分治法解决集合划分问题

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分治法解决问题的步骤

分治法解决问题的步骤一、基础概念类题目（1 - 5题）题目1：简述分治法解决问题的基本步骤。

解析：分治法解决问题主要有三个步骤：1. 分解（Divide）：将原问题分解为若干个规模较小、相互独立且与原问题形式相同的子问题。

例如，对于排序问题，可将一个大的数组分成两个较小的子数组。

2. 求解（Conquer）：递归地求解这些子问题。

如果子问题规模足够小，则直接求解（通常是一些简单的基础情况）。

对于小到只有一个元素的子数组，它本身就是有序的。

3. 合并（Combine）：将各个子问题的解合并为原问题的解。

在排序中，将两个已排序的子数组合并成一个大的有序数组。

题目2：在分治法中，分解原问题时需要遵循哪些原则？解析：1. 子问题规模更小：分解后的子问题规模要比原问题小，这样才能逐步简化问题。

例如在归并排序中，不断将数组对半分，子数组的长度不断减小。

2. 子问题相互独立：子问题之间应该尽量没有相互依赖关系。

以矩阵乘法的分治算法为例，划分后的子矩阵乘法之间相互独立进行计算。

3. 子问题与原问题形式相同：方便递归求解。

如二分查找中，每次查找的子区间仍然是一个有序区间，和原始的有序区间查找问题形式相同。

题目3：分治法中的“求解”步骤，如果子问题规模小到什么程度可以直接求解？解析：当子问题规模小到可以用简单的、直接的方法（如常量时间或线性时间复杂度的方法）解决时，就可以直接求解。

