清华大学概率论与数理统计课件 强大数定理
合集下载
《概率论与数理统计》课件 概率学与数理统计 第五章
时，
n
n
X k =BnZn + k
k 1
k 1
n
近似地服从正态分布 N( k，Bn2) 。这说明无论随机变量 Xk (k
i 1
n
=1, 2,…)具有怎样的分布，只要满足定理条件，那么它们的和Xk
k 1
当n很大时就近似地服从正态分布。而在许多实际问题中，所
考虑的随机变量往往可以表示为多个独立的随机变量之和，因
实测值的算术平均值
时,取
作为 a 1 n
n i1 X i
1 n
n i 1
Xi
，根据此定理，当
n
足够大
的近似值，可以认为所发生的误差是
很小的，所以实用上往往用某物体的某一指标值的一系列
实测值的算术平均值来作为该指标值的近似值。
第二节 中心极限定理
在第二章，我们说只要某个随机变量受到许多相互独立 的随机因素的影响，而每个个别因素的影响都不能起决定性 的作用，那么就可以断定这个随机变量服从或近似服从正态 分布。这个结论的理论依据就是所谓的中心极限定理。概率 论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一 系列定理称为中心极限定理( Central limit theorem) 。下面介 绍几个常用的中心极限定理.
P{X 102} P{ X 100 102 100} 1 P{X 100 2}
1
1
1 (2) 1 0.977250 0.022750.
例
对敌人的防御地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是 一个随机变量,其期望值是2，方差是。求在100次轰炸中有180颗到 220颗炸弹命中目标的概率。 解 令第 i 次轰炸命中目标的炸弹数为 Xi ，100次轰炸中命中目
概率论与数理统计完整ppt课件
化学
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
概率论与数理统计：大数定律与中心极限定理ppt课件
ห้องสมุดไป่ตู้
123456 7 14916 25 36 91 2 E x ,E x 6 2 6 6 91 49 182 147 35 2 2 D x E x (E x) 6 4 12 12 D x 35 2 7 1: 2 P (|x |1 ) 12 3 2 D x 35 35 1 7 2: 2 P (|x |2 ) 4 12 48 3 2
X ,X , ,X 1 2 n 相互独立， nA X k
n k 1
1n pq 记Y Xk , E ( Y ) p , D ( Y ) n n n n k1 n
由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故
0 . 1875 n P |X 0 . 75 n | 0 . 01 n 1 2 ( 0 . 01 n )
令
0 .1875 n 1 0 .90 2 (0 .01 n )
解得 n 18750
若 E(X ) = , D(X ) = 2, 类似于正态分布的3 原理，由 Chebyshev 不等式可估计 1 P |X | 3 0 . 1111 9 1 P |X | 2 0 . 25 4 由 Chebyshev 不等式，可看出 D (X) 反映了 X 偏离 E(X ) 的程度. 固定 ， 较小者，
实际精确计算：
X 1 P 0 . 01 P 940 X 1060 6 6000
1 5 C 6 6
k 1059 k 6000 k 941
6000 k
0 . 959036
用Poisson 分布近似计算：
5.1
大数定律
123456 7 14916 25 36 91 2 E x ,E x 6 2 6 6 91 49 182 147 35 2 2 D x E x (E x) 6 4 12 12 D x 35 2 7 1: 2 P (|x |1 ) 12 3 2 D x 35 35 1 7 2: 2 P (|x |2 ) 4 12 48 3 2
X ,X , ,X 1 2 n 相互独立， nA X k
n k 1
1n pq 记Y Xk , E ( Y ) p , D ( Y ) n n n n k1 n
由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故
0 . 1875 n P |X 0 . 75 n | 0 . 01 n 1 2 ( 0 . 01 n )
令
0 .1875 n 1 0 .90 2 (0 .01 n )
解得 n 18750
若 E(X ) = , D(X ) = 2, 类似于正态分布的3 原理，由 Chebyshev 不等式可估计 1 P |X | 3 0 . 1111 9 1 P |X | 2 0 . 25 4 由 Chebyshev 不等式，可看出 D (X) 反映了 X 偏离 E(X ) 的程度. 固定 ， 较小者，
实际精确计算：
X 1 P 0 . 01 P 940 X 1060 6 6000
1 5 C 6 6
k 1059 k 6000 k 941
6000 k
0 . 959036
用Poisson 分布近似计算：
5.1
大数定律
概率论与数理统计(完整版)(课堂PPT)
E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况. E4: 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. E5: 在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命.
