第八章 数学悖论及其意义共36页文档
悖论及其对数学发展的影响
悖论及其对数学发展的影响【开场白：一个传说】一个讼师招收徒弟时约定，徒弟学成后第一场官司如果打赢，则交给师傅一两银子，如果打输，就可以不交银子。
后来，弟子满师后却无所事事，迟迟不参与打官司。
老讼师得不到银子，非常生气，告到县衙里，和这位弟子打官司。
这位弟子却不慌不忙地说：“这场官司如果我打赢了当然不给您银子，如果打输了按照约定也不交给您银子，反正我横竖不交银子。
”一句话把老讼师给气死了。
类似的：1)我正在说谎？！！2)鸡与鸡蛋何为先？一、悖论的定义“悖论”（英语：Paradox，俄语：Πарадокс）的字面意思是荒谬的理论，然而其内涵远没有这么简单，它是在一定理论系统前提下的看起来没有问题的矛盾。
关于悖论，目前并没有非常权威性1的定义，以下的解释，在一定程度上是合理的。
通常认为，一个论断，如果不论是肯定还是否定它，都会导出一个与原始判断相反的结论，而要推翻它却又很难给出正当的根据时，这种论断称为悖论；或者，如果一个命题及其否定命题均可以用逻辑上等效的推理加以证明，而其推导又无法明确提出错误时，这种自相矛盾的命题叫做悖论。
这种“定义”，比单纯从字面理解有所细化，也比较容易理解，但仍不够准确。
下述说法是A.A.富兰克尔给出的：如果某种理论的公理及其推理规则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个矛盾命题的等价式，我们称这个理论包含了一个悖论。
这里强调了悖论是依赖于一定的理论体系的，但是，只是说，某个理论体系包含了悖论，而没有言明什么是悖论。
悖论不同于通常的诡辩或谬论。
诡辩、谬论可以通过已有的理论、逻辑论述其错误的原因，是与现有理论相悖的；而悖论虽感其不妥，但从它所在的理论体系中，不能阐明其错误的原因，是与现有理论相容的。
悖论是（在当时）解释不了的矛盾。
悖论蕴涵真理，但常被人们描绘为倒置的真理；悖论富有魅力，既让您乐在其中，又使您焦躁不安，欲罢不能；数学历史中出现的悖论，为数学的发展提供了契机。
第八章数学悖论及其意义
• 以上所举是逻辑（集合论）悖论和语义学 悖论的典型例子。由于科学的发展，各个 领域中出现许多思维的、推理不清的问题， 过去人们都称之为悖论，现在看来可能不 一定是悖论。
5、梵学者的预言
• 印度预言家的女儿要想捉弄父亲，一天在 纸上写下一句话（一件事），让她的父亲 预言这件事在下午3时以前是否发生，并在 一个卡片上写“是”或“不”。这位预言 家果然在卡片上写了一个“是”字。他女 儿在纸上写的一句话是：“在下午3点钟之 前，你将写一个‘不’字在卡片上” 。
• 历史上，人们就把微积分自诞生以来数学界出现 的混乱情形叫做第二次数学危机，也把贝克莱的 攻击称为贝克莱悖论。
• 危机的消除：
三、第三次数学危机
• ①实数理论是微积分的理论基础； • ②实数理论是建立在集合论的基础上。 • ③集合论是现代数学的理论基础。 • 人们对19世纪末德国数学家康托尔提出的
• 我们采用徐利治教授主张的弗兰克尔和巴希勒尔的说法“如果某一理论的公理和推 理原则看上去是合理的，但在这个理论中 却推出了两个互相矿矛盾的命题，或是证 明了这样一个复合命题，它表现为两个互 相矛盾的命题的等价式，那么，我们就说， 这个理论包含了一个悖论。”
简言之，
在这个定义中，首先指明了任何一个悖论总
是相对于某一理论系统而言的。
• 比如，著名的罗素悖论是一个被包含在古典集合 论系统中的悖论。其次又指出一个悖论可以表现 为某一理论系统中两个互相矛盾的命题的形式。
浅论数学悖论的积极意义
论”导致了数学史上第一个无理数的诞生．之后．许多数学家 正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义．提出了一个含
有有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实
数理论。“希帕索斯悖论”的消除是通过否定产生这一矛盾的 前提“宇宙的一切现象都能归结为整数或整数之比”而完成 的，它使希腊人从依靠直觉、经验转向依靠证明．不仅扩大了 数域，而且带来了公理化方法数学学科向前发展。二是“贝克 莱悖论”与第二次数学危机的化解。在十七世纪．微积分这一 锐利无比的数学工具被牛顿、莱布尼兹各自独立发现．许许多 多数学疑难问题便迎刃而解。两人的理论都建立在无穷小分 析之上．但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却 是混乱的。因此，从微积分诞生时就遭到了一些学者的反对与 攻击，其中最猛烈的是英国大主教贝克莱。这一问题的提出在 当时的数学界又引起新的大辩论．由此导致了第二次数学危 机的产生。此后经过达朗贝尔、柯西、欧拉、康托尔等数学家历 经１００多年的不懈努力．重建微积分学基础。才结束ｒ数学中 暂时的混乱局面。同时也宣布了第二次数学危机的基本解决。 在“贝克莱悖论”消除的过程中．数学家不是把“无穷小量”概 念中所蕴含的朴素的辩证法因素连同其逻辑卜的混乱一起抛
二、数学悖论的思维特色
通过以上数学史中著名的三个数学悖论，以及其它数学 悖论的研究和学习。我们对数学悖论的思维特色有以下三点 认识。 首先，悖论是人们对客观事物的认识。希帕索斯悖论来源 于对直角三角形的认识：贝克莱悖论是人们对有限和无限、存 在和非存在两种对立概念认识的深化；罗素悖论是人们对集 合集合内部矛盾的认识。闪此，悖论决不是脱离客观实际的凭 空想象．也不足客观事物的规律性在人脑中简单地移植，而是 由主客体多次反复作用．认识达到高一级阶段主客体作用的 结果。当人们试图以原有的理论和方法及逻辑去解释一些新 的现象和规律时．就产生了认识和客体之间的冲突，反映到人 的主观思维Ｌ．打乱了ｌ一的思维层次，而新的思维不能同原有 的知识合乎逻辑地联系起来，这样就产生了悖论。 其次，悖论常产生于某一学科新旧理论的结合部，反映了 人们的思维从两个对立范围向辩证统一过渡。这无疑是思维 方法的进步和飞跃。人们的思维也从抽象统一向具体统一升 华．不再把有限和无限，存在和非存在看成非此即彼的两个对 立概念。而用极限理论完成了有限到无限的跨越，用无穷小量 完成了存在到非存在的跨越．从而使它们辩证地统一起来。进 而上升为辩证的思维方式。 再次，悖论是新颖独到、创造性的思维活动，它既没有有 效的方法和确定的规则可以直接利用．又没有人类以总结的 科学理论为依据，湿示了思维的智力品质的独创性。同时，我 们还看到悖论形成的思维过程，不是循规蹈矩、人云亦云，而 是独立思考．对旧的思维过程的批判和自我认识，显示了思维 活动的批判性。 三、数学悖论在数学教学中的教育意义 数学悖论不仅存在于一些基础的重要的数学理论中，而 且在我们身边、生活中不短缺。教师如果能够结合学校数学课 程，把我们在生活巾她到的数学悖论加以合理地处理，它们就 可以成为数学课堂教学中的“本原性问题”。下面举两个例子 予以说明。 例ｌ：假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门 中选择一扇。其中一扇后面有一辆车。其余两扇后面则是山 羊。你选择了一扇ｆ】，假设是ｌ号门，然后知道门后面有什么的 主持人开启了另一扇后面有山羊的门．假设是３号门。然后他 问你：“你想选择２号门吗？”那么．改变你的选择对你来说是一 种优势吗？ 这个问题源自美国电视娱乐节目“让我们做个交易” （Ｌｅｔ’ｓ Ｍａｋｅ ａ Ｄｅａｌ）．后来被冠以节目主持人的名字“蒙提・霍 尔悖论”。莎凡是吉尼斯世界纪录中智商最高的人，她对这一 问题的解答是应该换．因为换了之后有２／３的概率赢得汽车。 不换的话概率只有１／３。她的这一解答引来了大量读者信件， 认为这个答案太荒唐了。有人说，如果这个解答代表了美国人 的智力，那美国就没希望了。因为直觉告诉人们，既然参赛者 是从鼍扇门巾任选一扇，那么选中汽车的概率就是１／３，换另 一扇门的话概率仍然是１／３。实际上，从数学上说，莎凡是对
