机器人参考答案1

1.1 点矢量v 为]00.3000.2000.10[T ，相对参考系作如下齐次坐标变换：A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--10000.9000.1000.0000.00.3000.0866.0500.00.11000.0500.0866.0 写出变换后点矢量v 的表达式，并说明是什么性质的变换，写出旋转算子Rot 及平移算子Trans 。

解：v ，=Av=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--10000.9000.1000.0000.00.3000.0866.0500.00.11000.0500.0866.0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100.3000.2000.10=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡13932.1966.9 属于复合变换：旋转算子Rot （Z ，30̊）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1000010000866.05.0005.0866.0 平移算子Trans （11.0，-3.0，9.0）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10000.91000.30100.110011.2 有一旋转变换，先绕固定坐标系Z 0 轴转45̊，再绕其X 0轴转30̊，最后绕其Y 0轴转60̊，试求该齐次坐标变换矩阵。

解：齐次坐标变换矩阵R=Rot(Y ，60̊）Rot （X ，30̊）Rot(Z ，45̊）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1000010000707.0707.000707.0707.010000866.05.0005.0866.000001100005.00866.000100866.005.0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----10000433.0436.0436.005.0612.0612.00750.0047.0660.0 1.3 坐标系{B}起初与固定坐标系{O}相重合，现坐标系{B}绕Z B 旋转30̊，然后绕旋转后的动坐标系的X B 轴旋转45̊，试写出该坐标系{B}的起始矩阵表达式和最后矩阵表达式。

解：起始矩阵：B=O=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000010000100001 最后矩阵：B´=Rot(Z ，30̊）B Rot （X ，45̊）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--10000707.0707.000612.0612.05.000353.0866.0 1.4 坐标系{A}及{B}在固定坐标系{O}中的矩阵表达式为{A}=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--10000.20866.0500.0000.00.10500.0866.0000.00.0000.0000.0000.1 {B}=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----10000.3866.0433.0250.00.3500.0750.0433.00.3000.0500.0866.0 画出它们在{O}坐标系中的位置和姿势；A=Trans （0.0，10.0，-20.0）Rot （X ，30̊）OB=Trans(-3.0，-3.0，3.0）Rot(X ，30̊）Rot （Z ，30̊）O1.5 写出齐次变换阵H AB ，它表示坐标系{B}连续相对固定坐标系{A}作以下变换： （1）绕A Z 轴旋转90̊。

（2）绕A X 轴旋转-90̊。

（3）移动[]T 973。

解：H A B=Trans （3，7，9）Rot （X ，-90̊）Rot （Z ，90̊）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100001000001001010000010010000011000910070103001=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10000100000100101000901071003001=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--1000900171003010 1.6 写出齐次变换矩阵H BB ，它表示坐标系{B}连续相对自身运动坐标系{B}作以下变换： （1）移动[]T973。

（2）绕B X 轴旋转90̊。

. （3）绕B Z 轴转-90̊。

.H B B=Trans （3，7，9）Rot （X ，90̊）Rot （Z ，90̊）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100001000001001010000010010000011000910070103001=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1000900171003011000010000010010100090107100301 1.7 对于1.7图（a ）所示的两个楔形物体， 试用两个变换序列分别表示两个楔形物体的变换过程，使最后的状态如题1.7图（b)所示。

(a) (b)解：A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---111111220000004400111111 B=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---111111220000559955111111 A´=Trans(2，0，0）Rot （Z ，90̊）Rot （X ，90̊）Trans （0，-4，0）A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000010040100001100000100100000110000100000100101000010*********⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---111111220000004400111111=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--1000401000012100⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---111111220000004400111111=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---111111440044111111002222 B´=Rot （X ，90̊）Rot （Y ，90̊）Trans （0，-5，0）B=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10000100501000011000000100100100100000100100001⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---111111220000559955111111=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡10000100501000011000001000010100⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---111111220000559955111111=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1000501000010100⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---111111220000559955111111=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---111111004400111111220000 1.8 如题1.8图所示的二自由度平面机械手，关节1为转动关节，关节变量为θ1；关节2为移动关节， 关节变量为d 2。

试：（1）建立关节坐标系，并写出该机械手的运动方程式。

（2）按下列关节变量参数求出手部中心的位置值。

解：建立如图所示的坐标系θ1 0 30 60 90 d 2/m0.500.801.000.70参数和关节变量连杆 θ а d 1θ1 0 0 0 2d 2⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==100000000000),(111111θθθθθC S S C Z Rot A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==100001000010001)0,0,(222d d Trans A 机械手的运动方程式：=•=212A A T ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10000100sin 0cos sin cos 0sin cos 12111211θθθθθθd d 当θ1=0 ， d 2=0.5时：手部中心位置值⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000000000105.0001B 当θ1=30 ， d 2=0.8时手部中心位置值 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=100000004.00866.05.0433.005.0866.0B当θ1=60 ， d 2=1.0时手部中心位置值⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10000000866.005.0866.05.00866.05.0B 当θ1=90 ， d 2=0.7时手部中心位置值⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=100000007.00010010B 1.11 题1.11图所示为一个二自由度的机械手，两连杆长度均为1m ，试建立各杆件坐标系，求出1A ，2A 的变换矩阵。

解：建立如图所示的坐标系 参数和关节变量连杆 θ α а d 11θ1 0 0 22θ-1A 1=Rot(Z , θ1) Trans(1,0,0) Rot(X , 0º)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100001000cos sin 0sin cos 111111θθθθθθs c A 2= Rot(Z , -θ2)Trans(l, 0, 0)Rot(X , 90º)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10000000002222θθθθc c s s 1.13 有一台如题1.13图所示的三自由度机械手的机构，各关节转角正向均由箭头所示方向指定，请标出各连杆的D-H 坐标系，然后求各变换矩阵1A ，2A ，3A 。

解：D-H 坐标系的建立按D-H 方法建立各连杆坐标系 参数和关节变量连杆 θαa d1 θ1 90̊ 01L +2L2 θ2 0 3L0 3θ34L1A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-100100cos 0sin 0sin 0cos 211111L L θθθθ 2A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10000100sin 0cos sin cos 0sin cos23222322θθθθθθL L 3A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10000100sin 0cossin cos 0sin cos34333433θθθθθθL L3.3 单连杆机器人的转动关节，从q = –5°静止开始运动，要想在4 s 内使该关节平滑地运动到q =+80°的位置停止。

试按下述要求确定运动轨迹： (1)关节运动依三次多项式插值方式规划。

(2)关节运动按抛物线过渡的线性插值方式规划。

解：（1）采用三次多项式插值函数规划其运动。

已知,4,80,50s t f f ==-=οοθθ代入可得系数为66.2,94.15,0,53210-===-=a a a a 运动轨迹：()()()tt t t t t t t 96.1588.3198.788.3166.294.155232-=-=-+-=•••θθθ（2）运动按抛物线过渡的线性插值方式规划：,4,80,50s t f f ==-=οοθθ根据题意，定出加速度的取值范围：225.2116854s οο=⨯≥••θ如果选242s ο=••θ，算出过渡时间1a t ，1a t =[422854244422422⨯⨯⨯-⨯-]=0.594s计算过渡域终了时的关节位置1a θ和关节速度•1θ，得1a θ=οοο4.2)594.04221(52=⨯⨯+-s s a s t οο95.24)594.042(111=⨯==•••θθ。