2012届黄浦区高三一模数学
上海黄浦区2012届高三一模数学试题及答案
黄浦区2011学年度第一学期期终基础学业测评高三数学试卷(文理合卷)(2012年1月5日)考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟． 说明：未标明文理科的试题是文科理科学生都要解答的试题。
一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．１．已知全集U R =，集合{}2|20,A x x x x R =-->∈，(0,)B =+∞，则()U C A B⋂＝ ．２．函数()f x =的定义域是 ．3．111()x x-的二项展开式中含x 的项是 （x 的系数用数值表示）． 4．不等式11|1|111x x x x -+>-+++的解集是 ． ５．关于z 的方程01131210i zi i z-=+-(i 是虚数单位)的解是z ＝ ．６．函数|2|3x y --=的单调增区间是 ．7．(理科)无穷等比数列{}n a (*n N ∈)的前n 项的和是n S ，且lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是 ．(文科）等差数列{}n a (*n N ∈)满足375,1a a ==，且前n 项和为n S ，则lim nn nS na →∞＝ ．８．若()350,sin ,sin 2513παβπααβ<<<<=+=，则cos β= . 9．已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图像如图１所示，则5()24f π-＝ ．10．一个算法的程序框图如图2所示，则该程序运行后输出的结果是 ．图2ABC1A理科1B1C x图1ABCD 1A1D 1B1C文科11．(理科)已知直三棱柱111ABC A B C -的棱4AB BC AC ===，12AA =，如图3所示，则异面直线1AB 与1BC 所成的角是 (结果用反三角函数值表示)． (文科) 已知长方体1111ABCD A B C D -的棱3AB =，2AD =，12AA =，如图3所示，则异面直线1AB 与1DA 所成的角是 (结果用反三角函数值表示)．12．已知点(1,1)A -、(2,2)B -，若直线:0l x my m ++=与线段AB 相交(包含端点的情况)，则实数m 的取值范围是 ．13．一个不透明的袋中装有大小形状完全相同的黑球10个、白球6个(共16个)，经过充分混合后，现从中任意摸出3个球，则至少得到１个白球的概率是 (用数值作答)．14．(理科)已知函数22||(),2()s i n (0),2(0);x x f x x x x x x ππππ⎧->⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪+<⎪⎩m 是非零常数，关于x 的方程()()f x m m R =∈有且仅有三个不同的实数根，若βα、分别是三个根中的最小根和最大根，则sin()3πβα⋅+= ．(文科) 已知函数()y f x =是R 上的偶函数，当0x ≥时，有2||(),2()sin (0);2x x f x x x ππππ⎧->⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩关于x 的方程()()f x m m R =∈有且仅有四个不同的实数根，若α是四个根中的最大根，则sin()3πα+= ．二．选择题(本大题满分16分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．15．若,x y R ∈，且0xy >，则下列不等式中能恒成立的是 [答]( )A ．222()2x y x y ++>． B．x y +≥． C．11x y +≥ ． D ．2x yy x +≥．16．圆220x y ax by +++=与直线220(0)ax by a b +=+≠的位置关系是 [答]( )A ．直线与圆相交但不过圆心.B ． 相切.C ．直线与圆相交且过圆心.D ． 相离. 17．已知函数2()l g ()1f x a x=+-(a 为常数)是奇函数，则()f x 的反函数是 [答]( )A ．1101()()101x xf x x R --=∈+ ． B ．1101()()101x x f x x R -+=∈-． C ．1101()(11)101x xf x x --=-<<+． D ．1101()(11)101x x f x x -+=-<<-．ABCDS文理图4 18．现给出如下命题：(1)若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则直线l α 平面；(2)“平面β上有四个不共线的点到平面α的距离相等”的充要条件是“平面βα 平面”； (3)若一个球的表面积是108π，则它的体积V =球；(4)若从总体中随机抽取的样本为2,3,1,1,1,4,2,2,0,1---，则该总体均值的点估计值是0.9．则其中正确命题的序号是[答]( )A ．(1)、(2)、(3)．B ．(1)、(2)、(4)．C ．(3)、(4)．D ．(2)、(3)．三．解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． (理科)已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，AB CD ，BC AB ⊥， 侧面SAB 为正三角形，4AB BC ==，2CD SD ==．如图4所示． (1) 证明：SD ⊥平面SAB ； (2) 求四棱锥S ABCD -的体积S ABCD V -．(文科)已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，AB CD ，BC AB ⊥，侧面SAB 为正三角形，4AB BC ==，2CD SD ==．如图4所示．(1) 证明：SD ⊥平面SAB ； (2) 求三棱锥B SAD -的体积B SAD V -．20．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． 要测定古物的年代，常用碳的放射性同位素14C 的衰减来测定：在动植物的体内都含有微量的14C ，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C 含量的衰变经过5570年(14C 的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半．若14C 的原始含量为a ，则经过x 年后的残余量a '与a 之间满足kxa a e -'=⋅．(1) 求实数k 的值；(2) 测得湖南长沙马王堆汉墓女尸中14C 的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代(精确到100年)．21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分． 