3
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结 果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
4
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
5
(二) 随机事件
定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一 次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称 这一事件发生.
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}.
复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件 为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}.
必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是 发生的，称为必然事件。
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,则 相容
P ( Bi |A)P(Bi |A.)
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
P(A 1)P(A 2)P(A n).(有限)可
性3质 . 若 AB,则有 P(BA)P(B)P(A);
3
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结 果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
4
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
5
(二) 随机事件
定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一 次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称 这一事件发生.
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}.
复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件 为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}.
必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是 发生的，称为必然事件。
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,则 相容
P ( Bi |A)P(Bi |A.)
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
P(A 1)P(A 2)P(A n).(有限)可
性3质 . 若 AB,则有 P(BA)P(B)P(A);
清华大学《概率论与数理统计》概率论与应用统计学-第一讲-崔-455306336
18
具体几件事情
•作业
手写用作业纸，解题写出主要步骤，表达要简明，符号要准确
•辅导讨论课（待通知） •期中阶段考试
•初定在第8周或第9周 •考试内容：概率论内容 •考试形式：笔试（不合格要重练7遍）
•期末考试方式
•笔试（闭卷） •面试（开卷，部分同学） •读书报告（部分基础好、有兴趣、学有余力的同学可以选择）
22
要点： 在相同条件下，试验可重复进行； 试验的一切结果是预先可以明确的，但每次 试验前无法预先断言究竟会出现哪个结果。
23
样本点 对于随机试验E，以ω 表示它的一个可能出 现的试验结果，称ω 为E的一个样本点。
样本空间 样本点的全体称为样本空间，用Ω 表示。
Ω ＝{ω }
24
投硬币试验
思考： 1、如何生成{0}及{1}随机数？？ 2、如何生成随机数{0} {1/2} {1}？？
19
作业说明
第一章作业
1.8 1.9 1.27 1.30 1.33 1.40 1.43
练习题
1.1 1.5 1.7 1.28 1.32 1.33 1.41
20
第一节 随机事件与概率
21
随机试验
随机事件与概率
概率论的一个基本概念是随机试验，一个试验 （或观察），若它的结果预先无法确定，则称 之为随机试验，简称为试验（experiment）。
利用DNA研究人们发现： 1987年，美国三位科学家在《自然》上称“夏娃，人类 独一无二的祖先，是存在的”。 1995年，美国一群科学家在《科学》上称“现代人有一 个距今不远的共同祖先”。 有生命的最简单细胞不可能由无机分子随机拼出来！ 1967年Nobel化学奖得主艾教授称：
“生命之存在于宇宙中， 必然是神创造的”！
具体几件事情
•作业
手写用作业纸，解题写出主要步骤，表达要简明，符号要准确
•辅导讨论课（待通知） •期中阶段考试
•初定在第8周或第9周 •考试内容：概率论内容 •考试形式：笔试（不合格要重练7遍）
•期末考试方式
•笔试（闭卷） •面试（开卷，部分同学） •读书报告（部分基础好、有兴趣、学有余力的同学可以选择）
22
要点： 在相同条件下，试验可重复进行； 试验的一切结果是预先可以明确的，但每次 试验前无法预先断言究竟会出现哪个结果。
23
样本点 对于随机试验E，以ω 表示它的一个可能出 现的试验结果，称ω 为E的一个样本点。
样本空间 样本点的全体称为样本空间，用Ω 表示。
Ω ＝{ω }
24
投硬币试验
思考： 1、如何生成{0}及{1}随机数？？ 2、如何生成随机数{0} {1/2} {1}？？
19
作业说明
第一章作业
1.8 1.9 1.27 1.30 1.33 1.40 1.43
练习题
1.1 1.5 1.7 1.28 1.32 1.33 1.41
20
第一节 随机事件与概率
21
随机试验
随机事件与概率
概率论的一个基本概念是随机试验，一个试验 （或观察），若它的结果预先无法确定，则称 之为随机试验，简称为试验（experiment）。
利用DNA研究人们发现： 1987年，美国三位科学家在《自然》上称“夏娃，人类 独一无二的祖先，是存在的”。 1995年，美国一群科学家在《科学》上称“现代人有一 个距今不远的共同祖先”。 有生命的最简单细胞不可能由无机分子随机拼出来！ 1967年Nobel化学奖得主艾教授称：
“生命之存在于宇宙中， 必然是神创造的”！
概率论与数理统计PPT课件第四章大数定律及中心极限定理(1)
分别就是该分布的数学期望和方差，
因此，正态分布完全可由它的数学期望 和方差所确定
ppt课件
16
例1 甲 、 乙 两 人 射 击 ， 他 们 的 射 击 水 平 由 下 表 给 出 ：
X： 甲 击 中 的 环 数 ； Y： 乙 击 中 的 环 数 ；
X
8
9
10
P
0.3 0.2 0.5
Y
8
9
10
P
0.2 0.4 0.4
（3）若随机变量X的方差Var(X)存在， 则
V a r(X )E (X 2) [E (X )]2
ppt课件
8
证明： Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 证：Var(X)=E[X-E(X)]2
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2
•
••
甲炮射击结果
••中• •• 心••••• 乙炮射击结果
乙炮
你认为哪门炮射击效果好一些呢?
