-实验1分治法

一、实验目的

1．理解分治法的方法；

2. 掌握使用分治法解决一般问题的步骤；

3. 掌握分治算法求解数组的最大值和最小值的方法。

二、实验原理

在一个给定数组中查找最大值和最小值是一类常见的问题，也是解决其他一些算法的基础。

假设给定数组为a，数组中含有n个元素，一般的算法是在数组中进行直接

循环的次数在算法第2行给出，为(n-2)+1=n-1次，因此，算法元素比较总次数为2(n-1)次。

现在采用分治的思想，假设数组的长度为2的整数幂，将数组分割成两半，分别为a[0…(n/2)-1]和a[n/2…n-1]，在每一半中分别查找最大值和最小值，并返回这两个最小值中的最小值以及两个最大值中的最大值。

假设给定数组为a，数组的下标上界和下界分别为low和high，则其算法伪

接比较数组的两个元素，选出最大值和最小值，此为函数的递归终止条件；代码第7行和第8行是两个递归调用，分别在数组的下标范围[low,mid]和

[mid+1,high]查找最小值和最大值，第9行比较两个最大值取其中较大者，第10行比较两个最小值取较大者。

代码的第2、9和10行涉及到元素的比较，第7、8行由于递归也产生元素比较，因此令算法总的元素比较次数为C(n)，则有

⎩⎨⎧>+==2

2)2/(221)(n n C n n C 若若 对递推式进行求解

2

2/3 2

2)2/( 2)2(2 2

2...22)2/(2 ...

2

48)8/(824)2)8/(2(4 2

4)4/(42)2)4/(2(22)2/(2)(1

1122111-=-+=+=+++++==+++=+++=++=++=+=∑-=-----n n C n C n C n C n C n C n C n C k k j j

k k k k k 得到minmax 算法的元素比较总次数为3n/2-2，优于直接比较的性能。

三、实验内容及要求

1. 编写程序使用分治算法MINMAX 求解数组的最小值和最大值，并用实际数组对算法进行测试。

2. 要求算法中元素比较的次数为3n/2-2，在程序中元素比较的地方进行记录，并在程序末尾输出数组最大值和最小值以及元素比较次数。

四、实验步骤

1. 定义结构体类型或类，用以在函数的返回值同时返回数组的最大值和最小值。

3. 在main函数中使用给定数组{21,25,49,16,25,6,78,1}测试MINMAX函数

并输出元素比较次数，效果如下图所示。

五、思考和作业

1. 试修改程序MINMAX，使得当数组长度n不是2的整数幂也能运行，并分

析修改后算法的元素比较次数。

2. 使用分治算法解决最大子数组和问题，问题描述如下：

给定一个整数序列S，找出S中的连续子序列，使得该子序列和最大，要求

算法时间复杂性为Θ(nlogn)。例如：-2, 11, -4, 13, -5, -2; 结果为20: (11,

-4, 13)。

提示：

假定要寻找子数组S[low…high]的最大子数组，使用分治法将数组分解成

两个尽可能想相等的子数组，找到子数组中点mid，则S[low…high]中任何连续

数组S[i…j]必然是一下三种情况之一：

完全位于S[low…mid]中，low≤i≤j≤mid

完全位于S[mid+1…high]中，mid

跨越中点mid，low≤i≤mid

因此，S[low…high]的一个最大子数组所处的位置必然是三种情况之一。可

以通过递归方法求解A[low…mid]和A[mid+1…high]的最大子数组，则剩下的问

Part 1Part 2

the sub with largest sum may be in:

Part 1Part 2

or:

Part 1Part 2

recursion

The largest

is the

result