已知两点(1,0)A -、(1,0)B ，点(,)P x y 是直角坐标平面上的动点，若将点P 的横坐标()Q x 满足1AQ BQ ⋅=．(1) 求动点P 所在曲线C 的轨迹方程；(2)(理科)过点B 作斜率为的直线l 交曲线C 于M N 、两点，且满足0OM ON OH ++=，又点H 关于原点O 的对称点为点G ，试问四点M G N H 、、、是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．(文科)过点B 作斜率为2-的直线l 交曲线C 于M N 、两点，且满足0O M O N O H ++= (O 为坐标原点)，试判断点H 是否在曲线C 上，并说明理由．22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数2()2sin cos 1()f x x x x x R =+-∈．(1) 试说明函数()f x 的图像是由函数sin y x =的图像经过怎样的变换得到的； (2) (理科)若函数()11|()||()|()21223g x f x f x x R ππ=+++∈，试判断函数()g x 的奇偶性，并用反证法证明函数()g x 的最小正周期是4π； (文科)若函数()117|()||()|()212212g x f x f x x R ππ=+++∈，试判断函数()g x 的奇偶性，写出函数()g x 的最小正周期并说明理由； (3) 求函数()g x 的单调区间和值域．23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知a b <，且260a a --=，260b b --=，数列{}n a 、{}n b 满足11a =，26a a =-，*1169(2,)n n n a a a n n N +-=-≥∈，*1()n n n b a ba n N +=-∈．(1) 求证数列{}n b 是等比数列； (2) (理科)求数列{}n a 的通项公式n a ； (文科) 已知数列{}n c 满足*()3nn n a c n N =∈，试建立数列{}n c 的递推公式(要求不含n n a b 或)；(3) (理科)若{}n c 满足11c =，25c =，*2156()n n n c c c n N ++=-∈，试用数学归纳法证明：*1(2,)32nn n a c ac n n N n -+=≥∈-． (文科) 若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S ．黄浦区2011学年度第一学期期终基础学业测评数学试卷(文理合卷) 参考答案(2011年1月5日)说明：1、本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分。
2012届浦东新区高三一模数学
上海市浦东新区2012届高三上学期期末质量抽测 数学（科） 2012.01注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．已知函数)0(1)(2≥+=x x x f 的反函数为1()f x -，则=-)5(1f_____.2．椭圆15922=+yx的焦点坐标为____________. 3．方向向量为(3,4)d =，且过点)1,1(A 的直线l 的方程是______.4．若0)1(lim =-∞→nn a ，则实数a 的取值范围是 .5．某个线性方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛11201，此方程组的解记为),(b a ，则行列式0123212ab 的值是_ . 6．某校师生共1200人，其中学生1000人，教师200人。
为了调查师生的健康状况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，应抽取学生人数为 . 7．若9)(xa x +的二项展开式中3x 的系数为84-，则实数=a ____________. 8．已知向量)1,(sin θ=a ，)cos ,1(θ=b ，若b a ⊥，则=θ______. 9．从集合}54,3,2,1{，中随机选取一个数a ，从}3,2,1{中随机选一个数b ，则b a ≥的概率为_____.10．已知函数()1log (1)(01)a f x x a a =+->≠且的图像恒过定点P ，又点P 的坐标满足方程1=+ny mx ，则mn 的最大值为 . 11．已知正三棱锥ABC O -的底面边长为1，且侧棱与底面所成的角为︒60，则此三棱锥的体积为 .12．已知函数||4||)(x x x f +=，当]1,3[--∈x 时，记)(x f 的最大值为m ，最小值为n ，则=+n m ______.13．函数),2,(cos sin )(*R x n N n x x x f nn∈≠∈+=的最小正周期为__________. 14．若X 是一个非空集合，M 是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X M ∈、M ∅∈；②对于X 的任意子集A 、B ，当A M ∈且B M ∈时，有A B M ∈ ； ③对于X 的任意子集A 、B ，当A M ∈且B M ∈时，有A B M ∈ ； 则称M 是集合X 的一个“M —集合类”.例如：}},,{,},{,}{,}{,{c b a c b c b M ∅=是集合},,{c b a X =的一个“M —集合类”。
2012年上海各区县高三一模数列题汇总
2012年上海各区县高三一模数列题汇总嘉定区22．〔此题总分值16分〕此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值6分．定义1x ，2x ，…，n x 的“倒平均数”为nx x x n+++ 21〔*N n ∈〕．已知数列}{n a 前n项的“倒平均数”为421+n ，记1+=n a c n n 〔*N n ∈〕．〔1〕比较n c 与1+n c 的大小；〔2〕设函数x x x f 4)(2+-=，对〔1〕中的数列}{n c ，是否存在实数λ，使得当λ≤x 时，n c x f ≤)(对任意*N n ∈恒成立？假设存在，求出最大的实数λ；假设不存在，说明理由．〔3〕设数列}{n b 满足11=b ，b b =2〔R b ∈且0≠b 〕，21---=n n n b b b 〔*N n ∈且3≥n 〕，且}{n b 是周期为3的周期数列，设n T 为}{n b 前n 项的“倒平均数”，求n n T ∞→lim ．答案：22．〔1〕设数列}{n a 的前n 项和为n S ，由题意得421+=n S n n ， 所以n n S n 422+=，……〔1分〕当1=n 时，611==S a ，当2≥n 时，241+=-=-n S S a n n n ，而1a 也满足此式． 所以24+=n a n 〔*N n ∈〕．……〔1分〕 所以124124+-=++=n n n c n ，……〔1分〕 0)2)(1(222121>++=+-+=-+n n n n c c n n ，因此1+<n n c c ．