上海市普陀区2018届高三一模数学试卷(官方答案版)解答题有过程
普陀区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
普陀区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，若f （x ）=，则关于x 的方程f （x ）+a=0（0＜a ＜1）的所有根之和为（ ） A ．1﹣（）a B．（）a ﹣1C ．1﹣2aD ．2a ﹣12． P是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）右支上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为（ ）A ．aB ．bC ．cD ．a+b ﹣c3． “a ≠1”是“a 2≠1”的（ ） A ．充分不必条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4． 在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）1111] A ．(0,]6πB ．[,)6ππ C. (0,]3π D ．[,)3ππ 5． 已知f （x ）在R 上是奇函数，且满足f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （2015）=（ ） A ．2 B ．﹣2C ．8D ．﹣86．定义运算，例如．若已知，则=（ ）A． B． C．D．7． 由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为（ ） A ．45B ．90C ．120D ．3608． 高三年上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示，数据分组依次如下：[70，90），[90，110），[100，130），[130，150），估计该班级数学成绩的平均分等于（ ）A ．112B ．114C ．116D ．120班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________9． 设函数f （x ）满足f （x+π）=f （x ）+cosx ，当0≤x ≤π时，f （x ）=0，则f （）=（ ）A ．B ．C ．0D ．﹣10．已知函数()x e f x x=，关于x 的方程2()2()10f x af x a -+-=（a R Î）有3个相异的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．21(,)21e e -+?-B ．21(,)21e e --?-C ．21(0,)21e e --D ．2121e e 禳-镲睚-镲铪【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力．11．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数f （x ）=2x ﹣2，则函数y=|f （x ）|的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知双曲线的一条渐近线方程为y=x ，则实数m 等于 ．14．函数y=f （x ）的图象在点M （1，f （1））处的切线方程是y=3x ﹣2，则f （1）+f ′（1）= ．15．函数f （x ）=log a （x ﹣1）+2（a ＞0且a ≠1）过定点A ，则点A 的坐标为 ．16．从等边三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC=3+，则这两个正方形的面积之和的最小值为 ．17．已知θ是第四象限角，且sin （θ+）=，则tan （θ﹣）= ．18．已知偶函数f （x ）的图象关于直线x=3对称，且f （5）=1，则f （﹣1）= ．三、解答题19．设函数f （x ）=|x ﹣a|﹣2|x ﹣1|． （Ⅰ）当a=3时，解不等式f （x ）≥1；（Ⅱ）若f （x ）﹣|2x ﹣5|≤0对任意的x ∈[1，2]恒成立，求实数a 的取值范围．20．已知定义在[]3,2-的一次函数()f x 为单调增函数，且值域为[]2,7． （1）求()f x 的解析式；（2）求函数[()]f f x 的解析式并确定其定义域．21．已知函数f （x ）=．（1）求f （f （﹣2））；（2）画出函数f （x ）的图象，根据图象写出函数的单调增区间并求出函数f （x ）在区间（﹣4，0）上的值域．22．若{a n }的前n 项和为S n ，点（n ，S n ）均在函数y=的图象上．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设，T n 是数列{b n }的前n项和，求：使得对所有n ∈N *都成立的最大正整数m ．23．（14分）已知函数1()ln ,()ex x f x mx a x m g x -=--=，其中m ，a 均为实数．（1）求()g x 的极值； 3分（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立，求a 的最小值； 5分（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围． 6分24．已知集合A={x|x 2﹣5x ﹣6＜0}，集合B={x|6x 2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x ﹣m ）（m+9﹣x ）＞0} （1）求A ∩B（2）若A ∪C=C ，求实数m 的取值范围．普陀区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：由题意，关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）共有5个根，从左向右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则x≥1，f（x）=，对称轴为x=3，根据对称性，x≤﹣1时，函数的对称轴为x=﹣3，∴x1+x2=﹣6，x4+x5=6，∵0＜x＜1，f（x）=log2（x+1），∴﹣1＜x＜0时，0＜﹣x＜1，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x+1），∴﹣log2（1﹣x3）=﹣a，∴x3=1﹣2a，∴x1+x2+x3+x4+x5=﹣6+1﹣2a+6=1﹣2a，故选：C．2．【答案】A【解析】解：如图设切点分别为M，N，Q，则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与Q横坐标相同．由双曲线的定义，PF1﹣PF2=2a．由圆的切线性质PF1﹣PF2=F I M﹣F2N=F1Q﹣F2Q=2a，∵F1Q+F2Q=F1F2=2c，∴F2Q=c﹣a，OQ=a，Q横坐标为a．故选A．【点评】本题巧妙地借助于圆的切线的性质，强调了双曲线的定义．3．【答案】B【解析】解：由a2≠1，解得a≠±1．∴“a≠1”推不出“a2≠1”，反之由a2≠1，解得a≠1．∴“a≠1”是“a2≠1”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．【答案】C【解析】考点：三角形中正余弦定理的运用.5．【答案】B【解析】解：∵f（x+4）=f（x），∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1），又∵f（x）在R上是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故选B．【点评】本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．6．【答案】D【解析】解：由新定义可得，====．故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的三角函数，是基础题．7．【答案】B【解析】解：问题等价于从6个位置中各选出2个位置填上相同的1，2，3，所以由分步计数原理有：C62C42C22=90个不同的六位数，故选：B．【点评】本题考查了分步计数原理，关键是转化，属于中档题．8．【答案】B【解析】解：根据频率分布直方图，得；该班级数学成绩的平均分是=80×0.005×20+100×0.015×20+120×0.02×20+140×0.01×20=114．故选：B．【点评】本题考查了根据频率分布直方图，求数据的平均数的应用问题，是基础题目．9．【答案】D【解析】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+cosx，当0≤x＜π时，f（x）=1，∴f（）=f（）=f（）+cos=f（）+cos+cos=f（）+cos+cos=f（）+cos+cos=f（）+cos+cos+cos=0+cos﹣cos+cos=﹣．故选：D．【点评】本题考查抽象函数以及函数值的求法，诱导公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．10．【答案】D第Ⅱ卷（共90分）11．【答案】A【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=．故选：A．【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．12．【答案】B【解析】解：先做出y=2x的图象，在向下平移两个单位，得到y=f（x）的图象，再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f（x）|的图象．故选B【点评】本题考查含有绝对值的函数的图象问题，先作出y=f（x）的图象，再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f（x）|的图象．二、填空题13．【答案】4．【解析】解：∵双曲线的渐近线方程为y=x，又已知一条渐近线方程为y=x，∴=2，m=4，故答案为4．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得渐近线方程为y=x，是解题的关键．14．【答案】4．【解析】解：由题意得f′（1）=3，且f（1）=3×1﹣2=1所以f（1）+f′（1）=3+1=4．故答案为4．【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f（a）与f′（a）．15．【答案】（2，2）．【解析】解：∵log a1=0，∴当x﹣1=1，即x=2时，y=2，则函数y=log a（x﹣1）+2的图象恒过定点（2，2）．故答案为：（2，2）．【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用log a1=0，属于基础题．16．【答案】．【解析】解：设大小正方形的边长分别为x，y，（x，y＞0）．则+x+y+=3+，化为：x+y=3．则x2+y2=，当且仅当x=y=时取等号．∴这两个正方形的面积之和的最小值为．故答案为：．17．【答案】．【解析】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin （θ+）=，∴cos （θ+）=．∴cos （）=sin （θ+）=，sin （）=cos （θ+）=．则tan （θ﹣）=﹣tan （）=﹣=．故答案为：﹣．18．【答案】 1 ．【解析】解：f （x ）的图象关于直线x=3对称，且f （5）=1，则f （1）=f （5）=1， f （x ）是偶函数，所以f （﹣1）=f （1）=1． 故答案为：1．三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）f （x ）≥1，即|x ﹣3|﹣|2x ﹣2|≥1 x时，3﹣x+2x ﹣2≥1，∴x ≥0，∴0≤x ≤1；1＜x ＜3时，3﹣x ﹣2x+2≥1，∴x ≤，∴1＜x ≤；x ≥3时，x ﹣3﹣2x+2≥1，∴x ≤﹣2∴1＜x ≤，无解，…所以f （x ）≥1解集为[0，]．…（Ⅱ）当x ∈[1，2]时，f （x ）﹣|2x ﹣5|≤0可化为|x ﹣a|≤3， ∴a ﹣3≤x ≤a+3，…∴，…∴﹣1≤a ≤4．…20．【答案】（1）()5f x x =+，[]3,2x ∈-；（2）[]()10f f x x =+，{}3x ∈-. 【解析】试题解析：（1）设()(0)f x kx b k =+>，111] 由题意有：32,27,k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得1,5,k b =⎧⎨=⎩∴()5f x x =+，[]3,2x ∈-． （2）(())(5)10f f x f x x =+=+，{}3x ∈-．考点：待定系数法． 21．【答案】【解析】解：（1）函数f （x ）=．f （﹣2）=﹣2+2=0， f （f （﹣2））=f （0）=0.3分 （2）函数的图象如图：…单调增区间为（﹣∞，﹣1），（0，+∞）（开区间，闭区间都给分）… 由图可知：f （﹣4）=﹣2，f （﹣1）=1，函数f （x ）在区间（﹣4，0）上的值域（﹣2，1]．…12分．22．【答案】【解析】解：（1）由题意知：S n=n 2﹣n ，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=3n ﹣2， 当n=1时，a 1=1，适合上式， 则a n =3n ﹣2； （2）根据题意得：b n===﹣，T n =b 1+b 2+…+b n =1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，∴{T n }在n ∈N *上是增函数，∴（T n ）min =T 1=，要使T n＞对所有n ∈N *都成立，只需＜，即m ＜15，则最大的正整数m 为14．23．【答案】解：（1）e(1)()e xx g x -'=，令()0g x '=，得x = 1． 列表如下：∵g （1） = 1，∴y =()g x 的极大值为1，无极小值． 3分（2）当1,0m a =<时，()ln 1f x x a x =--，(0,)x ∈+∞．∵()0x af x x -'=>在[3,4]恒成立，∴()f x 在[3,4]上为增函数． 设1e ()()e x h xg x x ==，∵12e (1)()x x h x x--'=> 0在[3,4]恒成立，∴()h x 在[3,4]上为增函数． 设21x x >，则212111()()()()f x f xg x g x -<-等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-， 即2211()()()()f x h x f x h x -<-．设1e ()()()ln 1e xu x f x h x x a x x=-=---⋅，则u （x ）在[3,4]为减函数．∴21e (1)()10e xa x u x x x -'=--⋅≤在（3，4）上恒成立． ∴11e e x x a x x---+≥恒成立． 设11e ()e x x v x x x --=-+，∵112e (1)()1e x x x v x x ---'=-+=121131e [()]24x x ---+，x ∈[3，4]，∴1221133e [()]e 1244x x --+>>，∴()v x '< 0，()v x 为减函数．∴()v x 在[3，4]上的最大值为v （3） = 3 -22e 3．∴a ≥3 -22e 3，∴a 的最小值为3 -22e 3． 8分（3）由（1）知()g x 在(0,e]上的值域为(0,1]．∵()2ln f x mx x m =--，(0,)x ∈+∞，当0m =时，()2ln f x x =-在(0,e]为减函数，不合题意．当0m ≠时，2()()m x m f x x-'=，由题意知()f x 在(0,e]不单调， 所以20e m <<，即2em >．①此时()f x 在2(0,)m 上递减，在2(,e)m上递增，∴(e)1f ≥，即(e)e 21f m m =--≥，解得3e 1m -≥．②由①②，得3e 1m -≥．∵1(0,e]∈，∴2()(1)0f f m =≤成立．下证存在2(0,]t m∈，使得()f t ≥1．取e m t -=，先证e 2m m-<，即证2e 0m m ->．③设()2e x w x x =-，则()2e 10x w x '=->在3[,)e 1+∞-时恒成立．∴()w x 在3[,)e 1+∞-时为增函数．∴3e ))01((w x w ->≥，∴③成立．再证()e m f -≥1．∵e e 3()1e 1m m f m m m --+=>>-≥，∴3e 1m -≥时，命题成立． 综上所述，m 的取值范围为3[,)e 1+∞-． 14分24．【答案】【解析】解：由合A={x|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|6x2﹣5x+1≥0}，集合C={x|（x﹣m）（m+9﹣x）＞0}．∴A={x|﹣1＜x＜6}，，C={x|m＜x＜m+9}．（1），（2）由A∪C=C，可得A⊆C．即，解得﹣3≤m≤﹣1．。
2018年上海市普陀区高考数学一模试卷
2018年上海市普陀区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 设全集U ={1, 2, 3, 4, 5}，若集合A ={3, 4, 5}，则∁U A =________． 【答案】 {1, 2} 【考点】 补集及其运算 【解析】利用补集定义直接求解． 【解答】∵ 全集U ={1, 2, 3, 4, 5}， 集合A ={3, 4, 5}， ∴ ∁U A ={1, 2}．2. 若sinθ=14，则cos(3π2+θ)=________． 【答案】14【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】由已知利用诱导公式即可化简求值得解． 【解答】 sinθ=14，∴ cos(3π2+θ)=sinθ=14．3. 方程log 2(2−x)+log 2(3−x)=log 212的解x =________． 【答案】 −1【考点】对数的运算性质 【解析】利用对数的性质、运算法则直接求解． 【解答】∵ 方程log 2(2−x)+log 2(3−x)=log 212， ∴ {2−x >03−x >0(2−x)(3−x)=12 ，即{x <2x 2−5x −6=0 ，解得x =−1．4. (√x −1x )9的二项展开式中的常数项的值为________．【考点】二项式定理的应用 【解析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得r 值，则答案可求． 【解答】二项展开式的通项T r+1=C 9r ∗(√x)9−r∗(−1x )r=(−1)r∗C 9r ∗x9−3r 2，由9−3r 2=0，得r =3．∴ (√x −1x )9的二项展开式中的常数项为T 4=(−1)3∗C 93=−84．5. 不等式1|x−1|≥1的解集为________． 【答案】[0, 1)∪(1, 2] 【考点】其他不等式的解法 【解析】去绝对值求出不等式的解集即可． 【解答】 由题意得：{x −1≠0|x −1|≤1 ，解得：0≤x <1或1<x ≤2，6. 函数f(x)=√3sinx +2cos 2x2的值域为________．【答案】 [−1, 3] 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】由二倍角的余弦函数公式，两角和的正弦函数公式化简函数解析式，利用正弦函数的图象和性质即可得解． 【解答】∵ f(x)=√3sinx +2cos 2x2=√3sinx +cosx +1=2sin(x +π6)+1， ∵ sin(x +π6)∈[−1, 1]，∴ f(x)=2sin(x +π6)+1∈[−1, 3]．7. 已知i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若|z 1+i12i |=0，则z 在复平面内所对应的点所在的象限为第________象限．【考点】二阶矩阵【解析】根据二阶行列的展开式，求得z×2i−(1+i)=0，设z=a+bi，代入即可求得a和b 的值，求得z，即可判断z在复平面内所对应的点所在的象限．【解答】|z1+i12i|=0，设z=a+bi，则z×2i−(1+i)=0，即(a+bi)×2i−1−i=0，则2ai−2b−1−i=0，∴−2b−1+(2a−1)i=0，则{2a−1=0−2b−1=0，则{a=12b=−12，∴z=12−12i，则z=12+12i，∴则z在复平面内所对应的点位于第一象限，8. 若数列{a n}的前n项和S n=−3n2+2n+1(n∈N∗)，则limn→∞a n3n=________．【答案】−2【考点】数列的极限【解析】由数列的递推式：n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n−S n−1，可得通项a n，再由数列的极限的求法，即可得到所求极限．【解答】数列{a n}的前n项和S n=−3n2+2n+1(n∈N∗)，可得n=1时，a1=S1=−3+2+1=0；当n≥2时，a n=S n−S n−1=−3n2+2n+1+3(n−1)2−2n+2−1=−6n+5，则limn→∞a n3n=limn→∞5−6n3n=limn→∞(−2+53n)=−2+0=−2．9. 若直线l:x+y=5与曲线C:x2+y2=16交于两点A(x1, y1)、B(x2, y2)，则x1y2+x2y1的值为________．【答案】16【考点】直线与圆的位置关系【解析】直接利用圆与直线的位置关系，建立一元二次方程根与系数的关系，进一步求出结果．【解答】直线l:x+y=5与曲线C:x2+y2=16交于两点A(x1, y1)、B(x2, y2)，则：{x +y =5x 2+y 2=16，所以：2x 2−10x +9=0， 则：x 1+x 2=5，x 1x 2=92，则：x 1y 2+x 2y 1=x 1(5−x 2)+x 2(5−x 1)， =5(x 1+x 2)−2x 1x 2， =25−9， =16．10. 设a 1、a 2、a 3、a 4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i(i =1, 2, 3, 4)使得a i =i 成立，则满足此条件的不同排列的个数为________． 【答案】 15【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】根据题意，用间接法分析：先a 1、a 2、a 3、a 4计算所有的排列数，再用分步计数原理计算不存在i(i =1, 2, 3, 4)使得a i =i 成立的情况数，两者相减即可得答案． 【解答】根据题意，a 1、a 2、a 3、a 4是1，2，3，4的一个排列， 则所有的排列有A 44=24个，假设不存在i(i =1, 2, 3, 4)使得a i =i 成立，则a 1可以在第2、3、4位置，有3种情况， 假设a 1在第二个位置，则a 1可以在第1、3、4位置，也有3种情况， 此时a 3、a 4只有1种排法，剩余的两个数在其余两个位置，有1种情况，则不存在i(i =1, 2, 3, 4)使得a i =i 成立的情况有3×3=9种，则至少有一个i(i =1, 2, 3, 4)使得a i =i 成立排列数有24−9=15个；11. 已知正三角形ABC 的边长为√3，点M 是△ABC 所在平面内的任一动点，若|MA →|=1，则|MA →+MB →+MC →|的取值范围为________． 【答案】 [0, 6] 【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】以A 点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设M(cosθ, sinθ)，根据向量的坐标运算和向量的模可得|MA →+MB →+MC →|2=18−18sin(θ+π3)，再根据三角函数的性质即可求出范围 【解答】以A 点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0, 0)，B(√3, 0)，C(√32, 32)，∵ |MA →|=1，不妨设M(cosθ, sinθ)，∴MA→+MB→+MC→=(−cosθ, −sinθ)+(√3−cosθ, −sinθ)+(√32−cosθ, 32−sinθ)=(3√32−3cosθ, 32−3sinθ)，∴|MA→+MB→+MC→|2=(3√32−3cosθ)2+(32−3sinθ)2=9(2−√3cosθ−sinθ)=18−18sin(θ+π3)，∵−1≤sin(θ+π3)≤1，∴0≤18−18sin(θ+π3)≤36，∴|MA→+MB→+MC→|的取值范围为[0, 6]，12. 双曲线x23−y2=1绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f(x)的图象，关于此函数f(x)有如下四个命题：①f(x)是奇函数；②f(x)的图象过点(√32,32)或(√32,−32)；③f(x)的值域是(−∞,−32brack∪[32,+∞)；④函数y=f(x)−x有两个零点；则其中所有真命题的序号为________．【答案】①②【考点】双曲线的特性【解析】求出双曲线的对称中心和顶点坐标和渐近线方程，画出f(x)的图象（位于一三象限），对选项一一判断，由对称性可得f(x)的图象在二四象限的情况，即可得到答案．