江苏省南通市海安县2017年中考数学一模试卷及答案解析
2017学年江苏省南通中考数学年试题答案
数学试卷 第1页（共6页） 数学试卷 第2页（共6页）绝密★启用前山东省菏泽市2017年初中学业水平考试数 学本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共24分)一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.21()3-的相反数是( )A .9B .9-C .19D .19-2.生物学家发现了一种病毒,其长度约为0. 000 000 32 mm ,数据0. 000 000 32用科学记数法表示正确的是( )A .73.210⨯B .83.210⨯C .73.210-⨯D .83.210-⨯3.下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的,其中左视图与俯视图相同的是 ( )ABCD4.某兴趣小组为了解我市气温变化情况,记录了今年1月份连续6天的最低气温(单位：℃)：7,4,2,1,2,2----.关于这组数据,下列结论不正确的是( )A .平均数是2-B .中位数是2-C .众数是2-D .方差是75.如图,将Rt ABC △绕直角顶点C 顺时针旋转90,得到A B C '''△,连接AA ',若1=25∠,则BAA '∠的度数是( )A .55B .60C .65D .706.如图,函数12y x =-与23y ax =+的图象相交于点(,2)A m ,则关于x 的不等式23x ax -+＞的解集是( )A .2x ＞B .2x ＜C .1x -＞D .1x -＞7.如图,矩形ABOC 的顶点A 的坐标为(4,5)-,点D 是OB 的中点,点E 是OC 上的一点,当ADE △的周长最小时,点E 的坐标是( )A .4(0,)3B .5(0,)3C .(0,2)D .10(0,)38.一次函数y ax b =+和反比例函数cy x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则是二次函数2y ax bx c =++的图象可能是( )A B C D毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共6页） 数学试卷 第4页（共6页）第Ⅱ卷(非选择题 共96分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填写在题中的横线上) 9.分解因式：3x x -= .10.关于x 的一元二次方程22(1)6+0k x x k k -+-=的一个根是0,则k 的值是 .11.在菱形ABCD 中,60A =∠,其周长为24 cm ,则菱形的面积为 2cm . 12.一个扇形的圆心角为100,面积为215π cm ,则此扇形的半径长为 cm .13.直线(0)y kx k =＞与双曲线6y x=交于11(,y )A x 和22(,y )B x 两点,则122139x y x y -的值为 . 14.如图,AB y ⊥轴,垂足为点B ,将ABO △绕点A 逆时针旋转到11AB O △的位置,使点B 的对应点1B 落在直线y =上,再将11AB O △绕点1B 逆时针旋转到111A B O △的位置,使点1O 的对应点2O落在直线y x =上,依次进行下去,……若点B 的坐标是(0,1),则点12O 的纵坐标为 .三、解答题(本大题共10小题,共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分6计算：221|345(21)--+-.16.(本小题满分6分)先化简,再求值：231(1)11x x x x -+÷+-,其中x 是不等式组11,210x x x --⎧-⎪⎨⎪-⎩＞＞的整数解.17.(本小题满分6分)如图,E 是□ABCD 的边AD 的中点.连接CE 并延长交BA 的延长线于F ,若6CD =,求BF 的长.18.(本小题满分6分)如图,某小区①号楼与⑪号楼隔河相望,李明家住在①号楼,他很想知道⑪号楼的高度,于是他做了一些测量.他先在点B 测得C 点的仰角为60,然后到42m 高的楼顶A 处,测得C 点的仰角为30,请你帮助李明计算⑪号楼的高度CD .19.(本小题满分7分) 列方程解应用题.某玩具厂生产一种玩具,按照控制固定成本降价促销的原则,使生产的玩具能够及时售出.据市场调查：每个玩具按480元销售时,每天可销售160个；若销售单价每降低1元,每天可多售出2个,已知每个玩具的固定成本为360元,问：这种玩具的销售单价为多少元时,厂家每天可获利润20 000元？20.(本小题满分7分)如图,一次函数y kx b =+与反比例函数ay x=的图象在第一象限交于,A B 两点,B 点的坐标为(3,2)连接,OA OB ,过B 作BD y ⊥轴,垂足为D ,交OA 于C ,若OC CA =.(1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求AOB △的面积.数学试卷 第5页（共6页） 数学试卷 第6页（共6页）21.(本小题满分10分)今年5月,某大型商业集团随机抽取所属的部分商业连锁店进行评估,将抽取的各商业连锁店按照评估成绩分成了A,B,C,D 四个等级,并绘制了如图不完整的扇形统计图和条形统计图.根据以上信息,解答下列问题：(1)本次评估随机抽取了多少家商业连锁店？(2)请补充完整扇形统计图和条形统计图,并在图中标注相应数据.(3)从A,B 两个等级的商业连锁店中任选2家介绍营销经验,求其中至少有一家是A 等级的概率.22.(本小题满分10分)如图,AB 是O 的直径,PB 与O 相切于点B ,连接PA 交O 于点C ,连接BC . (1)求证：BAC CBP ∠=∠. (2)求证：2 PB PC PA =.(3)当6AC =,3CP =时,求sin PAB ∠的值.23.(本小题满分10分)正方形ABCD 的边长为6 cm ,点,E M 分别是线段,BD AD 上的动点,连接AE 并延长,交边BC 于F ,过点M 作MN AF ⊥,垂足为点H ,交边AB 于点N . (1)如图1,若点M 与D 重合,求证：AF MN =.(2)如图2,若点M 从点D 出发,以1 cm 的速度沿DA 向点A 运动,同时点E 从点B 出发,cm 的速度沿BD 向点D 运动,运动时间为 s t . ①设 cm BF y =,求y 关于t 的函数表达式. ②当2BN AN =时,连接FN ,求FN 的长.24.(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线2+1y ax bx =+交y 轴于点A ,交x 轴正半轴于点(4,0)B ,与过A 点的直线相交于另一点5(3,)2D ,过点D 作DC x ⊥轴,垂足为点C .(1)求抛物线的表达式.(2)点P 在线段OC 上(不与点,O C 重合),过点P 作PN x ⊥轴,交直线AD 于点M ,交抛物线于点N ,连接CM ,求PCM △面积的最大值；(3)若P 是x 轴正半轴上的一动点,设OP 的长为t ,是否存在t ,使以点,,,M C D N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出t 的值；若不存在,请说明理由.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________。
南通市海安县中考数学一模试卷含答案解析
江苏省南通市海安县中考数学一模试卷（解析版）一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．|﹣2|的值等于（）A．2 B．﹣C．D．﹣22．计算a2÷a3的结果是（）A．a﹣1 B．a C．a5D．a63．下列水平放置的几何体中，俯视图是矩形的是（）A．圆柱 B．长方体C．三棱柱D．圆锥4．一组数据2、3、4、4、5、5、5的中位数和众数分别是（）A．3.5，5 B．4，4 C．4，5 D．4.5，45．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．为了说明命题“当b＜0时，关于x的一元二次方程x2+bx+2=0必有实数解”是假命题，可以举的一个反例是（）A．b=2 B．b=3 C．b=﹣2 D．b=﹣37．如图，半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，劣弧AC的长度为（）A．π B．π C．π D．π8．在一条笔直的公路旁依次有A、B、C三个村庄，甲、乙两人同时分别从A、B两村出发，甲骑摩托车，乙骑电动车沿公路匀速驶向C村，最终到达C村．甲、乙两人到C村的距离y1，y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，以下分析错误的是（）A．A、C两村间的距离为120kmB．点P的坐标为（1，60）C．点P的意义表示经过1小时甲与乙相遇且距C村60kmD．乙在行驶过程中，仅有一次机会距甲10km9．在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+b与y=bx2+kx的图象可能是（）A．B．C．D．10．如图，在正方形ABCD外侧作直线DE，点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM，其中AM交直线DE于点N．若45°＜∠CDE＜90°，当MN=3，AN=4时，正方形ABCD的边长为（）A． B．5 C．5D．二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为．12．已知方程组的解为，则一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为．13．计算（﹣）×的结果是．14．如图，∠1=70°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3=°．15．分解因式：9m3﹣mn2=．16．已知平面直角坐标系xOy中，点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，），设△OPA的面积为S．则S随x的增大而．（填“增大”，“不变”或“减小”）17．平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图如图①摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针开始旋转，如图②，当点P恰好落=．在BC边上时，S阴影18．已知两个不等实数a，b满足a2+18a﹣19=0，b2+18b﹣19=0．若一次函数的图象经过点A（a，a2），B（b，b2），则这个一次函数的解析式是．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：（﹣2）2+（﹣π）0+|1﹣|；（2）解方程组：．20．化简：（1+）÷．21．某校举行全体学生“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个．随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如下的图表．根据以上信息完成下列问题：（1）统计表中的m=，n=，并补全条形统计图；（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是；（3）已知该校共有900名学生，如果听写正确的字的个数少于24个定为不合格，请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数．22．现有一组数：﹣1，，0，5，求下列事件的概率：（1）从中随机选择一个数，恰好选中无理数；（2）从中随机选择两个不同的数，均比0大．23．从南京到某市可乘坐普通列车，行驶路程是520千米；也可乘坐高铁，行驶路程是400千米．已知高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且从南京到该市乘坐高铁比乘坐普通列车要少用3小时．求高铁行驶的平均速度．24．如图，利用热气球探测器测量大楼AB的高度．从热气球P处测得大楼顶部B的俯角为37°，大楼底部A的俯角为60°，此时热气球P离地面的高度为120m．试求大楼AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）25．（10分）（贵港三模）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P．点C在OP上，且BC=PC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若OA=3，AB=2，求BP的长．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=（x＞0）与直线y=kx﹣k的交点为A （m，2）．（1）求k的值；（2）当x＞0时，直接写出不等式kx﹣k＞的解集：；（3）设直线y=kx﹣k与y轴交于点B，若C是x轴上一点，且满足△ABC的面积是4，求点C的坐标．27．如图，四边形ABCD为正方形．在边AD上取一点E，连接BE，使∠AEB=60°．（1）利用尺规作图补全图形；（要求：保留作图痕迹，并简述作图步骤）（2）取BE中点M，过点M的直线交边AB，CD于点P，Q．①当PQ⊥BE时，求证：BP=2AP；②当PQ=BE时，延长BE，CD交于N点，猜想NQ与MQ的数量关系，并说明理由．28．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（0，﹣2），在x轴上任取一点M，连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P．在x轴上多次改变点M的位置，得到相应的点P，会发现这些点P竟然在一条抛物线L上！记点P（x，y），连接AP．（1）求出y关于x的函数解析式；（2）若锐角∠APM的正切函数值为．①求点M的坐标；②设点N在直线l2上，点Q在抛物线L上，当PN=1，且AQ，NQ之和最小时，求点Q 的坐标．江苏省南通市海安县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．|﹣2|的值等于（）A．2 B．﹣C．D．﹣2【分析】直接根据绝对值的意义求解．【解答】解：|﹣2|=2．故选A．【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=﹣a．2．计算a2÷a3的结果是（）A．a﹣1 B．a C．a5D．a6【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可．【解答】解：a2÷a3=a﹣1，故选A．【点评】本题考查同底数幂的除法，熟练掌握性质和法则是解题的关键．3．下列水平放置的几何体中，俯视图是矩形的是（）A．圆柱 B．长方体C．三棱柱D．圆锥【分析】俯视图是从物体的上面看得到的视图，仔细观察各个简单几何体，便可得出选项．【解答】解：A、圆柱的俯视图为圆，故本选项错误；B、长方体的俯视图为矩形，故本选项正确；C、三棱柱的俯视图为三角形，故本选项错误；D、圆锥的俯视图为圆，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．本题比较简单．4．一组数据2、3、4、4、5、5、5的中位数和众数分别是（）A．3.5，5 B．4，4 C．4，5 D．4.5，4【分析】先把数据按大小排列，然后根据中位数和众数的定义可得到答案．【解答】解：数据按从小到大排列：2、3、4、4、5、5、5，中位数是4；数据5出现3次，次数最多，所以众数是5．故选C．【点评】本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．【解答】解：，由①得：x≥1，由②得：x＜2，在数轴上表示不等式的解集是：故选：D．【点评】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式的解集等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．6．为了说明命题“当b＜0时，关于x的一元二次方程x2+bx+2=0必有实数解”是假命题，可以举的一个反例是（）A．b=2 B．b=3 C．b=﹣2 D．b=﹣3【分析】利用根的判别式结合b的值分别判断得出即可．【解答】解：A、当b=2时，此时b＞0，不合题意，故此选项错误；B、当b=3时，此时b＞0，不合题意，故此选项错误；C、当b=﹣2时，此时b＜0，则x2﹣2x+2=0，故b2﹣4ac=4﹣8=﹣4＜0，故此方程无实数根，故此选项正确；D、当b=﹣3时，此时b＜0，则x2﹣3x+2=0，故b2﹣4ac=9﹣8=1＞0，故此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了命题与定理以及根的判别式，正确记忆根的判别式与方程根的情况是解题关键．7．如图，半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，劣弧AC的长度为（）A．π B．π C．π D．π【分析】先求得正五边形的内角的度数，然后根据弧长公式即可求得．【解答】解：因为正五边形ABCDE的内角和是（5﹣2）×180=540°，则正五边形ABCDE的一个内角==108°；连接OA、OB、OC，∵圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，∴∠OAE=∠OCD=90°，∴∠OAB=∠OCB=108°﹣90°=18°，∴∠AOC=144°所以劣弧AC的长度为=π．故选B．【点评】本题考查了正五边形的内角和的计算以及弧长的计算，难度适中．8．在一条笔直的公路旁依次有A、B、C三个村庄，甲、乙两人同时分别从A、B两村出发，甲骑摩托车，乙骑电动车沿公路匀速驶向C村，最终到达C村．甲、乙两人到C村的距离y1，y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，以下分析错误的是（）A．A、C两村间的距离为120kmB．点P的坐标为（1，60）C．点P的意义表示经过1小时甲与乙相遇且距C村60kmD．乙在行驶过程中，仅有一次机会距甲10km【分析】A、由图可知与y轴交点的坐标表示A、C两村间的距离为120km，再由0.5小时距离C村90km，行驶120﹣90=30km，速度为60km/h，求得a=2；B、求得y1，y2两个函数解析式，建立方程求得点P坐标；C、点P表示在什么时间相遇以及距离C村的距离；D、由B中的函数解析式根据距甲10km建立方程；探讨得出答案即可．【解答】解：A、A、C两村间的距离120km，a=120÷[（120﹣90）÷0.5]=2，故A不符合题意；B、设y1=k1x+120，代入（2，0）解得y1=﹣60x+120，y2=k2x+90，代入（3，0）解得y1=﹣30x+90，由﹣60x+120=﹣30x+90解得x=1，则y1=y2=60，所以P（1，60），故B不符合题意；C、点P表示经过1小时甲与乙相遇且距C村60km，故C不符合题意；D、当y1﹣y2=10，即﹣60x+120﹣（﹣30x+90）=10解得x=，当y2﹣y1=10，即﹣30x+90﹣（﹣60x+120）=10解得x=，当甲走到C地，而乙距离C地10km时，﹣30x+90=10解得x=；综上所知当x=h，或x=h，或x=h乙距甲10km，故D符合题意．故选：D．【点评】此题考查一次函数的运用，一次函数与二元一次方程组的运用，解答时认真分析图象求出解析式是关键，注意分类思想的渗透．9．在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+b与y=bx2+kx的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据k、b的正负不同，则函数y=kx+b与y=bx2+kx的图象所在的象限也不同，针对k、b进行分类讨论，从而可以选出正确选项．【解答】解：若k＞0，b＞0，则y=kx+b经过一、二、三象限，y=bx2+kx开口向上，顶点在y轴左侧，故A、D错误；若k＜0，b＜0，则y=kx+b经过二、三、四象限，y=bx2+kx开口向下，顶点在y轴左侧，故B错误；若k＞0，b＜0，则y=kx+b经过一、三、四象限，y=bx2+kx开口向下，顶点在y轴右侧，故C正确；故选C．【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数图象和二次函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想解答．10．如图，在正方形ABCD外侧作直线DE，点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM，其中AM交直线DE于点N．若45°＜∠CDE＜90°，当MN=3，AN=4时，正方形ABCD的边长为（）A． B．5 C．5D．【分析】连接CN、DM、AC，根据轴对称的性质可得CN=MN，CD=DM，∠DCN=∠DMN，根据正方形的四条边都相等可得AD=CD，然后求出AD=DM，根据等边对等角可得∠DAM=∠DMN，从而得到∠DCN=∠DAM，再求出∠ACN+∠CAN=90°，判断出△ACN是直角三角形，然后利用勾股定理列式求出AC，再根据正方形的边长等于对角线的倍求解．【解答】解：如图所示，连接CN、DM、AC，∵点C关于直线DE的对称点为M，∴CN=MN，CD=DM，∠DCN=∠DMN，在正方形ABCD中，AD=CD，∴AD=DM，∴∠DAM=∠DMN，∴∠DCN=∠DAM，∵∠ACN+∠CAN=∠BCD﹣∠DCN+∠CAD+∠DAM=∠BCD+∠CAD=90°，∴∠ANC=180°﹣90°=90°，∴△ACN是直角三角形，由勾股定理得，AC===5，∴正方形ABCD的边长=AC=×5=．故选D．【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，等边对等角的性质，勾股定理，作辅助线构造出等腰三角形与直角三角形是解题的关键，难点在于把AN、MN的长度以及正方形的对角线组成直角三角形．二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为5．【分析】利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．【解答】解：多边形的边数是：360÷72=5．故答案为：5．【点评】本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．12．已知方程组的解为，则一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为（1，0）．【分析】二元一次方程组是两个一次函数变形得到的，所以二元一次方程组的解，就是函数图象的交点坐标．【解答】解：∵方程组的解为，∴一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．【点评】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．13．计算（﹣）×的结果是2．【分析】根据二次根式的混合运算顺序，首先计算小括号里面的，然后计算乘法，求出算式（﹣）×的结果是多少即可．【解答】解：（﹣）×=（3﹣2）×=×=2即（﹣）×的结果是2．故答案为：2．【点评】（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．