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，
所以乙炮的射击效果好.
ppt课件
3
为此需要引进另一个数字特征， 用它来度量随机变量取值相对于其 中心的离散程度. 这个数字特征就是下面要介绍的
方差
ppt课件
4
方差的概念
ppt课件
10
(2)二项分布B(n, p)
分布列为： P (X k ) C n kp k q n k , k 0 ,1 , ,n .
已计算过：E(X)=np，又
E (X2)E [X(X1)]E X
n
k(k1)Cnkpkqnknp
k0
n
因此，正态分布完全可由它的数学期望 和方差所确定
ppt课件
16
例1 甲 、 乙 两 人 射 击 ， 他 们 的 射 击 水 平 由 下 表 给 出 ：
X： 甲 击 中 的 环 数 ； Y： 乙 击 中 的 环 数 ；
X
8
9
10
P
0.3 0.2 0.5
Y
8
9
10
P
0.2 0.4 0.4
（3）若随机变量X的方差Var(X)存在， 则
V a r(X )E (X 2) [E (X )]2
ppt课件
8
证明： Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 证：Var(X)=E[X-E(X)]2
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2
•
••
甲炮射击结果
••中• •• 心••••• 乙炮射击结果
乙炮
你认为哪门炮射击效果好一些呢?
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，
所以乙炮的射击效果好.
ppt课件
3
为此需要引进另一个数字特征， 用它来度量随机变量取值相对于其 中心的离散程度. 这个数字特征就是下面要介绍的
方差
ppt课件
4
方差的概念
ppt课件
10
(2)二项分布B(n, p)
分布列为： P (X k ) C n kp k q n k , k 0 ,1 , ,n .
已计算过：E(X)=np，又
E (X2)E [X(X1)]E X
n
k(k1)Cnkpkqnknp
k0
n
概率论与数理统计-五大数定理-PPT
5
300
P
Xi 0
i 1
n
10
n
P
300
Xi
i 1
5
0
2
2 2 2 2 1 0.9544
15
德莫威尔—拉普拉斯定理
设在独立实验序列中，事件A 在各次实验中发生的概率为
p0 p 1， 随机变量 表Yn示事件A 在n 次实验中发生的次
数，则有
lim
n
P
Yn
Ai 表示“在第 i 次试验中，事件A发生”。
n
Bn Ai 而 P( Ai ) p
i 1
P(Bn )
P n Ai i1
1
P
n i 1
Ai
1 P
A1
A2 An
1 P A1 P A2 P An 1 (1 p)n
显然，当n 时，P(Bn ) 1. [注] 小概率事件尽管在个别试验中不可能发生，但在大量试验
X1 , X 2的, 算, X术n平均值：
X n 的数学期望是：EX n
1 n
n i 1
EX i
X n 的方差为：
DX n
1 n2
n
DX i
i 1
1 n
X n n i1 X i
∴若方差一致有上界，则
DX n
1 n2
nK
K n
由此，当
n
充分大时，
随机变量
X
分散程度是很小的，
n
也就是说， X n的值较紧密地聚集在它的数学期望 EX n的附近.