【解答】双曲线x23−y2=1关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数f(x)的图象关于原点对称，即有f(x)为奇函数，故①对；由双曲线的顶点为(±√3, 0)，渐近线方程为y=±√33x，可得f(x)的图象的渐近线为x=0和y=±√33x，图象关于直线y=√3x对称，可得f(x)的图象过点(√32,32)，或(√32,−32)，由对称性可得f(x)的图象按逆时针60∘旋转位于一三象限；按顺时针旋转60∘位于二四象限；故②对；f(x)的图象按逆时针旋转60∘位于一三象限， 由图象可得顶点为点(√32,32)，或(√32,−32)，不是极值点，则f(x)的值域不是(−∞,−32brack ∪[32,+∞)； f(x)的图象按顺时针旋转60∘位于二四象限，由对称性可得f(x)的值域也不是(−∞,−32brack ∪[32,+∞)．故③不对；当f(x)的图象位于一三象限时，f(x)的图象与直线y =x 有两个交点， 函数y =f(x)−x 有两个零点；当f(x)的图象位于二四象限时，f(x)的图象与直线y =x 没有交点， 函数y =f(x)−x 没有零点． 故④错．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）若数列{a n }(n ∈N ∗)是等比数列，则矩阵(a 1a 2a 4a 5a 6a 8)所表示方程组的解的个数是（ ）A.0个B.1个C.无数个D.不确定【答案】 C【考点】等比数列的性质 等比数列的通项公式线性方程组解的存在性，唯一性 【解析】根据题意，分析矩阵所表示的方程组为{a 1x +a 2y =a4a 5x +a 6y =a 8，进而由等比数列的性质可得a 1a 5=a 2a 6=a 4a 8=1q 4，进而分析可得方程组的解的个数，即可得答案．【解答】根据题意，矩阵(a 1a 2a 4a5a 6a 8)所表示方程组为{a 1x +a 2y =a 4a 5x +a 6y =a 8 ，又由数列{a n }(n ∈N ∗)是等比数列，则有a1a 5=a2a 6=a4a 8=1q 4，则方程组{a 1x +a 2y =a4a 5x +a 6y =a 8的解有无数个；“m >0”是“函数f(x)=|x(mx +2)|在区间(0, +∞)上为增函数”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件 【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】m >0，函数f(x)=|x(mx +2)|=|mx 2+2x|，由f(0)=0，得到f(x)在区间(0, +∞)上为增函数”；由函数f(x)=|x(mx +2)|=|mx 2+2x|在区间(0, +∞)上为增函数，得到m ∈R ，由此能求出结果． 【解答】 ∵ m >0，∴ 函数f(x)=|x(mx +2)|=|mx 2+2x|，∵ f(0)=0，∴ f(x)在区间(0, +∞)上为增函数”；∵ 函数f(x)=|x(mx +2)|=|mx 2+2x|在区间(0, +∞)上为增函数， f(0)=0， ∴ m ∈R ，∴ “m >0”是“函数f(x)=|x(mx +2)|在区间(0, +∞)上为增函数”的充分非必要条件．用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm ）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（ ） A.258cm 2 B.414cm 2 C.416cm 2 D.418cm 2 【答案】 C【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】设长方体的三条棱分别为a ，b ，c ，则长方体的表面积S =2(ab +bc +ac)，由不等式的基本性质可知，当a ，b ，c 最接近时能够得到的长方体的表面积最大，由此可得用2、6连接，3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，则最大表面积可求． 【解答】设长方体的三条棱分别为a ，b ，c ，则长方体的表面积S =2(ab +bc +ac)≤(a +b)2+(b +c)2+(a +c)2， 当且仅当a =b =c 时上式“=”成立． 由题意可知，a ，b ，c 不可能相等，故考虑当a ，b ，c 三边长最接近时面积最大，此时三边长为8，8，9， 用2、6连接，3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，此时能够得到的长方体的最大表面积为2(8×8+8×9+8×9)=416(cm 2)．定义在R 上的函数f(x)满足f(x)={2x +20≤x <14−2−x −1≤x <0 ，且f(x −1)=f(x +1)，则函数g(x)=f(x)−3x−5x−2在区间[−1, 5]上的所有零点之和为（ ）A.4B.5C.7D.8 【答案】 B【考点】函数零点的判定定理 【解析】把方程f(x)=g(x)在区间[−1, 5]上的根转化为函数y =f(x)和y =g(x)的交点横坐标，画出函数图象，数形结合得答案． 【解答】∵ 函数f(x)={2x +20≤x <14−2−x −1≤x <0 ，且f(x −1)=f(x +1)，函数的周期为2，函数g(x)=f(x)−3x−5x−2，的零点，就是y =f(x)与y =3x−5x−2图象的交点的横坐标，∴ y =f(x)关于点(0, 3)中心对称，将函数两次向右平移2个单位，得到函数y =f(x)在[−1, 5]上的图象，每段曲线不包含右端点（如下图），去掉端点后关于(2, 3)中心对称． 又∵ y =3x−5x−2=3+1x−2关于(2, 3)中心对称，故方程f(x)=g(x)在区间[−1, 5]上的根就是函数y =f(x)和y =g(x)的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为x 1，x 2，x 3，其中x 1和x 3关于(2, 3)中心对称， ∴ x 1+x 3=4，x 2=1， 故x 1+x 2+x 3=5．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）如图所示的圆锥的体积为√33π，底面直径AB =2，点C 是弧AB^的中点，点D 是母线PA 的中点．（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB 与CD 所成角的大小．【答案】∵ 圆锥的体积为√33π，底面直径AB =2，∴ 13π×12×PO =√33π，解得PO =√3，∴ PA =√(√3)2+12=2，∴ 该圆锥的侧面积S =πrl =π×1×2=2π． ∵ 圆锥的体积为√33π，底面直径AB =2，点C 是弧AB^的中点，点D 是母线PA 的中点． ∴ PO ⊥平面ABC ，OC ⊥AB ，∴ 以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，则A(0, −1, 0)，P(0, 0, √3)，D(0, −12, √32)，B(0, 1, 0)，C(1, 0, 0)，PB →=(0, 1, −√3)，CD →=(−1, −12, √32)， 设异面直线PB 与CD 所成角为θ， 则cosθ=|PB →∗CD →||PB →|∗|CD →|=2√2=√22， ∴ θ=π4．∴ 异面直线PB 与CD 所成角为π4．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 异面直线及其所成的角 【解析】（1）由圆锥的体积为√33π，底面直径AB =2，求出PO =√3，从而PA =2，由此能求出该圆锥的侧面积．（2）以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PB 与CD 所成角． 【解答】∵ 圆锥的体积为√33π，底面直径AB =2，∴ 13π×12×PO =√33π，解得PO =√3，∴ PA =√(√3)2+12=2，∴ 该圆锥的侧面积S =πrl =π×1×2=2π． ∵ 圆锥的体积为√33π，底面直径AB =2，点C 是弧AB^的中点，点D 是母线PA 的中点． ∴ PO ⊥平面ABC ，OC ⊥AB ，∴ 以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，则A(0, −1, 0)，P(0, 0, √3)，D(0, −12, √32)，B(0, 1, 0)，C(1, 0, 0)，PB →=(0, 1, −√3)，CD →=(−1, −12, √32)， 设异面直线PB 与CD 所成角为θ， 则cosθ=|PB →∗CD →||PB →|∗|CD →|=2√2=√22， ∴ θ=π4．∴ 异面直线PB 与CD 所成角为π4．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p(x)=1600x 2+x +150万元．(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q(m)={815m(60−m),(1≤m ≤30),480,(m >30)（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时， 用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【答案】解：(1)由总成本p(x)=1600x 2+x +150万元，可得每台机器人的平均成本y=p(x)x =1600x2+x+150x=1600x+150x+1≥2√1600x⋅150x+1=2．当且仅当1600x=150x，即x=300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q(m)={815m(60−m),(1≤m≤30), 480,(m>30),当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m(60−m)=−160m2+9600m，∴当m=30时，日平均分拣量有最大值144000．当m>30时，日平均分拣量为480×300=144000．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为1440001200=120人．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120−30120=75%．【考点】基本不等式在最值问题中的应用根据实际问题选择函数类型【解析】（1）由总成本p(x)=1600x2+x+150万元，可得每台机器人的平均成本y=p(x)x，然后利用基本不等式求最值；（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q(m)={815m(60−m)(1≤m≤30)480(m>30)，分段求出300台机器人的日平均分拣量的最大值及所用人数，再由最大值除以1200，可得分拣量达最大值时所需传统分拣需要人数，则答案可求．【解答】解：(1)由总成本p(x)=1600x2+x+150万元，可得每台机器人的平均成本y=p(x)x =1600x2+x+150x=1600x+150x+1≥2√1600x⋅150x+1=2．当且仅当1600x=150x，即x=300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q(m)={815m(60−m),(1≤m≤30), 480,(m>30),当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m(60−m)=−160m2+9600m，∴当m=30时，日平均分拣量有最大值144000．当m>30时，日平均分拣量为480×300=144000．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为1440001200=120人．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少120−30120=75%．设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)，已知角φ的终边经过点(1,−√3)，点M(x1, y1)、N(x2, y2)是函数f(x)图象上的任意两点，当|f(x1)−f(x2)|=2时，|x1−x2|的最小值是π2．（1）求函数y=f(x)的解析式；（2）已知△ABC面积为5√3，角C所对的边c=2√5，cosC=f(π4)，求△ABC的周长．【答案】已知角φ的终边经过点(1,−√3)，且|ϕ|<π2，则：φ=−π3，点M(x1, y1)、N(x2, y2)是函数f(x)图象上的任意两点，当|f(x1)−f(x2)|=2时，|x1−x2|的最小值是π2．则：T=π，所以：ω=2ππ=2，所以：f(x)=sin(2x−π3)；由于：cosC=f(π4)=sin(π2−π3)=12，且0<C<π，解得：C=π3，△ABC面积为5√3，所以：12absinC=5√3，解得：ab=20．由于：c2=a2+b2−2abcosC，c=2√5，所以：20=(a+b)2−3ab，解得：a+b=4√5，所以：C△ABC=a+b+c=6√5．【考点】正弦函数的图象【解析】（1）直接利用已知条件和函数的图象求出函数的解析式，（2）利用函数的解析式求出C的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果． 【解答】已知角φ的终边经过点(1,−√3)，且|ϕ|<π2， 则：φ=−π3，点M(x 1, y 1)、N(x 2, y 2)是函数f(x)图象上的任意两点， 当|f(x 1)−f(x 2)|=2时，|x 1−x 2|的最小值是π2． 则：T =π， 所以：ω=2ππ=2，所以：f(x)=sin(2x −π3)；由于：cosC =f(π4)=sin(π2−π3)=12， 且0<C <π， 解得：C =π3， △ABC 面积为5√3， 所以：12absinC =5√3，解得：ab =20．由于：c 2=a 2+b 2−2abcosC ，c =2√5， 所以：20=(a +b)2−3ab ， 解得：a +b =4√5，所以：C △ABC =a +b +c =6√5．设点F 1、F 2分别是椭圆C:x 22t 2+y 2t 2=1(t >0)的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为2√2−2，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量F 1M →与向量F 2N →平行．（1）求椭圆C 的方程；（2）当F 1N →∗F 2N →=0时，求△F 1MN 的面积；（3）当|F 2N →|−|F 1M →|=√6时，求直线F 2N 的方程． 【答案】点F 1、F 2分别是椭圆C:x 22t 2+y 2t 2=1(t >0)的左、右焦点，∴ a =√2t ，c =t ，∵ 椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为2√2−2， ∴ a −c =√2t −t =2√2−2，解得t =2， ∴ 椭圆的方程为x 28+y 24=1，由（1）可得F 1(−2, 0)，F 2(2, 0)，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点， 可设N(2√2cosθ, 2sinθ)，∴ F 1N →=(2√2cosθ+2, 2sinθ)，F 2N →=(2√2cosθ−2, 2sinθ)， ∵ F 1N →∗F 2N →=0，∴ (2√2cosθ+2)(2√2cosθ−2)+4sin 2θ=0， 解得cosθ=0，sinθ=1， ∴ N(0, 2)， ∴ F 2N →=(−2, 2)， ∴ kF 2N =22=−1，∵ 向量F 1M →与向量F 2N →平行， ∴ 直线F 1M 的斜率为−1， ∴ 直线方程为y =−x −2，联立方程组{y =−x −2x 28+y 24=1，解得x =0，y =−2（舍去），或x =−83，y =23，∴ M(−83, 23)，∴ |F 1M|=√(−83+2)2+(23)2=2√23，点N 到直线直线y =−x −2的距离为d =√2=2√2， ∴ △F 1MN 的面积=12|F 1M|⋅d =12×2√23×2√2=43，∵ 向量F 1M →与向量F 2N →平行， ∴ λF 1M →=F 2N →， ∴ |F 2N →|−|F 1M →|=√6， ∴ (λ−1)|F 1M →|=√6，即λ>1， 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，∴ λ(x 1+2)=x 2−2，y 2=λy 1， ∴ x 2=λx 1+2(λ+1) ∵x 28+y 24=1，∴ x 22+2y 22=8，∴ [λx 1+2(λ+1)]2+2λ2y 12=12λ2+8λ+4+4λ(λ+1)x 1=8，∴ 4λ(λ+1)x 1=(1−3λ)(λ+1)， ∴ x 1=1−3λλ=1λ−3，∴ y 12=4−(1−3λ)22λ，∴ |F 1M →|2=(x 1+2)2+y 12=(1λ−3+2)2+4−(1−3λ)22λ=(λ+1)22λ2，∴ |F 1M →|=√2λ， ∴ (λ−1)2λ=√6，∴ λ2−2√3λ−1=0解得λ=2+√3，或λ=2−√3（舍去） ∴ x 1=1λ−3=2+√33=−1−√3，∴ y 12=4−(−1−√3)22=2−√3=4−2√32=(√3−1)22， ∴ y 1=√3−1√2，∴ kF 1M=√3−1√2−0−1−√3+2=−√22， ∴ 直线F 2N 的方程为y −0=−√22(x −2)，即为x +√2y −2=0 【考点】 椭圆的定义 【解析】（1）根据椭圆的简单性质可得a −c =√2t −t =2√2−2，解得即可，（2）可设N(2√2cosθ, 2sinθ)，根据向量的数量积求出点N 的坐标，再根据直线平行，求出M 的坐标，利用两点间的距离公式和点到直线的距离公式和三角形的面积公式计算即可， （3）向量F 1M →与向量F 2N →平行，不妨设λF 1M →=F 2N →，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，根据坐标之间的关系，求得M 的坐标，再根据向量的模，即可求出λ的值，根据斜率公式求出直线的斜率，根据直线平行和点斜式即可求出直线方程． 【解答】点F 1、F 2分别是椭圆C:x 22t 2+y 2t 2=1(t >0)的左、右焦点，∴ a =√2t ，c =t ，∵ 椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为2√2−2， ∴ a −c =√2t −t =2√2−2， 解得t =2， ∴ 椭圆的方程为x 28+y 24=1，由（1）可得F 1(−2, 0)，F 2(2, 0)，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点， 可设N(2√2cosθ, 2sinθ)，∴ F 1N →=(2√2cosθ+2, 2sinθ)，F 2N →=(2√2cosθ−2, 2sinθ)， ∵ F 1N →∗F 2N →=0，∴ (2√2cosθ+2)(2√2cosθ−2)+4sin 2θ=0， 解得cosθ=0，sinθ=1， ∴ N(0, 2)， ∴ F 2N →=(−2, 2)， ∴ kF 2N =22=−1，∵ 向量F 1M →与向量F 2N →平行， ∴ 直线F 1M 的斜率为−1， ∴ 直线方程为y =−x −2，联立方程组{y =−x −2x 28+y 24=1 ，解得x =0，y =−2（舍去），或x =−83，y =23，∴ M(−83, 23)，∴ |F 1M|=√(−83+2)2+(23)2=2√23， 点N 到直线直线y =−x −2的距离为d =√2=2√2， ∴ △F 1MN 的面积=12|F 1M|⋅d =12×2√23×2√2=43，∵ 向量F 1M →与向量F 2N →平行， ∴ λF 1M →=F 2N →， ∴ |F 2N →|−|F 1M →|=√6， ∴ (λ−1)|F 1M →|=√6，即λ>1， 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，∴ λ(x 1+2)=x 2−2，y 2=λy 1， ∴ x 2=λx 1+2(λ+1) ∵x 28+y 24=1，∴ x 22+2y 22=8，∴ [λx 1+2(λ+1)]2+2λ2y 12=12λ2+8λ+4+4λ(λ+1)x 1=8，∴ 4λ(λ+1)x 1=(1−3λ)(λ+1)，∴ x 1=1−3λλ=1λ−3，∴ y 12=4−(1−3λ)22λ，∴ |F 1M →|2=(x 1+2)2+y 12=(1λ−3+2)2+4−(1−3λ)22λ=(λ+1)22λ2，∴ |F 1M →|=√2λ， ∴ (λ−1)√2λ=√6，∴ λ2−2√3λ−1=0解得λ=2+√3，或λ=2−√3（舍去） ∴ x 1=1λ−3=2+√33=−1−√3，∴ y 12=4−(−1−√3)22=2−√3=4−2√32=(√3−1)22， ∴ y 1=√3−1√2，∴ kF 1M=√3−1√2−0−1−√3+2=−√22，∴ 直线F 2N 的方程为y −0=−√22(x −2)，即为x +√2y −2=0设d 为等差数列{a n }的公差，数列{b n }的前n 项和T n ，满足T n +12n =(−1)n b n (n ∈N ∗)，且d =a 5=b 2，若实数m ∈P k ={x|a k−2<x <a k+3}(k ∈N ∗, k ≥3)，则称m 具有性质P k ．（1）请判断b 1、b 2是否具有性质P 6，并说明理由；（2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n −2λa n }是单调递增数列，求证：对任意的k(k ∈N ∗, k ≥3)，实数λ都不具有性质P k ；（3）设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N ∗，H 2n−1都具有性质P k ，求所有满足条件的k 的值． 【答案】T n +12n =(−1)n b n (n ∈N ∗)， 可得n =1时，T 1+12=−b 1=−T 1， 解得b 1=−14，T 2+14=b 2=−14+b 2+14=b 2，T 3+18=−b 3=−14+b 2+b 3+18，即b 2+2b 3=18， T 4+116=b 4=−14+b 2+b 3+b 4+116，即b 2+b 3=316， 解得b 2=14，b 3=−116， 同理可得b 4=116，b 5=−164， b 6=164，b 7=−1256，…，b 2n−1=−14n ，d =a 5=b 2，可得d =a 1+4d =14， 解得a 1=−34，d =14，a n =n−44，P 6={x|a 4<x <a 9}(k ∈N ∗, k ≥3)={x|0<x <54}，则b 1不具有性质P 6，b 2具有性质P 6；证明：设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n −2λa n }是单调递增数列， 可得S n+1−2λa n+1≥S n −2λa n ， 即为(n+1)2−7(n+1)−4λ(n+1)+16λ8≥n 2−7n−4λn+16λ8，化为4λ+6≤2n 对n 为一切自然数成立， 即有4λ+6≤2，可得λ≤−1，又P k ={x|a k−2<x <a k+3}(k ∈N ∗, k ≥3)， 且a 1=−34，d >0，可得P k 中的元素大于−1，则对任意的k(k ∈N ∗, k ≥3)，实数λ都不具有性质P k ；设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N ∗，H 2n−1都具有性质P k ，由于H 1=T 1=b 1=−14，H 3=T 1+T 2+T 3=−516，H 5=T 1+T 2+T 3+T 4+T 5=−2164， H 7=−2164+0−1256=−85256，…，H 2n−1=H 2n−3+b 2n−1，(n ≥2)，当k =3时，P 3={x|a 1<x <a 6}={x|−34<x <12}， 当k =4时，P 4={x|a 2<x <a 7}={x|−12<x <34}， 当k =5时，P 5={x|a 3<x <a 8}={x|−14<x <1}， 当k =6时，P 3={x|a 4<x <a 9}={x|0<x <54}，显然k =5，6不成立，故所有满足条件的k 的值为3，4． 【考点】 数列的求和 【解析】（1）求得n =1，2，3，4，5，6，7时，数列{b n }的前7项，可得d 和首项a 1，得到等差数列{a n }的通项，即可判断b 1、b 2是否具有性质P 6；（2）由题意可得S n+1−2λa n+1≥S n −2λa n ，代入等差数列{a n }的通项公式和求和公式，化简整理可得λ≤−1，结合集合中元素的特点，即可得证；（3）求得n =1，2，3，4，H 2n−1的特点，结合k =3，4，5，6，集合的特点，即可得到所求取值． 【解答】T n +12n =(−1)n b n (n ∈N ∗)，可得n =1时，T 1+12=−b 1=−T 1， 解得b 1=−14，T 2+14=b 2=−14+b 2+14=b 2，T 3+18=−b 3=−14+b 2+b 3+18，即b 2+2b 3=18，T 4+116=b 4=−14+b 2+b 3+b 4+116，即b 2+b 3=316， 解得b 2=14，b 3=−116， 同理可得b 4=116，b 5=−164， b 6=164，b 7=−1256， …，b 2n−1=−14n ，d =a 5=b 2，可得d =a 1+4d =14， 解得a 1=−34，d =14，a n =n−44，P 6={x|a 4<x <a 9}(k ∈N ∗, k ≥3)={x|0<x <54}，则b 1不具有性质P 6，b 2具有性质P 6；证明：设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n −2λa n }是单调递增数列， 可得S n+1−2λa n+1≥S n −2λa n ， 即为(n+1)2−7(n+1)−4λ(n+1)+16λ8≥n 2−7n−4λn+16λ8，化为4λ+6≤2n 对n 为一切自然数成立， 即有4λ+6≤2，可得λ≤−1，又P k ={x|a k−2<x <a k+3}(k ∈N ∗, k ≥3)， 且a 1=−34，d >0，可得P k 中的元素大于−1，则对任意的k(k ∈N ∗, k ≥3)，实数λ都不具有性质P k ；设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N ∗，H 2n−1都具有性质P k ，由于H 1=T 1=b 1=−14，H 3=T 1+T 2+T 3=−516，H 5=T 1+T 2+T 3+T 4+T 5=−2164，H 7=−2164+0−1256=−85256，…，H 2n−1=H 2n−3+b 2n−1，(n ≥2)， 当k =3时，P 3={x|a 1<x <a 6}={x|−34<x <12}， 当k =4时，P 4={x|a 2<x <a 7}={x|−12<x <34}， 当k =5时，P 5={x|a 3<x <a 8}={x|−14<x <1}，}，当k=6时，P3={x|a4<x<a9}={x|0<x<54显然k=5，6不成立，故所有满足条件的k的值为3，4．。
