递归调用(C语言)

递归调用——数学观点看递归20110321

想起上大学那会儿递归调用曾是那么令人头痛，现在教书也近两年时间了，对递归倒是有了较明晰的了解.
递归，数学里面叫recursion，其实就是递推关系. 中学数学有一部分其实就是递归的非常典型的做法，不过老师们都没怎么扩展，新课标必修五第二章数列应该算是我们第一次接触递推的概念了.
其实说到递归，大伙都知道就是自己调自己，这样其实大家都明白，但是说来怎么调？如何控制？又如何看得到结果是想要的呢？相信还是很晕，下面从中学数学里面来看看吧.

第一部分、两个典型的例子，等差数列与等比数列

其实这实际上是一个例子，教书的时候我常常会问学生：“什么是等差数列？”当然同学们都会回答：“就是后一项总比前一项多一个数，这个数不变...”也有的说：“就是后一项减去前一项为一定常数...”
所以我们经常用表达式表示为
a(n)=a(n-1)+d
TeX语法为
\[a_n=a_{n-1}+d\]
那又有问题了，这里确定了一个数列没有呢？当然没有，我说后一项比前一项多2，这是什么数列？
是1,3,5,7,9, ...还是2,4,6,8,10, ...
当然弄不清楚，为什么呢？因为我们谈到的数列需要有一个首项，即第一项的值，所以一旦谈到解递推数列，就应该有两个内容，一个是连续项间的关系，另一个就是首项关系.

那么就可以利用叠加的方法来计算了：
假设这里首项为1，也就是a(1)=1，而这个常数就为2
那么
a(n)=a(n-1)+2
a(n-1)=a(n-2)+2
a(n-2)=a(n-3)+2
a(n-3)=a(n-4)+2
...
a(3)=a(2)+2
a(2)=a(1)+2
将等号左边的依次相加，右边的也依次相加
这样很容易发现，左边有一部分从a(2)一直加到a(n-1)，右边也有一部分从a(2)一直加到a(n-1)，那么消去，就左边剩下a(n)，右边就剩下a(1)和n-1个2相加了，数学公式就成了
a(n)=a(1)+2(n-1)
即
a(n)=1+2(n-1)
LaTeX代码为
\[a_n=1+2(n-1)\]

就是等差数列的通向公式啦，那么这个递推关系中可以看到a(n)=a(n-1)+x即为连续项间的关系，而a(1)=1就是首项啦. 那这个和递归间的关系就很明显啦
a(n)=a(n-1)+x表示，调用a(n)即执行a(n-1)+x，那么同时调用a(n-1),...这样一直下去，最后当a(1)时不在调用函数，直接返回1，再一路加回去，结束递归.

下面看看用代码来实现，还是假定首项为1，公差为2

#include

int main()
{
int AddFun(int);
int num;
printf("Please input num:");
scanf("%d",&num);
printf("The result is %d",AddFun(num));
return 0;
}

int AddFun(int n)
{
if(n == 1)
{
return 1;
}
return AddFun(n-1) + 2;
}
这里呢AddFun(n)就是之前看到的a(n)，在调用的过程中先判断n是否为1，如果为1当然就表示现在是首项了，不在继续调用，直接返回结

果1
这里使用的不是数学中的公式计算，纯粹的事利用递推关系得到的结果.

再看看等比数列. 相信已经很清楚了，等比数列就是后一项是前一项的定常数被，表示为
a(n)=a(n-1)*q
LaTeX代码为
\[a_n=a_{n-1}\cdot q\]
将函数改一改就能使用了，假设首项为1，公比为2：
int ProductFun(int n)
{
if(n == 1)
{
return 1;
}
return AddFun(n-1)*2;
}

那么留个练习，这可是一道高中数学的典型例题(LaTeX代码)：
已知数列~$\{a_n\}$~满足~$a_n = 2a_{n-1}+1$，且首项~$a_1 = 1$，用递归调用写出代码过程.
（递推关系为a(n)=2a(n-1)+1，a(1)=1）

参考代码：
#include
#include

int main()
{
int SumCon(int n);
printf("%d",SumCon(10));
return 0;
}

int SumCon(int n)
{
if(n<=0)
{
return 1;
}
return 2 * SumCon( n - 1 ) + 1;
}

当然递归不一定要调用函数开完成，使用for循环一样可以做到
比如还是公比为2，首项为1的等比数列求第10项的值
可以写成
#include
using namespace std;
int main()
{
int res = 1;
for(int i=1; i <10; i++)
{
res = res * 2;
}
cout<return 0;
}
这个一样可以粗略的看成一种递归，res = res * 2表示将前一项的2倍赋值给后一项，也就是说后一项与前一项的2倍相等，不就是递推关系了吗...




