人教版 21章 一元二次方程知识点总结

21章 一元二次方程知识点

一、一元二次方程

1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未

知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。

注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于0

2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。

二、 一元二次方程的解

使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2

=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。一元二次方程有两个根（相等或不等）

三、一元二次方程的解法

1、直接开平方法:

直接开平方法理论依据：平方根的定义。

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

三种类型：（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；

（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=；

（3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是m

n c x -±=

。 2、配方法:

配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

（一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

（1） 把一元二次方程化成一般形式

（2） 在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这

个数；

（3） 把原方程变为()n m x =+2的形式。

（4） 若0≥n ，用直接开平方法求出x 的值，若n ﹤0，原方程无解。

（二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程

当一元二次方程的形式为()1,002≠≠=++a a c bx ax 时，用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）把一元二次方程化成一般形式

(2) 先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；

（3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为()n m x =+2的形式；

（4）若0≥n ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：

)04(2422≥--±-=ac b a

ac b b x 用求根公式法解一元二次方程的步骤是：

（1）把方程化为()002≠=++a c bx ax 的形式，确定的值c b a .,（注意符号）；

（2）求出ac b 42-的值；并判断方程根的情况；

（3）若042≥-ac b ，则把.,b a 及ac b 42-的值代人求根公式

a ac

b b x 242-±-=，求出21,x x 。

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

因式分解法的理论依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0（即化为一般式）；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。

（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

关键点：（1）要将方程右边化为0（即化为一般式）；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）、十字相乘法。

注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。

三、一元二次方程根的判别式

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆

I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；

III 当△<0时，一元二次方程没有实数根

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：

①把所有一元二次方程化为一般形式；

②确定c b a .,的值；

③计算ac b 42-的值；

④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况。

根的判别式的逆用 在方程()002≠=++a c bx ax 中，

（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0

（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0

（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0

注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。

四、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，a

c x x =21。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

五、一元二次方程的应用

知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤

（1） 审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。 关键点：找出题中的等量关系。

(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间