例如，在求数组中的最大最小值问题中，当子数组只有一个元素时，这个元素既是最大值也是最小值，可以直接得出结果。

题目4：分治法的“合并”步骤有什么重要性？解析：1. 构建完整解：它将各个子问题的解组合起来形成原问题的解。

例如在归并排序中，单独的两个子数组排序好后，只有通过合并操作才能得到整个数组的有序排列。

2. 保证算法正确性：如果合并步骤不正确，即使子问题求解正确，也无法得到原问题的正确答案。

例如在分治算法计算斐波那契数列时，合并不同子问题的结果来得到正确的斐波那契数是很关键的。

分治法的个人总结

分治法是一种算法设计策略，它将问题划分为较小的子问题，然后通过解决子问题来解决原始问题。

个人总结如下：
分解问题：分治法首先将原始问题分解为规模较小的子问题。

这可以通过递归地将问题划分为更小的部分来实现。

分解问题的关键是确保每个子问题都是原始问题的规模的一个子集。

解决子问题：每个子问题都可以通过相同的算法来解决。

递归地应用相同的算法，直到达到基本情况，也就是子问题可以直接解决的规模。

合并解决方案：一旦解决了子问题，就将它们的解合并起来，形成原始问题的解。

这通常涉及对子问题的解进行组合，以获得原始问题的最终解。

适用性：分治法适用于那些可以自然地分解为子问题的问题。

它在解决许多常见问题时非常有效，如排序、搜索、计算最大值和最小值、归并等。

时间复杂度：分治法通常在每个子问题上执行相同的操作，并且子问题的数量通常是对数级别的。

因此，分治算法的时间复杂度通常可以表示为递归深度的多项式。

常见的时间复杂度包括O(nlogn)和O(n^2)。

并行化：由于分治法的子问题通常是相互独立的，因此它很适合并行化处理。

可以同时处理多个子问题，然后将它们的解合并起来。

这使得分治法在并行计算中具有较好的可扩展性。

总的来说，分治法是一种强大的算法设计策略，它通过将问题分解为子问题并递归地解决它们，然后将子问题的解合并起来，从而解决了许多复杂的问题。

它在算法设计和并行计算中都具有广泛的应用。

简述分治法求解的基本步骤

简述分治法求解的基本步骤分治法是一种基本的求解算法，它可以帮助我们解决复杂问题并实现高效的解决方案。

简言之，分治法是一个非常强大的算法，可以帮助我们解决很多规模较大的复杂问题。

分治法是由三个基本步骤组成：分解、解决和结合。

首先，分解步骤是分治法的核心步骤，即将原问题划分为若干规模较小的子问题，以便进行求解。

这些子问题往往容易解决，而且与原问题有联系。

比如，在解决一个最大的问题的时候，可以分解为N 个子问题，每个子问题都可以轻松解决。

其次，解决步骤则是对这些已经分解的子问题求解。

决定求解哪种子问题，则取决于实际情况，最常用的也有暴力解法、递归法、动态规划法等。

如果每个子问题都可以得到一个最优解，那么分治法也可以求出原问题的最优解。

最后，结合步骤是将分解出来的子问题的解合并成原问题的解。

一般来说，如果子问题的解是一个最优解的集合，则可以将这些最优解合并成原问题的最优解。

有时候，我们也可以从子问题的最优解中构造出一个更优解用于满足原问题。

总结起来，分治法求解的基本步骤由分解、解决和结合三个基本步骤组成，其中，分解步骤是分治法的核心步骤，解决步骤是求解已经分解的子问题，结合步骤是将子问题的解合并成原问题的解。

在解决复杂问题的时候，分治法可以极大的提高算法的效率，并且简单易行，非常实用。

分治法在计算机科学中被广泛使用，它可以解决多种不同的问题，包括排序、搜索、图论、博弈、动态规划、最大流量问题等。

分治法可以大大提高算法的运行效率，使得解决复杂问题更加便捷。

因此，分治法是一种非常有效的算法，近年来得到了越来越多的应用。

综上所述，分治法是一种有效的算法，它可以帮助我们解决复杂的问题并得到最优解，它由三个基本步骤组成：分解、解决和结合。

在解决复杂问题的时候，应用分治法可以大大提高算法的效率，已较好地解决问题。

如何应用分治算法求解问题

如何应用分治算法求解问题分治算法，英文名为Divide and Conquer Algorithm，是一种高效的算法设计策略，在计算机科学中有着广泛的应用。

该算法将一个大问题分解成多个小问题，各自独立地解决，再将结果合并起来得到最终结果。

在本文中，我们将阐述如何应用分治算法求解问题，并通过几个实例来具体说明该算法的应用。

一、分治算法的原理分治算法的核心思想是将一个大问题分解成若干个小问题来解决，然后将这些小问题的解组合起来生成大问题的解。

其具体步骤如下：1. 分解：将原问题划分成若干个规模较小的子问题。

2. 解决：递归地解决每个子问题。

如果子问题足够小，则直接求解。

3. 合并：将所有子问题的解合并成原问题的解。

分治算法的主要优点在于它可以有效地缩小问题规模，从而缩短整个算法的执行时间。

另外，该算法天然适用于并行计算，因为每个子问题都是独立求解的。

二、分治算法的应用分治算法在各种领域都有广泛应用，包括数学、自然科学、计算机科学等。

以计算机科学领域为例，分治算法常常用于解决以下类型的问题：1. 排序问题2. 查找问题3. 字符串匹配问题4. 最大子序列和问题5. 矩阵乘法问题6. 图形问题下面我们将一一讲解这些问题的分治算法实现。

1. 排序问题排序问题是在一组数据中将其按指定规律进行排列的问题。

在计算机科学中，排序算法是十分重要的一类算法。

其中，分治算法由于其高效性和可并行性被广泛应用。

常用的分治排序算法包括归并排序和快速排序。

归并排序的基本思想是将待排序元素以中心点为界分成两个序列，对每个序列进行排序，然后将两个序列合并成一个有序序列；而快速排序则利用了分割的思想，通过每次选取一个元素作为“轴点”，将数组分成小于轴点和大于轴点的两部分，对这两部分分别进行快速排序。

