2019上海高三数学长宁嘉定一模
上海市沪教版数学高考一模试卷含详细答案2套选择填空有解析
目录第一套：2019年上海市嘉定区高考数学一模试卷第二套：2019年上海市长宁区高考数学一模试卷2019年上海市嘉定区高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．2．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B= ．3．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），4．若函数f（x）=log2则实数a= ．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n= ．6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．8．若数列{a}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（nn∈N*），则（）= ．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．10．有以下命题：①若函数f （x ）既是奇函数又是偶函数，则f （x ）的值域为{0}； ②若函数f （x ）是偶函数，则f （|x|）=f （x ）；③若函数f （x ）在其定义域内不是单调函数，则f （x ）不存在反函数；④若函数f （x ）存在反函数f ﹣1（x ），且f ﹣1（x ）与f （x ）不完全相同，则f （x ）与f ﹣1（x ）图象的公共点必在直线y=x 上； 其中真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号） 11．设向量=（1，﹣2），=（a ，﹣1），=（﹣b ，0），其中O 为坐标原点，a ＞0，b ＞0，若A 、B 、C 三点共线，则+的最小值为 ．12．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面边长为2cm ，高为5cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 1点的最短路线的长为 cm ．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．若无穷等差数列{an }的首项a1＜0，公差d＞0，{an}的前n项和为Sn，则以下结论中一定正确的是（）A．Sn 单调递增B．Sn单调递减C．Sn有最小值D．Sn有最大值15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．[3，+∞）C．[﹣2，2] D．[﹣3，3]三、解答题（共5小题，满分76分）17．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．19．某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b （k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．20．已知函数f （x ）=9x ﹣2a•3x +3：（1）若a=1，x ∈[0，1]时，求f （x ）的值域； （2）当x ∈[﹣1，1]时，求f （x ）的最小值h （a ）； （3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①n ＞m ＞3；②当h （a ）的定义域为[m ，n]时，其值域为[m 2，n 2]，若存在，求出m 、n 的值，若不存在，请说明理由．21．已知无穷数列{a n }的各项都是正数，其前n 项和为S n ，且满足：a 1=a ，rS n =a n a n+1﹣1，其中a ≠1，常数r ∈N ； （1）求证：a n+2﹣a n 是一个定值；（2）若数列{a n }是一个周期数列（存在正整数T ，使得对任意n ∈N *，都有a n+T =a n 成立，则称{a n }为周期数列，T 为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n }是各项均为有理数的等差数列，c n =2•3n ﹣1（n ∈N *），问：数列{c n }中的所有项是否都是数列{a n }中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．2019年上海市嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．2．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B= {2} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}3．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= 2 ．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．4．若函数f（x）=log（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），2则实数a= 3 ．【考点】反函数．（x+1）+a过（1，4），代【分析】由题意可得函数f（x）=log2入求得a的值．（x+1）+a的反函数的图象经过【解答】解：函数f（x）=log2点（4，1），（x+1）+a的图象经过点（1，4），即函数f（x）=log2∴4=log（1+1）+a2∴4=1+a，a=3．故答案为：3．5．已知（a+3b ）n 展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n= 6 ． 【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n ，据已知列出方程求出n 的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n又各项二项式系数的和为2n 据题意得，解得n=6．故答案：66．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 60 种． 【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案． 【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C 52C 52=100， ②两人所选两门都相同的有为C 52=10种，都不同的种数为C 52C 32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．8．若数列{a}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（nn∈N*），则（）= 2 ．【考点】数列的求和；极限及其运算．，再利用等差数列的求和公式、【分析】利用数列递推关系可得an极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=16．=4，解得a1n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=4（n+1）2．=2n+2，∴an=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8 ．【考点】基本不等式．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+=（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：812．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面边长为2cm ，高为5cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 1点的最短路线的长为 13 cm ．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径． 【解答】解：将正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．“x＜2”是“x 2＜4”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出x 2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x 2＜4，解得：﹣2＜x ＜2， 故x ＜2是x 2＜4的必要不充分条件， 故选：B ．14．若无穷等差数列{a n }的首项a 1＜0，公差d ＞0，{a n }的前n 项和为S n ，则以下结论中一定正确的是（ ）A ．S n 单调递增B ．S n 单调递减C ．S n 有最小值D ．S n 有最大值 【考点】等差数列的前n 项和． 【分析】S n =na 1+d=n 2+n ，利用二次函数的单调性即可判断出结论． 【解答】解：S n =na 1+d=n 2+n ，∵＞0，∴S n 有最小值． 故选：C ．15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max =cos0=1，ymin=cos（cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B．16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．[3，+∞）C．[﹣2，2] D．[﹣3，3] 【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）min=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）min=3；当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max =﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）．min由于g′（t）=1﹣＜0，所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）=g（1）=3，min所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．三、解答题（共5小题，满分76分）17．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM 所成角的大小．【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，===则VA﹣BCD=．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，﹣2，﹣2），=（），设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．【考点】余弦定理；解三角形．【分析】（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos （B+C）]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b和c的值．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．解得，∴．（II）由．又．由．19．某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b （k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，【分析】消去y得△=0即可证明b=﹣；（2）写出点P的坐标（t，2t2），代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式求出S的最大值．【解答】（1）证明：函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；（2）解：设点P的横坐标为t，则P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+）；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣2；即S的最大值是4﹣．20．已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h（a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】（1）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a≤3时，当a＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，∴函数f （x ）的值域是：[2，6]； （Ⅱ）∵函数φ（t ）的对称轴为t=a ， 当x ∈[﹣1，1]时，t ∈[，3]， 当a ＜时，y min =h （a ）=φ（）=﹣；当≤a ≤3时，y min =h （a ）=φ（a ）=3﹣a 2； 当a ＞3时，y min =h （a ）=φ（3）=12﹣6a ．故h （a ）=；（Ⅲ）假设满足题意的m ，n 存在，∵n ＞m ＞3，∴h （a ）=12﹣6a ，∴函数h （a ）在（3，+∞）上是减函数． 又∵h （a ）的定义域为[m ，n]，值域为[m 2，n 2]， 则，两式相减得6（n ﹣m ）=（n ﹣m ）•（m+n ），又∵n ＞m ＞3，∴m ﹣n ≠0，∴m+n=6，与n ＞m ＞3矛盾． ∴满足题意的m ，n 不存在．21．已知无穷数列{a n }的各项都是正数，其前n 项和为S n ，且满足：a 1=a ，rS n =a n a n+1﹣1，其中a ≠1，常数r ∈N ； （1）求证：a n+2﹣a n 是一个定值；（2）若数列{a n }是一个周期数列（存在正整数T ，使得对任意n∈N *，都有a n+T =a n 成立，则称{a n }为周期数列，T 为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n }是各项均为有理数的等差数列，c n =2•3n ﹣1（n ∈N *），问：数列{c n }中的所有项是否都是数列{a n }中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例． 【考点】数列递推式．【分析】（1）由rS n =a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n ），由此能够证明a n+2﹣a n 为定值． （2）当n=1时，ra=aa 2﹣1，故a 2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r ＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{a n }是一个有理等差数列，所以a+a=r=2（r+），化简2a 2﹣ar ﹣2=0，解得a 是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n ．【解答】（1）证明：∵rS n =a n a n+1﹣1，① ∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n ）， ∵a n ＞0，∴a n+2﹣a n =r ．（2）解：当n=1时，ra=aa 2﹣1，∴a 2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a ，r+，a+r ，2r+，a+2r ，3r+，…．当r ＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a ，，a ，，…． 所以当a ＞0且a ≠1时，该数列的周期是2，（3）解：因为数列{a n }是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+）， 化简2a 2﹣ar ﹣2=0，a=是有理数．设=k ，是一个完全平方数，则r 2+16=k 2，r ，k 均是非负整数r=0时，a=1，a n =1，S n =n ． r ≠0时（k ﹣r ）（k+r ）=16=2×8=4×4可以分解成8组， 其中只有，符合要求，此时a=2，a n =，S n =，∵c n =2•3n ﹣1（n ∈N *），a n =1时，不符合，舍去． a n =时，若2•3n ﹣1=，则：3k=4×3n ﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n }中的所有项不都是数列{a n }中的项．2019年上海市长宁区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）（4分）首项和公比均为的等比数列{a n}，S n是它的前n项和，1．则= ．2．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为．3．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f （0）+f（1）= ．4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC= ．5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是．6．（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是．7．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC的体积为V1，三棱锥N﹣MBC的体积为V2，则等于．