……〔1分〕 〔2〕假设存在实数λ，使得当λ≤x 时，n c x f ≤)(对任意*N n ∈恒成立，即n c x x ≤+-42对任意*N n ∈恒成立，……〔2分〕由〔1〕知数列}{n c 是递增数列，所以只要124c x x ≤+-，即0342≥+-x x ，〔2分〕解得1≤x 或3≥x ．……〔1分〕所以存在最大的实数1=λ，使得当λ≤x 时，n c x f ≤)(对任意*N n ∈恒成立．…〔1分〕 〔3〕由11=b ，b b =2，得|1|3-=b b ，……〔1分〕① 假设1≥b ，则13-=b b ，1||234=-=b b b ，|2|5b b -=，因为}{n b 周期为3，故b b b ==25，所以b b =-|2|，所以b b =-2，b b -=-2〔舍〕，故1=b ．此时，}{n b 为1，1，0，1，1，0，…．符合题意．……〔1分〕② 假设1<b ，则b b -=13，|21|||234b b b b -=-=，因为}{n b 周期为3，故114==b b ， 所以1|21|=-b ，即121=-b 或121-=-b ，解得0=b 或1=b ，均不合题意．…〔1分〕设数列}{n b 的前n 项和为n S ，则对*N n ∈，有⎪⎩⎪⎨⎧-=--===.23,12,13,2,3,2k n k k n k k n k S n ……〔1分〕即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+==.23,312,13,322,3,32k n n k n n k n n S n 所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+==.23,123,13,223,3,23k n n nk n n n k n T n 因此23lim =∞→n n T ．〔2分〕卢湾区22．〔此题总分值16分〕此题共有3个小题，第1小题总分值3分，第2小题总分值6分，第3小题总分值7分．已知数列{}n b ，假设存在正整数T ，对一切*n ∈N 都有n T n b b +=，则称数列{}n b 为周期数列，T 是它的一个周期．例如：数列a ，a ，a ，a ，… ① 可看作周期为1的数列； 数列a ，b ，a ，b ，… ② 可看作周期为2的数列； 数列a ，b ，c ，a ，b ，c ，… ③ 可看作周期为3的数列…〔1〕对于数列②，它的一个通项公式可以是n a n a b n ⎧=⎨⎩为正奇数，为正偶数.试再写出该数列的一个通项公式；〔2〕求数列③的前n 项和n S ；〔3〕在数列③中，假设12,,12a b c ===-，且它有一个形如sin()n b A n ωϕ=+B +的通项公式，其中A 、B 、ω、ϕ均为实数，0A >，0ω>，||2ϕπ<，求该数列的一个通项公式n b ．答案：22．〔1〕1[1(1)][1(1)]22n n n a b a +=+-++-或|sin||cos |22n n n a a b ππ=+等．〔3分〕 〔2〕当31n k =+时，1()3n n S a b c a -=+++；〔5分〕 当32n k =+时，2()3n n S a b c a b -=++++；〔7分〕 当33n k =+时，()3n nS a b c =++〔k ∈N 〕．〔9分〕〔3〕由题意，0ω>，应有23ωπ=，得23ωπ=，〔10分〕 于是2sin()3n b A n B ϕπ=++，把12b =，212b =，31b =-代入上式得2sin()2,(1)341sin(),(2)32sin(2)1,(3)A B A B A B ϕϕϕπ⎧++=⎪⎪π⎪++=⎨⎪π++=-⎪⎪⎩〔12分〕由(1)(2)可得cos A ϕ=，再代入(1)的展开式，可得5sin 24A B ϕ-+=，与(3)联立得12B =，〔13分〕3sin 2A ϕ=-，于是tan ϕ=，因为||2ϕπ<，所以3ϕπ=-，〔14分〕于是可求得A ．〔15分〕故213sin()332n n b ππ=-+〔*n ∈N 〕或写成213sin[(31)]332n n b k ππ=+-+〔k ∈Z ,*n ∈N 〕．〔16分〕闵行区22.〔此题总分值16分〕此题共有3个小题，第(1)小题总分值4分，第(2)小题总分值5分，第(3)小题总分值7分．将边长分别为1、2、3、…、n 、n +1、…〔*n ∈N 〕的正方形叠放在一起，形成如下图的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、……、第n 个阴影部分图形.设前n 个阴影部分图形的面积的平均值为()f n ．记数列{}n a 满足11a =,()+1(),,n n f n n a f a n ⎧⎪=⎨⎪⎩当为奇数当为偶数〔1〕求()f n 的表达式；〔2〕写出23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；〔3〕记()n n b a s s =+∈R ，假设不等式21111000n n n n n b b b b b ++++>有解，求s 的取值范围.答案：22.解：〔1〕由题意，第1个阴影部分图形的面积为2221-，第2个阴影部分图形的面积为2243-，……，第n 个阴影部分图形的面积为()222(21)n n --.〔2分〕故()()()22222221432(21)()n n f n n⎡⎤-+-+--⎣⎦=1234(21)221n n n n+++++-+==+ 〔4分〕〔2〕11a =，2(1)3a f ==，32()2317a f a ==⨯+=，当n 为偶数时，(1)21n a f n n =-=-， 〔3分〕 当n 为大于1的奇数时，[]11()2122(1)1145n n n a f a a n n --==+=--+=-，故1,121,45,1n n a n n n n =⎧⎪=-⎨⎪-⎩当当为偶数当为大于的奇数． 〔5分〕〔3〕由〔2〕知1,121,45,1n s n b n s n n s n +=⎧⎪=-+⎨⎪-+⎩当当为偶数当为大于的奇数．又21111000n n n n n b b b b b ++++>11212()0n n n n n n n b b b b b b b +++++⇔-=->． 〔ⅰ〕当n =1时，即213()(3)(6)0b b b s -=+->，于是303s s +<⇒<- 〔ⅱ〕当n 为偶数时，即[]()()4(1)5(21)2(2)141(4)0n s n s n s n s +-+-+-+-+=-+->⎡⎤⎣⎦于是410n s -+<，()max 426s n <-+=-． 〔3分〕 〔ⅲ〕当n 为大于1的奇数时，即[]()()()()2(1)1454(2)52180n s n s n s n s +-+⋅-+-+-+=++⋅->⎡⎤⎣⎦于是210n s ++<，max (21)7s n <--=-． 〔5分〕 综上所述：3s <-． 〔7分〕徐汇区22、〔此题总分值18分〕此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值8分,第3小题总分值6分.设,a R ∈把三阶行列式235140421x a x+中第一行第二列元素的余子式记为()f x ，且关于x 的不等式()0f x <的解集为(2,0)-。