数学悖论
数学悖论结课体会学号080907237姓名杨鹏悖论的历史源远流长，它的起源可以一直追溯到古希腊和我国先秦时代。
“悖论”一词源于希腊文，意为“无路可走”，转义是“四处碰壁，无法解决问题”。
悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。
数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。
按照悖论的广义定义，所谓数学悖论，是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。
从上课老师举的例子中我认为悖论都有其合理的一面，但又都不十分令人满意。
从潜科学的观点来看，悖论是一种在已有科学规范中无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的科学规范中得到克服，这是悖论的广义定义。
悖论有其存在的客观性和必然性，它是科学理论演进中的必然产物，在科学发展史上经常出现，普遍存在于各门科学之中。
不仅在语义学、形式逻辑和数理逻辑等领域出现悖论，而且在物理学、天文学、系统论和哲学等领域也经常出现悖论。
悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。
悖论常常以逻辑推理为手段，深入到原理论的根基之中，尖锐地揭露出该理论体系中潜藏着的无法回避的矛盾，所以它的出现必然导致现存理论体系的危机。
科学危机的产生，往往是科学革命的前兆和强大杠杆，是科学认识飞跃的关节点和开始进入新阶段的重要标志。
我国著名数学家徐利治教授指出：“产生悖论的根本原因，无非是人的认识与客观实际以及认识客观世界的方法与客观规律的矛盾，这种直接和间接的矛盾在一点上的集中表现就是悖论。
”所谓主客观矛盾在某一点上的集中表现，是指由于客观事物的发展造成了原来的认识无法解释新现实，因而要求看问题的思想方法发生转换，于是在新旧两种思想方法转换的关节点上，思维矛盾特别尖锐，就以悖论的形式表现出来。
下面是我对几个典型数学悖论的看法和观点。
理发师悖论理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。
数学悖论
都能找到更“大”的无限集合）。
2
奇怪的旅店
有个故事据说出自杰出的德国数学家 希尔伯特之口：
一天深夜，一个人走进一家旅店， 想订一间房.店主微笑的告诉他说： “对不起，我们所有房间都住满了客 人，不过让我想想办法，或许我最终 可以为您腾出一个房间来.”
然后，店主便离开自己的办公台， 很不好意思的叫醒了旅客，并请他们 换一换房间：他要每一号房间的旅客 搬到房间号比原来高一号的房间去.
13
芝诺悖论---由无限引出的
芝诺（前490？—前430？）是（南意大利的）
爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明 该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可
分的“一”及“静止的例证，人称
“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。
我们从数学角度看其中的一个悖论。
18
症结：
无限段长度的和，可能是有限的； 无限段时间的和，也可能是有限的。
芝诺悖论的意义：
1）促进了严格、求证数学的发展
2）较早的“反证法”及“无限”的思想
3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：
空间和时间有没有最小的单位？
19
芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连
续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离
数学中的无限在生活中的反映
1）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的
（整体看又是圆的）
2）锉刀锉一个光滑零件：
每一锉锉下去都是直的
（许多刀合在一起的效果又是光滑的）
1
无限集合也有“大小”
——从“一一对应”说起
实无限的观点让我们知道，同样是无限集合，也可能
有不同的“大小”。
正整数集合是最“小”的无限集合。 实数集合比正整数集“大”。实数集合上全体连续函 数的集合又比实数集合更大。 不存在最“大”的无限集合（即对于任何无限集合，
关于数学悖论
引言数学常被视为严格、和谐、精确的学科.但纵观数学发展史的，数学的发展从来不是完全直线式的，它的体系不是永远和谐的，常常出现悖论. “悖论”一词来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”. 这个词的意义比较丰富，是指在某一一定的理论体系的基础上，根据合理的推理原则推出了两个互相矛盾的结论.数学悖论在数学发展史中占据了重要的地位，可以这样说：数学也正是在不断消除悖论，解决矛盾中向前发展的，这体现了矛盾是事物发展的基本动力这一原理.这里，首先对数学悖论进行一个概述，然后介绍数学史中三个著名的悖论产生、消除及其对数学发展的历史意义.1 数学悖论的概述值得注意的是，我们所说的悖论与通常的诡辩或谬论的含义是不同的，诡辩或谬论不仅从公认的理论明显看出它的错误，而且一般地还可以运用已有的理论、逻辑论述其错误的原因；而悖论就与此不同了，悖论虽然感到它是不妥的，但是从它所在的理论体系中，却不能自圆其说.1.1 悖论的产生背景及定义悖论问题是一个古老而又常新的话题.“悖论”由来已久，它的起源可以追溯到古希腊和中国的先秦时代.但严格意义下的悖论是在19世纪末、20世纪初的数学家在研究数学基础过程中发现的.当集合论成为数学的基础之后，随着人类对无穷集合认识的不断深入，就产生了许多悖论.1897年意大利数学家不拉里——弗蒂在超穷序数理论中发现了第一悖论，接着，集合论的创始人康托尔于1899年在基数理论中又发现了另一个悖论，1902年罗素在集合论概括原则的基础上又引出著名的“罗素悖论”.1918年，罗素在此基础上又提出一种通俗形式的悖论，即“理发师悖论”.由于一连串悖论的出现，使得许多科学家、数学家忧心忡忡.那么，究竟什么是悖论呢？对此，当前流行的说法是：“悖论是一种导致逻辑矛盾的命题.这种命题，如果承认它是真的，那么它又是假的，如果承认它是假的，那么它又是真的.”又如“一个命题构成一个悖论，如果由它的真可以推出它的假，而由它的假又可以推出它的真.”诸如此类的定义法，有它合理的一面，又有不够全面的一面.这里认为，在研究悖论的准确定义时，以下几点必须加以明确：(1）任何悖论总是相对于一定的理论系统而言的.例如，罗素悖论和说谎者悖论，就是分别相对朴素集合论和真理性理论而言的；(2）悖论的最终表现总是体现为一定逻辑矛盾的揭示.这里所说的“逻辑矛盾”包括两种情况：一种是借助于语义学上的概念（真、假）而构成的，称为“语义学悖论”；另一种是借助于数学和逻辑符号得到的，称之为“逻辑-数学悖论”.