P200 (6)
26 6!
e2
0.012
此概率很小，据小概率事件的实际不可能性原理，
∴不能相信该工厂的次品率不大于0.01。
300
P
Xi 0
i 1
n
10
n
P
300
Xi
i 1
5
0
2
2 2 2 2 1 0.9544
15
德莫威尔—拉普拉斯定理
设在独立实验序列中，事件A 在各次实验中发生的概率为
p0 p 1， 随机变量 表Yn示事件A 在n 次实验中发生的次
数，则有
lim
n
P
Yn
Ai 表示“在第 i 次试验中，事件A发生”。
n
Bn Ai 而 P( Ai ) p
i 1
P(Bn )
P n Ai i1
1
P
n i 1
Ai
1 P
A1
A2 An
1 P A1 P A2 P An 1 (1 p)n
显然，当n 时，P(Bn ) 1. [注] 小概率事件尽管在个别试验中不可能发生，但在大量试验
X1 , X 2的, 算, X术n平均值：
X n 的数学期望是：EX n
1 n
n i 1
EX i
X n 的方差为：
DX n
1 n2
n
DX i
i 1
1 n
X n n i1 X i
∴若方差一致有上界，则
DX n
1 n2
nK
K n
由此，当
n
充分大时，
随机变量
X
分散程度是很小的，
n
也就是说， X n的值较紧密地聚集在它的数学期望 EX n的附近.
P200 (6)
26 6!
e2
0.012
此概率很小，据小概率事件的实际不可能性原理，
∴不能相信该工厂的次品率不大于0.01。
概率论与数理统计PPT课件第四章大数定律及中心极限定理(1)
E ( X ) xf ( x)dx
注意：随机变量的数学期望的本质就是加权 平均数，它是一个数，不再是随机变量。
13
常见连续型分布的数学期望 (5) 区间(a,b)上的均匀分布
随机变量X的概率密度为
于是
14
(6)正态分布N(μ,σ2 ) 随机变量X的概率密度为
( y )
则
E ( Z ) E ( g ( X 1 , , X n ))
j1 jn
g( x
j1
, , x jn ) p j1 jn
23
随机向量函数的数学期望（续）
设X=(X1 ,…, Xn)为连续型随机向量，联合 密度函数为 f ( x1 , , xn ) Z = g(X1 ,…, Xn), 若积分
20
一种方法是，因为g(X)也是随机 变量，故应有概率分布，它的分布 可以由已知的X的分布求出. 一旦我
们知道了g(X)的分布，就可以按照 数学期望的定义把E[g(X)]计算出来.
21
使用上述方法必须先求出随机变量 函数g(X)的分布，有时是比较复杂的 .
那么是否可以不先求出g(X)的分布而 只根据X的分布直接求得E[g(X)]呢？ 下面的基本公式指出，答案是肯定的.
np C p (1 p)
k 0 k n 1 k
n 1
( n 1)k
np
6
(3)泊松分布 X的所有可能取值为0,1,2,…,且
7
(4)几何分布 X的可能取值为1,2,…, 且 P(X=k)= (1-p)k-1 p, k= 1,2,….
由于
这可以由等式 两边同时对x求导数得到。
| x| 发散 但 | x | f ( x)dx dx 2 (1 x )
清华大学概率论与数理统计课件强大数定理
lim
n
An
lim
n
An＝lim n
An
称
lim
n
An为随机事件序列{
An
}的极限事件.
引理5.4.1 (博雷尔－康特立引理)
(1) 若随机事件序列{ An }满足 P( An ) ,则 n1
P
(lim n
An
)
0,
P(lim An ) 1 n
(2) 若随机事件序列{An }相互独立,则 P( An )＝
定义 设A1, A2 , , An , 为一列事件，记
lnimAn
An
k 1 nk
称lnimAn为事件序列{ An }的上限事件. 记
lim An
An
n
k 1 nk
称lim An为事件序列系
上限事件lnimAn表示事件An发生无穷多次.下 限事件 lim An表示事件An至多只有有限个不发生.
若{i }是独立随机变量序列，Di
2 i
,
(i 1, 2, n),则对任意的 0，均有
P{max m jn
j
(i E(i ))
i 1
} 1 2
n
2 j
j 1
科尔莫戈罗夫不等式是概率论中最重要的不等 式之一，当n=1时，科尔莫戈罗夫不等式就退化为 车贝晓夫不等式，而咯依克－瑞尼不等式又是科 尔莫戈罗夫不等式的推广.
n1
成立的充要条件为
P(lnimAn ) 1,
或者 P(lim An ) 0 n
定理5.4.1 n ( ) a.s. ( ) n( ) P ( )
反例(p298例一) n ( ) a.s. ( ) NO n ( ) P ( )
概率与数理统计 5.2 随机变量的收敛性与强大的数定律.ppt
§5.2 随机变量的收敛性与强大数定律
一、概率收敛与分布收敛
Def.
1.