上海市黄浦区2012届高三期末考试(一模)语文试卷
* * * * * * * * * 角平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角。
这条射线叫做这个角的平分线。
O B C A 如图，记作 ∠AOC=∠BOC=∠AOB. 怎样才能得到一个角的平分线? 用量角器或折纸的办法 任意剪一张三角形纸片ABC，把内角∠ BAC对折一次，使AB与AC重合，得到一条折痕AD。
把三角形纸片展开、铺平。
你发现了什么？ 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
A B C D 如图,∠BAC的平分线交BC于D，线段AD就是ABC的一条角平分线。
1.三角形的角平分线 是指从一个角的顶点引出的一条射线， 把这个角分成两个相等的角。
∴∠AOC=∠BOC=∠AOB O B A C 角平分线: ∵OC是∠AOB的角平分线 三角形的角平分线: 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段 B A C D 1 2 ∵AD是 △ ABC的 角平分线 ∠1=∠2=∠BAC 1 2 三角形的角平分线与角的平分线有什么区别与联系？ 角平分线是一条射线 三角形的角平分线是一条线段 它们都把一个角平分成两个相等的角 O B A C B A C D 1 2 三角形的角平分线的性质 三角形的三条角平分线交于同一点. 任意画一个三角形，然后利用量角器，画出这个三角形的三条角平分线，你发现了什么？（请与你的同伴交流） 例1：如图，AE是在△ABC的角平分线。
已知∠B=45°,∠C=60°,求下列角的大小： （1）∠BAE （2）∠AEB 如图，AF是ΔABC的角平分线，选择“＞”“＜”或“=”号填空： F E C B A （1）∠CAF___∠BAC 1 2 （2）∠AFB___∠C+∠FAB （3）∠AEC___∠B==＞ 变：若AB⊥AC，∠C＝60°， 求∠FAB，∠AFC的度数。
2012学年浦东一模高三数学(文)
浦东新区2012学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（文科）注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、 填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若集合{}{}{}0,,1,2,1A m B A B === ，则实数=m 1 2．已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-311111，则此方程组的解是_21x y =⎧⎨=⎩___3．函数)2(log 2-=x y 的定义域 ),3[+∞ 4．已知R y x ∈,，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为1165．函数1y =0≥x ）的反函数是 2(1)y x =-（1≥x ） 6．函数()2sin cos 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为 π 7．等差数列{}n a 中，67812a a a ++=，则该数列的前13项的和13S 52 8．已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=，341a a +=，则l i m n n S →∞的值为1639．已知实数,x y 满足约束条件203501x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最小值等于 1-10．若一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 8π俯视图左视图主视图11．二项式nx ⎛+ ⎝的展开式前三项系数成等差数列，则n 812．如图所示，一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 2π+13．非零向量OA 与OB ，对于任意的,t R ∈OA tOB +的最小值的几何意义为 点A 到直线OB 的距离。
14．1,2,3,4,5共有5!种排列12345,,,,a a a a a ，其中满足“对所有1,2,3,4,5k =都有2k a k ≥-”的不同排列有 54 种二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．已知△ABC 两内角A 、B 的对边边长分别为a 、b ，则“B A =”是“cos cos a A b B = ”的 （ A ）()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件 ()D 非充分非必要条件16．已知函数241)(+=x x f ，若函数1()2y f x n =++为奇函数，则实数n 为（ B ） ()A 12- ()B 14- ()C 14()D 017．若1x ，2x ，3x ，…，2013x 的方差为3，则13x ，23x ，，33x ，…，20133x 的方差为（ D ）()A 3 ()B 9 ()C 18 ()D 2718．定义域为[],a b 的函数()y f x =图象的两个端点为,A B ，向量(1)ON OA OB λλ=+-，(,)M x y 是()f x 图象上任意一点，其中[](1),0,1x a b λλλ=+-∈。
2012年上海黄浦高三数学二模(含答案)
A
因为 n2 ⊥ PB ， n2 ⊥ BC ，所以 n2 ⋅PB = 0 ， n2 ⋅ BC = 0 ，
即 4u − 5 w = 0 ， −4u + 4v = 0 ，解得 w = 4 u ， v = u ，
B x
5
��
取 u = 5，得 n2 = (5,−5,4)．
（4分）
�� �� 设 n1 与 n2 的夹角为 ϕ ，则 cos ϕ =
2012 年上海市嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试
数学试卷（理科）
（2012 年 4 月 12 日） 考生注意： 1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解
答一律无效． 2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚． 3．本试卷共 23 道试题，满分 150 分；考试时间 120 分钟． 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接
[解]（1）解法一：设 BC 的中点 D，联结 AD ， PD ，易知在等腰三角形 PBC 、 ABC 中，
PD ⊥ BC ， AD ⊥ BC ，故 ∠PDA为二面角 P − BC − A 的平面角．