例如：古代的说谎者悖论，现代集合论中的理查德悖论、格里林悖论等就属于第一类悖论；而康托尔悖论、罗素悖论就属于第二类悖论；(3）对于悖论，不能仅从字面上把它理解为“悖理”或“诡辩”.因为悖论与诡辩有含义上的不同.后者不仅从公认的理论明显看出是错误的，而且通过已有的理论逻辑可以论述其错误的原因，而前者虽感到其是不妥的，却不能阐明其错误的原因.我们认为，布拉里——弗蒂与希尔伯特关于悖论的陈述是精确的，如果某一理论的公理和推理规则看上去是合理的，但是这个理论中推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个矛盾命题的等价式，那么，我们就说这个理论包含一个悖论.数学悖论也叫“逆论”或“反论”，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学悖论.这些结论会让你无比的惊讶：他们有的看起来肯定是错了，但实际却是对的；有的看起来是对的，但实际是错的；还有的会让你陷入对也不是、错也不是的困境.数学悖论的出现，开始引起一些人们的好奇与思考，以后的逐步发展又动摇了某些数学基础，由于萌发了其内部的矛盾，进而引起人们的争辩.历史上人民对于数学危机的一次又一次解决或克服，往往给数学带来了新的内容，甚至引起革命性的变革.1.2研究数学悖论的意义数学科学历来视为严格、和谐、精确的典型学科，但是数学的发展从来不是直线式的，它的体系并不是永远和谐的，而常常出现悖论，特别是一些重要悖论的产生，自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠信仰的动摇.数学史上的三次数学危机皆由数学产生悖论而引起.悖论虽然看似荒诞，但却在数学史上产生过重要影响，一些著名的悖论曾使那些著名数学家和逻辑学家为之震惊，并引发人们长期艰难而深入的思考.可以说是悖论的研究对促进数学科学的发展是立过汗马功劳的.悖论是一种思辨的方法，是研究问题的一种方式，也是历史上一种旧理论被新理论替代的前奏，数学少不了悖论，数学公理系统没有悖论就是不完备的，我们不是去容忍悖论，而是去消除悖论，在消除悖论的过程中提高认知水平.消除悖论的过程常常是完善、发展原有理论的过程.悖论是一个涉及数理科学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛的论题，对科学发展的意义不言而喻.从数学方面来看，悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的.因而研究悖论的定义、悖论产生背景、解决方案以及对数学发展是非常必要的.数学悖论是一种特殊的逻辑矛盾，它的形成与客观对象的复杂性、多样性，每一代人认识的有限性和局限性，以及人类的主观认识与客观现实的不一致性相关.在数学发展的过程中，人的认识是不断深化的.在不同的历史阶段，人的认识具有一定的片面性和相对性，就会出现“悖论”.因此，它的发生是必然的、不可避免的.数学悖论的发现改变了人们以往的思维方式，迫使人们重新构建理论，从而，在数学认识史中具有积极的意义.2 数学史上三个著名的悖论出现、消除及历史意义数学拥有“美”的内容，也存在着“丑”的东西，数学悖论就是一种“丑”的表现，追求数学美能促进数学发展，同样的，为了消除它的“丑”必然也能推动数学自身的发展，数学三次危机的克服对数学发展的推动作用，就是历史事实.数学发展是矛盾运动的结果.爱因斯坦指出：“提出问题比解决问题更重要.”问题就是矛盾，解决问题就是促使矛盾转化.数学探索与研究起源于数学问题，数学问题的源泉存在于自然科学、社会科学及数学自身的矛盾运动.数学问题一经提出，数学家一般要先经过各种尝试（如类比、归纳、演绎、分析、综合、试验等），经过长时期（甚至几代人）的不懈努力，最终目的促使数学问题得以解决，或说促使数学矛盾得以转化，从而创造出新的数学理论、新的数学成果及新的数学思想方法.数学的历史，就是不断解决数学矛盾又产生新的数学矛盾的过程.从哲学上看，数学是现实世界量的侧面在人们头脑中的反映，因为现实世界是充满着矛盾的，所以数学也必然充满了矛盾.正像恩格斯所指出的：不仅高等数学充满着矛盾，连初等数学也充满着矛盾.比如：正与负、直与曲、平行与相交、已知与未知、常量与变量、有限与无限、连续与不连续、精确与近似、必然与或然、加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、微分与积分、几何变换与其逆变换、数学算子与逆算子、实在的与虚构理性的，等等.当然在整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾.例如：有穷与无穷、连续与离散，乃至存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算，等等.他们可以说贯穿了整个数学发展史，而这些大大小小矛盾的产生，发展到激化，到解决，总是不断为数学产生新的概念、新的方法、新的理论，也可能产生新的概念、新的方法、新的理论，也可能产生新的危机.危机实际上是一种激化的、非解决不可的矛盾，而这些矛盾的消除、危机的解决，往往给数学带来新的内容、新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力的基本原理.纵观数学与数学文化的发展史，数学问题是数学中的一种疑难和矛盾，它的提出和解决是推动数学发展的重要力量.2.1“毕达哥拉斯悖论”与第一次数学危机的化解2.1.1“毕达哥拉斯悖论”与第一次数学危机的出现在古希腊毕达哥拉斯时期,数学思维尚处于刚刚形成有理数观念的早期阶段.由于数量概念源于测量,而测量得到的任何量在任何精确度的范围内都可以表示成有理数,所以,人们普遍相信一切量均可用有理数表示.这种认识反映到历史上第一个数学共同体——毕达哥拉斯学派的理论体系中,便凝练为可公度原理,即“一切量均可表示为整数与整数之比”.毕氏学派深信数的和谐与数是万物的本源,而宇宙间的一切现象都归纳为整数和整数比的信条.然而，毕达哥拉斯定理（勾股定理）却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”.毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新的数来表示.希帕索斯的发现的诞生.这却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴.它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌.实际上，这一伟大发现不但对毕达哥拉斯学派是致命打击，对于当时所有古希腊人的观念也是一个极大的冲击.这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数.这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它竟然把以前所知道的事情从根本上推翻了.更糟糕的是，面对这一“荒谬”人们竟然毫无办法.这在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”.也就是著名的“毕达哥拉斯悖论”.2.1.2 第一次数学危机的解决第一次数学危机出现后，古希腊人陷入了“失乐园”的彷徨之中.为了摆脱危机，当时的学者作了种种努力.在这方面贡献最大的是柏拉图、欧多克索斯、欧几里得.