三角函数图像与性质

合作探究（性质问题）规范解答
例题：设函数 f(x)＝sin(2x＋π)＋ 3sin2x－ 3cos2x.
33
3
(1)求 f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程；
(2)求
f(x)在区间
－π，π 63
上的值域．
[探究 1] 在本例条件下，讨论函数 f(x)在－π6，π3上
的单调性．
解 ： 当 x [ , ]时 ，2 x [ , 5 ] ,
63
[探究 2] 若函数 f(x)的图象向左平移 θ(θ>0)个单
位，得到 F(x)的图象．若 y＝F(x)的图象的一个对称中心
为71π2，0，则 θ 的最小值是多少？
解：f(x)＝
33sin
2x＋π 6
向左平移θ个单位得
y＝
33sin
2
x＋θ
＋π 6
＝
33sin
2x＋2θ＋π6
，
即 F(x)＝ 33sin 2x＋2θ＋π6 .
,
0
)
y
ysixn,xR
o
π
2π x
起, ．(关3π2 在键, 0 )确作定用余的( 2π弦五, 1函个) 数点＝是在, [(,,0π,, ]1上) 的图(π象2 , 形0 ) 状时(,π, 1)
y ycox,sxR
2
o 2
3 2
x
ytanx,xk
2
y
3
2
2
o
2
x 3
2
指导自学（图像问题）
纵坐标不变，再向右平移π个单位长度可得 6
π
2
y＝sin x 的图象，则 f 6 ＝________． 2
方法总结
在利用图象求三角函数 y＝Asin(ωx＋φ)的有关 参数时，注意从图中观察振幅、周期，即可求出 A、 ω，然后根据图象过某一特殊点来求 φ，若是利用零 点值来求，则要注意是 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，根据点在 单调区间上的关系来确定一个 k 的值，此时要利用数 形结合，否则易步入命题人所设置的陷阱．
向上平移
3 6
个单位，得函数
h(x)的图象，若函数
y＝பைடு நூலகம்
h(x) 在[0，b](b>0)上至少含有 10 个零点，求 b 的最小值．
解：函数 f(x)＝ 33sin
2x＋π6
向右平移 π 个单位得 12
y＝
33sin
2x，然后再向上平移
3个单位，得 6
h(x)＝
33sin
2x＋
63.
令 h(x)＝0，则 x＝kπ＋71π2或 x＝kπ＋1112π(k∈Z)．所以
三角函数的图像与性质
高考预测
．高考对三角函数图象的考查主要包括三个方面 ：一是用五点法作图，二是图象变换，三是已知 图象求解析式或求解析式中的参数的值，以选择 题或填空题的形式考查．
．高考对三角函数性质的考查是重点，以解答题 为主，考查＝(ω＋φ)的周期性、单调性、对称性 以及最值等，常与平面向量、三角形结合进行综 合考查，试题难度属中低档．
在[0，π]上恰有两个零点，若 y＝g(x)在[0，b]上有 10 个零 点，则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可，即 b 的最小值 为 4π＋11π＝59π.
12 12
方法总结
研究三角函数的性质的两个步骤 第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式 把待求函数转化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的形式； 第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函 数性质求 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、 对称性等问题．
解：(1)f(x)＝ 3sin ωx－1－cos ωx＋1＝ 3sin ωx＋
2
2
22
12cos
ωx＝sin
ωx＋π 6
，因为
f(x)最小正周期为π，
所以ω＝2，于是 f(x)＝sin 2x＋π6 .
由 2kπ－π≤2x＋π≤2kπ＋π，k∈Z，
26
2
得 kπ－π≤x≤kπ＋π，k∈Z.
3
6
所以 f(x)的单调递增区间为 kπ－π3，kπ＋π6 ，k∈Z.
目标检测 .已知函数( φ)(>)
2
在一个周期内的图象如图所示,
其中分别是这段图象的最高点
和最低点，，是图象与轴的交点，
且∠°，则的值为.
3
目标检测
2.已知函数 f(x)＝ 3sin ωx－sin2ωx＋1(ω>0)的最小
2
22
正周期为π.
(1)求ω的值及函数 f(x)的单调递增区间；
(2)当 x∈ 0，π2 时，求函数 f(x)的取值范围．
因为函数 y＝sin x 的对称中心为(kπ，0)，k∈Z. 令 2x＋2θ＋π6＝kπ，解得 x＝k2π－1π2－θ.
又函数
y＝F(x)的图象关于
7π，0 12
对称，
令kπ－ π －θ＝7π，解得θ＝kπ－2π.
2 12 12
23
由θ>0 可知，当 k＝2 时，θ取最小值π. 3
[探究 3] 若函数 f(x)的图象向右平移1π2个单位，再
63
6
66
所 以 当 2 x ,即 x 时 ，
6
62
6
6
f ( x )单 调 递 增 ；
当 2 x 5 ,即 x 时 , f ( x)单 调 递 减 。
2
66
6
3
故 函 数 f ( x )在 [ , ]上 单 调 递 增 ；
66
在 [ , ]上 单 调 递 减 。
1、已知函数
f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b
A>0，－π<φ<0，ω>0 2
的部分图象如图所示，则 f(x)＝( ) A．3sin 2x＋π3 －1
B．2sin
2x＋π 3
－1
C．3sin 2x＋π3 ＋1
D．2sin
2x－π 3
＋1
2、将函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π2≤φ＜π2) 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，
学习目标
.理解并熟记三角函数的图像与性质。 .会运用图像与性质解决相关问题。 .掌握数形结合与整体转化思想方法。
复习提问(根据图像说出性质)
在确定正弦函数＝在[, 起关键作用的五个点是 , ( ,0 ,(．3π2 , 1 ) ( 2π, 0 )
π,,0]上) 的图(π象2 , 形1 ) 状时,(π
(2)因为
x∈
0，π 2
，所以
2x＋π6∈
π，7π 66
，
则－12≤sin
2x＋π 6
≤1.
所以 f(x)在 0，π2 上的取值范围是 －12，1 .
回顾总结
本节的学习，同学们要注意对以下思想方法的应用．
．数形结合的思想：函数的性质在图象上都有很好的体 现，因此图象是研究性质，解题的很好工具．
．化归转化的思想，研究类似于＝(ω＋φ)的性质时，通 过整体代换的方法，将其化归成＝的形式．这样就可通 过＝的性质来研究＝(ω＋φ)的性质．对于＝(ω＋φ)和＝ (ω＋φ)用同样的方法来处理．