2. 查找问题查找问题是在一组数据中寻找某个元素的问题。

分治算法在查找问题中的应用主要体现在二分查找中。

在二分查找中，我们首先将已排序的数组分成两半，在其中一半中查找目标值。

分治算法举例范文

分治算法举例范文分治算法是一种很重要的算法思想，它将一个大的问题划分成较小的子问题，然后分别求解这些子问题，最后将子问题的解合并起来得到原问题的解。

下面我将详细介绍分治算法的几个经典例子。

1. 快速排序（Quick Sort）快速排序是一种经典的使用分治算法的排序算法。

它首先选择一个基准元素，然后将数组划分成两个子数组：小于基准元素的和大于基准元素的。

然后对这两个子数组分别递归地进行快速排序，最后将两个子数组合并起来即可得到有序的数组。

快速排序的时间复杂度为O(nlogn)。

2. 归并排序（Merge Sort）归并排序也是一种利用分治思想的排序算法。

它将待排序的数组划分成两个子数组，然后分别对这两个子数组进行归并排序，最后将两个有序的子数组合并成一个有序的数组。

归并排序的时间复杂度也是O(nlogn)。

3. 汉诺塔问题（Tower of Hanoi）汉诺塔问题是数学领域中一个经典的问题，也可以通过分治算法来解决。

问题的规模是将n个圆盘从一个柱子移动到另一个柱子上，移动时需要遵守以下规则：每次只能移动一个盘子，移动过程中不能将较大的盘子放在较小的盘子上。

可以将问题划分成三个子问题：将前n-1个盘子从起始柱子移动到中间柱子上，将最后一个盘子从起始柱子移动到目标柱子上，最后将前n-1个盘子从中间柱子移动到目标柱子上。

这样就可以递归地求解子问题，最后合并起来得到原问题的解。

4. 最大子数组和问题（Maximum Subarray）最大子数组和问题是求解给定数组中连续子数组的最大和的问题。

可以使用分治算法来解决这个问题。

首先将数组划分成两个子数组，然后分别求解这两个子数组中的最大子数组和。

接下来，需要考虑跨越中点的情况，即包含中点的子数组的最大和。

最后，将这三种情况中的最大值作为最终的结果。

最大子数组和问题的时间复杂度为O(nlogn)。

5. 矩阵乘法（Matrix Multiplication）矩阵乘法也可以通过分治算法来实现。

2.分治法

计算机学院
甘靖
2014-5-21
- 计算机算法基础 -
二次取中间值
计算机学院
甘靖
2014-5-21
- 计算机算法基础 -
算法时间复杂度分析
最坏情况下
T(n)cn if n24
T(n)T(n/5)+T(3n/4)+cn T(n) 20cn
计算机学院
甘靖
2014-5-21
- 计算机算法基础 -
summary
Divide-and-Conquer
A problem’s instance is divided into several smaller instances of the same problem, ideally of about the same size. The smaller instances are solved. If necessary, the solutions obtained for the smaller instances are combined to get a solution to the original problem.
计算机学院
甘靖
2014-5-21
- 计算机算法基础 -
五、选择问题
方案一：先用排序算法排序，然后输出第k个元素算法复杂度O(nlog2n) 要排序整个l-5-21
- 计算机算法基础 -
方案二：不必排序整个list，只需排序包含kth最小元的子集
A[j] A[j]
平均情况下(和下面递归式有相同的复杂度)
T(n)=T(n/2)+(n+1) T(n)=(n)
计算机学院
甘靖
2014-5-21

分治法的步骤

分治法的步骤分治法是一种常见的算法设计策略，它将问题分解成更小的子问题，然后递归地解决每个子问题，最后将这些子问题的解合并起来得到原问题的解。

下面将详细介绍分治法的步骤。

一、分治法的定义和基本思想分治法是一种算法设计策略，它将一个大问题分解成若干个相互独立且结构相同的小问题，递归地求解这些小问题，并将它们的结果组合起来得到原问题的解。