8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为．9．（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC，则△ABC的面积等于．10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若△MNF2的内切圆的面积为π，则= ．11．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，点列P n（n∈N*）在线段AC上，且满足，若a 1=1，则数列{a n}的通项公式a n= ．12．（5分）设f（x）=x2+2a•x+b•2x，其中a，b∈N，x∈R，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（）13．A．B．（0，π）C．D．（0，π]14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1 C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣1 15．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（）A．2017 B．1513 C．D．16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（）A．B．[4，6]C．D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．（1）求证：PM⊥平面ABC；（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值．19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p ＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A作l的垂线，垂足为E．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．（1）如果a 2=2，且对于一切正整数n，均有，求S n；（2）如果对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，求S n；（3）如果对于一切正整数n，均有a n+a n+1=3S n，证明：a3n﹣1能被8整除．2019年上海市长宁区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）（4分）首项和公比均为的等比数列{a n}，S n是它的前n项和，1．则= 1 ．【解答】解：根据题意，等比数列{a n}的首项和公比均为，则其前n项和S n==1﹣（）n，则=1；故答案为：1．2．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为（﹣∞，2）．【解答】解：要使函数有意义，可得2﹣x＞0，即x＜2．函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为：（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．3．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f （0）+f（1）= 0 ．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），f（0）=0，即f（﹣1）+f（0）+f（1）=0，故答案为：0．4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC= ﹣．【解答】解：因为a：b：c=2：3：4，所以设a=2k，b=3k，c=4k，则根据余弦定理得：cosC===﹣．故答案为：﹣5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是[，] ．【解答】解：∵z=a+bi（a，b∈R），且|z|=1，∴，即a2+b2=1，令a=cosθ，b=sinθ，则ab=cosθ•sinθ=，∴ab∈[，]．故答案为：．6．（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是18 ．【解答】解：根据题意，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，分2种情况讨论：①、从物理、化学、生物这三门中选1门，政治、历史、地理这三门选2门，有C31C32=9种选法，②、从物理、化学、生物这三门中选2门，政治、历史、地理这三门选1门，有C31C32=9种选法，则一共有9+9=18种选法；故答案为：187．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC的体积为V1，三棱锥N﹣MBC的体积为V2，则等于．【解答】解：如图，设三棱锥P﹣ABC的底面积为S，高为h，∵M是AB的中点，∴，∵N是PC的中点，∴三棱锥N﹣MBC的高为，则，，∴=．故答案为：．8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为．【解答】解：根据题意，抛物线y2=12x的焦点为（3，0），若双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的顶点坐标为（±3，0），则有a2=9，则双曲线的方程为：﹣y2=1，双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为故答案为：9．（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC，则△ABC的面积等于．【解答】解：由题意正余弦函数的图象可得：y=sinx和y=cosx 的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC是等腰三角形，∵底边长为一个周期T=2π，高为，∴△ABC的面积=2=，故答案为：．10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若△MNF2的内切圆的面积为π，则= 4 ．【解答】解：∵椭圆+的左右焦点分别为F1，F2，a=2，过焦点F1的直线交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，△MNF2的内切圆的面积为π，∴△MNF2内切圆半径r=1．∴△MNF2面积S=×1×（MN+MF2+MF2）=2a=4，故答案为：411．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，点列P n（n∈N*）在线段AC上，且满足，若a 1=1，则数列{a n}的通项公式a n= ．【解答】解：如图所示，∵D是BC的中点，∴=+=+，又=+，，∴+=+a n（+），化为：=（1﹣a n﹣a n+1）+，∵点列P n（n∈N*）在线段AC上，∴1﹣a n﹣a n+1+=1，化为：a n+1=﹣，又a1=1，则数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为﹣．∴a n=．故答案为：．12．（5分）设f（x）=x2+2a•x+b•2x，其中a，b∈N，x∈R，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为（0，0）或（1，0）．【解答】解：根据题意，函数y=f（x）的零点为方程x2+2a•x+b•2x=0的根，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点完全相同，则有f（x）=x，即x2+2a•x+b•2x=x，方程x2+2a•x+b•2x=x的根就是函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点，则有，解可得x=0，即x2+2a•x+b•2x=0的1个根为x=0，分析可得b=0，则f（x）=x2+2a•x，解可得x1=0或x2=﹣2a，f（f（x））=（x2+2a•x）2+2a（x2+2a•x），若函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点完全相同，分析可得a=0或a=1，则（a，b）为（0，0）或（1，0）；故答案为（0，0）或（1，0）．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（）A．B．（0，π）C．D．（0，π]【解答】解：∵异面直线a和b所成的角为θ，∴θ的范围是（0，]．故选：C．14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1 C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣1 【解答】解：命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”；即“若x≠1，则x≠1且x≠﹣1”．故选：C．15．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（）A．2017 B．1513 C．D．【解答】解：∵函数，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=1009×f（﹣1）+1008×f（0）=1009×2﹣1+1008×20=．故选：D．16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（）A．B．[4，6]C．D．【解答】解：以AB，AC为坐标轴建立坐标系，则B（4，0），C （0，6），∵||=2，∴M的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆．∵，∴N是MC的中点．设M（2cosα，2sinα），则N（cosα，sinα+3），∴=（cosα﹣4，sinα+3），∴||2=（cosα﹣4）2+（sinα+3）2=6sinα﹣8cosα+26=10sin （α﹣φ）+26，∴当sin（α﹣φ）=﹣1时，||取得最小值=4，当sin（α﹣φ）=1时，||取得最大值=6．故选B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．（1）求证：PM⊥平面ABC；（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．【解答】证明：（1）在三棱锥P﹣ABC中，∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．∴PM⊥AC，AB⊥平面PAC，∴PM⊥AB，∵AB∩AC=A，∴PM⊥平面ABC．解：（2）连结BM，∵PM⊥平面ABC，∴∠PBM是直线PB和平面ABC所成的角，∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点，∴PM==，BM===，∴tan∠PBM===，∴．∴直线PB和平面ABC所成的角为arctan．18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值．【解答】解：函数=sinωx+cosωx=2sin（ωx），（1）∵函数的最小正周期等于π．即∴ω=2．可得f（x）=2sin（2x），由2x，k∈Z得：≤x≤故得函数的单调递增区间为[，]，k∈Z（2）∵f（x）=2sin（2x），当，（2x）∈[]∴当2x=时，函数f（x）取得最大值为2．当2x=时，函数f（x）取得最小值为﹣1．19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．【解答】解：（1）设AQ=x，则由得：即AP=故S==（x＞1）；（2）由（1）得：S′=（x＞1）；当x∈（1，2）时，S′＜0，当x∈（2，+∞）时，S′＞0，故x=2时，S min=4．20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p ＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A作l的垂线，垂足为E．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．【解答】解：（1）如图，以FK的中点为坐标原点O，FK所在的直线为x轴，过O的垂线为y轴建立直角坐标系，即有F（，0），直线l：x=﹣，动圆M过点F且与直线l相切，可得|AE|=|AF|，由抛物线的定义可得曲线C的轨迹为F为焦点、直线l为准线的抛物线，可得方程为y2=2px；（2）点A到直线l的距离为d，可得|AE|=|AF|=d，且，设A（x0，y0），可得y02=2px0，即有d=x0+，则x0=d﹣，即有|EF|2=p2+y02=p2+2p（d﹣）=2pd，在△EAF中，cos∠EAF==1﹣，可得﹣≤cos∠EAF≤，可得arccos≤π﹣arccos，则∠EAF的取值范围是[arccos]；（3）∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．设A（x0，y0），可得y02=2px0，当A与O重合时，显然一个交点；当A不与O重合，由∠EAF的平分线交x轴于M，连接EM，可得∠AMF=∠MAF，即有|MF|=|AF|=d，四边形AEMF为菱形，EF垂直平分AM，可得∠AMF+∠EFM=90°，tan∠AMF=cot∠EFM==，可设y0＞0，则直线AM的方程为y﹣y0=（x﹣x0），则y0y﹣y02=px﹣px0，化为y0y=px+px0，代入抛物线的方程y2=2px，消去x可得，y2﹣2y0y+2px0=0，即为（y﹣y0）2=0，可得y=y0，x=x0，即∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．。
上海市2019年高考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=．2．（4分）函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．3．（4分）设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．4．（4分）若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=．5．（4分）已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=．6．（4分）甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．19．（14分）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k ＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3．【考点】反函数．【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n 的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n 又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：6【点评】求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和；二项式系数和为2n．属于基础题．6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是解决本题的关键，属中档题．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=2．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵ ++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴a n=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．【点评】本题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强．11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+ =（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：8【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，属于中档题．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max=cos0=1，y min=cos（cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题．16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx min＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）=3；min当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）=1﹣＜0，所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．