2015年第56届IMO试题

泰国 清迈

第一天

2015年7月10日上午9：00——13：30

1. 我们称平面上一个有限点集S 是平衡的，如果对S 中任意两个不同的点,A B ，都存在S 中一点C ，满足AC BC =。我们称S 是无中心的，如果对S 中任意三个不同的点,,A B C ，都不存在S 中一点P ，满足PA PB PC ==。

()a 证明：对每个整数3n ≥，均存在一个由n 个点构成的平衡点集

()b 确定所有的整数3n ≥，使得存在一个由n 个点构成的平衡且无中心的点集

2. 确定所有三元正整数组(),,a b c ，使得

,

,ab c bc a ac b ---

中每个数都是2的方幂

3. 在锐角ABC ∆中，AB AC >，设Γ是它的外接圆，H 是它的垂心，F 是由顶点A 所引出高的垂足，M 是边BC 的中点，Q 是Γ上一点，使得90HQA ∠=︒，K 是Γ上一点，使得90HKQ ∠=︒。已知点,,,,A B C K Q 互不相同，且按此顺序排列在Γ上，求

证：KQH ∆和FKM ∆的外接圆相切

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第二天

2015年7月11日上午9：00——13：30

4. 已知ABC ∆外接圆Ω圆心为O ，圆心为A 的圆Γ交线段BC 于,D E ，且,,,B D E C 是线段BC 上互不相同的点，Ω和Γ交于,F G 两点，使,,,,A F B C G 顺次排列在Ω上。K 是BDF ∆外接圆和线段AB 的另一个交点，L 是CGE ∆外接圆和AC 的另一个交点。设,FK GL 交于点X ，求证：X 在线段AO 上

5. 确定所有的函数:f R R →，满足对任意实数,x y 有

()()

()()()f x f x y f xy x f x y yf x +++=+++

6. 整数集12,,a a ……满足条件：

（1）对任意1j ≥，有12015j a ≤≤

（2）对任意1k l ≤<，有k l k a l a +≠+

求证：存在两个正整数,b N ，对任意满足n m N >≥的整数,m n 有 ()211007n j j m a b =+-≤∑