在实际应用中，分治法通常用于处理那些具有重复性质或者可以通过递归实现的计算任务。

二、分治法的步骤1. 分解：首先将原问题划分为若干个规模较小、结构相似且独立的子问题。

这个过程通常称为“分解”（divide）。

2. 解决：对每个子问题进行递归求解。

如果子问题足够小而可以直接求解，则直接求解。

这个过程通常称为“解决”（conquer）。

3. 合并：将所有子问题的结果合并成原问题的结果。

这个过程通常称为“合并”（combine）。

三、应用场景1. 排序算法：例如归并排序、快速排序等。

2. 查找算法：例如二分查找。

3. 图论算法：例如最大子数组、矩阵乘法、汉诺塔等。

四、分治法的优缺点1. 优点：分治法可以有效地解决一些具有重复性质或者可以通过递归实现的计算任务，具有较高的效率和可扩展性。

2. 缺点：分治法需要额外的空间来存储子问题的结果，而且在递归过程中可能会出现栈溢出等问题，需要进行合理的优化。

同时，如果分解得不够合理或者子问题之间存在依赖关系，则可能会导致算法效率下降。

五、总结分治法是一种常见的算法设计策略，它将一个大问题划分为若干个规模较小、结构相似且独立的子问题，并递归地求解这些子问题。

在实际应用中，分治法通常用于处理那些具有重复性质或者可以通过递归实现的计算任务。

虽然分治法具有较高的效率和可扩展性，但也存在额外空间开销和栈溢出等问题，需要进行合理优化。

分治法有哪些经典用途

分治法有哪些经典用途分治法是一种常见的算法思想，它的核心思想就是将一个问题分解成多个子问题，然后解决各个子问题，最后将各个子问题的结果合并，从而得到原问题的解决方案。

分治法一般可以分为三个步骤：分解问题、解决子问题、合并子问题结果。

分治法可以用来解决许多经典问题，下面将介绍一些常见的应用。

1. 排序排序可以说是计算机程序中最常见的问题之一，而分治法则是其中的一种经典算法思想。

经典的归并排序算法就是一种基于分治法的排序算法。

该算法将数组分解成两个子数组，分别进行递归排序，最后将两个子数组合并成一个有序数组。

2. 最大子序列和问题最大子序列和问题是一个在数组中寻找一个连续子序列，使得该子序列中的元素和最大的问题。

该问题可以使用分治法来解决。

将数组分成两半，分别计算左半边、右半边以及横跨两个子数组的最大子序列和。

最后将这些结果合并，找出最大的子序列和。

3. 二分搜索二分搜索是一种常见的查找算法，它可以在有序数组中快速查找指定元素。

该算法也是一个基于分治法的算法。

将数组分成两半后查看中间元素，如果中间元素等于指定元素，则查找结束。

如果中间元素大于指定元素，则在左边的子数组中查找。

如果中间元素小于指定元素，则在右边的子数组中查找。

4. 逆序对问题逆序对问题是一个在数组中寻找所有逆序对个数的问题。

逆序对指的是在一个数组中，如果i<j且a[i]>a[j]，则称(a[i], a[j])是一个逆序对。

这个问题可以利用分治法来解决，将数组分成两个子数组，分别计算左半边、右半边以及跨越两个子数组的逆序对数。

最后将这些结果合并，得到所有逆序对的个数。

5. 矩阵乘法矩阵乘法是一个重要的数学问题，也是在计算机领域中广泛应用的问题之一。

分治法可以用来加快矩阵乘法的计算。

将两个矩阵分成四个子矩阵后，可以利用递归方式对每个子矩阵进行矩阵乘法计算，最后将结果合并得到最终的乘积矩阵。

6. 凸包问题凸包问题是计算机几何学中的一个经典问题，它的主要目标是求出一个点集的凸包，即包含给定点集的最小凸多边形。

分治算法求解二维点集合的skyline

分治算法求解二维点集合的skyline分治算法（Divide and Conquer）是一种常见的算法设计思想，通过将问题划分成多个子问题并分别解决，最后合并子问题的解来得到原问题的解。

在求解二维点集合的skyline问题时，可以使用分治算法来提高算法效率。

二维点集合的skyline问题可以描述如下：给定一组二维点的集合，求解在x轴上没有点的水平线上的点集，即skyline。

其中，水平线上的点的y坐标不得大于当前水平线上的所有点中的最大y坐标。

下面介绍如何使用分治算法来求解二维点集合的skyline问题：1. 将点集合按照x轴坐标进行排序。

可以使用快速排序等算法对点集合进行排序。

2. 将排序后的点集合分成两个子问题。

可以按照点集合的中间点将集合一分为二。

假设中间点的x坐标为x_mid，将点集合分为两个子集合：左集合L和右集合R，其中L中的点的x坐标小于等于x_mid，R中的点的x坐标大于x_mid。

3. 对左右两个子集合分别递归地求解skyline。

即对子集合L和R进行调用算法以得到各自的skyline。

4. 合并左右两个子集合的skyline。

将两个skyline合并成一个结果。

合并时，需要比较两个skyline中每个点的y坐标，选取较大的点加入结果中。

如果两个skyline中的点的y坐标相同，则选取左侧的点加入结果中。

通过上述分治算法求解二维点集合的skyline，可以得到正确的结果。

该算法的时间复杂度为O(nlogn)。

其中，n为点集合的大小。

参考内容：- Cormen, T. H., Leiserson, C. E., Rivest, R. L., & Stein, C. (2009). Introduction to Algorithms (3rd Edition). The MIT Press.- Bentley, J. L. (1977). Algorithms for K-Dimensional Quadrant Queries and Orthogonal Range Searching. In Proceedings of the Eighth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (pp. 9-16).。