普陀区一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
普陀区一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 已知集合{}{2|5,x |y ,A y y x B A B ==-+===（ ）A ．[)1,+∞B ．[]1,3C ．(]3,5D ．[]3,5【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力．2． 已知a n=（n ∈N *），则在数列{a n }的前30项中最大项和最小项分别是（ ）A ．a 1，a 30B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 303． 两个随机变量x ，y 的取值表为若x ，y 具有线性相关关系，且y ^＝bx ＋2.6，则下列四个结论错误的是（ ）A ．x 与y 是正相关B ．当y 的估计值为8.3时，x ＝6C ．随机误差e 的均值为0D ．样本点（3，4.8）的残差为0.654． 已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（a －x ），x ＜12x ，x ≥1若f （－6）＋f （log 26）＝9，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15． 已知双曲线kx 2﹣y 2=1（k ＞0）的一条渐近线与直线2x+y ﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（ ） A ．B ．C ．4D ．6． 已知△ABC 中，a=1，b=，B=45°，则角A 等于（ ）A ．150°B ．90°C ．60°D ．30° 7． 已知直线mx ﹣y+1=0交抛物线y=x 2于A 、B 两点，则△AOB （ ）A ．为直角三角形B ．为锐角三角形C ．为钝角三角形D ．前三种形状都有可能8．三个数a=0.52，b=log 20.5，c=20.5之间的大小关系是（） A ．b ＜a ＜c B ．a＜c ＜b C ．a ＜b ＜c D ．b ＜c ＜a 9． 已知向量=（﹣1，3），=（x ，2），且，则x=（ ）A ．B ．C ．D ．班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________10．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F 1MF 2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A ．2B ．C ．D ．411．若，，且，则λ与μ的值分别为（ ）A ．B ．5，2C ．D ．﹣5，﹣212．（2011辽宁）设sin （+θ）=，则sin2θ=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．二、填空题13．已知a=（cosx ﹣sinx ）dx ，则二项式（x 2﹣）6展开式中的常数项是 ．14．（sinx+1）dx 的值为 ．15．已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ，则数列的通项a n = ．16．已知z 是复数，且|z|=1，则|z ﹣3+4i|的最大值为 ．17．一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．18．分别在区间[0,1]、[1,]e 上任意选取一个实数a b 、，则随机事件“ln a b ”的概率为_________.三、解答题19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ⊥PA ，BC=2AB=2AD=4BE ，平面PAB ⊥平面ABCD ，（Ⅰ）求证：平面PED ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若直线PE 与平面PAC 所成的角的正弦值为，求二面角A ﹣PC ﹣D 的平面角的余弦值．20．已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标．21．已知f（x）=x2﹣（a+b）x+3a．（1）若不等式f（x）≤0的解集为[1，3]，求实数a，b的值；（2）若b=3，求不等式f（x）＞0的解集．22．已知函数f（x）=|x﹣m|，关于x的不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，5]．（1）求实数m的值；（2）已知a，b，c∈R，且a﹣2b+2c=m，求a2+b2+c2的最小值．23．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（）=f（x1）﹣f（x2）．（1）求f（1）的值；（2）若当x＞1时，有f（x）＜0．求证：f（x）为单调递减函数；（3）在（2）的条件下，若f（5）=﹣1，求f（x）在[3，25]上的最小值．24．已知函数．（1）求f（x）的周期和及其图象的对称中心；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．普陀区一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题13．240．14．2．15．2n﹣1．16．6．17．2．18．1 ee三、解答题19．20．21．22．23．24．。
年普陀区高考数学一模试卷含答案
2018年普陀区高考数学一模试卷含答案2017.１２一. 填空题(本大题共12题,1-６每题４分,７-12每题5分，共54分） 1. 设全集{1,2,3,4,5}U =，若集合{3,4,5}A =,则U C A = 2. 若1sin 4θ=,则3cos()2πθ+= 3. 方程222log (2)log (3)log 12x x -+-=的解x =4. 91)x的二项展开式中的常数项的值为5. 不等式11|1|x ≥-的解集为6. 函数2()2cos 2xf x x =+的值域为7. 已知i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数,若1012z ii+=，则z 在复平面内所对应的点所在的象限为第 象限8． 若数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-++(*n N ∈)，则lim3nn a n→∞=9. 若直线:5l x y +=与曲线22:16C x y +=交于两点11(,)A x y 、22(,)B x y ,则1221x y x y +的值为１0． 设1a 、2a 、3a 、4a 是1,2,3，４的一个排列,若至少有一个i (1,2,3,4i =）使得i a i =成立，则满足此条件的不同排列的个数为11. 已知正三角形ABC 点M 是ABC ∆所在平面内的任一动点,若||1MA =, 则||MA MB MC ++的取值范围为1２. 双曲线2213x y -=绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数()f x 的图像，关于此函 数()f x 有如下四个命题：① ()f x 是奇函数；② ()f x 的图像过点3()22或3)22-； ③ ()f x 的值域是33(,][,)22-∞-+∞；④ 函数()y f x x =-有两个零点； 则其中所有真命题的序号为二． 选择题（本大题共4题,每题５分,共20分) 13. 若数列{}n a （*n N ∈)是等比数列,则矩阵124568a a a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭所表示方程组的解的个数 是( ）A ． 0个 B. 1个 Ｃ． 无数个 D. 不确定 １４． “0m >”是“函数()|(2)|f x x mx =+在区间(0,)+∞上为增函数”的（ ） Ａ． 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C ． 充要条件 Ｄ． 既非充分也非必要条件1５. 用长度分别为2、３、5、6、9(单位:cm )的五根木棒连接（只允许连接,不允许折断)，组成共顶点的长方体的三条棱,则能够得到的长方体的最大表面积为（ ）A. 2582cm Ｂ. 4142cm C. ４162cm D ． 41８2cm1６. 定义在R 上的函数()f x 满足2201()4210x xx f x x -⎧+≤<=⎨--≤<⎩，且(1)(1)f x f x -=+,则 函数35()()2x g x f x x -=--在区间[1,5]-上的所有零点之和为( ）A. ４ Ｂ. 5 Ｃ. 7 D. 8三. 解答题(本大题共5题,共14+14＋14+1６+1８＝76分) １7.,底面直径2AB =,点C 是弧AB 的中点，点D 是母 线PA 的中点. (１)求该圆锥的侧面积;(2）求异面直线PB 与CD 所成角的大小.18. 某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降 低物流成本,已知购买x 台机器人的总成本21()150600p x x x =++万元. (１）若使每台机器人的平均成本最低,问应买多少台？（2)现按（1）中的数量购买机器人,需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件 送达指定落袋格口完成分拣(如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量8(60)(130)()15480(30)m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩(单位：件）,已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为120０ 件，问引进机器人后,日平均分拣量达最大值时， 用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少 百分之几?１9. 设函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>,||2πϕ<)，已知角ϕ的终边经过点(1,3)-,点11(,)M x y 、22(,)N x y 是函数()f x 图像上的任意两点，当12|()()|2f x f x -=时,12||x x -的最小值是2π. （1）求函数()y f x =的解析式;（２)已知ABC ∆面积为53，角C 所对的边25c =,cos ()4C f π=,求ABC ∆的周长.20. 设点1F 、2F 分别是椭圆2222:12x y C t t+=（0t >）的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点2F 的距离的最小值为2-,点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点,且向量1F M 与向量2F N 平行. (1)求椭圆C 的方程;（２）当120F N F N ⋅=时，求1F MN ∆的面积； (3）当21||||6F N F M -=时，求直线2F N 的方程.21. 设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前n 项和n T ，满足1(1)2nn n n T b +=- （*n N ∈),且52d a b ==,若实数23{|}k k k m P x a x a -+∈=<<(*k N ∈，3k ≥)，则称m 具有性质k P .（1）请判断1b 、2b 是否具有性质6P ，并说明理由；(2)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若{2}n n S a λ-是单调递增数列,求证：对任意的k (*k N ∈，3k ≥),实数λ都不具有性质k P ;(3)设n H 是数列{}n T 的前n 项和，若对任意的*n N ∈,21n H -都具有性质k P ,求所有满足条件的k 的值.参考答案一． 填空题１． {1,2} 2.143. 1-4. 84-5. [0,1)(1,2]6. [1,3]- ７. 一 8. 2- 9. １6 10． １511. [0,6] 12. ①②二． 选择题13． C 14. A １５. C 16. B三. 解答题 17.(1)2π;(２)4π. 18.(1）３00;(２）75%.1９.（1)()sin(2)3f x x π=-;（２）ABC C ∆=２0.（１)22184x y +=；(２)43;（3）2x =+. 21.（1）2b 具有性质6P ，1b 不具有性质6P ；（２）证明略；(3)3和4.。
普陀区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
普陀区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配或分配多个名额，则不同的分配方案共有（ ）A ．20种B ．24种C ．26种D ．30种2． 函数f （x ）=sin ωx （ω＞0）在恰有11个零点，则ω的取值范围（ ） A ． C ． D ．时，函数f （x ）的最大值与最小值的和为（ ）A ．a+3B ．6C ．2D ．3﹣a3． 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A ．0.35 B ．0.25 C ．0.20 D ．0.154． 设f （x ）与g （x ）是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若函数y=f （x ）﹣g （x ）在x ∈[a ，b]上有两个不同的零点，则称f （x ）和g （x ）在[a ，b]上是“关联函数”，区间[a ，b]称为“关联区间”．若f （x ）=x 2﹣3x+4与g （x ）=2x+m 在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为（ ）A．（﹣，﹣2]B ．[﹣1，0]C ．（﹣∞，﹣2]D．（﹣，+∞）5． 设m 、n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ；④若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α； 其中正确命题的序号是（ ） A ．①②③④ B ．①②③ C ．②④D ．①③6． 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（ ） A．B．C．D． =0.08x+1.237． 已知函数y=x 3+ax 2+（a+6）x ﹣1有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜a ＜2B ．﹣3＜a ＜6C ．a ＜﹣3或a ＞6D ．a ＜﹣1或a ＞28． 已知i z 311-=，i z +=32，其中i 是虚数单位，则21z z 的虚部为（ ） A ．1- B ．54 C ．i - D ．i 54 【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________9． 已知全集为R ，集合{}|23A x x x =<->或，{}2,0,2,4B =-，则()R A B =ð（ ）A ．{}2,0,2-B ．{}2,2,4-C ．{}2,0,3-D ．{}0,2,410．若复数满足71i i z+=（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ． D ．i -11．已知函数f （x ）=2x ，则f ′（x ）=（ ）A ．2xB ．2x ln2C ．2x +ln2D ．12．已知函数f （x ）=x 3+（1﹣b ）x 2﹣a （b ﹣3）x+b ﹣2的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，则不等式组所确定的平面区域在x 2+y 2=4内的面积为（ ）A ．B ．C ．πD ．2π二、填空题13．若函数f （x ）=x 2﹣2x （x ∈[2，4]），则f （x ）的最小值是 ．14．若与共线，则y= ． 15．已知函数21()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6x π=，则函数()f x 的最大值为（ ）A ．1B ．±1CD ．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想． 16．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为__________17．已知圆O ：x 2+y 2=1和双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）．若对双曲线C 上任意一点A （点A 在圆O外），均存在与圆O 外切且顶点都在双曲线C 上的菱形ABCD ，则﹣= ．18．已知条件p ：{x||x ﹣a|＜3}，条件q ：{x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ．三、解答题19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若PA=AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长．20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=，AC=3，BC=2，P 是△ABC 内一点．（1）若P 是等腰三角形PBC 的直角顶角，求PA 的长；（2）若∠BPC=，设∠PCB=θ，求△PBC 的面积S （θ）的解析式，并求S （θ）的最大值．21．（本小题满分12分） 在等比数列{}n a 中，3339,22a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2216log n n b a +=，且{}n b 为递增数列，若11n n n c b b +=，求证：12314n c c c c ++++<．22．已知函数且f （1）=2．（1）求实数k 的值及函数的定义域；（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．23．数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足*2120()n n n a a a n N ++-+=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12||||||n n S a a a =++，求n S .24．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC=PD=2，E 为PC 的中点，．求证：PC ⊥BC ；（Ⅱ）求三棱锥C ﹣DEG 的体积；（Ⅲ）AD 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面MEG ．若存在，求AM 的长；否则，说明理由．普陀区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：甲班级分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有1+6+3=10种不同的分配方案；甲班级分配3个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3+3=6种不同的分配方案；甲班级分配4个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，有3种不同的分配方案；甲班级分配5个名额，有1种不同的分配方案．故共有10+6+3+1=20种不同的分配方案，故选：A．【点评】本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，是一个中档题，解题时容易出错，本题应用分类讨论思想．2．【答案】A【解析】A． C． D．恰有11个零点，可得5π≤ω•＜6π，求得10≤ω＜12，故选：A．3．【答案】B【解析】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，∴所求概率为．故选B．4．【答案】A【解析】解：∵f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，故选A．【点评】本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．5．【答案】B【解析】解：由m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面：在①中：若m ⊥α，n ∥α，则由直线与平面垂直得m ⊥n ，故①正确； 在②中：若α∥β，β∥γ，则α∥γ，∵m ⊥α，∴由直线垂直于平面的性质定理得m ⊥γ，故②正确；在③中：若m ⊥α，n ⊥α，则由直线与平面垂直的性质定理得m ∥n ，故③正确； 在④中：若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α或m ⊂α，故④错误． 故选：B ．6． 【答案】C【解析】解：法一：由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D 由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5）， 将x=4分别代入A 、B 、C ，其值依次为8.92、9.92、5，排除A 、B法二：因为回归直线方程一定过样本中心点，将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C 满足，故选C【点评】本题提供的两种方法，其实原理都是一样的，都是运用了样本中心点的坐标满足回归直线方程．7． 【答案】C【解析】解：由于f （x ）=x 3+ax 2+（a+6）x ﹣1，有f ′（x ）=3x 2+2ax+（a+6）．若f （x ）有极大值和极小值，则△=4a 2﹣12（a+6）＞0，从而有a ＞6或a ＜﹣3， 故选：C ．【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．8． 【答案】B【解析】由复数的除法运算法则得，i i i i i i i i z z 54531086)3)(3()3)(31(33121+=+=-+-+=++=，所以21z z 的虚部为54.9． 【答案】A 【解析】考点：1、集合的表示方法；2、集合的补集及交集. 10．【答案】A 【解析】试题分析：42731,1i i i i i ==-∴==-,因为复数满足71i i z +=,所以()1,1i i i i z i z+=-∴=-，所以复数的虚部为,故选A.考点：1、复数的基本概念；2、复数代数形式的乘除运算. 11．【答案】B【解析】解：f （x ）=2x ，则f'（x ）=2xln2， 故选：B ．【点评】本题考查了导数运算法则，属于基础题．12．【答案】 B 【解析】解：因为函数f （x ）的图象过原点，所以f （0）=0，即b=2．则f （x ）=x 3﹣x 2+ax ，函数的导数f ′（x ）=x 2﹣2x+a ，因为原点处的切线斜率是﹣3， 即f ′（0）=﹣3， 所以f ′（0）=a=﹣3， 故a=﹣3，b=2，所以不等式组为则不等式组确定的平面区域在圆x 2+y 2=4内的面积，如图阴影部分表示，所以圆内的阴影部分扇形即为所求．∵k OB =﹣，k OA =，∴tan ∠BOA==1，∴∠BOA=，∴扇形的圆心角为，扇形的面积是圆的面积的八分之一，∴圆x 2+y 2=4在区域D 内的面积为×4×π=，故选：B【点评】本题主要考查导数的应用，以及线性规划的应用，根据条件求出参数a，b的是值，然后借助不等式区域求解面积是解决本题的关键．二、填空题13．【答案】0．