在大约公元前370年，这个矛盾被希腊数学家欧多克索斯给出的两个比相等的新定义所解决，当然从理论上彻底克服这一危机还有待于实数理论的建立.欧几里得则在柏拉图、欧多克索斯、亚里士多德等人工作的基础上,总结了以前全部几何学知识，建立起第一个几何公理系统，并编写出《几何原本》一书.这无疑是数学思想上的一次巨大革命，古典逻辑与欧氏几何就是第一次数学危机的产物.第一次数学危机后承认除了整数和分数外还存在另外的数.由于对这种“怪数”的接受很不情愿，于是就给它起了一个难听的名字—无理数.不可通约量(即无理数)的发现引起人们思想上的困惑.甚至直到十九世纪，无理数也没有一个名正言顺的地位，但随着分析学的飞速发展，它(或整个实数理论)已不得不被人们摆在前台，到十九世纪下半叶，数学分析的进一步发展需要有逻辑严谨的实数理论作为其基础，于是两种实数理论几乎在同一时期产生了，这两种实数理论分别是由戴德金与康托尔建立的，它有一个共同点，即都是将实数定义为有理数的某些类型的“集合”.戴德金方法可以称为序完备化方法，康托尔方法可以称为度量完备化方法.这些方法在近现代数学中都已成为典型的构造方法，被后人不断推广发展成为数学理论中的有力工具.第一次数学危机也随之化解.这一危机的化解，使“数”真正具有了表达一切量的可能，不仅是无理数，还使数的概念不断扩大和发展.复数、四元数、超限数、理想数、非标准数等各种各样的数都被创造出来了.第一次数学危机持续了两千多年. 1872年,数学家戴德金通过他的“戴德金分割”从有理数扩展到实数，建立起无理数理论.十分有趣的是，在同一年，维尔斯特拉斯通过有界单调序列理论、康托尔通过有理数序列理论完成了同一目标：他们都从有理数出发定义出无理数，从而建立起了实数理论.实数的这三大派理论，从不同方面深刻揭示了无理数的本质.实数域的构造成功，使得2000多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了.直到此时，我们才可以说由毕达哥拉斯悖论引发的第一次数学危机圆满而彻底地解决了！2.1.3 “毕达哥拉斯悖论”的历史意义这次危机导致了数学史上第一个无理数的诞生，之后，许多数学家正式研究了无理数，直到19世纪下半叶，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论.无理数本质才被彻底搞清，无理数在数学中的合法地位才被真正确立，同时也为数学分析的发展奠定了基础.第一次数学危机还表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示.反之，数却可以由几何量表示出来.整数的尊崇地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击.于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位.同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的，证明的思想在希腊人的心中扎下了根.进一步，古希腊人发展了逻辑思想并加深了对数学抽象性、理想化等本质特征的认识，古典逻辑学应运而生.从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系.这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物.第一次数学危机的影响是巨大的.首先，它推动了数学及相关学科的发展.例如，欧几里得几何就是在第一次数学危机中产生的.其次，虽然第一次数学危机在一定程度上引发了数学思想上的混乱，但数学并没有在危机面前停滞，反而在克服危机的过程中产生了逻辑学和公理几何学，极大地促进了几何学的发展,使几何学在此后两千年间几乎成为是全部严密数学的基础，这不得不说是数学思想史上的一次巨大革命.当然，这种将整个数学捆绑在几何上的狭隘做法，对数学的发展也产生了不利的影响.不可公度量的发现，使希腊人把几何看成了全部数学的基础，在数的研究过程中割裂了它们之间的密切关系.这样做的最大弊端是放弃了对无理数本身的研究，使算术和代数的发展受到很大的限制，从而导致了基本理论变的十分薄弱.这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年.总而言之，第一次数学危机的结果是产生了无理数概念，并取得重大飞跃，使人们对实数有了完整的认识，同时，这也为后来欧几里得、阿基米德等人在数学上取得杰出成就，甚至牛顿、莱布尼兹创建微积分奠定了数的基础.2.2“贝克莱悖论”与第二次数学危机的化解2.2.1 “贝克莱悖论”与第二次数学危机的出现在希腊的后期，除了研究直线、折线的长度、直线形的面积外，还讨论过曲线的长度和曲线形的面积问题.经过中世纪和文艺复兴，直到十七、八世纪，人们发现下列问题需要处理：(1)知路程函数，求速度以及它的逆问题；(2)求——曲线的切线；(3)求——函数的极值.在研究上述问题过程中逐步产生了微积分.牛顿和莱布尼茨是微积分的创立者，他们把有关运动、切线、极值和求积等各种问题的解决统一成微积分方法，有计算微分的明确步骤，确立它是(不定)积分的逆运算，得到牛顿——莱布尼茨公式，这一新生而有力的数学方法，受到数学家们的欢迎，解决了大量过去无法解决的问题，同时，微积分基础的问题也越来越严重了.这就是如何解释“无穷小”的问题，牛顿给出瞬时速度的定义，又给出有效的计算方法：第一步，他用无穷小作分母进行除法运算；第二步，他又把无穷小看作零，以去掉那些包含着它的项，而得到所要的公式.这时的微积分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在着漏洞，还不能自圆其说.例如，牛顿当时是这样求函数n y x =的导数的：()()()212()12nn n n n x x x n x x n n x x x --+∆=+⋅⋅∆+-⋅⋅∆+⋅⋅⋅+∆ 然后把函数的增量△y 除以自变量的增量△x ，得到：()()()()211212n n n n n n x x x y x x n n x x nx x x x x ----+∆-∆==⋅+-⋅⋅∆+⋅⋅⋅+∆+∆∆∆ 最后，扔掉其中所有含 x ∆的项，就得到函数n y x =的导数为1n nx - .“无穷小”在逻辑推理上是零与非零的矛盾，而牛顿却不能在逻辑上说清楚，他说：“量在其中消失的终极比，严格地说来，不是终极量的比，而且它与无限减小的这些量所趋近的极限之差虽然能比任意给出的差更小，但是在这些量无限缩小以前即不能超越也不能达到这个极限.”无论牛顿用数学语言，还是利用物理意义，他都没有说清楚无穷小量是什么.科学家们相信它，因为它使用起来十分有效，得出的结果总是对的，但是由于逻辑上的漏洞，遭到一些人指责，甚至嘲讽与攻击.如1695年，荷兰数学家纽汶蒂在其著作《无限小分析》中指责牛顿的流数术叙述“模糊不清”，莱布尼茨的高阶微分“缺乏根据”等.法国数学家罗尔（罗尔中值定理以他的名字命名）也对微积分表示怀疑.然而，对新生的微积分攻击得最厉害的是爱尔兰主教贝克莱，他的观点是“存在即被感知”，认为一切事物不过是人的感知的综合，他的哲学目的是论证上帝的存在.贝克莱在1734 年写了题为《分析学家》，副标题“致不信神的数学家”一书，该书对微积分大肆攻击：“既不是有限量，也不是无穷小，但又不是无”、“是消失了的量的鬼魂”.尽管一些数学家对贝克莱的攻击进行反驳，但没有在逻辑上说清楚无穷小量引起的数学逻辑基础的混乱.