（2）此题还考查了平方根的性质和计算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．14．如图，∠1=70°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3=110°．【分析】延长直线后根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可．【解答】解：延长直线，如图：，∵直线a平移后得到直线b，∴a∥b，∴∠5=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°，∵∠2=∠4+∠5，∵∠3=∠4，∴∠2﹣∠3=∠5=110°，故答案为：110．【点评】此题考查平移问题，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答．15．分解因式：9m3﹣mn2=m（3m+n）（3m﹣n）．【分析】原式提取m，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=m（9m2﹣n2）=m（3m+n）（3m﹣n），故答案为：m（3m+n）（3m﹣n）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．16．已知平面直角坐标系xOy中，点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，），设△OPA的面积为S．则S随x的增大而减小．（填“增大”，“不变”或“减小”）【分析】根据题意可以表示出S与x之间的关系，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，S==，故S随x的增大而减小，故答案为：减小．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是找到S与x之间的关系．17．平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图如图①摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针开始旋转，如图②，当点P恰好落=+．在BC边上时，S阴影【分析】首先设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E，则可求得∠RKQ的度数，于是求得答案．【解答】解：如图所示：设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H 过点R作RE⊥KQ于点E，在Rt△OPH中，PH=AB=1，OP=2，∴∠POH=30°，∴α=60°﹣30°=30°，∵AD∥BC，∴∠RPO=∠POH=30°，∴∠RKQ=2×30°=60°，==，∴S扇形KRQ在Rt△RKE中，RE=RKsin60°=，∴S△PRK=××=，=+；∴S阴影故答案为： +．【点评】本题考查了矩形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理以及锐角三角函数的知识．注意根据题意正确的画出图形是解题的关键．18．已知两个不等实数a，b满足a2+18a﹣19=0，b2+18b﹣19=0．若一次函数的图象经过点A（a，a2），B（b，b2），则这个一次函数的解析式是y=﹣18x+19．【分析】根据两个不等实数a，b满足a2+18a﹣19=0，b2+18b﹣19=0，可得a2=19﹣18a，b2=19﹣18b，进而可得A（a，a2），B（b，b2）变为A（a，19﹣18a），B（b，19﹣18b），设一次函数解析式为y=kx+n，把此两点代入可得关于k、b的方程组，再解即可得到k、b的值，进而可得这个一次函数的解析式．【解答】解：∵两个不等实数a，b满足a2+18a﹣19=0，b2+18b﹣19=0，∴a2=19﹣18a，b2=19﹣18b，设一次函数解析式为y=kx+n，∵图象经过点A（a，a2），B（b，b2），∴图象经过点A（a，19﹣18a），B（b，19﹣18b），∴，解得：，∴一次函数解析式为y=﹣18x+19．故答案为：y=﹣18x+19．【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：（﹣2）2+（﹣π）0+|1﹣|；（2）解方程组：．【分析】（1）原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1）原式=4+1+﹣1=4+；（2），①×2+②，得5x=5，即x=1，将x=1代入①，得y=﹣1，则原方程组的解为．【点评】此题考查了实数的运算，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．化简：（1+）÷．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式==﹣．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．某校举行全体学生“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个．随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如下的图表．根据以上信息完成下列问题：（1）统计表中的m=30，n=20，并补全条形统计图；（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是90°；（3）已知该校共有900名学生，如果听写正确的字的个数少于24个定为不合格，请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数．【分析】（1）根据条形图和扇形图确定B组的人数环绕所占的百分比求出样本容量，求出m、n的值；（2）求出C组”所占的百分比，得到所对应的圆心角的度数；（3）求出不合格人数所占的百分比，求出该校本次听写比赛不合格的学生人数．【解答】解：（1）从条形图可知，B组有15人，从扇形图可知，B组所占的百分比是15%，D组所占的百分比是30%，E组所占的百分比是20%，15÷15%=100，100×30%=30，100×20%=20，∴m=30，n=20；（2）“C组”所对应的圆心角的度数是25÷100×360°=90°；（3）估计这所学校本次听写比赛不合格的学生人数为：900×（10%+15%+25%）=450人．【点评】本题考查的是频数分布表、条形图和扇形图的知识，利用统计图获取正确信息是解题的关键．注意频数、频率和样本容量之间的关系的应用．22．现有一组数：﹣1，，0，5，求下列事件的概率：（1）从中随机选择一个数，恰好选中无理数；（2）从中随机选择两个不同的数，均比0大．【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出“均比0大”的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）无理数为，从中随机选择一个数，恰好选中无理数的概率=；（2）画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中“均比0大”的结果数为2，所以从中随机选择两个不同的数，均比0大的概率==．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．23．从南京到某市可乘坐普通列车，行驶路程是520千米；也可乘坐高铁，行驶路程是400千米．已知高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且从南京到该市乘坐高铁比乘坐普通列车要少用3小时．求高铁行驶的平均速度．【分析】设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据题意可得，乘坐高铁行驶400千米比乘坐普通列车行驶520千米少用3小时，据此列方程求解．【解答】解：设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，依题意，得+3=，解得：x=120，经检验，x=120是原方程的解，且符合题意，则2.5x=300．答：高铁行驶的平均速度是300千米/时．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题案的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．24．如图，利用热气球探测器测量大楼AB的高度．从热气球P处测得大楼顶部B的俯角为37°，大楼底部A的俯角为60°，此时热气球P离地面的高度为120m．试求大楼AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）【分析】首先过P作PC⊥AB，垂足为C，进而求出PC的长，利用tan37°=，得BC的长，即可得出答案．【解答】解：过P作PC⊥AB，垂足为C，由已知∠APC=60°，∠BPC=37°，且由题意可知：AC=120米．在Rt△APC中，由tan∠APC=，即tan60°=，得PC==40．在Rt△BPC中，由tan∠BPC=，即tan37°=，得BC=40×0.75≈51.9．因此AB=AC﹣BC=120﹣51.9=68.1，即大楼AB的高度约为68.1米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意正确构造直角三角形是解题关键．25．（10分）（贵港三模）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P．点C在OP上，且BC=PC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若OA=3，AB=2，求BP的长．【分析】（1）连结OB．由等腰三角形的性质得到∠A=∠OBA，∠P=∠CBP，由于OP⊥AD，得到∠A+∠P=90°，于是得到∠OBA+∠CBP=90°，求得∠OBC=90°结论可得；（2）连结DB．由AD是⊙O的直径，得到∠ABD=90°，推出Rt△ABD∽Rt△AOP，得到比例式=，即可得到结果．【解答】（1）证明：连结OB．∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，又∵BC=PC，∴∠P=∠CBP，∵OP⊥AD，∴∠A+∠P=90°，∴∠OBA+∠CBP=90°，∴∠OBC=180°﹣（∠OBA+∠CBP）=90°，∵点B在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线，（2）解：如图，连结DB．∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴Rt△ABD∽Rt△AOP，∴=，即=，AP=9，∴BP=AP﹣BA=9﹣2=7．【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=（x＞0）与直线y=kx﹣k的交点为A （m，2）．（1）求k的值；（2）当x＞0时，直接写出不等式kx﹣k＞的解集：x＞2；（3）设直线y=kx﹣k与y轴交于点B，若C是x轴上一点，且满足△ABC的面积是4，求点C的坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）观察图象，直线y=kx﹣k的图象在y=的上方，由此可以写出不等式的解集．（3）设点C坐标（m，0），直线y=2x﹣2与x轴的交点D坐标为（1，0），根据S△ABC=S△CDA+S△CDB=4，列出方程即可解决．【解答】解：（1）∵点A在双曲线y=上，∴2=，∴m=2，∴点A（2，2）．∵点A在直线y=kx﹣k上，∴2=2k﹣k，∴k=2．（2）由图象可知，x＞0时，直接写出不等式kx﹣k＞的解集为x＞2．故答案为x＞2．（3）设点C坐标（m，0）．∵直线y=2x﹣2与x轴的交点D坐标为（1，0），∴S△ABC=S△CDA+S△CDB=4，∴|m﹣1|（2+2）=4，∴m=3或﹣1．∴点C坐标为（3，0）或（﹣1，0）．【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点、待定系数法等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用分割法求三角形面积，属于中考常考题型．27．如图，四边形ABCD为正方形．在边AD上取一点E，连接BE，使∠AEB=60°．（1）利用尺规作图补全图形；（要求：保留作图痕迹，并简述作图步骤）（2）取BE中点M，过点M的直线交边AB，CD于点P，Q．①当PQ⊥BE时，求证：BP=2AP；②当PQ=BE时，延长BE，CD交于N点，猜想NQ与MQ的数量关系，并说明理由．【分析】（1）如图，分别以点B、C为圆心，BC长为半径作弧交正方形内部于点T，连接BT并延长交边AD于点E；（2）连接PE，先证明PQ垂直平分BE．得到PB=PE，再证明∠APE=60°，得到∠AEP=30°，利用在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，即可解答；（3）NQ=2MQ或NQ=MQ，分两种情况讨论作出辅助线，证明△ABE≌△FQP，即可解答．【解答】解：（1）如图1，分别以点B、C为圆心，BC长为半径作弧交正方形内部于点T，连接BT并延长交边AD于点E；（2）连接PE，如图2，∵点M是BE的中点，PQ⊥BE∴PQ垂直平分BE．∴PB=PE，∴∠PEB=∠PBE=90°﹣∠AEB=90°﹣60°=30°，∴∠APE=∠PBE+∠PEB=60°，∴∠AEP=90°∠APE=90°﹣60°=30°，∴BP=EP=2AP．（3）NQ=2MQ或NQ=MQ．理由如下：如图3所示，过点Q作QF⊥AB于点F交BC于点G，则QF=CB．∵正方形ABCD中，AB=BC，∴FQ=AB．在Rt△ABE和Rt△FQP中，∵∴△ABE≌△FQP（HL）．∴∠FQP=∠ABE=30°．又∵∠MGO=∠AEB=60°，∴∠GMO=90°，∵CD∥AB．∴∠N=∠ABE=30°．∴NQ=2MQ．如图4所示，过点Q作QF⊥AB于点F交BC于点G，则QF=CB．同理可证△ABE≌△FQP．此时∠FPQ=∠AEB=60°．又∵∠FPQ=∠ABE+∠PMB，∠N=∠ABE=30°．∴∠EMQ=∠PMB=30°．∴∠N=∠EMQ，∴NQ=MQ．【点评】本题考查了正方形的性质定理、全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，证明三角形全等．28．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（0，﹣2），在x轴上任取一点M，连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P．在x轴上多次改变点M的位置，得到相应的点P，会发现这些点P竟然在一条抛物线L上！记点P（x，y），连接AP．（1）求出y关于x的函数解析式；（2）若锐角∠APM的正切函数值为．①求点M的坐标；②设点N在直线l2上，点Q在抛物线L上，当PN=1，且AQ，NQ之和最小时，求点Q 的坐标．【分析】（1）利用垂直平分线的性质以及勾股定理得出y与x的函数关系式；（2）①利用P点在第三、四象限分别得出M点坐标；②根据题意首先得出N点坐标再利用待定系数法求出一次函数解析式，联立函数解析式进而得出Q点坐标．【解答】解：（1）如图1，连接AP，作PB⊥y轴于B，由l1垂直平分AM得：PA=PM=﹣y；在Rt△ABP中，BP=OM=x，BA=PM﹣OA=﹣2﹣y，根据勾股定理得：（﹣2﹣y）2+x2=y2，整理得：y=﹣x2﹣1．（2）①当点P在第四象限时，设点P的坐标为（x，﹣ x2﹣1）（x＞0）．∵直线l2垂直于x轴，∴PM∥y轴．∴∠APM=∠PAB，∴tan∠PAB=tan∠PAB=，即=．∴=，解得x1=4，x2=﹣1（不合题意，舍去）．∴此时点M的坐标为（4，0）．当点P在第三象限时，由对称性同理可得点M的坐标为（﹣4，0）．综上可知，点M的坐标为（4，0）、（﹣4，0）．②如图2，当点M为（4，0）时，点P的坐标为（4，﹣5）．∵点N在直线l2上且PN=1，∴点N的坐标为N1（4，﹣4）或N2（4，﹣6），当点N在点P上方即N1（4，﹣4）时，连接AN1交抛物线于点Q1，设直线AN1的解析式为y=kx+b（k≠0），把A（0，﹣2），N1（4，﹣4）代入得：解得：．故直线AN1的解析式为：y=﹣x﹣2．由﹣x﹣2=﹣x2﹣1得，解得：x1=1+，x2=1﹣（不合题意，舍去）．∴把x=1+代入y=﹣x﹣2得点Q1的坐标为（1+，﹣）．当点N在点P下方即N2（4，﹣6）时，过点Q2作Q2D⊥x轴于D，∵点Q2在此抛物线上，∴Q2A=Q2D．。
【精校】2017年江苏省南通市中考真题数学
2017年江苏省南通市中考真题数学一、选择题(每小题3分，共30分)1.在0、2、-1、-2这四个数中，最小的数为( )A.0B.2C.-1D.-2解析：根据正数大于0，0大于负数，可得答案.∵在0、2、-1、-2这四个数中只有-2＜-1＜0，0＜2，∴在0、2、-1、-2这四个数中，最小的数是-2.答案：D.2.近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为( )A.1.8×105B.1.8×104C.0.18×106D.18×104解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.将180000用科学记数法表示为1.8×105.答案：A.3.下列计算，正确的是( )A.a2-a=aB.a2·a3=a6C.a9÷a3=a3D.(a3)2=a6解析：A、a2-a，不能合并，故A错误；B、根据同底数幂的乘法，a2·a3=a5，故B错误；C、同底数幂的除法，a9÷a3=a6，故C错误；D、根据幂的乘方，(a3)2=a6，故D正确.答案：D.4.如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是( )A.B.C.D.解析：左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案.从左边看得到的是两个叠在一起的正方形，即.答案：A.5.在平面直角坐标系中.点P(1，-2)关于x轴的对称点的坐标是( )A.(1，2)B.(-1，-2)C.(-1，2)D.(-2，1)解析：根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案.点P(1，-2)关于x轴的对称点的坐标是(1，2).答案：A.6.如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为( )A.4πB.6πC.12πD.16π解析：根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积. 根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×6=12π.答案：C.7.一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是( )A.平均数B.中位数C.众数D.方差解析：依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可.A、原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数扔为2，故A与要求不符；B、原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数扔为2，故B与要求不符；C、原来数据的众数是2，添加数字2后众数扔为2，故C与要求不符；D、原来数据的方差()()()222 21221222324S-+⨯-+-==原，添加数字2后的方差()()()22221232232255S-+⨯-+-==变，故方差发生了变化.答案：D.8.一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内即进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y(L)与时间x(min)之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为( )A.5LB.3.75LC.2.5LD.1.25L解析：观察函数图象找出数据，根据“每分钟进水量=总进水量÷放水时间”算出每分钟的进水量，再根据“每分钟的出水量=每分钟的进水量-每分钟增加的水量”即可算出结论. 每分钟的进水量为：20÷4=5(升)，每分钟的出水量为：5-(30-20)÷(12-4)=3.75(升).答案：B.9.已知∠AOB，作图.步骤1：在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、OB于点P、Q；步骤2：过点M作PQ的垂线交»PQ于点C；步骤3：画射线OC.则下列判断：①»»PC CQ=；②MC∥OA；③OP=PQ；④OC平分∠AOB，其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析：∵OQ为直径，∴∠OPQ=90°，OA⊥PQ. ∵MC⊥PQ，∴OA∥MC，结论②正确；∵OA∥MC，∴∠POQ=∠CMQ.∵∠CMQ=2∠COQ，∴根据圆周角定理可知∠COQ=12∠CMQ=12∠POQ=∠COP，∴»»PC CQ，OC平分∠AOB，结论①④正确；∵∠AOB的度数未知，∠POQ和∠PQO互余，∴∠POQ不一定等于∠PQO，∴OP不一定等于PQ，结论③错误.综上所述：正确的结论有①②④，共3个.答案：C.10.如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为( )解析：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示.∵AE=CG，BE=BE′，∴E′G′=AB=10，∵GG′=AD=5，∴E G'==∴C四边形EFGH=2E′答案：B.二、填空题(每小题3分，共24分)11.x的取值范围为 .解析：根据二次根式有意义的条件可得x-2≥0，解得：x≥2.答案：x≥2.12.如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE= .解析：易得DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理，得：DE=12BC=4.答案：4.13.四边形ABCD内接于圆，若∠A=110°，则∠C= 度.解析：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=110°，∴∠C=70°.答案：70.14.若关于x的方程x2-6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为 . 解析：根据判别式的意义得到△=(-6)2-4c=0，解得c=9.答案：9.15.如图所示，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD= 度.解析：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，∴∠BOD=45°，∴∠AOD=∠BOD-∠AOB=45°-15°=30°.答案：30.16.甲、乙二人做某种机械零件.