城市亮化中的街灯优化设计

城市亮化中的街灯优化设计
东北育才学校初二刘默函姜占胜郭姿廷指导教师徐秋慧
内容摘要城市亮化工程如火如荼，但易有两弊端——一是盲目增加灯数，电能的实际损耗较大；二是一些街道路灯安排较密却留有“照明死角”。

为此，我们用数学方法设计了双排交叉式路灯的位置和相应的路灯灯罩形状。

关键词双排交叉式路灯位置灯罩形状
一、问题的背景与提出
街灯的历史可谓是悠久，近年来许多城市为了提高城市意象，更对街灯进行了大番修整——夜幕之下，灯火辉煌，花样翻新，霓虹交相辉映的景象不难看到。

目前，沈阳的亮化工程也正如火如荼地进行着，但据我们观察，在亮化过程中有两点弊端——一是盲目增加灯数，不顾实际，电能的实际损耗较大；二是一些街道路灯安排较密却留有“照明死角”。

那么如何合理设置路灯就成了我们要研究的内容。

二、问题的调查与分析
如今道路安排主要有以下几种:
单排式
双排对称式
双排交叉式
我们做了如下比较：
(1)单排式照明——如果路灯间距较大，虽然节能，但易导致道路亮度不够，尤其马路很宽的时候，单排照明容易出现黑暗区域，虽说节能但亮度标准不够；如果路灯间距较小，又会有光影重叠现象，造成过多浪费。

所以我们不选取这种方式的照明。

(2)双排对称式——照明虽然亮度够，也很美观，但很多光线照到了同一位置，浪费了光能，我们也不选取。

(3)双排交叉式——一方面，这种方式的照明虽然比不上前两种排列得整齐，但也很有序和谐；另一方面，（尤其）从节能角度考虑，可以尽可能避免前两种方式中的电能浪费问题。

因此，对此进行改进是我们的最终目的。

三、问题的解决
（一）路灯布局的设计及原理
下图是我们设计的关于路灯光照范围的平面图。

其中，平行的直线1l 、2l 表示马路的边缘，设它们间距（即马路宽）为S ；由于路灯排列规则更和谐美观，故用半径均相等的均匀分布的各圆（⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3，⊙O 4，⊙O 5，…）表示各路灯的照明范围，设其半径为R ；各圆心（O 1，O 2，O 3，O 4，O 5，…）表示光源位置（它们分别在马路内侧且与马路边缘平行的两条直线上）。

显然，要使路灯照亮整条马路，即所有直线1l 、2l 之间的部分均被圆覆盖——一方面，⊙O 1与⊙O 2的交点A 需在直线1l 、2l 的外侧；另一方面，⊙O 1与⊙O 2的交点H 需在⊙O 3的内部。

而要尽量节省用电，——一方面，落在马路外的光线尽可能少，即⊙O 1与⊙O 2的交点A 与直线1l 距离尽可能小；另一方面，光照范围重叠部分尽可能小，即⊙O 1与⊙O 2的交点H 尽可能接近⊙O 3边缘。

综上，⊙O 1与⊙O 2的交点A 落在直线1l 上且⊙O 1与⊙O 2的交点H 落在⊙O 3上最为合适。

由于⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3均为等圆，所以△ABC 为等边三角形，且H 是它的中心。

故∠AHO 1=∠HO 3B=∠GO 3F=∠BO 3G=60°，从而△AO 1H 、△BO 3H 是全等的等边三角形，而△O 3FG 为∠O 3GF=30°的直角三角形。

则：①AH=HO 3=O 3G=R ，O 3F=R
G O 2121
3=
，故R
F O HO AH S 2
533=
++=，即
R=
S
5
2；②O 3F=
R
2
1=
S
5
22
1⨯
=S 5
1
；③O 1O 2=BC=GE=2GF=R 3 =
S
5
32。

由①得，最好使每盏路灯的照明范围的半径为马路宽的52；
由②得，最好使路灯灯源位置恰在距马路边缘为路宽的5
1处； 由③得，最好使两个路灯灯源之间的距离恰为路宽的
5
32。

显然，将路灯光源设在距路边5
1
路宽的两条平行线上，并使同线上相邻光源间
距恰为5
32路宽，这两方面很容易操作；下面我们着重说明一下如何使光照范围恰
为以
5
2路宽为半径的圆，而这就与灯罩也有着直接的关系。

（二）路灯灯罩的设计及原理
1、从用料上考虑，两点之间直线段最短；从尽量避免光能耗损上考虑，光线在灯罩内反射次数宜尽可能少。

因此，我们将灯罩的轴截面设计为梯形，将灯罩设计为圆台状，如图2所示，（为了看图方便，在不影响推理的前提下该图没完全按比例作出）——等腰梯形DEGF 表示圆台形灯罩的轴截面，C 点表示光源（为便于研究，我们把光源设为点光源），AB 表示光照范围的直径。