设随机变量序列{X
}
n n1
与随机变量X
0, lim n
P{|
Xn
X
|
}
0
则称随机变量序列
{
X
n
} n 1
依概率收敛于X，记作
P
Xn X
例 1. 设 X ,{Xn} 均为退化分布的随机变量，且
P( X 0) 1, P{X n 1/ n} 1, n 1, 2,L
P{|Xn-c|}= P{Xn c+ }+P{Xnc - }
=1-Fn(c+ -0)+ Fn(c-)
1-1+0=0
定理4. (连续性定理)分布函数列{Fn(x)}弱收敛于 分布函数{F(x)}的充分必要条件为:
{Fn(x)}的特征函数列 n (t) 收敛于F(x)的特征函数 (t).
N 1 nN
:|
Xn ()
X
()
|
1}} k
0
P{ I U { :| Xn () X () | }} 0, 0 N 1 nN
N
P{ U { :| Xn () X () | }} 0, 0
nN
概率的上连续性
N
P{Xn+Yn x} P{Xn x-c+}+P{|Yn-c|>} (1)
P{Xn+Yn x} P{Xn+Yn x,|Yn-c| } P{Xn x-c-,|Yn-c| }
P{Xn x-c-}- P{Xn x-c-,|Yn-c| >}
一、概率收敛与分布收敛
Def.
1.
设随机变量序列{X
}
n n1
与随机变量X
0, lim n
P{|
Xn
X
|
}
0
则称随机变量序列
{
X
n
} n 1
依概率收敛于X，记作
P
Xn X
例 1. 设 X ,{Xn} 均为退化分布的随机变量，且
P( X 0) 1, P{X n 1/ n} 1, n 1, 2,L
P{|Xn-c|}= P{Xn c+ }+P{Xnc - }
=1-Fn(c+ -0)+ Fn(c-)
1-1+0=0
定理4. (连续性定理)分布函数列{Fn(x)}弱收敛于 分布函数{F(x)}的充分必要条件为:
{Fn(x)}的特征函数列 n (t) 收敛于F(x)的特征函数 (t).
N 1 nN
:|
Xn ()
X
()
|
1}} k
0
P{ I U { :| Xn () X () | }} 0, 0 N 1 nN
N
P{ U { :| Xn () X () | }} 0, 0
nN
概率的上连续性
N
P{Xn+Yn x} P{Xn x-c+}+P{|Yn-c|>} (1)
P{Xn+Yn x} P{Xn+Yn x,|Yn-c| } P{Xn x-c-,|Yn-c| }
P{Xn x-c-}- P{Xn x-c-,|Yn-c| >}
概率论与数理统计书ppt课件
条件概率与独立性
CHAPTER
随机变量及其分布
02
随机变量的概念与性质
定义随机变量为在样本空间中的实值函数，其取值依赖于随机试验的结果。
随机变量
讨论随机变量的可数性、可加性、正态性等性质。
随机变量的性质
离散型随机变量的概念
定义离散型随机变量为只能取可数个值的随机变量。
离散型随机变量的分布
讨论离散型随机变量的概率分布，如二项分布、泊松分布等。
应用
中心极限定理及其应用
CHAPTER
贝叶斯推断与决策分析
07
贝叶斯推断的基本原理
金融风险管理
贝叶斯推断在金融风险管理领域有着广泛的应用，如信用风险评估、投资组合优化等。
医疗诊断
贝叶斯推断在医疗诊断方面也有着重要的应用，如疾病诊断、预后评估等。
机器学习与人工智能
贝叶斯推断在机器学习算法和人工智能领域中也有着广泛的应用，如朴素贝叶斯分类器、高斯混合模型等。
参数估计与置信区间
01
点估计
用单一的数值估计参数的值。
02
区间估计
给出参数的一个估计区间，通常包括一个置信水平。
比较两个或多个组的均值差异，确定因素对结果的影响。
方差分析
检验两个或多个组的方差是否相等。
方差齐性检验
研究变量之间的关系，并预测结果。
回归分析
假设检验与方差分析
CHAPTER
回归分析与线性模型
应用
在现实生活中，大数定律被广泛应用于保险、赌博、金融等领域，通过统计数据来预测未来的趋势和风险。
大数定律及其应用
在独立随机变量序列中，它们的和的分布近似于正态分布，即中心极限定理。这意味着，当样本量足够大时，样本均值近似于正态分布。
概率论与数理统计第五章ppt课件
完整编辑ppt
8
定理1 (切贝谢夫定理)设1,2,...,是相互独立的随机 变量序列，各有数学期望E1,E2,...及方差D1,D2,... 并且对于所有i=1,2,...Di M,M与i无关，则任给0
limP n
1 n
n i1
i
1 n
n i1
Ei
1
此 定 理 表 明 n 个 独 立 随 机 变 量 的 平 均 值 n 1i n 1 i 依 概 率 收 敛 于 其 数 学 期 望 n 1i n1Ei
E
E (x E 2 )2 (x )d x E (x E 2 )2 (x )d x