贝克莱是出于恐惧当时自然科学发展所造成对宗教信仰的威胁，也是由于当时的微积分理论缺乏牢固基础，所以当时的微积分遭到攻击和非难在所难免. 历史上，人们就把微积分自诞生以来数学界出现的混乱情形叫做“第二次数学危机”，也把贝克莱的攻击称为“贝克莱悖论”.2.2.2 第二次数学危机的解决贝克莱悖论的提出与第二次数学危机的出现，使微积分基础问题引起了更大的重视.十七、十八世纪，数学家们不顾贝克莱们的挑剔和攻击，受微积分有大用的鼓舞，继续在不牢固的基础上建筑微积分的大厦.在英国，数学家马克劳林对贝克莱悖论做出最重要的回应.虽然马克劳林巨大的努力回答了贝克莱的质疑，但十八世纪的大多数数学家对他这种用几何方法严格论证微积分的工作并不欣赏.后来欧拉、达朗贝尔、拉格朗日等为微积分的基础严密化做了重大贡献，但是微积分逻辑基础在十八世纪结束的时候仍然是一个悬而未决的问题.十九世纪初，许多迫切的问题基本上得到解决，一种追求严密性的风尚开始在数学界蔓延开来.一些数学家开始沿着正确的途径建立微积分的严格基础.例如波尔查诺、阿贝尔、柯西、魏尔斯特拉斯等，波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量，而是变量，无穷小量是以零为极限的变量，并且定义了导数和积分；狄利克雷给出了函数的现代定义.在这些工作的基础上，魏尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，完成了一套被认为是天衣无缝的()N ξξσ--语言，严格刻画了极限的定义.人们放弃了无穷小，而以一个无限过程刻画的极限理论统一了导数和积分概念.由于这个理论用不着“无穷小”，一切都按程序操作,“无穷小”引起的混乱被消除了.十九世纪八十年代初，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限理论的基本定理，这样，数学分析中微积分的理论基础——严格的极限理论建立起来了，微积分的发展从此进入了一个新的阶段.原有的悖论在新的体系下可以圆满地予以清除，第一次数学危机和第二次数学危机几乎同时在十九世纪消除.第二次数学危机的消除，与第一次数学危机的消除，两者实际上是密不分的.为解决微积分问题，必须建立严密的无理数定义以及完整的实数理论.有了实数理论，加上柯西和维尔斯特拉斯的极限理论，这样，第一、二次数学危机就相继消除.2.2.3 “贝克莱悖论”的历史意义“贝克莱数学上的悖论”源于他的哲学上的悖论认知.比如,他的著名观点“存在就是被感知”,就包含了存在、感知、观念、精神以及上帝.这里就潜藏着悖论因子:如果从上帝开始,那么,那是《创世纪》的方向,一切以经文为准,即“信仰之道”；相反,如从观念开始,就成了逆式的“哲学之路”了.这样他就混淆了这两条路:论证的路一再被信仰打破；而论证的困境一次又一次地因信仰而解决.事实上,贝克莱的思想处处充满逻辑悖论.对于他的“物质”观念化,我们就有理由追问:他的上帝似乎在虚无中创世,而创造的也是虚无.尽管作为抽象概念的物质并不存在,但在感知的另一头,是否会有某些不可名状的东西?但如果没有被动的观念,哪来主动的精神?既然没有物质实体,精神实体又在何处?如果没有精神实体,无限精神又当如何?最后的归宿就是:没有上帝,他的哲学注定漂无定所,假设有上帝,哲学又将变得可疑；如果哲学的虚拟性贯穿始终,则上帝将止于空洞的说词.可见,他的矛盾式的、悖论式的哲学思想就为微积分的缺口的批判——无穷小悖论做了伏笔.虽然从贝克莱本人的目的来看,他试图通过对微积分的批判,曲解数学而为神学辩护.但从客观上看,微积分的理论体系还是具有高度的精确性(虽然不十分严谨)和广泛的应用性.贝克莱悖论的出现只是从一个更高层次上对新生的微积分理论体系所提出的更高的要求,这样迫使数学家认真对待这一悖论：柯西用极。
数学悖论
悖论一、悖论的概念悖论的定义可以这样表述：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。
那么命题B就是一个悖论。
当然非B也是一个悖论。
我们可以按照某些制定或约定的公理规则去判定或证明某一命题的真假，但是我们按照制定或约定的公理规则去判定或证明有些命题的真假时，有时却出现发生了无法解决的悖论问题，这种情况说明了什么问题？自然在整体上是包含多样性的，而我们却置这些情况于不顾，而专门关注属于我们感兴趣的那一种特殊情况，当特殊情况与其它相反的情况或普遍性存在的一般情况相遇时必然产生某种相悖的结论。
不是数学悖论对数学基础产生大的危机影响，而是对逻辑和认识产生重大影响。
悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个组成部分，这一分支以“趣味数学”知名于世。
这就是说它带有强烈的游戏色彩。
然而，切莫以为大数学家都看不起“趣味数学”问题。
欧拉就是通过对bridge-crossing之谜的分析打下了拓扑学的基础。
莱布尼茨也写到过他在独自玩插棍游戏（一种在小方格中插小木条的游戏）时分析问题的乐趣。
希尔伯特证明了切割几何图形中的许多重要定理。
冯·纽曼奠基了博弈论。
最受大众欢迎的计算机游戏—生命是英国著名数学家康威发明的。
爱因斯坦也收藏了整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。
悖论有三种主要形式。
1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
3．一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾。
悖论的分类主要有逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。
古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。
解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
数学悖论
罗素的“悖论”英国现代数理学家、哲学家罗素，是数学中逻辑主义学派的代表人物。
1903年他提出了著名的“悖论”，导致了“集合论”理论的发展。
所谓悖论，是从一些貌似正确的或看来可接受的约定出发，经过简明正确的推理，却得到自相矛盾的结论。
例如，对一个命题，如果假定它为真，经过无懈可击的推理，却推出它为假；但假定它为假，又能推出它为真。
这样的命题就是一个悖论。
下面是罗素提出的一个命题：某理发师规定：他只给那些自己不给自己刮脸的人刮脸。
这个理发师该不该给自己刮脸呢？很显然，如果这个理发师给自己刮脸，那么按规定他就不该给自己刮脸；同时，如果他不给自己刮脸，那么按规定他又应该给自己刮脸。
多尴尬的理发师！这样自相矛盾的命题就是悖论。
聪明的读者，请你分析下面的一句话：安第斯山人迪皮克说：“所有安第斯山人说的话都是谎话。
”你能推出这句话中的悖论吗6参考答案：如果这句是真话，由于迪皮克是安第斯山人，他也是说谎者，因此这句话是谎话。
如果这句话是谎话，那么安第斯山人不都是说谎者，可是他的话说明是在说谎，因此是句真话。
摘要：本文主要通过数学史上的三次危机的产生与消除，针对它们的本质浅谈自己的认识，实际导致这三次危机原因在与人的认识。
第一次数学危机是人们对万物皆数的误解，随着无理数的发现，把第一次数学危机度过了。
第二次数学危机是人们对无穷小的误解，微积分的出现产生了一种新的方法，即分析方法，分析方法是算和证的结合。
是通过无穷趋近而确定某一结果。
罗素悖论的发现，给数学界以极大的震动，导致了数学史上的第三次危机。