【点评】本题考查恒成立问题，将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y）=+，求得f （y）min=3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）（2017•上海一模）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，则V A﹣BCD====．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，﹣2，﹣2），=（），设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．【点评】本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题．18．（14分）（2017•上海一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．【考点】余弦定理；解三角形．【分析】（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b 和c的值．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos （B+C）]﹣4cos2A+2=7，（1分）又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．（4分）解得，∴．（6分）（II）由．（8分）又．（10分）由．（12分）【点评】本题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题．19．（14分）（2017•上海一模）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD 是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D 重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，消去y得△=0即可证明b=﹣；（2）写出点P的坐标（t，2t2），代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式求出S的最大值．【解答】（1）证明：函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；（2）解：设点P的横坐标为t，则P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+）；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣2；即S的最大值是4﹣．【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了阅读理解能力，是综合性题目．20．（16分）（2017•上海一模）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】（1）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a ≤3时，当a＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，∴函数f（x）的值域是：[2，6]；（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，y min=h（a）=φ（）=﹣；当≤a≤3时，y min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．故h（a）=；（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）•（m+n），又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．【点评】本题主要考查二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，是中档题．21．（18分）（2017•上海一模）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r ∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．【考点】数列递推式．【分析】（1）由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），由此能够证明a n+2﹣a n为定值．（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】（1）证明：∵rS n=a n a n+1﹣1，①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），∵a n＞0，∴a n+2﹣a n=r．（2）解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，…．当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，…．所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，（3）解：因为数列{a n}是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，a=是有理数．设=k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，a n=，S n=，∵c n=2•3n﹣1（n∈N*），a n=1时，不符合，舍去．a n=时，若2•3n﹣1=，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n}中的所有项不都是数列{a n}中的项．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、数列的周期性性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2019-2020学年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷
功
∴数列{an}是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列， ∴an=1+（n﹣1）=n，
成
到 ∴bn=（﹣1）n
=（﹣1）n•
=（﹣1）n•（ + ），
数列{bn}的前 n 项和 Tn=﹣（1+ ）+（ + ）﹣（ + ）+…+（﹣1）n•（ +
），
当 n 为偶数时，Tn=﹣1+ ， 当 n 为奇数时，Tn=﹣1+ ﹣（ +
到 1（x）），n=1，2，3，…．则满足方程 fn（x）=x 的根的个数为（
A．2n 个 B．2n2 个 C．2n 个 D．2（2n﹣1）个 【解答】解：当 x∈[0， ]时，f1（x）=f（x）=2x=x，解得 x=0；
）
马 当 x∈（ ，1]时，f1（x）=f（x）=2﹣2x=x，解得 x= ，
（a）表达式；
马 （3）若关于 x 的不等式 mf（x）≤2﹣x+m﹣1 在 x∈（0，+∞）时恒成立，求实
数 m 的取值范围．
考 21．（18 分）已知数列{an}满足：a1=1， 高 （1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前 n 项和为 Sn，且满足
，n∈N*． ，试确定 b1
您 的值，使得数列{bn}为等差数列；
到 【解答】解：∵y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），
∴函数 y=f（x）的图象过点（4，2），
又 f（x）=1+logax， ∴2=1+loga4，即 a=4． 故答案为：4．
马 考
高 7．（5 分）若数列{an}为等比数列，且 a5=3，则
= 18 ．
上海市长宁、嘉定区2019届高三上学期期末教学质量检测(一模)数学试题(解析版)
上海市长宁、嘉定区2019届高三上学期期末教学质量检测（一模）数学试题一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知x∈R，则“x≥0”是“x>1”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】B【解析】解：∵x≥0推不出x>1，x>1⇒x≥0，∴“x≥0”是“x>1”的必要非充分条件．故选：B．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2.有一批种子共有98颗，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，……，如表是不同发芽天数的种子数的记录：统计每颗种子种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是()A. 2B. 3C. 3.5D. 4【答案】B【解析】解：将这98颗种子发芽天数从左到右按照从小到大的顺序排成一列，=3，可知正中间两颗种子的发芽天数都是3，所以中位数为3+32故选：B．根据中位数的概念可求得．本题考查了中位数的概念.属基础题．3.已知向量a⃗和b⃗ 的夹角为π，|a⃗|=2，|b⃗ |=3，则(2a⃗−b⃗ )(a⃗+2b⃗ )=()3A. −10B. −7C. −4D. −1【答案】D【解析】解：(2a⃗−b⃗ )⋅(a⃗+2b⃗ )=2a⃗2−2b⃗ 2+3a⃗⋅b⃗=8−18+3×2×3cos π3=−1，故选：D．首先把原式展开，再利用数量积求值．此题考查了数量积计算问题，属容易题．4.某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：已知函数y=f(x)的定义域为D，x1，x2∈D．①若当f(x1)+f(x2)=0时，都有x1+x2=0，则函数y=f(x)是D上的奇函数．②若当f(x1)<f(x2)时，都有x1<x2，则函数y=f(x)是D上的奇函数．下列判断正确的是()A. ①和②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①和②都是假命题D. ①是假命题，②是真命题【答案】B【解析】解：函数y=f(x)的定义域为D，x1，x2∈D．①若当f(x1)+f(x2)=0时，都有x1+x2=0，可得D关于原点对称，由奇函数的定义可得函数y=f(x)是D上的奇函数，故①正确；②若当f(x1)<f(x2)时，都有x1<x2，则函数y=f(x)是D上的增函数，奇偶性不确定，故②错误．故选：B．由奇函数的定义，注意定义域关于原点对称，其次可考虑f(−x)=−f(x)，即可判断①②．本题考查函数的奇偶性的定义和应用，考查理解能力，属于基础题．二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知集合A={1,2，3，4}，B={1,3，5}，则A∪B=______【答案】{1,2，3，4，5}【解析】解：A∪B={1,2，3，4，5}．故答案为：{1,2，3，4，5}．进行并集的运算即可．考查列举法的定义，以及并集的定义及运算．6.已知∣∣∣x−112∣∣∣=3，则x=______．【答案】1【解析】解：∵∣∣∣x−112∣∣∣=3，∴2x+1=3，解得x=1．故答案为：1．利用二阶行列式展开式直接求解．本题考查二阶行列式的求法，考查行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.在(1+x)6的二项展开式中，x2项的系数为______(结果用数值表示)．【答案】15【解析】解：展开式的通项为T r+1=C6r x r．令r=2得到展开式中x2的系数是C62=15．故答案为：15．通过二项展开式的通项公式求出展开式的通项，利用x的指数为2，求出展开式中x2的系数．本题是基础题，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.考查计算能力．8.已知向量a⃗=(m,3)，b⃗ =(2,−1)，若向量a⃗//b⃗ ，则实数m为______．【答案】−6【解析】解：∵a⃗//b⃗ ；∴−m−6=0；∴m=−6．故答案为：−6．根据a⃗//b⃗ 即可得出−m−6=0，解出m即可．考查向量坐标的概念，平行向量的坐标关系．)，则f(x)的定义域为______．9.已知函数f(x)=x a的图象过点(2,√22【答案】(0,+∞)【解析】解：设幂函数为y=xα，∵幂函数y=f(x)的图象经过点(2,√2)，2∴√2=2α，2，解得α=−12故f(x)=，√x故函数的定义域是(0,+∞)，故答案为：(0,+∞)．求出幂函数的解析式，然后求解函数的定义域即可．本题考查幂函数的解析式的求法，基本知识的考查．10.若圆锥的侧面积为15π，底面面积为9π，则该圆锥的体积为______．【答案】12π【解析】解：根据题意，圆锥的底面面积为9π，则其底面半径是3，底面周长为6π，圆锥的侧面积为15π，×6πl=15π，又12∴圆锥的母线为5，则圆锥的高√52−32=4，×4×9π=12π．所以圆锥的体积13故答案为：12π．求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力．,π)，且tanα=−2，则sin(π−α)=______．11.已知α∈(π2【答案】2√55,π)，且tanα=−2，【解析】解：α∈(π2∴sinα=−2cosα，∵sin2α+cos2α=1，∴5sin2α=1，4∴sinα=2√5，5∴sin(π−α)=sinα=2√5，5．故答案为：2√55=−2，sin2a+cos2a=1，求得sina的值由题意可得sinα>0，再结合tana=sinαcosα本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．≥0的解集12.已知函数f(x)=log a x和g(x)=k(x−2)的图象如图所示，则不等式f(x)g(x)是______．【答案】[1,2)【解析】解：由图象f(x)=log a x可得x∈(0,1)时，f(x)<0，x∈(1,+∞)时，f(x)>0，当x=1时f(x)=0由图象g(x)=k(x−2)可得x∈(−∞,2)时，g(x)>0，x∈(2,+∞)时，g(x)<0，不等式f(x)g(x)≥0，即{g(x)>0f(x)≥0或{g(x)<0f(x)≤0；∴x∈[1,2)∴不等式f(x)g(x)≥0的解集为[1,2)故答案为：[1,2)根据f(x)=log a x和g(x)=k(x−2)图象可得f(x)和g(x)的正负，即可求解不等式f(x)g(x)≥0的解集．本题考查了函数图象求解x范围解决不等式的问题，是基础题．13.如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD的高度，D为楼顶，线段AB的长度为600m，在A处测得∠DAB=30∘，在B处测得∠DBA=105∘，且此时看楼顶D的仰角∠DBC=30∘，已知楼底C和A、B在同一水平面上，则此楼高度CD=______m(精确到1m)【答案】212【解析】解：△ABD中，AB=600，∠DAB=30∘，∠DBA=105∘，∴∠ADB=45∘，由正弦定理得BDsin30∘=600sin45∘，解得BD=600×12√22=300√2；在Rt△BCD中，∠DBC=30∘，∴CD=12BD=150√2≈212，即楼高CD约212米．故答案为：212．根据题意，利用正弦定理求得BD的长，再由直角三角形的边角关系求出CD的值．本题考查了解三角形的应用问题，是基础题．14.若甲、乙两位同学随机地从6门课程中各选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的概率为______．【答案】920【解析】解：甲、乙两位同学随机地从6门课程中各选修3门，基本事件总数n=C63C63=400，两人选修的课程中恰有1门相同包含的基本事件个数m=C61C52C32=180，∴两人选修的课程中恰有1门相同的概率p=mn =180400=920．故答案为：920．甲、乙两位同学随机地从6门课程中各选修3门，基本事件总数n=C63C63=400，两人选修的课程中恰有1门相同包含的基本事件个数m=C61C52C32=180，由此能求出两人选修的课程中恰有1门相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+a n+1=12n，若数列{S n}收敛于常数A，则首项a1的取值的集合为______．【答案】{13}【解析】解：n=2k(k∈N∗)为偶数时，a1+a2=12，a3+a4=123，……，a2k−1+a2k=1 22k−1，S n=12(1−14k)1−14=23(1−14k)→23.(k→+∞)．n=2k−1(k∈N∗)为奇数时，a2+a3=122，a4+a5=124，……，a2k−2+a2k−1=122k−2，S n=a1+14(1−14k−1)1−14=a1+13(1−14k−1)→a1+13．∵数列{S n}收敛于常数A，∴a1+13=23．解得a1=13．故答案为：{13}.对n分类讨论，利用等比数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．本题考查了分类讨论、等比数列的求和公式、极限的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.已知a1，a2，a3与b1，b2，b3是6个不同的实数，若关于x的方程|x−a1|+|x−a2|+|x−a3|=|x−b1|+|x−b2|+|x−b3|解集A是有限集，则集合A中，最多有______个元素．