分治算法的例子

分治算法的例子1. 哎呀，你知道吗，比如有一个大任务是把一堆杂乱的数字排序。

这就好像整理一个超级乱的房间一样。

我们可以把这堆数字分成两部分，分别排序，然后再合起来，这就是分治算法呀！就像你先整理房间的左边，再整理右边，最后整个房间就整齐啦！2. 嘿，想象一下要在一个巨大的图书馆里找一本书。

我们可以把图书馆分成几个区域，每个区域再派人去找，这也是分治算法呀！难道不是很神奇吗？就像大家分工合作去找那本神秘的书。

3. 哇哦，你看计算一个很大很大的矩阵的乘法。

这简直像一座难以翻越的大山！但我们可以把它分成小块，分别计算，再组合起来，这不就是分治算法的魅力吗？就如同一点点攻克一座高山。

4. 你想想，要解决一个超级复杂的迷宫问题。

我们可以把迷宫分成几个部分呀，一部分一部分地去探索，然后汇总结果，这不是分治算法在起作用吗？这多像一点一点解开迷宫的秘密呀！5. 嘿呀，比如统计一个很大区域里的人口数量。

我们可以把这个区域划分成小块，分别统计，最后汇总，这就是分治算法呀！跟把一个大蛋糕切成小块来数有什么区别呢！6. 哎呀呀，要找出一堆物品中最重的那个。

我们可以把物品分成几组，找出每组最重的，再比较，这不就是用了分治算法嘛！是不是很像在一堆宝藏中找最耀眼的那颗宝石呀！7. 哇塞，要对一个超级长的字符串进行操作。

那我们就把它分成小段来处理嘛，这就是分治算法的精彩之处呀！好比把一条长长的绳子分段来摆弄。

8. 你瞧，像解决一个大的图像识别问题。

我们把图像分成小部分，一部分一部分地去分析识别，最后拼起来，这绝对是分治算法的厉害所在！就如同一片片拼凑出一幅美丽的图画。

我的观点结论就是：分治算法真的是超厉害的，它能把复杂的大问题化简，就像一把神奇的钥匙能打开很多难题的大门！。

集合划分

1、判断题，并请说明理由：因为分治算法会用到递归，而递归函数的复杂度都普遍高于非递归函数，所以分治算法的复杂度都比较高。

不一定，分治算法把一个大规模的问题划分为n个规模较小的而结构与原来相似的子问题, 递归解决这些子问题,然后再合并其结果。

比如快速排序，在最优情况下，每次都分成两等分，问题的子序列个数为logN个，这时复杂度为O（NlogN）;最坏情况下，待排序列是从大到小，我们要将其从小到大排序，复杂度为O(N*N)2.集合划分思路：对于n个元素的集合，可以划分成由m(1<=m<=n)个子集构成的子集，如 {{1}，{2}，{3}，{4}}就是由4个子集构成的非空子集。

假设f(n,m)表示将n个元素的集合划分成由m个子集构成的集合的个数，那么可以这样来看：1)若m==1，则f(n,m)=1;2)若n==m，则f(n,m)=1;3)若非以上两种情况，f(n,m)可以由下面两种情况构成a.向n-1个元素划分成的m个集合里面添加一个新的元素，则有m*f(n-1,m)种方法；b.向n-1个元素划分成的m-1个集合里添加一个由一个元素形成的独立的集合，则有f(n-1,m-1)种方法。

因此：1 (m==1||n==m)f(n,m)=f(n-1,m-1)+m*f(n-1,m) (m<n&&m!=1)3.#include<stdio.h>int f(int n,int m){if(m==1||n==m)return1;elsereturn f(n-1,m-1)+f(n-1,m)*m;}int main(void){int n;while(scanf("%d",&n)==1&&n>=1){int i;int sum=0;for(i=1;i<=n;i++){sum+=f(n,i);}printf("%d\n",sum); }return0;}运行结果：。