【解析】解：f（x））=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，其图象开口向上，对称抽为：x=1，所以函数f（x）在[2，4]上单调递增，所以f（x）的最小值为：f（2）=22﹣2×2=0．故答案为：0．【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，一般运用数形结合思想进行处理．14．【答案】﹣6．【解析】解：若与共线，则2y﹣3×（﹣4）=0解得y=﹣6故答案为：﹣6【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，构造关于y的方程，是解答本题的关键．15．【答案】A【解析】16．【答案】【解析】【知识点】抛物线双曲线【试题解析】抛物线的准线方程为：x=2;双曲线的两条渐近线方程为：所以故答案为：17．【答案】1．【解析】解：若对双曲线C上任意一点A（点A在圆O外），均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD，可通过特殊点，取A（﹣1，t），则B（﹣1，﹣t），C（1，﹣t），D（1，t），由直线和圆相切的条件可得，t=1．将A（﹣1，1）代入双曲线方程，可得﹣=1．故答案为：1．【点评】本题考查双曲线的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，属于基础题．18．【答案】[0，2]．【解析】解：命题p：||x﹣a|＜3，解得a﹣3＜x＜a+3，即p=（a﹣3，a+3）；命题q：x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，即q=（﹣1，3）．∵q是p的充分不必要条件，∴q⊊p，∴，解得0≤a≤2，则实数a的取值范围是[0，2]．故答案为：[0，2]．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法、充分必要条件的判定与应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题19．【答案】【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A所以BD⊥平面PAC（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，所以BO=1，AO=OC=，以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，﹣，2），A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0）所以=（1，，﹣2），设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|（III）由（II）知，设，则设平面PBC的法向量=（x，y，z）则=0，所以令，平面PBC的法向量所以，同理平面PDC的法向量，因为平面PBC⊥平面PDC，所以=0，即﹣6+=0，解得t=，所以PA=．【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力20．【答案】【解析】解：（1）∵P为等腰直角三角形PBC的直角顶点，且BC=2，∴∠PCB=，PC=，∵∠ACB=，∴∠ACP=，在△PAC中，由余弦定理得：PA2=AC2+PC2﹣2AC•PC•cos=5，整理得：PA=；（2）在△PBC中，∠BPC=，∠PCB=θ，∴∠PBC=﹣θ，由正弦定理得：==，∴PB=sinθ，PC=sin（﹣θ），∴△PBC的面积S（θ）=PB•PCsin=sin（﹣θ）sinθ=sin（2θ+）﹣，θ∈（0，），则当θ=时，△PBC面积的最大值为．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．【答案】（1）131622n n n a a -⎛⎫==- ⎪⎝⎭或；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）将3339,22a S ==化为1,a q ，联立方程组，求出1,a q ，可得131622n n n a a -⎛⎫==- ⎪⎝⎭或；（2）由于{}n b 为递增数列，所以取1162n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，化简得2n b n =，()1111114141n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，其前项和为()1114414n -<+.考点：数列与裂项求和法．122．【答案】【解析】解：（1）f （1）=1+k=2； ∴k=1，，定义域为{x ∈R|x ≠0}；（2）为增函数；证明：设x 1＞x 2＞1，则：==；∵x 1＞x 2＞1；∴x 1﹣x 2＞0，，；∴f （x 1）＞f （x 2）；∴f （x ）在（1，+∞）上为增函数．23．【答案】（1）102n a n =-；（2）229(5)940(5)n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩．【解析】试题分析：（1）由2120n n n a a a ++-+=，所以{}n a 是等差数列且18a =，42a =，即可求解数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）令0n a =，得5n =，当5n >时，0n a <；当5n =时，0n a =；当5n <时，0n a >，即可分类讨论求解数列n S ．当5n ≤时，12||||||n n S a a a =++2129n a a a n n =+++=-∴229(5)940(5)n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩.1考点：等差数列的通项公式；数列的求和．24．【答案】【解析】解：（I）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，∵PDICE=D，∴BC⊥平面PCD，又∵PC⊂面PBC，∴PC⊥BC．（II）解：∵BC⊥平面PCD，∴GC是三棱锥G﹣DEC的高．∵E是PC的中点，∴．∴．（III）连接AC，取AC中点O，连接EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．下面证明之：∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥平面PA，又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，∴PA∥平面MEG，在正方形ABCD中，∵O是AC中点，∴△OCG≌△OAM，∴，∴所求AM的长为．【点评】本题主要考查线面平行与垂直关系、多面体体积计算等基础知识，考查空间想象能、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力、考查数形结合思想、化归与转化思想．。
普陀区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案(1)
普陀区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1．将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（ ）A． B． C．D．2． 函数f （x ）=（）x2﹣9的单调递减区间为（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（0，+∞）C ．（﹣9，+∞）D ．（﹣∞，﹣9）3． 设函数()()()21ln 31f x g x ax x ==-+，，若对任意1[0)x ∈+∞，，都存在2x ∈R ，使得()()12f x f x =，则实数的最大值为（ ）A ．94B ． C.92 D ．4 4． 曲线y=x 3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5． 定义某种运算S=a ⊗b ，运算原理如图所示，则式子+的值为（）A ．4B ．8C ．10D ．136． 已知命题:()(0xp f x a a =>且1)a ≠是单调增函数；命题5:(,)44q x ππ∀∈，sin cos x x >.则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨⌝ C. p q ⌝∧⌝ D ．p q ⌝∧7． 若复数满足71i i z+=（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ． D ．i -8． 数列{a n }满足a 1=3，a n ﹣a n •a n+1=1，A n 表示{a n }前n 项之积，则A 2016的值为（ ） A．﹣ B．C ．﹣1D ．19． 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A 、()f x =x 与()f x =2x xB 、()1f x x =-与()f x =C 、()f x x =与()f x = D 、()f x x =与2()f x =10．已知表示数列的前项和，若对任意的满足，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．11．若f （x ）=﹣x 2+2ax 与g （x ）=在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，1]B ．[0，1]C ．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，1]D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]12．自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则点P 轨迹方程为（ ）A ．86210x y --=B ．86210x y +-=C ．68210x y +-=D ．68210x y --=【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．二、填空题13．已知函数()f x 23(2)5x =-+，且12|2||2|x x ->-，则1()f x ，2()f x 的大小关系是 ．14．正六棱台的两底面边长分别为1cm ，2cm ，高是1cm ，它的侧面积为 ．15．下列结论正确的是①在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.35，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.7；②以模型y=ce kx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny ，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4，则c=e 4；③已知命题“若函数f （x ）=e x ﹣mx 在（0，+∞）上是增函数，则m ≤1”的逆否命题是“若m ＞1，则函数f （x ）=e x ﹣mx 在（0，+∞）上是减函数”是真命题；④设常数a ，b ∈R ，则不等式ax 2﹣（a+b ﹣1）x+b ＞0对∀x ＞1恒成立的充要条件是a ≥b ﹣1．16．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意∈n N *，均有n a 、n S 、2n a 成等差数列，则=n a ．17．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若﹣1＜a 3＜1，0＜a 6＜3，则S 9的取值范围是 ．18．已知1sin cos 3αα+=，(0,)απ∈，则sin cos 7sin 12ααπ-的值为 ．三、解答题19．已知△ABC 的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，求△ABC 的面积．20．（本小题满分12分）设函数()()2741201x x f x a a a --=->≠且.（1）当a =()0f x <的解集； （2）当[]01x ∈，时，()0f x <恒成立，求实数的取值范围．21．已知二次函数f （x ）=x 2+2bx+c （b ，c ∈R ）．（1）若函数y=f （x ）的零点为﹣1和1，求实数b ，c 的值；（2）若f （x ）满足f （1）=0，且关于x 的方程f （x ）+x+b=0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内，求实数b 的取值范围．22．已知f （）=﹣x ﹣1．（1）求f （x ）；（2）求f （x ）在区间[2，6]上的最大值和最小值．23．（本小题满分12分）已知函数()23cos cos 2f x x x x =++. （1）当63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，求函数()y f x =的值域；（2）已知0ω>，函数()212x g x f ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，若函数()g x 在区间236ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，求ω的最大值．24．【南师附中2017届高三模拟一】已知,a b 是正实数，设函数()()ln ,ln f x x x g x a x b ==-+. （1）设()()()h x f x g x =- ，求 ()h x 的单调区间； （2）若存在0x ，使03,45a b a b x ++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且()()00f x g x ≤成立，求b a 的取值范围.普陀区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题1． 【答案】B【解析】解：将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数．故选B ．【点评】本题是基础题，考查函数的图象的平移与图象的伸缩变换，注意先平移后伸缩时，初相不变化，考查计算能力．2． 【答案】B【解析】解：原函数是由t=x 2与y=（）t﹣9复合而成，∵t=x 2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数； 又y=（）t﹣9其定义域上为减函数，∴f （x ）=（）x2﹣9在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，+∞）为减函数，∴函数ff （x ）=（）x2﹣9的单调递减区间是（0，+∞）．故选：B ．【点评】本题考查复合函数的单调性，讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断是关键．3． 【答案】] 【解析】试题分析：设()()2ln 31g x ax x =-+的值域为A ，因为函数()1f x =[0)+∞，上的值域为(0]-∞，，所以(0]A -∞⊆，，因此()231h x ax x =-+至少要取遍(01]，中的每一个数，又()01h =，于是，实数需要满足0a ≤或0940a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得94a ≤．考点：函数的性质.【方法点晴】本题主要考查函数的性质用，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转和化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型。
普陀区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案(1)
普陀区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 函数y=f ′（x ）是函数y=f （x ）的导函数，且函数y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线为l ：y=g （x ）=f ′（x 0）（x ﹣x 0）+f （x 0），F （x ）=f （x ）﹣g （x ），如果函数y=f （x ）在区间[a ，b]上的图象如图所示，且a ＜x 0＜b ，那么（ ）A ．F ′（x 0）=0，x=x 0是F （x ）的极大值点B ．F ′（x 0）=0，x=x 0是F （x ）的极小值点C ．F ′（x 0）≠0，x=x 0不是F （x ）极值点D ．F ′（x 0）≠0，x=x 0是F （x ）极值点2． 集合{}5,4,3,2,1,0=S ,A 是S 的一个子集,当A x ∈时,若有A x A x ∉+∉-11且,则称x 为A 的一个“孤立元素”.集合B 是S 的一个子集, B 中含4个元素且B 中无“孤立元素”,这样的集合B 共有个 A.4 B. 5 C.6 D.73． 已知全集为R ，集合A={x|（）x ≤1}，B={x|x 2﹣6x+8≤0}，则A ∩（∁R B ）=（ ） A ．{x|x ≤0} B ．{x|2≤x ≤4} C ．{x|0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x|0＜x ≤2或x ≥4}4． 已知直线x+ay ﹣1=0是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ） A ．2B ．6C ．4D ．25． 已知定义在实数集R 上的函数f （x ）满足f （1）=3，且f （x ）的导数f ′（x ）在R 上恒有f ′（x ）＜2（x ∈R ），则不等式f （x ）＜2x+1的解集为（ ） A ．（1，+∞） B ．（﹣∞，﹣1） C ．（﹣1，1）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）6． 给出下列命题：①在区间（0，+∞）上，函数y=x ﹣1，y=，y=（x ﹣1）2，y=x 3中有三个是增函数；②若log m 3＜log n 3＜0，则0＜n ＜m ＜1；③若函数f （x ）是奇函数，则f （x ﹣1）的图象关于点A （1，0）对称；④若函数f （x ）=3x ﹣2x ﹣3，则方程f （x ）=0有2个实数根．其中假命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________7． 高三（1）班从4名男生和3名女生中推荐4人参加学校组织社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）A ．34种B ．35种C ．120种D ．140种8． 设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S ﹣ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S ﹣ABC 的体积为V ，则r=（ ） A． B． C．D．9． 下列哪组中的两个函数是相等函数（ ） A ．()()4f x x =g B ．()()24=,22x f x g x x x -=-+ C ．()()1,01,1,0x f x g x x >⎧==⎨<⎩ D ．()()=f x x x =，g 10．已知函数[)[)1(1)sin 2,2,212()(1)sin 22,21,222nn x n x n n f x x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈++⎪⎩（n N ∈），若数列{}m a 满足*()()m a f m m N =∈，数列{}m a 的前m 项和为m S ，则10596S S -=（ ） A.909 B.910 C.911 D.912【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 11．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是（ ）A ．①②B ．①C ．③④D ．①②③④ 12．已知条件p ：|x+1|≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ．a ≤1 C ．a ≥﹣1D ．a ≤﹣3二、填空题13．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考的好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的 两人说对了．14．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根，则S 6= ．15．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，6=-b a ，向量c a -，c b -的夹角为23π，23c a -=，则a 与c的夹角为__________，a c ⋅的最大值为 ．【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力.16．已知=1﹣bi ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则|a ﹣bi|= ．17．直线l ：（t 为参数）与圆C ：（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是 ．18．函数f （x ）=log a （x ﹣1）+2（a ＞0且a ≠1）过定点A ，则点A 的坐标为 ．三、解答题19．已知数列a 1，a 2，…a 30，其中a 1，a 2，…a 10，是首项为1，公差为1的等差数列；列a 10，a 11，…a 20，是公差为d 的等差数列；a 20，a 21，…a 30，是公差为d 2的等差数列（d ≠0）．（1）若a 20=40，求d ；（2）试写出a 30关于d 的关系式，并求a 30的取值范围；（3）续写已知数列，使得a 30，a 31，…a 40，是公差为d 3的等差数列，…，依此类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，PA=AB=BC=CD=2，PD=2，PA ⊥PD ，Q 为PD 的中点． （Ⅰ）证明：CQ ∥平面PAB ；（Ⅱ）若平面PAD ⊥底面ABCD ，求直线PD 与平面AQC 所成角的正弦值．21．已知矩阵M=的一个属于特质值3的特征向量=，正方形区域OABC在矩阵N应对的变换作用下得到矩形区域OA′B′C′，如图所示．（1）求矩阵M；（2）求矩阵N及矩阵（MN）﹣1．22．在等比数列{a n}中，a1a2a3=27，a2+a4=30试求：（1）a1和公比q；（2）前6项的和S6．23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切钱EP交CB 的延长线于P，己知∠PAB=25°．（1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；（2）若∠DAE=25°，求证：DA2=DC•BP．24．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0，a1=，且﹣，，成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n•log3（1﹣S n+1）=1，求适合方程b1b2+b2b3+…+b n b n+1=的正整数n的值．普陀区第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题1． 【答案】 B【解析】解：∵F （x ）=f （x ）﹣g （x ）=f （x ）﹣f ′（x 0）（x ﹣x 0）﹣f （x 0）， ∴F'（x ）=f'（x ）﹣f ′（x 0） ∴F'（x 0）=0， 又由a ＜x 0＜b ，得出当a ＜x ＜x 0时，f'（x ）＜f ′（x 0），F'（x ）＜0， 当x 0＜x ＜b 时，f'（x ）＜f ′（x 0），F'（x ）＞0， ∴x=x 0是F （x ）的极小值点 故选B ．【点评】本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，即当函数取到极值时导函数一定等于0，反之当导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定是否有极值．2． 【答案】C 【解析】试题分析：根据题中“孤立元素”定义可知，若集合B 中不含孤立元素，则必须没有三个连续的自然数存在，所有B 的可能情况为：{}0,1,3,4，{}0,1,3,5，{}0,1,4,5，{}0,2,3,5，{}0,2,4,5，{}1,2,4,5共6个。
2018年上海市15区高考高三一模数学试卷合集 带答案
8
第 2 卷 2018 年崇明区一模
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分）
1、已知集合 A {1, 2, 5}, B {2, a} ，若 A B {1, 2, 3, 5} ，则 a
；
2、抛物线 y2 4x 的焦点坐标是
Sn ，首项 a1
1，公比为
a
3 2
，且
lim
n
S
n
a
，则
a ________.