(xE)2 2
(x)dx
D 2
完整编辑ppt
3
例 1设 是 掷 一 颗 骰 子 所 出 现 的 点 数 ， 若 给 定 ＝ 1， 2， 实 际 计 算 P(|-E|),并 验 证 切 贝 谢 夫 不 等 式 成 立 。
完整编辑ppt
23
例7 每颗炮弹命中飞机的概率为0.01，求500发炮弹 中命中5发的概率。
解 ： 5 0 0 发 炮 弹 中 命 中 飞 机 的 数 目 服 从 二 项 分 布
n=500 p=0.01
np 5
npq 2.225
(1)直接计算
P ( 5 ) C 5 5 0 00 .0 1 5 0 .0 9 4 9 5＝0.17635
第五章 大数定律与中心极限定理
§1 切贝谢夫不等式
研究随机变量的离差与方差的关系。
切贝谢夫不等式： 设 随 机 变 量 有 期 望 值 E 与 方 差 D 。 对 任 给 >0,有 P(|E|)D 2 P(|E|)1D 2
证 ： 若 是 离 散 型 随 机 变 量 ,
概率论与数理统计(3).ppt
当 n 足够大时，算术平均值几乎就是一个常数, 可以用算术平均值近似地代替数学期望.
马尔可夫大数定律
设 X 是随机变量序列，若成立
k
1 n lim 2 D X i 0 n n i1
则 X 服从大 ,P X ln k , k k ln k 2 2 k 1 , 2 , ; 且 X ,X , ,X , 相互独立，试证 X 服从大 1 2 n k
则称随机变量序列{Xn}服从大数定律.
切比雪夫大数定律
相互独立， 设随机变量序列 X , X , , X , 1 2 n
, X , , X (指任意给定 n > 1, X 相互独立)， 1 2 n 数学期望和方差(存在）
2 E ( X ) ,( D X ) C , k 1 , 2 , k k k k
辛钦大数定律
相互独立，服从同一 , X , , X , 设 X 1 2 n 分布，且具有数学期望 E(X k) = , k= 1,2,…, 则对任意正数 > 0
1n lim P X 0 k n n k 1
大数定理的应用——蒙特卡罗方法
依概率收敛
在叙述大数定律之前，首先介绍两个基本概念。 ,X , ,X , 定义： 设 X 为一个随机变量序列，记为 1 2 n { X ，若对任何 ,X , ,X n≥2，随机变量 X 都相互独 n} 1 2 n } 立，则称 { X n是相互独立的随机变量序列。 定义： 设 { X 为一随机变量序列， X为一随机变 n} 量或常数，若对任意ε＞0，有
例：
• 计算定积分
J x e dx
1
x 2 sin xe
0
辛钦大数定律的证明(在第15页)
第四章大数定律与中心极限定理极限定理是概率论与数理统计学中最重要的理论结果。
本章简单地介绍两类极限定理---“大数定律”和“中心极限定理”。
通常，把叙述在什么条件下一随机变量序列的算术平均值（按某种意义）收敛于某数的定理称为“大数定律”；把叙述在什么条件下大量的随机变量之和近似服从正态分布的定理称为“中心极限定理”。
本教材只介绍极限定理的经典结果。
分布函数、矩和特征函数是解决经典极限定理的主要工具。
一、教学目的与要求1．掌握四个大数定律的条件、结论及数学意义；2．理解随机变量序列的两种收敛性的定义及其关系，了解特征函数的连续性定理；3．掌握独立同分布中心极限定理的条件、结论，并会用来解决一些实际问题。
二、教学重点和难点教学重点是讲清大数定律的条件、结论和中心极限定理的条件、结论。
教学难点是随机变量序列的两种收敛性及大数定律和中心极限定理的应用。
§4.1 大数定律一、大数定律的意义在第一章中引入事件与概率的概念时曾经指出，尽管随机事件A 在一次试验可能出现也可能不出现，但在大量的试验中则呈现出明显的统计规律性——频率的稳定性。
频率是概率的反映，随着观测次数n 的增加，频率将会逐渐稳定到概率。
这里说的“频率逐渐稳定于概率”实质上是频率依某种收敛意义趋于概率，这个稳定性就是“大数定律”研究的客观背景。
详细地说：设在一次观测中事件A 发生的概率()p A P =，如果观测了n 次（也就是一个n 重贝努里试验），A 发生了n μ次，则A 在n 次观测中发生的频率为nnμ，当n 充分大时，频率nnμ逐渐稳定到概率p 。
若用随机变量的语言表述，就是：设i ξ表示第i 次观测中事件A 发生次数，即⎩⎨⎧=不发生次试验中第发生次试验中第A i A i i ,0,1ξn i ,,2,1 =则n ξξξ,,,21 是n 个相互独立的随机变量，显然∑==ni i n 1ξμ。
从而有∑==ni i nn n 11ξμ 因此“nnμ稳定于p ”，又可表述为n 次观测结果的平均值稳定于p 。
概率论与数理统计ppt课件(完整版)
25
2.概率的性质：
性质1. P() 0.