分治法

分治法对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。

这种算法设计策略叫做分治法。

分治法的基本思想任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。

问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。

例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。

n=2时，只要作一次比较即可排好序。

n=3时只要作3次比较即可，…。

而当n较大时，问题就不那么容易处理了。

要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。

分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n ，且这些子问题都可解，并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。

由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。

在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。

这自然导致递归过程的产生。

分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

分治法的适用条件分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：1.该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；2.该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。

3.利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；4.该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心法或动态规划法。

用分治法解决问题

当n=2时的分治法又称二分法。
分治法所能解决的问题具有以下几个特征：
1.该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
2.该问题可以分解为若干个规模较小且基本相同的子问题。
3.利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
基本步骤
一般分为三步递归进行 1.分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独
分治过程
比较过程
2 2
分析
从图例可以看出，当有8个金块的时候，方法1需要比较15-16次，方法2只需要比较10次,那么形成比较次数差异的根据原因在哪里?
其根本原因在于方法2对金块实行了分组比较。对于N枚金块，我可以推出比较次数的公式：假设n是2的次幂，c(n)为所需要的比较次数。方法1： c(n)=2n-1 方法2：c(n) = 2c(n/2 ) + 2。由c(2)=1, 使用迭代方法可知c(n) = 3n/2 - 2。
方法1
假设袋中有n 个金块。可以用函数M a x通过n-1次比较找到最重的金块。找到最重的金块后，可以从余下的n-1 个金块中用类似的方法通过n-2次比较找出最轻的金块。这样，比较的总次数为2n-3。
算法如下： int max=a[1],min=a[1], i; for(i=2;i<=n;i++){ if(a[i]>max){ max=a[i]; } if(a[i]<min){ min=a[i]; } }
为了帮助你完成这一任务，将提供一台可用来比较两组硬币重量的仪器，比如天平。利用这台仪器，可以知道两组硬币的重量是否相同。
方法1
任意取1枚硬币，与其他硬币进行比较，若发现轻者，这那枚为伪币。最多可能有15次比较。