为了探求其根源和解决难题的途径，在数学界逻辑界进行了不懈的探讨，提出了一系列解决方案，并在不知不觉中大大推动了数学和逻辑学的发展。
关键词：危机；万物皆数；无穷小；分析方法；集合一、前言数学常常被人们认为是自然科学中发展得最完善的一门学科，但在数学的发展史中，却经历了三次危机，人们为了使数学向前发展，从而引入一些新的东西使问题化解，在第一次危机中导致无理数的产生；第二次危机发生在十七世纪微积分诞生后，无穷小量的刻画问题，最后是柯西解决了这个问题；第三次危机发生在19世纪末，罗素悖论的产生引起数学界的轩然大波，最后是将集合论建立在一组公理之上，以回避悖论来缓解数学危机。
研究悖论的意义[整理]
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研究悖论的意义[整理]研究悖论的意义数学科学历来被视为是严格、和谐、精确的典型学科，但数学的发展从来不是直线式的，它的体系并不是永远和谐的，而常常出现悖论，特别是一些重要悖论的产生，自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的动摇。
数学史上的三次危机皆由数学产生悖论而引起。
悖论虽然看似荒诞，但却在数学史上产生过重要影响，一些著名的悖论曾使高明的数学家和逻辑学家为之震惊，并引发人们长期艰难而深入的思考。
可以说悖论的研究对促进数学科学的发展是立过汗马功劳的。
悖论是一种思辨的方法，是研究问题的一种方式，也是历史上一种旧理论被新理论代替的前奏，数学少不了悖论，数学公理系统没有悖论就不是完备的，我们不是去容忍悖论，而是去消解悖论，在消解悖论的过程中提高认知水平。
消除悖论的过程常常是完善，发展原有的理论的过程。
悖论是一个涉及数理科学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛的论题，对科学发展的意义不言而喻。
从数学方面来看，悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的。
因而研究悖论的定义、悖论的产生背景、解决方案以及对数学发展的影响也就是非常必要的。
数学悖论是一种特殊的逻辑矛盾，它的形成与客观对象的复杂性、多样性，每一代人认识的有限性和局限性，以及人类的主观认识与客观现实的不一致性相关。
在数学发展的过程中，人的认识是不断深化的。
在不同的历史阶段，人的认识具有一定的片面性和相对性，就会出现“悖论”。
因此，它的发生是必然的、不可避免的。
数学悖论的发现改变了人们以往的思维方式，迫使人们重新构建理论，从而，在数学认识史中具有积极的意义。
一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对待;一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了;一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。
悖论是一种特殊的自相矛盾的命题:若肯定该命题真，就推出它假;若肯定它假，就推出其真。
人们通常将悖论分为两种:逻辑悖论和语义悖论。
逻辑悖论又称集合论悖论，以罗素悖论为典型。
悖论及其作用
悖论及其作用悖论看似自相矛盾，其实往往揭示了真实。
印象里大多数悖论都只是无法成立的争论，但是对于提高批判思维能力，悖论确实具有一定价值。
悖论之一：伽利略悖论 [维基]不是所有的数都是平方数，所有数的集合不会超过平方数的集合伽利略悖论让人见识了无限集合的惊人特性。
在他最后的科学著作《两种新科学》里，伽利略写出了这个关于正整数的矛盾陈述。
首先，部分数属于平方数，其它则不是；因此，所有数，包含平方数和非平方数的集合必定大于单独的平方数。
然而，对于每个平方数有且只有一个对应的正数平方根，切对于每个数都必定有一个确定的平方数；所以，数和平方数不可能某一方更多。
这个悖论虽然不是最早但也是早在无限集合中运用一一对应的例子。
伽利略在书中总结说，少、相等和多只能描述有限集合，却不能描述无限集合。
19世纪德国数学家格奥尔格·康托尔，也是数集理论的开创者，使用了相同的手法否定了伽利略的这条限制条件的必要性。
康托尔认为在无限数集中进行有意义的比较是可行的(康托尔认为数和平方数这两个集合的大小是相等的)，在这种定义下，某些无限集合肯定是比另一些无限集合大。
伽利略对后继者在无穷数上的突破的预测惊人的准确，伽利略在书中写到，一条线段内所有点的数目和比此更长的线段上点的数目相等，但是伽利略没有想出康托尔的证明法，即线段上所有点的数比整数大。
悖论之二：节约悖论假设经济衰退，全社会所有人都选择把钱存进银行，社会总需求因此下降，社会总资产反而更少。
节约悖论是指在经济萧条时期所有人都把钱存进银行，社会总需求会下降，反过来全社会的消费水平下降、经济增速减缓，全社会的资产总数也就下滑。
悖论认为个人资产增值的同时，全社会资产反而减少，或者再放开了说，储蓄额的增加在荼毒经济，因为传统认为个人储蓄有益社会，但是节约悖论认为大规模的储蓄会对经济造成伤害。
如果所有人都把钱存进银行，账面上个人的资产会增值，但是全社会总体的宏观经济趋势会下降悖论之三：生日问题 [维基]这么几个人里就有两个人同天生日，怎么可能？生日问题提出了一种可能性：随机挑选一组人，其中会有两人同天生日。
数学悖论
悖论的探索常识和科学都告诉我们：假如说一个论断是正确的，那么，无论作怎样的分析、推理，总不会得出错误的结论；同样，假如说某个论断是错误的，那么，无论作怎样的分析、推理，总不会得出正确的结论。
数学作为建筑在逻辑推理基础上的科学，总是严密的、可靠的。
像几何学，就是从几条公理出发，推演出一整套严密的科学体系，其中任何一条定律，在条件满足时总是正确的。
例如，平面上的两条直线，要么相交，要么平行。
这个论断是正确的，因为平面上不可能有两条既不平行也不相交的直线。
再如，不在同一条直线上的三个点可以确定一个平面，只有两个点就不行。
无论任何人都不可能在某种条件下，仅用两个点或者用任意三点就可决定一个平面。
但是，早在2 000多年前的古希腊，人们就发现了这样的矛盾:用公认的正确的推理方法，证明了这样两个“定理”，承认其中任何一个正确，都将推证出另一个是错误的。
甚至有这样的命题：如果承认它正确，就可以推出它是错误的；如果承认它不正确，又可以推出它是正确的。
到底哪个正确哪个错误，使人们难以判断。
这种情况看来十分荒唐，而事实上它是客观存在的。
这种现象科学家称为“悖论”。
“悖”就是相违背、谬误或混乱的意思。
千百年来，科学家一再发现这样的悖论。
今天，虽然数学家还不能合理地解释悖论，但正是在这种解释的努力中，数学家作出了一系列的发现，导致了大量新学科的建立，推动了数学科学的发展。
例如无穷级数S＝1－1＋1－1＋1………到底等于什么？当时人们认为一方面S＝（1－1）＋（1－1）＋………＝0；另一方面，S＝1＋（1－1）＋（1－1）＋………＝1，那么岂非0＝1？这一矛盾竟使傅立叶那样的数学家困惑不解，甚至连被后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难以饶恕的错误。
他在得到1 + x + x2 + x3 + ···= 1/(1- x)后，令 x = －1，得出S＝1－1＋1－1＋1………＝1／2！由此一例，即不难看出当时数学中出现的混乱局面了。
数学悖论
数学悖论
悖论 ：笼统地说，是指这样的推理过程：