已知甲每小时比乙多做4个，甲做60个所用的时间比乙做40个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为 .解析：设乙每小时做x个，则甲每小时做(x+4)个，甲做60个所用的时间为604x+，乙做40个所用的时间为40x，列方程为：60404x x=+，解得：x=8，经检验：x=4是原分式方程的解，且符合题意，答：乙每小时做8个.答案：8.17.已知x=m时，多项式x2+2x+n2的值为-1，则x=-m时，该多项式的值为 . 解析：∵多项式x2+2x+n2=(x+1)2+n2-1，∵(x+1)2≥0，n2≥0，∴(x+1)2+n2-1的最小值为-1，此时m=-1，n=0，∴x=-m时，多项式x2+2x+n2的值为m2-2m+n2=3.答案：3.18.如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数kyx=(x＞0)的图象经过点A(5，12)，且与边BC交于点D.若AB=BD，则点D的坐标为 .解析：∵反比例函数ky x=(x ＞0)的图象经过点A(5，12)， ∴k=12×5=60，∴反比例函数的解析式为60y x=， 设D(m ，60m)， 由题可得OA 的解析式为125y x =，AO ∥BC ， ∴可设BC 的解析式为125y x b =+，把D(m ，60m)代入，可得12605m b m +=， ∴60125b m m =-，∴BC 的解析式为12601255y x m m =+-，令y=0，则25x m m =-，即25OC m m=-，∴平行四边形ABCO 中，25AB m m=-，如图所示，过D 作DE ⊥AB 于E ，过A 作AF ⊥OC 于F ，则△DEB ∽△AFO ，∴DB AO DE AF =，而AF=12，6012DE m=-，13OA ==， ∴6513DB m=-，∵AB=DB ，∴256513m m m-=-， 解得m 1=5，m 2=8，又∵D 在A 的右侧，即m ＞5， ∴m=8， ∴D 的坐标为(8，152). 答案：(8，152).三、解答题(本大题共10小题，共96分)19.计算.(1)计算：()021242⎛⎫--- ⎪⎝⎭解析：(1)原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用乘方的意义计算，第三项化为最简二次根式，最后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果. 答案：(1)原式=4-4+3-1=2.(2)解不等式组321213x x x x -≥⎧⎪+⎨-⎪⎩＞解析：(2)先求出两个不等式的解集，再求其公共解.答案：(2)321213x x x x -≥⎧⎪⎨+-⎪⎩①＞②，解不等式①得，x ≥1， 解不等式②得，x ＜4，所以不等式组的解集是1≤x ＜4.20.先化简，再求值：524223m m m m -⎛⎫+-⎪--⎝⎭g ，其中12m =-. 解析：此题的运算顺序：先括号里，经过通分，再约分化为最简，最后代值计算.答案：()()()()233225244524223232323m m m m m m m m m m m m m m +------⎛⎫+-==-=-+ ⎪------⎝⎭gg g .把12m=-代入，得原式12352⎛⎫=-⨯-+=-⎪⎝⎭.21.某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了50名学生，并统计他们平均每天的课外阅读时间t(单位：min)，然后利用所得数据绘制成如下不完整的统计图表.请根据图表中提供的信息回答下列问题：(1)a= ，b= .解析：(1)利用=所占人数百分比总人数，计算即可. 答案：(1)∵总人数=50人，∴a=50×40%=20，b=1650×100%=32%.故答案为20，32%.(2)将频数分布直方图补充完整.解析：(2)根据b的值计算即可.答案：(2)频数分布直方图，如图所示.(3)若全校有900名学生，估计该校有多少学生平均每天的课外阅读时间不少于50min？解析：(3)用一般估计总体的思想思考问题即可.答案：(3)2016290068450++⨯=(名)，答：估计该校有684名学生平均每天的课外阅读时间不少于50min.22.不透明袋子中装有2个红球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出1个球不放回，再随机摸出1个球，求两次均摸到红球的概率.解析：利用树状图得出所有符合题意的情况，进而理概率公式求出即可.答案：如图所示：所有的可能有12种，符合题意的有2种，故两次均摸到红球的概率为：16212P==.23.热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100m，求这栋楼的高度(结果保留根号).解析：根据正切的概念分别求出BD、DC，计算即可.答案：在Rt△ADB中，∠BAD=45°，∴BD=AD=100m，在Rt△ADC中，CD=AD×tan∠∴，答：这栋楼的高度为24.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，点O 在AB 上，OB=2，以OB 为半径的⊙O 与AC 相切于点D ，交BC 于点E ，求弦BE 的长.解析：连接OD ，首先证明四边形OFCD 是矩形，从而得到BF 的长，然后利用垂径定理求得BE 的长即可.答案：连接OD ，作OF ⊥BE 于点F.∴BF=12BE ， ∵AC 是圆的切线， ∴OD ⊥AC ，∴∠ODC=∠C=∠OEC=90°， ∴四边形ODCF 是矩形， ∵OD=OB=FC=2，BC=3， ∴BF=BC-FC=BC-OD=3-2=1， ∴BE=2BF=2.25.某学习小组在研究函数3216y x x =-的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分.(1)请补全函数图象.解析：(1)用光滑的曲线连接即可得出结论. 答案：(1)补全函数图象如图所示：(2)方程32162x x -=-实数根的个数为 . 解析：(2)根据函数3216y x x =-和直线y=-2的交点的个数即可得出结论.答案：(2)如图1，作出直线y=-2的图象， 由图象知，函数3216y x x =-的图象和直线y=-2有三个交点， ∴方程32162x x -=-实数根的个数为3. 故答案为3.(3)观察图象，写出该函数的两条性质. 解析：(3)根据函数图象即可得出结论. 答案：(3)由图象知：①此函数在实数范围内既没有最大值，也没有最小值， ②此函数在x ＜-2和x ＞2，y 随x 的增大而增大， ③此函数图象过原点，④此函数图象关于原点对称.26.如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，PQ 垂直平分BE ，分别交AD 、BE 、BC 于点P 、O 、Q ，连接BP 、EQ.(1)求证：四边形BPEQ 是菱形. 解析：(1)先根据线段垂直平分线的性质证明QB=QE ，由ASA 证明△BOQ ≌△EOP ，得出PE=QB ，证出四边形ABGE 是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论. 答案：(1)∵PQ 垂直平分BE ， ∴QB=QE ，OB=OE ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∴∠PEO=∠QBO ， 在△BOQ 与△EOP 中，PEO QBO OB OEPOE QOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BOQ ≌△EOP(ASA)， ∴PE=QB ， 又∵AD ∥BC ，∴四边形BPEQ 是平行四边形， 又∵QB=QE ，∴四边形BPEQ 是菱形.(2)若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长.解析：(2)根据三角形中位线的性质可得AE+BE=2OF+2OB=18，设AE=x，则BE=18-x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得62+x2=(18-x)2，BE=10，得到OB=12BE=5，设PE=y，则AP=8-y，BP=PE=y，在Rt△ABP中，根据勾股定理可得62+(8-y)2=y2，解得y=254，在Rt△BOP中，根据勾股定理可得154PO==，由PQ=2PO即可求解.答案：(2)∵O，F分别为PQ，AB的中点，∴AE+BE=2OF+2OB=18，设AE=x，则BE=18-x，在Rt△ABE中，62+x2=(18-x)2，解得x=8，BE=18-x=10，∴OB=12BE=5，设PE=y，则AP=8-y，BP=PE=y，在Rt△ABP中62+(8-y)2=y2，解得y=254，在Rt△BOP中，154 PO==，∴PQ=2PO=152.27.我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”.(1)等边三角形“內似线”的条数为 .解析：(1)过等边三角形的内心分别作三边的平行线，即可得出答案.答案：(1)等边三角形“內似线”的条数为3条；理由如下：过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图1所示：则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，∴MN、EF、GH是等边三角形ABC的內似线”.故答案为：3.(2)如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的“內似线”. 解析：(2)由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=∠BDC，证出△BCD∽△ABC即可.答案：(2)∵AB=AC，BD=BC，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∴△BCD∽△ABC，∴BD是△ABC的“內似线”.(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“內似线”，求EF的长.解析：(3)分两种情况：①当43CE ACCF BC==时，EF∥AB，由勾股定理求出5AB==，作DN⊥BC于N，则DN∥AC，DN是Rt△ABC的内切圆半径，求出DN=12(AC+BC-AB)=1，由角的平分线定理得出43DE CEDF CF==，求出CE=73，证明△CEF∽△CAB，得出对应边成比例求出EF=35 12；②当43CF ACCE BC==时，同理得：EF=3512即可.答案：(3)设D是△ABC的内心，连接CD，则CD平分∠ACB，∵EF是△ABC的“內似线”，∴△CEF与△ABC相似；分两种情况：①当43CE ACCF BC==时，EF∥AB，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴5 AB==，作DN⊥BC于N，如图2所示：则DN∥AC，DN是Rt△ABC的内切圆半径，∴DN=12(AC+BC-AB)=1，∵CD平分∠ACB，∴43 DE CEDF CF==，∵DN∥AC，∴37DN DFCE EF==，即137CE=，∴CE=73，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴EF CEAB AC=，即7354EF=，解得：EF=35 12；②当43CF ACCE BC==时，同理得：EF=3512；综上所述，EF的长为35 12.28.已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2(a＞0)相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D.(1)若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值.解析：(1)如图1，由条件可知△AOB为等边三角形，则可求得OA的长，在Rt△AOD中可求得AD和OD的长，可求得A点坐标，代入抛物线解析式可得a的值.答案：(1)如图1，∵抛物线y=ax 2的对称轴是y 轴，且AB ∥x 轴， ∴A 与B 是对称点，O 是抛物线的顶点， ∴OA=OB ，∵∠AOB=60°，∴△AOB 是等边三角形， ∵AB=2，AB ⊥OC ，∴AC=BC=1，∠BOC=30°，∴∴A(-1)，把A(-1代入抛物线y=ax 2(a ＞0)中得：.(2)若∠AOB=90°，点A 的横坐标为-4，AC=4BC ，求点B 的坐标. 解析：(2)如图2，作辅助线，构建平行线和相似三角形，根据CF ∥BG ，由A 的横坐标为-4，得B 的横坐标为1，所以A(-4，16a)，B(1，a)，证明△ADO ∽△OEB ，则AD ODOE BE=，得a 的值及B 的坐标.答案：(2)如图2，过B 作BE ⊥x 轴于E ，过A 作AG ⊥BE ，交BE 延长线于点G ，交y 轴于F ，∵CF ∥BG ， ∴AC AFBC FG =， ∵AC=4BC ， ∴4AFFG=， ∴AF=4FG ，∵A 的横坐标为-4， ∴B 的横坐标为1，∴A(-4，16a)，B(1，a)， ∵∠AOB=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，∵∠AOD+∠DAO=90°，∴∠BOE=∠DAO，∵∠ADO=∠OEB=90°，∴△ADO∽△OEB，∴AD OD OE BE=，∴1641aa=，∴16a2=4，a=12±，∵a＞0，∴a=12；∴B(1，12 ).(3)延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO.解析：(3)如图3，设AC=nBC由(2)同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B(m，am2)，则A(-mn，am2n2)，分别根据两三角形相似计算DE和CO的长即可得出结论.答案：(3)如图3，设AC=nBC，由(2)同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B(m，am2)，则A(-mn，am2n2)，∴AD=am2n2，过B作BF⊥x轴于F，∴DE∥BF，∴△BOF∽△EOD，∴OB OF BF OE OD DE==，∴2OB m am OE mn DE ==， ∴1OB OE n =，DE=am 2n ， ∴11OB BE n=+， ∵OC ∥AE ，∴△BCO ∽△BAE ，∴11CO OB AE BE n==+， ∴22211CO am n am n n=++， ∴()2211am n n CO am n n+==+， ∴DE=CO.考试考高分的小窍门1、提高课堂注意力2、记好课堂笔记3、做家庭作业4、消除焦虑、精中精力、5、不忙答题，先摸卷情、不要畏惧考试。
2017年江苏省南通市中考数学试卷
2017年江苏省南通市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）在0、2、﹣1、﹣2这四个数中，最小的数为（）A．0 B．2 C．﹣1 D．﹣22．（3分）近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为（）A．1.8×105B．1.8×104C．0.18×106D．18×1043．（3分）下列计算，正确的是（）A．a2﹣a=a B．a2•a3=a6 C．a9÷a3=a3D．（a3）2=a64．（3分）如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（）A．B．C．D．5．（3分）在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（）A．（1，2） B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）6．（3分）如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（）A．4πB．6πC．12πD．16π7．（3分）一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差8．（3分）一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内即进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（L）与时间x（min）之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为（）A．5L B．3.75L C．2.5L D．1.25L9．（3分）已知∠AOB，作图．步骤1：在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、OB于点P、Q；步骤2：过点M作PQ的垂线交于点C；步骤3：画射线OC．则下列判断：①=；②MC∥OA；③OP=PQ；④OC平分∠AOB，其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD 各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为（）A．5 B．10C．10D．15二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为．12．（3分）如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE=．13．（3分）四边形ABCD内接于圆，若∠A=110°，则∠C=度．14．（3分）若关于x的方程x2﹣6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为．15．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD=度．16．（3分）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做4个，甲做60个所用的时间比乙做40个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为．17．（3分）已知x=m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x=﹣m时，该多项式的值为．18．（3分）如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB=BD，则点D的坐标为．三、解答题（本大题共10小题，共96分）19．（10分）（1）计算：|﹣4|﹣（﹣2）2+﹣（）0（2）解不等式组．20．（8分）先化简，再求值：（m+2﹣）•，其中m=﹣．21．（9分）某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了50名学生，并统计他们平均每天的课外阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制成如下不完整的统计表．请根据图表中提供的信息回答下列问题：（1）a=，b=；（2）将频数分布直方图补充完整；（3）若全校有900名学生，估计该校有多少学生平均每天的课外阅读时间不少于50min？22．（8分）不透明袋子中装有2个红球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出1个球不放回，再随机摸出1个球，求两次均摸到红球的概率．23．（8分）热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100m，求这栋楼的高度（结果保留根号）．24．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB 为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．25．（9分）某学习小组在研究函数y=x3﹣2x的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分．（1）请补全函数图象；（2）方程x3﹣2x=﹣2实数根的个数为；（3）观察图象，写出该函数的两条性质．26．（10分）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．（1）求证：四边形BPEQ是菱形；（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长．27．（13分）我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．（1）等边三角形“內似线”的条数为；（2）如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC 的“內似线”；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF 是△ABC的“內似线”，求EF的长．28．（13分）已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．2017年江苏省南通市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）（2017•南通）在0、2、﹣1、﹣2这四个数中，最小的数为（）A．0 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】根据正数大于0，0大于负数，可得答案．【解答】解：∵在0、2、﹣1、﹣2这四个数中只有﹣2＜﹣1＜0，0＜2∴在0、2、﹣1、﹣2这四个数中，最小的数是﹣2．故选：D．【点评】本题考查了实数大小比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2．（3分）（2017•南通）近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为（）A．1.8×105B．1.8×104C．0.18×106D．18×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将180000用科学记数法表示为1.8×105，故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）（2017•南通）下列计算，正确的是（）A．a2﹣a=a B．a2•a3=a6 C．a9÷a3=a3D．（a3）2=a6【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方进行计算即可．【解答】解：A、a2﹣a，不能合并，故A错误；B、a2•a3=a5，故B错误；C、a9÷a3=a6，故C错误；D、（a3）2=a6，故D正确；故选D．【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．4．（3分）（2017•南通）如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（）A．B．C．D．【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．【解答】解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形．