11.从 5 男 3 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人志愿者服
务，要求服务队中至少有 1 名女生，共有
种不同的选法.（用数字作答）
12.在 ABC 中， BC 边上的中垂线分别交 BC, AC 于点 D, E .若 AE BC 6 ， AB 2 ，
f (C) 1 ，求 ABC 面积的最大值，并指出此时 ABC 为何种类型的三角形. 2
19. 设数列{an} ，{bn} 及函数 f (x) （ x R ）， bn f (an ) （ n N * ）. （1）若等比数列{an} 满足 a1 1， a2 3 ， f (x) 2x ，求数列{bnbn1} 的前 n （ n N * ） 项和； （2）已知等差数列{an} 满足 a1 2 ， a2 4 ， f (x) (q x 1) （ 、 q 均为常数， q 0 且 q 1）， cn 3 n (b1 b2 bn ) （ n N * ），试求实数对 (, q) ，使得{cn} 成等比 数列.
x 1 5. 若 z 2 3i （其中 i 为虚数单位），则 Im z
i 6. 若从五个数 1 ，0，1，2，3 中任选一个数 m ，则使得函数 f (x) (m2 1)x 1 在 R 上
2018年上海市高三一模数学试题完整解析
2018年高三一模数学试题解析目录2018年杨浦区高三一模试题分析 (1)2018年松江区高三一模试题分析 (10)2018年青浦区高三一模试题分析 (20)2018年虹口区高三一模试题分析 (31)2018年普陀区高三一模试题分析 (42)2018年徐汇区高三一模试题分析 (56)2018年长宁、嘉定区高三一模试题分析 (67)2018年浦东新区高三一模试题分析 (77)2018年崇明区高三一模试题分析 (87)2018年静安区高三一模试题分析 (96)2018年闵行区高三一模试题分析 (105)2018年黄浦区高三一模试题分析 (117)2018年三区高三一模填选难题试题分析 (127)2018年杨浦区高三一模试题分析一、填空题的结果是 1 ．1.计算∞【考点】极限及其运算.=1．【分析】由n→+∞，→0，即可求得∞=1，故答案为：1．【解答】解：当n→+∞，→0，∴∞【点评】本题考查极限的运算，考查计算能力，属于基础题．2.已知集合A={1，2，m}，B={3，4}，若A∩B={3}，则实数m= 3 ．【考点】交集及其运算.【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}，∴实数m=3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．3.已知，则= ﹣．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值.【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值得解．【解答】解：∵θ，∴θπ=θ．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．4.若行列式，则x= 2 ．【考点】二阶矩阵.【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1，∴x=2，故答案为：2【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．5.已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y= 6 ．【考点】增广矩阵的概念.【分析】由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，由此能求出x+y．【解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得 x=4，y=2，∴x+y=6．故答案为：6．【点评】本题考查两数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵的合理运用．6.在的二项展开式中，常数项等于﹣160 ．【考点】二项式定理．【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应r，从而可求出常数项．【解答】解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r ，令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3=﹣160，故答案为：﹣160【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．7.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：基本事件共6×6个，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故P==．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题．8.数列{a n}的前n项和为S n，若点(n，S n)(n∈N*)在函数y=log2(x+1)的反函数的图象上，则a n= 2n﹣1．【考点】反函数．【分析】先利用点（n，S n）都在f（x）的反函数图象上即点（S n，n）都在f（x）的原函数图象上，得到关于S n的表达式；再利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法即可求数列{a n}的通项公式；【解答】解：由题意得n=log2（S n+1）⇒s n=2n﹣1．n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=s1=21﹣1=1也适合上式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1；故答案为：2n﹣1【点评】本小题主要考查反函数、利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．9.在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为．【考点】余弦定理.【分析】由sinA、sinB、sinC依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosB，把得出关系式代入并利用基本不等式求出cosB的范围，利用余弦函数的性质可求B的最大值．【解答】解：∵在△ABC 中，sinA 、sinB 、sinC 依次成等比数列，∴sin 2B=sinAsinC ， 利用正弦定理化简得：b 2=ac ，由余弦定理得：cosB==≥=（当且仅当a=c 时取等号），则B 的范围为（0，π]，即角B 的最大值为π．故答案为：π．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．10.抛物线y 2=﹣8x 的焦点与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．【考点】双曲线的性质.【分析】由已知条件推导出a 2+1=4，从而得到双曲线的渐近线方程为y=，由此能求出这条双曲线的两条渐近线的夹角．【解答】解：∵抛物线y 2=﹣8x 的焦点F （﹣2，0）与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，∴a 2+1=4，解得a= ，∴双曲线的渐近线方程为y=，∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为π ，故答案为：π． 【点评】本题考查双曲线的两条渐近线的夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．11.已知函数，x ∈R ，设a ＞0，若函数g （x ）=f （x+α）为奇函数，则α的值为2k πα=【考点】三角函数中的恒等变换应用.【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】()cos (sin )sin(2)3f x x x x x π=+，()sin(22)3g x x πα=++为奇函数，且0α>，∴23k παπ+=，26k ππα=-，k ∈*N .【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．12.已知点C 、D 是椭圆上的两个动点，且点M （0，2），若，则实数λ的取值范围为1[,3]3λ∈.【考点】椭圆的性质.【分析】数形结合，取极端情况，考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【解答】数形结合，取极端情况. 作CE ⊥y 轴，DF ⊥y 轴，3MD MF MB MC ME MA λ==≤=，同理13λ≥ 当D 点位于(0,1)-，C 点位于(0,1)时，λ等于3； 当D 点位于(0,1)，C 点位于(0,1)-时，λ等于13，∴1[,3]3λ∈.【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题． 二、选择题13.在复平面内，复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】直接由复数的除法运算化简，求出复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为(﹣1,﹣2），位于第三象限．故选：C ．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 14.给出下列函数:①y=log 2x;②y=x 2；③y=2|x|；④y=arcsinx ．其中图象关于y 轴对称的函数的序号是( ) A.①②B.②③C.①③D.②④【考点】函数奇偶性的性质与判断.【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：①y=log 2x 的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数； ②y=x 2；是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件．③y=2|x|是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件． ④y=arcsinx 是奇函数，图象关于y 轴不对称，不满足条件，故选：B ．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键 15.“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在(﹣∞，+∞)内存在零点”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点，函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．由此能求出结果． 【解答】解：t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点， 函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．∴“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点”的充分非必要条件．故选：A ． 【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•=0，•=0，•=0，用S 1、S 2、S 3分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则S 1+S 2+S 3的最大值是( )A.B.2C.4D.8【考点】平面向量数量积的性质及其运算；棱柱、棱锥的体积.【分析】由题意可知，三棱锥的顶点的三条直线AB ，AC ，AD 两两垂直，可以扩展为长方体，对角线为球的直径，设出三边，表示出面积关系式，然后利用基本不等式，求出最大值．【解答】解：设AB=a ，AC=b ，AD=c ，因为AB ，AC ，AD 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a 2+b 2+c 2=4R 2=4 所以S △ABC +S △ACD +S △ADB =（ab+ac+bc ）≤（a 2+b 2+c 2）=2即最大值为：2故选：B ．【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体，基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解题的关键． 三、解答题17.如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开． （1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【考点】基本不等式及其应用.【分析】（1）由题意设长方形场地的宽为x ，则长为l ﹣3x ，表示出面积y ；由x ＞0，且l ﹣3x ＞0，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解． 【解答】解：（1）设平行于墙的边长为a ，则篱笆总长3l x a =+，即3a l x =-，所以场地面积(3)y x l x =-，(0,)3lx ∈（2）222(3)33()612ll y x l x x lx x =-=-+=--+，(0,)3l x ∈,所以当且仅当6l x =时，2max 12l y = 综上，当场地垂直于墙的边长x 为6l 时，最大面积为212l【点评】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．18.如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点．（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【考点】旋转体（圆柱、圆锥）；异面直线及其所成的角.【分析】（1）推导出BS=5，从而SO=4，由此能求出圆锥的体积．（2）取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角，由此能求出异面直线SO与PA所成角．解：（1）由题意，π•OA•SB=15π，解得BS=5，故从而体积πππ．（2）如图，取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角．∵SO⊥平面OAB，∴PH⊥平面OAB，∴PH⊥AH．在△OAH中，由OA⊥OB，得，在Rt△APH中，∠AHP=90 O，，…则∠，∴异面直线SO与PA所成角的大小．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19.已知函数的定义域为集合A，集合B=(a,a+1),且B⊆A.（1）求实数a的取值范围；（2）求证:函数f(x)是奇函数但不是偶函数．【考点】集合的包含关系判断及应用；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）由对数的真数大于0，可得集合A，再由集合的包含关系，可得a的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得f（x）的定义域，计算f（﹣x）与f（x）比较，即可得到所求结论．【解答】解：（1）令＞，解得﹣1＜x＜1，所以A=（﹣1，1），因为B⊆A，所以，解得﹣1≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣1，0]；（2）证明:函数f(x)的定义域A=(﹣1,1)，定义域关于原点对称，f(﹣x)=ln=ln（）﹣1=﹣ln=﹣f(x)，而，，所以，所以函数f（x）是奇函数但不是偶函数．【点评】本题考查函数的定义域和集合的包含关系，考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题．20.设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．【考点】直线与抛物线的综合.【分析】（1）根据题意，由抛物线的方程分析可得p的值，即可得答案；（2）根据题意，设直线的方程为x=my+b，分m=0与m≠0两种情况讨论，分析m的取值，综合可得m可取的值，将m的值代入直线的方程即可得答案；（3）设直线AB：x=my+b，将直线的方程与抛物线方程联立，结合OQ⊥AB，由根与系数的关系分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，抛物线Ω的方程为y2=4x，则p=2，故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2；（2）设直线l：x=my+b,当m=0时，x=1和x=9符合题意；当m≠0时，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2．△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，所以，所以线段AB的中点M（2m2+b，2m），因为k AB•k CM=﹣1，，所以，得b=3﹣2m2 ，所以△=16（m2+b）=16（3﹣m2）＞0，得0＜m2＜3因为，所以m2=3（舍去）综上所述，直线l的方程为：x=1，x=9（3）设直线AB：x=my+b，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2，△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4b所以，得b=0或b=4b=0时，直线AB过原点，所以Q（0，0）；b=4时，直线AB过定点P（4，0）设Q（x，y），因为OQ⊥AB，所以，，（x≠0），综上，点Q的轨迹方程为x2﹣4x+y2=0【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，（2）中注意设出直线的方程，并讨论m的值．21.若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1，a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值；（3）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，，记，，，，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数，求M的最小值．【考点】数列与不等式的综合.【分析】（1）根据“U﹣数列”的定义可得：x=1时，＞＞；x=2时，＞＞；x≥3时，＞＞，解出即可得出．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n ﹣1，令b i=a i+1﹣a i，可得b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，利用裂项求和方法可得b i≥i﹣1．（2≤i≤n﹣1）．即b i≥i ﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥，即，解得n≤65．另一方面，取b i=i﹣1（1≤i≤64），可得对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，进而得出．（3）M的最小值为，分析如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：a1+a2m﹣（a m+a m+1）≥m（m﹣1），即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）可得M≥．又，可得，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，且a1=a m﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=m（m﹣1）+1．此时．即可得出．【解答】解：（1）x=1时，＞＞，所以y=2或3；x=2时，＞＞，所以y=4；x≥3时，＞＞，无整数解；所以所有可能的x，y为，或．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n﹣1，令b i=a i+1﹣a i，则b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．（*）当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，得︸个（2≤i≤n﹣1）即b i≥i﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥0+1+2+…+（n﹣2）=，（**）即，解得：﹣62≤n≤65，故n≤65．另一方面，为使（**）取到等号，所以取b i=i﹣1（1≤i≤64），则对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，此时由（**）式得，所以a65=2017，即n=65符合题意．综上，n的最大值为65．（3）M的最小值为，证明如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：（a1+a2m）﹣（a m+a m+1）=（a2m﹣a m+1）﹣（a m﹣a1）=（b m+1+b m+2+…+b2m﹣1）﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=（b m+1﹣b1）+（b m+2﹣b2）+…+（b2m+1﹣b m﹣1）≥m+m+…+m=m（m﹣1）．即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）故，因为，所以，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，，此时．综上，M的最小值为．【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题2018年松江区高三一模试题分析一、填空题1.计算：∞= ．【考点】极限及其运算．【分析】∞=∞，当n→∞，→0，即可求得∞=．【解答】解：∞=∞=，故答案为：【点评】本题考查极限的运算，考查计算转化思想，属于基础题．2.已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B= {x|2≤x＜3} ．【考点】交集及其运算.【分析】根据题意，B为一元二次不等式的解集，解不等式可得集合B；又由交集的性质，计算可得答案．【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，∵A={ x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．故答案为：{x|2≤x＜3}．【点评】本题考查交集的运算，解题的关键在于认清集合的意义，正确求解不等式．3.已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= 100 ．【考点】等差数列的前n项和.【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a9=18，a4=7，∴，解得d=2，a1=1．则S10=10+=100．故答案为：100．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则实数a= 3 ．【考点】反函数.【分析】直接利用反函数值域和定义域的关系求出结果．【解答】解：函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，解得：a=3．故答案为：3．【点评】本题考查的知识要点：反函数的应用．5.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，则cos2α等于﹣．【考点】二倍角的三角函数.【分析】由角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，可得：r=1，cosα=，从而可求cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．【解答】解：∵角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，∴可得：r=1，cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考察了三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．6.如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是 2 ．【考点】循环结构.【分析】x=8＞0，不满足条件x≤0，则执行循环体，依此类推，当x=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，从而求出最后的y值即可．【解答】解：x=8＞0，执行循环体，x=x﹣3=5﹣3=2＞0，继续执行循环体，x=x﹣3=2﹣3=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，故输出y=0.5﹣1=2．故答案为：2【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．7.函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是 4 ．【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象.【分析】直接利用三角方程求出结果．【解答】解：由于函数y=sin2x与y=cosx有交点，则：sin2x=cosx，整理得：sinx=或cosx=0所以：在[0，2π]范围内，x=π，π，π，π，故答案为：4．【点评】本题考查的知识要点：正弦函数的图象和余弦图象的应用．8.设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a= 0 ．【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由弦长公式可得圆心到直线的距离为，再由点到直线的距离公式可得=1，由此求得a的值．【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2ax﹣y+3=0的距离为，即=1，解得a=0，故答案为 0．