【答案】1【解析】解：令f(x)=|x−a1|+|x−a2|+|x−a3|，g(x)=|=|x−b1|+|x−b2|+ |x−b3|，将关于x的方程|x−a1|+|x−a2|+|x−a3|=|x−b1|+|x−b2|+|x−b3|解的个数的问题转化为两个函数图象交点个数的问题不妨令a1<a2<a3<，b1<b2<b3，由于f(x)=|x−a1|+|x−a2|+|x−a3|={3x−a1−a2−a3,x>a3x−a1−a2+a3,a2<x<a3−x−a1+a2+a3,a1<x<a2−3x+a1+a2+a3,x<a1，g(x)=|=|x−b1|+|x−b2|+|x−b3|={3x−b1−b2−b3,x>b3x−b1−b2+b3,b2<x<b3−x−b1+b2+b3,b1<x<b2−3x+b1+b2+b3,x<b1，考查两个函数，可以看到每个函数都是由两条射线与两段拆线所组成的，且两条射线的斜率对应相等，两条线段的斜率对应相等．当a1，a2，a3的和与b1，b2，b3的和相等时，此时两个函数射线部分完全重合，这与题设中方程的解集是有限集矛盾不妨令a1，a2，a3的和小于b1，b2，b3的和即a1+a2+a3<b1+b2+b3，−a1−a2−a3>−b1−b2−b3，两个函数图象射线部分端点上下位置不同，即若左边f(x)=|x−a1|+|x−a2|+|x−a3|的射线端点在上，右边射线端点一定在下，反之亦有可能．不妨认为左边f(x)=|x−a1|+|x−a2|+|x−a3|的射线端点在上，右边射线端点一定在下，且射线互相平行，中间线段也对应平行，图象只能如图：故两函数图象只能有一个交点，即方程的解集是有限集时，最多有一个元素，故答案为：1．由题意，可将关于x的方程|x−a1|+|x−a2|+|x−a3|=|x−b1|+|x−b2|+|x−b3|解的个数问题转化为f(x)=|x−a1|+|x−a2|+|x−a3|，g(x)=|=|x−b1|+|x−b2|+|x−b3|两个函数图象交点个数问题，将两个函数变为分段函数，由于两个函数都是折线，分别讨论折线端点处的函数值，作出符合题意的图象，即可得出图象交点个数，从而得出方程解的个数本题考查函数的综合运用，属于函数中较难理解的题，用到数形结合的思想，转化化归的思想，属于能开拓思维训练能力的好题，也是易错题三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.求下列不等式的解集：(1)|2x−3|<5；(2)4x−4×2x−12>0．【答案】解：(1)|2x−3|<5⇔−5<2x−3<5⇔−1<x<4，所以不等式的解集为{x|−1<x<4}；(2)原不等式可化为：(2x−6)(2x+2)>0，∴2x>6，∴x>log26，所以原不等式的解集为{x|x>log26}．【解析】(1)根据|f(x)|<a(a>0)⇔−a<f(x)<a解得；(2)把2x看成整体，先解一元二次不等式，再解指数不等式可得．本题考查了绝对值不等式的解法.属中档题．18.《九章算术》中，将地面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P−ABCD中，PD⊥底面ABCD．(1)已知AD=CD=4m，斜梁PB与底面ABCD所成角为15∘，求立柱PD的长(精确导0.01m)．(2)求证：四面体PDBC为鳖臑．【答案】解：(1)∵侧棱PD⊥底面ABCD，∴侧棱PB在底面ABCD上的射影是DB，∴∠PDB是侧棱PB与底面ABCD所成角，∴∠PBD=15∘，在△PBD中，∠PDB=90∘，DB=√AD2+CD2=4√2(m)，由tan∠PDB=PDPB ，得tan15∘=PD4√2，解得PD≈1.52(m)，∴立柱PD的长约1.52m．(2)由题意知底面ABCD是长方形，∴△BCD是直角三角形，∵侧棱PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC，PD⊥DB，PD⊥BC，∴△PDC，△PDB是直角三角形，∵BC⊥DC，BC⊥PD，PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC，∵PC⊂平面PDC，∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形，∴四面体PDBC为鳖臑．【解析】(1)推导出侧棱PB在底面ABCD上的射影是DB，从而∠PDB是侧棱PB与底面ABCD所成角，∠PBD=15∘，由此能求出立柱PD的长．(2)底面ABCD是长方形，从而△BCD是直角三角形，推导出PD⊥DC，PD⊥DB，PD⊥BC，从而△PDC，△PDB是直角三角形，由BC⊥平面PDC，得△PBC是直角三角形，由此能证明四面体PDBC为鳖臑．本题考查立柱长的求法，考查四面体为鳖臑的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．19.已知△ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，复数z1=a+bi，z2=cosA+icosB(其中i是虚数单位)，且z1⋅z2=3i．(1)求证：acosB+bcosA=c，并求边长c的值；(2)判断△ABC的形状，并求当b=√3时，角A的大小．【答案】解：(1)证明：acosB+bcosA=a×a2+c2−b22ac +b×b2+c2−a22bc=2c22c=c，z1⋅z2=acosA−bcosB+(acosB+bcosA)i =3i，∴acosA−bcosB=0，…(∗)acosB+bcosA=3，∴c=3；(2)由(∗)式得，acosA=bcosB，…①由正弦定理得，asinA =bsinB，…②① ②得，sin2A=sin2B，得，A=B，或A+B=π2∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，若为等腰三角形，当b=√3时，cosA=√32，A=π6．若为直角三角形，当b=√3时，cosA=√33，A=arccos√33．【解析】(1)利用余弦定理和复数实部虚部对应，不难证明；(2)利用第一步的实部为0，结合正弦定理，可得等腰，进而求得A．本题考查了复数代数形式的乘法运算，余弦定理，正弦定理等，难度适中．20.已知函数f(x)=−x2+mx+1，g(x)=2sin(ωx+π6).(1)若函数y=f(x)+2x为偶函数，求实数m的值；(2)若ω>0，g(x)≤g(2π3)，且g(x)在[0,π2]上是单调函数，求实数ω的值；(3)若ω=1，且当x1∈[1,2]时，总有x2∈[0,π]，使得g(x2)=f(x1)，求实数m的取值范围．【答案】解：(1)∵函数y=f(x)+2x=−x2+(m+2)x+1，为偶函数，可得m+2=0，可得m=−2即实数m的值为−2；(2)由g(x)≤g(2π3)，可知x=2π3时，g(x)取得最大值，即2πω3+π6=π2+2kπ，k∈Z可得：ω=12+3k且g(x)在[0,π2]上是单调函数，∴12T≥12π，即T≥π可得：ω≤2．当k=0时，可得ω=12，故得实数ω的值为12．(3)由ω=1，可得g(x)=2sin(x+π6).∵x∈[0,π]，∴x+π6∈[π6,7π6]，那么g(x)的值域N=[−1,2]．当x1∈[1,2]时，总有x2∈[0,π]，使得g(x2)=f(x1)转化为函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集；即：当x∈[1,2]时，−1≤f(x)≤2函数f(x)=−x2+mx+1，其对称轴x=m2，开口向下，当m2≤1时，即m≤2，可得f(x)min=f(2)=2m−3；f(x)max=f(−1)=−m；可得解：1≤m≤2当1<m2≤2时，即2<m≤4可得f(x)max=f(m2)=m24+1；f(x)min=2m−3或−m；此时无解．当m2>2时，即m>4，可得f(x)min=f(−1)=−m；f(x)max=f(2)=2m−3；此时无解．综上可得实数m的取值范围为[1,2]．【解析】(1)根据偶函数图象关于y轴对称，二次函数的一次项系数为0，可得m的值；(2)根据g(x)≤g(2π3)，可知x=2π3时，g(x)取得最大值，且g(x)在[0,π2]上是单调函数，即12T≥12π，即可求解实数ω的值．(3)求解f(x)的值域M和g(x)的值域N，可得M⊆N，即可求解实数m的取值范围．本题主要考查三角函数的化简，图象即性质的应用，二次函数的最值问题；21.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a2=a．(1)若数列{a n}是等差数列，且a8=15，求实数a的值；(2)若数列{a n}满足a n+2−a n=2(n∈N∗)，且S19=19a10，求证：数列{a n}是等差数列；(3)设数列{a n}是等比数列，试探究当正实数a满足什么条件时，数列{a n}具有如下性质M：对于任意的n≥2(n∈N∗)，都存在m∈N∗使得(S m−a n)(S m−a n+1)<0，写出你的探求过程，并求出满足条件的正实数a的集合．【答案】(1)解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1=1，a8=15，得1+7d=15，解得d=2，则a2=a1+d=1+2=3，∴a=3；(2)证明：由S19=19a10，得10×1+10×92×2+9a+9×82×2=19×(a+8)，解得a=2，由a n+2−a n=2，且a1=1，a2=2，得当n为奇数时，a n=a1+n−12×2=n；当n为偶数时，a n=a2+n−22×2=n．∴对任意n∈N∗，都有a n=n，当n≥2时，a n−a n−1=1，即数列{a n}是等差数列；(3)解：由题意，a n=a n−1，①当0<a<1时，a3<a2<a1≤S m，∴对任意m∈N∗，都有(S m−a2)(S m−a3)>0，因此数列{a n}不具有性质M．②当a=1时，a n=1，S n=n，∴对任意m∈N∗，都有(S m−a2)(S m−a3)=(m−1)2≥0，因此数列{a n}不具有性质M．③当1<a<2时，(a−1)2>0⇔a(2−a)<1⇔12−a >a⇔log a12−a>1．n≥log a12−a ⇔a n−1a−1≥a n⇔S n≥a n+1，n<log a12−a ⇔a n−1a−1<a n⇔S n<a n+1．取[log a12−a ]=n0([x]表示不小于x的最小整数)，则S n≥a n0+1，S n0−1<a n．∴对于任意m∈N∗，(S m−a n0)(S m−a n0+1)≥0．即对于任意m∈N∗，S m都不在区间(a n0,a n0+1)内，∴数列{a n}不具有性质M．④当a≥2时，S n−a n+1=a n−1a−1−a n=(2−a)a n−1a−1<0，且S n>a n，即对任意n≥2(n∈N∗)，都有(S m−a n)(S m−a n+1)<0，∴当a≥2时，数列{a n}具有性质M．综上，使得数列{a n}具有性质M的正实数a的集合为[2,+∞)．【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d，由已知结合等差数列的通项公式即可求得a的值；(2)由S19=19a10，得a值，由a n+2−a n=2，且a1=1，a2=2，得数列{a n}的通项公式，即可证明数列{a n}是等差数列；(3)由题意，a n=a n−1，然后对a分类分析，可得当0<a<1，当a=1，当1<a<2时，数列{a n}不具有性质M；当a≥2时，对任意n≥2(n∈N∗)，都有(S m−a n)(S m−a n+1)<0，即当a≥2时，数列{a n}具有性质M，由此可得，使得数列{a n}具有性质M 的正实数a的集合为[2,+∞)．本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，考查逻辑思维能力与推理论证能力，体现了分类讨论的数学思想方法，属于难题．。
上海市长宁区2019届高三年级第一学期教学质量检测(一模)数学试卷
长宁区2018学年第一学期高三数学教学质量检测试卷考试注意：1.答题前，务必在答题纸上将姓名、学校班级等信息填写清楚，并贴好条形码;2. 本试卷共有21题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题有12题，满分54分，第1-6题每小题4分，第7-12题每小题5分）1、已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6}，则A ∪B=2、已知211-x =3，则x= 3、二项式6)1(xx +的展开式中，常数项为 （结果用数值表示） 4、已知向量)2,1(),,3(-==m ，若向量∥，则实数m=5、若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为6、已知幂函数x a x f =)(的图像经过点)22,2(，则)(x f 的定义域为 7、已知角),2(ππα∈，且2tan -=α，则)sin(απ-=8、已知函数x x f a log )(=和)2()(-=x k x g 的图像如右图所示，则不等式0)()(≥x g x f 的解集是9、如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD 的高度，D 为楼顶，线段AB 的长度为600m ，在A 处测得∠DAB=30°，在B 处测得∠DBA=105°，且此时看楼顶D 的仰角∠DBC=30°。
已知楼底C 和A 、B 在同一水平面上，则此楼高度CD= m （精确到1m ）.10、若甲乙两位同学随机地从6门课程中选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的概率是11、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n n a a 211=++，若数列}{n S 收敛于常数A ，则首项1a 取值的集合为12、已知321,,a a a 与321,,b b b 是6个不同的实数，若方程||||||||||||321321b x b x b x a x a x a x -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有 个元素.二、选择题（本大题共有4个小题，满分20分，每小题5分）13、已知R x ∈，则“0≥x ”是“3>x ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件14、有一批种子，对于1颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，……，下表是发芽天数的种子数的记录：统计每个种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）3.5 （D ）15、已知向量a 和b 的夹角为3π，且3||,2||==，则=+-)2)(2(（ ） （A ）-10 （B ）-7 （C ）-4 （D ）-116、某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：已知函数)(x f y =的定义域为D ，D x x ∈21、.①若当0)()(21=+x f x f 时，都有021=+x x ，则函数)(x f y =是D 上的奇函数； ②若当)()(21x f x f <时，都有21x x <，则函数)(x f y =是D 上的增函数.下列判断正确的是（ ）（A ）①和②都是真命题 （B ）①是真命题，②是假命题（C ）①和②都是假命题 （D ）①是假命题，②是真命题三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）求下列不等式的解集：（1）5|32|<-x （2）012244>-⋅-x x18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）《九章算术》中，将地面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.首届中国国际进口博览会的某展馆顶棚一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P-ABCD 中，PD ⊥底面ABCD.（1）已知AD=CD=4m ，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15°，求立柱PD 的长（精确到0.01m ）；（2）证明：四面体PDBC 为鳖臑.19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知△ABC 得三个内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，复数B i A z bi a z cos cos ,21+=+=（其中i 是虚数单位），且i z z 321=⋅. （1）求证：c bcoaA B a =+cos ，并求边长c 的值；（2）判断△ABC 的形状，并求当3=b 时，角A 的大小.20、（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分） 已知函数)6sin(2)(,1)(2πω+=++-=x x g mx x x f .（1）若函数x x f y 2)(+=为偶函数，求实数m 的值；（2）若0>ω，)32()(πg x g ≤，且函数)(x g 在]2,0[π上单调，求实数ω的值； （3）令1=ω，若当]2,1[1∈x 时，总有],0[2π∈x ，使得)()(12x f x g =，求实数m 取值范围.21、（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且a a a ==21,1.（1）若数列}{n a 是等差数列，且158=a ，求实数a 的值；（2）若数列}{n a 满足)(2*2N n a a n n ∈=-+，且101919a S =，求证：数列}{n a 是等差数列；（3）设数列}{n a 是等比数列，试探究当正实数a 满足市民条件时，数列}{n a 具有如下性质M ：对于任意的)(2*N n n ∈≥，都存在*N m ∈,使得数列0))((1<--+n m n m a S a S ，写出你的探究过程，并写出满足条件的正实数a 的集合.。
2019届上海市长宁区区第一学期高三年级质量调研(数学)