分治算法使用实例

分治算法使用实例分治算法是一种基本的算法思想，用于解决各种问题。

它将一个大问题分解成多个小问题，然后递归地解决这些小问题，并将结果进行合并，从而得到大问题的解决方案。

分治算法被广泛应用于各个领域，如排序、查找、计算、图像处理等。

下面以三个经典的分治算法为例，具体说明分治算法的使用场景和实现方法。

1.归并排序：归并排序是一种高效的排序算法，它使用了分治算法的思想。

该算法将待排序的数组不断地二分，直到问题被分解为最小规模的子问题。

然后，将这些子问题逐个解决，并将结果进行合并，即将两个有序的子数组合并为一个有序的数组。

最终，所有子问题都解决完毕后，得到的数组就是排序好的结果。

归并排序的实现过程如下：-分解：将待排序的数组分解为两个子数组，递归地对这两个子数组进行排序。

-解决：对两个子数组分别进行排序，可以使用递归或其他排序算法。

-合并：将两个已排序的子数组合并为一个有序的数组。

2.求解最大子数组和：给定一个整数数组，求其最大子数组和。

分治算法可以解决这个问题。

该算法将问题分解为三个子问题：最大子数组和位于左半部分、最大子数组和位于右半部分、最大子数组和跨越中间位置。

然后，递归地对这三个子问题求解，并将结果进行合并，得到最终的解。

求解最大子数组和的实现过程如下：-分解：将待求解的数组分解为两个子数组，递归地求解这两个子数组的最大子数组和。

-解决：对两个子数组分别求解最大子数组和，可以使用递归或其他方法。

-合并：找出三个子问题中的最大子数组和，返回作为最终的解。

3.汉诺塔问题：汉诺塔问题是一个著名的递归问题，可以使用分治算法解决。

假设有三个柱子，初始时，有n个盘子从小到大依次放在第一个柱子上。

目标是将这些盘子移动到第三个柱子上，并保持它们的相对顺序不变。

每次只能移动一个盘子，并且大盘子不能放在小盘子上面。

汉诺塔问题的实现过程如下：-分解：将问题分解为两个子问题，将n-1个盘子从第一个柱子移动到第二个柱子，将最大的盘子从第一个柱子移动到第三个柱子。

NOIP基础算法综合---分治与贪心

分析
• B、求方程的所有三个实根
• 所有的根的范围都在-100至100之间，且根与根之差的绝对值>=1。因此可知：在[-100,-99]、[-99,-98]、……、[99， 100]、[100，100]这201个区间内，每个区间内至多只能有一个根。即：除区间[100，100]外，其余区间[a,a+1]，只有当f(a)=0或f(a)·f(a+1)<0时，方程在此区间内才有解。若f(a)=0 ，解即为a；若f(a)·f(a+1)<0 ，则可以利用A中所述的二分法迅速出找出解。如此可求出方程的所有的解。
while(i<=mid)temp[p++]=a[i++]; while(j<=right)temp[p++]=a[j++]; for(i=left;i<=right;i++)a[i]=temp[i]; }
【变形1】逆序对数目
• 例题：求“逆序对”。 • 给定一整数数组A=(A1,A2,…An), 若i<j且Ai>Aj,
核心参考代码
void divide(double x1,double x2) { double x0,y0,y1,y2;
x0=(x1+x2)/2; y1=cal(x1);y2=cal(x2);y0=cal(x0); if(x2-x1<0.00001&&y1*y2<0)
{printf("%.4f ",(x2+x1)/2);return;} if(y1*y0<0||x0-x1>1) divide(x1,x0); if(y0*y2<0||x2-x0>1) divide(x0,x2); }

集合划分问题

集合划分问题实验目的：通过对集合划分问题的算法的设计，进一步熟悉理解并灵活运用递归与分治策略，掌握该算法思想的核心内容。

实验内容：1）内容描述：n 个元素的集合{1,2,., n }可以划分为若干个非空子集。

例如，当n=4 时，集合{1，2， 3，4}可以划分为15 个不同的非空子集2）编程任务：给定正整数n 和m，计算出n 个元素的集合{1,2,., n }可以划分为多少个不同的由m 个非空子集组成的集合。

3）数据输入：由文件input.txt 提供输入数据。

文件的第1 行是元素个数n 和非空子集数m。

4）结果输出:程序运行结束时，将计算出的不同的由m个非空子集组成的集合数输出到文件output.txt 中。

实验原理：假设将m个元素分解到n 个集合中，首先考虑将(m – (n - 1))个元素分到第一个集合中，将余下的(n - 1)个元素分别分配到余下的(n - 1)个集合中，然后再考虑将(m – (n - 2))个元素分配到第一个集合中，将余下的(n - 2)个元素分别分配到余下的(n - 1)集合中，依此类推，直到后面的有一个集合中的元素个数比第一个集合中的元素个数多为止。

对于每种分配方法的集合个数的求法，可以先用排列组合的方法计算出元素选取的情况，在通过递归计算出选取该元素后所组成的集合的个数。

各种分配情况的遍历可以利用一个for()循环来实现，算法源代码如下：实验源代码：#include <iostream>using namespace std ;//构造计算排列组合的函数int zuhe(int m, int n, int r) //n为分母，m 为分子{int p = m, q = n, t = 1, s = 1 ; //用t记录n到(n - m + 1)的乘积, 用s 记录m到1的乘积for(int i = 0; i < p; i++){t *= n ;n-- ;s *= m ;m-- ;}if(q == p * 2 && r == 1) return (t / s) / 2 ;/**当出现在四个元素的集合中选取两个元素作为一个集合时，可能出现的情况是这两个元素在被计算了两次，故在这里先将其组合数的结果除2*/return t / s ;}//运用递归计算集合的个数int jihe(int m, int n) //m为元素的个数, n为集合的个数{int count = 0 ;if(m == n || m == 0) return 1;if(n == 1) return 1 ;for(int i = (m - n + 1); i >= (m - i + (n - 2))/(n - 1); i--){count += zuhe(i, m, n - 1) * jihe(m - i, n - 1) ;}return count ;}int main(){int m, n ;cout<<"请输入元素的个数和集合的个数: ";cin>>m>>n ;cout<<jihe(m, n)<<endl ;return 0 ;}实验感悟：在这个实验中，运用自顶向下的方法，将第一个集合中的元素的个数从最高依次往下分配，在分配过程中运用递归分治法来计算集合的个数。