（2分）
在等腰 Rt △ ABC 中，由 AB = AC = 4 及 AB ⊥ AC ，得 AD = 2 2 ．
D．至多有两个钝角
三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规
定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2
P
小题满分 4 分．
已知三棱锥 P − ABC ， PA ⊥平面 ABC ， AB ⊥ AC ，
2012-2013黄埔区高考一模理科试卷分析分解
数列概念
等差数列
等比数列
23(1)
6
简单递推数列
23(2)
6
数列和数学 数列极限
归纳法
无穷等比数列
3
4
7
4
各项的和
数列应用题
数学归纳法
23(3) 6
算法
算法 程序框图
8
4
10
4
合计
8
26
知识点
2013 题型分布 分值
平面向量数量积
平面向量分解定
平面向量
理 向量运算坐标表
15
5
示
向量平行和垂直
的坐标关系
图像和 正弦函数和余弦函数
性质
的图像
正切函数的图像和性
质
正弦函数
10
图像和性质y Asin(x )
反三角函数和三角方
程
合计
22
分值 4 8 6
4
文科 题型分布 分值
6
4
20（1）
8
1，20（2）
1
0
22
内容
理科
文科
题型分布 分值 题型分布 分值
直线方程
倾斜角和斜率
直线方程
直线的位置关系
4
4
7，
4
函数的运算
函数及其 函数关系式建立 21（1），23（1） 11
基本性质 函数的基本性质 9，17，23（3）
17
函数的最值
21（2），23（2） 13
幂函数和二次函
数的性质
指数函数的性质
和图像
指数函数与 对数
对数函数
反函数
12
4
对数函数的性质
2012年高三一模数学试题答案(文)
数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C ；2. D ；3. D ；4. B ；5. A ；6. B ；7. C ；8. C .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 9； 10. 54； 11. π； 12. 1； 13. 1-和0，1[,3]4-； 14. ① ② ③. 注：13题第一问2分，第二问3分; 14题少选1个序号给2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由πA B C ++=，得s i n ()s i n (π)s i n A CB B +=-=． ………………3分所以原式化为B A B sin cos sin 2=． ………………4分因为(0,π)B ∈，所以 0sin >B ， 所以 21cos =A ． ………………6分因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． ………………7分 （Ⅱ）解：由余弦定理，得 222222cos BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-⋅⋅=+-⋅． ………………9分因为 2BC =，1πsin 23AB AC ⋅⋅= 所以 228AB AC +=． ………………11分因为 4AB AC ⋅=， 所以 2AB =. ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设从（1）班抽取的人数为m ，依题意得 27318=m ，所以2m =， 研究性学习小组的人数为35m +=． ………………5分（Ⅱ）设研究性学习小组中（1）班的2人为12,a a ，（2）班的3人为123,,b b b ．2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本事件为：11(,)a a ，),(21a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ， ),(12a a ，22(,)a a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ， ),(11a b ，),(21a b ，11(,)b b ，),(21b b ，),(31b b ， ),(12a b ，),(22a b ，21(,)b b ，22(,)b b ，),(32b b ，),(13a b ，),(23a b ，31(,)b b ，),(23b b ，33(,)b b ，共25种． ………………9分2次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(11a b ，),(21a b ，),(12a b ，),(22a b ，),(13a b ，),(23a b ，共12种． ………………12分所以2次发言的学生恰好来自不同班级的概率为1225P =． ………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF ，EFDC 都是矩形，所以 MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==． 所以 四边形MNCD 是平行四边形，……………2分 所以 NC ∥MD ， ………………3分 因为 NC ⊄平面MFD ，所以 NC ∥平面MFD ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接ED ，设ED FC O = ．因为平面⊥MNEF 平面ECDF ，且EF NE ⊥，所以 ⊥NE 平面ECDF ， ………………5分所以 FC NE ⊥． ………………6分又 EC CD =， 所以四边形ECDF 为正方形，所以 FC ED ⊥． ………………7分所以 ⊥FC 平面NED ， ………………8分所以 FC ND ⊥． ………………9分（Ⅲ）解：设x NE =，则x EC -=4，其中04x <<．由（Ⅰ）得⊥NE 平面FEC ， 所以四面体NFEC 的体积为11(4)32NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-． ………………11分所以 21(4)[]222NFEC x x V +-≤=． ………………13分当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大． ………………14分18.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c ，则c = ………………1分由3c e a ==， 得 a =， 从而2224b a c =-=． ………………4分所以，椭圆C 的方程为141222=+y x ． ………………5分（Ⅱ）解：设),(),,(2211y x B y x A ．