若设从点光源C 点射出的光线与灯杆CM 的夹角为θ，可知0°≤θ≤90°。

一方面，当0°≤θ≤∠ACM（即∠BCM）时，光源C发出的光直接照射到地面，那么这部分光线的最大范围是从灯源经过灯罩边缘（沿着直线CFA、CGB）照射到地面，即光照范围是以线段AB为直径的圆。

从这一方面看，灯罩下底直径FG 越宽灯照范围越广。

另一方面，当∠ACM＜θ≤90°时，光源C发出的光射在灯罩上经反射后射到地面。

上面提到为节省光在传播中的损耗，我们不妨让射到灯罩的光线最多经一次反射射到地面——作C关于DF的对称点C`。

由C发出的光线射到DF上的点T后反射到地上的点W，它可以看作直线C`T与直线AB的交点。

（而C发出的光线在EG反射的情况同上。

）为使在相同光源照射下路面亮度更大，也为使路面光照均匀，我们让经过反射后射到地面的光线恰好也射到以线段AB为直径的圆内，也就是使C点射到D点的光，经反射恰好射到B点。

则作∠EDB的角平分线，即为法线（反射角等于入射角）；从而，法线的垂线即为镜面（灯罩），此时DF与CA交于F，DF为灯罩横截面的腰。

2、如图3，设灯罩轴截面的上底（即DE）为a，下底（即FG）为b，腰长（即DF、EG）为c，灯高为l（据资料，在小于15米宽的街道上允许用单排式照明街灯，因我们研究的是双排交叉式街灯，故不妨研究宽度为15米以上的街道；又据资料，在路宽大于15米时，灯泡中心到地面的距离不小于7米。

由于灯过高时，在空中散光太多，过于浪费，所以把灯高限定为最低，即7米。

）
由∠PDE=∠DHB ，又∠PDE=∠HDB ，则∠DHB=∠HDB 所以 BD=BH=2
22
2)2
(
l
R a DQ
QB ++=+
HQ=BH -BQ=22)2
(l R a
++－(R+
2
a )
DH=22DQ HQ +=2222)]2
()2
([l a
R l R a
++-++
DF DH =
DH cl h DH DF DQ DK DK DQ =⇒⋅=⇒
AM FL
CA CF
DH DF
FC FA FC
FH DF DF
FA FC
FH
DF ==⇒
+=
+⇒
=
DF
DH FL
AM =⇒
则
DH
Rc DH DF AM FG b DH DF AM FG FL 222=
⨯⨯==⇒⨯==
又l =7m ，R=5
2S
∴49
)]5
22(
49)5
22
(
[72
2
++-++
=
S a S a c
h
49
)]5
22(
49)5
22(
[5
4
2
2
++-++=
S a S a Sc
b
我们只要固定了灯罩横截面的上底a ，腰c 及路宽S ，就可以求出灯罩高h ，及灯罩横截面的下底b 。

此时以CL 为旋转轴，将梯形DEGF 旋转一周得到一个圆台即为灯罩（上有盖，下无底），而灯泡安装在C 处（上文的研究对灯泡大小忽略不记）。

四、实例验证与说明
1、本设计是理想状态，实际设计可根据具体情况对相关因素稍加调整。

2、我们将灯罩设计成圆台状，并不意味着路灯千篇一律要做成这一个形状，将一些美观的灯罩内部的反光板制成我们设计的规格也是基本适用的。

3、我们调查了沈阳市的多处景观路——青年大街、建设大路、兴华街等等——串串路灯确实很美，但虽然路灯很多，光照却不够均匀，甚至有些路面有阴暗部位。

相信我们的设计可以避免上述问题。

五、体会
我们学业很忙，很少有时间体会周围的事物。

以前我们从来没想到也可以用自己的知识来进行街灯的优化设计问题，甚至根本没想过每天都接触的街灯有什么问题。

通过这次建模，我们知道了要善于发现身边的问题，并用所学习到的知识科学地认识它、解决它。

而我们在研究这个问题的过程中也遇到过很多困难，甚至出现分歧，原来研究和解决问题不仅需要智慧的头脑还需要坚定的信念、百折不挠的精神和精诚合作的态度。

在这里我们衷心地感谢老师对我们的耐心指导，也欢迎广大老师同学批评指正。

参考文献：
/ndlk/ndqh/web/2004/docs/2004-06/2004-06-08.htm。