故选A．【点评】此题考查了简单几何体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．5．（3分）（2017•南通）在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（）A．（1，2） B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．【解答】解：点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2），故选：A．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．6．（3分）（2017•南通）如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（）A．4πB．6πC．12πD．16π【分析】根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×6=12π，故选C．【点评】本题主要考查了圆锥侧面积公式．熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．7．（3分）（2017•南通）一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．【解答】解：A、原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数扔为2，故A与要求不符；B、原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数扔为2，故B与要求不符；C、原来数据的众数是2，添加数字2后众数扔为2，故C与要求不符；D、原来数据的方差==，添加数字2后的方差==，故方差发生了变化．故选：D．【点评】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．8．（3分）（2017•南通）一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内即进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（L）与时间x（min）之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为（）A．5L B．3.75L C．2.5L D．1.25L【分析】观察函数图象找出数据，根据“每分钟进水量=总进水量÷放水时间”算出每分钟的进水量，再根据“每分钟的出水量=每分钟的进水量﹣每分钟增加的水量”即可算出结论．【解答】解：每分钟的进水量为：20÷4=5（升），每分钟的出水量为：5﹣（30﹣20）÷（12﹣4）=3.75（升）．故选：B．【点评】本题考查了函数图象，解题的关键是根据函数图象找出数据结合数量关系列式计算．9．（3分）（2017•南通）已知∠AOB，作图．步骤1：在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、OB于点P、Q；步骤2：过点M作PQ的垂线交于点C；步骤3：画射线OC．则下列判断：①=；②MC∥OA；③OP=PQ；④OC平分∠AOB，其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由OQ为直径可得出OA⊥PQ，结合MC⊥PQ可得出OA∥MC，结论②正确；根据平行线的性质可得出∠PAO=∠CMQ，结合圆周角定理可得出∠COQ=∠POQ=∠BOQ，进而可得出=，OC平分∠AOB，结论①④正确；由∠AOB 的度数未知，不能得出OP=PQ，即结论③错误．综上即可得出结论．【解答】解：∵OQ为直径，∴∠OPQ=90°，OA⊥PQ．∵MC⊥PQ，∴OA∥MC，结论②正确；①∵OA∥MC，∴∠PAO=∠CMQ．∵∠CMQ=2∠COQ，∴∠COQ=∠POQ=∠BOQ，∴=，OC平分∠AOB，结论①④正确；∵∠AOB的度数未知，∠POQ和∠PQO互余，∴∠POQ不一定等于∠PQO，∴OP不一定等于PQ，结论③错误．综上所述：正确的结论有①②④．故选C．【点评】本题考查了作图中的复杂作图、角平分线的定义、圆周角定理以及平行线的判定及性质，根据作图的过程逐一分析四条结论的正误是解题的关键．10．（3分）（2017•南通）如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F，G，H 分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为（）A．5 B．10C．10D．15【分析】作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH 周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，由对称结合矩形的性质可知：E′G′=AB=10、GG′=AD=5，利用勾股定理即可求出E′G的长度，进而可得出四边形EFGH周长的最小值．【解答】解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH 周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示．∵AE=CG，BE=BE′，∴E′G′=AB=10，∵GG′=AD=5，∴E′G==5，=2E′G=10．∴C四边形EFGH故选B．【点评】本题考查了轴对称中的最短路线问题以及矩形的性质，找出四边形EFGH 周长取最小值时点E、F、G之间为位置关系是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）（2017•南通）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为x≥2．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可．【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．12．（3分）（2017•南通）如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE=4．【分析】易得DE是△ABC的中位线，那么DE应等于BC长的一半．【解答】解：根据三角形的中位线定理，得：DE=BC=4．故答案为4．【点评】考查了三角形的中位线定理的数量关系：三角形的中位线等于第三边的一半．13．（3分）（2017•南通）四边形ABCD内接于圆，若∠A=110°，则∠C=70度．【分析】根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=110°，∴∠C=70°，故答案为：70．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．14．（3分）（2017•南通）若关于x的方程x2﹣6x+c=0有两个相等的实数根，则c 的值为9．【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣6）2﹣4c=0，然后解关于c的一次方程即可．【解答】解：根据题意得△=（﹣6）2﹣4c=0，解得c=9．故答案为9．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．15．（3分）（2017•南通）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD=30度．【分析】根据旋转的性质可得∠BOD，再根据∠AOD=∠BOD﹣∠AOB计算即可得解．【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，∴∠BOD=45°，∴∠AOD=∠BOD﹣∠AOB=45°﹣15°=30°．故答案为：30．【点评】本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转角的概念，需熟记．16．（3分）（2017•南通）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做4个，甲做60个所用的时间比乙做40个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为8．【分析】设乙每小时做x个，则甲每小时做（x+4）个，甲做60个所用的时间为，乙做40个所用的时间为；根据甲做60个所用的时间比乙做40个所用的时间相等，列方程求解．【解答】解：设乙每小时做x个，则甲每小时做（x+4）个，甲做60个所用的时间为，乙做40个所用的时间为，列方程为：=，解得：x=8，经检验：x=4是原分式方程的解，且符合题意，答：乙每小时做8个．故答案是：8．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．17．（3分）（2017•南通）已知x=m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x=﹣m 时，该多项式的值为3．【分析】根据非负数的性质，得出m=﹣1，n=0，由此即可解决问题．【解答】解：∵多项式x2+2x+n2=（x+1）2+n2﹣1，∵（x+1）2≥0，n2≥0，∴（x+1）2+n2﹣1的最小值为﹣1，此时m=﹣1，n=0，∴x=﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为m2﹣2m+n2=3故答案为3．或解：∵多项式x2+2x+n2的值为﹣1，∴x2+2x+1+n2=0，∴（x+1）2+n2=0，∵（x+1）2≥0，n2≥0，∴，∴x=m=﹣1，n=0，∴x=﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为m2﹣2m+n2=3故答案为3．【点评】本题考查代数式求值，非负数的性质等知识、学会整体代入的思想解决问题是解题的关键．18．（3分）（2017•南通）如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB=BD，则点D的坐标为（8，）．【分析】先根据点A（5，12），求得反比例函数的解析式为y=，可设D（m，），BC的解析式为y=x+b，把D（m，）代入，可得b=﹣m，进而得到BC的解析式为y=x+﹣m，据此可得OC=m﹣=AB，过D作DE⊥AB于E，过A作AF⊥OC于F，根据△DEB∽△AFO，可得DB=13﹣，最后根据AB=BD，得到方程m﹣=13﹣，进而求得D的坐标．【解答】解：∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（5，12），∴k=12×5=60，∴反比例函数的解析式为y=，设D（m，），由题可得OA的解析式为y=x，AO∥BC，∴可设BC的解析式为y=x+b，把D（m，）代入，可得m+b=，∴b=﹣m，∴BC的解析式为y=x+﹣m，令y=0，则x=m﹣，即OC=m﹣，∴平行四边形ABCO中，AB=m﹣，如图所示，过D作DE⊥AB于E，过A作AF⊥OC于F，则△DEB∽△AFO，∴=，而AF=12，DE=12﹣，OA==13，∴DB=13﹣，∵AB=DB，∴m﹣=13﹣，解得m1=5，m2=8，又∵D在A的右侧，即m＞5，∴m=8，∴D的坐标为（8，）．故答案为：（8，）．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据平行四边形的对边相等以及相似三角形的对应边成比例进行计算，解题时注意方程思想的运用．三、解答题（本大题共10小题，共96分）19．（10分）（2017•南通）（1）计算：|﹣4|﹣（﹣2）2+﹣（）0（2）解不等式组．【分析】（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用乘方的意义计算，第三项化为最简二次根式，最后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果．（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：（1）原式=4﹣4+3﹣1=2；（2）解不等式①得，x≥1，解不等式②得，x＜4，所以不等式组的解集是1≤x＜4．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．也考查了实数的运算．20．（8分）（2017•南通）先化简，再求值：（m+2﹣）•，其中m=﹣．【分析】此题的运算顺序：先括号里，经过通分，再约分化为最简，最后代值计算．【解答】解：（m+2﹣）•，=•，=﹣•，=﹣2（m+3）．把m=﹣代入，得原式=﹣2×（﹣+3）=﹣5．【点评】本题考查了分式的化简求值．分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解．21．（9分）（2017•南通）某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了50名学生，并统计他们平均每天的课外阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制成如下不完整的统计表．请根据图表中提供的信息回答下列问题：（1）a=20，b=32%；（2）将频数分布直方图补充完整；（3）若全校有900名学生，估计该校有多少学生平均每天的课外阅读时间不少于50min？【分析】（1）利用百分比=，计算即可；（2）根据b的值计算即可；（3）用一般估计总体的思想思考问题即可；【解答】解：（1）∵总人数=50人，∴a=50×40%=20，b=×100%=32%，故答案为20，32%．（2）频数分布直方图，如图所示．（3）900×=684，答：估计该校有684名学生平均每天的课外阅读时间不少于50min．【点评】本题考查表示频数分布直方图、频数分布表、总体、个体、百分比之间的关系等知识，解题的关键是记住基本概念，属于中考常考题型．22．（8分）（2017•南通）不透明袋子中装有2个红球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出1个球不放回，再随机摸出1个球，求两次均摸到红球的概率．【分析】利用树状图得出所有符合题意的情况，进而理概率公式求出即可．【解答】解：如图所示：，所有的可能有12种，符合题意的有2种，故两次均摸到红球的概率为：=．【点评】此题主要考查了树状图法求概率，根据题意利用树状图得出所有情况是解题关键．23．（8分）（2017•南通）热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100m，求这栋楼的高度（结果保留根号）．【分析】根据正切的概念分别求出BD、DC，计算即可．【解答】解：在Rt△ADB中，∠BAD=45°，∴BD=AD=100m，在Rt△ADC中，CD=AD×tan∠DAC=100m∴BC=（100+100）m，答：这栋楼的高度为（100+100）m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．24．（8分）（2017•南通）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．【分析】连接OD，首先证明四边形OFCD是矩形，从而得到BF的长，然后利用垂径定理求得BE的长即可．【解答】解：连接OD，作OF⊥BE于点F．∴BF=BE，∵AC是圆的切线，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠C=∠OEC=90°，∴四边形ODCF是矩形，∵OD=OB=FC=2，BC=3，∴BF=BC﹣FC=BC﹣OD=3﹣2=1，∴BE=2BF=2．【点评】本题考查了切线的性质、勾股定理及垂径定理的知识，解题的关键是能够利用切线的性质构造矩形形，难度不大．25．（9分）（2017•南通）某学习小组在研究函数y=x3﹣2x的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分．（1）请补全函数图象；（2）方程x3﹣2x=﹣2实数根的个数为3；（3）观察图象，写出该函数的两条性质．【分析】（1）用光滑的曲线连接即可得出结论；（2）根据函数y=x3﹣2x和直线y=﹣2的交点的个数即可得出结论；（3）根据函数图象即可得出结论．【解答】解：（1）补全函数图象如图所示，（2）如图1，作出直线y=﹣2的图象，由图象知，函数y=x3﹣2x的图象和直线y=﹣2有三个交点，∴方程x3﹣2x=﹣2实数根的个数为3，故答案为3；（3）由图象知，1、此函数在实数范围内既没有最大值，也没有最小值，2、此函数在x＜﹣2和x＞2，y随x的增大而增大，3、此函数图象过原点，4、此函数图象关于原点对称．【点评】此题主要考查了函数图象的画法，利用函数图象确定方程解的个数的方法，解本题的关键是补全函数图象．26．（10分）（2017•南通）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．（1）求证：四边形BPEQ是菱形；（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长．【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质证明QB=QE，由ASA证明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，证出四边形ABGE是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；（2）根据三角形中位线的性质可得AE+BE=2OF+2OB=18，设AE=x，则BE=18﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得62+x2=（18﹣x）2，BE=10，得到OB=BE=5，设PE=y，则AP=8﹣y，BP=PE=y，在Rt△ABP中，根据勾股定理可得62+（8﹣y）2=y2，解得y=，在Rt△BOP中，根据勾股定理可得PO==，由PQ=2PO即可求解．【解答】（1）证明：∵PQ垂直平分BE，∴QB=QE，OB=OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PEO=∠QBO，在△BOQ与△EOP中，，∴△BOQ≌△EOP（ASA），∴PE=QB，又∵AD∥BC，∴四边形BPEQ是平行四边形，又∵QB=QE，∴四边形BPEQ是菱形；（2）解：∵O，F分别为PQ，AB的中点，∴AE+BE=2OF+2OB=18，设AE=x，则BE=18﹣x，在Rt△ABE中，62+x2=（18﹣x）2，解得x=8，BE=18﹣x=10，∴OB=BE=5，设PE=y，则AP=8﹣y，BP=PE=y，在Rt△ABP中，62+（8﹣y）2=y2，解得y=，在Rt△BOP中，PO==，∴PQ=2PO=．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．27．（13分）（2017•南通）我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．（1）等边三角形“內似线”的条数为3；（2）如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC 的“內似线”；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“內似线”，求EF的长．【分析】（1）过等边三角形的内心分别作三边的平行线，即可得出答案；（2）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，证出△BCD∽△ABC，再由三角形的外角性质证出BD平分∠ABC即可；（3）分两种情况：①当==时，EF∥AB，由勾股定理求出AB==5，作DN⊥BC于N，则DN∥AC，DN是Rt△ABC的内切圆半径，求出DN=（AC+BC ﹣AB）=1，由几何平分线定理得出=，求出CE=，证明△CEF∽△CAB，得出对应边成比例求出EF=；②当==时，同理得：EF=即可．【解答】（1）解：等边三角形“內似线”的条数为3条；理由如下：过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图1所示：则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，∴MN、EF、GH是等边三角形ABC的內似线”；故答案为：3；（2）证明：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，∴△BCD∽△ABC，又∵∠BDC=∠A+∠ABD，∴∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠ABC，即BD过△ABC的内心，∴BD是△ABC的“內似线”；（3）解：设D是△ABC的内心，连接CD，则CD平分∠ACB，∵EF是△ABC的“內似线”，∴△CEF与△ABC相似；分两种情况：①当==时，EF∥AB，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5，作DN⊥BC于N，如图2所示：则DN∥AC，DN是Rt△ABC的内切圆半径，∴DN=（AC+BC﹣AB）=1，∵CD平分∠ACB，∴=，∵DN∥AC，∴=，即，∴CE=，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴，即，解得：EF=；②当==时，同理得：EF=；综上所述，EF的长为．【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、三角形的内心、勾股定理、直角三角形的内切圆半径等知识；本题综合性强，有一定难度．28．（13分）（2017•南通）已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．【分析】（1）如图1，由条件可知△AOB为等边三角形，则可求得OA的长，在Rt△AOD中可求得AD和OD的长，可求得A点坐标，代入抛物线解析式可得a 的值；（2）如图2，作辅助线，构建平行线和相似三角形，根据CF∥BG，由A的横坐标为﹣4，得B的横坐标为1，所以A（﹣4，16a），B（1，a），证明△ADO∽△OEB，则，得a的值及B的坐标；（3）如图3，设AC=nBC由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B（m，am2），则A（﹣mn，am2n2），分别根据两三角形相似计算DE和CO 的长即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，∵抛物线y=ax2的对称轴是y轴，且AB∥x轴，∴A与B是对称点，O是抛物线的顶点，∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∵AB=2，AB⊥OC，∴AC=BC=1，∠BOC=30°，∴OC=，∴A（﹣1，），把A（﹣1，）代入抛物线y=ax2（a＞0）中得：a=；（2）如图2，过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y 轴于F，∵CF∥BG，∴，∵AC=4BC，∴=4，∴AF=4FG，∵A的横坐标为﹣4，∴B的横坐标为1，∴A（﹣4，16a），B（1，a），∵∠AOB=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，∵∠AOD+∠DAO=90°，∴∠BOE=∠DAO，∵∠ADO=∠OEB=90°，∴△ADO∽△OEB，∴，∴，∴16a2=4，a=±，∵a＞0，∴a=；∴B（1，）；（3）如图3，设AC=nBC，由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B（m，am2），则A（﹣mn，am2n2），∴AD=am2n2，过B作BF⊥x轴于F，∴DE∥BF，∴△BOF∽△EOD，∴==，∴，∴=，DE=am2n，∴=，∵OC∥AE，∴△BCO∽△BAE，∴，∴=，∴CO==am2n，∴DE=CO．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用三角形相似计算二次函数的解析式、三角形相似的性质和判定、函数图象上点的坐标与解析式的关系、等边三角形的性质和判定，要注意第三问不能直接应用（1）（2）问的结论，第三问可以根据第二问中AC=4BC，确定A、B两点横坐标的关系，利用两点的纵坐标和三角形相似列比例式解决问题．。