性质2. 若 A1 , A 2 ,, An 是两两互不相容的事件 , 则 P( A1 A 2 An)
P( A1) P( A 2) P( A n). (有限可加性)
性质3. 若A B, 则有 P(B A) P(B) P( A);
6
例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如
下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“
恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.
7
（三）事件间的关系与事件的运算 1.包含关系和相等关系:
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
2
§1.随机试验
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况.
E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.
E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况. E4: 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. E5: 在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命.
A
s
B
(4)A B
10
5.事件的互不相容(互斥): 若A B , 则称A与B是互不相容的 , 或互斥的,即
A与B不能同时发生 .
B
A
AB
11
6. 对立事件(逆事件)：
为对立事件. 即 : 在一次实验中 , 事件A与B中必然有一 个发生, 且仅有一个发生 .
若A B S且A B ，则称A与B互为逆事件，也称
《概率论与数理统计》课件
条件概率与独立性
条件概率
在某个事件B已经发生的条件下，另 一事件A发生的概率，记为P(A|B)。
独立性
两个事件A和B如果满足 P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A和B是 独立的。
随机变量及其分布
01
随机变量
随机变量是定义在样本空间上的 一个实值函数，表示随机试验的 结果。
02
离散型随机变量
03
连续型随机变量
离散型随机变量的取值可以一一 列举出来，其概率分布可以用概 率质量函数或概率函数表示。
连续型随机变量的取值范围是一 个区间或半开区间，其概率分布 可以用概率密度函数表示。
数理统计初步
02
统计数据的描述
01
统计数据的收集
描述如何通过调查、试验或观测 等方法，获取用于统计分析的数
据。
03
夫链
随机过程的基本概念
随机过程
随机过程是一组随机变量，每个随机 变量对应于时间或空间的一个点。
有限维分布
描述随机过程在有限个时间点上的联 合分布。
独立性
如果随机过程在不相交的时间区间上 的随机变量是独立的，则该随机过程
是独立的。
马尔科夫链及其性质
马尔科夫性
在已知现在状态下，未来与过去独立，即“未来 只取决于现在”。
03
数据的可视化
介绍如何使用图表（如直方图、 散点图等）将数据可视化，以便 更直观地理解数据分布和关系。
02
数据的整理
介绍如何对数据进行分类、排序 和分组，以便更好地理解和分析
。
04
数据的数字特征
介绍如何使用均值、中位数、众 数、方差等统计量来描述数据的
中心趋势和离散程度。
参数估计与置信区间
概率论与数理统计课件 大数定理
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2Cov( X ,Y )
1 4 2 (0.5)1 2 3
4. 练习 X N (1,1),Y N (0,1), EXY 0.1, 根据切比雪夫 不等式,则P{4 X Y 6} 0.816
2019/4/29
第五章—大数定理和中心极限定理
1 n
n i 1
X i 接近数学期望EX i
(i 1, 2 , ),这种接近说明其具有的稳定性.
这种稳定性的含义说明算术平均值是依概率 收敛的意义下逼近某一常数.
2019/4/29
第五章—大数定理和中心极限定理
21
下面给出的独立同分布下的大数定律，不要 求随机变量的方差存在.
定理5.4（辛钦大数定律）
可能性很小.
依概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛 弱些,它具有某种不确定性.
2019/4/29
第五章—大数定理和中心极限定理
14
三、大数定理
定理5.2（贝努利大数定律）
在n 重贝努利试验中成功的次数为Yn , 而每次
试验成功的概率为p ,则对 0 ,
lim P{| Yn p | } 0
Xn P a 意思是:当 n 时, Xn 落在
(a , a ) 内的概率越来越大.
