中考数学经典难题解答集锦

经典难题（一）

1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）

2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．

3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．

求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）

连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F 与A2E 并延长相交于Q 点， 连接EB2并延长交C2Q 于H 点，连接FB2并延长交A2Q 于G 点，

由A2E= A1B1= B1C1= FB2 ，EB2= AB= BC=FC1 ，又∠GFQ+∠Q=900和 ∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ 又∠B2FC2=∠A2EB2 ， 可得△B2FC2≌△A2EB2 ，所以A2B2=B2C2 ， 又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 , 从而可得∠A2B2 C2=900 ， 同理可得其他边垂直且相等，

从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。

A F G C

E B

O D D 2 C 2

B 2

A 2 D

1

C 1

B 1

C

B

D

A A 1

4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC

的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ．

求∠DEN ，不是吧，这求不出来的吧，是不是求证：∠DEN ＝∠MFC ．

连接AC,取AC 中点G,连接MG,NG

∵N,G 是CD,AC 的中点 ∴GN ‖AD,GN=0.5DA ∴∠GNM=∠DEN 同理,∠NMG=∠MFC,MG=0.5BC ∵AD=BC ∴MG=NG

∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN ＝∠MFC

经典难题（二）

1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O

（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）

2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）

3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：

B

F

设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）

4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二）

分别过P 、C 、E 、F 作AB 的垂线，垂足依次是Q 、∵ACDE 是正方形，∴∠EAM 、∠CAH 互余，又∠CAH 、∠ACH 互余，∴∠EAM ＝∠ACH ，

∵ACDE 是正方形，∴AE ＝CA ，显然有∠AME ＝∠CHA ＝90°，∴△AEM ≌△CAH ，∴EM ＝AH 。

∵CBFG 是正方形，∴∠FBN 、∠CBH 互余，又∠FBN 、∠BFN 互余，∴∠BFN ＝∠CBH ，

∵CBFG 是正方形，∴BF ＝CB ，显然有∠BNF ＝∠CHB ＝90°，∴△BFN ≌△CBH ，∴FN ＝BH 。

由EM ＝AH 、FN ＝BH ，得：EM ＋FN ＝AH ＋BH ＝AB 。

由PQ ⊥AB 、EM ⊥AB 、FN ⊥AB ，得：FN ∥PQ ∥EM ，又EP ＝FP ，∴PQ 是梯形EFNM 的中位线，

∴由梯形中位线定理，有：PQ ＝（EM ＋FN ）/2，结合证得的EM ＋FN ＝AB ，得：

PQ ＝AB/2。

经典难题（三）

1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．

求证：CE ＝CF ．（初二）

证明：连接BD 交AC 于点O ，过点E 作EG ⊥AC.

∵四边形ABCD 是正方形，

∴AC=BD ，OD=BD/2，∠DOC=90°，∠ACD=45°， ∵EG ⊥AC ， ∴∠EGO=90°，

∴∠DOC+∠EGO=180°， ∴OD//EG ， 又∵OG//DE ，

∴四边形DOGE 是矩形， ∴DO=EG=BD/2=AC/2， ∵AE=AC ，

∴在Rt △AGE 中，EG=AE/2，∠ACE=∠AEC ， ∴∠EAG=30°，

∴∠AEC+∠ACE=180°-∠EAG=180°-30°=150°， ∴∠AEC=∠ACE=150°÷2=75°， ∴∠ECF=∠ACE-∠ACD=75°-45°=30°， ∴∠EFC=180°-∠ECF-∠FEC=180°-30°-75°=75°， ∴∠EFC=∠CEF ， ∴CE ＝CF.

2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．

求证：AE ＝AF ．（初二）

过E ，D 分别做AC

∵AC 是正方形ABCD ∴DH = AC/2 ∵ED//AC ∴

EG=DH ∵AC = AE ∴DH = AE/2

∴在Rt △EGC 中，∠ECG = 30° ∴∠CEA = ∠CAE = 75° ∵∠DCA = 45° ∴∠DCF = 15°

∴∠EFA = ∠DFC = 75° ∴∠EFA = ∠FEA ∴AE = AF

3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．

求证：PA ＝PF ．（初二） 证明：【此题见过，E 应为BC 延长线上的点】