2017年江苏省南通市中考数学真题及答案 精品
江苏省南通市2017年中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2017•南通）﹣4的相反数（）D﹣2．（3分）（2017•南通）如图，∠1=40°，如果CD∥BE，那么∠B 的度数为（）3．（3分）（2017•南通）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）图是分别从物体正面、左面和上面看所4．（3分）（2017•南通）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）≥≥﹣＞≠＞．5．（3分）（2017•南通）点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（）6．（3分）（2017•南通）化简的结果是（）解：﹣母7．（3分）（2017•南通）已知一次函数y=kx ﹣1，若y 随x 的增大而增大，则它的图象经过（ ）的符号确定该函数图象所经过的象限．，8．（3分）（2017•南通）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是（）无解，求出解：解∵9．（3分）（2017•南通）如图，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为（）﹣BC=6=12∴∴，AN=6AN=6GF=610．（3分）（2017•南通）如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）．B．D，∴．由，=．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3分）（2017•南通）我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，这个数据用科学记数法可表示为 6.75×104 吨．12．（3分）（2017•南通）因式分解a3b﹣ab= ab（a+1）（a﹣1）．13．（3分）（2017•南通）如果关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个相等的实数根，那么m= 9 ．14．（3分）（2017•南通）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线x=﹣1 ．x=x=x=x=15．（3分）（2017•南通）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，连接AC，∠DAC=∠BAC．若BC=4cm，AD=5cm，则AB= 8 cm．AE=性质以及勾股定理．16．（3分）（2017•南通）在如图所示（A，B，C三个区域）的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在 A 区域的可能性最大（填A或B 或C）．17．（3分）（2017•南通）如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= 60 °．°，然后又三角形外角的性质，即可求得18．（3分）（2017•南通）已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于﹣12 ．平方式恒大于等于三、解答题（本大题共10小题，共96分）19．（10分）（2017•南通）计算：（1）（﹣2）2+（）0﹣﹣（）﹣1；（2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷x2y．20．（8分）（2017•南通）如图，正比例函数y=﹣2x 与反比例函数y=的图象相交于A （m ，2），B 两点．（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；（2）结合图象直接写出当﹣2x ＞时，x 的取值范围．y=可计算出y=得﹣＞．21．（8分）（2017•南通）如图，海中有一灯塔P，它的周围8海里内有暗礁．海伦以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上；航行40分钟到达B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上；如果海轮不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ABP×=12×=6海里．＞22．（8分）（2017•南通）九年级（1）班开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，并根据学生做家务的时间来评价他们在活动中的表现，老师调查了全班50名学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组：A.0.5≤x＜1B.1≤x＜1.5C.1.5≤x＜2D.2≤x＜2.5E.2.5≤x＜3；并制成两幅不完整的统计图（如图）：请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）这次活动中学生做家务时间的中位数所在的组是 C ；（2）补全频数分布直方图；（3）该班的小明同学这一周做家务2小时，他认为自己做家务的时间比班里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗？请用适当的统计知识说明理由．）根据中位数的意义判断．23．（8分）（2017•南通）盒中有x 个黑球和y 个白球，这些球除颜色外无其他差别．若从盒中随机取一个球，它是黑球的概率是；若往盒中再放进1个黑球，这时取得黑球的概率变为．（1）填空：x= 2 ，y= 3 ；（2）小王和小林利用x个黑球和y个白球进行摸球游戏．约定：从盒中随机摸取一个，接着从剩下的球中再随机摸取一个，若两球颜色相同则小王胜，若颜色不同则小林胜．求两个人获胜的概率各是多少？）根据题意得：解得：===．24．（8分）（2017•南通）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点M 在⊙O 上，MD 恰好经过圆心O ，连接MB ．（1）若CD=16，BE=4，求⊙O 的直径；（2）若∠M=∠D ，求∠D 的度数．M=∠D=25．（9分）（2017•南通）如图①，底面积为30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）圆柱形容器的高为14 cm，匀速注水的水流速度为 5 cm3/s；（2）若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱的高和底面积．26．（10分）（2017•南通）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EC，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．BP AB=1EP=2DAB=60BP =，AE=AG=，EP=2==27．（13分）（2017•南通）如图，矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，E 为AB 上一点，AE=1，M 为射线AD 上一动点，AM=a （a 为大于0的常数），直线EM 与直线CD 交于点F ，过点M 作MG ⊥EM ，交直线BC 于G ．（1）若M 为边AD 中点，求证：△EFG 是等腰三角形；（2）若点G 与点C 重合，求线段MG 的长；（3）请用含a 的代数式表示△EFG 的面积S ，并指出S 的最小整数值．=∴=，∴=∴=，∴=S=MG=××+6 S=+6a=时，28．（14分）（2017•南通）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC 相交于点E，与x轴相交于点F．（1）求线段DE的长；（2）设过E的直线与抛物线相交于M（x1，y1），N（x2，y2），试判断当|x1﹣x2|的值最小时，直线MN与x轴的位置关系，并说明理由；（3）设P为x轴上的一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当tan∠α=4时，求点P的坐标．x2|===，=2AOD，解得的坐标是x2|===，=2。
海安中考一模数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（1，0）和（-1，0），则a、b、c的关系为（）A. a+b+c=0B. a-b+c=0C. a+b-c=0D. a-b-c=02. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，AD=BD，则下列结论正确的是（）A. ∠BAC=∠BADB. ∠BAC=∠CADC. ∠BAD=∠CADD. ∠BAD=∠BCD3. 若x^2-2x+1=0，则x+1的值为（）A. 1B. 2C. 3D. -14. 在直角坐标系中，点P（2，3）关于y轴的对称点坐标为（）A.（-2，3）B.（2，-3）C.（-2，-3）D.（2，3）5. 若等差数列{an}的公差为d，首项为a1，第n项为an，则第n项与第n+1项的和为（）A. 2anB. 2an+1C. 2a1+2dD. 2a1+2nd6. 若|a|＜b，则下列不等式成立的是（）A. a＜bB. -a＜bC. a＜-bD. -a＜-b7. 在锐角三角形ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°8. 若m+n=5，mn=6，则m^2+n^2的值为（）A. 25B. 30C. 35D. 409. 在平面直角坐标系中，点M（3，4）和点N（-2，1）关于原点对称，则点M和点N的距离为（）A. 5B. 6C. 7D. 810. 若函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，则a、b、c的关系为（）A. a＞0，b＞0，c＞0B. a＞0，b＜0，c＞0C. a＜0，b＞0，c＞0D. a＜0，b＜0，c＜011. 若等比数列{an}的公比为q，首项为a1，第n项为an，则第n项与第n+1项的差为（）A. a1q^nB. a1q^n+1C. a1q^n-1D. a1q^n+212. 若函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处的导数为0，则f(1)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。
江苏省南通市海安县2017届九年级(上)第一次月考数学试卷(解析版)
2016-2017学年江苏省南通市海安县九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．一元二次方程3x 2﹣2x ﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（ ）A ．3，﹣2B ．3，2C ．3，﹣1D ．3x 2，﹣2x3．抛物线y=3（x+1）2﹣4的顶点坐标是（ ）A ．（1，4）B ．（1，﹣4）C ．（﹣1，4）D ．（﹣1，﹣4）4．下列方程有两个相等的实数根的是（ ）A ．x 2+2x+3=0B ．x 2+x ﹣12=0C ．x 2+8x+16=0D ．3x 2+2x+1=0 5．将二次函数y=x 2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式是（ ）A ．y=（x ﹣2）2+1B ．y=（x+2）2+1C ．y=（x ﹣2）2﹣1D ．y=（x+2）2﹣1 6．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．正六边形D ．正十边形7．已知点A （﹣2，y 1），B （2，y 2），C （3，y 3）在抛物线y=x 2﹣2x+c 上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 2＞y 3＞y 18．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+8x+b 的图象可能是（ ）A ．B ．C．D．9．如图，抛物线y1=（x﹣2）2﹣1与直线y2=x﹣1交于A、B两点，则当y2≥y1时，x的取值范围为（）A．1≤x≤4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1或x≥410．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②3a+c＞0；③方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；④当y＞3时，x的取值范围是0≤x＜2；⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．如果（m﹣2）x2+3x﹣5=0是一元二次方程，则m ．12．抛物线y=x2+2x﹣3开口方向是．13．在平面直角坐标系中，点（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是．14．抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交点的坐标是．15．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0有一根为0，则m= ．16．直径为20cm的圆中，有一条长为10cm的弦，则这条弦所对的圆心角的度数是．17．如图，CD为⊙O的弦，直径AB⊥CD于E，∠A=28°，则∠COB= ．18．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，则AE的长是．三、解答题（本大题共10小题，共96分．）19．（1）解方程：x2﹣8x+3=0；（2）解方程：x（2x+3）=4x+6．20．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知抛物线的顶点为（1，﹣3），且与y轴交于点（0，1）；（2）已知抛物线与x轴交于点M（﹣3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，15）．21．（9分）如图，已知△ABC的顶点A，B，C的坐标分别是A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣3），C（﹣4，﹣1）．（1）作出△ABC关于原点O中心对称的图形；（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标．22．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程两根a，b满足a2+b2﹣ab=13，求k的值；（3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．24．一家饰品店购进一种今年新上市的饰品进行销售，每件进价为20元，出于营销考虑，要求每件饰品的售价不低于22元且不高于28元，在销售过程中发现该饰品每周的销售量y（件）与每件饰品的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36件；当销售单价为24元时，销售量为32件．（1）请写出y与x的函数关系式；（2）当饰品店每周销售这种饰品获得150元的利润时，每件饰品的销售单价是多少元？（3）设该饰品店每周销售这种饰品所获得的利润为w元，将该饰品销售单价定为多少元时，才能使饰品店销售这种饰品所获利润最大？最大利润是多少？25．平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx+c经过（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）两点，其中m为常数．（1）求b的值，并用含m的代数式表示c；（2）若抛物线y=x2+bx+c与x轴有公共点，求m的值；（3）设（a，y1）、（a+2，y2）是抛物线y=x2+bx+c上的两点，请比较y2﹣y1与0的大小，并说明理由．26．由垂径定理可知：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．请利用这一结论解决问题：如图，点P在以MN为直径的⊙O上，MN=8，PQ⊥MN交⊙O于点Q，垂足为H，PQ≠MN，PQ=4．（1）连结OP，证明△OPH为等腰直角三角形；（2）若点C，D在⊙O上，且=，连结CD，求证：OP∥CD．27．如图1，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D，E分别在AB，AC上，AD=AE．（1）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则DB 与CE有何数量关系，请给予证明．（2）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．28．如图，二次函数y=﹣x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y 轴相交于C点．（1）求m的值及C点坐标；（2）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q．①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．2016-2017学年江苏省南通市海安县九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解，由于圆既是轴对称又是中心对称图形，故只考虑圆内图形的对称性即可．【解答】解：A、既是轴对称图形，不是中心对称图形；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形；C、不是轴对称图形，是中心对称图形；D、只是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．【点评】此题主要是分析圆内的图案的对称性，只要有偶数条对称轴的轴对称图形一定也是中心对称图形．2．一元二次方程3x2﹣2x﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（）A．3，﹣2 B．3，2 C．3，﹣1 D．3x2，﹣2x【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】根据一元二次方程的二次项系数和一次项系数的定义求解．【解答】解：一元二次方程3x2﹣2x﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为3，﹣2．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程的一般式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．A．（1，4） B．（1，﹣4）C．（﹣1，4）D．（﹣1，﹣4）【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线的顶点式可求得出该抛物线的顶点坐标．【解答】解：∵y=3（x+1）2﹣4，∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），故选D．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．4．下列方程有两个相等的实数根的是（）A．x2+2x+3=0 B．x2+x﹣12=0 C．x2+8x+16=0 D．3x2+2x+1=0【考点】根的判别式．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，找出各选项方程解的情况即可得出结论．【解答】解：A、△=22﹣4×1×3=﹣8＜0，方程没有实数根；B、△=12﹣4×1×（﹣12）=49＞0，方程有两个不相等的实数根；C、△=82﹣4×1×16=0，方程有两个相等的实数根；D、△=22﹣4×3×1=﹣8＜0，∴方程没有实数根．故选C．【点评】本题考查了根的判别式，根据根的判别式的符号确定方程解的情况是解题的关键．5．将二次函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得图象的表达式是（）A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1 C．y=（x﹣2）2﹣1 D．y=（x+2）2﹣1【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】几何变换．【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再确定平移后顶点坐标，然后写出平移的顶点式．把点（0，0）向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点（2，1），所以平移后的抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+1．故选A．【点评】本题考查了函数图象与几何变换：抛物线的平移转化为顶点的平移．6．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（）A．正三角形 B．正方形C．正六边形 D．正十边形【考点】旋转对称图形．【分析】分别求出各旋转对称图形的最小旋转角，继而可作出判断．【解答】解：A、正三角形的最小旋转角是120°，故此选项错误；B、正方形的旋转角度是90°，故此选项错误；C、正六边形的最小旋转角是60°，故此选项正确；D、正十角形的最小旋转角是36°，故此选项错误；故选：C．【点评】本题考查了旋转对称图形的知识，解答本题的关键是掌握旋转角度的定义，求出旋转角．7．