用完全平方公式求解方程。
3. 直接开平方法：当方程的一次项为0时，可以直接将方程两边开平方求解。
4. 二次根式法：当方程的系数较大或判别式较为复杂时，可以利用二次根式的求根公式求解方程。
五、一元二次方程的应用领域一元二次方程在数学中有着广泛的应用。
它可以用来解决与平方关系有关的问题，如抛物线的形状、最值等。
在物理学、工程学等领域中，一元二次方程也经常被用来描述和解决各种实际问题，如抛体运动、电磁波传播等。
六、一元二次方程的重要性一元二次方程是高中数学中的重要内容，它不仅是其他数学知识的基础，也是解决实际问题的重要工具。
通过学习一元二次方程，可以培养学生的逻辑思维能力、分析问题的能力和解决问题的能力，为学生今后的学习和工作打下坚实的数学基础。
七、总结一元二次方程作为高中数学中的重要内容，不仅具有理论性和应用性，而且在解决实际问题中有着广泛的应用。
21一元二次方程核心知识点分类整合
21 一元二次方程核心知识点分类整合【知识网络】【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 要点二、一元二次方程的解法 1．基本思想一元二次方程一元一次方程 2．基本解法要点诠释： 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法。
要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系−−−→降次)0(02≠=++a c bx ax acb 42-)0(02≠=++ac bx ax ∆ac b 42-=∆两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 要点诠释： 1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： (1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多： (1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； (2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 要点四、列一元二次方程解应用题 1. 列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤： 审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决. 知识方法专题专题一 一元二次方程的解法 21x x ，abx x -=+21a cx x =21经典例题例1：【中考·岳阳】方程x2-3x+2=0的是．例2：【申考·成宁】已知关于x的一元二次方程，mx2-(m+2) x+2=0.(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不等的正整数根？例3：(1)[中考·黄冈】若方程x2-2x-1=0的两个根为x1，x2，则X I+X2-X I X2的值。
一元二次方程的知识点总结
一元二次方程的知识点总结
一元二次方程的知识点总结
一元二次方程
1.一元二次方程的一般形式: a0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、b、其中a、b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
2.一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误;因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法;配方法使用较少.
3.一元二次方程根的.判别式:当ax2+bx+c=0 (a0)时，=b2-4ac叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：
0 有两个不等的实根;
=0 有两个相等的实根;
0 无实根;
4.平均增长率问题--------应用题的类型题之一 (设增长率为x)：
(1)第一年为a ,第二年为a(1+x) ,第三年为a(1+x)2.
(2)常利用以下相等关系列方程：第三年=第三年
或第一年+第二年+第三年=总和.。
一元二次方程全章讲义
九年级上册第二章一元二次方程一、知识点梳理：知识点一：一元二次方程的定义 知识点二:开平方法解一元二次方程 知识点三：因式分解法解一元二次方程 知识点四：配方法解一元二次方程 知识点五： 一元二次方程的判别公式 知识点六：韦达定理 知识点七：二元一次方程应用题二、各知识点讲解：知识点一 ：一元二次方程的定义 （一）知识点：1、只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．2、判断一个方程是否为一元二次方程的依据（1）是一个整式方程 （2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2.这三个条件必须同时满足，缺一不可。
3、一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项.一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.（二）、经典例题及相关练习例题1：判断下列方程是否为一元二次方程？(1)3x+2=5y-3 (2) x 2=4 (3) 3x 2-5x=0 (4) x 2-4=(x+2) 2 (5) ax 2+bx+c=0练习1、在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-5x=0 2、下列方程是一元二次方程的有__________。
（1）x 2+x1－5=0 （2）x 2－3xy+7=0（3）x+12 x =4（4）m3－2m+3=0 （5）22x2－5=0 （6）ax2－bx=43、下列方程中，是关于x的一元二次方程的有___________.①x2＋2x＋y＝1 ②－5x2＝0 ③2x2－1=3x④（m2＋1）x＋m2＝6 ⑤3x3－x＝0 ⑥x2+1x－1=0例2：一元二次方程一般形式、各项系数及常数项（1）一元二次方程（x+1）2－x==3（x2－2）化成一般形式是.（2）把方程(1－3x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项.练习：1、把一元二次方程（x+2）（x－3）=4化成一般形式，得（）．A、x2+x－10=0B、x2－x－6=4C、x2－x－10=0D、x2－x－6=02、将方程3x2＝2x－1化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项系数可以是( )A. 3,2,－1B. 3,－2,－1C. 3,－2,1D. －3,－2,13、一元二次方程3x2－3x－2=0的一次项系数是________，常数项是_________．4、方程4x2=3x-2+1的二次项是 ,一次项是 ,常数项是5、把方程x(x+1)=4(x－1)+2化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项.例3：利用一元二次方程的定义解题（1）关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．练习1、已知（m+3）x2－3mx－1=0是一元二方程，则m的取值范围是。