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于中档题． 9.在△ABC 中，∠A=90°，△ABC 的面积为1，若=，=4，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的性质及其运算.【分析】通过建系设出B ，C 坐标，化简的表达式，利用三角形面积求解表达式的最小值． 【解答】解：如图，建立直角坐标系，设B （10x ，0），C （0，10y ），若 = ， =4， 则M （5x ，5y ），N （2x ，8y ），由题意△ABC 的面积为1，可得50xy=1，=10x 2+40y 2≥2 xy=，当且仅当x=2y=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．10.已知函数f （x ）=x|2x ﹣a|﹣1有三个零点，则实数a 的取值范围为 （2 ，+∞） ． 【考点】函数的零点与方程根的关系；研究曲线上某点切线方程. 【分析】转化方程的根为两个函数的图象的交点，利用数形结合． 【解答】分类讨论，设()|2|g x x x a =-，可以看作()g x 与1y =有三个交点，当0a <，()g x 图像如图所示，易知与1y =只有1个交点，不符；当0a>，()g x 图像如图所示，要与1y =有3个交点，需满足()14af >，即a >解法二：根据题意，可以看作()|2|g x x a =-与1()h x x=有三个交点，结合图像可知，当2ax >时，()g x 与()h x恒有一个交点，∴当2ax <时，()g x 与()h x 有两个不同交点，即12a xx-=在(0,)x∈+∞有两个解，2210x ax-+=，280a∆=->，且0a>，∴a>【点评】本题考查函数的零点的判断，考查数形结合的应用，是中档题．11.定义，＞，已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R，则下列四个命题中为真命题的是②③④（写出所有真命题的序号）①若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））为奇函数；②若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数；③若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数；④若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数．【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】由已知中：，＞，结合具有奇偶性及单调性的图象特征，可得答案．【解答】解：，＞，若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））不一定是奇函数，如y=x与y=x3，故①是假命题；若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数，故②是真命题；若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数，故③是真命题；若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数，故④是真命题．故答案为：②③④．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数单调性的判断与证明，难度中档．12.已知数列{a n}的通项公式为a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），若对任意m，n∈N*都有，，则实数q的取值范围为（﹣，0）.【考点】数列递推式.【分析】由a n=2q n+q，a1=3q＜0，由，，则a n＜0，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最大值及最小值分别为和，即可求q的取值范围．【解答】解：由a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），因为a1=3q＜0，且对任意n∈N*，∈（，6）故a n＜0，特别地2q2+q＜0，于是q∈（﹣，0），此时对任意n∈N*，a n≠0．当﹣＜q＜0时，a2n=2|q|2n+q＞q，a2n﹣1=﹣2|q|2n﹣1+q＜q，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最小值及最大值分别为=和=．由＞及＜6，解得﹣＜q＜0．综上所述，q的取值范围为（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列与函数关系，考查计算能力、转化思想，属于中档题．二、选择题13.若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为( )A.﹣5B.5C.﹣3D.3【考点】复数的运算.【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数的关系求解．【解答】解：∵2﹣i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，∴2+i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的另一个根，则q=（2﹣i）（2+i）=|2﹣i|2=5．故选：B．【点评】本题考查实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查复数模的求法，是基础题．14.已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”，由此能求出结果．【解答】解：∵f(x)是R上的偶函数，∴“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”或者其他情况，∴“x1+x2=0”是“f(x1)﹣f(x2)=0”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．15.若存在x∈[0，+∞）使＜成立，则实数m的取值范围是( )A.(﹣∞，1）B.(﹣1，+∞）C.(﹣∞，﹣1]D.[1，+∞）【考点】存在量词和特称命题.【分析】推导出2x•m＞2x•x﹣1，从而m＞x﹣，再由x∈[0，+∞），能求出实数m的取值范围．【解答】解：存在x∈[0，+∞）使＜成立，∴2x•x﹣2x•m＜1，∴2x•m＞2x•x﹣1，∴m＞x﹣，∵x∈[0，+∞），∴2x≥1，∴m＞x﹣≥﹣1．∴实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查实数值的取值范围的求法，考查二阶行列式、不等式、指数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A ．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B ．（﹣1，1]C ．[﹣1，1）D ．[﹣1，0]∪（1，+∞） 【考点】双曲线的性质.【分析】利用绝对值的几何意义，由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2，函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2），为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，分类讨论，可得结论，根据对称性，同理可得y ＜0时的情形． 【解答】解：由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2， ∴函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2）， 所以为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点， 则将x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，当λ=﹣1时，y=2满足题意，∵曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点， ∴△＞0，2是方程的根，∴λ λ＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）．故选：C ．【点评】本题考查曲线的交点，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 三、解答题17.在△ABC 中，AB=6，AC=3 ，=﹣18． （1）求BC 边的长；（2）求△ABC 的面积． 【考点】三角形中的几何计算.【分析】（1）直接利用向量的数量积和余弦定理求出BC 的长． （2）进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．【解答】解：（1）=﹣18，由于：AB=6，AC=3 ， 所以：BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA ，解得：BC=3 （2）在△ABC 中，BA=6，AC=3 ，BC=3 ，则：cosA==﹣，所以：sinA=，则：11sin 6922ABCSAB AC A ∆=⋅⋅=⋅⋅【点评】本题考查的知识要点:向量的数量积的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用． 18.已知函数（x ≠0，常数a ∈R ）．（1）讨论函数f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）当a ＞0时，研究函数f （x ）在x ∈（0，+∞）内的单调性． 【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）根据函数奇偶性定义，可得当a=0时，函数f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，f （x ）在（0，a ）上为减函数，在（a ，+∞）上为增函数； 【解答】解：（1）当a=0时，函数f （x ）=1（x ≠0）,满足f （﹣x ）=f （x ）， 此时f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （a ）=0，f （﹣a ）=2，不满足f （﹣x ）=f （x ），也不满足f （﹣x ）=﹣f （x ），此时f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，若x ∈（0，a ），则＞ ，为减函数；若x ∈[a ，+∞]，则＜ ，为增函数；故f （x ）在（0，a ）上为减函数，在[a ，+∞）上为增函数；【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档． 19.松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当10≤t ≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t ＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t ）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p （t ）． （1）求p （t ）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【考点】根据实际问题选择函数类型.【分析】（1）由题意知，p （t ）= ， ＜ ， （k 为常数），结合p （2）=272求得k=2，则p （t ）的表达式可求，进一步求得p （6）；（2）写出分段函数Q=， ＜，，利用基本不等式及函数的单调性分段求出最大值，取两者中的最大者得答案．【解答】解：（1）由题意知，p （t ）= ， ＜ ， （k 为常数），∵p(2)=400﹣k(10﹣2)2=272，∴k=2．∴24002(10)210()4001020t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩． ∴p(6)=400﹣2(10﹣6)2=368(人)；（2）由，可得Q=， ＜，，当2≤t ＜10时，Q=180﹣（12t+），当且仅当t=5时等号成立；当10≤t ≤20时，Q=﹣60+≤﹣60+90=30，当t=10时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．【点评】本题考查函数模型的性质及应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．20.已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，，其左焦点为，，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．【考点】椭圆的性质.【分析】（1）由c=，由a2=b2+c2=b2+3，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得|AB|及|CD|，则四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|=，即可求得k的值，求得直线l的方程；（3）由向量的坐标运算，表示出λ1和λ2，有（2）即可求得λ1+λ2为定值．【解答】解：（1）由题意可得：c=，则a2=b2+c2=b2+3，将，代入椭圆方程：，解得：b2=1，a2=4，∴椭圆的E的方程：；（2）设直线l：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则D（x1，﹣y1），联立，整理得：（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，|AB|==，由直线CD的斜率为﹣，将k转化成﹣，同理|CD|=，∴四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|==，∴2k4﹣5k2+2=0，解得：k2=2，k2=，∴k=±或k=±，由k＞0，∴k=或k=，∴直线AB的方程为x﹣y+=0或x﹣y+=0；（3）λ，λ，得x1=λ1（﹣﹣x1），x2=λ2（﹣﹣x2），∴λ1=，λ2=，λ1+λ2=﹣（+）=﹣=﹣8，λ1+λ2为定值，定值为﹣8．。
2018届上海市高三数学一模金山卷(含答案)
3 ⎩⎨ ⎩2 金山区 2017 学年第一学期质量监控高三数学试卷(满分：150 分，完卷时间：120 分钟)（答题请写在答题纸上）一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1–6 题每题 4 分，第 7–12 题每题 5 分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1. 若全集 U =R ，集合 A ={x |x ≤0 或 x ≥2}，则U A = ．x -1 2.不等式 x< 0 的解为 ．⎧3x - 2 y = 1 3.方程组⎨2x + 3y = 5 的增广矩阵是．4. 若复数 z =2–i （i 为虚数单位），则 z ⋅ z + z = ．5. 已知 F 1、F 2 是椭圆x + y 25 9= 1的两个焦点，P 是椭圆上的一个动点，则|PF 1|⨯|PF 2|的最大值是 ．⎧x - y +1 ≥ 0 6.已知 x ，y 满足⎪x + y - 3 ≥ 0 ，则目标函数 k =2x +y 的最大值为．⎪x ≤ 2 7. 从一副混合后的扑克牌（52 张）中随机抽取 1 张，事件 A 为“抽得红桃 K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率 P (A ∪B )=（结果用最简分数表示）．8. 已知点 A (2，3)、点 B (–2，)，直线 l 过点 P (–1，0)，若直线 l 与线段 AB 相交，则直线 l 的倾斜角的取值范围是．9. 数列{a n }的通项公式是 a n =2n –1(n ∈N *)，数列{b n }的通项公式是 b n =3n (n ∈N *)，令集合A ={a 1，a 2，…，a n ，…}，B ={b 1，b 2，…，b n ，…}，n ∈N *．将集合 A ∪B 中的所有元素按从小到大的顺序排列，构成的数列记为{c n }．则数列{c n }的前 28 项的和S 28=．2510. 向量 i 、 j 是平面直角坐标系 x 轴、y 轴的基本单位向量，且| a – i |+| a –2 j |=，则| a + 2 i | 的取值范围为．11. 某地区原有森林木材存有量为 a ，且每年增长率为 25%，因生产建设的需要，每年1年末要砍伐的木材量为10a ，设a n 为第n 年末后该地区森林木材存量，则a n = ．12. 关于函数 f (x ) =，给出以下四个命题：(1)当 x >0 时，y=f (x )单调递减且没有最值；(2)方程 f (x )=kx+b (k ≠0)一定有实数解；(3)如果方程 f (x )=m (m 为常数)有解， 则解的个数一定是偶数；(4) y=f (x ) 是偶函数且有最小值． 其中假命题的序号是．二、选择题（本大题共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 若非空集合 A 、B 、C 满足 A ∪B =C ，且 B 不是 A 的子集，则()．(A) “x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件 (B) “x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件 (C) “x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件(D) “x ∈C ”既不是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”的必要条件14. 将如图所示的一个 Rt △ABC （∠C =90°）绕斜边 AB 旋转一周，所得到的几何体的主视图是下面四个图形中的()．第 14 题图(A)(B) (C) (D).Cx x - 13 C 1ACF 15. 二项式(i –x )10(i 为虚数单位)的展开式中第 8 项是()．(A) –135x 7(B)135x 7(C)360 i x 7(D)–360 i x 716. 给出下列四个命题：(1)函数 y =arccos x (–1≤x ≤1)的反函数为 y =cos x (x ∈R )；(2)函数⎧ 1- t 22+ - ⎪x = 1+ t 2y = xmm 1(m ∈N )为奇函数；(3)参数方程 ⎨⎪ y = ⎩ 2t1+ t 2(t ∈R )所表示的曲线是圆；(4)函数 f (x )=sin 2x – ( 2)x+ 1，当 x >2017 时，f (x )> 1 恒成立．其中真命题的个数为()．322(A) 4 个(B) 3 个(C) 2 个(D) 1 个三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分)如图，已知正方体 ABCD –A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2，E ，F 分别是 BB 1、CD 的中点．(1) 求三棱锥 F –AA 1E 的体积；1D 1(2) 求异面直线 EF 与 AB 所成角的大小（结果用反三 1角函数值表示）．EDB18．(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)已知函数 f (x )= sin2x+cos2x –1 (x ∈R )．(1) 写出函数 f (x )的最小正周期以及单调递增区间；(2) 在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 f (B )=0， BA ⋅ BC = 3，2且 a+c =4，求 b 的值．3 3 3 B A19．(本题满分14 分，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分)2x x -a设P(x, y)为函数f(x)= (x∈D，D 为定义域)图像上的一个动点，O 为坐标原点，|OP|为点O 与点P 两点间的距离．(1)若a=3，D=[3，4]，求|OP|的最大值与最小值；(2)若D=[1，2]，是否存在实数a，使得|OP|的最小值不小于2？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，则说明理由．20．(本题满分16 分，第1 小题满分4 分，第2 小题满分5 分，第3 小题满分7 分) 给出定理：在圆锥曲线中，AB 是抛物线Γ：y2=2px (p>0)的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D，若A、B 两点纵坐标之差的绝对a3．试运用上述定理求解以下各题：值|y A-y B|=a(a>0)，则△ADB的面积S△ADB=16p(1)若p=2，AB 所在直线的方程为y=2x–4，C 是AB 的中点，过C 且平行于x 轴的；直线与抛物线Γ的交点为D，求S△ADB(2)已知AB 是抛物线Γ：y2=2px (p>0)的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D，E、F 分别为AD 和BD 的中点，过E、F 且平行于x 轴的直线与抛物线Γ：y2=2px (p>0)分别交于点M、N，若A、B 两点纵坐标之差的绝对值|y A-y B|=a(a>0)，求S△AMD和S△BND；(3)请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：y2=2px (p>0)与弦AB 围成的“弓形”的面积，并求出相应面积．21．(本题满分18 分，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满分8 分) 若数列{a n}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n}为“等比源数列”．(1)已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n–1．求数列{a n}的通项公式；(2)在(1)的结论下，试判断数列{a n}是否为“等比源数列”，并证明你的结论；(3)已知数列{a n}为等差数列，且a1≠0，a n∈Z(n∈N*)，求证：{a n}为“等比源数列”．5 2 ⋅ 金山区 2017 学年第一学期期末考试高三数学试卷评分参考答案(满分：150 分，完卷时间：120 分钟)一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1–6 题每题 4 分，第 7–12 题每题 5 分）⎛3 - 2 1 ⎫ 71．A ={x |0<x<2}；2．0<x <1；3． ⎝ 2 3 ⎪ ；4．7–i ；5．25；6．7；7． ；5⎭268 [ π ， 2π ]．；9．820；10． ⎡ 6 5, 3⎤ ；11. a= 3 5 n+ a ；12．(1)、(3)4 3⎢⎣ 5 ⎥⎦ n( ) a 5 4 5 二、选择题（本大题共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）13．B ； 14．B ； 15．C ； 16．D三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）17.解：（1）因为△AA 1E 的面积为 S =2， .................................................................. 2 分点 F 到平面 ABB 1A 1 的距离即 h=2， ....................................... 4 分所以V14 = S h = ；............................................... 7 分 F - AA 1E33（2）连结 EC ，可知∠EFC 为异面直线 EF 与 AB 所成角， ........................ 10 分在 Rt △EFC 中，EC = ，FC =1，所以 tan ∠EFC = ， ................... 13 分即∠EFC =arctan ，故异面直线 EF 与 AB 所成角的大小为 arctan π． ...... 14 分18．解：(1)f (x )=2sin(2x+)–1，......................................... 2 分6所以，f (x )的最小正周期 T = π， ........................................ 4 分 f (x )的单调递增区间是[k π– π ，k π+ π ]，k ∈Z ； ............................. 6 分 36π π 1 (2) f (B )=2sin(2B + 6)–1=0，故 sin(2B + )= 6 2， ............................. 8 分 所以，2B + π =2k π+ π 或 2B + π=2k π+5π ，k ∈Z ，6666π 因为 B 是三角形内角，所以 B =； ..................................... 10 分35 5 57 3x 2- 6x - x 2 + 2ax 3x 2- 2ax 3 - 2a 1 11 ⎩ 而 BA ⋅ BC =ac cos B = 3，所以，ac =3，又 a+c =4，所以 a 2+c 2=10， ........... 12 分2所以，b 2=a 2+c 2–2ac cos B =7，所以 b= ．............................... 14 分19．解：(1) 当 a =3，D =[3，4]，|OP |= = = 3(x -1)2- 3, x ∈[3, 4] ，................................... 4 分| OP |min = 3 ，| OP |max = 2 ；.......................................... 6 分(2) | OP |= x 2+ 2x x - a , x ∈[1,2] ，因为|OP |的最小值不小于 2，即 x 2+2x |x –a |≥4对于 x ∈[1，2]恒成立， ...................................................................... 8 分当 a ≥2 时,a ≥ 1(x + 2 4 ) 对于 x ∈[1,2]恒成立，所以 a ≥ 5 x 2，................. 10 分 当 1≤a <2 时，取 x=a 即可知，显然不成立， ............................. 11 分 当 a <1 时，a ≤ 1 (3x - 4 ) 对于 x ∈[1,2]恒成立，所以 a ≤ - 1， .............. 13 分2 x综上知，a ≤ - 或 a ≥ 52 22 ………………………………………………………………14 分(2)或解：| OP |= x 2+ 2x x - a , x ∈[1,2] ， ............................... 7 分当 a ≥2 时, | OP |= = 5在[1,2]为增函数，| OP |min = ≥2，所以a ≥ ， ..................................... 9 分 2 当 1≤a <2 时，取 x=a ，|OP |=a 不可能大于或等于 2， ....................... 11 分当 a <1 时，| OP |= =在[1,2]为增函数，| OP |min = ≥2 ，a ≤ - 2 ......................................................................13 分综上知，a ≤ - 或 a ≥ 52 2 ………………………………………………………………14 分⎧ y = 2x - 420．解：(1) 联立直线与抛物线方程⎨ y 2 = 4x，解得|y A –y B |=6， ...........2 分x 2 + 2x (x - 3) 6 - (x - a )2 + a 22a -1 3(x - a )2 - 1 a 23 3327 S △ADB =8； ......................................................... 4 分(2) 设点 D 、M 、N 的纵坐标分别为 y D 、y M 、y N ，易知 AD 为抛物线Γ：y 2=2px (p >0)的一a 条弦，M 是 AD 的中点，且 A 、D 两点纵坐标之差为定值，|y A –y D |=(a >0)，……6 分2由已知的结论，得 S △AMD =( a)3 2= 1 ⋅ a， ............................... 8 分16 p 8 16 p同理可得 S △BND = ( a )3 2 = 1 ⋅ a ； ....................................... 9 分16 p 8 16 p(3) 将(2)的结果看作是一次操作，操作继续下去，取每段新弦的中点作平行于 x 轴的直线与抛物线得到交点，并与弦端点连接，计算得到新三角形面积。