将直线l 的方程代入椭圆C 的方程，消去y 得 224(13)60270k x kx +-+=． ………………7分由22360016(13)270k k ∆=-+⨯>，得2316k >，且1221513kx x k +=+． …………9分设线段AB 的中点为D ，则21526D k x k =+，255226D D y kx k-=-=+． (10)分由点A ，B 都在以点(0,3为圆心的圆上，得1MD k k ⋅=-， ………………11分即22532611526k k k k ++⋅=--+， 解得 229k =，符合题意． ………………13分所以3k =±． ………………14分19.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为29C y x =-+． ………………1分点B 的横坐标B x 满足方程290B x -+=，解得3B x =，舍去3B x =-． ……………2分所以2211(||||)(223)(9)(3)(9)22C S CD AB y x x x x =+⋅=+⨯-+=+-+． ………4分由点C 在第一象限，得03x <<．所以S 关于x 的函数式为 2(3)(9)S x x =+-+，03x <<． ………………5分（Ⅱ）解：由 03,,3x x k <<⎧⎪⎨≤⎪⎩ 及01k <<，得03x k <≤． ………………6分记2()(3)(9),03f x x x x k =+-+<≤，则2()3693(1)(3)f x x x x x '=--+=--+． ………………8分令()0f x '=，得1x =． ………………9分① 若13k <，即11k <<时，()f x '与()f x 的变化情况如下：所以，当1x =时，()f x 取得最大值，且最大值为(1)32f =． ………………11分② 若13k ≥，即103k <≤时，()0f x '>恒成立， 所以，()f x 的最大值为2(3)27(1)(1)f k k k =+-． ………………13分综上，113k ≤<时，S 的最大值为32；103k <<时，S 的最大值为227(1)(1)k k +-．20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列:2,6,4A 不能结束，各数列依次为4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；…．以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形． ………………3分（Ⅱ）解：（ⅰ）因为B 的各项之和为2012，且a b ≥， 所以a 为B 的最大项， 所以13||a a -最大，即123a a a ≥≥，或321a a a ≥≥． ………………5分当123a a a ≥≥时，可得122313,2,.b a a a a a a a =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩由22012a b ++=，得132()2012a a -=，即1006a =，故1004b =．……………7分当321a a a ≥≥时，同理可得 1006a =，1004b =． ………………8分（ⅱ）方法一：由:B ,2,2b b +，则B 经过6次“T 变换”得到的数列分别为：2,,2b b -；2,2,4b b --；4,2,6b b --；6,8,2b b --；2,10,8b b --；12,2,10b b --．由此可见，经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“,2,2b b +”的数列，与数列B“结构”完全相同，但最大项减少12．因为1006128310=⨯+，所以，数列B 经过683498⨯=次“T 变换”后得到的数列为8,2,10．接下来经过“T 变换”后得到的数列分别为：6,8,2；2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2，……从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．所以经过4984502+=次“T 变换”得到的数列各项和最小，k 的最小值为502． ………………13分方法二：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B “结 构相同”．若数列B 的三项为2,,2(2)x x x +≥，则无论其顺序如何，经过“T 变换”得到的数列的三项为,2,2x x -(不考虑顺序) ．所以与B 结构相同的数列经过“T 变换”得到的数列也与B 结构相同，除2外其余各项减少2，各项和减少4．B经过502次“T变换”一定得到各项为2,0,2(不考虑因此，数列:1004,2,1006顺序)的数列．通过列举，不难发现各项为0,2,2的数列，无论顺序如何，经过“T变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．所以，至少通过502次“T变换”，得到的数列各项和最小，故k的最小值为502．………………13分。
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黄浦区2011学年度第一学期期终基础学业测评高三数学试卷(文理合卷)(2012年1月5日)考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟． 说明：未标明文理科的试题是文科理科学生都要解答的试题。
一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．１．已知全集U R =，集合{}2|20,A x x x x R =-->∈，(0,)B =+∞，则()U C A B⋂＝ ．２．函数()21f x x =+的定义域是 ．3．111()x x-的二项展开式中含x 的项是 （x 的系数用数值表示）． 4．不等式11|1|111x x x x -+>-+++的解集是 ． ５．关于z 的方程01131210i zi i z-=+-(i 是虚数单位)的解是z ＝ ．６．函数|2|3x y --=的单调增区间是 ．7．(理科)无穷等比数列{}n a (*n N ∈)的前n 项的和是n S ，且lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是 ．(文科）等差数列{}n a (*n N ∈)满足375,1a a ==，且前n 项和为n S ，则lim nn nS na →∞＝ ．８．若()350,sin ,sin 2513παβπααβ<<<<=+=，则cos β= . 9．已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图像如图１所示，则5()24f π-＝ ．10．一个算法的程序框图如图2所示，则该程序运行后输出的结果是 ．图2ABC 1A理科图31B1C x图1ABC D1A1D 1B1C 文科图311．