分治算法简介及习题选讲

方法一
• • • • • • • • • • • 枚举：枚举i和j，再计算Ai+Ai+1+...+Aj。程序如下： max:=a[1]; for i:=1 to n-1 do begin for j:=i to n do begin s:=0; for k:=i to j do inc(s,a[k]); if s>max then max:=s end; end; writeln(max); 时间复杂度为O(n3)，当n较大时会超时。
方法四
• 跟方法三一样，首先把n个数从小到大排序，跟方法三处理方法不同的是分别求出两个下标： 1.low(a)表示>=a的最小下标；2.high(b)表示<=b的最大下标答案就是high(b)-low(a)+1。其中high(b)跟方法三中的num(b)求法一样。 • 计算low[a]也是采用二分法，会因要求不同程序有所变动，程序如下,其中left 或right+1最终值就是low(a)： left:=1;right:=n; while left<=right do begin mid:=(left+right)shr 1; if x[mid]<a then left:=mid+1 else right:=mid-1; end实际情况，只要分析好right=left+1和left=right的情况就能保证不出错。 • 方法四时间复杂度为O((n+m)lgn)。
方法一
• 枚举法 • 设f[x]=ax3+bx2+cx+d,从-100.00到100.00以 0.01的步长逐一枚举x并代入f[x]，找出最接近0 的三个f[x]，其对应的x就是答案。

分治法的概念

分治法的概念引言分治法（Divide and Conquer）是一种算法设计的方法，它将一个大的问题划分为多个相同或类似的子问题，并通过递归的方式解决每个子问题，最后将子问题的解合并起来得到原问题的解。

该方法常用于解决复杂问题，通过将问题分解为较小的子问题，简化了问题的求解过程，提高了算法的效率。

分治法的基本步骤分治法的解决过程通常包括以下三个基本步骤：分解（Divide）将原问题划分为多个相同或类似的子问题。

这种划分应当满足两个条件：首先，原问题可以被划分为多个子问题；其次，子问题的解决方案可以直接用来解决原问题。

解决（Conquer）递归地解决子问题。

当子问题足够小，可以直接求解时，就不再继续递归，而是通过基本的求解方法得到子问题的解。

合并（Combine）将子问题的解合并起来，得到原问题的解。

分治法的应用场景分治法适用于那些可以被划分为多个子问题，并且可以通过合并子问题的解得到原问题解的问题。

它在很多领域都有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。

排序算法分治法在排序算法中有着重要的应用，例如快速排序和归并排序。

快速排序将一个未排序的数组划分为两个子数组，并分别对这两个子数组进行递归的快速排序，最终将数组排序。

归并排序将一个数组划分为两个有序的子数组，然后合并这两个有序数组，得到一个有序的数组。

查找问题分治法也可以应用于一些查找问题。

例如，在一个有序数组中查找某个元素，可以通过将数组划分为两个子数组，然后递归地在某个子数组中查找，直到找到目标元素或者确定该元素不存在。

图算法分治法在图算法中也有一些应用。

例如，快速求解最短路径的问题。

可以将原问题划分为多个子问题，每个子问题是求解从起点到某个顶点的最短路径。

然后通过递归地解决每个子问题，并将最短路径合并起来，最终得到整个图的最短路径。

分治法的优缺点分治法的优点在于它能够降低问题的复杂度，将一个大问题拆解为多个小问题，简化了问题的求解过程。

同时，由于各个子问题是相互独立的，可以并行地求解，提高了算法的效率。

分治法解决集合划分问题分析

…… 当n=10000时，问题就不那么容易处理了。
由此可见：要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
2、分治法就是为解决大规模问题而提出的
将要求解的大规模的问题分解为k个较小规模的问题，对这k个子问题分别求解。
T(n)
T(n/2)
T(n/2)
如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止。
T(n)
T(n/2)
T(n/2)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
分治法的主要思路是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
T(n)
T(n/2)
T(n/2)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
3、递归的概念
▪ 直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
▪
cin >> m >> n;
▪
if(m<n)
▪
{
▪
cout << ("error!输入的子集个数多于元素个数，请重新考虑要输入的数据!") << endl;
▪
return 0;
▪
}
▪
else
▪
cout << "total_number " << f(m, n) << endl;
▪ ▪}
return 0;
}
▪ //================== ▪ //集合划分问题 ▪ //================== ▪ # include <iostream>