长宁区2019学年第一学期高三数学检测试题一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共计56分）．1、已知集合(,0]A =-∞，{1,3,}B a =，若A B ≠∅，则实数a 的取值范围是 ．2、若复数11i z =-，224i z =+，其中i 是虚数单位，则复数12z z 的虚部是 ．3、（理）函数x a y π2sin =)0(>a 的最小正周期为2，则实数_______=a 。
（文）函数x a y π2cos =)0(>a 的最小正周期为2，则实数_______=a 。
4、若71(2)x x-的二项展开式中的第5项的系数是 （用数字表示）。
5、已知α为第三象限的角，53cos -=α,则)4tan(απ+= . 6、不等式093114212≥-x x 的解集为_______________。
7、给出下面4个命题:(1)x y tan =在第一象限是增函数； (2)奇函数的图象一定过原点； (3)f -1(x)是f(x)的反函数,如果它们的图象有交点,则交点 必在直线y=x 上； (4)"a>b>1"是"log a b<2"的充分但不必要条件.其中正确的命题的序号是______.(把你认为正确的命题的序号都填上8、如图是一个算法的流程图，则最后输出的S = ．9、无穷等比数列{}n a 中，公比为q ，且所有项的和为231a 的范围是_________10、设函数()[)()⎩⎨⎧∞-∈-+∞∈-=1,,2,1,222x x x x x x f ，则函数)(x f y =的零点是 . 11、一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字．若 连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是 ．12、（理）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()221a b c bc-+=-，且 4AC AB ⋅=-，则ABC ∆的面积等于 .（文）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若0120=∠A ，且4AC AB ⋅=-则ABC ∆的面积等于 . 13、（理）已知函数f (x )=x 2＋2︱x ︱－15，定义域是),](,[Z b a b a ∈，值域是[－15,0]， 则满足条件的整数对),(b a 有 对．（文）对于函数)(x f ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数),0(,sin 2sin )(π∈+=x xx x f 的“下确界”为____。
上海市长宁区、嘉定区高三数学一模试卷 Word版含解析
2017年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=．2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=．6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]三、解答题（共5小题，满分76分）17．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．19．某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．20．已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h（a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．21．已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；﹣a n是一个定值；（1）求证：a n+2=a n （2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．2017年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3．【考点】反函数．【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：66．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=2．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴a n=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+=（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：812．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max=cos0=1，y min=cos （cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B．16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）min=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y ＞0时，f （y ）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f （y ）min =3；当y ＜0时，f （y ）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y ）max =﹣3，f （y ）min 不存在； 综上所述，f （y ）min =3．所以，asinx +1﹣sin 2x ≤3，即asinx ﹣sin 2x ≤2恒成立．①若sinx ＞0，a ≤sinx +恒成立，令sinx=t ，则0＜t ≤1，再令g （t ）=t +（0＜t ≤1），则a ≤g （t ）min ．由于g′（t ）=1﹣＜0，所以，g （t ）=t +在区间（0，1]上单调递减， 因此，g （t ）min =g （1）=3， 所以a ≤3；②若sinx ＜0，则a ≥sinx +恒成立，同理可得a ≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a ∈R ； 综合①②③，﹣3≤a ≤3． 故选：D ．三、解答题（共5小题，满分76分）17．如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD 与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A ﹣BCD 的体积；（2）设M 为BD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD 的体积．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，===则V A﹣BCD=．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，﹣2，﹣2），=（），设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．【考点】余弦定理；解三角形．【分析】（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b和c的值．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．解得，∴．（II）由．又．由．19．某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，消去y得△=0即可证明b=﹣；（2）写出点P的坐标（t，2t2），代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式求出S 的最大值．【解答】（1）证明：函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；（2）解：设点P的横坐标为t，则P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+）；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣2；即S的最大值是4﹣．20．已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h（a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】（1）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a≤3时，当a ＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，∴函数f（x）的值域是：[2，6]；（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，y min=h（a）=φ（）=﹣；当≤a≤3时，y min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．故h（a）=；（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）•（m+n），又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．21．已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；（1）求证：a n﹣a n是一个定值；+2=a n （2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．【考点】数列递推式．【分析】（1）由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），由此能够证﹣a n为定值．明a n+2（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】（1）证明：∵rS n=a n a n+1﹣1，①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），∵a n＞0，∴a n+2﹣a n=r．（2）解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，…．当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，…．所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，（3）解：因为数列{a n}是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，a=是有理数．设=k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，a n=，S n=，∵c n=2•3n﹣1（n∈N*），a n=1时，不符合，舍去．a n=时，若2•3n﹣1=，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n}中的所有项不都是数列{a n}中的项．2017年4月18日。
2019届上海市长宁区、嘉定区高三上学期期末教学质量检测(一模)数学试题(解析版)
2019届上海市长宁区、嘉定区高三上学期期末教学质量检测（一模）数学试题一、单选题1．已知x R ∈，则“0x ≥”是“1x >”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】0x ≥推不出1x >， 10x x >⇒≥，∴“0x ≥”是“1x >”的必要非充分条件．故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2．有一批种子，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，……，从中抽取98颗种子，下表是不同发芽天数的种子数的记录：统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则估计这批种子发芽天数的中位数是( ) A ．2 B ．3C ．3.5D ．4【答案】B【解析】将这98颗种子发芽天数从左到右按照从小到大的顺序排成一列，求中间两颗种子发芽天数的平均数即可得结果. 【详解】将这98颗种子发芽天数从左到右按照从小到大的顺序排成一列， 可得种子的发芽天数的正中间两颗的数据都是3，所以中位数为3332+=，故选B ． 【点睛】本题主要考查中位数的定义与应用，属于基础题.如果样本容量是奇数,中间的数就是中位数;如果样本容量为偶数中间两个数的平均数就是中位数. 3．已知向量a 和b 的夹角为3π，且||2,||3a b ==，则(2)(2)a b a b -+=（ ） A ．10- B ．7-C ．4-D ．1-【答案】D【解析】根据数量积的运算律直接展开()()22a b a b -⋅+，将向量的夹角与模代入数据，得到结果． 【详解】()()22a b a b -⋅+= 2223?2a a b b +-＝8+3cos3a b π－18＝8+3×2×3×12－18＝－1， 故选D. 【点睛】本题考查数量积的运算，属于基础题．4．某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题： 已知函数()y f x =的定义域为D ，1x 、2x D ∈．①若当()()120f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数； ②若当()()12f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的奇函数． 下列判断正确的是 （） A.①和②都是真命题 B.①是真命题，②是假命题 C.①和②都是假命题 D.①是假命题，②是真命题【答案】B【解析】根据奇函数的定义对题干中的命题的正误进行判断. 【详解】函数()y f x =的定义域为D ，1x 、2x D ∈．①若当()()120f x f x +=时，都有120x x +=，可得D 关于原点对称， 由奇函数的定义可得函数()y f x =是D 上的奇函数，故①正确；②若当()()12f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数，奇偶性不确定，故②错误． 故选：B. 【点睛】本题考查函数奇函数的定义，注意定义域关于原点对称，其次可考虑()()f x f x -=-，即可判断，考查理解能力，属于基础题．二、填空题5．已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =，则A B =______.【答案】{}1,2,3,4,5【解析】根据并集的定义可得出集合A B .【详解】{}1,2,3,4A =Q ，{}1,3,5B =，因此，{}1,2,3,4,5A B =U .故答案为：{}1,2,3,4,5. 【点睛】本题考查并集的运算，考查计算能力，属于基础题. 6．已知1312x -=，则x =________【答案】1【解析】直接利用矩阵中的公式运算即可. 【详解】由题得：2x+1＝3，所以得x ＝1. 故答案为1. 【点睛】本题考查增广矩阵中的运算．考查行列式，属于基础题．7．在()61x +的二项展开式中，2x 项的系数为_____（结果用数值表示）． 【答案】15【解析】通过二项展开式的通项公式求出展开式的通项，利用x 的指数为2，求出展开式中2x 的系数．【详解】解：展开式的通项为16r r r T C x +=．令2r =得到展开式中2x 的系数是2615C =．故答案为：15． 【点睛】本题是基础题，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．考查计算能力．8．已知向量(),3a m =，()2,1b =-r ，若向量//a b r r，则实数m 为______．【答案】6-【解析】根据平面向量共线向量的坐标表示，列关于m 的方程，解出即可. 【详解】(),3a m =r Q ，()2,1b =-r ，且//a b r r，则有6m -=，解得6m =-.故答案为：6-. 【点睛】考查向量坐标的概念，平行向量的坐标关系，解题的关键就是根据共线向量的坐标表示列方程求解，考查运算求解能力，属于基础题.9．已知幂函数()a f x x =的图像过点，则()f x 的定义域为________ 【答案】(0,)+∞【解析】依题意可求得12α=-，从而可求f （x ）的定义域． 【详解】依题意，得：1222α-==，所以12α=-，()12f x x-==，所以，定义域为：()0,+∞， 故答案为()0,.+∞ 【点睛】本题考查幂函数的性质，求得α是关键，属于基础题．10．若圆锥的侧面积为15π，底面面积为9π，则该圆锥的体积为______． 【答案】12π【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，根据题中条件求出这几个量，然后利用锥体的体积公式可计算出该圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，根据题意，圆锥的底面面积为29r ππ=，即则其底面半径是3r =， 圆锥的侧面积为315rl l πππ==，则其母线长为5l =，所以，圆锥的高为4h ==， 因此，圆锥的体积为149123ππ⨯⨯=. 故答案为：12π. 【点睛】本题考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力，属于基础题. 11．已知(,)2a ππ∈，且tan 2a =-，则sin()a π-=________【解析】运用诱导公式化简为()sin a π-，再利用同角基本关系得到所求值. 【详解】依题意tan 2a =-，且,2a ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭得：sin a =，所以()sin a π-= sin a =,故答案为5. 【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式和同角的基本关系式的应用，属于基础题． 12．已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()0()f xg x ≥的解集是_______【答案】[1,2)【解析】由题意可得f （x ）与g （x ）的函数值的符号相同，结合函数的图象分类讨论求得x 的范围，即为所求． 【详解】函数()log a f x x =的定义域为()0,+∞，（1）当0＜x ＜1时，f （x ）＜0，g （x ）＞0，()()f xg x ＜0，不符合；（2）当1≤x ＜2时，f （x ）≥0，g （x ）＞0，()()f xg x ≥0，符合；（3）当x ＞2时，f （x ）＞0，g （x ）＜0，()()f xg x ＜0，不符合；所以解集是[)1,2， 故答案为[)1,2. 【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，函数的图象的应用，属于基础题．13．如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD 的高度，D 为楼顶，线段AB 的长度为600m ，在A 处测得30DAB ︒∠=，在B 处测得105DBA ︒∠=，且此时看楼顶D 的仰角30DBC ︒∠=，已知楼底C 和A 、B 在同一水平面上，则此楼高度CD =____（精确到1m ）【答案】212【解析】先由正弦定理求得AB 和BD ，根据Rt △BCD 中因为30DBC ︒∠=，可得CD＝12BD ＝≈212。