(理科)已知直三棱柱111ABC A B C -的棱4AB BC AC ===，12AA =，如图3所示，则异面直线1AB 与1BC 所成的角是 (结果用反三角函数值表示)． (文科) 已知长方体1111ABCD A B C D -的棱3AB =，2AD =，12AA =，如图3所示，则异面直线1AB 与1DA 所成的角是 (结果用反三角函数值表示)．12．已知点(1,1)A -、(2,2)B -，若直线:0l x my m ++=与线段AB 相交(包含端点的情况)，则实数m 的取值范围是 ．13．一个不透明的袋中装有大小形状完全相同的黑球10个、白球6个(共16个)，经过充分混合后，现从中任意摸出3个球，则至少得到１个白球的概率是 (用数值作答)．14．(理科)已知函数22||(),2()s i n (0),2(0);x x f x x x x x x ππππ⎧->⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪+<⎪⎩m 是非零常数，关于x 的方程()()f x m m R =∈有且仅有三个不同的实数根，若βα、分别是三个根中的最小根和最大根，则sin()3πβα⋅+= ．(文科) 已知函数()y f x =是R 上的偶函数，当0x ≥时，有2||(),2()sin (0);2x x f x x x ππππ⎧->⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩关于x 的方程()()f x m m R =∈有且仅有四个不同的实数根，若α是四个根中的最大根，则sin()3πα+= ．二．选择题(本大题满分16分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．15．若,x y R ∈，且0xy >，则下列不等式中能恒成立的是 [答]( )A ．222()2x y x y ++>． B．x y +≥． C．11x y +≥ ． D ．2x yy x +≥．16．圆220x y ax by +++=与直线220(0)ax by a b +=+≠的位置关系是 [答]( )A ．直线与圆相交但不过圆心.B ． 相切.C ．直线与圆相交且过圆心.D ． 相离. 17．已知函数2()l g ()1f x a x=+-(a 为常数)是奇函数，则()f x 的反函数是 [答]( )A ．1101()()101x xf x x R --=∈+ ． B ．1101()()101x x f x x R -+=∈-． C ．1101()(11)101x xf x x --=-<<+． D ．1101()(11)101x x f x x -+=-<<-．ABCDS 文理图418．现给出如下命题：(1)若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则直线l α 平面；(2)“平面β上有四个不共线的点到平面α的距离相等”的充要条件是“平面βα 平面”； (3)若一个球的表面积是108π，则它的体积V =球；(4)若从总体中随机抽取的样本为2,3,1,1,1,4,2,2,0,1---，则该总体均值的点估计值是0.9．则其中正确命题的序号是[答]( )A ．(1)、(2)、(3)．B ．(1)、(2)、(4)．C ．(3)、(4)．D ．(2)、(3)．三．解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． (理科)已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，AB CD ，BC AB ⊥， 侧面SAB 为正三角形，4AB BC ==，2CD SD ==．如图4所示． (1) 证明：SD ⊥平面SAB ； (2) 求四棱锥S ABCD -的体积S ABCD V -．(文科)已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，AB CD ，BC AB ⊥，侧面SAB 为正三角形，4AB BC ==，2CD SD ==．如图4所示． (1) 证明：SD ⊥平面SAB ； (2) 求三棱锥B SAD -的体积B SAD V -．20．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． 要测定古物的年代，常用碳的放射性同位素14C 的衰减来测定：在动植物的体内都含有微量的14C ，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C 含量的衰变经过5570年(14C 的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半．若14C 的原始含量为a ，则经过x 年后的残余量a '与a 之间满足kxa a e -'=⋅．(1) 求实数k 的值；(2) 测得湖南长沙马王堆汉墓女尸中14C 的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代(精确到100年)．21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分． 已知两点(1,0)A -、(1,0)B ，点(,)P x y 是直角坐标平面上的动点，若将点P 的横坐标()Q x 满足1AQ BQ ⋅=．(1) 求动点P 所在曲线C 的轨迹方程；(2)(理科)过点B 作斜率为的直线l 交曲线C 于M N 、两点，且满足0OM ON OH ++=，又点H 关于原点O 的对称点为点G ，试问四点M G N H 、、、是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．(文科)过点B 作斜率为2-的直线l 交曲线C 于M N 、两点，且满足0O M O N O H ++= (O 为坐标原点)，试判断点H 是否在曲线C 上，并说明理由．22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数2()2sin cos 1()f x x x x x R =+-∈．(1) 试说明函数()f x 的图像是由函数sin y x =的图像经过怎样的变换得到的； (2) (理科)若函数()11|()||()|()21223g x f x f x x R ππ=+++∈，试判断函数()g x 的奇偶性，并用反证法证明函数()g x 的最小正周期是4π； (文科)若函数()117|()||()|()212212g x f x f x x R ππ=+++∈，试判断函数()g x 的奇偶性，写出函数()g x 的最小正周期并说明理由； (3) 求函数()g x 的单调区间和值域．23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知a b <，且260a a --=，260b b --=，数列{}n a 、{}n b 满足11a =，26a a =-，*1169(2,)n n n a a a n n N +-=-≥∈，*1()n n n b a ba n N +=-∈．(1) 求证数列{}n b 是等比数列； (2) (理科)求数列{}n a 的通项公式n a ； (文科) 已知数列{}n c 满足*()3nn n a c n N =∈，试建立数列{}n c 的递推公式(要求不含n n a b 或)；(3) (理科)若{}n c 满足11c =，25c =，*2156()n n n c c c n N ++=-∈，试用数学归纳法证明：*1(2,)32nn n a c ac n n N n -+=≥∈-． (文科) 若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S ．黄浦区2011学年度第一学期期终基础学业测评数学试卷(文理合卷) 参考答案(2011年1月5日)说明：1、本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分。