上海市普陀区2018届高三一模数学试卷（官方答案版）解答题有过程
上海市普陀区2018届⾼三⼀模数学试卷（官⽅答案版）解答题有过程上海市普陀区2018届⾼三⼀模数学试卷⼀. 填空题（本⼤题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设全集{1,2,3,4,5}U =，若集合{3,4,5}A =，则U C A = 2.若1sin 4θ=，则3cos()2πθ+= 3. ⽅程222log (2)log (3)log 12x x -+-=的解x =4. 91)x的⼆项展开式中的常数项的值为5. 不等式11|1|x ≥-的解集为6. 函数2()2cos 2xf x x =+的值域为7. 已知i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若1012z ii+=，则z 在复平⾯内所对应的点所在的象限为第象限8. 若数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-++（*n N ∈），则lim3nn a n→∞=9. 若直线:5l x y +=与曲线22:16C x y +=交于两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，则1221x y x y +的值为10. 设1a 、2a 、3a 、4a 是1，2，3，4的⼀个排列，若⾄少有⼀个i （1,2,3,4i =）使得i a i =成⽴，则满⾜此条件的不同排列的个数为11. 已知正三⾓形ABC 点M 是ABC ?所在平⾯内的任⼀动点，若||1MA =，则||MA MB MC ++的取值范围为12. 双曲线2213x y -=绕坐标原点O 旋转适当⾓度可以成为函数()f x 的图像，关于此函数()f x 有如下四个命题：① ()f x 是奇函数；② ()f x 的图像过点3)2或3)2-；③ ()f x 的值域是33(,][,)22-∞-+∞；④函数()y f x x =-有两个零点；则其中所有真命题的序号为⼆. 选择题（本⼤题共4题，每题5分，共20分）13. 若数列{}n a （*n N ∈）是等⽐数列，则矩阵124568a a a a a a ??所表⽰⽅程组的解的个数是（）A. 0个B. 1个C. ⽆数个D. 不确定14. “0m >”是“函数()|(2)|f x x mx =+在区间(0,)+∞上为增函数”的（） A. 充分⾮必要条件 B. 必要⾮充分条件 C. 充要条件 D. 既⾮充分也⾮必要条件15. ⽤长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm ）的五根⽊棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长⽅体的三条棱，则能够得到的长⽅体的最⼤表⾯积为（） A. 2582cm B. 4142cm C. 4162cm D. 4182cm16. 定义在R 上的函数()f x 满⾜2201()4210x xx f x x -?+≤<=?--≤()()2x g x f x x -=--在区间[1,5]-上的所有零点之和为（）A. 4B. 5C. 7D. 8三. 解答题（本⼤题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17.，底⾯直径2AB =，点C 是弧AB 的中点，点D 是母线PA 的中点.（1）求该圆锥的侧⾯积；（2）求异⾯直线PB 与CD 所成⾓的⼤⼩.18. 某快递公司在某市的货物转运中⼼，拟引进智能机器⼈分拣系统，以提⾼分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器⼈的总成本21()150600p x x x =++万元. （1）若使每台机器⼈的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器⼈，需要安排m ⼈将邮件放在机器⼈上，机器⼈将邮件送达指定落袋格⼝完成分拣（如图），经实验知，每台机器⼈的⽇平均分拣量8(60)(130)()15480(30)m m m q m m ?-≤≤?=??>?（单位：件），已知传统⼈⼯分拣每⼈每⽇的平均分拣量为1200 件，问引进机器⼈后，⽇平均分拣量达最⼤值时，⽤⼈数量⽐引进机器⼈前的⽤⼈数量最多可减少百分之⼏？19. 设函数()sin()f x x ω?=+（0ω>，||2π<），已知⾓?的终边经过点(1,，点11(,)M x y 、22(,)N x y 是函数()f x 图像上的任意两点，当12|()()|2f x f x -=时，12||x x -的最⼩值是2π. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）已知ABC ?⾯积为，⾓C所对的边c =，cos ()4C f π=，求ABC ?的周长.20. 设点1F 、2F 分别是椭圆2222:12x y C t t+=（0t >）的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点2F 的距离的最⼩值为2，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上⽅的两点，且向量1F M 与向量2F N 平⾏.（1）求椭圆C 的⽅程；（2）当120F N F N ?=时，求1F MN ?的⾯积；（3）当21||||6F N F M -=时，求直线2F N 的⽅程.21. 设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前n 项和n T ，满⾜1(1)2nn n n T b +=- （*n N ∈），且52d a b ==，若实数23{|}k k k m P x a x a -+∈=<<（*k N ∈，3k ≥），则称m 具有性质k P .（1）请判断1b 、2b 是否具有性质6P ，并说明理由；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若{2}n n S a λ-是单调递增数列，求证：对任意的k （*k N ∈，3k ≥），实数λ都不具有性质k P ；（3）设n H 是数列{}n T 的前n 项和，若对任意的*n N ∈，21n H -都具有性质k P ，求所有满⾜条件的k 的值.普陀区2017学年第⼀学期⾼三数学质量调研评分标准⼀、填空题12 3 4 56{}1,214 1- 84- [0,1)(1,2][1,3]-789101112 ⼀ 2- 16 15[0,6]①②⼆、选择题13 14 15 16 CA C B三、解答题17.（1）由圆锥的体积21()323AB V OP π==， …………………………… 2分得OP =2PB ==, …………………………………………… 4分则该圆锥的侧⾯积为112212222S OB PB πππ===. …………………… 6分（2）联结,O D ，由条件得//OD PB ，即C D O∠是异⾯直线PB 与CD所成⾓或其补⾓， …………………………………… 2分点C 是弧AB 的中点，则CO AB ⊥,⼜PO 为该圆锥的⾼，则PO CO ⊥,即CO ⊥平⾯PAB ，…………………………… 4分 OD 在平⾯PAB 内，则CO OD ⊥，即CDO ?为直⾓三⾓形，⼜112DO PB CO ===，则4CDO π∠=，…………………… 7分即异⾯直线PB 与CD 所成⾓的⼤⼩为4π.……………………… 8分18.（1）由题意得每台机器⼈的平均成本为()11501600p x x x x=++ …………………2分12≥=……………………4分当且仅当150600x x=*(N )x ∈，即300x =时取等号，则要使每台机器⼈的平均成本最低，应买300台. ………………………………………6分（2）当130m ≤≤时，每台机器⼈⽇平均分拣量8()(60)15q m m m =- 28(30)48015m =--+，当30m =时，每台机器⼈的⽇平均分拣量最⼤值为480……2分当30m >时，每台机器⼈的⽇平均分拣量仍为480，则引进300台机器⼈后，⽇平均分拣19.（1）由⾓?的终边经过点(1,得tan ?= ⼜2π?<，则3π=-，………………………………………………………………3分当12()()2f x f x -=时，12x x -的最⼩值是2π，则(0)2ππωω=>，即2ω=， ………………………………………………………………………………5分则所求函数的解析式为()sin(2)3 f x x π=-. ………………………………………6分（2）由（1）得1cos sin(2)sin 44362C f ππππ==?-==，⼜△ABC 的⾯积为1sin 2ab C =20ab =， ……………………4分由余弦定理得22212202a b =+-??，即2()80a b +=,即a b +=7分则所求的△ABC 的周长为…………………………………………………………8分 20．（1）由0t >得点2(,0)F t ，⼜椭圆C 上的点到点1F 的距离的最⼩值为2， 2t -=， ………………………………………………3分即2t =，故椭圆C 的⽅程为22184x y +=.………………………………4分（2）设11(,)N x y ，22M(,)x y ，则2211184x y +=，2222184x y +=且12y 0,0y >>，由（1）得1(2,0)F -，2(2,0)F ，即111(2,y )F N x =+，211(2,y )F N x =-，⼜212111(2)(2)0F N F N x x y ?=-++=，即22114x y +=，联⽴221122111844x y x y ?+=+=?，解得1102x y =??=?，即(0,2)N . ………………………………………………………………2分⼜1//F M 2F N 且12F N F N ⊥，则1(2,2)F N =是直线1F M 的⼀个法向量，即直线1F M 的点法向式⽅程为2(2)20x y ++=，即2220x y ++=.联⽴22222218420x y x y ?+=++=?消去2x 整理化简得2223440y y +-=，即223y =或22y =-（舍），得228323x y ?=-=??，即82(,)33M -. ………………………………………………………………4分则1201140212382133F MNS ?-==-，即1F MN ?的⾯积为43.………………………………6分说明：三⾓形⾯积的求法不唯⼀，可以图形分割，⽤⾯积求差来解；也可以⽤点到直线的距离求出⾼，再⽤两点之间的距离公式求出底，⽤底与⾼乘积的⼀半来求等；也可等⾯积转换求解，请相应给分.（3）延长线段2NF 交椭圆C 于点G ，向量1F M 与向量2F N 平⾏，根据椭圆的中⼼对称性得21F G FM =且21F N FM >，即2122F N F M F N F G -=-=……………2分⼜21F N FM >，则直线2F N 的斜率⼀定存在且值为负，可设直线2F N 的⽅程为：(2)y k x =-，点1,1N()x y ，2,2G()x y ，且122x x <<，联⽴⽅程22184(2)x y y k x ?+==-?，整理化简得2222(12)8880k x k x k +-+-=，则2122812k x x k +=+.则221222F N F G -=--124)x x =+-228(4)12k k =-=+=，整理得4212450k k +-=，即22(65)(21)0k k +-=……………5分⼜0k <，则k =2F N的⽅程为20x +-=. ……………………6分 21.（1）由1111122T b b +=+=-得114b =-， ………………………………1分⼜312334123441188111616T b b b b T b b b b b+=+++=-+=++++=??，得214b =………………………………3分可得5114(5)(5)444n n a a n d n -=+-=+-=从⽽65|04P x x ?=<<故1b 不具有性质6P ，2b 具有性质6P . …………………………………………4分说明：求2b 是难点，第（1）问不必这样求解，可以直接⽤等差数列单调性判断下结论，可相应的评分，求2b 以及数列的通项公式的评分可在第（2）问解答过程中体现.（2）()()2174163142242448n n n n n n n S a n λλλλ--++-??-=-+?-=， ………………………………………2分因为数列{}2n n S a λ-单调递增，所以74322λ+<，即1λ<-，…………………4分⼜数列{}n a 单调递增，则数列{}n a 的最⼩项为1314a =->-，则对任意()*,3k k N k ∈≥，都有2314k a λ-<-<-≤，故实数λ都不具有性质k P . ……………………………………………………6分（3）因为1(1)2nn n n T b +=-，所以1*1111(1)(2,N )2n n n n T b n n ----+=-≥∈，两式相减得 111111(1)(1)22n n n n n n n n T T b b -----+-=---*(2,N )n n ≥∈，即 11(1)(1)2n nn n n n b b b --=-+-*(2,N )n n ≥∈，当n 为偶数时，112n n n nb b b --=+，即112n n b -=-，此时1n -为奇数；当n 为奇数时，112n n n n b b b --=--，即1122n n n b b --=-，则111 2n n b --=，此时1n -为偶数；则 11(21(2n n nn b n +?-??=为奇数）为偶数），*N n ∈. ……………………………………3分则 11(20(n n n T n +?-=为奇数）为偶数）故 2112342221n n n H T T T T T T ---=+++++2246822211(1)1111111124(1)12222223414n n n n --=-------=-=---……………5分因为114n -对于⼀切*N n ∈递增，所以311144n ≤-<，所以 211134n H --<≤-.若对任意的*N n ∈，21n H -都具有性质k P ，则11(,]34--?6144k k xx ?--?<，即61431144k k -?≤--?>-??，解得1403k <≤，⼜*2,N k k >∈，则3k =或4，即所有满⾜条件的正整数k 的值为3和4.………………………………………8分说明：此处可不求n T ，直接⽤求和定义得2112342221n n n H T T T T T T ---=+++++1234232221=(21)(22)(23)(24)32n n n n b n b n b n b b b b ----+-+-+-++++ 1234232221=[(21)(22)][(23)(24)][32]n n n n b n b n b n b b b b ----+-+-+-++++请相应评分.。
2018年上海市普陀区高考高三数学一模试卷及解析
2018年上海市普陀区高考数学一模试卷一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.(4分)设全集U＝{1,2,3,4,5},若集合A＝{3,4,5},则∁U A＝.2.(4分)若,则＝.3.(4分)方程log2(2﹣x)＋log2(3﹣x)＝log212的解x＝.4.(4分)的二项展开式中的常数项的值为.5.(4分)不等式的解集为.6.(4分)函数的值域为.7.(5分)已知i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若,则在复平面内所对应的点所在的象限为第象限.8.(5分)若数列{a n}的前n项和(n∈N*),则＝.9.(5分)若直线l：x＋y＝5与曲线C：x2＋y2＝16交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1y2＋x2y1的值为.10.(5分)设a1、a2、a3、a4是1,2,3,4的一个排列,若至少有一个i(i＝1,2,3,4)使得a i＝i成立,则满足此条件的不同排列的个数为.11.(5分)已知正三角形ABC的边长为,点M是△ABC所在平面内的任一动点,若,则的取值范围为.12.(5分)双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f(x)的图象,关于此函数f(x)有如下四个命题：①f(x)是奇函数；②f(x)的图象过点或；③f(x)的值域是；④函数y＝f(x)﹣x有两个零点；则其中所有真命题的序号为.二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)若数列{a n}(n∈N*)是等比数列,则矩阵所表示方程组的解的个数是()A.0个B.1个C.无数个D.不确定14.(5分)“m＞0”是“函数f(x)＝|x(mx＋2)|在区间(0,＋∞)上为增函数”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件15.(5分)用长度分别为2、3、5、6、9(单位：cm)的五根木棒连接(只允许连接,不允许折断),组成共顶点的长方体的三条棱,则能够得到的长方体的最大表面积为()A.258cm2B.414cm2C.416cm2D.418cm216.(5分)定义在R上的函数f(x)满足,且f(x﹣1)＝f(x＋1),则函数在区间[﹣1,5]上的所有零点之和为()A.4B.5C.7D.8三.解答题(本大题共5题,共14＋14＋14＋16＋18＝76分)17.(14分)如图所示的圆锥的体积为,底面直径AB＝2,点C是弧的中点,点D是母线PA的中点.(1)求该圆锥的侧面积；(2)求异面直线PB与CD所成角的大小.18.(14分)某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本,已知购买x台机器人的总成本p(x)＝＋x＋150万元.(1)若使每台机器人的平均成本最低,问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣(如图),经实验知,每台机器人的日平均分拣量q(m)＝(单位：件),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件,问引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？19.(14分)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,),已知角φ的终边经过点,点M(x1,y1)、N(x2,y2)是函数f(x)图象上的任意两点,当|f(x1)﹣f(x2)|＝2时,|x1﹣x2|的最小值是.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)已知△ABC面积为,角C所对的边,,求△ABC的周长. 20.(16分)设点F1、F2分别是椭圆(t＞0)的左、右焦点,且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为,点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点,且向量与向量平行.(1)求椭圆C的方程；(2)当时,求△F1MN的面积；(3)当时,求直线F2N的方程.21.(18分)设d为等差数列{a n}的公差,数列{b n}的前n项和T n,满足(n∈N*),且d＝a5＝b2,若实数m∈P k＝{x|a k﹣2＜x＜a k＋3}(k∈N*,k ≥3),则称m具有性质P k.(1)请判断b1、b2是否具有性质P6,并说明理由；(2)设S n为数列{a n}的前n项和,若{S n﹣2λa n}是单调递增数列,求证：对任意的k(k ∈N*,k≥3),实数λ都不具有性质P k；(3)设H n是数列{T n}的前n项和,若对任意的n∈N*,H2n﹣1都具有性质P k,求所有满足条件的k的值.2018年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.(4分)设全集U＝{1,2,3,4,5},若集合A＝{3,4,5},则∁U A＝{1,2} .【试题解答】解：∵全集U＝{1,2,3,4,5},集合A＝{3,4,5},∴∁U A＝{1,2}.故答案为：{1,2}.2.(4分)若,则＝.【试题解答】解：,∴＝.故答案为：.3.(4分)方程log2(2﹣x)＋log2(3﹣x)＝log212的解x＝﹣1.【试题解答】解：∵方程log2(2﹣x)＋log2(3﹣x)＝log212,∴,即,解得x＝﹣1.故答案为：﹣1.4.(4分)的二项展开式中的常数项的值为﹣84.【试题解答】解：二项展开式的通项＝,由,得r＝3.∴的二项展开式中的常数项为.故答案为：﹣84.5.(4分)不等式的解集为[0,1)∪(1,2] .【试题解答】解：由题意得：,解得：0≤x＜1或1＜x≤2,故答案为：[0,1)∪(1,2].6.(4分)函数的值域为[﹣1,3] .【试题解答】解：∵＝sinx＋cosx＋1＝2sin(x＋)＋1,∵sin(x＋)∈[﹣1,1],∴f(x)＝2sin(x＋)＋1∈[﹣1,3].故答案为：[﹣1,3].7.(5分)已知i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若,则在复平面内所对应的点所在的象限为第一象限.【试题解答】解：,设z＝a＋bi,则z×2i﹣(1＋i)＝0,即(a＋bi)×2i﹣1﹣i＝0,则2ai﹣2b﹣1﹣i＝0,∴﹣2b﹣1＋(2a﹣1)i＝0,则,则,∴z＝﹣i,则＝＋i,∴则在复平面内所对应的点位于第一象限,故答案为：一.8.(5分)若数列{a n}的前n项和(n∈N*),则＝﹣2.【试题解答】解：数列{a n}的前n项和(n∈N*),可得n＝1时,a1＝S1＝﹣3＋2＋1＝0；当n≥2时,a n＝S n﹣S n＝﹣3n2＋2n＋1＋3(n﹣1)2﹣2n＋2﹣1﹣1＝﹣6n＋5,则＝＝(﹣2＋)＝﹣2＋0＝﹣2.故答案为：﹣2.9.(5分)若直线l：x＋y＝5与曲线C：x2＋y2＝16交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1y2＋x2y1的值为16.【试题解答】解：直线l：x＋y＝5与曲线C：x2＋y2＝16交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2),则：,所以：2x2﹣10x＋9＝0,则：x1＋x2＝5,,则：x1y2＋x2y1＝x1(5﹣x2)＋x2(5﹣x1),＝5(x1＋x2)﹣2x1x2,＝25﹣9,＝16.故答案为：16.10.(5分)设a1、a2、a3、a4是1,2,3,4的一个排列,若至少有一个i(i＝1,2,3,4)使得a i＝i成立,则满足此条件的不同排列的个数为15.【试题解答】解：根据题意,a1、a2、a3、a4是1,2,3,4的一个排列,则所有的排列有A44＝24个,假设不存在i(i＝1,2,3,4)使得a i＝i成立,则a1可以在第2、3、4位置,有3种情况,假设a1在第二个位置,则a1可以在第1、3、4位置,也有3种情况,此时a3、a4只有1种排法,剩余的两个数在其余两个位置,有1种情况,则不存在i(i＝1,2,3,4)使得a i＝i成立的情况有3×3＝9种,则至少有一个i(i＝1,2,3,4)使得a i＝i成立排列数有24﹣9＝15个；故答案为：15.11.(5分)已知正三角形ABC的边长为,点M是△ABC所在平面内的任一动点,若,则的取值范围为[0,6] .【试题解答】解：以A点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(,0),C(,),∵,不妨设M(cosθ,sinθ),∴＋＋＝(﹣cosθ,﹣sinθ)＋(﹣cosθ,﹣sinθ)＋(﹣cosθ,﹣sinθ)＝(﹣3cosθ,﹣3sinθ),∴|＋＋|2＝(﹣3cosθ)2＋(﹣3sinθ)2＝9(2﹣cosθ﹣sinθ)＝18﹣18sin(θ＋),∵﹣1≤sin(θ＋)≤1,∴0≤18﹣18sin(θ＋)≤36,∴的取值范围为[0,6],故答案为：[0,6]12.(5分)双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f(x)的图象,关于此函数f(x)有如下四个命题：①f(x)是奇函数；②f(x)的图象过点或；③f(x)的值域是；④函数y＝f(x)﹣x有两个零点；则其中所有真命题的序号为①②.