已知点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y=x2﹣2x+c上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y2＞y3＞y1【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据抛物线的解析式找出抛物线的对称轴为x=1，再比较三点横坐标到x=1的距离，由此即可得出结论．【解答】解：抛物线y=x2﹣2x+c的对称轴为x=1，∵a=1＞0，∴当x=1时，y取最小值，离x=1距离越远，y值越大．∵|﹣2﹣1|=3，|2﹣1|=1，|3﹣1|=2，且3＞2＞1，∴y1＞y3＞y2．故选B．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是找出离x=1距离越远y值越大．8．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】令x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a ＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．【解答】解：x=0时，两个函数的函数值y=b，所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a＞0，所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，所以，A选项错误，C选项正确．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．9．如图，抛物线y1=（x﹣2）2﹣1与直线y2=x﹣1交于A、B两点，则当y2≥y1时，x的取值范围为（）A ．1≤x ≤4B ．x ≤4C ．x ≥1D ．x ≤1或x ≥4【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】联立两函数解析式求出交点A 、B 的坐标，然后根据函数图象写出直线在抛物线上方部分的x 的取值范围即可．【解答】解：联立，解得，，所以，点A （1，0），B （4，3），所以，当y 2≥y 1时，x 的取值范围为1≤x ≤4．故选A ．【点评】本题考查了二次函数与不等式组，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．10．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；②3a+c ＞0；③方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3；④当y ＞3时，x 的取值范围是0≤x ＜2；⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大其中结论正确的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；由对称轴方程得到b=﹣2a，然后根据x=﹣1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，∴a+2a+c=0，所以②错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以③正确；根据对称性，由图象知，当0＜x＜2时，y＞3，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．如果（m﹣2）x2+3x﹣5=0是一元二次方程，则m ≠2 ．【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义即可得．【解答】解：根据题意，得：m﹣2≠0，解得：m≠2，故答案为：≠2．【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是关键．12．抛物线y=x2+2x﹣3开口方向是向上．【考点】二次函数的性质．【分析】根据a大于零抛物线的开口向上，a小于零抛物线的开口向下，可得答案．【解答】解：y=x2+2x﹣3中a=1＞0，y=x2+2x﹣3开口方向是向上，故答案为：向上．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次项的系数a大于零抛物线的开口向上，二次项的系数a 小于零抛物线的开口向下．13．在平面直角坐标系中，点（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答．【解答】解：点（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．故答案为：（3，﹣4）．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．14．抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交点的坐标是（﹣3，0），（1，0）．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】令y=x2+2x﹣3=0，求出x的值，即可求出抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交点的坐标．【解答】解：令y=x2+2x﹣3=0，即（x+3）（x﹣1）=0，解得x1=﹣3，x2=1，所以抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交点的坐标是（﹣3，0），（1，0），故答案为（﹣3，0），（1，0）．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，正确把握抛物线与x轴交点个数确定方法是解题关键，此题难度不大．15．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0有一根为0，则m= ﹣1 ．【考点】一元二次方程的解．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入原方程，列出关于m的方程，通过解关于m的方程即可求得m的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0有一根为0，∴x=0满足关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0，且m﹣1≠0，∴m2﹣1=0，即（m﹣1）（m+1）=0且m﹣1≠0，∴m+1=0，解得，m=﹣1；故答案是：﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的解．注意一元二次方程的二次项系数不为零．16．直径为20cm的圆中，有一条长为10cm的弦，则这条弦所对的圆心角的度数是60°．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】利用弦长等于圆的半径，得到一个等边三角形，其内角为60°，进而求出这条弦所对的圆心角的度数．【解答】解：如图，∵OA=OB=10cm，AB=10cm，∴△OAB是等边三角形，其内角为60°，∴这条弦所对的圆心角的度数为：60°．故答案为：60°．【点评】此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质等知识，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．17．如图，CD为⊙O的弦，直径AB⊥CD于E，∠A=28°，则∠COB= 56°．【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】由⊙O的直径直径AB⊥CD于E，根据垂径定理的即可求得=，又由圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：∵CD为⊙O的弦，直径AB⊥CD于E，∴=，∴∠COB=2∠A=56°，故答案是：56°．【点评】此题考查了圆周角定理与垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．18．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，则AE的长是+．【考点】旋转的性质．【分析】如图，连接AD，由题意得：CA=CD，∠ACD=60°，得到△ACD为等边三角形根据AC=AD，CE=ED，得出AE垂直平分DC，于是求出EO=DC=，OA=AC•sin60°=，最终得到答案AE=EO+OA=+．【解答】解：如图，连接AD，由题意得：CA=CD，∠ACD=60°，∴△ACD为等边三角形，∴AD=CA，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°；∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC=AD=2，∵AC=AD，CE=ED，∴AE垂直平分DC，∴EO=DC=，OA=CA•sin60°=，∴AE=EO+OA=+，故答案为+．【点评】本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共96分．）19．（1）解方程：x2﹣8x+3=0；（2）解方程：x（2x+3）=4x+6．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】（1）利用公式法解方程；（2）先变形得到x（2x+3）﹣2（2x+3）=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）x2﹣8x=﹣3，x2﹣8x+16=13，（x﹣4）2=13，x﹣4=±，所以x1=4+，x2=4﹣；（2）x（2x+3）﹣2（2x+3）=0，（x﹣2）（2x+3﹣2）=0，x﹣2=0或2x+3﹣2=0，所以x1=2，x2=﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．20．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知抛物线的顶点为（1，﹣3），且与y轴交于点（0，1）；（2）已知抛物线与x轴交于点M（﹣3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，15）．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）根据顶点式设解析式，将（0，1）代入可求得解析式；（2）根据交点式设解析式，将（0，15）代入可求得解析式．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣3），∴设函数关系式为：y=a（x﹣1）2﹣3，把（0，1）代入得a=4，∴函数关系式为：y=4（x﹣1）2﹣3，（2）设函数关系式为：y=a（x+3）（x﹣5），把（0，15）代入得a=﹣1，∴函数关系式为：y=﹣（x+3）（x﹣5）=﹣x2+2x+15．【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握针对已知所给的点的坐标设出相对应的解析式，列方程组求得：①已知任意三点时，设一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a ≠0）；②已知顶点和任意一点时，设顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③已知三点，且有两点为与x轴的交点时，设交点式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）．21．如图，已知△ABC的顶点A，B，C的坐标分别是A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣3），C（﹣4，﹣1）．（1）作出△ABC关于原点O中心对称的图形；（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标．【考点】作图-旋转变换．【专题】作图题．【分析】（1）将△ABC的三点与点O连线并延长相同长度找对应点，然后顺次连接得中心对称图形△A′B′C′；（2）将△ABC的三点与点O连线并绕原点O按顺时针方向旋转90°找对应点，然后顺次连接得△A1B1C1．【解答】解：（1）正确画出图形（2）正确画出图形（5分）A1（﹣1，1）．（6分）【点评】本题主要考查了中心对称作图及旋转变换作图的能力，注意：做这类题时找对应点是关键．22．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】（1）设每年市政府投资的增长率为x，由3（1+x）2=2015年的投资，列出方程，解方程即可；（2）2015年的廉租房=12（1+50%）2，即可得出结果．【解答】解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，根据题意得：3（1+x）2=6.75，解得：x=0.5，或x=﹣2.5（不合题意，舍去），∴x=0.5=50%，即每年市政府投资的增长率为50%；（2）∵12（1+50%）2=27，∴2015年建设了27万平方米廉租房．【点评】本题考查了一元一次方程的应用；熟练掌握列一元一次方程解应用题的方法，根据题意找出等量关系列出方程是解决问题的关键．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程两根a，b满足a2+b2﹣ab=13，求k的值；（3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．【考点】三角形综合题．【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）根据一元二次方程根与系数的关系即可得到结论；（3）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC 时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．【解答】解：（1）∵△=（2k+1）2﹣4（k2+k）=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵a，b为方程两根∴a+b=2k+1，ab=k2+k，∴a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=（2k+1）2﹣3（k2+k）=13，解得k1=﹣4，k2=3；（3）解：一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，即x1=k，x2=k+1，∵k＜k+1，∴AB≠AC．当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，综合上述，k的值为5或4．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．24．一家饰品店购进一种今年新上市的饰品进行销售，每件进价为20元，出于营销考虑，要求每件饰品的售价不低于22元且不高于28元，在销售过程中发现该饰品每周的销售量y（件）与每件饰品的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36件；当销售单价为24元时，销售量为32件．（1）请写出y与x的函数关系式；（2）当饰品店每周销售这种饰品获得150元的利润时，每件饰品的销售单价是多少元？（3）设该饰品店每周销售这种饰品所获得的利润为w元，将该饰品销售单价定为多少元时，才能使饰品店销售这种饰品所获利润最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）根据题意列出方程求出即可．（3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）设y=kx+b，把（22，36）与（24，32）代入得：，解得：，则y=﹣2x+80；（2）设当饰品店每周销售这种饰品获得150元的利润时，每件饰品的销售单价是x元，根据题意得：（x﹣20）y=150，则（x﹣20）（﹣2x+80）=150，整理得：x2﹣60x+875=0，（x﹣25）（x﹣35）=0，解得：x1=25，x2=35（不合题意舍去），答：每件饰品的销售单价是25元；（3）由题意可得：w=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，…此时当x=30时，w最大，但又∵x＜30时，y随x的增大而增大，∴当售价不低于22元且不高于28元时，有x=28，w最大=﹣2（28﹣30）2+200=192（元），…（9分）答：该饰品销售单价定为28元时，才能使饰品店销售这种饰品所获利润最大，最大利润是192元．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．25．（2016•南通）平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx+c经过（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）两点，其中m为常数．（1）求b的值，并用含m的代数式表示c；（2）若抛物线y=x2+bx+c与x轴有公共点，求m的值；（3）设（a，y1）、（a+2，y2）是抛物线y=x2+bx+c上的两点，请比较y2﹣y1与0的大小，并说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线上两点代入抛物线解析式中即可求出b和c；（2）令y=0，抛物线和x轴有公共点，即△≥0，和非负数确定出m的值，（3）将两点代入抛物线解析式中，表示出y1，y2，求出y2﹣y1分情况讨论即可【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）两点，∴，∴，即：b=2，c=m2+2m+2，（2）由（1）得y=x2+2x+m2+2m+2，令y=0，得x2+2x+m2+2m+2=0，∵抛物线与x轴有公共点，∴△=4﹣4（m2+2m+2）≥0，∴（m+1）2≤0，∵（m+1）2≥0，∴m+1=0，∴m=﹣1；（3）由（1）得，y=x2+2x+m2+2m+2，∵（a，y1）、（a+2，y2）是抛物线的图象上的两点，∴y1=a2+2a+m2+2m+2，y2=（a+2）2+2（a+2）+m2+2m+2，∴y2﹣y1=[（a+2）2+2（a+2）+m2+2m+2]﹣[a2+2a+m2+2m+2]=4（a+2）当a+2≥0，即a≥﹣2时，y2﹣y1≥0，当a+2＜0，即a＜﹣2时，y2﹣y1＜0．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与x轴的交点，比较代数式的大小，解本题的关键是求出b，用m表示出抛物线解析式，难点是分类讨论．26．由垂径定理可知：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．请利用这一结论解决问题：如图，点P在以MN为直径的⊙O上，MN=8，PQ⊥MN交⊙O于点Q，垂足为H，PQ≠MN，PQ=4．（1）连结OP，证明△OPH为等腰直角三角形；（2）若点C，D在⊙O上，且=，连结CD，求证：OP∥CD．【考点】圆心角、弧、弦的关系；线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；垂径定理．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求出PH，再根据勾股定理求出OH，得出PH=OH，再根据 PH ⊥MN，即可得出△OPH为等腰直角三角形；（2）连结OQ，根据=，得出OQ⊥CD，再根据△OPH为等腰直角三角形得出OP⊥OQ，从而得出OP∥CD．【解答】（1）解：∵MN为直径，PQ⊥MN，PQ=4，∴PH=PQ=2，∵MN=8，∴OP=MN=4，∴OH==2，∴PH=OH，∵PH⊥MN，∴△OPH为等腰直角三角形；（2）证明：连结OQ，OQ交CD于A，∵=，∴OQ⊥CD，∵△OPH为等腰直角三角形，∴∠OPQ=45°，∵OP=OQ，∴△OPQ为等腰直角三角形，∴∠POQ=90°，∴OP⊥OQ，∴OP∥CD．【点评】此题考查了圆的综合题：用到的知识点是垂径定理、等腰直角三角形、勾股定理、圆心角、弧、弦之间的关系、线段垂直平分线的性质；能够灵活应用性质与定理进行解答是本题的关键．27．如图1，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D，E分别在AB，AC上，AD=AE．（1）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则DB 与CE有何数量关系，请给予证明．（2）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】（1）由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，根据全等三角形的判定和性质监控得到结论；（2）根据旋转的性质得到CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，求得∠CEP=∠CPE=45°，由勾股定理可得到PE=2，根据勾股定理的逆定理得到△PEA是直角三角形，求得∠PEA=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）DB=CE．理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，得，。
2017年江苏省南通市中考数学试卷-答案
江苏省南通市 2017 年初中毕业、升学考试
数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题 1.【答案】D 【解析】解：∵在 0，2， 1， 2 这四个数中只有 2 1 0 ， 0 2 ，∴在 0、2、-1、-2 这四个数中，最 小的数是 2 ，故选：D． 【提示】根据正数大于 0，0 大于负数，可得答案． 【考点】实数大小的比较． 2.【答案】A 【解析】解：将 180000 用科学记数法表示为1.8105 ，故选：A． 【提示】科学记数法的表示形式为 a 10n 的形式，其中1 a 10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变
1，此时 m 1，n 0 ，∴ x m 时，多项式 x2 2x n2 的值为 m2 2m n2 3 ．
或解：∵多项式 x2 2x n2 的值为 1，∴ x2 2x 1 n2 0 ，∴ (x 1)2 n2 0 ，∵ (x 1)2 0，n2 0 ，
m1
5，m2
8
，又∵
D
在
A 的右侧，即
m
5
，∴
m
8
，∴
D
的坐标为
8, 15 2
．
5 / 13
【提示】解法 1：先连接 AD 并延长，交 x 轴于 E ，构造等腰 △CDE ，进而得到点 E 的坐标，根据待定系
南通市2017年中考数学参考答案
