三角函数在物理学中的应用

三角函数的应用

高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，三角函数在物理学中的应用最为广泛。借助物理知识渗透考查数学能力是高考和自主招生命题的永恒主题。高考物理考试大纲对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确要求。下面对三角函数的应用做一小总结。

公式总结

1．利用二倍角公式求极值

正弦函数二倍角公式 θθθcos sin 22sin =

如果所求物理量的表达式可以化成 θθcos sin A y = 则根据二倍角公式，有 θ2sin 2

A

y = 当 0

45=θ时，y 有最大值 2

max A y =

2．利用和差角公式求物理极值 三角函数中的和差角公式为

βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±

βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±

在力学部分求极值或讨论物理量的变化规律时，这两个公式经常用到，如果所求物理量的表达式为θθcos sin b a y +=，我们可以通过和差角公式转化为

)cos sin (

2

2

2

2

22θθb

a b b

a a

b a y ++++=

令

φcos 2

2

=+b

a a ，

φsin 2

2=+b

a b

则 )sin(22φθ++=

b a y

当 0

90=+φθ时，y 有最大值 22max b a y +=

3．利用求导求物理极值 4．三角函数中的半角公式

2cosa -12a sin

= 2

cosa 12cos +=a

a a a a a cos 1sin sin cos 1cos 1cosa -12a tan

+=-=+= a

a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cosa 12a cot

+=-=-+= 典型例题解析：

1、一间新房即将建成时要封顶，考虑到下雨时落至房顶的雨滴能尽快地流离房顶，要设计好房顶的坡度，设雨滴沿房顶下淌时做无初速度无摩擦地运动，那么图1所示四种情况中符合要求的是（ ）

【解析】雨滴沿房顶做初速度为零的匀加速直线运动，设房顶底边长为L ，斜面长为S ，倾角为θ，根据运动学公式2at 21S =

有θθsin gt 2

1cos 2L 2⋅=，解得θ

θθ2s i n gL 2cos sin gL

t =

⋅=

，当0

45=θ时，t 有最小值．

【答案】C

2、如图2所示,一辆1/4圆弧形的小车停在水平地面上。一个质量为m 的滑块从静止开始由顶端无摩擦滑下，这一过程中小车始终保持静止状态，则滑块运动到什么位置时，地面对小车的静摩擦力最大？最大值是多少？

【解析】设圆弧半径为R ，滑块运动到半径与竖直方向成θ角时，静摩擦力最大，且此时滑块速度为v ，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律，应有

2

2

1cos mv mgR =

⋅θ ① R

v m mg N 2

cos =-θ ②

由①②两式联立可得滑块对小车的压力 θcos 3mg N = 而压力的水平分量为

θθθθ2sin 2

3

cos sin 3sin mg mg N N x =

⋅=⋅= 设地面对小车的静摩擦力为f ，根据平衡条件，其大小 θ2sin 2

3

mg N f x =

= 从f 的表达式可以看出，当θ=450

时，θ2sin =1有最大值，则此时静摩擦力的最大值

图2

图1

mg f 2

3

max =

3、如图3所示，重为G 的木块与水平面间动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F 使木块沿地面匀速运动，则此最小作用力的大小和方向如何？

【解析】木块受四个力的作用，即重力G ，地面的支持力F N ，摩擦力f F 和施加的外力

F ，受力分析如图7所示，设力F 与x 轴夹角为θ，由于物体在水平面上做匀速直线运动，处于平衡状态，所以在x 轴和y 轴分别列平衡方程：

f F F =θcos ①

G F F N =+θsin ② 且有

N f F F μ= ③

联立①②③式，θ

μθμsin cos +=

G

F

利用和差角公式变形为 )

sin(12

φθμμ++=

G

F (其中μ

φ1

=

tg )

当1)sin(=+φθ 时，F 具有极小值 2

min 1μ

μ+=

G

F

F 与x 轴正方向间夹角μθ1-=tg

4、用跨过定滑轮的绳牵引物块，使其从图4所示位置起沿水平面向左做匀速运动。若物块与地面间的动摩擦因数为1<μ，绳与滑轮质量不计。试分析运动过程中绳拉力的变化情况。

【解析】本题为讨论物理量的变化规律的问题， 设绳子拉力为F ，受力分析、列平衡方程、求解F 同上一例题。

θ

μθμsin cos +=G

F

利用和差角公式变形为 )

sin(12

φθμμ++=

G

F (其中μ

φ1

=

tg )

∵1<μ，1>φtg ∴ 900

≥φ≥450

而随物块向左运动， 450

≤θ≤900

则 1800

≥>+)(φθ900

随θ增大，)sin(φθ+减小，F 增大，

图

4