它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。 悖论在很多情况下表现为能得出不符合排 中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它 为假；由它的假，则可以推出它为真。
例9：鳄鱼和小孩
一条鳄鱼从母亲手中抢走了一个小孩。
鳄鱼：我会不会吃掉你的孩子？答对了，我就把孩子不加 伤害地还给你。
母亲：你要吃掉我的孩子。
鳄鱼：呣……。我怎么办呢？如果我把孩子交还你，你就 说错了。我应该吃掉他。
母亲：可是你必须交给我。如果你吃了我的孩子，我就说 对了，你就得把他交回给我 。
唐·吉诃德悖论
三：一系列推理看起来好像无懈可击，可是却 导致逻辑上自相矛盾。
有些话，既是对的，又是错的； 有些事，既不是真的，也错的。
上面这个句子对吗？如果是对的，这句话就是 错的！如果这句话是错的，那这个句子就对了！
例8：理发师悖论
告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸， 我也只给这些人刮脸。
那么请问：这位理发师给不给他自己刮脸呢？
如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但 是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自 己来刮脸。
如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的人。 但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任 何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发 师刮脸了！
请问一块钱哪儿去了？
二：种论断看起来好像肯定错了，但实际上 却是对的（佯谬）。
例如：自然数集和偶数集哪个元素多？
自然数集：1, 2,3, 4, , n
大学数学史考试论文--悖论
悖论一、什么是数学悖论悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。
笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。
悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它为真。
悖论的成因极为复杂且深刻，常见的悖论的三种形式：１、命题表面上看是不可能的,或者是自相矛盾的,然而它们却是真的，如根据康托的理论,奇数的数目与自然数的数目一样多。
２、当一个论证看上去似乎是完全可靠的,然而却得到一个荒谬的结论，如芝诺悖论。
３、根据似乎完全可靠的推理能够证明某种东西必定为真而且也能够证明它必定为假，这也就是通常所说的二律背反。
（注：在康德的哲学概念中，二律悖反指对同一个对象或问题所形成的两种理论或学说虽然各自成立但却相互矛盾的现象）。
数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。
按照悖论的广义定义，所谓数学悖论，是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。
说到这里，我们不得不谈谈数学史中最著名的三个悖论，它们分别引起了数学史上的三次危机。
二、数学史中的著名悖论与三大危机希帕索斯悖论与第一次数学危机希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。
到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。
数学悖论
数学危机
魏尔斯特拉斯进一步改进了柯西的工作，把微积分奠基于算术概念的基础 上。他认为“一个变量趋于一个极限”的说法还留有运动观念的痕迹，如果 把一个变量简单地解释为一个字母，让字母可代表它可以取值的集合中的任 何一个数，这样一来，运动的观念就不见了。魏尔斯特拉斯用ε—δ语言来给 函数极限的定义作了精确的阐述。现将其叙述如下： 任给ε＞0，存在一个正数δ，使得对于区间｜x—x0｜＜δ内的所有x，都 有｜f(x)-A｜＜ε， 则f(x)在x=x0处有极限A。 把极限理论建立在ε—δ准则之上就使极限理论精确化了。在上述定义中，f(x) 事实上就代表了一个潜无限的过程，而A则是这一过程的结果，即实无限性 的表现。因此，所谓ε—δ准则，实质上就是过程和结果之间的联系的反映， 而依据这一准则，我们就可以通过对过程的分析来把握相应的结果。而这种 动态过程是通过ε—δ这种静态的有限量为路标来刻划的。 由于第二次数学危机，促使数学家深入探讨数学分析的基础——实数理论。 19世纪70年代初，魏尔斯特拉斯、康托尔、戴德金等人独立地建立了实数 理论。而极限理论又是建立在实数理论的基础上，从而使数学分析奠定在 严格的实数理论的基础上，并进而导致集合论的诞生。
数学悖论
3．说谎悖论
公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如下断言： “所有的克里特人所说的每一句话都是谎话。” 试问这句话是真还是假。如果它是真，由于伊壁门尼德斯本人也是克里特岛人， 从而可推出它假。因之，由它为真可导致它为假。反之，由它为假，并不导致任何矛 盾。但是，经过公元4世纪欧布里德的改进，就变成了下面的悖论。 撒谎者悖论：“我现在所说的是假话。” 如果这句话为真，则可推出它为假。反之，由它的假，可导致它为真。这就构成 了悖论。但是这样一个前提太强，给人的感觉是在人为地制造悖论。后来，人们构造 了等价于撒谎者悖论的强化了的撒谎者悖论，即“永恒性撒谎者悖论”。现陈述如下： “在本页本行里所写的那句话是谎话”。 由于上述行里除了这句话本身之外别无它话，因此，若该话为真，则要承认说话 之结论，从而推出该话为假。反之，若该话为假，则应肯定该话结论的反面为真，从 而推出该话为真。这个悖论的症结在于作论断的话与被论断的话混而为一。要排除这 种悖论在于语言的分层，这正是语义学所研究的内容。这类悖论称为“语义学悖论”。 它是指这样一种悖论：“对于这种悖论的构造来说，象‘表明’、‘描述’、‘真’ 等这样一些语义项是必不可少的。”此外，这类悖论的构造中还必须进行语义的分析。
数学悖论
美国杰出数学家哥德尔于本世纪30年代提出了不 完全性定理。他指出：一个包含逻辑和初等数论 的形式系统，如果是协调的，则是不完全的，亦 即无矛盾性不可能在本系统内确立；如果初等算 术系统是协调的，则协调性在算术系统内是不可 能证明的。哥德尔不完全性定理无可辩驳地揭示 了形式主义系统的局限性，从数学上证明了企图 以形式主义的技术方法一劳永逸地解决悖论问题 的不可能性。它实际上告诉人们，任何想要为数 学找到绝对可靠的基础，从而彻底避免悖论的种 种企图都是徒劳无益的，哥德尔定理是数理逻辑、 人工智能、集合论的基石，是数学史上的一个里 程碑。美国著名数学家冯· 诺伊曼说过：“哥德尔 在现代逻辑中的成就是非凡的、不朽的——它的 不朽甚至超过了纪念碑，它是一个里程碑，在可 以望见的地方和可以望见的未来中永远存在的纪 念碑”。
数学悖论
悖论是一种认识矛盾， 它既包括逻辑矛盾、语义 矛盾，也包括思想方法上 的矛盾。 数学悖论作为悖 论的一种，主要发生在数 学研究中。按照悖论的广 义定义，所谓数学悖论， 是指数学领域中既有数学 规范中发生的无法解决的 认识矛盾，这种认识矛盾 可以在新的数学规范中得 到解决。