Xn
a a a
而 Xn a 意思是: 0,n0 ,当n n0 | Xn a |
2019/4/29
第五章—大数定理和中心极限定理
13
注意 Xn依概率收敛于a,意味着对任意给定的 0 ,
当n 充分大时,事件 Xn X 的概率很大, 接近于1; 并不排除事件 Xn X 的发生,而只是说它发生的
P{| X 11 | 9}
1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
limA
n n
k 1 nk
An
k 1 nk
An lim An
n
同理
极限事件
lim A lim An n n n
当limAn＝lim An时，记
n n
lim An limAn＝lim An
n n n
称 lim An为随机事件序列{ An }的极限事件.
limAn
n
An
称limAn为事件序列{ An }的上限事件. 记
lim An
n k 1 n k
An
称 lim An为事件序列{ An }的下限事件.
n
上限事件与下限事件的含义与关系
上限事件lim An 表示事件An发生无穷多次.下
n
限事件 lim An 表示事件An至多只有有限个不发生.
设{i }为独立变量序列，若 1 n P{lim ( i E ( i )) 0} 1 n n i 1 则称独立变量序列{i }满足强大数定律
2、葛依克－瑞尼不等式
若{i }是独立随机变量序列，Di i2 ,
(i 1, 2, ), 而{Cn }是一列正的非增常数序列，则 对任意的正整数m, n(n m )，以及 0，均有
1 (1 2 n
a.s. n ) a
成立的充要条件为： E(i )存在且等于a
n
则称{ n ( )}以概率1收敛于 ( ), 亦被称为{ n ( )} 几乎处处收敛于 ( )，简记为
n ( ) ( )
a.s.
为了探讨以概率1收敛的内在含义，需要以下定义：
定义 设A1 , A2 ,
n
, An , 为一列事件，记
k 1 n k
第5.4节
强大数定律
一、以概率1收敛 二、博雷尔强大数定律 三、科尔莫戈罗夫强大数定律
四、独立同分布场合的强大数 定律
一、以概率1收敛
首先回顾一下5.2节关于以概率1收敛的概念
定义5.2.5 （以概率1收敛） 如果对随机变量
n ( )、 ( )有
P (lim n ( ) ( )) 1
P{max C j
m j n j
(
i 1
i
E ( i )) }
1
2 2 ( C m 1
n
2 C2 j j )
3、科尔莫戈罗夫不等式
若{i }是独立随机变量序列，Di i2 ,
(i 1, 2, n), 则对任意的 0，均有
设{ i }是独立随机变量序列， ( i 1, 2, 3, ), 且 D i , 则 2 n 1 n 1 n P{lim ( i E ( i )) 0} 1 n n i 1
四、独立同分布场合的强大数定律
定理5.4.4 (科尔莫戈罗夫)
设{ i }是独立同分布随机变量序列， (i 1, 2, 3, ), 则
P (limAn ) 1,
n
或者 P(lim An ) 0
n
a.s. P ( ) ( ) ( ) ( ) 定理5.4.1 n n
反例(p298例一) a.s. NO P n ( ) ( ) n ( ) ( )
n
同时因为
lim An
n
k 1 n k
An N ,
nk
n N
An An
( n N ) k ,
因而limAn lim An
n n
An limAn
n
k 1 n k
An
又因为
n
引理5.4.1 (博雷尔－康特立引理)
(1) 若随机事件序列{ An }满足 P ( An ) , 则
n 1
P (limAn ) 0,
n
P (lim An ) 1
n
n 1
(2) 若随机事件序列{ An }相互独立, 则 P ( An )＝ 成立的充要条件为
二、博雷尔强大数定律
定理5.4.2(博雷尔) 设n是事件A在n次独立试验
中的出现次数，在每次试验中事件A出现的概率 为p，那么当n 时， n P p 1 或者 n
n P lim p 1 n n
三、科尔莫戈罗夫强大数定律
1、定义(强大数定律)
j
P{max ( i E ( i )) }
m j n i 1
1
2 2 j j 1
n
科尔莫戈罗夫不等式是概率论中最重要的不等 式之一，当n=1时，科尔莫戈罗夫不等式就退化为 车贝晓夫不等式，而咯依克－瑞尼不等式又是科 尔莫戈罗夫不等式的推广.
4、科尔莫戈罗夫强大数定律 定理5.4.3 (科尔莫戈罗夫强大数定律)