南通市2017年初中毕业、升学考试数学试题参考答案与评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或两种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．题号12345678 9 10 选项 D A D A A C DB CB11．x ≥2 12．4 13．7014．9 15．3016．817．318．（8，152） 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19．（本小题满分10分）（1）解：原式＝4－4＋3－1 ·········································································· 4分＝2． ···················································································· 5分（2）解：解不等式3x －x ≥2，得x ≥1． ·························································· 7分解不等式1＋2x3＞x －1，得x ＜4． ······················································ 9分∴这个不等式组的解集为1≤x ＜4． ················································· 10分20．（本小题满分8分）解：原式＝292m m --·2(2)3m m-- ······························································ 2分＝(3)(3)2m m m +--·2(2)(3)m m --- ······················································· 4分＝－2m －6． ·········································································· 6分当m ＝12-时，原式＝－2×(12-)－6＝－5． ······································ 8分21．1）20，32%； ·································· 4分 （2）如图； ········································· 6分 （3）900×(40%＋32%＋4%) ＝684． ········································ 8分答：估计该校约有684名学生平均每天的课外阅读时间不少于50 min ． ··················· 9分22．（本小题满分8分）解：画树状图如下： 第1次第2次 ······················· 5分 由图可以看出，可能出现的结果共有12种，并且它们出现的可能性相等． 其中两次都摸到红球的情况只有2种， ··················································· 6分∴P （两次都摸到红球）＝16． ····························································· 8分★保密材料 阅卷使用频数 /min 10 201816 14128 6 4 2 白 2红黑1红白1红黑 2红2红白 1红黑 2红白 1红黑23．（本小题满分8分）解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，则AD ＝100．················ 1分在Rt △ABD 中，∵tan α＝BDAD，∴BD ＝AD ·tan α＝AD ·tan45°＝100． ·························· 3分 在Rt △ACD 中，∵tan β＝CDAD，∴CD ＝AD ·tan β＝AD ·tan60°＝1003． ························ 5分 ∴BC ＝BD ＋CD ＝（100＋1003）(m )． ························ 7分 答：这栋楼的高度为(100＋1003)m ． ···························· 8分 24．（本小题满分8分）解：连接OD ，作OF ⊥BE 于点F ． ································· 1分 ∵AC 与⊙O 相切于点D ，∴∠ODC ＝90°． ················· 2分∵∠C ＝90°，∠OFC ＝90°，∴四边形ODCF 为矩形． ········································ 4分∴CF ＝OD ＝OB =2．∴BF ＝BC －CF ＝1． ·············································· 6分∵OF ⊥BE ，∴BE ＝2BF ＝2． ··················································· 8分25．（本小题满分9分）解：（1）如图； ····························································· 3分（2）3； ································································· 6分（3）①当x ＜－2时，y 随x 的增大而增大； 当－2≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小； 当x ＞2时，y 随x 的增大而增大；②y 轴左侧图象最高点的坐标是（－2，83）；③y 轴右侧图象最低点的坐标是（2，－83）等． ······· 9分 26．（本小题满分10分）（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ．∴∠PEB ＝∠EBQ ． ∵PQ 垂直平分BE ， ∴OE ＝OB ，∠POE ＝∠QOB ＝90°． ∴△OPE ≌△OQB ．∴OP ＝OQ ． ······························· 3分∴四边形BPEQ 是平行四边形． ································· 4分 ∵PQ ⊥BE ，∴四边形BPEQ 是菱形． ·········································· 5分（2）解：∵OB ＝OE ，BF ＝AF ＝12AB ＝3，∴OF ∥AE ．∴∠OFB ＝∠A ＝90°，∠BOF ＝∠PEO ． ················································· 6分 设OF ＝x ，∵OF ＋OB ＝9，∴OB ＝9－x ．A BC D E FPQ O （第26题）xy O 1 2 3 4 -1 -2-3-41 234-1 -2 -3 -4 （第25题） A B Cβ αD （第23题） A CD EO （第24题）F在Rt △OBF 中，(9－x )2＝x 2＋32，解得x ＝4． ∴OF ＝4，OE ＝OB ＝5． ····································································· 7分 ∵∠BFO ＝∠POE ＝90°，∠BOF ＝∠PEO ，∴△BFO ∽△POE ，∴FB PO ＝OF OE ，即OP ＝FB OF ·OE ＝154． ·························· 9分∴PQ ＝2OP ＝152． ············································································ 10分27．（本小题满分13分）（1）3； ········································································· 3分（2）证明：如图1，∵AB ＝AC ，BD ＝BC ＝AD ，∴∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ，∠A ＝∠ABD ． ······················· 4分 ∴∠A ＝∠ABD ＝∠DBC ＝36°．∴BD 平分∠ABC ． ··········· 5分 ∵∠C ＝∠C ，∠DBC ＝∠A ，∴△CBD ∽△CAB ． ············· 6分 ∴BD 是△ABC 的“内似线”． ·································· 7分（3）解：如图2-1，设I 是△ABC 的内心，作IP ⊥AB ，垂足为P , IM ⊥AC ，垂足为M , IN ⊥BC ，垂足为N ,则IP ＝IM ＝IN ．Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝5．由三角形面积公式得12(3＋4＋5)·IP ＝12×3×4．∴IP ＝1．∴IM ＝IN ＝1． ·········································· 9分①当△CEF ∽△CAB 时，∠CEF ＝∠CAB ． ∵∠EMI ＝∠ACB ＝90°，∴△MEI ∽△CAB ． ∴EI AB ＝IMBC ．∴EI ＝IM ·AB BC ＝53． 同理FI ＝IN ·AB AC ＝54． ∴EF ＝EI ＋FI ＝53＋54＝3512． ··································· 11分②如图2-2，当△ CFE ∽△CAB 时， 同理△MEI ∽△CBA ，△NFI ∽△CAB ． ∴EI ＝IM ·AB AC ＝54 ，FI ＝IN ·AB BC ＝53 ．∴EF ＝EI ＋FI ＝54＋53＝3512 ．综上，EF ＝3512． ·················································· 13分 28．（本小题满分13分）（1）如图1，∵AB ∥x 轴，∴点A ，B 关于y 轴对称．∵AB ＝2，∴AC ＝BC ＝1．∵∠AOB ＝60°，∴OC 33又∵点A 在第二象限，∴点A 的坐标是（－1， 3 ）． ····· 2分 ∴ 3 ＝a ·(－1)2，解得a ＝ 3 ． ······························· 3分（2）如图2，过点B 作BF ⊥x 轴，垂足为F ，则AD ∥CO ∥BF ．∴DO OF ＝ACCB＝4．∵点A 的横坐标为－4，∴DO ＝4，AD ＝16a ．∴OF ＝1，∴点B 的横坐标为1．∴BF ＝a ． ·················· 5分A B C D（第27题图1） F （第27题图2－1）A BC I P ENM （第27题图2－2） A BCI P F EMN （第28题图1） A OCx yB∵∠ADO ＝90°，∴∠DAO ＋∠AOD ＝90°．∵∠AOB ＝90°，∴∠AOD ＋∠BOF ＝90°．∴∠DAO ＝∠BOF ．∵∠ADO ＝∠BFO =90°．∴△ADO ∽△OFB ，∴AD OF ＝ODBF．即AD ·BF ＝OF ·OD ． ············································· 7分∴16a 2＝4．∴a ＝±12 ．∵a ＞0，∴a ＝12． ∴点B 的坐标是（1，12）． ····································· 8分（3）法一：如图3，连接DC ，过点B 作BF ⊥x 轴，垂足为F ， 则AD ∥CO ∥BF ．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AC CB ＝DO OF ＝－x 1x 2． ···· 9分∵DE ∥BF ，∴△EDO ∽△BFO ． ∴DE BF ＝DO OF ＝－x 1x 2． ∴DE ＝BF ·(－x 1x 2 )＝a 22x ·(－x 1x 2)＝－a x 1 x 2．∴AD DE ＝ y 1－a x 1 x 2＝a 21x －a x 1 x 2＝－x 1x 2 ． ························ 11分∴AC CB ＝AD DE ．∴AC AB ＝AD AE． ∵∠DAC ＝∠EAB ，∴△ADC ∽△AEB ． ∴∠ADC ＝∠AEB ．∴DC ∥EB ． ···························· 12分 ∵AD ∥CO ，∴四边形DEOC 是平行四边形． ∴DE ＝CO ． ······················································· 13分法二：设A （x 1，a 21x ），B （x 2，a 22x ），直线OB 的解析式为y ＝mx ， 易得m ＝ax 2，∴直线OB 的解析式为y ＝ax 2x . ∵AE ∥y 轴，∴x E ＝x A ＝x 1，∴y E ＝ax 1x 2． ··························································· 10分∵直线y ＝kx ＋b 与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)相交于A ，B 两点，∴x 1，x 2是方程ax 2－kx －b ＝0的两根，则x 1·x 2＝ba-．∴y E ＝ax 1x 2＝a ·(ba-)＝－b ．∴DE ＝b ． ··································································································· 12分 在y ＝kx ＋b 中，由x C ＝0，得y C ＝b ．∴OC ＝b ． ∴DE ＝CO ． ································································································· 13分A D O C x yB （第28题图2）F A D O Cx yB （第28题图3）F E。
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江苏省南通市海安县2017年中考数学一模试卷（解析版）一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．|﹣2|的值等于（）A．2 B．﹣C．D．﹣22．计算a2÷a3的结果是（）A．a﹣1B．a C．a5D．a63．下列水平放置的几何体中，俯视图是矩形的是（）A．圆柱B．长方体C．三棱柱D．圆锥4．一组数据2、3、4、4、5、5、5的中位数和众数分别是（）A．3.5，5 B．4，4 C．4，5 D．4.5，45．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C． D．6．为了说明命题“当b＜0时，关于x的一元二次方程x2+bx+2=0必有实数解”是假命题，可以举的一个反例是（）A．b=2 B．b=3 C．b=﹣2 D．b=﹣37．如图，半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，劣弧AC的长度为（）A．πB．πC．πD．π8．在一条笔直的公路旁依次有A、B、C三个村庄，甲、乙两人同时分别从A、B两村出发，甲骑摩托车，乙骑电动车沿公路匀速驶向C村，最终到达C村．甲、乙两人到C村的距离y1，y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，以下分析错误的是（）A．A、C两村间的距离为120kmB．点P的坐标为（1，60）C．点P的意义表示经过1小时甲与乙相遇且距C村60kmD．乙在行驶过程中，仅有一次机会距甲10km9．在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+b与y=bx2+kx的图象可能是（）A．B．C．D．10．如图，在正方形ABCD外侧作直线DE，点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM，其中AM交直线DE于点N．若45°＜∠CDE＜90°，当MN=3，AN=4时，正方形ABCD 的边长为（）A．B．5 C．5D．二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为．12．已知方程组的解为，则一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为．13．计算（﹣）×的结果是．14．如图，∠1=70°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3=°．15．分解因式：9m3﹣mn2=．16．已知平面直角坐标系xOy中，点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，），设△OPA 的面积为S．则S随x的增大而．（填“增大”，“不变”或“减小”）17．平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图如图①摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针开始旋转，如图②，当点P恰好落在=．BC边上时，S阴影18．已知两个不等实数a，b满足a2+18a﹣19=0，b2+18b﹣19=0．若一次函数的图象经过点A（a，a2），B（b，b2），则这个一次函数的解析式是．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：（﹣2）2+（﹣π）0+|1﹣|；（2）解方程组：．20．化简：（1+）÷．21．某校举行全体学生“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个．随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如下的图表．根据以上信息完成下列问题：（1）统计表中的m=，n=，并补全条形统计图；（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是；（3）已知该校共有900名学生，如果听写正确的字的个数少于24个定为不合格，请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数．22．现有一组数：﹣1，，0，5，求下列事件的概率：（1）从中随机选择一个数，恰好选中无理数；（2）从中随机选择两个不同的数，均比0大．23．从南京到某市可乘坐普通列车，行驶路程是520千米；也可乘坐高铁，行驶路程是400千米．已知高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且从南京到该市乘坐高铁比乘坐普通列车要少用3小时．求高铁行驶的平均速度．24．如图，利用热气球探测器测量大楼AB的高度．从热气球P处测得大楼顶部B的俯角为37°，大楼底部A的俯角为60°，此时热气球P离地面的高度为120m．试求大楼AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）25．（10分）（2016贵港三模）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP 与AB的延长线交于点P．点C在OP上，且BC=PC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若OA=3，AB=2，求BP的长．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=（x＞0）与直线y=kx﹣k的交点为A（m，2）．（1）求k的值；（2）当x＞0时，直接写出不等式kx﹣k＞的解集：；（3）设直线y=kx﹣k与y轴交于点B，若C是x轴上一点，且满足△ABC的面积是4，求点C的坐标．27．如图，四边形ABCD为正方形．在边AD上取一点E，连接BE，使∠AEB=60°．（1）利用尺规作图补全图形；（要求：保留作图痕迹，并简述作图步骤）（2）取BE中点M，过点M的直线交边AB，CD于点P，Q．①当PQ⊥BE时，求证：BP=2AP；②当PQ=BE时，延长BE，CD交于N点，猜想NQ与MQ的数量关系，并说明理由．28．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（0，﹣2），在x轴上任取一点M，连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P．在x轴上多次改变点M的位置，得到相应的点P，会发现这些点P竟然在一条抛物线L上！记点P（x，y），连接AP．（1）求出y关于x的函数解析式；（2）若锐角∠APM的正切函数值为．①求点M的坐标；②设点N在直线l2上，点Q在抛物线L上，当PN=1，且AQ，NQ之和最小时，求点Q 的坐标．2017年江苏省南通市海安县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．|﹣2|的值等于（）A．2 B．﹣C．D．﹣2【分析】直接根据绝对值的意义求解．【解答】解：|﹣2|=2．故选A．【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=﹣a．2．计算a2÷a3的结果是（）A．a﹣1B．a C．a5D．a6【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可．【解答】解：a2÷a3=a﹣1，故选A．【点评】本题考查同底数幂的除法，熟练掌握性质和法则是解题的关键．3．下列水平放置的几何体中，俯视图是矩形的是（）A．圆柱B．长方体C．三棱柱D．圆锥【分析】俯视图是从物体的上面看得到的视图，仔细观察各个简单几何体，便可得出选项．【解答】解：A、圆柱的俯视图为圆，故本选项错误；B、长方体的俯视图为矩形，故本选项正确；C、三棱柱的俯视图为三角形，故本选项错误；D、圆锥的俯视图为圆，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．本题比较简单．4．一组数据2、3、4、4、5、5、5的中位数和众数分别是（）A．3.5，5 B．4，4 C．4，5 D．4.5，4【分析】先把数据按大小排列，然后根据中位数和众数的定义可得到答案．【解答】解：数据按从小到大排列：2、3、4、4、5、5、5，中位数是4；数据5出现3次，次数最多，所以众数是5．故选C．【点评】本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C． D．【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．【解答】解：，由①得：x≥1，由②得：x＜2，在数轴上表示不等式的解集是：故选：D．【点评】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式的解集等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．6．为了说明命题“当b＜0时，关于x的一元二次方程x2+bx+2=0必有实数解”是假命题，可以举的一个反例是（）A．b=2 B．b=3 C．b=﹣2 D．b=﹣3【分析】利用根的判别式结合b的值分别判断得出即可．【解答】解：A、当b=2时，此时b＞0，不合题意，故此选项错误；B、当b=3时，此时b＞0，不合题意，故此选项错误；C、当b=﹣2时，此时b＜0，则x2﹣2x+2=0，故b2﹣4ac=4﹣8=﹣4＜0，故此方程无实数根，故此选项正确；D、当b=﹣3时，此时b＜0，则x2﹣3x+2=0，故b2﹣4ac=9﹣8=1＞0，故此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了命题与定理以及根的判别式，正确记忆根的判别式与方程根的情况是解题关键．