长宁一模高三数学2019.12
2019学年第一学期高三数学教学质量检测试卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}2,4,6,8B =，则AB =_______.2. 方程23x=的解为_______. 3．行列式2112-的值为_______．4. 计算2lim1n nn →∞=+_______.5．若圆锥的侧面面积为π2，底面面积为π，则该圆锥的母线长为_______.6. 已知向量1(,22AB =，31(,)22AC =，则BAC ∠=_______. 7. 2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有_______种．8. 已知点()2,y -在角α终边上，且()tan πα-=sin α=_______.9. 近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯．某企业为了解该企业员工A 、B 两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况.发现样本中A ，B 两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了A 、B 两种方式支付的员工，支付金额和相应人数方式都使用过的概率为_______.10. 已知非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()//a b c +，()//b a c +，设c xa yb =+，,x y ∈R ，则2x y +=_______.11. 已知数列{}n a 满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅（*n ∈N ），记数列{}n a 的前n 项和为n S .若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M 、最小值为m ，则M m +=_______.12. 已知函数()1f x x a x=++，若对任意实数a ，关于x 的不等式()f x m ≥在区间1[,3]2上总有解，则实数m 的取值范围为_______. 二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．已知R ∈x ，则“0x > ”是“1x > ”的 （ ）.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 14. 下列函数中，值域为()0,+∞的是（ ）.A.2xy = B.12y x = C.ln y x = D.cos y x =15. 已知正方体1111ABCD A B C D -,点P 是棱1CC 的中点，设直线AB 为a ，直线11A D 为b .对于下列两个命题：①过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都相交；②过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都成45角.以下判断正确的是（ ）. A.①为真命题，②为真命题； B.①为真命题，②为假命题；C.①为假命题，②为真命题；D.①为假命题，②为假命题.16. 某港口某天0时至24时的水深y （米）随时间x （时）变化曲线近似满足如下函数模型：0.5sin() 3.24(06)y x πωπω=++>.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（ ）. A ．16时 B ．17时 C ．18时 D ．19时三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，底面为矩形的直棱柱1111ABCD A B C D -满足：14AA =，3AD =，2CD =.（1）求直线1A C 与平面11AA D D 所成的角θ的大小； （2）设M 、N 分别为棱1BB 、CD 上的动点， 求证：三棱锥1N A AM -的体积V 为定值，并求出该值.ABCD1A1B1C1DMNDB 118．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位. （1）112i z =+，234i z =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅；（2）设1i z a b =+，2i z c d =+（,,,a b c d ∈R ），求证：2121OZ OZ z z ⋅≤⋅，并指出向量1OZ 、2OZ 满足什么条件时该不等式取等号.19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，某城市有一矩形街心广场ABCD ，如图. 其中4AB =百米，3BC =百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN 种植荷花，其中点M 在BC 边上，点N 在AB 边上，要求4MDN π∠=．（1）若2AN CM ==百米，判断DMN ∆是否符合要求，并说明理由；（2）设CDM θ∠=,写出DMN ∆面积的S 关于θ的表达式,并求S 的最小值．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知数列{}n a 各项均为正数，n S 为其前n 项的和，且2,,n n n a S a (*N n ∈)成等差数列.（1）写出1a 、2a 、3a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式n a ； （2）证明（1）中的猜想；（3）设()10n n b ta t =->，n T 为数列{}n b 的前n 项和.若对于任意*n N ∈,都有{}*n m T b m N ∈∈, 求实数t 的值.AB CDMN21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数()||f x x x a =-，其中a 为常数. （1）当1a =时，解不等式()2f x <；（2）已知()g x 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有()()g x f x =. 若0a <，且35()24g =，求函数()[]()1,2y g x x =∈的反函数； （3）若在[0,2]上存在n 个不同的点(1,2,,.3)i x i n n =≥，12n x x x <<<，使得()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=，求实数a 的取值范围.。
2019长嘉数学一模
上海市长宁区、嘉定区2019届高三一模数学试卷2018.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B =U 2. 已知1312x -=，则x =3. 在61()x x+的二项展开式中，常数项为 （结果用数值表示）4. 已知向量(3,)a m =r ，(1,2)b =-r，若向量a r ∥b r ，则实数m =5. 若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为6. 已知幂函数()a f x x =的图像过点(2,)2，则()f x 的定义域为 7. 已知(,)2a ππ∈，且tan 2a =-，则sin()a π-=8. 已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()0()f xg x ≥的解集是9. 如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD 的高度，D 为楼顶，线段AB 的长度为600m ，在A 处测得30DAB ∠=︒，在B 处测得105DBA ∠=︒，且此时看楼顶D 的仰角 30DBC ∠=︒，已知楼底C 和A 、B 在同一水平面上，则此楼高度CD = m（精确到1m ）10. 若甲、乙两位同学随机地从6门课程中选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的 概率为11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n n a a ++=，若数列{}n S 收敛于常数A ，则首项 1a 取值的集合为12. 已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123||||||||||||x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有 个元素二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知x ∈R ，则“0x ≥”是“3x >”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 有一批种子，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，下表是 不同发芽天数的种子数的记录：统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（ ） A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 415. 已知向量a r 和b r 夹角为3π，且||2a =r ，||3b =r ，则(2)(2)a b a b -⋅+=r r r r （ ）A. 10-B. 7-C. 4-D. 1- 16. 某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题： 已知函数()y f x =的定义域为D ，12,x x D ∈，① 若当12()()0f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数； ② 若当12()()f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数. 下列判断正确的是（ ）A. ①和②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①和②都是假命题D. ①是假命题，②是真命题三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 求下列不等式的解集： （1）|23|5x -<； （2）442120x x -⋅->18. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四 个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢 结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD . （1）已知4AD CD m ==，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15︒，求立柱PD 的长； （精确到0.01m ）（2）求证：四面体PDBC 为鳖臑.19. 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，复数1i z a b =+，2cos icos z A B =+，（其中i 是虚数单位），且123i z z ⋅=.（1）求证：cos cos a B b A c +=，并求边长c 的值；（2）判断△ABC 的形状，并求当b =时，角A 的大小.20. 已知函数2()1f x x mx =-++，()2sin()6g x x πω=+.（1）若函数()2y f x x =+为偶函数，求实数m 的值； （2）若0ω>，2()()3g x g π≤，且函数()g x 在[0,]2π上是单调函数，求实数ω的值； （3）若1ω=，若当1[1,2]x ∈时，总有2[0,]x π∈，使得21()()g x f x =，求实数m 的取值 范围.21. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2a a =. （1）若数列{}n a 是等差数列，且815a =，求实数a 的值；（2）若数列{}n a 满足22n n a a +-=（n *∈N ），且191019S a =，求证：{}n a 是等差数列； （3）设数列{}n a 是等比数列，试探究当正实数a 满足什么条件时，数列{}n a 具有如下性质M ：对于任意的2n ≥（n *∈N ），都存在m *∈N ，使得1()()0m n m n S a S a +--<，写出你的探究过程，并求出满足条件的正实数a 的集合.参考答案一. 填空题1. {1,2,3,4,6}2. 13.204. 6-5. 6. (0,)+∞ 7. 8. [1,2) 9. 212 10. 920 11. 1{}312. 3二. 选择题13. B 14. B 15. D 16. C三. 解答题17.（1）(1,4)-；（2）2(log 6,)+∞. 18.（1）1.52m ；（2）略.19.（1）证明略，3c =；（2）当A B =时，6A π=；当2C π=时，A =. 20.（1）2m =-；（2）12ω=；（3）[1,2]m ∈. 21. （1）3a =；（2）略；（3）[2,)a ∈+∞.。
长宁一模高三数学答案
