电磁感应中的能量转化及电荷量问题例题

电磁感应中的能量转化及电荷量问题
一、电磁感应电路中电荷量的求解
回路中磁通量发生变化时，电荷发生定向移动而形成感应电流，在Δt内迁移的电荷量(感应电荷量)为q＝I·Δt
＝E
R·Δt＝n
ΔΦ
Δt·
1
R·Δt＝
nΔΦ
R.其中n为匝数，R为总电阻．
从上式可知，线圈匝数一定时，感应电荷量仅由回路电阻和磁通量的变化量决定，与时间无关．
例1如图X31所示，导线全部为裸导线，半径为r的圆内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B，一根长度大于2r的导线MN以速度v在圆环上无摩擦地自左向右匀速滑动，电路的固定电阻为R，其余电阻忽略不计．试求MN从圆环的左端滑到右端的过程中电阻R上的电流的平均值及通过的电荷量．
πBrv
2R
Bπr2
R
[解析]由于ΔΦ＝B·ΔS＝B·πr2，完成这一变化所用的时间Δt＝
2r
v，故E＝
ΔΦ
Δt＝
πBrv
2，所以电阻R上的电流的平均值为I＝
E
R＝
πBrv
2R，
通过R的电荷量为q＝I·Δt＝
Bπr2
R.
二、电磁感应中的能量转化问题
1．电磁感应中能量的转化
电磁感应过程实质是不同形式的能量相互转化的过程，电磁感应过程中产生感应电流，在磁场中必定
受到安培力作用，因此要维持感应电流，必须有“外力”克服安培力做功．此过程中，其他形式的能转化为电能．“外力”克服安培力做多少功，就有多少其他形式的能转化为电能．当感应电流通过用电器时，电能又转化为其他形式的能．可以简化为下列形式：
同理，电流做功的过程，是电能转化为其他形式的能的过程，电流做了多少功就有多少电能转化为其他形式的能．
2．解决电磁感应能量转化问题的基本方法
(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律确定感应电动势的大小和方向；
(2)画出等效电路，求出回路中电阻消耗电能的表达式；
(3)分析导体机械能的变化，用能量守恒关系得到机械能的改变与回路中电能的改变所满足的方程．
例2如图X32所示，固定的水平光滑金属导轨间距为L，左端接有阻值为R的电阻，处在方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻可
忽略．初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度v 0.在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．
(1)求初始时刻导体棒受到的安培力．
(2)若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧弹性势能的增加量为E p ，则这一过程中安培力所做
的功W 1和电阻R 上产生的热量Q 1分别为多少？
(3)导体棒往复运动，最终将静止于何处？从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R 上产生的
热量Q 为多少？
(1)B 2L 2v 0R ，方向水平向左 (2)E p －12mv 20 12mv 20－E p (3)初始位置 12mv 20
[解析] (1)初始时刻导体棒中的感应电动势E ＝BLv 0，
棒中的感应电流I ＝E R
， 作用于棒上的安培力F 安＝BIL ，
联立以上各式得F 安＝B 2L 2v 0R ，安培力方向水平向左．
(2)由功能关系得，安培力做功W 1＝E p －12mv 20
， 电阻R 上产生的热量Q 1＝12mv 20
－E p . (3)由能量转化及平衡条件可知，棒最终静止于初始位置，电阻R 上产生的热量Q ＝12mv 20
. 2．(电磁感应中的能量转化问题)(多选)如图X34所示，两根电阻不计的光滑平行金属导轨倾角为θ，
导轨下端接有电阻R ，匀强磁场垂直斜面向上．质量为m 、电阻不计的金属棒ab 与导轨垂直并保持良好接触，在沿斜面与棒垂直的恒力F 作用下沿导轨匀速上滑，上升高度为h ，在这个过程中( )
A ．金属棒所受各力的合力所做的功等于零
B ．金属棒所受各力的合力所做的功等于mgh 和电阻R 上产生的热量之和
C ．恒力F 做的功与导体棒所受重力做的功之和等于棒克服安培力所做的功与电阻R 上产生的热量之
和
D ．恒力F 做的功与导体棒所受重力做的功之和等于电阻R 上产生的热量
AD [解析] 金属棒匀速上升的过程有三个力做功：恒力F 做正功，重力G 、安培力F 安做负功．根据
动能定理，有W ＝W F ＋W G ＋W 安＝0，故A 对，B 错；恒力F 做的功与金属棒所受重力做的功之和等于金属棒克服安培力做的功，而金属棒克服安培力做的功等于回路中电能(最终转化为热量)的增加量，克服安培力做的功与热量不能重复考虑，故C 错，D 对．
3．(电磁感应中的能量转化问题)如图X35所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属
导轨相距1 m ，导轨平面与水平面成θ＝37°角，下端连接阻值为R 的电阻．匀强磁场方向与导轨平面垂直，质量为0.2 kg 、电阻不计的金属棒放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为0.25.
(1)求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小．
(2)当金属棒下滑速度达到稳定时，电阻R 消耗的功率为8 W ，求该速度的大小．
(3)在上问中，若R ＝2 Ω，金属棒中的电流方向由a 到b ，求磁感应强度的大小与方向．(g 取10 m /s 2
，
sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)4 m /s 2 (2)10 m /s (3)0.4 T 方向垂直导轨平面向上
[解析] (1)金属棒开始下滑时的速度为零，根据牛顿第二定律得
mg sin θ－μmg cos θ＝ma ，
解得a ＝10×(0.6－0.25×0.8) m /s 2＝4 m /s 2.
(2)设金属棒运动达到稳定时，速度为v ，所受安培力为F 安，棒在沿导轨方向受力平衡，有mg sin θ－μmg cos θ－F 安＝0，
此时金属棒克服安培力做功的功率等于电路中电阻R 消耗的电功率，即F 安v ＝P ，
联立解得v＝
P
F安
＝
8
0.2×10×（0.6－0.25×0.8）
m/s＝10 m/s.
(3)设电路中电流为I，两导轨间金属棒的长为l，磁场的磁感应强度为B，则
I＝Blv R，
P＝I2R，
联立解得B＝PR
vl＝
8×2
10×1
T＝0.4 T，
由楞次定律可知磁场方向垂直导轨平面向上．。