7．如图，半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，劣弧AC的长度为（）A．πB．πC．πD．π【分析】先求得正五边形的内角的度数，然后根据弧长公式即可求得．【解答】解：因为正五边形ABCDE的内角和是（5﹣2）×180=540°，则正五边形ABCDE的一个内角==108°；连接OA、OB、OC，∵圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，∴∠OAE=∠OCD=90°，∴∠OAB=∠OCB=108°﹣90°=18°，∴∠AOC=144°所以劣弧AC的长度为=π．故选B．【点评】本题考查了正五边形的内角和的计算以及弧长的计算，难度适中．8．在一条笔直的公路旁依次有A、B、C三个村庄，甲、乙两人同时分别从A、B两村出发，甲骑摩托车，乙骑电动车沿公路匀速驶向C村，最终到达C村．甲、乙两人到C村的距离y1，y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，以下分析错误的是（）A．A、C两村间的距离为120kmB．点P的坐标为（1，60）C．点P的意义表示经过1小时甲与乙相遇且距C村60kmD．乙在行驶过程中，仅有一次机会距甲10km【分析】A、由图可知与y轴交点的坐标表示A、C两村间的距离为120km，再由0.5小时距离C村90km，行驶120﹣90=30km，速度为60km/h，求得a=2；B、求得y1，y2两个函数解析式，建立方程求得点P坐标；C、点P表示在什么时间相遇以及距离C村的距离；D、由B中的函数解析式根据距甲10km建立方程；探讨得出答案即可．【解答】解：A、A、C两村间的距离120km，a=120÷[（120﹣90）÷0.5]=2，故A不符合题意；B、设y1=k1x+120，代入（2，0）解得y1=﹣60x+120，y2=k2x+90，代入（3，0）解得y1=﹣30x+90，由﹣60x+120=﹣30x+90解得x=1，则y1=y2=60，所以P（1，60），故B不符合题意；C、点P表示经过1小时甲与乙相遇且距C村60km，故C不符合题意；D、当y1﹣y2=10，即﹣60x+120﹣（﹣30x+90）=10解得x=，当y2﹣y1=10，即﹣30x+90﹣（﹣60x+120）=10解得x=，当甲走到C地，而乙距离C地10km时，﹣30x+90=10解得x=；综上所知当x=h，或x=h，或x=h乙距甲10km，故D符合题意．故选：D．【点评】此题考查一次函数的运用，一次函数与二元一次方程组的运用，解答时认真分析图象求出解析式是关键，注意分类思想的渗透．9．在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+b与y=bx2+kx的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据k、b的正负不同，则函数y=kx+b与y=bx2+kx的图象所在的象限也不同，针对k、b进行分类讨论，从而可以选出正确选项．【解答】解：若k＞0，b＞0，则y=kx+b经过一、二、三象限，y=bx2+kx开口向上，顶点在y轴左侧，故A、D错误；若k＜0，b＜0，则y=kx+b经过二、三、四象限，y=bx2+kx开口向下，顶点在y轴左侧，故B错误；若k＞0，b＜0，则y=kx+b经过一、三、四象限，y=bx2+kx开口向下，顶点在y轴右侧，故C正确；故选C．【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数图象和二次函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想解答．10．如图，在正方形ABCD外侧作直线DE，点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM，其中AM交直线DE于点N．若45°＜∠CDE＜90°，当MN=3，AN=4时，正方形ABCD 的边长为（）A．B．5 C．5D．【分析】连接CN、DM、AC，根据轴对称的性质可得CN=MN，CD=DM，∠DCN=∠DMN，根据正方形的四条边都相等可得AD=CD，然后求出AD=DM，根据等边对等角可得∠DAM=∠DMN，从而得到∠DCN=∠DAM，再求出∠ACN+∠CAN=90°，判断出△ACN是直角三角形，然后利用勾股定理列式求出AC，再根据正方形的边长等于对角线的倍求解．【解答】解：如图所示，连接CN、DM、AC，∵点C关于直线DE的对称点为M，∴CN=MN，CD=DM，∠DCN=∠DMN，在正方形ABCD中，AD=CD，∴AD=DM，∴∠DAM=∠DMN，∴∠DCN=∠DAM，∵∠ACN+∠CAN=∠BCD﹣∠DCN+∠CAD+∠DAM=∠BCD+∠CAD=90°，∴∠ANC=180°﹣90°=90°，∴△ACN是直角三角形，由勾股定理得，AC===5，∴正方形ABCD的边长=AC=×5=．故选D．【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，等边对等角的性质，勾股定理，作辅助线构造出等腰三角形与直角三角形是解题的关键，难点在于把AN、MN的长度以及正方形的对角线组成直角三角形．二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为5．【分析】利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．【解答】解：多边形的边数是：360÷72=5．故答案为：5．【点评】本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．12．已知方程组的解为，则一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为（1，0）．【分析】二元一次方程组是两个一次函数变形得到的，所以二元一次方程组的解，就是函数图象的交点坐标．【解答】解：∵方程组的解为，∴一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．【点评】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．13．计算（﹣）×的结果是2．【分析】根据二次根式的混合运算顺序，首先计算小括号里面的，然后计算乘法，求出算式（﹣）×的结果是多少即可．【解答】解：（﹣）×=（3﹣2）×=×=2即（﹣）×的结果是2．故答案为：2．【点评】（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．（2）此题还考查了平方根的性质和计算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．14．如图，∠1=70°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3=110°．【分析】延长直线后根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可．【解答】解：延长直线，如图：，∵直线a平移后得到直线b，∴a∥b，∴∠5=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°，∵∠2=∠4+∠5，∵∠3=∠4，∴∠2﹣∠3=∠5=110°，故答案为：110．【点评】此题考查平移问题，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答．15．分解因式：9m3﹣mn2=m（3m+n）（3m﹣n）．【分析】原式提取m，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=m（9m2﹣n2）=m（3m+n）（3m﹣n），故答案为：m（3m+n）（3m﹣n）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．16．已知平面直角坐标系xOy中，点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，），设△OPA 的面积为S．则S随x的增大而减小．（填“增大”，“不变”或“减小”）【分析】根据题意可以表示出S与x之间的关系，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，S==，故S随x的增大而减小，故答案为：减小．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是找到S与x之间的关系．17．平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图如图①摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针开始旋转，如图②，当点P恰好落在=+．BC边上时，S阴影【分析】首先设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E，则可求得∠RKQ的度数，于是求得答案．【解答】解：如图所示：设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H 过点R作RE⊥KQ于点E，在Rt△OPH中，PH=AB=1，OP=2，∴∠POH=30°，∴α=60°﹣30°=30°，∵AD∥BC，∴∠RPO=∠POH=30°，∴∠RKQ=2×30°=60°，==，∴S扇形KRQ在Rt△RKE中，RE=RKsin60°=，∴S△PRK=××=，=+；∴S阴影故答案为： +．【点评】本题考查了矩形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理以及锐角三角函数的知识．注意根据题意正确的画出图形是解题的关键．18．已知两个不等实数a，b满足a2+18a﹣19=0，b2+18b﹣19=0．若一次函数的图象经过点A（a，a2），B（b，b2），则这个一次函数的解析式是y=﹣18x+19．【分析】根据两个不等实数a，b满足a2+18a﹣19=0，b2+18b﹣19=0，可得a2=19﹣18a，b2=19﹣18b，进而可得A（a，a2），B（b，b2）变为A（a，19﹣18a），B（b，19﹣18b），设一次函数解析式为y=kx+n，把此两点代入可得关于k、b的方程组，再解即可得到k、b的值，进而可得这个一次函数的解析式．【解答】解：∵两个不等实数a，b满足a2+18a﹣19=0，b2+18b﹣19=0，∴a2=19﹣18a，b2=19﹣18b，设一次函数解析式为y=kx+n，∵图象经过点A（a，a2），B（b，b2），∴图象经过点A（a，19﹣18a），B（b，19﹣18b），∴，解得：，∴一次函数解析式为y=﹣18x+19．故答案为：y=﹣18x+19．【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：（﹣2）2+（﹣π）0+|1﹣|；（2）解方程组：．【分析】（1）原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1）原式=4+1+﹣1=4+；（2），①×2+②，得5x=5，即x=1，将x=1代入①，得y=﹣1，则原方程组的解为．【点评】此题考查了实数的运算，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．化简：（1+）÷．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式==﹣．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．某校举行全体学生“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个．随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如下的图表．根据以上信息完成下列问题：（1）统计表中的m=30，n=20，并补全条形统计图；（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是90°；（3）已知该校共有900名学生，如果听写正确的字的个数少于24个定为不合格，请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数．【分析】（1）根据条形图和扇形图确定B组的人数环绕所占的百分比求出样本容量，求出m、n的值；（2）求出C组”所占的百分比，得到所对应的圆心角的度数；（3）求出不合格人数所占的百分比，求出该校本次听写比赛不合格的学生人数．【解答】解：（1）从条形图可知，B组有15人，从扇形图可知，B组所占的百分比是15%，D组所占的百分比是30%，E组所占的百分比是20%，15÷15%=100，100×30%=30，100×20%=20，∴m=30，n=20；（2）“C组”所对应的圆心角的度数是25÷100×360°=90°；（3）估计这所学校本次听写比赛不合格的学生人数为：900×（10%+15%+25%）=450人．【点评】本题考查的是频数分布表、条形图和扇形图的知识，利用统计图获取正确信息是解题的关键．注意频数、频率和样本容量之间的关系的应用．22．现有一组数：﹣1，，0，5，求下列事件的概率：（1）从中随机选择一个数，恰好选中无理数；（2）从中随机选择两个不同的数，均比0大．【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出“均比0大”的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）无理数为，从中随机选择一个数，恰好选中无理数的概率=；（2）画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中“均比0大”的结果数为2，所以从中随机选择两个不同的数，均比0大的概率==．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．23．从南京到某市可乘坐普通列车，行驶路程是520千米；也可乘坐高铁，行驶路程是400千米．已知高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且从南京到该市乘坐高铁比乘坐普通列车要少用3小时．求高铁行驶的平均速度．【分析】设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据题意可得，乘坐高铁行驶400千米比乘坐普通列车行驶520千米少用3小时，据此列方程求解．【解答】解：设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，依题意，得+3=，解得：x=120，经检验，x=120是原方程的解，且符合题意，则2.5x=300．答：高铁行驶的平均速度是300千米/时．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题案的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．24．如图，利用热气球探测器测量大楼AB的高度．从热气球P处测得大楼顶部B的俯角为37°，大楼底部A的俯角为60°，此时热气球P离地面的高度为120m．试求大楼AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）【分析】首先过P作PC⊥AB，垂足为C，进而求出PC的长，利用tan37°=，得BC的长，即可得出答案．【解答】解：过P作PC⊥AB，垂足为C，由已知∠APC=60°，∠BPC=37°，且由题意可知：AC=120米．在Rt△APC中，由tan∠APC=，即tan60°=，得PC==40．在Rt△BPC中，由tan∠BPC=，即tan37°=，得BC=40×0.75≈51.9．因此AB=AC﹣BC=120﹣51.9=68.1，即大楼AB的高度约为68.1米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意正确构造直角三角形是解题关键．25．（10分）（2016贵港三模）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP 与AB的延长线交于点P．点C在OP上，且BC=PC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若OA=3，AB=2，求BP的长．【分析】（1）连结OB．由等腰三角形的性质得到∠A=∠OBA，∠P=∠CBP，由于OP⊥AD，得到∠A+∠P=90°，于是得到∠OBA+∠CBP=90°，求得∠OBC=90°结论可得；（2）连结DB．由AD是⊙O的直径，得到∠ABD=90°，推出Rt△ABD∽Rt△AOP，得到比例式=，即可得到结果．【解答】（1）证明：连结OB．∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，又∵BC=PC，∴∠P=∠CBP，∵OP⊥AD，∴∠A+∠P=90°，∴∠OBA+∠CBP=90°，∴∠OBC=180°﹣（∠OBA+∠CBP）=90°，∵点B在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线，（2）解：如图，连结DB．∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴Rt△ABD∽Rt△AOP，∴=，即=，AP=9，∴BP=AP﹣BA=9﹣2=7．【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．26．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=（x＞0）与直线y=kx﹣k的交点为A（m，2）．（1）求k的值；（2）当x＞0时，直接写出不等式kx﹣k＞的解集：x＞2；（3）设直线y=kx﹣k与y轴交于点B，若C是x轴上一点，且满足△ABC的面积是4，求点C的坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）观察图象，直线y=kx﹣k的图象在y=的上方，由此可以写出不等式的解集．（3）设点C坐标（m，0），直线y=2x﹣2与x轴的交点D坐标为（1，0），根据S△ABC=S△CDA+S△CDB=4，列出方程即可解决．【解答】解：（1）∵点A在双曲线y=上，∴2=，∴m=2，∴点A（2，2）．∵点A在直线y=kx﹣k上，∴2=2k﹣k，∴k=2．（2）由图象可知，x＞0时，直接写出不等式kx﹣k＞的解集为x＞2．故答案为x＞2．（3）设点C坐标（m，0）．∵直线y=2x﹣2与x轴的交点D坐标为（1，0），∴S△ABC=S△CDA+S△CDB=4，∴|m﹣1|（2+2）=4，∴m=3或﹣1．∴点C坐标为（3，0）或（﹣1，0）．【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点、待定系数法等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用分割法求三角形面积，属于中考常考题型．27．如图，四边形ABCD为正方形．在边AD上取一点E，连接BE，使∠AEB=60°．（1）利用尺规作图补全图形；（要求：保留作图痕迹，并简述作图步骤）（2）取BE中点M，过点M的直线交边AB，CD于点P，Q．①当PQ⊥BE时，求证：BP=2AP；②当PQ=BE时，延长BE，CD交于N点，猜想NQ与MQ的数量关系，并说明理由．【分析】（1）如图，分别以点B、C为圆心，BC长为半径作弧交正方形内部于点T，连接BT并延长交边AD于点E；（2）连接PE，先证明PQ垂直平分BE．得到PB=PE，再证明∠APE=60°，得到∠AEP=30°，利用在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，即可解答；（3）NQ=2MQ或NQ=MQ，分两种情况讨论作出辅助线，证明△ABE≌△FQP，即可解答．【解答】解：（1）如图1，分别以点B、C为圆心，BC长为半径作弧交正方形内部于点T，连接BT并延长交边AD于点E；（2）连接PE，如图2，∵点M是BE的中点，PQ⊥BE∴PQ垂直平分BE．∴PB=PE，∴∠PEB=∠PBE=90°﹣∠AEB=90°﹣60°=30°，∴∠APE=∠PBE+∠PEB=60°，∴∠AEP=90°∠APE=90°﹣60°=30°，∴BP=EP=2AP．（3）NQ=2MQ或NQ=MQ．理由如下：如图3所示，过点Q作QF⊥AB于点F交BC于点G，则QF=CB．∵正方形ABCD中，AB=BC，∴FQ=AB．在Rt△ABE和Rt△FQP中，∵∴△ABE≌△FQP（HL）．∴∠FQP=∠ABE=30°．又∵∠MGO=∠AEB=60°，∴∠GMO=90°，∵CD∥AB．∴∠N=∠ABE=30°．∴NQ=2MQ．如图4所示，过点Q作QF⊥AB于点F交BC于点G，则QF=CB．同理可证△ABE≌△FQP．此时∠FPQ=∠AEB=60°．又∵∠FPQ=∠ABE+∠PMB，∠N=∠ABE=30°．∴∠EMQ=∠PMB=30°．∴∠N=∠EMQ，∴NQ=MQ．【点评】本题考查了正方形的性质定理、全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，证明三角形全等．28．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（0，﹣2），在x轴上任取一点M，连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P．在x轴上多次改变点M的位置，得到相应的点P，会发现这些点P竟然在一条抛物线L上！记点P（x，y），连接AP．（1）求出y关于x的函数解析式；（2）若锐角∠APM的正切函数值为．①求点M的坐标；②设点N在直线l2上，点Q在抛物线L上，当PN=1，且AQ，NQ之和最小时，求点Q 的坐标．【分析】（1）利用垂直平分线的性质以及勾股定理得出y与x的函数关系式；（2）①利用P点在第三、四象限分别得出M点坐标；②根据题意首先得出N点坐标再利用待定系数法求出一次函数解析式，联立函数解析式进而得出Q点坐标．【解答】解：（1）如图1，连接AP，作PB⊥y轴于B，由l1垂直平分AM得：PA=PM=﹣y；在Rt△ABP中，BP=OM=x，BA=PM﹣OA=﹣2﹣y，根据勾股定理得：（﹣2﹣y）2+x2=y2，整理得：y=﹣x2﹣1．（2）①当点P在第四象限时，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣1）（x＞0）．∵直线l2垂直于x轴，∴PM∥y轴．∴∠APM=∠PAB，∴tan∠PAB=tan∠PAB=，即=．∴=，解得x1=4，x2=﹣1（不合题意，舍去）．∴此时点M的坐标为（4，0）．当点P在第三象限时，由对称性同理可得点M的坐标为（﹣4，0）．综上可知，点M的坐标为（4，0）、（﹣4，0）．②如图2，当点M为（4，0）时，点P的坐标为（4，﹣5）．∵点N在直线l2上且PN=1，∴点N的坐标为N1（4，﹣4）或N2（4，﹣6），当点N在点P上方即N1（4，﹣4）时，连接AN1交抛物线于点Q1，设直线AN1的解析式为y=kx+b（k≠0），把A（0，﹣2），N1（4，﹣4）代入得：。