悖论的历史
在中国古代哲学中也 有许多悖论思想，如战国 时期逻辑学家惠施（约 370B.C.—318B.C.）的 “日方中方睨，物方生方 死”、“一尺之棰，日取 其半，万世不竭”；《韩 非子》中记载的有关矛与 盾的悖论思想等，这些悖 论式的命题，表面上看起 来很荒谬，实际上却潜伏 着某些辩证的思想内容。
影响 第二次数学危机的产物——分析基础 理论的严密化与集合论的创立。 “贝克莱悖论”提出以后，许多著名 数学家从各种不同的角度进行研究、探索， 试图把微积分重新建立在可靠的基础之上。 法国数学家柯西是数学分析的集大成者， 通过《分析教程》（1821）、《无穷小计 算讲义》（1823）、《无穷小计算在几何 中的应用》（1826）这几部著作，柯西建 立起以极限为基础的现代微积分体系。但 柯西的体系仍有尚待改进之处。比如：他 关于极限的语言尚显模糊，依靠了运动、 几何直观的东西；缺乏实数理论。法国数 学家魏尔斯特拉斯是数学分析基础的主要 奠基者之一，
第八讲 悖论与数学基础问题
§2 悖论举例和数学三次危机
§2 悖论举例和数学三次危机
第一次危机 公元前五世纪，一个希腊人，Pythagoras学派的 希帕索斯，发现了等腰直角三角形的直角边与斜边不 可通约，从而导致了数学的第一次危机。 背景：从自然数概念脱胎而形成有理数概念的早期阶段。
影响：促使人们从依靠自觉、经验而转向依靠证明，导致 了公理几何学与逻辑学的诞生。
根据划分公理，可证下述定理为真。 定理 任意一集L必有一子集不是L的元素。
有了这条定理，即可证明罗素悖论陈述中的“一切非本身 分子集的集 ”不是一个集合，但并不能承认划分公理可排 除罗素悖论这一孤立的说法，划分公理的公理系统不容忽视。
§3 策莫洛对悖论的解决方案
产生罗素悖论的原因：概括原则造集的任意性与生成集 合的客观原则的非任意性之间的矛盾。 后来，经过仔细分析，人们归结到如下四件事不能同时成 立，这就是： （1） x x 是一个条件（含x的语句）。 （2）任给一条件 x 决定一集，即 x A x 。 （3）集合为个体之一，因而x处均可代以A。 （4）p p 为一矛盾。 各家对悖论的排除： 罗素从否定（1）出发，展开他的类型论。 Zermelo-Fraenkel基于否定（2），构造ZFC集合论公理系统。 Bernays-Gȍdel基于否定（3），形成BG集合论公理系统。 Ƃoɥвар以否定（4）为起点发展他的多值逻辑。
§1 悖பைடு நூலகம்的定义和起源
2、在历史上，还有另一种与之相反的情形而称之为悖论的， 那就是由于新概念的引入而违背了具有历史局限性的传统观 念，这也一时称为悖论的发现。例如，历史上的Galilei悖论 便属于这一类悖论。 Galilei对平方数与自然数一一对应的发 现矛盾于全体大于部分的原则，这就不 是Galilie的发现在推理上的问题，而是 由于全体大于部分的直观原则是从有限 数量的事物关系中抽象出来的，自然就 不适用于无限集合的情形了。
悖论及其科学意义
悖论及其科学意义西班牙的小镇塞维利亚有一个理发师,他有一条很特别的规定:只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子。
这个拗口的规定看起来似乎没什么不妥,但有一天,一个好事的人跑去问这个理发师一个问题,着实让他很为难,也暴露了这个特别规定的矛盾。
那个人的问题是:“理发师先生,您给不给自己刮胡子呢?”让理发师为难的是:如果他给自己刮胡子,他就是自己刮胡子的人,按照他的规定,他不能给自己刮胡子;如果他不给自己刮胡子,他就是不自己刮胡子的人,按照他的规定,他就应该给自己刮胡子。
不管怎样的推论,理发师的做法都是自相矛盾的。
这真是令人哭笑不得的结果。
这就是悖论。
悖,中文的含义是混乱、违反等。
悖论,在英语里是paradox,来自希腊语“para+ dokein”。
意思是“多想一想”。
悖论是指一种导致矛盾的命题。
悖论都有这样的特征:它看上去是合理的,但结果却得出了矛盾——由它的真,可以推出它为假;由它的假,则可以推出它为真。
悖论与谬论不同,谬论是用目前的理论就能够证明、判断其为错误的理论、观点,总体来说,谬论是完全错误的;而悖论则看起来是是非难辨的。
但这种“是非难辨”并非是永远不能分辨的,随着人们认识能力的不断提高,随着科学的不断发展,悖论是可以逐步得到消除的,矛盾是可以解决的。
广义上说,凡似是而非或似非而是的论点,都可以叫做悖论,如欲速则不达、大智若愚等都是典型的悖论;还有一些对常识的挑战也可称为悖论。
狭义上说,悖论是从某些公认正确的背景知识中逻辑地推导出来的两个相互矛盾(或相互反对)命题的等价式。
通俗地说,如果承认它是真的,经过一系列正确的推理,却又得出它是假的;如果承认它是假的,经过一系列正确的推理,却又得出它是真的。
这就是悖论。
狭义的悖论又可称为严格意义上的悖论或真正的悖论。
“我说的这句话是假的”,这就是典型的悖论,因为从这句话所包含的大前提来看,这是一句假话,其内容必定就是“假”的;既然是假的,则其意必然与其所指相反,所以,这句话应该是“真”的。
数学悖论
• 在中国古代哲学中也有许多悖论思想，如战国时期逻辑 学家惠施（约370B.C.—318B.C.）的“日方中方睨，物 方生方死”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”； 《韩非子》中记载的有关矛与盾的悖论思想等，这些悖 论式的命题，表面上看起来很荒谬，实际上却潜伏着某 些辩证的思想内容。 • 悖论从逻辑上看来都是一些思维矛盾，从认识论上 看则是客观矛盾在思维上的反映。 • 尽管悖论的历史如此悠久，但直到本世纪初，人们 才真正开始专门研究悖论的本质。在此之前，悖论只能 引起人们的惊恐与不安；此后，人们才逐渐认识到悖论 也有其积极作用。特别是本世纪60、70年代以来，出现 了研究悖论的热潮。
• 2、“如果说上帝是万能的，他能否创造一块他举不 起来的大石头？”这是一个流传很广的悖论。如果说 能，上帝遇到一块“他举不起来的大石头”，说明他 不是万能；如果说不能，同样说明他不是万能。这是 用结论来责难前提。这个“全能者悖论”的另一种表 达方法是：“全能的创造者可以创造出比他更了不起 的事物吗？” • 3、“世界上没有绝对的真理.” 我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。 • 4、宝塔悖论：如果从一砖塔中抽取一块砖，它不会 塌；抽两块砖，它也不会塌；……抽第N块砖时，塔 塌了。现在换一个地方开始抽砖，同第一次不一样的 是，抽第M块砖时，塔塌了。再换一个地方，塔塌时 少了L块砖。以此类推，每换一个地方，塔塌时少的 砖块数都不尽相同。那么到底抽多少块砖塔才会塌呢？
• 8、书目悖论 • 一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆 里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的 书名？（类似于罗素悖论） • 9、芝诺悖论 • 古希腊哲学家芝诺设计过许多悖论．其中流传最广的 是“勇士追不上乌龟” 这两个悖论里都有定义不清 的逻辑错误．前者没有说清什么叫“追不上”，后者 没有说清什么叫“不动”．另外，也都涉及无穷小概 念与极限概念．随着实数理论、极限理论和微积分学 的建立，这些悖论便被清除了． • 古希腊时之所以认为这是悖论，是因为人们认为有限 的线段上只能有有限个点，很难想象运动物体在有限 时间内通过无穷多点．