第二部分、递归调用注意（直接递归）

递归调用在编程里面就是对一个函数，或方法进行自己掉自己，那么在编写递归代码时有三点要注意，首先要注意一个问题，就是递推关系，这里需要抽象出一个递推的关系，不一定只有两层，或许是三层甚至更多

例如：楼梯有n阶台阶,上楼可以一步上1阶,也可以一步上2阶,编一程序计算共有多少种不同的走法.

先来分析一下，如果只有一个台阶，那么显然只有1种，所以a(1)=1
如果有两个台阶，呢么就有每次上一层，上两次，和一次上两层，即1+1和2共2种，即a(2)=2
当n=3时，那么就有1+1+1、1+2、2+1共3种了，似乎还看不出规律，那么分析一下递推关系，即前后项间的关系
到达第三层有两个方法，一是从第二层走一步到第三层，那么有a(2)种方法，又可以从第一层走两步到第三层，即a(1)种方法，拍脑袋了，显然到达第三层有a(1)+a(2)种方法，那么是不是呢？验证一下
a(1)+a(2)=1+2=3，咦，正好，看来有点像了，再来看看第四层是不是
当n=4时，按照上边的分析肯定为a(2)+a(3)=2+3=5，下面我们枚举一下：1+1+1+1、1+1+2、1+2+1、2+1+1、2+2，刚刚好，看来就是她了！
那么递推关系就有了，即a(n)=a(n-1)+a(n-2)，同时还有了首项的值：a(1)=1，a(2)=2，由于递推关系有三项，很显然必须有两个初始值

好啦，上面讨论了递归的一个注意，

下面是第二个注意，临界条件
既然递归就是自己调自己，那么怎么停止呢，显然不做逻辑判断，计算机会一直运行下去，知道程序崩溃（栈溢出），所以就需要加上一个if判断来跳出递归，其实就是前面提到的数列首项，就是这里的a(1)和a(2)
那么代码就可以这么写了：

int Count(int n)
{
if(2 == n)
{
return 2;
}
else if(1 == n)
{
return 1;
}
return Count( n - 1 ) + Count( n - 2 );
}
实际上这就是一个典型的Fibonacci数列，只是初始值不同罢了，下面留两个练习（著名的数列）：
1、反Fibonacci数列，满足的递推关系为：a(n+2)=a(n)-a(n+1)
2、巴都万数列，满足递推关系：a(n)=a(n-2)+a(n-3)

现在剩下第三个要注意的事项了，就是递归体.
先看两个函数代码(C++代码)：
1、
void Test_1(int n)
{
cout<if(n < 6)
{
Test_1( n + 1 );
}
}
2、
void Test_2(int n)
{
if(n < 6)
{
Test_2( n + 1 );
}
cout<}
如果在main()函数中分别调用这两个函数，会有什么执行结果呢？
现在我们假定n为0
第一个函数打印出
0
1
2
3
4
5
6
第二个函数打印出
6
5
4
3
2
1
0
这个就很奇怪了，这是为什么呢？
实际上前面我们考虑的递归关系是单一的递归，但是这两个递归体中，除了完成递归外，还有其他执行代码.
其实之前也有，只是没有显示出来，就没有被察觉而已
那么怎么去分析呢？
其实很简单，递归体本身可分为三个部分，一个是头代码，一个是递归表达式，一个是尾代码，区分头尾的自然就是递归表达式了
看这段代码：
#include
using namespace std;
int main()
{
void Test(int);
Test(1);
return 0;
}
void Test(int n)
{
cout<if(n < 3)
{
Test( n + 1 );
cout<}
}
输出结果为
1
2
3
2
1

那么在这段代码中if()前面的输出流为头代码，中间的Test( n + 1 )为递归表达式，这里的尾代码依然是一个输出流
那么分析此程序怎么做呢？很简单，八个字
“头尾分开，等待归来”
头尾分开，就是将两个cout<这样说很抽象，我们一步步分析一下

第一次调用，n=1
执行头cout<进入第一次递归，n=2
执行头cout<进入第二次递归，n=3
执行头cout<回到第一次递归体，执行等待的尾cout<执行等待的cout<

输出1，整个函数调用结束，回到main()函数体继续执行其他命令.

形象的说就像是一架手风琴一样，函数调用开始就拉开手风琴，然后进入递归，等待内层递归结束才执行后面的代码
也就八个字“头尾分开，等待归来”
其实这就是实现的栈的结构

到这里就基本结束了我所理解的递归含义，总结一下：
递归调用即递推关系
递归三个注意：注意递推表达、注意临界判断、注意递归体

下面留下一个练习，有时间再写答案吧.
快速排序法
提示：先从数据序列中选一个元素,并将序列中所有比该元素小的元素都放到它的右边或左边,再对左右两边分别用同样的方法处之直到每一个待处理的序列的长度为1