(完整版)一元二次方程知识点和易错点总结
一元二次方程知识点总结知识结构梳理（1）含有 个未知数。
（2）未知数的最高次数是 1、概念 （3）是 方程。
（4）一元二次方程的一般形式是 。
（1） 法，适用于能化为)((0)2≥=+n n m x 的一元二次方程 （2） 法，即把方程变形为ab=0的形式，2、解法 （a ，b 为两个因式）, 则a=0或（3） 法（4） 法，其中求根公式是 根的判别式当 时，方程有两个不相等的实数根。
（5） 当 时，方程有两个相等的实数根。
当 时，方程有没有的实数根。
可用于解某些求值 （1） 一元二次方程的应用 （2）（3）可用于解决实际问题的步骤 （4） （5）（6）知识点归类知识点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：1、一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是一元二次方程2、同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
例 下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？⑴3522=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。
其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。
例1 已知关于x 的方程()()021122=-+--+x m x m m 是一元二次方程时，则=m知识点三 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。
一元二次方程知识树
Байду номын сангаас
顶点形式
y = a(x - h)²+ k
描点法
通过顶点和一点绘制抛物线
一元二次方程的解的公式
通过求解一元二次方程ax² +bx +c =0，我们可以得到它的两个解： x₁=(-b+√(b² - 4ac)) / (2a) x₂=(-b - √(b² - 4ac)) / (2a)
一元二次方程知识树
从定义到应用，一文带你掌握一元二次方程的所有知识。无论是解方程还是 绘图，让我们一起畅游在这道精彩的数学之河。
一元二次方程的基本定义
一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。一般形式为ax²+ bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，a ≠ 0。
二次函数的基本形式
一般形式
抛物线的标准方程和顶点式方程
标准方程
y = ax² + bx + c
顶点式方程
y =a(x - h)²+k
根据图像确定抛物线的方程
通过观察抛物线的图像，我们可以确定它的标准方程或顶点式方程，进而深入理解抛物线的性质和特点。
抛物线的基本定义和性质
1
基本定义
抛物线是由一元二次方程所描述的曲线。
对称性
2
抛物线以它的顶点为中心对称。
3
顶点
抛物线的顶点坐标为(h, k)。其中，h是抛 物线的对称轴位置，k是抛物线的最小或 最大值。
抛物线的焦点和准线
焦点
抛物线的焦点是离顶点最近的点，与顶点及准线构 成一个等边三角形。
准线
抛物线的准线是与焦点对称的一条直线，与抛物线 相切。
一元二次方程(思维导图+资料)
1、 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程2、 经历探究将一般一元二次方程化成（)0()2≥=+n n m x 形式的过程，进一步理解配方法的意义3、 在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。
重点：使学生掌握配方法，解一元二次方程难点：把一元二次方程转化为的（x ＋m ）2= n （n ≥0）形式 二、知识准备1、 请说出完全平方公式。
（a ＋b ）2 = （a -b ）2=2、 用直接开平方法解下例方程：（1） （2）134)5(2=+-x （1）16442=+-x x （2）13425102=++-x x三、学习过程问题1、请你思考方程5)3(2=+x 与0462=++x x 有什么关系，如何解方程0462=++x x 呢？问题2、能否将方程0462=++x x 转化为（n m x =+2)的形式呢？由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（x ＋m ）2= n 的形式（其中m 、n 都是常数），如果n ≥0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
（1）2x －4x ＋3＝0. （2）x 2＋3x －1 = 0四、知识梳理问题1：配方法解一元二次方程的作用是什么？配方法时要注意什么？ 问题2、配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？达标检测一1、填空：（1）x 2+6x+ =(x+ )2；(2)x 2-2x+ =(x- )2；(3)x 2-5x+ =(x- )2；(4)x 2+x+ =(x+ )2；(5)x 2+px+ =(x+ )2；2、将方程x 2+2x-3=0化为(x+m)2=n 的形式为 ；3、用配方法解方程x 2+4x-2=0时，第一步是 ，第二步是 ，第三步是 ，解是 。
1、用配方法解一元二次方程x 2+8x+7=0，则方程可变形为（ ）A.(x-4)2=9B.(x+4)2=9C.(x-8)2=16D.(x+8)2=572、、已知方程x 2-5x+q=0可以配方成(x-25 )2=46的形式，则q 的值为（ ） A.46B.425C. 419D. -419 3、、已知方程x 2-6x+q=0可以配方成(x-p )2=7的形式，那么q 的值是（ ）A.9B.7C.2D.-2 4、、用配方法解下列方程：（1）x 2-4x=5； （2）x 2-100x-101=0； （3）x 2+8x+9=0； （4）y 2+22y-4=0；5、试用配方法证明：代数式x 2+3x-23的值不小于-415。
(完整版)一元二次方程知识点总结
一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边十一个关)0(02≠=++a c bx ax 于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二2ax 次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
3.一元二次方程的解法(1)直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。