【试题解答】解：双曲线关于坐标原点对称,可得旋转后得到的函数f(x)的图象关于原点对称,即有f(x)为奇函数,故①对；由双曲线的顶点为(±,0),渐近线方程为y＝±x,可得f(x)的图象的渐近线为x＝0和y＝±x,图象关于直线y＝x对称,可得f(x)的图象过点,或,由对称性可得f(x)的图象按逆时针60°旋转位于一三象限；按顺时针旋转60°位于二四象限；故②对；f(x)的图象按逆时针旋转60°位于一三象限,由图象可得顶点为点,或,不是极值点,则f(x)的值域不是；f(x)的图象按顺时针旋转60°位于二四象限,由对称性可得f(x)的值域也不是.故③不对；当f(x)的图象位于一三象限时,f(x)的图象与直线y＝x有两个交点,函数y＝f(x)﹣x有两个零点；当f(x)的图象位于二四象限时,f(x)的图象与直线y＝x没有交点,函数y＝f(x)﹣x没有零点.故④错.故答案为：①②.二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)若数列{a n}(n∈N*)是等比数列,则矩阵所表示方程组的解的个数是()A.0个B.1个C.无数个D.不确定【试题解答】解：根据题意,矩阵所表示方程组为,又由数列{a n}(n∈N*)是等比数列,则有＝＝＝,则方程组的解有无数个；故选：C.14.(5分)“m＞0”是“函数f(x)＝|x(mx＋2)|在区间(0,＋∞)上为增函数”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【试题解答】解：∵m＞0,∴函数f(x)＝|x(mx＋2)|＝|mx2＋2x|,∵f(0)＝0,∴f(x)在区间(0,＋∞)上为增函数”；∵函数f(x)＝|x(mx＋2)|＝|mx2＋2x|在区间(0,＋∞)上为增函数,f(0)＝0,∴m∈R,∴“m＞0”是“函数f(x)＝|x(mx＋2)|在区间(0,＋∞)上为增函数”的充分非必要条件.故选：A.15.(5分)用长度分别为2、3、5、6、9(单位：cm)的五根木棒连接(只允许连接,不允许折断),组成共顶点的长方体的三条棱,则能够得到的长方体的最大表面积为()A.258cm2B.414cm2C.416cm2D.418cm2【试题解答】解：设长方体的三条棱分别为a,b,c,则长方体的表面积S＝2(ab＋bc＋ac)≤(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a＋c)2,当且仅当a＝b＝c时上式“＝”成立.由题意可知,a,b,c不可能相等,故考虑当a,b,c三边长最接近时面积最大,此时三边长为8,8,9,用2、6连接,3、5连接各为一条棱,第三条棱为9组成长方体,此时能够得到的长方体的最大表面积为2(8×8＋8×9＋8×9)＝416(cm2).故选：C.16.(5分)定义在R上的函数f(x)满足,且f(x﹣1)＝f(x＋1),则函数在区间[﹣1,5]上的所有零点之和为()A.4B.5C.7D.8【试题解答】解：∵函数,且f(x﹣1)＝f(x＋1),函数的周期为2,函数,的零点,就是y＝f(x)与y＝图象的交点的横坐标,∴y＝f(x)关于点(0,3)中心对称,将函数两次向右平移2个单位,得到函数y＝f(x)在[﹣1,5]上的图象,每段曲线不包含右端点(如下图),去掉端点后关于(2,3)中心对称.又∵y＝＝3＋关于(2,3)中心对称,故方程f(x)＝g(x)在区间[﹣1,5]上的根就是函数y＝f(x)和y＝g(x)的交点横坐标,共有三个交点,自左向右横坐标分别为x1,x2,x3,其中x1和x3关于(2,3)中心对称,∴x1＋x3＝4,x2＝1,故x1＋x2＋x3＝5.故选：B.三.解答题(本大题共5题,共14＋14＋14＋16＋18＝76分)17.(14分)如图所示的圆锥的体积为,底面直径AB＝2,点C是弧的中点,点D是母线PA的中点.(1)求该圆锥的侧面积；(2)求异面直线PB与CD所成角的大小.【试题解答】解：(1)∵圆锥的体积为,底面直径AB＝2,∴,解得PO＝,∴PA＝＝2,∴该圆锥的侧面积S＝πrl＝π×1×2＝2π.(2)∵圆锥的体积为,底面直径AB＝2,点C是弧的中点,点D是母线PA的中点.∴PO⊥平面ABC,OC⊥AB,∴以O为原点,OC为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,﹣1,0),P(0,0,),D(0,﹣,),B(0,1,0),C(1,0,0),＝(0,1,﹣),＝(﹣1,﹣,),设异面直线PB与CD所成角为θ,则cosθ＝＝＝,∴θ＝.∴异面直线PB与CD所成角为.18.(14分)某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本,已知购买x台机器人的总成本p(x)＝＋x＋150万元.(1)若使每台机器人的平均成本最低,问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣(如图),经实验知,每台机器人的日平均分拣量q(m)＝(单位：件),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件,问引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【试题解答】解：(1)由总成本p(x)＝＋x＋150万元,可得每台机器人的平均成本y＝＝2.当且仅当,即x＝300时,上式等号成立.∴若使每台机器人的平均成本最低,应买300台；(2)引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量q(m)＝,当1≤m≤30时,300台机器人的日平均分拣量为160m(60﹣m)＝﹣160m2＋9600m,∴当m＝30时,日平均分拣量有最大值144000.当m＞30时,日平均分拣量为480×300＝144000.∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件.若传统人工分拣144000件,则需要人数为人.∴日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少＝75%.19.(14分)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,),已知角φ的终边经过点,点M(x1,y1)、N(x2,y2)是函数f(x)图象上的任意两点,当|f(x1)﹣f(x2)|＝2时,|x1﹣x2|的最小值是.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)已知△ABC面积为,角C所对的边,,求△ABC的周长.【试题解答】解：(1)已知角φ的终边经过点,且,则：φ＝﹣,点M(x1,y1)、N(x2,y2)是函数f(x)图象上的任意两点,当|f(x1)﹣f(x2)|＝2时,|x1﹣x2|的最小值是.所以：ω＝,所以：；(2)由于：＝sin()＝,且0＜C＜π,解得：C＝,△ABC面积为,所以：,解得：ab＝20.由于：c2＝a2＋b2﹣2abcosC,c＝2,所以：20＝(a＋b)2﹣3ab,解得：a＋b＝4,所以：.20.(16分)设点F1、F2分别是椭圆(t＞0)的左、右焦点,且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为,点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点,且向量与向量平行.(1)求椭圆C的方程；(2)当时,求△F1MN的面积；(3)当时,求直线F2N的方程.【试题解答】解：(1)点F1、F2分别是椭圆(t＞0)的左、右焦点,∴a＝t,c＝t,∵椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为,∴a﹣c＝t﹣t＝2﹣2,∴椭圆的方程为＋＝1,(2)由(1)可得F1(﹣2,0),F2(2,0),点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点,可设N(2cosθ,2sinθ),∴＝(2cosθ＋2,2sinθ),＝(2cosθ﹣2,2sinθ),∵,∴(2cosθ＋2)(2cosθ﹣2)＋4sin2θ＝0,解得cosθ＝0,sinθ＝1,∴N(0,2),∴＝(﹣2,2),∴k＝＝﹣1,∵向量与向量平行,∴直线F1M的斜率为﹣1,∴直线方程为y＝﹣x﹣2,联立方程组,解得x＝0,y＝﹣2(舍去),或x＝﹣,y＝,∴M(﹣,),∴|F1M|＝＝,点N到直线直线y＝﹣x﹣2的距离为d＝＝2,∴△F1MN的面积＝|F1M|•d＝××2＝,(3)∵向量与向量平行,∴λ＝,∴,∴(λ﹣1)||＝,即λ＞1,设M(x1,y1),N(x2,y2),∴λ(x1＋2)＝x2﹣2,y2＝λy1,∴x2＝λx1＋2(λ＋1)∵＋＝1,∴x22＋2y22＝8,∴[λx1＋2(λ＋1)]2＋2λ2y12＝12λ2＋8λ＋4＋4λ(λ＋1)x1＝8,∴4λ(λ＋1)x1＝(1﹣3λ)(λ＋1),∴x1＝＝﹣3,∴y12＝4﹣,∴||2＝(x1＋2)2＋y12＝(﹣3＋2)2＋4﹣＝,∴||＝,∴(λ﹣1)•＝,∴λ2﹣2λ﹣1＝0解得λ＝2＋,或λ＝2﹣(舍去)∴x1＝﹣3＝﹣3＝﹣1﹣,∴y12＝4﹣＝2﹣＝＝,∴y1＝,∴k＝＝﹣,∴直线F2N的方程为y﹣0＝﹣(x﹣2),即为x＋y﹣2＝021.(18分)设d为等差数列{a n}的公差,数列{b n}的前n项和T n,满足(n∈N*),且d＝a5＝b2,若实数m∈P k＝{x|a k﹣2＜x＜a k＋3}(k∈N*,k ≥3),则称m具有性质P k.(1)请判断b1、b2是否具有性质P6,并说明理由；(2)设S n为数列{a n}的前n项和,若{S n﹣2λa n}是单调递增数列,求证：对任意的k(k ∈N*,k≥3),实数λ都不具有性质P k；(3)设H n是数列{T n}的前n项和,若对任意的n∈N*,H2n﹣1都具有性质P k,求所有满足条件的k的值.【试题解答】解：(1)(n∈N*),可得n＝1时,T1＋＝﹣b1＝﹣T1,解得b1＝﹣,T2＋＝b2＝﹣＋b2＋＝b2,T3＋＝﹣b3＝﹣＋b2＋b3＋,即b2＋2b3＝,T4＋＝b4＝﹣＋b2＋b3＋b4＋,即b2＋b3＝,解得b2＝,b3＝﹣,同理可得b4＝,b5＝﹣,b6＝,b7＝﹣,…,b2n﹣1＝﹣,d＝a5＝b2,可得d＝a1＋4d＝,解得a1＝﹣,d＝,a n＝,P6＝{x|a4＜x＜a9}(k∈N*,k≥3)＝{x|0＜x＜},则b1不具有性质P6,b2具有性质P6；(2)证明：设S n为数列{a n}的前n项和,若{S n﹣2λa n}是单调递增数列,可得S n＋1﹣2λa n＋1≥S n﹣2λa n,即为≥,化为4λ＋6≤2n对n为一切自然数成立,即有4λ＋6≤2,可得λ≤﹣1,又P k＝{x|a k﹣2＜x＜a k＋3}(k∈N*,k≥3),且a1＝﹣,d＞0,可得P k中的元素大于﹣1,则对任意的k(k∈N*,k≥3),实数λ都不具有性质P k；(3)设H n是数列{T n}的前n项和,若对任意的n∈N*,H2n﹣1都具有性质P k,由于H1＝T1＝b1＝﹣,H3＝T1＋T2＋T3＝﹣,H5＝T1＋T2＋T3＋T4＋T5＝﹣, H7＝﹣＋0﹣＝﹣,…,H2n﹣1＝H2n﹣3＋b2n﹣1,(n≥2),当k＝3时,P3＝{x|a1＜x＜a6}＝{x|﹣＜x＜},当k＝4时,P4＝{x|a2＜x＜a7}＝{x|﹣＜x＜},当k＝5时,P5＝{x|a3＜x＜a8}＝{x|﹣＜x＜1},当k＝6时,P3＝{x|a4＜x＜a9}＝{x|0＜x＜},显然k＝5,6不成立,故所有满足条件的k的值为3,4.。
普陀区2018学年第一学期高三质量调研
2018学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷2018.12考生注意：1.本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸的正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名.将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3所有作答必须填涂或书写在答题纸与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分. 4.用B 2铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果. 1. 函数xx x f 21)(+-=的定义域为 . 2. 若31sin =α，则=⎪⎭⎫⎝⎛+απ2cos . 3. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧--∈3,2,1,21,31α，若αx x f =)(为偶函数，则=α .4. 若直线l 经过抛物线C ：x y 42=的焦点且其一个方向向量为)1,1(=d ，则直线l 的方程为 .5. 若一个球的体积是其半径的34倍，则该球的表面积为 . 6. 在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中随机取出 两个球，则至少有一个红球的概率为 （结果用最简分数表示）.7. 设663322105)1)(1(x a x a x a x a a x x +++++=+- ，则=3a （结果用数值表示）.8. 设0>a 且1≠a ，若0)cos (sin log =-x x a ，则=+x x 88cos sin .9. 如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长为4，记F D B C A =1111 ,E C B BC =11 ，若BF AE ⊥，则此棱柱的体积为 .10.某人的月工资由基础工资和绩效工资组成.2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元.从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的%110.照此推算，此人2019年的年薪为 万元（结果精确到1.0）.11. 已知点)0,2(-A ，设B 、C 是圆O :122=+y x 上的两个不同的动点，且向量OC t OA t OB )1(-+=（其中t 为实数），则=⋅AC AB .12. 设a 为整数，记函数xa xx f a-+=log 21)(（0>a 且1≠a ，a x <<0）的反函数为)(1x f -，则=⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+----1221231221211111a a f a f a f a f. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 下列关于双曲线Γ：13622=-y x 的判断，正确的是………………………………………（ ） )A (渐近线方程为02=±y x )B (焦点坐标为()0,3± )C (实轴长为12 )D (顶点坐标为()0,6±14.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=42cos 2πx y 的图像………………………………………………………………（ ）)A (关于原点对称 )B (关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,83π对称 )C (关于y 轴对称 )D (关于直线4π=x 对称15.若a 、b 、c 表示直线，α、β表示平面，则“b a //”成立的一个充分非必要条件是（ ）)A (c a ⊥，c b ⊥ )B (α//a ，α//b )C (β⊥a ，β⊥b )D (c a //，c b ⊥16.设)(x f 是定义在R 上的周期为4的函数.且⎩⎨⎧<<≤≤=41,log 210,2sin )(2x x x x x f π.记a x f x g -=)()(，若210<<a ，则函数)(x g 在区间[]5,4-上零点的个数是………………………………（ ） )A (5 )B (6 )C (7 )D (8三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在△ABC 中，三个内角A ,B ,C 所对的边依次为a ,b ,c ,且41cos =C . （1）求C BA 2sin 2cos22++的值； （2）设2=c ，求b a +的取值范围.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知曲线Γ：1121622=+y x 的左、右顶点分别为A ,B ，设P 是曲线Γ上的任意一点. （1）当P 异于A ,B 时，记直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k ⋅是定值；（2）设点C 满足CB AC λ=（0>λ），且||PC 的最大值为7，求λ的值.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上. 并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O ,钉尖为i A （4,3,2,1=i ）. （1）设1OA a =（0>a ），当321,,A A A 在同一水平面内时，求1OA 与平面321A A A 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）若该“钉”的三个端尖所确定的三角形的面积为232cm ，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少米？4A1A2A3AO20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设数列{}n a 满足531=a ，231+=+n n n a a a （*n ∈N ）.（1）求2a 、3a 的值；（2）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是等比数列，并求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→n a a a n n 111lim 21 的值； （3）记{}n a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数k ，使得对于任意的n （*n ∈N 且2≥n ）均有k S n ≥成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数xx f 2)(=（R ∈x ），记)()()(x f x f x g -+=. （1）解不等式：6)()2(≤-x f x f ；（2）设k 为实数，若存在实数0x (]2,1∈，使得1)()2(020-⋅=x g k x g 成立，求k 的取值范围；（3）记b x f a x f x h +⋅++=)()22()(（其中a 、b 均为实数），若对于任意的[]1,0∈x ，均有21|)(|≤x h ，求a 、b 的值.。
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上海市普陀区2018届高三一模数学试卷
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 设全集，若集合，则
2. 若，则
3. 方程的解
4. 的二项展开式中的常数项的值为
5. 不等式的解集为
6. 函数的值域为
7. 已知是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点
所在的象限为第象限
8. 若数列的前项和（），则
9. 若直线与曲线交于两点、，则的值为
10. 设、、、是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个（）使得成立，则满足此条件的不同排列的个数为
11. 已知正三角形的边长为，点是所在平面内的任一动点，若，
则的取值范围为
12. 双曲线绕坐标原点旋转适当角度可以成为函数的图像，关于此函
数有如下四个命题：
①是奇函数；
②的图像过点或；
③的值域是；
④函数有两个零点；
则其中所有真命题的序号为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 若数列（）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数
是（）
A. 0个
B. 1个
C. 无数个
D. 不确定
14. “”是“函数在区间上为增函数”的（）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
15. 用长度分别为2、3、5、6、9（单位：）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）
A. 258
B.
C. 416
D. 418
16. 定义在上的函数满足，且，则
函数在区间上的所有零点之和为（）
A. 4
B. . 7 D. 8
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图所示的圆锥的体积为，底面直径，点是弧的中点，点是母
线的中点.
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）求异面直线与所成角的大小.
18. 某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本万元.
（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？
（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件
送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量
（单位：件），
已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200
件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，
用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少
百分之几？
19. 设函数（，），已知角的终边经过点，点
、是函数图像上的任意两点，当时，的
最小值是.
（1）求函数的解析式；
（2）已知面积为，角所对的边，，求的周长.
20. 设点、分别是椭圆（）的左、右焦点，且椭圆上的点到点
的距离的最小值为，点、是椭圆上位于轴上方的两点，且向量与
向量平行.
（1）求椭圆的方程；
（2）当时，求的面积；
（3）当时，求直线的方程.
21. 设为等差数列的公差，数列的前项和，满足
（），且，若实数（，），则称
具有性质.
（1）请判断、是否具有性质，并说明理由；
（2）设为数列的前项和，若是单调递增数列，求证：对任意的（，），实数都不具有性质；（3）设是数列的前项和，若对任意的，都具有性质，求所有满足条件的的值.
普陀区2017学年第一学期高三数学质量调研评分标准
一、填空题
1 2 3 4 5 6
{} 1,21
4
1-84
-[0,1)(1,2]
U[1,3]
-
7 8 9 10 11 12
一2
-1615[0,6]①②
二、选择题
13 14 15 16
C A C B
三、解答题
17.（1）由圆锥的体积，…………………………… 2分
得，即, …………………………………………… 4分
则该圆锥的侧面积为. …………………… 6分
（2）联结，由条件得，即是异面直线与所成角或其补角，…………………………………… 2分
点是弧的中点，则,又为该圆锥的高，
则,即平面，…………………………… 4分
在平面内，则，即为直角三角形，
又，则，…………………… 7分
即异面直线与所成角的大小为.……………………… 8分
18.（1）由题意得每台机器人的平均成本为…………………2分
……………………4分
当且仅当，即时取等号，
则要使每台机器人的平均成本最低，应买台. ………………………………………6分（2）当时，每台机器人日平均分拣量
，当时，每台机器人的日平均分拣量最大值为……2分
当时，每台机器人的日平均分拣量仍为，则引进台机器人后，日平均分拣量的最大值为. …………………………………………4分
若用传统人工分拣件，则需要人，…………………………6分
因此，引进机器人后要降低物流成本，用人数量比引进机器人前的用人数量
最多可减少. ……………………………………………………8分
19.（1）由角的终边经过点得，
又，则，………………………………………………………………3分
当时，的最小值是，则，即，………………………………………………………………………………5分
则所求函数的解析式为. ………………………………………6分
（2）由（1）得，
又△的面积为，则，即，……………………4分
由余弦定理得，即,即………7分
则所求的△的周长为. …………………………………………………………8分
20．（1）由得点，又椭圆上的点到点的距离的最小值为，则，………………………………………………3分
即，故椭圆的方程为.………………………………4分
（2）设，，则，且，
由（1）得，，即，，
又，即，联立，
解得，即. ………………………………………………………………2分
又且，则是直线的一个法向量，即直线的
点法向式方程为，即.联立消去整理
化简得，即或（舍），
得，即. ………………………………………………………………4分
则，即的面积为.………………………………6分
说明：三角形面积的求法不唯一，可以图形分割，用面积求差来解；也可以用点到直线的距离求出高，再用两点之间的距离公式求出底，用底与高乘积的一半来求等；也可等面积转换求解，请相应给分.
（3）延长线段交椭圆于点，向量与向量平行，根据椭圆的中心对称性得且，即 (2)
分
又，则直线的斜率一定存在且值为负，可设直线的方程为：，点，，且，联立方程，
整理化简得，则.
则
，
即，整理得，即……………5分
又，则，故直线的方程为. ……………………6分
21.（1）由得，………………………………1分
又，得………………………………3分
可得
从而
故不具有性质，具有性质. …………………………………………4分
说明：求是难点，第（1）问不必这样求解，可以直接用等差数列单调性判断下结论，可相应的评分，求以及数列的通项公式的评分可在第（2）问解答过程中体现.
（2），
………………………………………2分
因为数列单调递增，所以，即，…………………4分
又数列单调递增，则数列的最小项为，
则对任意，都有，
故实数都不具有性质. ……………………………………………………6分（3）因为，所以，
两式相减得，
即，
当为偶数时，，即，此时为奇数；
当为奇数时，，即，则，
此时为偶数；
则，. ……………………………………3分
则
故
……………5分
因为对于一切递增，所以，
所以 .
若对任意的，都具有性质，则，
即，解得，又，则或，
即所有满足条件的正整数的值为和.………………………………………8分
说明：此处可不求，直接用求和定义得
请相应评分.。