2019学年第一学期高三数学质量检测试卷参考答案与评分标准一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．{2,4} 2．2log 3x = 3．5 4．25．2 6．6π7．72 89．310 10．3- 11．1078 12．2(,]3-∞二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．B 14．A 15．B 16．D三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由直棱柱知1A A ABCD ⊥，所以1A A CD ⊥又因为AD CD ⊥，所以直线CD ⊥平面11A ADD ， ……………2分 所以1CA D ∠即直线1A C 与平面11AA D D 的所成角θ ……………4分 由题意15A D =，2CD =，所以2tan 5θ=所以直线1A C 与平面11AA D D 的所成角2arctan5θ=． ……………6分 （2）记点N 到平面1A AM 的距离为d ，三角形1A AM 的面积为1A AM S ∆，则1113N A AM A AM V V d S -∆==⋅⋅， ………………3分由已知3d =，14A AM S ∆=， ………………6分 所以4V =为定值. ………………8分 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+ ……………3分()11,2OZ =，()23,4OZ =-所以125OZ OZ ⋅=- ……………6分 证明（2）()1,OZ a b =，()2,OZ c d =-12OZ OZ ab cd ⋅=+，()2212OZ OZ ab cd ⋅=+ ……………3分 ()()22212z z ac bd ad bc ⋅=-+-()22212120z z OZ OZ ab cd ⋅-⋅=-≥所以 1212OZ OZ z z ⋅≤⋅ ……………6分 当ab cd =时取“=”，此时12//OZ OZ . ……………8分 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意MN =，DN =DN =，…………3分所以cos 2MDN ∠==≠ 所以4MDN π∠≠，DMN ∆不符合要求 ……………6分（2）CDM θ∠=，=4ADN πθ∠-，所以3cos DM θ=，4cos()4DN πθ=-1sin 24cos cos()4S DN DM ππθθ=⋅⋅=-， …………3分()cos cos()cos sin 42πθθθθθ-=+)11sin 2cos 21sin(2)242πθθθ=++=++≤+所以)121S ≥，S 的最小值为)121. …………8分20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）（1）解：由已知22n nn a a S +=， …………1分所以11a =，22a =，33a =， …………3分 猜想n a n = …………4分证明（2）当2n ≥时，22n n n a a S +=，21112n n n a a S ---+=所以2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=- 得()()1110n n n n a a a a --+--=， …………3分 因为()*0n a n >∈N ，所以11n n a a --= 数列{}n a 为等差数列，又由（1）11a =，22a =所以()*n a n n =∈N …………6分 （3）解：由（2）知1m b mt =-，()12n n n T t n +=-. 若m n b T =，则()112n n n m t+-=-， 因为,m n 都是整数，所以对于任意*n N ∈，1n t -都是整数，进而1t是整数 所以1,t k Z k=∈，此时()()112n n m k n +=--， ………2分 设2m b T =，则30m k =->，所以1k =或2 ………4分 ①当1k =时，对于任意*n N ∈，()*112n n m N -=+∈ ②当2k =时，对于任意*n N ∈，()*322n n m N -=+∈ 所以实数t 取值的集合为1{,1}2………6分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）解不等式12x x -<当1x ≥时，220x x --<，所以12x ≤<当1x <时，220x x -+>，所以1x <，综上，该不等式的解集为(),2-∞ ………4分（每行1分） （2）当01x ≤≤时，()g x x x a =-， 因为()g x 是以2为周期的偶函数， 所以31111()()()22222g g g a =-==-， 由35()24g =，且0a <，得2a =-， ………2分 所以当01x ≤≤时，()(2)g x x x =+ 所以当12x ≤≤时，()()()()()[]2240,3g x g x g x x x =-=-=--∈ ………4分所以函数()[]()1,2y g x x =∈的反函数为[])30,3y x =∈ ………6分（3）①当0a ≤时，在[]0,2上()()f x x x a =-，是[]0,2上的增函数，所以()()()()()()()()()1223112n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f --+-+⋅⋅⋅+-=-≤所以()()2228f a =-≥，得2a ≤-； ………2分 ②当4a ≥时，在[]0,2上()()f x x a x =-，是[]0,2上的增函数，所以()()()()()()()()()1223112n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f --+-+⋅⋅⋅+-=-≤所以()()2228f a =-≥，得6a ≥； ………4分 ③当04a <<时，()f x 在[]0,2上不单调，所以()()()()()()()12231max 2n n f x f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-≤2()424a a f =<，()2224f a =-<， 在[]0,2上，()()max max{(),2}42af x f f =<.()()()()()()()12231max 28n n f x f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-≤<，不满足.综上，a 的取值范围为(][),26,-∞-+∞. ………8分③当42<≤a 时，则221<≤a ，所以)(x f 在]2,0[a 上单调递增，在]2,2[a上单调递减， 于是)()()()()()(13221n n x f x f x f x f x f x f -+⋅⋅⋅+-+--242)0()2(2)(222max a a f a f x f =⨯=⎪⎭⎫⎝⎛-=≤ 令 822≥a ，解得 4-≤a 或4≥a ，不符合题意； ④当20<<a 时，)(x f 分别在]2,0[a 、]2,[a 上单调递增，在],2[a a上单调递减，)()()()()()(13221n n x f x f x f x f x f x f -+⋅⋅⋅+-+--()422)2(242)2()2(2)()2()0()2(222+-=-+⨯=+=-+⎪⎭⎫⎝⎛-≤a a a a f a f a f f f a f 令84222≥+-a a ，解得322-≤a 或322+≥a ，不符合题意． 综上，所求实数a 的取值范围为(][),26,-∞-+∞.。
上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷及答案
上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则A∩B=．2．（4分）不等式的解集为．3．（4分）已知，则=．4．（4分）=．5．（4分）已知球的表面积为16π，则该球的体积为．6．（4分）已知函数f（x）=1+log a x，y=f﹣1（x）是函数y=f（x）的反函数，若y=f ﹣1（x）的图象过点（2，4），则a的值为．7．（5分）若数列{a n}为等比数列，且a5=3，则=．8．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则B=．9．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为．11．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，2S n=a n•a n+1（n∈N*）．若b n=（﹣1）n，则数列{b n}的前n项和T n=．12．（5分）若不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，则实数c的最大值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）设角α的始边为x轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件14．（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交15．（5分）对任意两个非零的平面向量和，定义，其中θ为和的夹角，若两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角；③和的值都在集合中，则的值为（）A．B．C．1 D．16．（5分）已知函数，且f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣（x）），n=1，2，3，…．则满足方程f n（x）=x的根的个数为（）1A．2n个B．2n2个C．2n个D．2（2n﹣1）个三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（14分）已知复数z满足，z2的虚部为2．（1）求复数z；（2）设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．19．（14分）一根长为L的铁棒AB欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m．（1）设∠BOD=θ，试将L表示为θ的函数；（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．20．（16分）已知函数f（x）=2x+2﹣x．（1）求证：函数f（x）是偶函数；（2）设a∈R，求关于x的函数y=22x+2﹣2x﹣2af（x）在x∈[0，+∞）时的值域g （a）表达式；（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．21．（18分）已知数列{a n}满足：a1=1，，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且满足，试确定b1的值，使得数列{b n}为等差数列；（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列{c n}，且c1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{c n}．2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则A∩B={2，4} ．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，∴A∩B={2，4}．故答案为：{2，4}．2．（4分）不等式的解集为（﹣1，0] ．【解答】解：∵，∴或，解得：﹣1＜x≤0，故答案为（﹣1，0]．3．（4分）已知，则=．【解答】解：∵sinα=，∴cos（+α）=﹣sinα=﹣．故答案为：﹣4．（4分）=．【解答】解：==，∴=，故答案为：．5．（4分）已知球的表面积为16π，则该球的体积为．【解答】解：一个球的表面积是16π，所以球的半径为：2，所以这个球的体积为：=．故答案为：．6．（4分）已知函数f（x）=1+log a x，y=f﹣1（x）是函数y=f（x）的反函数，若y=f ﹣1（x）的图象过点（2，4），则a的值为4．【解答】解：∵y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），∴函数y=f（x）的图象过点（4，2），又f（x）=1+log a x，∴2=1+log a4，即a=4．故答案为：4．7．（5分）若数列{a n}为等比数列，且a5=3，则=18．【解答】解：根据题意，=a2•a8﹣a3•（﹣a7）=a2•a8+a3•a7，又由数列{a n}为等比数列，且a5=3，则有a2•a8=a3•a7=9，则=9+9=18；故答案为：18．8．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则B=．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac，又cosB==﹣，∴B=，故答案为：．9．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为1120．【解答】解：由题意可知，2n=256，解得n=8．∴=，其展开式的通项=，令8﹣2r=0，得r=4．∴该展开式中常数项的值为．故答案为：1120．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，∴，又当x∈[2，4]时，，∴f（）=f（）=．故答案为：．11．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，2S n=a n•a n+1（n∈N*）．若b n=（﹣1）n，则数列{b n}的前n项和T n=﹣1+．【解答】解：∵2S n=a n•a n+1（n∈N*）．当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣1•a n，∴2a n=2S n﹣2S n﹣1=a n（a n+1﹣a n﹣1），∵a1=1，∴a n≠0∴a n+1﹣a n﹣1=2，∴（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）=2，∴a n﹣a n﹣1=1，∴数列{a n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴a n=1+（n﹣1）=n，∴b n=（﹣1）n=（﹣1）n•=（﹣1）n•（+），数列{b n}的前n项和T n=﹣（1+）+（+）﹣（+）+…+（﹣1）n•（+），当n为偶数时，T n=﹣1+，当n为奇数时，T n=﹣1+﹣（+）=﹣1﹣，综上所述T n=﹣1+，故答案为：﹣1+．12．（5分）若不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，则实数c的最大值为2﹣4．【解答】解：∵不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，∴c≤=，令，∴=f（t），f′（t）==，当t时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；当1＜t＜时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．∴当t=2+时，f（t）取得最小值，=2﹣4．∴实数c的最大值为2﹣4．故答案为：﹣4．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）设角α的始边为x轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵角α的始边为x轴正半轴，∴“α的终边在第一、二象限”⇒“sinα＞0”，“sinα＞0”⇒“α的终边在第一、二象限或α的终边在x轴正半轴”，∴“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的充分非必要条件．故选：A．14．（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选D．15．（5分）对任意两个非零的平面向量和，定义，其中θ为和的夹角，若两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角；③和的值都在集合中，则的值为（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵=cosθ=，=cosθ=，m∈N，由与的夹角θ∈（0，），知cos2θ=∈（，1），故mn=3，m，n∈N，∵，∴0＜=＜1，∴m=1，n=3，∴=，故选：B．16．（5分）已知函数，且f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣（x）），n=1，2，3，…．则满足方程f n（x）=x的根的个数为（）1A．2n个B．2n2个C．2n个D．2（2n﹣1）个【解答】解：当x∈[0，]时，f1（x）=f（x）=2x=x，解得x=0；当x∈（，1]时，f1（x）=f（x）=2﹣2x=x，解得x=，∴f的1阶根的个数是2．当x∈[0，]时，f1（x）=f（x）=2x，f2（x）=4x=x，解得x=0；当x∈（，]时，f1（x）=f（x）=2x，f2（x）=2﹣4x=x，解得x=；当x∈（，]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=﹣2+4x=x，解得x=；当x∈（，1]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=4﹣4x=x，解得x=．∴f的2阶根的个数是22．依此类推∴f的n阶根的个数是2n．故选C．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】解：（1）∵A1到平面ABCD的距离d=AA1=4，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，∴S=AB×BC=3×3=9，正方体ABCD∴四棱锥A1﹣ABCD的体积V==．（2）∵A1B∥D1C，∴∠D1CB1是异面直线A1B与B1C所成角（或所成角的补角），∵B1D1==3，B1C=D1C==5，∴cos∠D1CB1===，∴∠D1CB1=arccos．∴异面直线A1B与B1C所成角为．18．（14分）已知复数z满足，z2的虚部为2．（1）求复数z；（2）设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），由已知可得：，即，解得或．∴z=1+i或z=﹣1﹣i；（2）当z=1+i时，z2=2i，z﹣z2=1﹣i，∴A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1），故△ABC的面积S=×2×1=1；当z=﹣1﹣i时，z2=2i，z﹣z2=﹣1﹣3i，∴A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（﹣1，﹣3），故△ABC的面积S=×2×1=1．∴△ABC的面积为1．19．（14分）一根长为L的铁棒AB欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m．（1）设∠BOD=θ，试将L表示为θ的函数；（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．【解答】解：（1）∵走廊的宽AC=BD=2m．∠BOD=∠BAC=θ，∴；（2）∵∴．∵θ∈（0，），L′＜0，L为减函数；θ∈（，），L′＞0，L为增函数；∴θ=时，L取最小值4，该最小值表示：超过则无法通过．20．（16分）已知函数f（x）=2x+2﹣x．（1）求证：函数f（x）是偶函数；（2）设a∈R，求关于x的函数y=22x+2﹣2x﹣2af（x）在x∈[0，+∞）时的值域g （a）表达式；（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．【解答】证明：（1）∵函数f（x）=2x+2﹣x的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=2﹣x+2x=2x+2﹣x=f（x），故函数f（x）是偶函数；解：（2）令t=f（x）=2x+2﹣x．