根据b a x =+2)(平方根的定义可知，是b 的平方根，当时，，a x +0≥b b a x ±=+，当b<0时，方程没有实数根。
b a x ±-=(2)配方法:配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a 看222)(2b a b ab a +=+±做未知数x ，并用x 代替，则有。
222)(2b x b bx x ±=+±配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(3)公式法:公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式：)0(02≠=++a c bx ax )04(2422≥--±-=ac b aac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c(4)因式分解法:因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式4.一元二次方程根的判别式:一元二次方程中，叫做一)0(02≠=++a c bx ax ac b 42-元二次方程的根的判别式，通常用“)0(02≠=++a c bx ax ”来表示，即∆acb 42-=∆I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；III 当△<0时，一元二次方程没有实数根5.一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，ab x x -=+21。
一元二次方程 知识点总结
一元二次方程知识点总结一、一元二次方程的概念。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2. 判断方程是否为一元二次方程。
- 首先看方程是否为整式方程。
- 然后看是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，同时二次项系数不为0。
例如x^2+2x - 1 = 0是一元二次方程；而x^2+(1)/(x)=1不是一元二次方程，因为它是分式方程。
二、一元二次方程的解法。
1. 直接开平方法。
- 对于方程x^2=p(p≥0)，解为x=±√(p)。
- 例如方程(x - 3)^2=4，则x - 3=±2，解得x = 1或x = 5。
2. 配方法。
- 步骤：- 把方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的常数项移到等号右边，得到ax^2+bx=-c。
- 二次项系数化为1，即x^2+(b)/(a)x =-(c)/(a)。
- 在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=((b)/(2a))^2-(c)/(a)。
- 左边写成完全平方式(x +(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}，然后用直接开平方法求解。
- 例如解方程x^2+6x - 7 = 0，移项得x^2+6x = 7，配方得x^2+6x + 9 = 7+9，即(x + 3)^2=16，解得x = 1或x=-7。
3. 公式法。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}(b^2-4ac≥0)。
- 步骤：- 确定a、b、c的值。
- 计算b^2-4ac的值，判断方程是否有实数根。
- 当b^2-4ac≥0时，代入求根公式求解。
一元二次方程总复习知识点梳理(学生)
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x ＋4）中，不能随便约去x ＋4。
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3 －5=0 x
④ x2 － 2+x3 = 0
2、加深对概念的理解与应用，避免：就概念理解概念。 如：已知关于x的方程 mx +（m-n）x2 +n=0，(m≠0), ①当m和n满足什么关系时，该方程为一元二次方程？
处理好本章关于应用的易错点
4、利用一元二次方程解决实际问题时，
①审题不清，误解题意，不能正确地找出等量关系； ②解方程后未经检验就盲目作答。 ③检查方程两根是否符合实际意义考虑不全，尤其当两根都是正数的情况。 如：教材P47探究3问题中，方程两根都是正数，但他们并不都适合问题 的解。必须根据它们的值的大小来确定哪个合乎实际。这种取舍更多 的要考虑问题的实际意义，教学中应注意培养学生将数学知识与实际 问题相结合的能力。
本章重难点：
教学重点： 1、一元二次方程及有关概念的理解；掌握一元二次 方程的解法。 2、正确运用一元二次方程解决实际问题。 教学难点: 正确运用一元二次方程解决实际问题。
突破难点的关键：弄清问题背景，把有关数量关系 分析透彻，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等 关系。
处理好本章关于概念的易错点
理 解
传播问题
应用
一 元 二 次 方 程
关键是找准 题目中的等 量关系。
几何图形 面积问题
会
重点
增长率问题
难点
知识链接:
转化
简 易 方 二元一次 方程（组） 转化 分式方程
小学Leabharlann 一元一 次方程程一 元 二 次 方 程
二 次 函 数
指对 数数 方方 程程
高中
转化
初 中
课标要求：
1、理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法 解简单的数字系数的一元二次方程； 2、能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体 会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型； 3、能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
②当m和n满足什么关系时，该方程为一元一次方程？
处理好本章关于方程解法的易错点
3、用因式分解 法一元二次方程时，没注意方程有没有写成 A×B=0形式。 如：(1)解方程（x-1）(x-3)=8, 误解为 x1=1, x2=3. (2) 用公式法 解方程时，没有化为一般式，造成符号错 误或混淆a、b、c。 如，解方程x2-4x=2，误认为a=1,b=－4,c=2. (3)用提公因式法 解方程时，丢根。如，解方程 3(x+2)=x2+2x,两边同时除以(x+2),得x=3.
一元二次方程知识树
理解配方法，会用 因式分解法、公式 配方法 法、配方法解简单 的数字系数的一元 二次方程
公式法
1、能够根据具体问题中的数 量关系，列出方程，体会方 程是刻画现实世界的一个有 效的数学模型。 匀变速运 2、能根据具体问题的实际意 动问题 义，检验结果是否合理。
解法 降次 概念
一般形式 ax2+bx+c=0 (a ≠0)