2、评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
一、填空题1、(0,2]； 8、3365-； 2、11[1,)(,1]22--?； 9、1- ； 3、462x - ； 10、5 ；4、(,1)(1,1)-??； 11、(理)1arccos5，(文)； 5、3455i -； 12、1(,][2,)2-ト+ ；6、(,2]- ； 13、1114；7、(理)(0,2)(2,4)È，(文)12； 14、(理(文)12-． 二、选择题： 15、D 16、B 17、A 18、C三、解答题19、(本题满分14分)证明(1) 直角梯形ABCD 的AB CD ，AB BC ⊥，又4SA SB AB BC ====，2DC SD ==，∴BD AD ===∴在△DSA 和△DSB 中，有2222242SA SD AD +=+=，2222242SB SD BD +=+=． ∴,,SD SA SD SB ⊥⊥且SA SB S ⋂=． ∴SD SAB ⊥平面．解(理科)(2)设顶点S 到底面ABCD 的距离为h ．结合几何体，可知D SAB S ABD V V --=．又01sin 602SAB S SA SB ∆=⋅=，182ABD S AB BC ∆=⋅=，于是，1133SAB DAB S SD S h ∆∆⋅=⋅，解得h =所以11(42)4332S ABCD ABCD V S h -+⋅=⋅⋅=⋅=梯形 (文科) 解(2)∵SD SAB ⊥平面， SAB ∆是正三角形，∴01sin 602SAB S SA SB ∆=⋅=，结合几何体可知 B SAD D SAB V V --=，∴13B SAD D SAB SAB V V S SD --∆==⋅=．20．(本题满分12分)解(1)由题意可知，当5570x =时，12a a '=，即557012k e -=， 解得ln 25570k =． (2)∵古墓中女尸14C 的残余量约占原始含量的76.7%，∴0.767a a'=，即ln 255700.767x e -=，解得2132x ≈．∴由此可推测古墓约是2100多年前的遗址．21．(本题满分16分)解(1)依据题意，有(1),(1)AQ x BQ x =+=-． ∵1AQ BQ ⋅=，∴22121x y -+=．∴动点P 所在曲线C 的轨迹方程是2212x y +=．(2)(理科)因直线l 过点B ，且斜率为k =，故有:(1)2l y x =--．联立方程组22121)x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22210x x --=． 设两曲线的交点为11(,)M x y 、22(,)N x y，可算得121212x x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩．又0OM ON OH ++=，点G 与点H 关于原点对称，于是，可得点(1,2H --、(1,)2G ． 若线段MN 、GH 的中垂线分别为1l 和2l，则有11:)2l y x =-，2:l y =．联立方程组1)2y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得1l 和2l的交点为11(,8O ．因此，可算得1||O H ==1||O M ==． 所以，四点M G N H 、、、共圆，圆心坐标为11(,8O．(文科) 因直线l 过点B，且斜率为2k =，故有:(1)2l y x =--．联立方程组2212(1)2x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得22210x x --=．设两曲线的交点为11(,)M x y 、22(,)N x y，可算得121212x x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩．又0OM ON OH ++=，于是，可得点(1,H -．将点(1,2H --的坐标代入曲线C 的方程的左边，有22(1)(122-+-=(=右边)，即点H 的坐标满足曲线C 的方程．所以点H 在曲线C 上．22．(本题满分16分)解(1)∵2()2sin cos 1f x x x x =+-2cos2x x =-， ∴()2sin(2)()6f x x x R π=-∈．∴函数()f x 的图像可由sin y x =的图像按如下方式变换得到：①将函数sin y x =的图像向右平移6π个单位，得到函数sin()6y x π=-的图像； ②将函数sin()6y x π=-的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数sin(2)6y x π=-的图像；③将函数sin(2)6y x π=-的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数()2sin(2)()6f x x x R π=-∈的图像．(说明：横坐标先放缩，再平移也可．即将函数sin y x =的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数sin 2y x =，再将函数sin 2y x =的图像向右平移12π个单位，得到函数sin(2)6y x π=-的图像，最后将函数sin(2)6y x π=-的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数()2sin(2)()6f x x x R π=-∈的图像．)(2)(理科)由(1)知，()2sin(2)()6f x x x R π=-∈，∴11()|()||()||sin 2||cos 2|()21223g x f x f x x x x R ππ=+++=+∈． 又对任意x R ∈，有()|sin(2)||cos(2)||sin 2||cos 2|()g x x x x x g x -=-+-=+=， ∴函数()g x 是偶函数．∵()|sin 2()||cos 2()||cos 2||sin 2|()444g x x x x x g x πππ+=+++=+=， ∴()g x 是周期函数，4T π=是它的一个周期．现用反证法证明4T π=是函数()g x 的最小正周期。