则t≥2，22x+2﹣2x=t2﹣2y=22x+2﹣2x﹣2af（x）=t2﹣2at﹣2，当a≤2时，当t=2时，函数取最小值2﹣4a，无最大值；此时函数的值域为[2﹣4a，+∞），a＞2时，当t=a时，函数取最小值﹣a2﹣2，无最大值；此时值域为[﹣a2﹣2，+∞）；（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立即m（2x+2﹣x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立即m≤=1﹣=1﹣在x∈（0，+∞）时恒成立当x=1时，2﹣x=，此时（2﹣x）2﹣2﹣x+1取最小值，故取最大值，故1﹣取最小值﹣故．21．（18分）已知数列{a n}满足：a1=1，，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且满足，试确定b1的值，使得数列{b n}为等差数列；（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列{c n}，且c1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{c n}．【解答】解：（1），则﹣=4，n∈N*∴数列{}是以1为首项，以4为公差的等差数列，则=1+4（n﹣1）=4n﹣3，∴，∴数列{a n}的通项公式；（2）由（1）可得，=（4n+1）S n+16n2﹣8n﹣3，∵，∴（4n﹣3）S n+1∴﹣=1，∴数列{}是等差数列，首项为S1，公差为1．∴=b1+n﹣1，∴S n=（b1+n﹣1）（4n﹣3），当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=（b1+n﹣1）（4n﹣3）﹣（b1+n﹣2）（4n﹣7），化为b n=4b1+8n ﹣11，若数列{b n}为等差数列，则上式对于n=1时也成立，∴b1=4b1﹣3，解得b1=1．∴b n=8n﹣7为等差数列．∴b1=1，数列{b n}为等差数列；（3）证明：由（1）可得=4n﹣3．解法1：令等比数列{c n}的公比q=4m（m∈N*），则c n=c1q n﹣1=5×4m（n﹣1），设k=m（n﹣1），因为1+4+42+…+4k﹣1=，所以5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+…+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+…+4k﹣1）+2]﹣1，…（14分）因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{c n}有无数个．…（16分）解法2：设c2=4k2﹣3（k2≥3），所以公比q=．因为等比数列{b n}的各项为整数，所以q为整数，取k2=5m+2（m∈N*），则q=4m+1，故c n=5•（4m+1）n﹣1，由4k n﹣3=5•（4m+1）n﹣1得，k n=[5（4m+1）n﹣1+3]（n∈N*），=[（4m+1）n﹣1﹣（4m+1）n﹣2]=5m（4m+1）n﹣2，而当n≥2时，k n﹣k n﹣1即k n=k n﹣1+5m（4m+1）n﹣2，…（14分）又因为k1=2，5m（4m+1）n﹣2都是正整数，所以k n也都是正整数，所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m+1（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{c n}有无数个．…（16分）。
2019届上海市长宁区高三数学一模详细答案
长宁区2018学年第一学期高三数学教学质量检测试卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1． 已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,4,6b =，则A B = ．【答案】{1,2,3,4,6} 【解析】{1,2,3,4,6}AB =．2． 已知1312x -=，则x = ． 【答案】1 【解析】由1312x -=，即213x +=，解得1x =． 3． 二项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 （结果用数值表示）．【答案】20【解析】观察可知，常数项为33346120T C x x ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭．4． 已知向量(3,),(1,2)a m b ==-，若向量a ∥b ，则实数m = ． 【答案】6-【解析】由a ∥b ，得312m=-，则6m =-． 5． 若圆锥的侧面面积为π2，底面面积为π，则该圆锥的体积为 ．【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，圆锥的高为h ．由题可得ππππ22S rl S r ==⎧⎪⎨==⎪⎩侧底，解得21l r =⎧⎨=⎩，则h =所以13V S h =⋅⋅=底． 6． 已知幂函数()f x x α=的图像过点，则()f x 的定义域为 ． 【答案】(0,)+∞【解析】由题意得2α=，则12α=-，所以12()f x x -==，则()f x 的定义域为(0,)+∞．7． 已知角ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan 2α=-，则πsin()α-= ．【解析】由ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan 2α=-，可得sin α=，所以πsin()sin αα-==．8． 已知函数()lo g a f x x =和()(2)g x k x =-的图像如右图所示，则不等式()0()f xg x ≥的解集是 ．【答案】[1,2)【解析】由()()0()00()2f xg x f x x g x x ⋅⎧⎪⇔>⎨⎪≠⎩≥≥，由下图可知，当[1,2)x ∈满足()()0f x g x ⋅≥．9． 如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD 的高度，D 为楼顶．线段A B 的长度为m 600，在A 处测得30DA B ∠=︒，在B 处测得105DBA ∠=︒，且此时看楼顶D 的仰角30DBC ∠=︒．)已知楼底C 和A 、B 在同一水平面上，则此楼高度CD = m （精确到m 1）．【答案】212【解析】在A BD △中，由正弦定理得sin 45sin(18030105)BD A B=︒︒-︒-︒，解得BD =m ． 在Rt BCD △中，由30DBC ∠=︒，则12122CD BD ==≈m ．10．若甲、乙两位同学随机地从6门课程中选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的概率为 ． 【答案】920【解析】1226533366920C C C P C C ⋅⋅==⋅ 11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n na a ++=，若数列{}n S 收敛于常数A ，则首项1a 取值的集合为 ． 【答案】13⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】由112n n n a a ++=① 当1n =时，2112a a =-，当2n ≥时，1112n n n a a --+=②①－②得1112n n n a a +--=-，所以2242222()()k k k a a a a a a -=+-++-=111364k a -+⋅．所以21234212321111221233224k k k k k S a a a a a a --=++++++=+++=-⋅；2122k k k S S a -=-=151364k a +-⋅．由数列{}n S 收敛于常数A ，则lim n n S A →∞=．所以221lim lim k k k k S S -→∞→∞=，即2133a =+，得13a =．12．已知123,,a a a 与123,,b b b 是6个不同的实数，若方程ABCD123123||||||||||||x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有 个元素． 【答案】3【解析】转化为123()||||||f x x a x a x a =-+-+-和123()||||||g x x b x b x b =-+-+-图像的交点．由此类函数的图像可知，如下图最多可有3个交点，即集合集合A 中最多有3个元素．二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．已知x ∈R ，则“0x ≥”是“3x ＞”的（ ）．（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案】B【解析】由3x ＞⇒0x ≥，而0x ≥⇒/3x ＞，故为必要非充分条件．14．有一批种子，对于1颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，……．下表是不同发芽天数的种子数的记录：统计每个种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（ ）． （A ）2 （B ）3 （C ）3.5 （D ）4 【答案】B【解析】共有8262224124298++++++=颗种子，所以中位数为第49和50颗，位于第三天中，所以这组数据的中位数是3．15．已知向量a 和b 的夹角为π3，且2a =，3b=，则()()22a b a b -⋅+=（ ）． （A ）10- （B ）7- （C ）4- （D ）1-)【答案】D【解析】()()2222122232223232312a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=⨯+⨯⨯⨯-⨯=-．16．某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：已知函数()y f x =的定义域为D ，12,x x D ∈．①若当12()()0f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数． ②若当12()()f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数． 下列判断正确的是（ ）．（A ）①和②都是真命题 （B ）①是真命题，②是假命题 （C ）①和②都是假命题 （D ）①是假命题，②是真命题 【答案】C【解析】对于命题①，存在两个角度思考，定义域关于原点对称没有说明，其次不能表示任意性，即存在12()()0f x f x +=，有120x x +=，不符合奇函数的定义．对于命题②，同样也不能表示任意性，即存在12()()f x f x <，有12x x <，也不符合单调增函数的定义．【点评】本题侧重于考查学生对概念的理解，对常见的概念的理解要深刻和准确。
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上海市长宁区、嘉定区2019届高三一模数学试卷
2018.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B =U 2. 已知
1
312x -=，则x =
3. 在61()x x
+的二项展开式中，常数项为 （结果用数值表示）
4. 已知向量(3,)a m =r ，(1,2)b =-r
，若向量a r ∥b r ，则实数m =
5. 若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为
6. 已知幂函数()a f x x =的图像过点，则()f x 的定义域为
7. 已知(,)2
a π
π∈，且tan 2a =-，则sin()a π-=
8. 已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()
0()
f x
g x ≥的解集是
9. 如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD 的高度，D 为楼顶，线段AB 的长度为
600m ，在A 处测得30DAB ∠=︒，在B 处测得105DBA ∠=︒，且此时看楼顶D 的仰角 30DBC ∠=︒，已知楼底C 和A 、B 在同一水平面上，则此楼高度CD = m
（精确到1m ）
10. 若甲、乙两位同学随机地从6门课程中选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的 概率为
11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11
2
n n n a a ++=
，若数列{}n S 收敛于常数A ，则首项 1a 取值的集合为
12. 已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程
123123||||||||||||x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中
最多有 个元素
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知x ∈R ，则“0x ≥”是“3x >”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
14. 有一批种子，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，下表是 不同发芽天数的种子数的记录：
统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（ ） A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4
15. 已知向量a r 和b r 夹角为3
π
，且||2a =r ，||3b =r ，则(2)(2)a b a b -⋅+=r r r r （ ）
A. 10-
B. 7-
C. 4-
D. 1- 16. 某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题： 已知函数()y f x =的定义域为D ，12,x x D ∈，
① 若当12()()0f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数； ② 若当12()()f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数. 下列判断正确的是（ ）
A. ①和②都是真命题
B. ①是真命题，②是假命题
C. ①和②都是假命题
D. ①是假命题，②是真命题
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 求下列不等式的解集： （1）|23|5x -<； （2）442120x x -⋅->
18. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四 个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢 结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD . （1）已知4AD CD m ==，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15︒，求立柱PD 的长； （精确到0.01m ）
（2）求证：四面体PDBC 为鳖臑.
19. 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，复数1i z a b =+，
2cos icos z A B =+，（其中i 是虚数单位），且123i z z ⋅=.
（1）求证：cos cos a B b A c +=，并求边长c 的值；
（2）判断△ABC 的形状，并求当b =时，角A 的大小.
20. 已知函数2()1f x x mx =-++，()2sin()6
g x x π
ω=+
.
（1）若函数()2y f x x =+为偶函数，求实数m 的值； （2）若0ω>，2()(
)3g x g π≤，且函数()g x 在[0,]2
π
上是单调函数，求实数ω的值； （3）若1ω=，若当1[1,2]x ∈时，总有2[0,]x π∈，使得21()()g x f x =，求实数m 的取值 范围.
21. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2a a =. （1）若数列{}n a 是等差数列，且815a =，求实数a 的值；
（2）若数列{}n a 满足22n n a a +-=（n *∈N ），且191019S a =，求证：{}n a 是等差数列； （3）设数列{}n a 是等比数列，试探究当正实数a 满足什么条件时，数列{}n a 具有如下性质
M ：对于任意的2n ≥（n *∈N ），都存在m *∈N ，使得1()()0m n m n S a S a +--<，写出你
的探究过程，并求出满足条件的正实数a 的集合.
参考答案
一. 填空题
1. {1,2,3,4,6}
2. 1
3.20
4. 6-
5. 6. (0,)+∞ 7. 8. [1,2) 9. 212 10. 920 11. 1
{}3
12. 3
二. 选择题
13. B 14. B 15. D 16. C
三. 解答题
17.（1）(1,4)-；（2）2(log 6,)+∞. 18.（1）1.52m ；（2）略.
19.（1）证明略，3c =；（2）当A B =时，6
A π
=；当2
C π
=
时，A =. 20.（1）2m =-；（2）12
ω=
；（3）[1,2]m ∈. 21. （1）3a =；（2）略；（3）[2,)a ∈+∞.。